ÊÂÀÍT 1999/¹3 20 Óïðàæíåíèÿ 28. Äëÿ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = 2 + i îòìåòüòå íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ÷èñëà iz, z, iz. 29. Àññîöèèðîâàííûå ñ ÷èñëîì z ÷èñëà ýòî â òî÷íîñòè ÷èñëà âèäà εz , ãäå ε äåëèòåëü åäèíèöû. Äîêàæèòå ýòî. 30. Äîêàæèòå, ÷òî à) ÷èñëà 1 + i è 1 i àññîöèèðîâàíû; á) ÷èñëà a + bi è a bi àññîöèèðîâàíû â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà âûïîëíåíî õîòÿ áû îäíî èç óñëîâèé: a = 0, b = 0, a = b, a = b. Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 2 ãäå öåëûå ãàóññîâû ÷èñëà (a + bi) è (c + di) íå äåëèòåëè åäèíèöû. Ïîñêîëüêó ìîäóëü ïðîèçâåäåíèÿ ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ìîäóëåé, èìååì 2 e 2 2 je 2 2 j 2 2 2 je j + b j è e c + d j ðàâåí 1, à äðóãîé ðàâåí 2 2 2 2 2 2 2 p , ëèáî p = a + b = c + d .  ïåðâîì ñëó÷àå ÿñíî, ÷òî ÷èñëî p áûëî ïðåäñòàâëåíî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äåëèòåëÿ åäèíèöû è àññîöèèðîâàííîãî ñ p ÷èñëà. Âòîðîé ñëó÷àé íåâîçìîæåí â ñèëó òåîðåìû 3. 2 Ñ ÷èñëîì 2 äåëî îáñòîèò åùå ïðîùå: 2 = i 1 + i . Âïðî÷åì, ìû äîëæíû îáúÿñíèòü, ïî÷åìó ÷èñëî 1 + i ïðîñòîå. Ëåììà 3. Ïðîñòîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî p íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ áîëåå ÷åì äâóõ öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë, íå ÿâëÿþùèõñÿ äåëèòåëÿìè åäèíèöû. (Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè p àññîöèèðîâàíî ñ ïðîèçâåäåíèåì äâóõ íå ÿâëÿþùèõñÿ äåëèòåëÿìè åäèíèöû öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë, òî ýòè ÷èñëà ïðîñòûå.) Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 3. Åñëè p = (a + bi)(c + di)(e + + fi), òî p = a + bi ⋅ c + di ⋅ e + fi , b g e je je 2 2 j îòêóäà p2 = a 2 + b 2 c2 + d 2 e + f . Êâàäðàò ïðîñòîãî ÷èñëà íèêàê íå ìîæåò áûòü ïðîèçâåäåíèåì òðåõ îòëè÷íûõ îò 1 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ëåììà 3 è òåîðåìà 8 äîêàçàíû. Óïðàæíåíèÿ 31. Èçîáðàçèòå íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè âñå ÷èñëà, íà êîòîðûå íàöåëî äåëèòñÿ ÷èñëî 5 i. 32. Ñêîëüêî ñðåäè äåëèòåëåé ÷èñëà à) 3 11i; á) 6 + 12i òàêèõ, ó êîòîðûõ è âåùåñòâåííàÿ, è ìíèìàÿ ÷àñòè ïîëîæèòåëüíû? 33. Ðàçëîæèòå íà ïðîñòûå ãàóññîâû ìíîæèòåëè ÷èñëà à) 16; á) 1001; â) 47 + i. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2 p = (a + bi)(c + di), 2 e ìíîæèòåëåé e a 2 Âåðíåìñÿ ê ëåììå 2, îò êîòîðîé ìû íàäîëãî îòâëåêëèñü, ÷òîáû ïðèäàòü ñìûñë ðàçëîæåíèþ m2 + 1 = (m + i)(m i). ×èñëó p íå êðàòåí íè îäèí èç ìíîæèòåëåé m + i è m i, íî êðàòíî ïðîèçâåäåíèå m2 + 1. ×òî ýòî çíà÷èò? Êàê ìîæåò ïðîèçâåäåíèå áûòü êðàòíî p, åñëè íè îäèí èç ìíîæèòåëåé íå êðàòåí p? Íåóæåëè àðèôìåòèêà ãàóññîâûõ ÷èñåë íàñòîëüêî ñâîåîáû÷íà, ÷òî â íåé íåò íèêàêèõ ïðèâû÷íûõ íàì çàêîíîâ? Íàïðèìåð, ìû ïðèâûêëè ê òîìó, ÷òî ðàçëîæåíèå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî ïîðÿäêà ìíîæèòåëåé. Âäðóã îñíîâíàÿ òåîðåìà àðèôìåòèêè íåâåðíà äëÿ Z[i]? Îêàçûâàåòñÿ, âñå íå òàê ïëîõî. Ðàçëîæåíèå íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè â Z[i] åäèíñòâåííî â òîì æå ñìûñëå, â êàêîì îíî åäèíñòâåííî äëÿ îáû÷íûõ öåëûõ ÷èñåë (ìû äîêàæåì ýòî â ðàçäåëå «Îñíîâíàÿ òåîðåìà àðèôìåòèêè»). À êàæóùååñÿ ïðîòèâîðå÷èå óñòðàíÿåòñÿ òåì, ÷òî ïðîñòîå ÷èñëî p ìîæåò ïåðåñòàòü áûòü ïðîñòûì ïðè ðàñøèðåíèè Z äî Z[i]. Íàïðèìåð, 2 = (1 + i)(1 i) è 5 = (1 + 2i)(1 2i). Âîîáùå, p = (a + bi)(a bi) äëÿ âñÿêîãî ÷èñëà p = a 2 + + b2 . Èòàê, ðàçðåøèì ñåáå ïîôàíòàçèðîâàòü: âîîáðàçèì, ÷òî ìû óæå äîêàçàëè òåîðåìó î åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè, è äîêàæåì ëåììó 2. Äåëèòåëü p ÷èñëà (m + i)(m i) íå ìîæåò áûòü ïðîñòûì ãàóññîâûì ÷èñëîì. Çíà÷èò, a +b p = a + bi ⋅ c + di , îòêóäà p2 = a 2 + b 2 c2 + d 2 . Çíà÷èò, ëèáî îäèí èç Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ôåðìà-Ýéëåðà p= íà äâà ñîïðÿæåííûõ ìíîæèòåëÿ: p = (a + bi)(a bi), ïðè÷åì ìíîæèòåëè a + bi è a bi ïðîñòûå ãàóññîâû ÷èñëà. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ÷èñëî p = 4n + 3 ïðåäñòàâëåíî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë p = (a + + bi)(c + di), òî 2 c +d , 2 2 2 ò. å. p = a + b c + d , îòêóäà p = a 2 + b = c + d . Ëåììà 2, à çàîäíî è òåîðåìà 4 äîêàçàíû. Ðàçëîæåíèå ïðîñòîãî ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè Çàãîëîâîê ýòîãî ïîäðàçäåëà ìîã áû óäèâèòü, åñëè áû âûøå ìû íå ðàçëàãàëè óæå ïðîñòûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà ïðîñòûå ãàóññîâû ìíîæèòåëè. Êàêèå æå ïðîñòûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà îñòàíóòñÿ ïðîñòûìè âî ìíîæåñòâå öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë, à êàêèå ñòàíóò ñîñòàâíûìè? È êàê óñòðîåíû ðàçëîæåíèÿ «íîâûõ ñîñòàâíûõ» ÷èñåë? Òåîðåìà 8. Âñÿêîå ïðîñòîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî âèäà p = 4n + 3 ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì â Z[i]; ÷èñëî 2 àññîöèèðîâàíî ñ êâàäðàòîì ïðîñòîãî ãàóññîâà ÷èñëà 1+ i; âñÿêîå ïðîñòîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî âèäà p = 4n + 1 ðàçëàãàåòñÿ Ïîìíèòå, ìû îáåùàëè ïîëó÷èòü òåîðåìó 2 êàê îäíî èç ñëåäñòâèé òåîðèè öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë? Íàñòàëî âðåìÿ ýòî ñäåëàòü. Ïóñòü ïðîñòîå ÷èñëî p íå ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ è ñóììà êâàäðàòîâ x2 + y 2 êðàòíà p. Èç òåîðåìû 8 ñëåäóåò, ÷òî âñÿêîå ïðîñòîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî p ëèáî ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ãàóññîâûì ÷èñëîì, ëèáî ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë. Çíà÷èò, â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè p ïðîñòîå ãàóññîâî 2 2 ÷èñëî. Ïîñêîëüêó ïðîèçâåäåíèå (x + iy)(x iy) = x + y êðàòíî p, õîòÿ áû îäèí èç ñîìíîæèòåëåé êðàòåí p. Ýòî â òî÷íîñòè îçíà÷àåò, ÷òî x è y êðàòíû p. Òåîðåìà 2 äîêàçàíà. Êîëè÷åñòâî ïðåäñòàâëåíèé Åäèíñòâåííîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ ïðîñòîãî ÷èñëà â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ Ïî òåîðåìå ÔåðìàÝéëåðà ëþáîå ïðîñòîå ÷èñëî p, êîòîðîå ïðè äåëåíèè íà 4 äàåò îñòàòîê 1, ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ. Äàâàéòå äîêàæåì, ÷òî òàêîå ïðåäñòàâëåíèå åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî ïîðÿäêà ñëàãàåìûõ.