ÔÍÁÈÊ, Êàôåäðà ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè "Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà" 2012 Êð2 1. Ïóñòü {x1 , . . . , xN } -íåçàâèñèìûå öåëî÷èñëåííûå âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû x, èìåþùåé áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå m m B(p, M ) : PM {x = m} = CM p (1 − p)M −m . Ïîêàçàòü, ÷òî xn /M è xi /M (1−xj /M ), i 6= j , ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê âûáîðî÷íûå íåñìåùåííûå îöåíêè p è σ 2 = p(1 − p) ñîîòâåòñòâåííî. Íàïîìíèì, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ íàçûâàåòñÿ íåñìåùåííîé îöåíêîé ïàðàìåòðà θ , åñëè Eξ = θ . 1. Ïóñòü {x1 , . . . , xN } -íåçàâèñèìûå öåëî÷èñëåííûå âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëèm ÷èíû x, èìåþùåé ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå Pλ {x = m} = λm! e−λ . Ïîêàçàòü, ÷òî x(N ) = PN n=1 xn /N ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê ñîñòîÿòåëüíóþ âûáîðî÷íóþ îöåíêó λ ïðè ëþáîì N . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîñïîëüçîâàòüñÿ íåðàâåíñòâîì ×åáûøåâà P {|χ − c| ≥ } ≤ 1 E |χ − c|2 . Íàïîìíèì, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà P {|x(N ) − θ| ≥ } → 0 ïðè N →∞ x(N ) íàçûâàåòñÿ äëÿ ëþáîãî > 0. ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêîé ïàðàìåòðà θ, åñëè 1. Ïóñòü {xn }N 1 - íåçàâèñèìûå PNâûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ2 ñëó÷àéíîé PN âåëè÷èíû ξ2 ∈ N (µ, σ). 1 1 Ïîêàçàòü, ÷òî ñðåäíåå µN = N n=1 xn è äèñïåðñèÿ σN = N −1 n=1 (xn − µN ) ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè. 1. Ïóñòü {xn }N 1 - íåçàâèñèìûå âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ∈ N (µ, σ). Èñïîëüçóÿ ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà îöåíèòü âåðîÿòíîñòü µN − ≤ µ ≤ µN + δ . 1. Ïóñòü {xn }N 1 - íåçàâèñèìûå âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ∈ N (µ, σ). 2 2 Èñïîëüçóÿ ðàñïðåäåëåíèå Ôèøåðà îöåíèòü âåðîÿòíîñòü σN − ≤ σ 2 ≤ σN + δ. 1. Ïóñòü x, y ∈ [−1, 1] íåçàâèñèìûå äåéñòâèòåëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ px (r) ≡ 21 è py (r) ≡ 12 . Âû÷èñëèòü ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû z = max{x, y}. 1. Ïóñòü x, y ∈ [−1, 1] íåçàâèñèìûå äåéñòâèòåëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ px (r) ≡ 21 è py (r) ≡ 12 . Âû÷èñëèòü ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû z = min{x, y}. N 1. Ïóñòü x = {ξn }N 1 ∈ R , ãäå ξn íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñî ñòàíäàðòíûì íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì. Âû÷èñëèòü ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû r = |x|2 ∈ R+ . 1.  êàêîé òî÷êå ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ Ôèøåðà PfM,N (x) äîñòèãàåò ìàêñèìóìà? 1. Ñóùåñòâóåò ëè ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå P (x) = limN →∞ PtN (x), ãäå PtN (x) - ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ N ñòåïåíÿìè ñâîáîäû? 2 1. Ïóñòü µN è σN âûáîðî÷íûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ N (µ, σ) s σ2 s σ2 è s1 , s2 > 0. Âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ µN − √1 NN < µ < µN + √2 NN . 2 1. Ïóñòü µN è σN âûáîðî÷íûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ N (µ, σ) 2 2 (N −1)σN (N −1)σN < σ2 < . è g1 > g2 > 0. Âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ g1 g2 1. Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Ñòèðëèíãà ïîêàçàòü, ÷òî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà ptN (x) ñõîäèòñÿ ê ñòàíäàðòíîìó íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ. Íàïîìíèì, ÷òî Γ N2 cN . ptN (x) = N2 , cN = p N −1 2 π(N − 1)Γ 2 1+ x N −1 1. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè F (x) êóìóëÿòèâíîå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà µ = F (ξ) èìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå. 1. Ïóñòü F (x) êóìóëÿòèâíîå ðàñïðåäåëåíèå äåéñòâèòåëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ . Âû÷èñëèòü ñðåäíåå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû µ = F (ξ). 1. Ïóñòü F (x) êóìóëÿòèâíîå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ . Âû÷èñëèòü äèñïåðñèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû µ = F (ξ). 1. Ïóñòü ä. ñ. â. ξ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïàðåòî P (1, a) è xN = min{ξ1 , . . . , ξN }. Âû÷èñëèòü E ln xN . 1. Ïóñòü ξ ∈ N (0, 1) è µ ∈ χ2n íåçàâèñèìûå ä. ñ. â. Âû÷èñëèòü ðàñïðåäåëåíèå ξ . χ2n 1. Ïîêàçàòü, ÷òî êîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà n-ìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîìïîíåíòàìè íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà. 2. Äëÿ ìàññèâà èç N = 100 ýêñïåðèìåíòàëüíûõ òî÷åê îïðåäåëåíî âûáîðî÷íîå ñðåäíåå 2 = 0.04. Êàêóþ ïîãðåøíîñòü ìîæíî ãàðàíòèðîâàòü ñ âåðîÿòíîñòüþ µN = 1 è äèñïåðñèÿ σN P = 0.95? Âîñïîëüçóéòåñü öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìîé è ãðàôèêîì êóìóëÿòèâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0 1 2 3 4 2. Äëÿ ìàññèâà èç N = 100 ýêñïåðèìåíòàëüíûõ òî÷åê îïðåäåëåíî âûáîðî÷íîå ñðåäíåå 2 µN = 1 è äèñïåðñèÿ σN = 0.04. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èñòèííîå ñðåäíåå îòëè÷àåòñÿ îò µN â ëþáóþ ñòîðîíó íå áîëåå, ÷åì íà 0.1? Âîñïîëüçóéòåñü öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìîé è ãðàôèêîì êóìóëÿòèâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0 1 2 3 4 2. Äëÿ ìàññèâà èç N = 10 ñëó÷àéíûõ òî÷åê {3.307, 3.513, 3.979, 3.298, 3.081, 3.519, 3.371, 4.101, 3.789, 3.091}, èìåþùèõ íåèçâåñòíîå ñðåäíåå µ è èçâåñòíóþ äèñïåðñèþ σ 2 = 0.25 îïðåäåëåíû âûáîðî÷íîå 2 = 0.222. Èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííîå íà ãðàôèêå ñðåäíåå µN = 3.4 è âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ σN ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà c 9 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, íàéäèòå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû, ñîäåðæàùèå ñðåäíåå çíà÷åíèå µ ñ âåðîÿòíîñòÿìè 0.1, 0.5, 0.9. 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2. Äëÿ ìàññèâà èç N = 10 ñëó÷àéíûõ òî÷åê {3.307, 3.513, 3.979, 3.298, 3.081, 3.519, 3.371, 4.101, 3.789, 3.091}, èìåþùèõ íåèçâåñòíîå ñðåäíåå µ è èçâåñòíóþ äèñïåðñèþ σ 2 = 0.25 îïðåäåëåíû âûáîðî÷íîå 2 ñðåäíåå µN = 3.4 è âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ σN = 0.222. Èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííîå íà ãðàôèêå ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà c 9 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, íàéäèòå âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ µ ∈ [π, µN ]. 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2. Äëÿ ìàññèâà èç N = 10 ñëó÷àéíûõ òî÷åê {2.637, 3.349, 2.466, 2.77, 3.767, 2.351, 2.365, 2.253, 2.753, 2.707}, èìåþùèõ èçâåñòíîå ñðåäíåå µ = π è íåèçâåñòíóþ äèñïåðñèþ îïðåäåëåíà âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ 2 = 0.227. Èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííîå íà ãðàôèêå ðàñïðåäåëåíèå σN CDF[ChiSquareDistribution[9], 9/(1 − eps)] − CDF[ChiSquareDistribution[9], 9/(1 + eps)], 2 2 íàéäèòå âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ σ 2 ∈ [σN (1 − ), σN (1 + )], = 0.1. 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 2. Äëÿ ìàññèâà èç N = 10 ñëó÷àéíûõ òî÷åê {2.637, 3.349, 2.466, 2.77, 3.767, 2.351, 2.365, 2.253, 2.753, 2.707}, èìåþùèõ èçâåñòíîå ñðåäíåå µ = π è íåèçâåñòíóþ äèñïåðñèþ σ îïðåäåëèòü âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ Èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííîå íà ãðàôèêå ðàñïðåäåëåíèå CDF[ChiSquareDistribution[9], 9/(1 − eps)] − CDF[ChiSquareDistribution[9], 9/(1 + eps)], 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 2 2 íàéäèòå âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ σ 2 ∈ [σN (1 − ), σN (1 + )], σ 2 = 0.25, = 0.3. 2. Äëÿ äâóõ ìàññèâîâ èç N = 10 è M = 8 ñëó÷àéíûõ òî÷åê {−0.925, 0.0462, −0.359, 0.259, 0.581, −0.260, −0.399, −0.700, 0.915, 0.143}, {0.148, −0.810, −0.357, 0.0389, −0.484, −0.080, −0.350, 0.813} 2 = èìåþùèõ ñðåäíåå µ = 0 è íåèçâåñòíûå äèñïåðñèè îïðåäåëåíû âûáîðî÷íûå äèñïåðñèè σ10 2 0.173, σ8 = 0.279. Èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííîå íà ãðàôèêå ðàñïðåäåëåíèå CDF[FRatioDistribution[10, 8], 1 + eps] − CDF[FRatioDistribution[10, 8], 1 − eps] 2 ñî ñòåïåíÿìè ñâîáîäû (10,8), íàéäèòå âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ σ10 /σ82 = 0.621 ∈ [1 − , 1 + )], äëÿ ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ . 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 2. Äëÿ äâóõ ìàññèâîâ èç N = 30 è M = 20 ñëó÷àéíûõ òî÷åê ïîñòðîåíû ãðàôèêè ðàíãîâûõ ðàñïðåäåëåíèé è íàéäåíà èõ ðàçíîñòü, èçîáðàæåííàÿ íà ëåâîì ãðàôèêå. Íà ïðàâîì ãðàôèêå ïðèâîäèòñÿ ðàñïðåäåëåíèå Êîëìîãîðîâà. Ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ ÑìèðíîâàÊîëìîãîðîâà ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î ñîâïàäåíèè âûáîðî÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ðàñïðåäåëåíèÿ ñîâïàäàþò? 2. Íàéòè òî÷êó, â êîòîðîé pχ2N (x) äîñòèãàåò ìàêñèìóìà. 2. Âû÷èñëèòü ñðåäíåå è äèñïåðñèþ ðàñïðåäåëåíèÿ tN . 2. Âû÷èñëèòü ñðåäíåå è äèñïåðñèþ ðàñïðåäåëåíèÿ χ2N . 2. Âû÷èñëèòü ñðåäíåå ðàñïðåäåëåíèÿ Ôèøåðà fk,m . 0.25 1.0 0.20 0.8 0.15 0.6 0.10 0.4 0.05 0.2 0.00 0.0 0 10 20 30 40 50 0.5 1.0 1.5 2.0 2. Âû÷èñëèòü êîâàðèàöèîííóþ ìàòðèöó ïîãðåøíîñòè îöåíêè b−b∗ = (AT A)−1 AT ξ ïàðàìåòðîâ b äëÿ ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, ñ÷èòàÿ, ÷òî êîìïîíåíòû âåêòîðà îøèáîê íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ðàñïðåäåëåíèå N (0, σ). 2. Ïóñòü x ∈ R, ξ ä. ñ. â. è µ(ξ|x) = I(−∞,x] (ξ). Âû÷èñëèòü ñðåäíåå è äèñïåðñèþ ä. ñ. â. µ(x, ξ). 3. Ïóñòü {x1,1 , . . . , x1,N1 ; x2,1 , . . . , x2,N2 ; . . . ; xK,1 , . . . , xK,NK } - âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ∈P N (µ, σ) ðàçáèòûå íà K ãðóïï ïî N1 , . . . , NK ýëåìåíòîâ, N = N1 + · · · + NK . P 1 1 Ïóñòü X = N k,n xk,n - ãëîáàëüíîå âûáîðî÷íîå ñðåäíåå è Xk = Nk n xk,n - âíóòðèãðóïïîâûå ñðåäíèå. Ïîêàçàòü, ÷òî èìååò ìåñòî òåîðåìà Ïèôàãîðà Q = Q1 + Q2 , ãäå X X X (Xk − xk,n )2 . Nk (X − Xk )2 , Q2 = (X − xk,n )2 , Q1 = Q= k,n k k,n 3. Ïóñòü {x1,1 , . . . , x1,N1 ; x2,1 , . . . , x2,N2 ; . . . ; xK,1 , . . . , xK,NK } - âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûP ξ ∈ N (µ, σ) ðàçáèòûå íà K ãðóïï ïî N1 , . . . , NK ýëåìåíòîâ, N = N1 + · · · + NK . P 1 1 Ïóñòü X = N k,n xk,n - ãëîáàëüíîå âûáîðî÷íîå ñðåäíåå è Xk = Nk n xk,n - âíóòðèãðóïïîâûå ñðåäíèå X X X Q= (X − xk,n )2 , Q1 = Nk (X − Xk )2 , Q2 = (Xk − xk,n )2 . k,n k k,n Ïðåäñòàâèòü Q1 è Q2 â âèäå êâàäðàòè÷íûõ ôîðì ïðîåêòîðîâ. 3. Ïóñòü {x1,1 , . . . , x1,N1 ; x2,1 , . . . , x2,N2 ; . . . ; xK,1 , . . . , xK,NK } - âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûP ξ ∈ N (µ, σ) ðàçáèòûå íà K ãðóïï ïî N1 , . . . , NK ýëåìåíòîâ, N = N1 + · · · + NK . P Ïóñòü X = N1 k,n xk,n - ãëîáàëüíîå âûáîðî÷íîå ñðåäíåå è Xk = N1k n xk,n - âíóòðèãðóïïîâûå ñðåäíèå X X X Q= (X − xk,n )2 , Q1 = Nk (X − Xk )2 , Q2 = (Xk − xk,n )2 . k,n k Ñêîëüêî ñòåïåíåé ñâîáîäû èìåþò ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Q1 è Q2 ? k,n 3. Ïóñòü R > 0 è x ãàóññîâà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ íóëåâûì ñðåäíèì è íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì Z 1 1 −1 √ e− 2 (x,R x) dK x. P (x ∈ B) = (2π)K/2 det R B Ïîêàçàòü, ÷òî E(h, x)(g, x) = (h, E x ⊗ x g) = (h, Rg) äëÿ ëþáûõ g, h ∈ RK , òî åñòü R êîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà. 3. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà x èìååò ðàñïðåäåëåíèå pk = P (x ∈ Ωk ), Ω = tk Ωk è IΩk (x) − pk ∈ RK . z(x) = √ pk Ïîêàçàòü, ÷òî êîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà ñëó÷àéíîãî âåêòîðà z(x) ðàâíà R = Ez(x) ⊗ Z(x) = √ √ I − ep ⊗ ep , ãäå ep = { p1 , . . . , pK }. 3. Ïóñòü A : RK → RN - ìàòðèöà ïîëíîãî ðàíãà K < N . Ïîêàçàòü, ÷òî detAT A > 0 è äëÿ ëþáîãî y ∈ RN argminb |y − Ab| = (AT A)−1 AT y. 3. Ïóñòü A : RK → RN - ìàòðèöà ïîëíîãî ðàíãà K < N . Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè b∗ = (AT A)−1 AT y , Ab = y + ξ , ãäå Eξ = 0, òî E(bk − b∗k )2 = Λkk , ãäå Λ = (AT A)−1 . 3. Ïóñòü A : RK → RN - ìàòðèöà ïîëíîãî ðàíãà K < N . Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ξ ∈ N (0, 1), òî b − b∗ è (ξ, (I − πA )ξ) íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. 3. Ïóñòü A : RK → RN - ìàòðèöà ïîëíîãî ðàíãà K < N . Äëÿ ïåðåîïðåäåëåííîé ñèñòåìû yn + ξn = b0 + b1 xn c çàäàííûìè {xn , yn }, íàéòè b∗0 , b∗1 ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. 3. Ìåòîäîì Ôîðñàéòà ïîñòðîèòü 4 îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìà íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå, èìåþùèé øàã h è ñîñòîÿùåé èç N óçëîâ. 3. Ïóñòü A -K × M -ìàòðèöà ðàíãà K < M , K ÷èñëî ñòðîê. Êàê äîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöà AAT ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà è èìååò ðàíã K ? R 3. Óáåäèòüñÿ, ÷òî R δ(x − λy)f (y) dy = |λ|−1 f (λ−1 x). Êàê âûãëÿäèò ýòà ôîðìóëà â Q x, y ∈ RN , åñëè δ(x) = N n=1 δ(xn ) è λ íåâûðîæäåííàÿ (n × n)-ìàòðèöà? 3. Ïóñòü pn âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ïîïàäàåò â îáëàñòü Ωn , n ≤ N . Îáëàñòè Ωn íå ïåðåñåêàþòñÿ, à èç îáúåäèíåíèå ñîäåðæèò âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ . Âû÷èñëèòü êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ êîìïîíåíò zn (ξ) = IΩn (ξ)−pn √ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà z(ξ) ∈ RN . pn 3. Âûâåñòè ôîðìóëû ÌÍÊ äëÿ ïîãðåøíîñòåé îöåíîê êîýôôèöèåíòîâ bn −b∗n ïðè èñïîëüçîâàíèè îðòîãîíàëüíûõ ñåòî÷íûõ ïîëèíîìîâ è âû÷èñëèòü êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè E(bn − b∗n )(bm − b∗m ) ïðè ñòàíäàðòíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ïîãðåøíîñòåé èçìåðåíèé. 3. Âûâåñòè ôîðìóëû ÌÍÊ äëÿ ïîãðåøíîñòåé îöåíîê ýêñïåðèìåíòàëüíûõ òî÷åê yn −yn∗ ïðè èñïîëüçîâàíèè îðòîãîíàëüíûõ ñåòî÷íûõ ïîëèíîìîâ è âû÷èñëèòü êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ∗ E(yn −yn∗ )(ym −ym ) ïðè ñòàíäàðòíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ïîãðåøíîñòåé èçìåðåíèé. 3. Âûâåñòè ôîðìóëû ÌÍÊ äëÿ ïîãðåøíîñòåé îöåíîê êîýôôèöèåíòîâ bn −b∗n ïðè èñïîëüçîâàíèè ñåòî÷íûõ ïîëèíîìîâ è âû÷èñëèòü êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè E(bn −b∗n )(bm −b∗m ) ïðè ñòàíäàðòíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ïîãðåøíîñòåé èçìåðåíèé. 3. Âûâåñòè ôîðìóëû ÌÍÊ äëÿ ïîãðåøíîñòåé îöåíîê ýêñïåðèìåíòàëüíûõ òî÷åê yn −yn∗ ïðè èñïîëüçîâàíèè ñåòî÷íûõ ïîëèíîìîâ è âû÷èñëèòü êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè E(yn − yn∗ )(ym − ∗ ) ïðè ñòàíäàðòíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ïîãðåøíîñòåé èçìåðåíèé. ym N 4. Ïóñòü âåëè÷èíû ξ è Rx PNx ∈ R, {ξn }1 - íåçàâèñèìûå âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé 1 FN (x) = N n=1 I(−∞,x] (ξn ) -ðàíãîâîå ðàñïðåäåëåíèå, EFN (x) = F (x) = −∞ p(ξ)dξ . Âû÷èñëèòü êîâàðèàöèþ E(FN (x) − F (x))2 . 4. Ïóñòü xP∈ R, {ξn }N 1 - íåçàâèñèìûå âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé R x âåëè÷èíû ξ è FN (x) = N1 N I (ξ ) -ðàíãîâîå ðàñïðåäåëåíèå, EF (x) = F (x) = p(ξ)dξ . Ñ N n=1 (−∞,x] n −∞ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà äîêàçàòü ñõîäèìîñòü ðàíãîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïî âåðîÿòíîñòè: limN →∞ P (|FN (x) − F (x)| > ) = 0. 4. Ïóñòü äëÿ âûáîðêè èç 100 òî÷åê max |F (x) − FN (x)| = 0.1. Ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ Êîëìîãîðîâà îöåíèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òàêîé ìàêñèìóì ïðèíèìàåò ìåíüøèå çíà÷åíèÿ. 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 4. Ïóñòü äëÿ íåçàâèñèìûõ âûáîðîê N = 20, M = 25 èç îäíîãî è òîãî æå ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëó÷åíà îöåíêà max |FN (x) − GM (x)| = 0.1. Ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ Ñìèðíîâà îöåíèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òàêîé ìàêñèìóì ïðèíèìàåò ìåíüøèå çíà÷åíèÿ. 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 4. Äëÿ çàäàííîãî íàáîðà {xn } âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðà θ = {θ1 , θ2 } äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ è äèñïåðñèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåèÿ N (µ, σ): {xn }25 1 = {0.6, 3.32, 0.48, 1.97, 2.51, 1.74, 2.58, 2.94, 3.6, 2.68, 2.84, 3.71, 1.01, 2.05, 3.17, 1.53, 1.57, 2.21, 0.31, 2.1, 1.79, 1.12, 0.41, 2.41, 2.5}. Îöåíèòü âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ ýòîé âåëè÷èíû. 4. Äëÿ çàäàííîãî íàáîðà {xn } âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ íàéòè îöåíêó ïàðàìåòðà θ äëÿ ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ Γ(2, θ). {xn } = {1.11, 0.63, 4.11, 3.03, 1.58, 0.42, 0.37, 0.53, 3.69, 1.29, 2.97, 4.50, 4.57, 1.63, 3.63, 0.98, 0.27, 0.61, 1.15, 3.26, 3.71, 1.3, 2.96, 0.56, 1.08}. Îöåíèòü âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ ýòîé âåëè÷èíû. 4. Äëÿ çàäàííîãî íàáîðà {xn } âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ íàéòè îöåíêó ïàðàìåòðà θ äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Áåðíóëëè Bi(n, θ). {xn }25 1 = {3, 3, 4, 2, 1, 0, 1, 2, 2, 2, 1, 4, 0, 2, 2, 1, 1, 2, 7, 2, 3, 2, 1, 2, 2}. Îöåíèòü âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ ýòîé âåëè÷èíû. 4. Äëÿ çàäàííîãî íàáîðà {xn } âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ íàéòè îöåíêó ïàðàìåòðà θ äëÿ äèñïåðñèè ïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåèÿ Π(θ), {xn }25 1 = {2, 3, 0, 2, 2, 3, 1, 4, 2, 6, 3, 3, 2, 2, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3}. Îöåíèòü âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ ýòîé âåëè÷èíû. 4. Äëÿ çàäàííîãî íàáîðà {xn } âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðà θ äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî P (1, θ), {xn }25 1 = {1.27, 1.2, 1.08, 2.22, 1.13, 1.01, 1.03, 1.05, 1.003, 1.2, 1.09, 1.38, 1.94, 1.09, 1.31, 1.04, 1.05, 1.39, 1.11, 3.7, 9.81, 1.71, 1.18, 1.15, 1.25}. Îöåíèòü âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ ýòîé âåëè÷èíû. 4. Âû÷èñëèòü èíôîðìàöèþ Ôèøåðà äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåèÿ N (θ, σ). 4. Âû÷èñëèòü èíôîðìàöèþ Ôèøåðà äëÿ äèñïåðñèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåèÿ N (µ, θ). 4. Âû÷èñëèòü èíôîðìàöèþ Ôèøåðà äëÿ ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ Γ(λ, θ). 4. Âû÷èñëèòü èíôîðìàöèþ Ôèøåðà äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Áåðíóëëè Bi(n, θ). 4. Âû÷èñëèòü èíôîðìàöèþ Ôèøåðà äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî P (x0 , θ). 4. Âû÷èñëèòü èíôîðìàöèþ Ôèøåðà äëÿ ïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Π(θ). 4. Âû÷èñëèòü èíôîðìàöèþ Ôèøåðà äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Êîøè (0, θ). 4. Ìåòîäîì íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ âû÷èñëèòü îïòèìàëüíóþ îöåíêó ïàðàìåòðà θ äëÿ ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ Γ(λ, θ). ßâëÿåòñÿ ëè ýòà îöåíêà íåñìåùåííîé? 4. Ìåòîäîì íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ âû÷èñëèòü îïòèìàëüíóþ îöåíêó ïàðàìåòðà θ äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Áåðíóëëè Bi(n, θ). ßâëÿåòñÿ ëè ýòà îöåíêà íåñìåùåííîé? 4. Ìåòîäîì íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ âû÷èñëèòü îïòèìàëüíóþ îöåíêó ïàðàìåòðà θ äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî P (x0 , θ). ßâëÿåòñÿ ëè ýòà îöåíêà íåñìåùåííîé? 4. Ìåòîäîì íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ âû÷èñëèòü îïòèìàëüíóþ îöåíêó ïàðàìåòðà θ äëÿ ïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Π(θ). ßâëÿåòñÿ ëè ýòà îöåíêà íåñìåùåííîé? 4. Ìåòîäîì íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ âû÷èñëèòü îïòèìàëüíóþ îöåíêó ïàðàìåòðà θ äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Êîøè (0, θ). ßâëÿåòñÿ ëè ýòà îöåíêà íåñìåùåííîé? 4. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ L(x|θ) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî −Eθ ∂θ2 L(x|θ) = 2 Eθ ∂θ L(x|θ) . 4. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ L(x|θ) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî ∂θ Eθ T (x) = Eθ T (x)∂θ L(x|θ).