Поляризованный шар
реклама
ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ Èç ðàâåíñòâà íóëþ åãî ïåðâîé ïðîèçâîäíîé: 2 dW p mγ =+ 2 =0 dr mr 3 r ìû íåìåäëåííî íàéäåì çíà÷åíèå ðàäèóñà óñòàíîâèâøåãîñÿ, â äàííîì ñëó÷àå ñòàöèîíàðíîãî, äâèæåíèÿ: p2 R= , γm2 êîòîðîå, ðàçóìååòñÿ, òîæäåñòâåííî íàéäåííîìó ðàíåå çíà÷åíèþ. Òåïåðü äëÿ èçó÷åíèÿ óñòîé÷èâîñòè âû÷èñëèì âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè W: d2W 3p2 2mγ = - 3 . dr 2 mr 4 r Íî âû÷èñëèòü ýòó ïðîèçâîäíóþ ìàëî – íàäî â íåå åùå ïîäñòàâèòü òîëüêî ÷òî íàéäåííîå ðåøåíèå: d2W = dr 2 3 p2 Ê p2 ˆ mÁ 2˜ Ë γm ¯ 4 - 2mγ Ê p2 ˆ Á γm2 ˜ Ë ¯ 3 = γ 4m 7 > 0. p6 Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êåïëåðîâñêàÿ êðóãîâàÿ îðáèòà óñòîé÷èâà ïî ðàäèóñó, è Âñåëåííîé íå ãðîçèò óíè÷òîæåíèå (â ðàìêàõ ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèé) â ñìûñëå ñóùåñòâåííûõ èçìåíåíèé ðàäèóñîâ îðáèò. Âìåñòå ñ òåì, â çàäà÷å Êåïëåðà íåò óñòîé÷èâîñòè «ïî óãëó». Èíûìè ñëîâàìè, äâà ñïóòíèêà, çàïóùåííûå èç áëèçêèõ òî÷åê è ñ áëèçêèìè ñêîðîñòÿìè, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçáåãóòñÿ, ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈ 37 ò.å. óäàëÿòñÿ äðóã îò äðóãà, õîòÿ ðàäèóñû èõ îðáèò áóäóò îñòàâàòüñÿ áëèçêèìè äðóã äðóãó âñå âðåìÿ. Çàäà÷à Êåïëåðà èäåàëüíî «ïðèñïîñîáëåíà» äëÿ îòâåòà íà ýòîò âîïðîñ ñ ïîìîùüþ òîëüêî ýëåìåíòàðíûõ ñðåäñòâ.  ñàìîì äåëå, õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî â ýòîé çàäà÷å òðàåêòîðèÿìè ìîãóò áûòü ëèøü êîíè÷åñêèå ñå÷åíèÿ, ò.å. ýëëèïñ, ïàðàáîëà èëè ãèïåðáîëà. Ðàññìîòðèì, íàðÿäó ñ íàéäåííîé êðóãîâîé îðáèòîé, äðóãóþ áëèçêóþ îðáèòó. Íåòðóäíî ñîîáðàçèòü, ÷òî ýòà îðáèòà îêàæåòñÿ ýëëèïòè÷åñêîé. Íî äëÿ ýëëèïòè÷åñêîé îðáèòû, âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå ω2a 3 = γ , ãäå à – áîëüøàÿ ïîëóîñü ýëëèïñà (à â ñëó÷àå êðóãîâîé îðáèòû – åå ðàäèóñ). ßñíî, ÷òî äëÿ íàóãàä âçÿòîé ýëëèïòè÷åñêîé îðáèòû, áëèçêîé ê ðàññìàòðèâàåìîé êðóãîâîé, âåëè÷èíà ïîëóîñè à íå áóäåò ñîâïàäàòü ñ ðàäèóñîì êðóãîâîé îðáèòû, äà è îðáèòàëüíàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü ω â îáùåì ñëó÷àå áóäåò ñëåãêà îòëè÷àòüñÿ îò óãëîâîé ñêîðîñòè ïðè êðóãîâîì äâèæåíèè. Âîò ýòà ðàçíèöà â îðáèòàëüíûõ óãëîâûõ ñêîðîñòÿõ è îïðåäåëÿåò ðàçáåãàíèå ñïóòíèêîâ ïî óãëó. *** Êàêîâà æå ìîðàëü èç âñåãî ñêàçàííîãî? Âî-ïåðâûõ, ñèëû èíåðöèè, â äàííîì ñëó÷àå öåíòðîáåæíûå ñèëû èíåðöèè, íå òàê óæ ñòðàøíû, êàê ìîæåò ïîêàçàòüñÿ íà ïåðâûé âçãëÿä. Èõ ïîòåíöèàëüíûé õàðàêòåð ïîçâîëÿåò íå òîëüêî íàõîäèòü óñòàíîâèâøèåñÿ äâèæåíèÿ, íî è èññëåäîâàòü èõ óñòîé÷èâîñòü. Ýòî, êàê ìû âèäåëè, ïîñèëüíî øêîëüíèêó. Åäèíñòâåííîå, ÷òî íàäî óìåòü, òàê ýòî îòëè÷àòü òå ñëó÷àè, êîãäà ñèñòåìó ïðèíóäèòåëüíî âðàùàþò ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ, îò ñëó÷àåâ, êîãäà îíà âðàùàåòñÿ ñîâåðøåííî ñâîáîäíî. ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈ Ïîëÿðèçîâàííûé øàð – ýòî ïðîñòî Å.ÐÎÌÈØÅÂÑÊÈÉ, À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ Â ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÎÉ ÔÈÇÈÊÅ ÅÑÒÜ ÃËÀÃÎËÛ «ÍÀÌÀÃÍÈ- òèòü» è «íàýëåêòðèçîâàòü» íåêîå òåëî, ò.å. ñäåëàòü åãî èñòî÷íèêîì äëèòåëüíî ñóùåñòâóþùèõ ìàãíèòíîãî è ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëåé. Âåùåñòâà, ó êîòîðûõ ýòè ñâîéñòâà ïðîÿâëÿþòñÿ íàèáîëåå ÿðêî, íàçûâàþò ôåððîìàãíåòèêàìè è ñåãíåòîýëåêòðèêàìè ñîîòâåòñòâåííî. Ìû ñîáèðàåìñÿ ðàññìîòðåòü ñòðóêòóðó ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïîëÿðèçîâàííîãî òåëà, èìåþùåãî íàèáîëåå ñîâåðøåííóþ ôîðìó – ôîðìó øàðà. Íî ïðåæäå âñïîìíèì ñàìûå ïðîñòûå ôàêòû. Âîçüìåì äâå áåñêîíå÷íûå ïàðàëëåëüíûå ïëàñòèíû, èìåþùèå îäèíàêîâûå ïî âåëè÷èíå, íî ïðîòèâîïîëîæíûå ïî çíàêó çàðÿäû (ðèñ.1,à). Ïóñòü íà åäèíèöó ïîâåðõíîñòè ýòèõ ïëàñòèí ïðèõîäÿòñÿ çàðÿäû ± σ0 (ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäîâ). Êàê èçâåñòíî, â òàêîì óñòðîéñòâå – êîíäåíñàòîðå σ0 (çäåñü ε0 ε0 – ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ), à âíå ïëàñòèí ïîëå îòñóòñòâóåò, ò.å. íàïðÿæåííîñòü ðàâíà íóëþ. Ýòîò ôàêò ìîæíî òðàêòîâàòü è òàê: ïðè ïåðåñå÷åíèè ëåâîé ïëàñòèíû íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ óâåëè÷èâàåòñÿ îò σ íóëÿ äî çíà÷åíèÿ + 0 , à ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ïðàâóþ ε0 ïëàñòèíó åå ñêà÷îê âíèç ðàâåí σ - 0 . Èíà÷å, ε0 σ ΔEn = 0 . ε0 Ðàñïîëîæèì òåïåðü ìåæäó ýòèìè ïëàñòèíàìè ñëîé âåùåñòâà, ñïîñîáíîãî ïîëÿðèçîâàòüñÿ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïîä äåéñòâèåì ïåðâîíà÷àëüíîãî ïîëÿ ìîëåêóëû ýòîãî âåùåñòâà ëèáî ïîâåðíóòñÿ â îäíîì íàïðàâëåíèè (êîíå÷íî, âäîëü âåêòîðà E0 ), åñëè îíè çàðàíåå ïðåäñòàâëÿëè ñîáîé ýëåêòðè÷åñêèå äèïîëè, ëèáî «öåíòðû òÿæåñòè» èõ îòðèöàòåëüíûõ è ïîëîæèòåëüíûõ çàðÿäîâ ðàçäâèíóòñÿ ïîä äåéñòâèåì ýòîãî ïîëÿ, ëèáî ïðîèçîéäåò è òî è äðóãîå. Êàê áû òî íè áûëî, â ðåçóëüòàòå íà ïîâåðõíîñòè ñëîÿ âåùåñòâà Ðèñ. 1 – íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ðàâíà E0 = ÊÂÀÍT· 2005/¹3 38 ïîÿâÿòñÿ çàðÿäû ïëîòíîñòüþ ∓ σ¢ , êîòîðûå ñîçäàäóò ïîëå E¢ , ïðîòèâîïîëîæíîå ïî íàïðàâëåíèþ ïîëþ E0 (ðèñ.1,á). Òàêèì îáðàçîì, âíóòðü ïåðâîãî êîíäåíñàòîðà êàê áû âñòàâèσ¢ .  ðåçóëüòàòå ñóììàðëè âòîðîé, è åãî ïîëå ðàâíî E ¢ = ε0 íîå ïîëå âíóòðè ñëîÿ ðàâíî σ0 σ ¢ E = 0, ε0 ε0 ε ãäå ε – äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü âåùåñòâà. ßñíî, ÷òî îíî áóäåò ñëàáåå, ÷åì E0 . Òåïåðü ïðåäñòàâèì, ÷òî âîçíèêøåå ðàñïðåäåëåíèå çàðÿäîâ «çàìîðîæåíî», ò.å. ìîæåò ñóùåñòâîâàòü (äàæå ïîñëå òîãî, êàê èñ÷åçíåò çàðÿä êîíäåíñàòîðà) äîñòàòî÷íî äîëãî – ïî êðàéíåé ìåðå, ïîêà âû ÷èòàåòå ýòó ñòàòüþ. Âûíåì íàýëåêòðèçîâàííûé ñëîé èçêîíäåíñàòîðà – âíóòðè ñëîÿ îñòàíåòñÿ îäíîðîäíîå ïîëå E¢ . À íàëè÷èå ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ ïëîòíîñòüþ ±σ ¢ íà ïîâåðõíîñòÿõ ñëîÿ ìîæíî òðàêòîâàòü åùå è òàê. Âåñü ñëîé çàïîëíåí ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûìè äèïîëÿìè, êàæäûé èç êîòîðûõ èìååò äèïîëüíûé ìîìåíò p1 . (Íàïîìíèì, ÷òî äèïîëüíûé ìîìåíò äèïîëÿ, ò.å. ñèñòåìû äâóõ îäèíàêîâûõ ïî âåëè÷èíå, íî ïðîòèâîïîëîæíûõ ïî çíàêó òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ, íàïðàâëåí îò îòðèöàòåëüíîãî çàðÿäà ê ïîëîæèòåëüíîìó è ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ âåëè÷èíû çàðÿäà íà ðàññòîÿíèå ìåæäó çàðÿäàìè.) Åñëè êîíöåíòðàöèÿ äèïîëåé n, òî â åäèíèöå îáúåìà ñëîÿ ñîäåðæèòñÿ ñóììàðíûé äèïîëüíûé jë ◊ ì jë = 2 ñîâïàäàåò ñ ìîìåíò P = np1 . Åãî ðàçìåðíîñòü ì3 ì ðàçìåðíîñòüþ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòè çàðÿäà, è ýòî íåñëó÷àéíî. Äåéñòâèòåëüíî, âåëè÷èíó ñóììàðíîãî äèïîëüíîãî ìîìåíòà ñëîÿ ìîæíî çàïèñàòü êàê PSd, ãäå Sd – îáúåì ñëîÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äèïîëüíûé ìîìåíò ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ çàðÿäà «ïëàñòèíû» σ¢S íà òîëùèíó ñëîÿ d. Ïðèðàâíèâàÿ ýòè äâà âûðàæåíèÿ, ïîëó÷èì Ec = E0 - E ¢ = PSd = σ¢Sd , îòêóäà P = σ¢ . Ó÷òåì åùå, ÷òî âåêòîð P íàïðàâëåí îò îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííîé ïëàñòèíû ê ïîëîæèòåëüíîé (ò.å. ïðîòèâ âåêòîðà E¢ ). Òîãäà ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ïðè ïåðåõîäå, íàïðèìåð, ÷åðåç ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííóþ ãðàíèöó ñëîÿ åãî çíà÷åíèå óìåíüøàåòñÿ îò Ð äî íóëÿ, òàê êàê âíå ïëàñòèíû íèêàêèõ äèïîëåé íåò. Çíà÷èò, ñìûñë ïîëó÷åííîãî ñîîòíîøåíèÿ P = σ¢ ìîæíî óòî÷íèòü: ðå÷ü èäåò î ñêà÷êå íîðìàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé âåêòîðà P : P + - P - = ΔPn a= – σ¢ . Íî ãäå æå îáåùàííûé øàð? À âîò òåïåðü èç îáñóæäàåìîãî ñëîÿ âûðåæåì øàð ðàäèóñîì a (ðèñ.2). Ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå çàðÿäû «õâîñòîâ» ìîëåêóë-äèïîëåé âíóòðè øàðà ïî-ïðåæíåìó âçàèìíî êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà, à ïðèïîâåðõíîñòíûå, êîòîðûå «òîð÷àò íàðóæó», ñîçäàþò ïîâåðõíîñòíûé çàðÿä ïëîòíîñòüþ σ = σ∞ cos θ , ãäå θ – ïîëÿðíûé óãîë. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ìû âîçüìåì íåñêîëüêî ýëåìåíòàðíûõ ñëîåâ ìîëåêóë îáùåé òîëùèíîé Δy ∼ N Δy1 , òî èõ «õâîñòû» îêàæóòñÿ íà ïîâåðõíîñòíîì êîëüöå øèðèíîé a Δθ = Δy cos θ (ñì. òðåóãîëüíèê ÀÂÑ íà ðèñóíêå 2), îòêóäà N Δy1 Δy = cos θ ∼ . a Δθ aΔθ Ýòî æå êîñèíóñîèäàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ìîæíî îáúÿñíèòü è ïîëó÷åííûì âûøå ñîîòíîøåíèåì ìåæäó ñêà÷êîì íîðìàëü íîé ñîñòàâëÿþùåé âåêòîðà P è ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ ñâÿçàííûõ (òåïåðü íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû) çàðÿäîâ: Pn+ - Pn- = 0 - Pn = - P cos θ = -σ (θ) , è σ (θ) = σ∞ cos θ . Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî êîñèíóñîèäàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå çàðÿäîâ íà ñôåðå âñåãäà ñîçäàåò âíóòðè ñôåðû îäíîðîäíîå ïîëå. Âñïîìíèì õîòÿ áû ïðîâîäÿùèé øàð, ïîìåùåííûé â îäíîðîäíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå E0 . Ïî îïðåäåëåíèþ, ïîëå âíóòðè øàðà ðàâíî íóëþ. Ðèñ. 2 Çíà÷èò, íà ïîâåðõíîñòè âîçíèêàåò òàêîå ðàñïðåäåëåíèå çàðÿäîâ, êîòîðîå ñîçäàåò ñâîå ïîëå - E0 , êîìïåíñèðóþùåå âíåøíåå (ðèñ.3). Ìîæíî íàéòè íîðìàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ En+ ïîëÿ ñíàðóæè ñôåðû (ó åå Ðèñ. 3 âíåøíåé ïîâåðõíîñòè): En+ = σ ( θ) . ε0 (À òàíãåíöèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ, åñòåñòâåííî, ðàâíà íóëþ – èíà÷å ïî ïîâåðõíîñòè ïðîâîäÿùåé ñôåðû ïîòåê áû ýëåêòðè÷åñêèé òîê.) Êñòàòè, â ýòîì ñëó÷àå ëåãêî ïîëó÷èòü ñèëó, äåéñòâóþùóþ íà åäèíèöó ïîâåðõíîñòè ïîëÿðèçîâàííîé ñôåðû. Çàðÿä σ , ðàñïîëîæåííûé â ýòîì ìåñòå, ñîçäàåò ñîáñòâåííîå σ , íàïðàâëåííîå êàê ïî ðàäèóïîëå íàïðÿæåííîñòüþ ± 2ε0 ñó, òàê è ïðîòèâ ðàäèóñà (ïîëå ïëîñêîñòè), çíà÷èò, åãî 1 ñîñòàâëÿþùèå ðàâíû ± En+ . Ñàì æå çàðÿä íàõîäèòñÿ â 2 1 + ïîëå, ðàâíîì + En , ïîýòîìó äåéñòâóþùàÿ íà íåãî ñèëà 2 1 + σ2 . ðàâíà σ ◊ En = 2 2ε0 Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî ïåðåôðàçèðîâàòü è òàê – äàâëåíèå íà ïîâåðõíîñòü ñôåðû (èçíóòðè) ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòè çàðÿäà íà ïîëóñóììó íîðìàëüíûõ âíóòðåííåé è âíåøíåé ñîñòàâëÿþùèõ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ: E+ + 0 σ n , èëè â îáùåì 2 ñëó÷àå (åñëè ïîëå Enâíóòðè íå ðàâíî íóëþ): En+ + En. Ýòîò ôàêò 2 íàì ñêîðî ïðèãîäèòñÿ. Íî âåðíåìñÿ ê íàøåìó ïîëÿðèçîâàííîìó äèýëåêòðè÷åñêîìó øàðó. Ìû óæå çíàåì, ÷òî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå Ei âíóòσ Ðèñ. 4 ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ðè íåãî îäíîðîäíî. Çíà÷èò, åãî íàïðÿæåííîñòü â ëþáîé òî÷êå òàêàÿ æå, êàê, íàïðèìåð, â öåíòðå. À åå ëåãêî íàéòè. Äåéñòâèòåëüíî, êàæäîå êîëüöî íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû ïëîùàäüþ 2πa sin θ ◊ adθ (ðèñ.4) èìååò çàðÿä σ (θ) ◊ 2πa sin θ ◊ ◊ adθ , êîòîðûé â öåíòðå (íà ðàññòîÿíèè à) ñîçäàåò (ïî çàêîíó Êóëîíà) ïîëå íàïðÿæåííîñòüþ dEx = dEθ cos θ = - σ ( θ) ◊ 2πa sin θ ◊ adθ 4πε0a 2 cos θ . (Òóò ìû íå çàáûëè ñïðîåêòèðîâàòü âñå ýëåìåíòàðíûå ïîëÿ íà îñü õ, ïîýòîìó è ïîÿâèëñÿ cos θ â êîíöå âûðàæåíèÿ.) Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ âíóòðè áóäåò ñóììîé âêëàäîâ îò âñåõ ýëåìåíòàðíûõ êîëåö: π Ei = - P cos θ ◊ 2πa sin θ ◊ adθ cos θ = 4πε0a2 θ=0 Ú = P 2ε0 π Ú θ =0 cos2 θ ◊ d cos θ = π P cos3 θ P =. 2ε0 3 θ = 0 3ε0 À ÷òîáû íàéòè âíåøíåå ïîëå, âñïîìíèì èçâåñòíûé ìûñëåííûé ýêñïåðèìåíò. Ïóñòü èìååòñÿ äâà øàðà, âëîæåííûõ äðóã â äðóãà è îáëàäàþùèõ ðàâíûìè çàðÿäàìè ïðîòèâîïîëîæíûõ çíàêîâ, ò.å. ±q . Åñòåñòâåííî, ñóììàðíûé çàðÿä ýòèõ øàðîâ ðàâåí íóëþ, è íèêàêîãî ïîëÿ ïîêà ÷òî íåò. Íî òåïåðü äàâàéòå ðàçäâèíåì øàðû â íàïðàâëåíèè îñè õ òàê, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó èõ öåíòðàìè ñòàíåò ïîðÿäêà ðàçìåðà ìîëåêóëû l.  öåíòðå âîçíèêíåò äèïîëü ñ ìîìåíòîì pe = ql , à íà ïîâåðõíîñòè «âûëåçóò» çàðÿäû ïëîòíîñòüþ ±σ (ðèñ.5,à). Ïðè ýòîì òàêîå óñòðîéñòâî îñòàíåòñÿ ïî÷òè øàðîì. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ðàäèóñ øàðà âçÿòü, íàïðèìåð, ðàâíûì 1 “ì = 10 -2 ì , òî ðàçìåð ìîëåêóë, èçìåðÿåìûé àíãñòðåìàìè ( 1 A = 10 -10 ì ), â ìèëëèîí ðàç ìåíüøå, è íè îäèí ôàéí-ìåõàíèê íå çàìåòèò, Òåïåðü ó íàñ åñòü âñå, ÷òîáû ïîíÿòü, ÷òó ïðîèçîéäåò ñ ïîëÿðèçîâàííûì äèýëåêòðè÷åñêèì øàðîì. Íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ âíåøíåãî ïîëÿ ðàâíà (ñì. ðèñ.4) 2 p cos θ 2 P En+ = e cos θ , = 3 ε0 4πε0a 3 à âíóòðåííåãî – P En- = - cos θ . ε0 Òàíãåíöèàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå âíóòðåííåãî è âíåøíåãî ïîëåé îäèíàêîâû (ñâîéñòâî ïîòåíöèàëüíîñòè â ýëåêòðîñòàòèêå): P Eτ+ = Eτ- = Ei sin θ = sin θ . 3ε0 Ñëåäîâàòåëüíî, íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû, äåéñòâóþùåé íà åäèíèöó ïîâåðõíîñòè øàðà, ðàâíà fn = σ (θ) ÷òî øàð äåôîðìèðîâàí. Êîíå÷íî, ïîëå îáðàçîâàâøåãîñÿ «äèïîëÿ» âíóòðè øàðà ïî-ïðåæíåìó ðàâíî íóëþ, òàê ÷òî ýòîò äèïîëü – ôèêöèÿ, íî îí ïîìîæåò íàéòè ïîëå ïîâåðõíîñòíûõ çàðÿäîâ âíå øàðà. Ðàññìîòðèì ðèñóíîê 5,á. Ýëåêòðè÷åñêèå ïîëÿ íà ïîâåðõq íîñòè øàðà îò ôèêòèâíûõ çàðÿäîâ ±q ðàâíû E + = 4πε0a2 (ñ÷èòàåì, ÷òî ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä ðàñïîëîæåí ñòðîãî â q öåíòðå êîîðäèíàò) è E - = . Òàê êàê ýòè 2 4πε0 (a + l cos θ) äâà âåêòîðà ëåæàò ïî÷òè íà îäíîé ïðÿìîé (âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî l a ), ñîñòàâëÿþùóþ âíåøíåãî äèïîëüíîãî ïîëÿ íàéäåì ïðîñòî: Ê ˆ Á ˜ Ê 1 ˆ q 1 1 1 Á1 ˜ = = Á 2 En+ ª 2˜ 2 2 4πε0 Ë a (a + l cos θ) ¯ 4πε0a Á Ê1 + l cos θˆ ˜ Á ËÁ ¯˜ ˜¯ Ë a 2 l Êl ˆ 1 + 2 cos θ + Á cos θ˜ Ëa ¯ 2ql cos θ q a ª = , ãäå ql = pe . 2 4πε0 a 3 4πε0 a2 l Ê ˆ 1 cos + θ ÁË ˜¯ a En+ + EnP2 cos2 θ = , 2 2 3ε0 à òàíãåíöèàëüíàÿ – P2 sin θ cos θ . 3ε0 Ñîîòâåòñòâåííî, õ-êîìïîíåíòà ñèëû (íà åäèíèöó ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè øàðà) áóäåò ðàâíà fτ = σ (θ) Eτ = fx = fn cos θ - fτ sin θ = Ê cos2 θ ˆ P2 - sin 2 θ˜ . cos θ Á 3ε0 Ë 2 ¯ ×òî æå ïîëó÷èëîñü? Âûõîäèò, ÷òî â ïðèïîëÿðíîé îáëàñòè (ïðè ìàëûõ θ ) ýòà ñèëà ïîëîæèòåëüíà, à â ýêâàòîðèàëüíîé – îòðèöàòåëüíà! Âèäíî, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå çíà÷åíèå θ* ïîëÿðíîãî óãëà, ïðè êîòîðîì ýòà ñèëà îáðàùàåòñÿ â íîëü: sin 2 θ* = Ðèñ. 5 39 ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈ 1 cos2 θ* , tg θ* = , θ* ª 35∞ . 2 2  íàïðàâëåíèè ïîëÿðíîé îñè ( θ = 0 ) ñèëû ñòðåìÿòñÿ ðàñòÿíóòü øàð, à â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè – ñæàòü (ðèñ.6). Ðàçóìååòñÿ, åñëè ìû ïðîñóììèðóåì âñå ñèëû (ïðîèíòåãðèðóåì ïî ïîâåðõíîñòè), ïîëó÷èì ñèëó ïðèòÿæåíèÿ – ýòî íå óäèâèòåëüíî, åñëè âñïîìíèòü îá ýêâèâàëåíòíîì äèïîëå pe , çàðÿäû êîòîðîãî, êîíå÷íî æå, ïðèòÿãèâàþò äðóã äðóãà. Íî ÷òîáû ðåøèòü çàäà÷ó î äåôîðìàöèè íàøåãî ïîëÿðèçîâàííîãî øàðà, Ðèñ. 6 íóæíî èçó÷èòü òåîðèþ óïðóãîñòè. À ìîæíî ëè ðåøèòü àíàëîãè÷íóþ çàäà÷ó äëÿ øàðà, âûðåçàííîãî èç êóñêà ìàãíèòà? Âñå ýòî âïîëíå âîçìîæíî, åñëè âû ïîñòóïèòå â ÌÔÒÈ èëè ÌÃÓ. ×åãî âàì è æåëàåì.
