Совершенствование методологических средств в

Секция 12 «РАЗВИТИЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА НА ОСНОВЕ СОВРЕМЕННОЙ СИСТЕМЫ
ИНТЕРАКТИВНОГО ОБУЧЕНИЯ В УСЛОВИЯХ МОДЕРНИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ»,
Круглый стол 6 «Проблемы и перспективы социогуманитарной подготовки современного инженера».
Совершенствование методологических средств в
преподавании логики в технических вузах
Ивлев В.Ю.
МГТУ «МАМИ»
К.Д.Ушинский считал, что логика должна стоять в преддверии всех наук, поэтому
научить студента логически мыслить — главное назначение обучения в высшей школе,
особенно технической. Логическое мышление не является врожденным. Систематическое
изучение науки логики является одним из наиболее эффективных средств развития
логического, абстрактного мышления.
При выборе методов обучения мы учитываем специфику методов мышления
студентов технических специальностей, у которых хорошо развиты мыслительные,
логические, теоретико-аналитические способности, что способствует выработке четкого,
демистифицированного отражения реальности. Поэтому мы стараемся придерживаться
четкого пути «от простого к сложному», что позволяет от анализа отдельных проблем
переходить к обобщению и выяснению общих тенденций и причинных связей. Учитывая,
что главным источником информации в технических науках выступает графический
документ (чертеж, эскиз, схема, диаграмма), а не текст, как в гуманитарных науках, мы
привлекаем графические материалы, схемы, диаграммы, таблицы, изображения на
лекциях и семинарских занятиях и отмечаем, что их использование серьезно оживляет
восприятие темы, повышает интерес студентов.
Для успешного освоения предмета необходима конкретная демонстрация
возможностей логики в решении прикладных задач. Как, например, анализируя историю
проблемы модальностей в античности и современной науке, мы можем получить
абсолютно понятную картину решения задачи средствами современной логики? Для
выявления логических свойств модальных понятий Демокрита обратимся к анализу
свидетельства Суды, который является наиболее известным и признанным комментатором
идей Демокрита.
Представляется, что Демокрит делит все существующее на существующее по
необходимости и просто существующее, Иначе говоря, все существующее Демокрит
делит, если Суда верно передает его мысли, на (1) существующее по необходимости и (2)
существующее не по необходимости.
Существующее по необходимости существует во всех случаях и всегда. Из
примера необходимости “человек - живое существо” (а также из примера “бог нетленен”,
который, хотя и не принадлежит Демокриту, но соответствует его пониманию
необходимости) видно, что под существованием по необходимости Демокрит понимает
наличие свойств у предмета, иначе говоря, в качестве необходимых можно
характеризовать свойства предметов некоторого непустого класса. Например, свойство
смертности является необходимым для людей, а свойство глубокомыслия - не
необходимым. Исходя из этого, под существующим не по необходимости, по Демокриту,
следует понимать те свойства предметов некоторого класса (опять же непустого), которые
принадлежат лишь части предметов этого класса, но не всем предметам. То есть мы
сталкиваемся со своеобразным пониманием существования не по необходимости: это то,
что иногда существует, а иногда не существует, то, что некоторым предметам присуще, а
некоторым - нет, то, что для одних предметов является существующим, а для других нет.
Чем такое понимание отличается от современного понимания случайности? (Мы
здесь ограничиваемся рассмотрением лишь логического аспекта этих категорий и не
рассматриваем их полного философского содержания). В современной логике выделяют
следующие виды случайности (физической, или фактической):
(1) случайно то, что существует не по необходимости;
Материалы международной научно-технической конференции ААИ «Автомобиле- и
тракторостроение в России: приоритеты развития и подготовка кадров», посвященной 145-летию
МГТУ «МАМИ».
444
Секция 12 «РАЗВИТИЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА НА ОСНОВЕ СОВРЕМЕННОЙ СИСТЕМЫ
ИНТЕРАКТИВНОГО ОБУЧЕНИЯ В УСЛОВИЯХ МОДЕРНИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ»,
Круглый стол 6 «Проблемы и перспективы социогуманитарной подготовки современного инженера».
∇Α⇔Α∧¬ Α
(2) случайно то, что может существовать, но может и не существовать:
∇Α⇔◊Α∧◊¬Α
(3) случайно то, что не существует, но может и существовать:
∇Α⇔¬Α∧◊Α
Понятие существующего не по необходимости у Демокрита является фактически
оригинальным аналогом первого понятия случайности, а точнее говоря, оригинальной
конкретизацией этого понятия.
Все случайно существующее он делит на три класса, если отвлекаться от
временной характеристики присущности:
(1) присущее не всем, но ограниченному большинству предметов;
(2) присуще не всем, а меньшинству предметов;
(3) присуще не всем, а половине предметов.
Эти типы случайности называются, по Демокриту, возможностями, они же и
будут предметом анализа в послудующей части параграфа.
Для выражения логических свойств понятий возможности и необходимости
целесообразно использовать средства современной логики.
Язык
Символы:
1) x1, x2, x3, ... - предметные переменные;
2) а1, а2, а3, ... - предметные константы;
3) P k , Q k , P 1k , Q 1k , (k≥1) k-местные предикатные символы;
4) ¬, ∧, ∨, ⊃ - знаки отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и импликации,
соответственно читаются “неверно, что”, “и”, “или”, “если..., то...”;
∀ - квантар общности (обычный);
∃ - квантор существования (обычный);
∃б - квантор существования “для большинства”;
∃м - квантор существования “для меньшинства”;
∃п - квантор существования “для половины”.
Определение терма:
k
1) если А - k-местный предикатный символ, а t1, ..., tn - термы, то Аk(t1, ...,tn) формула;
2) если А и В - формулы, а x - индивидная переменная, то
¬ Α, (Α ∧ Β), (Α ∨ Β), (Α ⊃ Β), ∀xΑ, ∃xΑ, ∃бxΑ, ∃мxΑ, ∃пxΑ - формулы;
3) ничто иное формулой не является.
Семантика
Семантика включает в себя функцию ϕD, где D - непустая конечная предметная
область (область интерпретации). Функция ϕD (индекс далее будем опускать) следующим
образом приписывает значения индивидным константам и предикатным символам:
если α - индивидная константа, то ϕ(α)∈D;
если Аk - k-местный предикатный символ, то ϕ(Αk)⊆Dk, где Dk - декартова kстепень множества D, то есть функция ϕ приписывает каждому k-местному символу
множество k-ток предметов, находящихся в отношении Аk.
Семантика включает в себя также множество функций S1, S2, ... распределения
значений по свободным переменным формулы из той же области D. Если β - свободная
переменная, то Si(β)∈D.
Введем функцию  D , которая приписывает значения индивидным константам,
предикатным символам, а также сложным выражениям (индекс D далее будем опускать):
α = ϕ(α), где α - индивидная константа;
Материалы международной научно-технической конференции ААИ «Автомобиле- и
445
тракторостроение в России: приоритеты развития и подготовка кадров», посвященной 145-летию
МГТУ «МАМИ».
Секция 12 «РАЗВИТИЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА НА ОСНОВЕ СОВРЕМЕННОЙ СИСТЕМЫ
ИНТЕРАКТИВНОГО ОБУЧЕНИЯ В УСЛОВИЯХ МОДЕРНИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ»,
Круглый стол 6 «Проблемы и перспективы социогуманитарной подготовки современного инженера».
Αk = ϕ(Αk), где Αk - k-местный предикатный символ;
вместо Si (Α), где А - формула, будем писать ΑS, тогда
k
A (t1, ...,tk)S = t, е. и т. е. (если и только если) (t1S,...,tkS)∈ΑkS; (t и f соответственно значения “истина” и “ложь”);
¬ ΑS = t, е. и т. е. ΑS = f;
Α ∧ ΒS = t, е. и т. е. ΑS = ΒS = t;
Α ∨ ΒS = t, е. и т. е. ΑS = t или ΒS = t;
Α ⊃ ΒS = t, е. и т. е. ΑS = f или ΒS = t;
∀xA(x)S = t, е. и т. е. A(x)S = t
для любого распределения S, приписывающего всем свободным переменным
формулы A(x) то же значение, что и S, и, кроме того, приписывающего некоторое
значение переменной x.
∃xA(x)S = t, е. и т. е. A(x)S = t
для некоторого распределения S, приписывающего каждой свободной переменной
формулы A(x) то же значение, что и S, и, кроме того, приписывающего некоторое
значение переменной x.
∃бxA(x)S = t, если и только если существуют непустые множества D1 и D2 такие,
что D1⊂D, D2⊂D, D1∪D2 = D, D1∩D2 = ∅ и мощность D1 больше D2, и
∀xA(x)S = t, ∃xA(x)S = f;
∃мA(x)S = t, если и только если существуют непустые множества D1, D2 такие, что
D1⊂D, D2⊂D, D1∪D2 = D, D1∩D2 = ∅ и мощность D1 меньше мощности D2, и
∀xA(x)S = t, ∃xA(x)S = f;
∃пxA(x)S = t, если и только если существуют непустые множества D1 и D2 такие,
что D1⊂D, D2⊂D, D1∪D2 = D, D1∩D2 = ∅ и мощность D1 равно мощности D2, и
∀xA(x)S = t, ∃xA(x)D = f.
Определения
Формула логически выполнима, если и только если существуют функции ϕ D и
D
S , при которых эта формула истинна. Формула общезначима, если и только если она
истинна при любых ϕ D и SD.
Схемы общезначимых формул:
б
п
1. ¬∃ xA(x) ⊃ ∃ xA(x) ∨ ∃мxA(x) ∨ ∀xA(x);
2. ¬∃пxA(x) ⊃ ∃бxA(x) ∨ ∃мxA(x) ∨ ∀xA(x);
3. ¬∃мxA(x) ⊃ ∃пxA(x) ∨ ∃бxA(x) ∨ ∀xA(x);
4. ∃бA(x) ⊃ ∃xA(x);
5. ∃мxA(x) ⊃ ∃xA(x);
6. ∃пA(x) ⊃ ∃xA(x);
7. ∃бxA(x) ∧ ∃бxB(x) ⊃ ∃x(A(x) ∧ B(x));
8. ∃пxA(x) ∧ ∃бxB(x) ⊃ ∃x(A(x) ∧ B(x));
9. ∃пxA(x) ⊃ ∃пxA(x);
10. ∃пxA(x) ⊃ ∃xA(x);
11. ∃бxA(x) ⊃ ∃x¬A(x);
12.∃мxA(x) ⊃ ∃x¬A(x);
13. ∃мxA(x) ⊃ ∃бx¬A(x);
14. ∃бxA(x) ⊃ ∃мx¬A(x).
Применение средств символической логики позволяет яснее представить
отношения между категориями необходимости, случайности и возможности, однако
“природу” этих категорий следует выявлять на содержательном уровне.
Материалы международной научно-технической конференции ААИ «Автомобиле- и
тракторостроение в России: приоритеты развития и подготовка кадров», посвященной 145-летию
МГТУ «МАМИ».
446