точки, лежащие на сфере, ребра – отрезки больших
реклама
ÀÐÈÔÌÅÒÈÊÀ òî÷êè, ëåæàùèå íà ñôåðå, ðåáðà îòðåçêè áîëüøèõ îêðóæíîñòåé. Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ðåáðà ãðàôà íå ïåðåñåêàþòñÿ ìåæäó ñîáîé (íå ñ÷èòàÿ, ðàçóìååòñÿ, îáùèõ âåðøèí). Ìíîæåñòâî ðåáåð ãðàôà G îáîçíà÷èì ÷åðåç E. Íàì èíòåðåñíû áóäóò òîëüêî òå ãðàôû, êîòîðûå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñèñòåìû ïðóæèíîê, ïî ïðóæèíêå íà êàæäîå ðåáðî. Êàæäàÿ ïðóæèíêà äîëæíà áûòü îáÿçàòåëüíî ëèáî ñæàòà, ëèáî ðàñòÿíóòà (ò.å. ïðîèçâîäèòü íåíóëåâóþ ñèëó). Ãëàâíîå óñëîâèå ñèñòåìà ïðóæèíîê äîëæíà íàõîäèòüñÿ â ðàâíîâåñèè. Äàäèì ñòðîãîå îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëåíèå 2. Ñòðåññîì ãðàôà íà ñôåðå G íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ f, ñîïîñòàâëÿþùàÿ êàæäîìó ðåáðó íåêîòîðîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî òàê, ÷òî äëÿ ëþáîãî ∀i = 1,…, n ∑ f (i, j ) uij (i, j )∈E = 0. Çäåñü uij åäèíè÷íûé âåêòîð, êàñàþùèéñÿ ðåáðà (i, j ) â òî÷êå i è íàïðàâëåííûé âäîëü ðåáðà îò âåðøèíû. Ýòà ôîðìóëà âûðàæàåò ðàâíîâåñèå ñèë, äåéñòâóþùèõ íà âåðøèíó i. Ïðåäñòàâëÿòü ñåáå ýòî íàäî òàê. Ó íàñ åñòü óçêèé øàðîâîé ñëîé (ïðîñòðàíñòâî ìåæäó äâóìÿ ñôåðàìè), â êîòîðîì æèâåò ïðóæèííàÿ ñèñòåìà. Èç-çà âíåøíèõ îãðàíè÷åíèé ïðóæèíêè íå ìîãóò ñëåçòü ñî ñôåðû, íî ïî ñôåðå ìîãóò äâèãàòüñÿ ñâîáîäíî ïîä äåéñòâèåì ñèë íàòÿæåíèÿ ïðóæèíîê. f (i, j ) ñèëà íàòÿæåíèÿ ïðóæèíêè, ñîîòâåòñòâóþùåé ðåáðó (i, j ) . Âåêòîðû ñèë, ñîçäàâàåìûõ ïðóæèíêîé íà åå êîíöàõ, íå ïàðàëëåëüíû, íî ðàâíû ïî âåëè÷èíå è äåéñòâóþò âäîëü ðåáðà. Åñëè ñòðåññ ïîëîæèòåëüíûé, òî ñèëû ñîíàïðàâëåíû âåêòîðàì uij . Íà ðèñóíêàõ ìû îòìå÷àåì ðåáðà ãðàôà ñ ïîëîæèòåëüíûì ñòðåññîì (ðàñòÿíóòàÿ ïðóæèíà) êðàñíûì öâåòîì, à ñ îòðèöàòåëüíûì ñòðåññîì (ñæàòàÿ ïðóæèíà) ñèíèì (êàê íà ðèñóíêå 7). Íàñ èíòåðåñóþò òîëüêî âñþäó íåíóëåâûå ñòðåññû (ò.å. âñå ïðóæèíêè äîëæíû áûòü íàïðÿæåíû). Êðîìå òîãî, áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî â ãðàôå ñî ñòðåññîì íåò èçîëèðîâàííûõ âåðøèí è íåò âåðøèí, ê êîòîðûì ïðèìûÐèñ.7. Ñæàòàÿ è ðàñòÿíóòàÿ êàåò ðîâíî äâà ðåáðà. ïðóæèíû Ñîâñåì íå âñå ãðàôû íà ñôåðå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñèñòåìû ïðóæèíîê. Íàïðèìåð, åñëè ãðàô ñîñòîèò èç îäíîãî-åäèíñòâåííîãî ðåáðà. Èëè ãðàô èç òðåõ ðåáåð, îáðàçóþùèõ òðåóãîëüíèê. Èòàê, ïóñòü G ãðàô íà ñôåðå, à f åãî âñþäó ïîëîæèòåëüíûé ñòðåññ (ò.å. âñå ïðóæèíêè ðàñòÿíóòû). Ïîêàæåì, ÷òî ýòîìó îáúåêòó ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå òðåõìåðíûé âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê P (G, f ) (îò àíãëèéñêîãî ñëîâà «polytope»). 01-19.p65 11 ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊΠi Ðàññìîòðèì âíà÷àëå îòäåëüíî îäíó âåðøèíó i ãðàôà G. Ïóñòü 1,…, k ñèëû, ñîçäàâàåìûå ïðóæèíêàìè â âåðøèíå i. Ýòî âåêòîðû, èäóùèå âäîëü ðåáåð ãðàôà, ïðèìûêàþùèõ ê i, äëèíû êîòîðûõ ðàâíû çíà÷åíèþ ñòðåññà. Ïîñêîëüêó ñòðåññ âñþäó ïîëîæèòåëüíûé, îíè âñå íàïðàâëåíû âäîëü ðåáðà îò âåðøèíû. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íóìåðàöèÿ ðåáåð ñîîòâåòñòâóåò ïîðÿäêó îáõîäà ðåáåð ãðàôà ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. i Äëÿ âåðøèíû i ðàññìîòðèì êàñàòåëüíóþ ê ñôåðå ïëîñêîñòü.  ýòîé ïëîñêîñòè ïîñòðîèì âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê, ðóêîâîäñòâóÿñü ñëåäóþùèì ïðàâèëîì. Âûáåðåì òî÷êó â ïëîñêîñòè è áóäåì îòêëàäûâàòü îäèí çà äðóãèì âåêòîðû 1,… , k , ïîâåðíóòûå íà óãîë π 2 ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå (ðèñ.8). Ïîñêîëüêó ñóììà âñåõ ýòèõ âåêòîðîâ ðàâíà íóëþ (ýòî óñëîâèå èç îïðåäåëåíèÿ ñòðåññà), ëîìàíàÿ çàìêíåòñÿ. Íå ïðàâäà ëè, çíàêî- Ðèñ.8. Ãðàô ñ ïîëîæèòåëüíûì ìàÿ êàðòèíêà? Ñèëû, ñòðåññîì ïîðîæäàåò âûïóêëûé ïðèëîæåííûå ê âåðøè- ìíîãîãðàííèê íå, ñîñòàâëÿþò áóêåò âåêòîðîâ, ñóììà êîòîðûõ ðàâíà íóëþ, è èç ýòèõ âåêòîðîâ ìû ñòðîèì âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê. Ýòî áóäåò ãðàíü ìíîãîãðàííèêà P (G, f ) . i Àíàëîãè÷íî ïîñòóïèì ñî âñåìè îñòàëüíûìè âåðøèíàìè ãðàôà. Çàìåòèì, ÷òî ó ìíîãîóãîëüíèêîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîñåäíèì âåðøèíàì ãðàôà, åñòü ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíû îäèíàêîâîé äëèíû. Ïîýòîìó èç òàêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ, ïåðåíîñÿ èõ ïàðàëëåëüíî, ìîæíî ñîáðàòü âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê P (G, f ) . Îí îïðåäåëÿåòñÿ òàêîé êîíñòðóêöèåé ñ òî÷íîñòüþ äî ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà. È íàîáîðîò, ïî âûïóêëîìó ìíîãîãðàííèêó ìîæíî ïîñòðîèòü ãðàô ñ ïîëîæèòåëüíûì ñòðåññîì (ðèñ.9). Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì äëÿ êàæäîé ãðàíè ìíîãîãðàííè- Ðèñ.9. Âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê ïîðîæäàåò ãðàô ñ ïîëîæèòåëüíûì ñòðåññîì êà åäèíè÷íûé âåêòîð, åé îðòîãîíàëüíûé (è ñìîòðÿùèé íàðóæó). Åñëè îòëîæèòü âñå ïîëó÷åííûå âåêòîðû îò íà÷àëà êîîðäèíàò O, òî èõ êîíöû ïîïàäóò íà ñôåðó S. Ýòî áóäóò âåðøèíû ãðàôà. Ñîåäèíèì èõ, ñîãëàñíî êîìáèíàòîðèêå ìíîãîãðàííèêà, îòðåçêàìè áîëüøèõ îêðóæíîñòåé (à èìåííî, äâå òî÷êè íóæíî ñîåäèíÿòü, åñëè 29.07.09, 17:28 ÊÂÀÍT 2009/¹4 ñîîòâåòñòâóþùèå ãðàíè ìíîãîãðàííèêà èìåþò îáùåå ðåáðî). Òàê ìû ïîëó÷èì ðåáðà ãðàôà. Çíà÷åíèå ñòðåññà íà ðåáðå ïðè ýòîì ïîëàãàåì ðàâíûì äëèíå ñîîòâåòñòâóþùåãî åìó ðåáðà ìíîãîãðàííèêà.  ýòîé ñõåìå ìû èìååì äåëî ñ êîìáèíàòîðíîé äâîéñòâåííîñòüþ: âåðøèíàì ãðàôà ñîîòâåòñòâóþò ãðàíè ìíîãîãðàííèêà, âåðøèíàì ìíîãîãðàííèêà îáëàñòè ðàçáèåíèÿ ñôåðû, ðåáðàì ãðàôà ðåáðà ìíîãîãðàííèêà, ïðè÷åì äâå âåðøèíû ãðàôà ñîåäèíåíû ðåáðîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå ãðàíè äåëÿò ðåáðî. Ïðèìåð 8. Ðàñïîëîæèì íà ñôåðå òðè áîëüøèå îêðóæíîñòè, ëåæàùèå ïîä óãëîì π 2 äðóã ê äðóãó. Èõ îáúåäèíåíèå ïîðîæäàåò ãðàô ñ 6 âåðøèíàìè è 8 ðåáðàìè. Ôóíêöèÿ, ñòàâÿùàÿ â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ðåáðó ÷èñëî 1, î÷åâèäíî ÿâëÿåòñÿ ñòðåññîì. Óáåäèòåñü, ÷òî â íàøåé ñõåìå òàêîìó ãðàôó ñî ñòðåññîì ñîîòâåòñòâóåò êóá. Çàäà÷à 6. À êàêîé ìíîãîãðàííèê ïîëó÷èòñÿ, åñëè âçÿòü íå òðè, à òîëüêî äâå áîëüøèå îêðóæíîñòè? Ïðèìåð 9. Åäèíè÷íûé îòðåçîê òîæå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òðåõìåðíûé ìíîãîãðàííèê. Ïîïðîáóåì ñîîáðàçèòü, êàêîé ãðàô íà ñôåðå åìó ñîîòâåòñòâóåò. Ñîãëàñíî êîìáèíàòîðíîé äâîéñòâåííîñòè, ó íåãî íå äîëæíî áûòü âåðøèí (âåäü ó îòðåçêà íåò ãðàíåé) è äîëæíî áûòü âñåãî îäíî ðåáðî. Ïîýòîìó íàì ïðèõîäèòñÿ ðàñøèðèòü ïîíÿòèå ãðàôà íà ñôåðå. Îïðåäåëåíèå 3. Îäíî çàìêíóòîå ðåáðî, ñîâïàäàþùåå ñ áîëüøîé îêðóæíîñòüþ, òîæå áóäåì ñ÷èòàòü ãðàôîì íà ñôåðå. Çíà÷åíèå ñòðåññà íà ýòîì ðåáðå ìîæåò áûòü ëþáûì. Òàêîé ãðàô (ñî ñòðåññîì) áóäåì íàçûâàòü ýêçîòè÷åñêèì. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ýêçîòè÷åñêîãî ãðàôà ÿñåí: ýòî çàìêíóòàÿ ïðóæèíà, îïîÿñûâàþùàÿ ñôåðó ïî ýêâàòîðó. Äàâàéòå íàó÷èìñÿ ñêëàäûâàòü ãðàôû ñ ïîëîæèòåëüíûìè ñòðåññàìè. Ïóñòü (G1, f1 ) è (G2, f2 ) äâà ãðàôà ñ ïîëîæèòåëüíûìè ñòðåññàìè. Çàäàäèì èõ ñóììó àëãîðèòìè÷åñêè (ðèñ.10). i Ïîìåñòèì íà ñôåðó îáà ãðàôà è â êà÷åñòâå ñóììû (G1, f1 ) + (G2, f2 ) âîçüìåì ðåçóëüòàò íàëîæåíèÿ ýòèõ íàäî ïðèñâîèòü çíà÷åíèå ñòðåññà f1 . Àíàëîãè÷íî, åñëè ðåáðî ñóììû åñòü ÷àñòü ðåáðà ãðàôà G2 , òî åìó íàäî ïðèñâîèòü çíà÷åíèå ñòðåññà f2 . Åñëè æå ðåáðî îäíîâðåìåííî ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ ðåáåð îáîèõ ãðàôîâ, òî çíà÷åíèÿ ñòðåññîâ íàäî ñëîæèòü. Íóëåâûì ýëåìåíòîì îòíîñèòåëüíî ýòîé îïåðàöèè ÿâëÿåòñÿ ïóñòîé ãðàô (ãðàô áåç ðåáåð è áåç âåðøèí). Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî â ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì ãðàô ñ ïîëîæèòåëüíûì ñòðåññîì. Òåîðåìà. Ñëîæåíèå ïî Ìèíêîâñêîìó âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ ñîîòâåòñòâóåò ñëîæåíèþ èõ ãðàôîâ ñî ñòðåññàìè. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè åñòü äâà ãðàôà ñî ñòðåññàìè (G1, f1 ) è (G2, f2 ) , òî P ((G1, f1 ) + (G2 , f2 )) = P (G1, f1 ) + P (G2 , f2 ) . Ìû îñòàâëÿåì ýòó òåîðåìó áåç äîêàçàòåëüñòâà. Îòìåòèì âïðî÷åì, ÷òî ïðèìåðû 6 è 7, â ñðàâíåíèè ñ ïðèìåðàìè 8 è 9, õîðîøî åå èëëþñòðèðóþò. Âû÷èòàíèå ïî Ìèíêîâñêîìó Èíòåðåñíî, êóäà ìíå òåïåðü èäòè? Íà ýòîò âîïðîñ îòâåòèòü áûëî íåòðóäíî: ÷åðåç ëåñ âåëà òîëüêî îäíà äîðîãà, è îáå ñòðåëêè óêàçûâàëè íà íåå. Äîéäó äî ðàçâèëêè, ïîäóìàëà Àëèñà, òîãäà è ðåøó. Âåäü òàì èì ïðèäåòñÿ óêàçûâàòü â ðàçíûå ñòîðîíû. Íàïðàñíî îíà íà ýòî íàäåÿëàñü! Îíà âñå øëà è øëà ïî äîðîãå, íî è íà ðàçâèëêàõ ñòðåëêè íåèçìåííî óêàçûâàëè â îäíó ñòîðîíó. Òåïåðü íàøà öåëü ïðèäàòü ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë âûðàæåíèþ «ðàçíîñòü Ìèíêîâñêîãî äâóõ âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ». Äâóìåðíûé ñëó÷àé íàñ ïîäãîòîâèë ê òîìó, ÷òî íàñ æäåò íå÷òî íåâûïóêëîå è ñ ñàìîïåðåñå÷åíèÿìè. Ñíà÷àëà ðàçáåðåìñÿ, êàê ñêëàäûâàòü ãðàôû ñ ïðîèçâîëüíûìè, íå îáÿçàòåëüíî ïîëîæèòåëüíûìè ñòðåññàìè. Êàê è äëÿ Àëèñû, ó íàñ ñåé÷àñ íåò âûáîðà: âñå ñòðåëêè âåäóò â îäíî è òî æå ìåñòî. Îïðåäåëåíèå 4. Ïóñòü (G1, f1 ) , (G2, f2 ) äâà ãðàôà ñ íåíóëåâûìè ñòðåññàìè. Çàäàäèì èõ ñóììó àëãîðèòìè÷åñêè (ðèñ.11): Ðèñ. 10 ãðàôîâ. Ãîâîðÿ òî÷íåå, íóæíî âçÿòü âñå âåðøèíû ãðàôîâ (G1, f1 ) è (G2, f2 ) è âñå íîâûå âåðøèíû, ïîëó÷èâøèåñÿ êàê ïåðåñå÷åíèÿ ðåáåð (G1, f1 ) è (G2, f2 ) . Ðåáðà ïîëó÷åííîãî ãðàôà êóñî÷êè ðåáåð (G1, f1 ) è (G2, f2 ) . i Çíà÷åíèå ñòðåññà (G1, f1 ) + (G2, f2 ) íà ðåáðå íàñëåäóåòñÿ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè ðåáðî ãðàôà (G1, f1 ) + (G2, f2 ) åñòü ÷àñòü ðåáðà ãðàôà G1 , òî åìó 01-19.p65 12 Ðèñ. 11 29.07.09, 17:28 ÀÐÈÔÌÅÒÈÊÀ i Êàê è ïðåæäå, íóæíî âçÿòü ðåçóëüòàò íàëîæåíèÿ ýòèõ ãðàôîâ. i Êàê è ïðåæäå, çíà÷åíèå ñòðåññà íà ðåáðàõ íàñëåäóåòñÿ îò (G1, f1 ) è (G2, f2 ) . i Îäíàêî íà ýòîì ïðîöåäóðà ñëîæåíèÿ íå çàêàí÷èâàåòñÿ. Ñëåäóþùèé øàã óäàëåíèå ëèøíèõ ðåáåð è âåðøèí. Ìîæåò ñëó÷èòüñÿ òàê, ÷òî ñòðåññ ñóììû (G1, f1 ) + (G2, f2 ) íà íåêîòîðîì ðåáðå îêàæåòñÿ ðàâíûì íóëþ. Òîãäà òàêîå ðåáðî íàäî óäàëèòü. i Ïîñëå óäàëåíèÿ âñåõ ðåáåð ñ íóëåâûì ñòðåññîì ìîæåò ñëó÷èòüñÿ òàê, ÷òî ê îäíîé âåðøèíå ïðèìûêàþò ðîâíî äâà ðåáðà (ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýòè ðåáðà îáðàçóþò óãîë π , è ñòðåññû íà ýòèõ ðåáðàõ ðàâíû). Òîãäà ýòó âåðøèíó íàäî óäàëèòü, à äâà ðåáðà îáúåäèíèòü â îäíî. Âåðøèíû, ê êîòîðûì íå ïðèìûêàþò ðåáðà, òîæå íóæíî óäàëèòü.  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì íåêîòîðûé ãðàô íà ñôåðå ñ íåíóëåâûì ñòðåññîì. Òåïåðü ÿñíî, êàê âû÷èòàòü ãðàôû ñî ñòðåññàìè. Îáðàòíûì ãðàôîì ê ãðàôó (G, f ) , î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ ãðàô (G, − f ) . (Óáåäèòåñü, ÷òî (G, f ) + (G, − f ) ïóñòîé ãðàô!) Ïîýòîìó âçÿòü ðàçíîñòü ãðàôîâ (G1, f1 ) è (G2, f2 ) îçíà÷àåò âçÿòü ñóììó ãðàôîâ (G1, f1 ) è (G2, − f2 ) . Çàäà÷à 7. Ïîêàæèòå, ÷òî ëþáîé ïðóæèííûé ãðàô íà ñôåðå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðàçíîñòè äâóõ ãðàôîâ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ñòðåññàìè. Òåïåðü ïîïðîáóåì ïî ãðàôó ñ âñþäó íåíóëåâûì (íî òåïåðü íå îáÿçàòåëüíî ïîëîæèòåëüíûì) ñòðåññîì (G, f ) ïîñòðîèòü ãåîìåòðè÷åñêèé îáúåêò P (G, f ) . Àëãîðèòì â òî÷íîñòè ïîâòîðÿåò àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ P (G, f ) äëÿ ãðàôà ñ ïîëîæèòåëüíûì ñòðåññîì. Îïÿòü, êàê è ó Àëèñû, ó íàñ íåò äðóãîãî âûáîðà. i Ïóñòü 1,…, k ñèëû, ñîçäàâàåìûå ïðóæèíêàìè â âåðøèíå i ãðàôà (G, f ) . Òåïåðü ýòî âåêòîðû, èäóùèå ëèáî â íàïðàâëåíèè ðåáðà, ëèáî â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè, â çàâèñèìîñòè îò çíàêà ñòðåññà. Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî èõ íóìåðàöèÿ ñîîòâåòñòâóåò ïîðÿäêó îáõîäà ðåáåð ãðàôà ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Ïîñêîëüêó ñòðåññ ìîæåò áûòü çíàêîïåðåìåííûé, ñàìè âåêòîðû f1,…, fk ìîãóò èäòè ñîâñåì â äðóãîì ïîðÿäêå. i Êàê è ïðåæäå, äëÿ âåðøèíû i ðàññìîòðèì êàñàòåëüíóþ ê ñôåðå S ïëîñêîñòü.  ýòîé ïëîñêîñòè ïîñòðîèì çàìêíóòóþ ëîìàíóþ, ðóêîâîäñòâóÿñü ñòàðûì ïðàâèëîì. Âûáåðåì òî÷êó â ïëîñêîñòè è áóäåì îòêëàäûâàòü îäèí çà äðóãèì âåêòîðû f1,…, fk , ïîâåðíóòûå íà óãîë π 2 ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Çäåñü âàæíî, ÷òî ìû áåðåì âåêòîðû ñîãëàñíî ïîðÿäêó ðåáåð, à íå ïîðÿäêó âåêòîðîâ. Ïîëåçíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòà ïðîöåäóðà â òî÷íîñòè îïèñûâàåò ïîñòðîåíèå ðàçíîñòè Ìèíêîâñêîãî âûïóêëûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ. i Àíàëîãè÷íî ïîñòóïèì ñî âñåìè îñòàëüíûìè âåðøèíàìè ãðàôà. Äëÿ êàæäîé âåðøèíû ìû ïîëó÷èì íåâûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê (çàìêíóòóþ ïëîñêóþ ëîìàíóþ, âîçìîæíî ñ ñàìîïåðåñå÷åíèÿìè) i Âàæíî, ÷òî äëÿ ýòèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ îñòàåòñÿ âûïîëíåííûì ãëàâíîå ñâîéñòâî, ïîçâîëÿþùåå ñîáðàòü èõ âîåäèíî, ó ìíîãîóãîëüíèêîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ 01-19.p65 13 ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊΠ! ñîñåäíèì âåðøèíàì ãðàôà, åñòü ïàðàëëåëüíûå îòðåçêè îäèíàêîâîé äëèíû. Ïîýòîìó èç òàêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ, ïåðåíîñÿ èõ ïàðàëëåëüíî, ìîæíî ñîáðàòü íåêèé îáúåêò P (G, f ) , îïðåäåëÿåìûé òàêîé êîíñòðóêöèåé ñ òî÷íîñòüþ äî ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà. P (G, f ) íàçûâàåòñÿ âèðòóàëüíûì ìíîãîãðàííèêîì. Òåïåðü ÿñíî, ÷òî íóæíî ñäåëàòü äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðàçíîñòè Ìèíêîâñêîãî äâóõ ìíîãîãðàííèêîâ K è L: i Ïðåâðàòèòü ìíîãîãðàííèêè â ïðóæèííûå ãðàôû. i Âçÿòü ðàçíîñòü ïðóæèííûõ ãðàôîâ. i Ïîñòðîèòü âèðòóàëüíûé ìíîãîãðàííèê P (G, f ) , ñîîòâåòñòâóþùèé ðàçíîñòè ãðàôîâ. Äàäèì ïîÿñíåíèå äëÿ ïðîäâèíóòûõ ÷èòàòåëåé. Äåëî â òîì, ÷òî ïðè ñóììèðîâàíèè ïî Ìèíêîâñêîìó ïàðàëëåëüíûå ãðàíè ìíîãîãðàííèêîâ ñêëàäûâàþòñÿ. Ïîýòîìó åñòåñòâåííî îæèäàòü, ÷òî ãðàíÿìè ðàçíîñòè Ìèíêîâñêîãî K L äîëæíû ñëóæèòü ðàçíîñòè Ìèíêîâñêîãî ãðàíåé ìíîãîãðàííèêîâ K è L. Èìåííî ýòî ÿâëåíèå çàêîäèðîâàíî â êîíñòðóêöèþ âèðòóàëüíîãî ìíîãîãðàííèêà. Ïðèìåð 10. Íà ðèñóíêå 12,à) ïðåäñòàâëåí ãðàô ñî ñòðåññîì. Ãðàô òðåõâàëåíòåí, ñëåäîâàòåëüíî, âèðòóàëüíûé ìíîãîãðàííèê (G, f ) (ðèñ.12,á) ñêëååí èç òðåóãîëüíèêîâ. à) á) Ðèñ.12. Ïðèìåð ãðàôà ñî çíàêîïåðåìåííûì ñòðåññîì è ñîîòâåòñòâóþùèé åìó âèðòóàëüíûé ìíîãîãðàííèê Ëèòåðàòóðà 1. À.Ïóõëèêîâ, À.Õîâàíñêèé. Êîíå÷íî-àääèòèâíûå ìåðû âèðòóàëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ. (Àëãåáðà è àíàëèç, ò.4 (1992), âûï. 2, ñ. 161185.) 2. Càéò, ïîñâÿùåííûé ãèïåðáîëè÷åñêèì âèðòóàëüíûì ìíîãîãðàííèêàì: club.pdmi.ras.ru/~panina/hyperbolicpolytopes.html 29.07.09, 17:29 " ÊÂÀÍT 2009/¹4 Ðàññêàçû î ñîâðåìåííîé ìåõàíèêå (ïðîäîëæåíèå) Ã.רÐÍÛÉ Èññëåäîâàíèå âóëêàíè÷åñêèõ èçâåðæåíèé ìåòîäàìè ìåõàíèêè Èçó÷åíèå âóëêàíîâ è èõ àêòèâíîñòè âñåãäà áûëî äåëîì ñïåöèàëèñòîâ âóëêàíîëîãîâ, ãåîëîãîâ è ïðåäñòàâèòåëåé äðóãèõ íàóê. Ìåõàíèêà äîëãîå âðåìÿ íå âìåøèâàëàñü â ýòîò âîïðîñ. Áûëè îòäåëüíûå ïîïûòêè ðàññìîòðåíèÿ ãåéçåðîâ è äðóãèõ ïîäîáíûõ îáðàçîâàíèé. Íî ñîáñòâåííî âóëêàíàìè ó÷åíûå-ìåõàíèêè çàíÿëèñü ëèøü â ïîñëåäíåå âðåìÿ, è ñðàçó æå ïðîèçîøåë ïðîðûâ â ýòîé îáëàñòè. Äëÿ èçó÷åíèÿ è ïðîãíîçèðîâàíèÿ äåÿòåëüíîñòè âóëêàíîâ áûëè ïðèìåíåíû òðàäèöèîííûå äëÿ ìåõàíèêè ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Íà íûíåøíåì ýòàïå èññëåäîâàíèé óæå ïîëó÷åíû èíòåðåñíûå è îáíàäåæèâàþùèå ðåçóëüòàòû. Ïîñòðîåíû ìîäåëè ðàçëè÷íûõ òèïîâ èçâåðæåíèé, ìåòîäàìè ìåõàíèêè îïèñàí ðÿä ïðîøëûõ èçâåðæåíèé (â õîðîøåì ñîãëàñèè ñ èìåþùèìèñÿ äàííûìè).  íàøè äíè, áëàãîäàðÿ ðàáîòå ó÷åíûõ èç Èíñòèòóòà ìåõàíèêè ÌÃÓ, ïîÿâèëàñü âîçìîæíîñòü çàäíèì ÷èñëîì ïðîâåñòè ðàñ÷åò ïðîèñõîäèâøèõ â ñâîå âðåìÿ èçâåðæåíèé, î êîòîðûõ áûëî ìíîãîå èçâåñòíî, íî, êàê îêàçàëîñü, ìíîãîå ñòàíîâèòñÿ èçâåñòíûì ëèøü ñåé÷àñ. Âóëêàíè÷åñêîå èçâåðæåíèå îäèí èç íàèáîëåå ðàçðóøèòåëüíûõ âèäîâ ïðèðîäíûõ êàòàñòðîô. Äîñòàòî÷íî ñêàçàòü, ÷òî çà ïîñëåäíèå òðè âåêà â ðåçóëüòàòå âóëêàíè÷åñêèõ èçâåðæåíèé ïîãèáëè áîëåå 220 òûñÿ÷ ÷åëîâåê. Äëÿ íàäåæíîãî ïðîãíîçà ïîñëåäñòâèé âóëêàíè÷åñêèõ èçâåðæåíèé íåîáõîäèìî íàó÷èòüñÿ ïðàâèëüíî èíòåðïðåòèðîâàòü ðàçëè÷íûå ñèãíàëû, ïîëó÷àåìûå îò âóëêàíà, ìèêðîçåìëåòðÿñåíèÿ, äåôîðìàöèè ïîñòðîåê, ðîñò òåìïåðàòóðû â òåðìàëüíûõ èñòî÷íèêàõ è ñîñòàâ âûäåëÿåìûõ ãàçîâ. Ñâÿçàòü ýòè íåïðÿìûå ðàçðîçíåííûå íàáëþäåíèÿ ïîä ñèëó ëèøü ìàòåìàòè÷åñêèì ìîäåëÿì, îñíîâûâàþùèìñÿ íà ôóíäàìåíòàëüíûõ çàêîíàõ ìåõàíèêè. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ïîäðîáíåå, ÷òî ïðîèçîøëî â 79 ãîäó íàøåé ýðû âî âðåìÿ èçâåðæåíèÿ âóëêàíà Âåçóâèé, êîãäà ïîãèáëè ãîðîäà Ïîìïåè è Ãåðêóëàíóì. Êàê èçâåñòíî èç ìíîãî÷ëåííûõ èñòî÷íèêîâ, ïîñëå êðàòêîâðåìåííîãî âñïëåñêà èçâåðæåíèå áûñòðî ïîøëî íà óáûëü. Æèòåëè Ïîìïåé, õîòÿ è èçðÿäíî íàïóãàííûå, ðåøèëè, ÷òî âóëêàí óñïîêîèëñÿ, è íå ñîáèðàëèñü ïîêèäàòü ñâîè äîìà. Âíåçàïíî èçâåðæåíèå ñíîâà óñèëèëîñü, è íà ãîðîä îáðóøèëèñü ïîòîêè ðàñêàëåííûõ êàìíåé. Ïðàêòè÷åñêè ìãíîâåííî ãîðîä áûë ïîãðåáåí ïîä èõ ìíîãîìåòðîâûì ñëîåì. Îáúÿñíèòü ýòî íå ìîã íèêòî, à ìåõàíèêè îáúÿñíèëè. 01-19.p65 14 Ñîçäàëè ìîäåëü, ðàñ÷åòû ïî êîòîðîé âîññòàíîâèëè õðîíîëîãèþ ñîáûòèé. Íà ðèñóíêå 1 ïðèâåäåí ãðàôèê ðàññ÷èòàííîé çàâèñèìîñòè èíòåíñèâíîñòè èçâåðæåíèÿ îò âðåìåíè. Îêàçûâàåòñÿ, âîçëå Âåçóâèÿ â çåìëå èìååòñÿ äîñòàòî÷íî ìîùíûé âîäîíîñíûé ñëîé. È âîò, Ðèñ.1. Èíòåíñèâíîñòü èçâåðæåíèÿ Âåçóâèÿ (79 ã.) êîãäà ïðîèçîøåë ñïàä èçâåðæåíèÿ, â ìåñòå êîíòàêòà ñ ýòèì ñëîåì äàâëåíèå âíóòðè êàíàëà âóëêàíà ñèëüíî óïàëî, è òóäà óñòðåìèëàñü âîäà, êîòîðàÿ ïðàêòè÷åñêè ìãíîâåííî ïðåâðàòèëàñü â ïàð è ïðîèçâåëà âûñòðåë, âûáðîñèâøèé ãðîìàäíîå ÷èñëî êàìíåé, ïåïëà è òîìó ïîäîáíîå.  íàñòîÿùåå âðåìÿ ìåòîäû ìåõàíèêè àêòèâíî èñïîëüçóþòñÿ äëÿ àíàëèçà è ïðîãíîçà âóëêàíè÷åñêèõ èçâåðæåíèé.  Èíñòèòóòå ìåõàíèêè ÌÃÓ ñîçäàíû ìîäåëè òå÷åíèÿ ìàãìû (ðàñïëàâëåííîé ëàâû) â êàíàëå âóëêàíà äëÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ èçâåðæåíèé. Ýòè ìîäåëè ïîçâîëÿþò ñâÿçàòü íàáëþäàåìûå íà ïîâåðõíîñòè âåëè÷èíû, íàïðèìåð ðàñõîä ìàãìû è åå òåìïåðàòóðó, ñ ïðîöåññàìè, ïðîèñõîäÿùèìè â çåìíîé êîðå. Äëÿ ðÿäà âóëêàíîâ èõ èñòîðèÿ èçâåñòíà, îïèñàíà ìåòîäàìè ìåõàíèêè, è, òàêèì îáðàçîì, ñòàíîâèòñÿ âîçìîæåíûì ïðîãíîç. Íàïðèìåð, âçÿâ ïàðàìåòðû èçâåðæåíèÿ äëÿ Âåçóâèÿ ïðèáëèçèòåëüíî òå æå, ÷òî áûëè â íà÷àëå íàøåé ýðû, ó÷åíûå ðàññ÷èòàëè ëàâîâûå ïîòîêè, êîòîðûå ìîãóò âîçíèêíóòü ñåãîäíÿ. Îíè óñòàíîâèëè, â ÷àñòíîñòè, ÷òî íà ãîðîä Íåàïîëü â òå÷åíèå 15 ìèíóò ìîãóò îáðóøèòüñÿ îãðîìíûå ïîòîêè ðàñêàëåííîé ìàãìû. Íàñåëåíèå è ìåñòíûå îðãàíû âëàñòè ïðèçàäóìàëèñü, è ñåé÷àñ ðàçðàáàòûâàþòñÿ ïëàíû ýâàêóàöèè íàñåëåíèÿ íà ýòîò ñëó÷àé. 29.07.09, 17:29 ÐÀÑÑÊÀÇÛ Î ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÎÉ Ìåõàíè÷åñêàÿ ìîäåëü îáðàçîâàíèÿ ñóïåðêîíòèíåíòîâ Åùå îäèí, äåéñòâèòåëüíî îøåëîìëÿþùèé, ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ ìåõàíèêè â îãðîìíîì ïî ìàñøòàáó ïðîìåæóòêå âðåìåíè îò íà÷àëà âîçíèêíîâåíèÿ Çåìëè è äî íàøèõ äíåé ýòî îáðàçîâàíèå êîíòèíåíòîâ. Èçâåñòíî, ÷òî êîíòèíåíòû è ñîñòàâëÿþùèå èõ ïëèòû äâèæóòñÿ. È âîò, ïî äàííûì ãåîëîãîâ, çà ïîñëåäíèå òðè ñ ïîëîâèíîé ìèëëèàðäà ëåò ýòè ïëèòû íåñêîëüêî ðàç ñîáèðàëèñü â Ðèñ.2. Ñóïåðêîíòèíåíòû â ãåîëîãè÷åñêîé èñòîðèè Çåìëè íåêèé îáùèé ìàòåðèê (ðèñ.2). Ãåîëîãè óìåþò îïðåäåëÿòü âîçðàñò ïîðîä. Íà íûíå ñóùåñòâóþùèõ êîíòèíåíòàõ åñòü îáëàñòè, ãäå ïîðîäû î÷åíü ñòàðûå ïî òðè ìèëëèàðäà ëåò è áîëüøå, à â äðóãèõ ìåñòàõ îáíàðóæåíû òàê íàçûâàåìûå þâåíèëüíûå ïîðîäû, ò.å. ïîðîäû, âîçíèêøèå íàìíîãî (íà ìèëëèàðä, íà äâà ìèëëèàðäà ëåò) ïîçæå. Íî ïî÷åìó âñå ýòî ïðîèñõîäèò íåÿñíî. Äëÿ îáúÿñíåíèÿ áûëà ïðåäëîæåíà êîíâåêöèîííàÿ òåîðèÿ äèíàìèêè çåìíîé êîðû. Âíóòðåííåå ñòðîåíèå Çåìëè âûáèðàëîñü î÷åíü ïðîñòûì â öåíòðå íàõîäèòñÿ ãîðÿ÷åå ðàñïëàâëåííîå ÿäðî, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ èñòî÷íèêîì òåïëà, äàëüøå ðàñïîëàãàåòñÿ ìàíòèÿ, êîòîðàÿ ðàçäåëåíà íà äâà ñëîÿ âåðõíèé è íèæíèé (ýòî äàííûå ñåéñìîëîãèè). Ñëîè òîëñòûå, âåðõíèé ñëîé èìååò òîëùèíó ïðèìåðíî 650 êèëîìåòðîâ. Ýòè ñëîè îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà ïî ñâîåìó âíóòðåííåìó ñòðîåíèþ. Ãðàíèöà ìåæäó ñëîÿìè ýòî ïîâåðõíîñòü ôàçîâîãî ïåðåõîäà âåùåñòâà ìàíòèè ñ ïîãëîùåíèåì òåïëà, ò.å. ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ýòó ïîâåðõíîñòü îäíè õèìè÷åñêèå ñâÿçè ïðåîáðàçóþòñÿ â äðóãèå è ýòî ñîïðîâîæäàåòñÿ ïîãëîùåíèåì òåïëà. Òàê âîò, áûëà ïîñòðîåíà òàêàÿ óïðîùåííàÿ ìîäåëü: åñòü ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íàÿ Çåìëÿ, çàòåì åé äàþò íåáîëüøîå âîçìóùåíèå, îòêëîíåíèå îò ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîé ôîðìû, 01-19.p65 15 ÌÅÕÀÍÈÊÅ # è îòñëåæèâàþò, ÷òî ïðîèñõîäèò ïðè äàëüíåéøåé ýâîëþöèè. Ïðè ðåøåíèè ýòîé çàäà÷è èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ðàçâèâàþùèåñÿ (óâåëè÷èâàþùèåñÿ) âîçìóùåíèÿ ïðèâîäÿò ê ãëîáàëüíûì äâèæåíèÿì ìàíòèè Çåìëè. Âîçíèêàþò òàê íàçûâàåìûå òåïëîâûå êîíâåêòèâíûå ïîòîêè, è â äâóõñëîéíîé ìàíòèè íàáëþäàåòñÿ èíòåðåñíåéøåå ÿâëåíèå.  íåêîòîðûå ïåðèîäû, äîñòàòî÷íî êîðîòêèå ïî ñðàâíåíèþ ñ îáùèì âðåìåíåì ýâîëþöèè, âåðõíèé, áîëåå õîëîäíûé, ñëîé ìàíòèè ïî÷òè öåëèêîì ñëèâàåòñÿ îäíîé ãèãàíòñêîé ñòðóåé âãëóáü Çåìëè, îáâîëàêèâàÿ åå ÿäðî. Âçàìåí ýòîãî ïðîèñõîäèò âñïëûòèå íà ïîâåðõíîñòü ÷àñòè âåùåñòâà íèæíåãî, áîëåå ãîðÿ÷åãî, ñëîÿ. Âñïëûòèå ïðîèñõîäèò òðåìÿ-ïÿòüþ ìåíåå ìîùíûìè ñòðóÿìè, ÷åì ñòðóÿ, èäóùàÿ âíèç. Âñïëûâàþùèé ìàòåðèàë è îáðàçóåò íîâûå, þâåíèëüíûå ïîðîäû. Çàìåòèì, ÷òî íàèáîëåå íåîæèäàííûì îòêðûòèåì îêàçàëàñü òàê íàçûâàåìàÿ «ãëîáàëüíàÿ ñàìîîðãàíèçàöèÿ» òå÷åíèÿ, êîòîðàÿ çàêëþ÷àåòñÿ â êîëëåêòèâíîì, ò.å. îäíîé ìîùíîé ñòðóåé, ïîãðóæåíèè âåùåñòâà. Ñëåäñòâèåì ýòîãî è ÿâëÿåòñÿ ñáîðêà (íàä ìåñòîì ïîãðóæåíèÿ) ñóïåðêîíòèíåíòà èç îòäåëüíûõ êîíòèíåíòîâ, à òàêæå ïîâûøåííàÿ ñêîðîñòü ïîãðóæåíèÿ âåùåñòâà. Îïèñûâàåìàÿ òåîðèåé êàðòèíà íå òîëüêî êà÷åñòâåííî ñîãëàñóåòñÿ ñ ãåîëîãè÷åñêîé èñòîðèåé íàøåé ïëàíåòû, íî è ïîçâîëÿåò äåëàòü íåêîòîðûå âûâîäû (àâòîðû ðàáîòû ìîñêîâñêèå ó÷åíûå-ìåõàíèêè). Ïîñêîëüêó òåîðèÿ èìååò íåêîòîðóþ ñâîáîäó (ñâîáîäíûå ïàðàìåòðû, êîòîðûå ìîæíî çàäàâàòü), âðåìåííîé ìàñøòàá ïîäãîíÿåòñÿ ïîä ìàñøòàá äåéñòâèòåëüíûõ íîâûõ îáðàçîâàíèé, êîòîðûå ãåîëîãè îïðåäåëÿþò ïî ðàñïàäó ðàäèîàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ. Íà ðèñóíêå 3 ïðèâåäåí Ðèñ.3. Ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ìàíòèè 29.07.09, 17:29 $ ÊÂÀÍT 2009/¹4 Ðèñ.4. Ãåîëîãè÷åñêèå äàííûå ïî âîçðàñòó þâåíèëüíûõ ïîðîä ãðàôèê ðàññ÷èòàííîé ñðåäíåé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ìàíòèè. Îí èìååò äîâîëüíî îñòðûå ïèêè, êîãäà ñêîðîñòü ñèëüíî âîçðàñòàåò, ïðîäîëæèòåëüíîñòü ïèêîâ íåâåëèêà ïî ñðàâíåíèþ ñ îáùèì âðåìåíåì ýâîëþöèè. Âî âðåìÿ ýòèõ ïèêîâ è ïðîèñõîäèò èíòåíñèâíîå îáðàçîâàíèå ïîðîä. Ïîëó÷åííàÿ êàðòèíà õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ èìåþùèìèñÿ ãåîëîãè÷åñêèìè äàííûìè ïî âîçðàñòó þâåíèëüíûõ ïîðîä (ðèñ.4). Ïîñëå òîãî êàê ïåðèîäû ïîäîãíàíû, ïîëó÷àåòñÿ î÷åíü ïîõîæàÿ êàðòèíà. Ìåõàíèêà è àðêòè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ  íàøåé ñòðàíå ðàçðàáîòàíû (÷åãî íåò áîëüøå íèãäå â ìèðå) ãëóáîêîâîäíûå, äî 6 êèëîìåòðîâ ãëóáèíû ïîãðóæåíèÿ, ñàìîõîäíûå èëè óïðàâëÿåìûå èçâíå ñàìîäâèæóùèåñÿ àïïàðàòû îáèòàåìûé «Ìèð» è íåîáèòàåìûé «Êëàâåñèí». Îíè ïðèíöèïèàëüíî îòëè÷àþòñÿ îò èìåþùèõñÿ â ðÿäå ñòðàí òàê íàçûâàåìûõ áàòèñêàôîâ, êîòîðûå ïðîñòî îïóñêàþò íà êàíàòå, âíèçó îíè ñáðàñûâàþò áàëëàñò è âñïëûâàþò. Íî 6 êèëîìåòðîâ ãëóáèíû ýòî äàâëåíèå 600 àòìîñôåð, êîòîðîå äîëæíî âûäåðæàòü äîñòàòî÷íî ñëîæíîå óñòðîéñòâî àïïàðàòà. È çäåñü íóæíà ìåõàíèêà ìàòåðèàëîâ, ìåõàíèêà èõ ïîâåäåíèÿ â òàêèõ ñëîæíûõ óñëîâèÿõ. Íîâîñòü, êîòîðàÿ â ãàçåòàõ îñâåùàëàñü î÷åíü øèðîêî, íåäàâíÿÿ ýêñïåäèöèÿ ê Ñåâåðíîìó ïîëþñó íà àòîìíûõ ëåäîêîëàõ «Ðîññèÿ» è «Àêàäåìèê Ôåäîðîâ» è óñòàíîâêà Ðîññèéñêîãî ôëàãà íà äíî Ñåâåðíîãî Ëåäîâèòîãî îêåàíà. Íà àòîìíûõ ëåäîêîëàõ åñòü àòîìíûå ðåàêòîðû, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïî÷òè ÷èñòî ìåõàíè÷åñêèå óñòðîéñòâà. Âîçìîæíîñòü ñîçäàíèÿ ïðî÷íûõ ñóäîâ ýòî òîæå ìåõàíèêà. Íî åùå ðàíüøå íà Ñåâåðíîì ïîëþñå ïîáûâàëè ïîäâîäíûå ëîäêè, êîòîðûå âñïëûëè òî÷íî â òî÷êå ïîëþñà. Êòî èõ òóäà ïðèâåë? Ðàäèî? Îíî íå ðàáîòàåò ïîä âîäîé. Ýõîëîêàöèÿ? Õîòÿ îíà è ðàáîòàåò, íî íà î÷åíü ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ. À ïðèâåëè ëîäêè èíåðöèàëüíûå ãèðîñêîïè÷åñêèå ñèñòåìû íàâèãàöèè ïîðàçèòåëüíîé òî÷íîñòè åùå îäíî ÷óäî, âûäàþùååñÿ äîñòèæåíèå ìåõàíèêè è ïðîøëîãî è ñîâñåì íåäàâíåãî âðåìåíè. Íàâèãàöèÿ ýòî íàóêà è èñêóññòâî, íàõîäÿñü íà ïåðåìåùàþùåìñÿ àïïàðàòå (ìàøèíå, ìîðñêîì èëè âîç- 01-19.p65 16 äóøíîì ñóäíå, êîñìè÷åñêîì èëè âîçäóøíîì êîðàáëå), îïðåäåëÿòü ìåñòîïîëîæåíèå è îðèåíòàöèþ ýòîãî àïïàðàòà.  ñòàðèíó ìîðÿêè äëÿ íàâèãàöèè èñïîëüçîâàëè êîìïàñ, Ñîëíöå è çâåçäíîå íåáî. Ïîòîì íà ïîìîùü ïðèøëî ðàäèî. Íîâàÿ ýïîõà íà÷àëàñü ñ ïîÿâëåíèåì èíåðöèàëüíûõ ñèñòåì íàâèãàöèè, êîòîðûå íå èñïîëüçóþò íèêàêèõ âíåøíèõ ñèãíàëîâ èëè íàáëþäåíèé. Ñàìûå ïåðâûå òàêèå ñèñòåìû, äî ñèõ ïîð îñòàþùèåñÿ òðàäèöèîííûìè, ãèðîñêîïè÷åñêèå.  èõ îñíîâå ëåæèò ÷èñòî ìåõàíè÷åñêîå óñòðîéñòâî ãèðîñêîï. (Ïðîñòåéøåå ïðåäñòàâëåíèå î ãèðîñêîïå äàåò áûñòðî âðàùàþùèéñÿ âîë÷îê, êîòîðûé, âîïðåêè ñèëå òÿæåñòè, íå ïàäàåò, è ïðè ýòîì åãî îñü âðàùåíèÿ ïðåöåññèðóåò, ò.å. ìåäëåííî îïèñûâàåò êîíóñ.) Ãèðîñêîïè÷åñêèå ñèñòåìû íàâèãàöèè ïðîøëè êîëîññàëüíóþ ýâîëþöèþ çà ïîñëåäíèå äåñÿòèëåòèÿ è îñîáåííî â íàøè äíè.  íàøåé ñòðàíå ñîçäàíû ãèðîñêîïè÷åñêèå ñèñòåìû íàâèãàöèè ïîðàçèòåëüíîé òî÷íîñòè. Íà ýòè ïðèáîðû èìååòñÿ îãðîìíûé ñïðîñ âî âñåì ìèðå, êàæäûå äâà ãîäà ïðîâîäÿòñÿ ïîñâÿùåííûå èì ìåæäóíàðîäíûå êîíôåðåíöèè. Õîòÿ ýòè ïðèáîðû è ýëåêòðîííûå, íî ïðèíöèï èõ äåéñòâèÿ è ïðèíöèï èïîëüçîâàíèÿ ÷èñòî ìåõàíè÷åñêèå. Êñòàòè ñêàçàòü, àêóñòè÷åñêàÿ ëîêàöèÿ è ñâÿçü òîæå äåëî ìåõàíèêîâ. Âåäü àêóñòèêà íàóêà, îòïî÷êîâàâøàÿñÿ îò ìåõàíèêè, êàê è äàâíî âûäåëèâøàÿñÿ äèíàìè÷åñêàÿ ìåòåîðîëîãèÿ (è çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü îêåàíîëîãèè).  ñîâîêóïíîñòè ýòè äâå íàóêè èçó÷àþò äâèæåíèÿ â âîçäóøíîé îáîëî÷êå Çåìëè àòìîñôåðå è äâèæåíèÿ â ìèðîâîì îêåàíå, à òàêæå èõ âçàèìîäåéñòâèå. Ñðåäè ðÿäà íîâåéøèõ äîñòèæåíèé ýòèõ íàóê ìîæíî îòìåòèòü òåîðèþ «ðèíãîâ» Ãîëüôñòðèìà è òåîðèþ òîðîøåíèÿ ëüäîâ â Àðêòèêå. Ïîñëåäíÿÿ ñðîäíè òåîðèè ñòîëêíîâåíèÿ ìàòåðèêîâûõ ïëèò, íî, êîíå÷íî, îòíîñèòñÿ ê ÿâëåíèÿì ãîðàçäî ìåíüøåãî ìàñøòàáà ïî ïðîñòðàíñòâó è âðåìåíè è ê áîëåå ïðîñòîé ñðåäå. Ïðîèçâîäñòâî ýëåêòðîýíåðãèè íà àòîìíûõ ýëåêòðîñòàíöèÿõ Õîðîøèì ïðèìåðîì èñïîëüçîâàíèÿ ìåõàíèêè â òåõíèêå ìîæåò ñëóæèòü àòîìíàÿ ýíåðãåòèêà îäíà èç áûñòðî ðàçâèâøèõñÿ â ïîñëåäíèå äåñÿòèëåòèÿ òåõíîëîãèé. Íûíå àòîìíûå ðåàêòîðû èñïîëüçóþòñÿ íå òîëüêî â ýíåðãåòèêå, íî è äëÿ òðàíñïîðòà. Ïðèíöèïèàëüíàÿ ñõåìà àòîìíîé ýëåêòðîñòàíöèè ÀÝÑ èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå 5. Ïîìèìî àòîìíîãî ðåàêòîðà îíà âêëþ÷àåò äâóõêîíòóðíóþ ñèñòåìó òåïëîíîñèòåëÿ (ïåðâûé êîíòóð ðàäèîàêòèâíûé, îí ðàñïîëàãàåòñÿ âíóòðè êîðïóñà ðåàêòîðà, à âòîðîé, óæå ñ ìàëîé ðàäèîàêòèâíîñòüþ, íàõîäèòñÿ âíå ðåàêòîðíîãî êîðïóñà), ïàðîâûå òóðáèíû, êîòîðûå âðàùàþò ýëåêòðîãåíåðàòîðû, ñàìè ýëåêòðîãåíåðàòîðû, ñèñòåìû ïåðåäà÷è ýëåêòðîýíåðãèè, ñèñòåìó îõëàæäåíèÿ, íàñîñû. Ñåðäöåì ÀÝÑ ÿâëÿåòñÿ àòîìíûé ðåàêòîð ñîâìåñòíîå äåòèùå ôèçèêîâ è ìåõàíèêîâ. Òîïëèâî (óðàí) çàãðóæàþò â ðåàêòîð â âèäå òåïëîâûäåëÿþùèõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé òðóáî÷êè, íàáèòûå ýòèì òîïëèâîì. Àòîìíóþ ðåàêöèþ óìåíüøàþò èëè óñèëèâàþò, ïåðåìåùàÿ ââåðõ èëè âíèç ýòè òåïëîâûäåëÿþùèå ýëåìåíòû, ò.å. âûäâèãàÿ èõ èç ðåàêòîðà èëè çàäâèãàÿ â íåãî. 29.07.09, 17:29 ÐÀÑÑÊÀÇÛ Î ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÅ % Ðèñ.5. Ñõåìà óñòðîéñòâà ÀÝÑ Òåïëîâûäåëÿþùèå ýëåìåíòû ýòî äàëåêî íå ñàìàÿ ñëîæíàÿ ÷àñòü ñòàíöèè, íî äàæå èõ òåõíîëîãèÿ èçãîòîâëåíèÿ ðàçðàáàòûâàåòñÿ ó÷åíûìè-ìåõàíèêàìè ñîâìåñòíî ñ èíæåíåðàìè çàâîäà-èçãîòîâèòåëÿ. Âñÿ çàãðóæàåìàÿ â ðåàêòîð êîíñòðóêöèÿ â ñáîðå ïðèâîçèòñÿ ñ çàâîäà íà íåñêîëüêèõ áîëüøåãðóçíûõ àâòîìàøèíàõ. Íà ýòîì ðîëü ôèçèêîâ çàêàí÷èâàåòñÿ. Êîðïóñ ðåàêòîðà ðàññ÷èòûâàåòñÿ ìåòîäàìè ìåõàíèêè, è, ìåæäó ïðî÷èì, íå ìåòîäàìè ÕIX âåêà, à íåïðåðûâíî ñîâåðøåíñòâóþùèìèñÿ ìåòîäàìè ïîñëåäíèõ ëåò. Âñå îñòàëüíîå òûñÿ÷åòîííîå ñëîæíåéøåå îáîðóäîâàíèå ÀÝÑ òàêæå ðàññ÷èòûâàåòñÿ, ñîçäàåòñÿ è ìîíòèðóåòñÿ èíæåíåðíî-òåõíè÷åñêèì ïåðñîíàëîì íà îñíîâå íîâåéøèõ äîñòèæåíèé ìåõàíèêè. Ïðàâäà, ýòî òðåáóåò ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ è òåïëîòåõíè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ (âêëþ÷àÿ ðàñ÷åò äâèæåíèÿ æèäêîñòè è ïàðà â ñèñòåìàõ òåïëîíîñèòåëÿ è îõëàæäåíèÿ), êîòîðûå îòíîñÿòñÿ ê îáëàñòè ôèçèêè. Íî ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî òåïëîòåõíèêà ýòî íåáîëüøàÿ ÷àñòü ìåõàíèêè. Ìåõàíèêà, âîáðàâ â ñåáÿ òåïëîâûå ïðîöåññû, âîîáùå ãîâîðÿ, äàâíî çàíèìàåòñÿ òåïëîòåõíè÷åñêèìè ïðîáëåìàìè áîëåå ñëîæíûìè, ÷åì òå, êîòîðûå ðåøàåò ñàìà òåïëîòåõíèêà. Íà ýòîì ïðèìåðå õîòåëîñü áû îáîñíîâàòü ñëåäóþùèé òåçèñ. Äëÿ òîãî ÷òîáû äîñòèæåíèÿ ðÿäà äðóãèõ íàóê, âêëþ÷àÿ ôèçèêó, ñäåëàòü ïîëåçíûìè ÷åëîâåêó, áåç ìåõàíèêè íå îáîéòèñü. Ìåõàíèêà ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé. Òàê, ôèçèêè îòêðûëè è èçó÷èëè ðåàêöèþ äåëåíèÿ óðàíà ñ âûäåëåíèåì ýíåðãèè. Ìåõàíèêè íà îñíîâå ýòîãî îòêðûòèÿ ñîçäàëè ñîîðóæåíèÿ, äàþùèå ëþäÿì òåïëîâóþ è ýëåêòðè÷åñêóþ ýíåðãèþ. Äðóãèå îòêðûòèÿ â ôèçèêå (ëàçåðû èëè èíûå èñòî÷íèêè èçëó÷åíèÿ), â õèìèè, â íàóêå î ìàòåðèàëàõ è äàæå â áèîëîãèè, äëÿ òîãî ÷òîáû ñòàòü ïîëåçíûìè ëþäÿì, òðåáóþò èñïîëüçîâàíèÿ íîâåéøèõ äîñòèæåíèé ìåõàíèêè. Íàïðèìåð, âñå, ÷òî ãîâîðèëîñü âûøå îá ÀÝÑ, îñòàåòñÿ âåðíûì è äëÿ âñåõ íîâûõ õèìè÷åñêèõ òåõíîëîãèé. Çäåñü ñåðäöå õèìè÷åñêèé ðåàêòîð îïÿòü ñîâìåñòíîå äåòèùå õèìèêîâ è ìåõàíèêîâ, ïðè÷åì, ó÷èòûâàÿ, ÷òî æåëàåìîå óñêîðåíèå õèìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ òðåáóåò âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ñîçäàíèÿ âñå áîëåå áûñòðîïðîòî÷íûõ õèìè÷åñ- 01-19.p65 17 êèõ ðåàêòîðîâ, ðîëü ìåòîäîâ ìåõàíèêè â èõ ðàñ÷åòå ñòàíîâèòñÿ âñå áîëüøåé. Ðàçâèòèå ñîâðåìåííûõ òåõíîëîãèé ñïóòíèêîâîé ñâÿçè, ñîçäàíèå â áóäóùåì êîñìè÷åñêèõ ñèñòåì, èñïîëüçóþùèõ ñîëíå÷íóþ ýíåðãèþ äëÿ ïåðåäà÷è åå íà Çåìëþ, âñå ýòî àáñîëþòíî íåâîçìîæíî áåç ìåõàíèêè, áåç óæå ñóùåñòâóþùèõ è íîâûõ, òðåáóþùèõ ðàçâèòèÿ, åå ìåòîäîâ. Çàêëþ÷åíèå. Ñýð Èñààê Íüþòîí è âå÷íî íîâàÿ ìåõàíèêà Ñîâðåìåííûé ýòàï ðàçâèòèÿ íàóêè è ïðîãðåññ íàó÷íîãî çíàíèÿ â öåëîì â çíà÷èòåëüíîé ìåðå îïðåäåëÿþòñÿ ïðîíèêíîâåíèåì â ðàçëè÷íûå îáëàñòè íàóêè ìåòîäîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, êîòîðûå îñíîâàíû íà ïîñòðîåíèè è èñïîëüçîâàíèè òåõ èëè èíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé. Íå íóæíî çàáûâàòü, ÷òî ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ âîçíèê â íüþòîíîâñêîé ìåõàíèêå (çíàìåíèòûå çàêîíû Íüþòîíà) è áûë ñ óñïåõîì èñïîëüçîâàí ñàìèì Íüþòîíîì ïðè ðåøåíèè ðÿäà ñåðüåçíûõ çàäà÷. Âïîñëåäñòâèè èñêóññòâî ïîñòðîåíèÿ ñëîæíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé áûëî ñîçäàíî èìåííî ìåõàíèêàìè è çàòåì ïðèìåíåíî ïîñëåäîâàòåëüíî ôèçèêàìè, ãåîôèçèêàìè, õèìèêàìè, áèîëîãàìè, ëèíãâèñòàìè, à â ïîñëåäíåå âðåìÿ ñîöèîëîãàìè è ýêîíîìèñòàìè. Ìîäåëè ìåõàíèêè íåîáû÷àéíî íàãëÿäíû. Íåñëó÷àéíî ðÿä çíàìåíèòûõ ôèçèêîâ ïðîøëîãî óòâåðæäàëè, ÷òî íè îäíî ôèçè÷åñêîå ÿâëåíèå íå ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ äî êîíöà ïîíÿòûì, ïîêà îíî íå ñôîðìóëèðîâàíî â òåðìèíàõ ìåõàíèêè. Çàìå÷àòåëüíûé ìåõàíèê è ìàòåìàòèê, àêàäåìèê Àëåêñåé Íèêîëàåâè÷ Êðûëîâ ïèñàë â ïðåäèñëîâèè ê åãî ðóññêîìó ïåðåâîäó «Ìàòåìàòè÷åñêèõ íà÷àë íàòóðàëüíîé ôèëîñîôèè» Íüþòîíà: «Íà÷àëà ...» Íüþòîíà ñîñòàâëÿþò íåçûáëåìîå îñíîâàíèå ìåõàíèêè, òåîðåòè÷åñêîé àñòðîíîìèè è ôèçèêè». Ëàãðàíæ íàçâàë ýòî ñî÷èíåíèå «âåëè÷àéøèì èç ïðîèçâåäåíèé ÷åëîâå÷åñêîãî óìà». Íüþòîíîâñêàÿ ìåõàíèêà äåéñòâèòåëüíî íåïðåâçîéäåííîå äîñòèæåíèå ôèçèêè (íàòóðàëüíîé ôèëîñîôèè), âñåé èñòîðèè ÷åëîâå÷åñêîé öèâèëèçàöèè. Îíà âå÷íà. 29.07.09, 17:29 & ÊÂÀÍT 2009/¹4 ÍÀØÈ ÍÀÁËÞÄÅÍÈß Ìàòåìàòèêè è ïðîãðàììèñòû À.ØÅÍÜ È ÌÅÞÒÑß N ÍÀ ÂÈÄ ÎÄÈÍÀÊÎÂÛÕ ÏÐÅÄÌÅÒÎÂ, ÊÎÒÎ- ðûå íà ñàìîì äåëå íåñêîëüêèõ ðàçëè÷íûõ òèïîâ. Èçâåñòíî, ÷òî ïðåäìåòû îäíîãî èç òèïîâ ñîñòàâëÿþò áîëüøèíñòâî (áîëüøå N/2). Òðåáóåòñÿ óêàçàòü ïðåäñòàâèòåëÿ ýòîãî áîëüøèíñòâà, èñïîëüçóÿ äåòåêòîð, â êîòîðûé ìîæíî (çà îäèí ðàç) çàãðóçèòü äâà ïðåäìåòà è îïðåäåëèòü, îäíîãî îíè òèïà èëè ðàçíûõ. Ñêîëüêî òàêèõ ïðîá (ñðàâíåíèé) ïðèäåòñÿ ñäåëàòü? Åñëè íå ýêîíîìèòü è ñðàâíèâàòü ïîïàðíî âñå ïðåäìåòû, òî ïîíàäîáèòñÿ N ( N − 1) 2 ñðàâíåíèé (êàæäûé ïðåäìåò ó÷àñòâóåò â N 1 ñðàâíåíèÿõ è â êàæäîì ñðàâíåíèè ó÷àñòâóþò äâà ïðåäìåòà). Îêàçûâàåòñÿ, åñëè äåéñòâîâàòü ñ óìîì, ìîæíî 2 ñäåëàòü ÷èñëî ïðîá ïðîïîðöèîíàëüíûì N (âìåñòî N ). Ìû ñåé÷àñ ïðèâåäåì äâà äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ôàêòà. Ïåðâîå (êàê ìû íàäååìñÿ) äîëæíî ïîíðàâèòüñÿ ìàòåìàòèêàì, âòîðîå ïðîãðàììèñòàì. Îáà ðàññóæäåíèÿ íà÷èíàþòñÿ ñ òàêîãî çàìå÷àíèÿ: åñëè ìû íàøëè äâà ïðåäìåòà ðàçíûõ òèïîâ, òî èõ ìîæíî âûáðîñèòü, ñîõðàíèâ áîëüøèíñòâî.  ñàìîì äåëå, èç íèõ ìàêñèìóì îäèí ïðèíàäëåæèò áîëüøèíñòâó, è ïîñëå åãî óäàëåíèÿ áîëüøèíñòâî íå ïðîïàäåò (âåäü ìû âûáðîñèëè è ïðåäìåò äðóãîãî òèïà). Ïî òåì æå ïðè÷èíàì äâà ïðèÿòåëÿ, êîòîðûå ñîáèðàþòñÿ ãîëîñîâàòü çà ðàçíûõ êàíäèäàòîâ, ìîãóò ñãîâîðèòüñÿ íå èäòè íà âûáîðû, åñëè îíè ïî÷åìó-ëèáî âåðÿò, ÷òî ïîäñ÷åò ïðîèçâîäèòñÿ ÷åñòíî è ÷òî îäèí èç êàíäèäàòîâ ïîëüçóåòñÿ ïîääåðæêîé áîëåå ïîëîâèíû ãîëîñóþùèõ (îí ïîòåðÿåò ìàêñèìóì îäèí ãîëîñ çà è ìèíèìóì îäèí ãîëîñ ïðîòèâ). Ìàòåìàòèê ïðîäîëæèò ðàññóæäåíèå òàê. Ïóñòü ñíà÷àëà N ÷åòíî. Òîãäà ïîäåëèì ïðåäìåòû íà ïàðû è ñðàâíèì èõ â êàæäîé ïàðå (âñåãî N/2 ñðàâíåíèé). Òå ïàðû, â êîòîðûõ ïðåäìåòû ðàçëè÷íû, ìîæíî âûáðîñèòü. Ïîñëå ýòîãî îñòàþòñÿ ïàðû ñ ðàâíûìè ïðåäìåòàìè è äîñòàòî÷íî îñòàâèòü îò êàæäîé ïî îäíîìó, òàê ÷òî çàäà÷à ïîñëå N/2 ñðàâíåíèé ñâîäèòñÿ ê òàêîé æå çàäà÷å äëÿ (ìàêñèìóì) ïîëîâèííîãî ÷èñëà ïðåäìåòîâ, è ìîæíî ïîâòîðÿòü ðàññóæäåíèå. Åñëè âðåìåííî çàáûòü î íå÷åòíûõ N, ïîëó÷èòñÿ ôîðìóëà T ( N ) ≤ N 2 + T ( N 2) , ãäå T (n ) ÷èñëî ïðîá ïðè ïîèñêå ïðåäñòàâèòåëÿ áîëüøèíñòâà ñðåäè íå áîëåå ÷åì n ïðåäìåòîâ. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî T ( N ) < N . (Èíäóêöèÿ: T (2 ) = 0 , ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå áîëüøå ïîëîâèíû ýòî âñå; åñëè T ( N 2 ) < N 2 , òî T ( N 2 ) < N 2 + N 2 = N . Íàïðèìåð, èç 8 ïðåäìåòîâ ïîñëå 4 ñðàâíåíèé îñòàþòñÿ ìàêñèìóì 4, çàòåì ïîñëå äâóõ îñòàþòñÿ 2, âñåãî 4 + 2 = 6 ñðàâíåíèé.) Êîíå÷íî, ýòî ðàññóæäåíèå íå èìååò ñìûñëà, ïîêà ìû íå ðàçîáðàëèñü ñ íå÷åòíûìè N. Ïðè íå÷åòíîì N ïîñëå âûáðàñûâàíèÿ ïàð ñ íåðàâíûìè ïðåäìåòàìè îñòàþòñÿ íåñêîëüêî ïàð ñ ðàâíûìè ïðåäìåòàìè ïëþñ îäèí íåïàðíûé ïðåäìåò. Íàïðèìåð, ìîãóò îñòàòüñÿ ïàðû (a, a), (b, b), (c, c) è åùå d áåç ïàðû (âñåãî 7 ýëåìåíòîâ). Ìû çíàåì, ÷òî ñðåäè ýòèõ 7 ïðåäìåòîâ áîëüøå ïîëîâèíû (ò.å. 4 èëè áîëåå) îäèíàêîâûõ. Ïîýòîìó êàê ìèíèìóì äâå ïàðû èç òðåõ ïðèíàäëåæàò áîëüøèíñòâó (åñëè òîëüêî îäíà, òî áîëüøèíñòâà íèêàê íå 01-19.p65 18 íàáåðåòñÿ). Çíà÷èò, ïðåäìåòû èñêîìîãî òèïà ñîñòàâëÿþò áîëüøèíñòâî ñðåäè a, b, c, à ïðî d ìîæíî çàáûòü. Åñëè îñòàåòñÿ íå 7 ýëåìåíòîâ, à, ñêàæåì, 9, òî ñèòóàöèÿ áóäåò äðóãîé. Ïóñòü ó íàñ ÷åòûðå ïàðû (a, a), (b, b), (c, c), (d, d) è íåïàðíûé ïðåäìåò e. Äëÿ áîëüøèíñòâà íóæíî 5 ïðåäìåòîâ äîñòàòî÷íî äâóõ ïàð è e. Ïîýòîìó ñðåäè a, b, c, d ïðåäìåòû èñêîìîãî òèïà ìîãóò íå áûòü áîëüøèíñòâîì. Íî îíè äîëæíû áûòü áîëüøèíñòâîì ñðåäè a, b, c, d, e, èíà÷å áóäåò 5 ýëåìåíòîâ äðóãîãî òèïà (ìèíèìóì äâå ïàðû ïëþñ îäèí). Ïîýòîìó â ýòîì ñëó÷àå íàäî íå âûáðàñûâàòü e, à ïðèñîåäèíèòü åãî. Ëåãêî ñîîáðàçèòü, ÷òî îäèí èç ýòèõ äâóõ ïðèåìîâ âñåãäà ñðàáîòàåò: ìû ëèáî äîáàâëÿåì íåïàðíûé ïðåäìåò, ëèáî íåò ñ òåì ðàñ÷åòîì, ÷òîáû íà ñëåäóþùåì øàãå îñòàâàëîñü íå÷åòíîå ÷èñëî ïðåäìåòîâ. Ïî èíäóêöèè ìîæíî ïîëó÷èòü è T ( N ) < N , ðàçîáðàâ äâà ñëó÷àÿ: T (2k ) ≤ k + T (k ) è T (2k + 1) ≤ k + T (k + 1) . Ïåðâîå äîêàçàòåëüñòâî çàêîí÷åíî. Ýòî ðàññóæäåíèå ïîðàäóåò ìàòåìàòèêà, íî íå ïðîãðàììèñòà êîòîðûé âûíóæäåí äóìàòü î òîì, êàê âñå ýòè ðàçíûå ñëó÷àè ÷åòíîãî è íå÷åòíîãî N è ÷åòíîãî è íå÷åòíîãî êîëè÷åñòâà ïàð çàïðîãðàììèðîâàòü è íè÷åãî íå ïðîïóñòèòü. Íî åñòü è äðóãîé âàðèàíò. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî íàñ çàïåðëè â êîìíàòå ñ äåòåêòîðîì, N ïðåäìåòàìè è òðåìÿ áîëüøèìè êîðîáêàìè, ãäå ýòè ïðåäìåòû ìîãóò ëåæàòü. Êîðîáêè ïðåäóñìîòðèòåëüíî ñíàáæåíû íàäïèñÿìè: «ÍÅÏÐÎÂÅÐÅÍÍÛÅ» (Í), «ÎÄÈÍÀÊÎÂÛÅ» (Î) è «ÂÛÁÐÎØÅÍÍÛÅ» (Â). Èçíà÷àëüíî âñå ïðåäìåòû ëåæàò â êîðîáêå «ÍÅÏÐÎÂÅÐÅÍÍÛÅ» (÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ åå íàçâàíèåì), è íàì èçâåñòíî, ÷òî áîëåå ïîëîâèíû èç íèõ íåêîòîðîãî îäíîãî òèïà X. Íàì ñòðîãî-íàñòðîãî âåëåíî ñîáëþäàòü äâå çàïîâåäè: i Âñå ïðåäìåòû â êîðîáêå «ÎÄÈÍÀÊÎÂÛÅ» äîëæíû íà ñàìîì äåëå áûòü îäíîãî òèïà (åñëè òàì âîîáùå ÷òî-òî åñòü). i Ïðåäìåòû òèïà X äîëæíû ñîñòàâëÿòü áîëüøèíñòâî ñðåäè âñåõ íåâûáðîøåííûõ (íàõîäÿùèõñÿ â êîðîáêàõ «ÍÅÏÐÎÂÅÐÅÍÍÛÅ» è «ÎÄÈÍÀÊÎÂÛÅ»). (Î÷åâèäíî, â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè îáà óñëîâèÿ âûïîëíåíû.) Êîãäà êîðîáêà ñ íàäïèñüþ «ÍÅÏÐÎÂÅÐÅÍÍÛÅ» ñòàíîâèòñÿ ïóñòîé, íàñ âûïóñêàþò èç êîìíàòû (è ýòî çàñëóæåííî, ïîñêîëüêó â ýòîò ìîìåíò ïðåäìåòû òèïà X ïî ïðàâèëàì ñîñòàâëÿþò áîëüøèíñòâî ñðåäè ïðåäìåòîâ â êîðîáêå «ÎÄÈÍÀÊÎÂÛÅ», è ìîæíî âçÿòü èç íåå ëþáîé ïðåäìåò îíè âñå îäèíàêîâûå). ×òî ìû ìîæåì äåëàòü, íå íàðóøàÿ çàïîâåäåé? Íåñêîëüêî î÷åâèäíûõ âåùåé. Âî-ïåðâûõ, åñëè êîðîáêà «ÎÄÈÍÀÊÎÂÛÅ» ïóñòà, à êîðîáêà «ÍÅÏÐÎÂÅÐÅÍÍÛÅ» íåò, òî ìîæíî ïåðåëîæèòü îäèí ïðåäìåò èç Í â Î. (Ìíîæåñòâî íåâûáðîøåííûõ ïðåäìåòîâ îñòàåòñÿ òåì æå ñàìûì, òàê ÷òî çàïîâåäåé ìû íå íàðóøèì.) Âî-âòîðûõ, åñëè îáå êîðîáêè Î è Í íåïóñòû, òî ìîæíî âçÿòü ïî îäíîìó ïðåäìåòó è ñðàâíèòü èõ. Åñëè îíè îäèíàêîâûå, òî êëàäåì îáà â Î; åñëè ðàçíûå, òî âûáðàñûâàåì (êëàäåì â Â) îáà. Êàê ìû âèäåëè, ýòî íå ïðîòèâîðå÷èò çàïîâåäÿì. Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî i åñëè åñòü íåïðîâåðåííûå ïðåäìåòû, òî îäíî èç äåéñòâèé çàâåäîìî âûïîëíèìî; i ëþáîå èç äåéñòâèé óìåíüøàåò ÷èñëî íåïðîâåðåííûõ íà 1, ïðè ýòîì äåòåêòîð èñïîëüçóåòñÿ íå áîëåå îäíîãî ðàçà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëå N øàãîâ êîðîáêà Í îïóñòååò è íàñ âûïóñòÿò. Ïðè ýòîì äåòåêòîð áóäåò èñïîëüçîâàí íå áîëåå N ðàç (íà ñàìîì äåëå ìåíüøå, òàê êàê ïåðâûé øàã ïåðåêëàäûâàíèå). 29.07.09, 17:29 ÊÂÀÍÒÛ Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðîãðàììà (ñîâñåì ïðîñòàÿ) ïðèâåäåíà â êíèæêå «Ïðîãðàììèðîâàíèå: òåîðåìû è çàäà÷è» (Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2-å èçä., 2004; ñì. òàêæå ñàéò www/mccme.ru/ freebooks) . Ïðîãðàììèðîâàíèå ïåðâîãî ðåøåíèÿ ÿâíî ïîòðåáîâàëî áû ñóùåñòâåííî áîëüøèõ óñèëèé. Íà ýòîì ïðèìåðå ìîæíî íåìíîãî ïîôèëîñîôñòâîâàòü î ðàçíèöå ìåæäó ìàòåìàòè÷åñêèì è ïðîãðàììèñòñêèì âçãëÿäîì íà âåùè. Ïóñòü çàäà÷à X ñâîäèòñÿ ê ìíîæåñòâó îäíîðîä- ' ÈÍÒÅÐÍÅÒÀ íûõ ïðîñòûõ çàäà÷ X1,… , Xn . Ìàòåìàòèê îáû÷íî ðàçáèðàåò îäíó èç íèõ è ïèøåò « X2,… , Xn ðåøàþòñÿ àíàëîãè÷íûì ñïîñîáîì è îñòàâëÿþòñÿ ÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèé». Íàïðîòèâ, ïðîãðàììèñò ïîíèìàåò, ÷òî íèêòî çà íåãî ïðîãðàììèðîâàòü íå áóäåò, à ïðîãðàììèðîâàíèå áîëüøîãî êîëè÷åñòâà äàæå è î÷åíü ïðîñòûõ çàäà÷ óòîìèòåëüíî, è ëó÷øå íàéòè äðóãîé ïîäõîä, èçáåãàþùèé ðàçáîðà ìíîãî÷èñëåííûõ ñëó÷àåâ. ÊÂÀÍÒÛ ÈÍÒÅÐÍÅÒÀ Íà ñêîëüêî ÷àñòåé äåëÿò ïðîñòðàíñòâî ïëîñêîñòè ãðàíåé äîäåêàýäðà? (Íà÷àëî ñì. íà 2-é ñòðàíèöå îáëîæêè) Íà Ìåæðåãèîíàëüíîé çàî÷íîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäå 2008 ãîäà ïðåäëàãàëèñü çàäà÷è: Íàéòè ÷èñëî ÷àñòåé, íà êîòîðûå ïðîäîëæåíèÿ ãðàíåé òåòðàýäðà ðàçáèâàþò ïðîñòðàíñòâî (çàäà÷à 5, 7 êëàññ). Íàéòè ÷èñëî ÷àñòåé, íà êîòîðûå ïðîäîëæåíèÿ ãðàíåé êóáà ðàçáèâàþò ïðîñòðàíñòâî (çàäà÷à 3, 6 êëàññ). Îáå ýòè çàäà÷è ðåøàþòñÿ ïðîñòûì ïîäñ÷åòîì.  ïåðâîì ñëó÷àå îòâåò 15; âî âòîðîì 27. Íî âîçíèêàåò âîïðîñ, à íà ñêîëüêî ÷àñòåé ðàçáèâàþò ïðîñòðàíñòâî ïðîäîëæåíèÿ ãðàíåé äðóãèõ ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ: îêòàýäðà, äîäåêàýäðà è èêîñàýäðà. Ïîäñ÷åò â ýòîì ñëó÷àå óæå ñëîæíåå, íî çàäà÷à âïîëíå ðàçðåøèìà! Ðàññìîòðèì ýòó çàäà÷ó äëÿ äîäåêàýäðà. Åñòü äâà ñïîñîáà ïîäñ÷åòà ÷èñëà ÷àñòåé, íà êîòîðûå ïðîäîëæåíèÿ ãðàíåé äîäåêàýäðà ðàçáèâàþò ïðîñòðàíñòâî, íå òðåáóþùèõ âûõîäà èç ïëîñêîñòè. Ïåðâûé ñïîñîá. Ðàçîáüåì ïðîäîëæåíèÿ ãðàíåé äîäåêàýäðà íà 6 ïàð ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé. Òåïåðü áóäåì ïîñëåäîâàòåëüíî äîáàâëÿòü ýòè ïàðû ïëîñêîñòåé è ñìîòðåòü, ñêîëüêî ÷àñòåé ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå. Ïðè äîáàâëåíèè ïàðû ïëîñêîñòåé êîëè÷åñòâî ÷àñòåé óâåëè÷èâàåòñÿ íà ÷èñëî ÷àñòåé, êîòîðûå äàííûå ïëîñêîñòè ïåðåñåêàþò.  íà÷àëå åñòü îäíà ÷àñòü (âñå ïðîñòðàíñòâî). Êàæäàÿ èç ïëîñêîñòåé ïåðâîé ïàðû ïåðåñåêàåò 1 ÷àñòü. Ïîýòîìó ïîñëå äîáàâëåíèÿ îäíîé ïàðû ïëîñêîñòåé ÷èñëî ÷àñòåé áóäåò ðàâíî òðåì. Àíàëîãè÷íî, âòîðàÿ ïàðà ïëîñêîñòåé ïåðåñåêàåò ïî 3 ÷àñòè, à òðåòüÿ ïàðà ïî 9 ÷àñòåé. Ïîýòîìó ïîñëå äîáàâëåíèÿ òðåõ ïàð ïëîñêîñòåé ÷èñëî ÷àñòåé ñòàíåò ðàâíûì 27. ×òîáû ïîñ÷èòàòü ÷èñëî ÷àñòåé, äîáàâëÿþùååñÿ íà ÷åòâåðòîì, ïÿòîì è øåñòîì øàãå, ðàññìîòðèì ÷åðòåæ, íà êîòîðîì èçîáðàæåíû ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòè îäíîé èç ãðàíåé ïðîäîëæåíèÿìè äðóãèõ ïëîñêîñòåé (ðèñ.1, 2). Íà ðèñóíêå 1 îäèíàêîâûì öâåòîì èçîáðàæåíû ïåðåñå÷åíèÿ äàííîé ïëîñêîñòè ñ ïðîäîëæåíèÿìè ïàð ïàðàëëåëüíûõ ãðàíåé. Çäåñü ëþáàÿ òðîéêà ïàð ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ ðàçáèâàåò ïëîñêîñòü íà 17 ÷àñòåé. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷åòâåðòàÿ ïàðà ïëîñêîñòåé ïåðåñåêàåò ïî 17 ÷àñòåé. Òàêèì îáðàçîì, ïîñëå ïðîâåäåíèÿ ÷åòûðåõ ïàð ïëîñêîñòåé êîëè÷åñòâî ÷àñòåé ñòàíåò ðàâíûì 27 + 17 ◊ 2 = 61 . Àíàëîãè÷íî, ëþáàÿ ÷åòâåðêà ïàð ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ íà ðèñóíêå ðàçáèâàåò ïëîñêîñòü íà 26 ÷àñòåé. Ïîýòîìó ïîñëå ïðîâåäåíèÿ ïÿòè ïàð ïëîñêîñòåé êîëè÷åñòâî ÷àñòåé ñòàíåò ðàâíûì 61 + 2 ◊ 26 = 113 . ÍàêîÐèñ. 1 íåö, âñå ïÿòü ïàð ðàçáè- 01-19.p65 19 âàþò ïëîñêîñòü íà 36 ÷àñòåé (ðèñ.2). Ïîýòîìó ïîñëå äîáàâëåíèÿ ïîñëåäíåé (øåñòîé) ïàðû ïëîñêîñòåé ÷èñëî ïðîñòðàíñòâåííûõ ÷àñòåé ñòàíåò ðàâíûì 113 + 36 ◊ 2 = 185 . Âòîðîé ñïîñîá. Õîðîøî èçâåñòíà ôîðìóëà Ýéëåðà äëÿ ïëîñêîãî ãðàôà. Âîò îäèí èç åå ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ: Ïóñòü íà ïëîñêîñòè Ðèñ. 2 ïðîâåäåíî íåñêîëüêî ïðÿìûõ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç  ÷èñëî âåðøèí òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ íåñêîëüêèõ ïðÿìûõ; Ð ÷èñëî ðåáåð îòðåçêîâ ìåæäó ïàðàìè âåðøèí è ëó÷åé, âûõîäÿùèõ èç âåðøèíû; à ÷èñëî ãðàíåé ìíîãîóãîëüíèêîâ, íà êîòîðûå äàííûå ïðÿìûå ðàçáèëè ïëîñêîñòü. Òîãäà à Р+  = 1. Ìåíåå èçâåñòíî, ÷òî àíàëîãè÷íàÿ ôîðìóëà åñòü è â ïðîñòðàíñòâåííîì ñëó÷àå (â äåéñòâèòåëüíîñòè òàêàÿ ôîðìóëà åñòü è äëÿ ïðîñòðàíñòâà ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè): Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå ïðîâåäåíî íåñêîëüêî ïëîñêîñòåé. Îáîçíà÷èì ÷åðåç  ÷èñëî âåðøèí òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ íåñêîëüêèõ ïðÿìûõ; Ð ÷èñëî ðåáåð îòðåçêîâ ìåæäó ïàðàìè âåðøèí è ëó÷åé, âûõîäÿùèõ èç âåðøèíû; à ÷èñëî ãðàíåé ìíîãîóãîëüíèêîâ, êîòîðûå â äàííûõ ïëîñêîñòÿõ âûñåêàþòñÿ äðóãèìè ïëîñêîñòÿìè; × ÷èñëî ïðîñòðàíñòâåííûõ ÷àñòåé, íà êîòîðîå ïðîñòðàíñòâî ðàçáèâàåòñÿ äàííûìè ïëîñêîñòÿìè. Òîãäà × Ã + Ð Â = 1. Òàêèì îáðàçîì, êîëè÷åñòâî ÷àñòåé, íà êîòîðûå äàííîå ìíîæåñòâî ïëîñêîñòåé ðàçáèâàåò ïðîñòðàíñòâî, ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî ïî ôîðìóëå: × = à Р+  + 1. Êàê âèäíî èç ðèñóíêà 2, â êàæäîé èç ïëîñêîñòåé ñîäåðæèòñÿ 36 «ãðàíåé». Êîëè÷åñòâî ïëîñêîñòåé ðàâíî ÷èñëó ãðàíåé äîäåêàýäðà, ò.å. 12. Ïîýòîìó ïîëíîå ÷èñëî «ãðàíåé» ïðîñòðàíñòâåííîãî ãðàôà ðàâíî à = 12 · 36 = 432. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîñ÷èòàòü êîëè÷åñòâî «ðåáåð». Êàæäàÿ ïëîñêîñòü ñîäåðæèò 10 ïðÿìûõ, ðàçáèòûõ íà 5 «ðåáåð», à âñå 12 ïëîñêîñòåé íà 5 · 10 · 12 = 600 «ðåáåð». Íî êàæäîå «ðåáðî» ïðèíàäëåæèò äâóì ïëîñêîñòÿì. Ñëåäîâàòåëüíî, êîëè÷åñòâî «ðåáåð» âäâîå ìåíüøå è ðàâíî Ð = 600/2 = 300. Íåñêîëüêî ñëîæíåå ïîñ÷èòàòü êîëè÷åñòâî «âåðøèí».  êàæäîé ïëîñêîñòè åñòü 5 «âåðøèí», ÿâëÿþùèõñÿ ïåðåñå÷åíèåì ÷åòûðåõ ïðÿìûõ (è, ñëåäîâàòåëüíî, ïÿòè ïëîñêîñòåé) è 10 «âåðøèí», ÿâëÿþùèõñÿ ïåðåñå÷åíèåì äâóõ ïðÿìûõ (è, ñëåäîâàòåëüíî, òðåõ ïëîñêîñòåé). Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî â êàæäîé ïëîñêîñòè íàõîäèòñÿ 5 «ïÿòûõ ÷àñòåé âåðøèí» è 10 «òðåòüèõ ÷àñòåé âåðøèí». Çíà÷èò, îáùåå ÷èñëî «âåðøèí» äàííîãî ïðîñòðàíñòâåííîãî ãðàôà ðàâíî B = (5 5 + 10 3) · 12 = = 52. Ñëåäîâàòåëüíî, × = 432 300 + 52 + 1 = 185. Ë.Îðèäîðîãà, Ì.Ïàíîâ 29.07.09, 17:29
