" Ê ÂÀ À Í T « 2 0Ê 0 9 /¹ ØÊÎË À1 Í Ò Å » Ìåòîä ýêâèâàëåíòíûõ äåôîðìàöèé Â.ÝÏØÒÅÉÍ Ì ÀÒÅÌÀÒÈÊÀ ÏÐÅÄÑÒÀÂËßÅÒ ÑÎÁÎÉ ÅÑÒÅÑÒÂÅÍÍÛÉ ÿçûê, íà êîòîðîì ôîðìóëèðóþòñÿ è ðåøàþòñÿ ôèçè÷åñêèå çàäà÷è. È, òåì íå ìåíåå, äëÿ ïîíèìàíèÿ ýëåìåíòàðíûõ (à ìîæåò áûòü, è ôóíäàìåíòàëüíûõ) îñíîâàíèé íàóêè îá îêðóæàþùåì íàñ ìèðå ïîëåçíî ïîçíàêîìèòüñÿ ñ çàäà÷àìè, ðåøåíèå êîòîðûõ íå òðåáóåò ïðîâåäåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ. Òàê, ìåòîä ýêâèâàëåíòíûõ äåôîðìàöèé ïðåäïîëàãàåò ðÿä ìûñëåííûõ èçìåíåíèé êîíôèãóðàöèè (ò.å. ãåîìåòðè÷åñêèõ ðàçìåðîâ è ôîðìû) òåë, ïðè êîòîðûõ îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè, íî õîä èññëåäóåìûõ ïðîöåññîâ ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì. Âàøåìó âíèìàíèþ ïðåäëàãàåòñÿ íåñêîëüêî òàêèõ çàäà÷. Çàäà÷à 1.  íåáîëüøîì áàññåéíå ïëàâàåò ëîäêà. Èçìåíèòñÿ ëè (è åñëè èçìåíèòñÿ, òî êàê) óðîâåíü âîäû â áàññåéíå, åñëè ëåæàùèé íà äíå ëîäêè êàìåíü áðîñèòü â âîäó? Ðàñ÷åòíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ïðåäëîæåíû âî ìíîãèõ ó÷åáíûõ ïîñîáèÿõ. Ìîæíî, îäíàêî, îáîéòèñü è áåç ðàñ÷åòîâ. Ïîäóìàåì: çàâèñèò ëè îòâåò íà âîïðîñ, ïîñòàâëåííûé â çàäà÷å, îò ôîðìû äíà ëîäêè, íà êîòîðîì ëåæèò êàìåíü? ßñíî, ÷òî òàêîé çàâèñèìîñòè áûòü íå ìîæåò: â çàêîíå Àðõèìåäà ôîðìà òåëà, ïîãðóæåííîãî â æèäêîñòü, íèêàêîé ðîëè íå èãðàåò. Òîãäà áóäåì ìûñëåííî «ïðîäàâëèâàòü» êàìåíü ÷åðåç äíî ëîäêè. Ïîñëåäîâàòåëüíûå ñòàäèè ýòîãî ïðîöåññà ïðåäñòàâëåíû íà ðèñóíêå 1. Íà îäíîì èç ýòàïîâ Ðèñ. 1 êàìåíü ìîæíî ïðåäñòàâèòü ïîäâåøåííûì íà âåðåâêå, ïðèâÿçàííîé êî äíó ëîäêè. Óðîâåíü âîäû, åñòåñòâåííî, íå èçìåíèòñÿ, åñëè óäëèíèòü âåðåâêó òàê, ÷òîáû êàìåíü êîñíóëñÿ äíà áàññåéíà. Åñëè æå âåðåâêó òåïåðü ïåðåðåçàòü, òî, î÷åâèäíî, ëîäêà âñïëûâåò, è, ñëåäîâàòåëüíî, óðîâåíü âîäû ïîíèçèòñÿ. Çàäà÷à 2.  ñòàêàíå ïëàâàåò êóñîê ëüäà, ñîäåðæàùèé: à) ïóçûðåê, íàïîëíåííûé âîçäóõîì; á) êóñî÷åê ïðîáêè; â) ñòàëüíóþ ãàéêó. Êàê èçìåíèòñÿ óðîâåíü âîäû â ñòàêàíå, êîãäà ëåä ðàñòàåò? Çàìåòèì äëÿ íà÷àëà, ÷òî åñëè ëåä îäíîðîäåí, òî ïîñëå åãî òàÿíèÿ óðîâåíü âîäû íå èçìåíèòñÿ: ëåä âûòåñíÿåò ðîâíî ñòîëüêî âîäû, ñêîëüêî ñàì âåñèò è, ñëåäîâàòåëüíî, ñêîëüêî ïîëó÷èòñÿ ïðè ïëàâëåíèè. ßñíî, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è íå çàâèñèò îò ìåñòà ðàñïîëîæå- 40-55.p65 40 íèÿ óêàçàííûõ îáúåêòîâ â êóñêå ëüäà.  ñëó÷àå à), ê ïðèìåðó, ïóçûðåê ìîæíî ïåðåìåñòèòü ê ïîâåðõíîñòè ëüäà (ðèñ.2). Òàêèì îáðàçîì, íàëè÷èå ïóçûðüêà ýêâèâàëåíòíî Ðèñ. 2 èçìåíåíèþ ôîðìû îäíîðîäíîãî ëüäà, ïëàâëåíèå êîòîðîãî, êàê óæå ãîâîðèëîñü, óðîâíÿ âîäû íå èçìåíÿåò. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî, ñòðîãî ãîâîðÿ, ñêàçàííîå âûøå ñïðàâåäëèâî ëèøü â òîì ñëó÷àå, åñëè ïëîòíîñòü âëàæíîãî âîçäóõà â ïóçûðüêå ñîâïàäàåò ñ ïëîòíîñòüþ îêðóæàþùåãî àòìîñôåðíîãî âîçäóõà.  ñîñòîÿíèè òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ ýòî âîçìîæíî òîëüêî â òàê íàçûâàåìîé òðîéíîé òî÷êå, ò.å. ïðè òàêèõ çíà÷åíèÿõ òåìïåðàòóðû è äàâëåíèÿ, ïðè êîòîðûõ ëåä, âîäà è âîäÿíîé ïàð íàõîäÿòñÿ â ðàâíîâåñèè ( t » 0,01 °C , p » 4,6 ìì ðò. ñò). Òàÿíèå ëüäà ñ âìåðçøåé ïðîáêîé ñëó÷àé á) óðîâåíü âîäû íå èçìåíèò, òàê êàê ïðîáêó ìîæíî ìûñëåííî âûäàâèòü èçî ëüäà è ïóñòèòü â ñàìîñòîÿòåëüíîå ïëàâàíèå íà òîíêîé ëåäÿíîé íèòè.  ñëó÷àå â) ãàéêó, êàê è â ïåðâîé çàäà÷å, «ïðîäàâèì» ñêâîçü ëåä äî äíà ñòàêàíà, à çàòåì ïåðåðåæåì ñâÿçûâàþùóþ ëåäÿíóþ íèòü. Ëåä âñïëûâåò, óðîâåíü âîäû ïîíèçèòñÿ è óæå íå èçìåíèòñÿ ïîñëå ïëàâëåíèÿ ëüäà. Çàäà÷à 3. Çàêðûòûé ïðîáêîé ñîñóä, âåñ êîòîðîãî ðàâåí âûòàëêèâàþùåé ñèëå, ïîêîèòñÿ íà äíå ñòàêàíà ñ âîäîé. Ïî÷òè íå ñîâåðøàÿ ðàáîòû, åãî ìîæíî ïîäíÿòü ê ïîâåðõíîñòè âîäû. Åñëè òåïåðü âûíóòü ïðîáêó, òî ñîñóä íàïîëíèòñÿ âîäîé è óòîíåò. Ïðè ýòîì îí ìîæåò ñîâåðøèòü íåêîòîðóþ ðàáîòó. Åñëè æå âûíóòü ïðîáêó, êîãäà ñîñóä ëåæèò íà äíå, îí òàêæå íàïîëíèòñÿ âîäîé, íî ðàáîòû íå ñîâåðøèò. Êàê ñîãëàñîâàòü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè? Îáñóäèì, â ÷åì ñóòü ïàðàäîêñà.  ïåðâîé ÷àñòè çàäà÷è ðå÷ü èäåò î òîì, ÷òî ïðè ïàäåíèè ñîñóäà, çàïîëíåííîãî âîäîé, ðàáîòà ñîâåðøàåòñÿ íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî äëÿ ïîäíÿòèÿ òåëà íå ïðèøëîñü çàòðàòèòü íèêàêîé ýíåðãèè. Ïðîèçâåäåì, îäíàêî, ñ ñîñóäîì â èñõîäíîì ñîñòîÿíèè ýêâèâàëåíòíóþ äåôîðìàöèþ: ìûñëåííî äåôîðìèðóåì ëåæàùèé íà äíå ñîñóä òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 3. «Âûäàâèì» ìàññó ñòåíîê â ïåðåìåùåííóþ ÷àñòü, à ïóñòóþ ÷àñòü ñîñóäà Ðèñ. 3 îòäåëèì îò çàïîëíåííîé. Âîäà îêàæåòñÿ «çàõâà÷åííîé» ñòåíêàìè ñîñóäà è, òàêèì îáðàçîì, áóäåò íàõîäèòüñÿ âíóòðè ñîñóäà. Òåïåðü ñîñóä è «âîçäóõ» ìîæíî ïîäíèìàòü ðàçäåëüíî. Ïîäíèìàÿ ñîñóä, ìû ñîâåðøàåì ðàáîòó. Ïîäíÿòèå «âîçäóõà» ýêâèâàëåíòíî îïóñêàíèþ íåêîòîðîãî îáúåìà âîäû (ìàññû ýòîé âîäû è ñîñóäà ðàâíû). Ñèòóàöèÿ ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íà ïîâîðîòó ðàâíîïëå÷íîãî ðû÷àãà ñ ðàâíûìè ãðóçàìè íà êîíöàõ. Ïîäíèìàÿ îäèí ãðóç, ìû îïóñêàåì äðóãîé (ðû÷àã íàõîäèòñÿ â ïîëîæåíèè áåçðàçëè÷íîãî ðàâíîâåñèÿ ðàáîòà íå ñîâåðøàåòñÿ). Çàòåì ìû ìîæåì ïåðåðåçàòü íèòü, êîòîðîé ïðèâÿçàí ïîäíÿòûé ãðóç. Ïðè ïàäåíèè ýòîãî ãðóçà ñèëà òÿæåñòè ñîâåðøèò ðàáîòó. Ïðèìåíÿÿ ýòîò æå ìåòîä âî âòîðîé ÷àñòè çàäà÷è, ìû íå âèäèì ñóùåñòâåííûõ ðàçëè÷èé ñ óæå ðàññìîòðåííûì ñëó÷àåì. Íàïîëíåíèå âîäîé ñîñóäà ýêâèâàëåíòíî ïåðåìåùåíèþ èçâåñòíîãî îáúåìà âîäû îò ïîâåðõíîñòè äî äíà ñòàêàíà. 30.01.09, 13:11 ØÊÎËÀ Ðàáîòà ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ òàêàÿ æå, ÷òî è â ïåðâîì ñëó÷àå (ïðè ïåðåìåùåíèè ñîñóäà). Îòëè÷èå óñëîâèé ïåðâîé ÷àñòè çàäà÷è îò âòîðîé ñâîäèòñÿ, òàêèì îáðàçîì, âñåãî ëèøü ê ïîðÿäêó äåéñòâèé. Íàðóøåíèÿ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè íå îáíàðóæèâàåòñÿ. Çàäà÷à 4. Ñîñóä íàïîëîâèíó çàïîëíåí âîäîé, â êîòîðîé ïëàâàåò êóñîê ëüäà. Ïîâåðõ ëüäà íàëèâàþò êåðîñèí, âåðõíèé óðîâåíü êîòîðîãî óñòàíàâëèâàåòñÿ íà âûñîòå h îò äíà ñîñóäà. Êàê èçìåíèòñÿ ýòà âûñîòà, êîãäà ëåä ðàñòàåò? Ýòà çàäà÷à áûëà îïóáëèêîâàíà â «Çàäà÷íèêå «Êâàíòà» (Ô113) â 1971 ãîäó.  æóðíàëå ïðèâåäåíî ñòðîãîå ìàòåìàòè÷åñêîå ðåøåíèå ýòîé (íå î÷åíü ñëîæíîé) çàäà÷è. Ìîæíî, îäíàêî, îáîéòèñü è áåç ðàñ÷åòîâ.  ñëó÷àå, êîãäà ëåä îêàçûâàåòñÿ ïîä ïîâåðõíîñòüþ êåðîñèíà, îòâåò î÷åâèäåí: âîäà, ïîëó÷åííàÿ ïîñëå ïëàâëåíèÿ ëüäà, çàíèìàåò ìåíüøèé îáúåì, çíà÷èò, âåðõíèé óðîâåíü êåðîñèíà ïîíèçèòñÿ. Èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò àíàëèç ñèòóàöèè, êîãäà ëåä âûñòóïàåò íàä ïîâåðõíîñòüþ êåðîñèíà. Èäåÿ ýêâèâàëåíòíûõ äåôîðìàöèé ïîðîæäàåò ñîáëàçí äåôîðìèðîâàòü ëåä òàê, ÷òîáû åãî âåðøèíà îêàçàëàñü ïîä ïîâåðõíîñòüþ êåðîñèíà. Òàêèì îáðàçîì, êàçàëîñü áû, ìîæíî ñâåñòè ðàññìàòðèâàåìóþ çàäà÷ó ê ïðåäûäóùåé. Îäíàêî ýòîò «ôîêóñ» íå ïðîõîäèò: ïîãðóæåíèå âûñòóïàþùåé ÷àñòè ëüäà â êåðîñèí ñîïðîâîæäàåòñÿ ïîâûøåíèåì óðîâíÿ æèäêîñòè, à ïîñëå ïëàâëåíèÿ óðîâåíü ïîíèæàåòñÿ ñëåäîâàòåëüíî, êîíå÷íûé ðåçóëüòàò íå áóäåò î÷åâèäíûì. Èòàê, äåôîðìàöèÿ îêàçûâàåòñÿ íåýêâèâàëåíòíîé. Íî åñëè ýêâèâàëåíòíàÿ äåôîðìàöèÿ ëüäà íå ïðîõîäèò, íå ñòîèò ëè äâèíóòüñÿ â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè: îñòàâèòü ëåä â ïîêîå, à «äåôîðìèðîâàòü» æèäêîñòè? Ïîïðîáóåì. Îò òî÷êè ðîñû äî òî÷êè êèïåíèÿ Â.ÏÒÓØÅÍÊÎ, À.ÏßÒÀÊΠÅñòü ðàçíèöà ìåæ íèõ. È åñòü åäèíñòâî. È.Áðîäñêèé Ð ÀÇÍÎÎÁÐÀÇÍÛÌ ÍÅÎÁÛ×ÍÛÌ (ÄÀ È ÑÀÌÛÌ ÎÁÛ×- íûì òîæå) ñâîéñòâàì âîäû è âîäÿíîãî ïàðà â «Êâàíòå» áûëî ïîñâÿùåíî ìíîãî ñòàòåé îò ñóãóáî ïðàêòè÷åñêèõ, íàïðèìåð î çàâàðèâàíèè ÷àÿ, î ðóññêîé áàíå èëè ñîõðàíåíèè óðîæàÿ â ïîëå â õîëîäíûå îñåííèå íî÷è, äî ïî÷òè ðîìàíòè÷åñêîé «èñòîðèè îäíîé ðîñèíêè».1 À ñ ÷åãî íà÷èíàåòñÿ èñòîðèÿ ðîñèíêè? Ýòîò íåõèòðûé âîïðîñ, íà êîòî1 Ñì. ñòàòüè È.Ìàçèíà «Ïðèãëàøåíèå â ïàðíóþ» («Êâàíò» ¹8 çà 1985 ã.), À.Âàðëàìîâà è À.Øàïèðî «Ïîêà ÷àéíèê íå çàêèïåë » («Êâàíò» ¹8 çà 1987 ã.), À.Àáðèêîñîâà (ìë.) «Èñòîðèÿ ðîñèíêè» («Êâàíò» ¹7 çà 1988 ã.), À.Ñòàñåíêî «Êîñòðû â ïîëå è ðóññêàÿ áàíÿ» («Êâàíò» ¹1 çà 2002 ã.). 40-55.p65 41  " «ÊÂÀÍÒÅ» Äëÿ ýòîãî ñëîé êåðîñèíà òîëùèíîé H1 çàìåíèì òàêèì ñëîåì âîäû, êîòîðûé ñîõðàíÿåò ïîëîæåíèå ëüäà íåèçìåííûì (ðèñ.4). Ïîñêîëüêó ïëîòíîñòü âîäû áîëüøå ïëîòíîñòè êåðîñèíà, âûñîòà ýòîãî ñëîÿ H2 < H1 . Ïðè ïëàâëåíèè ëüäà óðîâåíü âîäû (êàê áûëî çàìå÷åíî âûøå) íå ìåíÿåòñÿ. Åñëè òåïåðü îñó- Ðèñ. 4 ùåñòâèòü îáðàòíóþ çàìåíó è âåðíóòü íà ìåñòî êåðîñèí (äëÿ ýòîãî ñëåäóåò îñòàâèòü ñëåä ïîâåðõíîñòè ëüäà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 5), òî âûÿñíèòñÿ, ÷òî ñëîé êåðîñèíà íàä ïîâåðõíîñòüþ, êîòîðóþ ðàíåå îáðàçîâûâàëà âîäà, ðàñòåêàåòñÿ ïî áîëüøåé ïëîùàäè è óðîâåíü êåðîñèíà ïîíèæàåòñÿ (ïî ñðàâíåíèþ ñ èñõîäíûì). Èòàê, óðîâåíü êåðîñèíà Ðèñ. 5 ïîíèæàåòñÿ íåçàâèñèìî îò òîãî, ïîêðûâàåò êåðîñèí ëåäÿíóþ ãëûáó ïîëíîñòüþ èëè ÷àñòè÷íî. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ýêâèâàëåíòíóþ äåôîðìàöèþ ëüäà îñóùåñòâèòü íå óäàëîñü, ñàìà èäåÿ ìåòîäà îêàçàëàñü ïëîäîòâîðíîé. ðûé, íàâåðíîå, áåç òðóäà îòâåòèò ëþáîé ÷èòàòåëü, òàèò â ñåáå åñëè è íå çàãàäêè, òî óæ ïîäâîõè òî÷íî. Âîò åìó ìû è ïîñâÿòèì íàøó ñòàòüþ. Èòàê, ñ ÷åãî æå âñå-òàêè íà÷èíàåòñÿ èñòîðèÿ ðîñèíêè? Ñ êîíäåíñàöèè, êîíå÷íî, ýòî âñåì èçâåñòíî. Ïîýòîìó óòî÷íèì âîïðîñ: à êîãäà è ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ íà÷èíàåòñÿ êîíäåíñàöèÿ? Äàâàéòå îáñóäèì âñå ïî ïîðÿäêó. Ó âîäû, êàê ó âñÿêîãî âåùåñòâà, åñòü òðè àãðåãàòíûõ ñîñòîÿíèÿ òâåðäîå, æèäêîå è ãàçîîáðàçíîå. Ëîãè÷íî îæèäàòü, ÷òî ìåæäó òðåìÿ ñîñòîÿíèÿìè èìåþòñÿ äâå òåìïåðàòóðíûå ãðàíèöû: òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèÿ è òåìïåðàòóðà êèïåíèÿ. À òåïåðü çàäóìàåìñÿ: ïðè êàêîé òåìïåðàòóðå ãàçîîáðàçíàÿ âîäà ïðåâðàùàåòñÿ â æèäêóþ? Åñëè ãîðÿ÷èé âîäÿíîé ïàð, âçÿòûé ïðè òåìïåðàòóðå âûøå 100 °Ñ, íà÷àòü îõëàæäàòü, òî ïåðâûå ðîñèíêè (æèäêîñòü) ïîÿâÿòñÿ â íåì , íó êîíå÷íî, â òî÷êå ðîñû íåäàðîì æå ýòà òåìïåðàòóðà òàê íàçûâàåòñÿ! Ïîñòîéòå, à ÷òî æå òîãäà òàêîå òî÷êà êèïåíèÿ? Ïî÷åìó æå íå â íåé â ýòîé ïîãðàíè÷íîé òî÷êå ìåæäó æèäêèì ñîñòîÿíèåì è ãàçîîáðàçíûì ïðîèñõîäèò ïðåâðàùåíèå ãàçà â æèäêîñòü?  êàêîì æå òîãäà ñìûñëå îíà ÿâëÿåòñÿ ãðàíèöåé? Ïðåæäå ÷åì îòâåòèòü íà ýòè âîïðîñû, ïîäóìàåì: à ïðè êàêîé òåìïåðàòóðå âîäà êàê æèäêîñòü ïðåâðàùàåòñÿ â ïàð? Äà ïðè ëþáîé! È èç ÷àøêè ñ ãîðÿ÷èì ÷àåì ïîäíèìàåòñÿ ïàð, è èç áëþäöà ñ õîëîäíîé âîäîé, êîòîðîå âû îñòàâèëè äëÿ êîòåíêà, âîäà ðàíî èëè ïîçäíî èñïàðèòñÿ. Äàæå ìîêðàÿ ïðîñòûíÿ íà ìîðîçíîì çèìíåì âåòðó óñïåâàåò âûñîõíóòü áûñòðåå, ÷åì çàìåðçíóòü è «ïðåâðàòèòüñÿ â êàìåíü».  ÷åì æå òîãäà îñîáåííîñòü òåìïåðàòóðû êèïåíèÿ? Îòâåò õîðîøî èçâåñòåí: ïðè òåìïåðàòóðå êèïåíèÿ ïðîèñõîäèò íå ïðîñòî èñïàðåíèå, à èìåííî êèïåíèå, ò.å. èíòåíñèâíîå èñïàðåíèå ïî âñåìó îáúåìó æèäêîñòè. 30.01.09, 13:11 " ÊÂÀÍT 2009/¹1 Ýòî êîðîòêîå ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå, ïîäîáíî ñêàçî÷íîìó ëàðöó, âíóòðè ñîäåðæèò ãîðàçäî áîëüøå, ÷åì ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ãëÿäÿ ñíàðóæè. Âíóòðè ýòîãî «ëàðöà» ïðÿ÷åòñÿ îäíî èç îñíîâíûõ ïðåäñòàâëåíèé ôèçèêè ïîíÿòèå ðàâíîâåñèÿ. ×òîáû æèäêîñòü ìîãëà äîëãîå âðåìÿ ïðîñóùåñòâîâàòü, îíà äîëæíà íàõîäèòüñÿ â ðàâíîâåñèè ñî ñâîèì îêðóæåíèåì. Íî ðàçíûõ âèäîâ ðàâíîâåñèÿ ìîæåò áûòü ìíîãî ñòîëüêî æå, ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ðàçíûõ âèäîâ «äâèæåíèÿ», ò.å. ëþáîãî èçìåíåíèÿ ñèñòåìû æèäêîñòüãàç. Íàïðèìåð, åñòü ìåõàíè÷åñêîå ðàâíîâåñèå ìåæäó âñåìè ñèëàìè, äåéñòâóþùèìè íà æèäêîñòü èçíóòðè è ñíàðóæè. Åñòü òåïëîâîå ðàâíîâåñèå, ñòðåìÿñü ê êîòîðîìó, ãîðÿ÷èé ÷àé îñòûâàåò äî êîìíàòíîé òåìïåðàòóðû. À åùå åñòü ôèçèêîõèìè÷åñêîå ðàâíîâåñèå ñ êèñëîðîäîì, êîòîðûé èç âîçäóõà ñòðåìèòñÿ ïðîíèêíóòü â âîäó è ðàñòâîðèòüñÿ â íåé, äàâàÿ æèçíü âàøèì àêâàðèóìíûì ðûáêàì... Òàê êàêèå æå âèäû ðàâíîâåñèÿ âàæíû â äàííîì ñëó÷àå? Äàâàéòå ïîñìîòðèì íà æèäêîñòü ïîä ìèêðîñêîïîì: ìû óâèäèì â íåé ìåëü÷àéøèå ïóçûðüêè âîçäóõà. Âîäÿíîé ïàð íîðîâèò çàïîëíèòü ñîáîé ýòè ïóçûðüêè è «âçîðâàòü» æèäêîñòü èçíóòðè. Ñäåëàòü ýòî åìó íå ïîçâîëÿþò âîäÿíîé ïàð âìåñòå ñ âîçäóõîì, íàõîäÿùèåñÿ ñíàðóæè, íàä ïîâåðõíîñòüþ æèäêîñòè: îíè «ñäàâëèâàþò» æèäêîñòü, ýòî äàâëåíèå ïåðåäàåòñÿ âíóòðü îò îäíîãî ñëîÿ ê äðóãîìó, «îùóùàåòñÿ» â êàæäîì óãîëêå çàïîëíåííîãî æèäêîñòüþ îáúåìà è ñäåðæèâàåò ðîñò ïóçûðüêîâ. Êðîìå îïàñíîñòè áûòü âçîðâàííîé èçíóòðè, æèäêîñòè ãðîçèò åùå îäíà îïàñíîñòü óëåòó÷èòüñÿ, ìîëåêóëà çà ìîëåêóëîé, ÷åðåç îòêðûòóþ ïîâåðõíîñòü â îêðóæàþùåå ïðîñòðàíñòâî. Íî ýòîìó ìîæåò ïîìåøàòü âîäÿíîé ïàð, êîòîðûé óæå çàïîëíÿåò ýòî ïðîñòðàíñòâî íàä ïîâåðõíîñòüþ æèäêîñòè. Ìîëåêóëà çà ìîëåêóëîé, îí ìîæåò âîçâðàùàòüñÿ îáðàòíî â æèäêîñòü, ò.å. êîíäåíñèðîâàòüñÿ, êîìïåíñèðóÿ èñïàðåíèå. Òàêîå ôàçîâîå ðàâíîâåñèå íàñòóïàåò, íàïðèìåð, â áàíêå, íàêðûòîé êðûøêîé, â êîòîðîé íàõîäèòñÿ âîäà, à íàä íåé âëàæíûé âîçäóõ ñ íàñûùåííûì âîäÿíûì ïàðîì. Ðîëü êðûøêè ìîãóò èãðàòü òàêæå íåïîäâèæíûå âîçäóøíûå ìàññû ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ àòìîñôåðíûõ óñëîâèÿõ, è òîãäà íà çåìëå äîëãî íå âûñûõàþò ëóæè, à áåëüå íà âåðåâêàõ îñòàåòñÿ âëàæíûì, íàðóøàÿ âñå ïëàíû õîçÿåê. À ÷òî æå ïðîèñõîäèò ïðè êèïåíèè? Ïðè òåìïåðàòóðå êèïåíèÿ äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà ñòàíîâèòñÿ ñëèøêîì áîëüøèì âûðàñòàåò äî àòìîñôåðíîãî, ïóçûðüêè ðàñòóò íåóäåðæèìî, èç-ïîä êðûøêè âûðûâàåòñÿ ïàð. Íàðóøàþòñÿ îáà òèïà ðàâíîâåñèÿ æèäêîñòè. Êðûøêà ïîäïðûãèâàåò è ïîçâÿêèâàåò, íàïîìèíàÿ îá ýòîì. Ìîæíî, êîíå÷íî, êðûøêó «óêðåïèòü», ÷òîáû íå ïðûãàëà, òîãäà ïîëó÷èòñÿ ñêîðîâàðêà2 , îáà ðàâíîâåñèÿ âîññòàíîâÿòñÿ, íî òîëüêî äàâëåíèå ïîä êðûøêîé áóäåò óæå áîëüøå àòìîñôåðíîãî. Îáðàòèòå âíèìàíèå: äëÿ ïîääåðæàíèÿ ôàçîâîãî ðàâíîâåñèÿ æèäêîñòè ñ îòêðûòîé ïîâåðõíîñòüþ âàæåí òîëüêî åå ñîáñòâåííûé ïàð, åãî ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå, à êàêèå åùå ãàçû åñòü â àòìîñôåðå è â êàêîì êîëè÷åñòâå ñîâåðøåííî íå âàæíî. À âîò äëÿ ñîõðàíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïóçûðüêîâ, äëÿ òîãî ÷òîáû íå ïðîèñõîäèëî êèïåíèÿ, íåîáõîäèìî íàä ïîâåðõíîñòüþ æèäêîñòè èìåòü åùå êàêîé-íèáóäü ãàç, êðîìå ñàìîãî âîäÿíîãî ïàðà. Åñëè âû óõèòðèòåñü èç-ïîä çàêðûòîé êðûøêè îòêà÷àòü âåñü ñóõîé âîçäóõ, îñòàâèâ òàì òîëüêî âîäÿíîé ïàð, òî æèäêîñòü âñêèïèò. Íè÷åãî óäèâèòåëüíîãî: âû ïîíèçèëè âíåøíåå äàâëåíèå äî âåëè÷èíû, ñîçäàâàåìîé ëèøü îäíèì íàñûùåííûì âîäÿíûì ïàðîì, ò.å. êàê ðàç ñîçäàëè óñëîâèÿ êèïåíèÿ. 2 Ïîäðîáíåå î ïðèíöèïå ðàáîòû ñêîðîâàðêè ñì. â óïîìÿíóòîé ñòàòüå À.Âàðëàìîâà è À.Øàïèðî. 40-55.p65 42 Âîò çäåñü-òî è êðîåòñÿ ïîäâîõ, êîòîðûé ÷àñòî ìåøàåò ïîíèìàíèþ ïðîöåññîâ êèïåíèÿ è èñïàðåíèÿ. Ïðè èõ îáúÿñíåíèè ãëàâíóþ ðîëü èãðàþò ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå âîäÿíîãî ïàðà è ïîëíîå (àòìîñôåðíîå) äàâëåíèå. Ïîëíîå âíåøíåå äàâëåíèå, êàê ïðàâèëî, ñ÷èòàåòñÿ íåèçìåííîé âåëè÷èíîé, â òî âðåìÿ êàê ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå âîäÿíîãî ïàðà, íàîáîðîò, ìîæåò èçìåíÿòüñÿ ïî ìåðå èñïàðåíèÿ âîäû. È äåéñòâèòåëüíî, â êóõíå, ãäå äîëãî êèïèò ÷àéíèê, âû ìîæåòå âïîëíå ÿâñòâåííî îùóòèòü ïîâûøåíèå âëàæíîñòè, â òî âðåìÿ êàê èìåþùèéñÿ â êóõíå áàðîìåòð ïîêàçûâàåò âñå òî æå àòìîñôåðíîå äàâëåíèå. Ïî÷åìó æå ýòî äàâëåíèå íå ïîâûøàåòñÿ?  îáû÷íûõ óñëîâèÿõ ïîòîìó, ÷òî óìåíüøàþòñÿ îñòàëüíûå ñëàãàåìûå: âîäÿíîé ïàð, çàïîëíÿÿ êóõíþ, ÷àñòè÷íî âûòåñíÿåò èç íåå àçîò è êèñëîðîä, èõ ïàðöèàëüíûå äàâëåíèÿ ïàäàþò, è ñóììàðíîå äàâëåíèå îñòàåòñÿ íåèçìåííûì. À â íåîáû÷íûõ óñëîâèÿõ íàïðèìåð, â óæå óïîìèíàâøåéñÿ íàìè ñêîðîâàðêå, â ïîäçåìíûõ êàìåðàõ ãåéçåðîâ è ò.ï. ðîñò ïàðöèàëüíîãî äàâëåíèÿ âîäÿíîãî ïàðà âïîëíå ìîæåò ïðèâîäèòü è ê ðîñòó ñóììàðíîãî äàâëåíèÿ, òàê ÷òî îíî óæå ïåðåñòàåò áûòü ïîñòîÿííûì è èçìåíÿåòñÿ, íàïðèìåð ñ òåìïåðàòóðîé. Òåïåðü ìû ìîæåì âåðíóòüñÿ ê âîïðîñàì, ñ êîòîðûõ íà÷àëè ñòàòüþ. Òîëüêî ñäåëàåì ïîñëåäíèé øàæîê ÷òîáû íàãëÿäíåé ñîïîñòàâèòü îïðåäåëåíèÿ òî÷åê ðîñû è êèïåíèÿ, ñëåãêà ïåðåôîðìóëèðóåì îäíî èç íèõ. (Ïåðåôîðìóëèðîâàòü êëàññè÷åñêèå îïðåäåëåíèÿ íåáëàãîäàðíîå äåëî. Íî, íàäååìñÿ, ÷èòàòåëü îöåíèò ìåòîäè÷åñêèé ñìûñë ýòîãî ïðèåìà è ïðîñòèò íàì ýòó «ôàìèëüÿðíîñòü» ïî îòíîøåíèþ ê êëàññèêå.) Êàê èçâåñòíî, òî÷êà ðîñû ýòî òåìïåðàòóðà, ïðè êîòîðîé âîäÿíîé ïàð, ñîäåðæàùèéñÿ â àòìîñôåðå (íàðÿäó ñ àçîòîì, êèñëîðîäà è ïð.), áóäåò íàñûùåííûì. À òî÷êó êèïåíèÿ îïðåäåëèì êàê òåìïåðàòóðó, ïðè êîòîðîé áûë áû íàñûùåííûì âîäÿíîé ïàð, öåëèêîì «åäèíîëè÷íî» îáðàçóþùèé àòìîñôåðó. Îòñþäà ñðàçó ïîíÿòíî, ÷òî òî÷êà êèïåíèÿ ýòî âåðõíÿÿ ãðàíèöà äëÿ òî÷êè ðîñû è ãðàíèöà äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ æèäêîñòè (ïðè çàäàííîì âíåøíåì äàâëåíèè, êàê ïðàâèëî àòìîñôåðíîì). Ïîýòîìó, îõëàæäàÿ ãîðÿ÷èé âëàæíûé âîçäóõ, âû ìîæåòå îáíàðóæèòü ïåðâûå êàïëè æèäêîñòè ïðè ëþáîé òåìïåðàòóðå, íî òîëüêî íèæå òî÷êè êèïåíèÿ: åñëè âëàãè â âîçäóõå íåìíîãî, òî çàñòàâèòü ìîëåêóëû âîäû «ñîáðàòüñÿ âìåñòå» óäàñòñÿ, ëèøü ñèëüíî ïîíèçèâ òåìïåðàòóðó. Åñëè ïî÷òè âåñü îáúåì âîçäóõà çàïîëíåí ïàðîì, òî òî÷êà ðîñû ìîæåò îêàçàòüñÿ äîâîëüíî áëèçêî ê òî÷êå êèïåíèÿ (âñïîìíèòå, êàê âûõîäÿùèé èç êèïÿùåãî ÷àéíèêà ïàð ïîêðûâàåò êàïåëüêàìè äàæå î÷åíü ãîðÿ÷èå íà îùóïü êðûøêó èëè íîñèê). Ïîäâåäåì èòîã ñêàçàííîìó. Ïðîöåññû èñïàðåíèÿ è êèïåíèÿ æèäêîñòè îïðåäåëÿþòñÿ äâóìÿ ðàçíûìè ôàêòîðàìè: âçàèìîäåéñòâèåì æèäêîñòè ñ åå ñîáñòâåííûì ïàðîì è ñ àòìîñôåðîé â öåëîì. Ñóììàðíîå àòìîñôåðíîå äàâëåíèå ãàçà íàä æèäêîñòüþ îïðåäåëÿåò ðàâíîâåñèå ìåæäó æèäêîñòüþ è îáðàçóþùèìèñÿ âíóòðè íåå ïóçûðüêàìè, ò.å. âîçìîæíîñòü åå âñêèïàíèÿ. À ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå ïàðà îïðåäåëÿåò ðàâíîâåñèå æèäêîñòè ñ îêðóæàþùèì ïàðîì, ò.å., â ÷àñòíîñòè, âîçìîæíîñòü åå ïîëíîãî èñïàðåíèÿ èëè, íàîáîðîò, íà÷àëà êîíäåíñàöèè â òî÷êå ðîñû. Áóäåì íàäåÿòüñÿ, ÷òî íàøà ñòàòüÿ ïîìîæåò ÷èòàòåëþ óâåðåííåå îðèåíòèðîâàòüñÿ â ýòèõ, õîòÿ è î÷åíü ïðèâû÷íûõ, îäíàêî âñå æå íå âñåãäà ïðîñòûõ äëÿ ïîíèìàíèÿ âîïðîñàõ. Íî åñëè îíà ïîðîäèò íîâûå âîïðîñû áóäåò åùå ëó÷øå! Àâòîðû áëàãîäàðíû Ãåîðãèþ Åâãåíüåâè÷ó Ïóñòîâàëîâó çà èñêëþ÷èòåëüíóþ ïîääåðæêó è âíèìàíèå ê äàííîé ðàáîòå. 30.01.09, 13:11 ØÊÎËÀ Ëåãåíäà îá èñêàæåíèè ñèãíàëà Ñ.ÄÂÎÐßÍÈÍΠΠÄÍÀÆÄÛ ÔÀÐÀÎÍ ÑÍÀÐßÄÈË ÝÊÑÏÅÄÈÖÈÞ ÄËß ÐÀÇ- âåäêè íîâîãî òîðãîâîãî ïóòè, ñòðîãî-íàñòðîãî ïðèêàçàâ íà÷àëüíèêó îòðÿäà îòïðàâëÿòü ãîíöà ñ äîíåñåíèåì â ïåðâîïðåñòîëüíóþ ÷åðåç êàæäûå äâîå ñóòîê. Íå ñìåëè îñëóøàòüñÿ ïîä÷èíåííûå ýòîãî ïðèêàçà. Òî÷íî ïî ðàñïèñàíèþ ñàäèëñÿ î÷åðåäíîé ãîíåö íà êîíÿ è íàïðàâëÿëñÿ â ñòîëèöó ê ôàðàîíó. Êàêîâî æå áûëî èçóìëåíèå íà÷àëüíèêà îòðÿäà, êîãäà ïîñëå óäà÷íîãî âîçâðàùåíèÿ ìîãóùåñòâåííûé âëàäûêà âñòðåòèë åãî ñ ìðà÷íûì âèäîì è îáâèíèë â íåïîñëóøàíèè. Îêàçûâàåòñÿ, ãîíöû íà÷àëè ïðèáûâàòü ê íåìó ñ èíòåðâàëîì â òðîå ñóòîê, à ïîä êîíåö íè ñ òîãî íè ñ ñåãî âäðóã ñòàëè ïîÿâëÿòüñÿ ÷åðåç êàæäûå ñóòêè. Èñòîðèÿ óìàë÷èâàåò î äàëüíåéøåé ñóäüáå íà÷àëüíèêà ýêñïåäèöèè. À êàêîå ìîæíî áûëî áû ïðèäóìàòü îïðàâäàíèå, îêàçàâøèñü íà åãî ìåñòå? Ïðèâåäåì îäèí èç âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ. Íà ðèñóíêå ïîêàçàíû ãðàôèêè äâèæåíèÿ ýêñïåäèöèè (ñèíÿÿ ëîìàíàÿ) è  "! «ÊÂÀÍÒÅ» íû îêàçûâàåòñÿ áîëüøå, ÷åì ÷àñòîòà èñïóñêàåìîé, ò.å. ÷àñòîòà óâåëè÷èâàåòñÿ, à åñëè ðàññòîÿíèå óâåëè÷èâàåòñÿ, òî ÷àñòîòà óìåíüøàåòñÿ. Èìåííî ýòîò ýôôåêò ïðîÿâèëñÿ â îïèñàííîé âûøå ïðàâäèâîé èñòîðèè: ïîêà îòðÿä (èñòî÷íèê ñèãíàëîâ-ãîíöîâ) óäàëÿëñÿ îò ôàðàîíà (íåïîäâèæíîãî íàáëþäàòåëÿ), ÷àñòîòà ïðèåìà ñèãíàëà óìåíüøàëàñü, à êîãäà îòðÿä ñòàë ïðèáëèæàòüñÿ ê ôàðàîíó, ÷àñòîòà óâåëè÷èâàëàñü. Ïðàâäà, â òåêñòå ðå÷ü øëà íå î ÷àñòîòå èñïóñêàíèÿ è ïðèåìà ñèãíàëîâ, à îá îáðàòíîé âåëè÷èíå ïåðèîäå, ò.å. îá èíòåðâàëå âðåìåíè ìåæäó èñïóñêàåìûìè èëè ïðèíèìàåìûìè ñèãíàëàìè. Êàêèìè æå ôîðìóëàìè îïèñûâàåòñÿ ýôôåêò Äîïëåðà? Íà÷íåì ñ íàøåé èñòîðèè, ò.å. ñî ñëó÷àÿ, êîãäà èñòî÷íèê äâèæåòñÿ, à íàáëþäàòåëü íåïîäâèæåí. Ïóñòü vè ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé èñòî÷íèê óäàëÿåòñÿ îò íàáëþäàòåëÿ, Tè ïåðèîä èñïóñêàíèÿ ñèãíàëîâ, V ñêîðîñòü ñèãíàëà. Ê ìîìåíòó èñïóñêàíèÿ ñëåäóþùåãî ñèãíàëà ïðåäûäóùèé ñèãíàë ïåðåìåùàåòñÿ â ñòîðîíó íàáëþäàòåëÿ íà ðàññòîÿíèå VTè , à ñàì èñòî÷íèê ïðîõîäèò â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè ðàññòîÿíèå vè Tè . Çíà÷èò, ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ñèãíàëàìè (äâóìÿ ãîíöàìè, äâóìÿ ãðåáíÿìè âîëíû) ðàâíî λ = (vè + V ) Tè . Ïîñêîëüêó îáà ñèãíàëà äâèæóòñÿ ñî ñêîðîñòüþ V, òî èíòåðâàë âðåìåíè ìåæäó ïðèåìàìè ýòèõ ñèãíàëîâ íåïîäâèæíûì íàáëþäàòåëåì ðàâåí Tí = Åñëè èñòî÷íèê ïðèáëèæàåòñÿ ê íàáëþäàòåëþ, òî ñêîðîñòü èñòî÷íèêà â ýòîé ôîðìóëå íàäî ñ÷èòàòü îòðèöàòåëüíîé.  îïèñàííîé èñòîðèè ñêîðîñòü îòðÿäà vè áûëà â äâà ðàçà ìåíüøå ñêîðîñòè ãîíöîâ V, ïîýòîìó ïåðèîä ïðèåìà (âðåìÿ ìåæäó ïðèáûòèÿìè ãîíöîâ) ñíà÷àëà â ïîëòîðà ðàçà óâåëè÷èâàëñÿ, à ïîòîì â äâà ðàçà óìåíüøàëñÿ. Ðàññìîòðèì òåïåðü âòîðîé âàðèàíò: èñòî÷íèê íåïîäâèæåí, à íàáëþäàòåëü óäàëÿåòñÿ îò íåãî ñî ñêîðîñòüþ ví (åñëè íàáëþäàòåëü ïðèáëèæàåòñÿ ê èñòî÷íèêó, òî ví < 0). Òàêîìó âàðèàíòó ñîîòâåòñòâîâàëà áû èñòîðèÿ, â êîòîðîé ôàðàîí ïóòåøåñòâóåò, à åãî ïîìîùíèêè øëþò ê íåìó èç ñòîëèöû ãîíöîâ ñ èíôîðìàöèåé.  ýòîì ñëó÷àå èçìåíåíèå ïåðèîäà îïèñûâàåòñÿ íåìíîãî äðóãîé ôîðìóëîé. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñèãíàëàìè ðàâíî òåïåðü λ = VTè , à âðåìÿ ìåæäó ïðèåìàìè äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ñèãíàëîâ ñîñòàâëÿåò Tí = ãîíöîâ (êðàñíûå îòðåçêè). Ñêîðîñòü ãîíöîâ â äâà ðàçà ïðåâûøàåò ñêîðîñòü ýêñïåäèöèè. Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî ãîíöû ñ äîíåñåíèåì îòïðàâëÿëèñü òî÷íî â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèêàçîì ôàðàîíà ÷åðåç äâîå ñóòîê, à ïðèáûâàëè â ñòîëèöó ñíà÷àëà ñ èíòåðâàëîì â òðîå ñóòîê, à çàòåì ÷åðåç ñóòêè. Èñòîðèÿ ãðîçíîãî ôàðàîíà ÿâëÿåòñÿ êðàñèâîé íàãëÿäíîé èëëþñòðàöèåé èçâåñòíîãî ôèçè÷åñêîãî ýôôåêòà ýôôåêòà Äîïëåðà (òî÷íåå ïðîäîëüíîãî ýôôåêòà Äîïëåðà), êîòîðûé èìååò îãðîìíîå íàó÷íîå è ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå.  1842 ãîäó Êðèñòèàí Äîïëåð (18031853) äàë ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå ñëåäóþùåìó íàáëþäàåìîìó ýôôåêòó. Ïóñòü èìåþòñÿ èñòî÷íèê, èñïóñêàþùèé âîëíó, è íàáëþäàòåëü, ïðèíèìàþùèé ýòó âîëíó. Òîãäà åñëè èñòî÷íèê èëè íàáëþäàòåëü äâèæóòñÿ îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé ñðåäû òàê, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè ìåíÿåòñÿ, òî ÷àñòîòà (ïåðèîä) âîëíû, ïðèíèìàåìîé íàáëþäàòåëåì, îòëè÷àåòñÿ îò ÷àñòîòû èçëó÷àåìîé âîëíû. Òàê, åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó èñòî÷íèêîì è íàáëþäàòåëåì óìåíüøàåòñÿ, òî ÷àñòîòà ïðèíèìàåìîé âîë- 40-55.p65 43 V + vè λ = Tè . V V V λ = Tè . V - ví V - ví Åñëè, êàê è â ïåðâîé èñòîðèè, ñêîðîñòü îòðÿäà ñ ôàðàîíîì áóäåò â äâà ðàçà ìåíüøå ñêîðîñòè ãîíöîâ, òî ïðè óäàëåíèè îòðÿäà ïåðèîä óâåëè÷èâàåòñÿ â äâà ðàçà, à ïðè ïðèáëèæåíèè îòðÿäà ê ñòîëèöå ïåðèîä ïðèåìà óìåíüøàåòñÿ è ñîñòàâëÿåò 2/3 îò ïåðèîäà èñïóñêàíèÿ (îòïðàâêè ãîíöîâ èç ñòîëèöû). Åñëè æå äâèæóòñÿ è èñòî÷íèê, è íàáëþäàòåëü, òî èçìåíåíèå ïåðèîäà îïèñûâàåòñÿ òàêîé îáùåé ôîðìóëîé: Tí = Tè V + vè , V - ví ãäå vè ñêîðîñòü óäàëåíèÿ èñòî÷íèêà îò íàáëþäàòåëÿ, ví ñêîðîñòü óäàëåíèÿ íàáëþäàòåëÿ îò èñòî÷íèêà. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôîðìóëà äëÿ ÷àñòîòû ν = 1 T èìååò âèä νí = νè V - ví . V + vè Îòìåòèì, ÷òî âñå ïðèâåäåííûå ôîðìóëû îòíîñÿòñÿ ê ñëó÷àþ äâèæåíèÿ âäîëü îäíîé ïðÿìîé. Ýôôåêò Äîïëåðà äëÿ çâóêîâûõ âîëí ëåãêî, íàïðèìåð, îáíàðóæèòü, íàáëþäàÿ çà ïðèáëèæàþùåéñÿ ýëåêòðè÷êîé. 30.01.09, 13:11 "" ÊÂÀÍT 2009/¹1 Åñëè ìèìî æåëåçíîäîðîæíîé ïëàòôîðìû ïðîíîñèòñÿ ãóäÿùèé ïîåçä, òî ñíà÷àëà ñëûøåí âûñîêèé çâóê (÷àñòîòà çâóêîâîé âîëíû íà ñëóõ âîñïðèíèìàåòñÿ êàê âûñîòà çâóêà), çàòåì, ïî ìåðå óäàëåíèÿ ïîåçäà, çâóê ñòàíîâèòñÿ âñå íèæå è íèæå. Ýôôåêò Äîïëåðà ïðîÿâëÿåòñÿ è ïî îòíîøåíèþ ê ýëåêòðîìàãíèòíûì âîëíàì, â ÷àñòíîñòè ê ðàñïðîñòðàíåíèþ ñâåòà. Ïðàâäà, â ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëû äëÿ ýôôåêòà Äîïëåðà íåñêîëüêî âèäîèçìåíÿþòñÿ. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â âàêóóìå, à íå â ñðåäå, è â îòâåò ìîæåò âõîäèòü òîëüêî îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü íàáëþäàòåëÿ è èñòî÷íèêà v. Ïîýòîìó âìåñòî äâóõ ôîðìóë äëÿ äâèæåíèÿ íàáëþäàòåëÿ è äëÿ äâèæåíèÿ èñòî÷íèêà îñòàåòñÿ òîëüêî îäíà: V-v νí = νè . V+v Ýòà ôîðìóëà âûâîäèòñÿ â ðàìêàõ ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. Ïðåäñòàâèì, ÷òî íà êîíå ì÷èòñÿ âñàäíèê, äåðæàùèé â ðóêàõ ôîíàðü çåëåíîãî öâåòà. ×àñòîòû ñâåòîâûõ âîëí âîç- ðàñòàþò ïðè ïåðåõîäå îò êðàñíîãî öâåòà ê ôèîëåòîâîìó. Òàê âîò, åñëè âñàäíèê ñ ôîíàðåì óäàëÿåòñÿ îò íàñ, òî öâåò âîñïðèíèìàåìîãî íàìè ñâåòà áóäåò êàçàòüñÿ íàì ìåíåå çåëåíûìè è áîëåå æåëòûì. Íî îá ýòîì ìîæíî ãîâîðèòü v äëÿ ñêîðîñòåé ñâåòà V = òîëüêî òåîðåòè÷åñêè: äðîáü V = 300000 êì/ñ è âñàäíèêà v = V íàñòîëüêî ìàëà, ÷òî åå âðÿä ëè ñòîèò ïðèíèìàòü â ðàñ÷åò. Äðóãîå äåëî êîñìè÷åñêèå îáúåêòû: ãàëàêòèêè, óäàëÿþùèåñÿ îò íàñ ñ îãðîìíûìè ñêîðîñòÿìè.  ñâåòîâîì ñïåêòðå ãàëàêòèê ïðèáîðû ðåãèñòðèðóþò ñìåùåíèå â ñòîðîíó êðàñíîãî öâåòà, çíà÷èò, ãàëàêòèêè ðàçáåãàþòñÿ äðóã îò äðóãà, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò î ðàñøèðåíèè Âñåëåííîé. Ïîñêîëüêó ýôôåêò Äîïëåðà ïîçâîëÿåò èçìåðÿòü ñêîðîñòü íåäîñòóïíîãî èñòî÷íèêà èçëó÷åíèÿ âîëí ïî ñìåùåíèþ èõ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé, òî îí ñòàíîâèòñÿ óäîáíûì èíñòðóìåíòîì âî ìíîãèõ îáëàñòÿõ íàóêè è òåõíèêè: â àñòðîôèçèêå, ñïåêòðîñêîïèè, ðàäèî- è ãèäðîëîêàöèè è äðóãèõ. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ Ïàðàäîêñû êîìàíäíûõ ñîðåâíîâàíèé  ìàò÷å I òèïà ïîáåæäàåò êîìàíäà A, â ìàò÷å II òèïà êîìàíäà B. Äåéñòâèòåëüíî, ñîñòàâèì òàáëèöó ñîðåâíîâàíèé: Ë.ÈËÜÊÎÂ Ì Û ÁÓÄÅÌ ÐÀÑÑÌÀÒÐÈÂÀÒÜ ÊÎÌÀÍÄÍÛÅ ÑÎÐÅÂÍÎ- âàíèÿ â èíäèâèäóàëüíûõ âèäàõ ñïîðòà, íàïðèìåð, â øàõìàòàõ. Äëÿ óïðîùåíèÿ ñèòóàöèè ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå êîìàíäû ñîñòîÿò èç «èäåàëüíûõ» èãðîêîâ: ó êàæäîãî èãðîêà åñòü ðåéòèíã, îòðàæàþùèé åãî ñèëó, èãðîê âñåãäà ïîáåæäàåò èãðîêà ñ ìåíüøèì ðåéòèíãîì è èãðàåò âíè÷üþ ñ ðàâíûì ïî ñèëå. Åñòü äâà ñïîñîáà ïðîâåäåíèÿ (äâà òèïà) êîìàíäíûõ ñîðåâíîâàíèé: I.  êàæäîé êîìàíäå èãðîêè óïîðÿäî÷èâàþòñÿ «ïî äîñêàì», îáû÷íî â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ ðåéòèíãà, è êàæäûé èãðîê ó÷àñòâóåò òîëüêî â îäíîé ïàðòèè ñ ñîîòâåòñòâóþùèì ÷ëåíîì äðóãîé êîìàíäû (âñåãî N ïàðòèé, ãäå N êîëè÷åñòâî èãðîêîâ â êîìàíäå). II. Êàæäûé èãðîê èãðàåò ñî âñåìè èãðîêàìè äðóãîé êîìàíäû (âñåãî N 2 ïàðòèé). Ïàðàäîêñ 1 Êîìàíäà, ïîáåäèâøàÿ â ìàò÷å îäíîãî òèïà, ìîæåò ïðîèãðàòü â ìàò÷å äðóãîãî òèïà. Ïðèâåäåì òàêîé ïðèìåð. Íèæå óêàçàíû äâå êîìàíäû ïî 5 èãðîêîâ â êàæäîé (äàíû ðåéòèíãè èãðîêîâ): A: 6 4 3 3 2 B: 5 4 4 3 1 40-55.p65 44  ïåðâîì ñòîëáöå òàáëèöû ðåéòèíãè èãðîêîâ êîìàíäû À, â ïåðâîé ñòðîêå êîìàíäû Â. Ðåçóëüòàòû ìàò÷à II òèïà ïîêàçàíû â êëåòêàõ ïåðåñå÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòðîê è ñòîëáöîâ: 1 âûèãðûø èãðîêà êîìàíäû À, 0 ïðîèãðûø, 1/2 íè÷üÿ. Ïî äèàãîíàëè â òàáëèöå âûäåëåíû ðåçóëüòàòû ìàò÷à I òèïà. Ïîñëåäíèé ñòîëáåö ñóììû î÷êîâ èãðîêîâ êîìàíäû À äëÿ ìàò÷à II òèïà. Êàê âèäèì, â ìàò÷å I òèïà ó êîìàíäû A 3 î÷êà èç 5, ó êîìàíäû  2; ïîáåæäàåò êîìàíäà À. Äëÿ ìàò÷à II òèïà îáùàÿ ñóììà î÷êîâ êîìàíäû A 12 èç 25 âîçìîæíûõ, à ó êîìàíäû  13; ïîáåæäàåò êîìàíäà Â.  äàëüíåéøåì äëÿ óäîáñòâà ìû áóäåì ÷àñòî âìåñòî «êîìàíäà À ïîáåæäàåò êîìàíäó » ïèñàòü ïðîñòî A > B. Çàäà÷à 1. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè êîëè÷åñòâî èãðîêîâ â êîìàíäàõ ìåíåå 5, ýòîò ïàðàäîêñ íåâîçìîæåí. Óêàçàíèå. Âîñïîëüçóéòåñü îãðàíè÷åíèÿìè, êîòîðûå íàêëàäûâàþòñÿ íà ðàñïîëîæåíèå ðåçóëüòàòîâ â òàáëèöå óïîðÿäî÷åííîñòüþ åå ñòðîê è ñòîëáöîâ ïî ðåéòèíãó. Ïàðàäîêñ 2 Ñóùåñòâóþò òðîéêè êîìàíä, èç êîòîðûõ êàæäàÿ âûèãðûâàåò ó îäíîé èç ñîïåðíèö, íî ïðîèãðûâàåò äðóãîé (îòñóòñòâèå òðàíçèòèâíîñòè). Îïåðàöèÿ ñðàâíåíèÿ ÷èñåë îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: åñëè a > b è b > c, òî a > c. Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ 30.01.09, 13:11 ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ òðàíçèòèâíîñòüþ. Èì îáëàäàþò è íàøè «èäåàëüíûå» èãðîêè, åñëè ñðàâíèâàòü èõ ðåéòèíãè. Íî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî òðàíçèòèâíîñòü â ãðóïïîâûõ èãðàõ âûïîëíÿåòñÿ äàëåêî íå âñåãäà. Íèæå óêàçàíû òðè êîìàíäû ïî òðè èãðîêà â êàæäîé (äàíû ðåéòèíãè èãðîêîâ): A: 5 2 2 B: 4 4 1 C: 3 3 3 Ýòè êîìàíäû ïðè ëþáîì ñïîñîáå ïðîâåäåíèÿ ñîðåâíîâàíèé îáûãðûâàþò äðóã äðóãà öèêëè÷åñêè. Äåéñòâèòåëüíî, â I ñëó÷àå ðåçóëüòàòû èãð òàêîâû: A : B = B : C = C : A = 2 : 1. Âî II ñëó÷àå A : B = 5 : 4, B : C = C : A = 6 : 3. Ìåæäó òåì, ñóùåñòâóþò òðîéêè êîìàíä, îáëàäàþùèå òðàíçèòèâíîñòüþ òîëüêî äëÿ îäíîãî ñïîñîáà ïðîâåäåíèÿ ñîðåâíîâàíèé. Òàê, êîìàíäû A: 6 3 3 2 B: 5 5 3 1 C: 4 4 3 3 îáûãðûâàþò äðóã äðóãà öèêëè÷åñêè, ñîðåâíóÿñü I ñïîñîáîì: A > B, B > C, C > A. Ïðè II ñïîñîáå öèêëè÷íîñòè íåò, íî è òðàíçèòèâíîñòè òîæå íåò: À = B, B > C, C > A. Åñëè èç ýòèõ êîìàíä óáðàòü èãðîêîâ òðåòüåé äîñêè (ó íèõ îäèíàêîâûé ðåéòèíã 3), òî ñîîòíîøåíèå êîìàíä â I ñëó÷àå, êîíå÷íî, íå èçìåíèòñÿ, à âî II ñëó÷àå òîæå ïîÿâèòñÿ öèêëè÷íîñòü: A > B, B > C, C > A. Ýòîò ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî öèêëè÷íîñòü «êðàéíèé» ñëó÷àé íàðóøåíèÿ òðàíçèòèâíîñòè: îòñóòñòâèå òðàíçèòèâíîñòè íå îáÿçàòåëüíî ñîïðîâîæäàåòñÿ öèêëè÷íîñòüþ. Êîìàíäû A: 5 2 2 B: 4 3 1 C: 3 3 2 îáëàäàþò öèêëè÷íîñòüþ âî II ñëó÷àå: A > B, B > C, C > A.  I ñëó÷àå íåò íè öèêëè÷íîñòè, íè òðàíçèòèâíîñòè: A > B, B = C, C = A.  ñîðåâíîâàíèÿõ êîìàíä, ñîñòîÿùèõ èç äâóõ èãðîêîâ, öèêëè÷íîñòü íåâîçìîæíà, õîòÿ íàðóøåíèÿ òðàíçèòèâíîñòè íàáëþäàþòñÿ. Çàäà÷à 2. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ êîìàíä èç äâóõ èãðîêîâ öèêëè÷íîñòü íåâîçìîæíà. Ïàðàäîêñ 3 Ñóùåñòâóþò òðîéêè êîìàíä ñ ðàçíîíàïðàâëåííîé äëÿ ðàçíûõ òèïîâ ñîðåâíîâàíèé öèêëè÷íîñòüþ. Ýòîò ïàðàäîêñ êàê áû îáúåäèíÿåò â ñåáå ïàðàäîêñû 1 è 2. Ïðèìåð êîìàíäû A: 11 9 6 3 1 B: 10 7 5 5 4 C: 8 7 7 5 2.  ñîðåâíîâàíèÿõ I òèïà A > B, B > C, C > A; â ñîðåâíîâàíèÿõ æå II òèïà A < B, B < C, C < A. Âåçäå ïðåèìóùåñòâî ìèíèìàëüíîå 1 î÷êî. Çàäà÷à 3. Íàéäèòå åùå îäèí èëè áîëåå ïðèìåðîâ ýòîãî ïàðàäîêñà äëÿ êîìàíä èç ïÿòè èãðîêîâ. Ïðèìå÷àíèå. Ðåøåíèå äîëæíî ñóùåñòâåííî îòëè÷àòüñÿ îò ïðèâåäåííîãî ïðèìåðà. Ëåãêî ïîñòðîèòü «íîâîå» ðåøåíèå èç ïðèâåäåííîãî, ëèøü èçìåíèâ ðåéòèíãè èãðîêîâ òàê, ÷òîáû íè îäèí ðåçóëüòàò ëè÷íûõ âñòðå÷ íå èçìåíèëñÿ. Ýòî äîñòèãàåòñÿ, íàïðèìåð, ñäâèãîì ðåéòèíãîâ èëè óìíîæåíèåì èõ íà íåêîòîðûé êîýôôèöèåíò. Ïîýòîìó ââîäèòñÿ äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå: âñå ðåéòèíãè öåëûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà è çàíèìàþò áåç ïðîïóñêîâ íåêîòîðûé äèàïàçîí öåëûõ ÷èñåë 1 : k (â ïðèìåðå 1 : 11). 40-55.p65 45 ÊÐÓÆÎÊ "# Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ìîæíî ñîñòàâèòü êîìïüþòåðíóþ ïðîãðàììó; áåç êîìïüþòåðà çàäà÷à êàæåòñÿ òðóäíîé. Ñ ïîìîùüþ òàêîé ïðîãðàììû áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî â ñîðåâíîâàíèÿõ êîìàíä, ñîñòîÿùèõ èç òðåõ èãðîêîâ, öèêëè÷íîñòü âîçìîæíà, åñëè êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ ðåéòèíãîâ èãðîêîâ k ³ 5 . Äëÿ êîìàíä èç ÷åòûðåõ èãðîêîâ óæå ïðè k = 4 âîçìîæíà öèêëè÷íîñòü, íî òîëüêî â ñîðåâíîâàíèÿõ II òèïà. Ïðè k £ 3 öèêëè÷íîñòü íåâîçìîæíà äëÿ êîìàíä ëþáîãî ðàçìåðà. Ïðîáëåìà 1. Äîêàçàòü, ÷òî â ñîðåâíîâàíèÿõ êîìàíä èç òðåõ èãðîêîâ ïðè êîëè÷åñòâå ðàçëè÷íûõ ðåéòèíãîâ èãðîêîâ k £ 4 öèêëè÷íîñòü íåâîçìîæíà. Ïðîáëåìà 2. Äîêàçàòü, ÷òî â ñîðåâíîâàíèÿõ II òèïà êîìàíä èç ÷åòûðåõ èãðîêîâ ïðè êîëè÷åñòâå ðàçëè÷íûõ ðåéòèíãîâ èãðîêîâ k £ 4 öèêëè÷íîñòü íåâîçìîæíà. Ïðîáëåìà 3. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè êîëè÷åñòâå ðàçëè÷íûõ ðåéòèíãîâ èãðîêîâ k £ 3 öèêëè÷íîñòü íåâîçìîæíà â ñîðåâíîâàíèÿõ êîìàíä ëþáîãî ðàçìåðà. «Âîëøåáíûå» êóáèêè (èãðàëüíûå êîñòè) Ïðåäñòàâüòå ñåáå, ÷òî ó âàñ åñòü òðè êóáèêà. Îáû÷íûå øåñòèãðàííûå êóáèêè, íà êàæäîé ãðàíè êîòîðûõ íàïèñàíû íåêîòîðûå ÷èñëà. Âû ïðåäëàãàåòå ñâîåìó ïàðòíåðó âçÿòü ëþáîé êóáèê, êîòîðûé åìó áîëüøå ïîíðàâèëñÿ, à ñåáå âûáèðàåòå îäèí èç äâóõ îñòàâøèõñÿ êóáèêîâ. Äàëåå âû íà÷èíàåòå èãðàòü: êàæäûé áðîñàåò ñâîé êóáèê, è âûèãðûâàåò òîò, íà ÷üåì êóáèêå âûïàäåò áîëüøåå ÷èñëî. Òàê âîò, êóáèêè ìîãóò áûòü òàêèìè, ÷òî ïðè áîëüøîì ÷èñëå áðîñàíèé â ñðåäíåì âû áóäåòå â âûèãðûøå, òî åñòü áóäåòå ÷àùå âûèãðûâàòü ó ïàðòíåðà. Äàæå åñëè ïàðòíåð ïîìåíÿåò êóáèê, íàïðèìåð, âîçüìåò êóáèê, êîòîðûì èãðàëè âû, òî îí âñå ðàâíî áóäåò ïðîèãðûâàòü, åñëè âû âîñïîëüçóåòåñü ïðàâîì âûáðàòü ñåáå êóáèê èç äâóõ îñòàâøèõñÿ. Ìîæåò ëè òàêîå áûòü? Îêàçûâàåòñÿ, ìîæåò. Âåñü ñåêðåò â ÷èñëàõ, êîòîðûå ðàññòàâëåíû íà ãðàíÿõ êóáèêîâ. Çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû íàéòè ýòè ÷èñëà è ðàññòàâèòü èõ íà ãðàíÿõ òðåõ êóáèêîâ òàê, ÷òîáû êóáèêè îáëàäàëè îïèñàííûì âûøå «âîëøåáíûì» ñâîéñòâîì. Èíòåðåñíî, ÷òî ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è ìîæåò ñëóæèòü ÷àñòíûé ñëó÷àé öèêëè÷íîñòè â êîìàíäíûõ ñîðåâíîâàíèÿõ. Äåéñòâèòåëüíî, âîçüìåì òðè êîìàíäû ïî øåñòü èãðîêîâ, öèêëè÷åñêè îáûãðûâàþùèå ñîïåðíèêîâ â ñîðåâíîâàíèÿõ II òèïà. Ýòî ëåãêî ñäåëàòü, íàïðèìåð, «óäâîèâ» èãðîêîâ â ïåðâîì ïðèìåðå ïàðàäîêñà 2: A: 5 5 2 2 2 2 B: 4 4 4 4 1 1 C: 3 3 3 3 3 3 Äàëåå âîçüìåì òðè êóáèêà, èñïîëüçóåìûå â àçàðòíûõ èãðàõ, è âìåñòî öèôð 1 6 íàíåñåì íà èõ ãðàíè ðåéòèíãè òðåõ êîìàíä. Òåïåðü êóáèêè ñòàëè «âîëøåáíûìè» îíè îáëàäàþò îïèñàííûì âûøå ñâîéñòâîì, ïîìîãàþùèì èõ îáëàäàòåëþ âûèãðûâàòü ó ïàðòíåðà. Êàêîé áû êóáèê íè âûáðàë âàø ïàðòíåð, ñðåäè äâóõ îñòàâøèõñÿ âñåãäà èìååòñÿ îäèí, êîòîðûé äàåò âàì áîëüøå øàíñîâ âûèãðàòü, ÷åì ïàðòíåðó. Äëÿ ýòîãî âàì íóæíî âûáèðàòü êóáèê, ÷üÿ «êîìàíäà» ñèëüíåå «êîìàíäû» ïàðòíåðà. Äåéñòâèòåëüíî, îäíîâðåìåííîå áðîñàíèå äâóõ êóáèêîâ ýòî âûáîð îäíîé èç 36 ïàðòèé ñîðåâíîâàíèÿ II òèïà. Åñëè «âàøà êîìàíäà» îáûãðûâàåò «êîìàíäó ïàðòíåðà» ñî ñ÷åòîì m : n, ãäå m > n, m + n = 36, òî èç 36 âîçìîæíûõ èñõîäîâ áðîñàíèÿ âû âûèãðûâàåòå â m ñëó÷àÿõ, à ïàðòíåð â n ñëó÷àÿõ. Âåðîÿòíîñòü âàøåãî âûèãðûøà P = m/36, P > > 1/2. Ðåçóëüòàòû «êîìàíäíûõ èãð» äëÿ íàøèõ êóáèêîâ ñëåäóþùèå: A : B = 20 : 16, B : C = C : A = 24 : 12. 30.01.09, 13:11 "$ ÊÂÀÍT 2009/¹1 Òàêèì îáðàçîì, â íàèõóäøåì ñëó÷àå, êîãäà âàø ïàðòíåð âûáèðàåò êóáèê B, à âû êóáèê A, âåðîÿòíîñòü âàøåãî âûèãðûøà P = 20/36 = 5/9.  îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ ýòà âåðîÿòíîñòü áóäåò áîëüøå. Ïðîáëåìà 4. Êàêóþ íàèáîëüøóþ âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà (â ñëó÷àå èñïîëüçîâàíèÿ ñàìîé «ïëîõîé» ïàðû) ìîæåò îáåñïå÷èòü âëàäåëüöó íàèëó÷øèé íàáîð èç òðåõ âîëøåáíûõ êóáèêîâ? Ïðèìå÷àíèå. Êîíå÷íî, ìîæíî ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðíîé ïðîãðàììû ïåðåáðàòü âñå âàðèàíòû (òàê êàê èìååòñÿ âñåãî êîíå÷íîå ÷èñëî ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íûõ âàðèàíòîâ ñìîòðèòå ïðåäûäóùåå ïðèìå÷àíèå). Èíòåðåñíî, îäíàêî, îïðåäåëèòü ýòó âåðîÿòíîñòü èëè õîòÿ áû ïîëó÷èòü äëÿ íåå îöåíêè ñíèçó è ñâåðõó ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêè. Çàäà÷à 4. Ñêîíñòðóèðóéòå òðîéêó «âîëøåáíûõ êóáèêîâ» òàê, ÷òîáû íà âñåõ ãðàíÿõ êóáèêîâ ôèãóðèðîâàëè òîëüêî ÷åòûðå ÷èñëà 1, 2, 3, 4 (ðàçóìååòñÿ, ñ ïîâòîðåíèÿìè). (Âûøå ïðèâåäåí ïðèìåð «âîëøåáíûõ êóáèêîâ» ñ ÷èñëàìè 1, 2, 3, 4, 5. ×åòûðå ÷èñëà, ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ ïðîáëåìû 3, ýòî ìèíèìàëüíûé íàáîð). Çàäà÷à 5. Ñêîíñòðóèðóéòå òðîéêó «âîëøåáíûõ êóáèêîâ» òàê, ÷òîáû íà âñåõ 18 ãðàíÿõ áûëè ðàçëè÷íûå ÷èñëà. Î ëîãè÷íûõ è íåëîãè÷íûõ òóðíèðàõ  1997 ãîäó â æóðíàëå «Êâàíò» (¹5) áûëà îïóáëèêîâàíà ñòàòüÿ À.Çàñëàâñêîãî ñ òàêèì íàçâàíèåì.  ñòàòüå èçó÷àþòñÿ íåêîòîðûå ñâîéñòâà òàáëèö ñîðåâíîâàíèé, ïðîâîäÿùèõñÿ ïî êðóãîâîé ñèñòåìå, êîãäà êàæäûé ó÷àñòíèê ñîðåâíîâàíèé âñòðå÷àåòñÿ ñî âñåìè îñòàëüíûìè ó÷àñòíèêàìè. Ââîäèòñÿ âåëè÷èíà ñòåïåíü íåëîãè÷íîñòè òóðíèðà, ðàâíàÿ êîëè÷åñòâó íåòðàíçèòèâíûõ òðîåê â òàáëèöå ðåçóëüòàòîâ, è âûâîäÿòñÿ ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýòîé âåëè÷èíû ÷åðåç ðåçóëüòàòû ó÷àñòíèêîâ.  êîíöå ñòàòüè óêàçûâàåòñÿ, ÷òî âåëè÷èíà ñòåïåíè íåëîãè÷íîñòè èñïîëüçóåòñÿ â òåîðèè ýêñïåðòíûõ îöåíîê äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîìïåòåíòíîñòè ýêñïåðòîâ, îöåíèâàþùèõ êà÷åñòâî êàêèõ-ëèáî îáúåêòîâ. Ýêñïåðòó ïðåäëàãàåòñÿ îöåíèòü ãðóïïó îäíîòèïíûõ îáúåêòîâ ïóòåì èõ ïîëíîãî ïîïàðíîãî ñðàâíåíèÿ. ×åì áîëüøå ñòåïåíü íåëîãè÷íîñòè òàáëèöû îöåíîê (ò.å., ÷åì áîëüøå â òàáëèöå íåòðàíçèòèâíûõ òðîåê), òåì ìåíåå êîìïåòåíòíûì ïðèçíàåòñÿ ýêñïåðò. Íàïðàøèâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ ìûñëü: ïðè òàêîé îöåíêå êîìïåòåíòíîñòè ýêñïåðòà ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïðàâèëüíàÿ îöåíêà îáúåêòîâ ëþáîãî òèïà äîëæíà áûòü òðàíçèòèâíîé, à ëþáàÿ íåòðàíçèòèâíàÿ òðîéêà â òàáëèöå ñëåäñòâèå îøèáêè ýêñïåðòà.  äåéñòâèòåëüíîñòè âñå íå òàê ïðîñòî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáúåêòû èìåþò íåñêîëüêî íåçàâèñèìûõ õàðàêòåðèñòèê (íàïðèìåð, âêóñ, öâåò, çàïàõ è òîìó ïîäîáíîå). Ïðè ñðàâíåíèè ïàðû îáúåêòîâ ëó÷øèì áóäåì ñ÷èòàòü òîò èç íèõ, êîòîðûé èìååò áîëüøåå êîëè÷åñòâî ëó÷øèõ õàðàêòåðèñòèê. Òàêèì îáðàçîì ìû ñâîäèì ñðàâíåíèå ïàðû îáúåêòîâ ê êîìàíäíîìó ñîðåâíîâàíèþ I òèïà, ãäå îáúåêòû ñòàíîâÿòñÿ êîìàíäàìè, à èãðîêàìè ÿâëÿþòñÿ õàðàêòåðèñòèêè ýòèõ îáúåêòîâ. Ìû âèäåëè, ÷òî â òàêèõ ñîðåâíîâàíèÿõ òðàíçèòèâíîñòü íå ñîáëþäàåòñÿ, è ñëåäîâàòåëüíî, òàêàÿ îöåíêà îáúåêòîâ íå ÿâëÿåòñÿ òðàíçèòèâíîé. Ñèòóàöèÿ íå èçìåíèòñÿ, åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî õàðàêòåðèñòèêè íå ðàâíîçíà÷íû, è ñóììèðîâàòü «ïîáåäû» ñ íåêîòîðûìè âåñàìè.  ýòîì ñëó÷àå â íàøåé ìîäåëè íóæíî ñ÷èòàòü, ÷òî â «êîìàíäå» åñòü íåñêîëüêî «èãðîêîâ» êàæäîãî òèïà (ðàâíîé «ñèëû»), è èõ êîëè÷åñòâî ïðîïîðöèîíàëüíî âåñó ñîîòâåòñòâóþùåé õàðàêòåðèñòèêè. Èññëåäóÿ ñîðåâíîâàíèÿ I òèïà, ìû âñåãäà óïîðÿäî÷èâàëè èãðîêîâ â êîìàíäå ïî ðåéòèíãó. Çäåñü ýòî íå òðåáóåòñÿ, è, áîëåå òîãî, ýòî íåâîçìîæíî. Ðàíåå ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî êàæäûé èãðîê ìîæåò, â ïðèíöèïå, ñûãðàòü íà ëþáîì ìåñòå 40-55.p65 46 (íà ëþáîé äîñêå). Çäåñü êîìàíäà ÿâëÿåòñÿ êàê áû íàáîðîì èãðîêîâ, èãðàþùèõ â ðàçíûå èãðû, è èãðîêè â êîìàíäàõ óïîðÿäî÷èâàþòñÿ ïî íàçâàíèÿì «èãð» (âêóñ, öâåò, çàïàõ). Ýòî òîëüêî îáëåã÷àåò ïîñòðîåíèå ïðèìåðîâ íåòðàíçèòèâíîñòè. Ìû ìîæåì ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû: 1. Íàëè÷èå íåòðàíçèòèâíûõ òðîåê â òàáëèöå «ïðàâèëüíûõ» îöåíîê ãðóïïû ñëîæíûõ ìíîãîôàêòîðíûõ îáúåêòîâ âïîëíå çàêîíîìåðíî è îïðåäåëÿåòñÿ âíóòðåííèìè ñâîéñòâàìè ýòèõ îáúåêòîâ. 2. «Ñòåïåíü íåëîãè÷íîñòè» òàáëèöû îöåíîê òàêèõ îáúåêòîâ íè â êîåé ìåðå íå ìîæåò ñëóæèòü ìåðèëîì êîìïåòåíòíîñòè ýêñïåðòà, ïîñêîëüêó îíà çàâèñèò åùå è îò ñâîéñòâ ñàìèõ îáúåêòîâ. Ñóäèòü î êîìïåòåíòíîñòè ýêñïåðòà ïî «ñòåïåíè íåëîãè÷íîñòè» òàáëèöû åãî îöåíîê ìîæíî ëèøü â òîì ñëó÷àå, åñëè îöåíèâàëàñü ãðóïïà ïðîñòûõ îäíîôàêòîðíûõ îáúåêòîâ, åäèíñòâåííàÿ õàðàêòåðèñòèêà êîòîðûõ äîïóñêàåò «îäíîìåðíóþ» îöåíêó. Çàäà÷à 6. Ïîñòðîéòå íåòðàíçèòèâíóþ òðîéêó îáúåêòîâ ñ äâóìÿ õàðàêòåðèñòèêàìè (äàéòå ðåéòèíãè õàðàêòåðèñòèê êàæäîãî îáúåêòà). Çàêëþ÷åíèå Ìû ðàññìîòðåëè óïðîùåííóþ ìîäåëü ñîðåâíîâàíèé. Ðåçóëüòàò ïàðòèè ìåæäó «èäåàëüíûìè» èãðîêàìè ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ èõ ðåéòèíãàìè.  òóðíèðíîé òàáëèöå òàêèõ èãðîêîâ íå ìîæåò áûòü íåòðàíçèòèâíûõ òðîåê. Ðåàëüíûé ìèð ñëîæíåå è èíòåðåñíåå. Ðåéòèíãè ðåàëüíûõ èãðîêîâ âëèÿþò ëèøü íà âåðîÿòíîñòü èñõîäà ïàðòèè è îïðåäåëÿþò ñòàòèñòèêó ðåçóëüòàòîâ â äîñòàòî÷íî áîëüøîé ñåðèè âñòðå÷. È îòëè÷èå íå òîëüêî â ýòîì. Ðåàëüíûé èãðîê ÿâëÿåòñÿ ñëîæíûì «îáúåêòîì», íà èãðó êîòîðîãî âëèÿþò íåñêîëüêî íåçàâèñèìûõ ôàêòîðîâ (â øàõìàòàõ ýòî, íàïðèìåð, äåáþòíàÿ ïîäãîòîâêà, óìåíèå âåñòè ïîçèöèîííóþ áîðüáó, óìåíèå êîìáèíèðîâàòü, çíàíèå ýíäøïèëåé, ñïîñîáíîñòü èãðàòü â öåéòíîòå è ïðî÷åå). Ïîýòîìó äàæå ñòàòèñòèêà ïàðòèé ìåæäó äâóìÿ îòäåëüíûìè èãðîêàìè íå âñåãäà ñîîòâåòñòâóåò èõ ðåéòèíãàì, ïîñêîëüêó ðåéòèíã îòðàæàåò ñðåäíþþ ñèëó èãðîêà â ïîëíîé ñîâîêóïíîñòè âñåõ åãî ïðîòèâíèêîâ, à èç-çà îñîáåííîñòåé «ìíîãîôàêòîðíûõ» êà÷åñòâ èãðîêà ó íåãî ïîÿâëÿþòñÿ «óäîáíûå» è «íåóäîáíûå» ïðîòèâíèêè. Àâòîð áëàãîäàðèò Â.Ê.Òèòîâà, êîòîðûé ñ ïîìîùüþ âîëøåáíûõ êóáèêîâ çàèíòåðåñîâàë åãî òåìàòèêîé ñòàòüè è àêòèâíî ó÷àñòâîâàë â åå íàïèñàíèè. Âíèìàíèþ íàøèõ ÷èòàòåëåé! Ïîïðàâêà  «Êâàíòå» ¹6 çà 2008 ãîä â ñòàòüå «Íîâûé ïðèåì â øêîëû-èíòåðíàòû ïðè óíèâåðñèòåòàõ» âî âñòóïèòåëüíîì çàäàíèè ïî ìàòåìàòèêå äëÿ ïîñòóïàþùèõ â 11 êëàññ â çàäà÷å 2 äîïóùåíà îïå÷àòêà. Ïðèâîäèì ïðàâèëüíîå óñëîâèå çàäà÷è. 2. ×åòûðåõóãîëüíèê ÀÂÑD âïèñàí â îêðóæíîñòü, öåíòð O êîòîðîé ëåæèò âíóòðè íåãî. Íàéäèòå ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà, åñëè óãëû BAO è DAC ðàâíû, à äèàãîíàëè ÀÑ è ÂD ðàâíû m è n ñîîòâåòñòâåííî. 30.01.09, 13:11 ËÀÁÎÐÀÒÎÐÈß «ÊÂÀÍÒÀ» Îòðàæåíèå îò òîíêèõ öèëèíäðè÷åñêèõ çåðêàë À.ÀÍÄÐÅÅÂ, À.ÏÀÍΠ ÎÁÛÄÅÍÍÎÉ ÆÈÇÍÈ ÌÛ ×ÀÙÅ ÂÑÅÃÎ ÈÌÅÅÌ ÄÅËÎ Ñ ïëîñêèìè çåðêàëàìè, â îïòè÷åñêèõ ïðèáîðàõ èñïîëüçóþòñÿ ñôåðè÷åñêèå è ïàðàáîëè÷åñêèå çåðêàëà, à âîò ñ öèëèíäðè÷åñêèìè çåðêàëàìè ìû ñòàëêèâàåìñÿ ðåäêî. Ðàçâå ÷òî â àòòðàêöèîíå ïîä íàçâàíèåì «êîìíàòà ñìåõà» èëè â àíàìîðôîñêîïàõ ïðèáîðàõ äëÿ ðàññìàòðèâàíèÿ ñïåöèàëüíî èñêàæåííûõ (àíàìîðôíûõ) èçîáðàæåíèé (ðèñ.1).  òî æå âðåìÿ, áîëüøîå êîëè÷åñòâî ïðåäìåòîâ âîêðóã íàñ èìåþò èìåííî öèëèíäðè÷åñêóþ ôîðìó ýòî âñåâîçìîæíûå öèëèíäðè÷åñêèå åìêîñòè, òðóáû, âåòêè äåðåâüåâ, òðîëëåéáóñíûå ïðîâîäà è ìíîãîå äðóãîå. Íåêîòîðûå èç íèõ ÿâëÿþòñÿ õîðîøèìè îòðàæàòåëÿìè. Òîíêèå öèëèíäðè÷åñêèå çåðêàëà. Ïðîùå âñåãî èññëåäîâàòü îòðàæåíèå îò òîíêîãî öèëèíäðè÷åñêîãî çåðêàëà, ðàäèóñ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ êîòîðîãî äîñòàòî÷íî ìàë ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàññòîÿíèåì äî íàáëþäàòåëÿ. Õîðîøèì ïðèìåðîì òàêèõ çåðêàë ìîãóò ñëóæèòü òðîëëåéáóñíûå ïðîâîäà, îñâåùåííûå àâòîìîáèëüíûìè ôàðàìè èëè óëè÷íûìè ôîíàðÿìè. Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèé ñëó÷àé, êîãäà íà òîíêîå öèëèíäðè÷åñêîå çåðêàëî ïàäàåò òîíêèé ïó÷îê ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé, ïîëíîñòüþ ïåðåêðûâàþùèé çåðêàëî ïî äèàìåòðó. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îòðàæåííûå ñâåòîâûå ëó÷è îáðàçóþò êîíóñ, îñüþ êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ çåðêàëî, à îäíîé èç îáðàçóþùèõ ïðîäîëæåíèå ïàäàþùåãî ñâåòîâîãî ïó÷êà. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî óòâåðæäåíèÿ äîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèíöèïîì Ôåðìà. À âîò è ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïîäòâåðæäåíèå îíî ïðåäñòàâëåíî íà ðèñóíêå 2. Òîíêèì öèëèíäðè÷åñêèì çåðêàëîì çäåñü ñëóæèò îáû÷íàÿ èãîëêà, íà êîòîðóþ ïàäàåò ëàçåðíûé ëó÷. Ðèñ.1. Èñïîëüçîâàíèå öèëèíäðè÷åñêîãî çåðêàëà â êà÷åñòâå àíàìîðôîñêîïà Ïåðåñå÷åíèåì êîíóñà îòðàæåííûõ ëó÷åé ñ ïëîñêèì ýêðàíîì ìîæåò áûòü ëþáîå êîíè÷åñêîå ñå÷åíèå ýëëèïñ, ïàðàáîëà èëè ãèïåðáîëà, âñå çàâèñèò îò ðàñïîëîæåíèÿ ýêðàíà. Åñëè æå ïàäàþùèé ëó÷ ïåðïåíäèêóëÿðåí çåðêàëó, òî îòðàæåííûé êîíóñ ïðåâðàùàåòñÿ â ïëîñêîñòü (ðèñ.3). Îïèøåì íåñêîëüêî ïðîñòûõ ñèòóàöèé, ãäå èñïîëüçóåòñÿ âûñêàçàííîå íàìè óòâåðæäåíèå. Ëåãêî ïðåäñòàâèòü ñåáå, ÷òî ïðîèñõîäèò, êîãäà âñå ïðîòÿæåííîå òîíêîå öèëèíäðè÷åñêîå çåðêàëî îñâåùåíî ïó÷êîì ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé.  ýòîì ñëó÷àå âñå ïðîñòðàíñòâî îêàæåòñÿ çàïîëíåííûì îäèíàêîâûìè êîíóñàìè, ñîñòîÿùèìè èç îòðàæåííûõ ëó÷åé, à öèëèíäðè÷åñêîå çåðêàëî áóäåò îáùåé îñüþ ýòèõ êîíóñîâ. Åñëè æå çåðêàëî îñâåùàåòñÿ òî÷å÷íûì èñòî÷íèêîì, òî ìû òîæå ïîëó÷èì ñèñòåìó ñîîñíûõ êîíóñîâ, òîëüêî îíè óæå íå áóäóò îäèíàêîâûìè.  áëèæàéøåé ê èñòî÷íèêó òî÷êå çåðêàëà êîíóñ áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ïëîñêîñòü, ò.å. èìåòü óãîë ðàñòâîðà 180°. Ïî ìåðå óäàëåíèÿ âåðøèíû êîíóñà îò èñòî÷íèêà óãîë ðàñòâîðà êîíóñà áóäåò óìåíüøàòüñÿ äî 0°. Åñëè öèëèíäðè÷åñêîå çåðêàëî ýòî îòðåçîê òîíêîãî ïðîâîäà, òî ïðîâîä ìîæíî èçîãíóòü, è ïðè îòðàæåíèè îò òàêîãî èçîãíóòîãî öèëèíäðè÷åñêîãî çåðêàëà ìû îïÿòü ïîëó÷èì ñèñòåìó êîíóñîâ. Íî îíè óæå íå áóäóò ñîîñíûìè, à îñüþ êàæäîãî îòðàæåííîãî êîíóñà áóäåò ñëóæèòü êàñàòåëüíàÿ ê çåðêàëó ïðÿìàÿ, êîòîðàÿ âìåñòå ñ òî÷êîé îòðàæåíèÿ ñîäåðæèò è ìàëåíüêèé îòðåçîê ïðîâîäà. Ñâåòÿùèåñÿ êðóãè èç âåòîê. Ìîêðûå îãîëåííûå âåòêè ìíîãèõ ïîðîä äåðåâüåâ ÿâëÿþòñÿ õîðîøèìè îòðàæàòåëÿìè. Åñëè ïîñìîòðåòü ÷åðåç êðîíó òàêîãî äåðåâà íà óëè÷íûé ôîíàðü, òî ìîæíî îáíàðóæèòü, ÷òî îòðàæàþùèå ó÷àñòêè âåòîê îáðàçóþò óçîð, ñêëàäûâàþùèéñÿ â ñèñòåìó êîíöåíòðè- Ðèñ.2. Òîíêîå öèëèíäðè÷åñêîå çåðêàëî èãîëêà: ñëåâà íà ýêðàíå ýëëèïñ, ñïðàâà ãèïåðáîëà 40-55.p65 47 Ðèñ.3. Êîãäà ïàäàþùèé ëó÷ ïåðïåíäèêóëÿðåí çåðêàëó, îòðàæåííûå ëó÷è çàïîëíÿþò öåëóþ ïëîñêîñòü 30.01.09, 13:12 "& ÊÂÀÍT 2009/¹1 Ðèñ.4. Îòðàæàþùèå ó÷àñòêè âåòîê ôîðìèðóþò óçîð èç êîíöåíòðè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé Ðèñ.5. Ñëåâà «êðîíà» äåðåâà, ñïðàâà îòðàæàþùèå ó÷àñòêè «âåòâåé» ÷åñêèõ îêðóæíîñòåé (ðèñ.4). Îäíî èç îáúÿñíåíèé ýòîãî ôàêòà ñîäåðæèòñÿ â èçâåñòíîé êíèãå Ì.Ìèííàðòà «Ñâåò è öâåò â ïðèðîäå». Ìû ïðèâåäåì çäåñü äðóãîå ðàññóæäåíèå, îñíîâàííîå íà òîì, ÷òî êàæäóþ âåòêó â îòäåëüíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü òîíêèì öèëèíäðè÷åñêèì çåðêàëîì. Êîìïüþòåðíàÿ ìîäåëü. Ñìîäåëèðóåì êðîíó äåðåâà ñëó÷àéíûì íàáîðîì òîíêèõ öèëèíäðè÷åñêèõ çåðêàë îòðåçêîâ åäèíè÷íîé äëèíû, ðàñïîëîæåííûõ ìåæäó òî÷å÷íûì èñòî÷íèêîì è íàáëþäàòåëåì. Êàæäàÿ òî÷êà òàêîãî îòðåçêà ïîñëå îòðàæåíèÿ èçëó÷àåò êîíóñ. Ìû õîòèì íàéòè íà ýòîì îòðåçêå òàêóþ òî÷êó, ÷òîáû îäíà èç îáðàçóþùèõ ñîîòâåòñòâóþùåãî êîíóñà ïîïàëà â ãëàç íàáëþäàòåëÿ. Íà ñàìîì äåëå, èç-çà ïðîòÿæåííîñòè èñòî÷íèêà íóæíîå íàì îòðàæåíèå áóäåò ïðîèñõîäèòü íå òîëüêî îò ýòîé òî÷êè, íî è îò íåáîëüøîãî ó÷àñòêà âåòêè, ñîäåðæàùåãî ýòó òî÷êó. Íà ðèñóíêå 5 ñëåâà èçîáðàæåíà êðîíà, ïðåäñòàâëåííàÿ íàáîðîì ñëó÷àéíûõ åäèíè÷íûõ îòðåçêîâ, îñü èñòî÷íèê-íàáëþäàòåëü ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ðèñóíêà. Ñïðàâà îñòàâëåíû íåáîëüøèå (äëèíîé 1/10) ó÷àñòêè îòðåçêîâ, îòðàæàþùèå ëó÷è â ãëàç íàáëþäàòåëÿ.  öåëîì ýòè ó÷àñòêè äåéñòâèòåëüíî ñêëàäûâàþòñÿ â óçîð, ñõîäíûé ñ òåì, ÷òî èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 4. Îòìåòèì åùå, ÷òî â «êðîíå» èìåþòñÿ îòäåëüíûå îòðåçêè, êîòîðûå íå óêëàäûâàþòñÿ âäîëü êîíöåíòðè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé. Íî âñå îíè èìåþò íåáîëüøóþ äëèíó, à ýòî çíà÷èò, ÷òî îíè ïî÷òè ÷òî ïàðàëëåëüíû îñè èñòî÷íèê-íàáëþäàòåëü. Ìîäåëü èç áóëàâîê. Âîò åñëè áû âñå âåòêè ëåæàëè â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé óêàçàííîé îñè, òî èõ ó÷àñòêè, êîòîðûå îòðàæàþò â ãëàç íàáëþäàòåëÿ, áûëè áû êàñàòåëüíû- ìè ê êîíöåíòðè÷åñêèì îêðóæíîñòÿì. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî â òî÷êå îòðàæåíèÿ, îòêóäà ñâåòîâîé ëó÷ ïðèõîäèò ê íàáëþäàòåëþ, ïàäàþùèé ëó÷ ïåðïåíäèêóëÿðåí ê âåòêå è îòðàæåííûé êîíóñ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ âåòêå. Âîò åùå îäíà ìîäåëü, íà ýòîò ðàç ôèçè÷åñêàÿ, êîòîðàÿ ïîäòâåðæäàåò ýòîò ôàêò (ðèñ.6). Çäåñü â êà÷åñòâå îòðàæàòåëåé èñïîëüçîâàíû îáû÷íûå áóëàâêè, ëåæàùèå íà ñòåêëå. Öàðàïèíû íà ñòåêëå. Ê ñëîâó ñêàçàòü, è áóëàâêè âîâñå íå îáÿçàòåëüíû, ìîæíî îáîéòèñü îäíèì ëèøü êóñêîì ñòåêëà îòðàæàòü áóäóò èìåþùèåñÿ íà íåì öàðàïèíû (ðèñ.7). Ýòîò ïðèìåð òîæå îïèñàí â êíèãå Ìèííàðòà, è àâòîð äîáàâëÿåò, ÷òî öàðàïèíû íà ñòåêëå óæå äîñòàòî÷íî òîíêè, ÷òîáû ïðè âçàèìîäåéñòâèè ñ íèìè ñâåò ìîã ïðîÿâèòü ñâîè âîëíîâûå ñâîéñòâà. Ñâåò äèôðàãèðóåò íà íèõ, è ìû âèäèì èõ îêðàøåííûìè â öâåòà ñïåêòðà. Âçãëÿä ñêâîçü ìîòîê ïðîâîëîêè. Íàêîíåö, ïîñëåäíÿÿ ìîäåëü. Ìû óæå ãîâîðèëè, ÷òî öèëèíäðè÷åñêîå çåðêàëî ìîæíî èçîãíóòü. Âîçüìåì íà ýòîò ðàç â êà÷åñòâå îòðàæàòåëÿ öåëûé ìîòîê çàïóòàííîé ïðîâîëîêè è ïîñìîòðèì ÷åðåç íåãî íà èñòî÷íèê ñâåòà (ðèñ.8). Ìû âèäèì òå æå ñàìûå êîëüöåâûå óçîðû è óáåæäàåìñÿ, ÷òî ìîòîê ïðîâîëîêè òî÷íî òàê æå óñïåøíî ìîäåëèðóåò îòðàæàþùèå ñâîéñòâà êðîíû äåðåâà. Ïðîâîëîêà, èñïîëüçóåìàÿ íàìè â ýêñïåðèìåíòå, äîñòàòî÷íî òîíêà åå äèàìåòð ñîñòàâëÿåò âñåãî 0,2 ìì. Ïîýòîìó è çäåñü âîçíèêàåò ñîîòâåòñòâóþùàÿ äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà. ×òîáû óâèäåòü åå, íóæíî àêêîìîäèðîâàòü ãëàç (èëè íàñòðîèòü îáúåêòèâ ôîòîàïïàðàòà) íà áåñêîíå÷íîñòü. Ìû íå áóäåì âõîäèòü â äåòàëè (ýòîò ýêñïåðèìåíò ïîäðîáíî îáñóæäàåòñÿ â Ðèñ.6.  êà÷åñòâå îòðàæàòåëåé çäåñü èñïîëüçîâàíû áóëàâêè Ðèñ. 7. Ñâåòÿùèåñÿ êîëüöà èç öàðàïèí íà ñòåêëå 40-55.p65 48 30.01.09, 13:12 ËÀÁÎÐÀÒÎÐÈß Ðèñ.8. Ñëåâà ìîòîê ïðîâîëîêè, îñâåùåííûé ñî ñòîðîíû íàáëþäàòåëÿ, ñïðàâà âèä íà èñòî÷íèê ñâåòà ÷åðåç ýòîò ìîòîê ïðîâîëîêè ñòàòüå Í.Ðîñòîâöåâà «Êàê ñ ïîìîùüþ ïðîâîëîêè èçìåðèòü äëèíó ñâåòîâîé âîëíû» ñì. «Êâàíò» ¹ 8 çà 1977 ã. èëè âûïóñê 4 «Áèáëèîòå÷êè «Êâàíò»), à îãðàíè÷èìñÿ ñîîòâåòñòâóþùåé êàðòèíêîé (ðèñ.9). Äî ñèõ ïîð ìû èìåëè äåëî ñ öèëèíäðè÷åñêèìè îòðàæàòåëÿìè, êîòîðûå áûëè ðàñïîëîæåíû õàîòè÷åñêè âåòêè äåðåâüåâ èëè ðàçáðîñàííûå áóëàâêè. Ïîñìîòðèì, ÷òî ìîæåò ïðîèçîéòè, êîãäà îòðàæàòåëè ðàñïîëîæåíû óïîðÿäî÷åííûì îáðàçîì. Ëèíèÿ íà êðûøå.  ïîñëåäíåå âðåìÿ íà ìíîãèõ ïîäìîñêîâíûõ æåëåçíîäîðîæíûõ ïëàòôîðìàõ ïîÿâèëèñü áîëüøèå ïîëóïðîçðà÷íûå êðûøè, èìåþùèå öèëèíäðè÷åñêóþ ôîðìó.  ÿñíóþ ïîãîäó íà òàêèõ êðûøàõ âîçíèêàåò ëþáîïûòíîå èçîáðàæåíèå ñîëíöà, èìåþùåå âèä ñâîåîáðàçíî èçîãíóòîé äóãè (ðèñ.10). Ìû ìîæåì ïðèìåíèòü íàøè ñîîáðàæåíèÿ ïî ïîâîäó îòðàæåíèÿ îò òîíêèõ öèëèíäðîâ äëÿ àíàëèçà ôîðìû ýòîé êðèâîé. Âñå äåëî â êîíñòðóêöèè òåõ ïîëóïðîçðà÷íûõ ëèñòîâ, èç êîòîðûõ ñäåëàíà êðûøà. Êàæäûé òàêîé ëèñò ïåðâîíà÷àëüíî ïëîñêèé è ñîñòàâëåí èç äâóõ ïàðàëëåëüíûé ïîâåðõíîñòåé, ðàçäåëåííûõ íåáîëüøèì ïðîìåæóòêîì. Ýòîò óçêèé ïðîìåæóòîê çàïîëíåí ñèñòåìîé òîíêèõ äëèííûõ öèëèíäðè÷åñêèõ ðåáåð, ïàðàëëåëüíûõ ìåæäó ñîáîé è ñêðåïëÿþùèõ îáå ïîâåðõíîñòè. Öèëèíäðè÷åñêàÿ ôîðìà òàêîìó ëèñòó îáû÷íî ïðèäàåòñÿ äâóìÿ ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. Ïðè îäíîì èçãèáàíèè ëèñòà ðåáðà ñòàíîâÿòñÿ ïàðàëëåëÿìè öèëèíäðà, ïðè äðóãîì åãî îáðàçóþùèìè. Íà æåëåçíîäîðîæíûõ ïëàòôîðìàõ ðåáðà ïàðàëëåëè. Èìåííî ýòîò ñëó÷àé ìû è áóäåì àíàëèçèðîâàòü. Ïðè ýòîì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî òîíêèå öèëèíäðè÷åñêèå ðåáðà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñèñòåìó òîíêèõ öèëèíäðè÷åñêèõ çåðêàë. Çàìåòèì, ÷òî ïðîçðà÷íûå êðûøè íà 49 Ðèñ.9. Òîò æå ñàìûé ìîòîê ïðîâîëîêè, íî ôîòîàïïàðàò ñôîêóñèðîâàí íà áåñêîíå÷íîñòü òðîëëåéáóñíûõ è àâòîáóñíûõ îñòàíîâêàõ òàêæå äåëàþò èç ïîäîáíîãî ìàòåðèàëà. Íà íåêîòîðûõ èç íèõ âû òîæå ñìîæåòå óâèäåòü äóãîîáðàçíûå ëèíèè, íà äðóãèõ êàðòèíà áóäåò èíîé, íî ýòî êàê ðàç òàì, ãäå ðåáðà èäóò âäîëü îáðàçóþùèõ öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè. Èòàê, ïîñìîòðèì íà êðûøó æåëåçíîäîðîæíîé ïëàòôîðìû. Ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò: îñü X ïóñòèì âäîëü îñè áîëüøîãî öèëèíäðà, ïðåäñòàâëÿþùåãî êðûøó, îñü Y ïóñòü òîæå ëåæèò â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, à îñü Z íàïðàâèì ââåðõ. Çàäàäèìñÿ ðàäèóñîì êðûøè R è áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íàáëþäàòåëü íàõîäèòñÿ â òî÷êå P = (0,0, z0 ) , à îò ñîëíöà ïðèõîäèò ïó÷îê ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé, íàïðàâëåíèå êîòîðîãî uur çàäàåòñÿ âåêòîðîì V = ( u, v, w) , èìåþùèì åäèíè÷íóþ äëèíó. Êàæäîå òîíêîå öèëèíäðè÷åñêîå çåðêàëî ýòî îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì íà îñè X â òî÷êå Ox = ( x,0,0) , à òî÷êè Mx , ëåæàùèå íà òàêîì çåðêàëå, èìåþò êîîðäèíàòû Mx ( ϕ) = ( x, R cos ϕ, R sin ϕ) , 0 £ ϕ < 2π . Çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû íà êàæäîì òîíêîì öèëèíäðè÷åñêîì çåðêàëå íàéòè òî÷êó, äëÿ êîòîðîé îòðàæåííûé êîíóñ ïðîõîäèò ÷åðåç ãëàç íàáëþäàòåëÿ, ò.å. ÷åðåç òî÷êó Ð. Íàïðèìåð, õîðîøî áûëî áû íàéòè çàâèñèìîñòü óãëîâîãî ïàðàìåòðà ϕ îòðàæàþùåé òî÷êè, ëåæàùåé íà çåðêàëå, îò âåëè÷èíû õ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî óäîáíåå âûðàçèòü õ ÷åðåç ϕ : 2 æ ö z0 cos ϕ x ( ϕ) = ± ç - R2 - 2Rz0 sin ϕ + z02 . è w cos ϕ - v sin ϕ ø÷ ( ) Íàðèñîâàâ âñå òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè x ( ϕ) , R cos (ϕ) , R sin ( ϕ) , ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâóþùóþ ïðîñòðàíñòâåííóþ êàðòèíó, èìåþùóþ îïðåäåëåííîå ñõîäñòâî ñ ôîòîãðàôèåé íà ðèñóíêå 10.  çàêëþ÷åíèå íåñêîëüêî âîïðîñîâ ê ÷èòàòåëÿì. Ðèñ.10. ßðêàÿ ëèíèÿ èçîáðàæåíèå ñîëíöà íà êðûøå æåëåçíîäîðîæíîé ïëàòôîðìû 40-55.p65 "' «ÊÂÀÍÒÀ» 1. Íà èçîáðàæåíèè ñîëíöà íà êðûøå æåëåçíîäîðîæíîé ïëàòôîðìû âèäíû äâà ÿðêèõ ïÿòíà îäíî â íàïðàâëåíèè ñàìîãî ñîëíöà, äðóãîå ðàñïîëîæåíî íà ñèììåòðè÷íîé âåòâè êðèâîé. Îáúÿñíèòå ïîÿâëåíèå âòîðîãî ÿðêîãî ïÿòíà. 2. Ïóñòü ïàðàëëåëüíûå ìåæäó ñîáîé òîíêèå öèëèíäðè÷åñêèå çåðêàëà çàïîëíÿþò öåëóþ ïëîñêîñòü. Êàêóþ êðèâóþ íà òàêîì ïëîñêîì ëèñòå óâèäèò íàáëþäàòåëü, ãëÿäÿ ñêâîçü íåãî íà ñîëíöå? 3. Íàéäèòå àâòîáóñíóþ îñòàíîâêó, ãäå òîíêèå öèëèíäðè÷åñêèå çåðêàëà ÿâëÿþòñÿ îáðàçóþùèìè, è ïîñìîòðèòå, êàêàÿ «ñîëíå÷íàÿ êðèâàÿ» âèäíà íà êðûøå îñòàíîâêè. 30.01.09, 13:12 #  ÀÌ Í T À 2Á 009/¹1 Ï Ð À Ê Ò È ÊÊ Ó ÈÒÓÐÈÅÍÒÀ Cèëû ñîïðîòèâëåíèÿ â çàäà÷àõ äèíàìèêè Â.ËÎÑÅÂ, Â.ÏËÈÑ Í À ÂÑÒÓÏÈÒÅËÜÍÛÕ ÝÊÇÀÌÅÍÀÕ È ÎËÈÌÏÈÀÄÀÕ Â ÂÅ- äóùèõ ôèçè÷åñêèõ âóçàõ íàøåé ñòðàíû ðåãóëÿðíî ïðåäëàãàþòñÿ çàäà÷è äèíàìèêè, â êîòîðûõ íàðÿäó ñ «òðàäèöèîííûìè» ñèëàìè: ñèëîé òÿæåñòè, ñèëîé Àðõèìåäà, ñèëîé Ëîðåíöà è ò.ä. íà òåëà äåéñòâóåò ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ (æèäêîãî òðåíèÿ). Òàêàÿ ñèëà ïîÿâëÿåòñÿ, íàïðèìåð, ïðè îòíîñèòåëüíîì äâèæåíèè òåë, ñîïðèêàñàþùèõñÿ ñìàçàííûìè ïîâåðõíîñòÿìè, à òàêæå ïðè äâèæåíèè òåë â æèäêîñòÿõ è ãàçàõ. Âîçíèêàþùàÿ ïðè òàêîì äâèæåíèè ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ íàïðàâëåíà ïî ñêîðîñòè íàáåãàþùåãî ïîòîêà è ïðîïîðöèîíàëüíà ïåðâîé èëè âòîðîé ñòåïåíè ñêîðîñòè. Ìîæíî óêàçàòü äâå ïðè÷èíû âîçíèêíîâåíèÿ ýòîé ñèëû. Ïðè î÷åíü ìàëûõ ñêîðîñòÿõ (èëè äëÿ î÷åíü ìàëåíüêèõ òåë) ãëàâíûé âêëàä â ñèëó ñîïðîòèâëåíèÿ äàþò êàñàòåëüíûå ñèëû âíóòðåííåãî òðåíèÿ (âÿçêîñòè), äåéñòâóþùèå ñî ñòîðîíû ïîòîêà æèäêîñòè èëè ãàçà íà «ïðèëèïøèé» ê ïîâåðõíîñòè òåëà ïîãðàíè÷íûé ñëîé. Òàêóþ ñèëó âÿçêîãî òðåíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîïîðöèîíàëüíîé ïåðâîé ñòåïåíè ñêîðîñòè. Ïðè áîëüøèõ ñêîðîñòÿõ ýòà ñèëà ñòàíîâèòñÿ íåñóùåñòâåííîé, è ãëàâíóþ ðîëü èãðàåò ñèëà ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, âîçíèêàþùàÿ çà ñ÷åò ðàçëè÷èÿ ñèë äàâëåíèÿ íà ïåðåäíþþ è çàäíþþ ÷àñòè òåëà âñëåäñòâèå íåñèììåòðè÷íîñòè êàðòèíû îáòåêàíèÿ ðåàëüíîé æèäêîñòüþ èëè ãàçîì äàæå ñèììåòðè÷íîãî òåëà. Ñèëó ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîïîðöèîíàëüíîé êâàäðàòó ñêîðîñòè. Ýòè è äðóãèå ïðè÷èíû ïðèâîäÿò ê òîìó, ÷òî çàâèñèìîñòü ñèë ñîïðîòèâëåíèÿ îò ñêîðîñòè, ðàçìåðîâ è ò.ä. íîñèò â îáùåì ñëó÷àå íåëèíåéíûé õàðàêòåð. Îäíàêî çíàêîìñòâî ñ äåéñòâèåì òàêîãî ðîäà ñèë óìåñòíî íà÷èíàòü, êàê ýòî ïðèíÿòî â ôèçèêå, ñ ïðîñòåéøèõ ìîäåëüíûõ çàâèñèìîñòåé. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî õàðàêòåðíûõ çàäà÷. Íà÷íåì ñî ñëó÷àÿ, êîãäà ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ ïðèíèìàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíîé ñêîðîñòè. Çàäà÷à1. Ìÿ÷, áðîøåííûé ñ ïîâåðõíîñòè çåìëè âåðòèêàëüíî ââåðõ ñî ñêîðîñòüþ v0 = 10 ì/ñ, óïàë íà çåìëþ. Çà âðåìÿ ïîëåòà ñêîðîñòü ìÿ÷à óìåíüøèëàñü ïî âåëè÷èíå íà δ = 30%. Íàéäèòå ïðîäîëæèòåëüíîñòü T ïîëåòà ìÿ÷à. Ñèëó ñîïðîòèâëåíèÿ ñ÷èòàéòå ïðîïîðöèîíàëüíîé ñêîðîñur r òè: F = -kv . Ðåøåíèå. Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà, ïðèðàùåíèå èìïóëüñà ìÿ÷à ïðîïîðöèîíàëüíî äåéñòâóþùåé íà ìÿ÷ ðåçóëüòèðóþùåé ñèëå è ïðîèñõîäèò ïî íàïðàâëåíèþ ýòîé ñèëû: r r r m ∆v = ( mg - kv ) ∆t. Ïåðåõîäÿ ê ïðîåêöèÿì ñèë è ïðèðàùåíèÿ ñêîðîñòè íà 40-55.p65 50 âåðòèêàëüíóþ îñü, ïîëó÷àåì m ∆vy = -mg∆t - kvy ∆t . Çàìåòèì, ÷òî ýëåìåíòàðíîå ïåðåìåùåíèå ìÿ÷à ïî âåðòèêàëè ðàâíî ∆y = vy ∆t , è ïåðåïèøåì ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå â âèäå m ∆vy = -mg∆t - k∆y . Ïðîñóììèðóåì âñå òàêèå ñîîòíîøåíèÿ ïî âñåìó âðåìåíè ïîëåòà, ò.å. îò t = 0 äî t = T: m èëè (å ∆vy ) = -mg (å ∆t) - k (å ∆y) , ( ) m vy (T ) - vy (0) = -mgT - k (y (T ) - y (0)) . Ïåðåìåùåíèå ìÿ÷à ïî âåðòèêàëè çà âðåìÿ ïîëåòà íóëåâîå: y (T ) - y (0) = 0 , òîãäà - (1 - δ) mv0 - mv0 = -mgT . Îòñþäà íàõîäèì ïðîäîëæèòåëüíîñòü ïîëåòà ìÿ÷à: v T = 0 (2 - δ) = 1,7 c . g Çàäà÷à 2. Íà ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ïîêîèòñÿ áðóñîê. ×åðåïàõà ïåðåìåùàåòñÿ ñ îäíîãî êîíöà ýòîãî áðóñêà íà äðóãîé. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå áðóñêîì çà âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ ÷åðåïàõè. Ñèëó ñîïðîòèâëåíèÿ ñ÷èòàéòå ïðîïîðöèîíàëüíîé ñêîðîñòè áðóñêà îòíîñèòåëüíî ãîðèur r çîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè: F c = -kv . Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó òåë «÷åðåïàõà + áðóñîê». Íà êàæäîì ýëåìåíòàðíîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè ïðèðàùåíèå r ∆p èìïóëüñà ýòîé ñèñòåìû ðàâíî ñóììàðíîìó èìïóëüñó äåéñòâóþùèõ íà ñèñòåìó âíåøíèõ ñèë, ò.å. ñèë òÿæåñòè, ñèëû íîðìàëüíîé ðåàêöèè îïîðû è ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ: r r r r ur r ∆p = M ∆vá + m ∆v÷ = ( M + m ) g + F p - kvá ∆t , r ãäå Ì ìàññà áðóñêà, vá åãî ñêîðîñòü, m ìàññà ÷åðåïàõè, r v÷ åå ñêîðîñòü. Ñóììà ñèë òÿæåñòè è íîðìàëüíîé ðåàêöèè ðàâíà íóëþ, òîãäà ëþáîå ïðèðàùåíèå èìïóëüñà ñèñòåìû ðàâíî èìïóëüñó ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ: r r ∆p = -k (vá ∆t ) , r ò.å. ëþáîå ýëåìåíòàðíîå ïðèðàùåíèå èìïóëüñà ∆p ñèñòåìû r «÷åðåïàõà + áðóñîê» è ýëåìåíòàðíîå ïåðåìåùåíèå vá ∆t áðóñêà îòëè÷àþòñÿ â ( -k) ðàç. Íàéäåì ïåðåìåùåíèå áðóñêà çà âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ. Äëÿ ýòîãî ïðîñóììèðóåì âñå ýëåìåíòàðíûå ïåðåìåùåíèÿ áðóñêà ïî âñåìó âðåìåíè äâèæåíèÿ ÷åðåïàõè è áðóñêà îò ñòàðòà â r ýòîò r ìîìåíò píà÷ = 0 , äî ïîëíîé îñòàíîâêè â ýòîò ìîìåíò pêîí = 0 : r r 1 r sá = å (vá ∆t ) = - ( pêîí ) - píà÷ = 0 . k Çàäà÷à 3. Íà ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå îäèí íà äðóãîì ëåæàò òðè äëèííûõ áðóñêà (ðèñ.1). Ìàññû áðóñêîâ m. Áðóñêè ñìàçàíû ìàñëîì. Ïðè äâèæåíèè ñèëà òðåíèÿ ìåæäó áðóñêàìè, à òàêæå ìåæäó íèæíèì áðóñêîì è ñòîëîì ïðîïîðöèîíàëüíà îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè: ur r F = -kvîòí . Ñíà÷àëà âñå Ðèñ. 1 ( 30.01.09, 13:12 ) ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ áðóñêè íåïîäâèæíû, çàòåì r âåðõíåìó áðóñêó ñîîáùàþò ãîðèçîíòàëüíóþ ñêîðîñòü v0 . Îïðåäåëèòå îòíîñèòåëüíûå ñìåùåíèÿ áðóñêîâ ïîñëå ïðåêðàùåíèÿ äâèæåíèÿ. Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç n (n = = 1, 2, 3) âåðõíèõ áðóñêîâ (áðóñêè íóìåðóåì, íà÷èíàÿ ñ âåðõíåãî). Èìïóëüñ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû èçìåíÿåòñÿ âñëåäñòâèå äåéñòâèÿ åäèíñòâåííîé ãîðèçîíòàëüíîé âíåøíåé ñèëû ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ, ïðîåêöèÿ êîòîðîé íà ãîðèçîíòàëüíóþ îñü Õ èìååò âèä Fnx = -k (vn - vn +1 ) , ãäå vn è vn +1 ñêîðîñòè áðóñêîâ â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà. Òîãäà íà êàæäîì ýëåìåíòàðíîì ïåðåìåùåíèè ïðèðàùåíèå èìïóëüñà ñèñòåìû ðàâíî èìïóëüñó ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ: ∆pnx = -k (vn - vn +1 ) ∆t = -k ( ∆xn - ∆xn +1 ) = -k∆Xn îòí , ãäå ∆xn , ∆xn +1 àáñîëþòíûå ïåðåìåùåíèÿ áðóñêîâ, ∆Xn îòí = ∆xn - ∆xn +1 ïåðåìåùåíèå n-ãî áðóñêà â ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ (n + 1)-ì áðóñêîì. Âñëåäñòâèå ðàññåÿíèÿ ýíåðãèè äâèæåíèå â êàêîé-òî ìîìåíò ïðåêðàòèòñÿ. Ïðîñóììèðóåì âñå ñîîòíîøåíèÿ âèäà ∆pnx = -k∆Xn îòí ïî âñåìó âðåìåíè äâèæåíèÿ âïëîòü äî îñòàíîâêè: å ∆pnx = -kå ∆Xn îòí , ó÷òåì, ÷òî èìïóëüñ ñèñòåìû â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè íóëåâîé, r à â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè îí áûë ðàâåí mv0 , è ïîëó÷èì mv0 -mv0 = -kLn îòí , èëè Ln îòí = , k ãäå Ln îòí = å ∆Xn îòí îòíîñèòåëüíîå ïåðåìåùåíèå n-ãî áðóñêà â ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ (n + 1)-ì áðóñêîì çà âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ. Âñå îòíîñèòåëüíûå ñìåùåíèÿ áðóñêîâ îäèíàêîâû. Ïîñëå mv0 îñòàíîâêè ñèñòåìà áóäåò èìåòü âèä «ëåñåíêè» ñ øàãîì . k  ñëåäóþùåì ïðèìåðå ñèëà ñóõîãî òðåíèÿ îêàçûâàåòñÿ ñâÿçàííîé ñî ñêîðîñòüþ. Çàäà÷à 4. Íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè â êðóãå, îãðàíè÷åííîì øåðîõîâàòîé âåðòèêàëüíîé ñòåíêîé, íàõîäèòñÿ øàéáà (ðèñ.2). Åñëè øàéáå ñîîáùèòü ïðîèçâîëüíóþ íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü, òî, ñîâåðøèâ äâà îáîðîòà, îíà âîçâðàùàåòñÿ â òî÷êó ñòàðòà ñ âäâîå ìåíüøåé ñêîðîñòüþ. Íàéäèòå êîýôôèöèåíò µ òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ øàéáû ïî ïîâåðõíîñòè ñòåíêè, ñ÷èòàÿ åãî ïîñòîÿííûì. Óêàçàíèå: ïðè ðåøåíèè âîñÐèñ. 2 ïîëüçóéòåñü òåì, ÷òî ïðè ìàëûõ ïðèðàùåíèÿõ àðãóìåíòà ïðèðàùåíèå ëîãàðèôìà àðãóìåíòà ðàâíî îòíîñèòåëüíîìó ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà, ò.å. ∆x ∆ (ln x ) = . x r mg , íîðÐåøåíèå. Íà øàéáó äåéñòâóþò ñèëû òÿæåñòè uur ìàëüíîé ðåàêöèè âåðòèêàëüíîé ñòåíêè N1 , íîðìàëüíîé uur ðåàêöèè ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè N 2 , à òàêæå ñèëà ur òðåíèÿ F òð , ðàâíàÿ ïî âåëè÷èíå Fòð = µN1 .  ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà øàéáà äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R. Ïî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà, uur ur r r uur ma = mg + N1 + N 2 + F òð . 40-55.p65 51 # ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ Ïåðåõîäÿ ê ïðîåêöèÿì ñèë è óñêîðåíèÿ íà ðàäèàëüíîå íàïðàâëåíèå: v2 m = N1 R è íà òàíãåíöèàëüíîå íàïðàâëåíèå: m ∆v v2 = - Fòð = -µm , ∆t R íàõîäèì ∆v µ = - v ∆t . v R Ñëåäóÿ óêàçàíèþ â óñëîâèè çàäà÷è, ëåâóþ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ∆v = ∆ (ln v) , à â ïðàâîé ðàâåíñòâà ïðåäñòàâèì â âèäå v ñäåëàåì çàìåíó ∆s = v∆t . Òîãäà, ñóììèðóÿ ýëåìåíòàðíûå ïðèðàùåíèÿ µ å ∆ (ln v) = - R å ∆s ïî âðåìåíè ñîâåðøåíèÿ äâóõ îáîðîòîâ, ïîëó÷èì ln v0 µ - ln v0 = - × 4πR . R 2 Îòñþäà íàõîäèì µ= ln 2 » 0,06 . 4π Òåïåðü îáñóäèì áîëåå ñëîæíûå ñëó÷àè çàâèñèìîñòè ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ îò ñêîðîñòè. Çàäà÷à 5. Ïàðàøþòèñò ñîâåðøàåò çàòÿæíîé ïðûæîê îò ñòàðòà ñ íóëåâîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ äî ðàñêðûòèÿ ïàðàøþòà ñêîðîñòü ïàðàøþòèñòà ðàñòåò, à íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìîìåíòà ñòàíîâèòñÿ ïðàêòè÷åñêè ïîñòîÿííîé. Èçâåñòíî, ÷òî ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ F, äåéñòâóþùàÿ íà ïàðàøþòèñòà, ÿâëÿåòñÿ ñòåïåííóé ôóíêöèåé åãî ñêîðîñòè v è õàðàêòåðíîãî ðàçìåðà r, à òàêæå ïëîòíîñòè âîçäóõà ρ , ò.å. F = k × ρα × vβ × r γ , ãäå k áåçðàçìåðíûé ìíîæèòåëü ïîðÿäêà åäèíèöû. Îöåíèòå óñòàíîâèâøóþñÿ ñêîðîñòü ïàäåíèÿ ïàðàøþòèñòà. Ðåøåíèå. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîêàçàòåëåé ñòåïåíè α, β, γ âîñïîëüçóåìñÿ ñîîáðàæåíèÿìè ðàçìåðíîñòè.  Ìåæäóíàðîäíîé ñèñòåìå åäèíèö (ÑÈ) ðàçìåðíîñòè ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, âõîäÿùèõ â ôîðìóëó äëÿ ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ, òàêîâû: ì êã × ì êã [ F ] = 2 , [ρ] = 3 , [v] = ñ , [r] = ì. Òîãäà, ñðàâíèâàÿ ñ ì æ êã α ìβ ö æ êã × ì ö ðàçìåðíîñòè ëåâîé ç 2 ÷ è ïðàâîé ç 3α × β × ì γ ÷ ÷àñòåé è ñ ø ñ èì ø ôîðìóëû äëÿ ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèÿì: 1 = α, 1 = -3α + β + γ, - 2 = -β . Îòñþäà íàõîäèì α = 1, β = 2, γ = 2. Òåïåðü ôîðìóëà äëÿ ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ ïðèíèìàåò òàêîé âèä: F = kρv2r 2 . Ïðè äâèæåíèè ñ óñòàíîâèâøåéñÿ ñêîðîñòüþ ñèëà òÿæåñòè ðàâíà ïî âåëè÷èíå ñèëå ñîïðîòèâëåíèÿ: 2 Mg = kρvóñò r2 . Äëÿ ÷èñëåííîé îöåíêè ñêîðîñòè vóñò ïðèìåì ìàññó ïàðàøþòèñòà Ì = 100 êã, ïëîòíîñòü âîçäóõà ρ = 1,3 êã ì3 , êâàäðàò 30.01.09, 13:12 # ÊÂÀÍT 2009/¹1 õàðàêòåðíîãî ðàçìåðà r 2 = 0,25 ì2 . Ýòî ïðèâîäèò ê îêîí÷àòåëüíîìó ðåçóëüòàòó vóñò = Mg = kρr 2 100 × 10 ì ñ » 55 ì ñ , 1 × 1,3 × 0,25 êîòîðûé õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ îïûòíûìè äàííûìè. Çàäà÷à 6. Òåííèñèñò ïîäàåò ìÿ÷ ñî ñêîðîñòüþ v0 = = 200 êì/÷ ñ âûñîòû h = 3 ì. Ïðîëåòåâ L = 20 ì, ìÿ÷ Ñóììèðóÿ ýëåìåíòàðíûå îòíîñèòåëüíûå ïðèðàùåíèÿ ãîðèçîíòàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè ìÿ÷à ïî âñåìó âðåìåíè ïîëåòà, ïîëó÷àåì å ∆vx v = -βå ∆x , èëè ln 1 = -βL . v0 vx Îòñþäà íàõîäèì v1 = v0 × exp ( -βL) » 42 ì ñ . Óòî÷íèì è ïðîäîëæèòåëüíîñòü ïîëåòà ìÿ÷à: T= 1 å ∆t = - β å vx2 = 1æ 1 1ö » 0,27 c . β çè v1 v0 ÷ø Ðàññìîòðåííàÿ çàäà÷à èëëþñòðèðóåò èçâåñòíîå ïðàâèëî Óèëåðà (àìåðèêàíñêîãî ôèçèêà-òåîðåòèêà): «Íèêîãäà íå íà÷èíàé âû÷èñëåíèé, ïîêà íå çíàåøü îòâåòà. Êàæäîìó âû÷èñëåíèþ ïðåäïîñûëàé îöåíî÷íûé ðàñ÷åò: ïðèâëåêè ïðîñòûå ôèçè÷åñêèå ñîîáðàæåíèÿ (ñèììåòðèþ! èíâàðèàíòíîñòü!) äî òîãî, êàê íà÷èíàòü ïîäðîáíûé âûâîä Áóäü ñìåëåå Äåëàé ïðåäïîëîæåíèÿ áûñòðî, èíòóèòèâíî. Óäà÷íûå ïðåäïîëîæåíèÿ óêðåïëÿþò èíòóèöèþ. Îøèáî÷íûå ïðåäïîëîæåíèÿ äàþò åé õîðîøóþ âñòðÿñêó». Ðèñ. 3 óäàðÿåòñÿ î êîðò. Ìàññà ìÿ÷à m = 60 ã, ðàäèóñ ìÿ÷à R = = 32,5 ìì. Îöåíèòå ñêîðîñòü ìÿ÷à v1 â ìîìåíò óäàðà è ïðîäîëæèòåëüíîñòü ïîëåòà T. Ñ÷èòàéòå, ÷òî â ïîëåòå íà ρv2 πR2 . Íà ìÿ÷ äåéñòâóåò ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ F = Cx 2 ðèñóíêå 3 ïðåäñòàâëåíà ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ çàâèñèìîñòü áåçðàçìåðíîãî êîýôôèöèåíòà ñîïðîòèâëåíèÿ Cx øàðà îò ρvR áåçðàçìåðíîãî ïàðàìåòðà (÷èñëà Ðåéíîëüäñà) Re = , η ãäå ρ = 1,3 êã ì3 ïëîòíîñòü âîçäóõà, v ñêîðîñòü øàðà, R åãî ðàäèóñ, η = 1,8 × 10 -5 Ïà × ñ êîýôôèöèåíò âíóòðåííåãî òðåíèÿ (âÿçêîñòè) âîçäóõà. Âðàùåíèåì ìÿ÷à ñëåäóåò ïðåíåáðå÷ü. Ðåøåíèå. Îöåíêè ïðîâåäåì â äâà ýòàïà. Ñêîðîñòü 200 êì/÷ ýòî (â ÑÈ) ïðèáëèçèòåëüíî 55 ì/ñ, L » 0, 4 c .  íà÷àëüíûé è ìÿ÷ ïðîëåòèò 20 ì çà âðåìÿ T » v0 ρv0 R ìîìåíò Re = » 1,3 × 105 . Èç ãðàôèêà íà ðèñóíêå 3 η ñëåäóåò, ÷òî ïðè óìåíüøåíèè ñêîðîñòè ìÿ÷à â 100 ðàç, ò.å. ïðàêòè÷åñêè â òå÷åíèå âñåãî ïîëåòà, êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì è ðàâíûì Cx = 0, 4 . Îöåíèì âåëè÷èíó ãîðèçîíòàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé óñêîðåíèÿ ìÿ÷à â íà÷àëüíûé ìîìåíò: F Cx πρR2v2 = » 43 ì ñ2 . a= 2m m Çà âðåìÿ ïîëåòà ñêîðîñòü óìåíüøèòñÿ ïðèìåðíî íà ∆v = aT » 17 ì ñ è â ìîìåíò óäàðà áóäåò ðàâíà v1 = v0 - ∆v » 38 ì ñ . Êîíå÷íî, ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò âåðåí ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû è äåìîíñòðèðóåò òåõíèêó ïîñòðîåíèÿ ãðóáûõ îöåíîê. Áîëåå òî÷íûé îòâåò ìîæíî ïîëó÷èòü, ñóììèðóÿ áåñêîíå÷íî ìàëûå. Äåéñòâèòåëüíî, ïî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà, ∆v v2 m x = - F = -Cxρ x πR2 , 2 ∆t Óïðàæíåíèÿ 1. Íåáîëüøîé óïðóãèé áðóñîê ìàññîé m ìîæåò äâèãàòüñÿ áåç òðåíèÿ âíóòðè ïðÿìîóãîëüíîé êîðîáêè òàêîé æå ìàññû. Êîðîáêà íàõîäèòñÿ íà ñòîëå, ïîêðûòîì òîíêèì ñëîåì ìàñëà.  íà÷àëüíûé ìîìåíò êîðîáêà ïîêîèòñÿ, à áðóñêó, íàõîäÿùåìóñÿ ó îäíîé èç ñòåíîê, ñîîáùàþò ñêîðîñòü v0 , íàïðàâëåííóþ ïî íîðìàëè ê ñòåíêå. Ñêîëüêî ñîóäàðåíèé áðóñêà ñ êîðîáêîé ïðîèçîéäåò çà âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ? Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñòåíêàìè, ñ êîòîðûìè ñîóäàðÿåòñÿ áðóñîê, ðàâíî L. Ñèëó òðåíèÿ ñ÷èòàéòå ïðîïîðöèur r îíàëüíîé ñêîðîñòè êîðîáêè: F = -kv , ñîóäàðåíèÿ àáñîëþòíî óïðóãèìè. 2. Ìàëåíüêàÿ øàéáà ìàññîé m ëåæèò íà êðàþ äëèííîé äîñêè ìàññîé Ì, ïîêîÿùåéñÿ íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè. Øàéáà è äîñêà ñìàçàíû ìàñëîì. Øàéáå ñîîáùàþò ãîðèçîíòàëüíóþ ñêîðîñòü v0 , íàïðàâëåííóþ âäîëü äîñêè. Ïðè äâèæåíèè íà êàæäîå òåëî äåéñòâóåò ñèëà òðåíèÿ, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ ur âÿçêîãî r îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè: F = -kvîòí . Îïðåäåëèòå ïåðåìåùåíèå øàéáû îòíîñèòåëüíî äîñêè çà äîñòàòî÷íî áîëüøîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè. 3. Ñëåäóÿ óñëîâèþ çàäà÷è 4 â ñòàòüå, íàéäèòå âðåìÿ, çà êîòîðîå øàéáà ñîâåðøèò ïåðâûé îáîðîò. Ñ÷èòàéòå íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü v0 = 3 ì ñ , ðàäèóñ êðóãà R = 1 ì. Óêàçàíèå: ïðè ðåøåíèè âîñïîëüçóéòåñü òåì, ÷òî ïðè ìàëûõ æ 1ö (âÿçêîñòè) ãëèöåðèíà η = 1,4 × 10 -3 Í × ñ ì2 . Cx πρR2 ∆vx » 0,014 ì1. = -βvx ∆t = -β∆x , ãäå β = 2m vx 52 ∆x ïðèðàùåíèÿõ àðãóìåíòà ∆ ç ÷ = - 2 . è xø x 4. Ñòàëüíîé øàðèê ðàäèóñîì r = 0,5 ìì äâèæåòñÿ â øèðîêîì ñîñóäå, íàïîëíåííîì ãëèöåðèíîì. Íà øàðèê äåéñòâóþò ñèëà òÿæåñòè, ñèëà Àðõèìåäà è ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ ñòåïåííîé ôóíêöèåé åãî ñêîðîñòè v, ðàäèóñà r è êîýôôèöèåíòà âíóòðåííåãî òðåíèÿ (âÿçêîñòè) η ãëèöåðèíà, ò.å. F = k × ηα × vβ × r γ , ãäå k = 6 π áåçðàçìåðíûé ìíîæèòåëü. Âîñïîëüçóéòåñü ñîîáðàæåíèÿìè ðàçìåðíîñòè è íàéäèòå ïîêàçàòåëè ñòåïåíè α, β, γ . Äàëåå îïðåäåëèòå ñêîðîñòü v óñòàíîâèâøåãîñÿ (ðàâíîìåðíîãî) äâèæåíèÿ øàðèêà. Ïëîòíîñòü ãëèöåðèíà ρ1 = 1,26 ã ñì3 , ïëîòíîñòü ñòàëè ρ2 = 7,8 ã ñì3 , êîýôôèöèåíò âíóòðåííåãî òðåíèÿ èëè 40-55.p65 ∆vx 30.01.09, 13:12 ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ Ïàðàëëåëüíîå ïðîåêòèðîâàíèå â çàäà÷àõ Â.ÌÈÐÎØÈÍ È ÇÎÁÐÀÆÅÍÈÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÎÉ ÔÈÃÓÐÛ ÈÃÐÀÅÒ âàæíóþ ðîëü â ðåøåíèè áîëüøèíñòâà ñòåðåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷. Ñóùåñòâóþò îáùåïðèíÿòûå è ÷àñòî èñïîëüçóåìûå èçîáðàæåíèÿ îñíîâíûõ ñòåðåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ ïðèçì, ïèðàìèä, êîíóñîâ è ò.ä. Íî èçîáðàæåíèå ïëîñêîå, è ïîýòîìó ôèãóðà ìîæåò èçîáðàæàòüñÿ â ðàçëè÷íûõ ðàêóðñàõ.  ðàññìàòðèâàåìûõ íèæå çàäà÷àõ ðåøåíèå ïîëó÷àåòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè íåïðèâû÷íûõ èçîáðàæåíèé ìíîãîãðàííèêîâ. Çàäà÷à 1 (ÌÃÓ, ìåõìàò). Íà äèàãîíàëÿõ A 1B è B1C áîêîâûõ Ðèñ. 1 ãðàíåé ïàðàëëåëåïèïåäà ABCDA 1B1C1D1 âûáðàíû òî÷êè M è N òàê, ÷òî îòðåçîê MN ïàðàëëåëåí äèàãîíàëè ïàðàëëåëåïèïåäà AC1 (ðèñ. 1). Íàéäèòå îòíîøåíèå MN : AC1 . Ðåøåíèå. Ïîñìîòðèì Ðèñ. 2 íà ïàðàëëåëåïèïåä «âäîëü» äèàãîíàëè B1D1 , ñïðîåêòèðîâàâ íóæíûå íàì òî÷êè â ïëîñêîñòü ACC1 A1 (ðèñ. 2). Îáðàçû âåðøèí B è D ñîâïàäóò ñ ñåðåäèíîé AC; àíàëîãè÷íî, îáðàçû âåðøèí B1 è D1 ñîâïàäóò ñ ñåðåäèíîé A 1C1 . Ïðè ïàðàëëåëüíîì ïðîåêòèðîâàíèè îáðàçàìè ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ ÿâëÿþòñÿ ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, è ê òîìó æå îòíîøåíèÿ îòðåçêîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, ñîõðàíÿþòñÿ. Ïîýòîìó èç òåîðåìû Ôàëåñà ñëåäóåò, ÷òî îáðàçû äèàãîíàëåé A 1B è B1C ðàçäåëÿò îáðàç AC1 íà òðè ðàâíûõ îòðåçêà, ñðåäíèé èç êîòîðûõ áóäåò ðàâåí îáðàçó MN. Çíà÷èò, MN : A C1 = 1 : 3 . Îòâåò: 1 : 3. Çàäà÷à 2.  òðåóãîëüíîé ïðèçìå ABCA 1B1C1 òî÷êè M è N ñåðåäèíû áîêîâûõ ðåáåð AA 1 è CC1 ñîîòâåòñòâåííî. Íà îòðåçêàõ AB1 è CM ðàñïîëîæåíû òî÷êè E è F ñîîòâåòñòâåííî òàê, ÷òî EF || BN (ðèñ.3). Íàéäèòå îòíîøåíèå EF : BN . Ðåøåíèå. Âûáåðåì â êà÷åñòâå ïëîñêîñòè ïðîåêòèðîâàíèÿ îñíîâàíèå ïðèçìû ABC, à â êà÷åÐèñ. 3 40-55.p65 53 ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ #! ñòâå ïðÿìîé ïðîåêòèðîâàíèÿ âûáåðåì ïðÿìóþ MC. Äàëåå äëÿ óäîáñòâà áóäåì îáîçíà÷àòü îáðàç òî÷êè ïðè ïðîåêòèðîâàíèè òîé æå Ðèñ. 4 áóêâîé, ÷òî åå ïðîîáðàç, òîëüêî ñî øòðèõîì (íàïðèìåð, ïðîåêöèþ òî÷êè N áóäåì îáîçíà÷àòü N¢ ). Îáðàçîì áîêîâîé ãðàíè CC1 A 1 A ïðèçìû áóäåò îòðåçîê, ðàñïîëîæåííûé íà ïðÿìîé ÀÑ, à îáðàçîì áîêîâîé ãðàíè CC1B 1B ïàðàëëåëîãðàìì, îäíîé èç ñòîðîí êîòîðîãî áóäåò ÂÑ (ðèñ.4). Òàê êàê N ñåðåäèíà ðåáðà, òî òðåóãîëüíèêè CN ¢N è C1 A1N ðàâíû, ïîýòîìó AC = A1C1 = CN ¢ . Êðîìå òîãî, òàê êàê CN = NC1 , òî CN ¢ = N ¢C1¢ . Ïðîâåäåì B1¢ D || BN ¢ . Ïîëó÷èì EF E ¢F ¢ E ¢F ¢ AF ¢ 1 = = = = . BN BN ¢ B ¢ D AD 4 1 Îòâåò: 1 : 4 . Çàäà÷à 3.  ïèðàìèäå ABCD òî÷êè M, F è K ñåðåäèíû ðåáåð BC, AD è CD ñîîòâåòñòâåííî. Íà ïðÿìûõ AM è CF ñîîòâåòñòâåííî âçÿòû òî÷êè P è Q òàê, ÷òî PQ P BK (ðèñ.5). Íàéäèòå îòíîøåíèå PQ : BK . Ðåøåíèå. Ñëåäóÿ ïðåäûäóùèì ïðèìåðàì, ìû äîëæíû âûáðàòü ïëîñêîñòü ïðîåêòèðîâàíèÿ è ïðÿìóþ ïðîåêòèðîâàíèÿ òàê, ÷òîáû íàèáîëåå ïðîñòûì îáðàçîì íàéòè íóæíîå íàì îòíîøåíèå.  êà÷åñòâå ïëîñêîñòè ïðîåêòèðîâàíèÿ âûáåðåì îñíîÐèñ. 5 âàíèå ïèðàìèäû ABC, à â êà÷åñòâå ïðÿìîé ïðîåêòèðîâàíèÿ âîçüìåì FC. Îáðàçîì îòðåçêà FK áóäåò îòðåçîê 1 CK ¢ = FK = AC . Îáðàçîì îòðåçêà PQ áóäåò îòðåçîê 2 PC || BK¢ (ðèñ.6). Ðèñ. 6 Ïðîäîëæèì AM äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ BK¢ â òî÷êå L è ïðîâåäåì CE || AL . Òîãäà BL BM 1 K ¢E K ¢C 1 = = , = = . PC MC 1 EL CA 2 È òàê êàê PC = EL , ïîëó÷èì, ÷òî PQ PC PC 2 2 = = = = . BK BK ¢ BL + LE + EK ¢ 2 + 2 + 1 5 Îòâåò: 2 : 5 . Çàäà÷à 4. Íà ðåáðå AD è äèàãîíàëè A 1C ïàðàëëåëåïèïåäà ABCDA 1B1C1D1 âûáðàíû òî÷êè M è N òàê, ÷òî AM : AD = 1 : 5 è ïðÿìàÿ MN ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè BDC1 (ðèñ.7). Íàéäèòå îòíîøåíèå CN : CA 1 . Ðåøåíèå. Êàê è â ïåðâîé çàäà÷å, ïîñòðîèì ïðîåêöèþ ïàðàëëåëåïèïåäà íà ïëîñêîñòü AA 1C1C âäîëü ïðÿìîé BD. 30.01.09, 13:12 #" ÊÂÀÍT 2009/¹1 Òàê êàê ïðÿìàÿ ïðîåêòèðîâàíèÿ ëåæèò â ïëîñêîñòè BC1D , òî ýòà ïëîñêîñòü îòîáðàçèòñÿ â ïðÿìóþ OC1 , Îáðàçàìè áîêîâûõ ðåáåð áóäóò ñëóæèòü ðàäèóñû îïèñàííîé îêîëî íåãî îêðóæíîñòè, ïðîâåäåííûå â âåðøèíû. Îáðàçû òî÷åê D è K áóäóò ëåæàòü íà ïåðïåíäèêóëÿðå, ïðîâåäåííîì ê AM èç âåðøèíû B. Íî ñàìîå èíòåðåñíîå, ÷òî òî÷êà M, òî÷êà B è îáðàç òî÷êè D áóäóò âèäíû èç îáðàçà âåðøèíû 2π . Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ïèðàìèäû ïîä óãëàìè 3 ÐNHM = ÐMHP = ÐPHN = 120° , òàê êàê H öåíòð ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà MNP, à ïðîåêöèè òî÷åê D è K ëåæàò íà îòðåçêàõ HN è HP ñîîòâåòñòâåííî. Ñëåäîâàòåëüíî, H òî÷êà Òîððè÷åëëè äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà BMD¢ (ðèñ.11, D¢ îáðàç òî÷êè D). Ðèñ. 8 Ðèñ. 7 à îòðåçîê MN, ïàðàëëåëüíûé ïëîñêîñòè, â îòðåçîê M ¢N || OC1 (ðèñ.8). Ïðîäîëæèì C1O è NM¢ äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ AA1 . Èìååì AM ¢ AM 1 NP M ¢O 4 = = . = = , 5 OC M ¢O MD 4 PC Òàê êàê O ñåðåäèíà AC, òî AQ = AA 1 è A1N A1R 6 = = . NP RQ 4 Ñëåäîâàòåëüíî, AR 1 = ; RQ 4 CN 5+4 3 = = . CA 1 5 + 4 + 6 5 Îòâåò: 3 : 5 . Çàäà÷à 5 (ÌÔÒÈ, 1981 ã., à òàêæå êîíêóðñ àáèòóðèåíòîâ 2007/2008 ãîäà ïî ðåøåíèþ çàäà÷ âñòóïèòåëüíûõ èñïûòàíèé ÌÔÒÈ). Òî÷êà D ñåðåäèíà ðåáðà A 1C1 ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïðèçìû ABCA 1B1C1 . Ïðàâèëüíàÿ òðåóãîëüíàÿ ïèðàìèäà SMNP ðàñïîëîæåíà òàê, ÷òî ïëîñêîñòü åå îñíîâàíèÿ ñîâïàäàåò ñ ïëîñêîñòüþ òðåóãîëüíèêà ABC, 1 âåðøèíà Mëåæèò íà ïðîäîëæåíèè AC, ïðè÷åì CM = AC , 2 ðåáðî SN ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó D, à ðåáðî SP ïåðåñåêàåò îòðåçîê BB1 â òî÷êå K (ðèñ.9).  êàêîì îòíîøåíèè îòðåçîê BB1 äåëèòñÿ òî÷êîé K? Ðèñ. 9 Ðåøåíèå. Ïðåæäå âñåãî, ïîñìîòðèì «ñâåðõó», ò.å. ñïðîåêòèðóåì îáà ìíîãîãðàííèêà íà èõ îáùóþ ïëîñêîñòü îñíîâàíèÿ. Âåðøèíà S ïèðàìèäû ñïðîåêòèðóåòñÿ â öåíòð òðåóãîëüíèêà MNP òî÷êó H (ðèñ.10). Ðèñ. 11 Íàïîìíèì ñâîéñòâî òî÷êè Òîððè÷åëëè: ñóììà ðàññòîÿíèé îò íåå äî âåðøèí òðåóãîëüíèêà ìèíèìàëüíà. Èç óñëîâèÿ çàäà÷è ìîæíî íàéòè îòíîøåíèå b : a = tg ϕ = BD¢ : D¢M = = 3 : 2 , ãäå ϕ = ÐD¢MB (äàëüøå ýòî ïîíàäîáèòñÿ). Íàéäåì îòíîøåíèÿ ðàññòîÿíèé îò òî÷êè H äî âåðøèí ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà D¢ BM . Ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íà÷àëî êîîðäèíàò íàõîäèëîñü â òî÷êå D¢ , îñü àáñöèññ áûëà íàïðàâëåíà ïî ëó÷ó D¢M , à îñü îðäèíàò ïî ëó÷ó D¢B . Òî÷êà Í áóäåò òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòåé, îïèñàííûõ îêîëî òðåóãîëüíèêîâ BHD¢ è D¢HM , óãëû â âåðøèíàõ H êîòîðûõ ðàâíû 2π (ðèñ.12). Êðîìå 3 Ðèñ. 12 òîãî, îêðóæíîñòü, îïèñàííàÿ îêîëî ïåðâîãî òðåóãîëüíèêà, ïðîéäåò, î÷åâèäíî, ÷åðåç òî÷êó A. Ñëåäîâàòåëüíî, AB åå äèàìåòð, è åå óðàâíåíèå 2 2 aö bö a2 b2 æ . + ÷ø + çè y - ÷ø = 4 2 16 4 Àíàëîãè÷íî, âòîðàÿ îêðóæíîñòü áóäåò ñîäåðæàòü âåðøèíó F ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà D¢MF , ïîñòðîåííîãî òàê, ÷òîáû òî÷êè B è F ëåæàëè â ðàçíûõ ïîëóïëîñêîñòÿõ îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé D¢M . Óðàâíåíèå âòîðîé îêðóæíîñòè áóäåò èìåòü âèä æ çè x + 2 2 æ aö a 3ö a2 æ . x = çè ÷ø + ç y + ÷ 2 6 ø 3 è Äëÿ íàõîæäåíèÿ êîîðäèíàò òî÷êè H ðåøèì ñèñòåìó óðàâíåíèé ì 2 a ì 2 a 2 2 ïï x + 2 x + y - by = 0, ïï x + 2 x + y - by = 0, Ûí Û í ï x2 - ax + y2 + a 3 y = 0 ï 3a x = æç b + a ö÷ y è ïî 2 3ø 3 îï Ðèñ. 10 40-55.p65 54 30.01.09, 13:12 ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ì 2 a ì 2 a 2 2 ï x + 2 x + y - by = 0, ï x + 2 x + y - by = 0, ï ï Ûí Û Ûí 3 3 3 3a ïy = ïy = x x 2 1 + 3 tg ϕ 2 a+b 3 ï ï î î ( ) ( ) ì 3 3 x, ïy = 2 1 + 3 tg ϕ ï ï Ûí æ ö æ ö ï 2ç 27 ÷ + x ç a - 3 3 a tg ϕ ÷ = 0. ï x ç1 + 2÷ çè 2 2 1 + 3 tg ϕ ÷ø 4 1 + 3 tg ϕ ø ï è î Ïîíÿòíî, ÷òî ïåðâîå ðåøåíèå ñèñòåìû (0; 0) , òàê êàê îáå îêðóæíîñòè ïðîõîäÿò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. Íàéäåì âòîðîå ðåøåíèå ñèñòåìû, îáîçíà÷èâ 3 tg ϕ = k . ( ) ( ( ) ) æ 4 (1 + k)2 + 27 ö a æ 2k - 1ö 2 (2k - 1) (k + 1) xç ÷ = ç . ÷ø Û x = a 2 2 è + k 2 1 + k 4 1 ( ) ø è 4 (k + 1) + 27 Ñîîòâåòñòâåííî, 2 (2k - 1) (k + 1) 3 3 (2k - 1) 3 3 . =a y= a 2 2 2 (1 + k) 4 (k + 1) + 27 4 (k + 1) + 27 ( ) 3 Ó÷èòûâàÿ, ÷òî k = , ïîëó÷èì êîîðäèíàòû òî÷êè H: 2 3 3 5 3 3 5 . × =a x= a, y= 2 (1 + k) 26 26 26 Íàéäåì èñêîìûå ðàññòîÿíèÿ: D¢H = HM = 25 27 + a= 676 676 2 27 æ 5 ö a= - 1÷ + çè ø 26 676 2 HB = 52 a= 676 a ; 13 441 + 27 3a = ; 676 13 25 æ 3 3 3ö a= + 676 èç 26 2 ø÷ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ ## Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îêîí÷àòåëüíîãî ðåøåíèÿ ñäåëàåì åùå âîò ÷òî: ñîâìåñòèì òðåóãîëüíèêè SHM, SHP è SHN (ðèñ.13). Òàê êàê 1 5 HD¢ = HM, HB = HM , 3 6 BK DK D¢B 3 òî 1 = = = . KB KM BM 1 Ðèñ. 13 Äåéñòâèòåëüíî, «ñâåðõó è ñáîêó» âèäíåå. Îòâåò: 3 : 1 . Óïðàæíåíèÿ 1. Íà äèàãîíàëÿõ AC è BA 1 áîêîâûõ ãðàíåé ïàðàëëåëåïèïåäà ABCDA 1B1C1D1 âûáðàíû òî÷êè M è N òàê, ÷òî îòðåçîê MN ïàðàëëåëåí äèàãîíàëè ïàðàëëåëåïèïåäà DB1 . Íàéäèòå îòíîøåíèå MN : DB1 . 2. Íà äèàãîíàëè AC1 ïàðàëëåëåïèïåäà ABCDA 1B1C1D1 âçÿòà òî÷êà M, à íà ïðÿìîé B1C òî÷êà N òàê, ÷òî îòðåçêè MN è BD ïàðàëëåëüíû. Íàéäèòå îòíîøåíèå äëèí ýòèõ îòðåçêîâ. 3. Òî÷êà E ñåðåäèíà ðåáðà MQ ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïèðàìèäû SMNPQ . Êóá ABCDA 1B1C1D1 ðàñïîëîæåí òàê, ÷òî ïëîñêîñòü ãðàíè ABCD ñîâïàäàåò ñ ïëîñêîñòüþ MNPQ, âåðøèíà B1 ëåæèò íà ðåáðå SN, òî÷êà E ëåæèò íà ïðÿìîé AB, ïðè÷åì EA = AB. Ïðÿìàÿ SP ïåðåñåêàåò ðåáðî CC1 .  êàêîì îòíîøåíèè îòðåçîê CC1 äåëèòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ? 4.  ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïðèçìå ABCA 1B1C1 òî÷êà D ñåðåäèíà ðåáðà A1C1 . Ïðàâèëüíàÿ òðåóãîëüíàÿ ïèðàìèäà ðàñïîëîæåíà òàê, ÷òî ïëîñêîñòü åå îñíîâàíèÿ ñîâïàäàåò ñ ïëîñêîñòüþ ABC, ïåðâîå áîêîâîå ðåáðî ïðîõîäèò ÷åðåç âåðøèíó B, âòîðîå ÷åðåç òî÷êó D, à òðåòüå ïåðåñåêàåò ðåáðî CC1 . Íàéäèòå îòíîøåíèå îáúåìà ïèðàìèäû ê îáúåìó ïðèçìû. 5. ×åðåç ñåðåäèíû M è N ðåáåð AD è CC1 ïàðàëëåëåïèïåäà ABCDA 1B1C1D1 ïðîâåäåíà ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíàÿ äèàãîíàëè DB1 .  êàêîì îòíîøåíèè ýòà ïëîñêîñòü äåëèò ðåáðî BB1 ? 325 5a . a= 676 2 13 Âíèìàíèþ íàøèõ ÷èòàòåëåé! Êîãäà äèàãîíàëü ïÿòèóãîëüíèêà ïàðàëëåëüíà ñòîðîíå?  11 íîìåðå «Êâàíòà» çà 1977 ãîä îïóáëèêîâàíî äîâîëüíî ñëîæíîå ðåøåíèå ñëåäóþùåé çàäà÷è. Ì433. Ñòîðîíà ÂÑ âûïóêëîãî ïÿòèóãîëüíèêà ABCDE ïàðàëëåëüíà äèàãîíàëè AD, ñòîðîíà CD äèàãîíàëè ÂÅ, ñòîðîíà DE äèàãîíàëè ÀÑ, à ñòîðîíà ÀÅ äèàãîíàëè BD. Äîêàæèòå, ÷òî ñòîðîíà À ïàðàëëåëüíà äèàãîíàëè ÑÅ. Çàìåòüòå, îäíàêî, ÷òî óñëîâèå BC P AD ìîæíî çàïèñàòü â âèäå SABC = SDBC . Àíàëîãè÷íî, óñëîâèÿ CD P BE , DE P AC è AE P BD çàïèøåì â âèäå ðàâåíñòâ SDBC = SDEC , SDEC = SDEA è SDEA = SBEA . 40-55.p65 55 Òàêèì îáðàçîì, SABC = SDBC = SDEC = SDEA = SBEA , îòêóäà SABC = SBEA , ò.å. CE P AB , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. À.Ñïèâàê Íîâàÿ êíèãà ïî ôèçèêå  èçäàòåëüñòâå «Ôèçìàòëèò» â ñåðèè «Øêîëüíèêó è ó÷èòåëþ» âûøëà êíèãà «Êðàòêèé êóðñ ôèçèêè», àâòîðîì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî ðåäàêòîðà æóðíàëà «Êâàíò» ïî ôèçèêå À.È.×åðíîóöàí. Êíèãà ñîäåðæèò êðàòêîå, íî äîñòàòî÷íî ïîëíîå è ïîäðîáíîå èçëîæåíèå âñåõ ðàçäåëîâ øêîëüíîé ôèçèêè, âêëþ÷åííûõ â ïðîãðàììó ÅÃÝ. Èçëîæåíèå òåîðèè ñîïðîâîæäàåòñÿ ìíîãî÷èñëåííûìè ïðèìåðàìè, âîïðîñàìè è îòâåòàìè, à òàêæå çàìå÷àíèÿìè, ïðîÿñíÿþùèìè òîíêèå è òðóäíûå ìîìåíòû.  êíèãå åñòü ïîäðîáíûé ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü, ïîçâîëÿþùèé èñïîëüçîâàòü åå â êà÷åñòâå ñïðàâî÷íèêà. Êíèãà ðåêîìåíäîâàíà Ôåäåðàëüíûì èíñòèòóòîì ïåäàãîãè÷åñêèõ èçìåðåíèé äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÅÃÝ. 30.01.09, 13:12