ÂØÝ-ÐÝØ, 2011-12, ¾Ëèíåéíàÿ àëãåáðà 1¿ Ñîâìåñòíûé áàêàëàâðèàò ÂØÝ-ÐÝØ, 2011-12 ó÷. ãîä. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà 1 ÄÇ 7: ïðèâåäåíèå êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ê ãëàâíûì îñÿì (Deadline 10 èþíÿ 2012) È. À. Õîâàíñêàÿ, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, À. Ì. Ìàëîêîñòîâ, À. Ï. Ïóøêàðü, È. Â. Ùóðîâ Çàäà÷à 1. Ðàññìîòðèì áèëèíåéíóþ ôîðìó B(~x, ~y ) = 11x1 y1 + 5x2 y2 + 2x3 y3 + 8x1 y2 + 8x2 y1 + 2x1 y3 + 2x3 y1 − 10x2 y3 − 10x3 y2 , ãäå ~x = (x1, x2, x3) ∈ R3 è ~y = (y1, y2, y3) ∈ R3. (a) Äîêàæèòå, ÷òî ýòà ôîðìà äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ áèëèíåéíîé. (b) Äîêàæèòå, ÷òî ýòà ôîðìà ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé, òî åñòü B(~x, ~y) = B(~y, ~x). (c) Äëÿ âñåõ ïàð áàçèñíûõ âåêòîðîâ ei, ej íàéäèòå çíà÷åíèå ôîðìû B(ei, ej ). (d) Ñîñòàâüòå ìàòðèöó áèëèíåéíîé ôîðìû B . (e) Âûïèøèòå êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó, ñîîòâåòñòâóþùóþ áèëèíåéíîé ôîðìå B . (f) Ïóñòü A îïåðàòîð, çàïèñûâàþùèéñÿ â ñòàíäàðòíîì áàçèñå òîé æå ìàòðèöåé, ÷òî è áèëèíåéíàÿ ôîðìà B . Íàéäèòå âñå ñîáñòâåííûå âåêòîðû è âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà A. (g) Ïðîâåðüòå, ÷òî ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðà A âçàèìíî îðòîãîíàëüíû. (h) Íîðìèðóéòå áàçèñ èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðà A, òî åñòü çàìåíèòå êàæäûé âåêòîð íà êîëëèíåàðíûé åìó âåêòîð äëèíû 1. (i) Ñîñòàâüòå ìàòðèöû ïåðåõîäîâ îò ñòàíäàðòíîãî áàçèñà ê áàçèñó, íàéäåííîìó â ïðåäûäóùåì ïóíêòå, è îáðàòíî. (j) Çàïèøèòå îïåðàòîð A â áàçèñå, íàéäåííîì â 1h, òî åñòü ïðåäñòàâüòå ìàòðèöó A â âèäå A = C −1 DC , ãäå C îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà. Ïðîâåðüòå ðåçóëüòàò, ïåðåìíîæèâ ìàòðèöû. (k) Çàïèøèòå áèëèíåéíóþ ôîðìó â áàçèñå, íàéäåííîì â 1h, òî åñòü ïðåäñòàâüòå ìàòðèöó A â âèäå A = C T DC , ãäå C îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà. Ïðîâåðüòå ðåçóëüòàò, ïåðåìíîæèâ ìàòðèöû. Çàäà÷à 2. Ðàññìîòðèì áèëèíåéíóþ ôîðìó1, B(~x, ~y ) = −7x1 y1 − x2 y2 − x3 y3 + 4x1 y2 + 4x2 y1 + 4x1 y3 + 4x3 y1 + 8x2 y3 + 8x3 y2 , ãäå ~x = (x1, x2, x3) ∈ R3 è ~y = (y1, y2, y3) ∈ R3. (a) Äîêàæèòå, ÷òî ýòà ôîðìà äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ áèëèíåéíîé. (b) Äîêàæèòå, ÷òî ýòà ôîðìà ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé, òî åñòü B(~x, ~y) = B(~y, ~x). (c) Äëÿ âñåõ ïàð áàçèñíûõ âåêòîðîâ ei, ej íàéäèòå çíà÷åíèå ôîðìû B(ei, ej ). (d) Ñîñòàâüòå ìàòðèöó áèëèíåéíîé ôîðìû B . (e) Âûïèøèòå êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó, ñîîòâåòñòâóþùóþ áèëèíåéíîé ôîðìå B . 1  èñõîäíîì óñëîâèè áûëà ôîðìà B(~x, ~y) = 8x1 y1 − 8x2 y2 + 8x3 y3 + 4x1 y2 + 4x2 y1 − x1 y3 − x3 y1 + , íî ñ íåé çàäà÷à ïîëó÷àëàñü ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íà ïåðâîé 4x2 y3 + 4x3 y2 È. À. Õîâàíñêàÿ, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, À. Ì. Ìàëîêîñòîâ, À. Ï. Ïóøêàðü, È. Â. Ùóðîâ 1 ÂØÝ-ÐÝØ, 2011-12, ¾Ëèíåéíàÿ àëãåáðà 1¿ (f) Ïóñòü A îïåðàòîð, çàïèñûâàþùèéñÿ â ñòàíäàðòíîì áàçèñå òîé æå ìàòðèöåé, ÷òî è áèëèíåéíàÿ ôîðìà B . Íàéäèòå âñå ñîáñòâåííûå âåêòîðû è âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà A. (g) Íàéäèòå áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðà A. Îäíîçíà÷íî ëè ðåøàåòñÿ ýòà çàäà÷à? Ïî÷åìó? (h) Íîðìèðóéòå áàçèñ èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðà A, òî åñòü çàìåíèòå êàæäûé âåêòîð íà êîëëèíåàðíûé åìó âåêòîð äëèíû 1. (i) Ñîñòàâüòå ìàòðèöû ïåðåõîäîâ îò ñòàíäàðòíîãî áàçèñà ê ïîñòðîåííîìó â ïðåäûäóùåì ïóíêòå è îáðàòíî. (j) Ïîëó÷èëñÿ ëè áàçèñ îðòîíîðìèðîâàííûì? Êàê áóäåò ìåíÿòüñÿ ìàòðèöà îïåðàòîðà ïðè ïåðåõîäå ê ýòîìó áàçèñó? À ìàòðèöà áèëèíåéíîé ôîðìû? (k) Ïðè ïîìîùè ïðîöåññà îðòîãîíàëèçàöèè ïîñòðîéòå èç áàçèñà, íàéäåííîãî â 2h îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ðàññìàòðèâàåìîãî îïåðàòîðà. (l) Çàïèøèòå îïåðàòîð A â áàçèñå, ïîñòðîåííîì â ïðåäûäóùåì ïóíêòå, òî åñòü ïðåäñòàâüòå ìàòðèöó A â âèäå A = C −1DC , ãäå C îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà. Ïðîâåðüòå ðåçóëüòàò, ïåðåìíîæèâ ìàòðèöû. (m) Çàïèøèòå áèëèíåéíóþ ôîðìó â áàçèñå, íàéäåííîì â 2k, òî åñòü ïðåäñòàâüòå ìàòðèöó A â âèäå A = C T DC , ãäå C îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà. Ïðîâåðüòå ðåçóëüòàò, ïåðåìíîæèâ ìàòðèöû. Çàäà÷à 3. Íàðèñóéòå íà ïëîñêîñòè ìíîæåñòâî òî÷åê ~x ∈ R2, äëÿ êîòîðûõ f (~x) = 1, åñëè êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà f : R2 → R çàäà¼òñÿ ôîðìóëîé (a) f (~x) = x21 + x22; (b) f (~x) = x21 + 2x22; (c) f (~x) = x21 − x22. Çàäà÷à 4.2 Ïðèâåäèòå êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó (a) f (~x) = x21 + 4x1x2; (b) f (~x) = x21 + 4x1 x2 + 6x2 ê ãëàâíûì îñÿì. Íàðèñóéòå íà ïëîñêîñòè (â ñòàðûõ êîîðäèíàòàõ) ìíîæåñòâî òî÷åê ~x ∈ R2, äëÿ êîòîðûõ f (~x) = 1. Íà òîì æå ðèñóíêå èçîáðàçèòå íîâûå êîîðäèíàòíûå îñè. È. À. Õîâàíñêàÿ, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, À. Ì. Ìàëîêîñòîâ, À. Ï. Ïóøêàðü, È. Â. Ùóðîâ 2