Слайды_лекция_3

реклама
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ
ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ
ËÅÊÖÈß 3
22 ñåíòÿáðÿ 2014 ã.
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
ËÅÊÖÈß 3
Ñîäåðæàíèå
1
Àôôèííûå ïðîñòðàíñòâà
2
Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
3
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àôôèííûõ êîîðäèíàò
4
Äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
1. Àôôèííûå ïðîñòðàíñòâà
Îïðåäåëåíèå
Àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî ýòî ìíîæåñòâî A ýëåìåíòîâ
ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû, íàçûâàåìûõ òî÷êàìè, êîòîðîìó
ñîïîñòàâëåíû:
1) ëèíåàë L, íàçûâàåìûé ïðèñîåäèíåííûì ê A;
2) ñîîòâåòñòâèå, ïî êîòîðîìó ëþáûì äâóì òî÷êàì A, B ∈ A
îòâå÷àåò íåêîòîðûé ýëåìåíò AB ∈ L ñ íà÷àëîì â A è ñ êîíöîì â B .
Ïðè ýòîì âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå äâå àêñèîìû:
10o . Äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè A ∈ A è ëþáîãî ýëåìåíòà v ∈ L
ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà B ∈ A òàêàÿ, ÷òî AB = v .
11o . Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ òðåõ òî÷åê A, B, C ∈ A èìååò ìåñòî
ðàâåíñòâî AB + BC = AC .
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
1. Àôôèííûå ïðîñòðàíñòâà
Îïðåäåëåíèå
Àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî ýòî ìíîæåñòâî A ýëåìåíòîâ
ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû, íàçûâàåìûõ òî÷êàìè, êîòîðîìó
ñîïîñòàâëåíû:
1) ëèíåàë L, íàçûâàåìûé ïðèñîåäèíåííûì ê A;
2) ñîîòâåòñòâèå, ïî êîòîðîìó ëþáûì äâóì òî÷êàì A, B ∈ A
îòâå÷àåò íåêîòîðûé ýëåìåíò AB ∈ L ñ íà÷àëîì â A è ñ êîíöîì â B .
Ïðè ýòîì âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå äâå àêñèîìû:
10o . Äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè A ∈ A è ëþáîãî ýëåìåíòà v ∈ L
ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà B ∈ A òàêàÿ, ÷òî AB = v .
11o . Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ òðåõ òî÷åê A, B, C ∈ A èìååò ìåñòî
ðàâåíñòâî AB + BC = AC .
Ðàçìåðíîñòü àôôèííîãî ïðîñòðàíñòâà A ñîâïàäàåò ñ
ðàçìåðíîñòüþ ïðèñîåäèíåííîãî ëèíåàëà L è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì
dim(A). Åñëè dim(L) = n, òî dim(A) = n. Îáîçíà÷åíèå: An .
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
Ïðèìåð àôôèííîãî ïðîñòðàíñòâà
Ðàññìîòðèì òî÷å÷íîå òðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî.
Ôèêñèðóåì íåêîòîðóþ òî÷êó O è ðàññìàòðèâàåì âñåâîçìîæíûå
ðàäèóñ-âåêòîðû ñ íà÷àëîì â òî÷êå O .
Òîãäà òî÷êàìè àôôèííîãî ïðîñòðàíñòâà A3 , ñ ïðèñîåäèíåííûì
ëèíåàëîì V 3 , ÿâëÿþòñÿ êîíöû ðàäèóñ-âåêòîðîâ ñ íà÷àëîì â òî÷êå O .
Ïðè ýòîì äâóì òî÷êàì A, B ∈ A3 ñîïîñòàâëÿåòñÿ âåêòîð
−→ →
−
AB = −
r B −→
r A ∈ V3
. Òàêèì îáðàçîì, òî÷êå A ∈ A3 àôôèííîãî ïðîñòðàíñòâà ñòàâèòñÿ â
−
ñîîòâåòñòâèå ðàäèóñ-âåêòîð →
r A ïðèñîåäèíåííîãî ëèíåàëà V 3 .
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
1. Àôôèííûå ïðîñòðàíñòâà
 àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè áóäåì èçó÷àòü àôôèííûå
ïðîñòðàíñòâà A1 , A2 , A3 , ñ êîòîðûìè àññîöèèðîâàíû ëèíåàëû
V 1 , V 2 , V 3 è êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ïðÿìàÿ,
ïëîñêîñòü, òðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî.
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
2. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
Îïðåäåëåíèå
Oe1 e2 ...en â àôôèííîì
ïðîñòðàíñòâå A íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü, ñîñòîÿùàÿ èç òî÷êè
O ∈ A, íàçûâàåìîé íà÷àëîì êîîðäèíàò, è áàçèñà e1 , e2 , ..., en
èç ïðèñîåäèíåííîãî ëèíåàëà Ln .
Àôôèííîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò
n
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
2. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
Îïðåäåëåíèå
Oe1 e2 ...en â àôôèííîì
ïðîñòðàíñòâå A íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü, ñîñòîÿùàÿ èç òî÷êè
O ∈ A, íàçûâàåìîé íà÷àëîì êîîðäèíàò, è áàçèñà e1 , e2 , ..., en
èç ïðèñîåäèíåííîãî ëèíåàëà Ln .
Àôôèííîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò
n
Àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò çàäàåòñÿ äâóìÿ
ðàçíîðîäíûìè îáúåêòàìè òî÷êîé O ∈ An è áàçèñîì
e1 , e2 , ..., en ëèíåàëà Ln .
Âàæíî!
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
2. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
Îïðåäåëåíèå
Oe1 e2 ...en â àôôèííîì
ïðîñòðàíñòâå A íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü, ñîñòîÿùàÿ èç òî÷êè
O ∈ A, íàçûâàåìîé íà÷àëîì êîîðäèíàò, è áàçèñà e1 , e2 , ..., en
èç ïðèñîåäèíåííîãî ëèíåàëà Ln .
Àôôèííîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò
n
Àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò çàäàåòñÿ äâóìÿ
ðàçíîðîäíûìè îáúåêòàìè òî÷êîé O ∈ An è áàçèñîì
e1 , e2 , ..., en ëèíåàëà Ln .
Âàæíî!
Îïðåäåëåíèå
Ïóñòü B ∈ An . Âåêòîð OB ∈ Ln íàçûâàåòñÿ ðàäèóñ-âåêòîðîì
òî÷êè B è îáîçíà÷àåòñÿ r (B) = rB = OB ∈ Ln .
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
2. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
Îïðåäåëåíèå
Àôôèííûìè êîîðäèíàòàìè òî÷êè B ∈ An íàçûâàþòñÿ
êîîðäèíàòû åå ðàäèóñ-âåêòîðà îòíîñèòåëüíî áàçèñà e1 , e2 , ..., en , òî
åñòü
B(β1 , β2 , ..., βn ) ∈ An =⇒ OB = β1 e1 + β2 e2 + ... + βn en
.
 ñèëó åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ ïî áàçèñó, àôôèííûå
êîîðäèíàòû òî÷êè îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî.
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
2. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
Îïðåäåëåíèå
Àôôèííûìè êîîðäèíàòàìè òî÷êè B ∈ An íàçûâàþòñÿ
êîîðäèíàòû åå ðàäèóñ-âåêòîðà îòíîñèòåëüíî áàçèñà e1 , e2 , ..., en , òî
åñòü
B(β1 , β2 , ..., βn ) ∈ An =⇒ OB = β1 e1 + β2 e2 + ... + βn en
.
 ñèëó åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ ïî áàçèñó, àôôèííûå
êîîðäèíàòû òî÷êè îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî.
Ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò AB ∈ Ln ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ðàçíîñòü
ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàäèóñ-âåêòîðîâ: AB = rB − rA , ãäå A ∈ An è
B ∈ An íà÷àëî è êîíåö âåêòîðà ñîîòâåòñòâåííî.
Åñëè A(α1 , α2 , ..., αn ) è B(β1 , β2 , ..., βn ), òî êîîðäèíàòû AB ∈ Ln
îòíîñèòåëüíî òîãî æå áàçèñà îïðåäåëÿþòñÿ â âèäå:
AB = (β1 − α1 )e1 + (β2 − α2 )e2 + ... + (βn − αn )en .
Îáîçíà÷åíèå: AB(β1 − α1 , β2 − α2 , ..., βn − αn ).
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
2. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
Îïðåäåëåíèå
Ïðÿìîé â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå An , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó
C ∈ An â íàïðàâëåíèè âåêòîðà v ∈ Ln , íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ
òî÷åê M ∈ An òàêèõ ÷òî CM = λv, ãäå λ âåùåñòâåííîå ÷èñëî,
λ ∈ (−∞, ∞).
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
2. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
Îïðåäåëåíèå
Ïðÿìîé â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå An , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó
C ∈ An â íàïðàâëåíèè âåêòîðà v ∈ Ln , íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ
òî÷åê M ∈ An òàêèõ ÷òî CM = λv, ãäå λ âåùåñòâåííîå ÷èñëî,
λ ∈ (−∞, ∞).
Îïðåäåëåíèå
Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó O ∈ An â íàïðàâëåíèè âåêòîðà ei
íàçûâàåòñÿ i -îé êîîðäèíàòíîé îñüþ.
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
2. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
Îïðåäåëåíèå
Ïðÿìîé â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå An , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó
C ∈ An â íàïðàâëåíèè âåêòîðà v ∈ Ln , íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ
òî÷åê M ∈ An òàêèõ ÷òî CM = λv, ãäå λ âåùåñòâåííîå ÷èñëî,
λ ∈ (−∞, ∞).
Îïðåäåëåíèå
Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó O ∈ An â íàïðàâëåíèè âåêòîðà ei
íàçûâàåòñÿ i -îé êîîðäèíàòíîé îñüþ.
Îïðåäåëåíèå
Ïëîñêîñòüþ â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå An , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó
C ∈ An â íàïðàâëåíèè âåêòîðîâ v1 , v2 ∈ Ln , íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
âñåõ òî÷åê M ∈ An òàêèõ ÷òî CM = λ1 v1 + λ2 v2 , ãäå λ1 , λ2 âåùåñòâåííûå ÷èñëà, λ1 , λ2 ∈ (−∞, ∞).
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
2. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
Ðàññìîòðèì àôôèííûå ïðîñòðàíñòâà A1 (ïðÿìàÿ), A2 (ïëîñêîñòü),
A3 (ïðîñòðàíñòâî) ñ àññîöèèðîâàííûìè ëèíåàëàìè V 1 , V 2 , V 3 .
Ââåäåì â ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò:
1) A1 (ïðÿìàÿ): O~
e1 êîîðäèíàòíàÿ îñü,
2) A2 (ïëîñêîñòü): O~
e1 e~2 , ãäå O~
e1 è O~
e2 êîîðäèíàòíûå îñè,
3) A3 (ïðîñòðàíñòâî): O~
e1 e~2 e~3 , ãäå O~
e1 , O~
e2 è O~
e3 êîîðäèíàòíûå
îñè, à O~
e1 e~2 , O~
e1 e~3 , O~
e2 e~3 êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè.
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
2. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
Îïðåäåëåíèå
Óïîðÿäî÷åííàÿ òðîéêà áàçèñíûõ âåêòîðîâ e~1 , e~2 , e~3 íàçûâàåòñÿ
ïðàâîé (ëåâîé), åñëè ïî ýòèì âåêòîðàì ïîñëå ïðèâåäåíèÿ èõ ê
îáùåìó íà÷àëó ìîæíî íàïðàâèòü ñîîòâåòñâåííî áîëüøîé,
óêàçàòåëüíûé è ñðåäíèé ïàëüöû ïðàâîé (ëåâîé) ðóêè.
Åñëè òðîéêà âåêòîðîâ e~1 , e~2 , e~3 ïðàâàÿ, òî ïðàâûìè òàêæå áóäóò
òðîéêè âåêòîðîâ e~3 , e~1 , e~2 è e~2 , e~3 , e~1 .
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
2. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
Îïðåäåëåíèå
Óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà áàçèñíûõ âåêòîðîâ e~1 , e~2 íàçûâàåòñÿ ïðàâîé
(ëåâîé), åñëè êðàò÷àéøèé ïîâîðîò îò ïåðâîãî âåêòîðà êî âòîðîìó
îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðîòèâ (ïî) õîäó ÷àñîâîé ñòðåëêè.
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
2. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
Îïðåäåëåíèå
Óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà áàçèñíûõ âåêòîðîâ e~1 , e~2 íàçûâàåòñÿ ïðàâîé
(ëåâîé), åñëè êðàò÷àéøèé ïîâîðîò îò ïåðâîãî âåêòîðà êî âòîðîìó
îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðîòèâ (ïî) õîäó ÷àñîâîé ñòðåëêè.
Îïðåäåëåíèå
Àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò O~
e1 e~2 e~3 íàçûâàåòñÿ ïðàâîé (ëåâîé),
åñëè e~1 , e~2 , e~3 ïðàâàÿ òðîéêà âåêòîðîâ (ëåâàÿ òðîéêà), à O~
e1 e~2 ïðàâàÿ àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò, åñëè e~1 , e~2 ïðàâàÿ ïàðà.
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
3. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àôôèííûõ êîîðäèíàò
Íà ïðÿìîé
Ðàññìîòðèì àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî A1 (ïðÿìàÿ) ñ ïðèñîåäèíåííûì
ëèíåàëîì V 1 .
Ââåäåì àôôèííóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò O~
e1 .
−−→
OM = ~a, ~a || e~1 =⇒ ~a = λ~
e1 , ãäå ÷èñëî λ îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî.
Åñëè ~a ↑↑ e~1 , òî λ =
|~
a|
|~
e1 | ,
a|
à åñëè ~a ↑↓ e~1 , òî λ = − |~|~
e1 | .
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
3. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àôôèííûõ êîîðäèíàò
Íà ïðÿìîé
Ðàññìîòðèì àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî A1 (ïðÿìàÿ) ñ ïðèñîåäèíåííûì
ëèíåàëîì V 1 .
Ââåäåì àôôèííóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò O~
e1 .
−−→
OM = ~a, ~a || e~1 =⇒ ~a = λ~
e1 , ãäå ÷èñëî λ îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî.
Åñëè ~a ↑↑ e~1 , òî λ =
|~
a|
|~
e1 | ,
a|
à åñëè ~a ↑↓ e~1 , òî λ = − |~|~
e1 | .
Îïðåäåëåíèå
Óêàçàííîå ÷èñëî λ íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé ìåðîé âåêòîðà ~a íà
îñè, îïðåäåëÿåìîé âåêòîðîì e~1 .
Îáîçíà÷åíèå: λ = mes~e1 ~a
Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ: ~a = (mes~e1 ~a)~
e1
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
3. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àôôèííûõ êîîðäèíàò
Íà ïðÿìîé
Ëåììà
Ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ:
1) mes~e1 (µ~a) = µmes~e1 ~a;
2) mes~e1 (~a + ~b) = mes~e1 ~a + mes~e1 ~b .
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
3. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àôôèííûõ êîîðäèíàò
Íà ïðÿìîé
Ëåììà
Ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ:
1) mes~e1 (µ~a) = µmes~e1 ~a;
2) mes~e1 (~a + ~b) = mes~e1 ~a + mes~e1 ~b .
Âûâîä. Àôôèííàÿ êîîðäèíàòà ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M ∈ A1 íà
ïðÿìîé (îñè) = àëãåáðàè÷åñêàÿ ìåðà åå ðàäèóñ-âåêòîðà íà ýòîé îñè.
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
3. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àôôèííûõ êîîðäèíàò
Íà ïëîñêîñòè
Ðàññìîòðèì àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî A2 (ïëîñêîñòü) ñ
ïðèñîåäèíåííûì ëèíåàëîì V 2 .
Ââåäåì àôôèííóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò O~
e1 e~2 .
−−→
Ïóñòü NM = ~a ïðîèçâîëüíûé âåêòîð. Ñïðîåêòèðóåì òî÷êè N è M
íà êîîðäèíàòíûå îñè.
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
3. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àôôèííûõ êîîðäèíàò
Íà ïëîñêîñòè
Ðàññìîòðèì àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî A2 (ïëîñêîñòü) ñ
ïðèñîåäèíåííûì ëèíåàëîì V 2 .
Ââåäåì àôôèííóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò O~
e1 e~2 .
−−→
Ïóñòü NM = ~a ïðîèçâîëüíûé âåêòîð. Ñïðîåêòèðóåì òî÷êè N è M
íà êîîðäèíàòíûå îñè.
Îïðåäåëåíèå
−−−→
Âåêòîð N1 M1 íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîåêöèåé âåêòîðà
−−→
−−−→
NM = ~a íà êîîðäèíàòíóþ îñü O~
e1 . Àíàëîãè÷íî, âåêòîð N2 M2 −−→
ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ âåêòîðà NM = ~
a íà îñü O~
e2 .
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
3. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àôôèííûõ êîîðäèíàò
Íà ïëîñêîñòè
Îáîçíà÷åíèå ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîåêöèè:
−−−→
−−→
−−−→
−−→
N1 M1 = Proj~e1 NM = Proj~e1 ~a, N2 M2 = Proj~e2 NM = Proj~e2 ~a
ßñíî, ÷òî ~a = Proj~e1 ~a + Proj~e2 ~a.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, Proj~e1 ~a = λ1 e~1 = (mes~e1 (Proj~e1 ~a))~
e1 = (Apr~e1 ~a)~
e1 .
Àíàëîãè÷íî, Proj~e2 ~a = λ2 e~2 = (mes~e2 (Proj~e2 ~a))~
e2 = (Apr~e2 ~a)~
e2 .
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
3. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àôôèííûõ êîîðäèíàò
Íà ïëîñêîñòè
Îïðåäåëåíèå
Âåëè÷èíû Apr~e1 ~a è Apr~e2 ~a íàçûâàþòñÿ àëãåáðàè÷åñêèìè
ïðîåêöèÿìè âåêòîðà ~
a íà êîîðäèíàòíûå îñè, îïðåäåëÿåìûå
âåêòîðàìè e~1 è e~2 .
Òàêèì îáðàçîì, àëãåáðàè÷åñêîé ïðîåêöèåé âåêòîðà ~a íà îñü,
îïðåäåëÿåìóþ âåêòîðîì e~1 , íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ìåðà
ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîåêöèè âåêòîðà ~a íà îñü e~1 .
Òîãäà ~a = (Apr~e1 ~a)~
e1 + (Apr~e2 ~a)~
e2 .
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
3. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àôôèííûõ êîîðäèíàò
Íà ïëîñêîñòè
~a = (Apr~e1 ~a)~
e1 + (Apr~e2 ~a)~
e2
Âûâîä. Â ñèëó åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ ïî áàçèñó, àôôèííûìè
êîîðäèíàòàìè ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà ñëóæàò àëãåáðàè÷åñêèå
ïðîåêöèè ýòîãî âåêòîðà íà êîîðäèíàòíûå îñè, à àôôèííûìè
êîîðäèíàòàìè ïðîèçâîëüíîé òî÷êè àôôèííûå êîîðäèíàòû åå
ðàäèóñ-âåêòîðà.
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
3. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àôôèííûõ êîîðäèíàò
 ïðîñòðàíñòâå
Ðàññìîòðèì àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî A3 (ïðîñòðàíñòâî) ñ ïðèñîåäèíåííûì
ëèíåàëîì V 3 . Ââåäåì àôôèííóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò O~
e1 e~2 e~3 .
−−→
~
Ïóñòü NM = a ïðîèçâîëüíûé âåêòîð. Ñïðîåêòèðóåì òî÷êè N è M íà
−−−→
êîîðäèíàòíûå îñè O~
e1 , O~
e2 , O~
e3 .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì òðè âåêòîðà N1 M1 ,
−−−→ −−−→
−−→
N2 M2 , N3 M3 , íàçûâàåìûõ ãåîìåòðè÷åñêèìè ïðîåêöèÿìè âåêòîðà NM = ~
a
íà êîîðäèíàòíûå îñè.
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
3. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àôôèííûõ êîîðäèíàò
 ïðîñòðàíñòâå
−−−→
−−−→
−−−→
N1 M1 = Proj~e1 ~a, N2 M2 = Proj~e2 ~a, N3 M3 = Proj~e3 ~a.
−−−→ −−−→ −−−→
ßñíî, ÷òî ~a = N1 M1 + N2 M2 + N3 M3 = Proj~e1 ~a + Proj~e2 ~a + Proj~e3 ~a.
Î÷åâèäíî, ÷òî Proj~ei ~a = λi e~i , ãäå λi = mes~ei (Proj~ei ~a) = Apr~ei ~a.
Ñëåäîâàòåëüíî, ~a = (Apr~e1 ~a)~
e1 + (Apr~e2 ~a)~
e2 + (Apr~e3 ~a)~
e3 .
Âûâîä
Àôôèííûìè êîîðäèíàòàìè ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà ñëóæàò
àëãåáðàè÷åñêèå ïðîåêöèè ýòîãî âåêòîðà íà êîîðäèíàòíûå îñè, à
àôôèííûìè êîîðäèíàòàìè ïðîèçâîëüíîé òî÷êè àôôèííûå
êîîðäèíàòû åå ðàäèóñ-âåêòîðà.
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
4. Äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
Îïðåäåëåíèå
Áàçèñ íàçûâàåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì, åñëè áàçèñíûå âåêòîðû
èìåþò åäèíè÷íóþ äëèíó è ïîïàðíî ïåðïåíäèêóëÿðíû.
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
4. Äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
Îïðåäåëåíèå
Áàçèñ íàçûâàåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì, åñëè áàçèñíûå âåêòîðû
èìåþò åäèíè÷íóþ äëèíó è ïîïàðíî ïåðïåíäèêóëÿðíû.
Îïðåäåëåíèå
Àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò ñ îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñîì
íàçûâàåòñÿ äåêàðòîâîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò
(ÄÏÑÊ).
 òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ÄÏÑÊ îáîçíà÷àåòñÿ O~i ~j ~k (Oxyz ), ãäå
|~i| = |~j| = |~k| = 1 è ~i ⊥ ~j , ~i ⊥ ~k , ~j ⊥ ~k .
Îñè êîîðäèíàò: O~i îñü àáñöèññ, O~j îñü îðäèíàò, O ~k îñü
àïïëèêàò.
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
4. Äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
Îïðåäåëåíèå
Áàçèñ íàçûâàåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì, åñëè áàçèñíûå âåêòîðû
èìåþò åäèíè÷íóþ äëèíó è ïîïàðíî ïåðïåíäèêóëÿðíû.
Îïðåäåëåíèå
Àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò ñ îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñîì
íàçûâàåòñÿ äåêàðòîâîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò
(ÄÏÑÊ).
 òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ÄÏÑÊ îáîçíà÷àåòñÿ O~i ~j ~k (Oxyz ), ãäå
|~i| = |~j| = |~k| = 1 è ~i ⊥ ~j , ~i ⊥ ~k , ~j ⊥ ~k .
Îñè êîîðäèíàò: O~i îñü àáñöèññ, O~j îñü îðäèíàò, O ~k îñü
àïïëèêàò.
Îïðåäåëåíèå
Êîîðäèíàòíàÿ îñü ÄÏÑÊ íàçûâàåòñÿ äåêàðòîâîé îñüþ.
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
4. Äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
Òàê êàê ÄÏÑÊ ÷àñòíûé ñëó÷àé àôôèííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, òî
äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ~a ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:
~a = (Apr~i ~a)~i + (Apr~j ~a)~j + (Apr~k ~a)~k,
òî åñòü äåêàðòîâû êîîðäèíàòû âåêòîðà (àáñöèññà, îðäèíàòà è
àïïëèêàòà) ýòî àëãåáðàè÷åñêèå ïðîåêöèè âåêòîðà ~a íà äåêàðòîâû
îñè.
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
4. Äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
Òàê êàê ÄÏÑÊ ÷àñòíûé ñëó÷àé àôôèííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, òî
äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ~a ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:
~a = (Apr~i ~a)~i + (Apr~j ~a)~j + (Apr~k ~a)~k,
òî åñòü äåêàðòîâû êîîðäèíàòû âåêòîðà (àáñöèññà, îðäèíàòà è
àïïëèêàòà) ýòî àëãåáðàè÷åñêèå ïðîåêöèè âåêòîðà ~a íà äåêàðòîâû
îñè.
Ðàññìîòðèì ÄÏÑÊ O~i íà ïðÿìîé.
ßñíî, ÷òî Apr~i ~a = |~a|, åñëè ~a ↑↑ ~i , è Apr~i ~a = −|~a|, åñëè ~a ↓↑ ~i .
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
4. Äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
Ðàññìîòðèì ÄÏÑÊ O~i ~j íà ïëîñêîñòè.
Îïðåäåëåíèå
Óãëîì íàêëîíà âåêòîðà ê äåêàðòîâîé îñè íàçûâàåòñÿ
íàèìåíüøèé óãîë, íà êîòîðûé íóæíî ïîâåðíóòü îðò äåêàðòîâîé îñè
äî åãî ñîâïàäåíèÿ ñ îðòîì äàííîãî âåêòîðà ïîñëå ïðèâåäåíèÿ èõ ê
îáùåìó íà÷àëó.
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
4. Äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
Ðàññìîòðèì ÄÏÑÊ O~i ~j íà ïëîñêîñòè.
Îïðåäåëåíèå
Óãëîì íàêëîíà âåêòîðà ê äåêàðòîâîé îñè íàçûâàåòñÿ
íàèìåíüøèé óãîë, íà êîòîðûé íóæíî ïîâåðíóòü îðò äåêàðòîâîé îñè
äî åãî ñîâïàäåíèÿ ñ îðòîì äàííîãî âåêòîðà ïîñëå ïðèâåäåíèÿ èõ ê
îáùåìó íà÷àëó.
Òåîðåìà
Àëãåáðàè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ âåêòîðà íà äåêàðòîâó îñü ðàâíà
ïðîèçâåäåíèþ ìîäóëÿ ýòîãî âåêòîðà íà êîñèíóñ óãëà íàêëîíà ýòîãî
−−→
−−→
âåêòîðà ê äåêàðòîâîé îñè, òî åñòü Apr~i NM = |NM| cos α, ãäå α óãîë
íàêëîíà âåêòîðà ê îñè.
Ðàññìîòðèì ÄÏÑÊ O~i ~j ~k â ïðîñòðàíñòâå.
Äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå êîîðäèíàòû âåêòîðà â òðåõìåðíîì
ïðîñòðàíñòâå ðàâíû àëãåáðàè÷åñêèì ïðîåêöèÿì äàííîãî âåêòîðà íà
îñè êîîðäèíàò.
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
Скачать