Первоначальные понятия симплектической геометрии
реклама
Ïåðâîíà÷àëüíûå ïîíÿòèÿ ñèìïëåêòè÷åñêîé ãåîìåòðèè Ó÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ ñòóäåíòîâ-ìàòåìàòèêîâ Ãîõìàí À.Â. Ñàðàòîâ 2009 2 Ñîäåðæàíèå Ââåäåíèå 1. Ïîëèëèíåéíûå ôîðìû â êîíå÷íîìåðíîì âåùåñòâåííîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå 2. Àëãåáðà âíåøíèõ ôîðì. 3. Ñèìïëåêòè÷åñêîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. 3.1. Ïðèìåðû ñèìïëåêòè÷åñêèõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû 3 3 6 7 10 12 3 Ââåäåíèå Êàê ýòî ñëåäóåò èç íàçâàíèÿ, ñèìïëåêòè÷åñêîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñ äîïîëíèòåëüíîé ñòðóêòóðîé, ïîäîáíî òîìó, êàê åâêëèäîâî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì ñ çàäàííûì â íåì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ - ñèììåòðè÷íîé (ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé) íåâûðîæäåííîé áèëèíåéíîé ôîðìîé.  ñëó÷àå ñèìïëåêòè÷åñêîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ýòà äîïîëíèòåëüíàÿ ñòðóêòóðà çàäàåòñÿ êîñîñèììåòðè÷íîé íåâûðîæäåííîé áèëèíåéíîé ôîðìîé.  ñâÿçè ñ ýòèì íàïîìíèì ÷èòàòåëÿì (ñòóäåíòàììàòåìàòèêàì) íåîáõîäèìûå ýëåìåíòû âíåøíåé àëãåáðû (çíàêîìñòâî ñ êîòîðîé ïðåäïîëàãàåòñÿ â îáùåì êóðñå Ãåîìåòðèÿ è àëãåáðà) ïðèìåíèòåëüíî ê âíåøíèì ôîðìàì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Íàñòîÿùåå ó÷åáíîå ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷àåòñÿ äëÿ ñòóäåíòîâìàòåìàòèêîâ, ïèøóùèõ êóðñîâûå è äèïëîìíûå ðàáîòû, ñâÿçàííûå ñ ñèìïëåêòè÷åñêîé ãåîìåòðèåé è åå ïðèëîæåíèÿìè. 1. Ïîëèëèíåéíûå ôîðìû â êîíå÷íîìåðíîì âåùåñòâåííîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå Ïóñòü Vn = V - âåùåñòâåííîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè n. Ïóñòü äàëåå p V × . . . × V = X V - äåêàðòîâà ñòåïåíü ìíîæåñòâà V è R ïîëå âåùåñòâåííûõ p ÷èñåë. Îòîáðàæåíèå X V → R, ëèíåéíîå ïî êàæäîìó àðãóìåíòó íàçûâàåòñÿ ïîëèëèíåéíîé ôîðìîé ïîðÿäêà p íà ïðîñòðàíñòâå V . Ìíîæåñòâî âñåõ ïîëèëèíåéíûõ ôîðì ïîðÿäêà p îáðàçóåò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî Lp îòíîñèòåëüíî åñòåñòâåííûõ (êàêèõ èìåííî?) îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà âåùåñòâåííûå ÷èñëà.  ÷àñòíîñòè ïðîñòðàíñòâî L1 åñòü íè÷òî èíîå, êàê ïðîñòðàíñòâî V ∗ ñîïðÿæåííîå ê ëèíåéíîìó ïðîñòðàíñòâó V .  ìíîæåñòâå L âñåõ ïîëèëåéíûõ ôîðì ââîäèòñÿ îïåðàöèÿ òåíçîðíîãî óìíîæåíèÿ, îïðåäåëÿåìàÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè α ∈ Lp , β ∈ Lq , òî ðåçóëüòàò òåíçîðíîãî óìíîæåíèÿ íàä íèìè, îáîçíà÷àåìûé α ⊗ β ÿâëÿåòñÿ ïîëèëèíåéíîé ôîðìîé ïîðÿäêà p + q: α ⊗ β(v1 , . . . , vp , vp+1 , . . . , vp+q ) = α(v1 , . . . , vp ) · β(vp+1 , . . . , vp+q ), (1.1) ãäå vi âåêòîðà ïðîñòðàíñòâà V . Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùèõ ñâîéñòâ ýòîé îïåðàöèè. Ïóñòü α ∈ Lp , β ∈ Lq , γ ∈ Lr . Òîãäà (α ⊗ β) ⊗ γ = α ⊗ (β ⊗ γ), k(α ⊗ β) = (kα) ⊗ β = α ⊗ (kβ), (α1 + α2 ) ⊗ γ = α1 ⊗ γ + α2 ⊗ γ, γ ⊗ (α1 + α2 ) = γ ⊗ α1 + γ ⊗ α2 . Ïðåäëîæåíèå 1.1 Åñëè dim V = n, òî dim Lp = np . (1.2) 4 Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü (εi ) êàêîé-íèáóäü áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå V ∗ . Òîãäà óïîðÿäî÷åííàÿ ñèñòåìà ôîðì (εi1 ⊗ . . . ⊗ εip ) ïîðÿäêà p, ãäå 1 ≤ ik ≤ n îáðàçóåò áàçèñ â Lp , ñîñòîÿùèé èç np ýëåìåíòîâ. Ïóñòü Sp ãðóïïà ïîäñòàíîâîê ïîðÿäêà p. Îïðåäåëèì åå äåéñòâèå íà ïðîñòðàíñòâå p L ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü s ∈ Sp è α ∈ Lp . Òîãäà (sα)(v1 , . . . , vp ) = α(vs−1 (1) , . . . , vs−1 (1) ). (1.3) Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî (s2 ◦ s1 )α = s2 (s1 α), (1.4) s(l1 α1 + l2 α2 ) = l1 (sα1 ) + l2 (sα2 ). (1.5) è  êàæäîì ïðîñòðàíñòâå Lp âûäåëþþòñÿ 2 âàæíûõ êëàññà ýëåìåíòîâ. Îïðåäåëåíèå 1.2. Ïîëèëèíåéíàÿ ôîðìà α ∈ Lp íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé, åñëè äëÿ êàæäîé ïîäñòàíîâêè s ∈ Sp sα = α (1.6) è êîñîñèììåòðè÷íîé, åñëè sα = (signs)α. (1.7) Ìíîæåñòâî âñåõ êîñîñèììåòðè÷íûõ ôîðì ïîðÿäêà p îáðàçóåò ïîäïðîñòðàíñòâî â Lp , êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ Ap . Ïðèìåðîì ñèììåòðè÷íîé áèëèíåéíîé ôîðìû ñëóæèò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â êîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâå Rn , êîòîðîå â êàíîíè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò çàäàåòñÿ ôîðìóëîé n X α(x̄, ȳ) = xi y i , ãäå x̄ = (x1 , . . . , xn ). i=1 Ïðèìåðîì êîñîñèììåòðè÷íîé ôîðìû ïîðÿäêà n â ýòîì æå ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëèòåëü ¯ ¯ ¯ x1 . . . x n ¯ ¯ 1 1¯ ¯ ¯ δ(x̄1 , . . . , x̄n ) = ¯. . . . . . . . . . .¯ . ¯ ¯ 1 ¯xn . . . xnn ¯ Çàìå÷àíèå. Êîñîñèììåòðè÷íûå ôîðìû íàçûâàþò åùå àíòèñèììåòðè÷íûìè, çíàêîïåðåìåííûìè èëè âíåøíèìè. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëèëèíåéíàÿ ôîðìà áûëà ñèììåòðè÷íîé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà íå èçìåíÿëàñü ïðè ïåðåñòàíîâêå ëþáîé ïàðû àðãóìåíòîâ, è êîñîñèììåòðè÷íîé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ýòà ôîðìà ìåíÿëà çíàê ïðè ïåðåñòàíîâêå ëþáîé ïàðû åå àðãóìåíòîâ. Áîëåå òîãî, ôîðìà α êîñîñèììåòðè÷íà, åñëè îíà îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè ëþáûõ äâóõ îäèíàêîâûõ àðãóìåíòàõ. Êîíå÷íî, ýòî óñëîâèå ÿâëÿåòñÿ è íåîáõîäèìûì. 5  äàëüíåéøåì îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì òàê íàçûâàåìûé îïåðàòîð àëüòåðíèðîâàíèÿ (àëüòåðíàòîð) Alt, êîòîðûé ïåðåâîäèò ïðîèçâîëüíóþ ïîëèëèíåéíóþ ôîðìó ïîðÿäêà p âî âíåøíþþ ôîðìó òîãî æå ïîðÿäêà. Àëüòåðíàòîð îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé X Alt(α) = (signs)sα. (1.8) s∈ Sp Î÷åâèäíî, íàäî ïîêàçàòü, ÷òî ðåçóëüòàòîì äåéñòâèÿ àëüòåðíàòîðà ÿâëÿåòñÿ âíåøíÿÿ ôîðìà. ßñíî, ÷òî Alt(α) ÿâëÿåòñÿ ôîðìà ïîðÿäêà p. Âîñïîëüçóåìñÿ äàëåå îïðåäåëåíèåì âíåøíåé ôîðìû (1.7), à èìåííî, ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîé ïîäñòàíîâêè t ∈ Sp âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå t(Alt(α)) = signt(Alt(α)). (1.9) Èòàê, ðàññìîòðèì âûðàæåíèå t(Alt(α)) è çàéìåìñÿ åãî ïðåîáðàçîâàíèåì. X X t(Alt(α)) = t( (signs)sα) = (signs)t(sα) = = (signt)2 X s∈ Sp s∈ Sp (signs)(t ◦ s)α = signt s∈ Sp = signt X X (signt)(signs)(t ◦ s)α = s∈ Sp (sign(t ◦ s))(t ◦ s)α. s∈ Sp Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ïîäñòàíîâîê ïîðÿäêà p îáðàçóåò ãðóïïó è, ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî ïðîèçâåäåíèé t ◦ s ïðè ôèêñèðîâàííîì t è ïðîèçâîëüíîì s ïðîáåãàåò âñå ìíîæåñòâî ïîäñòàíîâîê Sp ïîëó÷àåì X t(Alt(α)) = signt (signr)rα = signtAlt(α). r∈ Sp Çàìåòèì, ÷òî åñëè α ∈ Ap âíåøíÿÿ ôîðìà ïîðÿäêà p, òî Alt(α) = p!α. (1.12) Ðàññìîòðèì åùå îäíî ñâîéñòâî àëüòåðíàòîðà, êîòîðîå îêàæåòñÿ ïîëåçíûì â äàëüíåéøåì. Ïðåäëîæåíèå 1.3.Ïóñòü α ∈ Lp è β ∈ Lq . Òîãäà Alt((Alt(α)) ⊗ β) = p!Alt(α ⊗ β). P Alt(Alt(α) ⊗ β) = sign(s)s(Alt(α) (1.13) Äåéñòâèòåëüíî, ⊗ β) = s∈ Sp+q P P sign(s)s( sign(t)(tα ⊗ β). ×òîáû ñîâåðøèòü ñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ, s∈ Sp+q t∈ S p ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ïîäñòàíîâêè ïîðÿäêà p + q ñëåäóþùåãî âèäà à ! 1 . . . p p + 1 . . . p + q t0 = . t(1) . . . t(p) p + 1 . . . p + q 6 P P Òîãäà tα ⊗ β = t0 (α ⊗ β) è Alt((Alt(α)) ⊗ β) = sign(s ◦ t0 )s(t0 (α ⊗ β)) = 0 s∈ Sp+q t P P P P = sign(s ◦ t0 )s ◦ t0 (α ⊗ β) = sign(r)r(α ⊗ β) = p!Alt(α ⊗ β). t0 s∈ Sp+q t0 r∈ Sp+q  äàëüíåéøåì íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü â îñíîâíîì áèëèíåéíûå ôîðìû. Ýòè ôîðìû õàðàêòåðèçóþòñÿ ñâîèì ðàíãîì. Åñëè (ei ) íåêîòîðûé áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå Vn , à εi åìó âçàèìíûé áàçèñ â ñîïðÿæåííîì ïðîñòðàíñòâå V ∗ , òî êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå äëÿ α ∈ L2 α = αij εi ⊗ εj , αij = α(ei , ej ). Ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ (αij ) íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ôîðìû, êîòîðàÿ, êîíå÷íî, çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà (ei ). Îäíàêî, êàê õîðîøî èçâåñòíî, ðàíã ýòîé ìàòðèöû îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì. Îí íàçûâàåòñÿ ðàíãîì ôîðìû. Åñëè ðàíã ìàòðèöû ðàâåí ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà n, òî äàííàÿ áèëèíåéíàÿ ôîðìà íàçûâàåòñÿ íåâûðîæäåííîé. 2. Àëãåáðà âíåøíèõ ôîðì. Ïóñòü Ap ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî âñåõ âíåøíèõ ôîðì ïîðÿäêà p è ïóñòü A ìíîæåñòâî âñåõ âíåøíèõ ôîðì. Òàê êàê â n-ìåðíîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå V ïðîñòðàíñòâà Ap ïðè p > n èìåþò íóëåâóþ ðàçìåðíîñòü, òî ìîæíî ïîñòðîèòü ïðÿìóþ ñóììó ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ, îòîæäåñòâëÿÿ îäíîðîäíóþ ôîðìó α ∈ Ap ñ ýëåìåíòîì ïðÿìîé ñóììû âèäà (0, . . . , 0, α , 0, . . .).  ýòîé ïðÿìîé ñóììå ìîæíî ââåñòè íîâóþ p îïåðàöèþ òàê íàçûâàåìîãî âíåøíåãî óìíîæåíèÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïðè ýòîì ìû ïîëó÷èì àëãåáðó âíåøíèõ ôîðì. Ïóñòü α ∈ Ap è β ∈ Aq . Èõ âíåøíèì ïðîèçâåäåíèåì íàçûâàåòñÿ ôîðìà α∧β ∈ Ap+q , îïðåäåëÿåìàÿ ôîðìóëîé 1 1 α∧β = Alt(α ⊗ β). (2.1) p! q! Íà îñíîâàíèè îïðåäåëåíèÿ òåíçîðíîãî óìíîæåíèÿ è ñâîéñòâà àëüòåðíàòîðà çàêëþ÷àåì, ÷òî α ∧ β âíåøíÿÿ ôîðìà ïîðÿäêà p + q . Íàïðèìåð, åñëè α, β ôîðìû ïåðâîãî ïîðÿäêà, òî ¯ ¯ ¯α(v) α(w)¯ 1 1 X ¯ ¯ α ∧ β(v, w) = sign(s)(α ⊗ β)(v, w) = ¯ ¯. ¯β(v) β(w)¯ 1! 1! s∈ S 2 Èç ðàññìîòðåííîé â îáùåì êóðñå âíåøíåé àëãåáðû ñëåäóþò ôîðìàëüíûå ñâîéñòâà âíåøíåãî óìíîæåíèÿ. Åñëè α ∈ Ap , β ∈ Aq , γ ∈ Aγ , òî 1) 2) 3) 4) (α ∧ β) ∧ γ = α ∧ (β ∧ γ), (α1 + α2 ) ∧ β = α1 ∧ β + α2 ∧ β k(α ∧ β) = (kα) ∧ β = α ∧ (kβ), α ∧ β = (−1)pq β ∧ α. (2.2) 7 Âíåøíÿÿ ôîðìà α íàçûâàåòñÿ ðàçëîæèìîé, åñëè åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê âíåøíåå ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíûõ ôîðì: α = α1 ∧ α2 ∧ . . . ∧ αp . Ïðåäëîæåíèå 2.1. Åñëè α ðàçëîæèìàÿ p ôîðìà, òî α(v1 , . . . , vp ) = α1 ∧ . . . ∧ αp (v1 , . . . , vp ) = det(αi (vj )). (2.3) Ñíà÷àëà äîêàæåì ëåììó α1 ∧ α2 ∧ . . . ∧ αp = Alt(α1 ⊗ α2 ⊗ . . . ⊗ αp ). (2.4) Äåéñòâèòåëüíî, ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî α1 ∧ α2 = Alt(α1 ⊗ α2 ) è ïðåäëîæåíèå (1.3), âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè: α1 ∧ α2 ∧ . . . ∧ αp−1 ∧ αp = (α1 ∧ 1 1 Alt(Alt(α1 ⊗ . . . ⊗ αp−1 ) ⊗ αp ) = . . . ∧ αp−1 ) ∧ αp = (Alt(α1 ⊗ . . . ⊗ αp−1 )) ∧ αp = (p − 1)! 1! Alt((α1 ⊗ . . . ⊗ αp−1 ) ⊗ αp ) = Alt(α1 ⊗ . . . ⊗ αp−1 ⊗ αp ). Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó ïðåäëîæåíèÿ: α1 ∧ . . . ∧ αp (v1 , . . . , vp ) = P Alt(α1 ⊗ α2 ⊗ . . . ⊗ αp )(v1 , . . . , vp ) = sign(s)s(α1 ⊗ . . . ⊗ αp )(v1 , . . . , vp ) = s∈ Sp P sign(s)α1 (vs(1) ) · . . . · αp (vs(p) ) = det(αi (vj )), i, j = 1 . . . p. s∈ Sp Òåïåðü ìû ìîæåì äîêàçàòü Ïðåäëîæåíèå 2.2. Åñëè dim V = n è p ≤ n, òî dim Ap = Cnp . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðåäëîæåíèÿ ïîêàæåì, ÷òî óïîðÿäî÷åííàÿ ñèñòåìà i1 (ε ∧ . . . ∧ εip ), i1 < i2 < . . . < ip âíåøíèõ p-ôîðì ñîñòàâëÿåò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà Ap , ãäå (εi ) áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå V ∗ . Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü li1 ...ip εi1 ∧ . . . ∧ εip = 0. Îòñþäà ñëåäóåò (li1 ...ip εi1 ∧ . . . ∧ εip )(ej1 , . . . , ejp ) = 0, ãäå j1 < . . . < jp äëÿ âåêòîðîâ áàçèñà (ek ) âçàèìíîãî ê áàçèñó (εi ). Íî ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ (2.2) ¯ ¯ ¯εj1 (e ) . . . εj1 (e )¯ j1 jp ¯ ¯ ¯ ¯ εi1 ∧ . . . ∧ εip (ej1 , . . . , ejp ) = ¯. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .¯ . ¯ j ¯ ¯ε p (ej1 ) . . . εjp (ejp )¯ Ïðè ýòîì ïîëó÷åííûé îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ ïðè (j1 . . . jp ) 6= (i1 . . . ip ) è åäèíèöå â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî li1 ...ip = 0. Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî âñÿêóþ p ôîðìó ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ôîðì εi1 ∧ . . . ∧ εip . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè α ∈ Ap , òî α = α(ei1 , . . . , eip )εi1 ∧ . . . ∧ εip , i1 < . . . < ip . Äàëåå îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì áàçèñå Cnp ýëåìåíòîâ. 3. Ñèìïëåêòè÷åñêîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Îïðåäåëåíèå 3.1. Ñèìïëåêòè÷åñêèì ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì íàçûâàåòñÿ ÷åòíîìåðíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî Vn , â êîòîðîì çàäàíà âíåøíÿÿ íåâûðîæäåííàÿ áèëèíåéíàÿ ôîðìà ω . 8 Ââèäó áîëüøîãî çíà÷åíèÿ, êîòîðîå â äàííîì îïðåäåëåíèè èìååò íåâûðîæäåííîñòü ôîðìû ω , íàïîìíèì î íåêîòîðûõ èçâåñòíûõ óñëîâèÿõ íåâûðîæäåííîñòè áèëèíåéíîé âíåøíåé ôîðìû. 1. Áèëèíåéíàÿ âíåøíÿÿ ôîðìà íåâûðîæäåííà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî íåíóëåâîãî âåêòîðà v íàéäåòñÿ âåêòîð w òàêîé, ÷òî ω(v, w) 6= 0. 2. Áèëèíåéíàÿ âíåøíÿÿ ôîðìà α ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ãîìîìîðôèçì ϕα : V → V ∗ , çàäàâàåìûé ôîðìóëîé (ϕα (v))(x) = α(x, v) ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì. Ïî àíàëîãèè ñ åâêëèäîâûì ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ôîðìà ω òðàêòóåòñÿ êàê áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ íàä âåêòîðàìè, íàçûâàåìàÿ êîñûì èëè êîñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì: hv, wi = ω(v, w). (3.1) Î÷åâèäíî, èç ôîðìóëû (1.3) ñëåäóþò ôîðìàëüíûå ñâîéñòâà ýòîé îïåðàöèè: 1) 2) 3) 4) hv, wi = −hw, vi; hv1 + v2 , wi = hv1 , wi + hv2 , wi; hkv, wi = khv, wi, k ∈ R; (∀v 6= 0)(∃w) hv, wi 6= 0. (3.2) Åñëè hv, wi = 0 âåêòîðû íàçûâàþòñÿ êîñîîðòîãîíàëüíûìè. Íàïðèìåð, äâà êîëëèíåàðíûõ âåêòîðà êîñîîðòîãîíàëüíû â ñèìïëåêòè÷åñêîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå. Âàæíûì ñâîéñòâîì ñèìïëåêòè÷åñêîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå èçîìîðôèçìà ϕω : V → V ∗ , êîòîðûé íàçûâàþò êàíîíè÷åñêèì è îáîçíà÷àþò ñèìâîëîì Iω .  êîîðäèíàòàõ êàíîíè÷åñêèé èçîìîðôèçì çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (Iω (v))k = v i ωki = ωki v i (3.3) îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîãî áàçèñà (ek ) è åãî ñîïðÿæåííîãî. Äðóãèì âàæíûì ñâîéñòâîì ñèìïëåêòè÷åñêîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, àíàëîãè÷íûì åâêëèäîâó ïðîñòðàíñòâó ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå â íåì êëàññà ñïåöèàëüíûõ áàçèñîâ. Ýòîò ôàêò îïèðàåòñÿ íà èçâåñòíóþ, òàê íàçûâàåìóþ ëèíåéíóþ òåîðåìó Äàðáó. Òåîðåìà 3.2 (Ëèíåéíàÿ òåîðåìà Äàðáó) Äëÿ ëþáîé âíåøíåé áèëèíåéíîé ôîðìû α â n-ìåðíîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå V ñóùåñòâóåò öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî s, 2s ≤ n è òàêîé áàçèñ (e1 , e2 , . . . , en ) â ïðîñòðàíñòâå V , ÷òî α = ε1 ∧ ε2 + ε3 ∧ ε4 + . . . + ε2s−1 ∧ ε2s , ãäå εi (ek ) = δki . (3.4) Äîêàçàòåëüñòâî. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî αij = α(ei , ej ) íàì íóæíî äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî áàçèñà, äëÿ êîòîðîãî he1 , e2 i = he3 , e4 i = . . . = he2s−1 , e2s i = 1, he2 , e1 i = he4 , e3 i = . . . = he2s , e2s−1 i = −1 è äëÿ îñòàëüíûõ ïàð áàçèñíûõ âåêòîðîâ èõ êîñîå 9 ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëþ. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ïî ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà V . Äëÿ n = 0, 1 òåîðåìà ñïðàâåäëèâà, òàê êàê â ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ èìåþòñÿ òîëüêî íóëåâûå áèëèíåéíûå âíåøíèå ôîðìû. Ïóñòü, òåïåðü n ≥ 2. Ïðè ýòîì áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå ôîðìû îòëè÷íû îò íóëÿ, èáî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå òåîðåìà î÷åâèäíî ñïðàâåäëèâà. Èòàê, ïóñòü òåîðåìà ñïðàâåäëèâà äëÿ âñåõ ðàçìåðíîñòåé ìåíüøèõ n, äîêàæåì åå ñïðàâåäëèâîñòü äëÿ ðàçìåðíîñòè n. Òàê êàê ôîðìà α 6= 0, òî íàéäóòñÿ äâà íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðà (ïðè÷åì, ïåðâûé èç íèõ ìîæåò áûòü ëþáûì îòëè÷íûì îò íóëÿ) x0 , y0 òàêèõ, ÷òî α(x0 , y0 ) 6= 0. Âîçüìåì òîãäà â êà÷åñòâå ïåðâûõ äâóõ âåêòîðû y0 e1 = x0 , e2 = (3.5) α(x0 , y0 ) è çàìåòèì, ÷òî he1 , e2 i = 1. Ðàññìîòðèì äàëåå ÿäðà ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé ϕα (e1 ), ϕα (e2 ). Òàê êàê dim ϕα (e1 ) = dim ϕα (e2 ) = n − 1 è ýòè ÿäðà íå ñîâïàäàþò, òî dim P = T dim(ϕα (e1 ) ϕα (e2 )) = n − 2. Êðîìå òîãî, ïåðåñå÷åíèå ïîäïðîñòðàíñòâà P è ïîäïðîñòðàíñòâà B , íàòÿíóòîãî íà âåêòîðà e1 , e2 ïóñòî. Ñëåäîâàòåëüíî, V = P ⊕ B. (3.6) Ïî ïðåäëîæåíèþ èíäóêöèè â ïîäïðîñòðàíñòâå P äëÿ ôîðìû α|p ñóùåñòâóåò èñêîìûé áàçèñ (e3 , e4 , . . . , e2s ). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî âåêòîðà e3 , e4 , . . . , e2s ïðèíàäëåæàò ÿäðàì ϕα (e1 ), ϕα (e2 ), ïîëó÷àåì, ÷òî ñèñòåìà âåêòîðîâ (e1 , e2 , e3 , e4 , . . . , e2s ) îáðàçóåò èñêîìûé áàçèñ, òî åñòü èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå α = ε1 ∧ ε2 + ε3 ∧ ε4 + . . . + ε2s−1 ∧ ε2s . ¤ Ïîëó÷åííûé áàçèñ íàçûâàþò êàíîíè÷åñêèì. Ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû. 1. Ìàòðèöà áèëèíåéíîé ôîðìû â êàíîíè÷åñêîì áàçèñå èìååò âèä 0 1 0 0 ... 0 0 ... 0 0 −1 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 0 0 0 1 . . . 0 0 . . . 0 0 0 0 −1 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 0 0 0 0 . . . 0 1 . . . 0 0 0 0 0 0 . . . −1 0 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 0 0 0 0 ... 0 0 ... 0 0 (3.7) 10 ãäå íåíóëåâûìè ÿâëÿþòñÿ ïåðâûå 2s ñòðî÷åê è ñòîëáöîâ. 2.  íå÷åòíîìåðíîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå áèëèíåéíàÿ âíåøíÿÿ ôîðìà íå ìîæåò áûòü íåâûðîæäåííîé. 3. Áèëèíåéíàÿ âíåøíÿÿ ôîðìà â ïðîñòðàíñòâå V2m íåûðîæäåííà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åå âíåøíÿÿ m-àÿ ñòåïåíü íå ðàâíà íóëþ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ôîðìà α íåâûðîæäåííà, òî α = ε1 ∧ ε2 + . . . + ε2m−1 ∧ ε2m è αm = kε1 ∧ ε2 ∧ . . . ∧ ε2m , ãäå k îòëè÷íî îò íóëÿ èç-çà ÷åòíîãî ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê ïðè ïðåîáðàçîâàíèè (ε1 ∧ ε2 + . . . + ε2m−1 ∧ ε2m )m ê âèäó kε1 ∧ ε2 ∧ . . . ∧ ε2m . Ïóñòü òåïåðü αm 6= 0. Ïîêàæåì, ÷òî ôîðìà α íåâûðîæäåííà. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå, òî åñòü ε1 ∧ ε2 + . . . + ε2s−1 ∧ ε2s , ãäå s < m. Òîãäà ïîëó÷àåì, ÷òî â êàæäîì ñëàãàåìîì ôîðìû αm áóäóò ñîäåðæàòüñÿ îäèíàêîâûå ñîìíîæèòåëè. Òîãäà αm = 0, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. Èòàê, âî âñÿêîì ñèìïëåêòè÷åñêèì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå V2m ñóùåñòâóåò êàíîíè÷åñêèé áàçèñ. Ïðè ýòîì ïåðâûé âåêòîð áàçèñà ìîæåò âûáèðàòüñÿ ïðîèçâîëüíî. Ïðè èçó÷åíèè è èñïîëüçîâàíèè ñèìïëåêòè÷åñêîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà Vn = V2m êàíîíè÷åñêèé áàçèñ (e1 , . . . , en ), ïîñòðîåííûé âûøå, ÷àñòî çàìåíÿåòñÿ áàçèñîì (e0 1 , . . . , e0 n ) ïóòåì ïåðåíóìåðîâêè òàê, ÷òî m+1 α = 0 ε1 ∧ 0 ε 2 m+2 + 0ε ∧ 0ε m + . . . + 0ε ∧ 0ε 2m . (3.8) Ýòîò áàçèñ íàçûâàþò ñèìïëåêòè÷åñêèì. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ åìó ìàòðèöà ôîðìû èìååò âèä à ! 0 E . (3.9) −E 0  ñèìïëåêòè÷åñêîì áàçèñå êîñîå ïðîèçâåäåíèå hx, yi âûðàæàåòñÿ â êîîðäèíàòàõ ôîðìóëîé hx, yi = (x1 y 2 − x2 y 1 ) + (x3 y 4 − x4 y 3 ) + . . . + (x2m−1 y 2m − x2m y 2m−1 ). (3.10 Îïðåäåëåíèå 3.3 Ìàòðèöà ïåðåõîäà îò îäíîãî ñèìïëåêòè÷åñêîãî áàçèñà ê äðóãîìó íàçûâàåòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêîé. Âñå ñèìïëåêòè÷åñêèå ìàòðèöû îáðàçóþò ñèìïëåêòè÷åñêóþ ãðóïïó. 3.1. Ïðèìåðû ñèìïëåêòè÷åñêèõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ. 1. Ïóñòü R2m âåùåñòâåííîå êîîðäèíàòíîå ïðîñòðàíñòâî ñ êàíîíè÷åñêîé ëèíåéíîé ñòðóêòóðîé è ñòàíäàðòíûì áàçèñîì e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , e2m = (0, 0, . . . , 1). Ñîïðÿæåííûé ê íåìó áàçèñ â (R2m )∗ îáðàçîâàí êîîðäèíàòíûìè ôóíêöèÿìè ε1 = x1 , ε2 = x2 , . . . , ε2m = x2m . Òîãäà ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà (ôîðìà) çàäàåòñÿ ôîðìóëîé ω = x1 ∧ x2 + x3 ∧ x4 + . . . + x2m−1 ∧ x2m , (3.11) êîòîðàÿ, î÷åâèäíî ÿâëÿåòñÿ êîñîñèììåòðè÷íîé íåâûðîæäåííîé áèëèíåéíîé ôîðìîé (ïðè÷åì çàäàííîé â êàíîíè÷åñêîì áàçèñå). 11 Ýòî ïðîñòðàíñòâî íàçûâàþò ñòàíäàðòíûì ñèìïëåêòè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì ðàçìåðíîñòè n = 2m. 2. Ïóñòü E2 îðèåíòèðîâàííîå äâóìåðíîå åâêëèäîâî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (v, w). Òîãäà â íåì îïðåäåëÿåòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ôîðìà ω(v, w) = (v , , w) = |v| |w| sin vw, c (3.12) ãäå v , òàê íàçûâàåìûé ïîâåðíóòûé âåêòîð. Ìû âèäèì, ÷òî êîñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ hv, wi îïðåäåëÿåò îðèåíòèðîâàííóþ ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà ýòèõ âåêòîðàõ. Òàêèì îáðàçîì, äâóìåðíîå ñèìïëåêòè÷åñêîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî - ýòî äâóìåðíîå ýêâèöåíòðîàôôèííîå ïðîñòðàíñòâî è íàîáîðîò. Êîíå÷íî, â ñèëó òîãî, ÷òî ω m 6= 0, âñÿêîå 2m-ìåðíîå ñèìëåêòè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ýêâèöåíòðîàôôèííûì, íî â äàííîì ñëó÷àå (m > 1) ñ äîïîëíèòåëüíûìè ñâîéñòâàìè. Ïóñòü V ïðîèçâîëüíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî è V ∗ åãî ñîïðÿæåííîå. Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî V ∗ ⊕ V è çàäàäèì â íåì ñèìëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ôîðìîé Ω((α, v), (β, w)) = α(w) − β(v). (3.13) Êîñîñèììåòðè÷íîñòü ôîðìû î÷åâèäíà, ïðîâåðèì íåâûðîæäåííîñòü. Ïóñòü (α, v) ∈ V ∗ ⊕V îòëè÷åí îò íóëÿ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ëèáî α 6= 0, ëèáî v 6= 0. Íóæíî íàéòè ýëåìåíò (β, w) òàêîé, ÷òîáû α(w) − β(v) 6= 0. Åñëè α 6= 0, òî ñóùåñòâóåò âåêòîð w òàêîé, ÷òî α(w) 6= 0. Ñ äðóãîé ñòîðîíû âîçüìåì ôîðìó β = 0, òîãäà α(w) − β(v) 6= 0. Ïóñòü òåïåðü v 6= 0, òîãäà ïîëîæèì w = 0, à â êà÷åñòâå ôîðìû β ðàññìîòðèì ïîäõîäÿùóþ áàçèñíóþ ôîðìó èç ïðîñòðàíñòâà V ∗ . 4. Ðàññìîòðèì m-ìåðíîå êîìïëåêñíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî W m ñ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ýðìèòîâîé ôîðìîé α è â ïîäëåæàùåì âåùåñòâííîì ïðîñòðàíñòâå V2m ðàññìîòðèì ìíèìóþ ÷àñòü ôîðìû α : (Imα)(x, y) = Im(α(x, y)). Áèëèíåéíîñòü è êîñîñèììåòðè÷íîñòü ôîðìû ïðîâåðÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî. ×òîáû äîêàçàòü íåâûðîæäåííîñòü äëÿ âåêòîðà x 6= 0, ðàññìîòðèì Imα(x, ix) = Im(α(x, ix)) = −Im(iα(x, x)) = −α(x, x) 6= 0. Íàïðèìåð, â êîîðäèíàòíîì êîìïëåêñíîì ïðîñòðàíñòâå C2 êàíîíè÷åñêàÿ ýðìèòîâà ôîðìà çàäàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì α(z, z 0 ) = z z̄ 0 . Òîãäà (3.14) ¯ ¯ ¯x y ¯ ¯ ¯ Im z z̄ 0 = Im(x + iy)(x0 − iy 0 ) = Im(xx0 + yy 0 + i(yx0 − xy 0 )) = − ¯ 0 0 ¯ = ¯x y ¯ = −p ∧ q(z, z 0 ), ãäå p(z) = p(x + iy) = x, q(z) = q(x + iy) = y. 5. Ïóñòü V ñèìïëåêòè÷åñêîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñ ôîðìîé ω . Òîãäà â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå V ⊕ V ñèìïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ìîæíî îïðåäåëèòü ôîðìîé Ω((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = ω(x1 , y1 ) − ω(x2 , y2 ). (3.15) 12 Íåâûðîæäåííîñòü: ïóñòü (x1 , x2 ) 6= 0, íàïðèìåð, x1 6= 0. Òîãäà âûáåðåì ïàðó (y1 , y2 ) òàê, ÷òîáû ω(x1 , y1 ) 6= 0, à y2 = 0. Ëèíåéíîå áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå h îäíîãî ñèìïëåêòè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (V1 , ω1 ) â äðóãîå (V2 , ω2 ) íàçûâàåòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêèì èçîìîðôèçìîì, åñëè ω2 (hx, hy) = ω1 (x, y). (3.16) Ïðåäëîæåíèå 3.4. Ëþáûå äâà ñèìïëåêòè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâà îäèíàêîâîé ðàçìåðíîñòè èçîìîðôíû. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ óñòàíîâëåíèÿ òàêîãî èçîìîðôèçìà äîñòàòî÷íî â êàæäîì èç ïðîñòðàíñòâ âûáðàòü ïî ñèìïëåêòè÷åñêîìó áàçèñó.  ÷àñòíîñòè, âñå ñèìïëåêòè÷åñêèå ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà ðàçìåðíîñòè 2m ñèìïëåêòè÷åñêè èçîìîðôíû ñòàíäàðòíîìó ñèìïëåêòè÷åñêîìó ïðîñòðàíñòâó R2m . Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Àðíîëüä Â.È. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè. Ì. "Íàóêà"1989ã. [2] Àðíîëüä Â. È., Ãèâåíòàëü À.Á. Ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ, Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû ìàòåìàòèêè. Ôóíäàìåíòàëüíûå íàïðàâëåíèÿ. Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû - 4,Ì., 1985ã. [3] Ãîäáèéîí Ê. Äèôôåðåíöèàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ è àíàëèòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. Ì., "Ìèð"1973ã. [4] Íîâèêîâ Ñ.Ï.,Òàéìàíîâ È.À. Ñîâðåìåííûå ãåîìåòðè÷åñêèå ñòðóêòóðû è ïîëÿ. Ì., 2005. [5] Ïîñòíèêîâ Ì.Ì. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà. Ì."Íàóêà", 1986ã. [6] Ôîìåíêî À.Ò Ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ. Ìåòîäû è ïðèëîæåíèÿ. Ì., Èçä ÌÃÓ, 1988ã.
