ãäå ϕ âñïîìîãàòåëüíûé óãîë; ïîñêîëüêó 5 cos b + sin b = ãäå α = arcsin 5 26 b îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ à óðàâíåíèå èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé (äîêàæèòå ýòî). g 26 sin b + α , , ïîëó÷àåì óðàâíåíèå b (& ) g b g 26 sin bb + α g ≤ 26 + 1 , ïîëó÷à- 27 + 2 26 sin b + α sin x + ϕ = a . Ïîñêîëüêó 26 − 1 ≤ 27 + 2 åì, ÷òî ïðè ëþáîì |a| ≤ 26 + 1 íàéäåòñÿ b, ïðè êîòîðîì óðàâíåíèå ( & ) èìååò êîðíè, à ïðè |a| ≤ 26 − 1 ýòî óðàâíåíèå èìååò êîðíè ïðè âñåõ b. Âàðèàíò 8 1. 1. 2. ± π 3 ; ± 2 5 . 2 πn b b g b g e j g e j e 1 x − 2a + x − 2a b g + x −1 2 j = 2, à) l = 10 , åñëè K ′ ∈ P ′ R ′ , L ′ ∈ Q ′ S ′ ; F 634 I GG 5 ; + ∞JJ , åñëè K ∉ P′ R′ , L′ ∈ Q′ S ′ ; H K F 8194 I ã) l ∈ G GH 5 ; + ∞JJK , åñëè K ′ ∈ P ′ R ′ , L′ ∉ Q ′ S′ . a r − a 3. 5. c ∈ e 3 − 2 3 ; − 6 + 2 15 j . 6. 2 3 2 R| px + qb11 − x g = 4402 , R|b p − q gx + 11q = 4402, |S py + qb21 − yg = 4402 ,⇔ |Sb p − q gy + 21q = 4402 , || | T pz + qb29 − z g = 4402 , |Tb p − q gz + 29q = 4402 . 2. 2. + 2πn , n U Z. Óêàçàíèå. Ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ íå 6 ïðåâîñõîäèò 2, à ïðàâàÿ íå ìåíüøå, ÷åì 2. Ïîýòîìó sin x + π = 0. + 3 cos x = 2, cos 2x + 6 5. 31 6 . F GH e 2 I JK j 6. 15k − 6 k; 3k − 1 , k UZ . Óêàçàíèå. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, b gb g ÷òî 3õ = y + 1 5 y − 1 . Ïîýòîìó ëèáî ó + 1, ëèáî 5y 1 = = 5 y + 1 − 6 äåëèòñÿ íà 3. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ó = 3k 1, k U Z. b g Âàðèàíò 10 g 1. −3; 1 . 2. À = ÀÑ = 2 10 . 3. 3 − 2 . 4. à) È; á) Ð. Óêàçàíèå. à) Âûïèøèòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áóêâ, óäîâëåòâîðÿþùóþ óêàçàííîìó ïðàâèëó, è ïîäñ÷èòàéòå, êàêàÿ èç íèõ ÷àùå äðóãèõ âñòðå÷àåòñÿ â ïåðèîäå. á) Ïóñòü à è b öèôðû, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ çàïèñûâàåòñÿ ïîðÿäêîâûé íîìåð ab ýòîé áóêâû. Öèêë ñîñòîèò èç îäíîé áóêâû, åñëè è òîëüêî åñëè 2(à + b) = 10a + b, ò.å. b = 8a, îòêóäà à = 1, b = 8. 5. 0. Óêàçàíèå. Ëåâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà íå ìåíüøå äâóõ. Ïðàâàÿ íå áîëüøå äâóõ, ïðè÷åì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ ëèøü ïðè õ = 0. 6. (1; 5). Óêàçàíèå. Ñèñòåìà sin x + 6 = 0, sin πx = 0 èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå õ = 6. Ïîýòîìó ìû äîëæíû íàéòè òàêèå à, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå íå èìååò äðóãèõ ðåøåíèé. 2 Ðàçäåëèâ óðàâíåíèå íà sin πx è âûïîëíèâ çàìåíó t = sin x + 6 = , ïîëó÷èì sin πx 2 t − a −1 t + a −1 = 0. (& ) ÊÂÀÍT$ 1999/¹1 b b g g b g b g Óðàâíåíèå (& ) íå èìååò êîðíåé ïðè 1 < a < 5, ïðè ýòîì èñõîäíîå óðàâíåíèå èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå õ = 6. Ïðè $ 2 7. 426 ð. è 142 ð. Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç x, y, z êîëè÷åñòâà àêöèé âèäà À â íà÷àëå äíÿ ó ïåðâîãî, âòîðîãî è òðåòüåãî áðîêåðà ñîîòâåòñòâåííî, à ÷åðåç ð è q öåíû íà àêöèè âèäîâ À è Á. Òîãäà èç óñëîâèÿ çàäà÷è ñëåäóþò óðàâíåíèÿ Âàðèàíò 9 3. 3. 4. 346 , åñëè K ∉ P ′ R ′ , L ′ ∉ Q ′ S ′ ; â) l ∈ îòêóäà x − 2a = 1 , õ = 1. F1 O 1. G ; 3P . H 3 Qπ I JJ K 41 + 7 7 ; . 4 2 37 − 1 + 2πn , n U Z. 2. kπ , k U Z; π − arcsin 6 3. (17; 248). Óêàçàíèå. Âûïîëíèòå çàìåíó ð = x + 8 . 4. Ïóñòü K ′L′ = l.  çàâèñèìîñòè îò ïîëîæåíèÿ òî÷åê K ′ è L′ âîçìîæíû ñëó÷àè á) l = πn 1 arctg 6 + 3. , , n U Z. 3 2 3 3 4. 1000 ë. 5. 2; 19 9 7 3; 2 + 3 . 6. 319. Óêàçàíèå. Âîñïîëüçóéòåñü ïîäîáèåì òðåóãîëüíèêîâ PMS è RQM. 7. 3; 2 , −2; − 3 , 3 + 10 ; − 3 + 10 , 3 − 10 ; − 3 − 10 . 8. à = 0, à = 1. Óêàçàíèå. Óðàâíåíèå ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó + Âàðèàíò 11 F1 I L 1. x ∈ G ; 3J 7 M H 4 K MN Âû÷èòàÿ òðåòüå óðàâíåíèå èç ïåðâîãî è âòîðîãî, ïîëó÷àåì b p − q gb x − z g = 18q , b p − q gb y − z g = 8q . (& ) Ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ p > q > 0, òî x z > 0 è y z > 0. Ïîñëå äåëåíèÿ óðàâíåíèé â ( & ) èìååì 9 x−z = . 4 y−z Èñïîëüçóÿ öåëî÷èñëåííîñòü ïåðåìåííûõ, ïîëó÷àåì x = z + + 9n, y = z + 4n, ãäå n U N. Òàê êàê 11 > x = z + 9n > z > > 0, òî z = 1, n = 1. Ïîýòîìó õ = 10, ó = 5. Îáðàùàÿñü ê èñõîäíîé ñèñòåìå, íàõîäèì ð = 426, q = 142. Âàðèàíò 12 2 17 + 117 7 ; 8 . 3. − 4 ; − 3 7 9 17 π π π + 2 1 n − + k , k = 1, 2, 3, 4. 4. , n = 1, 0, 1, 2; 8 4 10 2b + l 5. . Óêàçàíèå. Ïóñòü ÂÎ áèññåêòðèñà óãëà  â c òðåóãîëüíèêå ABL, à ∠ABO = ∠LBO = β . Òîãäà 1 1 AB ⋅ BL sin 2β = S ABL = S ABO + SLBO = AB ⋅ BO sin β + 2 2 1 1 AB + BL ⋅ BO sinβ , + BL ⋅ BO sin β = 2 2 b g 1. −17 5 ; 11 3 . 2. tg b g 226 π . b îòêóäà AB ⋅ BL AB + BL = BO 2 cos β . Àíàëîãè÷íî, èç òðåóãîëüíèêà MBN èìååì MB ⋅ BN MB + BN = BO 2cosβ , g