Порядок сдачи дифференциального зачета по квантовой

Ïîðÿäîê ñäà÷è äèôôåðåíöèàëüíîãî çà÷åòà
ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå (ÔÔÊÝ)
Äèôôåðåíöèàëüíûé çà÷åò ñäàåòñÿ ïî áèëåòàì.  êàæäîì áèëåòå ÷åòûðå âîïðîñà. Íà
ïîäãîòîâêó ê îòâåòó âûäåëÿåòñÿ 20-30 ìèíóò. Ïðè ïîäãîòîâêå íèêàêèìè ìàòåðèàëàìè (ó÷åáíèêàìè, ìåòîäè÷êàìè, êîíñïåêòàìè è ò. ä.) ïîëüçîâàòüñÿ íåëüçÿ. Òèïè÷íûé áèëåò âûãëÿäèò
òàê:
1. Ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû ìàññû m, äâèæóùåéñÿ âäîëü îñè x, îïèñûâàåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé ψ(p) â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè, íîðìèðîâàííîé íà åäèíèöó. Îáúÿñíèòå, êàê
íàéòè ÿâíûé âèä âîëíîâîé ôóíêöèè ψ(x) â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè.
2. ×àñòèöà ìàññû m äâèæåòñÿ âäîëü îñè x â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå U (x). Îáúÿñíèòå, â
÷¼ì ñìûñë îïåðàòîðà dx̂/dt? Íàéäèòå ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ ýòîãî îïåðàòîðà.
3. ×òî âõîäèò â ïîëíûé íàáîð âåëè÷èí, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèÿ àòîìà âîäîðîäà ñ çàäàííûìè ïîëíûìè ýíåðãèÿìè? Âûïèøèòå óðàâíåíèå, êîòîðîå îïðåäåëÿåò âîëíîâûå
ôóíêöèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé àòîìà âîäîðîäà â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè.
Êàê âûãëÿäèò ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð àòîìà âîäîðîäà? Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîãóò ïðèíèìàòü êâàíòîâûå ÷èñëà, õàðàêòåðèçóþùèå ñâÿçàííûå ñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿ àòîìà
âîäîðîäà?
4. ×àñòèöà èìååò ñïèí 1/2. Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîãóò ïðèíèìàòü ïðîåêöèè âåêòîðà ñïèíà
íà îñè x, y è z ? Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü êâàäðàò âåêòîðà ñïèíà? Ïðèâåäèòå
ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ îïåðàòîðîâ óêàçàííûõ âåëè÷èí.
Îöåíêà óäîâëåòâîðèòåëüíî ñòàâèòñÿ çà äâà ïðàâèëüíûõ îòâåòà, îöåíêà õîðîøî çà
òðè ïðàâèëüíûõ îòâåòà, îöåíêà îòëè÷íî ñòàâèòñÿ çà ïðàâèëüíûå îòâåòû íà âñå ÷åòûðå
âîïðîñà áèëåòà.
Íèæå ïðèâåäåíû âñå âîïðîñû, âîøåäøèå â áèëåòû, è ïîÿñíåíèÿ ê íèì.
Ïîÿñíåíèÿ ê âîïðîñàì ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå
Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ñëîæíåå êëàññè÷åñêîé ðîâíî íàñòîëüêî, íàñêîëüêî ðåàëüíîå ïîâåäåíèå ôèçè÷åñêèõ ñèñòåì ñëîæíåå êëàññè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé îá ýòîì ïîâåäåíèè. Ýòà
ñëîæíîñòü, â ÷àñòíîñòè, ïðîÿâëÿåòñÿ â òîì, ÷òî â êâàíòîâîé ôèçèêå ñòàâÿòñÿ è òàêèå âîïðîñû, êîòîðûõ ïðîñòî íåò â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå.
 ñàìîì äåëå, ÷òî òàêîå êëàññè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå î ñîñòîÿíèè ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû
â çàäàííûé ìîìåíò âðåìåíè t?  êëàññè÷åñêîé ôèçèêå âñå êîîðäèíàòû è èìïóëüñû â ìîìåíò t èìåþò îïðåäåë¼ííûå çíà÷åíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû, âûðàæàþùåñÿ ÷åðåç êîîðäèíàòû è èìïóëüñû, òàêæå èìåþò îïðåäåë¼ííûå çíà÷åíèÿ. Ñîîòâåòñòâåííî
ñîñòîÿíèå ñèñòåìû â ìîìåíò t ïîëíîñòüþ çàäàíî ñîâîêóïíîñòüþ âñåõ ýòèõ çíà÷åíèé.
 äåéñòâèòåëüíîñòè, âñ¼ íå òàê. Åñëè ñîçäàòü áîëüøîå ÷èñëî îäèíàêîâûõ ñèñòåì è ïðîâåñòè èçìåðåíèå îäíîé è òîé æå âåëè÷èíû (íàïðèìåð, êàêîé-íèáóäü êîîðäèíàòû èëè èìïóëüñà) âî âñåõ ýòèõ ñèñòåìàõ â çàäàííûé ìîìåíò t, òî ïîëó÷àòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçíûå
çíà÷åíèÿ (ýòîò ýôôåêò îñîáåííî çàìåòåí äëÿ ìèêðîñèñòåì). Ïðè ýòîì ðàçíûå çíà÷åíèÿ ýòî ñîâñåì íå òî æå ñàìîå, ÷òî ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ.
Îäèí èç âîïðîñîâ, ñëåäîâàòåëüíî, íà êîòîðûé îòâå÷àåò êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà (è, ôàêòè÷åñêè, îòñóòñòâóþùèé â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå), âûãëÿäèò òàê. Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà â çàäàííûé ìîìåíò âðåìåíè t? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ ïðèâåä¼í
íèæå â ðàçäåëå Îïèñàíèå ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí.
1
Òàêèì îáðàçîì, èçìåðåíèå îäíîé è òîé æå âåëè÷èíû â îäèíàêîâî ïðèãîòîâëåííûõ ôèçè÷åñêèõ ñèñòåìàõ äà¼ò, êàê ïðàâèëî, ðàçíûå ðåçóëüòàòû. Íî îäèíàêîâî ïðèãîòîâëåííûå
ñèñòåìû íàõîäÿòñÿ â îäèíàêîâûõ ñîñòîÿíèÿõ. ×åì æå òîãäà îïðåäåëÿåòñÿ ñîñòîÿíèå ñèñòåìû? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ ëåæèò äàëåêî çà ïðåäåëàìè êëàññè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé. Ýòà
ïðîáëåìà îáñóæäàåòñÿ íèæå â ðàçäåëå Îïèñàíèå ñîñòîÿíèé ôèçè÷åñêèõ ñèñòåì.
Ñóùåñòâóþò, â ÷àñòíîñòè, è òàêèå ñîñòîÿíèÿ ôèçè÷åñêèõ ñèñòåì, â êîòîðûõ çàäàííàÿ
âåëè÷èíà èìååò îïðåäåë¼ííîå çíà÷åíèå (èçìåðåíèå ýòîé âåëè÷èíû â ñèñòåìàõ, íàõîäÿùèõñÿ
â îäíîì èç óêàçàííûõ ñîñòîÿíèé, âñåãäà ïðèâîäèò ê îäíîìó è òîìó æå ðåçóëüòàòó).  îáùåì æå ñëó÷àå íåîïðåäåë¼ííîñòü ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû îïèñûâàåòñÿ äèñïåðñèåé, èìåþùåé
îïðåäåë¼ííîå çíà÷åíèå â çàäàííîì ñîñòîÿíèè ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû. Âîçíèêàåò âîïðîñ: ñóùåñòâóþò ëè ñîñòîÿíèÿ, â êîòîðûõ äèñïåðñèè âñåõ âåëè÷èí ìàëû (èëè äàæå ðàâíû íóëþ)?
Èëè òà èëè èíàÿ íåîïðåäåë¼ííîñòü îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ÿâëÿåòñÿ íåèçáåæíîé?
Ýòè ïðîáëåìû îòíîñÿòñÿ ê ðàçäåëó Ïîëíîòà îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí è ñîñòîÿíèé.
Èòàê, â êëàññè÷åñêîì ïîíèìàíèè: (1) ëþáàÿ ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà â îïðåäåëåííûé ìîìåíò âðåìåíè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî; (2) ñîñòîÿíèå ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû
çàäàíî ÷èñëåííûìè çíà÷åíèÿìè âåëè÷èí, êîòîðûå õàðàêòåðèçóþò ñèñòåìó; (3) ýòî îïèñàíèå
ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì, òàê êàê â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè âñå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ïðèíèìàþò
îïðåäåëåííûå ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ (â êâàíòîâîé æå ìåõàíèêå, êàê óêàçàíî âûøå, äàþòñÿ
èíûå, ãîðàçäî áîëåå ñëîæíûå òðàêòîâêè ýòèõ âîïðîñîâ). Ñîîòâåòñòâåííî êëàññè÷åñêàÿ ôèçèêà ñîñðåäîòî÷åíà ãëàâíûì îáðàçîì íà çàâèñèìîñòè ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí îò âðåìåíè, òî
åñòü, ôàêòè÷åñêè, íà ýâîëþöèè ñîñòîÿíèé (ÿâíûé âèä óðàâíåíèé ýâîëþöèè çàâèñèò îò ôîðìóëèðîâêè ìåõàíèêè íüþòîíîâîé, ëàãðàíæåâîé, ãàìèëüòîíîâîé. . . ). Íî òî÷íî òàêîé æå âîïðîñ åñòü, êîíå÷íî, è â êâàíòîâîé ôèçèêå: êàê ìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè ñîñòîÿíèÿ ôèçè÷åñêèõ
ñèñòåì è íàáëþäàåìûå âåëè÷èíû? Çà îòâåòàìè ñëåäóåò îáðàòèòüñÿ ê ðàçäåëó Îïèñàíèå
ýâîëþöèè ñîñòîÿíèé è ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí.
Âîïðîñû ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå
ê äèôôåðåíöèàëüíîìó çà÷åòó (ÔÔÊÝ)
1. Îïèñàíèå ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí
 êâàíòîâîé òåîðèè ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, êàê ïðàâèëî, íå èìååò îïðåäåëåííîãî çíà÷åíèÿ, äàæå åñëè ñîñòîÿíèå ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ âïîëíå îïðåäåëåííûì. Áîëåå òîãî,
õîòÿ ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû âñåãäà ïðåäñòàâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíûì
÷èñëîì, íî, êàê ïðàâèëî, íå ëþáûì äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì. ×àñòî âñòðå÷àåòñÿ ñèòóàöèÿ,
êîãäà èçìåðåíèå íåêîòîðîé âåëè÷èíû ïðèâîäèò ê çíà÷åíèþ, êîòîðîå îáÿçàòåëüíî ïðèíàäëåæèò íåêîòîðîìó äèñêðåòíîìó (êâàíòîâàííîìó) ìíîæåñòâó. Òàê èëè èíà÷å, íî îäèí èç
âàæíåéøèõ ðåçóëüòàòîâ êâàíòîâîé òåîðèè ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðè èçìåðåíèè ôèçè÷åñêîé
âåëè÷èíû ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ëèøü îäíî èç ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé (ÑÇ) îïåðàòîðà, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò äàííîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíå.
Äëÿ ïðîâåðêè, óñâîåíî ëè ýòî ïîëîæåíèå êâàíòîâîé ìåõàíèêè, ìîãóò áûòü ïðåäëîæåíû
âîïðîñû, ñëåäóþùèå íèæå (ñ íåêîòîðîé äîëåé óñëîâíîñòè âîïðîñû çäåñü è äàëåå ðàñïîëàãàþòñÿ â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ñëîæíîñòè). Îòâåò ïðèíèìàåòñÿ, òîëüêî åñëè îí îáîñíîâàí.
 äàííîì ñëó÷àå äîëæåí áûòü óêàçàí îïåðàòîð ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû, ñôîðìóëèðîâàíà
çàäà÷à î ïîèñêå ÑÇ ýòîãî îïåðàòîðà è ïðèâåäåí ðåçóëüòàò ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è (ðåøåíèå
çàäà÷è, â ñëó÷àå åãî ãðîìîçäêîñòè, ìîæåò áûòü îïóùåíî).  ÷àñòíîñòè, îáðàòèòå âíèìàíèå
íà (ïðîñòîé) âîïðîñ î âîçìîæíûõ ïðîåêöèÿõ âåêòîðà îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà ÷àñòèöû íà
îñü z .
2
Íà îöåíêó óäîâëåòâîðèòåëüíî:
♣ ×àñòèöà ìàññû m ñâîáîäíî äâèæåòñÿ âäîëü îñè x. Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü
êîîðäèíàòà ÷àñòèöû? Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü èìïóëüñ ÷àñòèöû? Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü ýíåðãèÿ ÷àñòèöû? Ïðèâåäèòå ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ îïåðàòîðîâ óêàçàííûõ âåëè÷èí.
♣ ×àñòèöà ìàññû m äâèæåòñÿ â èíòåðâàëå 0 < x < a â îäíîìåðíîì ïîòåíöèàëüíîì ÿùèêå
ñ áåñêîíå÷íî âûñîêèìè ñòåíêàìè. Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü ýíåðãèÿ ÷àñòèöû?
Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü èìïóëüñ ÷àñòèöû? Ïðèâåäèòå ÿâíûå âûðàæåíèÿ
äëÿ îïåðàòîðîâ óêàçàííûõ âåëè÷èí.
♣ ×àñòèöà ìàññû m äâèæåòñÿ âäîëü îñè x â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå U (x) = mω 2 x2 /2 (ëèíåéíûé ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð). Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü ýíåðãèÿ ÷àñòèöû? Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü èìïóëüñ ÷àñòèöû? Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò
ïðèíèìàòü êîîðäèíàòà ÷àñòèöû? Ïðèâåäèòå ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ îïåðàòîðîâ óêàçàííûõ âåëè÷èí.
♣ ×àñòèöà ìàññû m äâèæåòñÿ â öåíòðàëüíîì ïîëå U (r) = −Ze2 /r (âîäîðîäîïîäîáíûé
àòîì). Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü ýíåðãèÿ ÷àñòèöû? Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò
ïðèíèìàòü èìïóëüñ ÷àñòèöû? Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü ðàäèóñ-âåêòîð ÷àñòèöû? Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîãóò ïðèíèìàòü ïðîåêöèè âåêòîðà îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà íà
îñè x, y è z ? Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü êâàäðàò âåêòîðà îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà? Ïðèâåäèòå ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ îïåðàòîðîâ óêàçàííûõ âåëè÷èí (äëÿ îïåðàòîðà
ˆlz íå òîëüêî â äåêàðòîâûõ, íî è ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ).
♣ ×àñòèöà èìååò ñïèí 1/2. Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîãóò ïðèíèìàòü ïðîåêöèè âåêòîðà ñïèíà
íà îñè x, y è z ? Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü êâàäðàò âåêòîðà ñïèíà? Ïðèâåäèòå
ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ îïåðàòîðîâ óêàçàííûõ âåëè÷èí.
♣ ×àñòèöà ìàññû m ñîâåðøàåò îäíîìåðíîå ôèíèòíîå äâèæåíèå â ïîòåíöèàëüíîé ÿìå
U (x). Îáúÿñíèòå, êàê â ðàìêàõ êâàçèêëàññè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ íàéòè çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ìîæåò ïðèíèìàòü ýíåðãèÿ ÷àñòèöû. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ñïðàâåäëèâî êâàçèêëàññè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå?
Íà îöåíêó õîðîøî:
♥ ×àñòèöà ìàññû m äâèæåòñÿ âäîëü îñè x â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå U (x) = −h̄2 æ0 δ(x)/m.
Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü ýíåðãèÿ ÷àñòèöû? Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü èìïóëüñ ÷àñòèöû? Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü êîîðäèíàòà ÷àñòèöû? Ïðèâåäèòå ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ îïåðàòîðîâ óêàçàííûõ âåëè÷èí.
♥ ×àñòèöà ìàññû m äâèæåòñÿ â öåíòðàëüíîì ïîëå U (r) = mω 2 r2 /2 (îáúåìíûé ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð). Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü ýíåðãèÿ ÷àñòèöû? Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü èìïóëüñ ÷àñòèöû? Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü ðàäèóñâåêòîð ÷àñòèöû? Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîãóò ïðèíèìàòü ïðîåêöèè âåêòîðà îðáèòàëüíîãî
ìîìåíòà íà îñè x, y è z ? Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü êâàäðàò âåêòîðà îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà? Ïðèâåäèòå ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ îïåðàòîðîâ óêàçàííûõ âåëè÷èí
(äëÿ îïåðàòîðà ˆlz íå òîëüêî â äåêàðòîâûõ, íî è ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ).
♥ ×àñòèöà èìååò ñïèí 1/2. Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü ïðîåêöèÿ âåêòîðà ñïèíà
íà ïðîèçâîëüíûé åäèíè÷íûé âåêòîð ~n ? Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü êâàäðàò
âåêòîðà ñïèíà? Ïðèâåäèòå ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ îïåðàòîðîâ óêàçàííûõ âåëè÷èí.
3
♥ Çàìêíóòàÿ ôèçè÷åñêàÿ ñèñòåìà (ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà, ÿäðî àòîìà, àòîì) îáëàäàåò
ñîáñòâåííûì óãëîâûì ìîìåíòîì (ñïèíîì) j . Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü âåëè÷èíà j ? Êàê ÷èñëî j ñâÿçàíî ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè îïåðàòîðîâ, êîòîðûå îïðåäåëÿþò óãëîâîé ìîìåíò ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû? Êàê Âû äóìàåòå, ñóùåñòâóåò ëè îïåðàòîð,
ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî j ?
Íà îöåíêó îòëè÷íî:
♠ ×àñòèöà ìàññû m äâèæåòñÿ â ñôåðè÷åñêîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå ñ áåñêîíå÷íî âûñîêèìè
ñòåíêàìè: U = 0 ïðè r < a è U = ∞ ïðè r > a. ×òî íàçûâàþò s-, p-, d-. . . ñîñòîÿíèÿìè
â òàêîé ÿìå? Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü ýíåðãèÿ ÷àñòèöû â s-ñîñòîÿíèÿõ?
♠ Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàìîäåéñòâèÿ äâóõ ÷àñòèö ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè çàðÿäàìè
−e è Ze è ìàññàìè m1 è m2 , îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé U (r) = −Ze2 /r è çàâèñèò òîëüêî
îò îòíîñèòåëüíîãî ðàññòîÿíèÿ r = |~r1 −~r2 | (âîäîðîäîïîäîáíûé àòîì). Êàê Âû äóìàåòå,
êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ýòèõ äâóõ ÷àñòèö?
♠ ×àñòèöà èìååò ñïèí s = 1. Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîãóò ïðèíèìàòü ïðîåêöèè âåêòîðà ñïèíà
íà îñè x, y è z ? Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü êâàäðàò âåêòîðà ñïèíà? Ïðèâåäèòå
ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ îïåðàòîðîâ óêàçàííûõ âåëè÷èí.
2. Îïèñàíèå ñîñòîÿíèé ôèçè÷åñêèõ ñèñòåì
 êâàíòîâîé òåîðèè ñîñòîÿíèå ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ âåêòîðîì ñîñòîÿíèÿ
(âîëíîâîé ôóíêöèåé). Åñëè âåêòîð ñîñòîÿíèÿ ñîâïàäàåò ñ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì (ÑÂ) îïåðàòîðà íåêîòîðîé âåëè÷èíû, òî äàííàÿ âåëè÷èíà â äàííîì ñîñòîÿíèè èìååò ñòðîãî îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå, ðàâíîå ÑÇ, êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò óêàçàííîìó ÑÂ.  îáùåì æå ñëó÷àå
âåðîÿòíîñòü (èëè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè) òîãî, ÷òî ïðè èçìåðåíèè âåëè÷èíû áóäåò ïîëó÷åíî íåêîòîðîå ÑÇ, ðàâíà êâàäðàòó ìîäóëÿ ïðîåêöèè âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ íà ÑÂ, êîòîðûé
ñîîòâåòñòâóåò óêàçàííîìó ÑÇ.
Ñðåäíåå çíà÷åíèå âåëè÷èíû îïðåäåëÿåòñÿ ìàòðè÷íûì ýëåìåíòîì ïî âåêòîðàì ñîñòîÿíèÿ
îò îïåðàòîðà âåëè÷èíû. Äèñïåðñèÿ çíà÷åíèé, êîòîðûå áóäóò ïîëó÷åíû ïðè èçìåðåíèè, îïðåäåëÿåòñÿ ìàòðè÷íûì ýëåìåíòîì ïî âåêòîðàì ñîñòîÿíèÿ îò êâàäðàòà îïåðàòîðà îòêëîíåíèÿ
âåëè÷èíû îò ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ.
Âîëíîâîé ôóíêöèåé â ïðåäñòàâëåíèè íåêîòîðîé âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿ íàáîð àìïëèòóä, ðàâíûõ ïðîåêöèÿì âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ íà Ñ îïåðàòîðà äàííîé âåëè÷èíû. Åñëè âåêòîð ñîñòîÿíèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì íàáîðîì àìïëèòóä, òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ èìååò
âèä ñòîëáöà (âåêòîðà-ñòîëáöà), à ýðìèòîâî ñîïðÿæåííàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ âèä ñòðîêè
(âåêòîðà-ñòðîêè). Îïåðàòîðû â òàêîì ïðåäñòàâëåíèè èìåþò âèä ìàòðèö; ñîîòâåòñòâåííî
òàêèå ïðåäñòàâëåíèÿ íàçûâàþò ìàòðè÷íûìè.
Íà îöåíêó óäîâëåòâîðèòåëüíî:
♣ Îáúÿñíèòå, ïî÷åìó îïåðàòîð ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû äîëæåí áûòü ýðìèòîâûì. ×òî íàçûâàþò ýðìèòîâî ñîïðÿæåííûìè îïåðàòîðàìè? ×òî íàçûâàþò ýðìèòîâûì îïåðàòîðîì? Âûðàçèòå îïåðàòîð (ÂB̂)+ ÷åðåç îïåðàòîðû Â+ è B̂ + .
♣ ×àñòèöà ìàññû m íàõîäèòñÿ â ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè, êîòîðîå îïèñûâàåòñÿ âîëíîâîé
ôóíêöèåé ψ(~r). Îáúÿñíèòå, êàêîâ ôèçè÷åñêèé ñìûñë âåëè÷èíû ψ(~r). ×òî íàçûâàþò
óñëîâèåì íîðìèðîâêè âîëíîâîé ôóíêöèè? ×òî ìîæíî ñêàçàòü î ïîâåäåíèè ψ(~r) ïðè
r → ∞?
4
♣ Ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû ìàññû m, äâèæóùåéñÿ â ïîòåíöèàëå U (~r), îïèñûâàåòñÿ âîëíîâîé
ôóíêöèåé ψ(~r), íîðìèðîâàííîé íà åäèíèöó. Îáúÿñíèòå, êàê íàéòè ñðåäíèå çíà÷åíèÿ
ðàäèóñà-âåêòîðà, èìïóëüñà, êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè è ïîëíîé ýíåðãèè ÷àñòèöû â ýòîì
ñîñòîÿíèè. Äîêàæèòå, ÷òî îïåðàòîðû óêàçàííûõ âåëè÷èí ÿâëÿþòñÿ ýðìèòîâûìè.
♣ Ñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå áåññïèíîâîé ÷àñòèöû â òðåõìåðíîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå îïèñûâàåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé ψ(~r), íîðìèðîâàííîé íà åäèíèöó. Îáúÿñíèòå, êàê íàéòè
ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ïðîåêöèé óãëîâîãî ìîìåíòà ÷àñòèöû íà îñè x, y è z .
♣ Ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû, ñîâåðøàþùåé îäíîìåðíîå ôèíèòíîå äâèæåíèå â ïîòåíöèàëüíîé
ÿìå, îïèñûâàåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé ψ(x), íîðìèðîâàííîé íà åäèíèöó. Ýòà ôóíêöèÿ
íå ñîâïàäàåò íè ñ îäíîé èç ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ψn (x) ãàìèëüòîíèàíà, êîòîðûå îïèñûâàþò ñîñòîÿíèÿ ñ ýíåðãèÿìè En . Îáúÿñíèòå, êàê íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè
èçìåðåíèè ýíåðãèè ÷àñòèöû áóäåò ïîëó÷åíî çíà÷åíèå En .
♣ ×òî íàçûâàþò îïåðàòîðîì èíâåðñèè? Íàéäèòå îïåðàòîð, ýðìèòîâî ñîïðÿæåííûé ïî
îòíîøåíèþ ê îïåðàòîðó èíâåðñèè. Íàéäèòå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà èíâåðñèè.
♣ ×àñòèöà ìàññû m ñîâåðøàåò îäíîìåðíîå äâèæåíèå â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå U (x) =
mω 2 x2 /2 (ëèíåéíûé ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð). Âûïèøèòå óðàâíåíèå, êîòîðîå îïðåäåëÿåò âîëíîâûå ôóíêöèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè.
Íàðèñóéòå (êà÷åñòâåííî) ãðàôèêè âîëíîâûõ ôóíêöèé, ñîîòâåòñâóþùèõ òð¼ì íèæíèì
ñîñòîÿíèÿì. Êàêîâû ýíåðãèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé? Êàêîâî ñðåäíåå çíà÷åíèå êîîðäèíàòû x ÷àñòèöû, íàõîäÿùåéñÿ â n-ì (n = 0, 1, 2 . . .) ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè?
Êàê Âû äóìàåòå, ñóùåñòâóþò ëè òàêèå ñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿ, â êîòîðûõ ïëîòíîñòü
âåðîÿòíîñòè îáíàðóæèòü ÷àñòèöó â òî÷êå x = 0 åñòü íîëü?
♣  êâàíòîâîé òåîðèè ëèíåéíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà èñïîëüçóþòñÿ îïåðàòîðû
â è â+ . Êàê ââîäÿòñÿ ýòè îïåðàòîðû? ×òî ïîëó÷àåòñÿ ïðè äåéñòâèè ýòèõ îïåðàòîðîâ
íà ñîáñòâåííûå âåêòîðû |ni îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà? Êàê âûðàæàåòñÿ ãàìèëüòîíèàí
ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà ÷åðåç îïåðàòîðû â è â+ ? Êàê âûãëÿäèò ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð
ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà? Âûïèøèòå ôîðìóëó, ñâÿçûâàþùóþ n-é âåêòîð ñîñòîÿíèÿ ñ
âåêòîðîì îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ |0i ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà.
♣ ×àñòèöà ìàññû m ñîâåðøàåò îäíîìåðíîå ôèíèòíîå äâèæåíèå â ïîòåíöèàëüíîé ÿìå
U (x). Êàêîé âèä èìååò âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ, îïèñûâàþùàÿ ñîñòîÿíèå ñ îïðåäåëåííîé
ýíåðãèåé, â êâàçèêëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè? Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ñïðàâåäëèâî êâàçèêëàññè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå?
♣ ×òî íàçûâàþò óíèòàðíûì îïåðàòîðîì? Ïîêàæèòå, ÷òî îïåðàòîð ïðåîáðàçîâàíèÿ
âåêòîðîâ-ñòîëáöîâ èç îäíîãî ìàòðè÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ â äðóãîå ÿâëÿåòñÿ óíèòàðíûì
îïåðàòîðîì. Âûâåäèòå ñîîòíîøåíèå, ïîêàçûâàþùåå, êàê ñ ïîìîùüþ ýòîãî æå óíèòàðíîãî îïåðàòîðà îïåðàòîðû-ìàòðèöû ïðåîáðàçóþòñÿ èç îäíîãî ìàòðè÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ â äðóãîå. Ïîêàæèòå, ÷òî ïåðåõîä îò îäíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ê äðóãîìó íå ìåíÿåò
êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé ìåæäó îïåðàòîðàìè.
♣ Ñïèíîâîå ñîñòîÿíèå
÷àñòèöû ñî ñïèíîì 1/2 îïèñûâàåòñÿ íîðìèðîâàííûì íà åäèíèöó
¡a¢
ñïèíîðîì χ = b . Îáúÿñíèòå, êàêîâ ôèçè÷åñêèé ñìûñë âåëè÷èí a è b. ×åìó ðàâíû
ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ïðîåêöèé ñïèíà íà îñè x, y è z â ýòîì ñîñòîÿíèè?
5
Íà îöåíêó õîðîøî:
♥ Êàê âûãëÿäÿò ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðîâ êîîðäèíàòû è èìïóëüñà â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè?
♥ Êàê âûãëÿäÿò ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðîâ êîîðäèíàòû è èìïóëüñà â èìïóëüñíîì
ïðåäñòàâëåíèè?
♥ Ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû ìàññû m, äâèæóùåéñÿ âäîëü îñè x, îïèñûâàåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé ψ(x), íîðìèðîâàííîé íà åäèíèöó. Îáúÿñíèòå, êàê íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè
èçìåðåíèè èìïóëüñà p ýòîé ÷àñòèöû áóäóò ïîëó÷åíû çíà÷åíèÿ, ëåæàùèå â èíòåðâàëå
îò p1 äî p2 .
♥ Ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû ìàññû m, äâèæóùåéñÿ âäîëü îñè x, îïèñûâàåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé ψ(p) â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè, íîðìèðîâàííîé íà åäèíèöó. Îáúÿñíèòå, êàê
íàéòè ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ðàäèóñà-âåêòîðà è èìïóëüñà ÷àñòèöû â ýòîì ñîñòîÿíèè.
♥ Ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû ìàññû m, äâèæóùåéñÿ âäîëü îñè x, îïèñûâàåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé ψ(p) â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè, íîðìèðîâàííîé íà åäèíèöó. Îáúÿñíèòå, êàê
íàéòè ÿâíûé âèä âîëíîâîé ôóíêöèè ψ(x) â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè.
♥ ×òî íàçûâàþò ëèíåéíûì ãàðìîíè÷åñêèì îñöèëëÿòîðîì? Âûïèøèòå óðàâíåíèå, êîòîðîå îïðåäåëÿåò âîëíîâûå ôóíêöèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà
â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè è åãî ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð. Îáúÿñíèòå, êàê âåäåò
ñåáÿ â àñèìïòîòèêå x → ∞ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ïðîèçâîëüíîãî ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ ëèíåéíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà. Êàêîâ ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ëèíåéíîãî
îñöèëëÿòîðà?
♥  êâàíòîâîé òåîðèè ëèíåéíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà èñïîëüçóþòñÿ îïåðàòîðû
â è â+ . Êàê ââîäÿòñÿ ýòè îïåðàòîðû? Âû÷èñëèòå êîììóòàòîð [â, â+ ], à òàêæå êîììóòàòîðû [â, ĥ] è [â+ , ĥ], ãäå ĥ = â+ â + 1/2 îáåçðàçìåðåííûé ãàìèëüòîíèàí. ×òî
ïîëó÷àåòñÿ ïðè äåéñòâèè ýòèõ îïåðàòîðîâ íà ñîáñòâåííûå âåêòîðû |ni îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà? Êàê âûãëÿäèò ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà?
Íà îöåíêó îòëè÷íî:
♠ ×òî íàçûâàþò óñëîâèåì íîðìèðîâêè âîëíîâûõ ôóíêöèé íà δ -ôóíêöèþ? Ïðèâåäèòå â
êà÷åñòâå ïðèìåðà ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðîâ êîîðäèíàòû è èìïóëüñà.
♠ Ñîâîêóïíîñòü âåêòîðîâ |ni ñîñòàâëÿåò áàçèñ. ×òî íàçûâàþò óñëîâèåì ïîëíîòû ýòîãî
áàçèñà? Âûïèøèòå óñëîâèå ïîëíîòû ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðîâ êîîðäèíàòû è
èìïóëüñà. Êàêîé âèä ïðèîáðåòàþò ýòè óñëîâèÿ â êîîðäèíàòíîì è èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèÿõ?
♠ Ñ÷èòàÿ èçâåñòíûì ÿâíûé âèä îïåðàòîðîâ êîîðäèíàòû è èìïóëüñà â êîîðäèíàòíîì
ïðåäñòàâëåíèè, îáúÿñíèòå, êàê íàéòè ÿâíûé âèä ýòèõ æå îïåðàòîðîâ â èìïóëüñíîì
ïðåäñòàâëåíèè.
♠ ×àñòèöà ìàññû m ñîâåðøàåò îäíîìåðíîå äâèæåíèå â ïîëå U (x). Âûïèøèòå (ñ îáîñíîâàíèåì) óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå âîëíîâóþ ôóíêöèþ ψ(p) ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ
÷àñòèöû â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè.
6
♠  êâàíòîâîé òåîðèè ëèíåéíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà èñïîëüçóþòñÿ îáåçðàçìåðåííûå ýíåðãèè ñîñòîÿíèé εn = En /h̄ω , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè
îáåçðàçìåðåííîãî ãàìèëüòîíèàíà ĥ. Êàê ââîäÿòñÿ â ýòîé òåîðèè îïåðàòîðû â è â+ ?
Êàê âûðàæàåòñÿ ĥ ÷åðåç ýòè îïåðàòîðû? Âû÷èñëèòå êîììóòàòîðû [â, â+ ], [â, ĥ] è [â+ , ĥ]
è, ïîëüçóÿñü èìè, äîêàæèòå, ÷òî îïåðàòîðû â è â+ èìåþò ñìûñë îïåðàòîðîâ ïîíèæåíèÿ è ïîâûøåíèÿ. Íàéäèòå ðåçóëüòàò äåéñòâèèÿ îïåðàòîðîâ â è â+ íà ñîáñòâåííûå
âåêòîðû |ni îïåðàòîðà ĥ.
3. Ïîëíîòà îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí è ñîñòîÿíèé
 êâàíòîâîé òåîðèè âåëè÷èíû íàçûâàþò îäíîâðåìåííî èçìåðèìûìè, åñëè îïåðàòîðû
ýòèõ âåëè÷èí îáëàäàþò îáùåé ñèñòåìîé ÑÂ. Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì îäíîâðåìåííîé èçìåðèìîñòè âåëè÷èí ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî íóëþ êîììóòàòîðà îïåðàòîðîâ ýòèõ
âåëè÷èí.
Íàáîð îäíîâðåìåííî èçìåðèìûõ âåëè÷èí íàçûâàþò ïîëíûì, åñëè ñîâîêóïíîñòü ÑÇ, ïîðîæäàåìûõ îïåðàòîðàìè ýòèõ âåëè÷èí, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò êàæäûé âåêòîð èç ìíîæåñòâà îáùèõ Ñ óêàçàííûõ îïåðàòîðîâ.
Åñëè äâå âåëè÷èíû íå ÿâëÿþòñÿ îäíîâðåìåííî èçìåðèìûìè, òî ïðîèçâåäåíèå èõ äèñïåðñèé â ëþáîì ñîñòîÿíèè ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû îãðàíè÷åíî ñíèçó èçâåñòíîé âåëè÷èíîé (ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé).
Íà îöåíêó óäîâëåòâîðèòåëüíî:
♣ ×àñòèöà ìàññû m äâèæåòñÿ â ñâîáîäíîì ïðîñòðàíñòâå. Óêàæèòå ïîëíûé íàáîð âåëè÷èí, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû ñ çàäàííûìè ýíåðãèÿìè.
♣ ßâëÿþòñÿ ëè êîîðäèíàòà è èìïóëüñ ÷àñòèöû îäíîâðåìåííî èçìåðèìûìè âåëè÷èíàìè? Ïî÷åìó? Ñôîðìóëèðóéòå ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé äëÿ äâóõ óêàçàííûõ
âåëè÷èí.
♣ ×àñòèöà ìàññû m äâèæåòñÿ â öåíòðàëüíî ñèììåòðè÷íîì ïîëå U (r). Óêàæèòå ïîëíûé
íàáîð âåëè÷èí, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû ñ çàäàííûìè ïîëíûìè ýíåðãèÿìè.
2
ˆ2
ˆ2
Âû÷èñëèòå, â ÷àñòíîñòè, êîììóòàòîðû [ˆlz , ~l ], [ˆlz , p~ˆ ], [ˆlz , U (r)], [~l , U (r)].
♣ ×àñòèöà ìàññû m äâèæåòñÿ â öåíòðàëüíî ñèììåòðè÷íîì ïîëå U (r). Îáúÿñíèòå, êàê
ñâÿçàíû âîëíîâûå ôóíêöèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ÷àñòèöû ñî ñôåðè÷åñêèìè ãàðìîíèêàìè Ylm (θ, ϕ). ×òî íàçûâàþò ñôåðè÷åñêèìè ãàðìîíèêàìè?
♣ ×òî âõîäèò â ïîëíûé íàáîð âåëè÷èí, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèÿ àòîìà âîäîðîäà ñ çàäàííûìè ïîëíûìè ýíåðãèÿìè? Âûïèøèòå óðàâíåíèå, êîòîðîå îïðåäåëÿåò âîëíîâûå
ôóíêöèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé àòîìà âîäîðîäà â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè.
Êàê âûãëÿäèò ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð àòîìà âîäîðîäà? Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîãóò ïðèíèìàòü êâàíòîâûå ÷èñëà, õàðàêòåðèçóþùèå ñâÿçàííûå ñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿ àòîìà
âîäîðîäà?
♣ ßâëÿþòñÿ ëè ïðîåêöèè ñïèíà s = 1/2 ÷àñòèöû íà îñè x è y îäíîâðåìåííî èçìåðèìûìè âåëè÷èíàìè? Ïî÷åìó? Ñôîðìóëèðóéòå ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé äëÿ äâóõ
óêàçàííûõ âåëè÷èí.
♣ Çàìêíóòàÿ ôèçè÷åñêàÿ ñèñòåìà (ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà, ÿäðî àòîìà, àòîì) íàõîäèòñÿ
â ñîñòîÿíèè ñ ñîáñòâåííûì óãëîâûì ìîìåíòîì (ñïèíîì) j . Óòî÷íèòå, ÷òî âõîäèò â
ïîëíûé íàáîð âåëè÷èí, îïðåäåëÿþùèõ óêàçàííîå ñîñòîÿíèå. Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò
7
ïðèíèìàòü âåëè÷èíà j ? Êàêèå çíà÷åíèÿ ïðèíèìàþò âåëè÷èíû, âõîäÿùèå â ïîëíûé
íàáîð?
Íà îöåíêó õîðîøî:
♥ ×àñòèöà ìàññû m ñîâåðøàåò îäíîìåðíîå äâèæåíèå â ïîòåíöèàëå U (x), ñèììåòðè÷íîì
îòíîñèòåëüíî èíâåðñèè: U (x) = U (−x). ×òî Âû ìîæåòå ñêàçàòü î âîëíîâûõ ôóíêöèÿõ
ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ÷àñòèöû?
♥ ßâëÿþòñÿ ëè ïðîåêöèè îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà ÷àñòèöû íà äâå ïåðïåíäèêóëÿðíûå îñè,
íàïðèìåð, x è y , îäíîâðåìåííî èçìåðèìûìè âåëè÷èíàìè? Ïî÷åìó? Âû÷èñëèòå, â ÷àñòíîñòè, êîììóòàòîð [ˆlx , ˆly ]. Ñôîðìóëèðóéòå ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé äëÿ äâóõ
óêàçàííûõ âåëè÷èí.
♥ Çàìêíóòàÿ ôèçè÷åñêàÿ ñèñòåìà (ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà, ÿäðî àòîìà, àòîì) íàõîäèòñÿ
â ñîñòîÿíèè ñ ñîáñòâåííûì óãëîâûì ìîìåíòîì (ñïèíîì) j . Óòî÷íèòå, ÷òî âõîäèò â
ïîëíûé íàáîð âåëè÷èí, îïðåäåëÿþùèõ óêàçàííîå ñîñòîÿíèå. Îáúÿñíèòå, â ÷àñòíîñòè,
ˆ2
êàê íàéòè çíà÷åíèå êîììóòàòîðà [jˆα , ~j ].
♥ ×àñòèöà ìàññû m äâèæåòñÿ â öåíòðàëüíî ñèììåòðè÷íîì ïîëå U (r). Îáúÿñíèòå, êàê
èñïîëüçóþòñÿ â ýòîé çàäà÷å ñôåðè÷åñêèå ãàðìîíèêè Ylm (θ, ϕ)? Êàêèì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì óäîâëåòâîðÿþò ñôåðè÷åñêèå ãàðìîíèêè? Êàê çàâèñÿò ôóíêöèè
Ylm (θ, ϕ) îò óãëà ϕ?
♥ Âûïèøèòå ïîëíûé íàáîð âåëè÷èí, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèÿ àòîìà âîäîðîäà ñ çàäàííûìè ïîëíûìè ýíåðãèÿìè. Êàê âûãëÿäèò ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð àòîìà âîäîðîäà? ßâëÿåòñÿ ëè ýòîò ñïåêòð âûðîæäåííûì (åñëè äà, òî ÷òî ìîæíî ñêàçàòü î ïðè÷èíàõ âûðîæäåíèÿ)? Âûïèøèòå óðàâíåíèå, êîòîðîå îïðåäåëÿåò ðàäèàëüíûå âîëíîâûå ôóíêöèè
ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé àòîìà âîäîðîäà â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè.
Íà îöåíêó îòëè÷íî:
♠ Ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû ìàññû m, ñîâåðøàþùåé îäíîìåðíîå ôèíèòíîå äâèæåíèå â ïîòåíöèàëüíîé ÿìå U (x), îïèñûâàåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé ψ(x), íîðìèðîâàííîé íà åäèíèöó.
Îáúÿñíèòå, êàê íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè èçìåðåíèè êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè K
ýòîé ÷àñòèöû áóäóò ïîëó÷åíû çíà÷åíèÿ, ëåæàùèå â èíòåðâàëå îò K1 äî K2 ?
♠ ×àñòèöà ìàññû m ñîâåðøàåò îäíîìåðíîå äâèæåíèå â ïîòåíöèàëå U (x), ñèììåòðè÷íîì îòíîñèòåëüíî ñäâèãà: U (x) = U (x + a), ãäå a = const. ×òî Âû ìîæåòå ñêàçàòü î
âîëíîâûõ ôóíêöèÿõ ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ÷àñòèöû?
♠ Ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû A è B íå ÿâëÿþòñÿ îäíîâðåìåííî èçìåðèìûìè. Ïîÿñíèòå, â ÷åì
ñìûñë ýòîãî óòâåðæäåíèÿ â êâàíòîâîé òåîðèè. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé äëÿ äâóõ óêàçàííûõ âåëè÷èí.
♠ Çàìêíóòàÿ ôèçè÷åñêàÿ ñèñòåìà (ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà, ÿäðî àòîìà, àòîì) íàõîäèòñÿ
â ñîñòîÿíèè ñ ñîáñòâåííûì óãëîâûì ìîìåíòîì (ñïèíîì) j . Äîêàæèòå, ÷òî ïðîåêöèÿ
óãëîâîãî ìîìåíòà íà ïðîèçâîëüíóþ îñü ìåíÿåòñÿ â îãðàíè÷åííûõ ïðåäåëàõ. Êàêèå
çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü âåëè÷èíà j ?
♠ ×àñòèöà ìàññû m äâèæåòñÿ â öåíòðàëüíî ñèììåòðè÷íîì ïîëå U (r). Êàê èñïîëüçóþòñÿ
â ýòîé çàäà÷å ñôåðè÷åñêèå ãàðìîíèêè Ylm (θ, ϕ)? Âûïèøèòå óðàâíåíèÿ äëÿ ñôåðè÷åñêèõ ãàðìîíèê è îáúÿñíèòå, êàê ýòè ôóíêöèè çàâèñÿò îò óãëîâ θ è ϕ.
8
♠ Âûïèøèòå ïîëíûé íàáîð âåëè÷èí, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèÿ àòîìà âîäîðîäà ñ çàäàííûìè ïîëíûìè ýíåðãèÿìè. Êàê âûãëÿäèò ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð àòîìà âîäîðîäà? Âûïèøèòå óðàâíåíèå äëÿ ðàäèàëüíûõ ôóíêöèé ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé è óñòàíîâèòå,
êàê ýòè ôóíêöèè âåäóò ñåáÿ â ïðåäåëàõ r → 0 è r → ∞.
4. Îïèñàíèå ýâîëþöèè ñîñòîÿíèé è ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí
 êâàíòîâîé òåîðèè ðàçëè÷àþò äâà ñïîñîáà îïèñàíèÿ ýâîëþöèè ñîñòîÿíèé ôèçè÷åñêèé
ñèñòåì: ïðåäñòàâëåíèå Øðåäèíãåðà è ïðåäñòàâëåíèå Ãàéçåíáåðãà.  ëþáîì ñëó÷àå ñðåäíåå
çíà÷åíèå âåëè÷èíû, çàâèñÿùåå îò âðåìåíè, âûðàæàåòñÿ ìàòðè÷íûì ýëåìåíòîì ïî âåêòîðàì
ñîñòîÿíèÿ îò îïåðàòîðà äàííîé âåëè÷èíû.
 ïðåäñòàâëåíèè Øðåäèíãåðà îïåðàòîð, êàê ïðàâèëî, íå çàâèñèò îò âðåìåíè, òîãäà êàê
ýâîëþöèÿ îïèñûâàåòñÿ çàâèñÿùèì îò âðåìåíè âåêòîðîì ñîñòîÿíèÿ. Õàðàêòåð çàâèñèìîñòè
âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ îò âðåìåíè îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà.  ïðåäñòàâëåíèè Ãàéçåíáåðãà, íàîáîðîò, âåêòîð ñîñòîÿíèÿ íå ìåíÿåòñÿ, íî îïåðàòîð âåëè÷èíû ÿâëÿåòñÿ ÿâíîé
ôóíêöèåé âðåìåíè. Õàðàêòåð çàâèñèìîñòè îïåðàòîðà îò âðåìåíè îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì
Ãàéçåíáåðãà.
 ïðåäñòàâëåíèè Øðåäèíãåðà ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îáíàðóæèòü ÷àñòèöó è ñîîòâåòñòâóþùèé âåêòîð ïëîòíîñòè ïîòîêà âåðîÿòíîñòè â îáùåì ñëó÷àå çàâèñÿò îò âðåìåíè è ìîãóò
ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê âåëè÷èíû, îïèñûâàþùèå ýâîëþöèþ ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû.
Ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ, åñëè, âî-ïåðâûõ, îòâå÷àþùèé åé
îïåðàòîð íå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè, è, âî-âòîðûõ, åñëè ýòîò îïåðàòîð êîììóòèðóåò ñ
ãàìèëüòîíèàíîì ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû.
Íà îöåíêó óäîâëåòâîðèòåëüíî:
♣ Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ Ψ(q, t) îïèñûâàåò ýâîëþöèþ êâàíòîâîé ñèñòåìû (q íàáîð îáîáùåííûõ êîîðäèíàò). Âûïèøèòå óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå ïîâåäåíèå ýòîé ôóíêöèè.
Îáúÿñíèòå, êàêîâ ôèçè÷åñêèé ñìûñë âåëè÷èíû Ψ(q, t).
♣ Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ Ψ(~r, t) îïèñûâàåò ýâîëþöèþ ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû ìàññû m â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå U (~r). Âûïèøèòå óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå ïîâåäåíèå ýòîé ôóíêöèè.
Îáúÿñíèòå,
êàêîâ ôèçè÷åñêèé ñìûñë âåëè÷èíû Ψ(~r, t). Çàâèñèò ëè â îáùåì ñëó÷àå
R
èíòåãðàë |Ψ(~r, t)|2 dV , âû÷èñëåííûé ïî îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, îò âðåìåíè?
♣ Îáúÿñíèòå, ÷òî íàçûâàþò ñòàöèîíàðíûì ñîñòîÿíèåì ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû. ×òî íàçûâàþò ñòàöèîíàðíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà?
♣ Îáúÿñíèòå, êàê ïîñòðîèòü âîëíîâóþ ôóíêöèþ, îïèñûâàþùóþ ýâîëþöèþ íåêîòîðîé
ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû, åñëè èçâåñòíû âîëíîâûå ôóíêöèè ψn (q) è ýíåðãèè En âñåõ ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ýòîé ñèñòåìû.
♣ Ñôîðìóëèðóéòå, ÷òî íàçûâàþò îäíîìåðíîé çàäà÷åé ðàññåÿíèÿ ÷àñòèöû íà ïîòåíöèàëå, îòëè÷íîì îò íóëÿ â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà. Êàêîé âèä èìååò âîëíîâàÿ
ôóíêöèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ îäíîìó èç ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ÷àñòèöû, â àñèìïòîòèêàõ x → −∞ è x → ∞ ? Êàê âû÷èñëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿ è ïðîõîæäåíèÿ?
♣ ×òî íàçûâàþò óíèòàðíûì îïåðàòîðîì? ×òî íàçûâàþò îïåðàòîðîì ýâîëþöèè êâàíòîâîé ñèñòåìû? Ïîêàæèòå, ÷òî îïåðàòîð ýâîëþöèè ÿâëÿåòñÿ óíèòàðíûì îïåðàòîðîì.
9
♣ Ïóñòü  îïåðàòîð ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû, íå çàâèñÿùèé îò âðåìåíè, à Ĥ ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû. Îáúÿñíèòå, ÷òî íàçûâàþò îïåðàòîðîì Âã (t) òîé æå ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû â ïðåäñòàâëåíèè Ãàéçåíáåðãà. Âûïèøèòå óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå èçìåíåíèå
âî âðåìåíè ýòîãî îïåðàòîðà.
Íà îöåíêó õîðîøî:
♥ Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ Ψ(~r, t) îïèñûâàåò ýâîëþöèþ ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû ìàññû m â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå U (~r). ×òî íàçûâàþò ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòè è ïëîòíîñòüþ ïîòîêà
âåðîÿòíîñòè? Âûïèøèòå è âûâåäèòå óðàâíåíèå, ñâÿçûâàþùåå ýòè âåëè÷èíû (óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè).
♥ Îáúÿñíèòå, ÷òî íàçûâàþò îïåðàòîðîì èçìåíåíèÿ ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû âî âðåìåíè?
×åìó ðàâåí ýòîò îïåðàòîð?
♥ ×òî íàçûâàþò îïåðàòîðîì ñäâèãà? Ïîêàæèòå, ÷òî îïåðàòîð ñäâèãà ÿâëÿåòñÿ óíèòàðíûì.  ÷åì ñîñòîèò ñâÿçü ìåæäó îïåðàòîðîì èìïóëüñà p~ˆ è îïåðàòîðîì ñäâèãà? Îáúÿñíèòå, êàêèì îáðàçîì â êâàíòîâîé òåîðèè ñîõðàíåíèå èìïóëüñà âûâîäèòñÿ èç îäíîðîäíîñòè ïðîñòðàíñòâà.
♥  ÷åì ñîñòîèò ñâÿçü ìåæäó îïåðàòîðîì èìïóëüñà p~ˆ è îïåðàòîðîì ñäâèãà? Íàéäèòå,
âîñïîëüçîâàâøèñü ýòîé ñâÿçüþ, ÿâíûé âèä îïåðàòîðà èìïóëüñà ÷àñòèöû â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè.
Íà îöåíêó îòëè÷íî:
♠ ×àñòèöà ìàññû m äâèæåòñÿ âäîëü îñè x â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå U (x). Îáúÿñíèòå, â
÷¼ì ñìûñë îïåðàòîðà dp̂/dt? Íàéäèòå ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ ýòîãî îïåðàòîðà.
♠ ×àñòèöà ìàññû m äâèæåòñÿ âäîëü îñè x â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå U (x). Îáúÿñíèòå, â
÷¼ì ñìûñë îïåðàòîðà dx̂/dt? Íàéäèòå ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ ýòîãî îïåðàòîðà.
♠ Ñîñòîÿíèå ëèíåéíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà ñ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé ω â íà÷àëüíûé ìîìåíò t = 0 îïèñûâàåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé Ψ(x, 0). Îáúÿñíèòå, êàê íàéòè
âîëíîâóþ ôóíêöèþ îñöèëëÿòîðà Ψ(x, t) â ìîìåíò t = 2π/ω .
♠ ×òî íàçûâàþò îïåðàòîðîì ïîâîðîòà? Ïîêàæèòå, ÷òî îïåðàòîð ïîâîðîòà ÿâëÿåòñÿ óíèˆ
òàðíûì.  ÷åì ñîñòîèò ñâÿçü ìåæäó îïåðàòîðîì óãëîâîãî ìîìåíòà ~j ôèçè÷åñêîé
ñèñòåìû è îïåðàòîðîì ïîâîðîòà? Îáúÿñíèòå, êàêèì îáðàçîì â êâàíòîâîé òåîðèè ñîõðàíåíèå óãëîâîãî ìîìåíòà âûâîäèòñÿ èç èçîòðîïèè ïðîñòðàíñòâà.
ˆ
♠ Îáúÿñíèòå, êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé îïåðàòîðû óãëîâîãî ìîìåíòà ~j ôèçè÷åñêîé
ñèñòåìû è îïåðàòîð ïîâîðîòà âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé ýòîé ñèñòåìû. Êàê îïðåäåëÿþòñÿ
îïåðàòîðû ĵ± ? ×åìó ðàâíû êîììóòàòîðû [ĵ± , ĵz ]? Ïîëüçóÿñü çíà÷åíèÿìè ýòèõ êîììóòàòîðîâ, íàéäèòå âîçìîæíûå ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ óãëîâîãî ìîìåíòà j .
ˆ
♠ Îáúÿñíèòå, êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé îïåðàòîðû óãëîâîãî ìîìåíòà ~j ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû è îïåðàòîð ïîâîðîòà âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé ýòîé ñèñòåìû. Íàéäèòå, âîñïîëüçîâàâøèñü ýòîé ñâÿçüþ, ÿâíûé âèä îïåðàòîðà îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà ÷àñòèöû â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè.
10