10.1 Ñïåêòðàëüíàÿ ôîðìà ñèãíàëà  ïðåäûäóùåé ãëàâå ìû ðàññìîòðåëè óðàâíåíèå äëÿ îïèñàíèÿ ýâîëþöèè ìàòðèöû ïëîòíîñòè â ñëó÷àå, êîãäà âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ïîäñèñòåìàìè çàâèñèò îò âðåìåíè.  ýòîì ñëó÷àå ðåëàêñàöèÿ êîìïîíåíòîâ ìàòðèöû ïëîòíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûì çàêîíîì. Îäíàêî äëÿ àíñàìáëÿ ñèñòåì ìîæåò íàáëþäàòüñÿ ýôôåêòèâíàÿ ðåëàêñàöèÿ, îáóñëîâëåííàÿ íå âðåìåííîé çàâèñèìîñòüþ íåðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, à íåîäíîðîäíîñòüþ âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ïîäñèñòåìàìè àíñàìáëÿ.  ýòîì ñëó÷àå íå áóäåò âîçíèêàòü èñòèííàÿ ðåëàêñàöèÿ â äèíàìè÷åñêîé ïîäñèñòåìå (â ñìûñëå óñòàíîâëåíèÿ ðàâíîâåñèÿ), à áóäåò íàáëþäàòüñÿ ýôôåêòèâíàÿ ðåëàêñàöèÿ çà ñ÷åò ñòîõàñòè÷åñêîãî îòëè÷èÿ ñïåêòðà äëÿ ðàçëè÷íûõ ñèñòåì àíñàìáëÿ. Âîçíèêàåò òàê íàçûâàåìûé ýôôåêò íåîäíîðîäíîãî óøèðåíèÿ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé. Èòàê, â ýòîé ãëàâå ìû ðàññìàòðèâàåì ãàìèëüòîíèàí â âèäå: b =H ba + H b b + Vb = H b 0 + Vb , H (1.1) ãäå âçàèìîäåéñòâèå Vb íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Ìû âèäåëè â ïðåäûäóùåé ãëàâå, ÷òî ñðåäíåå çíà÷åíèå ëþáîé âåëè÷èíû ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî ñ ïîìîùüþ òåíçîðà Gik (t), ïîëó÷åííîãî â ðåçóëüòàòå ðàçëîæåíèÿ êàê îïåðàòîðîâ, òàê è ìàòðèöû ïëîòíîñòè ïî ñèñòåìå îðòîãîíàëüíûõ îïåðàòîðîâ. Íàçîâåì åãî òåíçîðîì ðåëàêñàöèè: Gik (t) = Tr(ui (t)uk ) ≡ hui (t)uk i. Òåíçîð ðåëàêñàöèè ìîæíî ðàçëîæèòü â èíòåãðàë Ôóðüå è ïîëó÷èòü ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå èëè ôîðìó ëèíèè (ñèãíàëà), ñîîòâåòñòâóþùóþ äàííîé ñèñòåìå: Z∞ Gik (t) = dω gik (ω)eiωt . 2π (1.2) −∞ Ñîîòâåòñòâåííî, ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôîðìà ëèíèè åñòü: Z∞ dtGik (t)e−iωt . gik (ω) = (1.3) −∞ Ðåëàêñàöèîííûé òåíçîð îáëàäàåò íåêîòîðûìè ñâîéñòâàìè ñèììåòðèè, íàïðèìåð, îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè èíäåêñîâ. Çàïèøåì ïî îïðåäåëåíèþ: ´ ³ −1 ´ ³ b b b b i~ Ht −i~−1 Ht −i~−1 Ht i~−1 Ht = Gik (t) =Tr e ui e uk = Tr ui e uk e =Tr (ui uk (−t)) = Tr (uk (−t)ui ) = Gki (−t). Äëÿ äàëüíåéøèõ öåëåé íàì ïîíàäîáèòñÿ ââåñòè íåêîòîðûå îáîçíà÷åíèÿ. Ïîñêîëüêó ìû èíòåðåñóåìñÿ òîëüêî âåëè÷èíàìè, õàðàêòåðèçóþùèìè äèíàìè÷åñêóþ ïîäñèñòåìó, âû÷èñëåíèå ñëåäà óäîáíî áóäåò ïðåäñòàâëÿòü â áàçèñå ñîába : ñòâåííûõ ñîñòîÿíèé ãàìèëüòîíèàíà H b a |gi = Eg |gi, H (1.4)  íóëåâîì ïðèáëèæåíèè (êîãäà ïðåíåáðåãàåòñÿ âçàèìîäåéñòâèåì) âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü (ïðåäñòàâëåíèå Ãàéçåíáåðãà) äëÿ îïåðàòîðà ui (t) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå: hg|ei~ −1 Ht b ui e−i~ −1 Ht b ui |g 0 i = eiωn t hg|ui |g 0 i. (1.5) ãäå ωn ÷àñòîòà ïåðåõîäà ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè äèíàìè÷åñêîé ïîäñèñòåìû a. Íàïîìíèì, ÷òî îðòîãîíàëüíûå îïåðàòîðû ui â äàííîì ñëó÷àå îïðåäåëåíû òîëüêî äëÿ äèíàìè÷åñêîé ïîäñèñòåìû, à ãàìèëüòîíèàíû äâóõ ïîäñèñòåì ìåæäó ñîáîé êîììóòèðóþò. Ââåäåì îïåðàòîð ûi (ωn ) ñëåäóþùèì îáðàçîì: ½ hg|ûi |g 0 i ïðè Eg − Eg0 = ωn , 0 hg|ûi (ωn )|g i = (1.6) 0 ïðè Eg − Eg0 6= ωn . Ðåëàêñàöèîííûé òåíçîð â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè ðàâåí: X (0) Gik (t) = eiωn t hui (ωn )uk i. (1.7) n Äëÿ ðåëàêñàöèîííîãî òåíçîðà (1.7) ñïåêòðàëüíàÿ ôîðìà ëèíèè åñòü ñóììà δ ôóíêöèé: X (0) gik (ω) = 2π hui (ωn )uk iδ(ω − ωn ). (1.8) n Ïîñêîëüêó êàê ðåëàêñàöèîííûé òåíçîð, òàê è åãî ñïåêòðàëüíàÿ ôîðìà, îïðåäåëÿþòñÿ ñóììîé íåçàâèñèìûõ ñëàãàåìûõ, ìîæíî ââåñòè ñîîòâåòñòâóþùèå ôóíêöèè äëÿ öåíòðàëüíûõ ëèíèé: gn(0) (ω) =2πδ(ω − ωn ); G(0) n (t) =hui (ωn )uk i. (1.9) (1.10) Âèäíî, ÷òî â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè ñïåêòðàëüíûå ôîðìû ëèíèé ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ðàññìàòðèâàåìîé ÷àñòîòû. 10.2 Ìîìåíòû îñíîâíûõ ëèíèé Äëÿ ïîëíîãî ãàìèëüòîíèàíà òàêóþ ïðîñòóþ êàðòèíó ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé, âîîáùå ãîâîðÿ, ïðåäñòàâèòü íåëüçÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ó÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ ïðèâåäåò íå òîëüêî ê èçìåíåíèþ ñïåêòðà, íî äëÿ áîëüøîãî ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû ïîäñèñòåìû b ïðèâåäåò ê áîëüøîìó ÷èñëó ïîïðàâîê ê óðîâíÿì ýíåðãèè äèíàìè÷åñêîé ïîäñèñòåìû, ÷òî â ñâîþ î÷åðåäü ïðèâåäåò ê áîëüøîìó ÷èñëó áëèçêî ðàñïîëîæåííûõ ÷àñòîò â ðåëàêñàöèîííîì òåíçîðå Gik (t). Åñòåñòâåííî, èíòåíñèâíîñòü (àìïëèòóäà) ðàçëè÷íûõ ëèíèé áóäåò îòëè÷àòüñÿ, ÷òî â ñïåêòðàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè áóäåò ýôôåêòèâíî âûãëÿäåòü êàê íåêîòîðîå óøèðåíèå ëèíèè 1 . 1 Âìåñòî õîðîøî ðàçäåëåííûõ ëèíèé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îïèñûâàåòñÿ δ -ôóíêöèåé, ñïåêòðàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå çàìåíÿåòñÿ îãèáàþùåé ýòèõ îòäåëüíûõ ëèíèé, ÷òî è ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñïåêòðàëüíîé ëèíèè ñ öåíòðîì, ñîâïàäàþùèì ñ îäíîé èç íåâîçìóùåííûõ ÷àñòîò ïåðåõîäà, èìåþùèì êîíå÷íóþ øèðèíó. Îòëè÷èå ôîðìû ñïåêòðàëüíîé ëèíèè îò δ -ôóíêöèè äëÿ ðåëàêñàöèîííîãî òåíçîðà áóäåò ýêâèâàëåíòíî íàëè÷èþ ýôôåêòèâíîé ðåëàêñàöèè. Òåì íå ìåíåå ìîæíî îæèäàòü, ÷òî ñïåêòðàëüíàÿ ëèíèÿ áóäåò áëèçêà ê ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî öåíòðàëüíîé ÷àñòîòû, ïîýòîìó ñïåêòðàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü ìîìåíòàìè ëèíèè â ñîîòâåòñòâèè ñ ìåòîäàìè ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. À èìåííî, îïðåäåëèì k -ìîìåíò öåíòðàëüíîé ëèíèè ωn : Z∞ Z∞ ωnk = ω k gn (ω)dω, ãäå gn (ω) = Gn (t)e−i(ω−ωn )t dt. (2.1) −∞ −∞ Ìû çäåñü äëÿ ïðîñòîòû, êàê è â ôîðìóëå (1.9) îïóñòèëè òåíçîðíûå èíäåêñû. Ïàðöèàëüíûé ðåëàêñàöèîííûé òåíçîð Gn (t) îïðåäåëÿåòñÿ î÷åâèäíûì îáðàçîì: Gn (t) = hui (t)uk i = hui (ωn , t)uk i ≡ eiωn t GI,n (t), (2.2) ãäå âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü îðòîãîíàëüíîãî îïåðàòîðà ui (ωn , t) îïðåäåëÿåòñÿ â ïðåäñòàâëåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ: dui i = [VI (t), ui ] , dt ~ (2.3) à GI,n (t) ðåëàêñàöèîííûé òåíçîð â ïðåäñòàâëåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ. Çäåñü îïåðàòîð VI (t) â ïðåäñòàâëåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ îïðåäåëåí îáû÷íûì îáðàçîì äëÿ ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì (1.1). Òåïåðü ëåãêî ïîëó÷èòü, ÷òî ìîìåíòû ëèíèé ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç ïðîèçâîäíûå îò ïàðöèàëüíîãî ðåëàêñàöèîííîãî òåíçîðà: ωnk = (−i)k dn Gn (t) |t=0 dtn (2.4) Òàêèì îáðàçîì, åñëè èçâåñòíû âñå ìîìåíòû ëèíèé, ìîæíî çàïèñàòü: G(t) = X n ∞ k XX i k k Gn (t) = ω t . k! n n k=0 (2.5) Ôîðìóëó (2.5) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü, âîñïîëüçîâàâøèñü îïðåäåëåíèåì (2.2): G(t) = X iωn t e GI,n (t) = n X n iωn t e ∞ k X i ∆ωnk tk , k! k=0 (2.6) ãäå òåïåðü ìîìåíòû ëèíèè îïðåäåëåíû â ïðåäñòàâëåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ: ∆ωnk = dn hui (ωn , t)uk i |t=0 dtn (2.7) Ìîìåíòû ëèíèè ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç êîììóòàòîðû, äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó óðàâíåíèÿ (2.3) èìååì: dn GI,n (t) |t=0 = dtn µ ¶k i − h[ui (ωn , t); V, . . . , V ] uk i. ~ (2.8) Çäåñü ââåäåíî îáîçíà÷åíèå: [A; B1 , B2 , . . . , Bn ] = [. . . [[A, B1 ] , B2 ] , . . . , Bn ] . (2.9) Ê ñîæàëåíèþ, âû÷èñëèòü ìîìåíòû âñåõ ïîðÿäêîâ äëÿ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé íå óäàåòñÿ è, ñîîòâåòñòâåííî, íå óäàåòñÿ è ïðîñóììèðîâàòü ðÿä (2.5), ïîýòîìó åãî ïðèõîäèòñÿ îáðûâàòü. Îäíàêî ýòî ïðèâîäèò ñðàçó ê ñëåäñòâèþ, ÷òî ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà îêàçûâàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé òîëüêî äëÿ êîðîòêèõ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ êðèòåðèè ïðèìåíèìîñòè âðåìåííîé òåîðèè âîçìóùåíèé â ñëó÷àå âû÷èñëåíèÿ ïîïðàâêè ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîðÿäêà. Ïîýòîìó, ÷òîáû èçáåæàòü íåæåëàòåëüíîãî îãðàíè÷åíèÿ ïðèìåíèìîñòè ôîðìóëû (2.5) ñ ó÷åòîì êîíå÷íîãî ÷èñëà ÷ëåíîâ, çàìåíÿþò åå äðóãîé, èíòåðïîëÿöèîííîé, êîòîðàÿ îáëàäàåò íóæíîé àñèìïòîòèêîé è ñîâïàäàþùåò íà ìàëûõ ïðîìåæóòêàõ âðåìåíè ñ ðåàëüíîé ôóíêöèåé ñ òî÷íîñòüþ äî ñîîòâåòñòâóþùåãî ÷èñëà ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Òåéëîðà ïî ñòåïåíÿì t. Ìû çäåñü íå áóäåì ïðîäåëûâàòü ýòó ïðîöåäóðó â îáùåì âèäå, à ïðîèëëþñòðèðóåì òîëüêî äëÿ îäíîãî èç âîçìîæíûõ ïðèáëèæåíèé. 10.3 Ñåêóëÿðíûå âçàèìîäåéñòâèÿ. Ìåòîä ñåìèèíâàðèàíòîâ (êóìóëÿíòîâ) Âñïîìíèì íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû òåîðèè âîçìóùåíèé.  ñòàöèîíàðíîé òåîðèè âîçìóùåíèé (à èìåííî ýòîò ñëó÷àé ðàññìàòðèâàåòñÿ â äàííîé ãëàâå) ïîïðàâêà ïåðâîãî ïîðÿäêà ê óðîâíÿì ýíåðãèè äëÿ íåâûðîæäåííîãî ñïåêòðà îïðåäåëÿåòñÿ äèàãîíàëüíûì ìàòðè÷íûì ýëåìåíòîì. Äëÿ âûðîæäåííîãî ñïåêòðà ïîïðàâêè ê äàííîìó óðîâíþ ýíåðãèè òàêæå áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ äèàãîíàëüíûìè ìàòðè÷íûìè ýëåìåíòàìè âîçìóùåíèÿ, íî äëÿ ïðàâèëüíûõ ôóíêöèé íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ. Âñåãäà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ íåâîçìóùåííîãî ãàìèëüòîíèàíà âûáðàíû ïðàâèëüíûå ôóíêöèè. Òîãäà î÷åâèäíî, äèàãîíàëüíûå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ òîëüêî òîé ÷àñòüþ âîçìóùåíèÿ, êîòîðàÿ êîììóòèðóåò ñ íåâîçìóùåííûì ãàìèëüòîíèàíîì. Èíûìè ñëîâàìè, îïåðàòîð âîçìóùåíèÿ âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå: Vb = Vbsec + Vbns , (3.1) ãäå h i b 0 , Vbsec = 0, H h i b 0 , Vbns = H 6 0. Îïåðàòîð Vbsec íàçûâàåòñÿ ñåêóëÿðíîé ÷àñòüþ èëè ïðîñòî ñåêóëÿðíûì âçàèìîäåéñòâèåì. Î÷åâèäíî, ñåêóëÿðíîå âçàèìîäåéñòâèå èìååò îòëè÷íûå îò íóëÿ òîëüêî äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ïî ñîñòîÿíèÿì íåâîçìóùåííîãî ãàìèëüòîíèàíà, à íåñåêóëÿðíàÿ ÷àñòü âçàèìîäåéñòâèÿ Vbns èìååò îòëè÷íûå îò íóëÿ òîëüêî íåäèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû. Ñåêóëÿðíàÿ ÷àñòü âçàèìîäåéñòâèÿ ïðèâîäèò ê ðàñùåïëåíèþ öåíòðàëüíûõ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé, ÷òî è íàáëþäàåòñÿ êàê åå ýôôåêòèâíîå óøèðåíèå. Íåñåêóëÿðíàÿ ÷àñòü âçàèìîäåéñòâèÿ ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ íîâûõ, êîìáèíèðîâàííûõ ÷àñòîò ωn + ωn0 , ÷òî ïðîÿâëÿåòñÿ êàê ïîÿâëåíèå ñàòåëëèòîâ (êðûëüåâ) îñíîâíîé ëèíèè. Åñëè ëèíèé â ñïåêòðå g(ω) ìíîãî, ñàòåëëèòû ìîãóò ëèáî íå ïðîÿâëÿòüñÿ, ëèáî ñìåøèâàòüñÿ ñ äðóãèìè ëèíèÿìè è ìîãóò áûòü ðàçðåøåíèÿ òîëüêî ïðè ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷íîñòè (ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè) ïðèáîðîâ. Åñëè æå òî÷íîñòü ïðèáîðîâ íåäîñòàòî÷íà èëè íàáëþäàòåëü ñïåöèàëüíî íå èíòåðåñóåòñÿ äåòàëüíîé ñòðóêòóðîé ëèíèè, íåñåêóëÿðíîé ÷àñòüþ âçàèìîäåéñòâèÿ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ìû çäåñü áóäåì èíòåðåñîâàòüñÿ òîëüêî ñåêóëÿðíûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè. Òîãäà Vsec,I (t) = Vbsec è íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Îãðàíè÷èìñÿ ðàçëîæåíèåì òîëüêî äî âòîðîãî ìîìåíòà.  ýòîì ïðèáëèæåíèè â ôîðìóëå (2.6) äëÿ ïàðöèàëüíîãî ðåëàêñàöèîííîãî òåíçîðà èìååì: µ ¶ i 1 iωn t 2 Gn;ik (t) = e hui uk i + h[ui , Vsec ] uk it − 2 h[[ui , Vsec ] , Vsec ] uk it . (3.2) ~ 2~ Âñïîìíèì ñâîéñòâà îðòîãîíàëüíûõ îïåðàòîðîâ: hui uk i = Tr(ui uk ) = δik , l h[ui , Vsec ] uk i = Tr([uk , ui ]Vsec ) = −iCik Tr(Vsec ul ) = −i~Ωik ; 2 h[[ui , Vsec ] , Vsec ] uk i = ~2 σlk . (3.3)  ôîðìóëàõ (3.3) ìîæíî ðàçëîæèòü ñåêóëÿðíóþ ÷àñòü âçàèìîäåéñòâèÿ ïî îðòîãîíàëüíûìè îïåðàòîðàì è ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ìîìåíòîâ: l l l ~Ωik = Cik Tr(Vsec ul ) = Cik Vj Tr(uj ul ) = Cik Vl . (3.4) Ìû çäåñü ó÷ëè îðòîãîíàëüíîñòü îïåðàòîðîâ. Äëÿ âòîðîãî ìîìåíòà ïîëó÷àåì: h[[ui , Vsec ] , Vsec ] uk i = − h[ui , Vsec ] [uk , Vsec ]i = n 2 −Vj Vl Tr([ui , uj ][uk , ul ]) =Cijm Ckl Vj Vl Tr(um un ) = ~2 σlk (3.5) Êàê âèäíî èç ôîðìóëû (3.5), âòîðîé ìîìåíò âñåãäà íåîòðèöàòåëåí. Îáû÷íî ðåëàêñàöèîííûé òåíçîð îïðåäåëÿþò äëÿ äèàãîíàëüíûõ êîìïîíåíòîâ, òîãäà, â ñèëó ïåðåñòàíîâî÷íûõ àíòèñèììåòðèéíûõ ñâîéñòâ êîýôôèöèåíòîâ l Cik ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ïåðâûé ìîìåíò ðàâåí íóëþ è îñòàåòñÿ òîëüêî êâàäðàòè÷íàÿ çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè. Ïîëó÷åííóþ ôóíêöèþ çàìåíÿþò ãàóññîâîé ýêñïîíåíòîé: ¶ µ 1 2 2 (3.6) Gn (t) ≈ exp iωn t − σn t . 2 Ïðîäåëàííàÿ âûøå ïðîöåäóðà ýêâèâàëåíòíà çàìåíå óñðåäíåíèÿ ýêñïîíåíòû óñðåäíåíèåì åå ïîêàçàòåëÿ, êîãäà â ïîêàçàòåëü ïîäñòàâëÿåòñÿ ñðåäíåå çíà÷åíèå êîððåëÿòîðà îòêëîíåíèé îò öåíòðàëüíîé ÷àñòîòû ñåìèèíâàðèàíòà (èëè êóìóëÿíòà). Ïîýòîìó ðàññìîòðåííûé ìåòîä è íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì ñåìèèíâàðèàíòîâ (ïîëóèíâàðèàíòîâ). Ïîëíàÿ ðåëàêñàöèîííàÿ ôóíêöèÿ (òåíçîð) ðàâíà ñóììå ïàðöèàëüíûõ ðåëàêñàöèîííûõ ôóíêöèé: ¶ µ X 1 2 2 (3.7) G(t) = exp iωn t − σn t . 2 n Ôóíêöèþ (3.6) ìîæíî óòî÷íÿòü, âû÷èñëÿÿ ñëåäóþùèå ìîìåíòû, îäíàêî ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî â ñëåäóþùèõ ïîðÿäêàõ óæå íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü íåñåêóëÿðíóþ ÷àñòü âçàèìîäåéñòâèÿ, êîãäà íàðÿäó ñ çàòóõàþùèìè ñëàãàåìûìè ïîÿâÿòñÿ è ñäâèãè ÷àñòîòû. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò, êîíå÷íî æå íå îïèñûâàåò òî÷íóþ ðåëàêñàöèîííóþ ôóíêöèþ äåòàëüíî, îäíàêî åãî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îïèñàíèå îãèáàþùåé ñïåêòðàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòîò â àíñàìáëå ïîäñèñòåì, âçàèìîäåéñòâèå êîòîðûõ ñ îêðóæàþùåé áîëüøîé ñèñòåìîé (òåðìîñòàòîì) èìååò ñòîõàñòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ïî àíñàìáëþ, íî íå ïî âðåìåíè.  ýòîì ñëó÷àå èñòèííàÿ ðåëàêñàöèÿ îòñóòñòâóåò, ïîñêîëüêó íåò ìåõàíèçìà óñòàíîâëåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Îäíàêî, áëàãîäàðÿ ñòîõàñòè÷åñêîìó õàðàêòåðó âçàèìîäåéñòâèÿ ïîäñèñòåì â àíñàìáëå, äëÿ ñðåäíèõ ïî àíñàìáëþ âåëè÷èí ñ òå÷åíèåì âðåìåíè íàðóøàåòñÿ êîððåëÿöèÿ, ÷òî ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü êàê ðåëàêñàöèþ ñðåäíèõ âåëè÷èí (è èíôîðìàöèè) â àíñàìáëå. Òàêóþ ðåëàêñàöèþ íàçûâàþò íåîäíîðîäíûì óøèðåíèåì ñïåêòðàëüíîé ëèíèè. ×àñòî â ñèñòåìàõ íàáëþäàþòñÿ íàðÿäó ñ íåîäíîðîäíûì âçàèìîäåéñòâèåì òàêæå è íåñòàöèîíàðíûå ïðîöåññû, êîãäà ñòîõàñòè÷åñêîå âçàèìîäåéñòâèå ìîæåò èçìåíÿòüñÿ â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè. Òàêîé ïðîöåññ ìîæíî îïèñàòü ñ ïîçèöèé äèôôóçèè è â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå ìû ðàññìîòðèì åãî îïèñàíèå. 10.4 Òåíçîð ðåëàêñàöèè ïðè íàëè÷èè äèôôóçèè Ïóñòü âçàèìîäåéñòâèå â ãàìèëüòîíèàíå (1.1) ïî-ïðåæíåìó íå çàâèñèò îò âðåìåíè, îäíàêî ñàìà äèíàìè÷åñêàÿ ïîäñèñòåìà a ìîæåò èçìåíÿòü ñîâå ïîëîæåíèå ïî îòíîøåíèþ ê òåðìîñòàòó â ïðîèçâîëüíûå ìîìåíòû âðåìåíè, òàê ÷òî ýôôåêòèâíî âçàèìîäåéñòâèå ñêà÷êîîáðàçíî èçìåíÿåòñÿ â ìîìåíò ti ïåðåõîäà ïîäñèñòåìû. Ïðè ýòîì èçìåíÿåòñÿ íå âèä âçàèìîäåéñòâèÿ, à åãî ïàðàìåòðû (âåëè÷èíà âçàèìîäåéñòâèÿ). Âèäíî, ÷òî ñàìà ïîñòàíîâêà çàäà÷è ýêâèâàëåíòíà ðàññìîòðåíèþ ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà. Èòàê, ñäåëàåì íåêîòîðûå ïðåäïîëîæåíèÿ. 1. Âçàèìîäåéñòâèå ñëó÷àéíî ìåíÿåòñÿ (ïî âåëè÷èíå) è îïèñûâàåòñÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé Vb (t) òàêîé, ÷òî â ìîìåíòû âðåìåíè ìåæäó ñîñåäíèìè ñêà÷êàìè çíà÷åíèÿ Vb (ti ) è Vb (ti+1 ) ñîâåðøåííî íåñêîððåëèðîâàíû. 2. Ïðîöåññ èçìåíåíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ïîäñèñòåìû ñ òåðìîñòàòîì ïðîèñõîäèò ìãíîâåííî ïî ñðàâíåíèþ ñ âðåìåíåì ∆ti íàõîæäåíèÿ ïîäñèñòåìû â êàæäîì ïîëîæåíèè. Îáîçíà÷èì âåðîÿòíîñòü ïåðåñêîêà ïîäñèñòåìû â åäèíèöó âðåìåíè λ, ïðè÷åì ñàìà âåðîÿòíîñòü ïåðåñêîêà îò âðåìåíè íå çàâèñèò. Òîãäà î÷åâèäíî, åñëè ïîäñèñòåìà îêàçàëàñü â äàííîì ïîëîæåíèè â ìîìåíò âðåìåíè ti−1 , ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè î÷åðåäíîãî ïåðåñêîêà â ìîìåíò âðåìåíè ti åñòü: w(ti , ti−1 ) = λ exp [−λ(ti − ti−1 )] . (4.1)  êàæäîì ïîëîæåíèè ïîâåäåíèå ïîäñèñòåìû ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ðåëàêñàöèîííûì òåíçîðîì Gik (t) ñ âçàèìîäåéñòâèåì, ñòîõàñòè÷åñêè ðàñïðåäåëåííûì ïî àíñàìáëþ ïîäñèñòåì. Ìû âèäåëè, ÷òî ðåëàêñàöèîííûé òåíçîð îïðåäåëÿåò êîìïîíåíòû ìàòðèöû ïëîòíîñòè â ìîìåíò âðåìåíè t, åñëè çàäàíî çíà÷åíèå êîìïîíåíò ìàòðèöû ïëîòíîñòè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. Ïîýòîìó ïàðàìåòðû ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè ïî îðòîãîíàëüíûì îïåðàòîðàì áóäóò çàâèñåòü îò íà÷àëüíîãî ìîìåíòà âðåìåíè t0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ôîðìóëó (??) ãëàâû 9 íóæíî îáîáùèòü: ρi (t) = Gik (t, t0 )ρk (t0 ). (4.2) Åñëè ïîäñèñòåìà â ìîìåíò âðåìåíè t0 = τ îêàçàëàñü â îêðóæåíèè ñ âçàèìîäåéñòâèåì Vb (t0 ) ∼ V0 , â ìîìåíò âðåìåíè t êîìïîíåíòû åå ìàòðèöû ïëîòíîñòè îïðåäåëÿþòñÿ êàê: ρi (t) = Gik (t, t − τ )ρk (τ ). (4.3) Ó÷òåì òåïåðü, ÷òî ìîìåíòû âðåìåíè τ ïðîèçâîëüíû è óñðåäíèì ïî íèì êîìïîíåíòû ìàòðèöû ïëîòíîñòè. Äëÿ àíñàìáëÿ ïîäñèñòåì èìååì: ρi (t) ≡Gik (t)ρk (0) = e−λt Gik (t)ρk (0)+ Zt +λ e−λ(t−τ ) Gik (t − τ )ρk (t)dτ. (4.4) 0 Ïåðâûé ÷ëåí â ôîðìóëå (4.4) îïðåäåëÿåò âêëàä â êîìïîíåíòó àíñàìáëÿ ïîäñèñòåì, íå èçìåíèâøèõ ñâîå ïîëîæåíèå çà âðåìÿ t. Èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå (4.4) îáû÷íî ðåøàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà. Ïðè ýòîì îáû÷íî äëÿ ëàïëàñ-îáðàçà ïîëó÷àåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïðîñòîå âûðàæåíèå: Z∞ Gik (p) = e−pt Gik (t)dt. (4.5) 0 Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå îïðåäåëÿåòñÿ âû÷åòàìè â ïîëþñàõ ïîëó÷àþùåãîñÿ ëàïëàñ-îáðàçà (4.5) è óæå íå ïðèâîäÿò â îáùåì ñëó÷àå ê ãàóññîâîé ýêñïîíåíòå.  ýòîì ñëó÷àå â ïîäñèñòåìå âîçíèêàåò èñòèííàÿ ðåëàêñàöèÿ.  ïðåäåëüíîì ñëó÷àå ìåäëåííîé äèôôóçèè òåíçîð äåïîëÿðèçàöèè îñòàåòñÿ ýôôåêòèâíî ãàóññîâûì, à ïðè áûñòðîé äèôôóçèè îí èìååò ýêñïîíåíöèàëüíûé õàðàêòåð.