Ëåêöèÿ XII 1)  ýòîé è â ïðåäûäóùåé ëåêöèè ÿ îò÷àñòè èñïîëüçóþ çàïèñè ëåêöèé Ñ.Â.Ôîìè÷åâà, à òàêæå êíèæêó È.Á.Õðèïëîâè÷à "Òåîðåòè÷åñêèé êàëåéäîñêîï". Ïðèìåíèì ïîëó÷åííûå íà ïðåäûäóùåé ëåêöèè ôîðìóëû äëÿ àíàëèçà ïîòåðü ýíåðãèè íà èçëó÷åíèå ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöåé, äâèæóùåéñÿ â îäíîðîäíîì ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ⃗ â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé B ⃗ . Èçëó÷åíèå ïðè âðàùåíèè â ìàãíèòíîì ïîëå ïîëå B íàçûâàåòñÿ ñèíõðîòðîííûì èëè ìàãíèòíîòîðìîçíûì. ⃗ , ìîùíîñòü ïîòåðü îïðåäåëÿåòñÿ ïî Ïðè äâèæåíèè ðàññìàòðèâàåìîãî òèïà, ⃗v ⊥ ⃗v˙ ⊥ B ôîðìóëå: [ ] 2 e2 γ 6 ˙ 2 ⃗v 2 ⃗v˙ 2 2 e2 γ 4 ˙ 2 dE = ⃗ v − = ⃗v . − dtr 3 c3 c2 3 c3 Äàëåå â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè: ] d⃗p m ⃗v˙ e [ ˙ ⃗ √ = = m γ ⃗v = ⃗v × B . 2 dt c 1 − vc2 Ñëåäîâàòåëüíî ⃗v˙ 2 = e2 v2 B 2 2 2 2 m c γ è − dE 2 e4 γ 2 v 2 B 2 = . dtr 3 m2 c 5 (0.1) Äëÿ óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû v ≈ c è ïîýòîìó dE ∼ γ2 ∼ E 2, dtr ò.å. ïîòåðè ýíåðãèè ïðîïîðöèîíàëüíû åå âòîðîé ñòåïåíè (E = m c2 γ ). Ñèíõðîòðîííîå èçëó÷åíèå ìîæíî ñ î÷åíü õîðîøåé òî÷íîñòüþ îïèñàòü ñ èñïîëüçîâàíèåì àïïàðàòà ñïåöôóíêöèé. Ýòî âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñà, ïîýòîìó ìû îãðàíè÷èìñÿ êà÷åñòâåííûìè îáùåôèçè÷åñêèìè ñîîáðàæåíèÿìè. Äëÿ íà÷àëà âîñïðîèçâåäåì âûøåóêàçàííûå ñâîéñòâà ñèíõðîòðîííîãî èçëó÷åíèÿ èç îáùåôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé. Ïðîäåëàåì ýòî, ïîëîæèâ ñêîðîñòü ñâåòà c = 1.  ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùåé âðàùàþùåìóñÿ ýëåêòðîíó ÈÑÎ èíòåíñèâíîñòü (èëè ÷òî òîæå ñàìîå ìîùíîñòü ïîòåðü) ðàâíà − dE e4 ∼ e2 (a′ )2 ∼ 2 (E ′ )2 . dtr m Êàê ìû çíàåì èç ïðåäûäóùåé ëåêöèè, ïîëíàÿ èíòåíñèâíîñòü â ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùåé ÈÑÎ ñîâïàäàåò ñ ìîùíîñòüþ ïîòåðü è ÿâëÿåòñÿ Ëîðåíö èíâàðèàíòîì. Çäåñü e è m çàðÿä è ìàññà ýëåêòðîíà, a åãî óñêîðåíèå, E íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ; a è E ñíàáæåíû øòðèõàìè, ÷òîáû óêàçàòü, ÷òî îíè îòíîñÿòñÿ ê ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùåé ÈÑÎ. E ′ ïîëó÷àåòñÿ èç ìàãíèòíîãî ïîëÿ B â ËÑÎ ïðåîáðàçîâàíèåì Ëîðåíöà W ≡− 1 E ′ ∼ B γ. Ïîýòîìó e4 2 2 B γ , m2 ÷òî, êàê âèäíî, âîñïðîèçâîäèò ïîëó÷åííûé âûøå ðåçóëüòàò. Åñëè âìåñòî ìàãíèòíîãî ïîëÿ B ôèêñèðîâàòü ðàäèóñ R òðàåêòîðèè ýëåêòðîíà (èëè, ÷òî òîæå ñàìîå â ðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå, ÷àñòîòó âðàùåíèÿ), ñâÿçàííûé ñ B ñîîòíîøåíèåì e B ∼ m γ/R, òî âûðàæåíèå äëÿ ìîùíîñòè ïîòåðü âûãëÿäèò êàê: W ∼ e2 γ 4 . R2 Î÷åâèäíî, ÷òî â íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ýëåêòðîí, âðàùàÿñü ñ ÷àñòîòîé Ëàðìîðà ω0 , áóäåò èçëó÷àòü äèñêðåòíûé ñïåêòð ÷àñòîò ωn = n ω0 , ãäå n ïðîáåãàåò çíà÷åíèÿ â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ. Ïðè ýòîì õàðàêòåðíàÿ ÷àñòîòà èçëó÷åíèÿ â íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå áóäåò îòâå÷àòü n ∼ 1.  íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ìîæíî ïðèìåíèòü ôîðìóëû äèïîëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ. Ïîýòîìó èçëó÷åíèå â ýòîì ñëó÷àå ïðàêòè÷åñêè îäíîðîäíî ïî óãëàì dI/dΩ ∼ sin2 θ, â îòëè÷èè îò ðåëÿòèâèñòñêîãî ñëó÷àÿ. Îáùèå õàðàêòåðèñòèêè óãëîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èçëó÷åíèÿ â ðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ìû îáñóäèëè íà ïðîøëîé ëåêöèè. Î÷åâèäíî, ÷òî âñå âûâîäû ñäåëàííûå òàì âåðíû è äëÿ ñëó÷àÿ ñèíõðîòðîííîãî èçëó÷åíèÿ. Ïðîàíàëèçèðóåì òåïåðü ÷àñòîòíûé ñïåêòð, ò.å. ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ïî ÷àñòîòàì, â ðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå. Äëÿ íà÷àëà îöåíèì õàðàêòåðíóþ ÷àñòîòó ñèíõðîòðîííîãî èçëó÷åíèÿ â ðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå. Âðàùàþùàÿñÿ ïî ðàäèóñó R ðåëÿòèâèñòñêàÿ ÷àñòèöà èçëó÷àåò âïåðåä ñ ðàññòâîðîì óãëà 1/γ .  çàäàííîì íàïðàâëåíèè èçëó÷åíèå ìîæåò èäòè ñ ÷àñòè òðàåêòîðèè, êîòîðàÿ èìååò äëèíó l ∼ R ∆θ ∼ R/γ è íàçûâàåòñÿ äëèíîé ôîðìèðîâàíèÿ èçëó÷åíèÿ èëè äëèíîé êîãåðåíòíîñòè. Âðåìÿ ôîðìèðîâàíèÿ èçëó÷åíèÿ â äàííîì íàïðàâëåíèè ñîîòâåòñòâåííî ðàâíî ∆tr ∼ R/γ c. Òîãäà äëèòåëüíîñòü ïðèåìà ñèãíàëà ðàâíà ( ) ( ) (⃗n, ⃗v ) 1 R 2 ∆t ∼ 1 − ∆tr ∼ + θ ∆t ∼ . r c γ2 c γ3 W ∼ Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî õàðàêòåðíàÿ ÷àñòîòà èçëó÷åíèÿ â γ 3 ðàç áîëüøå, ÷åì ÷àñòîòà îáðàùåíèÿ ÷àñòèöû ïî îêðóæíîñòè: 1 γ3 c ∼ ∼ γ 3 ω0 . ∆t R Ò.å. õàðàêòåðíîå çíà÷åíèå ωc /ω0 ≡ nc ∼ γ 3 ≫ 1. Ïðè ýòîì, òàê êàê ðàññòîÿíèå ìåæäó ëèíèÿìè ñïåêòðà ïîðÿäêà ω0 , à ωc ≫ ω0 , òî â óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ñïåêòð ìîæíî ñ÷èòàòü ïðàêòè÷åñêè íåïðåðûâíûì. Ãðàôèê ðàñïðåäåëåíèÿ ìîùíîñòè ïîòåðü Wω ñèíõðîòðîííîãî èçëó÷åíèÿ ïî ÷àñòîòàì èçîáðàæåí íà ðèñóíêå (1). Êàê âèäíî ïðè ÷àñòîòå ω > ωc èíòåíñèâíîñòü î÷åíü áûñòðî ñïàäàåò. Ìíå íå èçâåñòíî, êàê ìîæíî âîññòàíîâèòü èç îáùåôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ïîâåäåíèå ãðàôèêà â ýòîé ÷àñòè ñïåêòðà, íî åãî õàðàêòåðíîå ïîâåäåíèå Wω ∼ e−const ω/ωc ëåãêî óãàäûâàåòñÿ. Ïðè ω < ωc íàáëþäàåòñÿ ìåäëåííûé ðîñò. Åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïðè ìàëûõ ÷àñòîòàõ, ω . ωc , ñïåêòð èìååò ñòåïåííîå ïîâåäåíèå: Wω ∼ ω ν , ãäå ν íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà. ωc ∼ 2 Ðèñ. 1: Ïî âåðòèêàëüíîé îñè ýòîãî ãðàôèêà îòëîæåíà ìîùíîñòü ïîòåðü ïðè äàííîé ÷àñòîòå Wω . Ïî ãîðèçîíòàëüíîé ω . Ïèê ãðàôèêà ïðèõîäèòñÿ íà ωc .  ñèëó áûñòðîãî ñïàäà ∫ ω ïðè ω > ωc , îñíîâíîé âêëàä â ïîëíóþ ìîùíîñòü íàáèðàåòñÿ íà ìàëûõ ÷àñòîòàõ W ∼ 0 c dω Wω ∼ ωcν+1 ∼ γ 3 (ν+1) . Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííûé îòâåò ñ èçâåñòíûì íàì âûðàæåíèåì W ∼ γ 4 , ïîëó÷àåì, ÷òî ν = 1/3, ò.å. Wω ∼ ω 1/3 ∼ n1/3 ïðè ω < ωc . ×òî äåéñòâèòåëüíî âåðíî âîñïðîèçâîäèò áîëåå òî÷íîå âû÷èëåíèå. Çàðÿä ïîìåñòèëè â ìàëåíüêóþ ñôåðè÷åñêóþ êîðîáî÷êó, ñòåíêè êîòîðîé æåñòêî ê íåìó ïðèâÿçàíû è ñîñòîÿò èç ôîòîïëåíêè. Ýòó êîðîáî÷êó ñ çàðÿäîì íà÷àëè áûñòðî âðàùàòü ïî îêðóæíîñòè. Çàñâåòèòñÿ ëè ôîòîïëåíêà? Ìîòèâèðóéòå îòâåò. 2) Òåïåðü ìû îáðàòèìñÿ ê èçó÷åíèþ âîïðîñà î ðåàêöèè çàðÿæåííîé ÷àñòèöû íà ñîçäàí- íîå åþ èçëó÷åíèå. Äëÿ ïîëíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è áåçóñëîâíî ìû äîëæíû ðåøàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé: { ∫ ∂µ F µν (x) = 4 π e dτ uν (τ ) δ (4) [x − z(τ )] m c wµ = ec F µν uν + F0µ , (0.2) ãäå F0µ âíåøíÿÿ 4ñèëà (êîòîðàÿ ñàìà íåðåäêî áûâàåò ÝÌ ïðîèñõîæäåíèÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîðîæäàåòñÿ êàêèìèòî âíåøíèìè çàðÿäàìè), çàñòàâëÿþùàÿ íàøó ÷àñòèöó äâèãàòüñÿ óñêîðåííî. Íî âñþäó â ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ ìû ðåøàëè ëèáî âòîðîå óðàâíåíèå ïðè çàäàííîì âíåøíåì ïîëå, ïðåíåáðåãàÿ ïðè ýòîì ïîëåì, ñîçäàâàåìûì ÷àñòèöåé, ëèáî æå ïåðâîå óðàâíåíèå ïðè çàäàííîì äâèæåíèè ÷àñòèöû, ïðåíåáðåãàÿ ïðè ýòîì îòêëèêîì èçëó÷åíèÿ íà äâèæåíèå ÷àñòèöû. Åäèíñòâåííîå òî÷íîå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé, êîòîðîå èçâåñòíî ìíå ýòî ñèòóàöèÿ, êîãäà F0µ = 0 è åäèíñòâåííàÿ ÷àñòèöà, ïîêîèòñÿ ñîçäàâàÿ ïîëå Êóëîíà. Åñëè íå îøèáàþñü, âñå îñòàëüíûå òî÷íî ðåøàåìûå çàäà÷è â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè ïîëó÷àþòñÿ èç ýòîé ïðåîáðàçîâàíèåì Ëîðåíöà1 . Íàïðèìåð, óæå äàæå ñèòóàöèÿ ñ äâóìÿ çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè èìååò òîëüêî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå, ò.ê. ÷àñòèöû, âçàèìîäåéñòâóÿ äðóã ñ äðóãîì, äâèãàþòñÿ óñêîðåííî, à ñëåäîâàòåëüíî, ñîçäàþò ÝÌ èçëó÷åíèå 1 Ìîæíî, êîíå÷íî, åùå äîáàâèòü íåñêîëüêî áàíàëüíûõ ïðèìåðîâ âðîäå ñèòóàöèè ñ ãðóïïîé ñòàòè÷åñêèõ çàðÿäîâ, êîòîðûå äåðæàò âíåøíèè ñèëû. 3 è ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ñòàíîâèòñÿ ñëîæíåå äàæå çàäà÷è ìíîãèõ òåë, ò.ê. âêëþ÷àåò â ñåáÿ åùå è ïîëå (ñâåðõ äâóõ ÷àñòèö). Îäíàêî íåðåäêî ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ïîçâîëÿåò ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ñ äîñòàòî÷íî õîðîøåé òî÷íîñòüþ. Íàïðèìåð, äâèæåíèå èçëó÷àþùåé ÷àñòèöû ìîæíî ñ÷èòàòü çàäàííûì â òîì ñëó÷àå, êîãäà âëèÿíèå èçëó÷åíèÿ íà äâèæåíèå ìàëî. Êîëè÷åñòâåííûé êðèòåðèé ìàëîñòè ðåàêöèè èçëó÷åíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü, ñðàâíèâàÿ ïîòåðþ ýíåðãèè íà èçëó÷åíèå çà íåêîòîðîå âðåìÿ ∆t ñ èçìåíåíèåì êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû ïîä äåéñòâèåì âíåøíèõ ñèë çà òî æå âðåìÿ. Îöåíèì îáå ýíåðãèè â ÑÎ, â êîòîðîé, ñêîðîñòü ÷àñòèöû ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà: 2 e2 v̇ 2 ∆t 2 e2 v̇ ∆v = , 3 c3 3 c3 ãäå ∆v èçìåíåíèå ñêîðîñòè çà âðåìÿ ∆t. Ïðè ýòîì ∆Ekin = m v ∆v . Íåðàâåíñòâî ∆Erad ≪ ∆Ekin äàåò ∆Erad = 2 e2 v̇ ≪ m v. 3 c3 Ñëåäîâàòåëüíî ∆t ≈ v 2 e2 re ≫ ∼ , 3 v̇ 3mc c (0.3) ãäå re = e2 /m c2 êëàññè÷åñêèé ðàäèóñ ÷àñòèöû (ýëåêòðîíà, íàïðèìåð). Îáúÿñíèì ïðîèñõîæäåíèå ýòîé âåëè÷èíû. Ðàâíîìåðíî çàðÿæåííûé øàð ðàäèóñà r è çàðÿäà e èìååò ýëåêòðîñòàòè÷åñêóþ ýíåðãèþ e2 /r. Ñëåäîâàòåëüíî ýëåêòðîñòàòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òî÷å÷íîé ÷àñòèöû ðàâíà áåñêîíå÷íîñòè, ò.ê. r → 0. Ïðåäïîëàãàÿ æå, ÷òî ýëåêòðîñòàòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû è îïðåäåëÿåò åå ýíåðãèþ ïîêîÿ e2 /re = m c2 , íàõîäèì, ÷òî åå ðàäèóñ ðàâåí re = e2 /m c2 . Áåçóñëîâíî ýòî î÷åíü ãðóáîå ðàññóæäåíèå.  ÷àñòíîñòè ýëåêòðîí íåñåò çàðÿä íå òîëüêî ïî ÝÌ ïîëþ, íå ãîâîðÿ óæå î òîì, ÷òî â ñìûñëå êâàíòîâîé òåîðèè åãî íåëüçÿ ðàññìàòðèâàòü êàê òî÷å÷íóþ ÷àñòèöó. Ïîýòîìó âûøåïðèâåäåííîå ðàññóæäåíèå ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü ëèøü êàê ïðîñòî îïðåäåëåíèå òàêîé âåëè÷èíû êàê êëàññè÷åñêèé ðàäèóñ ÷àñòèöû (ýëåêòðîíà). Ïîëó÷åííîå æå íàìè óñëîâèå (0.3) ïîêàçûâàåò, ÷òî õàðàêòåðíûé ìàñøòàá âðåìåíè äëÿ èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè ÷àñòèöû äîëæåí ïðåâûøàòü âðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÝÌ âîëíû íà ðàññòîÿíèå ïîðÿäêà êëàññè÷åñêîãî ðàäèóñà ÷àñòèöû. Äëÿ ýëåêòðîíà ýòî âðåìÿ te ≈ 0, 63 · 10−23 ñ. Ïðè ïåðèîäè÷åñêîì èëè êâàçèïåðèîäè÷åñêîì äâèæåíèè êðèòåðèé èìååò âèä: T ≫ te èëè ω te ≪ 1, ãäå T = 2 π/ω ïåðèîä äâèæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ðåàêöèþ ÷àñòèöû íà èçëó÷åíèå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìàëûé ýôôåêò, åñëè äâèæåíèå ÷àñòèöû äîñòàòî÷íî ïëàâíîå: åå ñîñòîÿíèå ñëàáî ìåíÿåòñÿ çà âðåìÿ te èëè íà ðàññòîÿíèÿõ ïîðÿäêà re = c te . Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ìîæíî ïîïûòàòüñÿ ó÷åñòü âëèÿíèå ðåàêöèè èçëó÷åíèÿ íà äâèæåíèå ÷àñòèöû â ðàìêàõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé, ñ÷èòàÿ åå ìàëîé ïîïðàâêîé. Ðàññìîòðèì äâèæåíèå íåðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ñèëû F⃗0 . Äëÿ ó÷åòà ðåàêöèè íà èçëó÷åíèå äîáàâèì â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ýôôåêòèâíóþ ñèëó F⃗rad : m ⃗v˙ = F⃗0 + F⃗rad 4 Ñêîíñòðóèðóåì ýòó ñèëó òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû åå ðàáîòà çà åäèíèöó âðåìåíè (ò.å. ìîùíîñòü) áûëà áû ðàâíà ýíåðãèè èçëó÷àåìîé ÷àñòèöåé çà åäèíèöó âðåìåíè: ) dE 2 e2 2 e2 d ( ˙ ) 2 e2 ( ¨) F⃗rad , ⃗v = − = − 3 ⃗v˙ 2 = − 3 ⃗v , ⃗v + 3 ⃗v , ⃗v . dt 3c 3 c dt 3c Ñòðîãî ýòî ðàâåíñòâî, êàê âèäíî, óäîâëåòâîðèòü íå âîçìîæíî. Íî, åñëè äâèæåíèå ÷àñòèöû ôèíèòíîå, òî ïðè óñðåäíåíèè ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè çàíóëÿåòñÿ, è ìû ìîæåì çàïèñàòü çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè â ñðåäíåì: ( ( ) 2 e2 ( ) ⃗ Frad , ⃗v = 3 ⃗v , ⃗v¨ . 3c Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî âûáðàòü 2 e2 F⃗rad = 3 ⃗v¨ 3c (0.4) Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ Ëîðåíöåâîé ñèëîé ðàäèàöèîííîãî òîðìîæåíèÿ. Ïðè ýòîì èíòåãðàëüíî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ñîáëþäåí.  èòîãå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû èìååò âèä: 2 e2 ¨ ˙ ⃗ m ⃗v = F0 + 3 ⃗v . 3c Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå äîâîëüíî íå îáû÷íî è ïðèâîäèò ê ðÿäó ïðîòèâîðå÷èé. Ïðåæäå âñå... ãî, îíî ñîäåðæèò ⃗r . Òàêàÿ ñòðóêòóðà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, êàê âû äîëæíû áûëè óñâîèòü íà ïåðâîé ëåêöèè, íàõîäèòñÿ â ïðîòèâîðå÷èè ñ îñíîâíûìè ïîëîæåíèÿìè êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè, âñÿ ñõåìà êîòîðîé ïðåäïîëàãàåò, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äîëæíû èìåòü âòîðîé ïîðÿäîê ïî ïðîèçâîäíûì ïî âðåìåíè. Ïîýòîìó íåêîòîðûå åãî ðåøåíèÿ îêàçûâàþòñÿ ôè2 çè÷åñêèìè áåññìûñëåííûìè. Íàïðèìåð, ïðè F⃗0 = 0 óðàâíåíèå ⃗v˙ = 32me c3 ⃗v¨ èìååò ðåøåíèå âèäà ⃗v (t) = ⃗v0 + ⃗v1 et/τ , ãäå τ = 2 e2 /3 m c3 , à ⃗v0 è ⃗v1 íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå âåêòîðà. Ïîëó÷åííîå íàìè ðåøåíèå îïèñûâàåò íåîãðàíè÷åííîå ñàìîóñêîðåíèå ÷àñòèöû â îòñóòñòâèè âíåøíèõ ñèë. Ýòî ïðîèñõîäèò ïîòîìó, ÷òî ðàññìîòðåííîå íàìè ýôôåêòèâíîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ îïèñûâàåò íåçàìêíóòóþ ñèñòåìó, èç êîòîðîé èñêëþ÷åíû ÝÌ ïîëÿ. Èçëó÷àåò ëè ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî óñêîðÿþùèéñÿ çàðÿä? Ìîòèâèðóéòå ñâîé îòâåò. 3) Ïîÿñíèì ñèòóàöèþ íà ïðèìåðå ïðîñòîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû. Ðàññìîòðèì äâà øàðèêà îäèíàêîâîé ìàññû m, ñîåäèíåííûõ ïðóæèíàìè æåñòêîñòè k äðóã ñ äðóãîì è ñî ñòåíêàìè, êàê èçîáðàæåíî íà ðèñ. (2). Ïóñòü x1 è x2 ñìåùåíèÿ ïåðâîãî è âòîðîãî øàðèêîâ èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Òîãäà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ øàðèêîâ èìåþò âèä: { m ẍ1 = −k x1 − k (x1 − x2 ) = −2 k x1 + k x2 m ẍ2 = −k x2 − k (x2 − x1 ) = −2 k x2 + k x1 (0.5) ß õî÷ó ðåøèòü ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî x2 è íàéòè óðàâíåíèå äâèæåíèÿ òîëüêî äëÿ ïåðâîãî èç øàðèêîâ äëÿ x1 . Äâàæäû ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ïåðâîå óðàâíåíèå, 5 Ðèñ. 2: .... ïîëó÷èì m x 1 = −2 k ẍ1 + k ẍ2 . Ïîäñòàâèì â ïîëó÷åííîå óðàâíåíè ẍ2 èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ: k .... m x 1 = −2 k ẍ1 + (−2 k x2 + k x1 ) . m Ïîäñòàâèì â ýòî óðàâíåíèå x2 , âûðàçèâ åãî ÷åðåç x1 è ẍ1 èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå òîëüêî íà x1 : .... m x 1 = −4 k ẍ1 − 3 k x1 . Ò.å., ÿâíî èñêëþ÷èâ èç ðàññìîòðåíèÿ îäíó èç ÷àñòèö, äëÿ äðóãîé ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå, ñîäåðæàùåå áîëåå âûñîêèå ñòåïåíè ïî ïðîèçâîäíûì, ÷òî, â ÷àñòíîñòè, ïðèâîäèò ê ñàìîóñêîðÿþùèìñÿ ðåøåíèÿì. Àíàëîãè÷íî ïðè ïîèñêå ñèëû ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ, ìû ðåøèëè ñèñòåìó óðàâíåíèé (0.2) îòíîñèòåëüíî ÝÌ ïîëÿ Aµ è ïîäñòàâèëè ýòî ðåøåíèå âî âòîðîå óðàâíåíèå äëÿ ìèðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû. Ïîýòîìó ìû ïîëó÷èëè áîëåå âûñîêóþ, ÷åì âòîðàÿ ñòåïåíü ïî ïðîèçâîäíûì ïî âðåìåíè. Áîëåå òîãî, â îòëè÷èè îò ðàññìîòðåííîé òîëüêî ÷òî ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, äëÿ ñèñòåìû ÷àñòèöàïîëå ìû ýòî ñäåëàëè òîëüêî ïðèáëèæåííî. Ïîïðîáóéòå â ñèñòåìå óðàâíåíèé (0.2) èçáàâèòüñÿ îò ÝÌ ïîëÿ òî÷íî. Èñïîëüçóéòå äëÿ ýòîãî ôóíêöèþ Ãðèíà äëÿ ïîëÿ. Ïîïðîáóéòå âûâåñòè ñèëó ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ èç ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ. Íàéäèòå ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïîëó÷àþùèõñÿ ðàñõîäèìîñòåé.  ëþáîì ñëó÷àå, êîãäà ñèëà ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ âõîäèò â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ êàê ìàëàÿ äîáàâêà ê âíåøíèì ñèëàì, îïèñûâàåìàÿ ïî ìåòîäó ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé, òîãäà îíà äàåò ôèçè÷åñêè îñìûñëåííûå ðåçóëüòàòû. Ýòó ñèëó èñïîëüçóþò, ò.ê. â íåêîòîðûõ ïðèëîæåíèÿõ îíà î÷åíü óäîáíà, êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì. 4) Ó÷åò ñèëû ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ ïðèâîäèò ê íåêîòîðûì êà÷åñòâåííûì ýôôåêòàì ïðè ðàññìîòðåíèè èçëó÷åíèÿ è ðàññåÿíèÿ ÝÌ âîëí àòîìíûìè ñèñòåìàìè. Êîíå÷íî èçëó÷åíèå, ïîãëîùåíèå è ðàññåÿíèå ÝÌ âîëí àòîìíûìè ñèñòåìàìè ýòî ñóãóáî êâàíòîâûå ïðîöåññû, ïîñëåäîâàòåëüíîå îïèñàíèå êîòîðûõ âîçìîæíî òîëüêî íà îñíîâå êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè. Íî ìíîãèå êà÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè ýòèõ ÿâëåíèé õîðîøî ïåðåäàþòñÿ 6 ìîäåëüþ âçàèìîäåéñòâèÿ ÝÌ âîëí ñ ãàðìîíè÷åñêèì îñöèëëÿòîðîì çàðÿäîì, êîëåáëþùèìñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû Ãóêà, êîòîðàÿ ìîäåëèðóåò ðåàëüíóþ ñèëó â àòîìíîé ñèñòåìå. Ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ýëåêòðîíà ïîä äåéñòâèåì óïðóãîé ñèëû ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì: m ⃗r¨ + m ω02 ⃗r = 0 Åñëè áû íå áûëî èçëó÷åíèÿ, ýòî óðàâíåíèå òî÷íî îïèñûâàëî áû ïîâåäåíèå ÷àñòèöû, è ìû èìåëè áû äåëî ñ íåçàòóõàþùèìè ãàðìîíè÷åñêèìè êîëåáàíèÿìè ñ ÷àñòîòîé ω0 . Íî ðåàêöèÿ íà èçëó÷åíèå ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ ñèëû ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ, êîòîðóþ ñëåäóåò äîáàâèòü â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ: 2 e2 ... ⃗r . ⃗r¨ + ω02 ⃗r = 3 m c3  ïðèíöèïå ýòî óðàâíåíèå ìîæíî ðåøèòü òî÷íî, íî ò.ê. ìû â ëþáîì ñëó÷àå ðåøàåì ýòó çàäà÷ó ïðèáëèæåííî, òî áóäåì èñêàòü åå ðåøåíèå ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé, ñ÷èòàÿ ñèëó ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ ìàëîé.  íóëåâîì ïðèáëèæåíèè ⃗r¨ = −ω02 ⃗r, ïîýòîìó ... ⃗r = −ω02⃗r˙ . Òîãäà ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå óïðîùàåòñÿ äî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ îñöèëëÿòîðà ñ òðåíèåì: ⃗r¨ + Γ ⃗r˙ + ω02 ⃗r = 0, 2 e2 ω 2 ãäå Γ = 3 m c30 ≪ ω0 , åñëè õàðàêòåðíàÿ äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ λ0 ≫ re . Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä ⃗r(t) = Re ⃗r0 e−i ω t , ãäå |⃗r0 | íà÷àëüíàÿ àìïëèòóäà îñöèëëÿöèé, à i ω 2 − i ω Γ + ω02 = 0 ⇒ ω ≈ − Γ + ω0 , 2 åñëè Γ ≪ ω0 . Òàêèì îáðàçîì, ⃗r = Re ⃗r0 e− 2 t−i ω0 t . Γ ¨ ⃗ Ïîñêîëüêó ïîëå èçëó÷åíèÿ â âîëíîâîé çîíå ïðîïîðöèîíàëüíî d⃗ ∼ ⃗r¨ = −ω02 ⃗r, òî E(t) = Γ t−i ω t − 0 ⃗0 e 2 . Ôóðüå êîìïîíåíòû òàêîãî ïîëÿ ðàâíû E ∫ +∞ ⃗ω = E ⃗ ei ω t = dt E(t) 0 ⃗0 E . i (ω − ω0 ) − Γ2 Ò.å. èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ ñ äàííîé ÷àñòîòîé èìååò âèä: 2 1 ⃗ Iω ∼ E ω ∼ 2 (ω − ω0 )2 + Γ4 Èç òîãî, ÷òî ïîëíàÿ èíòåíñèâíîñòü ðàâíà I0 , íàõîäèì êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè: ∫ ∞ dω 2π I0 = C =C Γ2 2 Γ −∞ (ω − ω0 ) + 4 Ñëåäîâàòåëüíî: 7 Iω = Γ I0 2 π (ω − ω0 )2 + Γ2 4 . (0.6) Òàêàÿ ôîðìà ñïåêòðà íàçûâàåòñÿ Ëîðåíöåâîé ëèíèåé. Åñëè Γ → 0, ò.å. ðåàêöèÿ íà èçëó÷åíèå îòñóòñòâóåò, òî Iω = I0 δ(ω −ω0 ), ãäå ìû âîñïîëüçîâàëèñü îäíèì èç îïðåäåëåíèé δ ôóíêöèè, ïðèâåäåííîì íà îäíîé èç ïðîøëûõ ëåêöèé. Êàê âèäíî, â ýòîì ñëó÷àå îñöèëëÿòîð èçëó÷àåò òîëüêî ñ îäíîé ÷àñòîòîé. À ó÷åò ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ ïðèâîäèò ê êà÷åñòâåííî íîâîìó ýôôåêòó êîíå÷íîé øèðèíå ñïåêòðà èçëó÷åíèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà. Ïðè ýòîì Γ íàçûâàåòñÿ åñòåñòâåííîé øèðèíîé ëèíèè. Íà ñàìîì äåëå â åñòåñòâåííóþ øèðèíó ëèíèè åñòü åùå è äðóãèå âêëàäû, ïîìèìî òîãî, ÷òî ìû ó÷ëè. Íàïðèìåð, çà ñ÷åò ñòîëêíîâåíèé è òåïëîâîãî äâèæåíèÿ. Íî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî áîëåå òî÷íûé êâàíòîâî òåîðåòèêî ïîëåâîé ðàñ÷åò ëèíèè ñïåêòðà äëÿ àòîìíûõ ñèñòåì äàåò òàêóþ æå ôîðìó ëèíèè ñïåêòðà, íî ñ äðóãèì çíà÷åíèåì Γ. Ò.å. íàøè âûêëàäêè êà÷åñòâåííî âåðíî îòðàæàþò ðåàëüíóþ êàðòèíó. 5) Òåïåðü ðàññìîòðèì òó æå çàäà÷ó î ãàðìîíè÷åñêîì îñöèëëÿòîðå, íî óæå â äðóãîé ïîñòàíîâêå, êîãäà íà ýòîò îñöèëëÿòîð äåéñòâóåò âíåøíåå ÝÌ ïîëå ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû. Òîãäà ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ñèëû ÷àñòèöà ñòàíåò ñîâåðøàòü âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ, äâèãàÿñü óñêîðåííî, è òåì ñàìûì, èçëó÷àÿ ÝÌ âîëíû. Ýòè âîëíû íàçûâàþòñÿ ðàññåÿííûìè âîëíàìè, à ñàì ýòîò ïðîöåññ ïðîöåññîì ðàññåÿíèÿ ïàäàþùåé ÝÌ âîëíû îñöèëëÿòîðîì (èëè êàêîé ëèáî äðóãîé àòîìíîé ñèñòåìîé). Ðàññìàòðèâàÿ ïðîöåññ ðàññåÿíèÿ ÝÌ âîëí, â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû íóæíî äîáàâèòü ñèëó âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû ñ ïîëåì âîëíû: ( ]) 1 [ e 2 e2 ... ⃗ 2 ¨ ⃗ ⃗ E0 + ⃗r + ω0 ⃗r = ⃗v × B0 ⃗r . e−i ω t+i k ⃗r + m c 3 m c3  òàêîì âèäå óðàâíåíèå ñëèøêîì ñëîæíî. Âîïåðâûõ ó÷òåì, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå âõîäèò ñ ôàêòîðîì v/c ≪ 1, ò.ê. ìû ðàññìàòðèâàåì íåðåëàòèâèñòñêèé ñëó÷àé, è ÷ëåí ñ ìàãíèòíûì ïîëåì ìîæíî îòáðîñèòü â ãðóáîì ïðèáëèæåíèè. Äàëåå, áóäåì ñ÷èòàòü àìïëèòóäó êîëåáàíèé ”a” ýëåêòðîíà ìàëîé ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé ïàäàþùåé ÝÌ âîëíû, ò.å. a ≪ λ, ÷òîáû â ôàçå âîëíû ìîæíî áûëî áû ïðåíåáðå÷ü (⃗k, ⃗r) ∼ a/λ ≪ 1 ïî ñðàâíåíèþ ñ ω t. Òîãäà èìååì: e ⃗ −i ω t 2 e2 ... 2 ¨ ⃗r + ω0 ⃗r = E0 e + ⃗r . m 3 m c3 Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ïðèáëèæåíèÿìè è â âèäå ⃗r = ⃗r0 e−i ω t , îòâå÷àþùåì âûíóæäåííûì êîëåáàíèÿì. Ïîëó÷èì: ( ) e ⃗ E0 , ⃗r0 −ω 2 + ω02 − i Γ ω = m çäåñü Γ = 2 e2 ω 2 3 m c3 è â ïðèíöèïå çàâèñèò îò ÷àñòîòû âíåøíåãî ïîëÿ. Òàêèì îáðàçîì, ⃗r(t) = Re ⃗ 0 e−i ω t eE . m (ω02 − ω 2 − i Γ ω) ¨ Äàëåå, âû÷èñëÿÿ âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ äèïîëüíîãî ìîìåíòà êîëåáëþùåéñÿ ÷àñòèöû d⃗ = e ⃗r¨ 8 ¨ d⃗ = − ïîëó÷àåì dI 1 = dΩ 8 π c3 ⃗ 0 e−i ω t e2 ω 2 E , m (ω02 − ω 2 − i Γ ω) [ ]2 ⃗¨ d × ⃗n = 2 ⃗ 2 e4 ω 4 E 0 sin θ [ ] 2 8 π c3 m2 (ω02 − ω 2 ) + Γ2 ω 2 ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ âîëí îñöèëëÿòîðîì ïî óãëàì. Ïðîöåññ ðàññåÿíèÿ îáû÷íî õàðàêòåðèçóåòñÿ ýôôåêòèâíûì äèôôåðåíöèàëüíûì ñå÷åíèåì ðàññåÿíèÿ, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ êàê îòíîøåíèå ïîòîêà ðàññåÿííîãî èçëó÷åíèÿ â äàííûé ýëåìåíò òåëåñíîãî óãëà ê ïîëíîìó ïîòîêó ïàäàþùåãî èçëó÷åíèÿ: 1 dI dσ = . dΩ ⃗ dΩ S (0.7) 2 ⃗ ⃗ Çäåñü S = c E 0 /8 π ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè â ïàäàþùåé âîëíå. Ó÷èòûâàÿ ýòè ôîðìóëû, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå dσ = dΩ ( e2 m c2 )2 ω 4 sin2 θ 2 (ω02 − ω 2 ) + Γ2 ω 2 (0.8) , êîòîðûì óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ïðè èçó÷åíèè ðàññåÿíèÿ âîëíû ñ ëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèåé. Ðàññìîòðèì òåïåðü îäèí ÷àñòíûé âàæíûé ñëó÷àé ñâîáîäíîãî çàðÿäà. Ò.å. êîãäà ω0 = 0 è ê òîìó æå Γ ≪ ω , ò.å. ìîæíî ïîëîæèòü Γ = 0. Äëÿ ñâîáîäíûõ çàðÿäîâ äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå èìååò âèä: dσ = re2 sin2 θ, dΩ à ïîëíîå ñå÷åíèå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Òîìñîíà: ∫ σ≡ dσ dΩ = dΩ ∫ re2 2 sin θ dΩ = 2 π 4 re2 8π = 3 3 ( e2 m c2 )2 (0.9) 6) Îïðåäåëèì òåïåðü ãðàíèöû ïðèìåíèìîñòè êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè. Íåòðóäíî ñôîðìóëèðîâàòü óñëîâèå ìàëîñòè ðàäèàöèîííîé ñèëû ïî ñðàâíåíèþ ñ âíåøíåé ñèëîé F⃗0 , êîòîðàÿ òî æå èìååò ÝÌ ïðèðîäó. Çàïèñûâàÿ ] [ ⃗ 0 + e ⃗v × B ⃗0 , F⃗0 = e E c íàõîäèì â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè ïî F⃗rad : ˙ ] F⃗ e ⃗˙ e [˙ ⃗ ] e [ ⃗˙ 0 . ⃗v¨ = = E0 + ⃗v × B0 + ⃗v × B m m mc mc 9 ⃗ 0 /m. Ñëåäîâàòåëüíî,  ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùåé ÈÑÎ ⃗v = 0, à ⃗v˙ = e E ] 2 e2 ¨ 2 e3 ⃗˙ 2 e4 [ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 0. Frad ≡ 3 ⃗v = E0 + E0 × B0 ≪ e E 3c 3 m c3 3 m2 c 4 ( ) ⃗ −iω t ⃗˙ ⃗0 .  ïåðèîäè÷åñêîì âíåøíåì ïîëå ñ ÷àñòîòîé ω èìååì, ÷òî E , E0 = Re −i ω E 0 ∼ Re e Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ïîëó÷àåì äâà óñëîâèÿ: 1. e3 ω/m c3 ≪ e ⇒ e2 /m c2 ≪ c/ω ∼ λ0 ⇒ re ≪ λ0 äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ ãîðàçäî áîëüøå êëàññè÷åñêîãî ðàäèóñà ÷àñòèöû. 2. e3 B0 /m2 c4 ≪ 1 ⇒ B0 ≪ m2 c4 /e3 îãðàíè÷åíèå íà âåëè÷èíó ïîëÿ. Îäíàêî êâàíòîâûå ýôôåêòû îãðàíè÷èâàþò îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè çíà÷èòåëüíî ìåíüøèìè ïîëÿìè è çíà÷èòåëüíî áîëüøèìè ðàññòîÿíèÿìè. 10