Лекции по алгебре и геометрии

Глава I. Определители и матрицы
§1. Определители 2-го и 3-го порядков
Рассмотрим квадратную таблицу
 a11 a12 
a
.
a
 21 22 
Определение. Число а11а22  а21а12 называется определителем второго
порядка, соответствующим данной таблице.

а11
а12
а21 а22
 а11а22  а21а12 .
Элементы а11 , а22 стоят на главной диагонали, а а21 , а12 ─ на побочной.
Определение. Определителем второго порядка называется число, равное
разности между произведениями элементов, стоящих на главной и побочной
диагоналях.
Пример.

3 6
5
2
 6  (30)  36.
Рассмотрим квадратную таблицу
 a11 a12
a
 21 a22
a
 31 a32
a13 
a23  .
a33 
Определение. Определителем третьего порядка называется число,
определяемое равенством:
а11а22 а33  а21а32 а13  а12 а23а31  а31а22а13  а21а12а33  а32а23а11 .
Определители третьего порядка удобно вычислять методом треугольников:
Находим сумму произведений элементов главной диагонали и элементов,
образующих треугольники со стороной, параллельной главной диагонали.
Затем находим произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и
произведения элементов, образующих треугольники со стороной,
1
параллельной побочной диагонали. Все произведения берём с
противоположными знаками.
Пример.
3
1 2
  1 2 1  24  6  0  0  3  4  13.
0
3 4
§ 2. Свойства определителей
1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить
столбцами с теми же номерами.
2. При перестановке двух строк (столбцов) знак определителя меняется.
3. Определитель, имеющий одинаковые или пропорциональные строки
(столбцы), равен нулю.
4. Общий множитель любой строки (столбца) можно выносить за знак
определителя.
5. Определитель, имеющий нулевую строку (столбец), равен нулю.
6. Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить
соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на
одно и то же число, то величина определителя не изменится.
Определение. Минором некоторого элемента определителя называется
определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и
столбца, на пересечении которых он стоит.
а11
а12
а13
а21 а22
а23
а31
а33
а32
М 23 
а11
а12
а31 а32
Определение. Алгебраическим дополнением какого-либо элемента
определителя называется минор, взятый со знаком (1)i  j ,
где i  номер строки, j  номер столбца.
А23  (1)i  j  М 23  (1) 23 
2
а11
а12
а31 а32

а11
а12
а31 а32
.
Аij  (1)i  j  M ij
7. Каждый определитель можно разложить по элементам какой-либо
строки (столбца), т.е. представить в виде суммы произведений
элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующее
алгебраическое дополнение.
2
3
0
1 4 2  0 
1
2
1
1 4
1
2
 2
2 3
1 2
 1
2
3
1 4
 2  4  3   8  3  2  11  13.
§3. Определитель n  го порядка
Определение. Определитель n  го порядка ─ это число вида
а11
а12
а1n
a21
a22
a2 n
an1
an 2
ann
.
Определение. Минором некоторого элемента определителя n  го
порядка называется определитель  n  1  го порядка.
Определение. Алгебраическим дополнением некоторого элемента
определителя n  го порядка называется минор этого элемента, взятый со
знаком  1 .
i j
§4. Матрица. Виды матриц
Определение. Матрицей называется таблица вида
 a11


a
 m1
a1n 
,

amn 
состоящая из m строк и n столбцов.
Число строк и столбцов может быть произвольным.
Если m  n , то матрица называется прямоугольной.
Если m  n , то ─ квадратной.
3
Если m  1 , то это матрица-строка.
Если n  1, то ─ матрица- столбец.
Если все элементы главной диагонали равны 1, а все остальные ─ нули, то
матрица называется единичной.
Если все элементы матрицы нули, то она называется нулевой.
Если все элементы равны нулю, кроме элементов главной диагонали, то
матрица называется диагональной.
§5. Основные операции в матричной алгебре
1) Сравнение матриц
Матрицы одинаковой размерности равны, если равны их соответственные
элементы, и наоборот.
A  B  aij  bij , i  1,2, , m; j  1,2, , n.
2) Транспонирование ─ это операция, при которой строки и столбцы
матрицы меняются местами.
a 
a
A   11 12  ,
 a21 a22 
a
A   11
 a12
a21 
.
a22 
Свойства транспонирования:
1.  Aт   A ,
т
2.  A  B   Aт  B т ,
т
3.  AB   B т Aт ,
т
4. Aт  A .
3) Сложение и вычитание матриц
Суммой (разностью) матриц A и B называется матрица C , каждый
элемент которой равен сумме (разности) соответственных элементов
матриц A и B .
4
c  a  b 
cij  aij  bij
ij
ij
ij
i  1,..., m; j  1,..., n.
Свойства сложения:
1. A  B  B  A ,
2. A  B  C  A   B  C  ,
3. A  0  A ,
4. A    A  0 .
4) Умножение матрицы на число
Произведением матрицы А на число k называется матрица В , каждый
элемент которой равен произведению соответственного элемента матрицы А
на число k .
bij  kaij .
Свойства умножения матрицы на число:
1. k  A  B   kA  kB,
2.  k  m  A  kA  mA,
3. k  mA   km  A,
4. A 1   A.
5) Умножение матриц
Произведением матрицы Amn и матрицы Bnk называется матрица Cmk ,
каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i -той строки
матрицы A на соответственный элемент j -того столбца матрицы B .
n
Cij   aisbsj .
s 1
Умножение определено только тогда, когда число столбцов матрицы A
равно числу строк матрицы B .
5
Свойства умножения матриц:
1. AB  BA,
2. A BC    AB  C,
3. A 0  0,
4. A 1  A,
5. k  AB   A  kB  ,
6. A  B  A  B .
Пример.
Найти произведение данных матриц:
 3
A   1
 1

2
4 
2 
1 2
B
.
2
3


Решение.
В матрице A 2 столбца, а в матрице B 2 строки,  ,произведение AB
существует.
А произведение BA не существует.
3 2
 3  4 6  6   7 12 
1 2 


AB   1 4   
  1  8 2  12    9 14 .

 1 2   2 3   1  4 2  6   5 8 



 

6) Обратная матрица
Матрица A1 называется обратной квадратной матрице A , если
выполняются условия:
A1  A  A  A1  E.
Обратную матрицу находят по формуле:
 A11
1 
A 
A12
A 
 A13
1
6
A21
A22
A23
A31 
A32  ,
A33 
где Aij ─ алгебраические дополнения.
Условием применения формулы является A  0 (матрица невырожденная).
Свойства обратной матрицы:
1.  A1   A,
1
2.  AB   B1  A1,
1
3.  A    A1  ,
1
4. A1 

1
.
A
Пример.
Найти матрицу, обратную данной
 1 1 1 
A   2 1 1  .
 3 2 2


Решение.
1 1 1
A  2
1
1  2  4  3  3  4  2  2  0, , обратная матрица существует.
3
2
2
A11 
1 1
2 2
A12  
A13 
0
2 1
3 2
2 1
3 2
7
 1
1
1 1
A21  
A22 
2
1 1
 1
3 2
A23  
A31 
1 1
3
A33 
2
1
2
5

2

2
1 1
1
A32  

 0
 0 4 2  
1
1
A1   1 1 1    
2
  2
 1 5 3   1

 2
4
2
1
1 1
2 1
1 1
2
1
 5
 2
1
3

1

1
.
2
3

2
Проверка.
 0 4 2  1 1 1 
 086 044 044 
1
1




1

1
1
2
1
1


1

2

3
1

1

2

1

1

2




2 
 3 2 2  2  1  10  9 1  5  6 1  5  6 
1

5
3





 2 0 0 1 0 0
1
  0 2 0    0 1 0   E.
2
 

0 0 2 0 0 1
§6. Системы линейных уравнений. Формулы Крамера
Рассмотрим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
8
a1 x  b1 y  h1 ,

a2 x  b2 y  h2 .
Умножим первое уравнение на a 2 , а второе ─ на  a1  , получим
a1a2 x  a2b1 y  a2 h1 ,

a1a2 x  a1b2 y  a1h2 .
После сложения этих уравнений получим
a2b1 y  a1b2 y  a2 h1  a1h2 ,
y  a2b1  a1b2   a2h1  a1h2 ,
откуда
a2
y
a2 h1  a1h2 a1

a2b1  a1b2 a2
a1
h2
h1
. (*)
b2
b1
Аналогично получим формулу для вычисления x :
умножаем первое уравнение на b2 , а второе на  b1  , затем складываем
получившиеся уравнения.
a1b2 x  b1b2 y  b2 h1 ,

a2b1 x  b1b2 y  b1h2 .
a1b2 x  a2b1 x  b2 h1  b1h2 ,
x  a1b2  a2b1   b2 h1  b1h2 ,
откуда
h1
x
b1
b2 h1  b1h2 h2 b2

.
a1b2  a2b1 a1 b1
a2 b2
Введем обозначения:
9
(**)

a1
b1
a2
b2
─ определитель, составленный из коэффициентов при
неизвестных,
x 
h1
b1
h2
b2
─ определитель, в котором столбец коэффициентов при
неизвестной x заменен столбцом свободных членов,
y 
a1
h1
a2
h2
─ определитель, в котором столбец коэффициентов при
неизвестной y заменен столбцом свободных членов.
Таким образом,
x
y
x
,

y

.
─ формулы Крамера.
Для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными
 a1 x  b1 y  c1 z  h1 ,

 a2 x  b2 y  c2 z  h2 ,
a x  b y  c z  h
3
3
3
 3
формулы Крамера имеют вид:
x

x

, y  y ,z  z ,



где
a1
b1
h1
c2 ,  y  a2
h2 b2 ,  z  a2
b2
h2 .
c3
h3
a3
b3
h3
a1
b1
c1
h1
b1
c1
  a2
b2
c2 ,  x  h2
b2
a3
b3
c3
b3
h3
a1
a3
10
h1
b1
b3
Определение. Система уравнений называется совместной, если она имеет
решения. Если решений нет, то система называется несовместной.
Определение. Система уравнений называется определенной, если она
имеет единственное решение, в случае множества решений, система
называется неопределенной.
Если   0, то система является совместной и определенной.
Если   0, а  x  0, или  y  0 , или  z  0, то система несовместна.
Если    x   y   z  0 , то система может быть неопределенной, а
может быть несовместной. Чтобы решить такую систему, нужно провести
исследование системы на совместность.
Пример.
5 x1  3 x2  x3  4,

 x1  2 x2  x3  1,
 2 x  4 x  3 x  1.
2
3
 1
Решение:
5 3 1
 1
2
1  13,
2
4
3
4 3 1
1  1
2
1  26,
1
4
3
5 4 1
 2  1 1 1  13,
2
1
3
5 3 4
3  1
2
1  39.
2
4
1
Отсюда, x1  2, x2  1, x3  3.
§ 7. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
11
Метод Гаусса ─ это универсальный метод, т.к. позволяет решать не
только квадратные системы. Суть метода заключается в последовательном
исключении неизвестных с помощью элементарных преобразований
матриц, в результате которых получаем систему ступенчатого вида.
Элементарные преобразования матриц:
1. Транспонирование,
2. Перестановка строк (столбцов),
3. Прибавление к некоторой строке (столбцу) другой строки
(столбца), умноженной на одно и то же число,
4. Вычеркивание всех нулевых строк (столбцов),
5. Вычеркивание одинаковых строк (столбцов),
6. Деление всех элементов некоторой строки (столбца) на одно и то же
число.
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
2 x1  3 x2  x3  x4  3,
3 x  x  2 x  4 x  8,
 1 2
3
4

 x1  x2  3 x3  2 x4  6,
 x1  2 x2  3 x3  5 x4  3.
Решение: Элементарным преобразованиям подвергаем только строки!
 2 3 1 1
 3 1 2 4

 1 1 3 2

 1 2 3 5
3 
8 
6

3
Переставим первую и третью строки:
 1 1 3 2
 3 1 2 4

 2 3 1 1

 1 2 3 5
12
6
8 
3 

3
Умножим первую строку на (-3) и сложим её со второй строкой, умножим
первую на (-2) и сложим её с третьей, сложим первую и четвертую строки:
3 2
1 1
 0 4 7 10

 0 1 7 5

3
0 3 6
6 
10 
15 

9 
Поделим элементы четвертой строки на 3 и переставим вторую и третью
строки:
3 2
1 1
 0 1 7 5

 0 4 7 10

2 1
0 1
6 
15 
10 

3 
Умножим вторую строку на 4 и сложим её с третьей, вычтем из второй
строки четвертую:
1
0

0

0
1
3
2
1
7
5
0 35 30
0
9
4
6 
15 
70 

18 
Поделим элементы третьей строки на (-5):
1
0

0

0
3
2
1 7
5
0
7
6
0 9
4
1
6 
15 
14 

18 
Умножим третью строку на 9, а четвертую на 7 и сложим их:
1
0

0

0
3
2
1 7
5
0
7
6
0
0
26
1
Осуществляем обратный ход действий:
13
6 
15 
.
14 

0 
 x1  x2  3 x3  2 x4  6,
0  x  7 x  5 x  15,

2
3
4

0  0  7 x3  6 x4  14,
0  0  0  26 x4  0.
 x1  x2  3 x3  2 x4  6,

x2  7 x3  5 x4  15,


7 x3  6 x4 =14,


 26 x4  0.
x4  0, x3  2, x2  1, x1  1.
Пример.
2 x1  x2  x3  x4  0,

3 x1  2 x2  2 x3  2 x4  1,
4 x  4 x  3 x  3 x  3.
2
3
4
 1
Решение:
 2 1 1 1
3 2 2 2

4 4 3 3

0
1 
3 
Вычтем из второй строки первую:
1 1 1 3
3 2 2 2

4 4 3 3

1
1 
3 
Умножим первую строку на (-3) и сложим со второй строкой, затем
умножим первую на (-4) и сложим с третьей:
1 1 1 3
 0 1 1 7

 0 0 1 9

1
2  .
1 
 x1  x2  x3  3x4  1,

  x2  x3  7 x4  2,

 x3  9 x4  1.

14
Пусть x4  t , тогда
x3  9 x4  1, , x3  9t  1, x2  2t  1, x1  1  x2  x3  3 x4 , , x1  4t  1.
Можно найти какое-нибудь частное решение:
пусть t  1, тогда x1  3, x2  3, x3  8, x4  1.
§ 8. Матричная запись систем линейных уравнений
Матричный метод решения систем линейных уравнений
Дана система m линейных уравнений с n неизвестными
a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1 ,
a x  a x   a x  b ,
 21 1 22 2
2n n
2


am1 x1  am 2 x2   amn xn  bm .
Представим систему в виде матричного уравнения
A  X  B.
В этом уравнении
 a11 a12
a
a22
A   21


 am1 am 2
a1n 
a2 n 
,


amn 
 x1 
x 
2
X   ,
 
 
 xn 
 b1 
 
 b2 
B   .
 
 bm 
 
 
Рассмотрим схему решения на системе трех уравнений с тремя
неизвестными:
15
a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1 ,

a21 x1  a22 x2  a23 x3  b2 ,
a x  a x  a x  b .
33 3
3
 31 1 32 2
Введем обозначения:
 a11 a12
A   a21 a22
a
 31 a32
a13 
 b1 
 x1 



a23  , B   b2  , X   x2  .
b 
x 
a33 
 3
 3
Система в матричной форме примет вид:
A X  B
Чтобы получить X , умножим обе части уравнения на A слева:
A1  A  X  A1  B ,
откуда
X  A1  B
 A11
1 
X
A12
A 
 A13
A21
A22
A23
A31  b1 
 A11b1  A21b2  A31b3   x1 
1


  
A32 
 b2   А  A12b1  A22b2  A32b3    x2  .

A b  A b  A b  x 
A33 
23 2
33 3 
 b3 
 13 1
 3
Пример.
Решить матричным методом:
 x  3 y  6 z  12,

3x  2 y  5 z  10,
2 x  5 y  3z  6.

Решение:
 1 3 6 
 x
 12 




A   3 2 5  , X   y  , B   10  .
 2 5 3 
z
 6 


 


1 3 6
A  3 2
5  40  0 ,
2 5 3
16
 31 21 27 
1
A1    19
9 23  ,
40 
1
7 
 11
 31 21 27  12 
 0   0   x
1 
1      


X    19
9 23  10     0    0    y  .
40 
40      

1
7 
 11
 6 
 80   2   z 
§9. Однородная система уравнений
Определение. Система уравнений называется однородной, если все её
свободные члены равны нулю.
Рассмотрим однородную систему трех линейных уравнений с тремя
неизвестными:
a1 x  b1 y  c1 z  0,

a2 x  b2 y  c2 z  0,
a x  b y  c z  0.
3
3
 3
Рассмотрим определитель, составленный из коэффициентов
a1
b1
c1
  a2
b2
c2 .
a3
b3
c3
Теорема. Если   0 , то однородная система имеет единственное нулевое
решение ─  0,0,0  .
Если   0 , то система имеет бесконечное множество ненулевых решений.
Пример.
5 x  y  z  0,

 x  6 y  z  0,
 x  y  7 z  0.

Решение.
17
5
1
1
 1
6
1  190  0, , x  y  z  0.
1
1
7
Пример.
 x  y  z  0,

3 x  6 y  5 z  0,
 x  4 y  3z  0.

Решение.
1 1 1
  3 6 5  0, , система имеет бесконечное множество решений.
1 4 3
Чтобы найти эти решения, нужно составить систему из двух уравнений
a1 x  b1 y  c1 z  0,

a2 x  b2 y  c2 z  0,
и применить теорему:
Теорема.
Если хотя бы один из определителей 1 ,  2 ,  3 не равен нулю, то все решения
системы находятся по формулам:
x  1  t
y   2  t
z  3  t
где t - произвольное число, 1 
b1
c1
b2
c2
, 2 
a1
c1
a2
c2
Составим систему из двух уравнений
 x  y  z  0,

 x  4 y  3z  0.
Найдем определители:
18
, 3 
a1
b1
a2
b2
.
1 
1 1
2 
1 1
3 
1 1
4 3
1 3
1 4
 1,
 2,
 3.
Отсюда, x  t , y  2t , z  3t.
Теорема.
Если все три определителя равны нулю, то коэффициенты уравнений
системы пропорциональны, а система имеет бесконечное множество
решений. Чтобы получить какое-либо из них, нужно двум неизвестным
придать какие-то значения, а третье найти из уравнения.
Пример.
2 x1  x2  10 x3  0,

4 x1  2 x2  20 x3  0.
Решение.
1 
2 
3 
1 10
2 20
2 10
4 20
2 1
4 2
 0,
 0,
 0.
Все миноры определителя равны нулю, значит, система сводится к одному
уравнению, а два других являются его следствиями.
2 x1  x2  10 x3  0.
1
Пусть x3  0, x2  1, тогда 2 x1   x2  10 x3 , , x1   .
2
19
§10. Исследование систем линейных уравнений на совместность
Определение. Рангом матрицы A называется наибольший порядок минора,
отличного от нуля.
Обозначение: r  A .
Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу
матрицы, называется базисным минором этой матрицы.
Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг этой матрицы считаем
равным нулю.
Определение. Матрицы A и B называются эквивалентными, если их ранги
равны.
Ранг матрицы не изменяется от элементарных преобразований (см. §7).
Пример. Определить ранг матрицы:
1 2 3 4 
2 4 6 8 


 3 6 9 12 


Разделим элементы второй строки на 2, третьей - на 3:
1 2 3 4 
1 2 3 4 


1 2 3 4 


Вычеркнем одинаковые строки:
1 2 3 4 1 0 0 0  1
Следовательно, r  A =1.
Пример.
3
0

 1

0
1 4 5
1 2 4 
2 1 1

3 2 1
 1
0

3

0
2 1 1
1 2 4 
1 4 5

3 2 1
 1
0

0

0
20
2 1 1
1 2 4 
7 7 8

3 2 1
1
0

0

0
0 
1 2
4 
0 7 20 

0 4 11 
0
0
1
0

0

0
0
1 0 0 
0 7 20 

0 4 11 
0 0
1
0

0

0
0 0 0
1 0 0 
0 1 0

0 0 1
r  A =4.
Рассмотрим систему
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 ,
a x  a x  ...  a x  b ,
 21 1 22 2
2n n
2
(*)

...

am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm .
Составим матрицу системы и расширенную матрицу:
 a11 a12
a
a22
A   21


 am1 am 2
a1n 
a2 n 
,


amn 
 a11 a12
a
a22

A   21


 am1 am 2
a1n
a2 n
amn
b1 
b2 
,


bm 
Теорема Кронекера – Капелли.
Для совместности системы (*) необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы, т.е. r  A = r  A  .
Дополнение:
Если ранг совместной системы равен числу неизвестных ( r  n ), то система
является определенной.
Если r < n , то система является неопределенной.
Пример.
3 x1  2 x2  4,
 x  4 x  1,
2
 1
7 x1  10 x2  12,
5 x  6 x  8,
2
 1
3 x1  16 x2  5.
21
Решение,
3 2
 1 4

 7 10

5 6
 3 16

1 0
0 2

4
1 
12 

8
5 
 1 4
3 2

 7 10

5 6
 3 16

0 1 0
1   0 1
1 
4 
12 

8
5 
4
1
0

0

0
0

1 
7 
19 

13 
2 
14
38
26
4
1
0

0

0
0

0
2
2
2
2
0
1 
1

1
1 
0 1 0
.
0   0 1 
r  A  r  A   2, , система совместна. А так как n  r  2, то система
определенная.
Сведем систему к двум уравнениям и решим методом Крамера:
3x1  2 x2  4,

 x1  4 x2  1.

3
2
1 4
 14, 1 
4
2
1 4
 14,  2 
3
4
1 1
 7.
1
x1  1, x2  .
2
Глава II. Векторная алгебра
§ 1. Скалярные и векторные величины
Величины, которые характеризуются числом, называются скалярными.
 m,V , S , l 
Величины, которые характеризуются не только числом, но и

направлением, называются векторными. F , s
22

Вектор ─ это направленный отрезок.
в
а
AB  a
А
Вектор ─ это упорядоченный набор из n действительных чисел,
записываемых в виде: x   x1 , x2 ,
, xn  .
Размерность вектора определяется числом координат.
Модулем (длиной) вектора называется его численное значение, без учета
направления.
a a
Два вектора называются равными, если
1) они имеют одинаковую длину,
2) они сонаправлены.
Суммой векторов a   x1 , y1 , z1 и b   x2 , y2 , z2  называется вектор
c =  x1  x2 , y1  y2 , z1  z2  .
Свойства сложения векторов:
1) a  b  b  a,
2) a   b  c    a  b   c  a  b  c,
3) a   a   0,
a  0  a.
4)
Правило «треугольника»:
a
b
a b
23
Правило «параллелограмма»:
a
a b
b
Для каждого вектора a существует противоположный вектор a .
Произведением вектора a на скаляр k называется вектор b  k a , для которого
выполняются условия:
1) b  k a ,
2) a и b сонаправлены, если k  0 , a и b противоположно направлены, если
k  0.
Свойства умножения вектора на число:
1)  k  l  a  ka  la ,
2) k  a  b   ka  kb,
3) k  la    kl  a,
4) 1  a  a,
5) 1  a  a,
6) 0  a  0,
где l , k  числа.
2a
a
Произведением вектора a  x, y , z на скаляр k называется вектор
b  kx, ky, kz .
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных
прямых, или на одной прямой.
Условием коллинеарности векторов a   x1 , y1 , z1 и b   x2 , y2 , z2  является
пропорциональность их координат:
x1 y1 z1


x2 y2 z2
Векторы называются компланарными, если они лежат в параллельных
плоскостях, или в одной плоскости.
§ 2. Разложение вектора по базису
24
Любой вектор a можно представить в виде a  1a1   2 a2    k ak , где
1 , 2 , , k  некоторые числа.
Выражение 1a1   2 a2    k ak называется линейной комбинацией векторов
a1 , a2 , , ak .
Если вектор представлен как линейная комбинация каких-то векторов, то
говорят, что он разложен по векторам.
Теорема 1
Пусть даны 2 неколлинеарных вектора l1 , l2 . Любой компланарный с ними
вектор a можно разложить по ним, и такое разложение единственное.
Теорема 2
Пусть даны 3 некомпланарных вектора l1 , l2 , l3 . Любой вектор a
раскладывается по ним, и такое разложение единственное.
Базисом на плоскости называются 2 неколлинеарных вектора на этой
плоскости, взятых в определенном порядке.
Базисом в пространстве называются 3 некомпланарных вектора, взятых в
определенном порядке.
Рассмотрим декартову (прямоугольную) систему координат:
z
k
j
y
i
Ox  ось абсцисс,
Oy  ось ординат,
Oz  ось аппликат.
Тройка векторов i, j , k называется координатным базисом, если она
удовлетворяет следующим условиям:
1) вектор i лежит на Ox ,
вектор j  на Oy ,
вектор k  на Oz ;
2) каждый из векторов направлен по своей оси в положительную сторону;
3) длины их равны 1.
Любой вектор a   x, y, z можно представить в виде a  xi  yj  zk .
x
Пример
Даны 4 вектора a  2,1,0, b  1, 1,2, c  2,2, 1, d  3,7, 7. Определить
разложение вектора a по трем другим векторам.
Решение:
Разложить по векторам, это значит представить в виде
25
a  1b   2c   3d
Найдем координаты вектора a в данном базисе:
2,1,0  1 1, 1,2   2 2,2, 1   3 3,7, 7 ,
2,1,0  11, 11,21  2 2 ,2 2 , 1 2  3 3 3 ,7 3 , 7 3,
2,1,0  1  2 2  3 3 , 1  2 2  7 3 ,21   2  7 3,
2  1  2 2  3 3 ,

1  1  2 2  7 3 ,
0  2    7 .
1
2
3

Решая полученную систему, найдем ее решения:
3
1
1
1  , 2   , 3  .
2
2
2
Отсюда,
3
1
1
a  b  c  d.
2
2
2
§ 3. Выражение координат вектора через координаты начала и конца
вектора
Рассмотрим точки A  x1 , y1 , z1  и B  x2 , y2 , z2 .
O  0,0,0 
A  x1 , y1 , z1 
B  x2 , y2 , z2 .
Поместим данные векторы началами в точку O  0,0,0  , радиус-векторы
имеют координаты своих концов:
OA   x1, y1, z1 , OB   x2 , y2 , z2 .
По «правилу треугольника»:
OA  AB  OB, , AB  OB  OA, , AB  x2 , y2 , z2   x1, y1, z1 
  x2  x1 , y2  y1, z2  z1.
Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть
координаты его начала.
Длина вектора находится как корень квадратный из суммы квадратов его
координат.
Если a   x, y, z , то его модуль выражается формулой
a  x2  y 2  z 2
26
§ 4. Линейная зависимость и линейная независимость систем векторов
Система векторов a1 , a2 , , ak называется линейно- независимой, если их
линейная комбинация равна нулю только тогда, когда все коэффициенты
равны нулю.
1a1   2 a2    k ak  0, все  i  0.
Система векторов a1 , a2 , , ak называется линейно- зависимой, если их
линейная комбинация равна нулю только тогда, когда хотя бы один
коэффициент не равен нулю.
1a1   2 a2    k ak  0, хотя бы один  i  0.
Пример
Определить, зависима ли система векторов.
a  1,0 , b  0,1.
Решение:
1a   2b  0,
1 1,0   2 0,1  0,
1 ,0  0, 2   0,
1   2   0,0 ,
1  0, 2  0.
Эта система линейно-независима.
Пример
a  2,2 , b  3,3.
Решение:
1 2,2   2 3,3  0,
21,21  3 2 ,3 2   0,0 ,
21  3 2  0,

21  3 2  0.
2 3

 0,
2 3
Система уравнений однородна, т.е. совместна всегда,  , она имеет
бесконечное множество решений,  , она имеет и ненулевые решения,  ,
система векторов линейно-зависима.
§ 5. Проекция вектора на ось
27
Проекцией точки A на прямую m называется точка A , полученная
пересечением перпендикуляра, опущенного из точки A , и прямой m .
А
m
A
Проекцией вектора AB на ось u называется число, равное величине отрезка
A1B1 оси u , где A1  проекция точки A , B1  проекция точки B на ось m .
Это число положительно, если направление вектора совпадает с
направлением оси, и отрицательно, если направление противоположно.
B
A
m
B1
A1
B
A
m
B1
A1
Обозначение: Прm AB
Теорема
Проекция вектора AB на ось m равна произведению длины этого вектора на
косинус угла между осью и вектором.
Доказательство:
28

A
B
Прm AB  AB cos
Рассмотрим случаи:
1) Если AB  0, то
Прm AB  AB cos  0  cos  0.
2) Если вектор перпендикулярен оси, т.е.  

2
, то Прm AB  AB cos
B
A
3) Если 0   

2
m
, то Прm AB  A1B1  AB cos .
B

A

B1
A1
    , то т.к   180   , получим
2
Прm AB  AB cos 180      AB cos.
4) Если
B


A
B1
A1
29

2
 0.
Свойства проекций векторов:
1. Прm a  Прmb  Прm  a  b  ,
2. Прm   a    Прm a.
§ 6. Направляющие косинусы вектора
Если  ,  ,   углы, которые вектор составляет с осями координат, то
cos ,cos  ,cos   направляющие косинусы этого вектора.
z
a   x, y, z
y
x
Так как Прm a  a cos , (*)
то Прх а  x  a cos  , Пр у а  y  a cos , Прz a  z  a cos  .
А так как a  x 2  y 2  z 2 , то
a
a cos 2  a cos2   a cos2   a cos 2  cos2   cos2  .
2
2
2
Если a  0, то, поделив обе части равенства на a и возведя их в квадрат,
получим:
2
1  cos 2   cos 2   cos  ,
т.е сумма квадратов направляющих векторов равна 1.
Из равенства (*) находим
30
cos  
x

a
cos  
y

a
cos  
z

a
x
x y z
2
2
2
y
x y z
2
2
2
z
x y z
2
2
2
,
,
.
§ 7. Простейшие задачи в пространстве
1. Найти расстояние между двумя точками в пространстве
z
M1  x1 , y1 , z 
M 2  x2 , y2 , z2 
y
0
x
d  M1M 2   x2  x1    y2  y1    z2  z1  .
2. Разделить отрезок в заданном отношении
2
2
2
B  x2 , y2 , z2 
z
D  x, y , z 
A  x1 , y1 , z1 
y
x
31
Разделить отрезок в отношении
AD 

, т.е.
 ,   o,   0 .
DB 

Отсюда, AD    DB   . (*)
AD  x  x1, y  y1, z  z1 , DB  x2  x, y2  y, z2  z .
Подставим полученные координаты в равенство (*):
 x  x1, y  y1, z  z1   x2  x, y2  y, z2  z,
откуда имеем
  x  x1     x2  x  ,
  y  y1     y2  y  ,
  z  z1     z2  z  .
Раскроем скобки и найдем x, y , z.
 x2   x1
,

 y   y1
y 2
,

 z   z1
z 2
.

─ формулы деления отрезка в заданном отношении.
Отсюда,
x
x1  x2
,
2
y  y2
y 1
,
2
z z
z 1 2
2
─ формулы координат середины отрезка (доказать самостоятельно).
x
§ 8. Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение векторов ─ это число, равное произведению длин
этих векторов на косинус угла между ними.
ab  a  b cos ab .
Скалярное произведение положительно, если векторы образуют острый угол,
и отрицательно, если угол между ними тупой (доказать самостоятельно).
Скалярное произведение векторов равно длине первого вектора,
умноженного на проекцию второго на первый.
32
ab  b  Прb a,
ab  a  Прab.
Свойства скалярного произведения:
1. ab  ba,
2.   a  b    ab  ,
3.  a  b  c  ac  bc,
4. a2  aa  a  a cos0  a .
2
Рассмотрим скалярное произведение в координатной форме.
Найдем скалярное произведение векторов a  x1i  y1 j  z1k , b  x2i  y2 j  z2 k .
ab  x1x2i 2  x1 y2ij  x1z2ik  y1x2ij  y1 y2 j 2  y1z2 jk  z1x2ik 
 z1 y2 jk  z1 z2k 2  x1x2  y1 y2  z1z2 ,
т.к. i 2  1, j 2  1, k 2  1, ij  ik  jk  0. (доказать самостоятельно)
Следовательно, если a   x1, y1, z1, b  x2 , y2 , z2 , то
ab  x1 x2  y1 y2  z1 z2 .
Рассмотрим условие перпендикулярности векторов:


a  b, т.е. ab  , , ab  a  b cos  0 , , a  b  ab  0.
2
2
В координатной форме:
a  b  x1 x2  y1 y2  z1 z2  0.
Из определения скалярного произведения следует
ab
cos  
 формула для вычисления угла между векторами.
ab
В координатной форме:
x1 x2  y1 y2  z1 z2
cos  
.
2
2
2
2
2
2
x1  y1  z1  x2  y2  z2
Механический смысл скалярного произведения:
Скалярное произведение силы F на перемещение s равно работе A этой
силы при перемещении материальной точки по s .
A F s
§ 9. Векторное произведение двух векторов
Векторным произведением двух векторов a, b называется вектор a  b ,
определяемый условиями:
1. a  b  a  b  sin ab,
2. вектор a  b перпендикулярен каждому из векторов,
33
3. вектор a  b направлен так, что кратчайший поворот от a к b виден с
его конца совершающимся против часовой стрелки.
C
a
b
Свойства векторного произведения:
1. a  b  (b  a)  свойство антиперестановочности,
2. ( a)  b    a  b   сочетательное свойство относительно скалярного
множителя,
3. a   b  c   a  b  a  c  распределительное свойство относительно
сложения,
4. если векторы a и b коллинеарные, то их векторное произведение
равно нулю (доказать самостоятельно);
5. если a и b не параллельны, то модуль векторного произведения этих
векторов равен площади параллелограмма, построенного на них.
a
b
S  a  b sin ab
Рассмотрим векторное произведение векторов в координатной форме:
a  b   x1i  y1 j  z1k    x2i  y2 j  z2 k   x1 x2i  i  x1 y2i  j  x1z 2i  k 
 y1 x2 j  i  y1 y2 j  j  y1 z2 j  k  z1 x2 k  i  z1 y2k  j  z1z 2k  k 
 x1 y2 k  x1 z2 j  y1 x2 k  y1 z2i  z1x2 j  z1 y2i   y1z 2  z1 y2  i 
  x1 z2  z1 x2  j   x1 y2  y1 x2  k  i
i
j
k
 x1
y1
z1 .
x2
y2
z2
y1
z1
y2
z2
34
j
x1
z1
x2
z2
k
x1
y1
x2
y2

Так как
i  i  j  j  k  k  0,
i  j  k , , j  i  k ,
j  k  i, , k  j  i,
k  i  j , , i  k   j
(доказать самостоятельно)
Вывод:
i
j
k
a  b  x1
y1
z1 ,
x2
y2
z2
где a  x1, y1, z1, b  x2 , y2 , z2 .
Механический смысл векторного произведения:
Пусть A есть точка приложения силы F . Моментом силы F относительно
точки O называется векторное произведение М  OA  F .
§ 10. Смешанное произведение трех векторов
Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число, равное
векторному произведению двух из них, умноженному скалярно на третий.
Обозначение: abc
Геометрический смысл смешанного произведения:
Модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов равен
объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
V  abc .
Если векторы a, b, c компланарны, то их смешанное произведение равно
нулю.
Рассмотрим векторное произведение в координатной форме:
Даны векторы a  x1i  y1 j  z1k , b  x2i  y2 j  z2k , c  x3i  y3 j  z3k
i
j k
abc   a  b  c  x1 y1 z1   x3i  y3 j  z3k  
x2 y2 z2
  i  y1 z2  y2 z1   j  x1 z2  x2 z1   k  x1 y2  x2 y1     x3i  y3 j  z3k  
 i 2 x3  y1 z2  y2 z1   j 2 y3  x1 z2  x2 z1   k 2 z3  x1 y2  x2 y1  
 x3
y1
y2
z1
z2
 y3
x1
x2
z1
z2
 z3
x1
x2
y1
y2
35
x1
x2
x3
 y1
y2
y3 .
z1
z2
z3
Вывод:
x1
x2
x3
abc  y1
y2
y3 .
z1 z2 z3
Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов
является равенство нулю их смешанного произведения.
Глава III. Аналитическая геометрия на плоскости
§ 1. Понятие уравнения линии на плоскости
1. Определение. Уравнением линии называется такое уравнение с двумя
переменными F ( x, y )  0, которому удовлетворяют координаты каждой
точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не
лежащей на ней.
y
M ( x0 , y0 )
y0
. N ( x, y )
0
x0
x
F ( x, y )  0  неявная форма уравнения,
y  f ( x)  явная;
2. Пересечение двух линий.
Даны уравнения двух линий F ( x, y )  0 и  ( x, y )  0 . Совместное решение
системы этих уравнений дает все точки их пересечения.
3. Уравнение линии на плоскости в параметрической форме
Равенства
x   t  ,
y   t 
называются параметрическими уравнениями некоторой линии (траектории
точки M ), где аргумент t называется переменным параметром.
36
Рассмотрим окружность в прямоугольной системе координат.
M ( x, y )  точка на окружности. Выразим координаты радиус-вектора через
его длину и угол.
x  r  cos  ,
y  r  sin  .
, M (r  cos  , r  sin  )
y
М ( x, y )
y
r

x
x
Подставим координаты этой точки в уравнение окружности:
x2  y 2  r 2 ,
 r cos    r sin    r 2 ,
2
2
r2  r2
4. Уравнение линии в полярных координатах
В полярных координатах уравнение линии имеет вид:
   ,   0  неявный вид,
или       явный вид.
M (  , )


О
  полярный радиус,
  полярный угол,
O  полюс,
Op  полярная ось.
p
37
Для перехода от декартовых координат к полярным, используют формулы:
x   cos ,
y   sin  .
Обратный переход от полярных координат к прямоугольным осуществляется
по формулам:
  x2  y 2 ,
tg 
y
,
x
y
x
  arctg .
Пример.
Уравнение окружности x 2  y 2  25 в полярных координатах принимает вид
  5 (убедиться в этом).
§ 2. Прямая на плоскости
I. Угловой коэффициент
Рассмотрим в декартовой системе координат некоторую прямую. Угол
между положительным направлением оси  x и прямой обозначим  ─ это
угол наклона данной прямой к оси  x .
Тангенс угла наклона данной прямой к оси  x называется угловым
коэффициентом этой прямой.
k  tg
y

x
1) Если   0, то k  tg  tg 0  0, т.е. прямая параллельна Ox ;


2) Если   , то k  tg  , т.е. прямая перпендикулярна Ox ;
2
2
y
M2
y2
M1
y1

N
38

x1
x2
x
Рассмотрим M 1M 2 N . Он прямоугольный, , k  tg 
M 2 N y2  y1

.
M 1 N x2  x1
Таким образом,
y2  y1
.
x2  x1
II. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Оно имеет вид y  kx  b.
Доказательство:
k
y
M

B
N

x
b  OB, BN  x, MN  y  b. Тогда k  tg 
получим kx  y  b, ,
MN y  b
y b

, , k 
. Отсюда
BN
x
x
y  kx  b.
Рассмотрим различные варианты:
1) Если b  0, то y  kx;
2) Если k  0, то tg  0, ,  острый угол;
y
α
0
x
39
3) Если k  0, то tg  0, ,  тупой;
y
α
0
x
4) Если k  0, то y  b;
y
x
III. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через одну
точку
40
y
y0
y

M
M0
N

x
x0
x
M 0 ( x0 , y0 )  стационарная точка, M ( x, y )  текущая.
M N y  y0
k 0 
, , k  x  x0   y  y0 , ,
MN
x  x0
y  y0  k ( x  x0 ).
IV. Уравнение прямой, проходящей через две точки
y
M2
M1

N
M

L

0
x
x1
x2
x
M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 )  стационарные точки, M ( x, y )  текущая.
Рассмотрим M 1M 2 N :
M N y  y1
k 2  2
(*)
M 1 N x2  x1
Из MM 1L :
ML y y
k 1  1
(**)
ML x1  x
При сравнении правых частей (*) и (**) получим
x  x1
y  y1

.
x2  x1 y2  y1
V. Вычисление угла между прямыми
41
Рассмотрим две прямые y  k1 x  b1 , y  k2 x  b2 . Угол между этими прямыми
 равен разности углов наклона данных прямых, т.е.
tg 2  tg1
   2  1 , tg  tg ( 2  1 ) 
, но tg1  k1 , tg 2  k2 , ,
1  tg 2tg1
k k
tg  2 1 .
1  k1k2
y

2
0
1
x
Если данные прямые параллельны, то
k k
  0, , tg  0, , 2 1  0, , k2  k1  0 , k2  k1
1  k2 k1
Вывод: k1  k2  условие параллельности двух прямых.
Прямые параллельны, если равны их угловые коэффициенты.
Если данные прямые перпендикулярны, то

k k
1
  , , tg  , , 2 1  , ,1  k2 k1  0, , k1   .
2
1  k1k2
k2
1
Вывод: k1    условие перпендикулярности двух прямых.
k2
Прямые перпендикулярны, если их угловые коэффициенты обратные по
абсолютной величине и противоположны по знаку.
VI. Общее уравнение прямой
Уравнение вида Ax  By  C  0 называется общим уравнением прямой.
Произведем действия:
By   Ax  C ,
A C
y  ,
B B
A
C
откуда, обозначив k   , b   , получим
B
B
y  kx  b.
Пусть прямые A1 x  B1 y  C1  0, A2 x  B2 y  C2  0 параллельны,
A A
A B
, k1  k2 , , 1  2 , или 1  1  условие параллельности прямых.
B1 B2
A2 B2
42
Если же указанные прямые перпендикулярны, то
1
A A
A
B
k1   , , k1k2  1, , 1  2  1, , 1   2 ,
k2
B1 B2
B1
A2
, A1 A2  B1B2  0 
условие перпендикулярности прямых.
VII. Неполное уравнение прямой.
1) A  0, , By  C  0  прямая параллельна Ox ;
2) B  0, , Ax  C  0  прямая параллельна Oy ;
3) C  0, , Ax  By  0  прямая проходит через начало координат.
VIII.Уравнение прямой в отрезках.
Рассмотрим уравнение прямой Ax  By  C  0, где A , B  0, C  0, произведем
следующие действия:
Ax  By  C ,
A
B
x  y  1,
C
C
x
y

 1,
C
C
A
B

пусть 
C
C
 a,   b, тогда
A
B
x y
  1
a b
уравнение прямой в отрезках, где a  отрезок, отсекаемый прямой на оси Ox ;
b  на оси Oy.
§ 3. Нормальное уравнение прямой
Дана прямая l , проведем к ней перпендикулярную прямую n ,
проходящую через начало координат. Эта прямая называется нормалью.
n  нормаль, OК  p,  полярный угол нормали, M  произвольная
точка прямой l ,   угол между OM и n , точка M имеет полярные
координаты  , , где   OM .
y
n
K
p

O



M   , 
43
l
x
Выведем уравнение данной прямой, считая известными числа  и p .
ПрnOM  p
(1)
но p   cos , , ПрnOM   cos  .
Известно, что      , ,
ПрnOM   cos   cos       cos cos   sin  sin  
(2)
   cos  cos    sin   sin   x cos  y sin 
Сравнив равенства (1) и (2), получим
x cos   y sin   p,
x cos   y sin   p  0 
нормальное уравнение прямой, где   полярный угол нормали,
p  расстояние от начала координат до прямой.
Всякое уравнение прямой общего вида может быть приведено к нормальному
виду умножением всех членов на нормирующий множитель  ,
1
 
.
2
2
A B
Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку
свободного члена C общего уравнения прямой.
Пусть дана прямая Ax  By  C  0 и точка M  x0 , y0  , не лежащая на ней.
Обозначим d расстояние от точки до прямой
d    Ax0  By0  C  .
§ 4. Пересечение двух прямых
Чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых
A1 x  B1 y  C1  0, A2 x  B2 y  C2  0, нужно решить систему уравнений
 A1 x  B1 y  C1  0,

 A2 x  B2 y  C2  0.
§ 5. Кривые II─го порядка
44
Эллипс ─ это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний
от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть
величина постоянная.
y
b
F1
F2
a
a
0
x
b
F1 ( c,0), F2 (c,0)  фокусы, F1M , F2 M  фокальные радиусы.
Получим уравнение эллипса:
По определению F1M  F2 M  2a
F1M 
 x   c     y  0    x  c   y ;
F2 M 
 x  c  y2 ;
2
2
2
2
2
 x  c   y 2   x  c   y 2  2a ,
2
2
 x  c   y 2  2a   x  c   y 2 ,
2
2
 x  c   y 2  4a 2  4a  x  c   y 2   x  c   y 2 ,
2
2
2
x 2  2 xc  c 2  4a 2  4a  x  c   y 2  x 2  2 xc  c 2 ,
2
4a  x  c   y 2  4a 2  4 xc,
2
a  x  c   y 2  a 2  xc,
()
2
a 2  x  c   a 2 y 2  a 4  2a 2 xc  x 2c 2 ,
2
a 2 x 2  2a 2 xc  a 2c 2  a 2 y 2  a 4  2a 2 xc  x 2c 2 ,
a 2 x 2  x 2c 2  a 2 y 2   a 2c 2  a 4 ,
a  c  x  a y  a a  c ,
2
2
2
2
2
2
2
2
Введем обозначение: a 2  c 2  b 2 , тогда
b 2 x 2  a 2 y 2  a 2b 2 ,
x2 y2

1
a 2 b2
каноническое уравнение эллипса,
где a  большая полуось, b  малая полуось.
45
Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между
фокусами этого эллипса 2c к длине его большой оси 2 a.
2c
 ,
2a
c
 .
a
  1, так как c  a.
 характеризует форму эллипса (меру его сжатия).
Так как c2  a2  b2 , то

a 2  b2
a 2  b2
b2


1

.
a
a2
a2
b2
А так как   1  2 , то
a
b2
 1 2 ,
a
b
 1  2.
a
2
Известно, что
r1 
 x  c  y2 ,
r2 
 x  c  y2 .
Используя формулу   , получим
2
2
ar2  a 2  xc,
a 2  xc
r2 
,
a
xc
r2  a  ,
a
r2  a   x.
Но
r1  r2  2a, ,
r1  2a  r2 ,
r1  2a  a   x,
r1  a   x.
Следовательно, фокальные радиусы вычисляются по формулам:
r1  a   x, r2  a   x.
Выведем параметрические уравнения эллипса.
46
x2 y 2

 1,
a 2 b2
y
P
Q
M
t
O
x
Построим две окружности, где R1  a, R2  b, a  b. Построим луч OP. Он
пересекает окружности в точках P, Q.
P
Q
M  x, y 
t
O
Q1
P1
t  полярный угол луча OP.
Выразим координаты точки M  x, y  через t :
x  OP1  OP  cos t  a  cos t ,
y  MP1  ОQ  sin t  b  sin t.
Параметрические уравнения эллипса имеют вид:
 x  a  cos t ,

 y  b  sin t.
Директрисами эллипса называются две прямые, перпендикулярные большой
оси и равноудаленные от центра.
a
a
x   ,x  


47
уравнения директрис эллипса.
y
b
a -a
Ɛ
o
I.
Гипербола.
-b
a a
Ɛ
x
Гипербола − это геометрическое место точек, для которых разность
расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами,
есть величина постоянная.
Для построения гиперболы необходимо построить основной прямоугольник
гиперболы со сторонами a и b.
M  x, y   произвольная точка эллипса, F1M  r1 , F2 M  r2  фокальные
радиусы, F1 ( c,0), F2 (c,0)  фокусы.
По определению r1  r2  2a, ,
 x  c   y 2   x  c   y 2  2 a ,
2
2
 x  c   y 2   x  c   y 2  2a ,
2
2
 x  c   y 2   x  c   y 2  4 a  x  c   y 2  4a 2 ,
2
2
2
x2  2 xc  y 4  x2  2 xc  y 4  4a  x  c   y 2  4a 2 ,
2
4 xc  4a 2  4a  x  c   y 2 ,
2
xc  a 2   a  x  c   y 2 ,
2
( )
x2c2  2 xca 2  a 4  a 2 x2  2a 2 xc  a 2c2  a 2 y 2 ,
48
y
x
x 2c 2  a 2 x 2  a 2 y 2  a 2c 2  a 4 ,
x 2 (c 2  a 2 )  a 2 y 2  a 2 (c 2  a 2 ),
пусть c2  a2  b2 , тогда
b 2 x 2  a 2 y 2  a 2b 2 ,
x2 y 2

1
a 2 b2
каноническое уравнение гиперболы, где a  действительная полуось, b 
мнимая полуось, a  b.
b
Асимптотами гиперболы являются прямые y   x.
a
Две гиперболы
x2 y 2
x2 y 2

 1,  2  2  1, расположенные в одной системе координат, где
a 2 b2
a
b
a, b  одни и те же, называются сопряженными.
Гипербола с равными полуосями называется равносторонней:
x2 y 2
 2  1 или x 2  y 2  a 2 .
2
a
a
49
Эксцентриситет гиперболы − это отношение расстояния между фокусами
гиперболы к расстоянию между вершинами.
c

a
c  a, ,   1.
Так как c2  a2  b2 , то
a 2  b2
a 2  b2
b2


 1 2 ,
a
a2
a
отсюда,
b2
 1  2 ,
a
b
  2  1.
a
 характеризует форму основного прямоугольника гиперболы.
Выразим фокальные радиусы:
Известно, что
2
r2 
 x  c  y2 ,
r1 
 x  c  y2 ,
2
2
рассмотрим равенство (**):
xc  a 2  a  x  c   y 2 ,
2
делим на  a :
 x  c   y 2 =  
xc

 a ,
 a

2
 x  c   y 2 =   x  a  ,
2
знак " " для точки на правой ветви, " " − для левой.
r2    x  a  ,
но
r1  r2  2a, ,
r1  2a  r2  2a
 x  a  ,
r1     x  a 
Директрисами гиперболы называются две прямые, перпендикулярные к той
оси гиперболы, с которой она пересекаются, и расположенные симметрично
a
относительно начала координат на расстоянии от него.

a
x    уравнения директрис гиперболы.

50
Ш. Парабола.
Парабола− это геометрическое место точек, равноудаленных от данной
точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.
y
M
o
x
p  параметр параболы, пусть M  x, y   произвольная точка параболы,
p   p 
FM  r , QM  d , F  ,0  , Q   , y  ,
2   2 
r  d.
2
p

r  FM   x    y 2 ,
2

2
p
p

d  QM   x    x  .
2
2

51
Следовательно,
2
p
p

2
x   y  x ,
2
2

2
2
p
p


2
x   y x  ,
2
2


p2
p2
2
2
2
x  px 
 y  x  px 
,
4
4
y 2  2 px  0,
y 2  2 px 
каноническое уравнение параболы, где p  параметр параболы.
Виды расположения параболы.
1) y 2  2 px
p
 p 
F   ,0  , x  .
2
 2 
2
2) x  2 py
p
 p
F  0,  , y   .
2
 2
2
3) x  2 py,
p
p

F  0,   , y  .
2
2

Глава IV. Аналитическая геометрия в пространстве
§ 1. Уравнение плоскости
I. Общее уравнение плоскости
Уравнение поверхности в пространстве в декартовых координатах имеет вид
F  x, y, z   0.
Если F  x, y, z   многочлен n  ной степени, то поверхность называется
поверхностью n  го порядка.
Плоскость − это поверхность первого порядка.
Уравнение вида
Ax  By  Cz  D  0
(*)
является общим уравнением плоскости.
Вектор n   A, B, C перпендикулярен плоскости, он называется нормальным
вектором плоскости.
Неполные уравнения плоскости. Частные случаи расположения плоскости:
52
1) A  0, , By  Cz  D  0, плоскость параллельна оси Ox.
2) B  0, , Ax  Cz  D  0, плоскость параллельна оси Oy.
3) C  0, , Ax  By  D  0, плоскость параллельна оси Oz.
4) D  0, , Ax  By  Cz  0, плоскость проходит через начало координат.
5) A  B  0, , Cz  D  0, плоскость перпендикулярна оси Oz.
6) A  C  0, , By  D  0, плоскость перпендикулярна оси Oy.
7) B  C  0, , Ax  D  0, плоскость перпендикулярна оси Ox.
8) A  D  0, By  Cz  0, , плоскость проходит через ось Ox.
9) B  D  0, , Ax  Cz  0, плоскость проходит через ось Oy.
10) C  D  0, , Ax  By  0, плоскость проходит через ось Oz.
11) A  B  D  0, , Cz  0, совпадает с плоскостью xOy.
12) A  C  D  0, , By  0, совпадает с плоскостью xOz.
13) B  C  D  0, , Ax  0, совпадает с плоскостью yOz.
II. Уравнение плоскости в отрезках
Если в уравнении (*) D  0, то, разделив его на  D почленно, получим
уравнение плоскости в отрезках
Ax By Cz


 1,
D D D
A
B
C
 a,
 b,
 c, то
если
D
D
D
x y z
   1,
a b c
где a, b, c  отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.
Пример.
Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и через точку
M 1, 2,1 .
Решение.
Плоскость проходит через ось Oz , значит, C  D  0, т.е. уравнение имеет
вид Ax  By  0.
Точка M 1, 2,1 лежит на плоскости, следовательно, ее координаты
удовлетворяют уравнению плоскости
A 1  2  B  0,
A  2 B,
отсюда
2 Bx  By  0,
2 x  y  0.
Пример.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку P  2,3,4  и
отсекающей на осях Ox, Oy отрезки a  1, b  1.
Решение.
53
Уравнение плоскости в отрезках имеет вид
x y z
   1,
a b c
у нас
x y z

  1,
1 1 c
а т.к. точка P  2,3,4  лежит на плоскости, то ее координаты удовлетворяют
уравнению плоскости
2 3 4

  1,
1 1 c
4
 2,
c
c  2.
Таким образом,
x y z

  1.
1 1 2
III. Нормальное уравнение плоскости
Нормальным уравнением плоскости называется уравнение
x cos   y cos   z cos   p  0,
где  ,  ,   углы перпендикуляра, опущенного из начала координат на
плоскость, с осями координат, p  расстояние от плоскости до начала
координат.
Нормальный вектор этой плоскости имеет координаты cos ,cos  ,cos  .
Общее уравнение плоскости (*) можно привести к нормальному умножением
его на нормирующий множитель
1
 
,
2
2
2
A  B C
при этом знак выбирается противоположным знаку свободного члена D.
z
54
Расстояние от точки M  x0 , y0 , z0  до плоскости Ax  By  Cz  D  0
вычисляется по формуле
d    Ax0  By0  Cz0  D  .
Пример.
Привести к нормальному виду уравнение плоскости
6 x  6 y  7 z  33  0.
Найти ее расстояние от начала координат.
Решение.
1
1
 
 .
11
36  36  49
6
6
7
 x y  z 30
11
11
11
нормальное уравнение плоскости.
Здесь p  3, , расстояние от плоскости до начала координат равно 3.
§ 2. Взаимное расположение плоскостей.
Рассмотрим две плоскости A1 x  B1 y  C1 z  D1  0, A2 x  B2 y  C2 z  D2  0. Их
нормальные векторы имеют координаты n1   A1, B1, C1,, n2   A2 , B2 , C2 ,.
1. Если плоскости параллельны, то n1 и n2 коллинеарные,  , их
координаты пропорциональны,  , условие параллельности
плоскостей имеет вид
A1 B1 C1

 .
A2 B2 C2
2. Если плоскости перпендикулярны, то n1  n2 , , n1  n2  0, ,
A1 A2  B1B2  C1C2  0 
условие перпендикулярности плоскостей.
55
3. Углом между плоскостями называется угол между их нормальными
nn
векторами, ,cos   cos n1n2  1 2 ,  ,
n1  n2
A1 A2  B1B2  C1C2
cos  

2
2
2
2
2
2
A1  B1  C1  A2  B2  C2
угол между плоскостями.
§ 3. Основные задачи на составление уравнений плоскости
1. Найти
уравнение
плоскости,
проходящей
через
данную
точку
M  x0 , y0 , z0  , перпендикулярно данному вектору n   A, B, C .
Решение.
Пусть М (х, у, z) — произвольная точка плоскости. По условию вектор
MM 0   x  x0 , y  y0 , z  z0 
перпендикулярен
данному
вектору
Следовательно, скалярное произведение этих двух векторов равно нулю,
т. е., n  MM 0  0 .
Записывая это условие в координатах
A x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 ,
получим искомое уравнение.
2. Найти уравнение плоскости, проходящей через данную
точку M  x0 , y0 , z0  параллельно двум данным (неколлинеарным)
векторам a  ax , a y , az , b  bx , by , bz 
Решение.
56
n.
Возьмем произвольную точку плоскости M  x, y, z  . Векторы
MM 0   x  x0 , y  y0 , z  z0  , a и b будут компланарны, так как они
расположены в параллельных плоскостях. Следовательно, их смешанное
произведение М 0 М  a  b  0 .
Записывая это условие в координатах, получим уравнение искомой
плоскости в виде
x  x0
y  y0
z  z0
ax
ay
az
bx
by
bz
0
искомое уравнение.
3. Найти уравнение плоскости, проходящей через две данные точки
M1  x1 , y1 , z1  , M 2  x2 , y2 , z2  параллельно данному вектору
a  ax , a y , az . ( М 1 М 2 и a неколлинеарные).
Решение.
Пусть М (х, у, z) —произвольная точка плоскости.
Тогда векторы M 1M   x  x1 , y  y1 , z  z1 , M 1M 2   x2  x1 , y2  y1 , z2  z1
57
располагаются в параллельных плоскостях и, следовательно,
компланарны.
Приравнивая к нулю смешанное произведение этих векторов, получим
искомое уравнение в виде
x  x1
y  y1
z  z1
x2  x1
y2  y1
z2  z1  0.
ax
ay
az
4. Найти уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
M1  x1, y1, z1  , M 2  x2 , y2 , z2  , M 3  x3 , y3 , z3 .
Решение.
Возьмем произвольную точку М (х, у,z) плоскости и соединим одну из
данных точек, например, М1 с точками М, М2 и М3,. Векторы М 1 М , М 1 М 2 ,
М 1 М 3 компланарны, и поэтому их смешанное произведение равно нулю:
x  x1
y  y1
z  z1
x2  x1
y2  y1
z2  z1  0.
x3  x1
y3  y1
z3  z1
Полученное уравнение — искомое.
§ 4. Прямая в пространстве
1.
Уравнения прямой как линии пересечения двух плоскостей
Пусть в прямоугольной системе координат даны две различные плоскости
A1 x  B1 y  C1 z  D1  0, A2 x  B2 y  C2 z  D2  0. Линией пересечения этих
плоскостей является прямая, следовательно,
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0,
─

 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
общие уравнения прямой в пространстве (как линия пересечения
плоскостей).
Так как через любую прямую в пространстве проходит множество
плоскостей, то любую прямую можно задать ее общими уравнениями и не
единственным образом.
58
2.
Уравнения прямой, проходящей через две точки
Пусть прямая проходит через две точки
M1
M 1 ( x 1, y1, z1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Тогда векторы
M1M 2  {x 2  x1, y2  y1, z2  z1} и
M2
M 1M  {x  x1 , y  y1 , z  z1} , где M (x, y, z) - текущая
точка,
коллинеарные, из чего следует пропорциональность их координат
x  x1
y  y1
z  z1
.


x 2  x 1 y 2  y1 z2  z1
Полученные уравнения называются уравнениями прямой через две точки
Канонические уравнения прямой
Записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку
M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , параллельно вектору а  {m; n; p} .
3.
Вектор, параллельный прямой в пространстве, называют направляющим
вектором этой прямой.
Пусть M ( x , y, z ) – текущая точка прямой.
Рассмотрим векторы M 0 M и а . По условию задачи они параллельны,
z
то есть коллинеарны, а значит их координаты
пропорциональны. Получим формулу
M0

r0
x  x 0 y  y 0 z  z0
r M


.
y
O
n
m
p
x
Эти уравнения называют каноническими
уравнениями прямой в пространстве.
4. Параметрические уравнения прямой
x  x 0  t  m ,

y  y0  t  n ,
z  z 0  t  p .
Приведённую здесь систему уравнений называют параметрическими
уравнениями прямой в пространстве .
где x 0 , y 0 , z 0 – координаты некоторой точки на прямой; m , n , p –
координаты направляющего вектора прямой.
5. Переход от общих уравнений прямой к каноническим
Пусть прямая  задана общими уравнениями:
59
 A 1x  B 1 y  C 1z  D 1  0 ,
 A x  B y  C z  D  0 . (*)
2
2
2
 2
Чтобы записать канонические (параметрические) уравнения этой прямой,
необходимо найти ее направляющий вектор а и координаты какой-нибудь
точки M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) на прямой. Координаты точки M 0 – это одно из
решений системы уравнений (*). Выясним, как можно найти направляющий
вектор а .
Пусть  1 и  2 – плоскости, уравнения которых входят в общие
уравнения прямой, n1  { A1 , B1 , C 1} и n2  { A2 , B2 , C2 } – нормальные векторы к
плоскостям  1 и  2 соответственно.
n1
то
Так как прямая  лежит в плоскости  1 ,
векторы n1 и а перпендикулярны.

то
Так как прямая  лежит в плоскости  2 ,
1
векторы n2 и а тоже перпендикулярны.
Следовательно, в качестве а можем взять векторное произведение
векторов n1 и n2 .
ПРИМЕР. Записать канонические уравнения прямой
2 x  3 y  5z  7  0,
 x  3 y  4z  1  0.

1) Найдем одно из решений системы. Переменные x и y можем
выбрать в качестве базисных, а переменную z – свободной. Так как нам не
нужно все множество решений системы, то придадим переменной z
конкретное значение. Например, полагаем z  0 . Тогда переменные x и y
будут удовлетворять системе
2 x  3 y  7  0,
 x  3 y  1  0.

Решаем эту систему по формулам Крамера и получаем:

2 3
1
3
9,
 x
1 
1


7 3
1
3
18
 2 ,
9
2 7
 18 ,
2 
y
2 9
 1.
 9
1
1
9;
Таким образом, (2; 1; 0 ) – одно из решений системы, и точка
M 0 ( 2; 1; 0 ) – точка на рассматриваемой прямой.
2) Найдем направляющий вектор а прямой. Имеем:
n1  {2;  3; 5} ,
n2  {1; 3;  4} ;
i j k
 n1  n2  2  3 5  3i  13 j  9k .
1 3 4
60
Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой можем взять
вектор а  {3; 13; 9} , и канонические уравнения рассматриваемой прямой
будут иметь вид:
x  2 y 1 z

 .
3
13
9
§5. Взаимное расположение прямых в пространстве
Если в пространстве даны две прямые, то они могут 1) быть
параллельны, 2) пересекаться, 3) скрещиваться.
Выясним, как по уравнениям прямых определить их взаимное
расположение.
Пусть прямые  1 и  2 заданы каноническими уравнениями:
x  x 1 y  y1 z  z1
x  x 2 y  y 2 z  z2
1 :




, 2 :
.
m1
n1
p1
m2
n2
p2
Если прямые параллельны, то их
направляющие векторы
 1  {m 1; n 1; p1} и 2  {m2 ; n2 ; p2 }
коллинеарные. Так как коллинеарные векторы
имеют пропорциональные координаты, то
условие параллельности прямых будет иметь
вид:
m 1 n 1 p1
.


m2 n2 p2
Теперь
рассмотрим
две
пересекающиеся прямые. Такие прямые
можно поместить в одну плоскость. Но это
 1  {m 1; n 1; p1} ,
значит, что векторы
2  {m2 ; n2 ; p2 }
и
будут
M1M 2  {x2  x1; y2  y1; z2  z1}
компланарны. Следовательно,
M M , ,   0 ,
1
2
1
2
или, в координатной форме,
x 1  x 2 y 1  y2 z 1  z2
m1
n1
p1  0 .
m2
n2
p2
Это условие пересечения прямых в пространстве.
ПРИМЕР. Прямые
61
1
1
2
1
2
2
1
M1
M2
2
x 1 y  2 z  3
x y 1 z  2




и 2 :
6
2
12
4
9
3
будут параллельны, так как их направляющие векторы  1  {2; 4; 3}
1 :
и
2  {6; 12; 9} удовлетворяют условию:
2 4 3
  .
6 12 9
Прямые
x 1 y  5 z  2
x y  3 z 1




и 4 :
1
2
2
3
1
3
не являются параллельными (их направляющие векторы не коллинеарны) и
для них выполняется условие пересечения (нахождения в одной плоскости):
1  0 5  3 2  ( 1)
1 2 3
1
2
3
 1 2 3 0
2
3
1
2 3 1
3:
Следовательно, прямые  3 и  4 – пересекаются.
И, наконец, рассмотрим прямые
x 1 y  5 z  2
x y 3 z
5 :




и 6 :
.
2
3
1
1
2
3
Они не являются параллельными (их направляющие векторы
коллинеарны), и для них не выполняется условие пересечения):
1 0 5  3 2  0
1 2 2
1
2
3  1 2 3 1  0
2
3
1
2 3 1
Следовательно, прямые  5 и  6 – скрещиваются.
не
Если прямые перпендикулярны, то скалярное произведение их
направляющих векторов будет равно нулю, отсюда получаем условие
перпендикулярности прямых в пространстве:
m m n n  p p 0
1 2 12 1 2
§6. Задачи, связанные с взаимным расположением прямых
Рассмотрим некоторые задачи аналитической геометрии, которые
связаны с взаимным расположением прямых в пространстве.
ЗАДАЧА. Найти угол между прямыми в пространстве
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между двумя прямыми  1 и  2 называется
угол между их направляющими векторами
62
2
Пусть
прямые:
даны
две
1
пересекающиеся
2
2
1
1
2
x  x 1 y  y1 z  z1
и


m1
n1
p1
x  x 2 y  y 2 z  z2
2 :
.


m2
n2
p2
Обозначим
 1  {m 1; n 1; p1} , 2  {m2 ; n2 ; p2 } – направляющие векторы
первой и второй прямой соответственно.
Так как один из углов  1 между прямыми равен углу между их
направляющими векторами, а второй угол  2    1 , то углы  1 и  2
могут быть найдены по формуле
1 :
m1m 2  n1n 2  p1 p 2
 2
,

m12  n12  p12  m22  n22  p 22
1 
2
cos 1,2  
или
cos 1,2  
1
1
1
 2


2
m 1m 2  n 1n 2  p 1 p 2
m12  n12  p12  m 22  n 22  p 22
,
где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину острого угла,
а знак минус – когда надо найти величину тупого угла.
ЗАДАЧА. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве.
Пусть дана прямая
x  x 0 y  y 0 z  z0
:


n
m
p
и M 1 ( x 1, y 1, z 1 ) – точка, не принадлежащая
M1
M0
d


этой
прямой. Обозначим   {m; n; p} – направляющий вектор прямой  ,
M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) – точка на прямой  , d – расстояние от точки M 1 до  .
Рассмотрим параллелограмм, построенный на векторах   {m; n; p} и
M 0 M1 . Тогда d – высота этого параллелограмма, опущенная из вершины
M 1 . Следовательно,
d
 M 0M1
.
ПРИМЕР. Найти расстояние d от точки M 1 7; 9; 7  до прямой
x  2 y 1 z
:

 .
4
3
2
Из условия задачи имеем:   4; 3,; 2, M 0 2; 1, ; 0  . Тогда
63
M 0 M 1  5; 8; 7 ,
i
j k
M 0 M 1   5 8 7  5i  18 j  17 k  5; 18;  17 ,
4 3 2
M 0M1 

d

 5  182   17   638 ,
 M 0M1
2

2
  16  9  4  29 ,
638
 22
29
ЗАДАЧА. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием
между двумя скрещивающимися
прямыми называется длина их общего перпендикуляра.
Пусть даны две скрещивающиеся прямые
x  x 2 y  y 2 z  z2
x  x 1 y  y1 z  z1




и 2 :
,
m2
m1
n2
n1
p2
p1
и d – расстояние между  1 и  2 .
M2
2
Построим плоскость  , проходящую через
прямую  1 параллельно  2 . Тогда d –
1
d d
1
расстояние от прямой  2 до плоскости
Найти это расстояние можно по формуле:

2
M1
Ax 2  By 2  Cz 2  D
,
d
2
2
2
A  B C
где Ax  By  Cz  D  0 – общее уравнение плоскости  ,
M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) – любая точка на прямой  2 .
ПРИМЕР. Найти расстояние d между двумя прямыми
x  2 y 1 z 1
x4 y2 z2
1 :




и 2 :
.
4
1
1
2
2
3
1 :
.
1) Прежде всего, установим взаимное расположение данных прямых. По
условию задачи: 1  4; 1;  1 и M 1 2;  1; 1 – направляющий вектор и
фиксированная точка первой прямой, 2  2;  2;  3 и M 2  4; 2;  2  –
направляющий вектор и фиксированная точка второй прямой;
M 1 M 2  6; 3;  3 . Имеем:
1) 1 ∦ 2 – прямые не параллельны;
2) вычислим  M1M 2 , 1 , 2  :

M1M 2 , 1,
6 3 3

4 1  1  6 3  2   3 12  2   3 8  2   90  0 .
2
2 2 3
64
Следовательно, данные прямые являются скрещивающимися.
2) Запишем уравнение плоскости  , проходящей через прямую  1
параллельно  2 :
x  2 y 1 z 1
 M1M , 1 , 2   4 1  1   5x  10y 10z  30  0
2
2 3
  : x  2 y  2z  6  0 .
Тогда d – расстояние от точки M 2  4; 2;  2  до плоскости  :
Ax 2  By 2  Cz 2  D
1 ( 4 )  2  2  2  ( 2 )  6 18

  6.
d
2
2
2
2
2
2
3
1  ( 2 )  2
A  B C
ЗАДАЧА . Найти точку пересечения прямых.
Пусть даны две пересекающиеся прямые
x  x 1 y  y1 z  z1
x  x 2 y  y 2 z  z2
1 :




и 2 :
,
m1
m2
n2
n1
p2
p1
M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) – точка пересечения прямых. Тогда ( x0 , y0 , z0 ) – решение
системы уравнений
 x  x1 y  y1 z  z1
 m  n  p ,
1
1
1
x  x
y

y
z

z2
2
2



,
 m2
n2
p2
или, переходя к параметрическим уравнениям прямой,
 x  x1  t  m1 ,
 y  y1  t  n1 ,

 z  z1  t  p1 ,
x  x    m ,
2
2

y

y



n

2
2,
 z  z2    p2 .
ПРИМЕР. Найти точку пересечения прямых
x 1 y  5 z  2
x y  3 z 1
1 :




и 2:
.
2
3
1
1
2
3
1) Прямые 1 и  2 не являются параллельными (их направляющие
векторы не коллинеарны) и для них выполняется условие пересечения:
65
1  0 5  3 2  ( 1)
1 2 3
1
2
3
 1 2 3 0.
2
3
1
2 3 1
Следовательно, прямые 1 и  2 – пересекаются.
2) Найдем точку пересечения прямых. Для этого перейдем к их
параметрическим уравнениям:
 x  2  1,
x  t ,


1 :  y  2t  3 , и  2 :  y  3  5 ,
 z    2 ;
 z  3t  1;
и решим систему
x  t ,
 y  2t  3 ,
 2  1  t ,
 z  3t  1,


  3  5  2t  3 ,
 x  2  1,
   2  3t  1;

y

3


5
,

 z    2 ;
   0 , t  1;
 x  1, y  5, z  2 .
Таким образом, точкой пересечения прямых является точка M 0 (1; 5; 2)
§7. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
Пусть в пространстве заданы плоскость  и прямая  . Они могут
быть 1) параллельны;
2) прямая может лежать в плоскости;
3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке.
Выясним, как зная уравнения плоскости и прямой, определить их взаимное
расположение.
x  x 0 y  y 0 z  z0


.
n
m
p
Тогда n  { A, B, C} – нормальный вектор плоскости,
  {m; n; p} – направляющий вектор прямой.
Пусть
 : Ax  By  Cz  D  0

n
и
n
:
n

66

Если плоскость и прямая параллельны или прямая  целиком лежит в
плоскости  , то векторы n и  – перпендикулярны. Следовательно
n l  0 ,
или в координатной форме
Am  Bn  Cp  0 .
Если условие не выполняется, то прямая и плоскость пересекаются в одной
точке.
Частным случаем пересечения прямой и
плоскости
в
одной
точке
является
перпендикулярность прямой и плоскости. В этом
случае
и
будут параллельны, что

n
аналитически означает справедливость равенства
A B C
  .
m n n

N
Теперь укажем условие, которое позволит различать случай
параллельности прямой и плоскости и случай, когда прямая принадлежит
плоскости. Пусть прямая  лежит в плоскости  . Тогда любая точка
прямой лежит в плоскости и, следовательно, ее координаты удовлетворяют
уравнению плоскости. В частности,
Ax 0  By 0  Cz 0  D  0 ,
где M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) – некоторая фиксированная точка прямой  . Если же
прямая параллельна плоскости, то она не имеет общих точек с плоскостью и,
следовательно, для такой прямой
Ax 0  By 0  Cz 0  D  0 .
Таким образом, если прямая лежит в плоскости, то должны
выполняться два условия:
n  l  0 и Ax 0  By 0  Cz 0  D  0 ;
если же прямая параллельна плоскости, то
n  l  0 , но Ax 0  By 0  Cz 0  D  0 ,
где M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) – некоторая фиксированная точка прямой  .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между прямой  и
плоскостью  называется угол  между прямой
ее проекцией на плоскость  .
Из определения следует, что угол между
прямой и плоскостью не превышает 90 , т.е. угол
острый.

 – угол между прямой
Пусть
плоскостью  , M 0 – их точка пересечения.
67
и
1
n




M0

 и
Через M 0 перпендикулярно плоскости  проведем прямую 1 . Для
1 вектор n является направляющим и, следовательно, острый угол 
между прямыми  и 1 может быть найден по формуле
cos 
n
n 
.
  90   ,
Но
 sin   cos 
n
– формула для определения
n 
угла между прямой  и плоскостью  .
§8. Поверхности второго порядка
Название
2
однополостный
4
параболоиды
3
гиперболоиды
1
поверхности
эллипсоид
цилиндры
5
6
Каноническое уравнение
х2 y2 z 2


1
a2 b2 c2
(рис 1)
х2 y2 z 2


1
a2 b2 c2
(рис. 2)
х2 y2 z 2


 1
a2 b2 c2
(рис. 3)
х2 y2

 2z
a 2 b2
(рис. 4)
х2 y2

 2z
a 2 b2
(рис. 5)
эллиптический цилиндр
х2 y2

1
a2 b2
(рис. 6)
гиперболический
х2 y2

1
a2 b2
(рис. 7)
гиперболоид
двуполостный
гиперболоид
эллиптический
параболоид
гиперболический
параболоид
цилиндр
68
параболический
у2 = 2рх
(рис. 8)
цилиндр
7
конус
8
х2 y2 z 2


0
a2 b2 c2
(рис. 9)
,
9
I. Эллипсоид.
рис.1
Эллипсоид – это поверхность, которая в декартовой системе координат
определяется уравнением
х2 y2 z 2


 1,
a2 b2 c2
где a, b, c  полуоси эллипсоида.
1) если a  b  c, то эллипсоид называется трехосным;
2) когда две полуоси равны, то эллипсоид называется поверхностью
вращения, например, если a  b, осью вращения будет Oz;
3) если a  b  c, то эллипсоид вращения вытянутый; если a  b  c, то ―
сжатый;
4) если a  b  c, то эллипсоид называется сферой.
Сечение любой плоскостью дает эллипс:
 х2 y 2 z 2
 2  2  2  1,
1) сечение плоскостью xOy :
b
c
a
 z  0.

Отсюда,
69
х2 y 2

 1.
a 2 b2
2) сечение плоскостью xOz :
 х2 y 2 z 2
 2  2  2  1,
b
c
a
 y  0.

Отсюда,
х2 z 2
  1.
a2 c2
3) сечение плоскостью yOz :
 х2 y 2 z 2
 2  2  2  1,
b
c
a
 x  0.

Отсюда,
y 2 z2

 1.
b2 c2
II.
Гиперболоид.
рис.2
рис.3
Гиперболоид ― это поверхность, которая в декартовой системе координат
определяется уравнением
70
х2 y 2 z 2
х2 y 2 z 2

  1 или 2  2  2  1.
a 2 b2 c 2
a
b
c
где a, b, c  полуоси гиперболоида.
Первое из уравнений определяет однополостный гиперболоид (рис.2), а
второе ― двуполостный гиперболоид (рис.3).
Рассмотрим сечения:
1) плоскостью xOy :
 х2 y 2 z 2
 2  2  2  1,
b
c
a
 z  0.

Отсюда,
х2 y 2

 1  уравнение эллипса.
a 2 b2
2) плоскостью xOz :
 х2 y 2 z 2
 2  2  2  1,
b
c
a
 y  0.

Отсюда,
х2 z 2
  1  уравнение гиперболы.
a2 c2
3) плоскостью yOz :
 х2 y 2 z 2
 2  2  2  1,
b
c
a
 x  0.

Отсюда,
y 2 z2
  1  уравнение гиперболы.
b2 c 2
III. Параболоид.
71
рис.5
рис.4
Параболоид ― поверхность, определяемая уравнениями
х2 y 2

 2 z (1) и
p
q
х2 y 2

 2 z (2)
p
q
где p  0, q  0  параметры.
Первое из уравнений определяет эллиптический параболоид (рис.4).
Рассмотрим сечения:
1) плоскостью, параллельной плоскости xOy :
72
 x2 y 2
 2 z,
 
p q
 z  h.

Отсюда,
х2 y 2

 2h ,
p
q
если h  0, то в сечении точка; если h  0, то ― мнимый эллипс; если
h  0, то ― эллипс.
2) плоскостью xOz :
 x2 y 2
 2 z,
 
p
q

 y  0.

x2
 2 z , x 2  2 pz  восходящая парабола, симметричная относительно
p
оси Oz и вершиной в начале координат.
3) плоскостью yOz :
 x2 y 2
 2 z,
 
p q
 x  0.

Отсюда,
y2
 2 z , y 2  2 pz  восходящая парабола, симметричная относительно
p
оси Oz и вершиной в начале координат.
Второе уравнение определяет гиперболический параболоид (рис.5).
Рассмотрим сечение плоскостями:
1) плоскостью, параллельной плоскости xOy :
 x2 y 2
 2 z,
 
p q
 z  h.

Отсюда,
х2
y2

 1  уравнение гиперболы.
2hp 2hq
2) плоскостью, параллельной плоскости yOz :
73
 x2 y 2
 2 z,
 
p q
 x  h.

Отсюда,
h2 y 2

 2 z  парабола, симметричная относительно плоскости xOz.
p q
3) плоскостью xOz :
 x2 y 2
 2 z,
 
p q
 y  0.

Отсюда,
x 2  2 pz  восходящая парабола, симметричная относительно оси Oz с
вершиной в начале координат.
IV. Цилиндр.
рис.6
Эллиптический цилиндр (рис.6). Его простейшее уравнение
х2 y2

1,
a2 b2
где a, b  полуоси цилиндра.
Если a  b, то это круговой цилиндр.
Гиперболический цилиндр (рис.7). Его простейшее уравнение
х2 y 2

 1.
a 2 b2
74
рис.7
Параболический цилиндр (рис.8). Его уравнение
y 2  2 px.
рис.8
Мнимый цилиндр определяется уравнением
x 2  y 2  1.
V.
Конус.
Конусом второго порядка называется поверхность, заданная уравнением
х2 y2 z 2


0.
a2 b2 c2
Рассмотрим сечения:
1) плоскостью, параллельной xOy :
 х2 y 2 z 2
 2  2  2  0,
b
c
a
 z  c.

Отсюда,
х2 y 2

1
a 2 b2
2) плоскостью xOy :
 х2 y 2 z 2
 2  2  2  0,
b
c
a
 z  0.

75
Тогда получим
х2 y 2

 0.
a 2 b2
рис.9
3) плоскостью xOz :
 х2 y 2 z 2
 2  2  2  0,
b
c
a
 y  0.

Отсюда
х2 z 2

 0,
a2 c2
 x z  x z 
      0,
 a c  a c 
x z
x z
  0,
  0,
a c
a c
a
a
x  z, x   z 
c
c
прямые.
4) плоскостью yOz : (аналогично предыдущему).
76
77