Задача К-1 Даны уравнения движения точки в плоскости xy: x = 3sin( π y = 4-9cos( π t). 6 t)-2; 6 (x,y -в сантиметрах, t - в секундах). Определить уравнение траектории точки; для момента времени t1 = 1 c найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения в соответствующей точке траектории. РЕШЕНИЕ. 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Для чего произведем математические преобразования с заданными уравнениями траектории точки, решая их совместно: x = 3sin( π t)-2 x+2 π = sin( 6 t) 6 3 = π –y+ 4 y = 4-9cos( t) = cos( π t) 6 9 6 Возведем в квадрат левые и правые части преобразованных уравнений, и новые значения сложим и получим следующие выражения: 2 π x+2 = sin² ( 6 t) 3 + –y+ 4 2 = cos² ( π t) 6 9 2 = π sin² ( t) + cos² (6π t) 6 π Из математики известно, что sin² ( t) + cos² (6π t) = 1. 6 Далее, можем записать: 2 y– 4 2 x+2 2 = 1. + (–1) 9 3 Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (рис.1): x+2 3 = x+2 3 2 + + y– 4 9 –y+ 4 2 9 2 =1 = - уравнение эллипса Где, числа 3 и 9 есть длины половин осей симметрии эллипса. Числа 2 и – 4 определяют положение центра эллипса. y с •+4 –2 • 0 x Рис. 1 2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси: VX = dX π cos π t = 6 ; 2 dt V= VX + Vy 2 Vy = dy 3π sin π t = 6 ; 2 dt и при t = 1 c 2 V1X = 1,36 см/с, V1y = 2,36 см/с, V1 = 2,72 см/с. 3. Аналогично найдем ускорение точки: y π2 π X аy = dV аX = dV – = sin 6 t ; = dt dt 12 а= аX2 + аy2 ; π 2 cos π t 6 ; 4 и при t = 1 с а1X = – 0,41 см/с 2 , а1y = 2,13 см/с 2, а1 = 2,17 см/с 2 . 3. Касательное ускорение найдем дифференцируя по времени 2 2 равенство Получим V 2 = VX + Vy . dVy dVX аτ = dV = VX аX + Vy аy . и 2V dV = 2VX 2Vy + dt V dt dt dt Подставив числовые значения в последнее уравнение при t = 1 с, Найдем а1τ = 1,36 • (– 0,41) + 2,36 • 2,13 = 1,64 см/с 2 . 2,72 5. Нормальное ускорение точки аn = а 2 – аτ 2 . Подставляя сюда найденные числовые значения а1 и t1 = 1 c а1τ , получим, что при а1n = 1,42 см/с 2 . 6. Радиус кривизны траектории ρ = числовые значения Ответ: V1 и V1 = 1,36 см/с; V 2 . Подставляя сюда а n а1n , найдем, что при t1 = 1 c ρ1 = 1,30 см. а1 = 2,17 см/с 2 ; а1τ = 1,64 см/с 2 ; а1n = 1,42 см/с 2 ; ρ1 = 1,30 см.
