matemat-spora

Формулы сокращенного умножения:
Деление с остатком:
a c ad  cb
 
b d
b d
Квадрат суммы
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Квадрат разности
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Разность квадратов
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Куб суммы
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Куб разности
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Сумма кубов
a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2)
Разность кубов
a3 – b3 = (a – b)( a2 + ab + b2)
Формула
деления с остатком:
n=
mk + r,
где n – делимое, m делитель, k - частное, r –
остаток: 0  r < m
Вычитание
a c ad  cb
 
b d
b d
Умножение
Делимость натуральных чисел:
арифметической прогрессией:
an+1 = an + d, где d – разность прогрессии.
Sn 
Пусть n : m = k, где n, m, k – натуральные числа.
Тогда m – делитель числа n, а n – кратно числу m.
Число n называется простым, если его делителями являются
только единица и само число n.
Множество простых чисел: {2; 3; 5; 7; 11; 13; . . .; 41; 43; 47 и т.д.}
Числа n и m называются взаимно простыми, если у них нет
общихделителей, кроме единицы.
an = ak + d(n – k)
an + am = ak + al, если
n+m=k+l
a1  an
n
2
Sn 
2a1  d (n 1)
n
2
Десятичные числа:
Геометрическая прогрессия
Определение: Последовательность, у которой задан первый член b1  0, а
каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же
число q  0, называется геометрической прогрессией:
bn+1 = bn q, где q – знаменатель прогрессии.
bn = b1 qn – 1
bn2 = bn-1 bn+1
bn = bk qn – k
bn bm = bk bl,
если n + m = k
+l
Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия
b (1 q n )
Sn  1
1 q
b
S 1
1 q
Степень
Определение
a n  a  a  a...  a , если n – натуральное число
a – основание степени, n - показатель степени
n
a1  a a m  m a n
a0  1
a n 
1
an
Формулы
n
a a
an
m
a
a  b  a  b
nm
n
n
n
n
an
a
 
b
b
a
Арифметический квадратный корень
Определение
 a n m
m
n
Стандартный вид: 317,3 = 3,173 102 ;
0,00003173 = 3,173 10-5
Форма записи:
3173 = 3 1000 + 1 100 + 7 10 + 3
 a  a
a  a
a b  a  b
2
a

b
 x, если x  0
x 
  x, если x  0
b
k a k  a k ak  a k a  b  k a  k b
k
a
a
k
 k
b
b
1
k m k m k
a  a
a  ak
Если
D<0
D=0
D>0
не имеет корней
x
имеет один корень x1
имеет два корня
x1; x2
то
уравнение
Приведенное квадратное уравнение:
x1 + x2 = - p
x1  x2 = q
x1+x2 = -b/a
x1 x2 = c/a
x2 + px + q = 0
Логарифм
Определение
Логарифмом числа по b основанию a называется такое число,
loga b
обозначаемое
.
a , что
a
b
a - основание логарифма (a > 0, a  1),
b - логарифмическое число ( b > 0)
abисd acbd
lg b  log10 b
ln b  loge b где e = 2,71828
f ( x)   f ( x)  f ( x)  0
2
2
f ( x )  af ( x )  k  f ( x )  a f ( x )  k
4.
2
2
f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)   f ( x)  g ( x)   f ( x)  g ( x)  0
Замена : y  f ( x )  y  ay

Правило:
ab, cde( fg ) 
abcdefg  abcde
99000
Проценты
Определение:
Процентом называется сотая часть от числа.
1%A = 0,01A
Основные типы задач на проценты:
Сколько процентов составляет число A от числа B?
1
log a b 
log b a
A
 x  100%
B
B
100%
A
x%
Сложные проценты.
Число A увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшили на
25%.
Как, в итоге, изменилось исходное число?
1)
A1 = (100% + 20%)A = 120%A = 1,2A
2)
A2 = (100% - 25%)A1=75%A1 = 0,75A1 = 0,751,2A = 0,9A =
90%A
3)
A1 – A = 90%A – 100%A = -10%A
 Ответ:
уменьшилось на 10%. Изменение величины.
Как изменится время, если скорость движения увеличится на 25%?
t
S
v

 t1 
S
S

v1
S
v
 t1 
S


1,25 v
Ответ:
1 S
 0,8
1,25 v
S
 80 %t
at vt  ,
v – скорость, a - ускорение.
Определенный интеграл
 f x dx  F b   F a 
a
Первообразная элементарных функций
№ f(x)
F(x)
№ f(x)
F(x)
k
kx  C
2
xn
x n1
C
n 1
3
1
x
ln x  C
sin x  cos x  C
6
1
cos 2 x
7
1
2
sin x
8
ex
tgx  C
 ctgx  C
ex  C
Первообразная
k  F x 
F1 x  F2 x
1
F ax  b 
a
Правила вычисления производной функции

(C )' 0
u
u v u v
  



v2
C  u   C  u 
v
Сложная функция:
y  f  x  y  f'   x'

1 S
 0,8
S
 80 %t
v1 1,25 v 1,25 v
v
Ответ:
уменьшится на 20%
Среднее арифметическое, геометрическое
Среднее арифметическое:
Среднее геометрическое:
№
Функ
ция
Произво
дная
№
1
xn
nx n 1
sin x
cos x
2
3
4
5
a1  a2  a3  ...  an
n
k
a1  a2  ...  ak
Уравнение движения
Функ
ция
Произво
дная
6
ex
ex
7
ax
a x ln a
cos x  sin x
1
tgx
cos2 x
ctgx

8
1
sin2 x
9
1
x
ln x
loga x
1
x  ln a
Равносильные уравнения:
Исходное
уравнение
Равносильное
уравнение (система)
f ( x)  g ( x)

f ( x)  C  g ( x)  C
f ( x)  g ( x)  0

 f ( x)  0
 g ( x)  0

f ( x)
0
g ( x)

 f ( x)  0

 g ( x)  0
f 2 ( x)  g 2 ( x)  0

 f ( x)  0

 g ( x)  0
v
уменьшится на 20%
S

b
k

log c a
Дроби
Сложение
2
Периодическая дробь
3173  31
990

……7
5
……0
Производные элементарных функций
3.

log c b
1
log a m b  log a b log a b 
log c a
m
где
c ) f ( x )   k ( k  0)  x  
log a b n  n  log a b
b
На 10
Числа, оканчивающиеся нулём.
u  v   u   v  u  v
2. f ( x)  f ( x)  f ( x)  0
b
log a    log a b  log a c
c
b a
Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число,
делящееся на 25.

b) f ( x )  0  f ( x)  0
t
a
Числа, оканчивающиеся нулём или цифрой 5.
На 25
u  v'  u'v'
Модуль: уравнения и неравенства
log a b  c   log a b  log a c
log cb
Числа, сумма цифр которых делится на 9.
На 5
f ax  b
a  b и с  0  ac  bc
log a 1  0 log a a  1
loga b
Числа, сумма цифр которых делится на 3.
На 9
f 1 x   f 2 x 
a  b и с  0  ac  bc
Теорема Виета
Формулы
На 3
k  f x 
Признаки делимости чисел:
D = b2 – 4ac
Натуральный логарифм:
Числа, у которых три последние цифры нули или выражают число,
делящееся на 8.
Функция
abacbc
3,1737373...  3,1(73) 
Десятичный логарифм:
На 8
Определение:
Функция F(x) называется
первообразной для функции f(x), если F x  f x .
abиbcac

log b
Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число,
делящееся на 4.
…….6
……1
2
…..10
4
57061
2
35945
1
…….5
cos x sin x  C
ax
C
9
ax
5
ln a
Правила вычисления первообразной функции
abba
Квадратное уравнение:
Дискриминант:
На 4
Тогда: v t  S  t ;
4
5. f ( x)  k  f 2 ( x)  k 2  f ( x)  k  f ( x)  k  0
ax2 + bx + c = 0
Пример
Числа, оканчивающиеся нулём или четной цифрой
Определение

-x=x

x  y = x  y

x  x

x : y =x : y

x + y  x + y
2
x = x2
Неравенства
Определения:
Неравенством называется выражение вида:
a < b (a  b),
a > b (a  b)
a  b
a b  
a  b
Основные свойства:
a
Корнем k–ой степени из a (k - нечетное) называется число, k-ая степень
которого равна a.
 
Признак
На 2
1
Модуль
Формулы

x  0

x - y  x - y
Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a - ( a ) 1.
a ) f ( x )  k ( k  0)  f ( x )   k
- называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.
2
где S – путь, t – время движения.
a c ac
 
b d b d
Пример:
Любое число можно
Деление
представить в виде:
a c a d a d
n = 2k + r, где r = {0; 1}
:   
или n = 4k + r, где r = {0; 1;
b d b c bc
Составная дробь
Арифметическая прогрессия
a mb  a 2; 3}
m 
Последовательность, у которой задан первый член a1, а каждый следующий
b
b
равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется
an = a1 + d(n – 1)
2an = an-1 + an+1
Пусть S (t ) - уравнение движения материальной точки,
Числовые множества:
Натуральные числа
N = { 1; 2; 3; 4; . .}
Целые числа
Z=N
Рациональные числа
Действительные числа
Q=Z
R=Q
{ 0; -1; -2; -3; …}
1 1 1 1

 ;  ; ;  ; . . .
2 2 3 3

 2; 3; и т.д.;   3,14..; .
Тригонометрия
Косинус:
Основные триг. формулы
cos x  0  x 
sin 
cos 
tg 
1  tg 2 
ctg 
1
cos 2 

cos 
sin 
cos
2
1
sin 2 
sin x  1  x  
2
cos   cos   2 cos
 
2
cos

 
2
cos   cos   2 sin
sin    
cos  cos 
tg  tg 
 
sin
2

2
x  arcctga  n, n  Z
Формулы обратных триг функций


arctgxarcctgx
arcsin x  arccos x 
2
2
 
2
Если 0 < x  1, то
Если x > 0 , то
arccos(-x) =  arctg(-x) = - arctgx
arccosx
arcctg(-x) =  - arcctgx
arcsin(-x) = - arcsinx
Обратные триг функции
Свойства
Функция
Область
Множество
определения
значений
 1; 1
arccosx
[0; ]
Формулы суммы аргументов:
sin      sin  cos   cos  sin 
sin      sin  cos   cos  sin 
cos     cos  cos   sin  sin 
cos     cos  cos   sin  sin 
tg  tg
1  tgtg
tg     
tg     
tg  tg
1  tgtg
Формулы произведения функций
1
cos     cos   
2
1
cos  cos   cos     cos   
2
1
sin  cos   sin      sin    
2
sin  sin  
sin 2

2
ctgx  a 
x  arctga  n, n  Z
sin    
cos  cos 
tg  tg 
2
2
 2n
tgx  a 
2
sin

Общая формула:
n
sin x  a  x   1 arcsin a  n, n  Z
Уравнения с тангенсом и котангенсом
 
sin   sin   2 cos
cos x  1  x  2n
Уравнения с синусом
Частные формулы:
tg  ctg  1 sin x  0  x  n sin x  1  x    2n
Формулы суммы функций
 
 n
cos x  a  x   arccos a  2n, n  Z
sin 2   1  cos 2 
cos 2   1  sin 2 
1  ctg 2 
sin   sin   2 sin
2
cos x  1  x    2n

sin 2   cos 2   1

arcsinx
 1; 1
[-/2; /2]
arctgx
 ; 
(-/2; /2)
arcctgx
 ; 
(0; )
Формулы половинного аргумента
1  cos 
2

cos 2

2

1  cos 

sin 
1  cos 
tg 

2
2 1  cos 
sin 
Формулы двойного аргумента
sin 2  2 sin  cos 
cos 2  cos 2   sin 2   2 cos 2   1  1  2 sin 2 
tg 2 
2tg
1  tg 2
Формула дополнительного угла
где
a sin   b cos   a 2  b 2 sin    
b
sin  
cos  
a
a2  b2
Определение тригонометрических функций
a2  b2

900
1800
1
cos
0 cos
900
1
1800
0
10

sin
0
00
sin

- 270
1
 2700
0
tg
900


1
1
0
1800
1800
tg
2700
1
tg 
ctg

00
sin 
2700
cos 
1 ctg
0
 ctg 
cos 
sin 
Универсальная подстановка
2tg
sin 2 
1  tg 2
cos 2 
1  tg 2
1  tg 2
Свойства тригонометрических функций
Свойства
Функ
ция
Область
определения
cosx
x   ; 
sinx
x   ; 
tgx
ctgx
x

 n, n  Z
2
Множес
тво
значени
й
 1; 1
 1; 1
 ; 
x  n, n  Z  ; 
Четностьнечетность
Период
cos(-x)= cosx

sin(-x)= -sinx

tg(-x)= -tgx

ctg(-x)= -ctgx

Тригонометрические уравнения
Геометрия
Теорема косинусов, синусов
B
Теорема косинусов:

c
A
H
c  a  b  2abcos 
2

b
2
куб
Sбок.= R(R+L)
a
b
c


 2R
sin  sin  sin 
C
вписанные углы
S бок   R L
Теорема синусов:
a

2
1
V   R2H
3
V a3
R
Усеченный конус
Площадь треугольника

S  p p  a p b p c
1
S  aha
2
R
1
b
ha
c
центральный
угол
1
V  H ( R12  R1 R2  R22 )
3
S бок  ( R1  R2 ) L
H
Сектор
b
R

a
a
Вписанная окружность
b
abc
S

pr
S
4R
c
d
Средняя линия
O
Средняя линия – отрезок,
B
с
соединяющий середины двух
a
с
сторон треугольника.

Центр окружности, вписанной в треугольник,
Средняя линия параллельна
c
a
лежит на пересечении биссектрис треугольника.
т
третьей стороне и равна
nb

Если окружность вписана в произвольный
е
её половине:
1
четырехугольник, тогда попарные суммы
nb  b
A
C
противолежащих сторон равны между собой:
2
b
a+b=c+d
Средняя линия отсекает подобный треугольник, площадь
Описанная окружность
которого равна одной четверти от исходного
Касательная, секущая
Равносторонний треугольник


треугольник, у которого все стороны равны.
O
 Все углы равны 600.
 O
O
O

 Каждая из высот является одновременно

биссектрисой и медианой.

Центр окружности, описанной около треугольника,
 Центры описанной и вписанной окружностей
лежит на пересечении серединных перпендикуляров к
совпадают.
его трем сторонам.
 Радиусы окружностей:
a 3
a 3

Центр окружности, описанной около прямоугольного
r
; R
6
3
треугольника, лежит на середине гипотенузы.

Около трапеции можно описать окружность только
Площадь
a2 3
a
1
S  a  b  sin 
2
S
A
2
4

Равнобедренный треугольник
треугольник, у которого две стороны равны.
1.Углы, при основании треугольника, равны
2.Высота, проведенная из вершины, является
биссектрисой и медиан
b
б
b


тогда, когда трапеция равнобочная.
Если окружность описана около произвольного
четырехугольника, тогда попарные суммы
противолежащих углов равны между собой:
O
Сектор – часть круга,
ограниченная двумя
его радиусами.

Длина дуги сектора:
R
l
180 0
Площадь сектора:
B
S
R 2
360 0
Касательная, секущая
B
N
M
A
P
K
O
C
Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну
общую точку.
Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие
точки.

AB OB  AC OC 

AB  AC

AM  AN  AP  AK  AB
     
2
Призма
V  S осн  H
Длина окружности, площадь
радиус
a
bc
b
R
Прямоугольный треугольник
h
Теорема Пифагора: c 2  a 2  b 2

Тригонометрические соотношения:

Площадь:
S
1
a b
2
l  d  2  R
Площадь круга:
S   R 2
Хорда
Центр описанной окружности лежит на середине
гипотенузы.
Радиусы окружностей: r  a  b  c ; R  c
2
2
Высота, опущенная на гипотенузу:
a c  bc 
ab
;
c
a
 
b
2

S бок  2  RH
V  R 2 H
Медиана
B
C
B
c
M
A
bc
a  ac  c ; b  bc  c
Катеты:

Неравенство треугольника:
a + b > c; a + c > b; b + c > a
Сумма углов: 
Против большей стороны лежит больший угол, и обратно,
против большего угла лежит большая сторона.
Против равных сторон лежат равные углы, и обратно,
против равных углов лежат равные стороны.
Основные соотношения в треугольнике
D
Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен
хорде.

В окружности равные хорды равноудалены от центра
окружности.

Отрезки пересекающихся хорд связаны равенством:
4
V   R3
3
ac
b
c
Конус
C
b
Медиана – отрезок, соединяющий вершину
треугольника с серединой противоположной стороны.

Медианы треугольника точкой их пересечения
делятся в отношении 2:1 (считая от вершины
треугольника).

Медиана делит треугольник на два треугольника с
равными площадями.
Шар
S
бок
 4 R
2
c w
делящий угол пополам.

Биссектриса делит противолежащую сторону на части ,
пропорциональные прилежащим сторонам: ab : ac = b : c

Биссектриса делит площадь треугольника,
пропорционально прилежащим сторонам.

w  bc  a a
a
A
ma 
AM  MB  CM  MD
B Биссектриса
a
ab
C
A
b
Биссектриса – отрезок,
выходящий из вершины треугольника и
m
a
ac


Длина окружности:
a
b
b
cos  ; sin   ; tg 
c
c
a
h


Цилиндр



прямая
призма
хорда
дуга
a

диаметр
Od
ac – проекция катета
a
Шаровой сектор
H
R
2
V   R 2 H S бок   R 2 RH  H 2
3
Шаровой сегмент
S  2 RH
1
V   2 H (3R  H )
3
Центральный, вписанный угол
H
R
1
2
2b 2  2c 2  a 2
a  2mb2  mc2  ma2
2
3
Правильная пирамида
и
м
Правильная пирамида
пирамида, у которой в основании
правильный многоугольник, а вершина с
проецируется в центр основания.
М
м
м
Все боковые рёбра равны между м
собой и все боковые грани – равные
равнобедренные треугольники.
1
1
V S
H; S
 P  h,
бок 2
3 осн
Усеченная пирамида
1
Sбок  ( P1  P2 ) H
2
1
V  ( S1  S 2  S1  S 2 )
3
Скалярное произведение
Скалярное произведение
 
a  b  a  b cos
 
a  b  xa xb  y a yb  z a zb
Произвольный выпуклый четырёхугольник:

Сумма всех углов равна 3600.

a


1
S  d1 d 2 sin 
2
Правильный многоугольник
Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого
все стороны и углы равны между собой.

Около всякого правильного многоугольника можно описать
окружность и в него вписать окружность, причём центры этих
окружностей совпадают.

b
Сумма, разность векторов

a ( x a ; y a ; z a ) и b( x b ; y b ; z a )
 
a  b  ( x a  xb ; y a  y b ; z a  z b )
 
a  b  ( xa  xb ; y a yb ; z a  z b )
a


a
Сторона правильного n–угольника:
1
1
360 0
S n  Pn r; S n  R 2 nsin
2
2
n
 
ab
180 0
n
R
O
r
Произвольный выпуклый многоугольник
Произвольный выпуклый многоугольник:

Сумма всех углов равна  n  2 или 180 0 n  2

ab




Трапеция
a
смежные углы
n

h
Трапеция: b
Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а
другие не параллельны, называется трапецией.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и
внутренние
односторонние
равна:
вертик
альны
е
Перпендикулярность,
коллинеарность
Перпендикулярные вектора:

1
nn 3
2
Число диагоналей:
Углы на плоскости

an  2 R sin
Площадь правильного n–угольника:

b

b
Площадь:
n
a b Площадь:
a b
S
h  nh
2
2
Квадрат
Квадрат:
Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется
квадратом.
 

a b  ab 0

Коллинеарные вектора:
Диагональ квадрата d  a
1
S a  d 2
2 a
 
x
y
z
a b  a  a  a 
xb y b z b
 

a b ab
Площадь:
2
2
d
a
Ромб
Ромб:
Параллелограмм, все стороны которого равны

Координаты вектора: a ( x ; y ; z )  a  x i  y j  z k
называется ромбом.
a
a
a
a
a
a
 Диагональ ромба является его осью симметрии.
Диагонали взаимно перпендикулярны. Диагонали
Длина вектора:

являются биссектрисами углов.
2
2
2
a  xa  y a  z a
 Площадь:
1
S  d1d 2
2

Умножение вектора на число:
 a  ( xa ; y a ; z a )
Параллелограмм
Координаты вектора
Параллелограмм:
Четырёхугольник, у которого противоположные стороны
попарно параллельные называется параллелограммом.

Середина диагонали является центром симметрии.

Противоположные стороны и углы равны.

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных
треугольника.

Диагонали делятся точкой пересечения пополам:
Свойства прямых и плоскостей
S

B
B

A
C
M
A
’
O
B
’
d12  d 22  2(a 2  b 2 )
A
D

(SO) – перпендикуляр к плоскости (ABCD). O – проекция точки S.
SO – расстояние от точки S до плоскости (ABCD).
Площадь:
S  a  ha  a  b  sin  
 – двугранный угол между плоскостями (SAB) и (ABCD).
Теорема о трёх перпендикулярах:  AB SM    AB OM 
B
C
Значения
Функция

0
0


300


450
2
2


600
1
2


900
1
3
2
sinx
0
1
2
2
2
3
2
1
tgx
0
3
3
1
3
-
ctgx
-
3
1
3
3
0
cosx
Выпуклый четырёхугольник
d1
0
A
d2
ha
b
1
d 1  d 2  sin 
2

d1

a
D
Прямоугольный параллелепипед
V=abc d2=a2+b2+c2