ege2020-ma-shpargalki

Формулы сокращенного умножения:
Деление с остатком:
a c a d  cb
 
b d
bd
Квадрат суммы
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Квадрат разности
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Разность квадратов
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Куб суммы
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Куб разности
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Сумма кубов
a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2)
Разность кубов
a3 – b3 = (a – b)( a2 + ab + b2)
Формула
деления с остатком:
n=
mk + r,
где n – делимое, m делитель, k - частное, r –
остаток: 0  r < m
Вычитание
a c ad  cb
 
b d
b d
Умножение
a c ac
 
b d bd
a c a d a d
:   
b d b c bc
Составная дробь
a
m 
b
Последовательность, у которой задан первый член a1, а каждый следующий
b
равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется
Делимость натуральных чисел:
арифметической прогрессией:
Пусть n : m = k, где n, m, k – натуральные числа.
an+1 = an + d, где d – разность прогрессии.
Тогда m – делитель числа n, а n – кратно числу m.
an = a1 + d(n – 1)
an = ak + d(n – k)
Число n называется простым, если его делителями являются
2an = an-1 + an+1
an + am = ak + al, если
только единица и само число n.
n+m=k+l
Множество простых чисел: {2; 3; 5; 7; 11; 13; . . .; 41; 43; 47 и т.д.}
2a1  d (n 1)
Числа n и m называются взаимно простыми, если у них нет
a1  an
Sn 
n
Sn 
n
общихделителей, кроме единицы.
2
2
Десятичные числа:
Геометрическая прогрессия
Определение: Последовательность, у которой задан первый член b1  0, а
каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же
число q  0, называется геометрической прогрессией:
bn+1 = bn q, где q – знаменатель прогрессии.
n–1
n–k
bn = b1 q
bn2 = bn-1 bn+1
bn = bk q
bn bm = bk bl,
если n + m = k
+l
Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия
b (1 q n )
Sn  1
1 q
b
S 1
1 q
Степень
Определение
a n  a  a  a...  a , если n – натуральное число
a – основание степени, n - показатель степени
n
a1  a a m  m a n a  n  1
a0  1
an
Формулы
n
a a
an
m
a
a  b  a  b 
nm
n
n
n
n
an
a
 
b
b
a
Арифметический квадратный корень
Определение
 a n m
m
n
Стандартный вид: 317,3 = 3,173 102 ;
0,00003173 = 3,173 10-5
Форма записи:
3173 = 3 1000 + 1 100 + 7 10 + 3
 a  a
a  a
a

b
a b  a  b
2
b
Корнем k–ой степени из a (k - нечетное) называется число, k-ая степень
которого равна a.
abacbc
a  b и с  0  ac  bc
a  b и с  0  ac  bc
abисd acbd
Дискриминант:
Если
D<0
D=0
D>0
не имеет корней
x
имеет один корень x1
имеет два корня
x1; x2
то
уравнение
x2 + px + q = 0
Логарифм
Определение
Логарифмом числа по b основанию a называется такое число,
loga b
обозначаемое
.
a , что
log b
a
b
a - основание логарифма (a > 0, a  1),
b - логарифмическое число ( b > 0)
lg b  log10 b
Десятичный логарифм:
Замена : y  f ( x )  y  ay
Натуральный логарифм:
ln b  log e b где e = 2,71828
Формулы
Правило:
ab, cde( fg ) 
1%A = 0,01A
Основные типы задач на проценты:
Сколько процентов составляет число A от числа B?
v

t
b
log a    log a b  log a c
c
log a b n  n  log a b

a
b a
log cb
b
 t1 
S
S

v1
1,25v
Ответ:
S
v
 t1 
S


1 S
 0,8
1,25 v
S
 80%t
1
log a b 
log b a
 f  x dx  F b   F a 
a
Первообразная элементарных функций
№ f(x)
F(x)
№ f(x)
F(x)
k
kx  C
xn
x n1
C
n 1
1
ln x  C
x
sin x  cos x  C
S
6
1
cos2 x
7
1
2
sin x
8
ex
tgx  C
 ctgx  C
ex  C
Первообразная
k  F x 
F1 x   F2 x 
1
F ax  b 
a
Правила вычисления производной функции

(C )'  0
u
u v u v
  
v

v2
C  u   C  u
 
Сложная функция:
№
Функ
ция
Произво
дная
1
xn
nx n 1
sin x
cos x
2
y  f  x  
3

1 S
1
4
5
tgx
cos2 x
ctgx

y   f '   x'
S
 80%t
v1 1,25v 1,25 v
v
Ответ:
уменьшится на 20%
Среднее арифметическое:
a1  a2  a3  ...  an
n
log ca
Среднее геометрическое:
k
a1  a2  ...  ak
Уравнение движения
Функ
ция
Произво
дная
6
ex
ex
7
ax
a x ln a
8
1
sin 2 x
9
1
x
ln x
log a x
1
x  ln a
Равносильные уравнения:
Исходное
уравнение
Равносильное
уравнение (система)
f ( x)  g ( x)

f ( x)  C  g ( x)  C
f ( x)  g ( x)  0

 f ( x)  0
 g ( x)  0

f ( x)
0
g ( x)

 f ( x)  0

 g ( x)  0
f 2 ( x)  g 2 ( x)  0

 f ( x)  0

 g ( x)  0
v
 0,8
№
cos x  sin x
Числовые множества:
уменьшится на 20%
Среднее арифметическое, геометрическое
Дроби
Сложение
A
 x  100 %
B
B
100%
A
x%
Сложные проценты.
Число A увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшили на
25%.
Как, в итоге, изменилось исходное число?
1)
A1 = (100% + 20%)A = 120%A = 1,2A
2)
A2 = (100% - 25%)A1=75%A1 = 0,75A1 = 0,751,2A = 0,9A =
90%A
3)
A1 – A = 90%A – 100%A = -10%A
 Ответ:
уменьшилось на 10%. Изменение величины.
Как изменится время, если скорость движения увеличится на 25%?
log a b  c   log a b  log a c
log c b
1
loga m b  loga b log a b 
log c a
m
Определенный интеграл
k
abcdefg  abcde
99000
Проценты
Определение:
Процентом называется сотая часть от числа.
log a 1  0 log a a  1
loga b
2
Периодическая дробь
S
v – скорость, a - ускорение.
Производные элементарных функций
f ( x)   f ( x)  f ( x)  0
t
a t  vt  ,
……7
5
……0
b
c ) f ( x )   k ( k  0)  x  
2. f ( x )  f ( x )  f ( x )  0
Теорема Виета
Приведенное квадратное уравнение:
x1 + x2 = - p
x1  x2 = q
x1+x2 = -b/a
x1 x2 = c/a

u  v  u   v  u  v
Признаки делимости чисел:
D = b2 – 4ac


b) f ( x )  0  f ( x )  0
3173  31
990
Числа, оканчивающиеся нулём.
u  v'  u'v'
Модуль: уравнения и неравенства
3,1737373...  3,1(73) 
Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число,
делящееся на 25.
На 10
f ax  b
abиbcac
5. f ( x )  k  f 2 ( x )  k 2   f ( x )  k    f ( x )  k   0
ax2 + bx + c = 0
Числа, оканчивающиеся нулём или цифрой 5.
На 25
f 1 x   f 2 x 
abba
Квадратное уравнение:
Числа, сумма цифр которых делится на 9.
На 5
k  f x 
1
m
k
k
a  am k a  a k
 
Числа, сумма цифр которых делится на 3.
На 9
Функция
2
2
f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)   f ( x)  g ( x)   f ( x)  g ( x)  0
b
На 3
Определение:
Функция F(x) называется
первообразной для функции f(x), если F x  f x  .
4.
k
Числа, у которых три последние цифры нули или выражают число,
делящееся на 8.
…….6
……1
2
…..10
4
57061
2
35945
1
…….5
cos x sin x  C
ax
C
9
ax
5
ln a
Правила вычисления первообразной функции
2
2
f ( x )  af ( x )  k  f ( x )  a f ( x )  k
b
На 8
где
4
3.
k
Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число,
делящееся на 4.
Тогда: v t  S  t ;
3
k a k  a k a k  a k a  b  k a  k b a  a
k
На 4
2
 x, если x  0
x 
  x, если x  0
Пример
Числа, оканчивающиеся нулём или четной цифрой
Определение

-x=x

x  y = x  y

x  x

x : y =x : y

x + y  x + y
2
x = x2
Неравенства
Определения:
Неравенством называется выражение вида:
a < b (a  b), a > b (a  b)
a  b
a b  
a b
Основные свойства:
a
Признак
На 2
1
Модуль
Формулы

x  0

x - y  x - y
Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a - ( a ) 1.
a ) f ( x )  k ( k  0)  f ( x )   k
- называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.
2
где S – путь, t – время движения.
Пример:
Любое число можно
представить в виде:
n = 2k + r, где r = {0; 1}
или n = 4k + r, где r = {0; 1;
mb  a 2; 3}
Деление
Арифметическая прогрессия
Пусть S (t ) - уравнение движения материальной точки,
Натуральные числа
N = { 1; 2; 3; 4; . .}
Целые числа
Z=N
Рациональные числа
Действительные числа
Q=Z
R=Q
{ 0; -1; -2; -3; …}
1 1 1 1

 ;  ; ;  ; . . .
2 2 3 3

 2; 3; и т.д.;   3,14..; .
Тригонометрические уравнения
Тригонометрия
Косинус:
Основные триг. формулы
cos x  0  x 
sin 2   cos2   1

sin 
cos
cos
sin 
tg 
ctg 
1
cos2 
1  tg 2 
sin   sin   2 sin
cos
2
sin x  1  x  
2

 
sin
2
2
 
 
cos  cos   2 cos
cos
2
2
 
 
cos  cos   2 sin
sin
2
2
sin   
cos cos 
tg  tg 
x  arcctga  n, n  Z
Формулы обратных триг функций


arctgxarcctgx
arcsin x  arccos x 
2
2
sin   
cos cos 
Если 0 < x  1, то
Если x > 0 , то
arccos(-x) =  arctg(-x) = - arctgx
arccosx
arcctg(-x) =  - arcctgx
arcsin(-x) = - arcsinx
Обратные триг функции
Свойства
Функция
Область
Множество
определения
значений
 1; 1
arccosx
[0; ]
cos     cos cos   sin  sin 
tg  tg
tg  tg
tg     
tg     
1  tgtg
1  tgtg
Формулы произведения функций
1
cos     cos   
2
1
cos cos   cos     cos   
2
1
sin  cos   sin     sin   
2
sin  sin  
2
Формулы половинного аргумента
1  cos
2

cos2

2


sin 
1  cos
1  cos
tg 

2 1  cos
sin 
2
Формулы двойного аргумента
sin 2  2 sin cos
cos 2  cos2   sin 2   2 cos2   1  1  2 sin 2 
2tg
tg 2 
1  tg 2
Формула дополнительного угла
где
a sin   b cos  a 2  b 2 sin   
b
sin  
cos 
a
a2  b2
Определение тригонометрических функций
a2  b2
90
180
0
1
0

0 cos
0
0
180
10

0
- 270
1
tg
1
1
0
180
0


0
0
1
ctg
0
1 ctg
0

0
tg
tg 
0
sin

270
0
sin
0
 2700
90
180
90
1
cos
0
sin 
0
cos 
270
0
 ctg 
Универсальная подстановка
2tg
sin 2 
1  tg 2
cos 2 
1  tg 2
1  tg 2
Свойства тригонометрических функций
Свойства
Функ
ция
Область
определения
cosx
x   ; 
sinx
x   ; 
tgx
ctgx

x   n, n  Z
2
Множес
тво
значени
й
 1; 1
 1; 1
 ; 
x  n, n  Z  ; 
ctgx  a 
x  arctga  n, n  Z
sin     sin  cos   cos sin 
cos     cos cos   sin sin 

2
2
 2n
tgx  a 
Формулы суммы аргументов:
sin     sin  cos   cos sin 
sin 2

Общая формула:
n
sin x  a  x  1 arcsin a  n, n  Z
Уравнения с тангенсом и котангенсом
 
sin   sin   2 cos
tg  tg 
cos x  1  x  2n
Уравнения с синусом
Формулы суммы функций
 
 n
tg  ctg  1 Частные формулы:
sin x  0  x  n sin x  1  x    2n
1
sin 2 
1  ctg 2 
2
cos x  1  x    2n
cos x  a  x   arccosa  2n, n  Z
sin 2   1  cos2 
cos2   1  sin 2 


Четностьнечетность
Период
cos(-x)= cosx

sin(-x)= -sinx

tg(-x)= -tgx

ctg(-x)= -ctgx

cos 
sin 
arcsinx
 1; 1
[-/2; /2]
arctgx
 ; 
(-/2; /2)
arcctgx
 ; 
(0; )
Геометрия
Конус
Теорема косинусов, синусов
B
Теорема косинусов:

c
A
H
c 2 a 2 b 2 2abcos


b
куб
Sбок.= R(R+L)
a
b
c


 2R
sin sin  sin 
C
вписанные углы
Sбок   R L
Теорема синусов:
a
Центральный, вписанный угол
1
V   R2H
3
V  a3
R
Усеченный конус

Площадь треугольника
S  p p  a  p b p  c 
1
S  aha
2
R
1
H
b
ha
c
центральный
угол
1
V  H ( R12  R1 R2  R22 )
3
Sбок  ( R1  R2 ) L
Сектор
b
R

a
2
a
Вписанная окружность
abc
b
S

p

r
S
4R
c
d
Средняя линия
B
O
Средняя линия – отрезок,
с
соединяющий середины двух
a
с
сторон треугольника.
c
a

Центр окружности, вписанной в треугольник,
Средняя
линия
параллельна
nb
лежит на пересечении биссектрис треугольника.
т
третьей стороне и равна

Если окружность вписана в произвольный
е
её половине:
1
C
A
четырехугольник, тогда попарные суммы
b
nb  b
2
противолежащих сторон равны между собой:
a+b=c+d
Средняя линия отсекает подобный треугольник, площадь
Описанная окружность
которого равна одной четверти от исходного
Касательная, секущая
Равносторонний треугольник


треугольник, у которого все стороны равны.
O
 Все углы равны 600.

O
O
O

 Каждая из высот является одновременно

биссектрисой и медианой.

Центр окружности, описанной около треугольника,
 Центры описанной и вписанной окружностей
лежит на пересечении серединных перпендикуляров к
совпадают.
его трем сторонам.
 Радиусы окружностей:
a 3
a 3
a
1
S  a  b  sin 
2
r
Площадь
S
; R
6

3

a2 3
4

Равнобедренный треугольник
треугольник, у которого две стороны равны.
1.Углы, при основании треугольника, равны
2.Высота, проведенная из вершины, является
биссектрисой и медиан
b
б
b


Центр окружности, описанной около прямоугольного
треугольника, лежит на середине гипотенузы.
Около трапеции можно описать окружность только
тогда, когда трапеция равнобочная.
Если окружность описана около произвольного
четырехугольника, тогда попарные суммы
противолежащих углов равны между собой:
A
O
Сектор – часть круга,
ограниченная двумя
его радиусами.

Длина дуги сектора:
R
l
180 0
Площадь сектора:
B
S
R 2
360 0
Касательная, секущая
B
N
M
A
P
K
O
C
Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну
общую точку.
Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие
точки.

ABOB ACOC 

AB  AC

AM  AN  AP  AK  AB
     
2
Призма
V  Sосн  H
Длина окружности, площадь
радиус
a
bc
b
R
Прямоугольный треугольник
h
Теорема Пифагора: c 2  a 2  b 2

Тригонометрические соотношения:
Площадь:
S
1
a b
2
Длина окружности:
l  d  2  R
Площадь круга:
S   R 2
a
b
b
cos  ; sin   ; tg 
c
c
a

a c  bc 
Катеты: a 
ab
;
c
a
 
b
2




Sбок  2 RH
bc
a c  c ; b  bc  c
Неравенство треугольника:
a + b > c; a + c > b; b + c > a
Сумма углов: 
Против большей стороны лежит больший угол, и обратно,
против большего угла лежит большая сторона.
Против равных сторон лежат равные углы, и обратно,
против равных углов лежат равные стороны.
Медиана
B
C
B
c
M
A
D
Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен
хорде.

В окружности равные хорды равноудалены от центра
окружности.

Отрезки пересекающихся хорд связаны равенством:
b
c
A
Шар
4
V   R3
3
S
бок
 4 R 2
w
делящий угол пополам.

Биссектриса делит противолежащую сторону на части ,
пропорциональные прилежащим сторонам: ab : ac = b : c

Биссектриса делит площадь треугольника,
пропорционально прилежащим сторонам.

w  bc  a a
a
Шаровой сектор
H
R
2
V   R 2 H Sбок   R 2RH  H 2
3
Шаровой сегмент
S  2 RH
1
V   2 H (3R  H )
3
H
R
b
C
Медиана – отрезок, соединяющий вершину
треугольника с серединой противоположной стороны.

Медианы треугольника точкой их пересечения
делятся в отношении 2:1 (считая от вершины
треугольника).

Медиана делит треугольник на два треугольника с
равными площадями.
ma 
AM  MB  CM  MD
ac
a
ab
C
A
b
Биссектриса – отрезок,
выходящий из вершины треугольника и
m
a
B Биссектриса
c
V  R 2 H
ac
Основные соотношения в треугольнике

Хорда
Центр описанной окружности лежит на середине
гипотенузы.
Радиусы окружностей: r  a  b  c ; R  c
2
2
Высота, опущенная на гипотенузу:
h

Цилиндр



прямая
призма
хорда
дуга
a

диаметр
Od
ac – проекция катета
a
1
2
2b 2  2c 2  a 2
a  2mb2  mc2  ma2
2
3
Правильная пирамида
и
м
Правильная пирамида
пирамида, у которой в основании
правильный многоугольник, а вершина с
проецируется в центр основания.
М
м
м
Все боковые рёбра равны между м
собой и все боковые грани – равные
равнобедренные треугольники.
1
1
V S
H; S
 P  h,
бок 2
3 осн
Усеченная пирамида
1
Sбок  ( P1  P2 ) H
2
1
V  ( S1  S 2  S1  S 2 )
3
Скалярное произведение
Выпуклый четырёхугольник
Скалярное произведение
d1
 
a  b  a  b cos
 
a  b  x a xb  y a y b  z a z b

d2
Произвольный выпуклый четырёхугольник:

Сумма всех углов равна 3600.

a


1
S  d1 d 2 sin
2
Правильный многоугольник
Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого
все стороны и углы равны между собой.

Около всякого правильного многоугольника можно описать
окружность и в него вписать окружность, причём центры этих
окружностей совпадают.

b
Сумма, разность векторов

a ( x a ; y a ; z a ) и b( x b ; y b ; z a )
 
a  b  ( x a  xb ; y a  y b ; z a  z b )
 
a  b  ( x a  xb ; y a y b ; z a  z b )
a

1
1
3600
S n  Pn r; S n  R 2 nsin
2
2
n
 
ab

a
Сторона правильного n–угольника:
R
O
1800
n
r
Произвольный выпуклый многоугольник
Произвольный выпуклый многоугольник:

Сумма всех углов равна  n  2 или 1800 n  2




Трапеция
Углы на плоскости
a
n

h
Трапеция: b
Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а
другие не параллельны, называется трапецией.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и
внутренние
односторонние
равна:
вертик
альны
е
Перпендикулярность,
коллинеарность
Перпендикулярные вектора:

1
nn 3
2
Число диагоналей:
смежные углы

an  2R sin
Площадь правильного n–угольника:

b

a b

b
Площадь:
n
a b Площадь:
a b
S
h  nh
2
2
Квадрат
Квадрат:
Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется
квадратом.

Диагональ квадрата d  a 2 Площадь:
 

a b  ab 0
Коллинеарные вектора:
1
S a 2  d 2
2 a
 
x
y
z
a b  a  a  a 
xb y b z b
 

a b ab
d
a
Ромб
Ромб:
Параллелограмм, все стороны которого равны

Координаты вектора: a( x ; y ; z )  a  x i  y j  z k
называется ромбом.
a
a
a
a
a
a
 Диагональ ромба является его осью симметрии.
Диагонали взаимно перпендикулярны. Диагонали
Длина вектора:
являются биссектрисами углов.

2
2
2
a  xa  y a  z a
 Площадь:
1
S  d1d 2
2

Умножение вектора на число:
Параллелограмм
 a ( xa ; ya ; za )
Координаты вектора
Параллелограмм:
Четырёхугольник, у которого противоположные стороны
попарно параллельные называется параллелограммом.

Середина диагонали является центром симметрии.

Противоположные стороны и углы равны.

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных
треугольника.

Диагонали делятся точкой пересечения пополам:
Свойства прямых и плоскостей
S

B
B

A
C
M
A
’
O
B
’
d 12  d 22  2(a 2  b 2 )

A
D
(SO) – перпендикуляр к плоскости (ABCD). O – проекция точки S.
SO – расстояние от точки S до плоскости (ABCD).
Площадь:
S  a  ha  a  b  sin  
 – двугранный угол между плоскостями (SAB) и (ABCD).
Теорема о трёх перпендикулярах:
B
 ABSM    ABOM 
C
Значения
Функция
cosx

0
1
0


30
3
2
0


45
2
2
0


60
1
2
0


90
0
0
A
sinx
0
1
2
2
2
3
2
1
tgx
0
3
3
1
3
-
ctgx
-
3
1
3
3
0
d2
ha
b
1
d 1  d 2  sin 
2

d1

a
D
Прямоугольный параллелепипед
V=abc d2=a2+b2+c2