КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
дисциплина математика
вариант
3
1.3.
𝟑
Даны матрицы А, В и С: А= (𝟖
𝟎
Найти матрицы:
а) 2А+3В
б) 3А-2В
в) АС
𝟑
𝟏);
𝟕
𝟗 −𝟏
𝟓
В=(𝟖 𝟔 ); С=(
−𝟑
𝟒 𝟓
𝟎
𝟔
𝟐
)
𝟏
Решение:
3 3
9 −1
6
а) 2А+3В = 2 × (8 1) + 3 × (8 6 ) = (16
0 7
4 5
0
6
27 −3
33 3
2 ) + (24 18 ) = (40 20)
14
12 15
12 29
3 3
9 −1
9
9
18
б) 3А-2В = 3 × (8 1) − 2 × (8 6 ) = (24 3 ) − (16
0 7
4 5
0 21
8
3
в) А × С = (8
0
3
5 0 2
)
1) × (
−3 6 1
7
А – 2 столбца
С – 2 строки, умножение возможно
АС11 = 3 × 5 + 3 × (−3) = 6
АС12 = 3 × 0 + 3 × 6 = 18
АС13 = 3 × 2 + 3 × 1 = 9
АС21 = 8 × 5 + 1 × (−3) = 37
АС22 = 8 × 0 + 1 × 6 = 6
АС23 = 8 × 2 + 1 × 1 = 17
АС31 = 0 × 5 + 7 × (−3) = −21
АС32 = 0 × 0 + 7 × 6 = 42
АС33 = 0 × 2 + 7 × 1 = 7
6
18
АС = ( 37
6
−21 42
9
17)
7
Ответ:
33
а) 2А+3В = (40
12
3
20)
29
−2
−9 11
12 ) = ( 8 −9)
10
−8 11
−9 11
б) 3А-2В = ( 8 −9)
−8 11
6
18
в) АС= ( 37
6
−21 42
9
17)
7
2.3.
Найти матрицу, обратную А
𝟐 𝟎 −𝟏
А = (𝟑 𝟒
𝟏)
𝟎 −𝟐 𝟓
Решение:
1. 𝑑𝑒𝑡А = +2 × | 4
1
3 1
3 4
|−0×|
| + (−1) × |
|=
−2 5
0 5
0 −2
= 2 × (4 × 5 − (−2) × 1) + 0 − 1 × (3 × (−2) − 4 × 0) = 2 × 22 + 0 − 1 × (−6) = 44 + 6 = 50
𝑑𝑒𝑡А = 50 ≠ 0, А−1 существует
А∗
2. А−1 = 𝑑𝑒𝑡А
А
А23
4 1
3. А11 = + | 22
| = +|
| = 4 × 5 − 1 × (−2) = 22
А32 А33
−2 5
3 1
А12 = − |
| = −(3 × 5 − 1 × 0) = −15
0 5
3 4
А13 = + |
| = 3 × (−2) − 4 × 0 = 6
0 −2
0 −1
А21 = − |
| = −(0 × 5 − (−1) × (−2) = 2
−2 5
2 −1
А22 = + |
| = 2 × 5 − (−1) × 0 = 10
0 5
2 0
А23 = − |
| = −(2 × (−2) − 0 × 0 = 4
0 −2
0 −1
А31 = + |
| = 0 × 1 − (−1) × 4 = 4
4 1
2 −1
А32 = − |
| = −(2 × 1 − (−1) × 3) = −5
3 1
2 0
А33 = + |
| =2×4−0×3= 8
3 4
А11
А = (А12
А13
∗
−1
4. А
А21
А22
А23
А31
22
2
А32 ) = (−15 10
А33
−6
4
А11
А21
А22
А23
А∗
1
= 𝑑𝑒𝑡А = 50 × (А12
А13
4
−5)
8
А31
0,44 0,04 0,08
22
2
4
А32 ) = 0,02× (−15 10 −5) = ( −0,3 0,2 −0,1)
−0,12 0,08 0,16
А33
−6 4
8
0,44 0,04 0,08
Ответ: А−1 = ( −0,3 0,2 −0,1)
−0,12 0,08 0,16
3.3.
Решить систему уравнений методом Крамера
𝟐х𝟏 − 𝟑х𝟐 + х𝟑 = 𝟐
{х𝟏 + 𝟓х𝟐 − 𝟒х𝟑 = −𝟓
𝟒х𝟏 + х𝟐 − 𝟑х𝟑 = −𝟒
Решение:
2 −3 1
2
1. А = (1 5 −4) |−5
4 1 −3 −4
1 −4
5 −4
1 5
| − (−3) |
|+ 1|
|
4 −3
1 −3
4 1
= 2 × (5 × (−3) − 1 × (−4) + 3 × (1 × (−3) − 4 × (−4)) + 1 × (1 × 1 − 5 × 4)
= 2 × (−11) + 3 × 13 + 1 × (−19) = −2
𝑑𝑒𝑡А = −2 ≠ 0
𝑑𝑒𝑡А = 2 |
𝟐
−3 1
5 −4)
−𝟒 1 −3
2. 𝑑𝑒𝑡х1 из (−𝟓
5 −4
−5 −4
−5 5
𝑑𝑒𝑡х1 = 2 × |
| − (−3) × |
|+1×|
| = 2 × (5 × (−3) − (−4) × 1) + 3 ×
1 −3
−4 −3
−4 1
(−5 × (−3) − (−4) × (−4)) + 1 × (−5 × 1 − 5 × (−4) = 2 × (−11) + 3 × (−1) + 1 × 15 = −10
2
𝟐
1
3. 𝑑𝑒𝑡х2 из (1 −𝟓 −4)
4 −𝟒 −3
𝑑𝑒𝑡х2 = −12
2 −3 𝟐
5 −𝟓)
4 1 −𝟒
4. 𝑑𝑒𝑡х3 из (1
𝑑𝑒𝑡х3 = −20
5. находим х1, х2 и х3
х1 =
det х1
= −10 ÷ (−2) = 5
𝑑𝑒𝑡А
х2 =
det х2
= −12 ÷ (−2) = 6
𝑑𝑒𝑡А
х3 =
det х3
= −20 ÷ (−2) = 10
𝑑𝑒𝑡А
Ответ:
х1 = 5, х2 = 6, х3 = 10,
4.3.
Известны координаты трех точек А, В и С. Требуется средствам векторной алгебры
найти:
1) длину вектора ⃗⃗⃗⃗⃗
АВ
⃗⃗⃗⃗⃗
2) угол между векторами ⃗⃗⃗⃗⃗
АВ и АС
3) площадь треугольника АВС
А (4;6;5), В (6;9;4), С (2;10;10)
Решение:
1) координаты вектора ⃗⃗⃗⃗⃗
АВ:
⃗⃗⃗⃗⃗
АВ = (х2 − х1 ; у2 − у1 ; 𝑧2 − 𝑧1 ) = (6 − 4; 9 − 6; 4 − 5) = (2; 3; −1)
⃗⃗⃗⃗⃗ | = √х2 + у2 + 𝑧 2 = √4 + 9 + 1 = √14
|АВ
2) cos (→̂
→)=
𝐴𝐵 𝐴𝐶
→ .→
𝐴𝐵 𝐴𝐶
|→ ||→ |
𝐴𝐵 𝐴𝐶
→ .→ = 𝐴𝐵𝑥 . 𝐴𝐶𝑥 + 𝐴𝐵𝑦 . 𝐴𝐶𝑦 + 𝐴𝐵𝑧 . 𝐴𝐶𝑧
𝐴𝐵 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = (х2 − х1 ; у2 − у1 ; 𝑧2 − 𝑧1 ) = (2 − 4; 10 − 6; 10 − 5) = (−2; 4; 5)
А𝐶
→ .→ = 2(−2) + 3 ∗ 4 + (−1)5 = 3
𝐴𝐵 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ | = √х2 + у2 + 𝑧 2 = √4 + 16 + 25 = √45
|А𝐶
→ .→
3
3
3
3
1
cos (→̂
→ ) = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 =
=
=
=
=
𝐴𝐵 𝐴𝐶
√14√45 √630 √9 ∗ 70 3√70 √70
|→ | |→ |
𝐴𝐵
→̂
→ = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑐(
𝐴𝐵 𝐴𝐶
3) 𝑆𝐴𝐵𝐶 =
𝑖
→ →=| 2
𝐴𝐵𝐴𝐶
−2
1
)
√70
𝑆𝐴𝐵𝐶𝑂
2
𝐴𝐶
|→ → |
= 𝐴𝐵2𝐴𝐶
𝑗 𝑘
3 −1| = 15𝑖 + 8𝑘 + 2𝑗 + 6𝑘 + 4𝑖 − 10𝑗 = 19𝑖 + 8𝑗 + 14𝑘
4 5
|→ → | = √192 + (−8)2 + 142 = √621 = 3√69
𝐴𝐵𝐴𝐶
3√69
= 1.5√69
2
𝑆𝐴𝐵𝐶 =
Ответ:
⃗⃗⃗⃗⃗ | = √14
1) |АВ
1
2) →̂
→ = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑐( )
𝐴𝐵 𝐴𝐶
3) 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 1.5√69
√70
5.3.
Дано комплексное число z. Записать число z в алгебраической, тригонометрической
и показательной формах.
𝒛=
−𝟐√𝟐
𝟏−𝒊
Решение:
Алгебраическая запись:
−2√2 −2√2(1+𝑖)
𝑧 = 1−𝑖 =(1−𝑖)(1+𝑖) =
−2√2−2𝑖√2
1−𝑖 2
=
2(−√2−𝑖√2)
1+1
= −√2 − 𝑖√2
Тригонометрическая запись:
Действительная часть 𝑥 = −√2, 𝑥 < 0;
мнимая часть 𝑦 = −√2, 𝑦 < 0
|𝑧| = √𝑥 2 + 𝑦 2 = √2 + 2 = 2
𝜑 = −𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑦
−√2
𝜋
3𝜋
= −𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
) = −𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1 = −𝜋 + = −
𝑥
4
4
−√2
𝑧 = |𝑧|(cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑) = 2( cos(−
Показательная запись:
3𝜋
𝑧 = |𝑧|𝑒 𝑖𝜑 = 2𝑒 −𝑖 4
Ответ:
𝑧 = −√2 − 𝑖√2
𝑧 = 2(cos(−
3𝜋
𝑧 = 2𝑒 −𝑖 4
3𝜋
3𝜋
) + 𝑖 sin(− ))
4
4
3𝜋
3𝜋
) + 𝑖 sin(− ))
4
4
6.3.
Построить кривые по заданным уравнениям, составить уравнение прямой,
проходящей через центр окружности и вершину параболы.
(𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 9
25𝑥 2 + 36𝑦 2 = 900
9𝑥 2 − 16𝑦 2 = 144
𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3
Решение:
(𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 9 - уравнение окружности
Координаты центра (-1;-1), R=3
25𝑥 2 + 36𝑦 2 = 900 →
25𝑥 2
36𝑦 2
𝑥2
900
𝑦2
+ 900 = 900 → 36 + 25 = 1 - уравнение эллипса
900
𝑎 = 6; b=5
9𝑥 2
16𝑦 2
144
𝑥2
𝑦2
9𝑥 2 − 16𝑦 2 = 144 → 144 − 144 = 144 → 16 + 9 = 1 - уравнение параболы, вытянутой
вдоль оси ox
𝑎 = 4; b=3
𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 – парабола
−𝑏
4
𝑥0 = 2𝑎 = 2∗1 = 2; 𝑦0 = 𝑦(𝑥0 ) = 22 − 4 ∗ 2 + 3 = −1 → координаты вершины (2;-1)
Координаты пересечения с осью ox:
𝑥 2 − 4𝑥 + 3 = 0 𝑥1,2 =
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
=
4±√16−4∗3∗1
2
Точки пересечения с осью ox – (3;0) и (1;0)
=
4±2
2
→ 𝑥1 = 3, 𝑥2 = 1
На рисунке представлены графики всех перечисленных функций
Прямая, проходящая через центр окружности и вершину параболы – через точки (-1;-1) и
(2;-1) параллельна оси ox и имеет уравнение 𝑦 = −1:
𝑥 − 𝑥2
𝑦 − 𝑦2
𝑥−2
𝑦 − (−1)
𝑥−2 𝑦+1
=
→
=
→
=
→ 0(𝑥 − 2) = −3(𝑦 + 1)
𝑥1 − 𝑥2 𝑦1 − 𝑦2 −1 − 2 −1 − (−1)
−3
0
→ −3𝑦 − 3 = 0 → −3𝑦 = 3 → 𝑦 = −1
7.3.
Найти производные функций
𝟔
а) 𝒚 = 𝟓𝒙 + 𝒙𝟑
б) 𝒚 = (𝒙𝟒 − √𝒙) 𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝒆𝟒𝒙
в) 𝒚 = 𝟐𝒙−𝒙𝟔
Решение:
𝟔
а) 𝒚 = 𝟓𝒙 + 𝒙𝟑
6 ′
𝑦 ′ = (5𝑥 )′ + (𝑥 3 ) = 5𝑥 ln 5 ∗ (𝑥)′ + (6𝑥 −3 )′ = 5𝑥 ln 5 ∗ 1 + 6(𝑥 −3 )′ =5𝑥 ln 5 + 6(−3)𝑥 −4 =
𝟏𝟖
= 𝟓𝒙 𝐥𝐧 𝟓 − 𝒙𝟒
б) 𝒚 = (𝒙𝟒 − √𝒙) 𝐬𝐢𝐧 𝒙
1
1
1
1
𝑦 ′ = (𝑥 4 − 𝑥 ⁄2 )′ sin 𝑥 + (𝑥 4 − 𝑥 ⁄2 ) (sin 𝑥)′ = ((𝑥 4 )′ − (𝑥 ⁄2 )′ ) sin 𝑥 + (𝑥 4 − 𝑥 ⁄2 ) cos 𝑥 =
1 1
1
= (4𝑥 3 − 𝑥 −2 ) sin 𝑥 + (𝑥 4 − 𝑥 ⁄2 ) cos 𝑥 =
2
𝟏
𝟏
= (𝟒𝒙𝟑 −
) 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + (𝒙𝟒 − 𝒙 ⁄𝟐 ) 𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝟐√ 𝒙
𝒆𝟒𝒙
в) 𝒚 = 𝟐𝒙−𝒙𝟔
𝑦′ =
(𝑒 4𝑥 )′ (2𝑥 − 𝑥 6 ) − 𝑒 4𝑥 (2𝑥 − 𝑥 6 )′ 𝑒 4𝑥 (4𝑥)′ (2𝑥 − 𝑥 6 ) − 𝑒 4𝑥 ((2𝑥)′ − (𝑥 6 )′ )
=
(2𝑥 − 𝑥 6 )2
(2𝑥 − 𝑥 6 )2
𝟒𝒆𝟒𝒙 (𝟐𝒙 − 𝒙𝟔 ) − 𝒆𝟒𝒙 (𝟐 − 𝟔𝒙𝟓 )
=
(𝟐𝒙 − 𝒙𝟔 )𝟐
