КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ШИФР 239
ЗАДАНИЕ № 1 (1-10)
Вычислите пределы: lim
𝑥→2
3𝑥 2 −5𝑥−2
2𝑥 2 −𝑥−6
; lim
2𝑥 2 −3𝑥+1
𝑥→∞ 3𝑥 2 +𝑥+4
РЕШЕНИЕ:
А) lim
3𝑥 2 −5𝑥−2
𝑥→2 2𝑥 2 −𝑥−6
0
1
3
3
𝑥→2 2(𝑥−2)(𝑥+2)
= (0) = lim
3(𝑥−2)(𝑥+ )
1
3
3
𝑥→2 2(𝑥+2)
= lim
3(𝑥+ )
= 1
ОТВЕТ: 1
Б) lim
2𝑥 2 −3𝑥+1
𝑥→∞ 3𝑥 2 +𝑥+4
∞
2 3
= (∞) = lim
1
𝑥2 ( − + 2)
1 𝑥 𝑥
3 1 4
𝑥→∞ 𝑥 2 (1−𝑥+ 2 )
𝑥
= lim
2
𝑥→∞ 3
2
=3
2
ОТВЕТ: 3
ЗАДАНИЕ № 2 (11-20)
Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график,
При исследовании найти интервалы возрастания и убывания, точки экстремума,
интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
𝑦 = (2𝑥 − 3)(𝑥 2 + 1)
РЕШЕНИЕ:
1) Область определения функции. Точки разрыва функции.
f(x)=(2·x-3)·(x2+1)
Функция непрерывна. Область определения функции:(-∞;+∞)
2) Четность или нечетность функции.
f(-x)=(-2·x-3)·(x2+1)
Функция общего вида
3) Периодичность функции - не периодическая.
4) Точки пересечения кривой с осями координат.
Пересечение с осью 0Y
x=0,y=-3
Пересечение с осью 0X
y=0
(2·x-3)·(x2+1)=0
3
Откуда: 𝑥 = 2
5) Исследование на экстремум.
y=(2·x-3)·(x2+1)
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f′(x)=2·x2+2·x·(2·x-3)+2
или
f′(x)=6·x2-6·x+2
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
6·x2-6·x+2=0
Для данного уравнения корней нет.
2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.
f″(x)=12·x-6
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.
12·x-6=0
1
Откуда точки перегиба: 𝑥 = 2
1
1
1
x
(2 ; ∞)
(−∞; )
2
2
y’
f″(x)<0
f″(x)=0
f″(x)>0
y
вогнутая
перегиб
выпуклая
6) Асимптоты кривой.
y=(2·x-3)·(x2+1)
Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению
асимптоты:
Находим коэффициент k:
𝑓(𝑥)
(2 · 𝑥 − 3) · (𝑥 2 + 1)
3
lim
= lim
= lim (2𝑥 2 + 2 − 3𝑥 − ) = ∞
𝑥→∞ 𝑥
𝑥→∞
𝑥→∞
𝑥
𝑥
Поскольку коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот не существует.
ЗАДАНИЕ № 3 (21-30)
Вычислите неопределенные интегралы
5
5
4
4
А) ∫(6𝑥 2 − 𝑥 + √𝑥 3 )𝑑𝑥 = ∫ 6𝑥 2 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ √𝑥 3 𝑑𝑥 = 6
= 2𝑥 3 − 5𝑙𝑛𝑥 +
4
𝑥3
3
4
7
− 5𝑙𝑛𝑥 + 7 𝑥 4 + 𝐶 =
4 7
𝑥4 + 𝐶
7
7
ОТВЕТ: 2𝑥 3 − 5𝑙𝑛𝑥 + 7 𝑥 4 + 𝐶
Б) ∫ 𝑥𝑒 𝑥
2 −3
1
𝑑𝑥 = [внесем 𝑥 под знак 𝑑] = 2 ∫ 𝑒 𝑥
1
ОТВЕТ: 𝑒 𝑥
2
2 −3
2 −3
1
𝑑 (𝑥 2 − 3) = 2 𝑒 𝑥
2 −3
+𝐶
+𝐶
применим интегрирование по частям
𝑢=𝑥
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
В) ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 =
=
𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
𝑣 = 𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
[
]
= 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 − ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶
ОТВЕТ: 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶
ЗАДАНИЕ № 4 (31-40)
Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями. Сделать чертеж.
𝑦 = 𝑥 2 + 4𝑥 + 3, 𝑦 = 𝑥 + 3
РЕШЕНИЕ:
Построим графики функций и найдем точки пересечения графиков, которые будут
пределами интегрирования.
𝑥 2 + 4𝑥 + 3 = 𝑥 + 3
𝑥 2 + 4𝑥 + 3 − 𝑥 − 3 = 0
𝑥 2 + 3𝑥 = 0
𝑥(𝑥 + 3) = 0
𝑥 = 0 или (𝑥 + 3) = 0
𝑥 = −3
{
пределы интегрирования
𝑥=0
0
0
2
𝑆 = ∫(𝑥 + 3 − 𝑥 − 4𝑥 − 3) 𝑑𝑥 = ∫(−𝑥 2 − 3𝑥) 𝑑𝑥 = (−
−3
−3
𝑥3
𝑥2
27 27
27
+ 3 ) |0−3 =
−
=
3
2
3
2
6
9
=
2
9
ОТВЕТ: 𝑆 = 2
Задание № 5 (41-50)
Задан закон распределения дискретной случайной величины. Вычислить:
а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) среднеквадратичное отклонение
𝑥𝑖
𝑝𝑖
2
0.2
4
0.1
6
0.4
8
0.1
10
0.2
12
0.3
14
0.2
РЕШЕНИЕ:
Математическое ожидание находим по формуле m = ∑xipi.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 2*0.2 + 4*0.1 + 6*0.4 + 8*0.1 + 10*0.2 + 12*0.3 + 14*0.2 = 12.4
Дисперсию находим по формуле d = ∑x2ipi - M[x]2.
Дисперсия D[X].
D[X] = 22*0.2 + 42*0.1 + 62*0.4 + 82*0.1 + 102*0.2 + 122*0.3 + 142*0.2 - 12.42 = -28.16
Среднее квадратическое отклонение σ(x).
𝜎(𝑥) = √𝐷(𝑥) = √28,16
ОТВЕТ: M[x]= 12.4; D[X]= -28.16; 𝜎(𝑥) = √28,16
