Задача 1: Исследовать на сходимость ряд 1 + q + q2 + q3 + ··· +

Задача 1: Исследовать на сходимость ряд
2
3
1 + q + q + q + ··· + q
n−1
n
+ q + ··· =
∞
X
q n−1
(1)
n=1
Решение Ряд (1) есть геометрическая прогрессия, знаменатель которой
равен q. Известно, что сумма первых n членов геометрической прогрессии
вычисляется по формуле (при q 6= 1)
1 + q + q 2 + q 3 + · · · + q n−1 = Sn =
1 − qn
1−q
Если знаменатель прогрессии q по абсолютной величине меньше единицы,
то есть |q| < 1, то lim q n = 0 и
n→∞
¸
·
1 − qn
1
qn
1
lim Sn = lim
= lim
−
=
n→∞
n→∞ 1 − q
n→∞ 1 − q
1−q
1−q
1 .
Следовательно, при |q| < 1 ряд (1) сходится и его сумма равна 1 −
q
При q = 1, Sn = 1 + 1 + 1 + · · · + 1 = n, lim Sn = ∞; при q = −1
n→∞
последовательность частичных сумм имеет вид 1, 0, 1, 0, 1, . . . и не стремится
ни к какому пределу. Таким образом, при q = −1 ряд (1) расходится.
Если знаменатель геометрической прогрессии q > 1, то lim q n = ∞, поэтому
n→∞
lim Sn = ∞. Ряд (1) в этом случае расходится. Если q < −1, то lim q n не
n→∞
n→∞
существует, поэтому не существует и lim Sn и, значит, ряд (1) расходится.
n→∞
Итак, при |q| < 1 ряд (1) сходится, при |q| ≥ 1 расходится.
1