Загрузил mycaten1999.06

предедл

реклама
Предел
последовательности
Основные понятия
Гл.5 п.24 стр.137
Определение 1: Функцию вида y = f (x), x  N называют
функцией натурального аргумента или числовой
последовательностью и обозначают y = f (n)
или y1 , y2 , y3 ,..., yn ,...
или
,
 yn 
Последовательность можно задать:
1. Словесно, когда правило задания последовательности
описано словами.
Например: Последовательность простых чисел (2,3,5,7,11,13,)
Последовательность натуральных чисел(1,2,3,4,…)
2. Аналитически, если указана формула её n-го члена.
2
n
Например:
yn  n , yn  C , yn  2
1, 4, 9, 16, 25…., С, С, С, С,…. , 2, 4, 8, 16, 32, 64, ….
Задачник стр.67 №№24.1
№ 24.5 – 24.6
(по вариантам 1в а; б 2 в в; г с проверкой)
24.1 а) 1, -1, -3, -5, -7….. б) 1, 6, 15, 28, 45…
в) 0, 7, 26, 63, 124..
г) 1, 5/4, 8/6, 11/8, 14/10….
24.5 а)n – 1; б) – n; в) n+4;
24.6 а)5n;
б) 6n;
г) 11 - n
в) 4n; г ) 3n
Определение 2: Последовательность  yn  называют
ограниченной сверху, если все её члены не больше
некоторого числа.
Для ограниченной сверху последовательности  yn  ,
существует такое число М, что для любого n выполняется
неравенство
y M
n
Число М называют верхней границей последовательности.
- 1, -4; -9; -16; - 25;….
25; 22; 19; 16;…..
0,5; 0,4; 0,3; 0,2; ……
Определение 3: Последовательность (у n ) называют
ограниченной снизу, если все её члены не меньше
некоторого числа.
Для ограниченной снизу последовательности
существует такое число m, что для любого n
выполняется неравенство у n ≥ m.
m называют нижней границей последовательности.
1, 4, 9, 16, 25….
Если последовательность ограничена сверху и снизу,
то её называют ограниченной последовательностью.
У n = 1 /n
Учебник стр.139 рис.112
Определение 4: Последовательность (y n )называют
возрастающей, если каждый её член больше предыдущего:
y 1 < y 2 < y 3<….< y n < y n+1 …
Определение 5: Последовательность (y n )называют
убывающей, если её каждый следующий член меньше
предыдущего: y 1 > y 2 > y 3>….> y n > y n+1 …
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют
общим термином – монотонные последовательности.
1,3,5,7…, 2n + 1,… ; 1,4,9,16,…;
последовательности
возрастающие
1 1 1 1
; ; ; ....
2 3 4 5
0; -1; -2; -3; …убывающие последовательности
1 1
1
1) 1,  ,
,  ,...
2 3
4
n
y

2
2) n
3)
1 n
yn  ( )
3
4) у n = C
Немонотонная последовательность
Возрастающая последовательность
2, 4, 8, 16…
Убывающая последовательность
1 1 1
1
; ;
;
;...
3 9 27 81
Постоянная или стационарная
последовательность
С, С, С, С…
5)
yn  a
n
1) Если а > 1, эта последовательность возрастает.
а = 3; 3 , 9, 27, 81…
2) Если 0 < a < 1, эта последовательность убывает.
1 1 1 1
1
a ; ; ;
;
;...
3 3 9 27 81
Определение 6: Число b называют пределом
последовательности ( у n ), если в любой заранее выбранной
окрестности точки b содержатся все члены последовательности,
начиная с некоторого номера.
lim yn  b
n 
1
0
lim
n n
Читают: «Предел последовательности (у n )
при стремлении n к бесконечности равен b.»
lim C  C
n 
Если | a | < 1, то
lim a
n
0
n 
Если | а | > 1, последовательность
расходится, предела нет.
Свойства сходящихся последовательностей
Свойство1. Если последовательность сходится, то
только к одному пределу.
Свойство2. Если последовательность сходится, то она
ограничена.
Свойство3. Если последовательность монотонна и
ограничена, то она сходится ( теорема
Вейерштрасса)
Пример: Если в окружность вписывать правильные
многоугольники, то их периметры будут стремиться к длине
окружности, а площади – к площади круга.
Для вычисления пределов последовательностей в более
сложных случаях используют следующую теорему:
lim x
b
lim y
n
c
Теорема. Если n
и n 
, то
1. Предел суммы равен сумме пределов:
lim ( x
n 
2.
n
n
 yn )  b  c
Предел произведения равен произведению пределов:
lim ( x
n 
n
yn )  bc
3. Предел частного равен частному пределов:
lim
n 
xn b
 ( c  0)
yn c
4)Постоянный множитель можно вынести за знак
предела:
n
n 
lim kx  kb.
Учебник стр.143
пример 1
Задачник стр. 68 №№ 24.12 – 24.14 ( устно)
№№ 24.18 и 24.19;
№№ 24.20 и 24.22.( письменно)
Скачать