Современный
Г манитарный
Университет
Дистанционноеобразование
0197.01.01;1
Рабочий чебни
Фамилия, имя, отчество ______________________________________________
Фа
льтет ____________________________________________________________
Номер онтра та ______________________________________________________
РЯДЫ ФУРЬЕ
ЮНИТА1
МОСКВА2005
Разработано Е.Г.Ланиной,
В.В.Подъяпольс им, анд.физ.-мат.на
Ре омендовано Министерством
образования Российс ой Федерации
в ачестве чебно,о пособия для
ст дентоввысших чебныхзаведений
РЯДЫФУРЬЕ
Юнита1.РядыФ рье.
ЮНИТА1
К рс посвящен рядам Ф рье. Рассмотрены три,онометричес ие
ряды Ф рье, ряды Ф рье по произвольным орто,ональным системам,
ряды Ф рье по общим и лассичес им орто,ональным полиномам,
задача Шт рма-Ли вилля для дифференциально,о оператора второ,о
поряд аиразложенияф н цийврядыФ рьепособственнымф н циям
задачи Шт рма-Ли вилля. Приводятся приложения и примеры.
Для ст дентов Современно,о Г манитарно,о Университета
Юнита соответств ет профессиональной образовательной про,рамме №1
0197.001.01.01.01;1/04.13.Тир.5800
______________________________________________________________________________________
(С) СОВРЕМЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ, 2001
ОГЛАВЛЕНИЕ
ДИДАКТИЧЕСКИЙПЛАН ..................................... 5
ЛИТЕРАТУРА ............................................. 6
ПЕРЕЧЕНЬУМЕНИЙ ........................................ 7
ТЕМАТИЧЕСКИЙОБЗОР ................................... 16
Глава1. Три,онометричес ие ряды Ф рье. Инте,рал Ф рье ..... 16
§1. Периодичес ие ф н ции. Три,онометричес ие ряды
периодичес их ф н ций ...................... 16
§2. Основная три,онометричес ая система.
Три,онометричес ий ряд Ф рье ................ 20
§3. Инте,рал Дирихле ............................ 25
§4. Теорема Римана. Стремление оэффициентов
н лю. Принцип ло ализации .................. 29
§5. Призна и Дини и Липшица сходимости рядов Ф рье 33
§6. Призна иЖордана иДирихлесходимости рядов Ф рье 40
§7. Ряды Ф рье непериодичес их ф н ций .......... 42
§8. Ряды Ф рье периодичес их ф н ций с произвольным
периодом .................................. 44
§9. Ряды Ф рье четных и нечетных периодичес их
ф н ций ................................... 45
§10. Компле сная форма ряда Ф рье ................ 48
§11. Равномерная сходимость рядов Ф рье ........... 50
§12. Явление Гиббса ............................. 51
§13. Операции над рядами Ф рье. Полнота
три,онометричес ой системы .................. 56
§14. Равномерное приближение ф н ций. Теоремы
Вейерштрасса ............................... 60
§15. Приближение ф н ций в среднем. Э стремальное
свойство частных с мм три,онометричес о,о ряда
Ф рье. Форм ла Парсеваля .................... 63
§16. С ммирование три,онометричес их рядов Ф рье .. 7 2
§17. Кратные три,онометричес ие ряды .............. 89
§18. Инте,ралФ рье а предельныйсл чайрядаФ рье 95
§19. Сведения о несобственных инте,ралах, зависящих
от параметра ................................ 98
§20. До азательство инте,ральной форм лы Ф рье .... 102
§21. Призна и сходимости инте,рала Ф рье ......... 104
§22. Различные виды инте,ральной форм лы Ф рье ... 107
§23. Преобразование Ф рье ...................... 112
СовременныйГ манитарныйУниверситет
3
Глава 2. Ряды Ф рье по общим орто,ональным полиномам .... 118
§1. Весоваяф н ция.Классы R% p ( x ) [ a, b] и R% p2 ( x ) ([ a , b ]) 118
§2. Орто,ональные системы ...................... 121
§3. Ряды Ф рье по орто,ональным системам ........ 125
§4. Линейная независимость. Процесс Грама-Шмидта
построения орто,ональных систем ............. 126
§5. Э стремальное свойство частных с мм ряда Ф рье 133
§6. Зам н тость и полнота орто,ональных систем.
Сходимость в среднем ряда Ф рье ............ 135
§7. Орто,ональные полиномы .................... 139
§8. Корни орто,ональных полиномов. Ре ррентная
форм ла .................................. 145
§9. Ряды Ф рье по орто,ональным полиномам. Форм ла
Кристоффеля-Дарб . Сходимость орто,ональных
разложений ................................ 150
Глава3. Ряды Ф рье по лассичес им орто,ональным полиномам 158
§1. Полиномы Чебышева перво,о рода ............. 158
§2. Дальнейшие свойства полиномов Чебышева ..... 162
§3. Ряды Ф рье по полиномам Чебышева ........... 166
§4. Полиномы Чебышева второ,о рода ............. 171
§5. Полиномы Лежандра. Основные форм лы и
ал,ебраичес ие свойства ..................... 183
§6. Инте,рал Лапласа и оцен и полиномов Лежандра . 191
§7. Ряды Ф рье по полиномам Лежандра ........... 193
§8. ПолиномыЛа,ерраиЭрмита .................. 199
§9. Приложения теории орто,ональных полиномов ... 202
Глава4. Ряды Ф рье по собственным ф н циям
дифференциально,о оператора второ,о поряд а ..... 212
§1. Задача Шт рма-Ли вилля для дифференциальных
операторов второ,о поряд а. Основные понятия .. 212
§2. Разложения по собственным ф н циям ре, лярной
задачиШт рма-Ли вилля.Полнотасистемы
собственных ф н ций ....................... 216
§3. Син, лярнаязадачаШт рма-Ли вилля.
Частные сл чаи ............................. 219
§4. Приложения ............................... 240
ЗАДАНИЯДЛЯСАМОСТОЯТЕЛЬНОЙРАБОТЫ ................. 262
ТРЕНИНГУМЕНИЙ ....................................... 290
ФАЙЛМАТЕРИАЛОВ ..................................... 334
ГЛОССАРИЙ*
__________________________________________________________________________________________________
(
)
* Глоссарий расположен в середине чебно,о пособия и предназначен для
самостоятельно,оза чиванияновыхпонятий.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
4
ДИДАКТИЧЕСКИЙ ПЛАН
Три,онометричес ие ряды Ф рье. Инте,рал Ф рье. Элементарные
фа тыотри,онометричес ихрядахФ рьепериодичес ихф н ций.Призна и сходимости. Полнота три,онометричес ой системы. Форм ла
Парсеваля. С ммирование три,онометричес их рядов Ф рье. Способ
средних арифметичес их. Теорема Фейера. Метод П ассона-Абеля.
Задача Дирихле. Кратные три,онометричес ие ряды. Инте,рал Ф рье.
Инте,ралФ рье а предельныйсл чайрядаФ рье.Свойстваивычисление инте,рала Ф рье. Преобразование Ф рье.
Ряды Ф рье по общим орто,ональным полиномам. Орто,ональные
системы. Определение. Примеры. Ряды Ф рье по орто,ональным системам. Процесс Грама-Шмидта построения орто,ональных систем. Э стремальное свойство частных с мм ряда Ф рье. Полнота и зам н тость орто,ональных систем. Сходимость в среднем рядов Ф рье. Орто,ональные полиномы. Определение. Ряды Ф рье по орто,ональным
полиномам. Трехчленное ре ррентное соотношение. Сходимость рядов Ф рье по орто,ональным полиномам поточечно и в среднем.
Ряды Ф рье по лассичес им орто,ональным полиномам. Классичес иеорто,ональныеполиномыиихсвойства.РядыФ рьепо лассичес им орто,ональным полиномам. Примеры.
Ряды Ф рье по собственным ф н циям дифференциально,о операторавторо,опоряд а.ЗадачаШт рма-Ли виллядляре, лярныхисин, лярныхдифференциальных операторов второ,о поряд а. Разложение
по собственным ф н циям задачи Шт рма-Ли вилля. Приложения.
__________________________________________________________________________________________________
Примечание.Зна ом(*)отмеченыработы,наоснове оторыхсоставлентематичес ийобзор.
5
ЛИТЕРАТУРА*
Базовая
1. Толстов Г. П. Ряды Ф рье. М.-Л., 1951 (стереотипное издание
1980,.).
2. Фихтен,ольц Г.М. К рс дифференциально,о и инте,рально,о
исчисления. Т.3. М., 1966.
Дополнительная
3. Ни ольс ийС.М.К рсматематичес о,оанализа,Т.2.М.,1991.
4. К дрявцевЛ.Д.Крат ий рсматематичес о,оанализа.М.,1989.
5. НатансонИ.П.Констр тивнаятеорияф н ций.М.-Л.,1949.
6. С етинП.К.Классичес иеорто,ональныемно,очлены.М.,1976.
7. Левитан Б. М.: Сар,сян А. С. Введение в спе тральн ю теорию
(самосопряженные обы новенные дифференциальные операторы). М.,
1970.
8. АрефьевВ.Н.Уравненияматематичес ойфизи и.Юнита1.Метод разделения переменных в равнениях с частными производными.
М.:СГУ,2000.
9. БариН.К.Три,онометричес иеряды.М.,1961.
10. Демидович Б. П. Задачи и пражнения по математичес ом
анализ дляВТУЗов.М.,1977.
11.Вино,радоваИ.А.,Олехни С.Н.,СадовничийВ.А.Математичес ий анализ в задачах и пражнениях (несобственные инте,ралы и
рядыФ рье).М.,1998.
*Принаписаниитематичес о,ообзорабылииспользованывсеисточни и.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
6
ПЕРЕЧЕНЬ УМЕНИЙ
№
п/п
1.
Умение
Разложить
функцию,
заданную в
интервале
( −π ,π ) или
( −l , l ) , в ряд
Фурье и указать функцию, к которой будет
сходиться
полученный
ряд на отрезке
[ −π ,π ] или
[ −l , l ]
Алгоритмы
1. Нарисовать график функции, продолжив ее периодически с периодом 2π или 2l на всю ось.
2. Проверить условия достаточных признаков сходимости ряда Фурье (Дини-Липшица, Жордана,
Дирихле).
3. Выяснить четность или нечетность функции.
4. Вычислить коэффициенты Фурье по формулам:
a) если функция задана на ( −π , π ) , то
an =
bn =
π
1
∫π f ( x ) cos nxdx ( n = 0,1,2,K) ,
π
−
π
1
π
∫π f ( x ) sin nxdx ( n = 1, 2,K) ;
−
b) если функция задана на ( −l , l ) , то
1
π nx
an = ∫ f ( x ) cos
dx ( n = 0,1,2,K) ,
l −l
l
l
1
π nx
bn = ∫ f ( x ) sin
dx ( n = 1, 2,K) ;
l −l
l
l
c) если функция четная, то
π
2
an = ∫ f ( x ) cos nxdx ( n = 0,1, 2,K) , bn = 0 ,
π 0
2
π nx
an = ∫ f ( x ) cos
dx ( n = 0,1,2,K) , bn = 0 ;
l 0
l
l
d) если функция нечетная, то
π
2
bn = ∫ f ( x ) sin nxdx ( n = 1, 2,K) , an = 0 ,
π 0
2
π nx
bn = ∫ f ( x ) sin
dx ( n = 1, 2,K) , an = 0 .
l 0
l
l
5. Составить ряд Фурье функции f ( x ) .
7
№
п/п
Умение
Алгоритмы
6. Указать функцию, к которой будет сходиться этот
ряд, пользуясь поточечными признаками сходимости (см. п. 2): эта функция будет равна
a) f ( x ) в точках интервала ( −π , π ) [или ( −l , l ) ], где
функция f ( x ) непрерывна;
b)
f ( x + 0) + f ( x − 0)
2
в точках разрыва первого рода
функции f ( x ) ;
c)
2.
Разложить
функцию,
заданную в
интервале
( 0,π ) или
( 0,l ) , в ряд
по косинусам (по синусам) и с
помощью
этого разложения найти
суммы заданных числовых рядов
1.
2.
3.
4.
f ( −π + 0 ) + f (π − 0 )
f ( −l + 0 ) + f ( l − 0 )
) на
2
2
концах интервала.
Продолжить функцию четным (нечетным) образом на ( −π ,0 ) или ( −l ,0 ) , а затем периодически с
периодом 2π или 2l продолжить функцию на
всю ось.
Нарисовать график периодического продолжения.
Проверить условия достаточных признаков сходимости ряда Фурье (Дини-Липшица, Жордана,
Дирихле).
Вычислить коэффициенты Фурье по формулам:
a) если продолжение четное, то
π
2
an = ∫ f ( x ) cos nxdx ( n = 0,1,2,K) , bn = 0 ,
π
(или
0
2
π nx
f
x
cos
dx ( n = 0,1,2,K) , bn = 0 ;
(
)
l ∫0
l
l
an =
b) если продолжение нечетное, то
π
2
bn = ∫ f ( x ) sin nxdx ( n = 1,2,K) , an = 0 ,
π
0
2
π nx
bn = ∫ f ( x ) sin
dx ( n = 1,2,K) , an = 0 .
l 0
l
l
5. Составить ряд Фурье функции f ( x ) .
СовременныйГ манитарныйУниверситет
8
№
п/п
3.
4.
Умение
Написать
равенство
Парсеваля
для функции, заданной на отрезке
[ −π ,π ] , и,
исходя из
этого равенства, найти
сумму данного числового ряда
Найти интеграл Фурье
данной
функции
f ( x ) и построить его
график
Алгоритмы
6. Указать функцию, к которой будет сходиться этот
ряд, пользуясь поточечными признаками сходимости.
7. Подставив значения x , указать сумму заданного
числового ряда.
1. Установить, является ли данная функция функцией с интегрируемым квадратом на [ −π , π ] .
2. Вычислить коэффициенты Фурье по формулам:
π
1
an = ∫ f ( x ) cos nxdx ( n = 0,1,2,K) ,
π
bn =
1
π
−π
π
∫π f ( x ) sin nxdx ( n = 1,2,K)
−
(или их модификациям, если функция f ( x ) четная или нечетная).
π
1
3. Вычислить интеграл ∫ f 2 ( x ) dx .
π
−π
4. Написать равенство Парсеваля:
π
a02 ∞ 2
1
2
+ ∑ ( an + bn ) = ∫ f 2 ( x ) dx .
2 n =1
π −π
5. Произведя, если требуется, арифметические действия в правой и левой частях, получить сумму
данного числового ряда.
1. Построить график функции f ( x ) .
2. Проверить выполнение условий достаточных признаков сходимости интеграла Фурье (Дини, Дирихле-Жордана или следствий из них).
3. Выяснить четность или нечетность функции.
4. Вычислить коэффициенты по формулам:
a) в случае функции общего положения:
∞
∞
1
1
a ( λ ) = ∫ f ( u )cos λ udu, b ( λ ) = ∫ f ( u )sin λ udu ;
π
π
−∞
9
−∞
№
п/п
4.
Умение
Найти интеграл Фурье
данной
функции
f ( x ) и построить его
график
Алгоритмы
b) в случае четной функции:
∞
2
a ( λ ) = ∫ f (u ) cos λ udu, b ( λ ) = 0 ;
π
0
c) в случае нечетной функции:
∞
2
b ( λ ) = ∫ f (u )sin λ udu, a ( λ ) = 0 .
π
0
5. Записать интеграл Фурье функции f ( x ) :
∞
f ( x ) ~ ∫ ( a ( λ ) cos λ x + b ( λ ) sin λ x ) d λ .
0
5.
Найти преобразование
Фурье, косинус-, синуспреобразование Фурье
данной
функции
f ( x)
6. Указать функцию, к которой будет сходиться интеграл Фурье, пользуясь поточечными признаками
сходимости (см. п. 2): эта функция будет равна
b) f ( x ) в точках прямой, где функция f ( x ) непрерывна;
f ( x + 0) + f ( x − 0)
c)
в точках разрыва первого
2
рода функции f ( x ) .
7. Построить график полученной функции.
1. Проверить, будет ли заданная функция f ( x ) абсолютно интегрируемой на всей оси (в случае косинус- или синус-преобразования – на полупрямой [0, +∞ ) ).
2. Вычислить преобразование Фурье по формуле:
b) в общем случае:
∞
1
F (λ ) =
f (u )eiλ u du ;
∫
2π −∞
c) косинус-преобразование:
∞
2
Fc ( λ ) =
∫ f (u ) cos λudu ;
π
0
d) синус-преобразование:
∞
2
Fs ( λ ) =
∫ f (u )sin λudu .
π
0
СовременныйГ манитарныйУниверситет
10
№
п/п
Умение
Алгоритмы
Замечание. Если в случае
а) функция f ( x ) четная, то иногда удобно воспользоваться равенством
F ( λ ) = Fc ( λ ) ,
б) если f ( x ) нечетная, то можно воспользоваться равенством
F ( λ ) = iFs ( λ )
6.
Разложить
данную
функцию
f ( x ) в ряд
Фурье по
полиномам
Чебышева
на отрезке
[ −1,1]
1. Проверить, выполнены ли для f ( x ) достаточные
условия сходимости ряда Фурье-Чебышева в некоторой точке отрезка [ −1,1] :
a) функция f ( x ) ∈ R% 2
([ −1,1]) и при фиксиро1
1− x 2
ванном x ∈ [ −1, 1] функция
f (t ) −
f ( x + 0) + f ( x − 0)
2
∈ R% 2 1
t−x
1− t 2
([ −1,1])
или
b) в окрестности данной точки x ∈ [ −1, 1] функция должна удовлетворять условию Липшица
порядка α = 1 .
2. Сделав замену переменной x = cosθ , ввести вспомогательную функцию
F (θ ) = f ( cosθ )
и разложить ее в ряд Фурье по косинусам на [0, π ]
F (θ ) ~
αn =
2
π
α0
2
∞
+ ∑α n cos nθ ,
n =1
π
∫ F (θ ) cos nθ dθ , n = 0,1, 2,...
0
3. Вернуться к переменной x и получить разложение f ( x ) в ряд Фурье по полиномам Чебышева
Tn ( x ) = cos ( n arccos x ) на [ −1, 1] :
11
№
п/п
Умение
Алгоритмы
∞
f ( x ) ~ ∑ an Tn ( x ) ,
n =0
an =
2
π
1
∫
f ( t ) Tn ( t )
−1
dt
1− t
2
,
причем
an Tn ( x ) =
2
π
π
∫ f ( cosτ ) cos nτ dτ × cos nθ = α
n
cos nθ ,
0
n ≥ 1,
a0T0 ( x ) =
7.
Разложить
данную
функцию
f ( x ) в ряд
Фурье по
полиномам
Чебышева
второго рода
в интервале
( −1,1)
1
π
∫
f ( cosτ ) dτ =
α0
.
2
0
4. Ряд Фурье по полиномам Чебышева сходится в
f ( x + 0) + f ( x − 0)
точке x к сумме
(или к f ( x ) ,
2
если x – точка непрерывности функции).
1. Проверить, выполнены ли для f ( x ) достаточные
π
условия сходимости ряда Фурье по полиномам
Чебышева второго рода в некоторой точке интервала ( −1,1) :
2
a) функция f ( x ) ∈ R%
([ −1,1]) и при фиксиро1− x 2
ванном x ∈ ( −1, 1) функция
f (t ) −
f ( x + 0) + f ( x − 0)
2
∈ R% 2 2
1− t
t−x
([ −1,1])
или
b) в окрестности данной точки x ∈ ( −1,1) функция должна удовлетворять условию Липшица
порядка α = 1 .
2. Сделав замену переменной x = cosθ , ввести вспомогательную функцию
Φ (θ ) = sin θ ⋅ f ( cosθ )
и разложить ее в ряд Фурье по синусам на ( 0, π ) :
СовременныйГ манитарныйУниверситет
12
№
п/п
Умение
Алгоритмы
∞
Φ (θ ) ~ ∑ bn sin nθ ,
n =1
bn =
π
2
∫ Φ (θ ) sin nθ dθ , n = 1,2,K
π
0
3. Представить функцию f ( cosθ ) в виде ряда
sin nθ
(0 < θ < π )
sin θ
n =1
4. Вернуться к переменной x и получить разложение
f ( x ) в ряд по полиномам Чебышева второго рода
∞
f ( cosθ ) ~ ∑ bn
Un ( x) =
sin ( n + 1) arccos x
1− x
2
в интервале ( −1, 1) :
∞
f ( x ) ~ ∑ anU n ( x ) ,
n =0
an =
2
1
f ( t )U ( t )
π ∫
n
1 − t 2 dt ,
−1
n = 0, 1, 2,K ,
причем
anU n ( x ) =
2
π
π
∫
f ( cosτ ) sin ( n + 1)τ sin τ dτ ×
0
= bn +1
sin ( n + 1)θ
sin θ
sin ( n + 1)θ
, n = 0,1,2,K
sin θ
5. Ряд Фурье по полиномам Чебышева второго рода
сходится в точке x интервала ( −1,1) к сумме
f ( x + 0) + f ( x − 0)
(или к f ( x ) , если x – точка
2
непрерывности функции).
13
=
№
п/п
8.
Умение
Разложить
данную
функцию
f ( x ) в ряд
Фурье по
полиномам
Лежандра в
интервале
( −1,1)
Алгоритмы
1. Проверить, выполнены ли для f ( x ) достаточные
условия сходимости ряда Фурье по полиномам
Лежандра в некоторой точке интервала ( −1,1) :
a) функция f ( x ) ∈ R% 2 ([ −1,1]) и при фиксированном x ∈ ( −1,1) функция
f (t ) −
f ( x + 0) − f ( x − 0)
2
∈ R% 2 ([ −1,1])
t−x
или
b) в некоторой окрестности точки x функция
должна удовлетворять условию Липшица по1
рядка α > .
2
2. Вычислить коэффициенты Фурье-Лежандра по
формулам:
1
2n + 1
an =
f ( t ) Pn ( t ) dt ,
2 −∫1
где
d n ( x 2 − 1)
n
1
.
( 2n )!! dx n
Замечание. Для вычисления интеграла удобно
пользоваться формулой
Pn′+1 ( x ) − Pn′−1 ( x ) = ( 2n + 1) Pn ( x )
Pn ( x ) =
и известными значениями полиномов Лежандра:
n
Pn (1) = 1, Pn ( −1) = ( −1) ,
P2 n ( 0 ) = ( −1)
n
( 2n − 1)!!
,
( 2n )!!
P2 n +1 ( 0 ) = 0 .
3. Составить ряд Фурье-Лежандра функции f ( x ) :
∞
f ( x ) ~ ∑ an Pn ( x ) .
n =0
СовременныйГ манитарныйУниверситет
14
№
п/п
Умение
Алгоритмы
4. Ряд Фурье-Лежандра сходится в точке x интерваf ( x + 0) + f ( x − 0)
ла ( −1,1) к сумме
(или к
2
f ( x ) , если x – точка непрерывности функции).
9.
Разложить
данную
функцию
f ( x ) в ряд
Фурье по
собственным функциям задачи
ШтурмаЛиувилля в
интервале
( a, b )
1. Решить задачу Штурма-Лиувилля.
2. Проверить достаточные условия поточечной сходимости в интервале ( a, b ) ряда Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля:
а) кусочная непрерывность функции на [ a , b ] ;
б) кусочная непрерывность ее производных до
второго порядка.
3. Вычислить коэффициенты Фурье по собственным
функциям задачи Штурма-Лиувилля { y ( x, λn )} :
cn =
1
y ( x, λn
b
f ( x ) y ( x, λ ) dx ( n = 0,1,2,K)
∫
)
n
2
a
4. Составить ряд Фурье по собственным функциям
задачи Штурма-Лиувилля:
∞
f ( x ) ~ ∑ cn y ( x, λn ) .
n =0
5. Ряд Фурье по собственным функциям задачи
Штурма-Лиувилля сходится для a < x < b к сумме
f ( x ) в каждой точке непрерывности и к сумме
f ( x + 0) − f ( x − 0)
2
15
в каждой точке разрыва.
ТЕМАТИЧЕСКИЙ ОБЗОР*
ГЛАВА 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ.
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 1. Периодичес;ие ф=н;ции. Три>онометричес;ие
ряды периодичес;их ф=н;ций
Ф н ция f ( x ) , заданная для всех значений
x , называется пе-
риодичес;ой, если с ществ ет число T ≠ 0 , для оторо,о
f ( x + T ) = f ( x) ,
а овобынибыло
x .Минимальноечисло T ста имсвойствомназы-
вается периодом ф н ции
f ( x) .
С мма, разность, произведение и частное ф н ций периода
очевидно, являются ф н циями то,о же периода.
T,
Если T естьпериодф н ции f ( x ) ,тоивсечиславида kT ,,де k
– целое число, б д т та же периодами. В дальнейшем б дем предпола,ать T > 0 .
Отметим след ющее свойство ф н ций периода T .
Лемма 1.1. Если ф н ция
f ( x ) периода T инте,рир ема на не-
отором отрез е длины T , то она инте,рир ема на вся ом др ,ом отрез е той же длины, причем
a +T
∫
a
b+T
f ( x )dx =
∫
f ( x ) dx
(1.1)
b
длялюбыхдействительныхчисел a и b .
Доазательство. Достаточно до азать равенство (1.1) для b = 0 .
С ществ ет единственное целое число k та ое, что kT ≤ a < ( k + 1)T
и,
очевидно,
____________________________________________________________________________________________________
*Жирнымшрифтомвыделеныновыепонятия, оторыенеобходимо своить.Знание
этихпонятийб детпроверятьсяпритестировании.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
16
( k +1) T
∫
( k +1) T
∫
f ( x )dx =
a
a
a +T
a +T
∫
∫
f ( x )dx =
( k +1) T
T
f ( x − kT )dx =
∫
f ( z )dz ,
a − kT
a − kT
f ( x − ( k + 1)T )dx =
( k +1) T
∫
f ( z ) dz .
0
С ладываяэтиравенства,пол чим(1.1)(при b = 0 ).B
Частовсл чаеф н цийпериода T приходится потреблятьравенство
T
T
∫ f (t − x )dt = ∫ f (t )dt ,
0
,де
ем
0
x можетбытьлюбымзначением.Действительно,всил (1.1)имеT −x
T
∫ f (t − x )dt = ∫
−x
0
T
f ( z )dz = ∫ f (t )dt .
0
Наиболееизвестнымипериодичес имиф н циямиявляются sin x ,
cos x , tg x , ctg x .Др ,ойпримерпериодичес ойф н ции,важныйдля
приложений, дает ф н ция
y = A sin(ω x + ϕ ) ,
,де A, ω ,ϕ – постоянные. Эта ф н ция называется >армони;ой, или
син соидальной ф н цией. Она задает от лонение точ и от положения
равновесия при ,армоничес ом олебании. Число A называется амплит дой, ω –частотой, а ϕ – начальной фазой олебания. Гармони а
имеет период T =
2π
ω
.
Воспользовавшись известной три,онометричес ой форм лой, можем написать:
A sin(ω x + ϕ ) = A(cos ω x sin ϕ + sin ω x cos ϕ ) .
17
Положив
a = A sin ϕ ,
b = A cos ϕ ,
(1.2)
бедимся,чтовся ю,армони можнопредставитьввиде
a cos ω x + b sin ω x .
(1.3)
Справедливоиобратное:вся аяф н циявида(1.3)есть,армониа. Действительно, из равнений (1.2) найдем:
a
A = a 2 + b 2 , sin ϕ =
от
a 2 + b2
, cosϕ =
b
a 2 + b2
,
да
a
b
a cos ω x + b sin ω x = a 2 + b
cos ω x +
sin ω x =
2
2
a 2 + b2
a +b
= A(sin ϕ cos ω x + cos ϕ sin ω x ) = A sin(ω x + ϕ ) .
Положим T = 2l .То,давсил равенства T =
2π
ω
пол
чим: ω =
π
l
.
Следовательно, ,армони а с периодом T = 2l имеет вид:
a cos
πx
l
+ b sin
πx
l
.
Рассмотрим ,армони и
ak cos
счастотами ω k =
πk
l
π kx
l
+ bk sin
π kx
l
ипериодами Tk =
( k = 1,2,K)
2π
ωk
=
2l
k .Число T = 2l являет-
ся периодом для всех ,армони (1.4), поэтом вся ая с мма вида
π kx
π kx
+ bk sin
sn ( x ) = A + ∑ ak cos
,
l
l
k =1
n
СовременныйГ манитарныйУниверситет
18
(1.4)
,де A = const ,естьф н цияпериода 2l , отор юб демназыватьтри>онометричес;им мно>очленом поряд;а n (периода 2l ).
С мма бес онечно,о три>онометричес;о>о ряда
π kx
π kx
A + ∑ ak cos
+ bk sin
l
l
k =1
∞
(если он сходится) та же представляет собой ф н цию периода 2l .
Природа ф н ций, являющихся с ммами та их три,онометричес их рядов, очень разнообразна. Поэтом возни ает вопрос:нельзя ли вся ю
заданн ю ф н цию периода T = 2l представить в виде с ммы три,онометричес о,о ряда?
Для широ о,о ласса ф н цийта ая задачарешается положительно.
Если
π kx
π kx
f ( x ) = A + ∑ ak cos
+ bk sin
,
l
l
k =1
∞
то,положив
(1.5)
πx
tl
= t ,найдемдля ϕ ( t ) = f
l
π
∞
ϕ (t ) = A + ∑ ( ak cos kt + bk sin kt ) .
(1.6)
k =1
Гармони и это,о ряда имеют общий период 2π . Та им образом,
еслидля f ( x ) периода 2l имеетместоразложение(1.5),тодляф н -
tl
ции ϕ ( t ) = f периода 2π
π
имеет место разложение (1.6). Спра-
ведливо и обратное. Поэтом достаточно меть решать задач разложения в три,онометричес ий ряд для ф н ций периода 2π .
19
§ 2. Основная три>онометричес;ая система.
Три>онометричес;ий ряд Ф=рье
Основной три>онометричес;ой системой б дем называть
систем ф н ций
1,cos x,sin x,cos 2 x,sin 2 x,K,cos nx,sin nx,K
Все эти ф н ции имеют общий период 2π (хотя
имеют меньший период
(2.1)
cos nx и sin nx
2π
).
n
Лемма2.1.Ф н цииосновнойтри,онометричес ойсистемы(2.1)
обладают след ющими свойствами:
π
∫π cos nx cos mxdx = 0, m ≠ n, m, n = 0,1,2,K ;
−
π
∫π sin nx sin mxdx = 0, m ≠ n, m, n = 1,2,K ;
−
(2.2)
π
∫π cos nx sin mxdx = 0, m, n = 0,1,2,K ;
−
π
∫π cos
π
2
nxdx =
−
∫π sin
2
nxdx = π , n = 1,2,K
−
Доазательство. Достаточно до азать первое и последнее соотношения (2.2). Остальные до азываются анало,ично. Имеем:
π
π
1
cos
nx
cos
mxdx
=
[cos(n + m) x + cos( n − m) x ] dx =
∫−π
2 −∫π
π
π
sin( n + m) x
sin( n − m) x
=
+
= 0, n ≠ m;
2( n + m) −π
2( n − m) −π
СовременныйГ манитарныйУниверситет
20
π
π
1
sin 2nx
2
cos
nxdx
=
(1
+
cos
2
nx
)
dx
=
π
+
∫
2 −∫π
4n
−π
π
= π , n = 1,2,K B
−π
Определение. Две ф н ции ϕ ( x ) и ψ ( x ) орто>ональны на отрез е [a , b] , если
b
∫ ϕ ( x )ψ ( x )dx = 0 .
a
Всил леммы2.1ф н циисистемы(2.1)орто,ональнына
Авсил периодичности–налюбомотрез е
П стьдляф н ции
[ −π ,π ] .
[a, a + 2π ] .
f ( x ) периода 2π имеетместо разложение
a0 ∞
f ( x ) = + ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) .
2 n =1
(2.3)
Сраз жевозни аетвопрос, а найти оэффициенты a0 , an и bn ,
n = 1,2,K ,знаяф н цию f ( x ) .Ответле, опол чить, о,дарядвправой части равенства (2.3) сходится равномерно на всей числовой оси.
Теорема 2.2. Если три,онометричес ий ряд в правой части равенства (2.3) равномерно сходится на всей числовой оси, то
a0 =
1
π
π
∫π f ( x )dx , a
n
−
=
1
π
π
∫π f ( x ) cos nxdx ,
−
(2.4)
bn =
1
π
π
∫π f ( x )sin nxdx , n = 1,2,K
−
Доазательство.Пос оль рядвправойчастиравенства(2.3)сходится равномерно, то е,о можно почленно инте,рировать на отрез е
[ −π ,π ] . Поэтом
, проинте,рировав обе части равенства (2.3), б дем
иметь
21
π
∫
−π
π
∞
a0
f ( x )dx = ∫ + ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) dx =
2 n =1
−π
a
= 0
2
π
π
π
+
+
dx
a
cos
nxdx
b
sin
nxdx
n∫
= π a0 ,
n ∫
∫−π ∑
n =1
−π
−π
∞
от даслед етперваяформ ла(2.4).
Если обе части равенства (2.3) множить на cos mx или sin mx ,
m ∈ N, то, пос оль эти ф н ции о,раничены на числовой оси, в правой части б д т стоять равномерно сходящиеся на всей числовой оси
ряды.Проинте,рировавобечасти аждо,оизпол чившихсяравенстви
воспользовавшись форм лами (2.2), б дем иметь (например, в сл чае
cosmx ):
π
∫π f ( x ) cos mxdx =
−
π
∞
a0
= ∫ cos mx + ∑ ( an cos nx cos mx + bn sin nx cos mx ) dx =
2
n =1
−π
a
= 0
2
π
π
π
cos
cos
cos
sin
cos
mxdx
+
a
nx
mxdx
+
b
nx
mxdx
= π am .
∑
n ∫
n ∫
∫−π
n =1
−π
−π
∞
Отсюда an =
1
π
π
∫π f ( x ) cos nxdx .B
−
Замечание1.Напомним,чтоф н ция f ( x ) называетсяабсолютно
инте,рир емой на отрез е [ a , b ] в римановом, вообще ,оворя, несобb
ственном смысле, еслиинте,рал
∫ f ( x ) dx имеет
a
b
бенностей, а
∫
f ( x ) dx < ∞ .
a
СовременныйГ манитарныйУниверситет
22
онечное число осо-
Замечание 2. Если ф н ция f ( x ) абсолютно инте,рир ема на отрез е
[ −π , π ] ,
то
из
неравенств
f ( x ) cos nx ≤ f ( x ) ,
f ( x )sin nx ≤ f ( x ) след ет, что ф н ции f ( x ) cos nx , f ( x )sin nx ,
n = 0,1,2,K ,та жеабсолютноинте,рир емы.Та имобразом,форм лы
(2.4) имеют смысл для любой абсолютно инте,рир емой на отрез е
[ −π ,π ] ф н ции.
Определение. Если ф н ция
f ( x ) абсолютно инте,рир ема на
отрез е [ −π , π ] , то оэффициенты
an и bn , вычисленные по форм -
лам (2.4), называются ;оэффициентами Ф=рье для ф н ции
f ( x ) , а
три,онометричес ий ряд с та ими оэффициентами называется ее ряд о м Ф у р ь е 1).
П сть задана не оторая инте,рир емая ф н ция периода 2π , и
мы хотим представить ее в виде с ммы три,онометричес о,о ряда. Из
предыд щих расс ждений ле, о выте ает след ющая
Теорема 2.3. Если для ф н ции f ( x ) периода 2π имеет место
разложение в не оторый равномерно сходящийся на [ −π , π ] три,онометричес ийряд,тоэтотрядявляетсярядомФ рьедля f ( x ) .
Действительно, п сть для f ( x ) имеет место равенство (2.3), ,де
ряд справа сходится равномерно. То,да с мма равномерно сходяще,ося ряда ф н ция
f ( x ) непрерывна и возможно почленное инте,ри-
рование ряда. Это дает нам первое соотношение (2.4).
Рассмотрим равенство
∞
a0
f ( x )cos mx =
cos mx + ∑ ( ak cos kx cos mx + bk sin kx cos mx ) (2.5)
2
k =1
и по ажем, что ряд справа сходится равномерно.
Ж.Б. Ф рье (1768-1830) – франц зс ий математи . Ем принадлежат ф ндаментальные исследования, относящиеся представлению ф н ций три,онометричес ими
рядами.
1)
23
Положим
n
a0
Sn ( x ) = + ∑ ( ak cos kx + bk sin kx ) .
2 k =1
П сть ε –произвольноеположительноечисло.Еслиряд(2.3)сходится равномерно, то с ществ ет число та ое, что для всех m ≥ f ( x ) − Sn ( x ) ≤ ε .
Произведение S n ( x ) cos mx ,очевидно,является n -йчастнойс ммой ряда (2.5). Поэтом из соотношения
f ( x ) cos mx − Sn ( x ) cos mx = f ( x ) − Sn ( x ) cos mx ≤ ε ,
справедливо,одлявсех m ≥ ,выте аетравномернаясходимостьряда
(2.5).
Та им образом, этот ряд можно почленно инте,рировать, а инте,рирование дает второе равенство (2.4). Анало,ично до азывается третьеравенство(2.4).Следовательно,ряд(2.3)естьрядФ рьедля f ( x ) .
Замечание 3. Если о равномерной сходимости ряда ниче,о наперед не предпола,ается, наши соображения не до азывают то,о, что
ф н цияможетразла,атьсяврядФ рье.Вэтомсл чаемыимеемправолишьформальнорассматриватьрядФ рьеданнойф н ции
f ( x ) и
можем тверждать толь о то, что он “соответств ет” данной ф н ции
f ( x ) .Эт связьобычнообозначаютта :
a0 ∞
f ( x ) ~ + ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) .
2 n =1
Зна “~”можнозаменитьзна ом“=”толь ото,да, о,данам дастся до азать сходимость ряда и равенство е,о с ммы ф н ции
СовременныйГ манитарныйУниверситет
24
f ( x) .
§3. Инте>рал Дирихле
П стьф н ция
f ( x ) имеетпериод 2π иабсолютноинте,рир ема
на отрез е [ −π , π ] (или, а б дем ,оворить, абсолютно инте,рир ема
на периоде) и
a0 ∞
f ( x ) ~ + ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) .
2 n =1
(3.1)
Частн=юс=мм=поряд;а n рядаФ=рье(3.1)б демобозначать
Sn ( x; f ) ,или ороче Sn ( x ) :
n
a0
Sn ( x ) = Sn ( x; f ) = + ∑ ( ak cos kx + bk sin kx ) .
2 k =1
Найдем для этой с ммы выражение, добное для ее дальнейше,о
из чения.
Подставим в
Sn ( x ) вместо an и bn их инте,ральные выражения
(2.4),пол чим
1
Sn ( x ) =
2π
π
∫π f ( t )dt +
−
π
cos kx π
sin kx
+ ∑
f
t
cos
ktdt
+
f
t
sin
ktdt
()
()
=
∫
∫
π −π
π −π
k =1
n
π
1 n
= ∫ + ∑ ( cos kx cos kt + sin kx sin kt ) f ( t ) dt =
π −π 2 k =1
1
π
1 n
= ∫ + ∑ cos k ( t − x ) f ( t ) dt.
π −π 2 k =1
1
Ф н ция
11 n
Dn ( t ) = + ∑ cos kt , n = 0,1,2,K ,
π 2 k =1
25
(3.2)
называется ядром Дирихле1) поряд;а
Та им образом,
Sn ( x ) =
n.
π
∫π D (t − x) f (t )dt .
n
(3.3)
−
Инте,рал, стоящий в правой части это,о равенства, называется
инте>ралом Дирихле.
Лемма 3.1. Ядро Дирихле
Dn (t )
1) является четной непрерывной периода 2π ф н цией;
π
2)
π
∫π D (t )dt = 2∫ D (t )dt = 1 ;
n
n
−
0
1
n
+
sin
t
2
, t ≠ 2π m,
t
3) Dn ( t ) = 2π sin
n = 0,1,2,K , m = 0, ±1, ±2,K .
2
1
1
n
+
, t = 2π m,
π
2
Доазательство. Свойство 1) очевидным образом след ет из опπ
ределения (3.2) ядра Дирихле. Форм ла
∫π D (t )dt = 1 пол чается из
n
−
(3.2)инте,рированиемобеихчастейэто,оравенствапоотрез [ −π , π ] ,
π
∫
а форм ла 2 Dn ( t )dt = 1 пол чается из предыд щей в сил четности
0
ядра Дирихле. До ажем свойство 3).
Если t = 2π m , то равенство тривиально, ибо cos 2π mk = 1 . Если
же t ≠ 2π m ,то,очевидно,
Л. Дирихле (1805-1859) – немец ий математи . В 1829 ,од он впервые до азал
сходимостьрядаФ рьедля сочно-монотонныхнепрерывныхф н ций.
1)
СовременныйГ манитарныйУниверситет
26
2π Dn (t )sin
t
t
t
t
t
= sin + 2 cos t sin + 2cos 2t sin + K + 2 cos nt sin .
2
2
2
2
2
Применяя аждом сла,аемом в правой части форм л
2 cos α sin β = sin (α + β ) − sin (α − β ) ,
найдем:
2π Dn (t )sin
t
t
3
t
5
3
= sin + sin t − sin + sin t − sin t + K
2
2 2
2
2
2
1
1
1
K + sin n + t − sin n − t = sin n + t .
2
2
2
Отсюда
1
sin n + t
2
Dn ( t ) =
t .B
2π sin
2
1
sin n + t
1
2
= n + ,топри t ∈ [0, π ] можЗамечание1.Та а lim
t →0
t
2
2sin
2
1
sin n + t
2
. Это б дет добным для дальнейно считать, что Dn (t ) =
t
2π sin
2
ших расс ждений.
До ажем та же след ющее предложение.
Лемма 3.2. Если ф н ция
f ( x ) имеет период 2π и абсолютно
инте,рир ема на периоде, то
27
π
Sn ( x ) =
∫π D (t ) f ( x + t )dt
(3.4)
n
−
и
π
Sn ( x ) = ∫ Dn (t ) [ f ( x + t ) + f ( x − t )] dt .
(3.5)
0
Доазательство.До ажемформ л (3.4).Всил (3.3)имеем:
π
Sn ( x ) =
∫π D (t − x ) f (t )dt .
n
−
Делая в последнем инте,рале замен переменной u
= t − x , пол -
чим:
π −x
Sn ( x ) =
∫
π
Dn ( u ) f ( x + u) du ,
− −x
от да,воспользовавшись 2π -периодичностьюф н ций f ( x ) и Dn ( t ) ,
о ончательно пол чим:
Sn ( x ) =
π
∫π D (u ) f ( x + u )du .
n
−
Для до азательства форм лы (3.5) разобьем в форм ле (3.4) промеж то инте,рированиянаотрез и [ −π ,0] и [0, π ] ,азатемсделаемв
первом инте,рале замен переменной
π
Sn ( x ) =
π
0
∫π D (t ) f ( x + t )dt = ∫π D (t ) f ( x + t )dt + ∫ D (t ) f ( x + t )dt =
n
n
−
π
t = −u :
n
−
0
π
π
= ∫ Dn ( −u ) f ( x − u )du + ∫ Dn (t ) f ( x + t )dt = ∫ Dn (t )[ f ( x + t ) + f ( x − t )]dt .
0
0
0
(При переходе последнем равенств мы воспользовались четностью ф н ции Dn (t ) .)B
СовременныйГ манитарныйУниверситет
28
§ 4. Теорема Римана. Стремление ;оэффициентов ;
н=лю. Принцип ло;ализации
Займемся теперь из чением поведения частных с мм ряда Ф рье. Для начала до ажем след ющее тверждение, принадлежащее
Б. Риман 1 ).
Теорема 4.1.(Риман) Еслиф н ция g ( t ) абсолютно инте,рир ема на не отором онечном отрез е [ a , b ] , то
b
b
lim ∫ g (t )sin ptdt = 0 , lim ∫ g (t )cos ptdt = 0 .
p →∞
p →∞
a
a
Замечание 1. Напомним, что если не оторое числовое множество
X о,раничено сверх , тонаименьшее среди всех чисел, о,раничивающихе,о сверх ,называется е,о точной верхней,ранью и обозначается
sup x . Если числовое множество X о,раничено сниз , то наибольшее
x∈ X
среди всех чисел, о,раничивающих е,о сниз , называется е,о точной
нижней ,ранью и обозначается inf
x∈ X
x.
Замечание 2. Точная верхняя ,рань всевозможных разностей значений ф н ции f ( x ) , заданной на отрез е [ a , b] , называется олеба-
(
нием ω f ,
[a, b]) ф
н ции f ( x ) наотрез е [a , b ] :
ω ( f , [ a, b]) = sup f ( x ′ ) − f ( x ′′) .
x ′, x ′′∈[a , b]
Доазательство теоремы 4.1 достаточно провести для перво,о из
этих соотношений. Заметим, что а ов бы ни был онечный отрезо
[α , β ] , б
дем иметь оцен :
β
∫ sin ptdt =
α
cos pα − cos p β
2
≤ .
p
p
(4.1)
Б.Ф.Риман(1826-1866)–немец ийматемати ,внесбольшойв ладвинте,ральноеисчислениеитеориюаналитичес ихф н ций.
1)
29
Доп стим сначала, что ф н ция g ( t ) инте,рир ема в собственном
смысле. Разобьем отрезо [ a , b] на n частей точ ами
a = t0 < t1 < K < ti < ti +1 < K < tn = b
(4.2)
ивсоответствиисэтимразложиминте,рал
b
n −1 ti +1
a
i = 0 ti
∫ g (t )sin ptdt = ∑ ∫ g (t )sin ptdt .
Обозначив через
рез е
mi точн ю нижнюю ,рань значений g (t ) на от-
[ti , ti +1 ] , преобраз
ем это выражение та :
b
n −1 ti +1
a
i = 0 ti
ti +1
n −1
∫ g (t )sin ptdt = ∑ ∫ [ g (t ) − m ] sin ptdt + ∑ m ∫ sin ptdt .
i
i
i =0
Если ω i – олебаниеф н ции g (t ) наотрез е
отрез е
ti
[ti , ti +1 ] ,тонаэтом
g (t ) − mi ≤ ωi . Отсюда, принимая во внимание неравенство
(4.1),ле, опол читьоцен длянаше,оинте,рала:
n −1
2 n −1
ω i ∆ti + ∑ mi .
∫a g (t )sin ptdt ≤ ∑
p i =0
i =0
b
Зададимсяпроизвольнымчислом ε > 0 ивыберемразбиение(4.2)
та ,чтобы
n −1
∑ ω ∆t
i
i
<
i =0
ε
2
;
это возможно сделать ввид инте,рир емости ф н ции g ( t ) . Теперь,
та а числа mi темсамым жеопределены,можемвзять
p>
4
ε
∑m
i
СовременныйГ манитарныйУниверситет
30
идляэтихзначений p пол чим
b
∫ g (t )sin ptdt < ε ,
a
что и до азывает наше тверждение.
В сл чае если ф н ция g ( t ) абсолютно(!) инте,рир ема в несобственном смысле, достаточно о,раничиться предположением, что на
отрез е [a , b] имеетсялишьоднаособаяточ а,напримерточ а b .Иначе можно разложить отрезо на онечное число частей, содержащих
лишьпооднойособойточ е,иприменитьрасс ждение аждойчасти
в отдельности.
П сть 0 < η
< b − a .Разла,аяинте,ралнадва:
b −η
b
∫ g (t )sin ptdt = ∫
a
b
+
∫,
b −η
a
для второ,о инте,рала справаимеем при любом
b
p оцен :
b
∫η g (t )sin ptdt ≤ ∫η g (t ) dt ,
b−
чтоменьше
ε
2
b−
,есливыбрать η достаточномалым.Аинте,рал
b −η
∫
g (t )sin ptdt
a
при p → ∞ стремится н лю–по жедо азанном ,та а наотрез е
[a, b − η ] ф
н ция g ( t ) инте,рир ема в собственном смысле. Поэтом
при достаточнобольшом
p
b −η
∫
g (t )sin ptdt <
a
чтоитребовалосьдо азать.B
31
ε
2,
Вспомнивформ лы(2.4),выражающие оэффициентыФ рье,в ачестве непосредственно,о следствия из теоремы 4.1 пол чим тверждение:
Коэффициенты Ф рье
an , bn абсолютно инте,рир емой ф н ции
при n → ∞ стремятся н лю.
Вторым следствием до азанной теоремы является та называемый принцип ло;ализации.
Зафи сир ем точ
x = x0 . Возьмем произвольное число δ ,
0 < δ < π ,иразобьеминте,рал(3.5)надва–поотрез ам [0, δ ] и [δ , π ] .
Принимаявовниманиеформ л 3)(лемма3.1)дляядраДирихле,пол чимвточ е
x0 :
δ
S n ( x0 ) = ∫ Dn (t ) [ f ( x0 + t ) + f ( x0 − t ) ] dt +
0
1
+
2π
Та а ф н ция
аф н ции
1
t
sin
2
π
∫
δ
f ( x0 + t ) + f ( x0 − t )
1
sin n + tdt.
t
2
sin
2
непрерывнаио,раниченанаотрез е
[δ , π ] ,
f ( x0 + t ) и f ( x0 − t ) а ф н циипеременной t абсолютно
инте,рир емы на этом отрез е, то и ф н ция
солютно инте,рир ема на отрез е
f ( x0 + t ) + f ( x0 − t )
абt
sin
2
[δ ,π ] . Следовательно, со,ласно те-
ореме 4.1 имеем
1
lim
n →∞ 2π
π
∫
δ
f ( x0 + t ) + f ( x0 − t )
1
sin n + tdt = 0 .
t
2
sin
2
СовременныйГ манитарныйУниверситет
32
Та имобразом,имеетместоасимптотичес оеравенство:
δ
S n ( x0 ) = ∫ Dn (t ) [ f ( x0 + t ) + f ( x0 − t ) ] dt + o(1), n → ∞ .
(4.3)
0
Новподынте,ральноевыражениеинте,рала(4.3)входятлишьзначения ф н ции
f ( x ) , отвечающие изменению ар, мента на отрез е
[ x0 − δ , x0 + δ ] . Поэтом
справедлива
Теорема4.2(принципло ализации,Риман).Если f ( x ) – 2π -периодичес ая абсолютно инте,рир емая на периоде ф н ция, то с ществованиепределапоследовательностиеечастныхс ммФ рье S n ( x0 ) ,
n = 1,2,K ,вне оторойточ е x0 ∈ R равносильнос ществованиюпредела
δ
lim ∫ Dn (t ) [ f ( x0 + t ) + f ( x0 − t ) ] dt ,
n →∞
0
,де δ , 0 < δ < π ,–произвольноечисло.Приэтомесли азанныепределыс ществ ют,тоониравны.
Та им образом, несмотря на то, что оэффициенты Ф рье ф н ции определяются с помощью ее значений на всем периоде, поведениееерядаФ рьевне оторойточ е x0 зависитис лючительноотзначений, принимаемых ф н цией в с оль ,одно малой о рестности рассматриваемой точ и
x0 .
§5.Призна;иДинииЛипшицасходимостирядовФ=рье
Продолжим из чениеповедения частныхс мм ряда Ф рье взависимости от поведения ф н ции в о рестности данной точ и
x0 . В § 3
мы пол чили инте,ральное выражение (3.5) для частной с ммы ряда
Ф рье
Sn ( x; f ) ф н ции f ( x ) , довлетворяющей поставленным выше
словиям.Вчастности,взяв f ( x ) ≡ 1 ,пол чим,что S n ( x;
33
f ) ≡ 1 ,а,сле-
довательно,всил равенства(3.5)изамечания1(§3)б демиметь:
1
sin n + t
2
2
dt .
1= ∫
π 0 2sin t
2
π
Умножаяобечастиэто,оравенстванапостоянноечисло S0 –предпола,аем юс мм наше,орядавточ е x0 ,ивычитаярез льтатиз(3.5)
при
x = x0 , найдем:
1
n
+
sin
π
t
1
2
S n ( x0 ) − S 0 = ∫ ϕ ( t )
dt ,
t
π 0
2sin
2
(5.1)
,де
ϕ (t ) = f ( x0 + t ) + f ( x0 − t ) − 2 S0 .
Очевидно, что если ф н ция
f ( x ) периодичес ая и абсолютно
инте,рир емаянапериоде,топрилюбомфи сированном
x = x0 ф н -
ция ϕ ( t ) та же б дет периодичес ой с тем же периодом и абсолютно
инте,рир емой на периоде.
Еслимыхотим становить,что S0 действительноявляетсяс ммой
ряда,тон жнодо азать,чтоинте,рал(5.1)при n → ∞ стремится н лю.
Уточним теперь значение числа
S0 .
Замечание 1. Напомним, что левым (правым) пределом ф н ции
f ( x ) в точ е x0 называется величина
f ( x ) = f ( x0 + 0 )
lim f ( x ) = f ( x0 − 0 ) xlim
→
x
x → x0
0
x < x0
x > x0
СовременныйГ манитарныйУниверситет
34
(еслиэтипределыс ществ юти онечны).
Если
x0 – точ а непрерывности f ( x ) , эти пределы с ществ ют,
причем
f ( x0 − 0 ) = f ( x0 ) = f ( x0 + 0 ) .
Точ а x0 естьточ аразрываперво,ородадляф н ции f ( x ) ,если
оба предела с ществ ют (но мо, т быть различны). Величина
κ = f ( x0 + 0 ) − f ( x0 − 0 ) называется с
ач ом ф н ции f ( x ) в точ е
x0 .
Нас б д т интересовать два сл чая: а) f ( x ) непрерывна в точ е
x0 и б) f ( x ) имеет в этой точ е разве лишь разрыв перво,о рода. В
этих сл чаях положим:
всл чаеа): S0
= f ( x0 )
всл чаеб): S 0 =
f ( x0 + 0) + f ( x0 − 0)
.
2
Заметим,чтота а
а) lim f ( x0 ± t ) = f ( x0 ) илиб) lim
t →0
t →0
t>0
топри
f ( x0 ± t ) = f ( x0 ± 0 ) ,
t >0
азанном выборечисла
S0 все,да б дет
lim ϕ ( t ) = 0 .
t →0
t >0
Сформ лир ем теперь
Призна; Дини1).РядФ рьеф н ции f ( x ) вточ е
x0 сходится
с мме S0 , если при не отором h > 0 с ществ ет инте,рал
h
∫
0
1)
ϕ (t )
t
dt .
У. Дини (1845-1918) – итальянс ий математи .
35
(5.2)
Доазательство.Если азанныйинте,ралс ществ ет,тос ществ ет
иинте,рал
π
∫
ϕ (t )
t
0
dt .
Перепишемвыражение(5.1)ввиде
1
t
1 ϕ (t ) 2
1
sin
⋅
⋅
+
n
tdt .
2
π ∫0 t sin t
2
π
То,давсил теоремы4.1оностремится н люпри n → ∞ ,та а
1
ϕ (t )
ϕ (t ) 2 t
⋅
ф н ция
,азначит,и
абсолютноинте,рир ема,чтои
t
t sin t
2
завершает до азательство теоремы. B
Инте,рал (5.2) называется инте>ралом Дини. Переписав е,о в
разверн том виде:
h
всл чаеа):
∫
f ( x0 + t ) + f ( x0 − t ) − 2 f ( x0 )
t
0
h
всл чаеб):
∫
dt ,
f ( x0 + t ) + f ( x0 − t ) − f ( x0 + 0 ) − f ( x0 − 0 )
t
0
dt ,
видим, что достаточно предположить с ществование порознь инте,ралов:
h
∫
f ( x0 + t ) − f ( x0 )
t
0
h
dt и ∫
f ( x0 − t ) − f ( x0 )
t
0
(5.3)
dt
или
h
∫
0
f ( x0 + t ) − f ( x0 + 0 )
t
h
dt и ∫
f ( x0 − t ) − f ( x0 − 0 )
0
СовременныйГ манитарныйУниверситет
36
t
dt
всл чаяха) или б) соответственно.
Отсюда можно пол чить ряд частных призна ов. Например, о,раничиваясь сл чаем а), ажем
Призна; Липшица2). Ряд Ф рье ф н ции f ( x ) сходится в точ е
x0 ,,деонанепрерывна, с мме f ( x0 ) ,еслидлядостаточномалых t
выполняется неравенство
f ( x0 ± t ) − f ( x0 ) ≤ Lt α ,
(5.4)
называемое =словием Липшица поряд;а α , ,де L и α – положительные постоянные
(α ≤ 1) .
Действительно, в сл чае α = 1 имеем:
f ( x0 ± t ) − f ( x0 )
t
≤L,
и, следовательно, инте,ралы (5.3) с ществ ют в собственном смысле.
Еслиже α < 1 ,то
f ( x0 ± t ) − f ( x0 )
t
≤
L
t 1− α
,
иинте,ралы(5.3)с ществ ют,хотябы а несобственные.
В частности, словие Липшица при α = 1 заведомо б дет выполнено, если для ф н ции f ( x ) в точ е
водная
x0 с ществ ет онечная произ-
f ′( x0 ) или, по райней мере, онечные односторонние произ-
водные
f +′ ( x0 ) = lim
t →0
t >0
f ( x0 + t ) − f ( x0 )
t
, f −′ ( x0 ) = lim
t →0
t >0
f ( x0 − t ) − f ( x0 )
−t
,
хотябы иразличные межд собой.
Та им образом, в точ е
x0 , ,де ф н ция f ( x ) дифференцир ема
или, по райней мере, имеет обе онечные односторонние производ2)
Р. Липшиц (1832-1903) – немец ий математи .
37
ные,еерядФ рьесходится с мме
f ( x0 ) .
Ле, опереформ лироватьпризна Липшицадлясл чаяб).В ачестве следствия отсюда пол чим, что в точ е
x0 разрыва перво,о рода
ф н ции f ( x ) для сходимости ряда Ф рье достаточно, чтобы с ществовали онечные пределы
lim
t →0
t>0
f ( x0 + t ) − f ( x0 + 0 )
, lim
f ( x0 − t ) − f ( x0 − 0 )
−t
t →0
t
t >0
причем с ммой ряда б дет
,
f ( x0 + 0) + f ( x0 − 0)
.
2
Чащевсе,онапра ти еприходитсяиметьделосф н циями
периода 2π дифференцир емыми или
f ( x)
сочно-дифференцир емыми.
(Ф н ция f ( x ) называется ;=сочно-дифференцир=емой на отрезе
[a, b] , если этот отрезо разла,ается на
онечное число частичных
промеж т ов, вн три оторых ф н ция дифференцир ема, а на онцах
имеет онечные предельные значения и односторонние производные
при словии замены на этих онцах значений ф н ции помян тыми
предельными значениями.) Поэтом , подводя ито, вышес азанно,о,
сформ лир ем
Призна; Дини-Липшица.Если 2π -периодичес аяф н ция
сочно-дифференцир емана отрез е
е
[ −π ,π ] , тоее ряд Ф
f ( x)
рьев точ-
x0 сходится f ( x0 ) , если x0 – точ а непрерывности f ( x ) , и
f ( x0 + 0) + f ( x0 − 0)
,если x0 –точ аразрываперво,ородадля f ( x ) .
2
Пример. Разложить ф н цию периода 2π , заданн ю на интервале ( −π , π ) выражением
2 x, −π < x ≤ 0,
f ( x) =
x, 0 < x < π ,
СовременныйГ манитарныйУниверситет
38
в три,онометричес ий ряд Ф рье и
азать ф н цию g ( x ) , оторой
сходится пол ченный ряд.
Решение.Даннаяф н ция,очевидно,имеетразрывыперво,орода
в точ ах π
+ 2π k , k – целое, и является сочно-дифференцир емой
ф н цией. Ее ,рафи имеет вид:
Вычислим оэффициенты Ф рье ф н ции
a0 =
an =
1
π
π
∫
−π
1
π
π
∫
−π
f ( x) :
0
π
1
π
f ( x ) dx = ∫ 2 xdx + ∫ xdx = − ;
2
π −π
0
0
π
1
f ( x ) cos nxdx = ∫ 2 x cos nxdx + ∫ x cos nxdx =
π −π
0
0
π
1 2
1
1
= ∫ xd sin nx + ∫ xd sin nx = −
π n −π
π
n0
π
2 0
1
sin
nxdx
+
sin
nxdx
∫
=
∫
n0
n −π
0, n = 2k ,
1
n
=
1
−
(
−
1)
=
(
)
2
π n2
π n 2 , n = 2k + 1;
39
bn =
1
π
π
∫
−π
0
π
1
f ( x ) sin nxdx = ∫ 2 x sin nxdx + ∫ x sin nxdx =
π −π
0
π
0
1 2
1
= − ∫ xd cos nx + ∫ xd cos nx =
π n −π
n0
π
0
3
2( −1) n ( −1) n 1 2
1
=−
−
+ ∫ cos nxdx + ∫ cos nxdx = ( −1) n −1 .
π n −π
n
n
n0
n
Та имобразом,рядФ рьеф н цииимеетвид
f ( x) ~ −
π
4
+
2
π
∞
∑
k =0
cos ( 2k + 1) x
( 2k + 1)
2
∞
+ 3∑
n =1
( −1)
n −1
n
sin nx
.
Со,ласно призна Дини-Липшица ряд Ф рье ф н ции f ( x ) сходится в аждой точ е с мме, являющейся ф н цией периода 2π ,
отораяна отрез е
[ −π ,π ] задается форм
лой
2 x, −π < x ≤ 0,
g ( x ) = x, 0 < x < π ,
π
− , x = ±π .
2
§6.Призна;иЖорданаиДирихлесходимостирядовФ=рье
Приведем еще два призна а поточечной сходимости ряда Ф рье
ф н ции
f ( x ) , основанные на др ,ой идее. Сначала дадим не оторые
определения.
[
]
Определение. Ф н ция f ( x ) , определенная на отрез е a , b ,
имеет на нем о>раниченное изменение, если для любо,о разбиения
отрез а T = {a = x1 < x2 < K < xn = b} величина
СовременныйГ манитарныйУниверситет
40
n −1
b
a
V
( f ) = sup ∑ f ( xk +1 ) − f ( xk ) < ∞ .
T
k =1
Примером ф н ции с о,раниченным изменением может сл жить
любая монотонная на отрез е
[ a , b] ф
н ция.
Определение. Ф н ция f ( x ) называется ;=сочно-монотонной
на отрез е
[a, b] , еслиэтот отрезо
можно разбить на онечное число
промеж т ов, вн три оторых ф н ция монотонна.
Очевидно,что
сочно-монотоннаянаотрез е
ет о,раниченное изменение на
[a, b] ф
н цияиме-
[ a , b] .
Еслиф н ция f ( x ) довлетворяет словиюЛипшица(5.4)поряд а
α = 1 на отрез
е
[a, b] , то она имеет на этом отрез
е о,раниченное
изменение, причем
Vab ( f ) ≤ L ( b − a ) .
Если ф н ция f ( x ) имеет о,раниченн ю производн ю на отрез е
[a, b] , то она имеет на этом отрез е о,раниченное изменение.
Еслиф н ция f ( x ) представиманаотрез е [ a , b] ввидеинте,рала
x
f ( x ) = ∫ ϕ ( t ) dt + C ,
a
,деф н ция ϕ ( t ) абсолютноинте,рир ема(всобственномилинесобственном смысле) на
[a, b] , то
f ( x ) имеет о,раниченное изменение
на этом отрез е, причем
b
b
a
V
( f ) = ∫ ϕ ( t ) dt .
a
41
Критерий для ф=н;ций с о>раниченным изменением. Для
то,о,чтобыф н ция f ( x ) имеланаотрез е
[a, b] о,раниченноеизме-
нение, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась на этом
отрез е в виде разности дв х монотонно возрастающих ф н ций.
Теперь мы можем сформ лировать призна сходимости ряда Ф рьеф н ции f ( x ) .
Призна;Жордана1).РядФ рьеф н ции f ( x ) вточ е x0 сходится с мме
S0 (определенной в § 5), если на не отором отрез е
[ x0 − h, x0 + h ] ф
н ция имеет о,раниченное изменение.
Мынеприводимдо азательство,е,оможнонайтив ни,е[2],т.3,
,л.XIX.
Из это,о призна а, очевидно, след ет
Призна; Дирихле. Если ф н ция f ( x ) периода 2π
нотонна на отрез е
сочно-мо-
[ −π ,π ] и имеет на нем не более чем
число точе разрыва, то ее ряд Ф рье сходится с мме
дой точ е непрерывности и с мме
онечное
f ( x0 ) в аж-
f ( x0 + 0) + f ( x0 − 0)
в аждой
2
точ е разрыва.
Вышеперечисленные словия известны а =словия Дирихле.
Заметим, что призна Дини-Липшица и призна и Дирихле и Жордананевыте аютодиниздр ,о,о.С ществ ютпримерыф н ций, довлетворяющих словиямДирихле,ноне довлетворяющих словиямДини,
инаоборот([2],т.3,,л.XIX).
§7.РядыФ=рьенепериодичес;ихф=н;ций
Мыпостроилитеориюразложениязаданнойф н цииврядФ рье,
предпола,ая, что сама эта ф н ция определена для всех вещественных значений x и имеет период 2π . Одна о чаще все,о приходится
иметь дело с непериодичес ими ф н циями, заданными на не отором онечном отрез е.
М.Жордан(1838-1922)–франц зс ийматемати .Е,оосновныерез льтатыотносятся областитеорииф н ций(мераЖордана)иал,ебры(жордановаформаматрицы).
1)
СовременныйГ манитарныйУниверситет
42
П стьф н ция
f ( x ) задананаотрез е [ −π , π ] .Чтобыприменить
нейизложенн ювышетеорию,введемвспомо,ательн юф н цию
f * ( x) ,
определенн юслед ющимобразом.Положим:
f * ( x ) = f ( x ) ( −π < x ≤ π ) ,
(7.1)
f * ( −π ) = f * (π ) ,
а для остальных вещественных
x продолжим ф н цию f * ( x ) перио-
дичес и.
К построенной та им образом ф н ции
можно же применять
точ е
f * ( x ) с периодом 2π ,
азанные теоремы. Одна о если речь идет о
x0 , лежащей стро,о межд −π и π , то при провер е словий
этих теорем нам пришлось бы иметь дело, в сил (7.1), лишь с заданнойф н цией
f ( x ) .Потойжепричинеи оэффициентыразложенияв
рядФ рьеможновычислятьпоформ лам(2.4),непереходя ф н ции
f * ( x) .
Особо,о внимания треб ют онцы отрез а x = ±π . При провер е
дляф н ции
точ е
f * ( x ) словий а ой-либоизтеоре짧5-6,например,в
x = π , нам пришлось бы иметь дело а со значениями вспомо-
,ательной ф н ции
f * ( x ) слева от x = π , ,де они совпадают с соот-
ветств ющими значениями f ( x ) , та и со значениями
f * ( x ) справа
= π ,,деонисовпадают жесозначениями f ( x ) справаот x = −π .
Поэтом длясл чаевточе x = ±π ,например,впризна еЖордананам
следовало бы потребовать, чтобы f ( x ) имела о,раниченное изменеот x
ние а слеваот x
= π ,та исправаот x = −π ,ав ачестве S0 вобоих
сл чаях взять
S0 =
f * ( π + 0 ) + f * (π − 0 )
2
=
43
f * ( −π + 0 ) + f * ( −π − 0 )
2
=
f −π + 0 + f
2
−0
=
f
−π + 0 + f
−π − 0
2
=
f ( −π + 0 ) + f (π − 0 )
2
.
Та им образом, даже если заданная ф н ция
при
f ( x ) непрерывна
x = ±π , но не имеет периода 2π , т.е. f (π ) ≠ f ( −π ) , то при со-
блюдении а о,о-либоиздостаточных словийсходимостирядаФ рье
с ммой это,о ряда б дет число
f ( −π ) + f (π )
2
отличноеот
,
f ( −π ) иот f (π ) .Длята ойф н цииразложениеможет
иметьместолишьвинтервале ( −π , π ) .
След етта жеобратитьвниманиеинато,чтоеслитри,онометричес ий ряд (3.1) сходится в интервале ( −π , π ) ф н ции f ( x ) , то в
сил 2π -периодичности е,о членов, он сходится всюд , и е,о с мма
S ( x ) о азывается 2π -периодичес ой ф н цией от x . Но вне азанно,оинтервалаэтас мма,вообще,оворя, женесовпадаетсф н цией f ( x ) .
[
]
Отметим,на онец,чтовместоотрез а −π , π можнобылобывзять
любойотрезо
[α ,α + 2π ] длины 2π .
§8.РядыФ=рьепериодичес;ихф=н;ций
спроизвольнымпериодом
Рассмотрим теперь ф н ции f ( x ) , имеющие произвольный период T = 2l . Разложение в ряд Ф рье та их ф н ций сводится сл чаю
T = 2π с помощью замены x =
lt
π
( −π ≤ t ≤ π ) . При этом ф н ции
СовременныйГ манитарныйУниверситет
44
lt
f ( x ) соответств етф н ция ϕ (t ) = f периода 2π .Для ϕ (t ) ряд
π
Ф рье имеет вид:
a0 ∞
ϕ (t ) ~ + ∑ an cos nt + bn sin nt ,
2 n =1
,де
an =
bn =
1
π
1
π
π
∫ ϕ (t ) cos ntdt =
−π
π
∫ ϕ (t )sin ntdt =
−π
1
π
1
π
π
∫
−π
π
∫
−π
lt
f cos ntdt ( n = 0,1, 2,K) ,
π
lt
f sin ntdt (n = 1,2,K) .
π
Возвращаясь прежней переменной
x , пол чим
a0 ∞
π nx
π nx
f ( x ) ~ + ∑ an cos
+ bn sin
,
2 n =1
l
l
,де
1
π nx
an = ∫ f ( x ) cos
dx (n = 0,1,2,K) ,
l −l
l
l
1
π nx
bn = ∫ f ( x )sin
dx ( n = 1, 2,K) .
l −l
l
l
Призна исходимости,изложенные⧧5-6,справедливыивданном сл чае.
§9.РядыФ=рьечетныхинечетныхпериодичес;ихф=н;ций
Напомним, что ф н ция f ( x ) , заданная на не отором промеж те ( − a , a ) ( онечном или бес онечном), называется четной (нечетной),
еслидля аждо,о x ∈ ( − a , a )
45
f ( − x ) = f ( x ) (соответственно f ( − x ) = − f ( x ) ).
Ле, о по азать, что для четной инте,рир емой ф н ции справедливо равенство
a
∫
−a
a
f ( x )dx = 2 ∫ f ( x )dx ,
(9.1)
0
а для нечетной инте,рир емой ф н ции – равенство
a
∫
f ( x )dx = 0 .
(9.2)
−a
Непосредственно из определения след ет:
1.
Произведение дв х четных или дв х нечетных ф н ций –
четная ф н ция.
2.
Произведениечетнойинечетнойф н ции–нечетнаяф н ция.
П сть f ( x ) – заданная на отрез е [ −π , π ] четная ф н ция. Ка
известно,
sin nx
cos nx ( n = 0,1, 2,K) является четной ф н цией, а ф н ция
( n = 1,2,K)
–
нечетной.
Поэтом
ф н ция
f ( x ) cos nx ( n = 0,1,2K) б дет четной, а ф н ция f ( x )sin nx
( n = 1,2,K) – нечетной.
Всил (2.4),(9.1),(9.2)для оэффициентовФ рьечетнойф н ции
f ( x ) пол чаем:
an =
bn =
1
π
1
π
π
2
π
∫π f ( x ) cos nxdx = π ∫ f ( x ) cos nxdx
−
( n = 0,1,2,K) ,
0
π
∫π f ( x )sin nxdx = 0
( n = 1,2,K) .
−
Следовательно, ряд Ф рье четной ф н ции имеет вид:
a0 ∞
f ( x ) ~ + ∑ an cos nx .
2 n =1
СовременныйГ манитарныйУниверситет
46
П сть f ( x ) –заданнаянаотрез е [ −π , π ] нечетнаяф н ция.Расс ждая анало,ично сл чаю четной ф н ции, для оэффициентов Ф рье
нечетной ф н ции f ( x ) пол чим:
an =
bn =
1
π
1
π
π
∫π f ( x ) cos nxdx = 0
( n = 0,1,2,K)
−
π
π
2
∫π f ( x )sin nxdx = π ∫ f ( x )sin nxdx
−
(n = 1,2,K) .
0
Следовательно, ряд Ф рье нечетной ф н ции имеет вид:
∞
f ( x ) ~ ∑ bn sin nx .
n =1
Пример. Разложить ф н цию
сам на
f ( x ) = x 2 в ряд Ф рье по осин -
[0,π ] и с помощью это,о разложения найти с
ммы числовых
рядов
∞
1
( −1)
1) ∑ 2 ,2) ∑
n2
n =1 n
n =1
∞
n +1
.
[0,π ] .Чтобыпосам продолжим ее на [ −π ,0] четным об-
Решение.Рассмотримф н цию f ( x ) наотрез е
л чить разложение по осин
разом(пол чившаясяприпродолженииф н цияб детсовпадатьсф н цией
y = x 2 на отрез е [ −π ,π ] ), а затем периодичес и, с периодом
2π ,продолжимеенавсюось.
Продолженнаяф н ция– непрерывнаяи сочно-дифференцир емая.Поэтом попризна Дини-ЛипшицаеерядФ рьесходитсявсюд
на
[0,π ]
f ( x) .
Вычисляя оэффициенты, найдем:
π
2π 2
a0 = ∫ x dx =
,
3
π 0
2
2
47
2
π
π
π
4
4
4
n 4
an = ∫ x cos nxdx = −
x
nxdx
=
π
n
−
nxdx
=
−
sin
cos
cos
1
(
)
.
n2
n2
π 0
π n ∫0
π n 2 ∫0
2
bn = 0 .
Поэтом для
x ∈ [0,π ]
x =
2
π2
3
∞
+ 4∑ ( −1)
n
n =1
Пола,аявпол ченномразложении1)
cos nx
.
n2
x = π и2) x = 0 ,пол чим:
∞
1 π2
( −1)
1) ∑ 2 =
,2) ∑
6
n2
n =1 n
n =1
∞
n +1
=
π2
12
.
§10.Компле;снаяформарядаФ=рье
Еслиф н ция f ( x ) абсолютноинте,рир емана отрез е [ −π , π ] и
a0 ∞
f ( x ) ~ + ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) ,
2 n =1
СовременныйГ манитарныйУниверситет
48
(10.1)
то,представив cos nx и sin nx поформ ламЭйлера:
einx + e − inx
einx − e− inx
cos nx =
, sin nx =
2
2i
исделавподстанов вряд(10.1),пол чим
∞
einx + e − inx
a0
einx − e− inx
f ( x) ~
+ ∑ an
− ibn
2 n =1
2
2
=
a0 1 ∞
=
+ ∑ ( an − ibn ) einx + ( an + ibn ) e − inx .
2 2 n =1
Обозначив
c0 =
a0
a − ibn
a + ibn
, cn = n
, c− n = n
, n = 1, 2,K ,
2
2
2
(10.2)
п о лучи м з ап и с ь ряда Ф=рье (10.1) в ;омпле;сной форме:
∞
f ( x) ~
∑ce
inx
n
,
n =−∞
,де оэффициенты
cn вычисляются по форм лам:
1
cn =
2π
π
∫π f ( x ) e
− inx
dx , n = 0, ±1, ±2,K
−
Из форм л (10.2) след ет, что оэффициенты
омпле сными сопряженными числами:
cn и c− n являются
c− n = cn .
Если вместо [ −π , π ] нам задан отрезо [ −l , l ] , то соответств ющий рядФ рье в омпле сной форме б детиметь вид:
∞
f ( x) ~
∑ce
n
iπ nx
l
,
n =−∞
,де
l
−
1
cn = ∫ f ( x ) e
2l − l
iππ x
l
49
dx , n = 0, ±1, ±2,K
§ 11. Равномерная сходимость рядов Ф=рье
В §§ 5-6 мы из чали призна и поточечной сходимости рядов Ф рье абсолютно инте,рир емых ф н ций. Рассмотрим теперь анало,ичные призна и равномерной сходимости.
Призна;Дини.РядФ рьеф н ции
f ( x ) ,непрерывнойнаотрез-
е [a , b] ,сходится нейравномернонаэтомотрез е,еслиприне отором h > 0 длявсех
x ∈ [ a, b] инте,рал
h
∫
0
ϕ (t )
t
dt ,
,де
ϕ (t ) = f ( x + t ) + f ( x − t ) − 2 f ( x ) ,
x (при t = 0 ).
сходится равномерно относительно
Следствием из не,о является
Призна;Липшица.РядФ рьеф н ции
f ( x ) сходится нейрав-
номерно на отрез е [a , b] , если на не отором более широ ом отрез е
[ A, B ]
( A < a < b < B ) выполняется
словие
α
f ( x ′ ) − f ( x ′′ ) ≤ C x ′ − x ′′ ,
,де x ′, x ′′ –любыеточ ииз [ A, B ] ,а C и α –положительныепостоянные (α
≤ 1) .
Очевидно, словие Липшица при α = 1 выполняется, а следовательно,рядФ рьеф н ции f ( x ) сходится нейравномернонаотрезе [ a , b ] ,еслинаболееширо омотрез еф н ция f ( x ) имеето,раниченн ю производн ю f ′( x ) .
Это словие содержит а частный сл чай след ющий
Призна; Дирихле-Жордана.Ряд Ф рьеф н ции f ( x ) сходится
нейравномернонаотрез е [ a , b ] ,еслинане оторомболееширо ом
СовременныйГ манитарныйУниверситет
50
отрез е [ A, B ] ф н ция f ( x ) непрерывнаиимеето,раниченноеизменение.
В частности, если ф н ция f ( x ) , заданная на отрез е
[ −π ,π ] ,
непрерывна на этом отрез е и имеет на нем о,раниченное изменение,
ата же довлетворяет словию
f ( −π ) = f (π ) ,
то ее ряд Ф рье на всем отрез е сходится ней равномерно.
До азательствоэтихпризна овможнонайтив ни,е[2],т.3,,л.XIX.
Сформ лир ем еще один призна , оторый нам понадобится в
дальнейшем.
П стьф н ция f ( x ) определенанаотрез е [ a , b ] .П сть h > 0 любое. Величина
ω ( h, f ) = sup f ( x1 ) − f ( x2 ) , x1 , x2 ∈ [ a, b] ,
x1 − x2 ≤ h
называется мод=лем непрерывности f ( x ) на [a , b ] .
Призна; Дини-Липшица. Если ф н ция f ( x ) непрерывна на
[ −π ,π ] иеемод
льнепрерывностина
lim ω ( h, f ) ln
h→0
то ряд Ф рье
[ −π ,π ]
довлетворяет словию
1
=0,
h
f ( x ) сходится равномерно на этом отрез е.
До азательствоможнонайтив ни,е[9],,л.IV.
§12.ЯвлениеГиббса
Исслед ем поведение частных с мм ряда Ф рье данной ф н ции
вблизи точ и разрыва этой ф н ции. Рассмотрим пример, ,де интерес ющее нас явление выст пает наиболее отчетливо.
Рассмотрим 2π -периодичес ю ф н цию
∞
sin kx
,
k
k =1
ϕ ( x) = ∑
51
(12.1)
равн ю
π −x
2
в интервале
( 0, 2π ) . В о
∞
sin kx
k
k =1
=∑
рестности точ и x = 0 ряд (12.1) не может
равномерно сходиться, пос оль ϕ ( x ) имеет разрыв перво,о рода в
этойточ е.Для n -ойчастнойс ммыряда(12.1)
n
sin kx
k
k =1
sn ( x ) = ∑
(12.2)
при 0 < x ≤ π имеет место соотношение:
x
x
1 n
+ sn ( x ) = ∫ + ∑ cos kt dt =
2
2 k =1
0
1
sin
n
+
x
x
x
t
sin nt
1
2
dt = ∫
dt + ∫ cos ntdt =
=∫
t
t
20
0
0 2 tg
2 sin
2
2
x
x
x
1
sin nt
1
1
=∫
dt + ∫ sin nt
− dt + ∫ cos ntdt =
t
t
t
20
0
0
2 tg
2
x
=∫
0
sin nt
dt + o (1)
t
равномерно относительно
(12.3)
(n → ∞)
x ∈ ( 0,π ] . Пояснения треб ет оцен а второ-
,оитретье,осла,аемо,овпредпоследнемчленецепи.Например,второе сла,аемое можно записать в виде:
x
x
1
1
I 2 = ∫ sin nt g ( t ) dt = ∫ sin nt g ( t ) dt −
20
2
0
x +π
∫
π
n
СовременныйГ манитарныйУниверситет
52
n
π
sin nt g t − dt =
n
π
1
=
2
n
∫
0
1
sin nt g ( t ) dt −
2
x +π
∫
x
n
π
sin nt g t − dt +
n
x
1
+ ∫ sin nt
2π
n
от давсил то,о,что
π
g
t
−
g
(
)
t − dt ,
n
g ( t ) ≤ M ,пола,ая g ( t ) = 0 вне ( 0, π ) ,б дем
иметь
∞
1π
1π
1
π
I2 ≤
M+
M + ∫ g ( t ) − g t − dt → 0, n → ∞,
2n
2n
2 −∞
n
]
,де правая часть не зависит от x ∈ ( 0, π , поэтом левая стремится
н лю равномерно относительно
азанных
Положив теперь в (12.3) x =
π
n
x.
и перейдя предел при
n → ∞,
пол чим
π
sin t
π
π
s+ = lim sn = ∫
dt > .
n →∞
2
n 0 t
(12.4)
Действительно, справедливо равенство
π
2
∞
sin x
dx .
x
0
=∫
(12.5)
Е,о можно пол чить из след ющих соображений. Пола,ая в (12.3)
x = π и читывая,что sn (π ) = 0 (см.(12.2)),б демиметь
π
π
∞
sin nt
sin x
=∫
dt + o(1) → ∫
dx ( n → ∞ ) ,
2 0 t
x
0
(12.6)
и та а здесь левая часть не зависит от n , то пол чим равенство
(12.5).
53
Далее, инте,рал справа в (12.6) можно записать в виде ряда
∞
∞
sin x
∫0 x dx = ∑
k =0
∞ π
= ∑∫
k =0 0
sin ( kπ + u )
kπ + u
Ясно, что числа
( k +1)π
∫
kπ
∞
sin x
dx =
x
du = ∑ ( −1) ak ,
k
k =0
π
ak = ∫
0
(12.7)
sin u
du.
kπ + u
ak неотрицательны и бывают н лю, поэтом
справав(12.7)стоитрядЛейбница.Вчастности,
π
∞
π
sin x
sin x
=∫
dx < a0 = ∫
dx ,
2 0 x
x
0
от даислед ет(12.4).
С др ,ой стороны,
ϕ ( 0 + 0 ) = lim
x →0
π −x
x >0
2
=
π
2
.
Вычисления по азывают, что отношение
π
s+
1
(ϕ ( 0 + 0 ) − ϕ ( 0 − 0) )
2
s+
2 sin t
=
= ∫
dt = 1,1789K (12.8)
ϕ (0 + 0) π 0 t
Тот фа т, что это отношение больше 1, а не равно 1, называется
явлением Гиббса. Оно было обнар жено впервые эмпиричес им п тем Д. Ч. Гиббсом, амери анс им физи ом-теорети ом (1839-1903).
На рис.12.1 изображен схематичес ий ,рафи ф н ции ϕ ( x ) и ее
n -ой частной с ммы sn ( x ) . На отрез е [δ ,2π − δ ] , ,де δ > 0 , при
достаточно большом
n ф н ция sn ( x ) олеблется вблизи ϕ ( x ) , та
а sn ( x ) → ϕ ( x ) при
n → ∞ равномерно на этом отрез е. С др ,ой
стороны,вблизи x = 0 ,рафи sn ( x ) рез оот лоняетсяот ϕ ( x ) верх – это и есть явление Гиббса. Затем он рез о оп с ается точ е
СовременныйГ манитарныйУниверситет
54
Рис.12.1
x = 0 наоси x .Вблизиточ и x = 2π имеетместоподобноеявление.
Заметим, что и для произвольной инте,рир емой ф н ции f ( x ) ,
[
непрерывной вместе со своей производной на пол интервалах a , x0 ) ,
( x0 , b] , имеющей вместе со своей производной разрыв перво,о рода
55
вточ е x0 ,имеетместоподобноеявлениево рестноститоч и x0 .Это
выте ает из возможности представления ф н ции
f ( x ) в виде с ммы
f ( x ) = f1 ( x ) + f 2 ( x ) , ,де f1 ( x ) – непрерывная сочно-дифференцир емаяна
[a, b] ,а
κ
ϕ ( x − x0 ) ,,де κ -с ачо f ( x ) . РядФ
π
f1 ( x ) равномернона [a ′, b′] ⊂ [ a , b] ,адляф н
f2 ( x) =
рье f1 ( x ) сходится
ции f 2 ( x ) ,следовательно,идля
темжеотношением(12.8):
-
f ( x ) ,имеетместоявлениеГиббсас
s+ ( x0 )
π
1
f ( x0 + 0 ) − f ( x0 − 0 ) )
(
2
2 sin t
= ∫
dt
π 0 t
,
,де теперь
π f ( x0 + 0 ) + f ( x0 − 0 )
s+ ( x0 ) = lim Sn x0 + −
,
n →∞
n
2
а S n ( x ) –частнаяс ммарядаФ рье f ( x ) .
§13.ОперациинадрядамиФ=рье.
Полнотатри>онометричес;ойсистемы
1.Почленноеинте>рированиерядаФ=рье.П стьф н ция f ( x )
абсолютноинте,рир еманаотрез е
[ −π ,π ] иеерядФ
a0 ∞
f ( x ) ~ + ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) .
2 n =1
рье
(13.1)
Введем ф н цию
x
a
F ( x ) = ∫ f ( x ) − 0 dx
2
0
при
(13.2)
−π ≤ x ≤ π . Эта ф н ция непрерывна, с о,раниченным изменениСовременныйГ манитарныйУниверситет
56
ем(см.[2],т.3,,л.XV)иимеетпериод 2π ,та а
F (π ) − F ( −π ) =
π
∫π f ( x ) dx − π a
0
= 0.
−
Поэтом по призна Жордана (§ 6) она разла,ается в ряд Ф рье
[
]
на −π , π :
A0 ∞
F ( x) =
+ ∑ ( An cos nx + Bn sin nx )
2 n =1
(13.3)
( оторый со,ласно призна Дирихле-Жордана (§ 11) равномерно сходится ней).
Межд оэффициентами рядов (13.1) и (13.3) с ществ ет простая
связь. Действительно, проинте,рировав по частям, б дем иметь для
n ≥ 1:
1
π
1
sin nx
An = ∫ F ( x ) cos nxdx = F ( x )
π −π
π
n
π
−π
π
1
−
f ( x ) sin nxdx ,
π n −∫π
т.е.
An = −
bn
.
n
И анало,ично:
Bn =
an
.
n
Длянахождения A0 положимв(13.3) x = 0 :
∞
∞
A0
b
= − ∑ An = ∑ n .
2
n =1
n =1 n
Подставив в разложение (13.3) найденные оэффициенты, перепишем е,о в виде
∞
an sin nx + bn (1 − cos nx )
n =1
n
F ( x) = ∑
Отсюда, читывая равенство (13.2), имеем
57
.
x
∫
0
∞
a0
f ( x )dx = ∫ dx + ∑ ∫ ( an cos nx + bn sin nx ) dx .
2
n =1 0
0
x
x
Очевидно,идлялюбо,оотрез а
(13.4)
[ x ′, x ′′] ⊆ [ −π ,π ] имеетместопо-
добное соотношение:
x ′′
∫
x′
x ′′
x ′′
∞
a0
f ( x )dx = ∫ dx + ∑ ∫ ( an cos nx + bn sin nx ) dx .
2
n =1 x ′
x′
Та им образом,инте,рал отф н ции
f ( x ) пол чается почленным
инте,рированием соответств юще,о ей ряда Ф рье. Замечателен тот
фа т,чтомы становиливозможностьпочленно,оинте,рированияряда
Ф рье, не делая предположения о сходимости само,о ряда (13.1)
ф н ции f ( x ) .
Вместоотрез а
[ −π , π ] можетбытьвыбранлюбойдр
,ойотрезо
длины 2π .Всевышес азанноеотноситсяи рядам,содержащимодни
лишь осин сы или син сы и рассматриваемым на отрез е
[0,π ] .
2. Почленное дифференцирование ряда Ф=рье. П сть на от-
[ −π ,π ] задана непрерывная ф н ция f ( x ) , довлетворяющая
словию f ( −π ) = f (π ) иимеющаяпроизводн ю f ′( x ) всюд , роме,
рез е
бытьможет, онечно,очислаточе ;п сть,далее,этапроизводнаясама
инте,рир ема в азанном промеж т е. То,да справедливо представление:
x
f ( x ) = ∫ f ′ ( t ) dt + f ( 0 )
0
и, а былопо азановыше,рядФ рье(13.1)ф н ции
изрядаФ рьеф н ции
f ( x ) пол чается
f ′( x )
∞
f ′( x ) ~ ∑ ( an′ cos nx + bn′ sin nx )
(13.5)
n =1
почленным инте,рированием (при наложенных на f ( x ) словиях своСовременныйГ манитарныйУниверситет
58
бодно,о члена в последнем разложении не б дет
a0′ =
1
π
π
∫π
f ′ ( x ) dx =
−
1
f (π ) − f ( −π ) = 0 ).
π
Следовательно, и обратно – ряд (13.5) для производной f ′( x )
можетбытьпол ченизряда(13.1),отвечающе,оданнойф н ции f ( x ) ,
почленным дифференцированием.
Замечание1.След ет обратитьвниманиенароль, отор юи,рает
здесь предположение о периодичности ф н ции f ( x ) . При нар шении это,о словия свободный член
a0′
ряда Ф рье для f ′( x ) был бы
2
отличенотн ля,ипоэтом помян тыйряднемо,быбытьпол чениз
ряда (13.1) почленным дифференцированием.
Замечание 2. При пол чении ряда Ф рье (13.5) для
f ′( x ) п тем
почленно,о дифференцирования ряда Ф рье исходной ф н ции
нираз нешларечьосходимостиряда(13.5)
f ( x)
f ′( x ) ;эт сходимость
надо станавливать отдельно, польз ясь достаточными призна ами.
3. Полнота три>онометричес;ой системы. По ажем, что если
[
]
непрерывная на отрез е −π , π ф н ция f ( x ) имеет оэффициенты
Ф рье, все равные н лю, то и сама эта ф н ция тождественно равна
н лю.Действительно,вэтомсл чаеизравенства(13.4)ясно,что
x
∫ f ( x ) dx = 0
0
при всех x , от да, дифференцир я по
дынте,ральной ф н ции, пол чим:
x , в сил непрерывности по-
f (x) ≡ 0 .
Иными словами, роме ф н ции, тождественно равной н лю, не
[
]
с ществ етнепрерывнойф н ции, отораянаотрез е −π , π былабы
орто,ональна о всем ф н циям три,онометричес ой системы
1,cos x,sin x,cos 2 x,sin 2 x,K,cos nx,sin nx,K
59
(13.6)
Это свойство называют полнотой три,онометричес ой системы в
лассе непрерывных ф н ций.
Еслидвенепрерывныеф н ции f1 ( x ) и f 2 ( x ) имеютодниитеже
оэффициенты Ф рье, то они тождественны, та а их разность
f1 ( x ) − f 2 ( x ) б дет иметь оэффициенты Ф рье, равные н лю. Та им
образом, непрерывная ф н ция однозначно определяется своими оэффициентамиФ рье.Этодр ,аяформ лиров асвойстваполнотытри,онометричес ой системы.
Можно расширить понятие полноты, рассматривая абсолютно инте,рир емые ф н ции (непрерывные и разрывные). Назовем ф н цию
э;вивалентной н=лю, если она в рассматриваемом промеж т е орто,ональна овся ойинте,рир емойф н ции.То,даможно тверждать,
что три,онометричес ая система (13.6) полна в лассе абсолютно инте,рир емых ф н ций, т.е. роме ф н ций, э вивалентных н лю, не с ществ ет абсолютно инте,рир емой ф н ции, оторая на отрез е
[ −π ,π ] была бы орто,ональна
о всем ф н циям системы (13.6) (см.
[2],т.3,,л.XX).
Замечание 3. Все с азанное остается справедливым и порознь
для систем
1,cos x,cos 2 x,K,cos nx,K
или
sin x,sin 2 x,K,sin nx,K ,
нонаотрез е
[0,π ] .
§14.Равномерноеприближениеф=н;ций.
ТеоремыВейерштрасса
[
]
П сть на отрез е a , b задана ф н ция f ( x ) , отор ю мы хотим
приблизить др ,ой ф н цией g ( x ) . Если мы заинтересованы в малом
от лоненииоднойф н цииотдр ,ойв аждойточ е,тозамер приближения принимают их ма симальное от лонение на a , b , т.е. величин
[
δ = sup f ( x ) − g ( x )
]
.
a ≤ x ≤b
В этом сл чае ,оворят о равномерном приближении ф н ции
f ( x ) ф н цией g ( x ) .
СовременныйГ манитарныйУниверситет
60
Приведем две ф ндаментальные теоремы Вейерштрасса1), относящиеся равномерном приближению непрерывных ф н ций.
Теорема14.1.Еслиф н ция f ( x ) непрерывнанаотрез е
[ −π ,π ]
и довлетворяет словию
f ( −π ) = f (π ) ,
то, а ово бы ни было число ε > 0 , найдется та ой три,онометричесий мно,очлен
n
T ( x ) = α 0 + ∑ (α m cos mx + β m sin mx ) ,
m =1
что равномерно для всех
x ∈ [ −π ,π ] б дет
f ( x) − T ( x) < ε .
Доазательство. Сначала построим та ю
(14.1)
сочно-линейн ю ф н -
цию ϕ ( x ) ,чтобы всюд на −π , π выполнялосьнеравенство
[
]
f ( x) −ϕ ( x) <
[
ε
2
.
(14.2)
]
Дляэто,оразобьемотрезо −π , π точ ами
−π = x0 < x1 < K < xi < xi +1 < K < xk = π
на столь малые части, чтобы в аждой из них олебание ф н ции f ( x )
было <
ε
2
. Ф н цию
ϕ ( x ) определим на [ −π , π ] , пола,ая ее на
[ xi , xi +1 ] , i = 0,1,K, k − 1, равной линейной ф н ции
f ( xi +1 ) − f ( xi )
f ( xi ) +
( x − xi ) ,
xi +1 − xi
К. Вейерштрасс (1815-1897) – немец ий математи , ввел понятие равномерной
сходимости.Ем принадлежатмно,иетеоремыосходимостирядов.
1)
61
оторая на онцах промеж т а совпадает с f ( x ) . Геометричес и это
означает, что мы вписываем ломан ю линию в рив ю y = f ( x ) . Если
обозначить через mi и
M i наименьшее и наибольшее значения ф н -
ции f ( x ) в i -мпромеж т е,топопостроению M i − mi <
ε
2
,ата а в
этом промеж т е значения ф н ций f ( x ) и ϕ ( x ) содержатся межд
mi и M i ,тона [ −π , π ] выполняетсянеравенство(14.2).
Ф н ция ϕ ( x ) , а и f ( x ) ,непрерывнанаотрез е
[ −π ,π ] и
дов-
летворяет словию
ϕ ( −π ) = ϕ (π ) ,
а та же а сочно-монотонная ф н ция она имеет на этом отрез е
о,раниченное изменение. Поэтом , со,ласно призна Дирихле-Жордана, ϕ ( x ) разла,ается в равномерно сходящийся ряд Ф рье:
∞
ϕ ( x ) = α 0 + ∑ (α m cos mx + β m sin mx ) .
m =1
Следовательно, взяв в ачестве мно,очлена
T ( x ) n -ю частн ю
с мм это,о ряда при достаточно большом n , б дем иметь:
ϕ ( x) − T ( x) <
ε
(14.3)
2
для всех рассматриваемых значений x .
Из(14.2)и(14.3)выте ает(14.1).B
Возьмем теперь последовательность положительных чисел {ε k } ,
бывающих до н ля, и для аждо,о
ε = ε k построим мно,очлен
T ( x ) = Tk ( x ) ,о оторомшларечьвтеореме14.1.Мыпол чимпосле-
{
}
довательность три,онометричес их мно,очленов Tk ( x ) , сходящ юся
СовременныйГ манитарныйУниверситет
62
ф н ции
f ( x ) равномерно на [ −π ,π ] . Переходя от последователь-
ности бес онечном ряд , пол чим э вивалентн ю форм лиров
теоремы 14.1: при
азанных в теореме 14.1 словиях ф н ция f ( x )
разла,ается в равномерно сходящийся ряд, членами оторо,о являются три,онометричес ие мно,очлены.
Изтеоремы14.1след ет(см.[2],т.3,,л.XX).
Теорема14.2.Еслиф н ция f ( x ) непрерывнанаотрез е
[ a , b] ,
то, а овобынибылочисло ε > 0 ,найдетсята ойцелыйал,ебраичесий мно,очлен
P ( x ) = c0 + c1 x + c2 x 2 + K + cn x n ,
что равномерно для всех
x ∈ [ a, b] б дет
f ( x) − P ( x) < ε .
§15.Приближениеф=н;цийвсреднем.Э;стремальное
свойствочастныхс=ммтри>онометричес;о>орядаФ=рье.
Форм=лаПарсеваля
Приприближенииф н ции f ( x ) наотрез е
[a, b] ф
н цией g ( x )
можно потребовать, чтобы ф н ции были близ и лишь “в среднем”. В
этом сл чае за мер их близости бер т их среднее от;лонение
b
1
δ′=
f ( x ) − g ( x ) dx
b − a ∫a
или среднее ;вадратичное от;лонение
b
2
1
δ ′′ =
f
x
−
g
x
(
)
(
)
dx .
b − a ∫a
Вместо последне,о выражения чаще все,о рассматривают величин
b
∆ = ( b − a ) δ ′′ = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx .
2
a
63
2
f ( x ) , заданная на отрез е [ a, b] , назы-
Определение. Ф н ция
вается ф н цией, инте>рир=емой с ;вадратом, если
b
b
∫ f ( x ) dx < ∞ и ∫ f ( x ) dx < ∞ .
2
a
a
П сть f ( x ) – заданная на отрез е
[ −π , π ] ф
н ция, инте,рир е-
мая с вадратом, и n – фи сированное нат ральное число. Поставим
себе задач : из всех три,онометричес их мно,очленов поряд а n
n
Tn ( x ) = α 0 + ∑ (α m cos mx + β m sin mx )
m =1
найтитот, оторыйос ществляетнаил чшее–всмыслесредне,о вадратично,о от лонения – приближение ф н ции f ( x ) , т.е. доставляет
миним м величине
π
∫
∆n =
−π
f ( x ) − Tn ( x ) dx .
2
Подставив сюда вместо Tn ( x ) е,о разверн тое выражение, пол чим:
π
∆n =
π
∫π f ( x ) dx − 2 ∫π
2
−
−
n
f ( x ) α 0 + ∑ (α m cos mx + β m sin mx ) dx +
m =1
π
2
n
+ ∫ α 0 + ∑ (α m cos mx + β m sin mx ) dx =
m =1
−π
π
=
∫π
−
n
f
2
n
π
−π
m =1
−π
( x ) dx − 2α0 ∫ f ( x ) dx − 2∑ α m ∫ f ( x ) cos mxdx −
−2 ∑ β m
m =1
π
π
π
∫π f ( x ) sin mxdx + ∫π α
−
2
0
+2 ∑ α 0 β m
m =1
π
∫π
−
π
m =1
−
dx + 2∑ α 0α m
−
n
n
π
n
sin mxdx + ∑ α
m =1
2
m
∫ ( cos mx )
−π
СовременныйГ манитарныйУниверситет
64
∫π cos mxdx +
2
dx +
π
n
+2 ∑ α m β m
m =1
∫π
cos mx sin mxdx + ∑ β
k <m
∫π cos kx cos mxdx + 2 ∑ α
βm
k
∫π cos kx sin mxdx +
−
π
∫π sin kx cos mxdx + 2 ∑ β
π
k
k <m
−
dx +
π
k <m
+2 ∑ β k α m
2
−π
π
−
k <m
∫ (sin mx )
2
m
m =1
−
+2 ∑ α k α m
π
n
β m ∫ sin kx sin mxdx.
−π
От да, ввид орто,ональности ф н ций основной три,онометричес ой системы, б дем иметь:
π
∆n =
∫π
2
f
−
−2 ∑ β m
m =1
n
π
−π
m =1
−π
( x ) dx − 2α0 ∫ f ( x ) dx − 2∑ α m ∫ f ( x ) cos mxdx −
π
n
π
π
∫ α dx + ∑ α
f ( x ) sin mxdx +
∫π
m =1
Обозначив через
2
dx +
−π
π
n
+∑ β
∫ ( cos mx )
2
m
m =1
−π
−
π
n
2
0
2
m
∫ (sin mx )
2
dx.
−π
a0 , am , bm
( m = 1,2,K)
оэффициенты Ф рье
ф н ции f ( x ) , перепишем ∆ n в виде
π
∆n =
∫π
f
2
n
n
m =1
m =1
( x ) dx − 2πα 0 a0 − 2π ∑ α m am − 2π ∑ β m bm +
−
n
n
+2πα + π ∑ α + π ∑ β m2 .
2
0
2
m
m =1
m =1
Выделяя полный вадрат, о ончательно пол чим:
π
∆n =
∫
−π
n
a02
f ( x ) dx − π + ∑ ( am2 + bm2 ) +
2 m =1
2
2
n
n
a0
2
2
+π 2 α 0 − + ∑ (α m − am ) + ∑ ( β m − bm ) .
2 m =1
m =1
65
Теперьясно,что ∆ n дости,аетсвое,оминим мато,да, о,даобращаетсявн льпоследнеесла,аемое,аэтоб детпри
α0 =
a0
, α m = am , β m = bm
2
( m = 1,2,K, n ) .
Это и есть э;стремальное свойство частных с=мм три>онометричес;о>о ряда Ф=рье: из всех три,онометричес их мно,очленовпоряд а n наименьшеезначениевеличине ∆ n доставляет n -я частная с ммаряда Ф рье ф н ции
f ( x)
n
a0
S n ( x ) = + ∑ ( am cos mx + bm sin mx ) .
2 m =1
Это наименьшее значение дается равенством
π
δ n =
∫π f ( x ) − S ( x )
n
−
2
π
dx =
∫
−π
n
a02
f ( x ) dx − π + ∑ ( am2 + bm2 ) , (15.1)
2 m =1
2
оторое называется тождеством Бесселя1).
Та а величина δ n ≥ 0 ,изсоотношения(15.1)пол чим:
π
n
a02
1
+ ∑ ( am2 + bm2 ) ≤ ∫ f 2 ( x ) dx ,
2 m =1
π −π
и,переходя предел при n → ∞ ,б дем иметь:
π
a02 ∞ 2
1
+ ∑ ( am + bm2 ) ≤ ∫ f 2 ( x ) dx .
2 m =1
π −π
(15.2)
Это неравенство называется неравенством Бесселя. Из не,о
след ет, что ряд (15.2) сходится для любой ф н ции, инте,рир емой с
вадратом.
Привозрастании n величина δ n бывает,пос оль в(15.1)добавляютсяновыеотрицательныесла,аемые.Чембольше n ,темл чшес мма S n ( x ) приближаетвсреднем( вадратичном)ф н цию f ( x ) .Всвя1)
Ф.В.Бессель(1784-1846)–немец ийматемати иастроном.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
66
зисэтиместественновозни аетвопрос:можноли, величивая n ,сделать среднее вадратичное от лонение с оль ,одно малым, т.е. стремитсяли δ n н люпри n → ∞ ?
Наэтотвопросможнодатьположительныйответ.Справедливаслед ющаятеорема, отор ювпервыестро,одо азалА.М.Ляп нов1)(для
сл чая о,раниченной ф н ции).
Теорема15.1.Ка овабынибылаф н ция
f ( x ) ,инте,рир емая
с вадратом, все,да
lim δ n = 0 ,
(15.3)
n →∞
и справедливо равенство:
π
a02 ∞ 2
1
+ ∑ ( am + bm2 ) = ∫ f 2 ( x ) dx ,
2 m =1
π −π
(15.4)
называемое форм=лой Парсеваля2).
Доазательство. Если соотношение (15.3) же до азано, то равенство (15.4), очевидно, след ет из не,о и тождества Бесселя. До ажем
теперь справедливость (15.3).
До азательство разобьем на нес оль о этапов.
1.П стьсначалаф н ция
f ( x ) непрерывна наотрез е [ −π ,π ] и
довлетворяет словию f ( −π ) = f
(π ) . То,да по теореме 14.1 с
ще-
ств ет та ой три,онометричес иймно,очлен T ( x ) (поряд а ), что
ε
2π
f ( x) − T ( x) <
,
,де ε > 0 – произвольное число. То,да
π
∫
=π
f ( x ) − T ( x ) dx < ε .
2
А.М.Ляп нов(1857-1918)–р сс ийматемати .Дости,значительныхрез льтатов
вобластидифференциальных равненийитеориивероятностей.
2)
Франц зс ийматемати М.Парсевальпол чилэторавенствов1805,.
1)
67
Всил э стремально,освойствачастныхс ммрядаФ рьеприлюбом n ≥
( T ( x ) можнорассматривать а мно,очленпоряд а n )тем
болееб демиметь:
π
δn =
∫π
f ( x ) − Sn ( x ) dx < ε ,
2
=
та что δ n
→ 0 при n → ∞ .
2.Длято,очтобыраспространитьэтоза лючениеинадр ,иесл чаи, становим одно вспомо,ательное неравенство. П сть инте,рир емая с вадратом ф н ция f ( x ) представляется в виде с ммы
f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) дв х ф н ций, инте,рир емых с вадратом. Обозначая
штрихами относящиеся ним величины, б дем иметь
f ( x ) − Sn ( x ) = f ′ ( x ) − S n′ ( x ) + f ′′ ( x ) − S n′′ ( x ) ,
от
да
{
f ( x ) − Sn ( x ) ≤ 2 f ′ ( x ) − Sn′ ( x ) + f ′′ ( x ) − Sn′′ ( x )
2
2
2
}
и, следовательно,
π
∫
−π
f ( x ) − Sn ( x ) dx ≤
2
π
π
2
2
≤ 2 ∫ f ′ ( x ) − Sn′ ( x ) dx + ∫ f ′′ ( x ) − Sn′′ ( x ) dx ,
−π
−π
или
δ n ≤ 2 {δ n′ + δ n′′} .
Заметим, что из тождества Бесселя (15.1), примененно,о ф н ции f ′′ ( x ) , след ет
СовременныйГ манитарныйУниверситет
68
π
δ n′′ ≤
∫
f ′′2 ( x ) dx .
−π
Та им образом, пол чим н жное нам неравенство:
π
δ n ≤ 2 δ n′ + ∫ f ′′2 ( x ) dx .
−π
(15.5)
3.П стьтеперьф н ция f ( x ) инте,рир емавсобственномсмысле(следовательно,о,раничена)наотрез е
[ −π ,π ] .Изменяя,еслинадо,
значение ф н ции на одном из онцов отрез а, можем считать, что
f ( −π ) = f (π ) . Построим вспомо,ательн ю ф н цию ϕ ( x ) , а и при
до азательстве теоремы 14.1, причем дробление отрез а выберем таое,что
∑ωi ∆xi
i
ε
4Ω
,
,де ε – фи сированное произвольное положительное число, ω i – олебание ф н ции f ( x ) в i -ом промеж т е, а
ф н ции f ( x ) наотрез е
Ω – полное олебание
[ −π ,π ] .
Положим
f ′ ( x ) = ϕ ( x ) , f ′′ ( x ) = f ( x ) − ϕ ( x ) .
Всил п.1, δ n′
→ 0 при n → ∞ ,та что,начинаясне оторо,о n ,
δ n′ <
ε
4
.
Сдр ,ойстороны,та а в i -омпромеж т е
f ′′ ( x ) = f ( x ) − ϕ ( x ) ≤ ωi ,
то
69
π
∫π
f ′′ ( x ) dx = ∑
2
i
−
xi +1
∫
f ′′2 ( x ) dx ≤ ∑ ωi2 ∆xi ≤ Ω ∑ ω i ∆xi <
i
xi
i
ε
4.
Отсюда,всил (15.5),ясно,чтодлядостаточнобольших n б дет
δn < ε .
4. П сть, на онец, ф н ция
f ( x ) инте,рир ема в несобственном
смысле,нос вадратом(!).Дляпростотыпредположим,чтоединственной особой точ ой для
f ( x ) (и для f 2 ( x ) ) б дет x = π . То,да для
заданно,о ε > 0 можнонайтита ое η
π
∫
> 0 ,что
f 2 ( x ) dx <
π −η
ε
4.
Положимвэтомсл чае
f ( x ) , −π ≤ x < π − η ,
f ′( x ) =
x ≥ π −η
0,
и
−π ≤ x < π − η ,
0,
′′
f ( x) =
x ≥ π − η.
f ( x),
Очевидно,
π
∫
f ′′ ( x ) dx =
2
−π
π
∫
f 2 ( x ) dx <
π −η
ε
4.
С др ,ой стороны, ф н ции f ′ ( x ) , инте,рир емой в собственном смысле, применим рез льтат п.3. Снова воспользовавшись неравенством(15.5),пол чим,что δ n
→ 0 при n → ∞ .
Форм л Парсеваляино,даназывают“ равнениемзамн тости”,а
основн ю три,онометричес ю систем – зам;н=той.
Пример. Написатьформ л Парсеваля для ф н ции
СовременныйГ манитарныйУниверситет
70
1, x < α ,
f ( x) =
0, α < x < π ,
и,исходяизнее,найтис мм ряда
∞
sin 2 nα
cos 2 nα
,б) ∑
.
а) ∑
2
2
n
n
n =1
n =1
∞
Решение. Очевидно, ф н ция f ( x ) инте,рир ема с вадратом на
( −π ,π ) , причем
1
π
π
∫
2
f
( x ) dx =
−π
α
1
π
∫
dx =
2α
−α
Поэтом со,ласно теореме Ляп нова для
π
.
f ( x ) имеет место фор-
м ла Парсеваля:
a02 ∞ 2
2α
+ ∑ ( an + bn2 ) =
.
2 n =1
π
Вычислим оэффициенты Ф рье ф н ции f ( x ) . Очевидно, f ( x )
– четная ф н ция. Следовательно,
a0 =
an =
2
π
π
∫
2
π
π
∫
f ( x ) dx =
0
f ( x ) cos nxdx =
0
2
π
2
π
α
∫ dx =
0
2α
π
α
∫ cos nxdx =
0
bn = 0 .
Та им образом,
2α 2
π2
4sin 2 nα 2α
+∑
=
.
2 2
n
π
π
n =1
∞
Отсюда видно, что
71
,
2sin nα
,
πn
sin 2 nα 2α 2α 2 π 2 α (π − α )
=
− 2
=
,
а) ∑
2
n
4
2
π
π
n =1
∞
∞
∞
cos2 nα
1 − sin 2 nα
1 α (π − α )
=
=
−
=
б) ∑
∑
∑
2
2
2
n
n
n
2
n =1
n =1
n =1
∞
=
π2
6
−
α (π − α )
2
=
π 2 − 3πα + 3α 2
6
(см.примериз§9).
§16.С=ммированиетри>онометричес;ихрядовФ=рье
1. Постанов;а задачи. П сть задан три,онометричес ий ряд
a0 ∞
+ ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) ,
2 n =1
(16.1)
про оторыйизвестнолишьто,чтоонявляетсярядомФ рьене оторой
ф н ции f ( x ) .Естественновозни аетвопрос:можнолинайтиэт ф н цию f ( x ) ?Еслизаранееизвестно,чторяд(16.1)сходится f ( x ) ,то
f ( x ) пол чается а предел частных с мм это,о ряда. Но что делать,
если сходимость ряда становить не далось или если ряд расходящийся? В этом сл чае мы либо не знаем, с ществ ет или нет предел
частных с мм, или знаем, что он не с ществ ет. Поэтом определим
операцию, отораяпозволилабынамнайтиф н циюпоееряд Ф рье,
независимоотто,о,сходитсярядилинет.Эт операциюназовемс=ммированием ряда. Корре тно определенная операция с ммирования
должна приводить обычной с мме ряда, если он сходится.
2.Способсреднихарифметичес;их.П стьф н ция f ( x ) имеет
период 2π , абсолютно инте,рир ема на периоде и
Sn ( x ) – частные
с ммыеерядаФ рье, n = 0,1,2,K Положим
σ n ( x) =
S0 ( x ) + S1 ( x ) + K + Sn ( x )
n +1
СовременныйГ манитарныйУниверситет
72
(16.2)
и
Φn ( x ) =
,де
D0 ( x ) + D1 ( x ) + K + Dn ( x )
n +1
,
(16.3)
Dk ( x ) – ядро Дирихле. С мма σ n ( x ) называется с=ммой
Фейера1), а Φ n ( x ) – ядром Фейера.
Для σ n ( x ) можнопол читьиинте,ральн юформ л .В§3мыпоазали,что
Sn ( x ) =
π
∫π D ( t ) f ( x + t ) dt .
n
(16.4)
−
Отсюдаиизформ л(16.2)и(16.3)след ет,что
σ n ( x) =
π
∫π Φ ( t ) f ( x + t ) dt .
n
(16.5)
−
Инте,рал в правой части (16.5) называется инте>ралом Фейера.
Лемма 16.1. Ядро Фейера Φ n ( t )
1) является непрерывной, 2π -периодичес ой, четной ф н цией;
π
2)
∫π Φ
−
π
n
(t )dt = 2 ∫ Φ n (t )dt = 1 ;
0
1
2
sin
+
n
t
2
, t ≠ 2π m,
t
3) Φ n (t ) = 2π ( n + 1) sin 2
2
n = 0,1,2,K, m = 0, ±1, ±2,K
n +1
, t = 2π m,
2π
1)
Л.Фейер(1880-1959)–вен,ерс ийматемати .
73
Доазательство. Свойства 1) и 2) выте ают из соответств ющих
свойств ядра Дирихле. До ажем свойство 3). Если t = 2π m, m = 0,
n
n ( n + 1)
k =0
2
t = 2 m, m = 0, ±1, ±2,K , то, польз ясь равенством ∑ k =
и соответ-
ств ющей форм лой для ядра Дирихле, пол чим
1 n
1
Φ n ( 2π m ) =
D
π
m
=
2
(
)
∑ k
n + 1 k =0
( n + 1) π
1
=
( n + 1) π
Еслиже t
1
k
+
∑
=
2
k =0
n
n ( n + 1) n + 1 n + 1
+
.
=
2
2
2
π
≠ 2π m, m = 0, ±1, ±2,K ,то
1
+
sin
k
t
1 n
1 n
2
.
Φn (t ) =
Dk ( t ) =
∑
∑
n + 1 k =0
n + 1 k = 0 2π sin t
2
Применяя известн ю три,онометричес ю форм л
2sin α sin β = cos (α − β ) − cos (α + β ) ,
пол чим
t
1
2sin sin k + t = cos kt − cos ( k + 1) t
2
2
и поэтом
t n
2 sin ∑ sin k +
2 k =0
n
1
t = ∑ ( cos kt − cos ( k + 1) t ) =
2
k =0
= 1 − cos ( n + 1) t = 2 sin 2
от
да
СовременныйГ манитарныйУниверситет
74
n +1
t,
2
n
1
∑ sin k + 2 t =
n +1
t
2
.B
t
sin
2
sin 2
k =0
Следовательно,
Φn (t ) =
sin 2
n +1
t
2
t
2π ( n + 1) sin 2
2
.
Отметим еще два полезных свойства ядра Фейера:
4) Φ n ( t ) ≥ 0, t ∈ R ;
5)прилюбом δ , 0 < δ ≤ π ,выполняется словие
lim max Φ n ( t ) = 0 .
n →∞ δ ≤ t ≤π
Свойство4)след етизсвойства3),асвойство5)–изсоотношения
0 ≤ max Φ n ( t ) = max
δ ≤ t ≤π
δ ≤ t ≤π
sin 2
n +1
t
2
t
2π ( n + 1) sin
2
≤
2
1
2π ( n + 1) sin
2
δ
→0
2
при n → ∞ .
Теорема 16.2. (Фейер) Если ф н ция f ( x ) непрерывна на от-
[
]
рез е −π , π и довлетворяет словию
f ( −π ) = f (π ) ,
(16.6)
то последовательность ее с мм Фейера равномерно сходится на этом
отрез е
f ( x) .
Доазательство. Зафи сир ем точ
x ∈ [ −π , π ] и зададим произ-
вольно ε > 0 . Польз ясь инте,ральным представлением (16.5) и свойствами ядра Фейера, б дем иметь
75
σn ( x) − f ( x) =
π
π
∫π Φ ( t ) f ( x + t ) dt − f ( x ) ∫π Φ ( t ) dt =
n
n
−
−
π
=
(16.7)
π
∫π Φ ( t ) f ( x + t ) − f ( x ) dt ≤ ∫π Φ ( t ) f ( x + t ) − f ( x ) dt.
n
n
−
−
Ле, о бедиться в том, что периодичес ое продолжение ф н ции
f ( x ) равномерно непрерывно на всей числовой оси. Это след ет из
непрерывности
f ( x ) на [ −π , π ] и равенства (16.6). Поэтом для за-
данно,о ε > 0 с ществ етта ое δ > 0 ,
0 < δ ≤ π ,чтодлялюбыхточе
x, x ′ ∈ R , для оторых x ′ − x < δ , выполняется неравенство
f ( x ′) − f ( x ) <
ε
3
.
Представиминте,рал,стоящий вправой частинеравенства (16.7),
в виде с ммы трех инте,ралов:
π
−δ
δ
∫π Φ ( t ) f ( x + t ) − f ( x ) dt = ∫π
+
n
−
−
∫δ
−
π
+∫
(16.8)
δ
и оценим аждый из них. В сил равномерной непрерывности f ( x )
имеем
δ
∫ Φ n ( t ) f ( x + t ) − f ( x ) dt ≤
−δ
ε
δ
∫ Φ n ( t ) dt <
3 −δ
ε
π
ε
Φ n ( t ) dt = .
∫
3 −π
3
(16.9)
Далее, в сил непрерывности, ф н ция f ( x ) о,раничена на от-
[ −π ,π ] , т.е. с ществ ет не оторая постоянная c > 0 , та ая, что
f ( x ) ≤ c, x ∈ [ −π , π ] . Очевидно, что и периодичес ое продолжение
рез е
f ( x ) о,раничено по абсолютной величине той же постоянной:
СовременныйГ манитарныйУниверситет
76
f ( x ) ≤ c, x ∈ R .
Отсюда
π
π
∫δ Φ ( t ) f ( x + t ) − f ( x ) dt ≤ δ∫ Φ ( t ) f ( x + t ) + f ( x ) dt ≤
n
n
π
π
≤ 2c ∫ Φ n ( t )dt ≤ 2c max Φ n ( t ) ∫ dt < 2cπ max Φ n ( t ) → 0
δ ≤ t ≤π
δ
δ ≤ t ≤π
δ
при
n → ∞ со,ласно свойств 5). Поэтом с ществ ет та ое n0 , что
при
n > n0 выполняется неравенство
π
∫ Φ n ( t ) f ( x + t ) − f ( x ) dt <
ε
.
(16.10)
, n > n0 .
(16.11)
δ
3
Анало,ично,
−δ
∫ Φ n ( t ) f ( x + t ) − f ( x ) dt <
−π
ε
3
Из(16.7)–(16.11)след ет,чтопри n > n0
σ n ( x) − f ( x) <
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
=ε ,
и пос оль n0 выбрано независимым от точ и
x ∈ [ −π ,π ] , то после-
днее соотношение означает, что последовательность с мм Фейера
{σ ( x )} равномерносходится
n
Следствие.ЕслирядФ
f ( x ) наотрез е
[ −π ,π ] .
рьенепрерывнойнаотрез е [ −π , π ] ф
н -
ции f ( x ) , довлетворяющей словию(16.6),сходитсявне оторойточе,тоон сходитсявней значениюф н ции.
Доазательство. Из свойств предела след ет, что если числовая
последовательность сходится, то последовательность средних арифметичес их ее членов сходится том же предел . Поэтом , если при
77
не отором
Sn ( x ) = A , то и
x ∈ [ −π ,π ] с ществ ет предел nlim
→∞
lim σ n ( x ) = A . Но по теореме 16.2 lim σ n ( x ) = f ( x ) , следовательно,
n →∞
n →∞
Sn ( x ) = f ( x ) .B
A = f ( x ) ,т.е. nlim
→∞
Справедлива та же след ющая
Теорема 16.3. Ряд Ф рье абсолютно инте,рир емой ф н ции
f ( x ) периода 2π с ммир ется способом средних арифметичес их
этой ф н ции в аждой точ е ее непрерывности и значению
f ( x + 0) + f ( x − 0)
2
вточ ахразрываперво,орода.
Доазательствоможнонайтив ни,е[1],,л.VI.
Пример. Прос ммировать способомсредних арифметичес их ряд
1 ∞
+ ∑ cos nx .
2 n =1
Решение. k -ячастная с ммаэто,орядаравна(см. лемм 3.1)
1
sin
k
+
x
1 k
2
Sk ( x ) = + ∑ cos mx =
.
x
2 m =1
2sin
2
Составим с ммы Фейера
σn (x) =
S0 ( x ) + S1 ( x ) + K + Sn ( x )
n +1
=
1
1
2
sin
k
+
x
sin
n
+
x
n
1
1
2
2
=
.
=
∑
x
x
2 ( n + 1) k =0
2 ( n + 1)
sin
sin 2
2
2
Отсюда при всех
x
СовременныйГ манитарныйУниверситет
78
1
sin 2 n + x
1
2
σ ( x ) = lim σ n ( x ) = lim
= 0.
n →∞
n →∞ 2 ( n + 1)
2 x
sin
2
Отметим,чтонашряднеявляетсярядомФ рьеф н ции σ ( x ) ≡ 0 ,
та а оннеравентождественнон лю.Сдр ,ойстороны,этотрядне
может быть и рядом Ф рье любой др ,ой абсолютно инте,рир емой
ф н ции f ( x ) , пос оль
е,о оэффициенты an = 1
( n = 1,2,K) не
стремятся н люпри n → ∞ .
3. Метод П=ассона-Абеля1) (способ степенных множителей).
П сть ф н ция f ( x ) имеет период 2π и абсолютно инте,рир ема на
периоде. Рассмотрим ее ряд Ф рье
a0 ∞
f ( x ) ~ + ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) .
2 n =1
(16.12)
Для 0 < r < 1 составим ряд
a0 ∞ n
f ( x, r ) = + ∑ r ( an cos nx + bn sin nx ) .
2 n =1
Та а an
(16.13)
→ 0 и bn → 0 при n → ∞ ,тос ществ етта аяпостоян-
ная M > 0 ,что
an ≤ M , bn ≤ M
( n = 1,2,K) .
Следовательно, ряд (16.13) мажорир ется сходящимся рядом
∞
2 M ∑ r n , а значит, сходится.
n =0
Д.П ассон(1781-1840)–франц зс ийфизи иматемати .Известные,оработыоб
стойчивостисолнечнойсистемыипотеории пр ,ости,втеориивероятностейизвестно
распределение П ассона. Н. Абель (1802–1829) – норвежс ий математи , до азал, что
равнениепятойстепенинеразрешимовради алах.Знаменитата жетеоремаАбеляо
равномернойсходимостирядов.
1)
79
Для добства из чения поведения е,о с ммы f ( x , r ) при r → 1
представим ее в виде инте,рала. Заменив оэффициенты
an и bn их
инте,ральными выражениями
an =
bn =
1
π
1
π
π
∫π f (t ) cos ntdt
( n = 0,1,2,K) ,
−
π
∫π f (t )sin ntdt
( n = 1,2,K) ,
−
пол чим, что
1
f ( x, r ) =
2π
π
1
π
∞
∫π f ( t ) dt + π ∑ r ∫π f ( t ) cos n ( t − x ) dt .
n
n =1
−
−
Норяд
1 ∞ n
+ ∑ r cos n ( t − x )
2 n =1
при фи сированном r < 1 и x сходится равномерно по t , та а е,о
члены по абсолютной величине не превосходят соответств ющих членов сходяще,ося ряда
1 ∞ n
+ ∑r ,
2 n =1
и,следовательно, можетбыть почленнопроинте,рирован. То,даможет
быть почленно проинте,рирован и ряд
f (t )
2
∞
+ ∑ r n f ( t ) cos n ( t − x ) .
n =1
Отсюда след ет, что
1
f ( x, r ) =
2π
π
∫
−π
∞
f ( t ) 1 + 2∑ r n cos n ( t − x ) dt.
n =1
СовременныйГ манитарныйУниверситет
80
Величина
∞
Pr ( t ) = 1 + 2∑ r n cos nt
n =1
называется ядром П=ассона.
Лемма 16.4. Справедливы след ющие свойства
1 − r2
1) Pr ( t ) =
, 0 < r < 1;
2
1 − 2r cos t + r
2) Pr ( t ) > 0, 0 < r < 1 ;
1
3)1 =
2π
π
1
π
∫π P ( t ) dt = π ∫ P ( t ) dt .
r
r
−
0
Доазательство. До ажем свойство 1). Для это,о рассмотрим ряд
1 ∞ n
+ ∑ z , z = r ( cos t + i sin t ) .
2 n =1
Та а z = r < 1 ,то
1 ∞ n 1
z
1+ z
1 + r cos t + ir sin t
1 − r 2 + 2 ri sin t
+ ∑z = +
=
=
=
.
2 n =1
2 1 − z 2 (1 − z ) 2 (1 − r cos t − ir sin t ) 2 (1 − 2 r cos t + r 2 )
С др ,ой стороны,
1 ∞ n 1 ∞ n
+ ∑ z = + ∑ r ( cos nt + i sin nt ) .
2 n =1
2 n =1
Поэтом
1 − r2
1 ∞ n
Pr ( t ) = 2 + ∑ r cos nt =
2 .
2 n =1
1 − 2r cos t + r
Свойство2)след етизсвойства1),та а при 0 < r < 1
1 − r 2 > 0, 1 − 2r cos t + r 2 = (1 − r ) + 4r sin 2
2
t
>0.
2
Чтобыдо азатьсвойство3),рассмотримф н цию
81
f ( x ) ≡ 1 .Ееряд
Ф рьеимеетвид 1 +
∞
∑ 0 и,следовательно, f ( x, r ) ≡ 1 .Поэтом
n =1
π
1
1=
2π
1
P
t
−
x
dt
=
(
)
r
∫
2π
−π
π
∫π P ( t ) dt ,
r
−
та а ядро П ассона – периодичес ая ф н ция. Второе равенство в
свойстве 3) след ет из четности ядра П ассона.B
Воспользовавшись свойством 1), мы пол чим:
1
f ( x, r ) =
2π
π
∫
−π
1 − r2
f (t )
dt ( 0 < r < 1) ,
1 − 2r cos ( t − x ) + r 2
или, в сил периодичности подынте,рально,о выражения,
1
f ( x, r ) =
2π
π
∫π
−
1 − r2
f (x + t)
dt ( 0 < r < 1) ,
2
1 − 2 r cos t + r
(16.14)
Инте,рал в правой части равенства (16.14) называется инте>ралом П=ассона. Он и,рает важн ю роль во мно,их вопросах анализа.
Впервыеиряд(16.13)иинте,рал(16.14)былирассмотреныП ассоном
задол,о до появления теории с ммирования рядов, но эти расс ждения были неточными. Точн ю теорию инте,рала П ассона построил
Шварц.
Теорема 16.5. Если f ( x ) – непрерывная ф н ция периода 2π ,
то
f ( x, r ) стремится f ( x ) при r → 1 равномерноотносительно x .
Доазательство. Польз ясь свойствами ядра П ассона, мы можем
написать:
f ( x, r ) − f ( x ) =
1
=
2π
π
1 − r2
∫−π f ( x + t ) − f ( x ) 1 − 2r cos t + r 2 dt = J1 + J 2 + J 3 ,
,де J 1 –инте,ралвпределахот −π до −δ , J 2 –инте,ралвпределахот
−π до δ ,а J 3 –инте,ралвпределахот δ до π .
СовременныйГ манитарныйУниверситет
82
В сил равномерной непрерывности ф н ции f ( x ) на всей оси
для произвольно заданно,о ε > 0 можно выбрать число δ > 0 столь
малым, чтобы
f ( x + t) − f ( x) <
ε
3
,
(16.15)
а толь о t < δ длявсех x .
Оцениминте,рал J 2 .Всил (16.15)исвойствф н ции Pr ( t ) имеем
J2
ε 1
≤
3 2π
1
≤
2π
δ
∫
−δ
1 − r2
f (x + t) − f ( x)
dt ≤
1 − 2 r cos t + r 2
δ
ε 1
1 − r2
dt
<
∫ 1 − 2r cos t + r 2
3 2π
−δ
π
ε (16.16)
1 − r2
dt
=
.
∫−π 1 − 2r cos t + r 2
3
Далее,ф н ция f ( x ) о,раниченанавсейоси,т.е.с ществ етнеотораяпостоянная c > 0 ,та ая,что f ( x ) ≤ c, x ∈ R .Отсюда
1
J3 ≤
2π
1
≤
2π
π
∫δ
1 − r2
f (x + t) − f ( x)
dt ≤
1 − 2r cos t + r 2
π
1 − r2
∫δ f ( x + t ) + f ( x ) 1 − 2r cos t + r 2 dt ≤
π
1
1 − r2
1 − r2 1
≤ 2c
dt ≤ 2c
δ
2π ∫δ 1 − 2 r cos t + r 2
4r sin 2 2π
2
c 1 − r2
=
→0
2 r sin 2 δ
2
при r → 1 .Поэтом с ществ етта ое r0
83
π
∫π dt =
−
( 0 < r0 < 1) ,чтопри r0 < r < 1
выполняется неравенство
J3 <
ε
3
.
(16.17)
.
(16.18)
Анало,ично,
J1 <
ε
3
Из(16.16)–(16.18)след ет,чтопри r0
f ( x, r ) − f ( x ) <
ε
3
+
ε
3
< r <1
+
ε
3
=ε ,
ипос оль r0 выбрано независимым от точ и x , то последнее соотношение означает, что
f ( x, r ) стремится f ( x ) при r → 1 равно-
мерно относительно x .B
Справедлива та же след ющая
Теорема 16.6. Ряд Ф рье абсолютно инте,рир емой ф н ции
f ( x ) периода 2π с ммир етсяпометод П ассона-Абеля этойф н ции в
аждой точ е ее непрерывности и
f ( x + 0) + f ( x − 0)
2
значению
вточ ахразрываперво,орода.
Доазательствоможнонайтив ни,е[1],,л.VI.
Пример. Прос ммировать способом степенных множителей ряд
∞
∑ sin nx .
n =1
Решение. П сть 0 < r < 1 . Рассмотрим равномерно сходящийся
относительно x ряд
∞
f ( x, r ) = ∑ r n sin nx
n =1
ипо ажем,что
∞
∑ r n sin nx =
n =1
r sin x
.
1 − 2 r cos x + r 2
СовременныйГ манитарныйУниверситет
84
Дляэто,орассмотримряд
∞
∞
1 + ∑ r ( cos nx + i sin nx ) = 1 + ∑ z n ,
n
n =1
,де z
n =1
= r ( cos x + i sin x ) .Та а z = r < 1 ,топоследнийрядсходится,
причем с мма равна
1
. Возвращаясь переменным r , x , б дем
1− z
иметь:
∞
1 + ∑ r n ( cos nx + i sin nx ) =
n =1
1
1 − r cos x + ir sin x
=
,
1 − r cos x − ir sin x
1 − 2 r cos x + r 2
от данемедленнослед еттреб емаяформ ла.Переходявней предел при r → 1 , пол чим:
r sin x
sin x
1
=
=
r →1 1 − 2 r cos x + r 2
2 (1 − cos x ) 2 tg x .
2
f ( x ) = lim f ( x, r ) = lim
r →1
4. Решение задачи Дирихле для ;р=>а. Инте,рал П ассона
можетбытьиспользованприрешениита называемойзадачи Дирихле. Напомним, что ф н ция
u = u ( x, y ) называется >армоничес;ой в
не оторой области, если она непрерывна в этой области вместе со
∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u
, ,
,
своими производными
и довлетворяет равнению
∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2
∂ 2u ∂ 2u
+
=0
∂x 2 ∂y 2
(16.19)
(=равнение Лапласа).
Рассмотрим онечн ю область D , о,раниченн ю зам н тым онт ром L . Задача Дирихле для этой области форм лир ется след ющимобразом: п сть на онт ре L задана непрерывная ф н ция точ и;
треб ется найти та ю непрерывн ю в зам н той области D ( = D U L )
85
и ,армоничес ю вн три нее ф н цию u = u ( x, y ) , оторая на онт ре
совпадала бы с заданной ф н цией. Мы приведем решение задачи,
о,даобласть D есть р ,ради са1,описанныйво р ,начала оординат.
Рис 16.1
Ита ,п стьнао р жности L заданане отораянепрерывнаяф н ция точ и. Если положение точ и на о р жности определять полярным
,лом θ (рис.16.1), тоэторавносильнозаданию непрерывной 2π -периодичес ойф н ции
ординатам
f (θ ) . Перейдеми вн три р ,а полярным о-
r, θ , заменив равнение (16.19) соответственно преобра-
зованным равнением
∂ 2 u 1 ∂ 2 u 1 ∂u
+
+
=0.
∂r 2 r 2 ∂θ 2 r ∂θ
(16.19*)
Намн жно,та имобразом,найтинепрерывн юпри r ≤ 1 ф н цию
u = u ( r,θ ) , отораяпри r < 1 довлетворялабы равнению(16.19*),а
СовременныйГ манитарныйУниверситет
86
(θ ) .
при r = 1 совпадалабыс f
Возьмем простейшие (не считая постоянной) решения равнения
(16.19*):
r n cos nθ , r n sin nθ
( n = 1,2,K) .
Нетр дно непосредственно проверить, что эти ф н ции довлетворяют
равнению. Умножив ихна произвольные множители
динив постоянный член
An , Bn и присое-
A0 , составим ряд
∞
u ( r,θ ) = A0 + ∑ ( An cos nθ + Bn sin nθ ) r n ,
n =1
оторый формально (если доп стить возможность почленно,о дифференцирования) та же довлетворяет равнению (16.19*). На онец, читывая ,раничное словие u (1,θ ) = f
(θ ) , пол
чим:
∞
A0 + ∑ ( An cos nθ + Bn sin nθ ) = f (θ ) ,
n =1
от да за лючаем, что
A0 , An , Bn с ть оэффициенты Ф рье ф н ции
f (θ ) :
A0 =
a0
, An = an , Bn = bn .
2
О ончательно приходим след ющем , формальном , решению
задачи:
a0 ∞
u ( r,θ ) = + ∑ ( an cos nθ + bn sin nθ ) r n .
2 n =1
(16.20)
Нетр днозаметить,чторяд(16.20)представляетрядП ассонадляф нции f
(θ ) ,
оторый можно заменить инте,ралом П ассона:
1
u ( r ,θ ) =
2π
π
∫
−π
1 − r2
f (t )
dt .
1 − 2r cos ( t − θ ) + r 2
87
Остается бедиться, что построенная ф н ция действительно довлетворяет всем требованиям.
Та а оэффициенты an и bn о,раниченывсово пности,топри
r ≤ r0 < 1 ряды, пол ченные из (16.20) почленным дифференцированием по r и по θ (одинили два раза), б д т сходиться равномерно а
относительно r ,та иотносительноθ .Поэтом онидад тсоответств ющиепроизводныеф н ции u ( r ,θ ) ,иэтаф н цияб дет довлетворять
равнению(16.19*)вн три р ,а,т.е.при r < 1 ,пос оль ем довлетворяют по отдельности все члены ряда.
Далее,вн три р ,аф н ция u ( r ,θ ) непрерывнапосово пности
переменных
( r, θ ) ; это след
ет из равномерной сходимости ряда
r ≤ r0 < 1 ). По ажем теперь,
(16.20) сраз по обеим переменным (при
что ф н ция u ( r ,θ ) , при приближении точ и ( r ,
точ е (1,
θ 0 ) нао
θ ) изн
р жности,стремитсяименно f
но, в сил непрерывности ф н ции
можнонайтита ое δ > 0 ,чтопри
три р ,а
(θ 0 ) .Действитель-
f (θ ) , для произвольно,о ε > 0
θ − θ0 < δ
f (θ ) − f (θ 0 ) <
ε
2
б дет
.
С др ,ой стороны, та а u ( r ,θ ) при r → 1, r < 1, стремится
f (θ ) равномерно относительно θ , в сил теоремы 16.5, то можно
считать δ стольмалым,чтопри r − 1 < δ б дет
u ( r,θ ) − f (θ ) <
привсех θ .Поэтом о ончательнопри
ε
2
r − 1 < δ и θ − θ 0 < δ имеем:
СовременныйГ манитарныйУниверситет
88
u ( r,θ ) − f (θ 0 ) <
ε
2
,
что итребовалосьдо азать.
§ 17. Кратные три>онометричес;ие ряды
Ряды Ф рье можно рассматривать и для ф н ций нес оль их переменных. Чтобы дать об этом представление, достаточно рассмотреть ф н ции дв х переменных.
Ф н ции
1, cos mx , sin mx , cos ny , sin ny ,
cos mx cos ny , sin mx cos ny ,
cos mx sin ny , sin mx sin ny ,
( m = 1, 2,K; n = 1, 2,K)
(17.1)
образ ют основн=ю три>онометричес;=ю систем= для сл чая дв х
переменных.Каждаяизф н цийимеетпериод 2π по
Ф н ции системы (17.1) орто,ональны
K = ( −π ≤ x ≤ π , −π ≤ y ≤ π ) ,
и
даже
в
x ипо y .
в
вадрате
любом
вадрате
K ′ = ( a ≤ x ≤ a + 2π , b ≤ y ≤ b + 2π ) . Действительно,
π
π
∫∫ 1 ⋅ cos mxdxdy = ∫π dy ∫π cos mxdx = 0
−
K
−
и анало,ично
∫∫ 1 ⋅ sin mxdxdy = ∫∫ 1 ⋅ cos nydxdy = ∫∫ 1 ⋅ sin nydxdy = 0 .
K
K
K
Далее,
∫∫ ( cos mx cos ny ) ( cos rx cos sy ) dxdy =
K
89
π
π
= ∫ cos mx cos rx ∫ cos ny cos sydy dx =
−π
−π
π
=
π
∫π cos mx cos rxdx ∫π cos ny cos sydy = 0,
−
−
если m ≠ r или n ≠ s . Анало,ично до азывается орто,ональность любой пары различных ф н ций системы (17.1).
П сть для всех вещественных значений x и y задана ф н ция
f ( x, y ) ,имеющаяпериод 2π а по x ,та ипо y ,иинте,рир емая
(в собственном или несобственном смысле) в вадрате K . То,да три,онометричес ий ряд Ф рье ф н ции f ( x , y ) имеет вид:
f ( x, y ) ~
∞
∑ a
m ,n
cos mx cos ny + bm ,n cos mx sin ny +
m ,n = 0
+ cm ,n sin mx cos ny + d m ,n sin mx sin ny ,
(17.2)
,де оэффициенты вычисляются по форм лам:
a0,0 =
am ,0 =
1
2π 2
∫∫
1
4π 2
∫∫ f ( x, y ) dxdy,
K
f ( x, y ) cos mxdxdy; a0,n =
K
1
( m = 1, 2, 3,K)
b0,n =
1
2π 2
∫∫
K
( n = 1, 2, 3,K)
f ( x, y ) sin nydxdy; cm ,0 =
K
( n = 1, 2, 3,K)
и,на онец, при m, n
∫∫ f ( x, y ) cos nydxdy;
2π 2
1
2π 2
∫∫ f ( x, y ) sin mxdxdy
K
( m = 1,2,3,K)
= 1, 2, 3,K
СовременныйГ манитарныйУниверситет
90
;
,
cos
cos
,
f
x
y
mx
ny
dxdy
(
)
π 2 ∫∫
K
1
bm , n = 2 ∫∫ f ( x, y ) cos mx sin ny dxdy,
π K
1
cm , n = 2 ∫∫ f ( x, y ) sin mx cos ny dxdy,
π K
1
d m , n = 2 ∫∫ f ( x, y ) sin mx sin ny dxdy.
π K
1
am , n =
(17.3)
Впрочем, обычно ряд (17.2) записывают в виде
∞
f ( x, y ) ~
∑λ
m ,n
m ,n = 0
am ,n cos mx cos ny + bm ,n cos mx sin ny +
+ cm ,n sin mx cos ny + d m ,n sin mx sin ny ,
(17.2*)
,де
λm ,n
1
4 , при m = n = 0,
1
= , при m > 0, n = 0 или m = 0, n > 0,
2
1, при m > 0, n > 0,
а все оэффициенты
am ,n , bm ,n , cm ,n , d m , n вычисляются по форм лам
(17.3).
В омпле сной форме ряд Ф рье записывается более омпа тно:
f ( x, y ) ~
∞
∑
m , n = −∞
,де
91
cm ,n e (
i mx + ny )
,
cm ,n =
1
4π
2
∫∫ f ( x, y ) e
− i ( mx + ny )
dxdy
K
( m, n = 0, ±1, ±2,K) .
Всил полнотысистемы(17.1),дляф н ции f ( x , y ) справедлива
форм ла Парсеваля:
1
π
2
∞
∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∑ λ
2
m ,n
m ,n =0
K
am2 ,n + bm2 ,n + cm2 , n + d m2 , n .
Вопрососходимостиряда(17.2)[или(17.2*)]решаетсяп темисследования е,о частной с ммы S m , n ( x , y ) , для оторой можно пол чить инте,ральное представление вроде инте,рала Дирихле:
Sm ,n ( x, y ) =
1
π2
∫∫
K
1
1
sin m + u sin n + v
2
2
f ( x + u, y + v )
dudv .
u
v
4sin sin
2
2
Справедлива
Теорема 17.1. П сть f ( x , y ) задана в
K , непрерывна и имеет
∂f
∂f
о,раниченные частные производные
и
. То,да в аждой вн т∂y
∂x
ренней точ е вадрата, в не оторой о рестности оторой с ществ ет
∂2 f
непрерывная смешанная производная
, ряд Ф рье сходится и
∂x∂y
имеет своей с ммой ф н цию
f ( x, y ) . Если f ( x, y ) имеет период
2π по x ипо y инепрерывнавовсейплос ости,причемв K обла2
∂f ∂f ∂ f
дает непрерывными частными производными
,
,
, то ряд
∂x ∂y ∂x∂y
СовременныйГ манитарныйУниверситет
92
Ф рьесходится f ( x , y ) всюд .
Замечание 1. Напомним, что равенство
f ( x, y ) =
∞
∑
m,n = 0
am, n cos mx cos ny + bm , n cos mx sin ny +
+ cm, n sin mx cos ny + d m, n sin mx sin ny
λm ,n
означает, что
lim Sm , n ( x , y ) = f ( x , y )
m →∞
n →∞
,
или точнее: для любо,о ε > 0 с ществ ет число
та ое, что для
m ≥ , n ≥ справедливо неравенство
f ( x, y ) − Sm , n ( x , y ) ≤ ε .
Часто возни ает задача о разложении в двойной три,онометричес ий ряд ф н ции
f ( x, y ) , заданной в прямо ,ольни е
R = ( −l ≤ x ≤ l ; −h ≤ y ≤ h ) , или ф н ции f ( x, y ) , заданной для всех
x и y ,спериодом 2l по x ипериодом 2h по y .Этазадачасводится рассмотренном сл чаю с помощью замены u =
πx
l
, v=
πy
h
, та
а то,даф н ция
lu hv
f , = ϕ ( u, v )
π π
б детиметьпериод 2π по u ипо v .
ЕслирядФ рьеф н ции ϕ ( u, v ) есть
am , n cos mu cos nv + bm , n cos mu sin nv +
ϕ ( u, v ) ~ ∑ λm , n
,
+
c
sin
mu
cos
nv
+
d
sin
mu
sin
nv
m,n = 0
m
,
n
m
,
n
∞
то, возвращаясь переменным
x и y , пол чим:
93
∞
f ( x, y ) ~
∑λ
m ,n
m ,n = 0
π mx
π ny
π mx
π ny
a
b
cos
cos
+
cos
sin
+
m ,n
m ,n
l
h
l
h
π mx
π ny
π mx
π ny
+ cm ,n sin
cos
+ d m ,n sin
sin
,
l
h
l
h
,де
am , n =
1
π mx
π ny
f
x
,
y
cos
cos
dxdy
(
)
lh ∫∫
l
h
R
ит.д.
Компле сная форма в этом сл чае имеет вид
f ( x, y ) ~
∞
∑
cm ,n e
mx ny
iπ
+
h
l
,
m ,n =−∞
,де
cm , n
mx ny
+
l
h
− iπ
1
=
f
x
,
y
e
( )
∫∫
4lh K
dxdy.
( m, n = 0, ±1, ±2,K) .
Пример. Разложить в двойной ряд Ф рье ф н цию f ( x , y ) = xy
для −π
< x < π , −π < y < π .
Решение. Ф н ция
f ( x , y ) , очевидно, непрерывна при
∂f
∂f
=x
=
y
и
−π ≤ x ≤ π , −π ≤ y ≤ π , а ее частные производные
∂
y
∂x
о,раниченыпри этих x и y . Далее, при −π < x < π , −π < y < π сме∂2 f
= 1 непрерывна. Поэтом по теореме 17.1
шанная производная
∂x∂y
ф н ция f ( x , y ) разла,аетсяврядФ рье, оторыйсходится нейвсюд
вобласти −π
< x < π , −π < y < π .
СовременныйГ манитарныйУниверситет
94
Вычислим оэффициентыФ рье.Поформ лам(17.3)имеем:
am , n =
1
∫∫
π2
1
π2
1
π
cm , n =
1
−
−
∫π x cos mx dx ∫π y cos ny dy = 0,
2
π2
∫∫
1
π2
1
π
2
1
∫∫
π
2
π
−
−
∫π x cos mxdx ∫π y sin nydy = 0,
=
π2
∫
−π
π2
∫∫ xy sin mx cos nydxdy =
K
π
−
−
∫π x sin mxdx ∫π y cos nydy = 0,
K
π
1
π
f ( x , y ) sin mx sin nydxdy =
1
=
K
π
K
1
∫∫ xy cos mx sin nydxdy
π2
f ( x, y ) sin mx cos nydxdy =
=
d m,n =
π
K
=
K
π
f ( x, y ) cos mx sin nydxdy =
∫∫
∫∫ xy cos mx cos nydxdy =
π2
K
=
bm , n =
1
f ( x , y ) cos mx cos nydxdy =
1
π2
∫∫ xy sin mx sin nydxdy =
K
π
x sin mxdx ∫ y sin nydy = ( −1)
m+n
−π
4
.
mn
Поэтом
∞
xy = 4 ∑ ( −1)
m+n
m , n =1
sin mx sin ny
mn
( −π < x < π , −π < y < π ) .
§18.Инте>ралФ=рье;а;предельныйсл=чайрядаФ=рье
П стьф н ция f ( x ) ,заданнаядлявсехвещественных
ся
x ,являет-
сочно-дифференцир емой (непрерывной или разрывной) на аж-
дом онечном отрез е
[ −l , l ] . То,да на
можетбытьразложенаврядФ рье
95
аждом та ом отрез е f ( x )
a0 ∞
π nx
π nx
f ( x ) = + ∑ an cos
+ bn sin
2 n =1
l
l
(вточ ахразрывавместо f ( x ) н жнописать
f ( x + 0) + f ( x − 0)
2
(18.1)
),,де
1
π nu
an = ∫ f (u )cos
du ( n = 0,1,2,K) ,
l −l
l
l
1
π nu
bn = ∫ f ( u )sin
du ( n = 1,2,K) .
l −l
l
l
Еслив(18.1)вместо an и bn подставитьихинте,ральныевыражения,то
пол чим:
∞
1
1
πn
f ( x ) = ∫ f (u )du + ∑ ∫ f (u )cos
( u − x ) du .
2l − l
l
l
n =1 − l
l
l
Предположим теперь, что f ( x ) абсолютно инте,рир ема на всей
оси, т.е. с ществ ет несобственный инте,рал
∞
∫ f ( x ) dx .
−∞
То,дапри l → ∞ ( x –фи сировано)пол чим:
1
πn
f ( x ) = lim ∑ ∫ f (u )cos
( u − x ) du .
l →∞
l
l
n =1 − l
∞
l
(18.2)
Посмотрим, во что перейдет в пределе с мма справа. Положим
λ1 =
π
l
, λ2 =
2π
nπ
,K, λn =
,K,
l
l
∆λn = λn +1 − λn =
π
π
l
.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
96
То,даинтерес ющаянасс ммаприметвид
∞
1
l
∆λ ∫ f (u ) cos λ ( u − x ) du .
∑
π
n
n =1
n
−l
Это напоминает инте,ральн ю с мм для ф н ции
1
π
от λ впромеж т е
∞
f (u ) cos λ ( u − x ) du
∫
−∞
[0, +∞] .Поэтом
переходя предел при l → ∞ ,из
(18.2) пол чим:
f (x) =
1
∞
∞
dλ ∫
∫
π
0
f (u ) cos λ ( u − x ) du .
(18.3)
−∞
Нашерасс ждениенеявляетсястро,им,нонижемыпо ажем,что
форм ла (18.3), действительно, имеет место при не оторых словиях,
наложенных на f ( x ) .
Инте,рал справа в (18.3) называется инте>ралом Ф=рье, а форм ла (18.3) – инте>ральной форм=лой Ф=рье.
Воспользовавшисьформ лойдля осин саразности,вместо(18.3)
пол чим форм л :
∞
f ( x ) = ∫ ( a ( λ ) cos λ x + b ( λ ) sin λ x ) d λ ,
0
,де
a (λ ) =
1
π
∞
∫
f (u ) cos λ udu , b ( λ ) =
−∞
1
π
∞
∫
f (u )sin λ udu .
−∞
Здесьявнообнар живаетсясходствосрядомФ рье:с ммазаменяется инте,ралом, а дис ретный параметр n – непрерывно изменяющимся параметром
λ . Коэффициенты a ( λ ) и b ( λ ) напоминают
эффициенты Ф рье.
97
о-
§ 19. Сведения о несобственных инте>ралах,
зависящих от параметра
Предположим, что инте,рал
∞
∫ F ( x, λ ) dx
(19.1)
a
сходится для α ≤ λ ≤
β
α ≤ λ ≤ β ,еслидлявся
. Назовем е,о равномерно сходящимся для
о,о ε > 0 с ществ етчисло
L та ое,чтодля
всех l ≥ L
∞
∫ F ( x, λ ) dx ≤ ε ,
l
а овобынибыло λ ,
α ≤λ≤β .
Справедливо след ющее тверждение: для то,о чтобы инте,рал
(19.1) равномерно сходился, необходимо и достаточно, чтобы для всяой последовательности чисел
x0 = a < x1 < x2 < K < xn < K,
lim xn = ∞ ,
n →∞
равномерно сходился для α ≤ λ ≤
∞
β ряд
∞ xn +1
∫ F ( x, λ ) dx = ∑ ∫ F ( x, λ ) dx .
a
n = 0 xn
Из это,о тверждения след ет
Теорема 19.1.Если F ( x, λ ) непрерывна а ф н циядв хпеременных (или имеет разрывы для онечно,о числа значений x на аждом онечном интервале, оставаясь инте,рир емой по x и непрерыв-
λ ) и инте,рал (19.1) сходится равномерно для α ≤ λ ≤ β , то
этотинте,ралпредставляетсобой непрерывн юф н циюот λ .
ной по
Теорема 19.2. В словиях теоремы 19.1
СовременныйГ манитарныйУниверситет
98
β
∞
∞
a
a
β
∫α d λ ∫ F ( x, λ ) dx = ∫ dx α∫ F ( x, λ ) d λ .
Теорема 19.3. Если F ( x , λ ) непрерывна а ф н ция дв х переменных и имеет непрерывн ю частн ю производн ю
∂F
( x, λ ) , при∂λ
чем инте,ралы
∞
∫ F ( x, λ ) dx,
a
∞
∂F
∫a ∂λ ( x, λ ) dx
с ществ ютивторойизнихравномерносходитсядля α
≤ λ ≤ β ,то
∂F ( x, λ )
∂
F
x
,
dx
=
λ
(
)
∫a ∂λ dx (α ≤ λ ≤ β ) .
∂λ ∫a
∞
∞
Теорема 19.4. Если ф н ция F ( x , λ ) довлетворяет словиям
теоремы19.1идля α
≤λ≤β
F ( x, λ ) ≤ f ( x ) ,
причем инте,рал
∞
∫ f ( x ) dx
a
с ществ ет, то инте,рал (19.1) сходится равномерно.
До азательствовышеприведенных твержденийможнонайтив ни,е[1],,л.VII.
Вместоинте,рала(19.1)можнорассматриватьинте,ралывида
b
∞
−∞
−∞
∫ F ( x, λ ) dx, ∫ F ( x, λ ) dx .
Для них тожеимеютместо азанныетеоремы.
Для несобственных инте,ралов справедливо обобщение теоремы
4.1(Римана).
99
Лемма 19.5.Еслиф н ция g ( t ) абсолютноинте,рир емавбес-
[
онечном промеж т е a , +∞ ) , то
+∞
∫ g (t )sin ptdt = 0
lim
p →+∞
a
+∞
∫ g (t )cos ptdt = 0 ).
(ианало,ично lim
p →+∞
a
Доазательство анало,ично до азательств теоремы 4.1 (для сл -
g ( t ) имеетособ юточ ).
чая о,даф н ция
[
Замечание1.Вместоинте,ралапопромеж т a , +∞ ) можнорас-
]
сматриватьинте,ралыпопромеж т ам ( −∞, a или ( −∞, +∞ ) .
Лемма 19.6. Если в точ е
f ( x ) с ществ ютправая и леваяпроизводные, то
всей осиф н ции
lim
l →+∞
1
π
x для абсолютно инте,рир емой на
+∞
∫
f ( x + t)
−∞
f ( x + 0) + f ( x − 0)
sin lt
dt =
.
t
2
Доазательство. Зададим произвольное
ε > 0 и выберем
δ > 0 столь малым, чтобы выполнялось неравенство
1
π
Ф н ция
f (x + t)
t
δ ≤ t < +∞ .Поэтом
lim
l →+∞
1
π
+∞
∫
δ
δ
∫δ
f ( x + t ) dt <
−
ε
2
.
абсолютно инте,рир ема для −∞ < t ≤ −δ и
полемме19.5
−δ
sin lt
1
sin lt
f ( x + t)
dt = lim ∫ f ( x + t )
dt = 0 . (19.2)
l → +∞ π
t
t
−∞
Справедливо равенство:
СовременныйГ манитарныйУниверситет
100
lim
m →+∞
,де m = n +
1
π
π
∫
f ( x + t)
−π
f ( x + 0) + f ( x − 0)
sin mt
dt =
,
t
2
2sin
2
1
, n –целое(этослед етизпризна аДини-Липшицасхо2
димости рядов Ф рье). Это равенство можно переписать в виде
lim
m →+∞
1
π
δ
∫
f ( x + t)
−δ
f ( x + 0) + f ( x − 0)
sin mt
dt =
t
,
2
2sin
2
(19.3)
f (x + t)
та а в сил абсолютной инте,рир емости ф н ции 2sin t на от2
[
рез ах −π , −δ
] , [δ ,π ] инте,ралыпоэтимотрез
амстремятся н лю
при m → ∞ (см.теорем 4.1).
Заметим,чтоинте,ралслева(19.3)отличаетсяотинте,рала
1
π
δ
∫
f ( x + t)
−δ
sin mt
dt
t
на величин
1
π
δ
∫δ
−
1
1
f ( x + t)
− sin mtdt ,
t t
2sin
2
(19.4)
причемф н цияв вадратныхс об ахнепрерывна,еслипри t = 0 положитьееравнойн лю.Потеореме4.1инте,рал(19.4)стремится н лю
при m → ∞ .Поэтом вместо(19.3)можнозаписать:
lim
m →+∞
1
π
δ
∫δ
−
f ( x + t)
f ( x + 0) + f ( x − 0)
sin mt
dt =
.
t
2
101
(19.5)
П сть m ≤ l ≤ m + 1 .То,да l = m + θ , 0 ≤ θ < 1 .ПотеоремеЛа,ранжа о онечных приращениях, пол чим:
sin lt − sin mt
= ( l − m ) cos ht = θ cos ht ,
t
,де m ≤ h ≤ l .Поэтом
δ
1
∫
π
−δ
1
=
π
sin mt
1
f ( x + t)
dt −
t
π
δ
∫
f ( x + t )θ cos htdt ≤
−δ
δ
∫
f ( x + t)
−δ
1
π
sin lt
dt =
t
δ
∫
f ( x + t ) dt <
−δ
ε
(19.6)
2
прилюбом l .Если l вели о,товели ои m ,следовательно,длядостаточнобольших l всил (19.5)пол чаем:
δ
1
π
∫
f ( x + t)
−δ
f ( x + 0) + f ( x − 0) ε
sin mt
dt −
< .
t
2
2
Сопоставляя это неравенство с (19.6), б дем иметь
1
π
δ
∫
f ( x + t)
−δ
f ( x + 0) + f ( x − 0)
sin lt
dt −
<ε
t
2
длявсехдостаточнобольших l .Всил (19.2)вместопоследне,онеравенства можем написать:
1
π
+∞
∫
−∞
f ( x + t)
f ( x + 0) + f ( x − 0)
sin lt
dt −
<ε ,
t
2
чтоитребовалосьдо азать.B
§20.До;азательствоинте>ральнойформ=лыФ=рье
П сть f ( x ) абсолютно инте,рир ема на всей оси. По определению несобственно,о инте,рала
СовременныйГ манитарныйУниверситет
102
1
∞
∞
dλ ∫
∫
π
f (u ) cos λ ( u − x ) du =
−∞
0
= lim
l →∞
1
π
l
∞
f ( u ) cos λ ( u − x ) du,
∫ dλ ∫
0
(20.1)
−∞
т.е. с ществование инте,рала э вивалентно с ществованию предела
справа.
Ноинте,рал
∞
∫
f (u ) cos λ ( u − x ) du
−∞
сходится равномерно для −∞ < λ < ∞ , та а
f (u ) cos λ ( u − x ) ≤ f ( u ) ,
а
f ( u ) абсолютно инте,рир ема на всей оси (см. теорем 19.4). По-
этом по теореме 19.2
∞
l
∫ dλ ∫
f (u ) cos λ ( u − x ) du =
−∞
0
∞
=
∫
f (u )
−∞
sin l ( u − x )
u−x
∞
l
−∞
0
∫ du ∫ f (u) cos λ ( u − x ) d λ =
∞
du =
∫
f ( x + t)
−∞
sin lt
dt.
t
Всил (20.1)
1
π
∞
∞
∫ d λ ∫ f (u )cos λ ( u − x ) du = lim
0
l →∞
−∞
Если в точ е
1
π
∞
∫
−∞
f ( x + t)
sin lt
dt .
t
x ф н ция f ( x ) имеет прав ю и лев ю производ-
ные, то по лемме 19.6 предел в правой части с ществ ет и равен
f ( x + 0) + f ( x − 0)
2
. Следовательно, с ществ ет инте,рал слева и
103
1
π
∞
∞
∫ d λ ∫ f (u )cos λ ( u − x ) du =
0
f ( x + 0) + f ( x − 0)
2
−∞
В точ ах непрерывности
f ( x + 0) + f ( x − 0)
2
.
(20.2)
= f ( x) .
Та им образом, мы до азали, что если f ( x ) абсолютно инте,рир еманавсейоси,тоинте,ральнаяформ лаФ рьеимеетместов аждойточ е
x ,в оторой f ( x ) имеетправ юилев юпроизводные.
В частности, если
сочно-дифференцир емая на аждом онеч-
ном отрез е ф н ция f ( x ) абсолютно инте,рир ема на всей оси, то
инте,ральная форм лаФ рье имеетместо длявсех
x.
§21.Призна;исходимостиинте>ралаФ=рье
В§§18,20мыисходилиизпредположения,чтозаданнаяабсолютно инте,рир емая на всей оси ф н ция f ( x ) является
сочно-диф-
ференцир емой. В этих словиях мы до азали справедливость равенства(18.3)(вточ ахразрыва
f ( x ) след етписать
f ( x + 0) + f ( x − 0)
2
).
В общем сл чае, о,да нам известно лишь то, что ф н ция f ( x )
абсолютно инте,рир ема на всей оси, мы не можем поставить зна
равенства. Мы пишем (сравните с рядами Ф рье):
f (x) ~
1
∞
∞
dλ ∫
∫
π
0
f (u ) cos λ ( u − x ) du ,
(21.1)
−∞
подчер иваяэтим,чтоф н ции f ( x ) соответств етееинте,ралФ рье.
Ка ивтеориирядовФ рье,мыстал иваемсяздесьспроблемой:
азать словия на ф н цию f ( x ) , при выполнении оторых инте,рал
СовременныйГ манитарныйУниверситет
104
Ф рьесходится f ( x ) или
f ( x + 0) + f ( x − 0)
2
.
Сформ лир ем достаточные призна и сходимости инте,рала Ф рье.
f ( x ) абсолютно инте,рир ема в
Призна; Дини. П сть ф н ция
промеж т е ( −∞, +∞ ) и в точ е x0 ∈ ( −∞, +∞ ) с ществ ют онечные
односторонние пределы
f ( x0 ± 0 ) . Если в точ е x0 выполнены сло-
вия Дини,т.е. с ществ ет h > 0 , та ое,что несобственныеинте,ралы
f ( x0 + t ) − f ( x0 + 0 )
h
∫
t
0
h
dt и ∫
0
f ( x0 − t ) − f ( x0 − 0 )
t
dt
сходятся,тоинте,ралФ рье(21.1)дляф н ции f ( x ) сходитсявточ е
x0 f ( x0 ) , если ф н ция f ( x ) непрерывна в x0 , и
f ( x0 + 0 ) + f ( x0 − 0 )
2
,если
x0 –точ аразрываперво,ородаф н ции
f ( x) .
Вчастности,изпризна аДинислед ют тверждения§§18,20:
Еслиф н ция f ( x ) абсолютноинте,рир емавпромеж т е ( −∞, +∞ )
и
сочно-непрерывна на любом онечном отрез е, и для любо,о
x ∈ ( −∞, +∞ ) либо с ществ ет онечная производная ф н ции f ( x ) ,
либос ществ ют онечныеодносторонниепроизводные,тоинте,ралФ рье
(21.1) для ф н ции
f ( x + 0) + f ( x − 0)
2
f ( x ) сходится всюд на ( −∞, +∞ ) ф н ции
( f ( x ) ,если f ( x ) непрерывнавточ е x ).
В частности, если ф н ция f ( x ) абсолютно инте,рир ема в про-
105
меж т е ( −∞, +∞ ) инепрерывнодифференцир емавнем,тоинте,рал
Ф рье(21.1)дляф н ции f ( x ) сходится f ( x ) всюд на ( −∞, +∞ ) .
Часто добнееприменятьдр ,ойпризна сходимости.
Призна; Дирихле-Жордана. П сть ф н ция f ( x ) абсолютно
инте,рир ема
[ x0 − h, x0 + h ],
в
промеж т е
и
в
промеж т е
h > 0 , ф н ция имеет о,раниченное изменение. То,да
инте,ралФ рьеф н ции
непрерывна в
( −∞, +∞ )
x0 , и
f ( x ) сходитсявточ е x0 f ( x0 ) ,если f ( x )
f ( x0 + 0 ) + f ( x0 − 0 )
2
, если
x0 – точ а разрыва
перво,о рода f ( x ) .
До азательствоприведенных твержденийможнонайтив ни,е[2],
т.3,,л.XIX.
Пример.Найтиинте,ралФ рьеф н ции
1, 0 ≤ x ≤ 1,
f ( x ) = 0, 1 < x < +∞,
0, −∞ < x < 0
ипостроитье,о,рафи .
Решение.Ф н ция
мой, роме точе
f ( x ) непрерывнавсюд навещественнойпря-
x = 0, x = 1 , ,де она имеет разрывы перво,о рода.
Далее, ф н ция f ( x ) абсолютно инте,рир ема на всей оси. По определениюинте,ралФ рьеф н ции
f ( x ) равен:
∞
f ( x ) ~ ∫ ( a ( λ ) cos λ x + b ( λ ) sin λ x ) d λ ,
0
,де
СовременныйГ манитарныйУниверситет
106
a (λ ) =
b (λ ) =
1
π
1
π
∞
∫
f (u ) cos λ udu =
−∞
∞
∫
f (u ) sin λ udu =
−∞
1
1
∫ cos λudu =
π
1
π
0
1
∫ sin λudu =
sin λ
πλ
,
1 − cos λ
0
πλ
.
Следовательно,
cos λ x sin λ sin λ x (1 − cos λ )
f (x) ~ ∫
+
dλ .
πλ
πλ
0
∞
Ф н ция
f ( x ) сочно-монотоннаиравнан лювнеотрез а [0, 1] ,
поэтом она имеет о,раниченное изменение на аждом онечном отрез е. Следовательно, со,ласно призна Дирихле-Жордана ее инте,ралФ рьесходится всюд ф н ции
1, 0 < x < 1,
g ( x ) = 0, 1 < x < +∞, −∞ < x < 0,
1
, x = 0, x = 1,
2
,рафи оторойизображеннарис.21.1.
§22.Различныевидыинте>ральнойформ=лыФ=рье
П сть ф н ция f ( x ) абсолютно инте,рир ема на всей оси и выполненыдостаточные словияприменимостиформ лыФ рье(см.§21).
Рассмотрим инте,рал
+∞
∫
f (u )sin λ ( u − x ) du .
−∞
Этотинте,ралравномерносходитсядля −∞ < λ < ∞ ,та а
107
f (u )sin λ ( u − x ) ≤ f ( u ) ,
(см.теорем 19.4),и,следовательно,представляетсобойнепрерывн ю
нечетн ю ф н цию от λ . Несобственный инте,рал от −∞ до +∞ для
этойф н цииможетнес ществовать,ноонс ществ етвсмыслелавноозначенияи
Графи f ( x )
Графи g ( x )
Рис.21.1
СовременныйГ манитарныйУниверситет
108
lim
l →∞
1
π
∞
l
∫ dλ ∫
−l
def
f ( u ) sin λ ( u − x ) du =
−∞
def
= V . p.
1
π
∞
∞
∫ dλ ∫
−∞
f ( u ) sin λ ( u − x ) du = 0.
(22.1)
−∞
С др ,ой стороны, инте,рал
+∞
∫
f (u )cos λ (u − x )du
−∞
представляетсобойчетн юф н циюот λ .Поэтом форм л (18.3)можно переписать в виде
1
f (x) =
2π
∞
∞
∫ dλ ∫
−∞
f (u ) cos λ ( u − x ) du .
−∞
Учитывая (22.1), придем соотношению
1
f ( x) =
2π
∞
∞
∫ dλ ∫
−∞
f (u ) cos λ ( u − x ) + i sin λ ( u − x ) du =
−∞
1
=
2π
∞
∫
−∞
∞
d λ ∫ f (u)e
iλ ( u − x )
du,
(22.2)
−∞
,де внешний инте,рал понимается в смысле ,лавно,о значения. Мы
пол чили, та им образом, ;омпле;сн=ю форм= инте>рала Ф=рье.
Перепишемтеперьформ л (18.3)ввиде
∞
f ( x ) = ∫ cos λ x ∫ f (u ) cos λ udu d λ +
π 0
−∞
1
+
∞
∞
∞
λ
λ
sin
x
f
(
u
)
sin
udu
∫
d λ.
π ∫0
−∞
1
Если f ( u ) –четнаяф н ция,то
109
(22.3)
∞
∫
−∞
∞
∞
f (u ) cos λ udu = 2 ∫ f (u ) cos λ udu,
0
∫
f (u )sin λ udu = 0 ,
−∞
иизравенства(22.3)мыпол чимформ л
∞
f ( x ) = ∫ cos λ x ∫ f (u )cos λ udu d λ .
π 0
0
2
Анало,ично, если
∞
(22.4)
f ( u ) –нечетная ф н ция, то пол чим
∞
f ( x ) = ∫ sin λ x ∫ f (u )sin λ udu d λ .
π 0
0
2
∞
(22.5)
Замечание1.Напомним,чтоввыражениях(22.2)–(22.5)мыподраз мевали ф н цию f ( x ) непрерывной в точ е
x . Если ф н ция f ( x )
имеетвточ е x разрывперво,орода,товместо f ( x ) в(22.2)–(22.5)
след етписать
f ( x + 0) + f ( x − 0)
.
2
[
Еслиф н ция f ( u ) заданалишьвпромеж т е 0, +∞ ) ,тоспомощьюформ лы(22.4)ееможнораспространитьнавсюосьчетнымобразом, а с помощью форм лы (22.5) – нечетным образом. Та им образом, для положительных значений x применимы обе форм лы, а для
отрицательных x они дад т разные значения.
Если ф н ция
f (u ) непрерывна в точ е x = 0 , то форм ла (22.4)
все,да справедлива в этой точ е, а форм ла (22.5) справедлива лишь
то,да, о,да f ( 0 ) = 0 (та а при нечетном продолжении ф н ции
f ( +0) + f ( −0)
= 0 ).
2
Пример.Найтиинте,ралФ рьеф н ции
1, 0 ≤ x ≤ 1,
f ( x) =
0, x > 1,
СовременныйГ манитарныйУниверситет
110
а) продолжив ее четным образом, б) продолжив ее нечетным образом
навсюпрям ю.
Решение. а) Если продолжение ф н ции четное:
1, x ≤ 1,
f ( x) =
0, x > 1,
то имеем
∞
f ( x ) ~ ∫ cos λ x ∫ f (u ) cos λ udu d λ =
π 0
0
2
=
2
π
∞
∞
∞
2 cos λ x sin λ
1
∫ cos λ xd λ ∫ cos λudu = π ∫
0
0
λ
0
d λ.
Продолженнаяф н цияимеетразрывыперво,ородавточ ах x = ±1 и
непрерывна в остальных точ ах. Далее, она имеет о,раниченное изменениена аждом онечномотрез е.Поэтом попризна Дирихле-Жордана сходимости инте,рала Ф рье
1, x < 1,
∞
2 cos λ x sin λ
d
=
λ
0, x > 1,
π ∫0
λ
1
, x = 1.
2
б) Если продолжение ф н ции нечетное:
1, 0 < x ≤ 1,
f ( x ) = −1, −1 ≤ x < 0,
0, x > 1,
то имеем
∞
f ( x ) ~ ∫ sin λ x ∫ f (u ) sin λ udu d λ =
π 0
0
2
∞
(
111
)
=
2
π
∞
∞
2 sin λ x (1 − cos λ )
1
∫ sin λ xd λ ∫ sin λudu = π ∫
0
0
λ
0
d λ.
Продолженная ф н ция имеет разрывы перво,о рода в точ ах
x = ±1 , x = 0 инепрерывнавостальныхточ ах.Попризна ДирихлеЖордана сходимости инте,рала Ф рье
1
2 , x =1
1, 0 < x < 1,
∞
0, x = 0,
2 sin λ x (1 − cos λ )
dλ =
π ∫0
λ
−1, −1 < x < 0,
1
− , x = −1,
2
0, x > 1.
§23.ПреобразованиеФ=рье
Предположим,чтоинте,ральнаяформ лаФ рье(18.3)имеетместо для всех x ∈ ( −∞, +∞ ) , роме, быть может, онечно,о числа точе .
Представим эт форм л в виде с перпозиции дв х форм л:
∞
1
F (λ ) =
2π
∫
f (u )eiλu du
(23.1)
−∞
и
f ( x) =
Ф н ция
1
2π
∞
∫ F ( λ )e
− iλ x
dλ .
(23.2)
−∞
F ( λ ) называется преобразованием Ф=рье ф н ции
f ( x ) . Форм ла (23.2), выражающая f ( x ) через ее преобразование
Ф рье, называется обратным преобразованием Ф=рье для ф н СовременныйГ манитарныйУниверситет
112
ции F ( λ ) .
Н жно отметить, что при всем внешнем сходстве форм л (23.1) и
(23.2), они, по с ществ , различны: форм ла (23.1) имеет смысл для
любой абсолютно инте,рир емой на всей оси ф н ции
f ( x ) ; инте,рал
в форм ле (23.2) с ществ ет, вообще ,оворя, лишь в смысле ,лавно,о
значения. Кроме то,о, равенство (23.1) – это определение ф н ции
F ( λ ) ,аравенство(23.2)можнорассматривать а инте,ральное равнение относительно неизвестной ф н ции F ( λ ) , решение оторо,о
дается форм лой (23.1).
Рассмотримдвачастныхсл чая.Еслидляф н ции f ( x ) справедлива форм ла (22.4), то ее можно представить а с перпозицию дв х
форм л:
2
Fc ( λ ) =
∞
f (u ) cos λ udu
∫
π
0
и
f ( x) =
∞
2
∫ F (λ ) cos xλ d λ .
π
c
0
Анало,ично,форм ла(22.5)можетбытьразложенанадве:
2
Fs ( λ ) =
π
∞
∫ f (u )sin λudu
0
и
f ( x) =
2
π
∞
∫ F (λ )sin xλ d λ .
s
0
Ф н ции Fc ( λ ) и Fs ( λ ) называются, соответственно, ;осин=си син=с-преобразованием Ф=рье. Ка видим, ф н ция f ( x ) пол чаетсяиз Fc ( λ ) [ Fs ( λ ) ]точнота же, а и Fc ( λ ) [ Fs ( λ ) ]из
113
f ( x) .
Иначе ,оворя, ф н ции f ( x ) и Fc ( λ ) [ Fs ( λ ) ] являются взаимными
осин с-(син с-) преобразованиями.
Отметим, что в сл чае четной ф н ции f ( x ) имеем:
F ( λ ) = Fc ( λ )
(на значения
λ < 0ф
в сл чае нечетной
н ция
Fc ( λ ) продолжается четным образом), а
f ( x) :
F ( λ ) = iFs ( λ )
(на значения
λ < 0ф
н ция
Та а вся ая ф н ция
Fs ( λ ) продолжается нечетным образом).
f ( x ) разла,ается на с мм четной и нечетной
ф н ций:
g ( x) =
f ( x) + f (−x)
2
, h ( x) =
f ( x) − f (−x)
2
,
то
F ( λ ) = Gc ( λ ) + iH s ( λ ) ,
,де Gc ( λ ) обозначает осин с-преобразование для ф н ции g ( x ) , а
H s ( λ ) – син с-преобразование для ф н ции h ( x ) .
Отметим не оторые свойства преобразования Ф=рье
F ( x) =
1
2π
∞
∫
f (u )eixu du .
(23.3)
−∞
1. Если ф н ция f ( x ) абсолютно инте,рир ема в промеж т е
( −∞, +∞ ) ,тоф
н ция F ( x ) непрерывнадлявсех x истремится н лю
при x → ∞ .
Действительно, непрерывность след ет из равномерной сходимости инте,рала (относительно x ), та а он мажорир ется сходящимся
СовременныйГ манитарныйУниверситет
114
инте,ралом
∞
∫
f (u ) du ,
−∞
не содержащим x .
Далее,всил леммы19.5(см.замечание1)
1
lim F ( x ) =
x →∞
2π
∞
∞
lim
(
)
cos
lim
(
)sin
f
u
xudu
i
f
u
xudu
+
x →∞ ∫
= 0.
x →∞ ∫
−∞
−∞
2. Если ф н ция
x n f ( x ) ( n - целое, неотрицательное число) аб-
солютноинте,рир емавпромеж т е ( −∞, +∞ ) ,тоф н ция F ( x ) имеет
n производных, причем
F
(k )
+∞
ik
( x) =
2π
∫
f (u )u k eixu du (k = 1,2,K , n )
(23.4)
−∞
ивсеэти производныестремятся н лю при x → ∞ .
В самом деле, последовательно дифференцир я инте,рал (23.3)
по параметр x под зна ом инте,рала, пол чим форм л (23.4). Дифференцирование здесь за онно, пос оль инте,рал в (23.4) сходится
равномерно относительно x , та а он мажорир ется сходящимся
инте,ралом
∞
∫
f (u )u k du .
−∞
Стремление н лю производных
F(
k)
( x ) при
x → ∞ след ет из
леммы 19.5.
3.Если f ( x ) непрерывнаистремится н люпри x → ∞ ,а f ′( x )
абсолютноинте,рир емавпромеж т е ( −∞, +∞ ) ,то
1
2π
+∞
∫
f ′(u )eixu du =
−∞
115
x
F ( x) .
i
3’.Если
f ( x ), f ′( x ),K, f (
n −1)
( x ) стремятся н люпри x → ∞ ,а
n
f ( ) ( x ) абсолютноинте,рир емавпромеж т е ( −∞, +∞ ) ,то
1
2π
+∞
∫
−∞
f
(n )
n
x
(u )e du = F ( x ) .
i
ixu
4.Если f ( x ) абсолютноинте,рир емавпромеж т е ( −∞, +∞ ) ,а
x
∫ f (u )du → 0 при x → ∞ ,то
0
+∞
u
ixu
i
f
(
t
)
dt
e
du
=
F ( x) .
∫
∫
x
2π −∞ 0
1
Три последние форм лы до азываются инте,рированием по частям.
Пример 1. Найти преобразование Ф рье ф н ции
1, x ≤ a,
f ( x) =
0, x > a.
Решение.Ф н ция
f ( x ) абсолютноинте,рир еманавсейпрямой,
поэтом для нее имеет смысл форм ла (23.1):
F (λ ) =
=
1
2π
∞
∫
−∞
a
1
iλ u
iλ u
f (u )e du =
e
du
=
∫
2π − a
1 eiλ a − e − iλ a
, λ ≠0
iλ
2π
=
1
⋅ 2a , λ = 0
2π
2 sin λ a
π
2
π
λ
СовременныйГ манитарныйУниверситет
a
, λ ≠0
−a
1
⋅ 2a , λ = 0
2π
, λ ≠ 0,
a , λ = 0.
116
1 eiλ u
2π iλ
=
Пример 2. Найти осин с- и син с-преобразование Ф рье ф н ции f ( x ) = e
−α x
, α > 0 , x ≥ 0 .
Решение. Ф н ция f ( x ) абсолютно инте,рир ема в промеж т е
[0, +∞ ) ,поэтом
поопределению осин с-преобразованияФ рьеиме-
ем:
Fc ( λ ) =
+∞
2
∫e
π
−α u
cos λ udu =
0
+∞
α
2 1 −α u
=
e sin λ u +
π λ
λ
0
+∞
∫e
−α u
0
+∞
α2
2 α −α u
=
e cos λ u − 2
−
π λ 2
λ
0
+∞
∫
0
sin λ udu =
e −α u cos λ udu =
2 α
α2
=
− 2 Fc ( λ ) ,
2
π λ
λ
⇒ Fc ( λ ) =
2
α
π α 2 + λ2
.
а по определению син с-преобразования Ф рье имеем:
Fs ( λ ) =
2
∞
e
π∫
−α u
sin λ udu =
0
∞
∞
α −α u
2 1 −α u
λ
λ
=
−
e
cos
u
−
e
cos
udu
=
∫
π λ
λ
0
0
=
2 1
π λ
−
α 2
α
λ
2
=
.
λ π α2 + λ2
π α 2 + λ2
117
ГЛАВА 2. РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ОБЩИМ ОРТОГОНАЛЬНЫМ
ПОЛИНОМАМ
§1.Весоваяф=н;ция.Классы R% p ( x )
([a, b]) и R% ( ) ([a, b])
2
p x
[a, b] задана неотрицательная ф н f ( x ) ,непрерывнаявинтервале ( a , b ) всюд , роме,можетбыть,
П сть на онечном отрез е
ция
онечно,очислаточе ,во рестности оторыхонао,раниченалибо,рафи ее имеет верти альные асимптоты, и инте,рир емая на
[a, b] (в
собственном или несобственном смысле). Мы б дем называть ее весовой ф=н;цией или весом. Условимся рассматривать толь о та ие
веса
p ( x ) , оторые обращаютсяв н льнеболеечем в онечном чис-
ле точе . Для аждой весовой ф н ции рассмотрим два ласса ф н ций,заданныхна
произведение
[a, b] :;ласс R% p ( x ) ([a, b ]) ф
н ций f ( x ) ,та их,что
p ( x ) f ( x ) инте,рир емо (в собственном или несоб-
([a, b]) ф н ций f ( x ) ,та их,что f ( x )
и f ( x ) принадлежат R% ( ) ([ a , b]) . В сл чае, о,да p ( x ) ≡ 1 , мы б дем обозначать эти лассы соответственно R% ([ a , b ]) и R% ([ a , b ]) .
ственномсмысле),и ласс R% p ( x )
2
2
p x
2
Замечание. Мы предпола,аем, что ф н ция f ( x ) имеет не более
чем онечное число точе разрыва.
Отметим, что множества
R% p ( x ) ([ a , b]) и R% p2 ( x ) ([ a , b]) частично пе-
ресе аются. Действительно, вся ая о,раниченная ф н ция из
R% p ( x ) ([ a, b]) принадлежит R% p2 ( x ) ([ a , b]) . Это не все,да та для нео,раниченных
f ( x) =
инте,рир емых
ф н ций.
Например,
1
ф н ция
1
∈ R% ([0, 1]) , но инте,рал ∫ dx не с ществ ет. Обратно,
x
x
0
1
СовременныйГ манитарныйУниверситет
118
если
f 2 ( x ) ∈ R% p ( x ) ([ a, b]) , то, вообще ,оворя, отсюда не след ет, что
f ( x ) ∈ R% p ( x ) ([ a, b]) ,
f ( x) =
например,
1
− D ( x ) ,
2
,де
1, x − рационально,
– ф н ция Дирихле, на [0,1] c
D ( x) =
0, x − иррационально
p ( x ) ≡ 1.
П сть
f ( x ) , g ( x ) ∈ R% p2 ( x ) ([ a, b]) . Заметим, что из элементарно,о
неравенства
f ( x) g ( x) ≤
след ет, что
f 2 ( x) + g2 ( x)
2
f ( x ) g ( x ) ∈ R% p ( x ) ([ a , b]) . В частности, если
f ( x ) ∈ R% p2( x ) ([ a, b]) ,то f ( x ) ∈ R% p ( x ) ([ a, b]) .
Далее, из тождества
( f ( x ) ± g ( x )) = f 2 ( x ) ± 2 f ( x ) g ( x ) + g 2 ( x )
2
след ет, что с мма и разность дв х ф н ций ласса
дятвэтот ласс.Нетр дно бедиться,чтоесли
и все ф н ции вида
R% p2 ( x ) ([ a , b]) вхо-
f ( x ) ∈ R% p2( x ) ([ a , b]) ,то
cf ( x ) , ,де c - постоянная, принадлежат
R% p2 ( x ) ([ a, b]) . Та им образом, множество R% p2 ( x ) ([ a, b]) представляет
собой линейное пространство.
Лемма 1.1.Если
f ( x ) , g ( x ) ∈ R% p2 ( x ) ([ a, b]) ,тосправедливыне-
равенства:
2
b
b
b
2
2
∫ p ( x ) f ( x ) g ( x ) dx ≤ ∫ p ( x ) f ( x ) dx ∫ p ( x ) g ( x ) dx
a
a
a
119
(1.1)
и
b
∫
p ( x ) f ( x ) + g ( x ) dx ≤
2
a
b
≤
b
∫ p ( x ) f ( x ) dx + ∫ p ( x ) g ( x ) dx .
2
2
a
a
Доазательство. Для произвольно,о постоянно,о
соотношение
b
∫
(1.2)
λ рассмотрим
p ( x ) f ( x ) + λ g ( x ) dx =
2
a
b
= ∫ p ( x) f
b
2
b
( x ) dx + 2λ ∫ p ( x ) f ( x ) g ( x ) dx + λ ∫ p ( x ) g 2 ( x ) dx ≥ 0
2
a
a
a
и положим
b
∫ p ( x) f
a
2
b
b
a
a
( x ) dx = A, ∫ p ( x ) f ( x ) g ( x ) dx = B, ∫ p ( x ) g 2 ( x ) dx = C .
То,да
A + 2 Bλ + C λ 2 ≥ 0
прилюбом λ . Следовательно,,рафи вадратно,о трехчлена
ϕ ( λ ) = A + 2 Bλ + C λ 2 ,
представляющий собой парабол , расположен надосью O λ или асается ее. Поэтом ϕ ( λ ) не может иметь дв х различных действительных орней и для дис риминанта трехчлена выполняется неравенство
B 2 − AC ≤ 0 или B 2 ≤ AC .
Возвращаясь прежнимобозначениям,пол чимнеравенство(1.1).
Переписав е,о в виде
СовременныйГ манитарныйУниверситет
120
b
b
b
∫ p ( x ) f ( x ) g ( x ) dx ≤ ∫ p ( x ) f ( x ) dx ∫ p ( x ) g ( x ) dx ,
2
a
2
a
a
b
двоив и прибавив обеим частям
∫ p ( x) f
b
2
( x ) dx + ∫ p ( x ) g 2 ( x ) dx ,
a
a
мы придем неравенств
2
∫a p ( x ) f ( x ) + g ( x ) dx ≤
2
2
2
∫a p ( x ) f ( x ) dx + ∫a p ( x ) g ( x ) dx ,
b
b
b
р авн о с и льн о м у ( 1 .2 ). B
Неравенство (1.1) называется неравенством Б=ня;овс;о>о1), а
(1.2) – неравенством Коши2).
§2.Орто>ональныесистемы
b
Инте,рал
∫ p ( x ) f ( x ) g ( x ) dx определендлялюбыхдв хф н ций
a
из
R% p2 ( x ) ([ a, b]) .Е,оможнорассматривать а с;алярное произведе-
ниев R% p ( x )
2
([ a , b]) :
b
f , g = ∫ p ( x ) f ( x ) g ( x ) dx
a
и ввести соответств ющ ю норм=:
b
f =
2
p
x
f
(
)
( x ) dx .
∫
a
В.Я.Б ня овс ий(1804-1889)–р сс ийматемати .Большинствое,орез льтатов
относятся теориивероятностейитеориичисел.
2)
О.Коши(1780-1856)–франц зс ийматемати ,основательтеорииф н ций омпле сно,опеременно,о. Впервые определил понятиепредела.
1)
121
Величина f обладает след ющими свойствами:
1.
f +g ≤ f + g ;
2. cf = c
3.
f длялюбойпостоянной c ;
f ≥0.
Для то,о чтобы f довлетворяла всем требованиям, предъявляемым в определении нормы линейно,о пространства, н жно, чтобы
выполнялось еще одно словие:
4. f = 0 то,даитоль ото,да, о,да f ( x ) ≡ 0 .
Мы знаем, что если
f = 0 , то по свойствам инте,рала Римана
p ( x ) f 2 ( x ) = 0 вточ ахнепрерывностиф н ций p ( x ) и f ( x ) .Известнота же,чтоинте,ралыотдв хф н ций,различающихсялишьв онечном числе точе , совпадают (опять же по свойствам инте,рала Римана).Числон лейф н ции p ( x ) ичислоточе разрываф н ций p ( x )
и f ( x ) онечно.Следовательно, f ( x ) = 0 всюд на
[a, b] ,
роме,мо-
жетбыть, онечно,очислаточе .Поэтом еслисчитатьф н ции,различающиеся лишь в онечном числе точе , за один элемент пространства R% p ( x )
2
([a, b]) ,товеличина
f ,действительно,задаетнорм вэтом
пространстве.
В сил принято,о со,лашения запись “
f ( x ) ≡ g ( x ) ” теперь озна-
чает,чтоф н ции f ( x ) и g ( x ) различаютсянеболеечемв онечном
числе точе .
Определение. Две ф н ции
f ( x ) , g ( x ) ∈ R% p2( x ) ([ a, b]) орто>о-
нальны по вес= p ( x ) на отрез;е
[a, b] , если
b
∫ p ( x ) f ( x ) g ( x ) dx = 0 .
a
СовременныйГ манитарныйУниверситет
122
Если p ( x ) ≡ 1 ,то,оворятпросто,что f ( x ) и g ( x ) орто>ональны
на отрез;е
[ a , b] .
{ϕ ( x )} , определенных на отрез е
ласс R% ( ) ([ a , b]) .Еслиф н цииэтойсисте-
Рассмотрим систем ф н ций
[a, b] ипринадлежащих
n
2
p x
мыпопарноорто,ональнына
[a, b] повес
p (x) :
b
∫ p ( x )ϕ ( x )ϕ ( x ) dx = 0 ( n, m = 0,1,K; n ≠ m ) ,
n
m
a
то она называется орто>ональной системой веса
p ( x ) . Если
p ( x ) ≡ 1 ,тоовесене поминают.Б демта жепредпола,ать,что
b
2
∫ p ( x )ϕ n ( x ) dx = ϕ n
2
> 0 ( n = 0,1,K) .
a
Еслиф н цииорто,ональнойсистемы(веса p ( x ) ) довлетворяют
словию
ϕ n = 1 ( n = 0,1,K) , то та
ая система называется ортонор-
мированной.
Вся ю орто,ональн ю систем можно нормировать. Если система
{ϕ ( x )} орто,ональна,то система
n
ϕ 0 ( x ) ϕ1 ( x )
ϕ ( x)
,
, K , n
, K
ϕ0
ϕ1
ϕn
б дет же ортонормированной. Действительно,
b
1
ϕn
2
∫ p ( x )ϕ ( x ) dx =
2
n
a
ϕn
2
ϕn
2
= 1 ( n = 0,1,K) .
Пример1.Мы жеимелиделосорто,ональнымисистемамивеса
p ( x ) ≡ 1 . Это основная три,онометричес ая система
123
1,cos x,sin x,K,cos nx,sin nx,K,
орто,ональнаяналюбомотрез едлины 2π ,иобщаятри,онометричесая система
1,cos
πx
l
,sin
πx
l
,K,cos
π nx
l
,sin
π nx
l
,K ,
орто,ональнаяналюбомотрез едлины 2l .
Примерами орто,ональных систем мо, т та же сл жить система
1,cos x,K,cos nx,K
и система
sin x,K,sin nx,K
наотрез едлины π .
Польз ясь определением, из этих систем ле, о пол чить ортонормированные системы. Например, в первом сл чае это б дет система
1
2π
,
cos x sin x
cos nx sin nx
,
,K,
,
,K
π
π
Пример 2. П сть 0 < ξ1
орней равнения ctg x
нальнанаотрез е
π
π
< ξ 2 < K < ξ n < K − последовательность
= x . По ажем, чтосистема {cos (ξ n x )} орто,о-
[0,1] .
1
Действительно, во-первых,
∫ cos (ξ x ) dx > 0 . Во-вторых, если
2
n
0
n ≠ m ,то
1
∫ cos (ξ n x ) cos (ξ m x ) dx =
0
1 sin (ξ n − ξ m ) sin (ξ n + ξ m )
+
=
2 ξn − ξm
ξn + ξm
=
ξ n ctg ξ m − ξ m ctg ξ n
= 0.
2
2
(ξn − ξm ) sin ξ n sin ξm
Ниже мы рассмотримпримеры орто,ональных систем веса
СовременныйГ манитарныйУниверситет
124
p ( x) .
§ 3. Ряды Ф=рье по орто>ональным системам
П стьнаотрез е
ма
[a, b] заданаорто,ональнаяповес
p ( x ) систе-
{ϕ ( x )} .Зададимсяцельюразложитьопределенн юна [a, b] ф н n
цию
f ( x ) в рядпоф н циямэтой системы:
f ( x ) = c0ϕ 0 ( x ) + c1ϕ1 ( x ) + K + cnϕ n ( x ) + K
(3.1)
Для определения оэффициентов это,о разложения доп стим, что
ряды
p ( x ) f ( x ) ϕ n ( x ) = c0 p ( x ) ϕ 0 ( x ) ϕ n ( x ) + c1 p ( x ) ϕ1 ( x ) ϕ n ( x ) + K
+ cn −1 p ( x ) ϕ n −1 ( x ) ϕ n ( x ) + cn p ( x ) ϕ n2 ( x ) + K
( n = 0,1,K)
можно инте,рировать почленнопо отрез
∞
b
[a, b] . То,да
b
∫ p ( x ) f ( x )ϕ ( x ) dx = ∑ c ∫ p ( x )ϕ ( x )ϕ ( x ) dx .
n
n
m =0
a
В сил орто,ональности системы
m
n
a
{ϕ ( x )} по вес p ( x ) , все инn
те,ралы справа, роме одно,о, обратятся вн ль, и,следовательно,
b
b
a
a
2
p
x
f
x
ϕ
x
dx
=
c
p
x
ϕ
(
)
(
)
(
)
(
)
( x ) dx ( n = 0,1,K) ,
n
n
n
∫
∫
от
да
b
∫ p ( x ) f ( x )ϕ ( x ) dx
n
cn =
a
ϕn
2
(n =
0,1,K) .
(3.2)
Ряд (3.1) с оэффициентами, определяемыми по форм лам (3.2),
125
называется рядом Ф=рье ф н ции f ( x ) , а сами оэффициенты – ее
;оэффициентами Ф=рье по системе
{ϕ ( x )} .
n
Всл чаеортонормированнойсистемыформ лы(3.2)вы,лядятособенно просто:
b
cn = ∫ p ( x ) f ( x ) ϕ n ( x ) dx ( n = 0,1,K) .
(3.2*)
a
Самособойраз меется,мыне тверждаемсходимостиряда(3.1),
и до тех пор, по а не становлено, что ряд (3.1) сходится
f ( x ) , мы
пишем:
∞
f ( x ) ~ ∑ cnϕ n ( x ) ,
n =0
отмечаяформальн ю связь ряда Ф рье с ф н цией
f ( x) .
Из предыд щих расс ждений ле, о выте ает
Теорема 3.1. Если ф н ции системы
{ϕ ( x )} непрерывны и для
n
f ( x ) имеетместоразложение(3.1),причемрядсправасходитсяравномерно,тоэтотрядестьрядФ рьедля f ( x ) .
§4.Линейнаянезависимость.
ПроцессГрама-Шмидтапостроенияорто>ональныхсистем
Определение. Система ф н ций ω 0 ( x ) , ω1 ( x ) ,K , ω n ( x ) , заданных на отрез е
[a, b] , называется линейно зависимой, если с
ще-
ств ютпостоянные α 0 ,α1 ,K ,α n ,из оторыххотьоднаотличнаотн ля,
довлетворяющие словию:
α 0ω 0 ( x ) + α1ω1 ( x ) + K + α nω n ( x ) ≡ 0
(4.1)
(напомним,чтоф н циятождественнан лю, еслионаравнан лювсюСовременныйГ манитарныйУниверситет
126
д на
[a, b] ,
роме,бытьможет, онечно,очислаточе ).Еслита ихпо-
стоянных не с ществ ет, а из (4.1) след ет, что
α 0 = α1 = K = α n = 0 ,
то система ω 0 ( x ) , ω1 ( x ) ,K , ω n ( x ) называется линейно независимой.
Еслисредиф н цийсистемыимеетсяф н ция,тождественноравная н лю, то система линейно зависима. Если не оторая часть системы сама образ ет линейно зависим ю систем , то и вся система линейно зависима.
Утверждение 4.1. Вся ая онечная орто,ональная система веса
p ( x ) линейно независима.
Доазательство.П сть
{ϕ ( x )} –та аясистемаи
k
α 0ϕ 0 ( x ) + α1ϕ1 ( x ) + K + α nϕ n ( x ) ≡ 0 .
Умножая это равенство на p ( x )ϕ k ( x ) и инте,рир я, найдем:
b
b
a
a
α 0 ∫ p ( x ) ϕ 0 ( x ) ϕ k ( x ) dx + α1 ∫ p ( x ) ϕ1 ( x ) ϕ k ( x ) dx + K
b
+α n ∫ p ( x ) ϕ n ( x ) ϕ k ( x ) dx ≡ 0,
a
от да α k = 0
( k = 0,1, K , n ) .B
Опр едел ени е.
Бес онечная
система
ф н ций
ω 0 ( x ) , ω1 ( x ) ,K,ω n ( x ) ,K называется линейно независимой, если
линейно независима вся ая онечная часть этой системы.
Определение. П сть ф н ции ω 0 ( x ) , ω1 ( x ) ,K , ω n ( x ) принадлежат ласс
R% p2 ( x ) ([ a , b]) .Определитель
127
∆n =
ω0 , ω0
ω1 , ω 0
ω0 , ω1
ω1 , ω1
K
K
ω0 , ωn
ω1 , ωn
M
M
K
M
ωn , ω0
ω n , ω1
K
ωn , ωn
называется определителем Грама системы ф н ций
{ω ( x )} .
k
Лемма 4.2.Длято,очтобысистемаф н цийбылалинейнозависимой, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Грама равнялся н лю.
Доазательство. П сть система ф н ций
{ω ( x )} ( k = 0,1,K, n )
k
линейно зависима. То,да найд тся постоянные α 0 ,α1 ,K,α n , не все
равные н лю, довлетворяющие словию (4.1). Умножая (4.1) последовательно на p ( x ) ω 0 ( x ) , p ( x ) ω1 ( x ) ,K , p ( x ) ω n ( x ) и аждый раз инте,рир я, пол чим n + 1 равенство:
α 0 ω 0 ,ω 0 + α1 ω 0 ,ω1 + K + α n ω 0 ,ω n = 0,
α 0 ω1 , ω 0 + α1 ω1 , ω1 + K + α n ω1 ,ω n = 0,
KKKKKKKKKKKKKKKKKKK
α 0 ω n , ω 0 + α1 ω n ,ω1 + K + α n ω n , ω n = 0.
(4.2)
Иначе ,оворя, числа α 0 ,α1 ,K,α n образ ют решение однородной
системы линейных равнений с определителем
∆ n , а это возможно
лишьпри словии
∆n = 0 .
Обратно, если ∆ n = 0 , то с ществ ют числа α 0 ,α1 ,K ,α n , не все
равныен люи довлетворяющиесоотношениям(4.2).Перепишем(4.2)
в виде:
СовременныйГ манитарныйУниверситет
128
b
∫ p ( x ) ω ( x ) α ω ( x ) + α ω ( x ) + K + α ω ( x ) dx = 0,
0
0
0
1
1
n
n
a
b
∫ p ( x ) ω ( x ) α ω ( x ) + α ω ( x ) + K + α ω ( x ) dx = 0,
1
0
0
1
1
n
n
a
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
b
∫ p ( x ) ω ( x ) α ω ( x ) + α ω ( x ) + K + α ω ( x ) dx = 0.
n
0
0
1
1
n
n
a
Умножив первое из этих равенств на α 0 , второе – на α1 и т.д. и
сложив пол ченные рез льтаты, пол чим:
b
∫ p ( x ) α 0ω0 ( x ) + α1ω1 ( x ) + K + αnωn ( x ) dx = 0 ,
2
a
от даислед ет (4.1),т.е.линейнаязависимость системы
Сл ед ст ви е. Если
{ω ( x )} .B
k
∆ n ≠ 0 , то ни один из определителей
∆ 0 = ω 0 , ω 0 , ∆1 ,K , ∆ n −1 та женеравенн лю.
Доазательство. Из то,о, что
∆ n ≠ 0 , след ет линейная независи-
мость системы ω 0 ( x ) , ω1 ( x ) ,K , ω n ( x ) , но то,да линейно независима
и вся ая подсистема ω 0 ( x ) , ω1 ( x ) ,K , ω m ( x ) ( m < n ) , от да выте ает,что ∆ m
≠ 0 .B
Лемма 4.3. П сть ф н ции ω 0 ( x ) , ω1 ( x ) ,K, ω n ( x ) принадлежат
ласс R% p2 ( x )
([a, b]) .Положим
129
ψn (x) =
ω0 ,ω0
ω1 , ω 0
ω 0 , ω1
ω1 , ω1
M
M
ω n ,ω0
ω n , ω1
K ω 0 , ω n −1
K ω1 , ωn −1
K
ω0 ( x )
ω1 ( x )
M
K ω n , ω n −1
M
.
ωn ( x )
То,да
0, k < n,
∆ n , k = n.
ψ n ,ωk =
Доазательство. Развернем определитель ψ n ( x ) по элементам
последне,о столбца; пол чим
ψ
ψn ( x ) = α 0ω 0 ( x ) + α1ω1 ( x ) + K + αn −1ωn −1 ( x ) + ∆ n −1ω n ( x ) .
(4.3)
От да, множаяна p ( x ) ω k ( x ) иинте,рир я,пол чим:
ψ n , ω k = α 0 ω0 , ω k + α1 ω1 , ωk + K + α n −1 ωn −1 , ω k + ∆ n −1 ω n , ω k
Поэтом ясно,чтоесли k < n ,тоопределитель
ψ n ,ω k
.
содержитдва
одина овых столбца и, следовательно, равен н лю. Если же k = n , то
по определению
ψ n ,ω k = ∆ n .B
Из (4.3) след ет, что если ф н ции
{ω ( x )} линейно независимы,
k
то ψ n ( x ) не может быть н лем (та а ∆ n −1 ≠ 0 ). Умножая (4.3) на
p ( x )ψ n ( x ) , инте,рир я и польз ясь леммой 4.3, найдем
b
∫ p ( x )ψ ( x ) dx = ∆
2
n
n −1
∆n .
(4.4)
a
Отсюда выте ает, что определитель
∆ n имеет тот же зна , что и
∆ n−1 .Потемжесоображениямодина овызна и ∆ n −1 и ∆ n − 2 ,азнаСовременныйГ манитарныйУниверситет
130
чит,и ∆ n и ∆ n − 2 .Расс ждаята имобразом,мы становим,чтозна ∆ n
ω 0 , ω 0 > 0 . Следовательно, до
совпадает со зна ом ∆ 0 =
азана
Лемма 4.4. Определитель Грама линейно независимой системы
стро,о положителен.
Теперь мы в состоянии до азать теорем= об орто>онализации.
Теорема 4.5.П стьнаотрез е
нечная
линейно
[a, b] задана
независимая
онечнаяилибес о-
система
ф н ций
ω 0 ( x ) , ω1 ( x ) ,K,ω n ( x ) ,K , входящих в R% p2 ( x ) ([a, b]) . То,да можно построить та ю ортонормированн ю систем ϕ 0 ( x ) ,ϕ1 ( x ) ,K, ϕ n ( x ) ,K ,
что
1) вся ая
ϕn ( x )
есть линейная
омбинация ф н ций
ω 0 ( x ) , ω1 ( x ) ,K, ω n ( x ) :
ϕ n ( x ) = α n 0ω 0 ( x ) + α n1ω1 ( x ) + K + α nnω n ( x ) , α nn ≠ 0,
2) вся ая
ωn ( x )
есть линейная
омбинация ф н ций
ϕ 0 ( x ) ,ϕ1 ( x ) ,K,ϕ n ( x ) :
ω n ( x ) = β n 0ϕ 0 ( x ) + β n1ϕ1 ( x ) + K + β nnϕ n ( x ) , β nn ≠ 0 .
Доазательство. Положим
ϕ0 ( x ) =
ω0 ( x )
∆0
, ϕn ( x ) =
ψn (x)
∆ n −1 ∆ n
, ( n ≥ 1)
,де ψ n ( x ) – определитель, рассмотренный в лемме 4.3.
Та
а
ψn ( x)
есть линейная
ω 0 ( x ) , ω1 ( x ) ,K, ω n ( x ) , то и ϕ n ( x ) есть та
омбинация ф н ций
аяже линейная омбина-
ция.
Далее, по лемме 4.3 ψ n ( x ) орто,ональна о всем ф н циям
131
ω 0 ( x ) , ω1 ( x ) ,K, ω n −1 ( x ) , а значит, и
их линейным омбинациям. В
частности, ф н ция ψ n ( x ) , а вместе с ней и ϕ n ( x ) , орто,ональна о
всем ф н циям ϕ 0 ( x ) , ϕ1 ( x ) ,K ,ϕ n −1 ( x ) . Та им образом, система
ϕ 0 ( x ) ,ϕ1 ( x ) ,K,ϕ n ( x ) ,K орто,ональна(повес p ( x ) ).Из(4.4)вытеает,чтопри n ≥ 1
b
∫ p ( x )ϕ ( x ) dx = 1 ,
2
n
a
апри n = 0 эторавенствотривиально.Следовательно,
{ϕ ( x )} –ортоn
нормированная система.
По ажем,
ωn ( x )
что
линейно
выражается
ϕ 0 ( x ) ,ϕ1 ( x ) ,K,ϕ n ( x ) . Для n = 0 это очевидно. Расс
через
ждая по инд -
ции,предположим,чтоэто жедо азанодлявсех n < m идо ажемэто
тверждениедля n = m .Всил (4.3)имеем:
ωm ( x ) =
=
1
∆ m −1
1
∆ m −1
m −1
ψ m ( x) − ∑
i =0
m −1
∆ m −1∆ m ϕ m ( x ) − ∑
Та им образом,
i =0
αi
∆ m −1
αi
∆ m −1
ωi ( x ) =
( β i 0ϕ 0 + K + βiiϕ i ) .
ω m ( x ) есть линейная
омбинация ф н ций
ϕ 0 ( x ) ,ϕ1 ( x ) ,K,ϕ m ( x ) .B
Процесс построения ортонормированной системы
{ϕ ( x )} назыn
вается процессом орто>онализации Грама-Шмидта исходной системы
{ω ( x )} .
k
Рез льтаты это,о пара,рафа сы,рают важн ю роль в дальнейшем
изложении.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
132
§ 5. Э;стремальное свойство частных с=мм ряда
Ф=рье
П сть
f ( x ) – произвольная, заданная на отрез е [ a, b] ф н ция,
принадлежащаяпространств R% p2 ( x )
система веса p ( x ) на отрез е
поряд а по системе
([a, b]) ,а {ϕ ( x )} –орто,ональная
n
[a, b] . Рассмотрим мно,очлен n -,о
{ϕ ( x )} :
n
n
U n ( x ) = ∑ ak ϕ k ( x ) ,
(5.1)
k =0
,де
a0 , a1 ,K, an – произвольные постоянные. Поставим себе задач :
приданном n выбрать оэффициенты a0 , a1 ,K, an та ,чтобысреднее
;вадратичное от;лонение
b
δ n = f − Un
2
= ∫ p ( x ) f ( x ) − U n ( x ) dx
2
(5.2)
a
было наименьшим.
Из(5.2)след ет:
b
δn = ∫ p ( x) f
2
b
b
a
a
( x ) dx − 2 ∫ p ( x ) f ( x )U n ( x ) dx + ∫ p ( x )U n2 ( x ) dx .
a
Но
b
b
n
n
∫ p ( x ) f ( x )U n ( x ) dx = ∑ ak ∫ p ( x ) f ( x )ϕ k ( x ) dx = ∑ ak ck ϕ k
k =0
a
k =0
a
,де ck – оэффициентыФ рьеф н ции f ( x ) ,а
b
∫ p ( x )U
n
2
n
( x ) dx = ∑ ak2 ϕ k
k =0
a
133
2
,
2
,
всил орто,ональностисистемы
b
δn = ∫ p ( x) f
{ϕ ( x )} .Поэтом
n
n
( x ) dx − 2∑ ak ck ϕ k
2
2
k =0
a
n
+ ∑ ak2 ϕ k ,
2
k =0
от да, выделяя полные вадраты, пол чим:
b
δn = ∫ p ( x) f
n
2
( x ) dx − ∑ c ϕ k
2
k
2
k =0
a
n
+ ∑ ( a k − ck ) ϕ k
2
k =0
2
.
Отсюда видно, что величина δ n принимает наименьшее значение,
о,да
( k = 0,
ak = ck
1,K, n ) .
Та им образом, до азана
Теорема 5.1. Из всех линейных омбинаций вида (5.1) наименьшеевозможноезначениевеличине(5.2)доставляетчастнаяс ммаряда
Ф рьеф н ции
f ( x) :
n
Sn ( x ) = ∑ ck ϕ k ( x ) ,
k =0
причем это наименьшее значение равно
b
f − Sn
= ∫ p ( x) f
2
n
2
( x ) dx − ∑ ck2 ϕ k
k =0
a
Та а f − S n
2
2
.
(5.3)
≥ 0 ,тоиз(5.3)след етнеравенство
n
∑c
2
k
b
ϕk
2
k =0
≤ ∫ p ( x ) f 2 ( x ) dx ,
a
∞
из оторо,овидно,чторяд
∑c
2
k
ϕk
2
сходитсядлялюбойф н циииз
k =0
R% p2 ( x ) ([ a, b]) .Поэтом ,переходя предел при n → ∞ ,пол чимнераСовременныйГ манитарныйУниверситет
134
венство Бесселя:
∞
b
∑c
2
k
ϕk
2
k =0
Еслисистема
≤ ∫ p ( x ) f 2 ( x ) dx .
a
{ϕ ( x )} –ортонормированная,тонеравенствоБесn
селя б дет иметь вид:
∞
b
∑ c ≤ ∫ p ( x ) f ( x ) dx ,
2
k
2
k =0
a
т.е. ряд из вадратов оэффициентов Ф рье сходится. Отсюда сраз
выте ает,что оэффициентыФ рьестремятся н люпри n → ∞ :
lim cn = 0 .
n →∞
§6.Зам;н=тостьиполнотаорто>ональныхсистем.
СходимостьвсреднемрядаФ=рье
Определение. Если для любой ф н ции f ( x ) из
R% p2 ( x ) ([ a , b])
имеет место равенство
∞
∑c
2
k
b
2
ϕk
k =0
то орто,ональная система
= ∫ p ( x ) f 2 ( x ) dx ,
(6.1)
a
{ϕ ( x )} называется зам;н=той. Равенство
n
(6.1) называется равенством Парсеваля или =равнением зам;н=тости.
В предыд щей ,лаве (§ 15) мы по азали, что три,онометричес ая
система является зам н той в пространстве ф н ций, инте,рир емых
с их вадратами. В общем сл чае не вся ая орто,ональная система
является зам н той. Мы ажем ритерии зам н тости системы.
Теорема 6.1. Для то,о чтобы система
{ϕ ( x )} была зам н та,
n
необходимо и достаточно, чтобы для любой ф н ции
135
f ( x ) из
R% p2 ( x ) ([ a, b]) выполнялось соотношение:
2
b
n
lim ∫ p ( x ) f ( x ) − ∑ ckϕ k dx = 0 .
n →∞
k =0
a
(6.2)
Доазательство.Условие(6.1)э вивалентно словию
n
b
2
2
lim ∫ p ( x ) f ( x ) dx − ∑ ck2 ϕ k = 0 ,
n →∞
k =0
a
что,всвоюочередь,бла,одаряравенств (5.3),э вивалентно(6.2).B
Есливыполняетсяравенство(6.2),то ,оворят,чторядФ рьесходится f ( x ) в среднем. Поэтом теорем 6.1можно переформ лироватьта :
Теорема 6.1'. Для то,о чтобы система
{ϕ ( x )} была зам н та,
n
необходимо и достаточно, чтобы ряд Ф рье для любой ф н ции f ( x )
из
R% p2 ( x ) ([ a, b]) сходился ней в среднем.
Заметим,чтообычнаясходимостьрядаФ рье ф н ции,для оторой он составлен, не все,да имеет место даже для зам н тых систем.
Вэтоммы бедилисьвпредыд щей,лаве.Одна омытоль очтодо азали, что для зам н тых систем сходимость в среднем все,да имеет
место (в пространстве
R% p2 ( x ) ([ a, b]) ). Поэтом мы можем рассматри-
ватьэт сходимость а обобщениеобычнойсходимости.Длято,очтобы та ое обобщение было орре тным, мы должны по азать, что ряд
Ф рье сходится в среднем лишь одной ф н ции.
Предположим противное, что наряд с (6.2) имеет место равенство
2
b
n
lim ∫ p ( x ) g ( x ) − ∑ ck ϕ k dx = 0 .
n →∞
k =0
a
Воспользовавшись элементарным неравенством
(a + b)
2
≤ 2 ( a 2 + b2 ) ,
СовременныйГ манитарныйУниверситет
136
(6.3)
пол чим:
b
0 ≤ ∫ p ( x ) g ( x ) − f ( x ) dx =
2
a
b
=∫
a
2
n
n
p ( x ) g ( x ) − ∑ ck ϕ k + ∑ ckϕ k − f ( x ) dx ≤
k =0
k =0
2
b
2
b
n
n
≤ 2 ∫ p ( x ) g ( x ) − ∑ ck ϕ k dx + 2 ∫ p ( x ) f ( x ) − ∑ ck ϕ k dx.
k =0
k =0
a
a
Отсюдавсил (6.2)и(6.3)
b
∫ p ( x ) g ( x ) − f ( x ) dx = 0.
2
a
Поэтом g ( x ) ≡ f ( x ) .
Та им образом, до азана
Теорема6.2.Еслисистема
{ϕ ( x )} зам н та,товся аяф н ция
n
2
f ( x ) из R% p ( x ) ([ a , b]) однозначно определена (с точностью до значе-
ний в онечном числе точе ) своим рядом Ф рье независимо от то,о,
сходитсяэтотряд илинет.
Определение. Система
{ϕ ( x )} называется полной, если в
n
R% p2 ( x ) ([ a, b]) не с ществ ет ф н ции, не равной н лю тождественно и
орто,ональной о всем ф н циям системы.
Теорема 6.3. Зам н тая система полна.
Доазательство. Если орто,ональная система
{ϕ ( x )} веса p ( x )
n
зам н та, а ф н ция f ( x ) орто,ональна о всем ϕ n ( x ) , то все оэффициентыФ рьеф н ции f ( x ) равнын лю.Значит,равенствоПарсеваля примет вид
137
b
2
p
x
f
(
)
( x ) dx = 0 ,
∫
a
от даслед ет,что f ( x ) ≡ 0 .B
Теорема 6.4. Если система
аждой ф н ции из
сом
{ϕ ( x )} зам н та, то ряд Ф рье для
n
R% p2 ( x ) ([ a, b]) можно инте,рировать почленно с ве-
p ( x ) , независимо от то,о, сходится он или нет.
Доазательство. Намнадо до азать,что если
∞
f ( x ) ~ ∑ cnϕ n ( x ) ,
n =0
то
x2
∞
x2
x1
n =0
∫ p ( x ) f ( x ) dx = ∑ c ∫ p ( x )ϕ ( x ) dx ,
n
n
x1
,де x1 и x2 –любыеточ иизотрез а
[ a , b] .
Для определенности предположим, что x1 < x2 . Пол чим:
x2
n
x1
k =0
x2
∫ p ( x ) f ( x ) dx − ∑ c ∫ p ( x ) ϕ ( x ) dx ≤
k
x2
k
x1
b
n
n
∫ p ( x ) f ( x ) − ∑ c ϕ ( x ) dx ≤ ∫ p ( x ) f ( x ) − ∑ c ϕ ( x ) dx ≤
k
k =0
x1
b
≤
∫
a
k
k
k
(6.4)
k =0
a
2
b
n
p ( x ) f ( x ) − ∑ ck ϕ k ( x ) dx ⋅∫ p ( x ) dx
k =0
a
(мывоспользовалисьнеравенствомБ ня овс о,о).Потеореме6.1последнийчленв(6.4)стремится н люпри n → ∞ .Поэтом
СовременныйГ манитарныйУниверситет
138
x2
n
x2
lim p ( x ) f ( x ) dx − ∑ ck ∫ p ( x ) ϕ k ( x ) dx = 0 .B
n →∞ ∫
k =0
x1
x1
У ажемещеодинпризна зам н тостисистемы.
Теорема 6.5. Если для вся ой непрерывной на
[ a , b] ф
н ции
F ( x ) длялюбо,о ε > 0 с ществ етмно,очлен
n
U n ( x ) = ∑ ak ϕ k ( x ) ,
k =0
для оторо,о
b
∫ p ( x ) F ( x ) − U n ( x ) dx ≤ ε ,
2
(6.5)
a
то система
{ϕ ( x )} зам н та.
n
§7.Орто>ональныеполиномы
Система степеней
любом отрез е
{x } ( k = 0,1,2,K) линейно независима на
k
[a, b] . Поэтом
по теореме 4.5 об орто,онализации ее
можно орто,онализировать при вся ой весовой ф н ции.
Обозначим
b
∫ p ( x ) x dx = µ ( n = 0,1, 2,K)
n
n
a
(эти числа называются моментами весовой ф н ции p ( x ) ). То,да
b
l
x ,x
m
= ∫ p ( x ) x l + m dx = µl + m .
a
Поэтом определитель Грама
139
1,1
1, x
K
1, x n
x,1
x, x
K
x, x n
M
M
K
M
x n ,1
xn , x
K
xn , xn
∆n =
примет вид
∆n =
µ0
µ1
µ1
µ2
K
M
M
K
µn
µn
K µ n +1
M
,
(7.1)
µ n +1 K µ 2 n
ф н цияψ n ( x ) излеммы4.3б детиметьвид
ψ
ψn ( x ) =
µ0
µ1
µ1
µ2
1
K
µ n −1
µn
M
M
K
M
M
µn
µ n +1
K
µ 2 n −1
xn
K
x
,
аф н ции ϕ n ( x ) ,образ ющиеортонормированн юсистем ,б д травны:
ϕ0 ( x ) =
ϕn ( x ) =
1
∆0
,
µ0
µ1
µ1
µ2
K
µ n −1
µn
∆ n −1∆ n M
M
K
M
µn +1
K
µ 2 n −1
1
µn
K
СовременныйГ манитарныйУниверситет
140
1
(7.2)
x
( n = 1,2,K)
M
xn
Заметим,что ϕ n ( x ) естьполиномстепени n ,та а оэффициент
при
x n в ϕ n ( x ) равен
∆ n −1
≠0.
∆n
Та им образом, до азанная нами теорема об орто,онализации б деттеперьзв чатьта :
Теорема 7.1.Длявся ойвесовойф н ции p ( x ) на a , b с ще-
[
]
ств ет система полиномов
ϕ 0 ( x ) ,ϕ1 ( x ) ,K,ϕ n ( x ) ,K ,
(7.3)
,де ϕ n ( x ) – полином степени n , являющаяся ортонормированной системой веса p ( x ) .
Систем (7.3)можноопределитьформ лой(7.2).Естественновозни ает вопрос: не с ществ ет ли ортонормированных систем веса
p ( x ) ,отличныхоттой, отораястроитсяпоформ ле(7.2)?Та а множениеодной или нес оль их ф н ций системы(7.3) на –1 сохраняет
ортонормированность системы, то ясно, что полной единственности
нет. Одна о при не оторых словиях можно до азать единственность
системы (7.3).
Лемма 7.2. Если
Q0 ( x ) , Q1 ( x ) ,K, Qn ( x ) ,K
–системаполиномов,в оторойполином Qk
пень, то вся ий полином
( x ) имеетточно k -юсте-
Pn ( x ) степени n ≥ 0 единственным образом
представляется в виде:
Pn ( x ) = α 0Q0 ( x ) + α1Q1 ( x ) + K + α n Qn ( x ) .
141
(7.4)
Доазательство.П сть
Qk ( x ) = q0( ) + q1( ) x + K + qk( ) x k
k
k
k
( q( ) ≠ 0 ) ,
k
k
Pn ( x ) = p0 + p1 x + K + pn x n .
Равенство(7.4)имеетместото,даитоль ото,да, о,да
α n qn(n ) = pn ,
α n −1qn( n−−11) + α n qn( n−)1 = pn −1 ,
KKKKKKKKKKKKKKK
α 0 q0( 0) + α1q0(1) + K + α n q0( n ) = p0 .
n
n −1
0
Определитель этой системы равен qn( ) qn( −1 ) K q0( ) ≠ 0 . Следова-
тельно, числа α 0,α1 ,K,α n в выражении (7.4) определяются однозначно.B
Теорема 7.3. Если система полиномов
P0 ( x ) , P1 ( x ) ,K, Pn ( x ) ,K
ортонормированаповес
p ( x ) ,полином Pn ( x ) имеетточно n -юсте-
пеньистарший оэффициент Pn ( x ) положителен,то
Pn ( x ) = ϕ n ( x ) ,
,де ϕ n ( x ) определяется форм лой (7.2).
Доазательство. По лемме 7.2
Pn ( x ) = α 0ϕ 0 ( x ) + α1ϕ1 ( x ) + K + α nϕ n ( x ) .
(7.5)
Но по той же лемме полиномы ϕ 0 ( x ) ,ϕ1 ( x ) ,K ,ϕ n −1 ( x ) линейно
выражаютсячерез P0 ( x ) , P1 ( x ) ,K , Pn −1 ( x ) и,следовательно,орто,ональны Pn ( x ) .Умножая(7.5)последовательнона
СовременныйГ манитарныйУниверситет
142
p ( x ) ϕ 0 ( x ) , p ( x ) ϕ1 ( x ) ,K, p x
ϕ1 x , ..., p ( x ) ϕ n −1 ( x ) и
аждыйразинте,рир я,найдем:
α 0 = α1 = K = α n −1 = 0 .
Значит, Pn ( x ) = α nϕ n ( x ) .Отсюда
b
b
∫ p ( x ) P ( x ) dx = α ∫ p ( x )ϕ ( x ) dx .
2
n
2
n
a
2
n
a
Нообаинте,раларавны1.Следовательно, α n
= ±1 ,ата а зна и
старших оэффициентов Pn ( x ) и ϕ n ( x ) совпадают,то α n
= 1 .B
Установим необходимое и достаточное словие ортоональности
полинома
Pn ( x ) , оторое нам понадобится в дальнейшем.
Теорема 7.4.Длято,очтобыполином Pn ( x ) степени n был орто,ональным с весом
p ( x ) , необходимо идостаточно, чтобы для вся-
о,о полинома Qk ( x ) степени k < n выполнялось словие
b
∫ p ( x ) P ( x ) Q ( x ) dx = 0 ( k < n ) .
n
k
(7.6)
a
Доазательство.П стьполином Pn ( x ) являетсяорто,ональным,т.е.
входит в систем орто,ональных полиномов P0 ( x ) , P1 ( x ) ,K , Pn ( x ) ,K
веса
p ( x ) . По лемме 7.2 имеем
Qk ( x ) = α 0 P0 ( x ) + α1 P1 ( x ) + K + α k Pk ( x ) .
Подставляяэторазложениевинте,рал(7.6),всил орто,ональности
полиномов системы P0 ( x ) , P1 ( x ) ,K , Pn ( x ) ,K пол чим равенство (7.6).
Обратно, п сть не оторый полином
Pn ( x ) довлетворяет словию
(7.6)сзаданнымвесом p ( x ) .Подставимв(7.6)вместо Qk ( x ) любой
143
полином из ортонормированной системы ϕ 0 ( x ) ,ϕ1 ( x ) ,K ,ϕ n −1 ( x ) .
Pn ( x ) орто,онален с весом p ( x ) любом полином из этой системы.
Положим P0 ( x ) = ϕ 0 ( x ) , P1 ( x ) = ϕ1 ( x ) ,K, Pn −1 ( x ) = ϕ n −1 ( x ) .Полиномы
P0 ( x ) , P1 ( x ) ,K, Pn ( x ) орто,ональны.Построимполином Pn +1 ( x ) п тем
орто,онализации системы P0 ( x ) , P1 ( x ) ,K , Pn ( x ) , x
n +1
. Продолжая да-
лее та им образом, построим орто,ональн ю систем полиномов, содержащ ю Pn ( x ) .B
Нижемыб демиметьделосорто,ональными,нонесортонормированными системами полиномов. О азывается, что та ая система
однозначно определяется заданием старших оэффициентов всех полиномов.
Теорема 7.5. П сть
P0 ( x ) , P1 ( x ) ,K, Pn ( x ) ,K
–орто,ональнаясистемавеса
p ( x ) ,,де Pn ( x ) –полиномстепени n .
Еслистарший оэффициент Pn ( x ) есть K n
( n = 0,1, 2,K) ,то
∆n
ϕ n ( x ) ( n ≥ 1) .
∆ n −1
P0 ( x ) = K 0 , Pn ( x ) = K n
(7.7)
Доазательство. Значение P0 ( x ) = K 0 очевидно. Выражение для
Pn ( x ) при n ≥ 1 станавливается, а ивтеореме7.3.B
Вчастности,при K n = 1
( n = 0,
ϕ%0 ( x ) = 1, ϕ%n ( x ) =
1, 2,K) б демиметь
∆n
ϕ n ( x ) ( n ≥ 1) .
∆ n −1
Изформ л(7.7)выте ает,что
СовременныйГ манитарныйУниверситет
144
(7.8)
b
P0
2
= ∫ p ( x ) P02 ( x ) dx = K 02 ∆ 0 , Pn
2
=
a
b
= ∫ p ( x ) Pn2 ( x ) dx = K n2
a
Ита , вся ая весовая ф н ция
∆n
.
∆ n −1
(7.9)
p ( x ) однозначно определяет сис-
тем орто,ональныхполиномов.Наиболееважноетеоретичес оеиприладное значение имеют след ющие системы:
{
}
1. Полиномы Чебышева перво,о рода Tn ( x ) , орто,ональные на
отрез е
[ −1, 1] с весом
p(x) =
1
1− x
2
, x ∈ ( −1, 1) .
2. Полиномы Чебышева второ,о рода
отрез е
{U ( x )} , орто,ональные на
n
[ −1, 1] с весом
p ( x ) = 1 − x2 .
3.ПолиномыЛежандра
{P ( x )},орто,ональныена [ −1,1] свесом
n
p ( x ) ≡ 1.
§8.Корниорто>ональныхполиномов.
Ре;=ррентнаяформ=ла
След я обозначениям предыд ще,о пара,рафа, рассмотрим неоторые ал,ебраичес ие свойства орто,ональных полиномов.
Теорема 8.1. Все орни полинома ϕ n ( x ) вещественные, простыеилежатвн триинтервала ( a , b ) .
145
Доазательство.Доп стимсначала,чтовинтервале ( a , b ) нет орней нечетной ратности полинома ϕ n ( x ) . То,да полином ϕ n ( x ) на
отрез е
[a, b] неменяет зна аи
b
∫ p ( x )ϕ ( x ) dx ≠ 0 ,
n
a
что противоречит орто,ональности ϕ n ( x ) и ϕ 0 ( x ) = const . Следовательно, вн три ( a , b ) обязательно имеются орни нечетной ратности
ξ1 ,ξ 2 ,K , ξ r .П
стьихчисло r < n .Положим
Q ( x ) = ( x − ξ1 )( x − ξ 2 )K ( x − ξ r ) .
Полином Q ( x ) имеет степень r и потом орто,онален ϕ n ( x )
(та а Q ( x ) линейновыражаетсячерез ϕ 0 ( x ) , ϕ1 ( x ) ,K ,ϕ r ( x ) ).Значит,должнобыть
b
∫ p ( x ) Q ( x )ϕ ( x ) dx = 0 ,
n
a
что, одна о, невозможно, та а произведение Q ( x ) ϕ n ( x ) имеет на
( a, b )
[
]
орнитоль очетной ратностиинеменяетзна ана a , b .Сле-
довательно,
r = n .B
Издо азаннойтеоремыслед ет,чтодля орней
{x( ) } орто,ональn
k
но,о полинома ϕ n ( x ) имеют место неравенства
a < x1( ) < x2( ) < K < xk( ) < K < xn( ) < b .
n
n
n
n
Теорема 8.2. Три последовательных полинома ϕ% n + 2 ( x ) , ϕ% n +1 ( x )
СовременныйГ манитарныйУниверситет
146
и ϕ% n ( x ) ,определяемыхпоформ ле(7.8),связаныре;=ррентнымсоотношением:
ϕ% n + 2 ( x ) = ( x − α n + 2 )ϕ% n +1 ( x ) − λn +1ϕ% n ( x ) ( n = 0,1, 2,K) ,
(8.1)
,де α n + 2 и λn +1 –не оторыепостоянные.
Доазательство. Рассмотрим произведение
xϕ% n +1 ( x ) . Б д чи по-
линомом степени n + 2 , оно может быть представлено в виде
xϕ% n +1 ( x ) = c0ϕ% 0 ( x ) + c1ϕ%1 ( x ) + K + cn + 2ϕ% n + 2 ( x ) .
(8.2)
Сравниваястаршие оэффициенты,найдем,что cn + 2 = 1 .Умножим,
далее, равенство (8.1) на
p ( x )ϕ% k ( x ) , k < n , и проинте,рир ем пол -
ченное равенство:
b
b
∫ p ( x ) xϕ% ( x ) ϕ% ( x ) dx = c ∫ p ( x ) ϕ% ( x ) ϕ% ( x ) dx + K +
n +1
k
0
a
0
k
a
b
+ ck ∫ p ( x ) ϕ%
b
2
k
( x ) dx + K + ∫ p ( x ) ϕ% n+2 ( x ) ϕ% k ( x ) dx.
a
a
Та а степеньполинома xϕ% k ( x ) меньше n + 1 ,тослевапол читb
ся0.Справажеостанетсятоль осла,аемое ck
∫ p ( x )ϕ% ( x ) dx ,всил
2
k
a
орто,ональности системы
{ϕ% ( x )} . Поэтом c
n
k
= 0 . Та им образом,
c0 = c1 = K = cn −1 = 0 ,
и равенство(8.2) примет вид:
xϕ% n +1 ( x ) = cnϕ% n ( x ) + cn +1ϕ% n +1 ( x ) + ϕ% n + 2 ( x ) .
Пола,аяздесь cn
= λn +1 и cn +1 = α n + 2 пол чим(8.1).B
147
Заменяя полиномы ϕ% n ( x ) их выражениями (7.8), мы пол чим реррентн ю форм л для ортонормированных полиномов
{ϕ ( x )} :
n
∆ n+2
∆ n +1
∆n
ϕ n+2 ( x ) = ( x − α n+2 )
ϕ n +1 ( x ) − λn +1
ϕn ( x )
∆ n +1
∆n
∆ n −1
(8.3)
( n = 1, 2,K) .
Чтобы эта форм ла была при,одна и для n = 0 , н жно положить
∆ −1 = 1 .
Определим числа α n + 2 и
λn +1 , входящие в (8.1). Если
множить
(8.1)на p ( x )ϕ% n +1 ( x ) ипроинте,рировать,тоо ажется,что
b
2
%
p
x
x
−
α
ϕ
(
)(
)
n
+
2
n
+1 ( x ) dx = 0 .
∫
a
Отсюда
b
∫ p ( x ) xϕ% ( x ) dx
2
n +1
αn+2 =
a
b
∫ p ( x )ϕ% ( x ) dx
.
(8.4)
2
n +1
a
Из(8.4)след ет,что a < α n + 2
<b.
Чтобыопределить λn +1 , множим(8.1)на p ( x ) ϕ% n ( x ) ипроинте,рир ем пол ченное равенство. В рез льтате пол чим:
b
λn +1 ∫ p ( x )ϕ%
a
Но произведение
b
2
n
( x ) dx = ∫ p ( x ) xϕ% n ( x )ϕ%n +1 ( x ) dx .
a
xϕ% n ( x ) можно представить в виде
xϕ% n ( x ) = ϕ% n +1 ( x ) + R ( x ) ,
СовременныйГ манитарныйУниверситет
148
,де R ( x ) -полиномстепенименьшей,чем n + 1 ,та что
b
∫ p ( x ) R ( x )ϕ% ( x ) dx = 0 .
n +1
a
Поэтом
b
∫ p ( x )ϕ% ( x ) dx
2
n +1
λn +1 =
a
b
∫ p ( x )ϕ% ( x ) dx
.
(8.5)
2
n
a
Отсюда видно,что привсех n
λn +1 > 0 .
Есливоспользоватьсяформ лами(7.9), то(8.5)приметвид
λn +1 =
∆ n −1∆ n +1
.
∆ n2
(8.6)
Этосоотношениеверноидля n = 0 ,еслиположить ∆ −1 = 1 .
Та а
b
b
∫ p ( x ) xϕ% ( x )ϕ% ( x ) dx = ∫ p ( x )ϕ% ( x ) dx ,
n
2
n +1
n +1
a
a
то,обозначивнаибольшееизчисел a и b через C ,пол чим,что
b
b
∫ p ( x )ϕ% ( x ) dx ≤ C ∫ p ( x ) ϕ% ( x ) ϕ% ( x ) dx .
2
n +1
n
a
n +1
a
В сил неравенства Б ня овс о,о
b
b
b
∫ p ( x ) ϕ% ( x ) ϕ% ( x ) dx ≤ ∫ p ( x )ϕ% ( x ) dx ∫ p ( x )ϕ% ( x ) dx .
n
a
2
n
n +1
a
149
2
n +1
a
Следовательно,
b
∫ p ( x )ϕ%
b
2
n +1
b
( x ) dx ≤ C ∫ p ( x )ϕ% ( x ) dx ∫ p ( x )ϕ% n2+1 ( x ) dx ,
2
n
a
a
a
от да ввид (8.5) пол чим оцен :
λn +1 ≤ C 2 .
Из теоремы 8.2 выте ают два следствия.
Следствие 8.3.Соседниеполиномы ϕ n + 2 ( x ) и ϕ n +1 ( x ) немо, т
иметь обще,о орня.
Следствие 8.4.Если x0 есть ореньполинома ϕ n +1 ( x ) ,точисла
ϕ n + 2 ( x0 ) и ϕ n ( x0 ) имеютразныезна
и.
Приведем без до азательства еще одн теорем о орнях орто,ональных полиномов.
Теорема8.5.П сть a <
x1( ) < x2( ) < K < xn( ) < b –последовательn
n
n
ность орней полинома ϕ n ( x ) , n > 0 . То,да для орней соседних орто,ональных полиномов ϕ n ( x ) и ϕ n +1 ( x ) имеют место неравенства:
a < x1(
n +1)
< x1( ) < x2(
n
n + 1)
< K < xk( ) < xk( +1 ) < xk( +)1 < K < xn(
n
n +1
n
n +1)
< xn( ) < xn( +1 ) < b .
n
n +1
§9.РядыФ=рьепоорто>ональнымполиномам.
Форм=лаКристоффеля-Дарб=.
Сходимостьорто>ональныхразложений
П сть на отрез е
[a, b] задана ортонормированная система поли-
{ϕ ( x )} веса p ( x ) и п
R% ( ) ([ a, b]) .
номов
n
сть
f ( x ) – не оторая ф н ция из
2
p x
СовременныйГ манитарныйУниверситет
150
( )
РядФ=рье f x посистеме
{ϕ ( x )}имеетвид
n
∞
f ( x ) ~ ∑ cnϕ n ( x ) ,
(9.1)
n =0
,де
b
cn = ∫ p ( t ) f ( t )ϕ n ( t ) dt .
a
П сть
n
Sn ( x ) = ∑ ck ϕ k ( x )
k =0
–частнаяс ммаряда(9.1).Подставляявнееинте,ральныевыражения
оэффициентов
ck , пол чим:
b
n
Sn ( x ) = ∫ p ( t ) f ( t ) ∑ϕ k ( t ) ϕ k ( x ) dt .
k =0
a
(9.2)
Выражение
n
K n ( t , x ) = ∑ϕ k ( t ) ϕ k ( x )
(9.3)
k =0
называется ядром Дирихле инте,рала (9.2). Оно и,рает важн ю роль
при исследовании сходимости ряда (9.1).
Замечание.В,лаве1мы жеимелиделосчастнымсл чаемядра
K n ( t, x ) для основной три,онометричес ой системы. Это ядро Дирихле Dn ( t − x ) .
Теорема 9.1. Справедлива форм ла
K n ( t , x ) = λn +1
ϕ n +1 ( t )ϕ n ( x ) − ϕ n +1 ( x )ϕ n ( t )
t−x
.
(9.4)
Эта форм ла называется форм=лой Кристоффеля-Дарб=1 ).
Э. Б. Кристоффель (1829-1900) – немец ий математи . Г. Дарб (1842-1917) –
франц зс ий математи .
1)
151
Доазательство.Перепишемре ррентн юформ л (8.3), меньшив
n наединиц :
∆ n +1
∆n
∆ n −1
ϕ n +1 ( x ) = ( x − α n +1 )
ϕ n ( x ) − λn
ϕ n −1 ( x )
∆n
∆ n −1
∆ n−2
(9.5)
( n = 1, 2,K) ,
,де
λn =
∆ n −2 ∆ n
.
∆ 2n −1
(9.6)
Умножим (9.5) на ϕ n ( t ) и из пол ченно,о равенства вычтем равенство, оторое пол чается из не,о перестанов ой t и
x:
∆ n +1
ϕ n +1 ( x ) ϕ n ( t ) − ϕ n +1 ( t ) ϕ n ( x ) =
∆n
=
∆n
∆
( x − t ) ϕ n ( t ) ϕ n ( x ) + λn n −1 ϕ n ( x ) ϕ n−1 ( t ) − ϕ n ( t ) ϕ n−1 ( x ) .
∆ n −1
∆ n −2
∆ n −1
Умноживэторавенствона
иприняввовнимание(9.6),по∆n
л чим:
λn +1 ϕ n +1 ( x ) ϕ n ( t ) − ϕ n +1 ( t ) ϕ n ( x ) =
= ( x − t ) ϕ n ( t ) ϕ n ( x ) + λn ϕ n ( x ) ϕ n −1 ( t ) − ϕ n ( t ) ϕ n −1 ( x ) .
(9.7)
Заменим здесь n последовательно на n − 1, n − 2,K ,1 и сложим пол ченныеравенствадр ,сдр ,омис(9.7).Послесо ращенийо ажется:
λn +1 ϕ n +1 ( x ) ϕ n ( t ) − ϕ n +1 ( t ) ϕ n ( x ) =
n
= ( x − t ) ∑ ϕ n ( t ) ϕ n ( x ) + λ1 ϕ1 ( x ) ϕ 0 ( t ) − ϕ1 ( t ) ϕ 0 ( x ) .
k =1
СовременныйГ манитарныйУниверситет
152
Но
ϕ0 ( x ) = ϕ0 (t ) =
1
∆0
∆0
∆
( x − α1 ) , λ1 = 12 .
∆1
∆0
, ϕ1 ( x ) =
Значит,
λ1 ϕ1 ( x )ϕ 0 ( t ) − ϕ1 ( t ) ϕ 0 ( x ) =
x−t
= ( x − t )ϕ 0 ( t )ϕ 0 ( x ) ,
∆0
от даислед ет(9.4).B
Если ф н ция f ( x ) непрерывна на отрез е
[a, b] , то по теореме
Вейерштрассаоприближениинепрерывнойф н цииполиномами(теорема 14.2, ,л. 1) для вся о,о ε > 0 с ществ ет та ой полином
что равномерно для всех
Pn ( x ) ,
x ∈ [ a, b] б дет
f ( x ) − Pn ( x ) < ε .
Отсюда след ет, что для данной
f ( x ) , непрерывной на [ a, b] ,
с ществ ет последовательность полиномов
{P ( x )} , сходящаяся
n
f ( x ) равномерно на [ a, b] . В сил э стремально,о свойства частных
с мм ряда Ф рье
b
f − Sn ≤ f − Pn =
∫ p ( x) f ( x) − P ( x)
n
a
2
b
dx < ε
∫ p ( x ) dx = ε
µ0 .
a
Та имобразом,еслиф н ция f ( x ) непрерывнанаотрез е
[ a , b] ,
топоследовательностьчастных с мм еерядаФ рье по орто,ональным
полиномам сходится этой ф н ции в среднем.
Рассмотримтеперь словиясходимостиряда(9.1) ф н ции f ( x )
вне оторойточ е x отрез а
маряда(9.1)вточ е
[a, b] .П
сть S ( x ) –предпола,аемаяс м-
x ∈ [ a, b] .Еслиф н ция f ( t ) непрерывнавточ153
е x ,то S ( x ) = f ( x ) ,еслижевточ е
перво,орода,то S ( x ) =
x ф н ция f ( t ) имеетразрыв
f ( x + 0) + f ( x − 0)
.Умножаятождество
2
b
∫ p ( t ) K ( t, x ) dt = 1
n
a
на S ( x ) ивычитаяе,оиз(9.2),пол чим
b
S n ( x ) − S ( x ) = ∫ p ( t ) f ( t ) − S ( x ) K n ( t , x ) dt .
a
Применяя форм л Кристоффеля-Дарб , найдем:
Sn ( x ) − S ( x ) =
b
= λn +1 ∫ p ( x )
f (t ) − S ( x )
a
t−x
ϕ n +1 ( t ) ϕ n ( x ) − ϕ n +1 ( x ) ϕ n ( t ) dt.
(9.8)
В§8мыпол чилиоцен
λn +1 ≤ C = max { a , b } .
Пола,аядля рат ости
φx (t ) =
f (t ) − S ( x )
t−x
и обозначая через {d n } оэффициенты Ф рье ф н ции φ x ( t ) , вместо
(9.8) пол чим форм л
Sn ( x ) − S ( x ) = θ n C d n +1ϕ n ( x ) − d nϕ n +1 ( x ) ,
,де 0 < θ n
(9.9)
≤1.
Теперь ле, о до азать достаточный призна сходимости в данной
точ е ряда Ф рье по орто,ональным полиномам.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
154
Теорема9.2.Еслиф н ция φ x ( t ) ∈ R% p ( t )
2
ность ортонормированных полиномов
([a, b]) ,апоследователь-
{ϕ ( t )} о,раничена в точ е x ,
n
то ряд Ф рье по орто,ональным полиномам ф н ции
даннойточ е
f ( t ) сходится в
x с мме S ( x ) ,т.е.
∞
S ( x ) = ∑ cnϕ n ( x ), x ∈ [ a , b] .
n =0
Доазательство. Та а φ x ( t ) ∈ R% p ( t )
2
([a, b]) , ряд ∑ d
2
n
сходится.
Следовательно,
lim d n = 0 .
n →∞
Сдр ,ойстороны,последовательность
{ϕ ( x )} о,раниченавточ е x ,
n
т.е.
ϕ n ( x ) ≤ M , x ∈ [a, b] .
Следовательно,праваячасть(9.9)стремится н люпри n → ∞ .B
В частности, ряд Ф рье по орто,ональным полиномам сходится
f ( x ) вточ е x ,,деонанепрерывна,еслиф н ция f ( t ) вне оторой
о рестности точ и
т.е.
x довлетворяет словию Липшица поряд а α = 1 ,
f (t ) − f ( x ) ≤ K t − x , t ∈ ( x − δ , x + δ ) .
Инте,рал
b
2
p
t
φ
(
)
( t ) dt
x
∫
a
с ществ ет а несобственный, если весовая ф н ция p ( t ) о,раниченавне оторойо рестноститоч и x ,аф н ция
155
f ( t ) вэтойжео рест-
ности довлетворяет словиюЛипшицапоряд а α
α
f (t ) − f ( x ) ≤ K t − x ,
>
1
,т.е.
2
1
< α ≤ 1, t ∈ ( x − δ , x + δ ) .
2
Это следствие можно переформ лировать и для сл чая, о,да
x
являетсяточ ой разрываперво,о родаф н ции f ( t ) (анало,ично§ 5,
,л.1).Длясходимостиряда(9.1)вточ е x достаточно,чтобывыполнялись неравенства:
α
f ( t ) − f ( x + 0 ) ≤ K t − x , t ∈ ( x, x + δ )
и
α
f (t ) − f ( x − 0) ≤ K t − x , t ∈ ( x − δ , x ) ,
1
f ( x + 0) + f ( x − 0)
< α ≤ 1 .Вэтомсл чаес ммойряда(9.1)б дет
.
2
2
При не оторых словиях сходимость ряда Ф рье по орто,ональным полиномам в данной точ е x зависит толь о от свойств ф н ции
f ( x ) в о рестности этой точ и. Поэтом , а и для рядов Ф рье по
три,онометричес ой системе, здесь можно сформ лировать анало,
принципа ло ализации словий сходимости.
Теорема 9.3. Если две ф н ции
совпадаютвинтервале ( x0
рованные полиномы
2
f ( x ) и g ( x ) из R% p ( x ) ([ a, b])
− δ , x0 + δ ) ,причемвточ е x0 ортонорми-
{ϕ ( x )} о,раничены, то в этой точ е ряды Ф рье
n
поорто,ональнымполиномамф н ций
f ( x ) и g ( x ) сходятсяилирас-
ходятся одновременно.
Доазательство. По определению частных с мм ряда Ф рье имеем:
S n ( x0 , f ) − S n ( x 0 , g ) = S n ( x 0 , f − g ) .
СовременныйГ манитарныйУниверситет
156
Пос оль
ф н ция
r ( x) = f ( x) − g (x) ≡ 0
( x0 − δ , x0 + δ ) ,тодляэтойф
в
интервале
н ции
r ( t ) − r ( x0 )
p
t
(
)
∫a t − x0 dt < ∞ .
2
b
Следовательно,рядФ рьеф н ции r ( x ) поорто,ональнымполиномамсходится ней вточ е x0 . Поэтом
lim Sn ( x0 , f ) − Sn ( x0 , g ) = 0 ,
n →∞
и, та им образом, если последовательность
{S ( x , f )} сходится
n
0
не отором предел , то том же предел сходится и последовательность
{S ( x , g )} , а если {S ( x , f )} расходится, то расходится и
n
0
n
0
{S ( x , g )} .B
n
0
157
ГЛАВА 3. РЯДЫ ФУРЬЕ ПО КЛАССИЧЕСКИМ
ОРТОГОНАЛЬНЫМ ПОЛИНОМАМ
§1.ПолиномыЧебышеваперво>орода
Определение. Ф н ции
Tn ( x ) = cos ( n arccos x ) , x ∈ [ −1,1] , n = 0,1,2,K ,
(1.1)
называются полиномами Чебышева1) (перво>о рода).
По ажем,чтоф н ции(1.1)действительнопредставляютсобойал,ебраичес ие полиномы. Из известно,о три,онометричес о,о тождества
cos( n + 2)θ + cos nθ = 2cosθ cos ( n + 1)θ ,
пола,ая θ = arccos x , найдем ре ррентное соотношение
Tn + 2 ( x ) = 2 xTn +1 ( x ) − Tn ( x ) ( n = 0,1,2,K) .
Пос оль T0 ( x ) = 1, T1 ( x ) = x , то при любом
(1.2)
n ф н ция Tn ( x ) есть
ал,ебраичес ийполиномстепени n .Спомощьюформ лы(1.2)ихможно
вычислять последовательно:
T0 ( x ) = 1,
T1 ( x ) = x,
T2 ( x ) = 2 x 2 − 1,
T3 ( x ) = 4 x 3 − 3 x ,
T4 ( x ) = 8 x 4 − 8 x 2 + 1,
T5 ( x ) = 16 x 5 − 20 x 3 + 5 x,
T6 ( x ) = 32 x 6 − 48 x 4 + 18 x 2 − 1,
KKKKKKKKKKKKK
П.Л.Чебышев(1821–1866)–р сс ийматемати ,создатель онстр
ф н ций.
1)
СовременныйГ манитарныйУниверситет
158
тивнойтеории
До ажем, что полиномы (1.1) орто,ональны на отрез е
[ −1,1] по
вес
1
p ( x) =
1− x
2
, x ∈ ( −1,1) .
Для это,о вычислим инте,рал
1
Tn ( x ) Tm ( x )
−1
1− x
∫
J nm =
Сделаем замен переменной
x = cosθ
2
dx .
( 0 ≤ θ ≤ π ) . То,да в сил
(1.1)
Tn ( cosθ ) = cos nθ и
J nm
0, n ≠ m,
π
π
π
1
= ∫ cos nθ cos mθ dθ = ∫ cos nθ cos mθ dθ = , n = m > 0,
2 −π
0
2
π , n = m = 0.
Следовательно, ортонормированные полиномы Чебышева выражаютсячерезполиномы(1.1)поформ лам
)
Tn ( x ) =
2
π
Tn ( x ) =
2
π
cos ( n arccos x ) , n ≥ 1,
)
1
1
T0 ( x ) =
T0 ( x ) =
.
π
(1.3)
π
Далее, из ре ррентной форм лы (1.2) след ет, что старший оэффициентполинома Tn ( x ) есть 2
n −1
.Поэтом полиномыЧебышевасостар-
шим оэффициентом, равным 1, имеют вид
1
1
(1.4)
T%n ( x ) = n −1 Tn ( x ) = n −1 cos ( n arccos x ) , n ≥ 1.
2
2
Ре ррентное соотношение (1.2) для полиномов T%n ( x ) преобраз ется вид
159
1
T%n + 2 ( x ) = xT%n +1 ( x ) − T%n ( x ) ( n = 1,2,K) .
4
Еслиже n = 0 ,то T ( x ) = 1 = T% ( x ) ииз(1.2)след ет,что
0
0
1
T%2 ( x ) = xT%1 ( x ) − T%0 ( x ) .
2
Рассмотрим теперь орни полиномов Чебышева. Со,ласно общей
теореме 8.1(,л. 2) орни
n
n
n
x1( ) , x2( ) ,K, xn( ) полинома Tn ( x ) веществен-
ные,различныеилежатвинтервале ( −1, 1) .Изравенства
( ) ) = cos ( n arccos x ( ) ) = 0
Tn xk(
n
n
k
пол чим
n arccos xk( ) =
n
2k − 1
π
2
( k = 1,2,K, n ) ,
и, следовательно,
xk( ) = cos
n
( 2k − 1) π
( k = 1, 2,K, n ) .
2n
(1.5)
Та а степеньполинома Tn ( x ) равна n ,точислами(1.5)исчерпываютсявсе орни Tn ( x ) .Из(1.5)та жеслед ет,что,вотличиеотобще,о
сл чая(см.§8,,л.2), орниполиномовЧебышевазан мерованывобратном поряд е, т.е. имеет место неравенство
−1 < xn( ) < xn( −)1 < K < xk( ) < K < x2( ) < x1( ) < 1 .
n
n
n
n
n
Спомощьюформ лы(1.5)нетр дно становитьвзаимноеразделение орнейполиномовЧебышева.До ажем,чтомежд дв мясоседниn
n
ми орнями xk( ) и xk( +)1 полинома Tn ( x ) находитсяодинитоль оодин
орень
xk(
n −1)
полинома Tn −1 ( x ) . В самом деле,
xk(
n −1)
= cos
( 2k − 1)π
2n − 2
.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
160
Установим,что
xk( ) > xk(
n
n −1)
> xk( +)1 ,
n
или,чтотожесамоевсил монотонности осин са,
2k − 1 2k − 1 2k + 1
.
<
<
2n
2n − 2
2n
Первая часть это,о двойно,о неравенства тривиальна, а вторая равносильна неравенств
2 k < 2n − 1 ,
(n )
выте ающем изто,о,что k < n .Та а межд n орнями xk имеется n − 1 интервалов, аждый из оторых содержит по орню полинома
Tn −1 ( x ) , то ясно, что в этих интервалах находится ровно по одном
орню,ибо орнейэтихтоже n − 1 .
Рассмотрим теперь точ и э стрем ма
{ξ ( ) } полинома T ( x ) . Из
n
k
n
форм лы(1.1)след ет,чтота иеточ иопределяются словиями
n arccosξ k( ) = kπ , k = 0, ±1, ±2,K ,
n
из оторых находим n + 1 различных точе
ξ k( n ) = cos
Пос оль
Tn
kπ
, k = 0,1,2,K, n .
n
(1.6)
(ξ ( ) ) = ( −1) , то зна и дв х соседних э стрем мов
n
k
k
противоположны, причем точ и ±1 являются точ ами э стрем ма.
Далее,та а точе (1.6) n + 1 ,топроизводная Tn′ ( x ) винтервале
( −1,1) имеет n − 1
орень, и поэтом вне отрез а
[−1,1] полином Че-
бышева изменяется монотонно.
Спомощьюформ лы(1.1)ле, оопределяютсяне оторыечастные
значения полиномов Чебышева и их производных:
161
Tn (1) = 1, Tn′ (1) = n 2 , Tn ( −1) = ( −1) , Tn′ ( −1) = ( −1) n 2 ,
n
n
T2 n ( 0 ) = ( −1) , T2′n ( 0 ) = 0, T2 n +1 ( 0 ) = 0,
n
1
T2′n +1 ( 0 ) = ( 2n + 1) sin n + π .
2
Та а старший оэффициент полинома Tn ( x ) есть 2 n −1 , то из
форм лы (1.3) след ет, что старший оэффициент ортонормированно-
)
,о полиномаЧебышева Tn ( x ) имеет вид
Kn =
2
π
2n −1 , n ≥ 1 .
(3.7)
Все вышес азанное относилось сл чаю орто,ональности на от-
[ −1, 1] . Вообще же, можно рассматривать полиномы Чебышева
на любом отрез е [ a , b] . Линейное преобразование
(b − a ) x + (b + a )
y=
рез е
2
переводит точ
x ∈ [ −1, 1] в точ y ∈ [ a , b] , а полиномы Чебышева
Tn ( x ) принимают вид
2 y − (b + a )
Tn
.
b
−
a
§2.ДальнейшиесвойстваполиномовЧебышева
1. Асимптотичес;ие свойства. Из форм л (1.1), (1.3) и (1.4)
след ют оцен и полиномов Чебышева:
Tn ( x ) ≤ 1, x ∈ [ −1,1] ,
)
Tn ( x ) ≤
2
π
1
x ∈ [ −1,1] ,
,
СовременныйГ манитарныйУниверситет
162
1
T%n ( x ) ≤ n −1 ,
2
x ∈ [ −1,1].
Рассмотрим не оторые представления и неравенства для полиномовЧебышеваиихпроизводныхвн триивнеотрез а
[−1,1] .
С помощью тождества
cos nθ =
1 inθ
1
n
n
e + e − inθ ) = ( cosθ + i sin θ ) + ( cosθ − i sin θ ) , 0 ≤ θ ≤ π ,
(
2
2
пола,ая θ = arccos x ,изформ лы(1.1)при x ≤ 1 найдемпредставление для полиномов Чебышева:
) + ( x − i 1 − x ) =
1
= ∑ C x i ( 1 − x ) 1 + ( −1) .
2
(
1
Tn ( x ) = x + i 1 − x 2
2
n
n
k
n
n
2
n −k k
2
k
(2.1)
k
k =0
Пос оль принечетном k всесла,аемые равнын лю,апри четном–
орень исчезает и правая часть является полиномом, то форм ла (2.1)
справедлива при любом x . Если x – действительное число, причем
x ≤ 1 ,то
i
k
(
1− x
) =(
k
2
)
k
x −1 ,
2
и, следовательно, вместо (2.1) пол чим форм л :
1 n k n−k
Tn ( x ) = ∑ Cn x
2 k =0
(
x −1
2
(
1
= x + x2 − 1
2
)
k
1 + ( −1)k =
) (
n
)
+ x − x 2 − 1 , x > 1.
n
(2.2)
Из (2.2) имеем неравенство:
(
)
n
Tn ( x ) ≤ x + x − 1 , x ≥ 1 .
2
Отсюдаииз(1.3)и(1.4)найдем
163
(2.3)
(x +
1
T% ( x ) ≤
(x +
2
)
Tn ( x ) ≤
2
π
x
n −1
n
)
− 1) ,
n
x − 1 , x ≥ 1,
2
2
n
x ≥ 1.
По ажем теперь, что для производной полинома Чебышева имеет
место неравенство
Tn′ ( x ) ≤ n 2 , x ∈ [ −1,1] .
д
(2.4)
Действительно, из форм лы для син са с ммы дв х ,лов по инции нетр дно становить неравенство
sin nθ ≤ n sin θ ,
справедливое при любом θ . Дифференцир я (1.1), найдем
Tn′ ( x ) =
n sin ( n arccos x )
1 − x2
n 2 sin θ
=
,
sin θ
от даислед ет(2.4).
2.Э;стремальныесвойства.В1854,.П.Л.Чебышевпоставили
решил след ющ ю э стремальн ю задач : среди всех полиномов степени n состаршим оэффициентом,равным1,найтитот,для оторо,о
величина
P%n
C
= max P%n ( x )
x∈[ −1,1]
является наименьшей. Чебышев до азал, что решением этой задачи
является полином T%n ( x ) . Справедлива след ющая
Теорема 2.1. Для вся о,о полинома P%n ( x ) степени
n со стар-
шим оэффициентом, равным 1, имеет место неравенство
1
max P%n ( x ) ≥ max T%n ( x ) = n −1 ,
x∈[ −1,1]
x∈[ −1,1]
2
причем зна равенства возможен толь о в сл чае P%n ( x ) ≡ T%n ( x ) .
Та им образом, среди всех полиномов степени n со старшим оСовременныйГ манитарныйУниверситет
164
эффициентом, равным 1, полином Чебышева T%n ( x ) наименее
етсяотн лянаотрез е
лоня-
[ −1,1] .
Замечателентот фа т,что внеотрез а орто,ональностиполиномы
Чебышеваобладаютвне оторомсмыслепротивоположнымэ стремальным свойством, а именно, лоняются от н ля ма симально в аждой
точ е вещественной оси.
Теорема2.2.Если Pn ( x ) естьполиномстепениневыше n ,причем
max Pn ( x ) = 1 ,
x∈[ −1,1]
то при вся ом вещественном x0 , x0 > 1 , выполняется неравенство
Pn ( x0 ) ≤ Tn ( x0 ) .
Отсюда и из оцен и (2.3) можно пол чить неравенство:
(
)
n
Pn ( x0 ) ≤ Tn ( x0 ) ≤ x0 + x − 1 , x0 > 1 .
2
0
Если
max Fn ( x ) = M ,
x∈[ −1,1]
то, пола,ая
Pn ( x ) =
1
Fn ( x ) , пол чим неравенство
M
(
)
n
Fn ( x0 ) ≤ M Tn ( x0 ) ≤ M x0 + x − 1 , x0 > 1 .
2
0
Та им образом, с помощью полинома Чебышева перво,о рода
Tn ( x ) можнооценитьполином Fn ( x ) влюбойточ евнеотрез а [ −1,1]
через ма сим м абсолютно,о значения это,о полинома на отрез е
[ −1,1] .
До азательствотеорем2.1и2.2можнонайтив[6],,л.III,§3.
165
§ 3. Ряды Ф=рье по полиномам Чебышева
Если ф н ция f ( x ) задана на отрез е
[ −1,1] и инте,рир
ема с
1
весом p ( x ) =
1 − x2
, тоей можнопоставитьвсоответствие ряд Ф -
рье по полиномам Чебышева
∞
)
f ( x ) ~ ∑ an Tn ( x ) ,
(3.1)
n =0
,де оэффициенты Ф рье-Чебышева определяются по форм лам:
1
an =
∫
)
f ( t ) Tn ( t )
dt
1 − t2
−1
.
(3.2)
)
Та а полиномы Чебышева Tn ( x ) равномерно о,раничены на
{
[
}
]
отрез е −1,1 , то по теореме 9.2 (,л.2) ряд (3.1) сходится значению
f ( x ) (
f ( x + 0) + f ( x − 0)
)вне оторойточ еотрез а [ −1,1] ,еслиэта
2
ф н ция довлетворяет, например, словию Липшица поряд а
α,
1
< α ≤ 1 , в о рестности этой точ и. Использ я три,онометричес2
ое представление (1.3) полиномов Чебышева, мы становим сейчас
болееобщийрез льтат.
Винте,рале(3.2)сделаемзамен t = cosτ .Всил (1.3)пол чим:
an =
2
π
π
∫
0
1
f ( cosτ ) cos nτ dτ =
2π
a0 =
1
π
f ( cosτ ) dτ =
∫
2
π
0
π
∫π f ( cosτ ) cos nτ dτ , n ≥ 1, (3.3)
−
1
π
π
∫π f ( cosτ ) dτ .
(3.3')
−
Введем теперь четн ю ф н цию F (θ ) = f ( cosθ ) и рассмотрим
ее ряд Ф рье по осин сам
СовременныйГ манитарныйУниверситет
166
F (θ ) ~
α0
2
∞
+ ∑α n cos nθ .
(3.4)
n =1
Ле, о видеть, что ряды (3.1) и (3.4) почленно тождественны, если
x = cosθ .Действительно,из(3.3)и(3.3')имеем:
)
an Tn ( x ) =
1
2π
π
∫π
f ( cosτ ) cos nτ dτ ⋅
−
)
a0T0 ( x ) =
π
1
2 π
2
π
cos nθ = α n cos nθ , n ≥ 1,
f ( cosτ ) dτ ⋅
∫π
−
1
π
=
α0
2
.
Следовательно, при x = cosθ справедливо равенство
)
α0 n
f ( x ) − ∑ ak Tk ( x ) = F (θ ) −
− ∑α k cos kθ .
2 k =1
k =0
n
Та им образом,вопрос о представленииф н ции f ( x ) на отрезе [ −1,1] рядом(3.1) сводится вопрос осходимости ряда(3.4) четной ф н ции F (θ ) = f ( cosθ ) . Вопросами о сходимости три,онометричес ихрядовмызанималисьв,л.1.Вчастности,со,ласнопризна
Дини-Липшица(§11,,л.1)еслимод льнепрерывностиф н ции F (θ )
довлетворяет словию
lim ω ( h, F ) ln
h→0
1
=0,
h
(3.5)
тоэтаф н цияразла,аетсяврядФ рьепо осин сам
F (θ ) =
сходящийся равномерно на
α0
2
∞
+ ∑α n cos nθ ,
(3.6)
n =1
[ −π ,π ] .
Теорема 3.1. Если ф н ция f ( x ) непрерывна на
[−1,1] и ее
мод ль непрерывности на этом отрез е довлетворяет словию ДиниЛипшица
167
lim ω ( h, f ) ln
h→0
1
= 0,
h
(3.7)
то эта ф н ция разла,ается в ряд Ф рье по полиномам Чебышева
∞
)
f ( x ) = ∑ an Tn ( x ) ,
n =0
сходящийся равномерно на
[−1,1] .
Доазательство.П сть h > 0 фи сированоип сть θ1 − θ 2 ≤ h .То,дадля
xi = cosθ i , i = 1, 2 ,имеем
x1 − x2 = cosθ1 − cosθ 2 ≤ θ1 − θ 2 ≤ h ,
F (θ1 ) − F (θ 2 ) = f ( cosθ1 ) − f ( cosθ 2 ) = f ( x1 ) − f ( x 2 ) ≤ ω ( h, f ) .
Следовательно, межд мод лями непрерывности ф н ций F (θ ) и
f ( x ) имеет место неравенство
ω ( h, F ) ≤ ω ( h, f ) .
Поэтом из словия (3.7) след ет словие (3.5), достаточное для
сходимости ряда (3.6) и почленно тождественно,о ем ряда (3.1).B
Всил почленно,отождестварядов(3.1)и(3.4)анало,ичнотеореме3.1можнорассмотреть словияпоточечнойиабсолютнойсходимостиряда(3.1),нодлянасэтонепредставляетинтересаввид анало,ии
в поведении этих рядов.
Пример 1. Разложить ф н цию f ( x ) = arccos x в ряд Ф рье по
[ −1,1] .
аждойточ и x ∈ ( −1,1) найдетсята аяо
полиномам Чебышева на отрез е
Решение.Для
( x − δ , x + δ ) ,в
оторойф н ция
рестность
f ( x ) довлетворяет словиюЛипши-
цапоряд а α = 1 .Действительно,потеоремео онечныхприращениях
СовременныйГ манитарныйУниверситет
168
arccos t − arccos x ≤
1
1 − (1 − δ 1 )
2
t−x,
,де ( x − δ , x + δ ) ⊂ ( −1 + δ 1 ,1 − δ 1 ) .
f ( x ) непрерывна всюд на [ −1,1] . Следователь-
Далее, ф н ция
но,со,ласнообщейтеории, f ( x ) можетбытьразложенаврядФ рье
по полиномам Чебышева, сходящийся ней всюд в ( −1,1) . Введем
вспомо,ательн ю ф н цию
F (θ ) = arccos ( cosθ ) = θ , θ ∈ [0, π ] ,
иразложимееврядФ рьепо осин самна
α0 =
2
2
π
[0,π ] . Имеем
π
∫θ
dθ = π ,
0
π
π
π
2
2
α n = ∫ θ cos nθ dθ =
[θ sin nθ ] 0 − ∫ sin nθ dθ =
π 0
πn
πn 0
0, n = 2k ,
2
π
=
cos
n
−
1
=
(
)
4
π n2
− π n 2 , n = 2k + 1.
Следовательно,
θ=
π
2
−
4
π
∞
cos ( 2n + 1)θ
n =0
( 2n + 1)
∑
2
, 0 ≤θ ≤π,
от да, пола,ая θ = arccos x , найдем
arccos x =
π
2
−
4
∞
∑
π
n =0
T2 n +1 ( x )
( 2n + 1)
169
2
, −1 ≤ x ≤ 1 ,
причем в точ ах x = ±1 ряд Ф рье по полиномам Чебышева ф н ции
f ( x ) сходится значениям самой ф н ции, та а ряд Ф рье для
ф н ции F (θ ) = θ сходится этой ф н ции на всем отрез е
[0,π ] , а
замена x = cosθ непрерывна.
Пример 2. Разложить ф н цию
полиномам Чебышева на отрез е
f ( x ) = arcsin x в ряд Ф рье по
[ −1,1] .
Решение. Анало,ично предыд щем пример , для аждой точ и
x ∈ ( −1,1) найдется та ая о рестность ( x − δ , x + δ ) , в оторой ф н ция f ( x ) довлетворяет словию Липшица поряд а α = 1 . Ф н ция
f ( x ) непрерывна на отрез е [ −1,1] .
Следовательно, f ( x ) можетбытьразложенаврядФ рьепополиномам Чебышева, сходящийся ней всюд в
( −1,1) . Введем вспомо-
,ательн юф н цию
F (θ ) = arcsin ( cosθ ) =
π
2
− arccos ( cosθ ) =
[
π
2
− θ , θ ∈ [0,π ] ,
]
иразложимееврядФ рьепо осин самна 0, π .Воспользовавшись
рез льтатами примера 1, пол чим
arcsin ( cos θ ) =
от
4
π
∞
cos ( 2n + 1)θ
n =0
( 2n + 1)
∑
2
, 0 ≤θ ≤π,
да
arcsin x =
4
∞
∑
π
n =0
T2 n +1 ( x )
( 2n + 1)
2
, −1 ≤ x ≤ 1.
(В онцах отрез а сходимость имеет место по тем же причинам,
чтоивпримере1.)
СовременныйГ манитарныйУниверситет
170
§ 4. Полиномы Чебышева второ>о рода
При x ∈
[ −1,1] изформ
лы(1.1)след етравенство
Tn′+1 ( x ) = ( n + 1) sin ( n + 1) arccos x
1
.
(4.1)
1, 2,K)
(4.2)
1− x
2
Следовательно, при любом n ф н ции
Un ( x ) =
sin ( n + 1) arccos x
1− x
2
( n = 0,
являются полиномами. Они называются полиномами Чебышева второ>о рода.
До ажем,чтополиномы(4.2)орто,ональнынаотрез е
[ −1,1] све-
сом
p ( x ) = 1 − x 2 , x ∈ [ −1,1]
В самом деле, производя замен x = cosθ , найдем
π
1
J nm = ∫ U n ( x ) U m ( x ) 1 − x dx = ∫ sin ( n + 1) θ sin ( m + 1) θ dθ =
2
−1
0
0, n ≠ m,
π
1
= ∫ cos nθ cos mθ dθ = π
2 −π
2 , n = m.
Следовательно,дляортонормированныхполиномовЧебышевавторо,о рода имеем форм л
)
Un ( x ) =
2 sin ( n + 1) arccos x
Un ( x ) =
, n = 0,1,2,K (4.3)
2
π
π
1− x
2
Та а всил (4.1)
Un ( x ) =
1
Tn′+1 ( x ) ,
n +1
171
(4.4)
то н лями полинома U n ( x ) являются точ и э стрем ма полинома
Tn +1 ( x ) , оторыеопределяются форм лой (1.6) сзаменой n на n + 1 .
Та имобразом,н ли U n ( x ) имеютвид
xk( ) = cos
n
та а на онцахотрез а
kπ
, k = 1,2,K, n ,
n +1
[ −1,1] полином Tn +1 ( x ) имеет
раевыеэ ст-
рем мы ие,о производная там вн ль не обращается.
Из три,онометричес о,о тождества
sin ( n + 3)θ + sin ( n + 1)θ = 2sin ( n + 2 )θ cos θ ,
пола,аявнем θ = arccos x иразделиве,опочленнона 1 − x ,пол чим ре ррентн ю форм л для полиномов Чебышева второо рода:
2
U n + 2 ( x ) = 2 xU n +1 ( x ) − U n ( x ) .
Та а из(4.2)имеем U 0 ( x ) = 1,
(4.5)
U1 ( x ) = 2 x ,тоспомощьюфор-
м лы (4.5) найдем:
U 0 ( x ) = 1,
U1 ( x ) = 2 x,
U 2 ( x ) = 4 x 2 − 1,
U 3 ( x ) = 8 x 3 − 4 x,
U 4 ( x ) = 16 x 4 − 12 x 2 + 1,
U 5 ( x ) = 32 x 5 − 32 x 3 + 6 x,
KKKKKKKKKKKKK
Из ре ррентной форм лы (4.5) след ет, что старший оэффициент полинома U n ( x ) есть 2 n . Поэтом справедливо равенство
СовременныйГ манитарныйУниверситет
172
1
1 sin ( n + 1) arccos x
U% n ( x ) = n U n ( x ) = n
2
2
1 − x2
( n = 0,1,2,K) ,
аре ррентнаяформ ла(4.5)для U% n ( x ) принимаетвид
1
U% n + 2 ( x ) = xU% n +1 ( x ) − U% n ( x ) .
4
Рассмотрим теперь оцен и полиномов Чебышева второ,о рода.
Изформ л(4.2)и(4.3)след ютоцен ивн триинтервалаорто,ональности:
1
Un ( x ) ≤
)
Un ( x ) ≤
1− x
2
, x ∈ ( −1,1) ,
2
1
π
1− x
Та а в сил (2.4) при
2
, x ∈ ( −1,1) .
(4.6)
x ∈ [ −1, 1] справедлива оцен а
Tn′+1 ( x ) ≤ ( n + 1) ,тоиз(4.3)и(4.4)найдем:
2
U n ( x ) ≤ ( n + 1) , x ∈ [ −1,1] ,
)
Un ( x ) ≤
2
π
( n + 1) ,
x ∈ [ −1,1] .
(4.7)
Эти неравенства являются точными, т.е. равенства в них дости,аютсяв онцахотрез а
[ −1,1] .Всамомделе,пола,аяв(4.2) x = cosθ ,
преобраз ем прав ючасть вид
U n ( cosθ ) = ( n + 1)
sin ( n + 1)θ θ
.
n
+
1
sin
θ
θ
( )
Переходя предел при θ → 0 при фи сированном n , пол чим
U n (1) = n + 1 .
173
Сдр ,ойстороны,пос оль аждыйполином U n ( x ) содержитстепени
x толь ооднойчетностис n ,тое,означениевточ е ( −1) отличается
толь о зна ом от значения в 1. Следовательно,
U n ( −1) = ( −1) ( n + 1) .
n
Соответств ющие форм лы для ортонормированных полиномов
Чебышевавторо,ородаимеютвид:
)
U n (1) =
2
π
)
( n + 1) , U n ( −1) = ( −1)
n
2
π
( n + 1) .
Та им образом, полиномы Чебышева второ,о рода на онцах отрез а орто,ональности возрастают со с оростью n , а во вн тренних
точ ах интервала ( −1,1) эти полиномы о,раничены.
Изнеравенств(4.6)и(4.7)ле, овыте аетоцен а
)
Un ( x ) ≤
2
2
π
1
1− x +
n +1
, x ∈ [ −1,1] ,
2
оторая по азывает, а им образом оцен а вн три интервала
( −1, 1)
переходит в оцен на е,о онцах.
Отметим интересное э стремальное свойство полиномов Чебышева второ,о рода, оторое впервые становили р сс ие математи и
А.Н.Кор ин1)и Е.И.Золотарев2).
Теорема 4.1. Из всех полиномов P%n ( x ) степени
n со старшим
оэффициентом, равным 1, наименьшее значение инте,рал
1
∫ P% ( x ) dx
n
−1
А. Н. Кор ин (1837-1908). Основной сферой е,о деятельности были равнения в
частныхпроизводныхиарифметичес аятеория вадратичныхформ.
2)
Е.И.Золотарев(1847-1878).Пол ченныеимрез льтатывбольшинствесвоемотносятся теориичиселиал,ебре.
1)
СовременныйГ манитарныйУниверситет
174
доставляет полином U% n ( x ) , причем это наименьшее значение равно
1
2 n −1
,т.е.
1
1
2
n −1
= ∫ U% n ( x ) dx ≤
−1
1
∫ P% ( x ) dx .
n
−1
До азательствосм.[6],,л.III,§6.
Перейдем рассмотрению вопроса об словиях сходимости рядов Ф рье по полиномам Чебышева второ,о рода.
П сть на отрез е
[ −1,1] задана ф
н ция f ( x ) , инте,рир емая с
p ( x ) = 1 − x 2 . То,да ей в соответствие можно поставить ряд
весом
Ф рье по полиномам Чебышева второ,о рода:
∞
)
f ( x ) ~ ∑ anU n ( x ) ,
(4.8)
n =0
,де оэффициенты определяются по форм лам:
1
an =
∫
)
f ( t ) U n ( t ) 1 − t 2 dt =
2
f ( t ) sin ( n + 1) arccos t dt =
∫
π
−1
1
−1
2
π
π
∫
(4.9)
f ( cos τ ) sin ( n + 1) τ sin τ dτ , n = 0,1, 2, K
0
Наоснованииобщихрез льтатов§9(,л.2)пол чимслед ющийпризна :
f (t ) −
Если
ф н ция
f ( t ) ∈ R% 2
1− t 2
f ( x + 0) + f ( x − 0)
2
∈ R% 2 2
1− t
t−x
ряд (4.8) сходится
([ −1, 1]) ,
а
ф н ция
([ −1,1]) при фи сированном x , то
f ( x + 0) + f ( x − 0)
2
175
в аждой точ е
x интервала
( −1,1)
(если в точ е
f ( x + 0) + f ( x − 0)
2
x ф н ция f ( t ) непрерывна, то
= f ( x ) ).
Одна о, а и дляполиномовЧебышеваперво,о рода,здесьможнопол читьболееобщийрез льтат.
Теорема 4.2. Если ф н ция f ( x ) непрерывна наотрез е −1,1
[
]
иеемод льнепрерывности довлетворяет словиюДини-Липшица(3.7),
торяд(4.8)сходится f ( x ) вовсехточ ахинтервала ( −1,1) ,причем
[
]
сходимость это,о ряда равномерна на отрез е −1 + ε , 1 − ε при любом фи сированном ε > 0 .
Доазательство. Рассмотрим вспомо,ательн ю 2π -периодичес ю
ф н цию Φ (θ ) = sin θ ⋅ f ( cos θ ) .Та а при θ1 − θ 2 ≤ h
Φ (θ1 ) − Φ (θ 2 ) ≤
≤ sin θ1 − sin θ 2 f ( cos θ1 ) + sin θ 2 f ( cos θ1 ) − f ( cos θ 2 ) ≤
≤ Kh + ω ( h, f ) ,
томод льнепрерывностиф н ции Φ (θ ) довлетворяет словиюДиниЛипшица и поэтом Φ (θ ) разла,ается в равномерно сходящийся ряд
Ф рье. В сил нечетности ф н ции Φ (θ ) имеем:
∞
Φ (θ ) = sin θ f ( cos θ ) = ∑ bn sin nθ ,
(4.10)
n =1
,де
bn =
2
π
π
∫ sin τ f ( cos τ ) sin nτ dτ ,
0
При словии 0 < θ < π из(4.10)найдем
СовременныйГ манитарныйУниверситет
176
n = 1, 2, K
(4.11)
∞
f ( cosθ ) = ∑ bn
n =1
sin nθ
,
sin θ
(4.12)
причем пол ченный ряд сходится равномерно на аждом отрез е
[η ,π − η ] ⊂ ( 0,π ) .Ле,
овидеть,чтопри словии x = cosθ ряды(4.8)и
(4.12)почленнотождественны.Действительно,всил (4.3),(4.9)и(4.11)
имеем
)
anU n ( x ) =
=
2
π
π
∫
2 sin ( n + 1) arccos x
=
2
π
1− x
sin ( n + 1) θ
= bn +1
, n = 0,1, 2,K
sin θ
f ( cos τ ) sin ( n + 1) τ sin τ dτ ×
0
Та им образом, ряд (4.8) сходится равномерно на отрез е
[ −1 + ε ,1 − ε ] ,,де ε > 0 фи сировано.B
Приведем без до азательства достаточное словие равномерной
[ −1,1] (см.[6],л.III,§6).
Теорема 4.3. Если ф н ция f ( x ) непрерывно дифференцир ема на отрез е [ −1,1] , причем f ′ ( x ) довлетворяет словию Липшица
сходимостиряда(4.8)навсемотрез е
поряд а α >
1
, то ряд Ф рье по полиномам Чебышева второ,о рода
2
сходится f ( x ) равномерно на всем отрез е
[ −1,1] .
Пример1.Разложитьф н цию f ( x ) = x врядФ рьепополиномамЧебышевавторо,ородавинтервале ( −1,1) .
Решение. Ф н ция f ( x ) непрерывна в интервале ( −1,1) и довлетворяетвнем словиюЛипшицапоряд а α = 1 :
177
t − x = t − x , t ∈( x − δ , x + δ ).
Следовательно, f ( x ) может быть разложена в ряд Ф рье по полиномамЧебышевавторо,орода,сходящийся нейвинтервале ( −1,1) .
Введем вспомо,ательн ю ф н цию
Φ (θ ) = sin θ cos θ , 0 < θ < π ,
иразложимееврядФ рьепосин самна ( 0, π ) .Имеем:
bn =
2
π
π
∫ sin τ cos τ sin nτ dτ =
0
π
π
1 2
= ∫ sin 2τ sin nτ dτ − ∫ sin 2τ sin nτ dτ =
π 0
π
2
π
1 2
∫ ( cos ( n − 2 ) τ − cos ( n + 2 ) τ ) dτ −
=
2π 0
− ∫ ( cos ( n − 2 ) τ − cos ( n + 2 ) τ ) dτ =
π
2
π
π ( n + 2 ) 0, n = 2k ,
π (n − 2)
sin
sin
1
k +1
2
2
=
−
= 4
−1)
(
π
n−2
n+2
, n = 2k + 1,
π
2
k
−
1
2
k
+
3
)(
)
(
k = 0,1, 2,K
Замечание. Та а при n = 2 числитель и знаменатель дроби в
выражениидля bn обращаютсявн ль,точтобынаширасс ждениябыли
стро,ими,н жно бедиться,что,действительно, b2 = 0 .Дляэто,он жСовременныйГ манитарныйУниверситет
178
но вычислить инте,рал
π
π
1 2 2
2
b2 = ∫ sin τ cos τ sin 2τ dτ = ∫ sin 2τ dτ − ∫ sin 2τ dτ =
π 0
π 0
π
2
2
π
π
π
1 π
π
1 2
∫ (1 − cos 4τ ) dτ − ∫ (1 − cos 4τ ) dτ =
π
=
−
+
=0
π
2π 0
2
2
2
π
2
Та им образом,
( −1)
Φ (θ ) = ∑
sin ( 2k + 1)θ
π k = 0 ( 2k − 1)( 2k + 3)
4
k +1
∞
, 0 <θ <π .
Отсюда найдем:
sin ( 2k + 1)θ
( −1)
f ( cosθ ) = ∑
π k = 0 ( 2k − 1)( 2k + 3)
sin θ
4
∞
k +1
, 0 <θ <π .
На онец, возвращаясь переменной x = cosθ , пол чим:
( −1)
f ( x) = ∑
U2k ( x )
π k = 0 ( 2k − 1)( 2k + 3)
4
∞
k +1
, −1 < x < 1 .
Пример 2.Разложитьф н цию
2, −1 < x ≤ 0,
f ( x) = 2
2 x , 0 < x < 1
врядФ рьепополиномамЧебышевавторо,ородавинтервале ( −1,1) .
Решение. Ф н ция
f ( x ) непрерывна в интервале ( −1,1) , роме
точ и x = 0 ,,деонаимеетразрывперво,орода.Наинтервалах ( −1,0 )
и ( 0,
1) она довлетворяет словию:
f (t ) − f ( x ) ≤ t − x , t ∈ ( x − δ , x + δ ) .
179
Действительно,при x ∈ ( −1,0 ) имеем
0 ≤ t − x , t ∈ ( x − δ , x + δ ),
апри x ∈ ( 0, 1) имеем
2t 2 − 2 x 2 = 2 ( t + x )( t − x ) ≤ 4 t − x , t ∈ ( x − δ , x + δ ) .
При x = 0 ф н ция
f ( x ) довлетворяет словиям
f (t ) − f (0 + 0) ≤ t , 0 < t < δ
и
f ( t ) − f ( 0 − 0 ) ≤ t , −δ < t < 0 ,
или,чтотоже
2t 2 ≤ 2 t , 0 < t < δ ,и 0 ≤ t , −δ < t < 0 .
Поэтом винтервале ( −1,1) ф н ция f ( x ) можетбытьразложена
врядФ рьепополиномамЧебышевавторо,орода.Введемвспомо,ательн юф н цию
π
2
θ
θ
θ
2
cos
sin
,
0
<
<
,
2
Φ (θ ) =
2sin θ , π ≤ θ < π
2
иразложимееврядФ рьепосин самна ( 0, π ) .Имеем:
π
π
2 2 2
bn =
2 ∫ cos τ sinτ sin nτ dτ + 2 ∫ sinτ sin nτ dτ =
π 0
π
2
π
π
2 2
=
(1 + cos 2τ ) sinτ sin nτ dτ + 2 ∫ sinτ sin nτ dτ =
∫
π0
π
2
СовременныйГ манитарныйУниверситет
180
π
π
2
2 1
1 2
= ∫ ( cos ( n − 1)τ − cos ( n + 1)τ ) dτ + ∫ ( cos ( n + 1) τ + cos ( n − 3)τ −
4 0
π 2 0
− cos ( n + 3)τ − cos ( n − 1)τ ) dτ + ∫ ( cos ( n − 1)τ − cos ( n + 1)τ ) dτ =
π
2
π
π ( n + 1)
π ( n − 1)
sin
sin
1
2
2
=−
−
+
π
n −1
n +1
π ( n − 3)
π ( n + 3)
π ( n − 1)
π ( n + 1)
sin
sin
sin
sin
1
2
2
2
2
+
+
−
−
=
2π
n +1
n−3
n+3
n −1
πn
πn
cos
cos
1
2 +
2 + 1
=
n + 1 2π
π n −1
0, n = 2k − 1, n ≠ 1, n ≠ 3
n (n − 7)
k
2
2
−
1
k
4
k
− 7)
=
(
)
k = 1,2,K
(
8
2
2
π
,
n
=
2
k
,
n
−
1
n
−
9
( )(
) π ( 4k 2 − 1)( 4k 2 − 9 )
4cos
=
πn
πn
πn
πn
cos
cos
cos
cos
2 +
2 +
2 +
2 =
n
+
1
n
−
3
n
+
3
n
−
1
πn
2
Сл чаи n = 1 и n = 3 рассмотримотдельно.При n = 1 имеем:
π
π
2 2
2
2
2
b1 =
2 ∫ cos τ sin τ dτ + 2 ∫ sin τ dτ =
π 0
π
2
181
π
π
2 1 2 2
2
= ∫ sin 2τ dτ + 2 ∫ sin τ dτ =
π 2 0
π
2
π
π
2 π
π 5
2 1 2
= ∫ (1 − cos 4τ ) dτ + ∫ (1 − cos 2τ ) dτ = + π − = .
π 4 0
2 4
π 8
π
2
Апри n = 3 имеем:
π
π
2
2
2
b3 = 2 ∫ cos τ sin τ sin 3τ dτ + 2 ∫ sin τ sin 3τ dτ =
π 0
π
2
π
π
4 2
2
2
4
2
4
= ∫ cos τ ( 3sin τ − 4 sin τ ) dτ + ∫ ( 3sin τ − 4 sin τ ) dτ =
π 0
π
2
π
π
4 23 2
2
2
2
4
= ∫ sin 2τ − sin 2τ sin τ dτ + ∫ ( 3sin τ − 4 sin τ ) dτ =
π 0 4
π
2
π
π
2
4 3
1 2
= ∫ (1 − cos 4τ ) dτ − ∫ (1 − cos 4τ ) (1 − cos 2τ ) dτ +
π 8 0
4 0
π
π
3
2
+ ∫ (1 − cos 2τ ) dτ − ∫ (1 − cos 2τ ) dτ =
2π
π
2
2
4 3π π 3π 3π 3π 3π 1
=
− +
−
−
+
= .
π 16 8 2
4
2
4 4
Та имобразом,рядФ рьеф н ции Φ (θ ) есть:
СовременныйГ манитарныйУниверситет
182
k ( 4k 2 − 7 )
5
1
8
Φ (θ ) ~ sin θ + sin 3θ + ∑
sin 2kθ , 0 < θ < π .
2
2
π k =1 ( 4k − 1)( 4k − 9 )
4
4
( −1)
∞
k
Следовательно,
2
5 1 sin 3θ 8 ∞ ( −1) k ( 4k − 7 ) sin 2kθ
f ( cosθ ) ~ +
+ ∑
, 0 <θ <π ,
4 4 sin θ π k =1 ( 4k 2 − 1)( 4k 2 − 9 ) sin θ
k
и возвращаясь переменной x = cosθ , пол чим:
k ( 4k 2 − 7 )
5 1
8
f ( x) ~ + U2 ( x) + ∑
U 2 k −1 ( x ) , −1 < x < 1 .
4 4
π k =1 ( 4k 2 − 1)( 4k 2 − 9 )
∞
( −1)
k
Со,ласно общей теории, ряд Ф рье по полиномам Чебышева второ,ородадляф н ции f ( x ) сходитсявинтервале ( −1, 1) с мме
2, −1 < x < 0,
g ( x ) = 2 x 2 , 0 < x < 1,
1, x = 0.
§5.ПолиномыЛежандра.
Основныеформ=лыиал>ебраичес;иесвойства
{
}
Определение. Полиномы X n ( x ) , образ ющие орто,ональн ю
систем веса p ( x ) = 1 на отрез е −1, 1 , называются полиномами
[
]
Лежандра1).
Та ие полиномы были введены А. М. Лежандром в 1785 ,од . В
1814,од О.Родри,омбыла становленадляних добнаяформ ла.
Чтобы вывести эт форм л , проинте,рир ем X n ( x )
n раз под-
А.М. Лежандр (1752-1833) – франц зс ий математи . Известны е,о рез льтаты в
областидифференциальных равнений,теориичисел,,еометрии.
1)
183
ряд и пол ченный в рез льтате полином обозначим через un ( x ) . Е,о
степеньб детравна 2n .Выберемпостоянныеинте,рированията ,чтобы о азалось
un ( −1) = un′ ( −1) = K = un(
n −1)
( −1) = 0 .
Соотношения (5.1) вместе с равенством
un(
n)
(5.1)
( x ) = X n ( x ) опреде-
ляют un ( x ) сточностьюдопостоянно,омножителя.
Обозначим через v ( x ) произвольный полином степени ниже
n.
То,дапотеореме7.4(,л.2)
1
(
∫ un
n)
( x ) v ( x ) dx = 0 .
(5.2)
−1
Но со,ласно обобщенной форм ле инте,рирования по частям
1
( )
∫ u ( x ) v ( x ) dx =
n
n
−1
( n −1)
= un
(n−2)
( x ) v ( x ) − un
( x ) v ′ ( x ) + K + ( −1)
n −1
un ( x ) v
+ ( −1)
( n −1)
1
n
(
u
x
v
(
)
n
∫
( x )
n)
1
+
−1
( x ) dx.
−1
Сдр ,ойстороны, v
un(
n −1)
(n )
что v
из(5.1)и(5.2)выте ает,что
(1) v (1) − un(n − 2) (1) v ′ (1) + K + ( −1)
Но та а числа
чисел
( x ) = 0 ,ипоэтом
v (1) , v ′ (1) ,K, v (
n −1)
n −1
un (1) v (
n −1)
(1) = 0 .
(1) произвольны (для любых
A0 , A1 ,K, An −1 найдется та ой полином v ( x ) степени ниже n ,
(k )
(1) = Ak ( k = 0,1,K, n − 1) ;этоб
дет
СовременныйГ манитарныйУниверситет
184
v ( x ) = A0 +
A1
A
n −1
( x − 1) + K + n −1 ( x − 1) ),
1!
( n − 1)!
то
un (1) = un′ (1) = K = un(
n −1)
(1) = 0 .
(5.3)
Равенства(5.1)и(5.3)по азывают,что аждаяизточе ±1 является орнем ратности n полинома un ( x ) . Значит, этот полином делитсянацелона ( x − 1)
n
( x + 1) = ( x 2 − 1) ,ата а степень un ( x ) равна
n
n
2n ,то
un ( x ) = K n ( x 2 − 1)
n
и, следовательно,
X n ( x ) = Kn
d n ( x 2 − 1)
dx
n
.
(5.4)
n
Этоиестьформ=ла Родри>а.
Та а
( x 2 − 1)n
(n )
= 2n ( 2n − 1)K ( n + 1) x n + K,
то
d n ( x 2 − 1)
n
!
.
X% n ( x ) =
n
( 2n )! dx
n
Чтобы найти старший оэффициент
)
(5.5)
K n для ортонормированных
полиномов X n ( x ) , снова применим обобщенн ю форм л инте,риро(n )
ванияпочастям,положив v ( x ) = un
( x ) .Всил
те,ральные члены исчезают, и поэтом
185
(5.1)и(5.3)всевнеин-
1
(n )
∫ un
−1
( x )
2
dx = ( −1)
1
n
(
u
x
u
(
)
n
n
∫
2 n)
( x ) dx .
(5.6)
−1
Но
un(
2n)
( x ) = K n ( 2 n )!
С др ,ой стороны, пола,ая
1
In =
∫ (x
2
− 1) dx ,
n
−1
б дем иметь
1
In =
2
2
∫ x ( x − 1)
n −1
dx − I n −1 .
−1
Инте,рир я по частям, найдем
1
∫ x (x
2
−1
2
− 1)
n −1
1
n
1
1
2
dx =
xd
x
−
1
=
−
( ) 2n I n .
2n −∫1
Значит,
2n
I n −1 .
2n + 1
Заменяя здесь последовательно n на n − 1, n − 2,K ,1 , перемноIn = −
жая пол ченные равенства и замечая, что
I n = ( −1)
n
I 0 = 2 , пол чим
2n ( 2n − 2 )( 2n − 4 )K 2
( 2n + 1)( 2n − 1)( 2n − 3)K 3
2 = ( −1)
n
( 2n )!!
2
( 2n + 1)!!
(здесь и далее
def
def
( 2n ) !! = 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ K ⋅ ( 2n − 2 ) 2n, ( 2n + 1) !! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ K ⋅ ( 2n − 1)( 2n + 1)).
Та им образом, равенство (5.6) принимает вид
( 2n )!( 2n )!! 2 ( 2n )!!
2
2
∫−1 X n ( x ) dx = ( 2n + 1)!! 2 Kn = 2n + 1 2 K n .
2
1
СовременныйГ манитарныйУниверситет
186
Чтобы этот инте,рал равнялся единице, надо положить
Kn =
1
2n + 1
.
( 2n )!! 2
То,да
)
2n + 1 1 d
Xn ( x) =
2 ( 2n )!!
n
(x
2
dx
− 1)
n
n
.
Со,ласно общей теории имеет место
Теорема 5.1. Все орни полинома
X n ( x ) вещественны, различ-
ныилежатвинтервале ( −1, 1) .
Изформ лыРодри,аможнопол читьявн юформ л для
Xn ( x) .
Именно применяя бином Ньютона, б дем иметь
(x
от
2
n
− 1) = ∑ ( −1) Cnk x 2 n − 2 k ,
n
k
k =0
да
n
2
X n ( x ) = K n ∑ ( −1)
k
k =0
( 2 n − 2k ) ! k n − 2 k
Cn x
( n − 2 k )!
.
(5.7)
X n ( x ) входят толь ота ие
степени x ,по азатели оторых имеютодина ов ю четность с n .
Из форм лы(5.7) видно,что всостав
Отсюда выте ает,что вре ррентной форм ле
X% n + 2 ( x ) = ( x − α n + 2 ) X% n +1 ( x ) − λn +1 X% n ( x ) ,
отораяимеетместопообщейтеории, α n + 2
Коэффициент
λn +1 находится по форм
187
= 0.
ле
( 2n + 2 )!! ( n + 1)!
2
%
2
∫−1 X n +1 ( x ) dx 2 2n + 3 ( 2n + 2 )!
( n + 1)
= 1
=
=
2
2
( 2n + 1)( 2n + 3) .
( 2n )!! n !
% 2 ( x ) dx
X
2
∫ n
2 n + 1 ( 2 n )!
−1
2
1
λn +1
2
Следовательно,
( n + 1)
X% n + 2 ( x ) = xX% n +1 ( x ) −
X% n ( x ) .
( 2n + 1)( 2n + 3)
2
(5.8)
Поформ леРодри,а X% 1 ( x ) = x .Кромето,о, X% 0 ( x ) = 1 .Отсюдаи
из (5.8) имеем
X% 0 ( x ) = 1,
X% ( x ) = x,
1
1
X% 2 ( x ) = ( 3 x 2 − 1) ,
3
1
X% 3 ( x ) = ( 5 x 3 − 3 x ) ,
5
1
X% 4 ( x ) = ( 35 x 4 − 30 x 2 + 3) ,
35
1
X% 5 ( x ) = ( 63x 5 − 70 x 3 + 15 x ) ,
63
KKKKKKKKKKKKK
Чаще все,о рассматривают полиномы
(5.4)при K n
=
X n ( x ) , пол чающиеся из
1
.Мыб демобозначатьих Pn ( x ) :
( 2n )!!
Pn ( x ) =
1
( 2n )!!
d n ( x 2 − 1)
n
dx n
СовременныйГ манитарныйУниверситет
188
.
То,да
)
2n + 1
n!
Xn ( x) =
Pn ( x ) , X% n ( x ) =
Pn ( x ) .
2
( 2n − 1)!!
Для этих полиномов
1
Pn
2
= ∫ Pn2 ( x ) dx =
−1
2
.
2n + 1
Ре ррентная форм ла для них имеет более простой вид:
( n + 2 ) Pn + 2 ( x ) = ( 2n + 3) xPn +1 ( x ) − ( n + 1) Pn ( x ) .
(5.9)
Та а ,очевидно, P0 ( x ) = 1 и P1 ( x ) = x ,тоиз(5.9)пол чим:
1
3 x 2 − 1) ,
(
2
1
P3 ( x ) = ( 5 x 3 − 3 x ) ,
2
1
P4 ( x ) = ( 35 x 4 − 30 x 2 + 3) ,
8
1
P5 ( x ) = ( 63 x 5 − 70 x 3 + 15 x ) ,
8
KKKKKKKKKKKKK
P2 ( x ) =
Кромеформ л(5.4)и(5.7)можнопривестиещеодн форм л для
Xn ( x) .
По форм ле Лейбница
( uv )
(n )
n
= ∑ Cnk u (
n −k )
v(
k)
k =0
имеем
( x 2 − 1)n
(n )
n
n
= ∑ C ( x − 1)
k =0
k
n
189
( n −k )
( x + 1)n
(k )
=
n
= ∑ Cnk
k =0
n!
n!
k
n −k
( x − 1)
( x + 1) .
k!
(n − k )!
Отсюда
n
X n ( x ) = K n n ! ∑ Cnk
2
( x − 1) ( x + 1)
k
n−k
.
k =0
В частности,
Pn (1) = 1, Pn ( −1) = ( −1) .
n
Изформ лы(5.7)та жеслед ет,что
P2 n ( 0 ) = ( −1)
n
( 2n − 1)!!
,
( 2n )!!
P2 n +1 ( 0 ) = 0 .
Отметим еще одно тождество, связывающее три последовательных полинома Лежандра:
Pn′+1 ( x ) − Pn′−1 ( x ) = ( 2n + 1) Pn ( x ) .
(5.10)
Дляе,одо азательствазапишемлев ючастьвформе
( n −1) ′
n +1 ( n +1)
n
−
1
2
( x 2 − 1)
( x − 1)
α=
−
=
2
n
+
2
!!
2
n
−
2
!!
)
(
)
(
(n)
n +1 ″
n −1
2
2
( x − 1) .
( x − 1)
−
=
2
n
+
2
!!
2
n
−
2
!!
(
)
(
)
Но
″
( x 2 − 1)n +1
2n + 1) x 2 − 1 2
n −1
(
=
x
−
1
(
) .
( 2n + 2 )!!
( 2n )!!
СовременныйГ манитарныйУниверситет
190
Следовательно,
2
2
n −1
1
( 2n + 1) x − 1
α =
x
1
−
−
)
(
2
n
!!
2
n
2
!!
−
(
)
(
)
(n )
n (n)
2n + 1 2
x − 1) ,
=
(
( 2n ) !!
чтоидо азывает(5.10).
§6.Инте>ралЛапласаиоцен;иполиномовЛежандра
Рассмотрим ф н цию
π
n
1
2
yn ( x ) = ∫ x + i 1 − x cosθ dθ .
π 0
Та а y0 ( x ) = 1,
y1 ( x ) = x ,то
y0 ( x ) = P0 ( x ) , y1 ( x ) = P1 ( x ) .
По ажем, что при всех n имеет место равенство yn ( x ) = Pn ( x ) . Для
это,о достаточно по азать, что три последовательные ф н ции
yn ( x ) , yn +1 ( x ) , yn + 2 ( x ) связаны ре ррентным соотношением
( n + 2 ) yn + 2 ( x ) − ( 2n + 3) xyn +1 ( x ) + ( n + 1) yn ( x ) = 0 .
(6.1)
Положим α = x + i 1 − x cosθ .То,да
2
yn ( x ) =
1
π
α
π∫
n
dθ ,
0
π
1
yn +1 ( x ) = ∫ x + i 1 − x 2 cosθ α n dθ ,
π 0
π
2
1
2
yn + 2 ( x ) = ∫ x + i 1 − x cosθ α n dθ .
π 0
Подставляяэтивыражениявлев ючасть(6.1),запишемееввиде
191
1
π
π
n
βα
∫ dθ ,
0
,де
(
β = ( n + 2 ) x + i 1 − x cosθ
2
)
2
)
(
− ( 2n + 3) x x + i 1 − x 2 cosθ + n + 1 .
После преобразований пол чим
)
(
β = ( n + 1) (1 − x 2 ) sin 2 θ + i 1 − x 2 x + i 1 − x 2 cosθ cosθ
.
Положим
γ = ( n + 1) (1 − x 2 ) sin 2 θ ,
)
(
δ = i 1 − x 2 x + i 1 − x 2 cosθ cosθ .
То,да β = γ + δ .Но
π
∫ δα
π
n
dθ = i 1 − x
2
0
∫α
n +1
cos θ d θ .
0
Инте,рир я по частям, найдем
π
π
π
n +1
n
′
∫0 δα dθ = i 1 − x α sin θ 0 − ( n + 1) ∫0 α α sinθ dθ .
n
2
Та а α ′ = −i 1 − x sin θ ,то
2
π
∫ δα
n
dθ = − ( n + 1) (1 − x
π
2
) ∫α
0
π
n
sin θ dθ = − ∫ γα n dθ .
2
0
0
Отсюда
1
π
βα
π∫
n
dθ = 0 ,
0
что и требовалось до азать. Та им образом, полиномы Лежандра доп с ают инте,ральное представление
СовременныйГ манитарныйУниверситет
192
π
n
1
2
Pn ( x ) = ∫ x + i 1 − x cosθ dθ .
π 0
(6.2)
Инте,рал (6.2) называется инте>ралом Лапласа1).
Та а при −1 ≤ x ≤ 1
x + i 1 − x 2 cosθ = x 2 + (1 − x 2 ) cos 2 θ ≤ 1 ,
топриэтих x
Pn ( x ) ≤
1
π
π
∫ x+i
n
1 − x cos θ dθ ≤ 1 .
2
0
При −1 < x < 1 можнопол читьболееточн юоцен :
π
Pn ( x ) ≤
1
2n 1 − x 2
(см.[5],ч.2,,л.V,§3).
§7.РядыФ=рьепополиномамЛежандра
Если ф н ция f ( x ) инте,рир ема на отрез е
[ −1, 1] , то можно
определить оэффициенты Ф рье по полиномам Лежандра
2n + 1
an =
f ( t ) Pn ( t ) dt
∫
2 −1
1
(7.1)
ипоставитьэтойф н циивсоответствиерядФ рьепополиномамЛежандра
∞
f ( x ) ~ ∑ an Pn ( x ) .
(7.2)
n =0
Со,ласнообщейтеории(,л.2,§9)справедлива
Теорема 7.1. Если ф н ция
f ( t ) ∈ R% 2 ([ −1, 1]) и для не оторой
П.Лаплас(1749-1827)–франц зс ийфизи иматемати .Ка физи ,онзнаменит
своейработой“Механи анеба”.Вобластиматемати ионзанималсявопросамиматематичес ойфизи ииматематичес ойтеориейвероятностей.
1)
193
фи сированной
f (t ) −
x
x ∈ ( −1, 1)
точ и
ф н ция
f ( x + 0) − f ( x − 0)
2
∈ R% 2 ([ −1, 1]) ,торяд(7.2)сходитсявточ е
t−x
f ( x + 0) − f ( x − 0)
2
( f ( x ) ,если f ( t ) непрерывнавточ е x ).
Вчастности,сходимостьряда(7.2)вточ е x непрерывностиф н ции f ( t ) с мме f ( x ) имеет место, если в не оторой о рестности
точ и
x ф н ция довлетворяет словиюЛипшицапоряд
а α >
1
(см.
2
§9,,л.2).
Теорема 7.2. Если ф н ция
f ( x ) непрерывна наотрез е [ −1,1]
и ее мод ль непрерывности на этом отрез е довлетворяет словию
Дини-Липшица(3.7),торядФ рьепополиномамЛежандрасходится
ф н ции
f ( x ) во всех точ ах интервала ( −1,1) , причем сходимость
это,орядаравномернаналюбомотрез е
[ −1 + ε ,
1 − ε ] ,,де ε > 0 .
Теорема 7.3. Если ф н ция f ( x ) непрерывно дифференцир ема на отрез е
[ −1,1] , то она разла,ается в ряд Ф
рье по полиномам
Лежандра, сходящийся равномерно на всем отрез е.
Теорема 7.4. Если ф н ция f ( x ) довлетворяет на отрез е
[ −1,1]
словиюЛипшицапоряд а α >
1
,тоонаразла,аетсяврядФ 2
рье по полиномам Лежандра, сходящийся равномерно на всем отрез е.
До азательствотеорем7.2–7.4можнонайтив[6],,л.IV,§5.
Пример 1. Рассмотрим ф н цию
X (t, x ) =
1
1 − 2tx + t
2
.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
194
Призафи сированном x идостаточномалом t этаф н цияможетбыть
разложена в ряд по степеням t :
∞
X ( t , x ) = ∑α n ( x ) t n .
(7.3)
n =0
Пола,ая t = 0 ,найдем α 0 ( x ) = 1 .Дифференцир я(7.3)по t исновапола,ая t = 0 ,найдем α1 ( x ) =
x .Та им образом,
α 0 ( x ) = P0 ( x ) , α1 ( x ) = P1 ( x ) .
По ажем, что при любом n б дет α n ( x ) = Pn ( x ) . Для это,о продифференцир ем (7.3) по t :
x−t
∞
(1 − 2tx + t )
2
3
2
= ∑ nα n ( x ) t
n −1
n =1
∞
= ∑ ( n + 1) α n +1 ( x ) t n .
n =0
Умножим это равенство на 1 − 2tx + t и заменим в левой части
2
1
2 −2
(1 − 2tx + t )
форм лой(7.3):
∞
( x − t ) ∑α n ( x ) t
n =0
n
= (1 − 2tx + t
∞
2
) ∑ ( n + 1)α ( x ) t
n +1
n
.
n =0
Сравнивая оэффициенты при t ( n ≥ 1 ), найдем:
n
( n + 1)α n +1 ( x ) = ( 2n − 1) xα n ( x ) − nα n −1 ( x ) ( n ≥ 1) .
Заменяяздесь n на n + 1 ,мыпол чимформ л ,имеющ ютотжевид,
чтоире ррентнаяформ ла(5.9).Та имобразом,
∞
1
1 − 2tx + t
2
= ∑ Pn ( x ) t n .
(7.4)
n =0
Ф н ция X ( t , x ) называется производящей ф нцией для полиномов
Лежандра. Она о азывается очень полезна при разложении ф н ций
195
вряд Ф рье по полиномам Лежандра.
Пример 2. Разложить ф н цию
f ( x ) = 1 − x , x ∈ ( −1,1) в ряд
Ф рье по полиномам Лежандра.
Решение.Ф н ция f ( x ) непрерывнанаотрез е −1,1 ,аеепро-
[
( −1,1) ,
изводная непрерывна на интервале
f (t ) − f ( x)
t−x
]
следовательно,
∈ R% 2 ([ −1,1]) ,ипотеореме7.1рядФ рьеф н ции f ( x )
пополиномамЛежандра сходится ней в аждойточ е x ∈ ( −1,1) .
1 − x ипроинте,рир емот
Умножимобечастиравенства(7.4)на
–1до1.Пол чим:
1− x
1
∫
−1
∞
1 − 2tx + t
2
dx = ∑ t
1
n
∫ P ( x)
1 − xdx .
n
n =0
−1
За онность почленно,о инте,рирования ряда след ет из е,о равномернойсходимостиотносительно x на
[ −1,1] ,та а Pn ( x ) ≤ 1,
∞
и ряд мажорир ется сходящимся числовым рядом
∑t
n
, t < 1 . Име-
n =0
ем:
1
∫
−1
2
(1 − t ) 1 + t
1
dx =
ln
1 + t −
.
2
2
t
2
t
1
−
t
1 − 2tx + t
1− x
Разложимэт ф н циюврядпостепеням t :
ln
1+ t
1− t
(
)
(
)
= ln 1 + t − ln 1 − t =
( ) ( )
( )
СовременныйГ манитарныйУниверситет
196
x ∈ [ −1,1] ,
1
= t −
t
( t) + ( t)
2
2
3
− K + ( −1)
3
− − t −
= 2 t +
( t) − ( t)
2
2
( t)
3
3
3
3
n −1
( t)
n
n
+ K −
t)
(
−K −
t)
(
+K+
n
n
− K =
2 n −1
+ K .
2n − 1
Следовательно,
2
(1 − t ) 1 + t
1
ln
1 + t −
=
2t
2 t
1 − t
1
t t2
tn
2
=
1
+
t
−
1
−
t
1
+
+
+
K
+
+
K
( )
=
3 5
2n + 1
2t
1
t t2
tn
2
=
+ 2t + t 2 + K +
1 + t − 1 − − − K −
3 5
2n + 1
3
2t
2
t3
t n+2
n +1
2
+
t − t − −K−
− K =
2n + 1
3
2n + 1
∞
1 4
tn
− 4∑
,
=
2
3
2
n =1 ( 4 n − 1) ( 2 n + 3)
от
да
1
∫
1 − xP0 ( x ) dx =
−1
197
4 2
,
3
1
∫
1 − xPn ( x ) dx = −
−1
4 2
.
( 4n 2 − 1) ( 2n + 3)
Отсюда,всил (7.1),пол чим:
∞
Pn ( x )
2
1− x =
2 P0 ( x ) − 2 2 ∑
.
3
2
n
1
2
n
3
−
+
(
)(
)
n =1
Пример 3.Разложитьф н цию
0, −1 ≤ x < a,
f ( x) =
1, a < x ≤ 1.
( −1 < a < 1)
в ряд по полиномам Лежандра.
Решение. По форм ле (5.10) имеем
1
1
1
2n + 1
1
′
′
an =
P
x
dx
=
P
x
dx
−
P
x
dx
(
)
(
)
(
)
n +1
=
n
∫a n−1
2 ∫a
2 ∫a
.
1
1
= Pn −1 ( a ) − Pn +1 ( a ) , a0 = (1 − a ) .
2
2
Та им образом,
1
1 ∞
f ( x ) ~ (1 − a ) + ∑ Pn −1 ( a ) − Pn +1 ( a ) Pn ( x ) .
2
2 n =1
Вточ еразрыва x = a частнаяс ммаимеет вид
1
1 n
1 1
S n ( a ) = (1 − a ) + ∑ Pk −1 ( a ) − Pk +1 ( a ) Pk ( a ) = − Pn +1 ( a ) Pn ( a ) .
2
2 k =1
2 2
Та а Pn ( a ) → 0 при
f ( a − 0) + f ( a + 0)
2
n → ∞ , то ряд в точ е a сходится
.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
198
§ 8. Полиномы Ла>ерра и Эрмита
Досихпормырассматривалиполиномы,орто,ональныена онечномотрез е.То,дамыпредпола,али,чтовесоваяф н ция
p ( x ) дов-
летворяет словиям§1,,л.2.
В настоящем пара,рафе мы рассмотрим полиномы, орто,ональныенабес онечномпромеж т е ( a , b ) .Чтобытеория,изложеннаянами
в,л.2,оставаласьсправедливойивэтомсл чае,б демдополнительно
предпола,ать, что абсолютно сходятся инте,ралы
b
µ n = ∫ p ( x ) x n dx , n = 0, 1, 2,K
a
1. Полиномы Ла>ерра1) – это полиномы, образ ющие на промеж т е
[0, +∞ ) орто,ональн
ю систем веса
p ( x ) = e− x . Они определя-
ются (с точностью до постоянно,о множителя) форм лой
d n n −x
Ln ( x ) = e
(x e ).
dx n
x
В частности,
n
d
L%n ( x ) = ( −1) e
x n e− x ) ,
n (
dx
n
x
а
)
( −1) x d n n − x .
Ln ( x ) =
e
x e )
n (
n!
dx
n
Ре ррентная форм ла для полиномов
L%n ( x ) имеет вид:
2
L%n + 2 ( x ) = x − ( 2n + 3) L%n +1 ( x ) − ( n + 1) L%n ( x ) .
Та а L%0 ( x ) = 1, L%1 ( x ) = x − 1 ,то
1)
Э.Ла,ерр(1834-1886)–франц зс ийматемати .
199
L%2 ( x ) = x 2 − 4 x + 2,
L% ( x ) = x 3 − 9 x 2 + 18 x − 6,
3
KKKKKKKKKKK
П стьф н ция
f ( x ) ∈ R% e2− x
([0, +∞ ) ) (всеинте,ралыпонимаютсяв
несобственном смысле). Ей ставится в соответствие ряд
∞
)
f ( x ) ~ ∑ an Ln ( x ) ,
(8.1)
n =0
,де оэффициенты определяются форм лой
∞
)
an = ∫ e f ( t ) Ln ( t ) dt .
−t
0
Справедлива
Теорема8.1.Еслиф н ция f ( x ) ∈ R% e − x
2
([0, +∞ ) ) является
соч-
но-дифференцир емой в любом интервале ( 0, a ) , a > 0, то ее ряд Ф рье по полиномам Ла,ерра (8.1) сходится при 0 < x < ∞ и е,о с мма
равна f ( x ) вточ енепрерывностиэтойф н циии
f ( x + 0) + f ( x − 0)
2
вточ еееразрыва.
2. Полиномы Эрмита1) образ ют орто,ональн ю систем веса
p ( x ) = e− x , x ∈ ( −∞, +∞ ) . Они определяются (с точностью до посто2
янно,о множителя) форм лой
( )
d n − x2 .
Hn ( x) = e
e
dx n
x2
В частности,
Ш.Эрмит(1822-1901)–франц зс ийматемати ,до азал,чточислоeтрансцендентно.Известные,орез льтатывобластиал,ебрыитеорииф н ций омпле сно,опеременно,о.
1)
СовременныйГ манитарныйУниверситет
200
n
1
H% n ( x ) = − H n ( x ) ,
2
а
)
Hn ( x) =
( −1)
n
2 n! π
n
Hn ( x) .
Ре ррентная форм ла для полиномов Эрмита имеет вид:
n +1 %
H% n + 2 ( x ) = xH% n +1 ( x ) −
Hn ( x) .
2
От
да
H% 0 ( x ) = 1,
H% ( x ) = x,
1
1
H% 2 ( x ) = x 2 − ,
2
3
H% 3 ( x ) = x 3 − x,
2
KKKKKKKKKKK
П сть ф н ция f ( x ) ∈ R% − x2
2
e
( ( −∞, +∞ ) ) (все инте,ралы понимают-
ся в несобственном смысле). Ей ставится в соответствие ряд
∞
)
f ( x ) ~ ∑ an H n ( x ) ,
(8.2)
n =0
,де оэффициенты определяются форм лой
∞
an =
∫
)
2
e − t f ( t ) H n ( t ) dt .
−∞
Теорема 8.2. Если ф н ция
f ( x ) ∈ R% 2− x2
e
( ( −∞, +∞ ) ) является
-
сочно-дифференцир емой в любом интервале ( − a , a ) , то ее ряд Ф 201
рье по полиномам Эрмита (8.2) сходится при
f ( x ) в
−∞ < x < ∞ ф н ции
аждой точ е непрерывности этой ф н ции и
f ( x + 0) + f ( x − 0)
2
вточ еразрыва.
§9.Приложениятеорииорто>ональныхполиномов
1. Интерполирование ф=н;ций. П сть на отрез е
делена непрерывная ф н ция
[a, b] опре-
f ( x ) и задана система n + 1 точе
x0 , x1 , x2 ,K, xn .
То,да с ществ ет единственный полином
(9.1)
Ln ( x; f ) степени не
выше n , значения оторо,о в точ ах (9.1) совпадают со значениями
ф н ции, т.е. выполняются словия
Ln ( xk ; f ) = f ( xk ) , k = 0,1,2,K, n .
(9.2)
В самом деле, если
Ln ( x; f ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + K + an x n ,
торавенства(9.2)можнопредставитьввиде
a0 + a1 x0 + a2 x02 + K + an x0n = f ( x0 ) ,
a0 + a1 x1 + a2 x12 + K + an x1n = f ( x1 ) ,
KKKKKKKKKKKKKKK
(9.3)
a0 + a1 xn + a2 xn2 + K + an xnn = f ( xn ) .
Определитель этой системы есть транспонированный определитель
Вандермонда, оторый отличен от н ля. Следовательно, система (9.3)
имеет единственное решение при любой правой части.
Полином
Ln ( x; f ) называется интерполяционным полиномом
СовременныйГ манитарныйУниверситет
202
Ла>ранжа1),соответств ющимсистеме злов(9.1)иф н ции f ( x ) .
Найдем форм л для Ln ( x; f ) . Рассмотрим сначала ф=ндаментальные полиномы Ла>ранжа:
lk ( x ) =
( x − x0 )( x − x1 )K( x − xk −1 )( x − xk +1 )K( x − xn )
. (9.4)
( xk − x0 )( xk − x1 )K( xk − xk −1 )( xk − xk +1 )K( xk − xn )
Для этих полиномов выполняются словия
0,
lk ( x m ) =
1,
k ≠ m,
(9.5)
k = m.
С помощью ф ндаментальных полиномов (9.4) интерполяционный
полином Ла,ранжа представляется в виде:
n
Ln ( x; f ) = ∑ f ( xk ) lk ( x ) .
(9.6)
k =0
Точ и (9.1) называются =злами интерполяции. Они определяют
полином
ω n +1 ( x ) = ( x − x0 )( x − x1 )K ( x − xn ) ,
спомощью оторо,очислитель(9.4)можнозаписать ороче
( x − x0 )( x − x1 )K( x − xk −1 )( x − xk +1 )K( x − xn ) =
ω n +1 ( x )
x − xk
.
Но
( xk − x0 )( xk − x1 ) K ( xk − xk −1 ) ( xk − xk +1 )K ( xk − xn ) =
ω n +1 ( x ) − ω n +1 ( xk )
′
= lim
x → xk
x − xk
= ω n +1 ( xk ) .
Следовательно,форм лы(9.4)и(9.6)можнопредставитьввиде
lk ( x ) =
ω n +1 ( x )
, k = 0,1,2,K, n ,
′
( x − xk )ω n +1 ( xk )
(9.7)
Л.Ла,ранж(1736-1813)–франц зс ийматемати .Вматематичес оманализее,о
имяноситостаточныйчленвформ леТейлора.СименемЛа,ранжата жесвязанызначительныерез льтатывал,ебреивариационномисчислении.
1)
203
n
Ln ( x; f ) = ∑ f ( xk )
k =0
ω n +1 ( x )
.
( x − xk )ω n′+1 ( xk )
(9.8)
ИнтерполяционныйполиномЛа,ранжасовпадаетсф н цией
в злах интерполяции (9.1), в др ,их же точ ах отрез а
f ( x)
[a, b] та о,о
совпадения может и не быть. Но этот полином вводится именно для
то,о, чтобы было ле,че подсчитать значения сложнойф н ции
любой точ е отрез а
[a, b] . В связи с этим возни
f ( x) в
ает естественный
вопрос о по,решности приближенно,о равенства
f ( x ) ≈ Ln ( x; f ) , x ∈ [ a, b] .
(9.9)
Иначе ,оворя, в форм ле
f ( x ) = Ln ( x; f ) + Rn ( x; f ) , x ∈ [ a , b ] ,
треб ется оценить остаточный член
(9.10)
Rn ( x; f ) .
Если ф н ция f ( x ) непрерывно дифференцир ема n + 1 раз на
отрез е
[a, b] ,то
f ( x ) = Ln ( x; f ) +
Rn ( x; f ) =
,де ξ ∈
[a, b] –точ
ω n +1 ( x )
( n + 1)!
ω n +1 ( x )
( n + 1)!
f(
а,зависящаяот
Обозначим через M n +1 ( f
n +1)
f(
(ξ ) ,
n +1)
(ξ ) ,
(9.11)
x ∈ [ a , b] ,
(9.12)
x.
) ма
сим м величины f
( n +1)
( x ) на
[a, b] .То,даиз(9.12)найдем:
Rn ( x; f ) ≤
1
M n +1 ( f ) max ω n +1 ( x ) .
x∈[a , b]
( n + 1)!
СовременныйГ манитарныйУниверситет
204
(9.13)
Чтобыправаячастьбыланаименьшей,надовыбрать злы(9.1)наил чшимобразом,т.е.та ,чтобыполином
ω n +1 ( x ) = ( x − x0 )( x − x1 )K ( x − xn )
наименее
лонялся от н ля наотрез е
[ a , b] .
[ −1,1] вопрос о полиномах, наименее
лоняю-
щихся от н ля, же из чен (см. § 2). Полиномом, наименее
лоняю-
В сл чае отрез а
[ −1,1] ,являетсяполиномЧебышева T%n +1 ( x ) .
чаеотрез а [ −1,1] величина(9.13)б детнаимень-
щимсяотн лянаотрез е
Следовательно,всл
шей, априближенная форм ла(9.9)б дет наиболееточной, еслив ачестве зловинтерполяции(9.1)выбратьн липолиномаЧебышеваперво,орода T%n +1 ( x ) .Вэтомсл чаенеравенство(9.13)приводится вид
(см.§2):
Rn ( x; f ) ≤
1
M n +1 ( f ) , x ∈ [ −1,1] .
n
( n + 1)!2
Анало,ичные тверждения имеют место и в сл чае произвольно,о
[
]
[
]
отрез а a , b ,та а этототрезо сводится −1,1 линейнымпреобразованием
2x = ( b − a ) y + a + b , а вместо полиномов T%n +1 ( x ) надо
рассматривать смещенные полиномы Чебышева.
Вернемся общем сл чаю и рассмотрим вопрос о сходимости
интерполяционно,о процесса.
П сть на отрез е
[a, b] задана бес
онечная тре ,ольная матрица
злов:
x0( ) ,
0
x0( ) , x1( ) ,
1
1
x0( ) , x1( ) , x2( ) ,
2
2
2
(9.14)
KKKKKKK
x0( ) , x1( ) , x2( ) ,K, xn( ) ,
n
n
n
n
KKKKKKKKK
205
Для аждой стро и этой матрицы можно построить интерполяционный
полином Ла,ранжа. В рез льтате пол чим последовательность полиномов
L0 ( x; f ) , L1 ( x; f ) ,K, Ln ( x; f ) ,K
ивозни аетестественныйвопрособ словиях,при оторыхимеетместо предельное соотношение
lim Ln ( x; f ) = f ( x ) .
(9.15)
n →∞
Ясно, что выполнение словия (9.15) зависит от расположения злов(9.14)наотрез е
[a, b] иотсвойствф
н ции f ( x ) .Справедлива
Теорема9.1.Еслиматрица злов(9.14)состоитизн лейполиномовЧебышеваперво,орода,аф н ция f ( x ) наотрез е −1,1 дов-
[
]
летворяет словию Дини-Липшица (3.7), то последовательность интерполяционных полиномов Ла,ранжа сходится ф н ции f ( x ) равномерно на всем отрез е
[ −1,1] .
2. Квадрат=рные форм=лы интерполяционно-орто>онально>о
типа.П стьнаотрез е
[a, b] заданавесоваяф
н ция p ( x ) исистема
злов
x1 , x2 ,K, xn .
(9.16)
Предположим, что по не отором правил данном отрез , весовой
ф н ции и злам (9.16) ставится в соответствие система весов
A1 , A2 ,K, An .
(9.17)
То,дадлявся ойф н ции f ( x ) ,определеннойнаотрез е
[a, b] ,мож-
но рассматривать вадрат рн ю форм л вида
b
n
∫ p ( x ) f ( x ) dx ≈ ∑ A f ( x ) .
k
a
k
(9.18)
k =1
По этой приближенной форм ле добно считать инте,рал, та а веса
СовременныйГ манитарныйУниверситет
206
(9.17)назависятот он ретнойф н ции f ( x ) идлявычисления вадрат рной с ммы (9.18) достаточно вычислить значения ф н ции f ( x )
вточ ах(9.16).Здесьсраз жевозни аетвопросовеличинепо,решности приближенно,о равенства (9.18). Для из чения это,о вопроса рассмотрим вадрат рн ю форм л с остаточным членом:
b
n
∫ p ( x ) f ( x ) dx = ∑ A f ( x ) + R ( f ) .
k
k
(9.19)
n
k =1
a
Считая,чтоотрезо
[a, b] ивесоваяф
н циянанемзафи сирова-
ны,можноварьировать злы(9.16)ивеса(9.17)та имобразом,чтобы
остаточный член Rn ( f ) был минимальным, если ф н ция f ( x ) довлетворяетопределенным словиям,т.е.принадлежитне отором ласс
W.
Анало,ично интерполяционным процессам можно рассматривать
словия сходимости вадрат рных процессов. П сть анало,ично (9.14)
заданы две бес онечные тре ,ольные матрицы
xk(
n)
и
Ak(
n)
. То,да
для аждойпарыстро пол чимпоследовательность вадрат рныхс мм
вида (9.18) и естественно поставить вопрос об словиях, при оторых
справедливо предельное соотношение
n
(n )
lim ∑ Ak f xk
n →∞
k =1
b
( ) = ∫ p ( x ) f ( x ) dx
(n)
a
для произвольной ф н ции из данно,о ласса W .
Мы рассмотрим подробнее ;вадрат=ры интерполяционно-орто>онально>о типа или ;вадрат=ры типа Га=сса1). Это вадрат рныеформ лы,в оторых зламиявляютсян липолиномов,орто,ональныхсвесом
p ( x ) наотрез е [ a, b] .
Сначала из чим вадрат ры интерполяционно,о типа.
П сть злы(9.16)выбраныпроизвольноизафи сированы.Рассмотрим интерполяционн ю форм л Ла,ранжа с остаточным членом
К.Ф.Га сс(1777-1855)–немец ийфизи иматемати .Ем принадлежитдо азательство основной теоремы ал,ебры и термин “ омпле сное число”. Известны е,о рез льтатывобластитеориичисел,дифференциальной,еометрии,теориивероятностей.
1)
207
n
f ( x ) = ∑ f ( xk )
k =1
ωn ( x )
+ Rn −1 ( x; f ) .
( x − xk )ω n′ ( xk )
Умножимэторавенствопочленнонавесипроинте,рир ем.Врез льтатепол чимформ л
b
p ( x ) ω n ( x ) dx
+ Rn ( f ) ,
′
ω
x
x
x
−
k) n( k)
a (
b
n
∫ p ( x ) f ( x ) dx = ∑ f ( xk ) ∫
k =1
a
(9.20)
,де остаточный член имеет вид
b
Rn ( f ) = ∫ p ( x ) Rn −1 ( x; f ) dx .
(9.21)
a
При не оторых словиях остаточный член Rn −1 ( x; f ) есть малая величина.Поэтом притехже словияхинте,рал(9.21)та жемалиинте,ралывправойчасти(9.20)можнопринятьв ачествевесов вадрат рной
форм лы,т.е.положить
p ( x )ωn ( x )
dx , k = 1,2,K , n .
x − xk ) ω n′ ( xk )
a (
b
Ak = ∫
При та ом выборе весов вадрат рная форм ла называется интерполяционной.
Квадрат рная форм ла является точной для не оторой ф н ции
F ( x ) ,еслидляэтойф н цииостаточныйчленравенн лю,т.е.
b
n
a
k =1
∫ p ( x )F ( x ) dx = ∑ A F ( x ) .
k
k
Теорема 9.2. Для то,о чтобы вадрат рная форм ла (9.18) была
интерполяционной, необходимо и достаточно, чтобы она была точной
для любо,о полинома степени не выше n − 1 .
Пример. Одним из простейших примеров интерполяционных
вадрат рных форм л является форм ла трапеций. П сть p ( x ) ≡ 1 ,
n = 2 ,а злами сл жат онцыотрез а [ a, b] . То,да полином Ла,ранжа
б дет
СовременныйГ манитарныйУниверситет
208
L( x) =
x−b
x−a
f (a) +
f ( b) .
a−b
b−a
Та а
x−b
x−a
b−a
dx
=
dx
=
,
∫a a − b ∫a b − a
2
b
b
тоформ ла(9.18)принимаетвид
b
∫
f ( x ) dx =
a
b−a
f ( a ) + f ( b ) .
2
(9.22)
Очевидно, форм ла (9.22) точна для всех полиномов степени не выше
1.
{
}
П сть теперь Pn ( x ) есть последовательность полиномов, орто,ональныхнаотрез е a , b свесовойф н цией p ( x ) .Положим
[
]
ω n ( x ) = Pn ( x ) = ( x − x1 )( x − x2 )K ( x − xn ) ,
т.е. в ачестве злов (9.16) выбираются орни орто,онально,о полинома. То,да
p ( x ) Pn ( x )
dx, k = 1,2,K, n .
′
x
−
x
P
x
(
)
(
)
k
n
k
a
b
Ak = ∫
В этом сл чае, а же было отмечено, равенство (9.18) называется
вадрат рной форм лой интерполяционно-орто,онально,о типа ( вадрат рнойформ лойтипаГа сса).
Теорема 9.3. Для то,о чтобы вадрат рная форм ла поряд а n
была интерполяционно-орто,ональной, необходимо и достаточно, чтобыонабылаточной длявся о,о полиномастепени невыше 2 n − 1 .
Пример 1.Форм лаГа сса.Если
p ( x ) ≡ 1 , a = −1, b = 1 ,то з-
лами вадрат рнойформ лытипаГа ссаб д т орниполиномаЛежандра
X n ( x ) .Обозначаяэти орничерез ξ1( n ) ,ξ 2( n ) ,K ,ξ n( n ) ,пол чимфор-
м л
209
1
∫
n
( )),
f ( x ) dx ≈ ∑ Ak( ) f ξ k(
n
k =1
−1
n
,де
1
1
(n )
Ak =
Xn ( x)
∫ x − ξ ( ) dx .
( )
(n )
n
X n′ ξ k
−1
k
Кристоффель нашел весьма простые выражения для оэффициен( )
тов Ak форм лы Га сса. Рассмотрим полиномы Лежандра
n
2 )
Xn ( x).
2n + 1
Pn ( x ) =
То,да
Ak( ) =
2
n
П р имер
p ( x) =
1
1− x
2
1
( )
2
n
1 − ξ k( ) Pn′ ξ k( n )
2
.
2 . Форм ла Эрмита. П сть a = −1, b = 1 и
. В этом сл чае за злы (9.16) след ет принять орни
полиномаЧебышева Tn ( x ) .Эти орнис ть
xk = cos
2k − 1
π
2n
( k = 1, 2,K, n ) .
То,да оэффициенты вадрат рной форм лы б д т
1
Tn ( x ) dx
1
Ak =
,
Tn′ ( xk ) −∫1 x − xk 1 − x 2
и после вычислений пол чим
Ak =
π
n
.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
210
Та им образом, вадрат рная форм ла Эрмитаимеетвид
1
∫
−1
f ( x)
1 − x2
dx ≈
π
n
f cos
∑
n
k =1
2k − 1
π.
2n
Болееподробноматериал§9изложенв ни,ах[6],,л.VIII,§§2-3,и
[5], ч.3.
211
ГЛАВА 4. РЯДЫ ФУРЬЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Задача Шт=рма-Ли=вилля для дифференциальных
операторов второ>о поряд;а. Основные понятия
Определение. Краевая задача
−
d
dy
p
x
(
)
+ (l ( x ) − λr ( x)) y = 0 ,
dx
dx
α1 y ( a ) + α 2 y ′ ( a ) = 0,
β1 y ( b ) + β 2 y ′ ( b ) = 0,
,де
(1.1)
(1.2)
p ( x ) и r ( x ) положительные, а l ( x ) действительная ф н ции,
x ∈ ( a , b ) , −∞ < a < b < ∞ , называется задачей Шт=рма-Ли=вилля1).
Если ф н ция
p ( x ) непрерывно дифференцир ема, а ф н ция
p ( x ) r ( x ) дважды непрерывно дифференцир ема, то равнение (1.1)
можно привести вид
d 2u
− 2 + q ( z ) u = µu
dz
и с помощью подстаново
1
2
1
1 r ( x)
4
z = ∫
dx , u ( z ) = ( r ( x ) p ( x ) ) y ( x ) , µ = cλ ,
c a p(x)
x
1
ϑ ′′ ( z ) 2 l ( x )
q(z) =
+c
, ϑ ( z ) = (r ( x ) p ( x ))4 ,
r ( x)
ϑ (z)
,де c =
1
2
1 r ( x)
dx –постояннаявеличина.Приэтоминтервал ( a, b )
π ∫a p ( x )
b
Ж.Ш. Шт рм (1803-1855) – немец ий математи . Ж. Ли вилль (1809-1882) –
франц зс ийматемати .До азалс ществованиетрансцендентныхчисел.
1)
СовременныйГ манитарныйУниверситет
212
преобраз ется в ( 0, π ) , а раевые словия свое,о вида не меняют.
Без о,раничения общности можно считать, что
а линейная замена t =
a = 0, b = π , та
x−a
π преобраз ет интервал ( a , b ) в интерb−a
вал ( 0, π ) ,неменяяприэтомвида раевойзадачи(1.1)–(1.2).
В дальнейшем мы б дем рассматривать задач Шт рма-Ли вилля
вида
d2y
− 2 + q ( x ) y = λ y , x ∈ ( a, b )
dx
(1.3)
cos α y ( a ) + sin α y ′ ( a ) = 0,
cos β y ( b ) + sin β y ′ ( b ) = 0.
(1.4)
Еслиф н ция q ( x ) инте,рир еманаотрез е
(1.4)называетсяре>=лярной.Еслижеф
наотрез е
[a, b] ,тозадача(1.3)–
н ция q ( x ) неинте,рир ема
[a, b] ,тозадача(1.3)–(1.4)называетсясин>=лярной.Зада-
ча Шт рма-Ли вилля та же называется син, лярной, если промеж то
( a, b ) бес
онечен, но мы этот сл чай рассматривать не б дем ввид
е,о сложности.
Предположим,чтоприне отором λ0 задача(1.3)–(1.4)имеетрешение
y ( x, λ0 ) , не равное тождественно н лю. То,да λ0 – собствен-
ное значение,а y ( x, λ0 ) –собственная ф=н;циязадачи(1.3)–(1.4).
Известны(см.[8],,л.II,§2)след ющиесвойства:
Лемма 1.1. Собственные ф н ции y ( x, λ1 ) и y ( x, λ2 ) , соответств ющие различным собственным значениям, орто,ональны, т.е.
b
∫ y ( x, λ ) y ( x, λ ) dx = 0, λ
1
2
a
213
1
≠ λ2 .
Лемма1.2.Собственныезначениязадачи(1.3)–(1.4)действительны.
Лемма1.3.Еслиф н ция q ( x ) непрерывнанаотрез е
[a, b] ,то
задача (1.3)–(1.4) имеет бес онечное множество собственных значений
λ0 < λ1 < K < λn < K,
lim λn = +∞.
n →∞
Справедлива след ющая
Теорема 1.4. Если ф н ция
q ( x ) непрерывна на отрез е [ a, b] ,
тодлялюбо,о α с ществ етединственноерешение ϕ ( x, λ ) , a ≤ x ≤ b ,
равнения(1.3)та ое,что
ϕ ( a , λ ) = sin α , ϕ x′ ( a , λ ) = − cosα .
Доазательство. Положим ϕ 0 ( x, λ ) = sin α
(1.5)
− ( x − a ) cosα , и п сть
для n > 0
x
ϕ n ( x, λ ) = ϕ 0 ( x, λ ) + ∫ q ( t ) − λ ϕ n −1 ( t , λ )( x − t ) dt .
a
Та а
q ( x ) непрерывна, то она о,раничена, т.е. q ( x ) < M , a ≤ x ≤
x < M a ≤ x ≤ b .П сть λ < .То,да ϕ 0 ( x , λ ) < K при a ≤ x ≤ b и
x
ϕ1 ( x, λ ) − ϕ 0 ( x, λ ) ≤ ∫ ( M + ) K ( x − t ) dt =
a
1
2
(M + ) K (x − a) .
2
Далее, для n ≥ 2 пол чаем
ϕ n ( x, λ ) − ϕ n −1 ( x, λ ) =
x
∫ q ( t ) − λ {ϕ ( t, λ ) − ϕ ( t, λ )}( x − t ) dt
n −1
a
СовременныйГ манитарныйУниверситет
214
n−2
≤
x
≤ ( M + )( b − a ) ∫ ϕ n −1 ( t , λ ) − ϕ n −2 ( t , λ ) dt ≤ K
a
n −1
K ( M + ) (b − a )
K≤
( n + 1) !
n
( x − a)
n +1
.
Следовательно, ряд
∞
ϕ ( x, λ ) = ϕ 0 ( x, λ ) + ∑{ϕ n ( x, λ ) − ϕ n −1 ( x, λ )}
(1.6)
n =1
сходится равномерно по
λ для λ < и равномерно по
x для
a ≤ x ≤ b .Та а при n ≥ 2
x
ϕ n′ ( x, λ ) − ϕ n′ −1 ( x, λ ) = ∫ q ( t ) − λ {ϕ n −1 ( t , λ ) − ϕ n − 2 ( t , λ )}dt ,
a
ϕ n′′ ( x, λ ) − ϕ n′′−1 ( x, λ ) = q ( x ) − λ {ϕ n −1 ( x, λ ) − ϕ n − 2 ( x, λ )} ,
то ряды, пол ченные одно ратным и дв ратным дифференцированием ряда (1.6), та же сходятся равномерно по x . Следовательно,
∞
ϕ ′′ ( x, λ ) = ∑ {ϕ n′′ ( x, λ ) − ϕ n′′−1 ( x, λ )} =
n =1
∞
= ϕ1′′( x, λ ) − ϕ 0′′ ( x, λ ) + ∑ {ϕ n′′ ( x, λ ) − ϕ n′′−1 ( x, λ )} =
n =2
∞
= q ( x ) − λ ϕ 0 ( x, λ ) + ∑ {ϕ n −1 ( x, λ ) − ϕ n − 2 ( x, λ )} =
n =2
= q ( x ) − λ ϕ ( x, λ )
и, значит, ϕ ( x , λ ) довлетворяет равнению (1.3). Непосредственно
проверяется, что ϕ ( x , λ ) довлетворяет начальным словиям (1.5).
215
§ 2. Разложения по собственным ф=н;циям
ре>=лярной задачи Шт=рма-Ли=вилля.
Полнота системы собственных ф=н;ций
П сть ф н ция q ( x ) непрерывна на отрез е
[ a , b]
и
λ0 < λ1 < K < λn < K – все собственные значения задачи (1.3)–(1.4).
П стьдалее
y ( x, λ0 ) , y ( x, λ1 ) ,K, y ( x, λn ) ,K
(2.1)
– соответств ющие им собственные ф н ции, оторые для простоты
мы б дем предпола,ать нормированными, т.е.
b
2
y
∫ ( x, λn ) dx = 1 ( n = 0,1,2,K) .
a
То,да для вся ой абсолютно инте,рир емой на
[ a , b] ф
н ции
f ( x ) можно составить ряд Ф=рье по ф=н;циям системы (2.1):
∞
f ( x ) ~ ∑ cn y ( x , λn ) ,
n =0
,де
b
cn = ∫ f ( x ) y ( x, λn ) dx ( n = 0,1, 2,K) .
a
Справедливы след ющие предложения, оторые мы приведем без
до азательства.
Теорема 2.1. Если
f ( x ) непрерывна на [ a, b] , обладает соч-
но-непрерывными производными до второ,о поряд а и довлетворяет
,раничным словиям задачи (1.3)–(1.4):
cos α f ( a ) + sin α f ′ ( a ) = 0,
cos β f ( b ) + sin β f ′ ( b ) = 0,
торядФ рьепособственнымф н циямсходится f ( x ) абсолютнои
СовременныйГ манитарныйУниверситет
216
равномерно.
Теорема2.2.Если f ( x )
ет
сочнонепрерывнана
[a, b] иоблада-
сочно-непрерывными производными до второ,о поряд а, то ряд
Ф рьепособственнымф н циямсходитсядля a < x < b с мме f ( x )
f ( x + 0) − f ( x − 0)
в аждой точ е непрерывности и с мме
2
в аж-
дой точ е разрыва.
По ажем теперь, что система собственных ф н ций (2.1) задачи
(1.3)–(1.4)полна.Дляэто,онамдостаточно становить(см.§6,,л.2),
что для любой ф н ции
f ( x ) , инте,рир емой с вадратом на [ a, b] ,
выполнено равенство Парсеваля
∞
b
∫ f ( x ) dx = ∑ c
2
2
n
,
(2.2)
n =0
a
,де cn – оэффициентыФ рьепо системе(2.1).
Вся юнепрерывн юф н цию F ( x ) можнослюбойстепеньюточности аппро симировать в среднем вадратичном с помощью ф н ции
g ( x ) с дв мя непрерывными производными, довлетворяющей ,раничным словиям раевойзадачи(1.3)–(1.4).Можно,например,в ачестве g ( x ) братьф н ции,для оторых g ( a ) =
g ′( a ) = g ( b) = g ′(b) = 0 .
П сть
b
ε
∫a F ( x ) − g ( x ) dx ≤ 4 ,
2
(2.3)
,де ε > 0 – произвольно мало.
Потеореме2.1рядФ рьепо системе(2.1)сходится
g ( x ) рав-
номерно. Следовательно, с ществ ет полином
σ n ( x ) = a0 y ( x, λ0 ) + a1 y ( x, λ1 ) + K + an y ( x, λn ) ,
217
(2.4)
для оторо,о
g ( x) − σ n ( x) ≤
ε
4π
( a ≤ x ≤ b) .
Отсюда
b
ε
∫a g ( x ) − σ n ( x ) dx ≤ 4 .
2
(2.5)
В сил элементарно,о неравенства
( A + B)
2
≤ 2 ( A2 + B 2 )
из(2.3)и(2.5)выте ает
b
b
∫ F ( x ) − σ n ( x ) dx = ∫ {F ( x ) − g ( x )} + {g ( x ) − σ n ( x )} dx ≤
2
a
2
a
b
b
2
2
≤ 2 ∫ F ( x ) − g ( x ) dx + ∫ g ( x ) − σ n ( x ) dx ≤ ε .
a
a
Ита , мы до азали, что любая непрерывная ф н ция с любой степенью точности может быть аппро симирована в среднем вадратичном мно,очленами вида (2.4). Но то,да со,ласно теореме 6.5 (,л. 2)
система (2.1) является зам н той, т.е. для вся ой ф н ции
те,рир емой с вадратом на
f ( x ) , ин-
[a, b] , выполнено равенство Парсеваля
(2.2). Но, а мы знаем (теорема 6.3, ,л. 2), зам н тая система полна.
Поэтом до азана
Теорема 2.3. Система (2.1) собственных ф н ций задачи (1.3)–
(1.4)полна.
Иззам н тостисистемы(2.1)итеоремы6.1(,л.2)выте ает
Теорема 2.4. Для вся ой ф н ции f ( x ) , инте,рир емой с вадратомна
[ a , b] ,
2
b
n
lim ∫ f ( x ) − ∑ ck y ( x, λk ) dx = 0 ,
n →∞
k =0
a
СовременныйГ манитарныйУниверситет
218
,де ck – оэффициентыФ рьепосистеме(2.1).Иначе,оворя,рядФ рьевсе,дасходится f ( x ) всреднем.
§ 3. Син>=лярная задача Шт=рма-Ли=вилля. Частные
сл=чаи
В этом пара,рафе мы рассмотрим нес оль о примеров син, лярныхзадачШт рма-Ли вилля.
1. Ф=н;ции Бесселя ;а; собственные ф=н;ции син>=лярнойзадачиШт=рма-Ли=вилля.Рассмотримдифференциальное равнение
d dy p 2
− x +
y = λ xy , x ∈ ( 0,1] .
dx dx x
(3.1)
p2
, r ( x ) = x . С помоЭто равнение типа (1.1) с p ( x ) = x , l ( x ) =
x
щьюпреобразования,описанно,о в§1,оно приводится вид
−u′′ +
Мывидим,что q ( z ) =
p2 −
z
2
p2 −
z2
1
4 u = λu, z ∈ ( 0, π ] .
(3.2)
1
4 → ∞ при z → 0 .Поэтом ,задав ра-
евые словия:
u ( z ) о,раниченапри z → 0 ,
α% u (π ) + β% u ′ (π ) = 0 ,
мыпол чимсин, лярн юзадач Шт рма-Ли вилля.
Впрочем, вместо равнений (3.1) или (3.2) обычно рассматривают
равнение
x 2 y ′′ + xy ′ + ( x 2 − p 2 ) y = 0 ,
219
(3.3)
x% = λ x (дляпростотыобозначений нов ю переменн ю x% мы снова обозначили через x ). Вообще ,оворя, новая переменная x б дет омпле сной, но мы б дем рассматривать толь о сл чай λ > 0 . Уравнение (3.3) называется =равнением
отороепол чаетсяиз(3.1)заменой
Эйлера-Бесселя, а е,о решения – бесселевыми ф=н;циями. Число p называется инде;сом равнения (3.3).
Та а равнение(3.3)линейно,тое,ообщийинте,ралможетбыть
записан в виде
y ( x ) = C1 y1 ( x ) + C2 y2 ( x ) ,
,де y1 ( x ) и y2 ( x ) – два любых линейно независимых частных решения равнения(3.3), C1 и C2 –произвольныепостоянные.Та имобразом, чтобы найти общий инте,рал равнения (3.3), достаточно найти
два а их-ниб дь линейно независимых е,о решения.
П сть p ≥ 0 .Б демис атьрешение равнения(3.3)ввиде
y ( x) = x p z ( x).
То,да
y ′ = px p −1 z + x p z ′, y ′′ = p ( p − 1) x p − 2 z + 2 px p −1 z ′ + x p z ′′
и равнение (3.3) преобраз ется вид :
z ′′ +
2p +1
z′ + z = 0 .
x
(3.4)
Решение это,о равнения б дем ис ать в виде степенно,о ряда
z ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + K + an x n + K
Вычисления дают:
z ′ = a1 + 2a2 x + 3a3 x 2 + K + ( n + 2 ) an + 2 x n +1 + K ,
z ′′ = 2a2 + 2 ⋅ 3a3 x + K + ( n + 1) ( n + 2 ) an + 2 x n + K
Подставив пол ченные ряды в (3.4), найдем:
СовременныйГ манитарныйУниверситет
220
2p +1
a1 + 2a2 + ( 2 p + 1) 2a2 + a0 + 2 ⋅ 3a3 + ( 2 p + 1) 3a3 + a1 x + K
x
+ ( n + 1)( n + 2 ) an + 2 + ( 2 p + 1) ( n + 2 ) an + 2 + an x n + K = 0.
Приравнивая оэффициенты при соответств ющих степенях
пол чим:
a1 = 0 ,
( n + 1)( n + 2 ) an + 2 + ( 2 p + 1)( n + 2 ) an + 2 + an = 0 ( n = 0,1,2,K) ,
или
an + 2 = −
an
( n = 0,1,2,K) .
( 2 p + n + 2 )( n + 2 )
Отсюда
a1 = a3 = K = a2 m −1 = K = 0,
a2 = −
a0
,
2 ( 2 p + 2)
a4 = −
a0
a2
=
,
4 ( 2 p + 4 ) 2 ⋅ 4 ( 2 p + 2 )( 2 p + 4 )
KKKKKKKKKKKKKKKKK
a2 m = ( −1)
m
a0
=
2 ⋅ 4 ⋅ 6 K 2m ( 2 p + 2 ) ( 2 p + 4 )( 2 p + 6 ) K ( 2 p + 2m )
= ( −1)
m
a0
.
22 m m ! ( p + 1) ( p + 2 ) ( p + 3) K ( p + m )
Та им образом, решение равнения (3.4) дается рядом
∞
x 2m
m
z ( x ) = a0 1 + ∑ ( −1) 2 m
,
m
p
p
p
p
m
2
!
+
1
+
2
+
3
K
+
(
)(
)(
)
(
)
m
=
1
,де a0 –постоянная, отор ю можновыбрать произвольно.
221
x,
Попризна Даламберапол ченныйрядсходитсяпривсех x .Поэтом за онно е,о почленное дифференцирование (вн три интервала
сходимости)и z ( x ) действительноявляетсярешением равнения(3.4).
Ното,даф н ция
∞
x 2m
m
y ( x ) = a0 x 1 + ∑ ( −1)
(3.5)
2m
2
m
!
p
+
1
p
+
2
p
+
3
K
p
+
m
(
)(
)(
) (
)
m =1
p
при любом значении a0 б дет решением равнения (3.3).
Рассмотрим
Γ-ф нцию
∞
Γ ( p ) = ∫ e − x x p −1dx , p > 0 .
(3.6)
0
Она обладает след ющими свойствами:
1) Γ (1) = 1 ,
2) Γ ( p + 1) = p Γ ( p ) ,
3) Γ ( p + 1) = p ! ,если
p –целое,положительное.
С помощью свойства 2)ф н цию
Γ ( p ) можно распространить на
все значения p . Для это,о пола,аем при
Γ( p) =
−1 < p < 0 по определению
Γ ( p + 1)
p
(3.7)
(праваячастьимеетсмысл,та а 0 < p + 1 < 1 ).Далее,при −2 < p < −1
имеем −1 < p + 1 < 0 , и правая часть в форм ле (3.7) же определена.
Продолжая этот процесс, мы определим Γ ( p ) для всех отрицательных значений p . В частности, из построения след ет свойство
4) Γ ( p ) = ∞ для p = 0, −1, −2,K
Положим
СовременныйГ манитарныйУниверситет
222
a0 =
1
.
2 p Γ ( p + 1)
То,да ряд (3.5) определяет бесселев= ф=н;цию перво>о рода
инде;са p ≥ 0 :
p+2m
x p
x
∞
m
2
2
J p ( x) =
+ ∑ ( −1)
,
Γ
+
1
!
+
1
+
2
+
3
K
+
Γ
+
1
p
m
p
p
p
p
m
p
(
)
(
)(
)(
)
(
)
(
)
m
=
1
отор ю, польз ясь свойствами Γ-ф н ции, можно переписать в более
простом виде:
p+2m
x
−
1
(
)
∞
2
.
J p ( x) = ∑
m = 0 Γ ( m + 1) Γ ( p + m + 1)
m
(3.8)
В частности,
2 m +1
2m
m x
x
−
1
−
1
(
)
(
)
∞
∞
2
2
.
,
=
J0 ( x) = ∑
J
x
(
)
∑
1
2
!
1
!
m
m
+
(
)
m =0
m=0
( m!)
m
Вообще при целом положительном p
p+2m
x
−
1
(
)
∞
2
.
J p ( x) = ∑
m ! ( p + m )!
m =0
m
Отсюда видно,чтопри целыхчетных p ф н ция J p ( x ) четная,а
при целых нечетных p ф н ция J p ( x ) нечетная.
Применяярасс ждения,проведенныевыше, − p ,мыта жепол чимрешение равнения(3.3).Заменяяв(3.8) p на − p ,пол чим:
223
− p +2m
x
−
1
(
)
∞
2
.
J− p ( x) = ∑
m = 0 Γ ( m + 1) Γ ( − p + m + 1)
m
(3.9)
Заметим, что при целом p для m = 0, 1, 2,K , p − 1 величина
− p + m + 1 пробе,ает целые отрицательные значения и н ль. Поэтом
дляэтих m б дет Γ ( − p + m + 1) = ∞ и,следовательно,дляцелых p
− p +2 m
x
−
1
(
)
∞
2
J−p (x) = ∑
=
Γ
+
1
Γ
−
+
+
1
m
p
m
(
) (
)
m= p
m
p+2 k
x
∞
p
p
2
= ( −1) ∑
= ( −1) J p ( x ) .
k = 0 Γ ( k + 1) Γ ( p + k + 1)
( −1)
(3.10)
k
Если p не является целым числом, то знаменатели в (3.9) не обращаютсянивн ль,нивбес онечность.
Попризна Даламбераряд(3.9)сходитсядлявсех x ≠ 0 придробных p идлявсех x прицелых p (см.(3.10)).
Ф н ция J − p ( x ) та же называется бесселевой ф н цией перво,о
родаинде са − p .Объединяяформ лы(3.8)и(3.9)водн ,пол чим:
p+2m
x
−
1
(
)
∞
2
,
J p ( x) = ∑
m = 0 Γ ( m + 1) Γ ( p + m + 1)
m
,дечисло p можетбыть а положительным,та иотрицательным.
Вернемся отыс анию обще,о инте,рала равнения (3.3).
Есличисло
p > 0 неявляетсяцелым,тоф н ции J p ( x ) и J − p ( x )
линейнонезависимы,та а J p ( 0 ) = 0 ,а J − p ( 0 ) = ∞ и,следовательСовременныйГ манитарныйУниверситет
224
но, не с ществ ет постоянной C , для оторой выполнялось бы равенство
J p ( x ) = CJ − p ( x ) .
Поэтом , если p не является целым числом, то общий инте,рал
равнения (3.3) имеет вид:
y ( x ) = C1 J p ( x ) + C2 J − p ( x ) ,
(3.11)
,де C1 и C2 – произвольные постоянные.
Еслиже p ≥ 0 естьцелоечисло,товсил (3.10)ф н ции J p ( x ) и
J − p ( x ) линейно зависимы, и, следовательно, (3.11) не дает обще,о
инте,рала.Поэтом дляцелых p строитсяновоерешение Y p ( x ) равнения (3.3), линейно независимое от J p ( x ) . Оно называется бесселевой ф=н;цией второ>о рода и определяется по форм ле:
Yp ( x ) =
J p ( x ) cos pπ − J − p ( x )
sin pπ
(3.12)
придробных p и
x
Yn ( x ) = J n ( x ) ln + C −
2
−
1
π
n −1
∑
m =0
( n − m − 1) ! x − n +2 m
m!
2
( −1) x n +2 m n + m 1 m 1
− ∑
∑ k +∑k
π m =0 m ! ( n + m ) ! 2
k =1
k =1
1
∞
m
прицелых p = n ,,де C = 0,577215664901532K –постояннаяЭйлера
(этаформ лапол чаетсяиз(3.12)при p = n поправил Лопиталя).
Та им образом, при целых p = n общий инте,рал равнения (3.3)
есть
y ( x ) = C1 J n ( x ) + C2Yn ( x ) .
225
Межд ф н циями Бесселя с различными инде сами с ществ ет
связь. Она выражается в след ющих соотношениях:
d
x p J p ( x ) = x p J p −1 ( x ) ,
dx
(3.13)
d
x − p J p ( x ) = − x − p J p +1 ( x ) .
dx
(3.14)
Анало,ичные форм лы справедливы и для соответств ющих ф н ций второ,о рода.
Из(3.13)и(3.14)пол чаютсяформ лы:
xJ ′p ( x ) ± pJ p ( x ) = ± xJ p m1 ( x ) ,
(3.15)
J p −1 ( x ) − J p +1 ( x ) = 2 J ′p ( x ) ,
(3.16)
J p −1 ( x ) + J p +1 ( x ) =
2p
J p ( x) .
x
(3.17)
Обратимся теперь орням бесселевых ф н ций и их производных.Можнодо азать(мынеб демэто,оделатьиз-забольшо,ообъема
вы ладо ), что любое решение равнения Эйлера-Бесселя имеет бесонечное число положительных орней. В дальнейшем нас б д т интересоватьтоль оположительные орниф н ций J p ( x ) .Всил теоремы
Ролля межд аждыми дв мя последовательными орнями ф н ции
J p ( x ) лежит по райней мере один орень J ′p ( x ) . Следовательно,
ф н ция
J p′ ( x ) имеет, а и J p ( x ) , бес онечное множество положи-
тельных орней. Из теоремы единственности решения дифференциально,о равненияслед ет,чтоф н ции J p ( x ) и J p′ ( x ) неимеютобщих орней.
Прирешении раевыхзадаччастоприходитсявстречатьсясф н циямивида α J p ( x ) + β xJ p′ ( x ) ,,де α и β –не оторыепостоянные.
Любая та ая ф н ция имеет бес онечное множество положительных
орней.
Рассмотрим задач Шт рма-Ли вилля:
СовременныйГ манитарныйУниверситет
226
d dy p 2
− x +
y = λ xy , x ∈ ( 0,1] ,
dx dx x
(3.16)
y ( x ) о,раничена при x → 0 ,
(3.18)
α y (1) + β y ′ (1) = 0, α 2 + β 2 ≠ 0 .
(3.19)
Общийинте,рал равнения(3.1)имеетвид:
y ( x ) = C1 J p
(
λ x + C2 J − p
)
y ( x ) = C1′J n
(
λ x + C2′Yn
(
λx
) , если p > 0 дробное,
и
)
(
λx
) ,если p = n ≥ 0 целое
(для это,о надо вспомнить, что равнение (3.3) пол чалось из равнения(3.1)заменой
x% = λ x ).
В сил словия (3.18) C2 = 0
( C2′ = 0 ) , та
а ф н ции
J − p ( x ) (Yn ( x ) ) нео,раниченнывн ле.Поэтом привсех p ≥ 0 имеем
y ( x ) = C1 J p
(
λx
).
Чтобыпол читьрешение,неравноетождественнон лю,н жносчитать
C1 ≠ 0 . Положим C1 = 1 , та а собственные ф н ции определены с
точностью до постоянно,о множителя.
Подставимтеперь y ( x ) в раевое словие(3.19).Пол чим:
α Jp
Обозначим
( λ)+ β
λ J p′
( λ) = 0.
µ = λ . То,да последнее
равнение примет вид:
α J p ( µ ) + β µ J p′ ( µ ) = 0
Ка мы знаем, та ое равнение имеет бес онечно мно,о положительных решений
µ1 , µ 2 ,K, µ m ,K Следовательно, собственные значения
227
задачи(3.1),(3.18)–(3.19)б д т
λm = µm2 , m = 1, 2,K ,
а собственные ф н ции
(
y ( x; λm ) = J p
)
λm x , m = 1,2,K
По ажем, что ф н ции вида J p
весом
λm x
[0,1] .
x на отрез е
yn ( x ) = J p
(
λn x
) .То,да y
m
(
λm x
ym ( x ) = J p
(
)
λm x ,
довлетворяют равнениям:
2
p
+ x ym = λm xym ,
2
p
yn = λn xyn .
+
x
d dy
− x n
dx dx
Умножим первое равенство на
( p ≥ 0 ) орто,ональны с
Положим
( x ) и yn ( x )
d dy
− x m
dx dx
)
yn , а второе – на ym и вычтем второе
из перво,о. Пол чим:
−
d dym
x
dx dx
d dyn
+
y
n
x
dx dx
ym = ( λm − λn ) xym yn ,
или
dym
d dyn
x
y
−
y
n
m
= ( λm − λn ) xym yn .
dx
dx
dx
Проинте,рир емэторавенствовпределахот0до1:
1
dym
dyn
x
y
−
y
n
= ( λm − λn ) ∫ xym yn dx .
m dx
dx
0
0
1
(3.20)
1
По ажем, что инте,рал
∫ xy
m
yn dx действительно с ществ ет. Для
0
СовременныйГ манитарныйУниверситет
228
yn x
это,опреждевсе,озаметим,чтопоформ ле(3.8)
ym ( x ) = J p
(
)
λm x = x pϕ ( x ) , yn ( x ) = J p
(
)
λn x = x pψ ( x ) ,
(3.21)
,де ϕ ( x ) и ψ( x ) – с ммы степенных рядов, и, следовательно, представляют собой непрерывные ф н ции с непрерывными производными. Поэтом
xym yn = x 2 p +1ϕ ( x )ψ ( x ) ≤ Mx 2 p +1
(M
= const ) .
Та а 2 p + 1 > 0 ,то помян тыйинте,ралс ществ ет.
Из(3.21)след ет,что
dym
dyn
x
y
−
y
= 0.
n
m dx
dx
x =0
Поэтом вместо (3.20) можно писать
dym
dyn
x
y
−
y
n
= ( λm − λn ) ∫ xym yn dx .
m dx
dx
x =1
0
1
(3.22)
Ата а
ym (1) = J p
(
)
yn (1) = J p
λm ,
ym′ (1) = λm J ′p
(
(
)
λn ,
)
λm , y n′ (1) = λn J ′p
(
λn
),
то(3.22)приметвид:
λn J p
(
) (
)
λm J p′
) ( λ )=
x ) J ( λ x ) dx.
λn − λm J p
1
= ( λm − λn ) ∫ xJ p
(
λm
(
p
λn J p′
m
(3.23)
n
0
Рассмотрим теперь три сл чая.
1) λm и λn довлетворяют словиям:
λm ≠ λm .Прита
J p ( λm ) = 0 , J p ( λn ) = 0 ,
их λm и λn леваячастьсоотношения(3.23)обращает-
229
сявн ль.Поэтом всил то,о,что λm
≠ λn ,пол чаем:
1
∫ xJ
p
( λn x ) J p ( λm x )dx = 0 .
(3.24)
0
2) λm и λn довлетворяют словиям:
λm ≠ λm . Левая часть (3.23) и в этом сл
J ′p ( λm ) = 0 , J ′p ( λn ) = 0 ,
чае обращается в н ль, и мы
снова пол чаем равенство (3.24);
3) λm и λn довлетворяют словиям:
α J p ( λm ) + β λm J p′ ( λm ) = 0 ,
α J p ( λn ) + β λn J ′p ( λn ) = 0 .
λn ) ,авторое–на J p ( λm ) и
Умножимпервоеравенствона J p (
вычтем из второ,о первое. При этом пол чим:
λn J p
(
)J′ (
λm
)−
λn
p
λm J p
(
)J′ (
λn
λm
p
)=0
.
Та им образом, мы по азали, что в сл чаях 1)–3) ф н ции
Jp
(
λm x
)
и
Jp
(
λn x
) орто,ональнысвесом x наотрез е [0,1] .
Вычислим теперь
Jp
При λm
(
λm x
) = ∫ xJ (
)
λm x dx .
2
p
x
0
≠ λn изформ лы(3.23)след ет,что
1
∫ xJ (
) ( λ x ) dx =
)J′ ( λ )− λ J ( λ )J′ (
p
=
1
2
λm J p
(
0
λn
p
λn x J p
m
m
n
p
λn − λm
СовременныйГ манитарныйУниверситет
230
m
p
λn
).
При
λn → λm числитель и знаменатель стремятся
н лю. Чтобы рас-
рыть эт “неопределенность”, воспольз емся правилом Лопиталя. Пол чим:
1
2
xJ
p
∫
(
λm x dx =
)
(
λm J p′
0
λm J p′
= lim
(
) (
λn J p′
)
λm − J p
) (
(
) (
λm J p′′
λn
2 λn
λn → λm
1 2
=
J p′
2
Но J p (
)
λn − λn J p
λm )
(
)
λm − J p
(
λm
) (
)
λm −
J p′′
а ф н цияот µ m
Jp
(
) (
λm J ′p
).
λm
λm
= λm довлетворяет равнению(3.3),
т.е.
µm2 J p′′ ( µm ) + µm J p′ ( µm ) + ( µm2 − p 2 ) J p ( µ m ) = 0 ,
от
да
−J p
(
) (
λm J p′′
)
λm −
Jp
(
) (
λm J ′p
λm
λm
) = 1 − p
2
Jp
λm
2
(
Поэтом
1
∫ xJ
0
2
p
(
1
λm x dx = J ′p2
2
)
Вчастности,если J p (
1
2
∫ xJ p
(
(
λm
)
p2
+ 1 −
λm
2
Jp
λm ) = 0 ,то
)
1
2
λm x dx = J p′2
0
или,всил (3.15)при x =
λm
)=
,
231
(
λm
),
(
)
λm .
λm
).
1
2
xJ
p
∫
(
)
1
2
λm x dx = J p2 +1
0
Если J ′p (
(
λm
).
λm ) = 0 ,то
1
∫ xJ
2
p
(
0
1
p2
λm x dx = 1 −
2 λm
)
2
Jp
(
)
λm .
Обратимсятеперь ,лавнойцелинаше,оизложения–разложениямф н цийврядыФ рьепособственнымф н циямзадачи(3.1),(3.18)
–(3.19).
П сть
λ1 , λ2 ,K, λm ,K – собственные значения задачи (3.1), (3.18)
–(3.19),а J p
(
)
λm x , m = 1,2,K –еесобственныеф
н ции.То,дався-
ойабсолютноинте,рир емойна 0,1 ф н ции f ( x ) можносопоста-
[ ]
витьеерядФ рьепосистеме
{J (
p
λm x
∞
f ( x ) ~ ∑ cm J p
m =1
(
)}:
λm x
),
(3.25)
,де оэффициенты Ф рье-Бесселя определяются по форм лам:
1
1
cm =
Jp
(
λm x
)
2
∫ xf ( x ) J (
p
)
λm x dx, m = 1, 2,K
(3.26)
0
x
Справедлива
Теорема 3.1. Если
f ( x ) дважды непрерывно дифференцир е-
]
мана ( 0,1 и довлетворяет раевым словиям:
f ( x ) о,раниченапри x → 0 ,
f (1) = 0,
тоеерядФ рье(3.25)пособственнымф н циямзадачи(3.1),(3.18)–
СовременныйГ манитарныйУниверситет
232
(3.19) с
β = 0 сходится
отрез е
[δ ,1],
f ( x ) абсолютно и равномерно на аждом
δ >0.
При x = 0 и p > 0 с ммаряда(3.25)равнан лю.Апри p = 0 ряд
∞
(3.25)вн лепринимаетвид
∑c
m
и,оворитьое,осходимостиможно
m =1
толь ов частных сл чаях, оторые мы рассматриватьне б дем.
Теорема 3.2. Если
ет
сочно-непрерывная ф н ция f ( x ) облада-
сочно-непрерывными производными до второ,о поряд а на
[0,1] ,
тоеерядФ рье(3.25)пособственнымф н циямзадачи(3.1),(3.18)–
(3.19)с β = 0 сходитсяпри 0 < x < 1 f ( x ) в аждойточ енепрерывностии
f ( x + 0) + f ( x − 0)
2
в аждойточ еразрываф н ции f ( x ) .
При x = 1 иданных раевых словияхряд(3.25)все,дасходится
н лю.
Всл чае
β ≠ 0
словия представимостиф н ции
f ( x ) ее рядом
Ф рьепособственнымф н циямзадачи(3.1),(3.18)–(3.19)болеесложные.
Теорема 3.3. Если
ет
сочно-непрерывная ф н ция
f ( x ) облада-
сочно-непрерывными производными до второ,о поряд а на
[0,1] ,
то ее ряд Ф рье (3.25) по собственным ф н циям задачи (3.1), (3.18)–
(3.19),
p>−
α
β
рывности и
,сходится при 0 < x < 1
f ( x + 0) + f ( x − 0)
2
f ( x ) в аждойточ е непре-
в аждой точ е разрыва ф н ции
f ( x) .
При x = 1 иданных раевых словияхряд(3.25)сходится f (1 − 0 )
233
(если f ( x ) непрерывна,то f (1) ).
Нас оль ос щественно словие
f ( x) = x p
ном примере. П сть
{ (
посистеме J p
λm x
(
α
β
,мыпо ажемна он рет-
( 0 ≤ x ≤ 1) . Разложим ее в ряд Ф
)},,де J (
λm x
p
циямизадачи(3.1),(3.18),(3.19)с α
ловию J ′p
p>−
рье
) являютсясобственнымиф н -
= 0, β = 1 ,т.е. довлетворяют с-
)
λm = 0 .
Поформ лам(3.26)
cm =
2λm
(λ
m
−p
2
1
)J (
2
p
λm
)
∫x
p +1
Jp
(
)
λm x dx, m = 1,2,K
0
Новсил (3.13)
1
∫x
p +1
Jp
1
λm x dx =
λ
m
(
)
0
1
=
λ
m
p+2
λm
∫
p+2
p
(
)
λm = J 1
m
p = 0 .
теперь
(
λm
J p +1
(
)
λm .
p>0
)
λm J p
2
m =1
J p +1
1
λ x)
)
(
= 2∑
(λ − p ) J ( λ ) .
λm J p +1
(
z p +1 J p ( z ) dz =
0
0
∞
Положим
∫
′
z p +1 J p +1 ( z ) dz =
Следовательно, по теореме 3.3 при
x
λm
λm = − J 0′
(
2
p
m
m
То,да
)
из
(3.15)
λm = 0 . Но f ( x ) = x 0 ≡ 1 , а все
фициенты Ф рье-Бесселя равны н лю!
СовременныйГ манитарныйУниверситет
234
оэф-
О азывается,длято,очтобытеорема3.3былавернапри
{ (
λm x
системе J p
p=−
α
β
x p . Нетр дно проверить, что она б дет
решениемзадачи(3.1),(3.18)–(3.19)при −
p
(
α
β
)}необходимодобавитьнов юф н цию.Всл чае
этой ф н цией б дет
ф н ций x , J p
p≤−
)
λ1 x , J p
(
)
λ2 x ,K, J p
α
= p и λ = 0 ,асистема
β
(
)
λm x ,K орто,ональнана
[0,1] с весом x .
Вернемся нашем пример . Мы видим, что 0 = −
{ (
вательно, присоединяя системе J 0
значив через
λm x
α
= p . Следоβ
)} ф н цию x
0
= 1 и обо-
c0 соответств ющий оэффициент Ф рье-Бесселя ф н -
ции f ( x ) ≡ 1 , мы пол чим:
1
c0 =
∫ x ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ dx
0
1
= 1,
∫ x ⋅ 1 dx
2
0
от
да
1 =1+ 0 + 0 +K + 0 +K
При
p<−
α
β
“добавочная”ф н цияимеетболеесложныйвид.По-
этом мы не останавливаемся на этом сл чае.
235
У ажемещеодн важн ютеорем разложения.
Теорема 3.4. П сть ф н ция f ( x ) непрерывна, дважды дифференцир ема
[0,1] и
α f (1) + β f ′ (1) = 0,
на
f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = 0,
довлетворяет
словиям:
f ′′ ( x ) о,раничена. То,да ее
ряд Ф рье (3.25) по собственным ф н циям задачи (3.1), (3.18)–(3.19)
сходится абсолютно и равномерно на
[0,1] .
2. Полиномы Лежандра ;а; собственные ф=н;ции син>=лярной задачи Шт=рма-Ли=вилля. Рассмотрим задач Шт рма-Ливилля
d 2u 1 2
1
π π
− 2 − tg t + u = λ u, t ∈ − , ,
dt
2
4
2 2
(3.27)
π
u± = 0 .
2
(3.28)
1
π
1 2
tg t + → −∞ при t → ± .Поэтом задача(3.27)
2
2
4
Здесь q ( t ) = −
– (3.28) – син, лярная задача Шт рма-Ли вилля. Сделав замен
x = sin t , y =
u
, вместо задачи (3.27) – (3.28) пол чим задач
cos t
− (1 − x 2 ) y ′′ + 2 xy ′ = λ y , x ∈ ( −1,1) ,
(3.29)
y ( x ) о,раничена при x → ±1 .
(3.30)
Б демис ать
y ( x ) ввидеряда
∞
y ( x ) = ∑ an x n .
n =0
Подставив е,о в равнение (3.29) и приравняв оэффициенты при
одина овых степенях x , пол чим соотношение:
СовременныйГ манитарныйУниверситет
236
an + 2 =
n ( n + 1) − λ
( n + 1)( n + 2 )
an , n = 0,1,2,K
(3.31)
Заметим, что равнение (3.29) инвариантно относительно замены
x на − x : если ф н ция y ( x ) довлетворяет равнению, то и y ( − x )
ем довлетворяет.Следовательно, равнению довлетворяютичетная
ф н ция
y ( x ) + y ( − x ) и нечетная ф н ция y ( x ) − y ( − x ) . Поэтом
достаточно решить задач (3.29)–(3.30) для четных и нечетных ф н ций.
Из(3.31)видно,чтоесли
y ( x ) –четнаяф н ция,товсе оэффи-
циенты с нечетными номерами равны н лю, а если y ( x ) – нечетная
ф н ция, то все оэффициенты с четными номерами равны н лю.
П сть k = n − 2m > 0 .То,давсил (3.31)имеем:
an =
=
( n − 2 ) ( n − 1) − λ ( n − 4 ) ( n − 3) − λ
⋅
⋅K
( n − 1) n
( n − 3)( n − 2 )
( n − 2m ) ( n − 2m + 1) − λ
K⋅
ak
n
−
2
m
+
1
n
−
2
m
+
2
(
)(
)
=
n−4
n−2
λ
λ
1
1
−
−
K
n
n
1
n
2
n
2
n
3
n
4
−
−
−
−
−
(
)(
)
(
)(
)
K
=
(3.32)
λ
n − 2m
1
a
−
=
n − 2m + 2
( n − 2m + 1) ( n − 2m ) k
k
λ
λ
1
−
1
−
K
n
n
−
1
n
−
2
n
−
3
n
−
4
(
)(
) (
)(
)
λ
K 1 −
ak .
( n − 2m + 1)( n − 2m )
237
Из(3.31)видно,что y ( x ) естьполиномстепени n втомитоль о
томсл чае, о,да λ = n ( n + 1) .Привсехостальных λ мыпол чимряд,
сходящийсяпри x < 1 .Зафи сир ем k стольбольшое,чтовсесомножителив(3.32)положительны( ak та жеможносчитатьположительным).
Привозрастании n аждаяс об ав(3.32)стремится 1,поэтом при
n > k имеем an >
C
n ,,де C > 0 –постоянная(та а k и ak –фи си∞
рованныеположительныечисла).Следовательно,
∑a x
n
n
нео,раниче-
n =0
наво рестности x = 1 ,азначитнеявляетсярешениемзадачи(3.29)–
(3.30).
Та имобразом, λn = n ( n + 1) и
n
y ( x; λn ) = ∑ ak x k
(3.33)
k =0
–решениезадачи(3.29)–(3.30).По ажем,что
y ( x; λn ) есть n -йполи-
номЛежандра.Иззамечания,сделанно,овыше,ясно,чтовс мм (3.33)
входят степени x одина овой четности с n .
Длядо азательстваб дет добнееположить ak = bn − k , k = 0,1,K, n;
то,да (3.33) перепишется в виде
n
y ( x; λn ) = ∑ bk x n − k .
(3.33')
k =0
Подставляя в равнение (3.29), найдем:
− (1 − x
n
2
) ∑ ( n − k )( n − k − 1) b x
k
k =0
n −k −2
n
+ 2 x ∑ ( n − k ) bk x n − k −1 =
k =0
n
= n ( n + 1) ∑ bk x n − k .
k =0
СовременныйГ манитарныйУниверситет
238
Приравнивая оэффициенты при одина овых степенях
n
− ∑ ( n − k )( n − k − 1) bk x
n −k −2
k =0
x , пол чим:
n
= ∑ n ( n + 1) − ( n − k )( n − k + 1) bk x n − k .
k =0
Заменяя в с мме слева инде с k на k − 2 , б дем иметь:
n
− ∑ ( n − k + 2 ) ( n − k + 1) bk −2 x n −k =
k =2
= n ( n + 1) − ( n − 1) n b1 x n −1 +
n
+ ∑ n ( n + 1) − ( n − k ) ( n − k + 1) bk x n −k ,
k =2
от да след ет, что
b1 = 0 ,
bk = −
( n − k + 2 )( n − k + 1)
bk − 2 .
k ( 2n − k + 1)
Отсюда видно, что все оэффициенты с нечетными инде сами
равнын лю.Положим k = 2 m ;то,да
b2 m = −
П сть b0
= 1 .Значит,
b2 = −
b2 m = ( −1)
( n − 2m + 2 )( n − 2m + 1)
b2 m − 2 .
2m ( 2n − 2m + 1)
m
n ( n − 1)
2 ( 2n − 1)
, b4 =
n ( n − 1) ( n − 2 )( n − 3)
2 ( 2n − 1) 2 ⋅ 2 ( 2 n − 3)
n ( n − 1) ( n − 2 ) ( n − 3)
, K ,
( n − 2m + 2 ) ( n − 2m + 1)
=
2 ( 2n − 1) 2 ⋅ 2 ( 2n − 3)
2m ( 2n − 2m + 1)
n ! ( 2n − 2m ) !
m
= ( −1) Cnm
.
( 2n ) ! ( n − 2 m ) !
239
K
От да
y ( x; λn ) =
n
2
n!
m
m ( 2 n − 2m ) ! n − 2 m
−
1
C
x
,
(
)
n
( 2n )! m∑=0
( n − 2 m )!
а это и есть полином Лежандра степени n со старшим оэффициентом,равным1(см.форм л (5.7),,л.3).
Та им образом, мы до азали, что полиномы Лежандра являются
собственными ф н циями задачи (3.29)–(3.30) (или, что то же (3.27)–
(3.28)). Теоремы о разложении ф н ции в ряд Ф рье по полиномам
Лежандрабылирассмотреныв,л.3,§7.
§4.Приложения
Чаще все,о метод собственных ф н ций применяется в решении
задач математичес ой физи и. В данном пара,рафе мы не б дем выводить основные равнения (их вывод и физичес ие постанов и задач
можнонайтив ни,е[8],,л.III).Мырассмотримпримеры, оторыетреб ют применения изложенной выше теории.
1. Свободные ;олебания стр=ны. П сть ф н ция
u ( x, t ) зада-
[ ] [
на в области 0, l × 0, ∞ ) и дважды непрерывно дифференцир ема в
ней. Рассмотрим задач :
2
∂ 2u
2 ∂ u
,
=a
2
2
∂t
∂x
(4.1)
u ( 0, t ) = u ( l , t ) = 0 ,
(4.2)
u ( x,0 ) = f ( x ) ,
,де
∂u ( x,0 )
∂t
= g ( x) ,
(4.3)
f ( x ) и g ( x ) – заданные дважды непрерывно дифференцир е-
мыена
[0,l ] ф
н ции,обращающиесявн льпри x = 0 и x = l .
Б дем ис ать решения равнения (4.1) (отличные от u ≡ 0 ), довлетворяющие ,раничным словиям (4.2), в виде
u ( x, t ) = Χ ( x ) Τ ( t ) .
СовременныйГ манитарныйУниверситет
240
(4.4)
Подставляяв(4.1),пол чим:
ΧΤ′′ = a 2 Χ ′′Τ ,
от да
Χ ′′ Τ ′′
=
= − λ = const ,
Χ a2Τ
следовательно,
−Χ ′′ = λ Χ,
(4.5)
−Τ ′′ = a 2 λ Τ .
(4.6)
Чтобыф н ция(4.4) довлетворяла словиям(4.2),н жнопотребовать,чтобы
Χ (0) = Χ (l ) = 0 .
(4.7)
Та им образом, мы пол чили задач Шт рма-Ли вилля (4.5), (4.7).
Все собственные значения нашей задачи положительны (это можно
проверить непосредственно: рассмотрев решение равнения (4.5) при
λ < 0 , бедитьсявневыполнении словий(4.7)).Поэтом решение равнения (4.5) имеетвид:
Χ ( x ) = C1 cos λ x + C2 sin λ x ( C1 = const , C2 = const ) .
Подставив раевые словия (4.7), мы пол чим:
Χ ( 0 ) = C1 = 0 ,
Χ ( l ) = C2 sin λ l = 0 .
Та а Χ ( x ) отличнаоттождественно,он ля,то C2 ≠ 0 .Положим
C2 = 1 . Следовательно,
πn
λn =
l
2
( n = 1,2,K)
– собственные значения, а
Χ n ( x ) = sin
π nx
l
( n = 1,2,K)
– собственные ф н ции задачи (4.5), (4.7).
241
Подставляя
λ = λn в
равнение (4.6), найдем е,о решение:
Τ n ( t ) = An cos
aπ nt
aπ nt
+ Bn sin
l
l
( n = 1,2,K) .
Следовательно, частные решения равнения (4.1) б д т:
aπ nt
aπ nt π nx
un ( x, t ) = An cos
+ Bn sin
sin
l
l
l
( n = 1,2,K) ,
ае,ообщее решениеесть
aπ nt
aπ nt π nx
. (4.8)
u ( x, t ) = ∑ un ( x, t ) = ∑ An cos
+ Bn sin
sin
l
l
l
n =1
n =1
∞
∞
Очевидно, что u ( x, t ) довлетворяет словиям (4.2). Определим
оэффициенты An и Bn та ,чтобы u ( x , t ) довлетворяла словиям(4.3).
Имеем:
∞
π nx
n =1
l
u ( x,0 ) = ∑ An sin
∂u ( x,0 )
∂t
∞
= ∑ Bn
n =1
= f ( x) ,
aπ n
π nx
sin
= g ( x) .
l
l
(4.9)
(4.10)
Эти равенства за онны, если ряд (4.8) сходится и е,о можно дифференцировать почленно. Но равенства (4.9) и (4.10) равносильны том ,
чтоф н ции f ( x ) и g ( x ) представимысвоимирядамиФ рьепособственным ф н циямзадачи (4.5),(4.7). Всил словий,наложенных на
f ( x ) и g ( x ) ,этодействительнота (см.теорем 2.1).Коэффициенты
этих разложений определяются по форм лам:
2
π nx
An = ∫ f ( x ) sin
dx ( n = 1,2,K) ,
l 0
l
l
aπ n 2
π nx
Bn
= ∫ g ( x ) sin
dx ,
l
l 0
l
l
СовременныйГ манитарныйУниверситет
242
(4.11)
от да
Bn =
l
2
aπ n
∫ g ( x ) sin
0
π nx
l
dx ( n = 1,2,K) .
(4.12)
Та имобразом,решениезадачи(4.1)–(4.3)даетсярядом(4.8),,де
оэффициенты
An и Bn вычисляютсяпоформ лам(4.11)и(4.12).
2. Вын=жденные ;олебания стр=ны. П сть ф н ция
u ( x, t )
довлетворяет словиям п.1 и равнению
2
∂ 2u
2 ∂ u
=a
+ F ( x, t ) ,
2
2
∂t
∂x
,дедляна,лядностиположим F ( x , t ) =
(4.13)
A sin ω t .Рассмотримсмешан-
н юзадач (4.13),(4.2)–(4.3).
Б демис ать u ( x , t ) ввидеряда
∞
u ( x, t ) = ∑ Τ n ( t ) Χ n ( x ) ,
n =1
,де Χ n ( x ) –собственныеф н циизадачи(4.5),(4.7),т.е.
∞
π nx
n =1
l
u ( x, t ) = ∑ Τ n ( t ) sin
.
(4.14)
{
}
Ф н цию F ( x , t ) разложимврядФ рьепоф н циям Χ n ( x ) :
∞
π nx
n =1
l
F ( x, t ) = A sin ω t = ∑ Fn ( t ) sin
,
(4.15)
,де
2
π nx
2A
n
Fn ( t ) = ∫ A sin ω t sin
dx =
1 − ( −1) sin ω t ( n = 1, 2,K) .
l 0
l
πn
l
Подставив (4.14) и (4.15) в равнение (4.13) и продифференцировав ряды почленно, пол чим:
243
π nx
a 2π 2 n 2
2A
n
′′
1
1
sin
t
Τ
+
Τ
−
−
−
= 0,
ω
(
)
∑
n
n
sin
2
l
n
l
π
n =1
∞
от да
a 2π 2 n 2
2A
n
sin ω t = 0 .
1
1
Τ ′′n +
Τ
−
−
−
(
)
n
2
l
πn
Положим ω n =
aπ n
l
( n = 1,2,K) ,то,да
Τ ′′n + ω n2 Τ n =
П стьсначала ω n
(4.16)
равнение(4.16)приметвид
2A
n
1 − ( −1) sin ω t .
πn
(4.17)
≠ ω .То,дарешением равнения(4.17)б дет
n
2 A 1 − ( −1)
sin ω t .
Τ n ( t ) = An cos ω n t + Bn sin ω n t +
π n (ω n2 − ω 2 )
(4.18)
Чтобывыполнялись словия(4.3),н жнопотребовать,чтобы
∞
π nx
n =1
l
u ( x ,0 ) = ∑ Τ n ( 0 ) sin
∂u ( x,0 )
∂t
= f ( x) ,
∞
π nx
n =1
l
= ∑ Τ ′n ( 0 ) sin
= g ( x) .
Ка и в п.1, из этих разложений след ет возможность почленно,о
дифференцирования ряда (4.14). Вычисляя оэффициенты Ф рье ф нций f ( x ) и g ( x ) ,всил (4.18)б демиметь:
2
π nx
Τ n ( 0 ) = An = ∫ f ( x ) sin
dx ,
l 0
l
l
2 Aω 1 − ( −1) 2 l
π nx
=
Τ ′n ( 0 ) = Bnω n +
g
x
sin
dx ,
(
)
∫
2
2
l
l
π n (ω n − ω )
0
n
СовременныйГ манитарныйУниверситет
244
(4.19)
от да
1 − ( −1)n
2
A
ω
2
π nx
.
Bn =
g
x
sin
dx −
(
)
∫
2
2
lω n 0
l
π nω n (ω n − ω )
l
(4.20)
Подставляя (4.19) и (4.20) в (4.18), а затем подставляя (4.18) в (4.14),
пол чим:
∞
π nx
n =1
l
u ( x, t ) = ∑ ( An cos ω n t + Bn sin ω n t ) sin
+
4A
π
∞
sin ω t ∑
sin
π ( 2k − 1) x
k =1 ( 2 k − 1) (ω
l
2
2 k −1
−ω
2
)
−
4 Aω
π
∞
∑
+
sin ω 2 k −1t sin
ω 2 k − 1 (ω
k =1
π ( 2k − 1) x
2
2 k −1
l
−ω2)
,
,де
Bn =
2
lω n
l
∫ g ( x ) sin
0
π nx
l
dx .
Та им образом, решение задачи (4.13), (4.2) – (4.3) отличается от
решениязадачи(4.1)–(4.3)дв мя“сла,аемыми”, оторыевносятсяналичием возм щающей силы
П сть теперь ω n
F ( x, t ) .
= ω при не отором n . То,да решением равне-
ния(4.17)б дет
Τ n ( t ) = An cos ω n t + Bn sin ω n t −
At
n
1 − ( −1) cos ω t ,
π nω
от дапринечетном n сла,аемое Τ n ( t ) sin
π nx
l
с ммы(4.14)нео,ра-
ничено.
3.Свободные;олебаниястержня.П стьф н ция u ( x , t ) довлетворяет словиям п.1. Рассмотрим задач :
2
∂ 2u
2 ∂ u
=a
,
∂t 2
∂x 2
245
(4.21)
u ( 0, t ) = 0,
∂u ( l , t )
∂x
= 0,
∂u ( x,0 )
u ( x,0 ) = f ( x ) ,
∂t
= g ( x) ,
(4.22)
(4.23)
,деф н ции f ( x ) и g ( x ) та иеже, а ивп.1.
Ка ивп.1,ищемчастныерешениявида
u ( x, t ) = Χ ( x ) Τ ( t ) ,
от да пол чаем равнения
−Χ ′′ = λ Χ,
(4.24)
−Τ ′′ = a 2 λ Τ
(4.25)
Χ (0) = Χ′(l ) = 0 .
(4.26)
при словиях
Решение равнения (4.24) имеет вид ( λ > 0 , та а в противном
сл чаеневыполняются словия(4.26)):
Χ ( x ) = C1 cos λ x + C2 sin λ x ( C1 = const, C2 = const ) .
Всил (4.26)имеем:
Χ ( 0 ) = C1 = 0 ,
Χ′ ( l ) = C2 λ cos λ l = 0 .
Та а Χ ( x ) отличнаоттождественно,он ля,то C2 ≠ 0 .Положим
C2 = 1 .То,да
π ( 2n + 1)
λn =
2
l
2
( n = 0,1,2,K) ,
СовременныйГ манитарныйУниверситет
246
Χ n ( x ) = sin
π ( 2n + 1) x
2l
( n = 0,1,2,K)
–решениезадачи(4.24),(4.26).
При λ = λn из равнения(4.25)находим:
Τ n ( t ) = An cos a λn t + Bn sin a λn t ( n = 0,1,2,K) .
Следовательно,
(
)
un ( x , t ) = An cos a λn t + Bn sin a λn t sin λn x ( n = 0,1,2,K)
– частные решения равнения (4.21). Общее решение задачи (4.21) –
(4.23)ищемввидеряда
u ( x, t ) =
∞
∞
∑ u ( x, t ) = ∑ ( A cos a
n
n
n =0
)
λn t + Bn sin a λn t sin λn x . (4.27)
n =0
Чтобыбыливыполнены словия(4.23),потреб ем,чтобы
∞
u ( x ,0 ) = ∑ An sin λn x = f ( x ) ,
n =0
∂u ( x,0 )
∂t
∞
= ∑ Bn a λn sin λn x = g ( x ) .
n =0
Изэтихразложенийисвойствф н ций f ( x ) и g ( x ) след етвозможность почленно,о дифференцирования ряда (4.27). Вычисляя оэффициенты Ф рье ф н ций f ( x ) и g ( x ) по системе
дем иметь:
l
An =
∫ f ( x ) sin
λn xdx
0
l
∫ sin
2
λn xdx
0
247
( n = 0,1,2,K) ,
{Χ ( x )} , б n
l
Bn a λn =
∫ g ( x ) sin
0
π nx
l
dx
l
∫ sin
( n = 0,1, 2,K) .
λn xdx
2
0
Но
l
l
∫ sin
(
)
1
l
λn xdx = ∫ 1 − cos 2 λn x dx = ,
20
2
2
0
поэтом
l
2
An = ∫ f ( x ) sin λn xdx ( n = 0,1,2,K) ,
l 0
Bn =
l
2
a
(4.28)
g ( x ) sin
∫
λl
n
λn xdx =
0
4
=
( 2n + 1) aπ
(4.29)
l
∫ g ( x ) sin
λn xdx ( n = 0,1, 2, K) .
0
Та им образом, решение задачи (4.21) – (4.23) дается форм лой
(4.27),,де
An и Bn вычисляютсяпоформ лам(4.28),(4.29).
4. Вын=жденные ;олебания стержня. П сть ф н ция u ( x, t )
довлетворяет словиям п.1 и равнению
2
∂ 2u
2 ∂ u
=a
+ F ( x, t ) ,
∂t 2
∂x 2
(4.30)
,де для определенности F ( x , t ) = g = const . Рассмотрим смешанн ю
задач (4.30),(4.22)–(4.23).
Б демис ать u ( x , t ) ввидеряда
∞
u ( x, t ) = ∑ Τ n ( t ) Χ n ( x ) ,
n =1
СовременныйГ манитарныйУниверситет
248
,де Χ n ( x ) –собственныеф н циизадачи(4.24),(4.26),т.е.
∞
u ( x, t ) = ∑ Τ n ( t ) sin λn x ,
(4.31)
n =0
,де
π ( 2n + 1)
λn =
2
l
2
( n = 0,1,2,K) .
Ф н цию F ( x , t ) разложимврядФ рьепоф н циям
{Χ ( x )} :
n
∞
F ( x, t ) = g = ∑ Fn ( t ) sin λn x ,
n =0
,де
l
2
2g
Fn ( t ) = ∫ g sin λn xdx =
l 0
l λn
( n = 0,1, 2,K) .
Подставив(4.31)и(4.32)в равнение(4.30),пол чим:
2g
2
′′
Τ
+
a
λ
Τ
−
∑
n n
n
l λn
n =0
∞
от
sin λn x = 0 ,
да
Τ ′′n + a 2 λn Τ n −
2g
l λn
= 0 ( n = 0,1,2,K) .
Решения этих равнений имеют вид:
Τ n ( t ) = An cos a λn t + Bn sin a λn t +
2g
la 2 λn3 2
( n = 0,1,2,K) .
Чтобывыполнялись словия(4.3),н жнопотребовать,чтобы
∞
u ( x,0 ) = ∑ Τ n ( 0 ) sin λn x = f ( x ) ,
n =1
249
(4.32)
∂u ( x,0 )
∂t
∞
= ∑ Τ ′n ( 0 ) sin λn x = g ( x ) .
n =1
Вычисляя оэффициенты Ф рье для f ( x ) и g ( x ) по системе
{Χ ( x )} ,б демиметь:
n
Τ n ( 0 ) = An +
l
2g
la 2 λ
32
n
2
= ∫ f ( x ) sin λn xdx ,
l 0
l
2
Τ ′n ( 0 ) = Bn a λn = ∫ g ( x ) sin λn xdx ,
l 0
от
да
l
2
2g
2g
An = ∫ f ( x ) sin λn xdx − 2 3 2 = An − 2 3 2 ,
l 0
la λn
la λn
Bn =
l
2
la λn
∫ g ( x ) sin
λn xdx ( n = 0,1,2,K) .
0
Поэтом
u ( x, t ) =
∞
∑(A
n
)
cos a λn t + Bn sin a λn t sin λn x −
n =0
2g
− 2
la
∞
cos a λn t sin λn x
n =0
λn3 2
∑
2g
+ 2
la
∞
sin λn x
n =0
λn3 2
∑
.
5. Радиальные ;олебания ;р=>лой мембраны. П сть ф н ция
u ( r, t ) задана в области ( 0, l ] × [0, ∞ ) и дважды непрерывно дифференцир ема в ней. Рассмотрим задач :
2
∂ 2u
1 ∂u
2∂ u
=
c
+
2
,
∂t 2
r ∂r
∂r
(4.33)
u ( r, t ) о,раничена при r → 0 ,
(4.34)
СовременныйГ манитарныйУниверситет
250
u (l, t ) = 0 ,
u ( r,0 ) = f ( r ) ,
,де
∂u ( r,0 )
∂t
(4.35)
= g (r) ,
(4.36)
f ( r ) и g ( r ) – заданные дважды непрерывно дифференцир е-
]
мыена ( 0,l ф н ции,обращающиесявн льпри r = l ио,раниченные
при r → 0 .
Ищем частные решения равнения (4.33), довлетворяющие словиям(4.34)–(4.35),ввиде:
u ( r, t ) = R ( r ) Τ ( t ) .
Подставляяв(4.33),пол чим:
1
RΤ′′ = c 2 R ′′Τ + R ′Τ ,
r
от
да
1
R ′′ + R ′
r = Τ ′′ = −λ = const ,
R
c2Τ
и, следовательно,
1
− R ′′ − R ′ = λ R ,
r
(4.37)
−Τ′′ = c 2 λΤ .
(4.38)
Уравнение (4.37) есть равнение Эйлера-Бесселя инде са p = 0 с
параметром λ > 0 .Е,ообщийинте,ралимеетвид
R ( r ) = C1 J 0
(
)
λ r + C2Y0
(
λr
).
В сил словия (4.34) C2 = 0 . Поэтом C1 ≠ 0 . То,да из словия
(4.35)след ет:
J0
(
)
λ l = 0,
251
т.е. µ
= λ l должнобыть орнемф н ции J 0 ( µ ) .Пола,ая C1 = 1 ,по-
л чим
2
µ
λn = n ,
l
Rn ( r ) = J 0
,де µ n
(
µn r
( n = 1,2,K) ,
l
)
λn r = J 0
(4.39)
= λn l есть n -йположительный ореньф н ции J 0 ( µ ) .
Подставляя λ
= λn в равнение (4.38), найдем:
Τ n ( t ) = An cos c λn t + Bn sin c λn t ( n = 1, 2,K) .
Следовательно, частные решения равнения (4.33) имеют вид:
(
) (
un ( r , t ) = An cos c λn t + Bn sin c λn t J 0
λn r
) ( n = 1,
2,K) .
Общее решение равнения (4.33) есть
∞
(
) (
u ( r, t ) = ∑ An cos c λn t + Bn sin c λn t J 0
n =1
,де оэффициенты
λn r
),
(4.40)
An и Bn находятсяиз словий
∞
u ( r,0 ) = ∑ An J 0
n =1
∂u ( r,0 )
∂t
(
∞
= ∑ Bn c λn J 0
n =1
)
λn r = f ( r ) ,
(
)
λn r = g ( r ) .
Эти словия равносильны том , что ф н ции f ( r ) и g ( r ) представимысвоимирядамиФ рьепосистеме
{J (
0
λn r
)} .Нопоследнее
имеетместовсил свойств f ( r ) и g ( r ) итеоремы3.1.
Вычислим оэффициентыФ рьедля
f ( r ) и g ( r ) :
СовременныйГ манитарныйУниверситет
252
An =
l
2
l 2 J 12 ( µ n ) ∫0
Bn c λn =
rf ( r ) J 0
l
2
l 2 J 12 ( µ n ) ∫0
(
)
λn r dr ,
rg ( r ) J 0
(
(4.41)
)
λn r dr
или
Bn =
l
2
cl
2
λn J
2
1
rg ( r ) J (
∫
(µ )
0
n
)
λn r dr .
(4.42)
0
Та имобразом,решениезадачи(4.33)–(4.36)даетсярядом(4.40),
,де оэффициенты
An и Bn определяютсяформ лами(4.41)и(4.42).
6. Распространение тепла в стержне, ;онцы ;оторо>о поддерживаются при н=левой температ=ре. П сть ф н ция u ( x , t )
[ ] [
задана в области 0, l × 0, ∞ ) и дважды непрерывно дифференцир ема в ней. Рассмотрим задач :
,де
2
∂u
2 ∂ u
,
=a
2
∂t
∂x
(4.43)
u ( 0, t ) = u ( l , t ) = 0 ,
(4.44)
u ( x ,0 ) = f ( x ) ,
(4.45)
f ( x ) – заданная непрерывно дифференцир емая на [0,l ] ф н -
ция,обращающаясявн льпри x = 0 и x = l .
Ищемчастныерешения равнения(4.43)(отличныеот u ≡ 0 ), довлетворяющие,раничным словиям(4.44),ввиде
u ( x, t ) = Χ ( x ) Τ ( t ) .
Подставляяв(4.43),пол чим:
ΧΤ ′ = a 2 Χ ′′Τ ,
от
да
253
(4.46)
Χ ′′ Τ ′
= 2 = −λ = const ,
Χ a Τ
следовательно,
−Χ ′′ = λ Χ,
(4.47)
−Τ ′ = a 2 λ Τ .
(4.48)
Чтобыф н ция(4.46) довлетворяла словиям(4.44),н жнопотребовать,чтобы
Χ (0) = Χ (l ) = 0 .
(4.49)
Решениезадачи(4.47),(4.49)имеетвид( λ > 0 ):
Χ ( x ) = C1 cos λ x + C2 sin λ x ( C1 = const, C2 = const ) ,
,де
Χ ( 0 ) = C1 = 0 ,
Χ ( l ) = C2 sin λ l = 0 .
λ l = π n .Положим C2 = 1 .Сле-
Отсюда,считая C2 ≠ 0 ,пол чим
довательно,
πn
λn =
l
Χ n ( x ) = sin
При λ
2
( n = 1,2,K) ,
π nx
l
( n = 1,2,K) .
= λn решение равнения(4.48)есть
Τ n ( t ) = An e
−
a 2π 2 n 2
l2
t
, An = const ( n = 1,2,K)
.
Та им образом, ф н ции
un ( x, t ) = An e
−
a 2π 2 n 2
l2
t
sin
π nx
l
( n = 1, 2,K)
представляютсобой частныерешения равнения(4.43), довлетворяющие,раничным словиям(4.44).
СовременныйГ манитарныйУниверситет
254
Чтобынайтиобщеерешение,составимряд
∞
u ( x, t ) = ∑ An e
−
a 2π 2 n 2
l2
t
sin
π nx
n =1
(4.50)
l
и потреб ем, чтобы
∞
π nx
n =1
l
u ( x ,0 ) = ∑ An sin
= f ( x) .
f ( x ) в ряд Ф рье по системе
Следовательно, н жно разложить
π nx
sin
. Подсчет оэффициентов Ф рье дает:
l
2
π nx
An = ∫ f ( x ) sin
dx ( n = 1,2,K) .
l 0
l
l
(4.51)
Та имобразом,решениезадачи(4.43)–(4.45)даетсярядом(4.50),
,де оэффициенты
An вычисляются поформ лам (4.51).
−
Бла,одаря наличию множителей
e
a 2π 2 n 2
l2
t
ряд (4.50) сходится рав-
≥ t0 > 0 , а овобынибыло t0 > 0 .Тожесправедливои
для рядов, пол чающихся почленным дифференцированием по x и t
номернодля t
(любое число раз). Следовательно, с мма ряда непрерывна и почленное дифференцирование за онно.
7. Распространение тепла в стержне, ;онцы ;оторо>о поддерживаютсяприпостоянныхтемперат=рах.П стьф н ция u ( x , t )
[ ] [
дважды непрерывно дифференцир ема в области 0, l × 0, ∞ ) . Задача состоит в отыс ании решения равнения (4.43) при ,раничных словиях
u ( 0, t ) = A = const , u ( l , t ) = B = const
иначальном словии(4.45).
Б дем ис ать решение задачи в виде ряда
255
(4.52)
∞
u ( x, t ) = ∑ Τ n ( t ) sin
n =1
π nx
l
,
(4.53)
,де
2
π nx
dx ( n = 1,2,K) .
Τ n ( t ) = ∫ u ( x, t ) sin
l 0
l
l
(4.54)
Инте,рир я по частям, пол чим:
l
π nx l 2 ∂u ( x, t ) π nx
l
Τn (t ) = −
u ( x, t ) cos
+ 2 2
sin
−
2
l 0 π n
∂x
l 0
πn
l
l
l2
− 2 2
π n
π nx
∂2u
sin
dx.
∫0 ∂x 2
l
l
Та а u ( x , t ) довлетворяет равнению(4.43)и словиям(4.52),то
1
1
l
∂u π nx
n
Τn ( t ) =
A − ( −1) B − 2 2 2 ∫ sin
dx .
2
a π n 0 ∂t
l
πn
l
Дифференцир я(4.54)по t ,пол чим:
2 ∂u
π nx
Τ′n ( t ) = ∫ sin
dx ,
l 0 ∂t
l
l
следовательно,
2
1
1
l
n
Τn =
A − ( −1) B − 2 2 2 Τ ′n ,
2a π n
2
πn
от
да
a 2π 2 n 2
2a 2π n
n
Τ ′n +
Τ
=
A
−
−
1
B .
(
)
n
2
2
l
l
Решение это,о равнения есть
Τ n ( t ) = An e
−
a 2π 2 n 2
l
2
t
A − ( −1) B
n
+2
πn
СовременныйГ манитарныйУниверситет
256
.
(4.55)
Чтобывыполнялось словие(4.45),треб ем,чтобы
∞
π nx
n =1
l
u ( x ,0 ) = ∑ Τ n ( 0 ) sin
= f ( x) .
π nx
,
Вычисляя оэффициентыФ рьеф н ции f ( x ) посистеме sin
l
найдем:
A − ( −1) B
n
Τ n ( 0 ) = An + 2
πn
2
π nx
= ∫ f ( x ) sin
dx ,
l 0
l
l
поэтом
l
A − ( −1) B
2
π nx
An = ∫ f ( x ) sin
dx − 2
l 0
l
πn
n
( n = 1, 2,K) .
(4.56)
Та имобразом,решениезадачи(4.43),(4.45),(4.52)даетсярядом
(4.53),,де Τ n ( t ) определяютсяформ лами(4.55),(4.56).
8. Распространение тепла в стержне, ;онцы ;оторо>о находятся при заданных переменных температ=рах. П сть ф н ция
u ( x , t ) та аяже, а ивпредыд щемп н те.Треб етсянайтирешение
равнения (4.43) при ,раничных словиях
u ( 0, t ) = ϕ ( t ) , u ( l , t ) = ψ ( t ) ,
,де ϕ ( t ) и ψ ( t ) – заданные
(4.57)
[
сочно-непрерывные на 0, ∞ ) ф н ции,
иприначальном словии(4.45).
Ка и в предыд щем п н те, ищем решение задачи в виде ряда
(4.53). Повторяя проведенные выше расс ждения, пол чим равнение
для Τ n ( t ) :
a 2π 2 n 2
2a 2π n
n
ϕ
ψ ( t ) ,
Τ ′n +
Τ
=
t
−
−
1
(
)
(
)
n
2
2
l
l
решение оторо,о есть
257
Τ n ( t ) = An e
−
a 2π 2 n 2
l
2
t
2 a 2π n
+
e
l 2 ∫0
t
a 2π 2 n 2
l2
τ
ϕ (τ ) − ( −1)n ψ (τ ) dτ . (4.58)
Чтобывыполнялось словие(4.45),треб ем,чтобы
∞
π nx
n =1
l
u ( x,0 ) = ∑ Τ n ( 0 ) sin
= f ( x) .
π nx
,
f
x
Вычисляя оэффициентыФ рьеф н ции ( ) посистеме sin
l
найдем:
2
π nx
dx .
Τ n ( 0 ) = An = ∫ f ( x ) sin
l 0
l
l
(4.59)
Следовательно,решениезадачи(4.43),(4.45),(4.57)даетсярядом
(4.53),,де Τ n ( t ) определяютсяформ лами(4.58),(4.59).
9. Распространение тепла в стержне, в ;онцах ;оторо>о
происходит свободный теплообмен с о;р=жающей средой. Задачасостоитвотыс аниирешения u ( x , t ) равнения(4.43)при,раничных словиях
∂u
−
hu
=
0,
∂x
x =0
∂u
∂x − hu = 0
x =l
(4.60)
иприначальном словии(4.45).
Ка ираньше,ищемчастныерешения равнения(4.43), довлетворяющие словиям(4.60),ввиде
u ( x, t ) = Χ ( x ) Τ ( t ) .
Подставляяв(4.43),пол чим:
ΧΤ ′ = a 2 Χ ′′Τ ,
СовременныйГ манитарныйУниверситет
258
от да
Χ ′′ Τ ′
=
= − λ = const ,
Χ a2Τ
следовательно,
−Χ′′ = λΧ,
(4.61)
−Τ′ = a 2 λΤ.
(4.62)
Чтобывыполнялись словия(4.60),н жно,чтобы
Χ ′ ( 0 ) − h Χ ( 0 ) = 0,
Χ ′ ( l ) − h Χ ( l ) = 0.
(4.63)
Мыпол чилизадач Шт рма-Ли вилля(4.61),(4.63).Непосредственно можно бедиться, что все собственные значения этой задачи положительны.Поэтом решение равнения(4.61)есть
Χ ( x ) = C1 cos λ x + C2 sin λ x .
Всил словий(4.63)имеем:
C2 λ −C1h = 0 ,
( −C sin
1
λ l + C2 cos λ l
)
(
)
λ + h C1 cos λ l + C2 sin λ l = 0.
Отсюда
C1
λ
=
C2
h
(4.64)
2 λh.
λ − h2
(4.65)
и, следовательно,
tg λ l =
Положим µ
= λ .То,да(4.65)приметвид
tg µ l =
259
2µ h
.
µ 2 − h2
(4.65')
Найдяположительные орниэто,о равнения,мынайдемсобствен-
µ = µn – n -ый положительный
ные значения. П сть
(4.65');то,да λn
орень равнения
= µn2 есть n -оесобственноезначение,ив сил (4.64)
λn , C2 = h .Следовательно,длясобствен-
мыможемположить C1 =
ных ф н ций пол чаем выражения
Χ n ( x ) = λn cos λn x + h sin λn x ( n = 1,2,K) .
Пола,ая λ
= λn в равнении(4.62),найдеме,орешение:
Τ n ( t ) = An e − a λn t
2 2
( n = 1,2,K) .
Та им образом, мы нашли частные решения
un ( x, t ) = An
(
)
λn cos λn x + h sin λn x e
( n = 1, 2,K) .
− a 2 λn2 t
Общеерешениезадачи(4,43),(4.45),(4.60)ищемввидеряда
∞
u ( x , t ) = ∑ An
n =1
(
)
λn cos λn x + h sin λn x e − a λ t
2 2
n
,
(4.66)
та , чтобы выполнялось равенство
∞
u ( x ,0 ) = ∑ An
n =1
(
)
λn cos λn x + h sin λn x = f ( x ) .
Вычисляя оэффициентыФ рьеф н ции f ( x ) по(орто,ональной!)системе
{
λn cos λn x + h sin λn x
} , б дем иметь:
l
∫ f ( x ) Χ ( x ) dx
n
An =
0
l
∫ Χ ( x ) dx
( n = 1,2,K) .
2
n
0
СовременныйГ манитарныйУниверситет
260
(4.67)
Та имобразом,решениезадачи(4,43),(4.45),(4.60)даетсярядом
(4.66), ,де оэффициенты вычисляются по форм лам (4.67).
Инте,рал в знаменателе (4.67) можно найти инте,рированием по
частямспомощью равнения(4.61)и,раничных словий(4.63).Мыне
б дем приводить здесь вычислений. У ажем лишь онечный рез льтат:
l
∫Χ
2
n
λ
(
( x ) dx =
n
0
261
+ h 2 ) l + 2h
2
.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1.Составьтелоичес юсхем базызнанийпотемеюниты.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
262
2.Решитесамостоятельнослед ющиезадачи:
Вариант1
1.Разложитьф н цию
a , 0 < x < h,
f ( x) =
0, h ≤ x ≤ 2π
втри,онометричес ийрядФ рьенаотрез е
[0, 2π ] и
азатьф н цию,
оторой сходится пол ченный ряд.
2. Разложить ф н цию
отрез е
f ( x ) = cos x в ряд Ф рье по син сам на
[0,π ] и с помощью это,о разложения найти с
ряда
∞
∑ ( −1)
k =0
2k + 1
k
4 ( 2k + 1) − 1
2
263
.
мм числово,о
3. Написать равенство Парсеваля для ф н ции f ( x ) = π − x ,
2
π − x , x ∈ [ −π , π ] и, исходя из это,о равенства, найти с
∞
1
∑
4 .
n =1 n
4.Найтиинте,ралФ рьеф н ции
e −α x , x > 0,
f ( x ) = − eα x , x < 0,
0, x = 0,
α > 0,
ипостроитье,о,рафи .
СовременныйГ манитарныйУниверситет
264
2
мм числово,о ряда
x∈
5. Найти преобразование Ф рье ф н ции
x , x ≤ 1,
f ( x ) = 2 − x , 1 < x ≤ 2,
0, x > 2.
6. Найти син с-преобразование Ф рье ф н ции
sin x, 0 ≤ x ≤ π ,
f ( x) =
0, x > π .
265
7.Разложитьф н цию
0, −1 ≤ x ≤ 0,
f (x) =
2
1 − x , 0 < x ≤ 1
врядФ рьепополиномамЧебышеваперво,ороданаотрез е
[ −1, 1] .
8.Разложитьф н цию
π
arccos x − , −1 < x ≤ 0,
f ( x) =
2
arcsin x, 0 < x < 1
врядФ рьепополиномамЧебышевавторо,ородавинтервале ( −1, 1) .
СовременныйГ манитарныйУниверситет
266
9.Разложитьф н цию
1
−
1,
−
1
<
x
≤
,
2
f ( x) =
1, 1 < x < 1
2
врядФ рьепополиномамЛежандравинтервале ( −1, 1) .
10. Разложить ф н цию f ( x ) = e
−x
в ряд Ф рье по собственным
ф н циям задачиШт рма-Ли вилля
− y ′′ − ay = λ y,
x ∈ [0, π ] , a > 0
y ( 0 ) = y′ (π ) = 0,
винтервале ( 0, π ) .
267
Вариант 2
1. Разложить ф н цию
Ф рьенаотрез е
[ −2, 2] и
f ( x ) = x + 2 в три,онометричес ий ряд
азатьф н цию, оторой сходитсяпол -
ченный ряд.
2.Разложитьф н цию
1, 0 < x ≤ h,
f ( x) =
0, h < x < π
[
]
врядФ рьепо осин самнаотрез е 0, π испомощьюэто,оразложения найти с мм числово,о ряда
∞
sin nh
.
nh
n =1
∑
СовременныйГ манитарныйУниверситет
268
3. Написать равенство Парсеваля для ф н ции
e ax , 0 ≤ x < π ,
f ( x ) = − ax
−e , −π < x < 0
и, исходя из это,о равенства, найти с мм числово,о ряда
∞
∑ 1 − ( −1)
n =1
n
e
aπ
269
2
n2
(a2 + n2 )
2
.
4.Найтиинте,ралФ рьеф н ции
π
≤
cos
x
,
x
,
2
f ( x) =
0, x > π
2
ипостроитье,о,рафи .
5. Найти преобразование Ф рье ф н ции
e − x sin x , x ≥ 0,
f ( x) =
0, x < 0.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
270
6. Найти осин с-преобразование Ф рье ф н ции f ( x ) = 2
−x
.
7. Разложить ф н цию f ( x ) = x arcsin x в ряд Ф рье по полиномам Чебышева перво,о рода на отрез е
271
[ −1, 1] .
8.Разложитьф н цию
0, −1 < x ≤ 0,
f ( x) =
2
1 − x , 0 < x < 1
врядФ рьепополиномамЧебышевавторо,ородавинтервале ( −1, 1) .
9. Разложить ф н цию
f ( x ) = x 5 в ряд Ф рье по полиномам Ле-
жандравинтервале ( −1, 1) .
10. Разложить ф н цию f ( x ) = l − x в ряд Ф рье по собствен2
2
СовременныйГ манитарныйУниверситет
272
ным ф н циям задачи Шт рма-Ли вилля
− y ′′ = λ y ,
x ∈ [0, l ] ,
y (0) = y ( l ) = 0
винтервале ( 0,l ) .
Вариант3
1.Разложитьф н цию
1, 0 < x < c,
f ( x) =
0, −c < x ≤ 0
втри,онометричес ийрядФ рьенаотрез е
оторой сходится пол ченный ряд.
273
[ −c, c ] и
азатьф н цию,
2. Разложить ф н цию f ( x ) = x (π − x ) в ряд Ф рье по син сам на
[
]
отрез е 0, π испомощьюэто,оразложениянайтис мм числово,оряда
∞
∑
( −1)
n −1
n =1 ( 2 n − 1)
3
.
3.НаписатьравенствоПарсевалядляф н ции f ( x ) = sin ax , a –
нецелое, x ∈
[ −π ,π ] и,исходяизэто,оравенства,найтис
во,о ряда
∞
∑
n =1
n2
(a
2
− n2 )
2
.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
274
мм число-
4.Найтиинте,ралФ рьеф н ции
f ( x) = e
−α x
cos β x, α > 0 ипо-
строитье,о,рафи .
5. Найти преобразование Ф рье ф н ции
x 2 , 0 ≤ x ≤ 1,
f ( x) =
0, {−∞ < x < 0} ∪ {1 < x < ∞}.
275
6. Найти син с-преобразование Ф рье ф н ции
1, 0 ≤ x ≤ a,
f ( x ) = 2 a − x , a < x ≤ 2 a,
0, x > 2a.
7.Разложитьф н цию
0, −1 ≤ x ≤ 0,
f ( x) =
1 − x, 0 < x ≤ 1
врядФ рьепополиномамЧебышеваперво,ороданаотрез е
СовременныйГ манитарныйУниверситет
276
[ −1,1] .
8.Разложитьф н цию
−1, −1 < x ≤ 0,
f ( x) =
1, 0 < x < 1
врядФ рьепополиномамЧебышевавторо,ородавинтервале ( −1,1) .
9.Разложитьф н цию
x, −1 < x ≤ 0,
f ( x) =
3 x , 0 < x < 1
врядФ рьепополиномамЛежандравинтервале ( −1,1) .
277
10.Разложитьф н цию f ( x ) = cos x врядФ рьепособственным
ф н циям задачиШт рма-Ли вилля
− y ′′ − y = λ y ,
x ∈ [0, 2] ,
y′ ( 0 ) = y′ ( 2 ) = 0,
винтервале ( 0,2 ) .
СовременныйГ манитарныйУниверситет
278
Вариант 4
1.Разложитьф н цию
x2 , 0 < x < π ,
f ( x) =
0, −π < x < 0
[
в три,онометричес ий ряд Ф рье на отрез е −π ,
π ] и
азать ф н -
цию, оторой сходится пол ченный ряд.
2.Разложитьф н цию
0, 0 < x ≤ 2h,
f ( x) =
x − 2 h, 2h < x < π
врядФ рьепо осин самнаотрез е
[0,π ] испомощьюэто,оразло-
жения найти с мм числово,о ряда
∞
∑
n =1
cos2 nh
( nh )
279
2
.
3. Написать равенство Парсеваля для ф н ции
cos x, 0 ≤ x < π ,
f ( x) =
− cos x, −π < x < 0
и, исходя из это,о равенства, найти с мм числово,о ряда
∞
n2
n =1
( 4n 2 − 1)
∑
2
.
4.Найтиинте,ралФ рьеф н ции
2, a ≤ x ≤ b,
f ( x ) = 0, x < a,
0, x > b
СовременныйГ манитарныйУниверситет
280
ипостроитье,о,рафи .
5. Найти преобразование Ф рье ф н ции
f ( x) = e
6. Найти син с-преобразование Ф рье ф н ции
cos x, 0 ≤ x ≤ π ,
f ( x) =
0, x > π .
281
−x
cos ω x .
7.Разложитьф н цию
f ( x ) = x 5 врядФ рьепополиномамЧебы-
шеваперво,ороданаотрез е
8. Разложить ф н цию
[ −1, 1] .
f ( x ) = x arcsin x в ряд Ф рье по полино-
мамЧебышевавторо,ородавинтервале ( −1, 1) .
СовременныйГ манитарныйУниверситет
282
9.Разложитьф н цию
x + 1, −1 < x ≤ 0,
f ( x) =
1 − x, 0 < x < 1
врядФ рьепополиномамЛежандравинтервале ( −1,
10. Разложить ф н цию
1) .
f ( x ) = x − 2π в ряд Ф рье по собствен-
ным ф н циям задачи Шт рма-Ли вилля
− y′′ = λ y,
x ∈ [0, 2π ] ,
y ( 0 ) = 0,
y ′ ( 2π ) + y ( 2π ) = 0
винтервале ( 0, 2π ) .
283
Вариант 5
1. Разложить ф н цию
рье на отрез е
[ −1,1] и
f ( x ) = e в три,онометричес ий ряд Ф x
азать ф н цию, оторой сходится пол чен-
ный ряд.
2. Разложить ф н цию f ( x ) =
отрез е
π −x
2
в ряд Ф рье по син сам на
[0,π ] и с помощью это,о разложения найти с
ряда
1 1 1 1
1
1 + − − + + −K .
5 7 11 13 17
СовременныйГ манитарныйУниверситет
284
мм числово,о
3. Написать равенство Парсеваля для ф н ции f ( x ) = x sin x ,
sin x, x ∈ [ −π , π ] ,и,исходяизэто,оравенства,найтис мм числово,оряда
∞
∑
n =2
1
2 .
2
1
n
−
( )
285
x∈ −
4.Найтиинте,ралФ рьеф н ции
1 − x 2 , x ≤ 1,
f ( x) =
0, x > 1
ипостроитье,о,рафи .
5. Найти преобразование Ф рье ф н ции
x cos x, x ≤ 1,
f ( x) =
0, x > 1.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
286
6. Найти осин с-преобразование Ф рье ф н ции
3
2
x
−
3,
0
≤
x
≤
,
2
f ( x) =
0, x > 3 .
2
7. Разложить ф н цию f ( x ) = x в ряд Ф рье по полиномам Чебышеваперво,орода наотрез е
[ −1,1] .
287
8. Разложить ф н цию f ( x ) = x в ряд Ф рье по полиномам Че3
бышевавторо,ородавинтервале ( −1,1) .
9.Разложитьф н цию
1, −1 < x ≤ 0,
f ( x) =
x, 0 < x < 1
врядФ рьепополиномамЛежандравинтервале ( −1,1) .
СовременныйГ манитарныйУниверситет
288
10.Разложить ф н цию
0, 0 ≤ x ≤ 2,
f ( x) =
2 x − 4, 2 < x ≤ 4
в ряд Ф рье по собственным ф н циям задачи Шт рма-Ли вилля
− y ′′ = λ y ,
x ∈ [0, 4 ] ,
y′ (0) = y ( 4) = 0
винтервале ( 0, 4 ) .
289
ТРЕНИНГ УМЕНИЙ
1. Пример выполнения =пражнения тренин>а на =мение № 1
Задание
Разложитьф н цию
x, −1 < x < 0,
f ( x) =
x + 1, 0 ≤ x < 1
в три,онометричес ий ряд Ф рье на отрез е
[ −1, 1] и
азать ф н -
цию, оторой сходится пол ченный ряд.
Решение
Заполнитьтаблиц ,подобрав аждом ал,оритм он ретноесоответствие из задания.
№
п/п
Алгоритм
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
Продолженная функция имеет период T = 2 .
1.
Нарисовать
график функции, продолжив ее периодически с периодом 2π
или 2l на всю
ось.
2.
Проверить ус- Функция f ( x ) кусочно-монотонна на отрезке
ловия достаточ−1,1] : она возрастает на ( −1,0 ) и на ( 0,1) . В точках
ных признаков [
x = ±1, x = 0 функция имеет разрывы первого рода.
сходимости
ряда Фурье
(Дини-Липшица, Жордана,
Дирихле).
СовременныйГ манитарныйУниверситет
290
№
п/п
3.
4.
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
Алгоритм
Выяснить четность или
нечетность функции.
Вычислить коэффициенты Фурье по формулам:
а) если функция задана
на ( −π , π )
Функция не является ни четной, ни нечетной.
1
π nx
f
x
cos
dx
(
)
l −∫l
l
1 3
− 2 + 2 , n = 0
1, n = 0,
=
=
n
n
1 − ( −1) + ( −1) − 1 , n ≠ 0 0, n ≠ 0,
π 2 n 2
π 2n 2
l
an =
( n = 0,1,2,K) ,
б) если функция задана
на ( −l , l )
1
π nx
f ( x ) sin
dx
∫
l −l
l
l
bn =
1
an =
−1
=
bn =
6.
Указать функцию, к
которой будет сходиться этот ряд, пользуясь
поточечными признаками сходимости.
1
−1
0
∫ x cos π nxdx + ∫ ( x + 1) cos π nxdx =
∫ f ( x ) sin π nxdx =
−1
( −1)
0
1
−1
0
∫ x sin π nxdx + ∫ ( x + 1) sin π nxdx =
=
=
Составить ряд Фурье
функции f ( x ) .
0
1
( n = 1,2,K) .
5.
∫ f ( x ) cos π nxdx =
n +1
πn
+
2 ⋅ ( −1)
n +1
+1
πn
=
3 ⋅ ( −1)
n +1
πn
+1
.
1 1 ∞ 3 ⋅ ( −1) + 1
f (x) ~ + ∑
sin π nx .
2 π n =1
n
Согласно признаку Дирихле ряд Фурье
функции f ( x ) сходится к сумме:
n +1
x, −1 < x < 0,
g ( x ) = x + 1, 0 < x < 1,
1
, x = 0, x = ±1.
2
Решитьсамостоятельно:
1.1.Разложитьф н цию
−2, −π < x ≤ 0,
f ( x) =
5, 0 < x < π
291
в три,онометричес ий ряд Ф рье на отрез е
[ −π ,π ] и
азать ф н -
цию, оторой сходится пол ченный ряд.
1.2.Разложитьф н цию f ( x ) = x втри,онометричес ийрядФ 2
рье на отрез е
[0,3] и
азать ф н цию, оторой сходится пол чен-
ный ряд.
1.3. Разложить ф н цию
Ф рье на отрез е
[5,15] и
f ( x ) = 10 − x в три,онометричес ий ряд
азать ф н цию, оторой сходится пол -
ченный ряд.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
292
1.4.Разложитьф н цию
a, x < h,
f ( x) =
0, h ≤ x ≤ π
( a ≠ 0)
в три,онометричес ий ряд Ф рье на отрез е
[−π ,π ] и
цию, оторой сходится пол ченный ряд.
1.5.Разложитьф н цию
2 x + 4, 0 < x < 2,
f ( x) =
x + 1, −2 < x < 0
293
азать ф н -
втри,онометричес ийрядФ рьенаотрез е
[−2, 2] и
азатьф н цию,
оторой сходится пол ченный ряд.
2.Примервыполнения=пражнениятренин>ана=мение№2
Задание
Разложить ф н цию
на
f ( x ) = 1, x ∈ ( 0,1) , в ряд Ф рье по син сам
[0,1] и спомощьюэто,о разложениянайтис
n −1
∞
( −1)
мм числово,оряда
∑ 2n − 1 .
n =1
Решение
Заполнитьтаблиц ,подобрав аждом ал,оритм он ретноесоответствие из задания.
№
п/п
1.
Конкретное соответствие данной
ситуации предложенному алгоритму
Алгоритм
Продолжить функцию четным
(нечетным) образом на (–π,0)
или (–l,0), а затем периодически
с периодом 2π или 2l продолжить функцию на всю ось.
Продолжим функцию нечетным
образом на ( −1,0 ) , а затем периодически, с периодом T = 2 ,
продолжим ее на всю ось.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
294
№
п/п
Алгоритм
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
Мы получим функцию f * ( x ) вида:
2.
Нарисовать
график периодического продолжения.
3.
Проверить условия
достаточных признаков
сходимости ряда Фурье
(Дини-Липшица, Жордана, Дирихле).
4.
Вычислить коэффициенты Фурье:
l
2
π nx
bn = ∫ f ( x ) sin
dx
l 0
l
Функция f * ( x ) кусочно-постоянна в промежутке ( −1,1) : она равна –1 на ( −1,0 ) и 1
на ( 0,1) . В точках x = ±1, x = 0 функция
имеет разрывы первого рода.
Ее коэффициенты Фурье вычисляются по
формулам:
1
bn = 2 ∫ f ( x ) sin π n xdx =
0
( n = 1, 2,K) ,
1
= 2 ∫ sin π n xdx = −
an = 0.
0
0, n = 2k ,
= 4
πn
π n , n = 2k − 1.
4 ∞ sin ( 2n − 1) π x
f (x) ~ ∑
.
2n − 1
π n =1
Согласно признаку Дирихле ряд Фурье
функции f ( x ) сходится к сумме:
( −1)
=2
5.
Составить ряд Фурье
функции f ( x ) .
6.
Указать функцию, к
которой будет сходиться этот ряд, пользуясь поточечными
признаками сходимости.
2
( cos π n − 1) =
πn
n +1
+1
−1, −1 < x < 0,
g ( x ) = 1, 0 < x < 1,
0, x = 0, x = ±1.
Следовательно, при x ∈ ( 0, 1)
1=
4
∞
∑
π
n =1
295
sin ( 2n − 1) π x
2n − 1
№
п/п
7.
Алгоритм
Подставив значения x , указать сумму заданного числового ряда.
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
Полагая в полученном разложении x =
1=
4
π
откуда, так как sin
∞
∑
sin
n =1
1
, найдем
2
2n − 1
π
2
,
2n − 1
2n − 1
n −1
π = ( −1) ,
2
∞
( −1)
n −1
∑ 2n − 1
n =1
=
π
4
.
Решитьсамостоятельно:
2.1.Разложитьф н цию
f ( x ) = sin x врядФ рьепо осин самна
[0,π ] испомощьюэто,о разложениянайтис
∞
∑ 4n
n =1
1
2
−1
мм числово,оряда
.
2.2.Разложитьф н цию f ( x ) = x sin x врядФ рьепосин самна
[0,π ] испомощьюэто,о разложениянайтис
СовременныйГ манитарныйУниверситет
296
мм числово,оряда
∞
∑ ( −1)
2k + 1
k
k =0
(4 ( 2k + 1) − 1)
2
2
.
2.3.Разложитьф н цию
x
1 − , 0 ≤ x ≤ 2h,
f ( x ) = 2h
0, 2h < x ≤ π
в ряд Ф рье по осин сам на
[0,π ] и с помощью это,о разложения
найти с мм числово,о ряда
∞
2
sin nh
−
1
(
)
∑
.
nh
n =1
n
297
2.4.Разложитьф н цию
xh
c , 0 ≤ x ≤ c,
f ( x) =
0 < c < 1,
h
(1 − x ) , c < x ≤ 1,
1 − c
врядФ рьепосин самна [0,1] испомощьюэто,оразложениянайти
с мм числово,о ряда
∞
∑
sin 2 π nc
n =1
(π nc )
.
2
2.5.Разложитьф н цию f ( x ) = cos x врядФ рьепо осин сам
π
на 0, испомощьюэто,оразложениянайтис мм числово,оряда
2
∞
( −1)
∑ 4n
n =1
2
n
−1
.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
298
3.Примервыполнения=пражнениятренин>ана=мение№3
Задание
Написать равенство Парсеваля для ф н ции
f ( x ) = x (π 2 − x 2 ) , x ∈ −π
− x , x ∈ [ −π ,π ] ,и,исходяизэто,оравенства,найтис мм числово,оряда
∞
1
∑
6 .
n =1 n
Решение
Заполнитьтаблиц ,подобрав аждом ал,оритм он ретноесоответствие из задания.
№
п/п
1.
Алгоритм
Установить, является ли данная
функция функцией с интегрируемым квадратом на
[ −π ,π ] .
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
Функция f ( x ) непрерывна, а, следовательно,
интегрируема на [ −π , π ] . По той же причине
ее квадрат интегрируем на [ −π , π ] .
299
№
п/п
2.
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
Алгоритм
Вычислить коэффи- Так как f ( x ) нечетная функция, то ее коэфциенты Фурье по
фициенты Фурье вычисляются по формулам:
формулам:
an = 0 ( n = 0,1,2,K) ,
π
1
π
an = ∫ f ( x ) cos nxdx
2
π −π
bn =
f ( x ) sin nxdx =
π
( n = 0,1, 2,K) ,
bn =
1
π
π
=
∫π f ( x ) sin nxdx
2
∫
0
π
x (π
π∫
2
− x 2 ) sin nxdx =
0
−
π
2
x (π 2 − x 2 ) cos nx +
0
πn
π
2
+
π 2 − 3x 2 ) cos nxdx =
(
∫
πn 0
( n = 1, 2,K)
=−
π
2
2
2
3
sin
−
x
nx
π
(
)
0 +
π n2
π
12
12
π
+ 2 ∫ x sin nxdx = − 3 [ x cos nx ]0 +
πn 0
πn
=
( −1)
12
+ 3 ∫ cos nxdx = 12
πn 0
n3
π
n +1
( n = 1, 2,K) .
3.
π
π
Написать формулу
Парсеваля:
a02 ∞ 2
+ ∑ ( an + bn2 ) =
2 n =1
Таким образом, формула Парсеваля имеет
вид
∞
1
16 6
144∑ 6 =
π
n
105
n =1
π
4.
π
Вычислить интегπ
1
рал ∫ f 2 ( x ) dx .
−π
=
1
π
1
∫π x (π
2
2
−x
−
)
2 2
dx =
2
(π
π∫
4
x 2 − 2π 2 x 4 + x 6 ) dx =
0
2
4
2
16 6
= π6 − π6 + π6 =
π
3
5
7
105
π
∫π f ( x ) dx
2
−
СовременныйГ манитарныйУниверситет
300
№
п/п
5.
Конкретное соответствие данной
ситуации предложенному алгоритму
Алгоритм
Произведя, если требуется,
арифметические действия в
правой и левой частях, получить сумму данного числового ряда.
Разделив обе части полученного равенства на 144, найдем:
∞
1
π6
.
=
∑
6
n
945
n =1
Решитьсамостоятельно:
3.1. Написатьравенство Парсевалядля ф н ции
0, −π ≤ x ≤ 0,
f ( x) =
sin x, 0 ≤ x ≤ π
и, исходя из это,о равенства, найти с мм числово,о ряда
∞
∑
n =0
1
2
2
n
−
4
1
(
) .
3.2. Написать равенство Парсеваля для ф н ции
301
π
π
π
−
−
x
,
−
≤
x
≤
−
,
2
π
π
f ( x ) = x, − ≤ x ≤ ,
2
2
π
−
x
,
≤ x ≤π
π
2
и,исходяизэто,оравенства,найтис мм числово,оряда
∞
∑
n =0
3.3.
Написать
1
( 2n + 1)
равенство
4
.
Парсеваля
для
ф н ции
e x − e− x
f ( x ) = sh x =
, x ∈ [ −π , π ] и, исходя из это,о равенства, най2
ти с мм числово,о ряда
∞
n2
n =1
(1 + n )
∑
2 2
.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
302
,
3.4. НаписатьравенствоПарсеваля дляф н ции f ( x ) = cos ax , a −
−а не
, x ∈ [ −π , π ] и, исходя из это,о равенства, найти с мм
– нецелое
целое,
числово,о ряда
∞
∑
n =1
1
(a
2
2
− n2 ) .
3.5. Написать равенство Парсеваля для ф н ции f ( x ) = e , a ≠ 0,
ax
= e , a ≠ 0,
x ∈ [ −π ,π ] и, исходя из это,о равенства, найти с мм число-
во,о ряда
303
∞
∑a
n =1
2
1
.
+ n2
4.Примервыполнения=пражнениятренин>ана=мение№4
Задание
Найтиинте,ралФ рьеф н ции
e −α x , x ≥ 0,
f ( x) =
(α > 0 )
0,
x
<
0,
ипостроитье,о,рафи .
Решение
Заполнитьтаблиц ,подобрав аждом ал,оритм он ретноесоответствие из задания.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
304
№
Алгоритм
п/п
1. Построить
график
функции
f ( x) .
2.
3.
4.
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
Проверить выполнение
условий достаточных
признаков сходимости
интеграла Фурье (Дини,
Дирихле-Жордана или
следствий из них).
Выяснить четность или
нечетность функции.
Вычислить коэффициенты по формулам:
∞
1
a ( λ ) = ∫ f (u )cos λ udu,
π
b(λ ) =
1
π
Функция f ( x ) абсолютно интегрируема
в промежутке ( −∞, +∞ ) , непрерывна при
x > 0 и x < 0 , а в точке x = 0 имеет разрыв первого рода. Далее, при x > 0 и
x < 0 функция f ( x ) имеет конечную
производную, а в нуле существуют конечные правая и левая производные.
Функция f ( x ) не является ни четной, ни
нечетной.
Имеем:
a (λ ) =
∞
e
π∫
−α u
cos λ u du =
0
λ ∞ −α u
=−
−
e sin λ u du =
πα πα ∫0
−∞
1
∞
∫
1
f (u )sin λ udu.
λ 2 ∞ −α u
=−
−
e cos λu du =
πα πα 2 ∫0
−∞
1
λ2
=−
−
a (λ ) ,
πα α 2
1
b (λ ) =
1
∞
e
π∫
−α u
sin λu du =
0
λ
a (λ ) ,
α
откуда
a (λ ) =
305
1
α
π α2 + λ
, b (λ ) =
2
1
λ
π α2 + λ2
.
№
Алгоритм
п/п
5. Записать интеграл Фурье
функции f ( x ) :
∞
Конкретное соответствие данной
ситуации предложенному алгоритму
∞
1 α cos λ x + λ sin λ x
f ( x) ~ ∫
dλ
π 0
α 2 + λ2
f ( x ) ~ ∫ ( a ( λ ) cos λ x +
0
+ b ( λ ) sin λ x ) d λ
6.
Указать функцию, к которой будет сходиться интеграл Фурье, пользуясь поточечными признаками
сходимости.
7.
Построить
график полученной
функции
Согласно следствию из признака Дини
интеграл Фурье функции f ( x ) сходится всюду к функции
e −α x , x > 0,
g ( x ) = 0, x < 0,
1
, x = 0.
2
СовременныйГ манитарныйУниверситет
306
Решитьсамостоятельно:
4.1.Найтиинте,ралФ рьеф н ции
x
1 − , x ≤ 2,
f ( x) =
2
0, x > 2
ипостроитье,о,рафи .
4.2.Найтиинте,ралФ рьеф н ции
sin x, x ≤ π ,
f ( x) =
0, x > π
ипостроитье,о,рафи .
307
4.3.Найтиинте,ралФ рьеф н ции
x − 1, 0 ≤ x ≤ 1,
f ( x ) = 0, 1 < x < ∞,
0, −∞ < x < 0
ипостроитье,о,рафи .
4.4.Найтиинте,ралФ рьеф н ции
f ( x) = e
итье,о,рафи .
СовременныйГ манитарныйУниверситет
308
−α x
, α > 0, ипостро-
4.5. Найти инте,рал Ф рье ф н ции
f ( x) = e
−α x
sin β x, α > 0, и
построитье,о,рафи .
5.Примервыполнения=пражнениятренин>ана=мение№5
Задание
Найти син с-преобразование Ф рье ф н ции
1
x
x
4
−
1,
0
≤
≤
,
4
f ( x) =
0, x > 1 .
4
309
Решение
Заполнитьтаблиц ,подобрав аждом ал,оритм он ретноесоответствие из задания.
№
п/п
1.
2.
Конкретное соответствие данной
ситуации предложенному алгоритму
Алгоритм
Проверить, будет ли заданная функция абсолютно интегрируемой на всей оси (в
случае косинус- или синуспреобразования – на полупрямой [0, +∞ ) ).
Функция f ( x ) абсолютно интегрируема на полупрямой [0, +∞ ) , что
Вычислить преобразование
Фурье по формуле:
∞
2
Fs ( λ ) =
∫ f (u ) sin λudu.
Ее синус-преобразование Фурье есть
14
2
Fs ( λ ) =
∫ ( 4u − 1) sin λudu =
π
следует из ее непрерывности на этом
промежутке.
π
0
14
2 1 4
λ
=
−
+
cos
udu
=
π λ λ ∫0
0
=
2
π
Решитьсамостоятельно:
5.1. Найти преобразование Ф рье ф н ции
x, x ≤ 1,
f ( x) =
0, x > 1.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
310
4 sin
λ
4
λ2
−λ
5.2. Найти осин с-преобразование Ф рье ф н ции
sin x, 0 ≤ x ≤ π ,
f ( x) =
0, x > π .
5.3. Найти син с-преобразование Ф рье ф н ции f ( x ) = 3
−x
5.4. Найти преобразование Ф рье ф н ции
e − x , x ≥ 0,
f (x) =
0, x < 0.
311
.
5.5. Найти преобразование Ф рье ф н ции
x 2 , x ≤ 1,
f ( x ) = 1, 1 < x ≤ 2,
0, x > 2.
6.Примервыполнения=пражнениятренин>ана=мение№6
Задание
Разложитьф н цию
0, −1 ≤ x ≤ 0,
f ( x) =
2, 0 < x ≤ 1
врядФ рьепополиномамЧебышеваперво,ороданаотрез е
[ −1, 1] .
Решение
Заполнитьтаблиц ,подобрав аждом ал,оритм он ретноесоответствие из задания.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
312
№
п/п
1.
Алгоритм
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
Проверить, выполнены
ли для f ( x ) достаточ-
Функция f ( x ) непрерывна всюду в
ные условия сходимости ряда ФурьеЧебышева в некоторой
точке отрезка [ −1, 1] .
разрыв первого рода. При x ∈ ( −1,0 ) или
( −1,1) , кроме точки
x = 0 , где она имеет
( 0,1) она удовлетворяет условию
f (t ) − f ( x ) ≤ t − x , t ∈ ( x − δ , x + δ ) ,
которое выглядит так:
0≤ t− x ,
а в точке x = 0 – условиям
f ( t ) − f ( 0 + 0) ≤ t , 0 < t < δ
и
f (t ) − f (0 − 0) ≤ t ,
−δ < t < 0 :
0 ≤ t при 0 < t < δ или −δ < t < 0 .
2.
Сделав замену переменной x = cosθ , ввести вспомогательную
функцию
F (θ ) = f ( cosθ ) и разложить ее в ряд Фурье
по косинусам на [0, π ]
F (θ ) ~
αn =
2
π
α0
2
π
θ
2,
0
<
<
,
2
F (θ ) = f ( cosθ ) =
0, π ≤ θ < π .
2
Коэффициенты ряда Фурье функции F (θ )
есть:
π
∞
+ ∑ α n cos nθ ,
αn =
n =1
π
∫ F (θ ) cos nθ dθ ,
0
n = 0,1,2,K
4
π
2
∫ cos nθ dθ =
0
2, n = 0,
π n
4
=
= 0, n = 2k ,
sin
πn
2
4
k −1
( −1) ,
π ( 2k − 1)
k = 1, 2,K ,
а ее ряд Фурье:
k −1
4 ∞ ( −1)
F (θ ) ~ 1 + ∑
cos ( 2k − 1)θ .
π k =1 2k − 1
313
№
п/п
3.
Конкретное соответствие данной
ситуации предложенному алгоритму
Алгоритм
Вернуться к переменной x и
получить разложение f ( x ) в
ряд Фурье по полиномам Чебышева Tn ( x ) = cos ( n arccos x )
Отсюда
f (x) ~ 1+
4
π
∞
( −1)
k −1
∑ 2k − 1 T ( x )
2 n −1
k =1
на [ −1,1] :
∞
f ( x ) ~ ∑ an Tn ( x ) ,
n =0
an =
2
1
f (t )T (t )
π ∫
n
−1
4.
dt
1 − t2
Ряд Фурье по полиномам Чебышева сходится в точке x к
сумме
f ( x + 0) + f ( x − 0)
Ряд Фурье по полиномам Чебышева
функции f ( x ) сходится к сумме
0, −1 ≤ x < 0,
g ( x ) = 2, 0 < x ≤ 1,
1, x = 0.
2
(или к f ( x ) , если x – точка
непрерывности функции).
Решить самостоятельно:
6.1. Разложить ф н цию f ( x ) = x в ряд Ф рье по полиномам
3
[
]
Чебышеваперво,ородана отрез е −1,1 .
СовременныйГ манитарныйУниверситет
314
6.2.Разложитьф н цию
0, −1 ≤ x ≤ 0,
f ( x) =
2 x, 0 < x ≤ 1
врядФ рьепополиномамЧебышеваперво,ороданаотрез е
[ −1,1] .
6.3.Разложитьф н цию f ( x ) = x arccos x врядФ рьепополиномам Чебышева перво,о рода на отрез е
[ −1,1] .
6.4.Разложитьф н цию
1, −1 ≤ x ≤ 0,
f ( x) = 2
x , 0 < x ≤ 1
315
вряд Ф рьепополиномамЧебышева перво,ородана отрез е
[ −1,1] .
6.5.Разложитьф н цию
π
+ arcsin x, −1 ≤ x ≤ 0,
f ( x) = 2
arccos x, 0 < x ≤ 1
врядФ рьепополиномамЧебышеваперво,ороданаотрез е
СовременныйГ манитарныйУниверситет
316
[ −1,1] .
7. Пример выполнения =пражнения тренин>а на =мение № 7
Задание
Разложитьф н цию
0, −1 < x ≤ 0,
f ( x) =
x, 0 < x < 1
врядФ рьепополиномамЧебышевавторо,ородавинтервале ( −1,1) .
Решение
Заполнитьтаблиц ,подобрав аждом ал,оритм он ретноесо-
№
Алгоритм
п/п
1. Проверить, выполнены
ли для f ( x ) достаточные условия сходимости
ряда Фурье по полиномам Чебышева второго
рода в некоторой точке
интервала ( −1,1) .
2.
Сделав замену переменной x = cosθ , ввести
вспомогательную функцию
Φ (θ ) = sin θ ⋅ f ( cosθ )
и разложить ее в ряд Фурье по синусам на ( 0,π ) :
Конкретное соответствие данной
ситуации предложенному алгоритму
Функция f ( x ) непрерывна всюду в
( −1,1)
и, очевидно, удовлетворяет в этом
интервале условию Липшица порядка
α = 1:
f (t ) − f ( x ) ≤ t − x , t ∈ ( x − δ , x + δ )
для всякого фиксированного x ∈ ( −1,1) .
Введем вспомогательную функцию
π
θ
θ
θ
sin
cos
,
0
<
<
,
2
Φ (θ ) =
0, π ≤ θ < π
2
и найдем коэффициенты ее ряда Фурье
по синусам:
π
∞
Φ (θ ) ~ ∑ bn sin nθ ,
bn =
n =1
bn =
2
π
Φ (θ ) sin nθ
π∫
2
π
π
dθ ,
=
0
n = 1, 2,K
317
1
π
2
2
∫ sin θ cos θ sin nθ dθ =
0
∫ sin 2θ sin nθ dθ =
0
№
п/п
Конкретное соответствие данной
ситуации предложенному алгоритму
Алгоритм
π
1
=
2π
2
∫ cos ( n − 2 )θ − cos ( n + 2 )θ dθ =
0
π (n + 2)
π (n − 2)
sin
sin
1
2
2
=
−
=
2π
n−2
n+2
π n 0, n = 2k ≠ 2,
2 sin
2 = 2 ( −1)k +1
=−
, n = 2k + 1,
π ( n2 − 4 )
2
π
( 2k + 1) − 4
k = 0,1, 2,K ,
π
b2 =
2
1
0
π
2
∫ sin θ cosθ sin 2θ dθ = π ∫ sin
π
1
=
2π
π
2
2
2θ dθ =
0
2
1
∫ (1 − cos4θ ) dθ = 4 .
0
Ряд Фурье функции Φ (θ ) есть
1
2 ∞
( −1)
Φ (θ ) ~ sin 2θ − ∑
sin ( 2k + 1) θ .
π k = 0 ( 2k + 1)2 − 4
4
k
3.
Представить функцию f ( cosθ ) в виде
ряда
sin ( 2k + 1) θ
( −1)
1 sin 2θ 2 ∞
~
− ∑
4 sin θ π k = 0 ( 2k + 1)2 − 4
sin θ
k
∞
f ( cosθ ) ~ ∑ bn
n =1
4.
Отсюда
f ( cos θ ) ~
sin nθ
sin θ
(0 <θ < π )
Вернуться к переменной x и получить разложение
f ( x ) в ряд по поли-
Следовательно,
( −1)
1
2 ∞
f ( x ) ~ U1 ( x ) − ∑
U 2k ( x ) .
4
π k = 0 ( 2k + 1)2 − 4
k
номам Чебышева
второго рода
СовременныйГ манитарныйУниверситет
318
№
п/п
Конкретное соответствие данной
ситуации предложенному алгоритму
Алгоритм
sin ( n + 1) arccos x
Un ( x ) =
1 − x2
в интервале ( −1, 1) :
∞
f ( x ) ~ ∑ anU n ( x ) ,
n =0
an =
2
1
f ( t )U ( t )
π ∫
n
1 − t 2 dt ,
−1
5.
n = 0,1,2,K
Ряд Фурье по полиномам Чебышева второго рода сходится в точке x интервала
( −1, 1) к сумме
Ряд Фурье по полиномам Чебышева
второго рода функции f ( x ) сходится к ней всюду в интервале ( −1,1) .
f ( x + 0) + f ( x − 0)
2
(или к f ( x ) , если x – точка
непрерывности функции).
ответствие из задания.
Решитьсамостоятельно:
7.1.Разложитьф н цию f ( x ) = x врядФ рьепополиномамЧе2
бышевавторо,ородавинтервале ( −1,1) .
319
7.2. Разложить ф н цию f ( x ) = arcsin x в ряд Ф рье по полиномамЧебышевавторо,ородавинтервале ( −1,1) .
7.3.Разложитьф н цию
0, −1 < x ≤ 0,
f ( x) =
1, 0 < x < 1
врядФ рьепополиномамЧебышевавторо,ородавинтервале ( −1,1) .
СовременныйГ манитарныйУниверситет
320
7.4. Разложить ф н цию
f ( x ) = 1 − x 2 в ряд Ф рье по полино-
мамЧебышевавторо,ородавинтервале ( −1,1) .
7.5.Разложитьф н цию
0, −1 < x ≤ 0,
f ( x) =
x − 1, 0 < x < 1
врядФ рьепополиномамЧебышевавторо,ородавинтервале ( −1,1) .
321
8.Примервыполнения=пражнениятренин>ана=мение№8
Задание
Разложитьф н цию
−1, −1 < x ≤ 0,
f ( x) =
1, 0 < x < 1
врядФ рьепополиномамЛежандравинтервале ( −1,1) .
Решение
Заполнитьтаблиц ,подобрав аждом ал,оритм он ретноесо№
п/п
1.
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
Алгоритм
Проверить, выполнены ли для f ( x )
достаточные условия
сходимости ряда
Фурье по полиномам
Лежандра в некоторой точке интервала
( −1,1) .
Функция f ( x ) непрерывна всюду в ( −1,1) ,
кроме точки x = 0 , где она имеет разрыв первого рода. При x ∈ ( −1,0 ) или ( 0,1) она удовлетворяет условию
f (t ) − f ( x ) ≤ t − x , t ∈ ( x − δ , x + δ ) ,
которое выглядит так:
0≤ t−x ,
а в точке x = 0 – условиям
f ( t ) − f ( 0 + 0) ≤ t , 0 < t < δ
и
СовременныйГ манитарныйУниверситет
322
№
п/п
Алгоритм
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
f (t ) − f (0 − 0) ≤ t ,
−δ < t < 0 :
0 ≤ t при 0 < t < δ или −δ < t < 0 .
2.
Вычислить коэффициен- Коэффициенты Фурье-Лежандра функты Фурье-Лежандра по
ции f ( x ) будут:
формулам:
0
1
2n + 1
1
2n + 1
−
+
an =
P
x
dx
P
x
dx
(
)
(
)
.
n
∫0 n
an =
f ( t ) Pn ( t ) dt ,
2 −∫1
∫
2 −1
Заметим, что так как функция f ( x ) негде
n
2
n
четная, то все коэффициенты с четными
1 d ( x − 1)
Pn ( x ) =
. индексами будут равны нулю, в силу то( 2n ) !! dx n
го, что четность полиномов Pn ( x ) совпадает с четностью n . Поэтому достаточно
вычислить коэффициенты с индексами
n = 2k + 1, k = 0, 1,2,K :
1
1
0
0
a1 = 3∫ P1 ( x ) dx = 3∫ xdx =
3
,
2
1
a2 k +1 = ( 2 ( 2k + 1) + 1) ∫ P2 k +1 ( x ) dx =
0
1
= ∫ P2′k + 2 ( x ) − P2′k ( x ) dx =
0
= P2 k + 2 ( x ) − P2 k ( x ) 0 =
1
( 2k − 1) !! − −1 k +1 ( 2k + 1) !! =
( )
( 2k ) !!
( 2k + 2 ) !!
k ( 2 k − 1) !! ( 4 k + 3 )
= ( −1)
, k = 1, 2,K
( 2k + 2 ) !!
= ( −1)
3.
Составить ряд ФурьеЛежандра функции
f ( x) :
k
Отсюда
f ( x) ~
3
P1 ( x ) +
2
∞
∞
+ ∑ ( −1)
f ( x ) ~ ∑ an Pn ( x ) .
k =1
n =0
323
k
( 2k − 1) !! ( 4k + 3) P x .
2 k +1 ( )
( 2k + 2 ) !!
№
п/п
4.
Конкретное соответствие данной
ситуации предложенному алгоритму
Алгоритм
Ряд Фурье-Лежандра сходится в точке x интервала
( −1, 1) к сумме
f ( x + 0) + f ( x − 0)
Ряд Фурье по полиномам Лежандра
функции f ( x ) сходится в интервале
( −1, 1)
к сумме
−1, −1 < x < 0,
g ( x ) = 1, 0 < x < 1,
0, x = 0.
2
(или к f ( x ) , если x – точка
непрерывности функции).
ответствие из задания.
Решитьсамостоятельно:
8.1.Разложитьф н цию
1, −1 < x ≤ 0,
f ( x) =
2, 0 < x < 1
врядФ рьепополиномамЛежандравинтервале ( −1,1) .
8.2.Разложитьф н цию
СовременныйГ манитарныйУниверситет
324
0, −1 < x ≤ 0,
f ( x) =
x, 0 < x < 1
в ряд Ф рье по полиномам Лежандра в интервале ( −1, 1) .
8.3.Разложитьф н цию
− x, −1 < x ≤ 0,
f ( x) =
2 x, 0 < x < 1
врядФ рьепополиномамЛежандравинтервале ( −1,1) .
325
8.4.Разложитьф н цию
f ( x ) = x4
в ряд Ф рье по полиномам Лежандра в интервале ( −1,1) .
8.5.Разложитьф н цию
1
0,
−
1
<
x
≤
−
,
2
f ( x) =
x + 1 , − 1 < x < 1
2
2
врядФ рьепополиномамЛежандравинтервале ( −1,1) .
СовременныйГ манитарныйУниверситет
326
9.Примервыполнения=пражнениятренин>ана=мение№9
Задание
Разложитьф н цию f ( x ) = x в рядФ рье по собственным ф н циямзадачиШт рма-Ли вилля
x ∈ [0,π ] ,
− y ′′ = λ y ,
y ′ ( 0 ) = y (π ) = 0
винтервале ( 0, π ) .
Решение
№
п/п
1.
Алгоритм
Решить задачу
Штурма-Лиувилля.
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
Найдем общее решение дифференциального
уравнения. Составим характеристическое
уравнение:
−k 2 = λ ,
откуда
k = ±i λ .
Если λ < 0 , то решением будет
y ( x ) = C1e − λ x + C2 e − − λ x .
Подставив в краевые условия, найдем:
y ′ ( 0 ) = C1 − λ − C2 − λ = 0 ,
y (π ) = C1e
Отсюда
327
− λπ
+ C2 e −
− λπ
=0.
№
п/п
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
Алгоритм
(
y (π ) = C1 e
− λπ
+ e−
− λπ
)=0,
а значит, C1 = C2 = 0 . Следовательно, y ( x ) ≡ 0 ,
что не является решением задачи ШтурмаЛиувилля.
Если λ = 0 , то
y ( x ) = C1 + C2 x ,
откуда, подставив в краевые условия, найдем:
C1 = C2 = 0 .
Следовательно, λ > 0 и
y ( x ) = C1 cos λ x + C2 sin λ x .
Далее,
y ′ ( 0 ) = C2 λ = 0 ,
а следовательно,
C2 = 0 ,
и
y (π ) = C1 cos λπ = 0 ,
откуда C1 ≠ 0 и
2
2.
Проверить достаточные условия поточечной сходимости в интервале
( a, b ) ряда Фурье
1
λn = n + , n = 0,1,2,K
2
Положив C1 = 1 , получим
1
y ( x, λn ) = cos n + x .
2
Функция f ( x ) непрерывна и дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [0, π ] .
по собственным
функциям задачи
Штурма-Лиувилля.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
328
№
п/п
3.
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
Алгоритм
Вычислить коэффициенты Фурье по
собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля
{ y ( x, λn )} :
b
∫ f ( x ) y ( x, λ ) dx
n
cn =
a
( n = 0,
y ( x, λn )
2
1, 2,K)
Найдем коэффициенты Фурье:
π
2
1
cn = ∫ x cos n + xdx =
π 0
2
π
4
1
x
n
=
sin
+
x −
2
π ( 2n + 1)
0
π
4
1
−
sin n + xdx =
∫
2
π ( 2n + 1) 0
Составить ряд Фурье по собственным
функциям задачи
Штурма-Лиувилля:
∞
f ( x ) ~ ∑ cn y ( x , λn ) .
n
4 ( −1)
n
π
1
=
+
n
+
x =
cos
( 2n + 1) π ( 2n + 1)2 2 0
=
4.
4 ( −1)
8
−
8
( 2n + 1) π ( 2n + 1)2
Ряд Фурье функции f ( x )
есть:
4 ( −1)n
8
f ( x) ~ ∑
−
2n + 1 π ( 2n + 1)2
n =0
∞
1
cos n + x .
2
n=0
5.
Ряд Фурье по собственным функциям
задачи ШтурмаЛиувилля сходится
для a < x < b к сумме f ( x ) в каждой
точке непрерывности и к сумме
f ( x + 0) − f ( x − 0)
Ряд сходится к функции f ( x ) всюду в интервале ( 0, π ) .
2
в каждой точке разрыва.
329
Заполнитьтаблиц ,подобрав аждом ал,оритм он ретноесоответствие из задания.
Решитьсамостоятельно:
9.1.Разложитьф н цию
1
1
,
0
≤
x
≤
2
2
f ( x) =
1 − x, 1 < x ≤ 1
2
в ряд Ф рье по собственным ф н циям задачи Шт рма-Ли вилля
− y ′′ + y = λ y ,
x ∈ [0,1] ,
y ( 0 ) = y (1) = 0
винтервале ( 0,1) .
СовременныйГ манитарныйУниверситет
330
9.2.Разложитьф н цию f ( x ) = sin x врядФ рьепособственным ф н циям задачи Шт рма-Ли вилля
− y ′′ = λ y ,
x ∈ [0, 2 ] ,
y ( 0 ) = y′ ( 2 ) = 0
в интервале ( 0, 2 ) .
9.3.Разложитьф н цию
π
1,
0
≤
x
≤
,
4
f ( x) =
2, π < x ≤ π
4
2
в ряд Ф рье по собственным ф н циям задачи Шт рма-Ли вилля
331
− y ′′ = λ y ,
π
x ∈ 0, ,
2
π
y′ ( 0 ) = y′ = 0
2
в интервале 0, π .
2
9.4. Разложить ф н цию
f ( x ) = x 2 в ряд Ф рье по собствен-
ным ф н циям задачи Шт рма-Ли вилля
− y ′′ + 2 y = λ y ,
x ∈ [0, 3] ,
y ′ ( 0 ) = y ( 3) = 0
винтервале ( 0,3) .
СовременныйГ манитарныйУниверситет
332
9.5.Разложитьф н цию
1
a
,
0
≤
x
≤
,
2
f ( x) =
b, 1 < x ≤ 1
2
в ряд Ф рье по собственным ф н циям задачи Шт рма-Ли вилля
− y ′′ = λ y ,
x ∈ [0,1] ,
y′ ( 0 ) = 0,
y′ (1) + y (1) = 0
винтервале ( 0,1) .
333
ФАЙЛ МАТЕРИАЛОВ
ПРИМЕРЫОТРАБОТКИРЕШЕНИЯЗАДАЧ
Три>онометричес;ие ряды Ф=рье
Данной теме посвящена ,лава 1 Тематичес о,о обзора. Поэтом
передрешениемслед ющихпримеровслед етпрочестьматериалэтой
,лавы.
Пример1.Разложитьф н цию f ( x ) = e , a ≠ 0 ,втри,онометриax
чес ий ряд Ф рье на отрез е
[0,1] и
азать ф н цию, оторой схо-
дится пол ченный ряд.
Решение.Продолжимф н циюпериодичес испериодом1навсю
числов ю ось. Продолженная ф н ция
родав точ ах
f * ( x ) имеет разрывы перво,о
x = k , k –целое,и непрерывна востальных точ ах пря-
мой.Ее,рафи имеетвид:
Очевидно,ф н ция
f ( x ) сочно-дифференцир емана [0,1] .Она
не является ни четной, ни нечетной, поэтом ее оэффициенты Ф рье
СовременныйГ манитарныйУниверситет
334
вычисляются по форм лам:
1
a0 = 2 ∫ e dx =
ax
2 ( e a − 1)
;
a
0
2
4π n ax
an = 2 ∫ e cos 2π nx dx = ( e a − 1) +
e sin 2π nx dx =
∫
a
a
0
0
1
1
ax
2 a
8π 2 n 2 ax
2 a
4π 2 n 2
= ( e − 1) −
e cos 2π nx dx = ( e − 1) −
an ,
2
2
∫
a
a 0
a
a
1
⇒ an =
2a ( e a − 1)
a 2 + 4π 2 n 2
,
4π n ax
2π n
π
bn = 2 ∫ e sin 2π nx dx = −
e
cos
2
nx
dx
=
−
an ,
∫
a
a
0
0
1
1
ax
⇒ bn =
4π n (1 − e a )
a + 4π n
2
2
2
.
Та имобразом,ряд Ф рьеф н ции f ( x ) имеет вид:
∞
ea − 1
a
2π n
a
π
π
+ 2 ( e − 1) ∑ 2
cos
2
nx
−
sin
2
nx
.
2 2
a
a 2 + 4π 2 n 2
n =1 a + 4π n
Со,ласно призна Дини-Липшица ряд Ф рье ф н ции
f ( x ) схо-
дится нейвсюд в ( 0,1) ,авточ ах x = 0 и x = 1 сходится значению
ea + 1
. Та им образом, с мма ряда имеет вид:
2
e ax , x ∈ ( 0,1) ,
g ( x ) = ea + 1
, x = 0, x = 1.
2
335
Пример 2. Разложить ф н цию f ( x ) = sin x в три,онометричес-
π π
2 , 2 и азатьф н цию, оторойсхо-
ийрядФ рьенаотрез е −
дится пол ченный ряд.
Решение. Продолжим ф н цию периодичес и с периодом π на
всю числов ю ось.Продолженная ф н ция f
во,о рода в точ ах
x=
π
2
*
( x ) имеет разрывы пер-
+ π k , k – целое, и непрерывна в остальных
точ ахпрямой.Ее,рафи имеетвид:
Очевидно,ф н ция f ( x )
π π
, .Она
2 2
сочно-дифференцир емана −
нечетная,поэтом ее оэффициентыФ рьевычисляютсяпоформ лам:
an = 0 ( n = 0,1,2,K) ,
π
bn =
4
π
2
π
2
2
∫ sin x sin 2nxdx = π ∫ cos ( 2n − 1) x − cos ( 2n + 1) x dx =
0
=
0
( 2n − 1) π − 1 sin ( 2n + 1) π =
2 1
sin
2
2n + 1
2
π 2n − 1
( )
СовременныйГ манитарныйУниверситет
336
=
2
π
1 8 ( −1) n
1
+
2n − 1 2n + 1 = π 4n 2 − 1 .
n −1
( −1)
n −1
Та имобразом,ряд Ф рьеф н ции f ( x ) имеет вид:
8
∞
∑
π
n =1
( −1)
n −1
n
4n − 1
2
sin 2nx .
По призна Дини-Липшица ряд Ф рье ф н ции
ней всюд в интервале
f ( x ) сходится
π π
π
− , , а в точ ах x = ± сходится 0 .
2 2
2
Следовательно, с мма ряда Ф рье есть
π π
sin
x
,
x
∈
− , ,
2 2
g ( x) =
0, x = ± π .
2
Пример 3. Разложитьф н цию
2 x + 1, 0 ≤ x < π ,
f ( x) =
1, −π < x < 0.
в три,онометричес ий ряд Ф рье на отрез е
[−π ,π ] и
азать ф н -
цию, оторой сходится пол ченный ряд.
Решение. Продолжим ф н цию периодичес и с периодом 2π на
всю числов ю ось.Продолженная ф н ция
во,ородавточ ах
f * ( x ) имеет разрывы пер-
x = π + 2π k , k –целое,инепрерывнавостальных
точ ахпрямой.Ее,рафи имеетвид:
337
Очевидно, ф н ция f ( x )
сочно-монотонна на
[ −π ,π ] . Она не явля-
ется ни четной, ни нечетной, поэтом ее оэффициенты Ф рье вычисляются по форм лам:
a0 =
an =
1
π
π
∫
−π
1
π
π
∫
−π
0
π
1
f ( x ) dx = ∫ dx + ∫ ( 2 x + 1) dx = 2 + π ,
π −π
0
0
π
1
f ( x ) cos nxdx = ∫ cos nxdx + ∫ ( 2 x + 1) cos nxdx =
π −π
0
1
π
π
2
2
x
+
1
cos
nxdx
=
−
sin nxdx =
(
)
π ∫0
π n ∫0
2
= 2
πn
bn =
1
π
π
∫
−π
(
4
−
, n = 2k − 1,
( −1) − 1 = π n 2
0, n = 2k ,
n
)
0
π
1
f ( x ) sin nxdx = ∫ sin nxdx + ∫ ( 2 x + 1) sin nxdx =
π −π
0
π
π
π
2
1
2
2
n −1
n −1
cos
nxdx
=
−
1
.
(
)
∫ sin nxdx + 2 ∫ x sin nxdx = ( −1) +
∫
π −π
πn 0
n
0
n
СовременныйГ манитарныйУниверситет
338
Та имобразом,рядФ рьеф н ции f ( x ) имеетвид:
1+
π
2
−
4
∞
∑
π
n =1
cos ( 2n − 1) x
( 2n − 1)
∞
sin nx
n .
n =1
+ 2∑
2
Попризна Дирихлес ммарядаФ рьеф н ции
f ( x ) есть
2 x + 1, 0 ≤ x < π ,
g ( x ) = 1, −π < x < 0,
π + 1, x = ±π .
Пример 4.Разложитьф н цию f ( x ) = x врядФ рьепо осин -
[
]
самнаотрез е 0, π испомощьюэто,оразложениянайтис мм числово,о ряда
∞
∑
k =1
1
( 2k − 1)
2
.
Решение. Чтобы пол чить разложение по осин сам, продолжим
f ( x ) на [ −π ,0] четным образом, а затем периодичес и, с периодом
2π ,продолжимеенавсюось.Мыпол чимф н циювида:
Продолженная ф н ция – непрерывная и сочно-дифференцир емая.Поэтом попризна Дини-ЛипшицаеерядФ рьесходитсявсюд на
[0,π ]
f ( x) .
Вычисляя оэффициенты Ф рье, найдем:
339
a0 =
2
π
π
∫ xdx = π ,
0
π
π
π
2 sin nx
2
cos nπ − 1
an = ∫ x cos nxdx = x
−
sin
nxdx
=
2
,
n 0 nπ ∫0
n 2π
π 0
π
2
т.е.
a2 k = 0, a2 k −1 = −
4
( 2k − 1) π
2
( k = 1,2,K) .
Та им образом, ис омое разложение имеет вид:
x=
π
2
−
∞
4
∑
π
k =1
cos ( 2k − 1) x
( 2k − 1)
2
(0 ≤ x ≤ π ) .
Пола,ая x = 0 ,мыпол чим:
∞
1
∑
k =1 ( 2 k − 1)
2
=
π2
8 .
Пример 5.Разложитьф н цию
1
2,
0
<
x
≤
,
4
f ( x) =
1, 1 < x < 1
4
[ ]
врядФ рьепосин самнаотрез е 0,1 испомощьюэто,оразложения найти с мм числово,о ряда
∑ (( −1)
∞
k =0
k
2 −6
) ( 4k +41k)(+42k + 3) .
Решение. Чтобы пол чить разложение по син сам, продолжим
f ( x ) на ( −1,0 ) нечетным образом, а затем периодичес и, с периодом 2 ,продолжимее навсюось.Мы пол чимф н циювида:
СовременныйГ манитарныйУниверситет
340
Продолженная ф н ция
точ ах
сочно-постоянна в интервале
( −1,1) . В
1
x = ±1, x = ± , x = 0 ф н ция имеет разрывы перво,о рода.
4
Вычислим оэффициенты Ф рье ф н ции f ( x ) :
1
14
bn = 2 ∫ f ( x ) sin π nx dx = 2 2 ∫ sin π nx dx + ∫ sin π nx dx =
0
0
14
πn
πn
πn
n
n
−
−
−
−
+
−
cos
1
1
cos
cos
2
1
(
)
(
)
4
4 = −2
4
= −2 2
+
.
n
n
n
π
π
π
1
Следовательно, ряд Ф рье ф н ции
∞
−2 ∑
n =1
cos
πn
4
f ( x ) имеет вид:
− 2 + ( −1)
πn
341
n
sin π nx.
Попризна Дирихлеонсходится с мме
1
2,
0
<
x
<
,
4
1, 1 < x < 1,
g ( x) = 4
3
1
, x= ,
4
2
0, x = 0, x = 1.
1
,пол чим:
2
Пола,ая x =
1= −
2
∞
∑
π
cos
πn
4
− 2 + ( −1)
sin
n
n =1
n
πn
2
=−
2
∞
∑ ( −1)
π
m
cos
m =0
π ( 2m + 1)
4
2m + 1
−3
,
та а
sin
0, n = 2m,
=
m
2 ( −1) , n = 2m + 1.
πn
Далее,разобьемпоследнююс мм надве:при m = 2k ипри m = 2 k + 1 .
Пол чим:
−
π
2
∞
=∑
cos
k =0
∞
=∑
k =0
π ( 4k + 1)
4
4k + 1
−3
∞
−∑
k =0
cos
π ( 4 k + 3)
4
4k + 3
2
2
k
− 3 ∞ ( −1)
−3
2
2
+∑
=
4k + 1
4
k
+
3
k =0
( −1)
k
1
2
1
k
= ∑ ( −1)
− 3
+
=
2
4
k
+
1
4
k
+
3
k =0
∞
4k + 2
( −1)k 2 − 6
.
∑
( 4k + 1)( 4k + 3)
k =0
∞
СовременныйГ манитарныйУниверситет
342
−3
=
Ита ,о ончательноимеем:
∑ (( −1)
∞
k
2 −6
k =0
) ( 4k +41k)(+42k + 3) = − π2 .
e x + e− x
в ряд Ф Пример 6. Разложить ф н цию f ( x ) = ch x =
2
рье по осин сам на отрез е
[0,π ] и с помощью это,о разложения
найти с мм числово,о ряда
∞
1
∑1 + n
n =1
2
Решение. Чтобы пол чить разложение по осин сам, продолжим
f ( x ) на [ −π ,0] четным образом, а затем периодичес и, с периодом
2π ,продолжимеенавсюось.Мыпол чимф н циювида:
343
Продолженная ф н ция – непрерывная и сочно-дифференцир емая.Поэтом попризна Дини-ЛипшицаеерядФ рьесходитсявсюд на
[0,π ]
f ( x) .
Вычисляя оэффициенты Ф рье, найдем:
π
2 eπ − e − π 2
a0 = ∫ ch x dx =
= sh π ,
π 0
π
π
2
2
an =
=
2
π
2
π
∫ ch x cos nxdx = π [sh x cos nx ]
2
( −1)
π
0
+
0
n
sh π +
2n
π
=
от
π
π
[ch x sin nx ] 0 −
2
π
( −1)
n
2n 2
π
2n
π
π
∫ sh x sin nxdx =
0
π
∫ ch x cos nxdx =
0
sh π − n 2 an ,
да
2sh π ( −1)
an =
.
π 1 + n2
n
Та им образом, ис омое разложение имеет вид:
ch x =
Пола,ая
sh π
π
+
2sh π
π
∞
( −1)
∑1+ n
n =1
n
2
cos nx ( 0 ≤ x ≤ π ) .
x = π ,мыпол чим:
1
sh π π
π
1
π
π
=
ch
−
=
cth
−
∑
.
2
π 2sh π 2
2
n =1 1 + n
∞
П р имер 7 . Написать равенство Парсеваля для ф н ции
f ( x ) = x cos x, x ∈ [ −π , π ] и,исходя изэто,оравенства, найтис мм
числово,о ряда
∞
( 4n 2 + 1)
2
n =1
( 4n 2 − 1)
4
∑
.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
344
Решение. Ф н ция f ( x ) инте,рир ема с вадратом на
[ −π ,π ] ,
причем
1
π
π
∫π
f
2
( x ) dx =
−
π2
1
=
+
3 2π
π
∫π
−
1
π
π
∫π
x cos xdx =
2
2
−
π
1
π
∫π
x2
−
π
π2
1
x cos 2 xdx =
−
3 2π
2
π
π2
1
1
=
+
x cos 2 x −
3 4π
4π
−π
1 + cos 2 x
dx =
2
∫π x sin 2 xdx =
−
π
∫
cos 2 xdx =
−π
π2
1
+ .
3 2
Поэтом со,ласно теореме Ляп нова для f ( x ) имеет место форм ла
Парсеваля:
a02 ∞ 2
π2 1
2
+ ∑ ( an + bn ) =
+ .
2 n =1
3 2
Вычислим оэффициенты Ф рье ф н ции f ( x ) . Очевидно, f ( x )
– четная ф н ция. Следовательно,
a0 =
2
π
π
∫
f ( x ) dx =
0
π
2
π
π
∫ x cos xdx = −
0
π
π
2
∫ sin xdx = −
π
0
π
,
π
1
π
a1 = ∫ x cos xdx = ∫ x (1 + cos 2 x ) dx = −
sin
2
xdx
=
,
2 2π ∫0
2
π 0
π 0
2
1
2
an =
2
π
4
π
2
f ( x ) cos nxdx = ∫ x cos x cos nxdx =
∫
π
π
0
=
π
1
π
0
π
∫ x cos ( n + 1) x + cos ( n − 1) x dx =
0
π
π
1
1
=−
sin
n
+
1
xdx
−
sin ( n − 1) xdx =
(
)
π ( n + 1) ∫0
π ( n − 1) ∫0
π
345
π
π
=
1
π ( n + 1)
=
π
1
cos ( n + 1) x +
2
π ( n − 1)
0
1
π ( n + 1)
−1)
2 ((
( −1)
=
)
n +1
−1 +
cos ( n − 1) x =
2
0
1
π ( n − 1)
2
(( −1)
n +1
)
−1 =
n +1
−1 1
1
+
=
2
2
π
( n + 1) ( n − 1)
4 4k 2 + 1
, n = 2k ,
−1) − 1 n 2 + 1
− π
2
(
2
=2
=
( k = 1, 2,K)
( 4k − 1)
2
2
π
( n − 1) 0, n = 2k + 1,
n +1
bn = 0 ( n = 1, 2,K) .
f ( x ) имеет вид:
Так и м о б р аз о м , р аве н с тво П ар с е валя д ля
8
π2
+
π
2
4
+
16
π2
∞
( 4n 2 + 1)
2
n =1
( 4n 2 − 1)
4
∑
=
π2
1
+ .
3 2
Отсюда пол чим:
∞
( 4n 2 + 1)
2
n =1
( 4n 2 − 1)
4
∑
=
π4
192
+
π2
32
−
1
.
2
Пример 8. Написать равенство Парсеваля для ф н ции
x 2 − π x, 0 ≤ x < π ,
f ( x) = 2
− x − π x, −π < x ≤ 0
и, исходя из это,о равенства, найти с мм числово,о ряда
∞
∑
n =0
1
( 2n + 1)
6
.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
346
Решение. Ф н ция f ( x ) инте,рир ема с вадратом на
[ −π ,π ] ,
причем
1
π
π
∫
−π
f
2
2
π
( x ) dx = ∫ ( x − π x )
π
2
2
dx =
0
2
π
(x
π∫
4
− 2π x 3 + π 2 x 2 ) dx =
0
2 π5 π5 π5 π4
= −
+ =
,
2
3 15
π 5
та а ,в сил то,о, чтоф н ция f ( x ) нечетная,ф н ция f
ная.Поэтом со,ласнотеореме Ляп новадля
2
( x ) чет-
f ( x ) имеет место фор-
м ла Парсеваля:
a02 ∞ 2
π4
2
.
+ ∑ ( an + bn ) =
2 n =1
15
Вычислим теперь оэффициенты Ф рье ф н ции f ( x ) . Имеем:
an = 0 ( n = 0,1, 2, K) ,
bn =
2
π
2
π
f ( x ) sin nxdx = ∫ ( x
π∫
π
0
=
2
− π x ) sin nxdx =
0
2
π
π
∫x
π
2
sin nxdx − 2 ∫ x sin nxdx =
0
0
π
π
π
2
4
2
2
π
x 2 cos nx +
=−
x
cos
nxdx
+
x
cos
nx
−
cos nxdx =
[
]
∫
∫
0
0
πn
πn 0
n
n0
π
2π
2π
4
4
2
n
n
π
π
=−
( −1) + ( −1) + 2 [ x sin nx ]0 − 2 ∫ sin nxdx − 2 [sin nx ]0 =
πn
πn 0
n
n
n
1
8
−
, n = 2k + 1,
4
3
n
π
= 3 ( −1) − 1 =
( 2k + 1)
πn
0, n = 2k , k = 0,1, 2,K
347
Та имобразом,форм лаПарсевалядля f ( x ) имеетвид:
64
π2
от
∞
∑
n =0
1
( 2n + 1)
6
=
π4
15
,
да
∞
∑
n =0
1
( 2n + 1)
6
=
π6
960
.
Пример9.Найтиинте,ралФ рьеф н ции
x , x ≤ 1,
f ( x) =
0, x > 1
ипостроитье,о,рафи .
Решение. Ф н ция f ( x ) абсолютно инте,рир ема на всей оси.
Та а оначетная,тоееинте,ралФ рьеравен:
∞
f ( x ) ~ ∫ a ( λ ) cos λ xd λ ,
0
,де
a (λ ) =
2
π
∞
∫
f ( u ) cos λ udu =
0
2
π
1
∫ u cos λudu =
0
2 sin λ cos λ − 1
+
π λ
λ 2
и, следовательно,
∞
2 sin λ cos λ − 1
f ( x) ~ ∫
+
cos λ xd λ .
π 0 λ
λ 2
Очевидно, ф н ция
f ( x ) имеет о,раниченное изменение на аж-
дом онечном отрез е. Поэтом со,ласно призна Дирихле-Жордана
ее инте,рал Ф рье сходится всюд ф н ции
СовременныйГ манитарныйУниверситет
348
x , x < 1,
1
g ( x ) = , x = ±1,
2
0, x > 1,
,рафи оторой имеет вид:
Графи ф н ции
f ( x) .
Графи ф н ции g ( x ) .
Пример 10.Найтиинте,ралФ рьеф н ции
2π n
ω
A
sin
x
,
x
≤
,
ω
f ( x) =
0, x > 2π n ,
ω
,де n –нат ральноечисло,ипостроитье,о,рафи .
349
Решение. Очевидно, f ( x ) абсолютно инте,рир ема на всей оси.
Она нечетная, следовательно, ее инте,рал Ф рье есть
∞
f ( x ) ~ ∫ b ( λ ) sin λ xd λ ,
0
,де
2π n
b (λ ) =
2
π
∞
∫ f ( u ) sin λudu =
0
2A
π
ω
∫
sin ω u sin λudu =
0
2π n
=
=
A
π
ω
∫ ( cos (ω − λ ) u − cos (ω + λ ) u ) du =
0
A 1
2π n
1
2π n
−
−
+
=
sin
sin
ω
λ
ω
λ
(
)
(
)
π ω − λ
ω
ω +λ
ω
=
2 Aω
π
sin
2π nλ
ω
1
.
2
2
λ −ω
Та им образом,
f ( x) ~
Та а ф н ция
2 Aω
π
∞
∫
0
sin
2π nλ
ω d λ.
λ −ω2
2
f ( x ) непрерывнанавсейпрямойи сочно-диф-
ференцир ема на ней, то при всех x ∈ ( −∞, ∞ ) инте,рал Ф рье ф н ции f ( x ) сходится ней самой.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
350
Пример 11. Найти инте,рал Ф рье ф н ции
1
1
−
hx
,
0
≤
x
≤
,
h
1
f ( x ) = 1, − ≤ x < 0,
h
1
0,
x
>
,
h
h > 0,
ипостроитье,о,рафи .
Решение. Графи ф н ции f ( x ) имеет вид
351
Ф н ция f ( x ) абсолютно инте,рир ема на всей прямой. Она не
являетсяничетной,нинечетной,поэтом ееинте,ралФ рьеб детиметь
вид
∞
f ( x ) ~ ∫ ( a ( λ ) cos λ x + b ( λ ) sin λ x ) d λ ,
0
,де
a (λ ) =
∞
1
∫
π
−∞
1h
0
1
f (u ) cos λudu = ∫ cos λudu + ∫ (1 − hu ) cos λ udu =
π −1 h
0
1h
λ 1
λ 1
λ 3
1 1
= sin + sin − sin + ∫ sin λudu =
h λ
h λ
h λ 0
π λ
1 1
λ h
λ h
−
+ 2=
sin
cos
2
h λ
h λ
π λ
b (λ ) =
∞
1
π
∫
−∞
h + λ sin
λ
h
− h cos
λπ
2
λ
h ,
1h
0
1
f (u ) sin λudu = ∫ sin λudu + ∫ (1 − hu ) sin λ udu =
π −1 h
0
1h
1 1 1
λ 1
λ 1 1
λ h
= − + cos − cos + + cos − ∫ cos λudu =
h λ
h λ λ
h λ 0
π λ λ
=
1 1
λ h
λ
cos
sin
−
=
h λ2
h
π λ
λ cos
λ
h
− h sin
λπ
2
λ
h.
Следовательно,
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
−
−
h
sin
h
cos
cos
h
sin
1
h
h cos λ x +
h
h sin λ x dx .
f ( x) ~ ∫
π 0
λ2
λ2
Та а ф н ция f ( x ) сочно-монотонна, то она имеет о,рани∞
СовременныйГ манитарныйУниверситет
352
ченноеизменениена аждом онечномотрез е.Вточ е x = −
ция
1
ф н h
f ( x ) имеет разрыв перво,о рода, в остальных точ ах прямой она
непрерывна. Поэтом со,ласно призна
Дирихле-Жордана инте,рал
Ф рье f ( x ) сходится с мме
1
1
,
0
,
−
hx
≤
x
≤
h
1, − 1 < x < 0,
h
g ( x) =
0, x > 1 ,
h
1
1
, x=− .
h
2
Пример 12. Найти преобразование Ф рье ф н ции
x
2 , x ≤ 1,
1
f ( x ) = , 1 < x ≤ 2,
2
0, x > 2.
353
Решение.Ф н ция f ( x ) абсолютноинте,рир еманавсейпрямой,
поэтом для нее имеет смысл форм ла преобразования Ф рье:
1
F (λ ) =
2π
1
=
2 2π
=
∞
∫
f (u )eiλ u du =
−∞
1
1
ue
du
+
∫
2 2π
−1
iλ u
2
1
e
du
+
∫1
2 2π
iλ u
−1
∫e
iλ u
du =
−2
1 eiλ + e − i λ
e i λ − e − i λ e 2 i λ − e i λ e − i λ − e −2 i λ
−
+
+
=
2i 2 λ 2
2iλ
2iλ
2π 2iλ
λ cos λ − sin λ
1 sin 2λ − sin λ
−
i
, λ ≠ 0,
2
2π
λ
λ
=
1 , λ = 0.
2π
Пример 13. Найти осин с-преобразование Ф рье ф н ции
cos x, 0 ≤ x ≤ π ,
f ( x) =
0, x > π .
Решение. Ф н ция f ( x ) абсолютно инте,рир ема на пол прямой
[0, +∞ ) ,поэтом
поопределению осин с-преобразованияФ рьеиме-
ем:
2
π
1
Fc ( λ ) =
cos
u
cos
λ
udu
=
π ∫0
2π
=
π
∫ cos ( λ + 1) u + cos ( λ − 1) u du =
0
1 sin ( λ + 1) π sin ( λ − 1) π
2 λ sin λπ
+
=
.
2
λ
λ
π
λ
+
−
−
1
1
1
2π
Пример 14. Найти преобразование Ф рье ф н ции
f ( x) = e
−x
sin ω x .
СовременныйГ манитарныйУниверситет
354
Решение.Та а ф н ция e − x бываетнабес онечности,аф н ция sin ω x о,раничена, то ф н ция
f ( x ) абсолютно инте,рир ема на
всей прямой. Поэтом для нее имеет смысл преобразование Ф рье:
∞
1
F (λ ) =
∫
2π
f (u )eiλu du .
−∞
Ата а f ( x ) нечетнаяф н ция,то F ( λ ) = iFs ( λ ) ,и,следовательно,
2
F (λ ) = i
∞
e
∫
π
−u
sin ω u sin λu du =
0
=i
∞
1
2π
−u
∫ e ( cos (ω − λ ) u − cos (ω + λ ) u ) du = i
0
1
2π
( I1 − I 2 ) ,
,де
∞
I1 = ∫ e − u cos (ω − λ ) udu =
0
∞
∞
1
1
e − u sin (ω − λ ) u +
=
e − u sin (ω − λ ) udu =
∫
0
ω −λ
ω −λ 0
=−
1
(ω − λ )
2
e cos (ω − λ ) u −
0
=
от
1
(ω − λ )
2
−
∞
1
∞
−u
(ω − λ )
1
(ω − λ )
2
2
−u
e
∫ cos (ω − λ ) udu =
0
I1 ,
да
I1 =
1
(ω − λ )
2
+1
,
и анало,ично
∞
I 2 = ∫ e − u cos (ω + λ ) udu =
0
355
1
(ω + λ )
2
+1
.
Отсюда
1
1
1
F (λ ) = i
−
.
2
2
2π (ω − λ ) + 1 (ω + λ ) + 1
Пример 15. Найти син с-преобразование Ф рье ф н ции
a 2 − x 2 , 0 ≤ x ≤ a,
f ( x) =
0, x > a.
Решение. Очевидно, ф н ция f ( x ) абсолютно инте,рир ема на
[
пол прямой 0, +∞ ) , поэтом по определению ее син с-преобразованиеФ рьеесть
2
Fs ( λ ) =
∞
2
a
(a
π∫
f ( u ) sin λ udu =
π∫
0
2
− u 2 ) sin λ udu =
0
a
a
2 1 2
2
2
=
− ( a − u ) cos λu − ∫ u cos λudu =
π λ
0 λ 0
a
a
2 a2 2
2
=
u sin λu + 2 ∫ sin λudu =
−
π λ λ 2
0 λ 0
2 a 2 2a
2
2
=
−
sin
a
−
cos
a
+
λ
λ
=
π λ λ2
λ3
λ3
=
2 λ 2 a 2 + 2 − 2aλ sin λ a − 2 cos λ a
π
λ
3
.
Ряды Ф=рье по ;лассичес;им орто>ональным полиномам
Данной теме посвящена ,лава 3 тематичес о,о обзора. Поэтом
передрешениемслед ющихпримеровслед етпрочестьматериалэтой
,лавы.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
356
Пример 16. Разложить ф н цию
f ( x ) = 1 − x 2 в ряд Ф рье по
[ −1, 1] .
Решение.Для аждойточ и x ∈ ( −1, 1) найдетсята аяо
полиномам Чебышева на отрез е
( x − δ , x + δ ) ,в
оторойф н ция
рестность
f ( x ) довлетворяет словиюЛипши-
цапоряд а α = 1 .Действительно,потеоремео онечныхприращениях
2 (1 − δ 1 )
1 − t 2 − 1 − x2 ≤
1 − (1 − δ 1 )
2
t−x,
,де ( x − δ , x + δ ) ⊂ ( −1 + δ 1 , 1 − δ 1 ) .
Кромето,о, f ( x ) непрерывнана
нообщейтеории,
[ −1, 1] .Следовательно,со,лас-
f ( x ) можетбытьразложенаврядФ рьепополино-
мамЧебышева,сходящийся нейвинтервале ( −1,1) .Введемвспомо,ательн юф н цию
F (θ ) = 1 − cos 2 θ = sin θ , θ ∈ [0,π ] ,
иразложимееврядФ рьепо осин самна
α0 =
αn =
2
π
2
π
π
∫ sin θ dθ = −
0
1
π
( cos π − cos 0 ) =
4
π
,
π
sin θ cos nθ dθ =
sin ( n + 1) θ − sin ( n − 1)
∫
∫
π
π
0
=
2
[0,π ] . Имеем
θ dθ =
0
−1
( cos π ( n + 1) − 1) + π
π ( n + 1)
1
( cos π ( n − 1) − 1) =
n
−
1
( )
0, n = 2k − 1,
( −1) + 1 − ( −1) + 1 =
4
=
, n = 2k .
π ( n + 1) π ( n − 1) −
2
π ( n − 1)
n
n
357
Следовательно,
sin θ =
2
π
4
cos 2nθ
, 0 ≤θ ≤π,
2
−1
n =1
∞
∑ 4n
π
−
от да, пола,ая θ = arccos x , найдем
1− x =
2
2
π
−
4
π
(Сходимость на онцах отрез а
ряда Ф рье для
∞
T2 n ( x )
∑ 4n
n =1
2
−1
, −1 ≤ x ≤ 1.
[ −1,1] имеет место в сил
сходимости
F (θ ) = sin θ и непрерывности замены x = cosθ ).
Пример17.Разложитьф н цию f ( x ) = x врядФ рьепополи2
номам Чебышева на отрез е
[ −1,1] .
Решение.Ф н ция f ( x ) непрерывнанаотрез е −1,1 и довлет-
[
]
воряет на нем словию Липшицапоряд а α = 1 . Действительно,
t 2 − x 2 = ( t − x )( t + x ) ≤ 2 t − x .
Поэтом она может быть разложена в ряд Ф рье по полиномам Чебышева,сходящийся нейвсюд на
[ −1,1] .Введемвспомо,ательн
юф н-
цию
F (θ ) = cos2 θ , θ ∈ [0, π ] ,
[
]
иразложимееврядФ рьепо осин самна 0, π .Изизвестнойтри,онометричес ой форм лы след ет, что
cos2 θ =
1 1
+ cos 2θ ,
2 2
т.е.
α 0 = 1,
0, n ≠ 2,
αn = 1
2 , n = 2.
СовременныйГ манитарныйУниверситет
358
Отсюда,пола,ая θ = arccos x ,найдем:
1
1
x 2 = T0 ( x ) + T2 ( x ) .
2
2
Пример 18. Разложить ф н цию f ( x ) = arccos x в ряд Ф рье по
полиномам Чебышева второ,орода винтервале ( −1,
1) .
Решение. Ф н ция f ( x ) непрерывна в интервале ( −1,1) и для
аждой точ и x ∈ ( −1,1) найдется та ая о рестность ( x − δ , x + δ ) , в
оторойф н ция f ( x ) довлетворяет словиюЛипшицапоряд а α = 1 .
Поэтом она может быть разложена в ряд Ф рье по полиномам Чебышевавторо,орода,сходящийся нейвсюд винтервале ( −1,1) .
Введем вспомо,ательн ю ф н цию
Φ (θ ) = θ sin θ , 0 < θ < π ,
иразложимееврядФ рьепосин самна ( 0, π ) .Имеем:
bn =
2
π
1
π
τ sin τ sin nτ dτ = ∫ τ ( cos ( n − 1)τ − cos ( n + 1)τ ) dτ =
∫
π
π
0
0
π
π
1 1
1
=
sin
n
+
1
d
−
sin
n
−
1
d
τ
τ
τ
τ
(
)
(
)
=
n − 1 ∫0
π n + 1 ∫0
(
)
1 cos π ( n − 1) − 1 cos π ( n + 1) − 1 4n ( −1) − 1
=
−
=
=
2
2
2
2
π
( n − 1)
( n + 1)
π ( n − 1)
0, n = 2k − 1, n ≠ 1,
16k
= −
, n = 2k , k = 1, 2,K
2
π ( 4k 2 − 1)
При n = 1 найдем:
359
n +1
π
π
1
2
π
π
1
π
b1 = ∫ τ sin τ dτ = ∫ τ (1 − cos 2τ ) dτ = +
sin
2
d
=
.
τ
τ
π 0
π 0
2 2π ∫0
2
2
Следовательно,
Φ (θ ) =
π
2
sin θ −
16
π
∞
k
∑
( 4k
k =1
2
− 1)
2
sin 2kθ , 0 < θ < π .
Отсюда
f ( cosθ ) =
π
2
−
sin 2kθ
, 0 <θ <π .
2
2
π k =1 ( 4k − 1) sin θ
16
∞
k
∑
Возвращаясь переменной x = cosθ , пол чим ис омое разложение:
f ( x) =
π
2
−
16
π
∞
∑
k =1
k
( 4k
2
− 1)
2
Пример19.Разложитьф н цию
U 2 k −1 ( x ) , −1 < x < 1 .
f ( x ) = x arccos x врядФ рьепо
полиномам Чебышевавторо,о рода винтервале ( −1,1) .
Решение. Ф н ция
f ( x ) непрерывна в интервале ( −1,1) и для
аждой точ и x ∈ ( −1,1) найдется та ая о рестность ( x − δ , x + δ ) , в
оторойф н ция
f ( x ) довлетворяет словиюЛипшицапоряд а α = 1 .
Действительно,
t arccos t − x arccos x ≤
≤ t − x arccos t + x arccos t − arccos x ≤
≤ t − x arccos t + x M t − x ,
,де
M=
arccos ξ )′ ,
(
( −1+ δ ,1−δ )
max
1
,де
( x − δ , x + δ ) ⊂ ( −1 + δ 1 ,
1
СовременныйГ манитарныйУниверситет
360
1 − δ1 ) ,
от да
t arccos t − x arccos x ≤ (π + M ) t − x .
Поэтом она может быть разложена в ряд Ф рье по полиномам Чебышевавторо,орода,сходящийся нейвсюд винтервале ( −1,1) .
Введем вспомо,ательн ю ф н цию
Φ (θ ) = θ cosθ sin θ =
θ
2
sin 2θ , 0 < θ < π ,
иразложимееврядФ рьепосин самна ( 0, π ) .Имеем:
1
π
π
1
bn = ∫ τ sin 2τ sin nτ dτ =
τ ( cos ( n − 2 )τ − cos ( n + 2 )τ ) dτ =
2π ∫0
π 0
1
=
2π
π
1 π
1
sin
2
sin
2
n
+
d
−
n
−
d
τ
τ
τ
τ
(
)
(
) =
∫
∫
n−2 0
n + 2 0
(
)
1 cos π ( n − 2 ) − 1 cos π ( n + 2 ) − 1 4n ( −1) − 1
−
=
=
2
2
2
2
2π
(n − 2)
(n + 2)
π (n − 4)
n
0, n = 2k , n ≠ 2,
8 ( 2k + 1)
= −
, n = 2k + 1, k = 0,1, 2,K
2
π ( 2k + 1)2 − 4
(
)
При n = 2 найдем:
π
π
π
1
π 1
π
b1 = ∫ τ sin 2τ dτ =
1
−
cos
4
d
=
+
sin
4
d
=
.
τ
τ
τ
τ
τ
(
)
∫
∫
π 0
2π 0
4 8π 0
4
1
2
Следовательно,
Φ (θ ) =
π
4
sin 2θ −
8
∞
∑
π
k =0
2k + 1
(( 2k + 1) − 4)
2
361
2
sin ( 2k + 1)θ , 0 < θ < π .
Отсюда
sin ( 2k + 1)θ
2k + 1
π sin 2θ 8 ∞
f ( cosθ ) =
− ∑
, 0 <θ <π .
4 sin θ π k = 0 ( 2k + 1)2 − 4 2
sin θ
(
)
Возвращаясь переменной x = cosθ , пол чим ис омое разложение
f ( x) =
π
4
U1 ( x ) −
8
π
∞
∑
k =0
2k + 1
(( 2k + 1) − 4)
2
2
U 2 k ( x ) , −1 < x < 1 .
Пример20.Разложитьф н цию f ( x ) = x врядФ рьепополи-
номам Лежандра в интервале ( −1,
1) .
Решение.Ф н ция f ( x ) непрерывнанаотрез е
[ −1,1] ивинтер-
вале ( −1,1) довлетворяет словиюЛипшицапоряд а α = 1 :
t − x = t − x , t ∈( x − δ , x + δ ) .
Следовательно, f ( x ) можетбытьразложенаврядФ рьепополиномам Лежандра, сходящийся ней всюд в интервале ( −1, 1) . Вычислим оэффициенты Ф рье-Лежандра:
2n + 1
an =
x Pn ( x ) dx .
∫
2 −1
1
Та а ф н ция
f ( x ) четная, а четность полинома Pn ( x ) совпа-
даетсчетностьюинде са n ,то все оэффициентыснечетныминомерамиб д травнын лю.Следовательно,н жновычислить оэффициенты с четными номерами
n = 2k , k = 0, 1, 2,K Имеем:
1
1
0
0
a0 = ∫ xP0 ( x ) dx = ∫ xdx =
1
,
2
СовременныйГ манитарныйУниверситет
362
1
1
5
a2 = 5∫ xP2 ( x ) dx = ∫ x ( 3 x 2 − 1) dx =
20
0
5 3 1 5
− = ,
24 2 8
при k ≥ 2
1
1
0
0
a2 k = ( 4k + 1) ∫ xP2 k ( x ) dx = ∫ x ( P2′k +1 ( x ) − P2′k −1 ( x ) ) dx =
1
= x ( P2 k +1 ( x ) − P2 k −1 ( x ) ) − ∫ ( P2 k +1 ( x ) − P2 k −1 ( x ) ) dx =
1
0
0
1
1
1
−∫
P2′k + 2 ( x ) − P2′k ( x ) ) −
P2′k ( x ) − P2′k − 2 ( x ) ) dx =
(
(
4k + 3
4k − 1
0
1
1
1
1
=−
−
+
−
P
x
P
x
P
x
P
x
(
(
2k + 2 ( )
2k ( ))
2k ( )
2k − 2 ( ) ) =
0
0
4k + 3
4k − 1
1
k +1 ( 2k + 1) !!
k ( 2k − 1) !!
=
−
−
−
1
1
(
)
(
)
−
+
4k + 3
2
k
2
!!
2
k
!!
(
)
( )
−
( −1)
=
1
k ( 2 k − 1) !!
k −1 ( 2k − 3) !!
1
1
−
−
−
( )
( )
=
4k − 1
( 2k ) !!
( 2k − 2 )!!
( 2k − 1)!! ( 2k + 1 + 2k + 2 ) + ( −1) ( 2k − 3) !! ( 2k − 1 + 2k ) =
4k + 3
4k − 1
( 2k + 2 ) !!
( 2k )!!
( 2k − 3) !! = −1 k −1 ( 2k − 3) !! ( 4k + 1) .
k −1 ( 2 k − 1) !!
= ( −1)
+
( )
2
k
+
2
!!
2
k
!!
)
( )
( 2k + 2 )!!
(
k −1
k −1
Здесь мы дважды воспользовались соотношением
Pn′+1 ( x ) − Pn′−1 ( x ) = ( 2n + 1) Pn ( x )
итем,что
Pn (1) = 1, P2 n ( 0 ) = ( −1)
363
n
( 2n − 1)!!
.
( 2n )!!
Та имобразом,рядФ рьепополиномамЛежандраф н ции
имеет вид
f ( x)
∞
1 5
k −1 ( 2k − 3) !! ( 4 k + 1)
f ( x ) = + P2 ( x ) + ∑ ( −1)
P2 k ( x ) .
k
+
2 8
2
2
!!
(
)
k =2
Пример 21. Разложить ф н цию f ( x ) = x + x в ряд Ф рье по
3
полиномам Лежандра в интервале ( −1,
1) .
2
Решение.Ф н ция f ( x ) непрерывнанаотрез е
[ −1,1] ивинтер-
вале ( −1,1) довлетворяет словиюЛипшицапоряд а α = 1 :
t 3 + t 2 − x 3 − x 2 = ( t − x ) ( t 2 + tx + x 2 ) + ( t − x )( t + x ) =
= ( t − x ) ( t 2 + tx + x 2 + t + x ) ≤ 5 t − x .
Следовательно, f ( x ) можетбытьразложенаврядФ рьепополиномам Лежандра, сходящийся ней всюд в интервале
( −1, 1) . Та
а ф н ция f ( x ) является полиномом степени 3, то ряд б дет иметь
онечное число членов. Исходя из явно,о вида полиномов
P0 ( x ) , K, P3 ( x ) ,нетр дновидеть,что
x3 + x2 =
2
2
3
1
P3 ( x ) + P2 ( x ) + P1 ( x ) + .
5
3
2
2
Ряды Ф=рье по собственным ф=н;циям
дифференциально>о оператора второ>о поряд;а
Данной теме посвящена ,лава 4 Тематичес о,о обзора. Поэтом
передрешениемслед ющихпримеровслед етпрочестьматериалэтой
,лавы.
Пример 22.Разложитьф н цию
0, 0 ≤ x ≤ 1,
f ( x) =
2 − 2 x, 1 < x ≤ 2
СовременныйГ манитарныйУниверситет
364
в ряд Ф рье по собственным ф н циям задачи Шт рма-Ли вилля
x ∈ [0, 2 ] ,
− y ′′ = λ y ,
y′ ( 0 ) + y ( 0 ) = 0,
y′ ( 2 ) + y ( 2 ) = 0
винтервале ( 0,2 ) .
Решение. Рассмотрим задач Шт рма-Ли вилля
x ∈ [0, 2 ] ,
− y ′′ = λ y ,
y′ ( 0 ) + y ( 0 ) = 0,
y′ ( 2 ) + y ( 2 ) = 0.
Составим хара теристичес ое равнение:
−k 2 = λ ,
из оторо,о найдем:
k = ±i λ .
Если λ < 0 ,торешениемб дет
y ( x ) = C1e
−λ x
+ C2 e −
−λ x
.
Подставив в раевые словия, пол чим:
C1
от
(
)
− λ + 1 − C2
(
)
−λ − 1 = 0 ,
да
C1
−λ − 1
=
C2
−λ + 1
,
и
C1e 2
от
−λ
(
)
− λ + 1 − C 2 e −2
−λ
(
)
−λ − 1 = 0 ,
да
C1
−λ − 1
=
C2
−λ + 1
365
e −4
−λ
.
Следовательно, пол чим соотношение
e −4
−λ
=1,
отороеневернопри λ < 0 .
Если λ = 0 ,то
y ( x ) = C1 + C2 x ,
от да, подставив в раевые словия, найдем:
C1 + C2 = 0
и
3C2 + C1 = 0 .
От да пол чим, что
C1 = C2 = 0 .
Та а ф н ция y ( x ) ≡ 0 не является решением задачи Шт рма-Ли вилля, то λ = 0 не есть собственное значение.
Та имобразом, λ > 0 и
y ( x ) = C1 cos λ x + C2 sin λ x ,
,де C1 и C2 находятсяиз словий:
C1 + C2 λ = 0,
(
)
C1 cos 2 λ − λ sin 2 λ + C2
Пола,ая µ
(
)
λ cos 2 λ + sin 2 λ = 0.
= λ ,пол чим
(µ
2
+ 1) sin 2µ = 0 ,
та а C2 ≠ 0 .
Последнее равнение имеет бес онечно мно,о положительных
орней
СовременныйГ манитарныйУниверситет
366
µn =
πn
, n = 1, 2,K ,
2
от да
2
πn
λn = , n = 1, 2,K
2
Положим
C2 = −1, C1 =
πn
. То,да собственные ф н ции задачи
2
Шт рма-Ли вилляприм твид:
y ( x, λn ) =
πn
2
cos
π nx
2
− sin
π nx
.
2
Ф н ция f ( x ) , очевидно, непрерывна и дважды
рывно дифференцир ема на отрез е
[0, 2] . Поэтом
сочно-непре-
ее можно разло-
житьврядФ рьепособственнымф н циямзадачиШт рма-Ли вилля.
Вычислим оэффициенты разложения:
2
cn =
∫
0
π nx
π nx
πn
f ( x)
cos
− sin
dx
2
2
2
.
2
2
π nx
π nx
πn
cos
−
sin
dx
∫0 2
2
2
Найдем инте,рал
2
π nx
π nx
πn
cos
sin
−
dx =
∫0 2
2
2
2
π n 2
πn
π nx π nx
2 π nx
2 π nx
= ∫
cos
−
2
cos
sin
+
sin
dx =
2
2
2
2
2
2
0
2
2
π n 2 1 + cos π nx π n
1 − cos π nx
πn
= ∫
−
sin π nx +
dx =
+ 1.
2
2
2
2
2
0
2
Следовательно,
367
2
cn =
x
2
−
2
(
)
∫
πn
2
1
cos
π nx
π nx
dx
2
2
πn
+1
2
πn
=
2
− sin
=
4
πn
π nx
π nx
n
πn
x
−2 sin
+
−
1
−
cos
−
2
cos
−
sin
(
)
dx
2 πn
2 ∫1 2
2
2
2
2
πn
+1
2
=
4
πn 4
πn
π nx
n
n
π nx 2
+
cos
( −1) − cos
−
2 ( −1) − cos
+ 2 ∫ sin
dx
n
2 πn
2
2
2
πn
π
1
2
=
πn
2
=
+1
2
8
4
πn
8
πn
n +1
πn
πn
n +1
sin
( −1) + cos −
2
π
π
2
n
1
n
cos
2
sin
−
+
−
(
)
πn
πn
2 (π n )
2
2
2 .
=
= 16
2
2 2
2 2
(π n + 4 ) π n
πn
1
+
2
Ряд Ф рье ф н ции f ( x ) по собственным ф н циям данной задачиШт рма-Ли вилляимеетвид:
f ( x) ~
16
π2
∞
∑
n =1
2π n ( −1)
n +1
+ π n cos
πn
2
2 2
(π n + 4 ) n 2
− 2 sin
πn
2 π n cos π nx − sin π nx .
2
2
2
Онсходитсяв аждойточ еинтервала ( 0, 2 ) ф н ции
Пример 23. Разложить ф н цию
f ( x ) = 1 в ряд Ф рье по соб-
ственным ф н циям задачи Шт рма-Ли вилля
− y ′′ = λ y ,
x ∈ [0,1] ,
y ′ ( 0 ) + y ( 0 ) = 0,
y (1) = 0
СовременныйГ манитарныйУниверситет
368
f ( x) .
в интервале ( 0,1) .
Решение. Рассмотрим задач Шт рма-Ли вилля
x ∈ [0,1] ,
− y ′′ = λ y ,
y′ ( 0 ) + y ( 0 ) = 0,
y (1) = 0
Составим хара теристичес ое равнение:
−k 2 = λ ,
из оторо,о найдем:
k = ±i λ .
Если λ < 0 ,торешениемб дет
y ( x ) = C1e
−λ x
+ C2 e −
−λ x
.
Подставив в раевые словия, пол чим:
C1
от
(
)
− λ + 1 − C2
(
)
−λ − 1 = 0 ,
да
C1
−λ − 1
=
C2
−λ + 1
,
и
C1e
от
−λ
+ C2 e −
−λ
=0,
да
C2 = −C1e2
−λ
.
Следовательно,
−λ − 1
−λ + 1
= − e −2
Рассмотрим ф н цию
369
−λ
.
(*)
ϕ (µ ) =
и найдем ее орни. Очевидно,
µ − 1 −2 µ
+e
µ +1
µ = 0 является
орнем этой ф н ции.
По ажем, чтодр ,их орней неенет. Дляэто,о найдемее производн ю
ϕ ′( µ ) =
2
( µ + 1)
2
− 2e −2 µ
ипо ажем,что ϕ ′ ( µ ) > 0 при µ > 0 .Представим ϕ ′ ( µ ) ввиде
ϕ ′( µ ) =
Та
а
2 e −2 µ
( µ + 1)
2
(e
2µ
ψ ( 0 ) = 0 ,
− ( µ + 1)
2
2 e −2 µ
) = ( µ + 1) ψ ( µ ) .
ψ ′ ( 0 ) = 2e2 µ − 2 ( µ + 1) µ = 0 = 0
ψ ′′ ( 0 ) = 4e 2 µ − 2 µ ≥ 0 > 0 , то µ = 0 является точ
ма ф н ции ψ
2
и
ой стро,о,о миним -
( µ ) . Следовательно,ψψ ( µ ) > 0 при µ > 0 , а значит, и
ϕ ′( µ ) > 0 .
Следовательно, ф н ция ϕ ( µ ) возрастает вместе с
µ и др
,их
орней,отличныхотн ля, неенет.
λ = 0 есть единственное решение
что не соответств ет нашем предположению λ < 0 .
П стьтеперь λ = 0 .То,да
Та им образом,
y ( x ) = C1 + C2 x .
Подставив в раевые словия, найдем:
C2 + C1 = 0,
C1 + C2 = 0.
Отсюда
СовременныйГ манитарныйУниверситет
370
равнения (*),
C1 = −C2
и ф н ция
y ( x, λ0 ) = 1 − x
является собственной ф н цией, соответств ющей собственном значению λ0
= 0.
П стьдалее λ > 0 .То,да
y ( x ) = C1 cos λ x + C2 sin λ x ,
,де
C1 + C2 λ = 0,
C1 cos λ + C2 sin λ = 0.
Имеем:
tg λ = λ .
Уравнение
tg µ = µ
имеет бес онечно мно,о положительных орней. Эти орни являются
абсциссами точе пересечения тан,енсоиды ς
(всистеме O µς ).П сть µ
нения.То,да λn
= tg µ и прямой ς = µ
= µn – n -йположительный ореньэто,о рав-
= µn2 – n -есобственное значение. Пола,ая C1 = λn ,
C2 = −1 , найдем собственные ф н ции:
y ( x, λn ) = λn cos λn x − sin λn x, n = 1, 2,K
Ф н ция f ( x ) ,очевидно,непрерывнаидваждынепрерывнодифференцир ема на отрез е
[0,1] . Поэтом
ее можно разложить в ряд
Ф рье по собственным ф н циям задачи Шт рма-Ли вилля. Вычислим
оэффициенты это,о разложения:
371
1
c0 =
∫ (1 − x ) dx
1−
∫ (1 − x )
2
3
= ,
1 2
1−1+
3
=
0
1
dx
0
1
cn =
∫(
)
∫(
sin λn +
λn cos λn x − sin λn x dx
0
1
)
=
2
λn cos λn x − sin λn x dx
λn
0
Вспомнив, что
λn
1
2
1
λn
(cos
)
λn − 1
λ −1
1
+ n
sin 2 λn + cos 2 λn
2 4 λn
2
λn = λn
довлетворяет равнению tg
.
, из после-
дне,о равенства найдем:
cn =
λn
λn sin λn + cos λn − 1
λn
1
1
− ctg 2 λn sin 2 λn + cos 2 λn
2 2
2
=2
( λn + 1) cos λn − 1 .
3
λn 2
Та им образом, ряд Ф рье ф н ции f ( x ) по собственным ф н циям данной задачи Шт рма-Ли вилля имеет вид:
∞
( λ + 1) cos λn − 1
3
f ( x ) ~ (1 − x ) + 2∑ n
3
2
n =1
λn 2
,де
λn
довлетворяет равнению tg
(
λn cos λn x − sin λn x
λn = λn
f ( x ) всюд винтервале ( 0,1) .
СовременныйГ манитарныйУниверситет
372
),
. Это ряд сходится
РЯДЫФУРЬЕ
ЮНИТА 1
Реда тор Л.С. Лебедева
Оператор омпьютерной верст и Д.В. Федотов
Изд.лиц.ЛР№071765от07.12.1998
Сдано в печать
НОУ “Современный Г манитарный Инстит т”
Уч.-изд.л.23,31 Усл.печ.л.
Тираж
За аз
373
