ЭиРР Ч.1 пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ
УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
ФАКУЛЬТЕТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ (ФДО)
Л. А. Боков, В. А. Замотринский, А. Е. Мандель, Л. И. Шангина
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
Часть I. Теория электромагнитного поля
Учебное пособие
Томск
2016
УДК 537.8 + 621.371
ББК 22.336я73 + 32.841-019я73
Э 455
Рецензенты:
А. А. Мицель, д-р техн. наук, профессор кафедры автоматизированных систем
управления ТУСУР, почетный работник высшего профессионального
образования, академик Международной академии наук высшей школы;
О. Б. Фофанов, канд. техн. наук, доцент кафедры оптимизации систем
управления Института кибернетики Томского политехнического университета
Боков Л. А. и др.
Э 455
Электродинамика и распространение радиоволн : учебное пособие : в 2 ч. / Л. А. Боков, В. А. Замотринский, А. Е. Мандель,
Л. И. Шангина. – Томск : ФДО, ТУСУР, 2016. – Ч. I : Теория электромагнитного поля. – 175 с.
Излагаются сведения о макроскопической электродинамик, приводятся
общие сведения о переменных электромагнитных полях. Рассматриваются
плоские электромагнитные волны в изотропных неограниченных средах и методы их расчета. Решаются краевые задачи электродинамики и задачи об излучении электромагнитных волн. Описываются физические процессы, происходящие при свободном распространении радиоволн вблизи земной поверхности,
в тропосфере и ионосфере.
Для студентов технических вузов.
© Боков Л. А., Замотринский В. А.,
Мандель А. Е., Шангина Л. И., 2016
© Оформление.
ФДО, ТУСУР, 2016
3
Оглавление
Предисловие ..................................................................................................... 7
Введение ............................................................................................................ 9
1 Общие сведения о макроскопической электродинамике ................. 12
1.1 Векторы электромагнитного поля ........................................................ 12
1.1.1 Определение электромагнитного поля ...................................... 12
1.1.2 Векторы электрического поля .................................................... 12
1.1.3 Векторы магнитного поля ........................................................... 14
1.2 Закон Ома в дифференциальной форме. Полный ток ........................ 16
1.3 Классификация сред, материальные уравнения ................................. 18
1.4 Уравнения Максвелла............................................................................ 23
1.4.1 Уравнения Максвелла в дифференциальной
и интегральной форме ................................................................ 23
1.4.2 Первое уравнение Максвелла: полный ток и магнитное поле 25
1.4.3 Второе уравнение Максвелла: обобщенный закон
электромагнитной индукции ..................................................... 28
1.4.4 Третье уравнение Максвелла: электрическое поле и заряды .. 29
1.4.5 Четвертое уравнение Максвелла: непрерывность линий
вектора B ..................................................................................... 30
1.4.6 Заключительные замечания об уравнениях Максвелла ........... 30
1.5 Граничные условия для электромагнитного поля .............................. 31
1.5.1 Постановка задачи ....................................................................... 31
1.5.2 Нормальные и тангенциальные составляющие векторов ........ 32
1.5.3 Граничные условия для нормальных составляющих
электрического поля ................................................................... 32
1.5.4 Граничные условия для нормальных составляющих
магнитного поля .......................................................................... 34
1.5.5 Граничные условия для тангенциальных составляющих
магнитного поля .......................................................................... 35
4
1.5.6 Граничные условия для тангенциальных составляющих
электрического поля ................................................................... 37
1.6 Энергия электромагнитного поля ........................................................ 38
1.6.1 Закон Джоуля – Ленца и превращение энергии ....................... 38
1.6.2 Баланс энергии электромагнитного поля .................................. 40
1.6.3 Энергия электромагнитного поля .............................................. 43
1.6.4 Локальный баланс и движение энергии .................................... 44
1.6.5 Заключительные замечания ........................................................ 45
1.7 Классификация электромагнитных колебаний ................................... 46
2 Общие свойства переменного электромагнитного поля .................... 49
2.1 Монохроматическое поле, метод комплексных амплитуд ................ 49
2.2 Уравнения Максвелла в комплексной форме ..................................... 50
2.3 Волновые уравнения .............................................................................. 52
2.4 Средний баланс энергии электромагнитного поля ............................ 53
2.4.1 Среднее значение характеристик поля ...................................... 53
2.4.2 Средний баланс энергии.............................................................. 55
2.5 Теорема единственности для монохроматического
электромагнитного поля ....................................................................... 57
2.5.1 О единственности решений ........................................................ 57
2.5.2 Внутренняя задача ....................................................................... 57
2.5.3 Внешняя задача ............................................................................ 59
2.6 Теорема взаимности............................................................................... 60
2.6.1 Лемма Лоренца ............................................................................. 60
2.6.2 Доказательство теоремы взаимности ......................................... 61
2.6.3 Перестановочная двойственность уравнений Максвелла.
Магнитные токи .......................................................................... 62
3 Плоские электромагнитные волны в изотропных
неограниченных средах ........................................................................... 66
3.1 Волновой характер электромагнитного поля ...................................... 66
3.2 Плоские волны в средах без потерь ..................................................... 66
5
3.3 Поляризация электромагнитных волн ................................................. 72
3.4 Плоские электромагнитные волны в поглощающих средах ............. 75
3.4.1 Затухание электромагнитных волн ............................................ 75
3.4.2 Волновое число в поглощающих средах ................................... 77
3.4.3 Электромагнитные волны в диэлектрике .................................. 77
3.4.4 Электромагнитные волны в проводящих средах...................... 78
3.4.5 Поверхностный эффект ............................................................... 79
4 Отражение и преломление плоских электромагнитных волн.......... 83
4.1 Общие положения .................................................................................. 83
4.2 Нормальное падение плоской волны ................................................... 84
4.3 Волна, распространяющаяся в произвольном направлении ............. 89
4.4 Формулы Френеля для горизонтально поляризованных волн .......... 91
4.5 Формулы Френеля для вертикально поляризованных волн .............. 95
4.6 Полное отражение от границы двух диэлектриков ............................ 97
4.7 Наклонное падение на границу поглощающей среды ..................... 100
4.8 Приближенные граничные условия Леонтовича .............................. 102
4.9 Наклонное падение на границу с диэлектриком. Угол Брюстера .. 103
5 Излучение электромагнитных волн ..................................................... 107
5.1 Уравнения Максвелла для области, содержащей источники.
Неоднородные волновые уравнения ................................................. 107
5.2 Электродинамические потенциалы .................................................... 108
5.3 Решение уравнений для электродинамических потенциалов ......... 111
5.4 Элементарный электрический излучатель ........................................ 114
5.5 Исследование поля электрического диполя ...................................... 118
5.5.1 Поле в ближней зоне.................................................................. 118
5.5.2 Поле в дальней зоне ................................................................... 119
5.6 Элементарный магнитный излучатель .............................................. 123
6 Направляемые электромагнитные волны
и направляющие системы ..................................................................... 129
6
6.1 Понятие о направляющей системе. Классификация
направляемых волн ............................................................................. 129
6.2 Связь между продольными и поперечными составляющими поля
в однородной направляющей системе .............................................. 131
6.3 Условия распространения электромагнитных волн
в направляющих системах. Критическая длина волны................... 133
6.4 Групповая скорость электромагнитных волн в направляющих
системах ............................................................................................... 136
6.5 Дисперсия направляемых электромагнитных волн ......................... 138
6.6 Общие свойства направляемых волн ................................................. 139
6.6.1 Поперечные электромагнитные волны (Т-волны) .................. 139
6.6.2 Электрические волны (Е-волны) .............................................. 139
6.6.3 Магнитные волны (Н-волны).................................................... 140
6.7 Прямоугольный волновод ................................................................... 141
6.8 Коаксиальная линия ............................................................................. 149
7 Объемные резонаторы ............................................................................ 153
7.1 Общая теория электромагнитных резонаторов ................................ 153
7.1.1 Накопление энергии в объеме. Резонатор
и направляющая структура ...................................................... 153
7.1.2 Свойства полей резонаторов ..................................................... 157
7.1.3 Учет потерь. Добротность резонаторов ................................... 160
7.2 Полые резонаторы................................................................................ 161
7.2.1 Прямоугольный резонатор ........................................................ 161
7.2.2 Другие полые резонаторы ......................................................... 165
7.2.3 Твердотельные и планарные резонаторы ................................ 168
Литература.................................................................................................... 171
Список сокращений и обозначений......................................................... 174
7
Предисловие
·····························································
Авторы преследовали цель дать систематическое изложение
курса, чтобы студент, используя книгу как, возможно, единственное
учебное пособие, мог изучить теорию электричества и магнетизма
начиная от элементарных законов Кулона, Ома, Фарадея вплоть
до теории быстропеременных процессов.
·····························································
Соответственно глава 1 посвящена формулировке общих законов электромагнетизма. Содержание этого раздела знакомит студентов с уравнениями Максвелла. Особое внимание уделено (в главах 2 и 3) теории быстропеременных полей: распространению электромагнитных волн в свободном пространстве без
учета и с учетом потерь.
В главе 4 рассмотрены отражение и преломление плоских электромагнитных волн, формулы Френеля для вертикально и горизонтально поляризованных
волн, приближенные граничные условия Леонтовича; проанализированы специальные задачи, в которых из-за наличия границ учитывается изменение поведения волн в линиях передачи.
Значительное внимание уделено решению задач об излучении. Подробно
исследуются электромагнитные поля, создаваемые элементарными электрическим и магнитным излучателями (глава 5).
Плоские волны можно рассматривать как предельный случай сферических
волн, возбуждаемых источниками в неограниченной среде.
Важным является вопрос о направленной передаче энергии электромагнитных волн. В главе 6 вначале рассматриваются общие свойства направляемых
волн, затем они конкретизируются для некоторых наиболее часто используемых
линий передачи. В главе 7 изложена теория электромагнитных резонаторов.
8
Во второй части учебного пособия рассмотрены физические процессы,
происходящие при распространении радиоволн в свободном пространстве (глава 8), вблизи земной поверхности (главы 9, 10), в тропосфере (глава 11) и ионосфере (глава 12). Приведены данные о строении атмосферы: тропосферы, стратосферы и ионосферы. Рассмотрено распространение земных радиоволн при
поднятых антеннах, при низкорасположенных антеннах.
Поскольку книга является учебным пособием, а не монографией, авторы
сочли возможным и даже целесообразным использовать материалы, уже опубликованные в учебной, методической и периодической литературе. Основные источники включены в список литературы [1–24].
9
Введение
Можно без преувеличения сказать, что радиотехника явилась широчайшей опытной базой теории электромагнетизма, основывающейся на уравнениях
Максвелла, а также стимулятором ее дальнейшего развития. Вместе с радиотехникой появилось понятие радиоволн, т. е. электромагнитных волн (электромагнетизм) в радиотехнических системах.
·····························································
В основе электромагнетизма лежит представление об электромагнитном поле. Термин «поле» употребляется, когда надо сопоставить каждой точке пространства некоторую физическую характеристику. В этом смысле говорят о «поле температур»
материальной среды или, например, о «поле скоростей» частиц
жидкости или газа. В сущности, при этом просто определяются какие-то функции координат: температура, скорость и т. п. По аналогии об электрическом поле формально можно говорить как о «поле
сил», воздействующих на единичный положительный точечный заряд. Поле может быть скалярным или векторным (поле скоростей
частиц жидкости или газа, напряженность электрического поля).
·····························································
Вместе с радиотехникой появилось понятие радиоволн, т. е. электромагнитных волн в радиотехнических системах. Важным научным направлением
стало исследование распространения радиоволн в природных условиях – над
Землей и в космосе. Проблема излучения и приема электромагнитной энергии,
переносимой радиоволнами, привела к созданию теории антенн.
Любая радиотехническая система передает или принимает информацию
в виде радиосигнала, которая распространяется в окружающем пространстве.
В соответствии с международными соглашениями к радиоволнам относятся
электромагнитные волны частотой от 3 до 31012 Гц. Для передачи информации
10
в радиосистемах используются сигналы с частотами от 3103 до 31012 Гц. Этим
частотам соответствуют длины радиоволн от 105 км до 0,1 мм. На первый
взгляд распространение радиоволн происходит в свободном пространстве
(в вакууме) со скоростью света 2,997108 м/с.
Подобно световым волнам радиоволны могут практически без потерь
распространяться на большие расстояния в земной атмосфере, и это делает их
полезнейшими носителями закодированной информации.
Задачи теории электромагнетизма, порождаемые радиотехнической практикой, нередко настолько сложны, что только появление современных ЭВМ делает эту теорию средством проектирования аппаратуры.
Соглашения, принятые в книге
Для улучшения восприятия материала в данной книге используются пиктограммы и специальное выделение важной информации.
·····························································
Эта пиктограмма означает определение или новое понятие.
·····························································
·····························································
В блоке «На заметку» автор может указать дополнительные
сведения или другой взгляд на изучаемый предмет, чтобы помочь
читателю лучше понять основные идеи.
·····························································
·····························································
Эта пиктограмма означает «Внимание!». Здесь выделена важная информация, требующая акцента на ней. Автор может поделиться с читателем опытом, чтобы помочь избежать некоторых
ошибок.
·····························································
11
·····························································
Эта пиктограмма означает совет. В данном блоке можно указать более простые или иные способы выполнения определенной
задачи. Совет может касаться практического применения только
что изученного, или содержать указания на то, как немного повысить эффективность и значительно упростить выполнение некоторых задач.
·····························································
························
Пример · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Эта пиктограмма означает пример. В данном блоке автор может привести
практический пример для пояснения и разбора основных моментов, отраженных в теоретическом материале.
·······································································
························
Выводы · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Эта пиктограмма означает выводы. Здесь автор подводит итоги, обобщает
изложенный материал или проводит анализ.
·······································································
··························································
Контрольные вопросы по главе
··························································
12
1 Общие сведения
о макроскопической электродинамике
1.1 Векторы электромагнитного поля
1.1.1 Определение электромагнитного поля
·····························································
Под электромагнитным полем понимается особая форма существования материи, характеризующаяся способностью распространяться в вакууме со скоростью 3 108 м/с и оказывающая силовое воздействие на заряженные частицы.
·····························································
Определить поле в некоторой области пространства значит указать векторы поля в любой ее точке. Электромагнитное поле предстает как совокупность
электрического (векторы E , D ) и магнитного (векторы H , B ) полей, находящихся во взаимной зависимости.
Лишь в некоторых специальных случаях (например, видимый свет) электромагнитное поле непосредственно воздействует на органы чувств человека.
Однако наблюдению доступны многочисленные электромагнитные явления,
в основе которых лежат различные превращения энергии поля.
1.1.2 Векторы электрического поля
·····························································
Напряженность электрического поля E – векторная физическая величина, характеризующая электрическое поле в данной
точке и численно равная отношению силы F , действующей
на пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине
этого заряда q:
13
E  F / q.
Под действием электрического поля происходит поляризация вещества – явление, связанное с ограниченным смещением связанных зарядов в веществе или поворотом электрических диполей
под воздействием внешнего электрического поля.
·····························································
Если среда состоит из заряженных частиц (диполей), выстраивающихся
по направлению приложенного электрического поля, то поляризация называется ориентационной. Если среда состоит из нейтральных (в электрическом отношении) частиц, то происходит электронная поляризация, т. е. вытягивается
электронная оболочка атомов.
Поляризацию вещества характеризует вектор электрической поляризации
P , определяемый как сумма всех дипольных моментов вещества, находящихся
в единице объема:
P   pi ,
i
где pi  qi li – дипольный момент i-го диполя.
Поляризация пропорциональна напряженности электрического поля:
P  0  э E ,
1
Ф
пФ
 109  8,85
– электрическая постоянная;  э – электриче36
м
м
ская восприимчивость.
где 0 
Определим вектор электрического смещения D в вакууме: D  0 E .
·····························································
Поляризация показывает, насколько вектор электрического
смещения в данной среде отличается от вектора электрического
смещения в вакууме.
·····························································
Следовательно, в веществе
14
D  0 E  P  0 E   0 э E  0 1  э  E ,
где 1  э   r – относительная электрическая проницаемость.
Таким образом,
D  0  r E   E ,
где произведение 0 r   – абсолютная электрическая проницаемость.
1.1.3 Векторы магнитного поля
·····························································
Рассмотрим вектор магнитной индукции B , т. к. именно
он характеризует силовое воздействие магнитного поля. Этот
вектор можно определить исходя из силы Лоренца:
FЛ  q V , B  ,
где FЛ – сила Лоренца; V – скорость движения заряда q.
·····························································
Если V  B , то численно B  F / (qV ) .
·····························································
Таким образом, магнитная индукция – это сила, действующая на единичный электрический заряд, движущийся с единичной
скоростью перпендикулярно силовым линиям магнитного поля.
·····························································
Рассмотрим вектор H – напряженность магнитного поля.
·····························································
С вектором магнитной индукции напряженность связана соотношением:
B  0 H  M  0 (1  м ) H ,
где M – намагниченность, равная сумме магнитных моментов
атомов в единице объема вещества:
15
M   i.
i
·····························································
·····························································
Намагниченность пропорциональна напряженности приложенного поля:
M  0 м H ,
где  м – магнитная восприимчивость.
·····························································
Следовательно,
B  0 (1  м ) H ,
где 0  4  10
7
Гн
– магнитная постоянная.
м
Введем обозначение:
 r  1  м ,
где  r – относительная магнитная проницаемость.
Тогда
B  0 r H .
Обозначив 0r   , где  – абсолютная магнитная проницаемость, получим уравнение для векторов магнитного поля: B   H .
Определив векторы поля по его механическим проявлениям, мы можем
представить себе следующую идеальную картину. В произвольную точку
M ( x, y, z ) исследуемой области V – «точку наблюдения» – помещается весьма
малый «пробный элемент» – точечный заряд или рамка с током, и в нужный
момент измеряется действующая на него сила (или соответственно момент силы). Некоторое число таких измерений, произведенных в разных точках в течение необходимого времени, дает представление о поле в области V.
В действительности описанный опыт технически осуществим лишь в немногих
простейших случаях. Экспериментальное исследование электромагнитного по-
16
ля требует иных средств, весьма разнообразных в зависимости от конкретных
условий. О некоторых из них будем говорить впоследствии.
1.2 Закон Ома в дифференциальной форме. Полный ток
Нам хорошо известен закон Ома для участка цепи:
U  RI ,
где U – напряжение, приложенное на заданном участке цепи; I – ток на этом
участке; R – электрическое сопротивление.
Однако в электродинамике полезно и порой просто необходимо знать соотношение между напряженностью электрического поля и плотностью тока j
в каждой точке пространства.
Плотность тока определяется по формуле
I
,
S 0 S
j  i0 lim
где i 0 – орт, показывающий направление движения тока.
Связь между плотностью тока и током устанавливается соотношением
I   j d s,
S
где d s  n0 ds – векторный дифференциал площади.
Определим связь между напряженностью электрического поля и плотностью тока. Выделим в пространстве цилиндрическую область. Площадь основания цилиндра пусть будет S , а его высота – l . Будем полагать, что объем
цилиндра настолько мал, что внутри цилиндра поле однородное и ток течет
вдоль его оси. Из закона Ома для участка цепи можем записать:
j  l0  S  n0 
l  n0
R
Следовательно,
j 
l
 E.
S  R
 E.
17
Коэффициент перед вектором Е есть проводимость среды  . В результате получаем закон Ома в дифференциальной форме:
j   E.
Этот закон описывает ток проводимости. Кроме него могут существовать
токи другой физической природы.
·····························································
Введем понятие плотности полного тока:
jполн  jпр  jсм  jпер  jст ,
где jпр , jсм , jпер , jст – соответственно плотности токов проводимости, смещения, переноса и стороннего.
Ток проводимости обусловлен направленным упорядоченным
движением свободных электрических зарядов в веществе или вакууме под действием электрического поля.
·····························································
О плотности тока проводимости мы уже говорили:
jпр   E.
·····························································
Ток смещения – величина, пропорциональная скорости изменения переменного электрического поля в диэлектрике или вакууме.
·····························································
Название «ток» связано с тем, что ток смещения порождает магнитное
поле по тому же закону, что и ток проводимости. Плотность тока смещения
определяется формулой
jсм  D / t.
Понятие о токе смещения впервые было введено Дж. Максвеллом. Это,
например, переменный ток в конденсаторе, заполненном идеальным диэлектриком. Ток смещения существует и в проводниках, по которым течет переменный ток проводимости, однако в данном случае он пренебрежимо мал по
18
сравнению с током проводимости. Немного позже мы более подробно обсудим
этот вопрос.
·····························································
Ток переноса – это электрический ток, осуществляемый переносом электрических зарядов в свободном пространстве заряженными частицами или телами под действием электрического
поля.
·····························································
Плотность тока переноса дается соотношением
jпер  V ,
где  – объемная плотность заряда; V – скорость движения частиц.
·····························································
Сторонний ток имеет неэлектрическое происхождение
и является первичным источником поля, например механическим
(генератор), тепловым (термопара), химическим (батарея).
·····························································
1.3 Классификация сред, материальные уравнения
Выпишем уравнения, связывающие векторы поля:
B  H
D  E
j   E.
·····························································
Эти уравнения называют материальными, т. к. входящие в
них величины , ,  , именуемые макроскопическими параметрами,
являются характеристиками среды (материала), в которой распространяются электромагнитные волны. Данные величины для
каждого материала могут быть определены только экспериментальным путем. И, что очень важно, нет в природе двух сред, у
которых хотя бы один из макроскопических параметров совпал.
·····························································
19
Классификация сред проводится в зависимости от поведения макроскопических параметров.
·····························································
По зависимости , ,  от координаты среды делятся на
однородные и неоднородные. Если макроскопические параметры
среды не зависят от координаты, то среда однородная.
Макроскопические параметры , ,  в большинстве случаев
можно считать не зависящими от величины векторов электромагнитного поля. Материальные уравнения оказываются при этом
линейными.
·····························································
Соответственно употребляется выражение «линейные среды». Однако
существуют и имеют важное техническое значение среды, отличающиеся заметной зависимостью макроскопических параметров от векторов поля. Их
называют нелинейными. В электротехнике, как известно, распространены ферромагнетики – вещества, магнитная проницаемость которых значительно
и сложным образом зависит от магнитного поля. Им аналогичны сегнетоэлектрики, обладающие сходной зависимостью диэлектрической проницаемости от
электрического поля. Нелинейность ряда сред проявляется в сильных полях.
До сих пор говорилось лишь о так называемых изотропных средах, свойства которых одинаковы для полей любых направлений.
·····························································
Однако существуют среды, проявляющие разные свойства
в зависимости от направления поля, они называются анизотропными.
·····························································
Если, например, анизотропия проявляется в магнитном поле (анизотропный магнетик), то вместо B   H будем иметь:
20
BX   XX H X   XY HY   XZ H Z 
BY  YX H X  YY HY  YZ H Z
BZ   ZX H X   ZY HY   ZZ H Z

.


Каждая проекция вектора B здесь, вообще говоря, зависит от трех проекций вектора H (часть коэффициентов  XX ,  XY ,
,  ZY ,  ZZ может обра-
щаться в нуль). Как видно, векторы B и H уже не параллельны.
Всю совокупность действий, производимых над проекциями вектора H
для получения вектора B , условно обозначают оператором
  XX
   YX


 ZX
 XY
YY
 ZY
 XZ 
YZ  ,

 ZZ 
в результате чего форма уравнения B   H сохраняется, но вместо скалярной
величины  используется тензор  : B    H .
····························································
Оператор  называется тензором магнитной проницаемости, а коэффициенты при проекциях H – его компонентами.
·····························································
Совершенно аналогично описывается анизотропия диэлектрических
свойств и проводимости.
Некоторые анизотропные среды нашли в последние годы важное применение в радиотехнике сверхвысоких частот.
Часто имеет место наведенная анизотропия, например в случае приложения к ферриту магнитного поля.
Убедиться в наличии или отсутствии анизотропии можно, проводя простой опыт. Из исследуемого материала изготовим куб (рис. 1.1). На две противоположные грани нанесем электроды. Например, напылим слой металла. Измерим емкость образовавшегося плоского конденсатора С. Затем подсчитаем
21
диэлектрическую проницаемость из формулы для емкости плоского конденсатора:
S
C ,
d
где S – площадь обкладок конденсатора; d – расстояние между ними.
Рис. 1.1 – К вопросу об анизотропии среды
Так как рассматриваем куб с ребром, равным a, то получим:
  C a,
где С – измеренная емкость.
Повторим опыт для двух других пар граней. Если во всех опытах диэлектрическая проницаемость окажется одинаковой, то среда изотропная. Если хотя
бы в двух она отличается, то среда анизотропная.
·····························································
Особое внимание уделим действию полей очень высоких частот.
·····························································
С увеличением частоты приложенного к среде поля поляризованные частицы вещества не успевают изменять свое положение и, следовательно, величина индукции поля в данный момент времени t является функцией E
в предыдущий момент времени.
В быстропеременных полях обычно приходится иметь дело со сравнительно малыми напряженностями, тогда связь векторов D и E , как мы уже говорили, можно считать линейной. Наиболее общий вид линейной зависимости
между D(t ) и E (t ) во все предыдущие моменты времени может быть записан
как интегральное соотношение
22

D(t )  E (t )   f (t )  E (t  t )dt ,
0
где f (t ) – функция времени, зависящая от свойств среды.
Всякое переменное поле может быть сведено путем разложения в ряд
Фурье к совокупности монохроматических компонент, в которых зависимость
всех величин от времени дается множителем e jt . Для таких полей связь между D и E приобретает вид D  () E , где функция () определяется как

()  0   f (t )  e jt dt .
0
····························································
Таким образом, для периодических полей может быть введено
понятие о диэлектрической проницаемости как о коэффициенте
пропорциональности между D и E . Причем коэффициент зависит
не только от свойств среды, но и от частоты колебаний поля. Среды, в которых такая зависимость проявляется, называются дисперсионными.
С ростом частоты временную дисперсию в той или иной степени проявляют все среды, кроме вакуума.
····························································
Разделим среды на проводники и диэлектрики. Для такого разделения
сред необходимо ввести определенный критерий.
···························································
Идеальным проводником назовем среду, в которой существует только ток проводимости, а идеальным диэлектриком –
среду, в которой существует только ток смещения.
Пусть в среде действует переменное поле E  E0 cos t , тогда плотность тока проводимости:
jпр   E0 cos t ;
23
плотность тока смещения:
jсм   E0 sin t.
····························································
Отношение максимальных значений плотностей токов проводимости
и смещения  / ()  tg  называется тангенсом угла диэлектрических потерь.
························
Выводы · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Значит, если tg   1, то среда – проводник, если tg   1 – диэлектрик.
Таким образом, если в среде преобладает ток проводимости, то эта среда реальный проводник. Если же преобладает ток смещения, то это реальный диэлектрик. Разумеется, огромное количество сред нельзя отнести ни к тем, ни
к другим.
······································································
1.4 Уравнения Максвелла
1.4.1 Уравнения Максвелла в дифференциальной
и интегральной форме
В компактной форме операций векторного анализа запишем уравнения,
которые заключают в себе основы теории электромагнетизма и являются ее постулатами:
rotH 
D
j,
t
(1.1)
B
,
t
(1.2)
rotE  
divD  ,
(1.3)
divB  0 .
(1.4)
С формальной точки зрения это дифференциальные уравнения в частных
производных относительно компонент векторов поля E , H , D, B , а также j
24
и  . Формулы (1.1)–(1.4) – это уравнения Максвелла в дифференциальной
форме.
·····························································
Значение уравнений Максвелла как основы теории электромагнетизма исключительно велико. Они явились результатом
осмысления и обобщения огромного экспериментального материала, накопленного к концу XIX в. Необходимо подчеркнуть, что
уравнения Максвелла справедливы в каждой точке пространства. В
принципе, уравнения Максвелла дают возможность исследовать
любые электромагнитные процессы. Надо лишь уметь правильно
ставить соответствующие математические задачи, то есть формировать математические модели, адекватные физической реальности, и
решать их, привлекая при необходимости ЭВМ.
·····························································
При первом знакомстве с уравнениями Максвелла кажется невероятным,
чтобы эти несколько строчек содержали в себе все многообразие явлений электромагнетизма. Чтобы вполне осмыслить огромную физическую содержательность данных уравнений, надо изучить многие электромагнитные процессы.
Впрочем, для уяснения основных черт физического содержания уравнений
Максвелла будут представлены достаточно простые рассуждения.
С этой целью перейдем к уравнениям Максвелла в интегральной форме:
d
 H dl  dt  Dds  I ,
L
(1.5)
S
 E dl  
L
d
Bds,
dt S
 Dds  q,
(1.6)
(1.7)
S
 Bds  0.
S
(1.8)
25
Чтобы из формул (1.1), (1.2) получить (1.5), (1.6), рассмотрим некоторую
поверхность S, «натянутую» на контур L. Взяв для определенности уравнение
(1.1), проинтегрируем его левую и правую части по S:
D
 rot H ds   t
S
ds   j ds .
S
S
Достаточно теперь к левой части применить теорему Стокса, заменив поток rot H через поверхность S циркуляцией H по контуру L, вынести операцию дифференцирования   t за знак первого интеграла справа и учесть, что
второй интеграл справа согласно определению есть ток I, проходящий через
поверхность S, чтобы получить (1.5). При этом производится замена символов
  t  d d t , т. к. интеграл уже не является функцией координат.
Совершенно так же уравнение (1.6) получается из уравнения (1.2).
Чтобы вывести равенство (1.7) из (1.3), левую и правую части уравнения
(1.3) проинтегрируем по некоторому объему V, ограниченному поверхностью S:
 div Ddv   dv .
V
V
Объемный интеграл от  дает полный заряд q, содержащийся в объеме V.
Что касается левого объемного интеграла, то он на основании теоремы Остроградского – Гаусса преобразуется в поток вектора D через замкнутую поверхность S. Таким образом, уравнение (1.7) получено.
Уравнение (1.8) получается тем же путем из уравнения (1.4).
1.4.2 Первое уравнение Максвелла: полный ток и магнитное поле
Обсудим первое из уравнений Максвелла, привлекая и дифференциальную форму (1.1), и соответствующий интегральный аналог (1.5). Поскольку ротор составляется из пространственных производных компонент вектора, то, как
видно из (1.1), изменение в пространстве магнитного поля (вектор H слева)
связано с изменением электрического поля во времени (вектор D справа). В некоторых источниках в качестве основы первого уравнения Максвелла считают
26
закон Ампера, но он определяет силу, действующую на элемент тока. Введенный Максвеллом ток смещения – это по существу изменяющееся во времени
электрическое поле. Основанием назвать эту величину «током» служит лишь
совпадение ее размерности с размерностью тока. Из физических свойств действительного тока ток смещения обладает лишь одним – способностью создавать магнитное поле. Введение тока смещения позволило «уравнять в правах»
электрическое и магнитное поля. Сумму тока проводимости и тока смещения
называют полным током.
Пусть сначала изменений во времени нет: процесс стационарен. Тогда
первое уравнение Максвелла принимает вид:
rot H  j ,
 H dl  I
(1.9)
L
и описывает связь магнитного поля с постоянным током. Нельзя представить
ток без магнитного поля, поскольку при j  0 ( I  0) обязательно rot H  0
(или отлична от нуля циркуляция H ), а следовательно, H  0 .
Продолжим обсуждение первого уравнения Максвелла. Рассмотрим случай, когда ток проводимости отсутствует (I = 0), но процесс уже не стационарен
(происходят изменения во времени). Из уравнения (1.5) видно, что циркуляция
H , которая в случае постоянного тока была равна I, теперь оказывается равной
величине
I см 
d
D
DdS  
d s,

dt S

t
S
которая называется током смещения. Соответственно этому функция
(1.10)
D
расt
сматривается как плотность тока смещения. Понятие о нем уже было введено
в п. 1.2.
·····························································
Ток смещения – одно из важных понятий теории электромагнетизма. Во-первых, существенно, что по отношению к магнитному
27
полю ток смещения как бы копирует роль обычного тока проводимости. Это видно из первого уравнения Максвелла, в котором ток
проводимости и ток смещения (или их плотности) выступают равноправно. Во-вторых, следует учитывать, что физическая сущность
тока смещения в вакууме никак не связана с движением зарядов.
·····························································
Будем говорить, что вся правая часть уравнения Максвелла в интегральной форме (1.5) представляет собой полный ток I см  I . В ток I могут входить
токи проводимости, переноса и сторонние, которые также обсуждались в п. 1.2.
Величина D  t  j в (1.1) – плотность полного тока. В отсутствие магнитного поля ( H = 0) равен нулю и полный ток.
·····························································
Если полный ток существует, то обязательно присутствует
магнитное поле.
·····························································
Привлечем для дальнейшего анализа тождество div rot H  0 . Составляя
дивергенцию от левой и правой частей уравнения (1.1), получаем:
 D


t

div 


j   0.
Отсюда следует, что вектор плотности полного тока
(1.11)
D
 j не имеет исt
точников (стоков). Его векторные линии, следовательно, замкнуты или уходят
из бесконечности в бесконечность.
Наконец, покажем, что первое уравнение Максвелла согласовано с законом сохранения заряда. Действительно, переписывая равенство (1.11) в виде

 divD   div j  0 (операции div и  t мы имеем право поменять местами),
t
а затем заменяя div D через  при помощи (1.3), получаем равенство
div j    t , отражающее закон сохранения заряда.
28
1.4.3 Второе уравнение Максвелла:
обобщенный закон электромагнитной индукции
Если для потока вектора В через поверхность S, называемого магнитным
потоком, установить обозначение Ф, а для циркуляции вектора Е по контуру L
использовать символ Э, то уравнение (1.6) примет вид:
Э
где Э 
dФ
,
dt
(1.12)
 E dl , Ф   Bds .
L
S
·····························································
В этой форме второе уравнение Максвелла совпадает с законом электромагнитной индукции Фарадея. Циркуляция Э предстает
как электродвижущая сила, наводимая в контуре L изменением
магнитного потока Ф.
·····························································
Электрическое поле возбуждается лишь при изменении магнитного поля.
Самого по себе присутствия магнитного поля недостаточно. Сегодня эффект
возникновения электрического поля при изменении магнитного физики называют электромагнитной индукцией. вторым законом электромагнитной индукции Фарадея) для определения электродвижущей силы, возникающей в результате изменения магнитного потока через контур. Изменить магнитный
поток через контур можно тремя способами: изменить площадь контура; изменить интенсивность магнитного поля; изменить взаимную ориентацию магнитного поля и плоскости, в которой лежит контур. Второе уравнение Максвелла
является обобщением закона электромагнитной индукции М. Фарадея. Левая
часть (1.12) – э. д. с. (электродвижущая сила), наводимая в контуре L; правая
часть (1.12) – изменение во времени магнитного потока. Знак «минус» в правой
части соответствует правилу Ленца: «наведенный ток всегда направлен так,
чтобы противодействовать причине, его вызывающей».
29
Напомним, что закон Фарадея был установлен для проводящих (например, проволочных) контуров в магнитных полях. Закон электромагнетизма, выражаемый вторым уравнением Максвелла в интегральной форме, значительно
шире указанного закона Фарадея, поскольку контур L в (1.6) – это любой мысленно очерченный в пространстве контур. Не имеет значения, какие именно материальные объекты оказались в области построения: это не нарушает справедливости второго уравнения Максвелла. Столь общая постановка вопроса
выходит далеко за пределы опытных фактов, на основе которых был сформулирован закон Фарадея. Второе уравнение Максвелла, однако, сохраняет идейную основу этого закона и может рассматриваться как обобщенный закон электромагнитной индукции.
1.4.4 Третье уравнение Максвелла: электрическое поле и заряды
Смысл третьего уравнения Максвелла (1.3), или (1.7), прост, поскольку он
вполне исчерпывается содержанием понятий дивергенции и потока вектора.
·····························································
Линии вектора электрического смещения D начинаются
на положительных и кончаются на отрицательных зарядах (знаки
div D и  совпадают).
·····························································
Третье уравнение Максвелла в интегральной форме известно также под
названием теоремы Гаусса (левая часть – поток вектора D через S, правая
часть – полный заряд, заключенный в S, для непрерывного и дискретного распределения заряда). Теорема Гаусса была доказана для электростатического
поля. Максвелл постулировал справедливость этого закона для произвольных
веществ, зарядов и полей.
·····························································
В качестве частного момента отметим, что согласно (1.7) поток вектора D через некоторую замкнутую поверхность S обращается в нуль не только при отсутствии зарядов внутри S, но и при их
30
нейтрализации, когда полный положительный заряд уравновешивается отрицательным.
·····························································
1.4.5 Четвертое уравнение Максвелла:
непрерывность линий вектора B
Четвертое уравнение Максвелла (1.4), или (1.8), по форме отличается
от третьего нулевой правой частью. Это указывает на отсутствие фактора, который можно было бы назвать «магнитным зарядом». Если все же формально
ввести магнитный заряд qм с плотностью м , то, согласно (1.4),
qм  0; м  0.
(1.13)
Четвертое уравнение Максвелла (1.4), (1.6) является аналогом теоремы
Гаусса для магнитного поля и выражает отсутствие магнитных зарядов. Входящий и выходящий потоки через S равны. Силовые линии В замкнуты. Интегральные уравнения Максвелла применяются для физических объектов. Для
получения уравнений в дифференциальной форме необходимо осуществить
предельный переход, при котором данный объект стягивается в точку.
·····························································
Другими словами, магнитных зарядов в природе не существует. В силу четвертого уравнения Максвелла магнитные силовые линии (линии вектора В ) обязательно непрерывны, т. е. либо замкнуты, либо идут из бесконечности в бесконечность.
·····························································
1.4.6 Заключительные замечания об уравнениях Максвелла
Дж. Максвелл воплотил в математической форме физические идеи
М. Фарадея, предвосхищавшие представление об электромагнитном поле. Фарадей рассматривал силовые линии как некоторую физическую реальность.
Однако Максвелл не только формализовал взгляды Фарадея, но и внес в них
существенно новое. Именно Максвелл ввел ток смещения. Выше уже было по-
31
казано, что следствием первого и третьего уравнений Максвелла является закон
сохранения заряда. В дальнейшем мы неоднократно будем убеждаться в особой
важности представления о токе смещения. Что же касается самих уравнений
Максвелла, то в их окончательное формирование внесли решающий вклад
Г. Герц и О. Хевисайд.
1.5 Граничные условия для электромагнитного поля
1.5.1 Постановка задачи
Основной задачей теории электромагнитного поля является нахождение
его векторов в определенной области пространства при заданных условиях, которые отражают предварительные сведения об электромагнитном процессе. Задача имеет реальное физическое содержание, если эти сведения правильны
и достаточны. При неправильных условиях, налагаемых на уравнения поля,
можно получить решение, не соответствующее исследуемому процессу, или
просто войти в противоречие с этими уравнениями. Решение, получаемое при
недостаточных условиях, оказывается неопределенным.
Вопрос о том, какими сведениями надо располагать, чтобы найти поле
в задаче того или иного типа, будет решаться по мере необходимости в последующих разделах. Пока же отметим, что для определения поля внутри области
надо иметь некоторые данные о его характере на границе.
Особый интерес представляют границы разнородных сред, присутствующих в подавляющем большинстве практически интересных задач. Это границы
между различными диэлектриками, границы между диэлектриками и проводниками, границы, на которых сосредоточены заряды или по которым протекают
токи. Дальнейшее исследование посвящено определению с помощью уравнений Максвелла векторов электромагнитного поля вблизи таких границ. Результаты исследований формулируются в виде так называемых граничных условий,
которые затем будут использоваться в задачах разного типа.
32
1.5.2 Нормальные и тангенциальные составляющие векторов
Пусть поверхность S – граница раздела двух сред, A – произвольно ориентированный вектор, начало которого находится в точке М , n0 – нормаль
к поверхности, 0 – касательный к поверхности S единичный вектор (рис. 1.2).
Рис. 1.2 – Разложение вектора на тангенциальную
и нормальную составляющие
Векторы A , n0 , 0 лежат в одной плоскости. Тогда
A  n0 An  0 A .
························
Выводы · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Таким образом, каждый вектор вблизи граничной поверхности может
быть представлен в виде суммы нормальной и тангенциальной составляющих.
·······································································
1.5.3 Граничные условия для нормальных
составляющих электрического поля
Пусть S – граница раздела двух сред. Выберем на ней достаточно малый
элемент S и построим на нем цилиндр высотой h , находящийся в обеих
средах (рис. 1.3).
Ось цилиндра совпадает с нормалью n0 . Размеры цилиндра малы, и поля
в пределах его объема не меняются. Применим к полю в объеме цилиндра третье уравнение Максвелла в интегральной форме:
 DdS  q,
S
33
где S – вся поверхность цилиндра.
Рис. 1.3 – К выводу граничных условий для нормальных
оставляющих векторов электромагнитного поля
Представим весь поток вектора D в виде трех потоков – через боковую
поверхность и поверхности оснований цилиндра:

DdS 

S1
Sбок
D1dS 

D2 dS 
S2
 dV .
V
Здесь первый интеграл дает поток через боковую поверхность цилиндра,
второй и третий интегралы – поток через основания цилиндра.
Устремим h  0, тогда поток через боковую поверхность также устремится к нулю, следовательно,
D1n0 S  D2 n0 S  q,
где q – заряд, сосредоточенный на поверхности S .
·····························································
Введем понятие поверхностного заряда. Будем полагать, что
он сосредоточен в слое нулевой толщины.
Пусть  – плотность поверхностного заряда, определяемая
соотношением
q
.
S 0 S
  lim
Следовательно, при равномерном распределении заряда
q  S .
34
Тогда
D1n0  D2 n0  
(1.14)
или D1n  D2n   – граничное условие для нормальной составляющей вектора электрического смещения. В векторной форме это
условие выглядит следующим образом:
  n0  D1  D2  .
Таким образом, нормальная составляющая вектора D на границе раздела двух сред терпит разрыв, равный поверхностной
плотности заряда.
·····························································
Рассмотрим два частных случая.
1. Граница двух идеальных диэлектриков. В этом случае нет свободных
зарядов, т. е.   0 , следовательно, D1n  D2 n .
2. Граница «идеальный диэлектрик – идеальный проводник». Поле
в идеальном проводнике равно нулю, значит, D2 n  0 и D1n   или
  (n0 , D).
·························
Выводы · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Таким образом, для отыскания поверхностной плотности заряда достаточно определить нормальную компоненту вектора электрического смещения
на границе с проводником.
·······································································
1.5.4 Граничные условия для нормальных
составляющих магнитного поля
Проведем построения, аналогичные предыдущим (см. рис. 1.3). Применим к полю в полученном объеме четвертое уравнение Максвелла:
35
 BdS  0.
S
Так как, в отличие от третьего уравнения, четвертое уравнение имеет нулевую правую часть, то и в граничных условиях для Bn также будет нулевая
правая часть, то есть
B1n  B2n  0.
························
(1.15)
Выводы · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Отсюда с использованием материального уравнения получим граничные
условия для нормальных составляющих вектора напряженности магнитного
поля:
1H1n  2 H 2n ,
H1n
H 2n

2
1
,
где 1 и  2 – абсолютные магнитные проницаемости первой и второй среды
соответственно.
·······································································
1.5.5 Граничные условия для тангенциальных
составляющих магнитного поля
Рассечем поверхность раздела двух сред S плоскостью Р, которую можно
считать перпендикулярной некоторому малому элементу этой поверхности.
В плоскости Р возьмем прямоугольный контур ABCD. В общем случае по границе раздела в произвольном направлении протекает ток I.
Проведем контур так, чтобы одна его часть была в первой среде, другая –
во второй (рис. 1.4). Единичные векторы n 0 и  0 лежат в плоскости контура,
единичный вектор N 0 перпендикулярен ей.
Применим к полю вблизи границы первое уравнение Максвелла:
36
 H dl  I ; I   H 2dl   Hdl   H1dl   Hdl .
AB
L
BC
CD
DA
Рис. 1.4 – К выводу граничных условий для тангенциальных
составляющих векторов электромагнитного поля
В пределах контура поле однородно, т. к. размеры контура очень малы,
поэтому можно записать:
I  H 2 (0 )l  Hn0 h  H1 0 l  Hn0 h.
Устремим h  0 , тогда
I  H1 0 l  H 2 0 l.
·····························································
Введем понятие поверхностного тока. Поверхностным током будем называть приведенный в движение поверхностный заряд. Плотность поверхностного тока определяется формулой
I
,

l
l 0
  0 lim
где 0 – орт, показывающий направление тока; I – часть тока,
пересекающая отрезок l .
·····························································
С учетом этого
H1 0  H 2 0  N или H1  H 2  N ,
где η N – проекция вектора плотности поверхностного тока на направление,
перпендикулярное плоскости контура.
37
В векторной форме:
n0 ,( H1  H 2 )  .
························
(1.16)
Выводы · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Итак, при наличии поверхностного тока на границе раздела тангенциальная составляющая напряженности вектора магнитного поля терпит разрыв,
равный его плотности.
·······································································
Рассмотрим два частных случая.
1. Граница раздела «идеальный диэлектрик – идеальный диэлектрик».
Ток на границе отсутствует ( η  0 ) и тогда H1τ  H 2τ .
2. Граница раздела «идеальный диэлектрик – идеальный проводник».
В этом случае H 2τ  0 , тогда H1τ  ηN или в векторной форме:
   n0 , H1 .
Таким образом, на границе с идеальным проводником при наличии магнитного поля всегда возникает поверхностный ток.
1.5.6 Граничные условия для тангенциальных составляющих
электрического поля
Обратимся ко второму уравнению Максвелла:
 Edl
l

d
BdS .
dt 
Рассуждения, аналогичные представленным в предыдущем пункте, приводят к соотношению
E1 0 l  E2 0 l  
d
( Bhl ).
dt
Устремив высоту контура к нулю, получим
E1  E2  0.
(1.17)
38
Из соотношения (1.17) следует, что тангенциальная составляющая вектора Е непрерывна на границе с любой средой.
Рассмотрим границу «идеальный диэлектрик – идеальный проводник».
Так как поле в идеальном проводнике равно нулю, т. е. E2  0 , то E1  0 . Значит, линии вектора Е всегда перпендикулярны поверхности идеального проводника.
1.6 Энергия электромагнитного поля
1.6.1 Закон Джоуля – Ленца и превращение энергии
Поскольку электромагнитное поле физически реально, оно обладает энергией. После ряда рассуждений и операций над уравнениями Максвелла мы выясним, каким образом векторы поля E, H , D и B определяют его энергию W.
Можно подойти к этому, начав с вопроса о превращениях энергии поля.
Известно, что при наличии тока в реальной среде выделяется тепло. Зная
плотность тока j и напряженность поля Е , нетрудно, как мы увидим, найти
энергию, теряемую электромагнитным процессом за единицу времени, т. е.
мощность тепловых потерь P. Оказывается, в объеме V расходуется мощность
P   j E dv .
(1.18)
V
Чтобы убедиться в справедливости записанного выражения, обратимся к
простому варианту, в котором область V представляет собой цилиндр длиной l
с площадью основания S. Ось цилиндра совпадает с направлением вектора
плотности тока. Пусть в пределах объема выделенного цилиндра поле однородно. В этом случае применение формулы (1.18) дает P  j EV  j S l E  IU .
························
Выводы · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Как видно, полученное равенство эквивалентно закону Джоуля – Ленца,
известному из курса общей физики.
39
Таким образом, применение формулы (1.18) означает обращение к закону
Джоуля – Ленца. По смыслу равенства (1.18) подынтегральное выражение
p jE
(1.19)
есть не что иное, как плотность мощности, т. е. мощность, отнесенная к единице объема:
P
.
V 0 V
p  lim
(1.20)
·······································································
Полученные выражения мощности и ее плотности имеют универсальный
характер. Они верны не только при расчете джоулевых потерь, но и сохраняют
смысл во всех случаях, когда рассматриваются токи.
Отметим, что в зависимости от направления движения зарядов величина
р может быть как положительной, так и отрицательной. Заряды могут ускоряться полем. При этом j и Е параллельны, р > 0 и энергия у поля отбирается.
Очевидно, что р < 0, если j и Е антипараллельны. Это будет, например, в том
случае, когда движение зарядов против поля создается каким-то неэлектромагнитным, «сторонним», процессом, который отдает свою энергию полю, тормозящему заряды.
Описание неэлектромагнитных факторов, как говорят сторонних сил,
в большинстве случаев сводится к изменению вида материального уравнения.
Используется одна из следующих формализаций:
j    E  Eст  ,
j  E  jст .
(1.21)
Введенные здесь функции Eст и jст при решении электродинамических
задач являются заранее заданными. Величина Eст называется напряженностью
сторонних сил (или просто сторонней напряженностью). Теперь мы можем детализировать выражение плотности мощности (1.19). Используя (1.21), имеем:
p  1 j 2  jEст ,
p  E 2  jст E .
40
Таким образом, можно записать:
р  рп  рст ,
(1.22)
где
pп  1 ( j )2  E 2 ,
pст   jEст  jст E.
(1.23)
Параметр pп характеризует поглощение, потери электромагнитного процесса, а pст – действие сторонних сил. Сторонние силы обычно локализованы.
Если, например, они сосредоточены в некоторой области V , то, согласно первому равенству (1.21), j  Eст в V и j  E вне V . Будем называть V областью источника.
Позднее мы не раз еще вернемся к обсуждению понятия сторонних сил.
Интерпретация их будет несколько расширена.
1.6.2 Баланс энергии электромагнитного поля
Дальнейшее обсуждение будет опираться на уравнения Максвелла (1.1),
(1.2). Все члены второго из них умножим на H , а все члены первого – на E :
H rot E   H
E rot H  E
B
,
t
D
 Ej .
t
Вычтем левую и правую части второй строчки из соответствующих частей первой, тогда слева получим выражение H rot E  E rot H , которое мы
свернем, т. к. оно равно div  E , H  . В результате будем иметь
div  E , H    H
B
D
E
 j E.
t
t
(1.24)
Равенству нетрудно придать интегральную форму. С этой целью проинтегрируем все его члены по некоторому объему V, ограниченному поверхно-
41
стью S, а затем левую часть преобразуем на основании теоремы Остроградского – Гаусса:

  E , H  dS     H
S
V
B
D 
E
  jEdv .
t
t  V
(1.25)
Остается проанализировать полученный результат. После некоторых рассуждений мы увидим, что равенство (1.25) есть уравнение баланса энергии поля в объеме V.
Ключевым для нас является последний член справа в (1.25). Согласно
формуле (1.18), это мощность Р, причем Р будет рассматриваться как величина,
характеризующая все процессы преобразования энергии в объеме V (в п. 1.6.5
будет сделано уточнение). Разумеется, размерность мощности имеют и все
остальные члены в (1.25).
·····························································
Следующим важным моментом является тот факт, что для
всякой энергетически изолированной системы уравнение баланса
энергии имеет вид:
P  dW / d t ,
(1.26)
где W – запас энергии.
·····························································
В частности, из равенства (1.26) следует, что потери энергии (Р > 0) могут
происходить только в результате уменьшения этого запаса  dW / d t  0  .
Если граница S области V является энергетически изолирующей и при
наличии поля внутри объема V оно отсутствует во внешней среде, то поверхностный интеграл в (1.25) равен нулю. Таким образом, равенство (1.25) принимает вид:

V
P    E
D
B 
H
 dv
t
t 
(1.27)
и мы вправе истолковать его как уравнение баланса энергии для изолированной
системы. Сопоставляя (1.27) и (1.26), имеем:
42
dW
B 
 D
  E
H
 dv .
dt V  t
t 
(1.28)
В результате определена временная производная запаса энергии.
Сохраняя интерпретацию (1.28) и переходя к общему случаю, запишем (1.25) в виде:
  E , H  ds 
S
dW
 P  0.
dt
(1.29)
Очевидно, что равенство (1.25) предстает как уравнение баланса энергии
в области V, причем вследствие неизолированности системы появился дополнительный член в виде поверхностного интеграла:
P 
  E , H  ds   П ds.
S
(1.30)
S
Величина P есть поток вектора
П  E, H 
(1.31)
через границу S области V. Вектор П называется вектором Пойнтинга.
Поток P вектора Пойнтинга П показывает, насколько внутренние процессы не уравновешены. Если, например, P  0 , это означает потери энергии
в области V из-за перехода энергии во внешнее пространство. В таком случае
говорят об активном балансе энергии. Если же P  0 , то энергия поступает
в объем V извне – пассивный баланс энергии. В обоих случаях абсолютная величина P есть не что иное, как энергия, проходящая через граничную поверхность S за единицу времени. Поэтому величину P называют потоком энергии
через поверхность S. Положительный поток энергии равен, таким образом,
мощности излучения во внешнее пространство, а отрицательный – мощности
поглощаемого внешнего излучения.
Баланс будем называть активным, когда P  0 , т. е. отдача энергии
во внешнее пространство преобладает; согласно (1.29), при этом dW dt  P  0
. В случае чистого излучения может оказаться, что внутренний запас энергии
43
остается постоянным: W = const, тогда, как видно, P  P . Поскольку P  0 ,
то Р < 0: излучение создается сторонними силами в объеме V (согласно
Р  Рп  Рст , и в отсутствие потерь Р   Рст ).
Р   Рст .
(1.32)
Наконец, если P  0 , это нейтральный баланс энергии. Поток энергии
в данном случае может проходить насквозь, так что число входящих линий вектора Пойнтинга равно числу выходящих; он также может не входить в область
V или вообще отсутствовать.
1.6.3 Энергия электромагнитного поля
Исходя из равенства (1.28), можно путем интегрирования определить
энергию поля. При некоторых оговорках, которые будут сделаны в п. 1.6.5,
справедливы следующие операции:
2
D
E   0 E
E
 0 E
 
t
t t  2

,

B
H   0H 2
H
 0H
 
t
t
t  2

.

Это значит, что операцию дифференцирования по времени в (1.28) можно
вынести за знак интеграла. В результате запас энергии в области V выражается
следующим образом:
W


1
1
2
2


E



H
dv

 E D  H B  dv.
0
0
2 V
2 V
························
(1.33)
Выводы · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Как видно, энергия слагается из двух частей, одна из которых связана
с электрическим полем, а другая – с магнитным. Поэтому пишут W  Wэ  Wм ,
различая магнитную энергию
44
Wм 
0
2
1
H Bdv
2 V
(1.34)
1
E Ddv .
2 V
(1.35)
2
 H dv 
V
и электрическую энергию
Wэ 
0
E
2 
2
dv 
V
Подынтегральное выражение в (1.33) есть не что иное, как плотность
энергии электромагнитного поля:


W 1
1
 0E 2  0H 2   E D  H B  .
V 0 V
2
2
w  lim
(1.36)
Слагаемые имеют смысл плотностей электрической и магнитной энергии:
w  wэ  wм ( wэ и wм – подынтегральные выражения из (1.34) и (1.35) соответственно).
·······································································
1.6.4 Локальный баланс и движение энергии
Если допустить, что поток вектора Пойнтинга Р через любую, а не только замкнутую поверхность (как в п. 1.6.2) представляет собой поток энергии
через эту поверхность, то П следует истолковать как плотность потока энергии:
П  lim 0
S 0
P
S
,
(1.37)
где 0 – единичный вектор, указывающий направление движения энергии;
S – ортогонально ориентированная площадка; P – количество энергии,
проходящей за единицу времени через поверхность S .
Вернемся к равенству (1.24), переписав его в виде
w
div П 
 p  0.
t
(1.38)
Равенство (1.38) есть уравнение баланса энергии в дифференциальной
форме. Оно характеризует локальный баланс энергии. Если в исчезающе малой
45
окрестности некоторой точки баланс активен, то dw dt  P  0 и в силу (1.38)
div П  0 . При пассивном балансе dw dt  P  0 и div П  0 , а при нейтральном – dw dt  P  0 и div П  0 . Вспоминая смысл оператора дивергенции, мы
видим, что при активном балансе рассматриваемая точка является источником
вектора Пойнтинга, при пассивном балансе – стоком, а при нейтральном балансе она лежит на некоторой линии вектора Пойнтинга. Таким образом, направление и модуль вектора Пойнтинга характеризуют направленность и размер в
каждой точке пространства потока энергии излучения. Вектор Пойнтинга в СИ
имеет размерность ватт на квадратный сантиметр (Вт/см2).
1.6.5 Заключительные замечания
Начнем с анализа сделанных нами допущений. В п. 1.6.2 мы предположили, что все процессы преобразования энергии характеризуются величиной Р,
определяемой формулой (1.15). Это, в частности, означает, что если нет токов
проводимости ( j  0 ), то не может быть ни потерь энергии, ни действия сторонних сил. На самом деле потери энергии свойственны также процессам поляризации и намагничивания (хотя часто этими потерями можно пренебрегать).
Если отказаться от сделанного допущения, то для изолированной системы
из соотношений (1.22) и (1.23) уже нельзя получить равенство (1.25).
С этим тесно связан следующий вопрос. Почему не всегда верны действия, выполненные в начале п. 1.6.3? Дело в том, что в этих действиях были
вынесены за знак оператора  t проницаемости  и  , а это допустимо только
в случае безынерционной среды. В дальнейшем при изучении гармонических
колебаний мы сможем учесть инерционность процессов поляризации и намагничивания. Соответствующие потери будут рассматриваться.
························
Выводы · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
В заключение отметим, что вся информация об электромагнитном поле
получена в результате наблюдения и осмысления превращений его энергии
46
в иные формы. Ведь непосредственно мы «не замечаем» полей, если не говорить о тепловых и световых воздействиях, информативность которых незначительна. Начало было положено наблюдением электромеханических превращений, что в конечном счете привело к представлению о векторных функциях E
и B . Выше мы не обсуждали специфические особенности различных превращений энергии, например электрохимических, фото- и термоэлектрических
и многих других, используемых в технике. Однако были выяснены и проанализированы закономерности, свойственные всем видам превращений энергии.
·······································································
1.7 Классификация электромагнитных колебаний
Положим, что в уравнениях Максвелла (1.1)–(1.4) нет изменений во времени и проводимость равна нулю:

 0;   0.
t
Система из четырех уравнений Максвелла разбивается на две независимые пары:
rot H  0;
div B  0.
(1.39)
rot E  0; div D  0.
(1.40)
Системы уравнений (1.39) и (1.40) описывают электростатические и магнитостатические поля соответственно.
Снимем одно из ограничений:

 0,   0,
t
т. е. изменений во времени нет, но проводимость отлична от нуля. Тогда
rot H  j ;
(1.41)
rot E  0;
(1.42)
div D  0;
(1.43)
div B  0.
(1.44)
Найдем дивергенцию первого уравнения:
47
div j  0.
(1.45)
Уравнения (1.39)–(1.45) можно сгруппировать в три пары уравнений,
описывающих стационарное электромагнитное поле.
rot H  j
rot E  0
rot E  0
div B  0
div D  0
div j  0
Магнитное поле постоянно- Электрическое поле посто- Электрическое поле в
го тока в области, содержа- янного тока в диэлектрике проводнике
щей токи
Дальнейшее рассмотрение электромагнитных полей начнем с наиболее
простых стационарных и затем перейдем к переменным полям.
··························································
Контрольные вопросы по главе 1
··························································
1. Запишите векторные функции, описывающие электромагнитное поле.
Дайте определение векторов электрического поля.
2. В чем отличие свободных зарядов от связанных?
3. Запишите совокупность уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной форме.
4. Опишите полный ток и его составляющие.
5. Покажите, что из первого уравнения Максвелла следует принцип непрерывности полного тока.
6. Покажите, что второе уравнение Максвелла – это обобщенный закон
электромагнитной индукции.
7. Покажите, что третье уравнение Максвелла справедливо для электрических полей и зарядов.
8. Покажите, что третье уравнение Максвелла показывает непрерывность силовых линий магнитного поля.
48
9. Покажите, что четвертое уравнение Максвелла показывает непрерывность силовых линий магнитного поля.
10. Приведите классификацию сред и опишите материальные уравнения.
11. Запишите совокупность материальных уравнений. Поясните, почему
уравнения называют материальными.
12. Какие среды называют анизотропными?
13. Запишите граничные условия для нормальных и тангенциальных составляющих векторов электрического поля.
14. Запишите граничные условия для нормальных и тангенциальных составляющих векторов магнитного поля.
15. Прокомментируйте уравнение баланса энергии электромагнитного
поля в некотором объеме.
16. Поясните физическое содержание вектора Пойнтинга.
17. Опишите энергию электромагнитного поля.
18. Что определяет закон Джоуля  Ленца и превращение энергии?
19. Запишите баланс энергии электромагнитного поля.
20. Расскажите о движении энергии и групповой скорости в электромагнитном поле.
49
2 Общие свойства переменного электромагнитного поля
2.1 Монохроматическое поле, метод комплексных амплитуд
Для радиоэлектроники переменное электромагнитное поле представляет
основной интерес. Мы будем изучать установившиеся процессы, которым
свойственны гармонические во времени колебания. Тогда всякую изменяющуюся во времени скалярную величину можно записать в виде
   т cos(t  )
и соответственно всякий вектор записывается как
A  Am cos(t  ),
где  – круговая частота гармонических колебаний;  – фаза. Это величина,
характеризующая состояние процесса в начальный момент времени.
·····························································
Поля, изменяющиеся по гармоническому закону, называются
монохроматическими. Для их исследования очень часто применяют хорошо известный из теории цепей метод комплексных амплитуд (МКА). Он также называется символическим методом.
·····························································
МКА основан на применении формулы Эйлера. С учетом ее любую комплексную скалярную или векторную величину можно представить в виде
   m e j (t )   m  cos(t  )  j sin(t  )  ,
A  Ame j (t )  Am  cos(t  )  j sin(t  )  .
Тогда   Re  и A  Re A .
Известно, что если решением дифференциального уравнения является
комплексная величина, то решение включает действительную и мнимую части
этой величины. Таким образом, получив решение в виде комплексной величины, необходимо в конечном ответе взять только ее действительную часть.
50
·····························································
Применение МКА во многих случаях помогает значительно
упростить решение дифференциальных уравнений, т. к. как дифференцирование комплекса по времени эквивалентно умножению
на j :

A  jA .
t
·····························································
Интегрирование сводится к делению на j .
Представим комплексные величины в виде сомножителей:
   m e jt и A  Am e jn ,
где  m   m e j и Am  Am e j – комплексные амплитуды.
Применение понятия комплексной амплитуды позволяет во многих случаях избавляться от временной зависимости.
2.2 Уравнения Максвелла в комплексной форме
Используя МКА, заменим в уравнениях Максвелла (1.1) и (1.2), записанных в дифференциальной форме, векторы поля комплексными представлениями:
E  Eme jt , H  Eme jt ,
где
Em  Em e  jkz , 

H m  H me
 – комплексные амплитуды векторов поля.

 jkz 
Теперь можем записать:
rot H  E  
dE
dt

rot H   E  jE ;
(2.1)
rot E  
dH
dt

rot E   jE .
(2.2)
51
Сократив на e
jt
, избавимся от временной зависимости и перейдем
к комплексным амплитудам:


rot H m  j    j
В формуле (2.3)   j

 Em ;

(2.3)
rot Em   jH m .
(2.4)

  – комплексная диэлектрическая проницае
мость. Обозначим   ,    / , тогда     j.
Отношение
 

 tg  – тангенс угла диэлектрических потерь.
 
Мнимая часть комплексной диэлектрической проницаемости характеризует ток проводимости и электрические потери в веществе: если потерями
можно пренебречь, то   0 .
Аналогично получим:     j,

 tg  м – потери на перемагничи
вание.
·····························································
Уравнения Максвелла, таким образом, будут иметь вид:
для комплексных векторов –
rot H  jE ,
(2.5)
rot E   jH ;
(2.6)
для комплексных амплитуд –
rot H m  jEm ,
(2.7)
rot Em   jH m .
(2.8)
Эти уравнения дополняются еще двумя:
div E  0;
(2.9)
div H  0.
(2.10)
·····························································
52
Уравнение (2.10) не вызывает сомнения, т. к. получено из div B  0.
А вот уравнение (2.9) требует доказательства.
·····························································
Приведем его:
div j  

1
; div j   j;   
div j ;
t
j
j  E ;   

div E ; div D  ;
j

div E  0;
j
div E 
 




 div E  0.
j



Так как выражение в скобках не может равняться нулю, следовательно, div E  0.
·····························································
2.3 Волновые уравнения
Получим из уравнений Максвелла уравнения отдельно для E и отдельно
для H . Из равенства (2.8) выразим H и подставим в (2.7):
H 

1
j

rot E ;
rot rot E   E ;


2
grad div E   E   E .
2
2
Обозначим    k , где k – волновое число.
2
2
Так как
div E  0 , то 2 E  k 2 E  0.
(2.11)
Проведем аналогичные действия относительно вектора H :
2 H  k 2 H  0.
(2.12)
53
·····························································
Выражения (2.9) и (2.10) – это уравнения Гельмгольца.
·····························································
Для комплексных амплитуд они выглядят следующим образом:
2 Em  k 2 Em  0;
(2.13)
2 H m  k 2 H m  0.
(2.14)
2.4 Средний баланс энергии электромагнитного поля
2.4.1 Среднее значение характеристик поля
Поскольку гармонические колебания электромагнитных полей, представляющие интерес для радиоэлектроники, являются быстропеременными, обычно
имеют дело с их усредненными во времени энергетическими характеристиками.
Переходя к комплексным величинам, необходимо иметь в виду следующие соотношения:
Re(a, b)  Re( a )  Re(b);
A


1
A  A* ,
2
*
где А – комплексно-сопряженная величина.
Соответственно энергия магнитного и электрического полей и вектор
Пойнтинга определяются по формулам:

;

;
(2.16)


(2.17)
1
1
м   H 2   H  H 
2
8
э 

1 2 1
E   E  E 
2
8

2
(2.15)
2
1
E  E , H  H  .

4
Понятия «среднее» и «среднее за период» у гармонических сигналов совпадают. Найдем среднее значение вектора Пойнтинга:
54
T
П ср
1
  П dt.
T0
(2.18)
С учетом равенства (2.17)
  
1
*
*
*
*
П 
E  H  E  H  E  H  E  H  sin  E , H  .
4




(2.19)
Комплексные векторы поля задаются в виде:
E  Em e j ( t E ) ,
(2.20)
H  H m e j ( t H ) .
(2.21)
Подставим соотношения (2.20) и (2.21) в формулу (2.19) и затем в (2.18).
Рассмотрим каждый из четырех получившихся интегралов в отдельности. После всех преобразований получим среднее значение вектора Пойнтинга определяется выражением
Пср
  
1
j ( E H )
 j (  E  H )
 Em H m e
e
 sin  E , H  .
4




(2.22)
С учетом формулы Эйлера
 ср 
П ср 
1
2
1
 Em , H m  cos(E  H );
2
Re  E , H  



1
2
(2.23)

Re  E , H  .

(2.24)

Чтобы найти среднее значение вектора Пойнтинга, нужно определить реальную часть комплексного вектора Пойнтинга.
Аналогично находится среднее значение плотности энергии магнитного
поля:
м.ср 
 м dt  8T    H
T
1
T
0
1
T
2
H
*2
 2 HH
*
 dt ,
0
м.ср 
1
4
H m .
2
Среднее значение плотности энергии электрического поля:
(2.25)
55
э.ср 
1
4
Em .
2
(2.26)
Определим среднее значение плотности мощности электромагнитного
поля:
pср  Re p,
где p 
(2.27)
1

EE *  Em2 .
2
2
·····························································
Сторонняя плотность мощности, как правило, имеет комплексный характер, т. к. ток и напряженность стороннего источника отличаются по фазе.
·····························································
2.4.2 Средний баланс энергии
Будем исходить из комплексной формы уравнений Максвелла (2.1), (2.2),
записывая первое из них комплексно-сопряженным:
*
rotH m*   j* Em*  jст.т
, rot Em   jH m .
Все члены первой строчки умножим на Em , а второй – на H m . Произведем вычитание соответственных частей и применим тождество
div  Em , H m   H m rot Em  Em rot H m .


Отсюда
div   j


  
 Em Em   H m H m  pст m .
2
(2.28)
Внесем в (2.28) представления комплексных проницаемостей. Разделение
вещественной и мнимой частей дает:
div Re   
div Im  




 Em Em   H m H m  Re pст m ;
2




 Em Em   H m H m  Im pст m .
2



(2.29)
56
(В (2.29) учтено, что в результате комплексного сопряжения изменился
знак при  .) Удобно сначала произвести интегрирование по некоторому объему V, ограниченному поверхностью S, и перейти к следующим соответствиям:
Re  ds  
S
Im  ds 
S
где Рст m 
 рст m dv









E
E


H
H
dv

Re
P
;
m
m
m
m
ст
m

2 V



 Em Em   H m H m

2S


dv  Im Pст m , 


(2.30)
– интеграл, выражающий комплексную мощность источ-
V
ников электромагнитного поля.
Обсудим смысл первого из полученных равенств. В левой части – вещественная часть комплексного потока энергии. Последний член справа дает
среднюю мощность источников. Легко видеть, что рассматриваемое равенство
есть не что иное, как уравнение среднего баланса энергии при гармонических
колебаниях.
Пусть источники в среднем отдают энергию полю. Если проницаемости
 и  вещественны (   0 ,   0 ), то объемный интеграл в (2.30) исчезает.
При этом в среднем вся мощность источников идет на излучение. Если же
  0 ,   0 , то положителен и объемный интеграл, а следовательно, средняя
мощность излучения уменьшится на его величину. В случае когда область V
энергетически изолирована, мощность источников полностью «гасится» объемным интегралом. Из этих рассуждений следует, что объемный интеграл
в (2.28), взятый без знака минус, выражает среднюю мощность потерь в объеме
V.
·····························································
Полученный результат проясняет смысл мнимых частей 
и  комплексных проницаемостей  и  . При   0 и   0 ,
т. е. когда  и  вещественны, среда не является поглощающей.
Потери энергии существуют только при   0 и (или)   0 . Эти,
57
как говорят, электрические и магнитные потери происходят в результате преобразования энергии поля в какие-то иные формы.
В особых случаях (активные среды) фигурируют отрицательные 
и  .
·····························································
2.5 Теорема единственности
для монохроматического электромагнитного поля
2.5.1 О единственности решений
Решения уравнений Максвелла, как и других уравнений в частных производных, принадлежат весьма широкому классу. Нахождение того или иного
решения уравнений (2.5)–(2.8) еще не означает, что получено электромагнитное
поле, которому можно приписать определенное физическое содержание. Поставим целью выяснить, при каких условиях система уравнений (2.5)–(2.8) имеет некоторое единственное решение для Em , H m . Очевидно, что такие условия
однозначно формализуют причину существования поля: единственное решение
обладает физической определенностью.
Единственность решения внешней задачи (а следовательно, и его физическая определенность) установлена только в классе быстро убывающих переменных полей, поэтому не будет рассмотрена.
2.5.2 Внутренняя задача
Докажем теорему единственности для внутренней задачи. В этом случае
область пространства V, в которой ищется решение, ограничена поверхностью
S (рис. 2.1).
Тогда задача имеет единственное решение:

если в каждой точке области V среда обладает потерями (  0) ;

в области V заданы сторонние токи;
58

заданы тангенциальные составляющие электрического или магнитного поля на границе.
Это либо E , что соответствует Е-задаче, либо H  – Н-задача.
Рис. 2.1 – К доказательству теоремы единственности (внутренняя задача)
Теорема доказывается методом от противного, но мы здесь не будем проводить полностью доказательств, просто представим выводы.
Получены уравнения баланса:
Re
  П ds  Pп ;
S
Re
 E , H  ds  Pп ,
S
где Pп – мощность потерь в объеме.
На поверхности S H   0 или E  0 для Н-задачи и Е-задачи соответственно, значит, на всей границе S равна нулю нормальная составляющая векторного произведения  E , H  . Следовательно, равны нулю потери внутри


объема, то есть
Рп 
1
Е 2 dv  0.

2
(2.31)
Так как   0 , то E  0 . Не может быть двух значений вектора напряженности электрического поля в одной точке. Поскольку электрическое и магнитное поля связаны друг с другом, то не может быть двух значений и магнитного поля.
59
Рис. 2.2 – К доказательству теоремы единственности (внешняя задача)
2.5.3 Внешняя задача
Исследуем область V  , находящуюся за пределами области V (рис. 2.2).
Единственность решения задачи требует двух дополнительных условий. Все
источники должны находиться на конечном расстоянии от области V. Поле
должно убывать быстрее, чем 1/r , то есть среда должна обладать хотя бы малой
способностью поглощать энергию.
В результате решения задачи методом от противного придем к следующему – поток через поверхность S равен нулю. При r   все источники, сосредоточенные вблизи области V , можно считать точечными, значит, поле
на поверхности сферы S  можно считать постоянным, тогда мощность потерь
окажется равной
Рп  Re  E , H  4r 2 .


Так как по условию произведение  E , H  убывает быстрее, чем 1/r2,


при r   Рп  0 . Учитывая, что уравнение (2.29) справедливо и для объема
V  , при   0 мы вынуждены обнулить разностное поле Е .
Из уравнений Максвелла следует, что если E  0, то и H  0.
Единственность решения внешней задачи (а следовательно, и его физическая определенность) установлена только в классе быстро убывающих переменных полей.
60
2.6 Теорема взаимности
2.6.1 Лемма Лоренца
Для доказательства теоремы взаимности нам придется выполнить предварительное доказательство, называемое леммой Лоренца.
Пусть в исследуемой среде имеются две группы источников: одна группа
сосредоточена в пространстве V1 , вторая – в V2.
Запишем уравнения Максвелла для каждой группы источников и умножим уравнения:
rot H1  jE1  jст1 E2

;

rot E2   jH 2
 H1
rot H 2  jE2  jст2 E1

.

rot E1   jH1
H 2
Проведем попарное вычитание:
E2 rot H1  H1 rot E2  jE2E1  E2 jст1  jH1H 2 ;
(2.32)
E1 rot H 2  H 2 rot E1  jE1E2  E1 jст2  jH 2H1.
Применим к левой части известное векторное тождество:
div  H1 , E2   jE2E1  jH1H 2  E2 jст1;
(2.33)
div  H 2 , E1    jE1E2  jH1H 2  E1 jст2 .
(2.34)




Предположим, что среда изотропна, тогда  и  – скаляры, то есть
E2E1  E1E2 ;
H 2H1  H1H 2 .
(2.35)
Вычтем (2.32) из (2.31):
div  H1 , E2   div  H 2 , E1   E2  jст1  E1  jст2 .




(2.36)
61
Выражение (2.34) является дифференциальной формулировкой леммы
Лоренца. Проинтегрируем его по объему V, включающему объемы V1 и V2 .
К левой части применим теорему Остроградского – Гаусса:
  H1 , E2    H 2 , E1  ds   E2 jст1dv   E1 jст2dv.
S
V
(2.37)
V
Выражение (2.35) – это интегральная формулировка леммы Лоренца.
2.6.2 Доказательство теоремы взаимности
·····························································
Для доказательства теоремы взаимности распространим в соотношении (2.35) интегрирование на бесконечность: r   . Учтем,
что E , H убывают быстрее, чем E0 r и H 0 r .
При r   поверхностный интеграл обращается в ноль (на
основании теоремы единственности для внешних задач). Учтем
также, что источники сосредоточены каждый в своей области. Тогда мы сразу можем записать выражение для теоремы взаимности:
 E2  jст1dV   E1  jст2dV .
V1
(2.38)
V2
Полученный результат выражает принцип взаимности для
двух распределений сторонних токов, двух источников. Примечательна симметрия соотношения (2.38), совершенно не зависящая от
характера среды, которая лишь предполагалась изотропной.
·····························································
Положим, что вся среда линейна. Это значит, что выражение (2.38) справедливо при одновременном существовании обоих источников.
Можно ввести полные токи первой и второй областей I ст1 и I ст2 , определенным образом договорившись, через какие сечения вычисляются потоки векторов плотностей сторонних токов. Введем величины:
62
U12 
1
I cт1 V
jcт1E2 dv,
1
(2.39)
U 21 
1
I cт2 V
jcт2 E1dv,
2
которые можно рассматривать как комплексные амплитуды наводимых ЭДС
( U12 наводится в объеме V1 током, локализованным в объеме V2 ; соответственный смысл имеет U 21 ). Тогда (2.36) можно переписать в виде I cт1U12  I cт2U 21 .
Разделим обе части на I cт1I cт2 , это дает
U12 I cт2  U 21 I cт1 .
(2.40)
В данной трактовке соотношение (2.40) выступает как равенство взаимных сопротивлений Z12 и Z21 рассматриваемых источников.
2.6.3 Перестановочная двойственность уравнений Максвелла.
Магнитные токи
Рассматривая уравнения Максвелла в комплексной форме (2.5)–(2.8) при
отсутствии источников, легко заметить, что замена
  , Em  H m
(2.41)
сохраняет эту систему уравнений, причем первое уравнение переходит во второе, а второе – в первое.
Отмеченный факт имеет следующее значение. Существуют электродинамические задачи, в которых векторы Em и H m меняются ролями. Положим, что
одна из таких «парных» задач решена, так что имеются формулы, выражающие
векторы Em и H m . Тогда для получения решения второй задачи из этой же пары достаточно в готовых формулах сделать замену (2.41). Говорят, что решение
в этом случае получено путем применения принципа двойственности.
63
Чтобы распространить принцип двойственности на уравнения Максвелла
при наличии источников, необходимо в дополнение к уравнениям (2.5)–(2.8)
построить некоторые модифицированные. Сопоставим те и другие уравнения:
Э
М
rotH m  jEm  jcтm
rot H m  jEm
rotEm   jH m
rot Em   jH m  jм т
В левом столбце (Э) записана известная нам система уравнений электродинамики, а в правом (М) – модифицированная система, физическое содержание которой мы сейчас обсудим. Но сначала надо отметить, что одна система
переходит в другую (Э  М), если в дополнение к условию (2.41) выполнить
условие:
jстm   jмт .
(2.42)
Что же представляет собой система уравнений М? Это уравнения Максвелла с необычно заданными источниками. Появившаяся в правой части второго уравнения функция jм т есть магнитный аналог величины jст m . Это комплексная амплитуда плотности магнитного тока.
В природе, как полагают при формулировании основных уравнений теории электромагнетизма, магнитные заряды отсутствуют. Не может быть, следовательно, и магнитных токов. Но это не мешает вводить такие объекты формально – с единственной целью облегчить исследование вполне реальных
объектов.
·····························································
Итак, посредством замен (2.41) и (2.42) мы переводим уравнения Максвелла с обычными электрическими источниками в уравнения с условными магнитными источниками (либо действуем
в обратном порядке). Существенно, что эта замена может произво-
64
диться в формулах, выражающих готовые решения задач. Такие
операции мы и будем производить.
·····························································
··························································
Контрольные вопросы по главе 2
··························································
1. Определите понятия монохроматического поля и метода комплексных
амплитуд.
2. На чем основано применение метода комплексных амплитуд к уравнениям Максвелла?
3. Каково основное отличие уравнения Максвелла в комплексной форме?
4. Что позволяет определить метод комплексных амплитуд применительно к вектору Пойнтинга, плотностям энергии электрического и
магнитного полей?
5. Какой физический смысл имеют вещественные и мнимые части
 и ?
6. Почему уравнения Гельмгольца называют также волновыми?
7. Исходя из уравнения среднего баланса энергии, объясните, на что
расходуются активная и реактивная мощности источников электромагнитного поля.
8. Сформулируйте внутреннюю и внешнюю задачи теоремы единственности. Какую роль при ее доказательстве играет проводимость среды?
9. Сформулируйте лемму Лоренца и теорему взаимности. При каком
условии они несправедливы?
10. Сравните формулировки теоремы взаимности в электродинамике и в
теории цепей. Идет ли речь об одной и той же теореме?
11. Каков смысл введения в уравнения Максвелла магнитных зарядов и
токов?
65
12. При каком соотношении напряжений и токов наступает равенство
взаимных сопротивлений Z12 и Z21 рассматриваемых источников?
13. С помощью каких замен можно перевести уравнения Максвелла с
обычными электрическими источниками в уравнения с условными
магнитными источниками?
14. В чем состоит суть перестановочной двойственности?
15. Чему равен магнитный аналог величины jст m , появившийся в правой
части второго уравнения.
66
3 Плоские электромагнитные волны в изотропных
неограниченных средах
3.1 Волновой характер электромагнитного поля
Перед изучением электромагнитных волн обсудим содержание понятий
«волна», «волновой процесс», получивших широкое распространение в физике
и технике. Прообразом здесь служат всем известные волны, возникающие
на поверхности воды. Существенно то, что при движении, распространении
всякой волны среда постепенно вовлекается в некоторый физический процесс,
в результате чего происходит передача энергии в пространстве.
·····························································
Таким образом, электромагнитное поле, возникшее в некоторой области пространства, не заполняет его мгновенно, а распространяется с конечной скоростью, зависящей от свойств среды.
Волновой характер распространения описывается уравнениями
Гельмгольца:
 2 E  k 2 E  0,
(3.1)
 2 H  k 2 H  0.
·····························································
Важной характеристикой волнового процесса является вид фронта волны.
Фронт волны – это поверхность равных фаз. Он может иметь различную форму.
Например, если источник волны точечный, то ее фронт представляет сферическую поверхность и волна называется сферической.
3.2 Плоские волны в средах без потерь
·····························································
Плоская волна – это волна, фронт которой представляет
собой плоскость.
·····························································
67
Рассмотрим, в каком случае может возникнуть плоская волна. Предположим, что в точке О находится точечный источник (рис. 3.1). Плоскость Р перпендикулярна оси Oz, точки М1, М2 лежат в плоскости Р.
Рис. 3.1 – Распространение плоской волны
Предположим, что источник О так далеко от плоскости Р, что
ОМ1
ОМ2. Это означает, что все точки в плоскости Р равноправны. То есть
при перемещении в плоскости Р не происходит изменение состояния процесса.
·····························································
Так как состояние процесса во всех точках плоскости одинаково, то эту плоскость можно назвать фронтом волны.
·····························································
В этой плоскости при перемещении в перпендикулярном оси z направлении не происходит никаких изменений. Математически это означает следующее:
 / x   / y  0.
(3.2)
Такое приближение называется приближением плоской волны. В этом
случае трехмерные уравнения (3.1) преобразуются в одномерные уравнения:
d 2 Em
dz
2
 k 2 Em  0;
(3.3)
2
d Hm
dz
2
 k 2 H m  0.
68
Решение подобного рода волновых уравнений хорошо известно и имеет
вид

H  h  Ce 


.
j  t  kz 
j  t  kz 
E  e0 Ae 
 Be 
;
j  t  kz 
0
j  t  kz
 De 
В этих уравнениях e0 , h0 – орты, показывающие направление векторов
электрического и магнитного полей соответственно; A, B, C и D – вещественные константы. Переходя от комплексных векторов к их реальным частям, получим:
E  Re E  e0  A cos(t  kz )  B cos(t  kz )  ;
H  Re H  h0  C cos(t  kz )  D cos(t  kz )  .
(3.4)
Исследуем решения (3.4). Рассмотрим первое слагаемое в первом уравнении (3.4). Обратим внимание на то, что мы получили решение, описывающее
волновой процесс. На рисунке 3.2 показано распределение амплитуд электрического поля в моменты времени t и t  t .
Точки А и В соответствуют максимумам амплитуды поля. Положение
максимума сместилось за время t на расстояние z . Следовательно,
A cos(t  kz )  A cos(t  t  kz  k z ).
Равенство значений функций обеспечивается равенством аргументов:
t  k z.
·····························································
Отношение z / t   / к  ф называется фазовой скоростью и показывает скорость распространения волнового фронта
электромагнитной волны.
·····························································
69
Рис. 3.2 – Распределение в пространстве амплитуд
электрического поля в различные моменты времени
Для вакуума фазовая скорость:
ф 

 0 0

1
 0 0
.
Подставив значения констант, получим:
ф0 
1
 3  108
1
 109  4  107
36
м
.
с
·····························································
Это означает, что в вакууме скорость распространения электромагнитной волны равна скорости света.
Второе слагаемое в первом уравнении (3.4) является вторым
частным решением и дает отрицательное значение скорости. Оно
соответствует волне, распространяющейся к источнику.
·····························································
Определим расстояние  между точками поля с фазами, отличающимися
на 360. Это расстояние называется длиной волны. Так как амплитуда волны на
расстоянии длины волны и с изменением фазы на 360 не изменяется, можем
записать:
cos(t  kz )  cos  t  k ( z  )  2  .
Отсюда
70

2
k

2
 

ф
f
.
(3.5)
Длина волны в вакууме:
0  с / f ,
(3.6)
где c – скорость электромагнитной волны в вакууме (скорость света).
Фазовая скорость в остальных средах ф  c /  r  r и соответственно
длина волны    0 /  r  r .
Как следует из формулы для фазовой скорости, она не зависит от частоты, значит, вакуум – среда не дисперсионная.
Установим связь между направлениями векторов электрического и магнитного полей. Начнем с уравнений Максвелла:
rot H  jE ; rot E   jH .
(3.7)
Заменяем векторные уравнения скалярными, т. е. приравниваем проекции
векторов в (3.7):
H z
y
H x
z
H y
x

H y
z

H z

H x
x
y
 jE x ;
 jE y ;
 jE z ;
E z
y
E x
z
E y
x

E y
z

E z

E x
x
y
Учтем в системе (3.8), что  / x   / y  0,
  jH x ;
  jH y ;
(3.8)
  jH z .
 / z   j k ,
тогда
kH y  E x ;
kE y  H x ;
kH x  E y ; kE x  H y ;
E z  0;
H z  0.
(3.9)
71
·····························································
Из выражений (3.9) видно, что у плоских волн нет продольных составляющих, т. к. Ez , H z  0 .
·····························································
Составим скалярное произведение  E , H  , выразив Еx и Еy из соотношений (3.9):
Ex 
k
k
H y ; Ey  
Hx;


 E , H    Ex  H x  E y  H y  
k
k
HxH y 
H x H y  0.


Так как скалярное произведение векторов равно нулю, векторы E и H
в плоской волне перпендикулярны друг другу. Поскольку у них нет продольных составляющих, то E и H перпендикулярны направлению распространения волны. Найдем отношение амплитуд векторов электрического и магнитного полей.
Будем предполагать, что вектор E направлен вдоль оси x. Соответственно E y  0, H x  0.
Из (3.9) следует:
Ex  k / H y ; H y  k / Ex .
Отсюда
Ex / H y  k /   Z в ,
(3.10)
где Z в – волновое сопротивление среды с макроскопическими параметрами 
и .
Величина Z 0  0 / 0 называется волновым сопротивлением вакуума.
Оно равно 377 Ом. С большой степенью точности эту величину можно считать
волновым сопротивлением сухого воздуха.
На основе анализа решения волновых уравнений можно сделать следующие выводы.
72
·····························································
1. В вакууме плоские волны распространяются со скоростью света,
в остальных диэлектрических средах их скорость меньше
в
 r  r раз.
2. Векторы электрического и магнитного полей не имеют продольных составляющих и перпендикулярны друг другу.
3. Отношение амплитуд электрического и магнитного полей равно
волновому сопротивлению среды, в которой происходит распространение электромагнитных волн.
·····························································
3.3 Поляризация электромагнитных волн
·····························································
Если в любой момент времени в любой точке пространства
можно определить положение векторов E и H , то говорят, что излучение поляризованное. Рассмотренная выше плоская волна – линейно поляризованная. Плоскость, проходящая через вектор E
и направление распространения, называется плоскостью поляризации. Линейная поляризация не единственно возможная.
·····························································
Рассмотрим другие виды поляризации в режиме гармонических колебаний. Будем считать, что существуют одновременно две волны одной частоты.
Векторы напряженности электрического поля у них взаимно перпендикулярны.
Волновые процессы имеют произвольный фазовый сдвиг:
E1  x0 E01 cos(t  kz );
(3.11)
E2  y0 E02 cos(t  kz  ).
(3.12)
Общее поле определяется суперпозицией заданных полей.
В плоскости z = 0:
E1  x0 E01 cos(t );
(3.13)
73
E2  y0 E02 cos(t  ).
(3.14)
Векторы каждого из полей имеют только по одной проекции:
E1  x0 Ex ;
(3.15)
E2  y0 E y .
(3.16)
Освободимся от временной зависимости. Для этого из (3.13) с учетом
(3.15) получим:
Ex / E01  cos t ;
(3.17)
E y / E02  cos(t  )  cos t  cos   sin t  sin ;
(3.18)
из (3.14) и (3.16) –
далее из (3.9) –
sin  t   E y / E02  ( Ex / E01 )  cos  / sin .
(3.19)
Возведем (3.17) и (3.19) в квадрат и сложим:
2
2
2
 Ex 
 E y   Ex 
 E x  E y 
2
2
2
sin



cos


2



 



 cos   sin ;
 E01 
 E02   E01 
 E01  E02 
2
2
 Ex   E y 
Ex E y


2

cos   sin 2 .

 

E01 E02
 E01   E02 
Мы получили каноническое уравнение эллипса (рис. 3.3). Таким образом,
траекторией конца вектора E в плоскости z = сonst является эллипс.
Рис. 3.3 – К определению волны с эллиптической поляризацией
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1.   0 :
Ex
E01

Ey
E02
 Ex 
E01
E02
E y – линейная поляризация (рис. 3.4, а).
74
2.    : Ex  
3.  
E01
E02

: E01  E02 ;
2
E y – поляризация также линейная (рис. 3.4, б).
2
Ex2  E y2  E01
;
Ex  E01 cos t . В этом случае
E y  E02 cos(t   2)   E01 cos t .
·····························································
Со временем вектор напряженности электрического поля перемещается по часовой стрелке, если смотреть вдоль распространения
волны. Это правая эллиптическая поляризация (рис. 3.4, в).
·····························································
4.   

. Этот случай соответствует волне с левой эллиптической по2
ляризацией.
Рис. 3.4 – Вектор напряженности электрического поля
суммарной волны в плоскости z = 0
75
·····························································
Чтобы получить волну с круговой поляризацией, исходные
волны должны быть ортогонально линейно поляризованы, иметь
одинаковые амплитуды и фазовый сдвиг, равный   . Для волны
2
с круговой поляризацией можно записать:
E  E0 ( x0 cos t  y0 sin t ).
·····························································
В комплексной форме E  E0  x0  jy0  e j (t kz ) .
Легко показать, что две волны с круговой поляризацией могут в сумме
образовывать волну с линейной поляризацией.
3.4 Плоские электромагнитные волны в поглощающих средах
3.4.1 Затухание электромагнитных волн
Запишем уравнения Максвелла для электромагнитных волн, распространяющихся в поглощающей среде:
rot E  j E ; rot E  j H .
(3.20)
·····························································
В уравнениях (3.20) диэлектрическая и магнитная проницаемости величины комплексные, следовательно, волновое число также комплексная величина:
k     k   jk .
(3.21)
·····························································
Так как имеет место квадратный корень, k  и k  могут иметь различные
знаки. В дальнейшем покажем, что выбранные нами знаки соответствуют
принципу физической реализуемости. Запишем:


E  E0e j (t kz )  E0e jt e jk z e k z ,
(3.22)
76
где k   2 /  – постоянная распространения (фазовая постоянная); k  – постоянная затухания.
Плюс перед k  соответствует волне, распространяющейся от источника,
минус перед k  отражает затухание волны при увеличении расстояния от источника. Покажем выражение (3.20) графически. Перейдем к реальным частям
комплексных величин. Напряженность электрического поля запишется в следующем виде:
E  Re E  E0e k z cos  t  k z  .

(3.23)
Рис. 3.5 – К вопросу затухания электромагнитных волн
в поглощающих средах
На рисунке 3.5 кривая 1 соответствует сомножителю cos( t  k z ) ; кривая 2 – сомножителю, характеризующему затухание; кривая 3 – результирующая. Затухание на расстоянии, равном длине волны, легко определить. Разделим модуль напряженности поля в точке А на его значение в точке В.
Расстояние между этими точками равно  .
EА
ЕВ


e jt e jk z e k z

e
jt  jk ( z  )  k ( z  )
e

 ek  .
(3.24)
e
Если рассматривать не мгновенное значение напряженности поля, а его
среднее значение, то вместо длины волны можно задавать любую длину l. Затухание L в неперах определяется по формуле
LНп  ln( ЕсрА / ЕсрВ )  k l .
77
Чаще затухание дается в децибелах:
LдБ  20lg
ЕсрА
ЕсрВ
 20k l ;
LдБ  8,69 LНп .
3.4.2 Волновое число в поглощающих средах
Выразим k  и k  через макроскопические параметры, описывающие
электромагнитные свойства среды. Как уже говорилось, в поглощающих средах
это комплексные величины. Будем рассматривать немагнитные среды, т. е.
  0 и   0 . В этом случае
k   0    j  ; k   0(1  j tg ) ,
(3.25)
где    ,  /   tg  .
Возведем равенство (3.25) в квадрат и приравняем действительные части
получившегося комплексного уравнения. Приравняем также квадраты модулей
комплексных чисел. Получим два уравнения:
 k 2   k 2  20;
 k 2   k 2  20
1  tg  .
(3.26)
(3.27)
Отсюда
k  
k   
 1  tg   1 ;
2
 
 1  tg   1 .
2
0 
2
(3.28)
0
2
(3.29)
Эти выражения описывают электромагнитные волны в любой среде.
3.4.3 Электромагнитные волны в диэлектрике
·····························································
Рассмотрим типичный диэлектрик, для которого
tg   1.
(3.30)
·····························································
78
Учитывая, что при условии (3.30) можно воспользоваться разложением
tg 2 
в ряд Тейлора 1  tg   1 
 ..., получим из (3.28):
2
2
k  
0 
2
 tg 2  
tg 2 
2
  0 1 
.
2
8


(3.31)
Для идеального диэлектрика k   0  . Сравнивая с выражением (3.31),
видим, что постоянная распространения электромагнитных волн в реальном
диэлектрике при выполнении условия (3.30) практически не отличается от постоянной распространения в идеальном диэлектрике. То есть можно считать,
что k   0  или k   k 
2
.

Из соотношения (3.29) определим k  :
k  
 0 
2
tg  
························
 0    0

.
2  2 
(3.32)
Выводы · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Из анализа формулы (3.32) следует, что затухание электромагнитной волны в хорошем диэлектрике невелико, т. к. проводимость в такой среде очень
мала.
·······································································
3.4.4 Электромагнитные волны в проводящих средах
В случае проводящих сред tg   1.
Из выражений (3.28), (3.29) получаем:
k   k   
0  tg 
2

0  

2 
0 
2
.
(3.33)
Анализируя соотношение (3.33), можно сделать следующие выводы:

затухание электромагнитных волн в проводящей среде зависит от частоты, а т. к. проводимость велика, то велико и затухание;
79

проводящая среда является дисперсионной, т. к. в ней фазовая скорость зависит от частоты:
ф 

 2 / 0 .
k
Как видно, реальные проводники и диэлектрики резко различаются по
характеру распространения электромагнитных волн.
3.4.5 Поверхностный эффект
Согласно формуле (3.33), пространственное распределение поля волны,
распространяющейся в проводнике, оказывается резко апериодическим. Рассмотрим проникновение электромагнитного поля вглубь проводника. Затухание
определяется после подстановки (3.33) в (3.24):
ЕА
ЕВ

l
0
 ek l  e
2
.
(3.34)
Определим расстояние  , на котором поле затухает в е раз:
0
Е0 / E1  e  e
0
k 
.
(3.35)
1
 2 / (0) .
k 
(3.36)
Отсюда
0 k   1   0 
Рис. 3.6 – К определению толщины скин-слоя
80
·····························································
Величина  называется глубиной проникновения электро0
магнитного поля в проводник или толщиной скин-слоя. Эффект
проникновения поля на очень небольшую глубину в проводнике называется скин-эффектом или поверхностным эффектом (рис. 3.6).
·····························································
Чтобы оценить глубину проникновения поля, определим толщину скинслоя меди на частоте f  1 ГГц. Проводимость меди   6  107 См/м:
0 
2
2  109  4  107  6  107

1
1
6

2

10
м.
2 6  109
Из приведенного примера видно, что глубина проникновения электромагнитного поля на высоких частотах очень мала и это важно с практической
точки зрения.
··························································
Контрольные вопросы по главе 3
··························································
1. По какому признаку электромагнитные волны делят на плоские
и сферические?
2. Дайте определение фронта волны.
3. Объясните, почему выражение Em  E0e jkz соответствует волне,
распространяющейся вдоль оси z.
4. Запишите выражение для комплексной амплитуды напряженности
электрического поля сферической волны в идеальном диэлектрике.
5. Дайте определение волнового сопротивления среды. Можно ли
утверждать, что это сопротивление среды распространению волны?
6. За какое время электрический вектор в волне с эллиптической поляризацией делает полный оборот?
81
7. Во сколько раз уменьшится амплитуда электрического вектора в среде
с k   3 дБ/м на расстоянии 2 м.
8. Получите формулу для волнового сопротивления в проводниках. Какой физический смысл имеют его вещественная и мнимая части?
9. Сравните фазовые скорости, длины волн и коэффициенты затухания
для
волн,
распространяющихся
в
вакууме
и
меди
1
Гн 

6
,   0  4  107
   6  10
 на частоте 1 МГц.
Ом

м
м


Ответ: в вакууме vф  3  10
8
в меди vф  408
м
,   300 м, k   0;
с
м
1
,   4,08  104 м, k   1,54  104 .
с
м
10. В чем заключается скин-эффект и что является его причиной в проводниках?
11. Как определяется глубина проникновения электромагнитного поля на
высоких частотах?
12. Дайте определение поверхностному эффекту?
13. От чего зависит затухание электромагнитных волн в проводящей среде?
14. Чему равен tg  в случае проводящих сред?
15. Как Вы понимаете определение волновых уравнений и их решение?
16. Каков волновой характер электромагнитного поля?
17. Чем характеризуются плоские волны?
18. Запишите общее выражение для поля плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении.
19. Определите характеристическое сопротивление среды.
20. Какова взаимная ориентация векторов поля и волнового вектора?
21. Какое определение имеет линейная поляризация электромагнитных
волн?
82
22. Какие определения имеют круговая и эллиптическая поляризации
электромагнитных волн?
23. Какой характер имеют плоские электромагнитные волны в изотропных поглощающих средах?
24. Дайте определение затуханию электромагнитных волн.
25. Что представляет собой волновое число в поглощающих средах?
26. Чем характеризуются плоские волны в диэлектрике?
27. Чем характеризуются плоские волны в проводнике?
28. Дайте определение поверхностному эффекту.
83
4 Отражение и преломление
плоских электромагнитных волн
4.1 Общие положения
·····························································
Наш интерес вновь обращен к плоским электромагнитным
волнам. Их, во-первых, можно рассматривать как предельный случай сферических волн, возбуждаемых источниками в неограниченной среде, во-вторых, волны с более сложной конфигурацией
фронта можно представить в виде суперпозиции плоских волн.
·····························································
Именно эти простейшие волны представляют наиболее удобный объект
исследования волнового характера электромагнитного поля. Однако в большинстве практических задач нельзя говорить об однородном бесконечном пространстве. Обычно существенное влияние на распространение волн оказывают
границы, разделяющие разнородные области. Электромагнитная волна, падая
на плоскую границу раздела сред, частично проходит через нее и, продолжая
распространяться в измененном направлении, преломляется, частично же отражается от границы, которая при этом служит как бы источником обратной волны (рис. 4.1, а).
·····························································
Падение электромагнитной волны на тело ограниченных размеров представляет собой принципиально аналогичное, однако значительно более сложное явление, называемое дифракцией. Ни отраженная, ни преломленная волна здесь уже не может быть плоской
(рис. 4.1, б).
·····························································
Практически важен класс задач, в которых одной их сред является идеальный проводник. Такие идеализированные задачи воспроизводят основные
84
черты явлений, происходящих при наличии реальных хороших проводников –
металлов. Как известно, электромагнитное поле внутри идеального проводника
существовать не может; оно вовсе не проникает в идеальный проводник, поэтому на его границе отсутствует преломление, волна лишь отражается.
Рис. 4.1 – Падение электромагнитной волны: а – на плоскую границу
раздела сред; б – на тело ограниченных размеров
Электромагнитное поле, проникая в реальный проводник, весьма быстро
затухает. В глубине его поле и ток практически отсутствуют. Потери энергии
при отражении от реальных проводников весьма невелики, но в ряде случаев
представляют собой единственный вид потерь в системе и поэтому нуждаются
в учете. Для этой цели применяется метод граничных условий Леонтовича.
4.2 Нормальное падение плоской волны
Пусть плоскость xoy разделяет среды, диэлектрическая и магнитная проницаемости которых соответственно равны:
1 и 1 при z  0 и
2 и 2 при z  0.
(4.1)
Плоская однородная электромагнитная волна, распространяясь в левом
полупространстве, имеющем волновое сопротивление Z1 , падает на границу
раздела (рис. 4.2). Комплексные амплитуды векторов H и E падающей волны
запишем в виде
H m0  y0 Ae jk1z ,
Em0  x0 AZ1e jk1z .
(4.2)
85
Рис. 4.2 – Падение плоской электромагнитной волны
на границу раздела двух сред
Чтобы удовлетворить граничным условиям при z = 0, необходимо предположить существование отраженной волны, распространяющейся в первой
среде в обратном направлении:
H m   y0 Be jk1z , 

Em
 x0 BZ1 e
jk1z
 z  0,
,

(4.3)
и волны, прошедшей во вторую среду с волновым сопротивлением Z 2 :
H m  y0Ce jk2 z ,
Em  x0CZ 2 e jk2 z , z  0.
(4.4)
Векторы поля параллельны границе xoy и, значит, имеют только тангенциальные составляющие, поэтому они непрерывны на ней:
H m0  H m  H m ,
Еm0  Еm  Еm .
(4.5)
Отсюда с учетом (4.2)–(4.4) при z  0 получим:
A  B  C,
 A  B  Z1  CZ 2 .
(4.6)
·····························································
Отношения комплексных амплитуд на границе раздела
Em (0)
Em (0) CZ 2
B
 0
 ,  0

Em (0) AZ1
Em (0) A
(4.7)
называются соответственно коэффициентом отражения и коэффициентом прохождения.
·····························································
Внося эти обозначения в (4.6), имеем:
86
1    ( Z1 / Z 2 ), 1    ,
(4.8)
откуда

Z 2  Z1
Z 2  Z1
, 
2Z 2
Z 2  Z1
(4.9)
.
·····························································
Итак, электромагнитное поле в первой среде представляет собой суперпозицию падающей и отраженной волн:


H m(1)  y0 A e  jk1z  e jk1z , 
Em(1)

 x0 AZ1 e
 jk1 z
 e
jk1 z


 z  0,
,

(4.10)
а во второй – прошедшую волну:
H m(2)  y0 A
Em(2)
Z1

e  jk2 z , 
 z  0.

 x0 AZ1e  jk2 z , 
Z2
(4.11)
·····························································
Легко заметить, что амплитуда поля в первой среде периодически изменяется вдоль оси z. Переписав одну из формул (4.10) в виде


Em(1)  x0 AZ1 e jk1z 1  e j 2k1z ,
мы констатируем, что амплитуда Em(1) пропорциональна модулю комплексного
числа 1  e
j 2 k1z
.
Считая k1 величиной вещественной (в среде отсутствуют потери), воспользуемся векторной диаграммой, представленной на рисунке 4.3. По мере
движения волны вдоль оси z условный вектор  вращается около фиксированного единичного вектора. Амплитуда
Em(1)
пропорциональна их сум-
ме (рис. 4.4), периодически меняющейся с ростом координаты z. Соседние минимумы (или соседние максимумы) Em(1) расположены на расстоянии  z,
соответствующем полному обороту  :
87
2k1z  2,
т. е., как видно из этого условия, на расстоянии половины волны:
z   / k1  1 / 2.
(4.12)
Рис. 4.3 – Векторная диаграмма для описания периодически
изменяющегося поля вдоль оси z в первой среде
Рис. 4.4 – Распределение амплитуды поля Em(1) вдоль оси z в первой среде
Когда волновые сопротивления обеих сред близки, коэффициент отражения (4.9) невелик и «волнистость» поля в первой среде незначительна. При резком различии волновых сопротивлений коэффициент отражения близок к единице, и амплитуда поля периодически спадает почти до нуля. Рассмотрим два
предельных случая.
1. Согласование сред. Если Z1  Z 2 , что возможно лишь при соотношении проницаемостей
2 / 1  2 / 1 ,
(4.13)
то согласно (4.9)  = 0, т. е. отражение отсутствует, а амплитуда поля
в обеих средах (если не говорить о поглощении) не изменяется.
88
2. Полное отражение. Если волна падает на границу с идеально проводящей средой ( 2   ), то
Z2 
2
2  j2 

j 2
2
 0.
(4.14)
То есть в соответствии с (4.9)   0 и   1. Поле не проникает во вторую среду, в первой же оно (см. (4.10)) имеет вид:
H m(1)  y0 2 A cos k1z,
Em(1)  x0 j 2 AZ1 sin k1z.
(4.15)
·····························································
В отсутствие поглощения (вещественная величина k1 ) электрическое и магнитное поля во всем пространстве остаются неизменными по фазе и имеют фазовый сдвиг  2 . Таким образом,
среднее значение вектора Пойнтинга в любой точке поля равно нулю и передачи энергии нет. Магнитное поле при этом распределено
косинусоидально, а электрическое – синусоидально от границы
(рис. 4.5). Это обстоятельство отмечается как «пространственный
сдвиг» полей на четверть волны. Электромагнитное поле этого вида
называется стоячей волной.
·····························································
Рис. 4.5 – Пространственный сдвиг электрического и магнитного полей
на четверть длины волны при полном отражении от границы
с идеально проводящей средой
·····························································
Вычисление коэффициента отражения от металлической поверхности убеждает в том, что различие между реальными метал-
89
лами и идеальным проводником вполне пренебрежимо, пока не ставится задача учесть потери в металле. Эти потери, возникающие
в результате проникновения волны в металл, очень малы и практически заметны главным образом в системах с многократным отражением волн – волноводах и полых резонаторах.
На практике возможны также случаи, когда поле, весьма
близкое к стоячей волне, возникает при отражении от среды с резко
отличающимся волновым сопротивлением. В этом нетрудно удостовериться, заметив, что при Z1  Z 2
и Z1  Z 2 согласно
(4.9) коэффициент отражения по модулю   1 .
·····························································
4.3 Волна, распространяющаяся в произвольном направлении
Комплексная амплитуда электрического поля волны, распространяющейся в произвольном направлении z  , записывается в виде

Em  Em e jkz .
(4.16)
Необходимо записать уравнение (4.16) в декартовой (нештрихованной)
системе координат (рис. 4.6).
Рис. 4.6 – Распространение электромагнитной волны
в произвольном направлении z 
90
Пусть n0 – нормаль к волновому фронту, совпадающая с направлением
распространения z  . Ее можно расписать через направляющие косинусы:
  
  
  
n0  x0 cos  n0 , x0   y0 cos  n0 , y0   z0 cos  n0 , z0  .






m
(4.17)
n
Найдем скалярное произведение n0 на направление, задаваемое вектором
r . Это даст нам проекцию r на направление z:
 n0 , r   x
 ym  zn .
(4.18)
Введем волновой вектор k :
kn0  k .
(4.19)
С учетом этого запишем комплексную амплитуду напряженности электрического поля волны, распространяющейся в произвольном направлении:
Em  Eme
 jk  x  ym  zn 
.
(4.20)
·····························································
Изучая наклонное падение волны на плоскую границу, мы рассмотрим два качественно различных случая. В первом из них электрический вектор падающей волны параллелен граничной плоскости (рис. 4.7, а) и, следовательно, перпендикулярен плоскости
падения p. Волна, как мы будем условно считать, поляризована при
этом горизонтально.
·····························································
Во втором случае (рис. 4.7, б) волна поляризована в плоскости падения,
т. е. по определению вертикально. Любую линейно поляризованную волну
можно разложить на компоненты горизонтальной и вертикальной поляризации
с тем, чтобы рассматривать их в отдельности. В качестве границы сред возьмем
плоскость xoy (рис. 4.8), так что
k  k1 при z  0, k  k1 при z  0,
k  k2 при z > 0, k  k2 при z > 0.
91
Рис. 4.7 – Наклонное падение плоской волны на границу раздела сред:
а – горизонтальная поляризация волны; б – вертикальная поляризация волны
Рис. 4.8 – Выбор осей координат при наклонном падении волны
Волна, распространяясь в первой среде в плоскости yoz, падает на границу под углом  к нормали, совпадающей с отрицательной осью z.
При этом k1z  k1 ( y sin   z cos ).
4.4 Формулы Френеля для горизонтально поляризованных волн
·····························································
Определим коэффициенты прохождения и отражения горизонтально поляризованных волн при наклонном падении. Падающая,
отраженная и преломленная волны, а также соответствующие
92
им углы показаны на рисунке 4.9, где ось x направлена от нас, граница раздела сред лежит в плоскости хoу.
·····························································
Комплексные
амплитуды
падающих
волн,
распространяющихся
в направлении z  в штрихованной системе координат, записываются в виде


H m0  y0 Ae jk z , Em0  x0 Z1 Аe jkz ,
(4.21)
где Z1 – волновое сопротивление первой среды.
Рис. 4.9 – Выбор направлений векторов E и H падающей,
отраженной и преломленной волн при наклонном падении
горизонтально поляризованной волны
Переходя к основным координатам (x, y, z) и учитывая, что x совпадает с
x, запишем поле падающей волны при значениях направляющих косинусов
l  cos  2  0, m  cos( 2  )  sin , n  cos  :
H m0  А  y0 cos   z0 sin   e
Em0
 АZ1 x0 e
 jk1  y sin  z cos  
 jk1  y sin  z cos  
;

.



(4.22)
.
(4.23)
Напряженность магнитного поля отраженной волны:
H m  B  y0 cos   z0 sin  e
 jk1  y sin  z cos  
Произведем в (4.23) замену углов в соответствии с рисунком 4.9:
93
     ;
cos   cos        cos  ;
sin   sin       sin  .
В результате получим:
H m  B  y0 cos   z0 sin   e
Em
 BZ1 x0 e
 jk1  y sin  z cos  
 jk1  y sin  z cos  
;




.
(4.24)
Аналогично действуя для преломленных волн, получим:
H m  C  y0 cos   z0 sin   e
Em
 CZ 2 e
 jk2  y sin  z cos  
 jk2  y sin  z cos  
;




.
(4.25)
·····························································
Ввиду того что граничные условия нужно выполнять вдоль
всей оси y, все три волны – падающая, отраженная и преломленная – должны иметь одинаковую зависимость от координаты у .
Следовательно, коэффициенты при y должны быть равны:
k1 sin   k1 sin      ;
k1 sin   k2 sin   sin  
k2
k1
sin  .
(4.26)
Отсюда вытекают известные законы Снеллиуса:
1) угол отражения равен углу падения –
  ;
(4.27)
2) углы падения и преломления связаны зависимостью
sin   n12 sin ,
(4.28)
где n12 
k2

 2 2

n1
.
11
·····························································
Для определения коэффициентов отражения и прохождения проведем так
k1
n2
называемое сшивание решений для полей в первой среде и во второй среде
на границе раздела. Поле в первой среде представляет сумму полей падающей
94
(4.22) и отраженной (4.24) волн. Поле во второй среде – это поле преломленной
волны (4.25). На границе раздела двух диэлектриков тангенциальные составляющие векторов E и H непрерывны, т. е.
E1  E2
и
H1  H 2 ;
при z  0
(4.29)
С учетом выражений (4.27), (4.28) формулы (4.22), (4.24) и (4.25) можно
переписать. Для падающей волны:
H т0  A  y0 cos   z0 sin   e
Eт  AZ1 x0 e
0
 jk1  y sin  z cos  
 jk1  y sin  z cos  
;




.
(4.30)
Для отраженной волны:
H т  B   y0 cos   z0 sin   e
 jk1  y sin  z cos  
 jk y sin  z cos  
Eт  BZ1 x0 e 1 
.
;




(4.31)
Для преломленной волны:
H m  C  y0 cos   z0 sin   e
Eт
 CZ 2 x0 e
 jk2  y sin  z cos  
 jk2  y sin  z cos  
.
;




(4.32)
Поле в первой среде:
Ет(1)  Ет0  Ет ;
Н т(1)  Н т0  Н т .
(4.33)
Н т(2)  Н т .
(4.34)
Поле во второй среде:
Ет(2)  Ет ;
Тангенциальные составляющие векторов можно выразить через их проекции:
(1)
0

Е(1)  Е х0  Е х ; Н   Н у  Е у ;
Е(2)  Е х ;
Н (2)  Н у .
При z = 0 получим:
A  B  C (cos  / cos );
(4.35)
A  B  C (Z 2 / Z1 ).
(4.36)
95
·····························································
Определим коэффициенты отражения г и прохождения
г как отношения амплитуд отраженной и прошедшей волн к амплитуде падающей волны на границе раздела сред:
Ет ( z  0)
B
г  0

;
Em ( z  0) A
г 
Ет ( z  0)
Em0 ( z  0)

C
.
A
(4.37)
·····························································
Подставив (4.37) в (4.35), (4.36), получим систему:
1  г   г
Z1 cos 
; 1  г   г .
Z 2 cos 
(4.38)
·····························································
Отсюда следуют формулы Френеля для горизонтально поляризованной волны:
г 
Z 2 cos   Z1 cos 
Z 2 cos   Z cos 1
;
г 
2Z 2 cos 
Z 2 cos   Z1 cos 
.
(4.39)
·····························································
4.5 Формулы Френеля для вертикально поляризованных волн
Вывод требуемых формул аналогичен предыдущему (рис. 4.10), поэтому
без подробного обсуждения приведем значения комплексных амплитуд. Для
падающей волны:
 jk1  y sin  z cos  



 jk1  y sin  z cos  
0
Em  AZ1  y0 cos   z0 sin   e
.

H m0  Ax0 e
;
(4.40)
Для отраженной волны:
 jk1  y sin  z cos  



 jk1  y sin  z cos  

Eт  BZ1  y0 cos   z0 sin   e
.

H т  Bx0 e
Для преломленной волны:
;
(4.41)
96
 jk2  y sin  z cos  



 jk2  y sin  z cos  

Em  CZ 2   y0 cos   z0 sin   e
.

H m  Cx0 e
;
(4.42)
Рис. 4.10 – Выбор направлений векторов E и H падающей,
отраженной и преломленной волн при наклонном падении
вертикально поляризованной волны
Воспользуемся граничными условиями (4.29) и получим систему уравнений:
A B  C
Z 2 cos 
;
Z1 cos 
A B C
(4.43)
Введем коэффициенты отражения в и прохождения в :
Н m  z  0 
B
Н т ( z  0) C
в  0
 ; в  0
 .
Н m  z  0 A
Н m ( z  0) A
·····························································
Подставив их в (4.43), получим формулы Френеля для вертикально поляризованной волны:
в 
Z cos   Z1 cos 
2Z1 cos 
; в   2
.
Z1 cos   Z 2 cos 
Z1 cos   Z 2 cos 
(4.44)
·····························································
97
4.6 Полное отражение от границы двух диэлектриков
Предположим, что электромагнитная волна падает из более плотной в оптическом отношении диэлектрической среды на границу с менее плотной, т. е.
имеет место неравенство n1  n2 .
Из второго закона Снеллиуса sin   (n1 / n2 )sin  следует, что   . Если угол  увеличивать, то при некотором угле, называемом критическим, –
кр  угол преломления  окажется равным  2 , то есть волна начинает распространяться вдоль границы раздела. Это явление полного внутреннего отражения:
кр  arcsin (n2 / n1 ) .
(4.45)
Исследуем волновую природу этого явления. При   кр величина cos
мнимая, т. к.
cos   1  sin 2   1   n1 n2  sin 2 
2
и при   кр величина
n1
n2
sin   1 .
Из формул Френеля для коэффициентов отражения следует:
г 
в 
Z 2 cos   jZ1 cos 
Z 2 cos   jZ1 cos 
 Z1 cos   jZ 2 cos 
Z1 cos   jZ 2 cos 
 1;
(4.46)
 1.
Привлекая формулы (4.30), (4.31) и соответственно (4.40) и (4.41), легко
заметить, что все компоненты поля первой среды, представляющего собой суперпозицию падающих и отраженных волн, зависят от координат по закону:
f  y, z   e jk1 y sin  jk1z cos   e jk1 y sin  jk1z cos  j ,
4.47)
где  – фаза коэффициента отражения. Преобразуя эту функцию, получим:
98

 
cos
k
z
cos




1
 

 j  k1 y sin  
2

2
f ( y ; z )  2e 
.



Фазовый


j
sin
k
z
cos


множитель


1

2


(4.48)
Амплитудный
множитель
Этот результат означает, что поле имеет характер волны, распространяющейся вдоль оси y с постоянной распространения
  k1 sin 
(4.49)
и распределением амплитуд по нормали к границе (ось z) типа стоячей волны
с волновым числом
1  k1 cos .
(4.50)
Как следует из (4.48), в этом случае y  const – плоскость равных фаз,
z  const – плоскость равных амплитуд. Плоскость равных фаз и плоскость
равных амплитуд оказались перпендикулярны друг другу.
Рассмотрим поле во второй среде: E2 , H 2 ~ e
 jk2  y sin  z cos  
,
где k2 sin   k1 sin    ; k2 sin   k22  k12 sin 2    j z – мнимая величина.
Отсюда
E2 , H 2
e j  y e z .
(4.51)
Поле во второй среде распространяется вдоль оси y и затухает экспоненциально в направлении нормали к границе. Таким образом, поле в средах определяется формулами:
в первой среде  E , H 
(1)


~ A0 sin   z 



 cos   t  y   ;
2
2

Амплитудный
множитель
во второй среде  E , H 
(2)
~
Фазовый множитель
B0 e  z
cos   t  y  .
Амплитудный
множитель
Фазовый
множитель
99
В обеих средах волна распространяется вдоль оси у, т. е. вдоль границы
раздела, амплитуда меняется вдоль оси z, как показано на рисунке 4.11.
Рис. 4.11 – К вопросу образования неоднородной волны
при полном внутреннем отражении
Заметим также, что фазовая скорость электромагнитных волн во второй
среде ф2 больше, чем скорость электромагнитной волны в такой же, но безграничной среде, т. к. ф2    .
·····························································
Возникающие при явлении полного внутреннего отражения
волны называются неоднородными. Их основные особенности заключаются в следующем:
1) волна распространяется вдоль границы раздела сред
(направляется границей раздела);
2) плоскости равных фаз и равных амплитуд взаимно перпендикулярны;
3) имеются продольные составляющие у векторов электрического поля для вертикальной и магнитного поля для горизонтальной поляризации;
4) во второй среде возникает волна, направляемая границей
раздела и затухающая по направлению нормали к границе.
Эта волна называется поверхностной. Физически ее появление определяется возникновением переходного процесса при отражении;
100
5) во второй среде возникает быстрая волна с фазовой скоростью c  ф  c
r 2 , где  r 2 – относительная диэлек-
трическая проницаемость второй среды.
Явление полного внутреннего отражения применяется в диэлектрических волноводах, волоконной оптике.
·····························································
4.7 Наклонное падение на границу поглощающей среды
Рассмотрим поле во второй (проводящей) среде:
E2 , H 2  e jk2 ( y sin  z cos ) .
(4.52)
Волновое число в этой среде комплексная величина:
k2  k   jk  .
С учетом этого показатель экспоненты в соотношении (4.52) можно записать в виде



2
2
2
k2 cos   k2  k1 sin    z  j .

k2 sin   k1 sin    y ;
Отсюда E2 , H 2  e
 j ( y у  z z )  z
e
(4.53)
.
·····························································
Из второго закона Снеллиуса следует, что в поглощающей
среде угол преломления комплексная величина. Он не дает представления о действительном угле преломления. Определим угол,
под которым волна распространяется в поглощающей среде, обозначив его  (рис. 4.12):
tg  
y
z
k1 sin 

Re
k22
 k12 sin 2

.
(4.54)
·····························································
101
Рис. 4.12 – К вопросу определения угла, под которым
волна распространяется в поглощающей среде
Пусть среда, на границу с которой падает электромагнитная волна, проводник. В этом случае
k2  k1 ,
(4.55)
следовательно,
k1 sin 
tg  
Re
k22
 k12 sin 2

 0.
Тогда из условия (4.55) следует, что   0. Рассмотрим два типичных
случая:
а) исчезающе малые потери ( k2  k1 ). При этом
 z  jk2 со s   jk2 cos ,  y  jk2 sin 
и согласно (4.53) и (4.55)
  ;
(4.56)
б) оптическая плотность поглощающей среды очень велика:
 k2  k1  .
Пренебрегая в (4.55) числителем в сравнении со знаменателем, имеем
проводник, для которого
2
k2  ,
Большое практическое значение имеет случай, когда вторая среда –
tg   0    0 
(4.57)
102
проводник, для которого k2
2
 , и исходное требование (б) всегда выпол-
няется ввиду большой удельной проводимости  .
Результат (4.57) показывает, что при любых углах падения  на границу
весьма плотной поглощающей среды преломленная волна распространяется
практически в направлении нормали к границе. Плоскости равных амплитуд
и фаз при этом совпадают.
4.8 Приближенные граничные условия Леонтовича
Полученный в предыдущем подразделе результат (4.57) приводит к мысли, что не только плоская волна, но и произвольное электромагнитное поле
у границы достаточно плотной среды
k2  k1
(4.58)
возбуждает волны, уходящие в нее по нормали к поверхности раздела, так что
можно пользоваться формулой
E  Z 2  H , n0  ,


(4.59)
где n0 – внутренняя нормаль к поверхности плотной среды; Z 2 – ее волновое
сопротивление.
Наиболее важен случай, когда рассматриваемая плотная среда – проводник, тогда можно положить
   j 
(4.60)
и, таким образом,
Z2 
j


 (1  j )
.

2
(4.61)
В силу непрерывности векторов поля соотношение (4.59) справедливо
и на граничной поверхности (рис. 4.13): векторы Е и Н уходящей в проводник
волны равны тангенциальным компонентам соответствующих напряженностей
поля в примыкающей к нему среде. Итак, на границе проводника существует
следующее соотношение:
103
E  Z 2  H 2 , n0  .


(4.62)
Рис. 4.13 – К выводу приближенных граничных условий Леонтовича
Введя местную систему координат с осью z, направленной по внутренней
нормали (z0 = n0), перепишем равенство (4.62) в скалярной форме:
Ex  Z 2 H y ;
E y  Z 2 H x .
(4.63)
Соотношения (4.62), (4.63) известны под названием приближенных граничных условий Леонтовича.
Они указывают, в частности, на тот факт, что электрическое поле на поверхности проводника (в отличие от идеального проводника, когда    )
имеет тангенциальную компоненту. Эта составляющая очень мала и может
не учитываться до тех пор, пока не ставится задача вычислить потери энергии
в проводнике. Очевидно, что в приближении E  0 не принимается во внимание уходящий в проводник поток энергии.
Применение граничных условий Леонтовича к различным задачам непосредственно связано со степенью проникновения поля через границу.
4.9 Наклонное падение на границу с диэлектриком.
Угол Брюстера
Выясним вначале условия, при которых волна горизонтальной поляризации без отражений проходит из одной среды в другую. Мы должны приравнять
нулю коэффициент отражения:
104
г 
Z 2 cos   Z1 cos 
Z 2 cos   Z1 cos 
 0.
Выражая  Z1 / Z 2  через sin и cos:
2
2
2
2
2
 Z 2   cos  
 Z2   Z2 
2
 Z    cos   ;  Z    Z  sin ,

 1 
 1  1
получим:
2
Z 
 
2 2
1  2 
1 2 1

Z



1
 1 
1 2
1
sin 2  

.
2






2 1
2
 Z2 
 11
 1
2

n
1,2
Z 
1 2  2  2
1  2
 1
(4.64)
Положим в (4.64) 2  1  0 , т. е. диэлектрики – немагнитные среды.
В этом случае угла, при котором отражение отсутствует, для горизонтально поляризованной волны не существует.
Проведем аналогичные действия в отношении волны, имеющей вертикальную поляризацию:
в 
Z1 cos   Z 2 cos 
Z1 cos   Z 2 cos 
Z 
1  1 
 Z2 
0
Z1
Z2

cos 
;
cos 
2
1 2
2 2




1
2 1
1
sin 2  


.
2






1 2
2
 Z1 
11
 11
 1

Z   
 2 1  2  2
1  2
 2
2 2
1
(4.65)
Как и ранее, предположим:
2  1  0 .
(4.66)
Из (4.65) с учетом (4.66) получим:
2
1
1


1
1
2
sin 2  


.
2
 2 1

1
 1 

1
1

 
1  2
2
 2
1
(4.67)
105
Сравним (4.67) с известной тригонометрической формулой
sin 2   1 / (ctg 2  1)
(4.68)
и обнаружим, что отражение отсутствует, если волна падает под так называемым углом Брюстера:
Б  arctg 2 / 1 .
(4.69)
·····························································
Если вертикально поляризованная волна направлена к границе раздела двух диэлектрических сред под углом Брюстера, то она без отражения проходит из одной среды в другую.
·····························································
··························································
Контрольные вопросы по главе 4
··························································
1. Дайте определения плоскости поляризации, вертикально и горизонтально поляризованных волн. Верно ли, что при вертикальной поляризации вектор E перпендикулярен границе раздела?
2. Дайте определение волнового вектора электромагнитной волны. Для
чего он вводится?
3. Как записать фазовый множитель волны в точке с координатами
(x, y, z) через волновой вектор и радиус-вектор, проведенный в эту
точку?
4. Запишите законы Снеллиуса. Для границ каких сред они справедливы?
5. Дайте определение коэффициентов отражения и прохождения для
волн с горизонтальной и вертикальной поляризацией. С чем связано
существующее отличие в их определении?
6. При нормальном падении волны на границу плоскость падения и поляризация волны становятся неопределенными. Почему в этом случае
106
коэффициенты прохождения, вычисленные по формулам для вертикальной и горизонтальной поляризаций, дают различные результаты?
7. В каких случаях граница идеальных диэлектриков полностью отражает или не отражает электромагнитную волну?
8. Какие волны называются неоднородными, а какие – поверхностными?
Приведите примеры их появления.
9. Опишите структуру волн в обеих средах при явлении полного внутреннего отражения.
10. Из законов Снеллиуса следует, что угол преломления в поглощающей
среде комплексный. Связано ли это с изменением типа волны при
прохождении границы? Как найти истинный угол преломления?
11. В чем состоит приближенный характер граничных условий Леонтовича? Противоречат ли они строгим граничным условиям электродинамики или дополняют их?
12. Чем объясняется нормальное падение плоской волны на границу раздела двух сред?
13. Запишите формулы Френеля для горизонтально поляризованных волн.
14. Запишите формулы Френеля для вертикально поляризованных волн.
15. Как определяется полное отражение от диэлектрической границы?
Расскажите о плоских неоднородных волнах.
16. Рассмотрите наклонное падение на границу с диэлектриком. Расскажите о горизонтальной поляризации.
17. Рассмотрите наклонное падение на границу с диэлектриком. Расскажите о вертикальной поляризации.
18. Чем характеризуется угол Брюстера?
19. Какие параметры характеризуют наклонное падение на границу поглощающей среды?
107
5 Излучение электромагнитных волн
5.1 Уравнения Максвелла для области, содержащей источники.
Неоднородные волновые уравнения
Понятие излучения уже затрагивалось в этой книге. Так, мы говорили
об электромагнитных полях, возникающих в результате действия сторонних
сил, т. е. в результате преобразования некоторой энергии в электромагнитную.
·····························································
В свою очередь сторонние силы в электродинамике удобно
формализовать при помощи задания сторонних токов. В качестве
стороннего может рассматриваться любой заданный ток. Таков,
например, ток антенны, поддерживаемый действием генератора.
Область существования стороннего тока выступает в качестве источника излучения. Поле излучения находится как решение уравнений Максвелла или вытекающих из них уравнений второго порядка
при заданной плотности стороннего тока.
·····························································
Записать эти уравнения нам сейчас предстоит. Начнем с уравнений Максвелла в комплексной форме:
rot H  jE  jст ;
(5.1)
rot E   jH .
(5.2)
Из закона сохранения заряда следует:
div jст   jст .
(5.3)
Найдем дивергенцию уравнения (5.1):
div rot H  j div E  div jст  jε div E  jст  0 .
(5.4)
Из (5.4) получим:
div E  ст / .
(5.5)
108
Выразив из равенства (5.2) H  
1
rot E , подставим в (5.1):
j
rot rot E  k 2 E  j jст ;
 2 E  k 2 E  grad div E  j jст .
Заменив div E из (5.5), окончательно получаем:
 2 E  k 2 E  grad
ст

 j  jст .
(5.6)
Теперь из равенства (5.1) выразим:
E
1
1
rot H 
jст
j
j
и подставим в (5.2):
rot rot H  k 2 H  rot jст .
Учитывая, что div H  0 , получим
2 H  k 2 H   rot jст .
(5.7)
·····························································
Уравнения (5.6) и (5.7) называются векторными уравнениями
Даламбера. На основании уравнений Даламбера основная задача
электродинамики для области, содержащей источники, сводится
к отысканию векторов E и H по заданному распределению плотностей сторонних токов jст и зарядов ст .
·····························································
5.2 Электродинамические потенциалы
Как и в теории стационарных полей, в электродинамике используются
различные скалярные и векторные функции. Обсудим употребление потенциалов A и  , зададим их в комплексной форме: , A – комплексные электродинамические потенциалы.
Привлекая материальные уравнения, зададим:
109
H  (1 / ) rot A .
(5.8)
Подставив (5.8) в (5.2), получим:


rot E   j rot A; rot E  jA  0.
Далее, на основании тождества rot grad   0 запишем:
E  jA   grad ;


E   grad   jA .
(5.9)
(5.10)
Уравнения (5.8) и (5.10) дают возможность определить комплексные векторы поля, исходя из электродинамических потенциалов. Взяв реальные части
этих комплексных величин, найдем векторы E и H . Выведем уравнения для
электродинамических потенциалов. Подставим выражения для E и H (5.8),
(5.10) в первое уравнение Максвелла (5.1):
1
rot rot A   j grad   2A  jст .

(5.11)
Выполним ставшие уже привычными преобразования:
grad div A  2 A   j grad   k 2 A   jст .

(5.12)

Получим 2 A  k 2 A  grad div A  j   jст .
·····························································
Наложим дополнительное условие:
div A   j.
(5.13)
Данное условие называют калибровкой Лоренца.
·····························································
В результате получим уравнение для векторного электродинамического
потенциала:
2 A  k 2 A   jст .
Установим связь между векторным и скалярным потенциалами.
Из уравнения (5.13) выразим
(5.14)
110

1
div A
j
и подставим в (5.10):
 grad div A
E  


E 
j
k
2
j



 j A  ;
(5.15)
 grad div A  k A .
2
Видим, что H и E определяются через потенциал A посредством выражений (5.8) и (5.15).
Теперь получим уравнение для скалярного потенциала  . Выражаем
из (5.8) A и подставляем в калибровку (5.13). Получаем:
2  k 2  
ст

.
(5.16)
·····························································
Уравнения (5.14) и (5.16) являются соответственно векторным и скалярным уравнениями для электродинамических потенциалов.
·····························································

Когда решается статическая задача, т. е. k  0,   0, то    . Тогда

в некоторой точке М (см. рис. 5.1) существует поле, потенциалы которого определены по известным формулам. Когда мы пренебрегаем временем распространения, т. е. ф   , то 2   jст . Динамические задачи сводятся к стационарным.
Уравнения
Даламбера
превращаются
в
уравнения
Пуассона,
а лоренцева калибровка – в кулоновскую. Это утверждение эквивалентно условию
  , то есть расстояние между объектами или их длина гораздо меньше
длины волны.
111
5.3 Решение уравнений для электродинамических потенциалов
Пусть в объеме V действуют источники, создающие сторонние токи,
плотность которых jст , и сторонние электрические заряды с объемной плотностью ст (рис. 5.1).
Рис. 5.1 – К вычислению скалярного запаздывающего потенциала
Чтобы установить связь поля с источником излучения, надо найти решение уравнений (5.14) и (5.16). Рассмотрим вначале статический случай, т. е.

 0.
t
Тогда в некоторой точке М существует поле, потенциалы которого определены по формулам:

1 ст
dv ;
4 V r
(5.17)
 jст
dv .
4 V r
(5.18)
A
Чтобы учесть конечное время распространения сигнала, будем полагать,
что поле в точке М в момент времени t определяется значением токов и зарядов
в предыдущий момент t  t  , где t  
r
время запаздывания.
ф
Тогда
t  
1 ст  t  t  
dv ;
4 V
r
(5.19)
 jст (t  t )
dv .
4 V
r
(5.20)
А(t ) 
112
Это формулы для так называемых запаздывающих потенциалов.
Запишем формулы для запаздывающих потенциалов, описывающих гармонические процессы. Пусть
ст  стm cos  t ;
jст  jстm cos t.
В момент времени t  t 
ст  ст cos   t   t    ст cos   t  k r  ;
jст  jст cos   t   t    jст cos   t  k r  .
Перейдем к комплексной форме:

ст m
 jk r
1 ст m e

dv ;
4 V
r
(5.21)
 jk r
 jст m e

dv .
4 V
r
(5.22)
Aст m
Это не что иное, как частные решения уравнений (5.14) и (5.16), соответствующие расходящимся от источника электромагнитным волнам.
Так, например, рассмотрим поле, создаваемое одним лишь колеблющимся зарядом:
qст  m V cos t  qст m cos t ,
расположенным в окрестности точки o (рис. 5.2). Согласно (5.21), комплексная
амплитуда потенциала этого поля есть
m V e jkr qст m eikr
m 

,
4
r
4 r
(5.23)
а сам потенциал

qст m
4r
cos(t  kr ).
(5.24)
Поле имеет характер сферической волны, расходящейся из точки o: ее
фронт значением токов и зарядов в предыдущий это сферическая поверхность
(рис. 5.2, а), радиус которой возрастает со скоростью  .
113
Легко проверить, что (5.23) действительно является решением уравнения
(5.16). Запишем уравнение (5.16) в сферических координатах, положив
   0 и    0 . Поскольку поле ищется вне источника, то ст m  0 . Тогда уравнение (5.16) будет иметь вид:
1 d  2 d m 
r
 k 2m  0.


r dr 
dr 
(5.25)
Подставляя (5.23) в (5.25), убеждаемся, что уравнение удовлетворяется:
 jkr
1 d  2 d  e jkr  
2 e
 0.
r

  k
r
r 2 dr  dr  r  
Нетрудно проверить, что решением (5.25) будет также комплексная амплитуда:
qст m e jkr
m 
.
4 r
(5.26)
Однако соотношение (5.26) соответствует волне, сходящейся к источнику
(распространяющейся из бесконечности, рис. 5.2, б). Это решение в данном
случае лишено физического содержания.
Рис. 5.2 – К вопросу определения характера поля,
создаваемого одиночным колеблющимся зарядом
Рассмотренный пример, конечно, еще не позволяет составить представление о поле излучения. Если, как это показано на рисунке 5.1, источники распределены в области V, то для нахождения электромагнитного поля следует учесть
действие всех точек этой области, т. е. произвести интегрирование в соответствии с формулами (5.21), (5.23). При этом, как уже говорилось выше, достаточно вычислить только векторный потенциал, т. к. скалярный исключается с
114
помощью соотношения калибровки. Это означает, что для определения поля
излучения достаточно знать сторонний ток. Однако исследование поля при
произвольном распределении тока является весьма сложной задачей. В дальнейшем мы ограничимся изучением так называемых элементарных источников.
5.4 Элементарный электрический излучатель
Рассмотрим отрезок l , вдоль которого течет ток I ст  I ст m cos t . Может
возникнуть сомнение относительно реальности такого изолированного элемента переменного тока. Для выяснения сущности вопроса привлечем закон сохранения заряда в форме (5.3). Поместив элемент тока на оси z декартовой системы
координат (рис. 5.3, а), мы должны записать уравнение (5.3) в виде
div z0 jст т   jст т или
djст т
dz
  jст т .
(5.27)
Приписывая отрезку l некоторую толщину, т. е. фактически заменяя его
проводящим стержнем поперечного сечения S, имеем:
jст т S  I ст т и ст т S z  qст т ,
(5.28)
где qст т – комплексная амплитуда заряда малого участка стержня z.
Умножив обе части равенства (5.27) на S z , с учетом (5.28) получаем:
I ст т   jqст т ,
(5.29)
т. е. амплитуда заряда каждого участка пропорциональна изменению на нем
амплитуды тока: I ст т 
dI ст т
dz
z.
Но согласно условию амплитуда тока вдоль всего отрезка постоянна.
Лишь на концах происходит ее изменение от нуля до I ст т и от I ст т до нуля
(рис. 5.3, б).
115
Рис. 5.3 – Элементарный электрический излучатель
·····························································
Отсюда в соответствии с (5.29) мы заключаем, что на всем
отрезке, кроме его концов, заряд отсутствует; на концах же сосредоточены равные по абсолютной величине и противоположные
по знаку колеблющиеся заряды с комплексными амплитудами:
qст m  
jI ст m

.
Иначе говоря, мы имеем дело с диполем (рис. 5.3, в), момент
которого гармонически колеблется с частотой  и имеет комплексную амплитуду
pm   j
I ст тl

z0 .
(5.30)
·····························································
Первый искусственный излучатель, осуществленный Герцем, представлял собой именно подобие колеблющегося диполя. Два металлических шара
перезаряжались с высокой частотой во время импульса индукционной катушки.
Описание опытов Герца не входит в нашу задачу. Отметим лишь, что антенны,
сравнимые по свойствам с излучателем Герца, применяются и в настоящее время. Элемент тока обычно рассматривается в качестве элементарного излучателя
и называется диполем Герца.
116
Перейдем к анализу поля излучения диполя Герца. На основании равенства (5.23) комплексная амплитуда векторного потенциала элемента тока выражается интегралом:
I ст т e jkr

e jkr
Am 
jст т
dv  z0
dl.
4 V
r
4S l r
(5.31)
Ограничиваясь расстояниями, значительно превышающими размер элемента,
r  l ,
(5.32)
мы можем поступать с множителем 1 r под знаком интеграла как с простой величиной. Положим также, что элемент мал в сравнении с длиной волны:
l   ,
(5.33)
kr  2r 
(5.34)
так что величину
можно считать одинаковой для всех точек излучателя. С учетом сказанного перепишем выражение (5.31) в виде
I ст т e jkr
lI ст т  jkr
Am  z0
V  z0
e
,
4S r
4r
(5.35)
где V  Sl – объем, занимаемый током.
Определим z0 в сферической системе координат (рис. 5.4):
z0   r0cos  0sin  .
(5.36)
Рис. 5.4 – Определение сферических проекций векторного потенциала
117
Отсюда
A  I ст т
Начнем
с
l
 r0 cos   0 sin   e jk r .
4r
отыскания
напряженности
магнитного
(5.37)
поля
(5.8):
1
rot Am . Запись ротора вектора напряженности магнитного поля в сфе
Hm 
рических координатах имеет вид
I ст т l
Hm 
4
r0
0
r 2 sin 

r
r sin 


cos   jk r
e
r
r
0
r

.

sin   jk r
e
r
(5.38)
0
Как видно, вектор напряженности магнитного поля содержит только азимутальную составляющую:
Hm 
I ст т l   0 
sin   jk r  
 jk r
jk
sin


e

e

 
4  r 
r

 0
I ст т l  1

 jkr
.
  jk  sin   e
4 r  r

(5.39)
Величину E теперь проще всего определить из первого уравнения Максвелла:
rot H т  jEт  Eт 
Em   j
I ст m l 
1
rot H т ;
j
2 1
1 1
k
  jk r

2

jk
cos




j

k
sin

.




0
 e
4  r 2  r
r  r2
2


(5.40)
 r0
Переходя в формулах (5.39), (5.40) от комплексов к векторам, записываем:
118
H 
I ст т l  1

k  cos  t  kr   sin  t  kr   sin  ;
4 r  kr

Er 
1

sin

t

kr

cos

t

kr




 cos  ;
2 r 2   kr
E 
I ст т l
I ст т l
4 r 
k
(5.41)
1
 1



1
sin

t

kr

cos  t  kr   sin ;



2 2
kr

 k r

k 2 
H r  H   E  0.
························
Выводы · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Итак, поле элементарного электрического излучателя имеет характер
сферической волны довольно сложного строения. Впрочем, слагаемые выражений (5.41), заключенные в квадратные скобки, не равноценны для полей на разных расстояниях от диполя. Это обстоятельство упрощает дальнейшее исследование.
·······································································
5.5 Исследование поля электрического диполя
5.5.1 Поле в ближней зоне
Рассмотрим вначале поле в так называемой ближней зоне излучателя –
на расстояниях, значительно меньших длины волны:
r   .
(5.42)
Неравенство (5.42) можно переписать в виде
kr  1.
(5.43)
Отбросив малые члены в квадратных скобках (5.41), а также пренебрегая
фазовым сдвигом kr , получаем:
119
I ст m l
H 
4 r 2

sin  cos t ; 


I ст m l
Er 
cos  sin t ; 
4r 2


I ст m l
E 
sin  cos t . 
3

4r
(5.44)
·····························································
Поле в ближней зоне по своей конфигурации совпадает
со стационарными электрическими и магнитными полями, причем
векторы E и H сдвинуты по фазе на  / 2 , поле носит чисто реактивный характер, передача энергии в ближней зоне не происходит.
Электромагнитное поле в ближней зоне квазистационарно (изменяется во времени, но переноса энергии нет).
·····························································
Все это объясняется тем, что поле в ближней зоне связано с источником.
Происходит колебательное движение энергии вблизи источника. Становится
ясным, что в ближней зоне излучение незначительно в сравнении с квазистационарным полем. Этого и следовало ожидать ввиду условия (5.42).
5.5.2 Поле в дальней зоне
В данном случае будем ориентироваться на неравенства:
r   ,
(5.45)
kr  1.
(5.46)
2
Теперь в соотношениях (5.41) можно пренебречь членами порядка 1 / k r
2
и 1 / kr :
H  
I ст т l
E  
I ст т l
4 r
k sin   t  kr   sin ;
4 r 
Er  0 ;
(5.47)
k 2 sin   t  kr   sin .
120
·····························································
Поле излучения в дальней зоне представляет собой сферическую волну, причем векторы E и H , как и в плоской волне, лежат
перпендикулярно к направлению распространения, взаимно перпендикулярны и находятся в одной фазе. Вектор Пойнтинга
направлен радиально. Средняя плотность потока энергии, переносимой волной:
П  ReП  r0
Em H m
2
 r0
2
2
I ст
т (kl ) Z 0
32 r
2 2
sin 2 .
(5.48)
·····························································
Излучение максимально в экваториальной плоскости (   90о ) и отсутствует в направлении оси излучателя (   0 ).
Полное представление о характере излучения дает так называемая диаграмма направленности, которую строят, откладывая в произвольной меридиональной плоскости ряд отрезков, пропорциональных амплитуде электрического
или магнитного поля в данном направлении (например,  ) для фиксированного
расстояния
r . Концы этих отрезков лежат на двух соприкасающихся окружно-
стях (рис. 5.5, а). Аналогичное построение в пространстве приводит к объемной
фигуре в виде тора (рис. 5.5, б).
Рис. 5.5 – Диаграмма направленности диполя Герца в плоскости, проходящей
через ось диполя (а); пространственная диаграмма направленности (б)
Нетрудно вычислить полную среднюю мощность, излучаемую диполем
Герца. Составляя поток комплексного вектора Пойнтинга через окружающую
121
его сферическую поверхность (рис. 5.6), на основании выражения (5.48) запишем:
Pcp 
2
2
I ст
т ( kl ) Z 0
322 r 2
 2
r
2
sin 3 d  d .
0 0
В результате интегрирования получаем следующее выражение излучаемой мощности:
2
 2
 l 
Pср  I ст
Z
m 0 2  .
3
 
(5.49)
Рис. 5.6 – К вопросу вычисления полной средней мощности,
излучаемой диполем Герца
Оно показывает, что излучение резко растет при ослаблении условия квазистационарности (5.42).
Величина
2Z 0  l 
R 
 
3 

2
(5.50)
называется сопротивлением излучения диполя Герца, ибо она в соответствии
с формулировкой закона Джоуля – Ленца Pcp 
1 2
I ст т R  характеризует мощ2
ность, рассеиваемую сторонним током в виде излучения. На основании уравнений (5.41) можно построить картину поля элементарного излучателя для разных моментов времени и таким способом проследить за его формированием
в процессе излучения электромагнитной энергии.
122
На рисунке 5.7 схематически показано строение электрического поля излучателя, исследованное этим путем. Как видно, в момент максимального тока
(заряды диполя при этом равны нулю) образуются «электрические вихри» (семейство замкнутых электрических силовых линий), распространяющиеся затем
от источника.
Рис. 5.7 – Силовые линии электрического поля
диполя Герца в различные моменты времени
·····························································
В дальней зоне любая достаточно малая область поля элементарного излучателя несет все признаки плоской волны. Векторы поля (5.47) перпендикулярны к направлению ее распространения,
а отношение их амплитуд равно Z 0 .
·····························································
························
Выводы · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
В заключение отметим, что короткие в сравнении с длиной волны проволочные (стержневые) антенны (см. рис. 5.7) очень близки по характеру излучения к элементарному излучателю и обычно отождествляются с ним.
·······································································
Однако для повышения эффективности размеры антенн стараются увеличить, так что условие (5.33), являющееся критерием этого отождествления,
нарушается.
123
Ток антенны при этом нельзя уже считать везде одинаковым по амплитуде. Его распределение становится почти синусоидальным с периодичностью
волны в собственном пространстве. В качестве примера на рисунке 5.8 показано распределение тока симметричного полуволнового вибратора. Поле такой
антенны вычисляется как суперпозиция полей, создаваемых ее отдельными
элементами, принимаемыми за диполи Герца.
Рис. 5.8 – Распределение тока симметричного
полуволнового вибратора
5.6 Элементарный магнитный излучатель
·····························································
Замкнутый виток площадью S с током I на расстоянии,
значительно превышающем размеры витка, создает такое же поле, как если бы на его месте находился диполь с магнитным моментом m (рис. 5.9):
m  z0 I ст S .
(5.51)
Рис. 5.9 – К расчету элементарного магнитного излучателя
Такой виток называют элементарным магнитным излучателем.
·····························································
124
Воспользуемся принципом перестановочной двойственности, который мы
обсуждали в пп. 2.6.3.
Поле витка (рамки) с переменным током можно найти, определив
по формуле (5.22) векторный потенциал замкнутого тока, а затем использовав
формулы (5.8) и (5.15). Однако задачу нетрудно упростить, опираясь на представление о магнитных зарядах, которые, разумеется, будут фигурировать
не как реальные величины, а в качестве удобной абстракции.
Запишем магнитный момент диполя в комплексной форме:
m  z0 I ст S .
(5.52)
Заменяя виток эквивалентным магнитным диполем, по аналогии с (5.3)
получим:
div jм   jм ,
(5.53)
где м – «плотность магнитного заряда»; jм – «плотность магнитного тока»,
появляющегося в результате «движения магнитных зарядов».
Четвертое уравнение Максвелла мы должны теперь взять в виде
div H  м  ,
(5.54)
а второе уравнение Максвелла примет вид
rot E   jH  jм ,
(5.55)
т. к. только такая запись не противоречит равенствам (5.53) и (5.54), в чем легко
убедиться, образовав расходимость обеих частей уравнения (5.55).
Дальнейшее исследование будет построено на сравнении поставленной
задачи о магнитном диполе с уже решенной задачей об электрическом диполе.
Рассмотрим таблицу:
Задачи
Задача 1
Задача 2
Источник
излучения
Электрический диполь,
момент р
Магнитный диполь,
момент т
Вид
уравнений
Максвелла
rot H  jE  jст
rot E   jH  jм
rot E   jH
(*)
rot H  jE
(**)
125
·····························································
Как видно, первое и второе уравнения Максвелла в задачах
«поменялись ролями». При этом уравнения задачи 1 переходят
в уравнения задачи 2 при замене
Е  Н ; Н  Е ;   ;   .
(5.56)
А это значит, что достаточно в решении уравнений (*) при
электрическом источнике р сделать замену (5.56), чтобы получить
решение уравнений (**) при аналогичном магнитном источнике т .
·····························································
Итак, для нахождения поля элементарного магнитного излучателя мы
должны произвести указанную замену в формулах (5.39) и (5.40). При этом
надо учесть, что величина jст входит в это решение только в форме электрического момента р , который прямо следует заменить магнитным моментом m ,
т. е. вместо p   jI ml /  написать
m  I mS .
(5.57)
После операций (5.55), (5.57) формулы (5.41) принимают следующий вид:
Е 
I т SZ 0
Er 
IтS
E 
4 r
2 r 2
IтS
4 r
1

sin   t  kr   cos   t  kr   sin  ;
 kr

k2 
1

cos   t  kr   sin   t  kr   cos  ;
 kr

k
(5.58)
1
 1


1 cos  t  kr   sin  t  kr   sin  ;
2 2
kr

 k r

k 2 
Er  E  H   0.
Способ, использованный нами, основан на перестановочной двойственности уравнений Максвелла. Общий метод, базирующийся на этом свойстве
уравнений Максвелла, получил распространение под названием принципа
двойственности.
126
Из уравнений (5.57) известным путем получаем компоненты поля
в ближней зоне:
Hr 
m
2r
cos  cos t ;
3
E 
I тS 
4 r
2
H 
m
4r 3
sin  cos t.
(5.59)
sin  sin t .
В дальней зоне (поле излучения):
E 
I т k 2 SZ 0
4 r 2
sin  sin(t  kr ) ;
Hr  0 ;
(5.60)
2
H 
Iтk S
4 r
sin  cos(t  kr ).
Итак, в дальней зоне элементарный магнитный излучатель создает волновое поле, отличающееся от поля элементарного электрического излучателя
только ориентацией векторов E и H . Диаграмма направленности излучения
по-прежнему имеет вид, показанный на рисунке 5.5, а сопротивление излучения
выражается формулой
8
S2
R 
Z0 4 ,
3


(5.61)
вывод которой аналогичен выводу формулы (5.50).
Зная ток и площадь цепи, а следовательно и момент эквивалентного магнитного диполя, нетрудно оценить излучаемую мощность.
На основании формул (5.59) можно заключить, что электромагнитное поле цепи должно резко падать уже на расстояниях, значительно меньших длины
волны. Это значит, что ее энергия сконцентрирована в квазистационарной области, а волновой характер поля не существен.
127
··························································
Контрольные вопросы по главе 5
··························································
1. Для чего вводят электродинамические потенциалы, если есть неоднородные волновые уравнения для полей E и H ?
2. Почему электродинамические потенциалы называются также «запаздывающими»?
3. В какие уравнения переходили бы уравнения для электродинамических потенциалов и какой вид имели бы их решения, если бы скорость
электромагнитных волн была равна бесконечности?
4. Какой смысл имеет переменная r в интегралах, определяющих А и  ?
5. Какой физический смысл имеют электродинамические потенциалы?
6. Охарактеризуйте электрические и магнитные поля в ближней и дальней зонах диполя Герца: а) по их зависимости от расстояния;
б) по среднему во времени значению вектора Пойнтинга.
7. Дайте определение сопротивления излучения антенны.
8. Дайте определение диаграммы направленности диполя. Для какой зоны она определяется? Изобразите диаграмму направленности диполя
в полярной и прямоугольной системах координат.
9. Изобразите силовые линии электрического и магнитного полей
на различных расстояниях от диполя Герца.
10. Сформулируйте принцип перестановочной двойственности и приведите пример его использования.
11. Если в ближней зоне излучателя отсутствует перенос мощности от источника, то как появляется поток мощности в дальней зоне?
12. Определите излучаемую мощность отрезка линии передачи длиной
1 км, рассматривая его как рамку с током. Расстояние между проводами 1 м, ток 10 А (действующее значение), частота 50 Гц.
13. Запишите уравнения для электродинамических потенциалов.
128
14. Дайте определение электродинамическим потенциалам по заданным
зарядам и токам.
15. Опишите элементарные электрические излучатели.
16. Дайте определение поля электрического излучателя в ближней зоне.
17. Дайте определение поля электрического излучателя в дальней зоне.
18. Почему диаграмма направленности электрического излучателя является основной характеристикой?
19. Дайте определение сопротивления излучения электрического излучателя.
20. Опишите, что представляют собой магнитные токи и заряды.
21. Дайте определение принципа перестановочной двойственности.
22. Опишите элементарный магнитный излучатель.
23. Опишите поле элементарного магнитного излучателя.
24. Дайте определение диаграммы направленности магнитного излучателя.
25. Дайте определение сопротивления излучения магнитного излучателя.
129
6 Направляемые электромагнитные волны
и направляющие системы
6.1 Понятие о направляющей системе.
Классификация направляемых волн
·····························································
Ранее было установлено, что полностью отражающая граница раздела сред обладает способностью направлять движение
электромагнитной энергии. С этим фактом в той или иной форме
встречаются в различных областях радиотехники. Устройства,
основанные на указанном явлении, обычно называют направляющими системами.
·····························································
К их числу в первую очередь относятся всевозможные линии передачи.
Широко известна двухпроводная линия. Коаксиальная линия применяется
главным образом на сверхвысоких частотах. Исключительно радиотехнике
сверхвысоких частот свойственны волноводы – полые и реже диэлектрические,
а также системы типа полосковой линии и многие другие.
Различные направляющие системы получили широкое распространение
благодаря интенсивному развитию радиотехники сверхвысоких частот. Особое
место среди них занимают полые волноводы.
Полый волновод прямоугольного или круглого сечения представляет собой основной вид линии передачи в диапазоне сантиметровых волн.
Отметим, однако, что кроме обычных волноводов и коаксиальных линий
в технике сверхвысоких частот применяется много разнообразных систем, преследующих специальные цели.
Ниже на основании общей теории будут рассмотрены важнейшие направляющие системы без учета потерь энергии.
130
Классификация направляемых волн проводится по признаку наличия
у них продольной составляющей электрического или магнитного поля
(рис. 6.1).
Рис. 6.1 – Направляющая система, образованная двумя параллельными плоскостями: а – распространение электромагнитной волны горизонтальной поляризации; б – распространение вертикально поляризованной волны
На рисунке 6.1, а показано распространение между двумя параллельными
плоскостями электромагнитной волны горизонтальной поляризации. В этом случае вектор Н имеет продольную составляющую H z . На рисунке 6.1, б показано
распространение вертикально поляризованной волны. Здесь отлична от нуля
продольная составляющая вектора напряженности электрического поля Е z .
·····························································
Принято называть Н-волнами (магнитными) такие волны,
у которых H z  0 . Если Ez  0 , то волны называются Е-волнами
(электрическими). В некоторых линиях передачи, таких как коаксиальная или микрополосковая, могут быть равны нулю продольные
составляющие и электрического, и магнитного поля одновременно.
Волны, для которых H z  0 и Ez  0 , называют Т-волнами (поперечными).
·····························································
131
6.2 Связь между продольными и поперечными составляющими
поля в однородной направляющей системе
·····························································
Однородная направляющая система – это система направляющих элементов, в которой форма поперечного сечения не зависит от координаты z. Параметры среды также не зависят
от этой координаты. Комплексная амплитуда вектора Е может
быть записана в виде
Em  Em  x, y  e j z ;
H m  H m  x, y  e j z ,
(6.1)
где  – продольное волновое число.
·····························································
На рисунке 6.2 показан волновой вектор k и его составляющие – продольное  и поперечное   волновые числа, связанные соотношением
  k 2   2 .
Рис. 6.2 – Волновой вектор и его составляющие
в однородной направляющей системе
Обратимся к уравнениям Гельмгольца для комплексных амплитуд:
2 H m  k 2 H m  0;
2 Em  k 2 Em  0.
(6.2)
Подставив Em и H m (6.1) в эти уравнения, получим:
H mz   2 H mz  0;
2 Emz   2 Emz  0 .
(6.3)
Теперь задача заключается в установлении связи между продольными
и поперечными составляющими векторов, то есть необходимо найти
E
f ( H z , Ez ), H 
f ( H z , Ez ),
132
где
E  x0 Ex  y0 E y ;
H   x0 H x  y0 H y .
(6.4)
Запишем уравнения Максвелла в скалярной форме для проекций комплексных векторов:
H z
y
Ez
y
 jH y  jEx
H z

x
Ez
 jE y   jH x
x
 jH x  jE y
(6.5)
 jEx  jH y .
Выразим Е х и Е y из первого и третьего уравнений системы (6.5):
Ex 
1  H z

 jH y  ;

j  y

Еy  
1  Ez

 jH x 

j  y

Подставим Е х в четвертое, Е y во второе уравнение системы (6.5):
E
 H z
2

H y  z  jH y ;
 y
j
x
 
H y 
2
 j

(6.6)
 j   

 H z E z

 y
x
Таким образом, все поперечные проекции оказались выраженными через
продольные:
E z
H z

2
 Ex    j x  j y  x0 ;


E z
H z

2

E


j


j

 y0 .
y



y

x

H z
E z

2
 H y    j y  j x  y0 ;

(6.7)

H z
E z

2

H


j


j

 x0 ;
x



x

y

В системе уравнений (6.7) показано умножение на единичные орты и попарное сложение уравнений, которое позволяет получить поперечные векторы
в соответствии с формулами (6.4):
133



 Hz

x
 2 x0 H x  y0 H y  j  x0
H
 y0
grad  H z
H z 
E
 E
 j  x0 z  y0 z

y 
x
 y

 . (6.8)

 z0 ,grad  E z 
Уравнение (6.8) – результат сложения первой пары. Сложив вторую пару
уравнений, окончательно получим:
 2 H    j grad  H z  j  z0 ,grad  E z  ;

 2 E

  j grad  Ez  j  z0 ,grad  H z  . 

(6.9)
Таким образом, связь между продольными и поперечными составляющими векторов поля установлена.
·····························································
Теперь алгоритм поиска векторов электромагнитного поля заключается в следующем. Вначале из уравнений (6.3) находится
продольная составляющая электрического поля для E-волн или
магнитного поля для H-волн. Затем с помощью системы (6.9) находятся все поперечные составляющие. Отметим также, что формулы
в
системе
(6.9)
являются
справедливыми
для
обобщенно-
цилиндрической системы координат, т. е. ими можно пользоваться
для расчета как прямоугольных, так и круглых волноводов.
·····························································
6.3 Условия распространения электромагнитных волн
в направляющих системах. Критическая длина волны
Комплексный вектор напряженности электрического поля задается формулой E  Em  x, y  e j z .
·····························································
Напомним, что   k 2   2 . В зависимости от величины
продольного волнового числа выделяются три режима работы линии передачи:
134

k       0 – режим распространяющейся электромагнитной волны, рабочий режим;
 k 2   2  2  0 (  – мнимая величина) – затухание (экспоненциальное), нерабочий режим;
 k       0 – критический режим (режим отсечки).
·····························································
В критическом режиме
2
 2
2
2
  ;   k  

 кр
 кр

 .

Для реализации рабочего режима должно выполняться неравенство
   кр .
(6.10)
Неравенство (6.10) определяет условия существования электромагнитных
волн в направляющей системе.
Определим длину волны  и фазовую скорость ф в линии передачи:

2


2

k 1    кр
ф 




2



1    кр
c

1    кр

2

.
2
;
(6.11)
(6.12)
·····························································
Из (6.11) следует, что длина волны в направляющей системе
всегда больше, чем длина волны в свободном пространстве. Формула (6.12) показывает, что фазовая скорость в направляющей системе всегда больше скорости света. Эти особенности электромагнитных волн объясняет концепция Бриллюэна.
·····························································
135
Предполагается, что T-волна распространяется в волноводе, отражаясь
от его стенок. Интерференция Т-волн определяет структуру поля в направляющей системе.
Рассмотрим волну, распространяющуюся между двумя проводящими
плоскостями (рис. 6.3). Пусть это будет Т-волна. На рисунке 6.3 пунктирными
линиями показаны следы фронтов Т-волны, распространяющейся под углом 
к проводящим поверхностям. Точки 1 и 2 соответствуют фронтам с фазовым
сдвигом, равным 2 . В направлении распространения Т-волны это  .
В направлении z это длина волны в волноводе  .
Рис. 6.3 – К вопросу определения структуры поля в направляющей системе
Запишем фазовую скорость в волноводе:
ф 


c


,
T cos  T cos 
(6.13)
где с   Т – скорость света.
························
Выводы · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Сравнивая выражения (6.12) и (6.13), видим, что

cos   1   кр

2
,
следовательно, фазовая скорость всегда больше скорости света.
·····································································
При   0 волна распространяется вдоль волновода (рис. 6.4, а).
136
Рис. 6.4 – Распространение волны в направляющей системе:
а – волна распространяется вдоль волновода; б – критический режим
Угол    2 соответствует критическому режиму работы (рис. 6.4, б).
Перенос энергии в таком режиме отсутствует. Рабочий диапазон углов, под которыми может распространяться Т-волна, составляет 0     2 .
6.4 Групповая скорость электромагнитных волн
в направляющих системах
·····························································
Под групповой скоростью гр будем понимать скорость переноса максимума огибающей группы электромагнитных волн,
близких друг к другу по частоте.
·····························································
Комплексный вектор напряженности поля может быть записан в следующем виде:

j  t  ( ) z 
E  z , t    Am   e 
d .
(6.14)
0
Если спектр достаточно узок: 0      0   , то все амплитуды
вне этого спектра равны нулю и можно записать:
E  z, t  
0 

j  t ( ) z 
Am   e 
d .
0 
Воспользуемся разложением в ряд Тейлора:
137
1  n y 

n
y  x   y  x0     n   x  x0  ;       0      0 
.
n
!


x
n 1



0
В этом случае показатель экспоненты может быть записан в виде
 t   () z   t  0 z  (  0 ) z

;

прибавим и вычтем 0t , тогда

 t   () z  0 t  0 z  (  0 ) t 

 
z .
  
(6.15)
Подставим (6.15) в (6.14):
E ( z, t )  e
j  0t 0 z 
0 





    
 z   d .


 
Am exp    0  t  
0 
Перейдем от комплексного вектора к его реальной части:
E ( z , t )  cos  0t 0 z 
0 





    
 z   d .


 
An cos   0  t  
0 
(6.16)
Максимум огибающей соответствует нулевому аргументу косинуса:
   0 t    /   z   0.
(6.17)
Отсюда t    /   z  0 , следовательно, z  t / (  ) .
Групповая скорость гр определяется формулой
1
гр

 z   


 .
t   
С учетом   k 1   /  кр

2
получим окончательное выражение для
групповой скорости:

гр  c 1   /  кр

2
.
(6.18)
138
························
Выводы · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Как и следовало ожидать, групповая скорость, т. е. скорость переноса
энергии, оказалась меньше скорости света.
·······································································
6.5 Дисперсия направляемых электромагнитных волн
Учитывая, что кр  c fкр , формулы для фазовой и групповой скоростей
можно записать в виде
ф 
c
1  ( fкр / f )
2

; гр  c 1  fкр / f

2
.
(6.19)
На рисунке 6.5 показаны зависимости, построенные по формулам (6.19).
Рис. 6.5 – Зависимость фазовой и групповой скоростей волны, распространяющейся между параллельными плоскостями, от частоты колебаний
························
Выводы · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Как следует из формул (6.19), электромагнитные волны, распространяющиеся в направляющих системах, обладают дисперсией, то есть фазовая
и групповая скорости зависят от частоты.
·······································································
Это очень важное свойство, которое необходимо учитывать на практике,
например при передаче очень коротких импульсов.
139
6.6 Общие свойства направляемых волн
6.6.1 Поперечные электромагнитные волны (Т-волны)
В начале этой главы мы провели классификацию направляемых волн.
Теперь можем рассмотреть их общие свойства вне зависимости от того, в какой
направляющей системе они распространяются. Положим в уравнениях (6.9)
H z  0 и Ez  0 , тогда будем вынуждены предположить, что
   0.
(6.20)
Так как 2  k 2   2 , получим:
  k    .
Отсюда ф  1
(6.21)
 и    .
·····························································
Другими словами, фазовая скорость и длина волны в линии
передачи с Т-волной точно такие же, как и в свободном пространстве, заполненном тем же диэлектриком. Кроме того, т. к.
кр  2   , видим, что линии передачи в режиме Т-волны имеют
 кр . Это значит, что в них может протекать постоянный ток.
Следовательно, Т-волны могут существовать только в таких линиях
передачи, которые имеют как минимум два отделенных друг от
друга
слоем
диэлектрика
проводящих
элемента,
например
в двухпроводных, коаксиальных, микрополосковых линиях. В полых волноводах, таких как прямоугольный и круглый волноводы,
а также в диэлектрических волноводах T-волны распространяться
не могут.
·····························································
6.6.2 Электрические волны (Е-волны)
Подставляя Hz = 0 в уравнения (6.9), получим:
140
 2 H   j  z0 ,grad  Ez  ;
 2 E   j  grad  Ez .
(6.22)
Совмещая эти уравнения, найдем связь между поперечными составляющими векторов электрического и магнитного полей:
H  

 z0 , E  .

 
(6.23)
·····························································
Отсюда можно найти волновое сопротивление линии передачи, в которой распространяется Е-волна:
2
  

k
ZE 

1 
,
  
 
 кр 
или

Z E  Z 0 1   /  кр

2
.
(6.24)
·····························································
6.6.3 Магнитные волны (Н-волны)
Для Н-волн Ez  0 . С этим условием из уравнений (6.9) получим:
 2 H    j  grad  H z ;  2 E   j  z0 ,grad  H z  .
(6.25)
Действуя, как и ранее, запишем:
E  

 z0 , H   .

 
(6.26)
Отсюда волновое сопротивление линии передачи, в которой распространяется Н-волна:

Z H  Z 0 1   /  кр

2
.
(6.27)
141
6.7 Прямоугольный волновод
·····························································
Полый волновод прямоугольного поперечного сечения называется обычно прямоугольным волноводом. На рисунке 6.6 он изображен в наиболее подходящей здесь декартовой системе координат, оси которой ox и oy параллельны сторонам поперечного
контура a и b.
Рис. 6.6 – Прямоугольный волновод, изображенный
в декартовой системе координат
·····························································
Е-волны. Будем искать решение уравнения (6.3), имеющего в декартовых
координатах вид
 2 Emz

 2 Emz
  2 Emz ,
x 2
y 2
методом разделения переменных. Положим,
Emz  X ( x)Y ( y),
(6.28)
(6.29)
где X и Y – неизвестные пока функции переменных х и у.
Подстановка (6.29) в (6.28) приводит к дифференциальному уравнению
X Y  XY    2 XY ,
которое после деления всех членов на XY принимает форму
X  Y 

  2 .
(6.30)
X
Y
Учитывая взаимную независимость слагаемых левой части равенства
(6.30), приравниваем каждое из них постоянной величине:
142
X 
Y 
  2x ;
  2y ,
X
Y
(6.31)
 2x   2y   2 .
(6.32)
 2x  0;  2y  0,
(6.33)
с соблюдением равенства
Легко догадаться, что
т. к.  2  0, а физические условия вдоль осей ox и oy внутри волновода идентичны.
Записывая хорошо известные решения уравнений (6.31)
X  A cos  x x  B sin  x x, 


Y  C cos  y y  D sin  y y, 

(6.34)
имеем


Emz   A cos  x x  B sin  x x  C cos  y y  D sin  y y .
(6.35)
Полученное общее решение, содержащее шесть неизвестных постоянных
А, В, С, D,  x и  y , не дает еще представления об исследуемом поле. Это
и понятно, ибо в произведенных действиях пока не нашли отражения конкретные физические условия задачи – граничные условия на оболочке волновода.
Потребовав, чтобы продольная составляющая электрического поля была равна
нулю на всех стенках волновода, запишем:
Emz  0 при x  0, y  0.
(6.36)
Из уравнения (6.35) видно, что это возможно лишь, если A = C = 0, следовательно,
Emz  E0 sin  x x sin  y y,
(6.37)
где произведение BD заменено одним неизвестным коэффициентом E0 .
В силу требования равенства нулю продольной составляющей электрического поля на двух других стенках волновода запишем:
Emz  0 при x  а, y  b.
(6.38)
143
Налагая условие (6.38) на решение (6.37), находим:
 x  m / a;  y  n / b,
(6.39)
где m = 1, 2, 3,… и n = 1, 2, 3,… – любые целые числа.
Значения m = 0 и n = 0 исключены, потому что они не соответствуют существованию поля ( Emz  0 ). С учетом этого результата равенство (6.32) принимает вид
 2   m / a    n / b  .
2
························
2
(6.40)
Выводы · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Итак, различным решениям Emz соответствуют определенные значения
поперечного волнового числа   . Задав какие-либо числа m и n, мы однозначно
определяем тип поля волновода.
·······································································
Все компоненты поля данного типа нетрудно найти, подставив в общие
формулы (6.9):
Ez  E0 sin  x x sin  y y exp  j (t  z );
H z  0.
В результате получается:


Emz


x
m
n
Emx   j 2 E0 cos
x sin
y; 
a
b



y
m
n

Emy   j 2 E0 sin
x cos
y; 
a
b



 y
m
n
H mx  j E 2 E0 sin
x cos
y; 

a
b
Z 

 x
m
n 
H my   j E 2 E0 cos
x sin
y.
a
b 
Z 

m
n
 E0 sin
x sin
y;
a
b
(6. 41)
144
В соответствии с принятой терминологией говорят, что формулы (6.41)
выражают поле Еmn прямоугольного волновода. Это поле имеет характер распространяющейся волны при вещественных значениях продольного волнового

числа   k 1   /  кр

2
, где
 кр
2

2

2
2
m n
    .
 a  b
(6.42)
В дальнейшем мы чаще будем пользоваться понятием критической длины
волны  кр , проще связанной с размерами системы, чем f кр . Необходимо помнить, что сравниваемая с ней величина  – это длина волны в свободном пространстве с теми же свойствами (параметры ,  ), что и среда, заполняющая
волновод.
·····························································
Как видно из формулы (6.42), с увеличением m и n критическая длина волны  кр уменьшается. Направляемая волна этого типа
распространяется до тех пор, пока    кр . Волны высших типов
существуют, таким образом, при меньших значениях  , т. е. при
более высоких частотах. Для низшей электрической волны Е11 согласно (6.42) критическая длина волны


кр  2ab / a 2  b2 .
(6.43)
·····························································
Одновременно в волноводе распространяется лишь ограниченное число
волн различного типа. Действительно, при любых размерах поперечного сечения можно найти такие числа m и n, что рабочая длина волны окажется ниже
критической.
На рисунке 6.7 показано строение различных Е-полей волновода в некоторый момент времени – «остановленная волна». Ввиду отсутствия продольной
составляющей вектора H магнитные силовые линии лежат в поперечной плос-
145
кости. Поле Е11 соответствует одному семейству замкнутых магнитных линий
и является простейшим. В центре этого семейства лежит максимум продольной
составляющей вектора E . По рисунку 6.7 легко найти соответствие между
строением поля и значениями индексов m и n. Это числа полуволновых вариаций поля вдоль осей х и у.
Рис. 6.7 – Структура поперечно-электрических полей
различных типов в прямоугольном волноводе
Величины
 x  2  x ,  y  2  y
(6.44)
играют роль поперечных длин волн.
Н-волны. Взяв теперь другое уравнение из (6.3):
 2 H mz
x
2

 2 H mz
y
2
   2 H mz ,
(6.45)
уже известным путем находим общий вид его решения:


H mz   A cos  x x  B sin  x x  C cos  y y  D sin  y y .
(6.46)
Налагая граничные условия
H mz
x
 0 при x  0, x  а,
H mz
y
 0 при y  0, y  b,
сначала получаем:
H mz
y
  A cos  x x  B sin  x x   y D  0.
y 0
(6.47)
146
Отсюда D = 0, т. к. только при этом равенство будет выполнено для
всех x. Точно так же доказывается, что В = 0. В результате
H mz  H 0 cos  x x cos  y y.
(9.48)
Из граничных условий при х = а и у = b следует, что  x  m / a
и  y  n / b. Таким образом, подобно соотношению (6.40)
 2   m / a    n / b  .
2
2
(6.49)
Внося (6.48) в общие формулы (6.9), получаем выражения для всех компонент поля типа Нmn:


H mz


x
m
n

H mx  j  2 H 0 sin
x cos
y;
a
b



y
m
n

H my  j  2 H 0 cos
x sin
y;

a
b



m
n
H y
Emx  j Z
H 0 cos
x sin
y; 
2

a
b



m
n 
Emy   j Z H 2x H 0 sin
x cos
y.
a
b


m
n
 H 0 cos
x cos
y;
a
b
(6.50)
Так как общий вид поперечного волнового числа   для Н-волн не отличается от полученного ранее для Е-волн, критическая длина волны попрежнему определяется формулой (6.42):
 кр  2 /
 m / a 2   n / b 2 .
(6.51)
Однако, как видно из уравнений (6.50), H-поле существует и в том случае,
когда одно из чисел m и n есть нуль. При этом критическая длина волны
01
10
кр  2a или  кр  2b .
(6.52)
147
·····························································
Одна из этих величин оказывается наибольшей среди критических длин волн всех возможных Е- и H-полей прямоугольного
волновода. Полагая в дальнейшем a > b, мы констатируем, что
наибольшей будет величина  кр . Это значит, что при достаточно
10
малых размерах поперечного сечения волновода лишь одно поле
H10 будет существовать в виде распространяющейся волны, которая
называется основной. На практике применяется именно основная
волна, распространяющаяся «без примеси» волн высших типов.
·····························································
Взяв в формулах (6.50) т  1 и n  0 , выпишем компоненты поля Н10:
H mz  H 0 cos(x / a );
Emz  0; H mx  j (2a / ) 1    / 2a  H 0 sin ( x / a);
2
(6.53)
Emy   j (2a / )  Z 0 H 0 sin (x / a ); H my  0.
Основные характеристики волны типа Н10 согласно (6.53) имеют вид:
Z H  Z0
ф  c
1    / 2a  ;   k 1    / 2a  ;
2
2
1    / 2a  ;   
1    / 2a  ;
2
2
(6.54)
гр  c 1    / 2a  .
2
На рисунке 6.8 показано строение различных H-полей. Максимум электрического поля сдвинут по оси oz относительно центра семейства магнитных
линий на  4 . В этом центре лежит максимум тока смещения.
Равенство нулю одного из индексов m и n означает, что поле в соответствующем направлении однородно: не имеет вариаций. Поперечная длина волны  x или  y (6.44) при этом обращается в бесконечность.
Нетрудно найти передаваемую волноводом мощность. Для волны
основного типа согласно (6.52) Em  E0 sin (x / a) и в результате
148
P
E02
2Z H
2
ab
abE02 abE02
x
  
sin
dxdy


1

  .
 a
H
0
 2a 
4
Z
4
Z
00
2
(6.55)
Рис. 6.8 – Структура поперечно-магнитных полей
различных типов в прямоугольном волноводе
В оболочке волновода течет поверхностный ток (рис. 6.9), плотность которого определяется по формуле    n0 , H  .


Рис. 6.9 – Силовые линии тока волн Н10 и Е11
на стенках прямоугольного волновода
························
Выводы · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Подчеркнем в заключение некоторые особенности волновода, выявленные произведенным исследованием. Направляемые Е- и Н-волны образуют
бесконечный ряд типов, отличающихся строением поля и скоростью распространения. Однако одновременно существует лишь ограниченное число волн.
149
При этом размеры сечения прямоугольного волновода выбираются обычно так,
чтобы распространялась только волна основного типа Н10. При достаточно малых размерах a   2 не может существовать и основная волна, поэтому передача энергии не происходит. Таким образом, на практике волноводы применяются только на очень коротких волнах, обычно на сантиметровых и
миллиметровых.
·······································································
6.8 Коаксиальная линия
·····························································
В коаксиальной линии могут распространяться волны Н, Е и Т.
Ввиду того что условия существования Т-волны не зависят
от частоты, тогда как Е- и H-волны при достаточно низких частотах
отсутствуют, именно Т-волна является основной. Она и используется для передачи энергии. Коаксиальные линии конструируются так,
чтобы условия существования волн высших типов (Н и Е) оставались невыполненными.
·····························································
Коаксиальная линия показана на рисунке 6.10; радиусы внутреннего
и внешнего проводников обозначим R1 и R2.
Рис. 6.10 – Коаксиальная линия
Магнитное поле T-волны коаксиальной линии находится из первого уравнения Максвелла:
150
H m  0 I m / (2 r ).
(6.56)
Полагая волновое сопротивление диэлектрической среды равным Z ср , запишем:
Em  r0
Im
2r
(6.57)
Z ср .
Вычислив напряжение между проводниками как интеграл
R2

Um 
Em dr 
R1
I m Z ср
2
ln
R2
R1
,
(6.58)
приведем формулу (6.57) к виду
Em  r0
Um
r ln( R2 / R1 )
(6.59)
,
что совпадает с выражением для поля коаксиального конденсатора, заряженного до разности потенциалов U m .
·····························································
Не следует, конечно, забывать, что электрическое и магнитное поля Т-волны отличаются от статических продольной волновой
зависимостью, характеризуемой множителем exp j (t  kz ) , который дописывается к амплитудам при переходе к комплексным
величинам.
·····························································
Как видно из формулы (6.58), отношение напряжения между проводниками к току, называемое волновым сопротивлением, равно
Zл 
Um
Im

Z ср
2
ln
R2
R1
.
(6.60)
Для линии с воздушной средой (   0 ,   0 ) Zср  Z0  120  , волновое сопротивление коаксиальной линии Z л  60ln ( R 2 / R 1).
151
··························································
Контрольные вопросы по главе 6
··························································
1. Опишите порядок действий при определении структуры полей Е и Н
в направляющей системе на примере прямоугольного волновода.
2. Изложите суть метода разделения переменных.
3. Какие граничные условия выполняются на боковой стенке прямоугольного волновода (х = 0, 0  у  b)?
4. Что означают символы в названии волны Нmn или Еmn?
5. Как соотносятся поперечные составляющие векторов E и H в каждой
точке направляющей системы по направлению и фазе?
6. Какая волна в направляющей системе называется основной? Почему
стараются работать именно на этой волне (типе колебаний)?
7. В чем проявляется дисперсия в направляющих системах? Какое влияние она оказывает на передачу сигналов? В каких направляющих системах она отсутствует?
8. Дайте определения фазовой и групповой скоростей волны в направляющих системах. Какое соотношение существует между ними?
9. Изложите суть концепции Бриллюэна. Какие выводы из нее следуют?
10. Дайте определение волнового и характеристического сопротивления
в направляющих системах. Можно ли трактовать их как «сопротивление, оказываемое направляющей системой распространяющейся
волне»? Для чего они могут быть использованы?
11. Дайте понятие о направляющей системе.
12. Приведите классификацию направляемых волн.
13. Опишите условия распространения электромагнитных волн в направляющих системах.
14. Напишите формулы следующих параметров: критическая частота,
критическая длина волны.
152
15. Укажите связь между продольными и поперечными составляющими
поля в однородной направляющей системе.
16. Укажите общие свойства направляемых волн.
17. Чем
характеризуются
поперечные
электромагнитные
волны
(Т-волны)?
18. Расскажите о прямоугольном волноводе. Опишите основную волну
прямоугольного волновода, ее структуру поля и параметры.
19. Охарактеризуйте электрические волны (Е-волны) прямоугольного
волновода.
153
7 Объемные резонаторы
7.1 Общая теория электромагнитных резонаторов
7.1.1 Накопление энергии в объеме.
Резонатор и направляющая структура
·····························································
Объемным резонатором называют ограниченный отражающими поверхностями объем.
·····························································
Если в узлах электрического поля, т. е. там, где оно обращается в ноль,
установить идеально проводящие плоскости z = const, прежнее поле сохранится
в отсеченном энергетически изолированном объеме. Можно сказать, что противоположно направленные бегущие волны полностью отражаются этими плоскостями, на которые они падают по нормали. Движение энергии при этом имеет
колебательный характер (рис. 7.1).
Рис. 7.1 – Схема движения энергии внутри объема
Направление вектора Пойнтинга меняется через четверть периода колебаний поля: он колеблется с удвоенной частотой. Расстояние между соседними
плоскостями составляет половину длины волны. Таким образом, условие существования поля между ними выполняется при определенной частоте. Изолированный объем, в котором происходит колебательное движение энергии, в сущности,
выступает
как
накопитель.
Во
всех
случаях
свободные
электромагнитные поля в энергетически изолированных объемах могут суще-
154
ствовать только при определенных частотах, такие объемы являются резонаторами.
Легко показать, что резонатором будет любой отрезок некоторой продольно-однородной структуры, отсеченный двумя поперечными идеально проводящими плоскостями (рис. 7.2). Если исходной структурой является прямоугольный (рис. 7.2, а) или, например, круглый (рис. 7.2, б) волновод,
то образуется полный резонатор; то же можно сказать о резонаторе, образованном коаксиальной линией (рис. 7.2, в). Но все дальнейшие рассуждения будут
справедливы и в отношении отсеченного отрезка диэлектрического волновода
(рис. 7.2, г) или какой-нибудь иной открытой структуры, например двухпроводной линии (рис. 7.2, д).
В отсеченной области возможно существование лишь таких полей, которые в дополнение к граничным условиям, свойственным исходной направляющей структуре, удовлетворяют также условию E  0 на введенных перегородках. Таким свойством может обладать наложение прямой и обратной волн
одного типа.
Сосредоточив внимание на поперечной электрической компоненте поля,
запишем:
Em  E1 e j  z  E2 e j  z ,
(7.1)
где Е – поперечная проекция вектора E .
Потребуем обращения Em  в нуль на плоскости z = 0, что реализуется
при Е1   Е2 , причем выражение (7.1) принимает вид
Em  E0 sin z,
где E0   j 2 E – стоячая волна.
(7.2)
155
Рис. 7.2 – Резонаторы: а – полый прямоугольный; б – полый цилиндрический; в – образованный отрезком коаксиальной линии; г – образованный
отрезком диэлектрического волновода; д – образованный отрезком
двухпроводной линии
Налагая такое условие при z = L, мы должны положить в (7.2) sin L  0 .
Отсюда
  р L , p  0, 1, 2, ...,
(7.3)
т. е. постоянная распространения  не может быть произвольной величиной,
а принимает одно значение из этой последовательности. Поскольку   2  ,
то из (7.3) следует:
L   2.
(7.4)
Как видно из равенства (7.2), при p = 0 Em  0 : поперечная электрическая составляющая вообще отсутствует; эту возможность мы обсудим отдель-
156
но. Во всех остальных случаях равенство (7.4) означает, что длина отсеченного
отрезка направляющей структуры должна быть кратна половине длины волны
(того или иного типа).
Имея в виду, что   k    , получаем k      p L  .
2
2
2
2
2
2
Поскольку k    c   , то
2
2

c

2
 2
 p 

 .
L


(7.5)
Полагая пока  и  вещественными константами, будем считать также
не зависящим от частоты поперечное волновое число   (как в случае полых
волноводов). Тогда (7.5) выражает в явной форме частоты, при которых поле
может существовать в рассматриваемом объеме. Они называются собственными частотами. Объем выступает, таким образом, как резонатор. Для каждого
типа волны в направляющей структуре, которому отвечает определенное поперечное волновое число   , существует бесконечное множество собственных
частот, получаемых при переборе р. Собственные частоты, соответствующие
всем типам волн при всех значениях р, образуют последовательность:
0  1  2 
 n 
 .
·····························································
Заметим, что в случае Т-волн    0 , так что согласно равенству (7.5) собственные частоты зависят только от продольного размера L и являются кратными низшей частоте

p
 L
c
(7.6)
при p  0 .
···························································
Значение р = 0 в данном случае невозможно. Это означало бы полное отсутствие электрического поля: для Т-волн оно поперечное.
157
Что касается случая р = 0, то поскольку при этом   0 , соответствующая
собственная частота резонатора, определяемая по формуле (7.5),
  c   / 
(7.7)
равна критической (круговой) частоте кр для данной длины направляющей
структуры (сравните fкр  кр 2 ). Так как при р = 0 поперечное электрическое поле отсутствует, то должно существовать продольное, а следовательно,
речь может идти только о Е-волнах. Как известно, при критической частоте поле не изменяется по оси z и    . Согласно выражению (7.4) длина резонатора при этом оказывается неопределенной: L  0  . Две поперечные плоскости
могут располагаться на любом расстоянии друг от друга. Заметим, что Н-волны
при критической частоте имеют подобное же продольное магнитное поле
(и поперечное электрическое), так что граничные условия на поперечных идеально проводящих перегородках не могут быть удовлетворены.
7.1.2 Свойства полей резонаторов
Мы рассмотрели только определенный класс резонаторов, каждый из которых можно трактовать как энергетически изолированный участок направляющей структуры. Их поля обладают свойствами стоячей волны. В простейшем
случае векторы E и H стоячей волны при отсутствии потерь сдвинуты по фазе
на 90°, причем электрическое и магнитное поля синфазны на участке между соседними узлами. Этим свойством отличаются многие поля резонаторов.
Из формулы (7.2) видно, что при вещественных  и E поле E синфазно
в области постоянного знака синуса.
i
Пусть Em  Ee , где фаза не зависит от координат. Определяя комплексную амплитуду H , имеем
Hm 
1
rot Em  H m ei (  /2) ,
 j 
158
где H m 
1
rot Em – величина вещественная.

·····························································
Это значит, что фаза вектора H отличается от фазы вектора
E на  2 . При таком фазовом соотношении наступают моменты,
когда существует только электрическое поле или только магнитное.
Поток вектора Пойнтинга, проходящий через любое сечение резонатора, в среднем равен нулю. Движение энергии имеет колебательный характер (рис. 7.3, а).
·····························································
Рис. 7.3 – Резонаторы: а – полый цилиндрический;
б – образованный замкнутым в кольцо отрезком прямоугольного волновода
Можно убедиться, что в ряде случаев возникают циклические движения
энергии (рис. 7.3, б). Если, например, рассматривать резонатор, показанный
на рисунке 7.2, б, при круговой поляризации, то в этом случае существует азимутальный циклический поток энергии (см. рис. 7.3, а); через заштрихованное
сечение проходит поток вектора Пойнтинга, в среднем не уничтожающийся.
Между основаниями цилиндра z = 0 и z = L устанавливается уже рассматривавшаяся стоячая волна, однако функция E в равенстве (7.2) при этом не является вещественной величиной и сделанный ранее вывод о фазовом соотношении
E и H оказывается неприменимым. Волны круговой поляризации возможны
не только в круговом волноводе. То же можно сказать и о циклических потоках
159
энергии в резонаторах; мы могли бы рассматривать, в частности, прямоугольный резонатор.
Существуют резонаторы, образованные замкнутой направляющей структурой того или иного вида. На рисунке 7.3, б показан такой резонатор, который
можно рассматривать как изогнутый в кольцо прямоугольный волновод. Если
в волноводе распространяется переносящая энергию волна, то также образуется
циклический поток вектора Пойнтинга. Это возможно, если вдоль замкнутого
волновода укладывается целое число волн (чем больше радиус кольца, тем
с большим основанием можно определить длину волны). Впрочем, этот кольцевой резонатор можно трактовать как отсеченный двумя параллельными плоскостями отрезок коаксиальной линии и это представление является точным.
Кроме резонаторов, примеры которых представлены на рисунке 7.2, нередко применяются и такие, которые уже нельзя рассматривать, как это делалось в пп. 7.1.1. Резонатором, например, может быть любая металлическая полость, какое-либо диэлектрическое тело, система зеркал, планарная структура
и пр.
В теории электромагнитных резонаторов ищутся решения уравнений
Максвелла или волновых уравнений при требуемых граничных условиях. В
частности, для произвольного полого резонатора с однородной изотропной средой формулируется одна из следующих двух задач:
1) в объеме резонатора V
2 Em  k 2 Em  0,
(7.8)
на граничной поверхности S Em   0 ;
2) в объеме резонатора V
2 H m  k 2 H m  0,
на граничной поверхности S
 rot H 
m

(7.9)
 0.
160
Соленоидальные решения этих задач
 div E
m

 0, div H m  0 дают си(n)
стему полей, называемых собственными колебаниями. Каждое решение Em
(n)
или H m
2
(n = 1, 2, …) реализуется при некотором собственном значении k n
параметра k    nc . Соответствующие значения   n – это собствен2
2
2
ные круговые частоты резонатора, а kn – собственные волновые числа.
·····························································
Трехмерные векторные задачи аналогичны двумерным скалярным задачам. Если полый резонатор относится к уже рассматривавшемуся классу (см. рис. 7.3), то векторы Em и H m в уравнениях
(7.8) и (7.9) удобно спроецировать на ось z. Это приводит к скалярным задачам относительно Emz и H mz .
·····························································
Полное поле можно определить через
Emz
(Е-поля) или через
H mz (Н-поля), подобно тому, как это делалось для направляющих структур.
7.1.3 Учет потерь. Добротность резонаторов
Потери энергии в реальных резонаторах обусловлены поглощением в диэлектрических и металлических элементах, а также в ряде случаев излучением
во внешнее пространство (например, полый резонатор излучает при наличии
отверстия).
Пусть W – запас энергии резонатора при собственных колебаниях некоторого типа с частотой  , а Pn – мощность потерь. Введем величину
Q  W Pn ,
(7.10)
которая, как мы убедимся, для каждого типа колебаний является константой и
называется добротностью резонатора. Поскольку рассматривается полная энергия некоторого свободного электромагнитного поля, W и Pn связаны соотноше-
161
нием (1.23); объединяя его с равенством (7.10), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение, которое показывает, что запас энергии собственных
колебаний экспоненциально падает.
dW 
  0.
dt
Q
(7.11)
W (t )  W (0)exp  t / Q  .
(7.12)
Его решение:
························
Выводы · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Поскольку энергия квадратично связана с полем, то оно также экспоненциально затухает, причем амплитуды компонент E и H изменяются по закону
exp   t / 2Q  . Значит, что поле испытывает затухание.
·······································································
7.2 Полые резонаторы
7.2.1 Прямоугольный резонатор
Рассмотрим подробно полый резонатор, показанный на рисунке 7.3, а.
В приближении идеальной проводимости оболочки собственные частоты определяются по формуле (7.5), в которую надо подставить выражение поперечных
волновых чисел      тп . В результате имеем:
  mnp

2
2
m n  p

     
  a   b   L 
2
(7.13)
(символ тпр отражает тот факт, что собственная частота определяется индексами m, n и p). Заметим, что выражение собственных чисел (7.5) в данном случае принимает вид    k   . Собственные колебания будем классифициро2
2
2
вать, опираясь на представление о Е- и Н-волнах волновода. Поскольку каждой
из собственных волн Eтп или H тп соответствует бесконечный ряд собствен-
162
ных колебаний, различающихся числами р, будем говорить о типах собственных колебаний Eтпp или H тпp . Выпишем выражения соответствующих полей.
Е-колебания:
mnp
Em


  x0
mnp
Hm
mnp
где E0
 jE0
mnp
m
a
 z sin mx sin ny cos pz  1 p 
2
 0
a
b
L
  mn L
 E0
mnp
cos
mx
a
sin
ny
b
 y0
n
b
sin
mx
a
cos
ny 
pz 
;
 sin
b 
L 
(7.14)
mnp ε 
  mn
2
n
mx
ny
m
mx
ny 
pz
cos
 y0
cos
sin
,
 x0 sin
 cos
a
b
a
a
b 
L
 b
– неопределенные коэффициенты. Индексы m, n, p могут принимать
следующие значения: m, n = 1, 2,…; p = 0, 1, 2, … (см. пп. 7.1.1).
Н-колебания:
Em  iH 0
mnp
 y0
Hm  H0
mnp


   x0
m
a
sin
mnp  
  mn
2
m
a
sin
n
mx
ny
sin

  x0 cos
b
a
b

mx
a
cos
ny 
pz
b 
L
 sin
;
(7.15)
 z cos mx cos ny sin pz  j 1 p 
2
 0
a
b
L
  mn L
mx
a
cos
ny
b
 y0
n
b
cos
mx
a
sin
ny 
pz 
.
 cos
b 
L 
В отличие от Е-колебаний, в данном случае m, n = (0), 1, 2, и p = 0, 1, 2,…;
нуль в скобках означает, что m и n не могут вместе быть равны нулю.
·····························································
Прежде чем анализировать собственные колебания прямоугольного резонатора, отметим, что записанное представление полей не является единственно возможным. Можно тремя различными способами выбирать продольную ось z, т. е. получать резонатор,
мысленно перегораживая три разных ортогонально ориентирован-
163
ных прямоугольных волновода, как показано на рисунке 7.4, а. Мы
получим три различных классификации собственных колебаний.
·····························································
Рис. 7.4 – Три различных классификации собственных колебаний
прямоугольного резонатора в зависимости от выбора продольной оси z
Возвращаясь к выбору индексов m, n, р в формулах (7.13) и (7.14), видим,
что любая комбинация трех целых чисел, одно из которых может быть заменено нулем, определяет один или несколько типов колебаний резонатора. Разные
собственные колебания (в частности, Emnp или Hmnp), имеющие одинаковые собственные частоты, называются вырожденными. Очевидно, что различные линейные комбинации полей такого рода также представляют собой собственные
колебания.
164
Какова низшая собственная частота резонатора без потерь? Чтобы найти
ее значение при заданных размерах a, b и L, надо минимизировать выражение
для тпр (7.13) соответствующим выбором чисел m, n и р. Одно из них, которое отвечает наименьшему размеру, берется равным нулю, а каждое из оставшихся – единице. Соответствующий тип колебаний резонатора называется основным.
·····························································
Структура поля этого типа колебаний показана на рисунке 7.4, б при трех вариантах выбора системы координат. Одна и та
же структура получает разные обозначения: Е110, Н101, Н011. Нулевой
индекс соответствует той оси (x, y или z), вдоль которой поле однородно.
·····························································
Рассмотрим несколько картин силовых линий собственных колебаний
прямоугольного резонатора (рис. 7.5, 7.6).
Рис. 7.5 – Структура поля Н101 в прямоугольном резонаторе
165
Рис. 7.6 – Структура поля Е111 в прямоугольном резонаторе
На рисунке 7.5 показан тип колебаний Н101; на рисунке 7.6 – тип Е111. Эти
изображения полезно сравнить с соответствующими мгновенными снимками
волн в прямоугольном волноводе. Таким образом, сопоставляются стоячие
и бегущие волны. Различие картин силовых линий состоит в том, что системы
электрических и магнитных линий в одном случае сдвинуты на  4 по отношению друг к другу. При этом в волноводе вектор Пойнтинга вдоль оси z
не меняет знак.
В резонаторе полные поля E и H сдвинуты по фазе на 90°, а средние
значения вектора Пойнтинга равны нулю.
7.2.2 Другие полые резонаторы
Рассмотрим в краткой форме некоторые другие полые электромагнитные
резонаторы. Рассекая идеально проводящими поперечными плоскостями коаксиальную линию, получаем коаксиальный резонатор. Если ограничиться рассмотрением собственных колебаний типа Т, собственные частоты   р будут
определяться формулой (7.5). Соответствующие типы колебаний будем обозначать Тр.
166
На рисунке 7.7 показано строение поля типа Т100.
Рис. 7.7 – Структура поля Т100 в коаксиальном резонаторе
Как известно, при относительно низких частотах используются квазистационарные резонаторы (колебательные контуры), составляемые из индуктивных и емкостных элементов. Поскольку электрическое и магнитное поля
при этом можно считать пространственно разделенными, применяется теория
цепей. Близкими свойствами обладают некоторые полые резонаторы, используемые, в частности, в электронике СВЧ. Таков, например, тороидальный резонатор, показанный на рисунке 7.8. Его электрическое поле при основном типе колебаний можно рассматривать как сосредоточенное между центральными
плоскими элементами в узком зазоре.
Принимая эту часть за плоский конденсатор, имеем C  S d (рис. 7.8, а).
Рис. 7.8 – Структура электрического и магнитного полей
тороидального резонатора при основном типе колебаний
167
Магнитное поле описывается концентрическими силовыми линиями, подобно полю тороидального соленоида, так что H  I 2r , где I – полный ток
резонатора, линии которого расходятся в радиальных сечениях (рис. 7.8, б). Поэтому
L 
  0

I
I
 Hds 
S
0
2

S
ds
.
r
Собственную частоту основного типа колебаний определим по формуле
  ( LC ) 1/ 2 . Внося L и C, имеем
1
 
ds 
 .
  2d  2 S 
c S r 



(7.16)
·····························································
Рассматривавшиеся выше полые резонаторы типичны для
техники СВЧ, главным образом для диапазона сантиметровых волн.
Их отличительным признаком является весьма высокая добротность, которая в отдельных случаях может превышать 75. В силу
ряда причин (в частности, технологических) наиболее распространены цилиндрические резонаторы. Известно, что цилиндрический
резонатор легко сделать перестраиваемым, снабдив передвижным
дном – «поршнем». Для типов колебаний Н0mp так называемый бесконтактный поршень, т. е. дно, не касающееся цилиндрической поверхности, почти не нарушает условий существования поля, не разрывая путей токов в оболочке (они азимутальные). Различные
полые резонаторы сложной формы незаменимы в СВЧ-электронике.
·····························································
Объемные резонаторы используют в качестве резонансных звеньев полосно-пропускающих и полосно-заграждающих СВЧ-фильтров, для стабилизации частоты СВЧ-генераторов. Перестраиваемые объемные резонаторы широко
применяются при СВЧ-измерениях. В большинстве случаев объемный резона-
168
тор представляет собой отрезок направляющей системы СВЧ, ограниченный
с двух сторон проводящей поверхностью. По типу используемой направляющей системы можно выделить прямоугольные, цилиндрические, коаксиальные
объемные резонаторы.
7.2.3 Твердотельные и планарные резонаторы
Развитие линий передачи затронуло и принципы конструирования резонаторов. Миниатюризация полых резонаторов возможна лишь на основе применения все более оптически плотных заполняющих сред. Поскольку собственные частоты изменяются как  1 2 , можно изготовить электромагнитный
резонатор малых размеров, металлизировав поверхность диэлектрического шарика или, например, диска с высокой проницаемостью. Однако в металлизации
нет необходимости (к тому же появятся потери в металле): диэлектрическое тело в оптически менее плотной среде (например, воздухе) само способно быть
резонатором. Диэлектрические резонаторы находят применение на практике.
На рисунке 7.9, а показаны диэлектрические резонаторы, помещенные
в полый волновод. Физическая причина, обусловливающая накопление энергии
внутри диэлектрического тела, в определенном смысле та же, что при полном
отражении волн от границы с менее оптически плотным диэлектриком.
Рис. 7.9 – Диэлектрические резонаторы, помещенные в полый волновод (а);
прямоугольный и дисковый полосковые резонаторы (б)
Задача о собственных колебаниях диэлектрического шара строго решается методом разделения переменных. При этом внутреннее поле представляется
так же, как в случае полого резонатора, а внешнее – через функции Ханкеля.
Удовлетворение условиям непрерывности E и H  на поверхности шара при-
169
водит к двум уравнениям относительно собственных волновых чисел – для
классов колебаний Е и Н.
Поскольку миниатюризация линий передачи привела к появлению различных планарных структур, были созданы и соответствующие планарные резонаторы. Таковы различные полосковые резонаторы, например прямоугольный и дисковый (рис. 7.9, б).
··························································
Контрольные вопросы по главе 7
··························································
1. Чем отличаются структуры полей Е и Н в прямоугольном волноводе и
резонаторе, образованном на его основе?
2. Дайте определение добротности резонатора. Какие виды потерь энергии в нем присутствуют?
3. Объемный резонатор на частоте 1 ГГц имеет добротность 6 000. За
сколько периодов колебаний амплитуда электрического и магнитного
полей уменьшится в нем в e2   23 раза и какое это займет время?
Ответ: за 6 000 периодов и 6 мкс.
4. Прямоугольный резонатор возбуждается на типе колебаний Н101. Как
будет называться тип колебаний, если оси y и z поменять местами?
5. Выведите формулу для низшей частоты кубического резонатора и
определите ее для резонатора со стороной 0,1 м.
Ответ: f0 = 2,12 ГГц.
6. За счет какого явления электрические и магнитные поля удерживаются внутри диэлектрического резонатора?
7. Почему в оптическом диапазоне существуют открытые резонаторы, а
не замкнутые?
8. Какие факторы влияют на величину собственной добротности объемного резонатора?
170
9. Дайте определение собственной и нагруженной добротности объемного резонатора.
10. Какие основные типы колебаний наблюдаются в цилиндрическом
объемном резонаторе и при каких соотношениях диаметра резонатора
к длине? Нарисуйте их структуру.
11. Изобразите распределение электрического и магнитного полей в цилиндрическом резонаторе с колебаниями Н112.
12. Изобразите распределение электрического и магнитного полей в цилиндрическом резонаторе с колебаниями Н013.
13. Как изменение степени связи резонатора с нагрузкой влияет на значение резонансной частоты?
14. Почему значения собственных добротностей объемных резонаторов
на СВЧ много больше значений собственных добротностей колебательных контуров на низких частотах?
15. Дайте определение внесенной добротности объемного резонатора.
171
Литература
1. Никольский В. В. Электродинамика и распространение радиоволн :
учеб. пособие / В. В. Никольский, Т. И. Никольская. – 4-е изд. – М. :
Либроком, 2010. – 544 с.
2. Электродинамика
и
распространение
радиоволн
:
учебник
/
В. А. Неганов [и др.] ; под ред. В. А. Неганова, С. Б. Раевского. – 4-е
изд., доп. и перераб. – М. : Радиотехника, 2009. – 744 с.
3. Морозов А. В. Электродинамика и распространение радиоволн /
А. В. Морозов, А. Н. Нырцов, Н. П. Шмаков. – М. : Радиотехника,
2007. – 408 с.
4. Нефедов Е. И. Техническая электродинамика : учеб. пособие для студентов высших учеб. заведений / Е. И. Нефедов. – М. : Академия,
2008. – 416 с.
5. Петров Б. М.
Электродинамика
и
распространение
радиоволн /
Б. М. Петров. – М. : Горячая линия-Телеком, 2007. − 558 с.
6. Пименов Ю. В. Техническая электродинамика : учеб. пособие для вузов / Ю. В. Пименов,
В. И. Вольман,
А. Д. Муравцов ;
под
ред.
Ю. В. Пименова. – М. : Радио и связь, 2002. – 536 с.
7. Крамм М. Н. Сборник задач по основам электродинамики : учеб. пособие для вузов / М. Н. Крамм. – СПб. : Лань, 2011. – 248 с.
8. Боков Л. А. Электромагнитные поля и волны : учеб. пособие /
Л. А. Боков. – Томск : Том. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2003. – 214 с.
9. Сомов А. М. Распространение радиоволн : учеб. пособие для студентов, обучающихся по специальностям в области информационной
безопасности / А. М. Сомов, В. В. Старостин. – М. : Гелиос АРВ,
2010. – 264 с.
172
10. Электромагнитные поля и волны : учеб. пособие / Ж. М. Соколова
[и др.] – Томск : Том. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2006. – 175 с.
11. Мандель А. Е. Распространение радиоволн : учеб. пособие /
А. Е. Мандель, В. А. Замотринский. – Томск : Том. гос. ун-т систем
управления и радиоэлектроники, 2006. – 164 с.
12. Антенно-фидерные устройства и распространение радиоволн : учебник для вузов / Г. А. Ерохин [и др.] ; под ред. Г. А. Ерохина. –
2-е изд. – М. : Горячая линия-Телеком, 2004. – 491 с.
13. Распространение радиоволн : учебник / О. И. Яковлев [и др.]. –
2-е изд. – М. : ЛЕНАНД, 2012. – 496 с.
14. Устройства СВЧ и антенны / Д. И. Воскресенский [и др.]. – М. : Радиотехника, 2006. – 378 с.
15. Нефедов Е. И. Распространение радиоволн и антенно-фидерные
устройства : учеб. пособие / Е. И. Нефедов. – М. : Академия, 2010. –
320 с.
16. Маковеева М. М. Системы связи с подвижными объектами : учеб. пособие для вузов / М. М. Маковеева, Ю. С. Шинаков.  М. : Радио и
связь, 2002. – 440 с.
17. Долуханов М. П. Распространение радиоволн / М. П. Долуханов. –
М. : Связь, 1972. –336 с.
18. Грудинская Г. П. Распространение радиоволн / Г. П. Грудинская. –
М. : Высш. шк., 1975. – 280 с.
19. Черный Ф. Б. Распространение радиоволн / Ф. Б. Черный. – М. : Советское радио, 1972. – 458 с.
20. Черенкова Е. Л. Распространение радиоволн / Е. Л. Черенкова,
О. В. Чернышев. – М. : Радио и связь, 1984. – 272 с.
21. Красюк И. П. Электродинамика и распространение радиоволн /
И. П. Красюк, Н. Д. Дымович.  М. : Высш. шк., 1974. – 536 с.
173
22. Баскаков С. Н. Электродинамика и распространение радиоволн /
С. Н. Баскаков. – М. : Высш. шк., 1992. – 416 с.
23. Фейнберг Е. Л. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности / Е. Л. Фейнберг. – М. : Наука. – 546 с.
24. Калинин А. Н. Распространение радиоволн и работа радиолиний /
А. Н. Калинин, Е. Л. Черенкова. – М. : Связь, 1971. – 433 c.
174
Список сокращений и обозначений
ДВ – длинные волны
КВ – короткие волны
РЛС – радиолокационная станция
РРЛ – радиорелейная линия
СВ – средние волны
СДВ – сверхдлинные волны
УКВ – ультракороткие волны
А – векторный магнитный потенциал
D – коэффициент направленного действия антенны
D, B – векторы электрической и магнитной индукции
Е , Н – векторы напряженностей электрического и магнитного поля
F () – диаграмма направленности антенны
F () – диаграмма направленности антенны с учетом влияния Земли
G – коэффициент усиления антенны
Н0 – напряженность постоянного магнитного поля Земли
I(r, t) – электрический ток
j (r , t ) – вектор плотности электрического тока
k – волновое число
L – потери в линии связи (коэффициент ослабления)
M – вектор намагниченности
N – индекс преломления в тропосфере
Ne – электронная концентрация в ионосфере
P – мощность электромагнитного поля
P – вектор электрической поляризации
Pп , Pст – мощности потерь и стороннего источника
р – плотность мощности электромагнитного поля
175
рп , pст – плотности мощностей потерь и стороннего источника
R0 – радиус Земли (6 370 км)
Rэ – эквивалентный радиус Земли
q – электрический заряд
V – функция (множитель) ослабления
W – энергия электромагнитного поля
Wэ ,Wм – энергии электрического и магнитного поля
w – плотность энергии электромагнитного поля
wэ , wм – плотности энергий электрического и магнитного поля
Z 0 – волновое сопротивление свободного пространства
 0 – глубина проникновения электромагнитного поля в проводник
,  – абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости
0 , 0 – диэлектрическая и магнитная постоянные
r , r – относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости
П – вектор Пойнтинга
, ,  – плотности объемного, поверхностного и линейного заряда
 – удельная проводимость среды
 – скалярный электростатический потенциал
э , м – электрическая и магнитная восприимчивости