Курсовая работа

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТУВИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ
Курсовая работа
«Метрические пространства числовых последовательностей и их
свойства»
Выполнила: студентка 3 курса МИ_308
группы направления подготовки 44.03.05
«Педагогическое образование»,
профили «Математика» и «Информатика»
Сарыглар Изольда Аясовна
Подпись: _______________________
Научный руководитель: доктор ф.-м.наук,
профессор кафедры математики и МПМ.
Жданок Александр Иванович
Подпись: _________________________
Дата защиты « » ___________ 2021 г.
Работа защищена с оценкой ________
______________________
(подпись руководителя)
Кызыл-2021г.
Содержание
Введение ………………………………………………………..
Глава 1. Теоретическая часть …………………………………
1.1 Основные определения метрических пространств…...
1.2 Топология метрического пространства………………..
Глава 2. Практическая часть …………………………………..
2.1 Примеры метрических пространств
Заключение ……………………………………………………..
Литература ……………………………………………………...
Введение
Как известно, одним из важнейших понятий в математическом анализе
является понятие предельного перехода, лежащего в основе таких
фундаментальных операций, как дифференцирование и интегрирование.
Более того, в зависимости от рассматриваемых задач в анализе часто вводят
разные
(но
эквивалентные
между
собой)
понятия
предела
для
последовательности одних и тех же математических объектов (вещественные
числа, комплексные числа, n-мерные векторы, функции и т.д.).
Однако все они связаны в основном лишь тем, что между
исследуемыми объектами можно измерять “расстояние”. Это позволяет
ввести и изучить свойства предельного перехода независимо от природы
элементов, участвующих в этом построении. Обобщая известное понятие
расстояния между двумя вещественными числами, мы естественно приходим
к одному из основных понятий современной математики – понятию
метрического пространства (оно было введено впервые французским
математиком М. Фреше в 1906 г.). Отметим также фундаментальную
важность
метрических
идей
в
прикладном
отношении:
всякий
вычислительный процесс должен сходиться к искомому результату.
Настоящее
пособие
представляет
собой
первую
часть
курса
“Функциональный анализ”, посвященную изучению общих и основных
свойств метрических пространств. Структура этого пособия и всех
последующих такова: даются теоретические сведения, примеры решения
задач, относящихся к данной теории, а также задачи для самостоятельного
решения.
Цель курсовой работы: изучение метрических пространств числовых
последовательностей с доказательством их свойств.
Объект: свойства метрических пространств.
Предмет: метрические пространства числовых последовательностей.
Задачи:
- изучить литературу по данной теме;
- обобщить и упорядочить изученный материал;
- собирать и систематизировать материал по теме;
- решить несколько задач по данной теме.
Курсовая работа включает введение, две главы, заключение, список
литературы.
Во введение обосновывается актуальность работы, определены объект,
предмет, цель, задачи и структура работы.
В первой главе рассматриваются понятия, определения и свойства
метрических пространств числовых последовательностей. Во второй главе
анализируется задачи, примеры метрических пространств. В заключении
подводятся итоги, делаются выводы о проделанной работе.
Глава 1. Теоретическая часть
1.1.
Основные определения метрических пространств
Пусть 𝑋 - произвольное множество и пусть любым двум элементам
𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 сопоставлено неотрицательное число (𝑥, 𝑦)  0, обладающее
следующими свойствами, называющимися аксиомами метрики:
1. 𝜌(𝑥, 𝑦) = 0 𝑥 = 𝑦 (аксиома отделимости);
2. 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝜌(𝑦, 𝑥), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 (аксиома симметрии);
3. 𝜌(𝑥, 𝑧) ≤ 𝜌(𝑥, 𝑦) + 𝜌(𝑦, 𝑧), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 (аксиома треугольника).
Аксиомы
1-3
называются
аксиомами
метрического
пространства,
𝜌(𝑥, 𝑦) называется метрикой на множестве 𝑋 , а множество, на котором
задана метрика, называется метрическим пространством.
Последовательность {𝑥𝑛 }+∞
𝑛−0 называется сходящейся последовательностью в
метрическом пространстве 𝑋 , если ∀𝜀 > 0 ∃𝑛0 : ∀𝑛 ≥ 𝑛0 𝜌(𝑥𝑛 , 𝑥) ≤ 𝜀.
Элемент 𝑥 называется пределом последовательности {𝑥𝑛 } .
Если последовательность сходится, то предел этой последовательности
единственен.
Доказательство.
Будем доказывать методом от противного.
Пусть ∃𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋: 𝑥 ≠ 𝑦, 𝑥 и 𝑦 являются пределами последовательности {𝑥𝑛 }.
𝜀
Зафиксируем ∀𝜀 > 0 и возьмём 𝜀0 = . Так как последовательность {𝑥𝑛 }
2
сходится к элементу 𝑥 , то ∀𝜀 > 0 ∃𝑛0′ : ∀𝑛 ≥ 𝑛0′ 𝜌(𝑥𝑛 , 𝑥) ≤ 𝜀0 . Так как 𝑦
является пределом последовательности {𝑥𝑛 }
, то ∀𝜀 > 0 ∃𝑛0′′ : ∀𝑛 ≥
𝑛0′′ 𝜌(𝑥𝑛 , 𝑥) ≤ 𝜀0 .
Возьмем
𝑛0 = max{𝑛0′ , 𝑛0′′ }.
Так
как
𝑛0 > 𝑛0′ ,
то ∀𝜀0 > 0 ∃𝑛0 : ∀𝑛 ≥
𝑛0 𝜌(𝑥𝑛 , 𝑥) ≤ 𝜀0
Аналогично, т.к. 𝑛0 > 𝑛0′′ , то ∀𝜀0 > 0 ∃𝑛0 : ∀𝑛 ≥ 𝑛0 𝜌(𝑥𝑛 , 𝑥) ≤ 𝜀0
Рассмотрим
расстояние:
𝜌(𝑥, 𝑦) ≤ 𝜌(𝑥, 𝑥𝑛 ) + 𝜌(𝑥𝑛 , 𝑦) = 𝜌(𝑥𝑛 , 𝑥) +
𝜌(𝑥𝑛 , 𝑦) ≤ 𝜀0 + 𝜀0 = 𝜀
Итак, получили, что ∃𝑥 ∈ 𝑋, ∀𝜀0 > 0 ∃𝑛0 : ∀𝑛 ≥ 𝑛0 𝜌(𝑥, 𝑦) ≤ 𝜀.
При   0 получаем
0 ≤ 𝜌(𝑥, 𝑦) ≤ 0  𝜌(𝑥, 𝑦) = 0  𝑥 = 𝑦
Последовательность {𝑥𝑛 } в метрическом пространстве 𝑋 называется
фундаментальной, если ∀ > 0 ∃𝑛0 : ∀𝑛, 𝑚 ≥ 𝑛0 𝜌(𝑥𝑛 , 𝑥𝑚 ) ≤ 𝜀.
Легко доказывается, что если последовательность {𝑥𝑛 }
сходится, то она
фундаментальна.
Доказательство. Зафиксируем произвольное   0 . Возьмём 𝜀0 =
𝜀
2
.
Так как {𝑥𝑛 } сходится, то ∃𝑛0 : ∀𝑛 ≥ 𝑛0 𝜌(𝑥𝑛 , 𝑥) ≤ 𝜀0 и ∀𝑚 ≥ 𝑛0 : 𝜌(𝑥𝑚 , 𝑥) ≤
𝜀0 .
𝜌(𝑥𝑛 , 𝑥𝑚 ) ≤ 𝜌(𝑥𝑛 , 𝑥) + 𝜌(𝑥𝑚 , 𝑥) ≤ 𝜀0 + 𝜀0 =  .
Метрическое пространство 𝑋 , в котором любая фундаментальная
последовательность
сходится,
называется
полным
метрическим
пространством.
Подмножество 𝑋0 ∈ 𝑋, 𝑋 - метрическое пространство, называется
подпространством этого метрического пространства, если в 𝑋0 введена
метрика из метрического пространства 𝑋 , то есть ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋0 𝜌0 (𝑥, 𝑦) =
𝜌(𝑥, 𝑦), где  - метрика и пара {𝑥0 , 𝜌0 } - подпространство метрического
пространства 𝑋 с 𝜌0 - индуцированной метрикой пространства 𝑋 .
1.2.
Топология метрического пространства.
Пусть 𝑋 ─ метрическое пространство с мерой 𝜌(𝑥, 𝑦) . Открытым шаром с
центром в точке 𝑥0 и радиусом 𝑟  0 называется множество 𝑈(𝑥0 , 𝑟) ∈ 𝑋 .
𝑈(𝑥0 , 𝑟) = {𝑥 ∈ 𝑋 | 𝜌(𝑥, 𝑥0 ) < 𝑟}.
Точка 𝑥0 называется центром шара ,а 𝑅 ─радиусом шара.
Замкнутым шаром с центром в точке 𝑥0 и радиусом 𝑟  0 называется
̅(𝑥0 , 𝑟)  𝑋, которое определяется следующим образом:
множество 𝑈
̅(𝑥0 , 𝑟) = {𝑥 ∈ 𝑋 | 𝜌(𝑥, 𝑥0 ) ≤ 𝑟}
𝑈
Сферой с центром в точке 𝑥0 и радиусом 𝑟  0 называется множество
𝑆(𝑥0 , 𝑟) 𝑋, которое определяется 𝑆(𝑥0 , 𝑟) = {𝑥 ∈ 𝑋 | 𝜌(𝑥, 𝑥0 ) = 𝑟}
̅(𝑥0 , 𝑟) = 𝑈(𝑥0 , 𝑟) ∪ 𝑆(𝑥0 , 𝑟).
Из определения следует, что 𝑈
Пусть 𝑀 X , точка 𝑥0 ∈ 𝑀 называется внутренней точкой множества 𝑀 ,
если ∃𝑈(𝑥0 , 𝑟)  𝑀.
Легко проверить, что любая точка открытого шара является внутренней
точкой этого шара .
Совокупность всех внутренних точек множества 𝑀 называется
внутренностью множества 𝑀 и обозначается 𝑀0 .
Множество 𝑀0 может быть пустым, например, прямая на плоскости.
Пример.
Если 𝑋 = 𝑅, 𝑀 = 𝑍, то 𝑍 0 = ∅.
Множество 𝑀 называется открытым, если каждая точка этого множества
является внутренней точкой. Это означает 𝑀 𝑀0 . Очевидно, что выполнено
и обратное, т.е. 𝑀 0  𝑀 .
0
Получаем, что { 𝑀0 𝑀  𝑀 = 𝑀0
𝑀 𝑀
Множество 𝑀 является открытым тогда и только тогда ,когда оно совпадает
со своей внутренностью.
Пример.
Примером открытого множества является открытый шар.
Если точка 𝑥 принадлежит открытому множеству, то существует шар,
который содержится в данном множестве.
Совокупность всех открытых множеств метрического пространства 𝑋
называется топологией этого пространства и обозначается   𝑥, когда 𝑥
фиксировано, то  .
Топология метрического пространства обладает следующими
характеристическими свойствами:
1)  , 𝑋  , т.е. пустое множество и пространство 𝑋 - открытое множество.
2) Объединение любого семейства множеств из  принадлежит 𝜏, т.е 𝑀𝛾 ∈
𝜏, ∀𝜏 ⋃𝛾 𝑀𝛾 ∈ 𝜏.
Доказательство.
Возьмем точку 𝑥0 = ⋃𝛾 𝑀𝛾
= 𝑀∃𝛾0 : 𝑥0 ∈ 𝑀𝛾
0
. Нам дано, что 𝑥0 ∈
𝜏∃𝑈(𝑥0 , 𝑟) 𝑀𝛾0  𝑀. Т.к. 𝑥0 - произвольная точка, то любая точка является
внутренней, следовательно, множество 𝑀 открыто, т.е. 𝑀 ∈ 𝜏 .
3) Пересечение любого конечного семейства из 𝜏 принадлежит 𝜏 , т.е.
𝑀1 , 𝑀2 , … , 𝑀𝑛 ∈ 𝜏  ⋂𝑛𝑘−1 𝑀𝑘 ∈ 𝜏
Доказательство.
Докажем это свойство для двух множеств, а дальше для доказательства
используем метод математической индукции.
Пусть 𝑀1 , 𝑀2 ∈ 𝜏. Рассмотрим 𝑀 = 𝑀1 ∩ 𝑀2 . Докажем, что 𝑀 ∈ 𝜏.
Для этого рассмотрим ∀𝑥0 ∈ 𝑀.
Т.к. 𝑥0 ∈ 𝑀 𝑥0 ∈ 𝑀1 ∩ 𝑀2  𝑥0 ∈ 𝑀1 и 𝑥0 ∈ 𝑀2 .
Множество 𝑀1 - открыто, т.е. 𝑥0 -внутренняя точка множества 𝑀1 , значит
∃𝑟1 > 0: 𝑈(𝑥0 , 𝑟1 )  𝑀1 .
Множество 𝑀2 - открыто, т.е. 𝑥0 -внутренняя точка множества 𝑀2 , значит
∃𝑟2 > 0: 𝑈(𝑥0 , 𝑟2 )  𝑀2
Пусть 𝑟 = min{𝑟1 , 𝑟2 } > 0, тогда 𝑈(𝑥0 , 𝑟)  𝑈(𝑥0 , 𝑟1 ) и
𝑈(𝑥0 , 𝑟)  𝑈(𝑥0 , 𝑟2 )  𝑈(𝑥0 , 𝑟) 𝑀1 и 𝑈(𝑥0 , 𝑟)  𝑀2  𝑈(𝑥0 , 𝑟) 𝑀1 ∩ 𝑀2 = 𝑀.
Так как точка была выбрана произвольно и она оказалась внутренней, то
любая точка является внутренней, значит 𝑀  , т.е. 𝑀 - открытое
множество.
Пусть 𝑀  Х . Рассмотрим дополнение множества 𝑀 , которое обозначается
𝑀𝑐 = 𝑋\𝑀.
Рассмотрим внутренность множества 𝑀 𝑐 ∶ 𝑀𝑐0 = (𝑀𝑐 )0 . Эта внутренность
дополнения множества 𝑀 .
𝑀𝑐 называется внешностью множества 𝑀 .
Определение. Множество 𝑀  Х называется замкнутым ,если дополнение 𝑀𝑐
открыто.
Совокупность замкнутых множеств обозначим через   , тогда из свойств
топологии метрического пространства получаем следующие свойства
замкнутых множеств.
1 . ∅ , 𝑋   
∅𝑐 = 𝑋(∅𝑐 )𝑐 = 𝑋 𝑐 ∅ = 𝑋 𝑐
2. Пересечение любого семейства замкнутых множеств является замкнутым,
т.е. 𝑀𝛾 ∈ 𝜏 ′ , ∀𝜏 ′  ⋂𝛾 𝑀𝛾 ∈ 𝜏 ′ .
(⋂𝛾 𝑀𝛾 )𝑐 = ⋂𝛾 𝑀𝛾𝑐 , т.к. 𝑀𝛾 - замкнуто, то ⋂𝛾 𝑀𝛾𝑐 - открыто, следовательно,
⋂𝛾 𝑀𝛾 - открыто, значит замкнуто.
3 . Объединение любого конечного числа замкнутых множеств является
замкнутым, т.е. 𝑀1 , 𝑀2 , … , 𝑀𝑛 ∈ 𝜏 ′  ⋃𝑛𝑘=1 𝑀𝑘 ∈ 𝜏 ′ .
Заключение
Мы изучили метрические пространства, их свойства. Метрические
пространства имеют большое значение в различных сферах
человеческой деятельности. Мы, конечно, затронули не все
стороны этой темы, а лишь основную часть. Но самые важные
моменты этой темы мы отразили.
Список литературы:
1.Вулих, Б.З. Введение в функциональный анализ/ Б.З. Вулих.– М.:
Физматгиз, 1958.
2.Городецкий, В.В. Методы решения задач по функциональному анализу/
В.В. Городецкий, Н.И. Нагнибида, П.П. Настасиев. – К.: Выща шк., 1990.
3.Иосида, К. Функциональный анализ/ К. Иосида. –М.: Мир, 1967.
4.Канторович, Л.В. Функциональный анализ в нормированных пространствах/ Л.В. Канторович, Г.П. Акилов.– М.: Физматгиз, 1959.
5.Канторович,Л.В. Функциональный анализ/ Л.В. Канторович, Г.П.Акилов.
–М.: Наука, 1974.
6.Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/
А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин.– М.: Наука, 1981.
7.Кутузов, А.С. Числовые ряды/ А.С. Кутузов, С.М. Серебрянский. – Троицк,
2010.
8.Люстерник, Л.А. Краткий курс функционального анализа/
Л.А.Люстерник, В.И. Соболев.– М.: Наука, 1982.
9.Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа/ Л.А. Люстерник,
В.И. Соболев. – М.: Наука, 1965.
10.Рисс, Ф. Лекции по функциональному анализу/ Ф. Рисс, Б.С. Надь.– М.:
ИЛ, 1954.
11.Рудин, У. Функциональный анализ/ У. Рудин.– М.: Мир, 1975.
12.Треногин, В.А. Задачи и упражнения по функциональному анализу/ В.А.
Треногин,Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева. – М.: Наука, 1984.
13.Треногин, В.А. Функциональный анализ/ В.А. Треногин. –М.: Наука,
1980г.