ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
для студентов заочного отделения математического факультета
Специальность "010100 Математика" IVкурс (установочная сессия)
1.Конечные и бесконечные множества. Антиномия Рассела. Некоторые формы
идеи бесконечности в математике.
2.Понятие инъекции, сюръекции и биекции. Эквивалентные множества. Доказать, что любые два отрезка эквивалентны.
3-6.Понятие счетного множества. Свойства счетных множеств. Доказать счетность множества : а) всех целых чисел; б) всех рациональных чисел; в) всех алгебраических чисел; г)множества M = { a(i1,i2,…,in) ikГk, k=1,2,…,n}, где card
Г1=card Г2= … =card Гn =a . [1,§2; 2,гл.1,§3]
7-8.Теорема Кантора о несчетности множества всех действительных чисел.
Привести: а) первое доказательство; б) второе доказательство теоремы Кантора.
9. Мощность континуума. Свойства множеств мощности континуума.
10-11.Доказать, что А имеет мощность континуума, если А – множество:
а)всех иррациональных чисел; б) всех трансцендентных чисел.
12.Мощность совокупности всевозможных последовательностей, составленных из нулей и единиц.
13.Мощность булеана (N) множества натуральных чисел.
14.Мощность множества M = { a(i1,i2,…,in, …) ikГk, k=1,2,…,n,…}, где card
Г1=card Г2= … =card Гn =...=c. [1,§3; 2,гл.1,§4]
15.Определение Дедекинда бесконечного множества.
16.Сравнение мощностей. Примеры.
17. Лемма о мощности промежуточного множества. Теорема Кантора – Бернштейна.
18.Теорема Кантора о мощности булеана. Существование сколь угодно высоких мощностей.
19.Континуум-гипотеза. [1,§4; 2,гл.1,§5]
20.Аксиома выбора. [3,гл.1,§4]
21.Понятие метрического пространства. Примеры метрических пространств.
22.Метрика на множестве: а) R ;б) R2 (евклидова и другие метрики).
23. Свойства метрики.
24.Открытый шар. Открытое множество. Объединение открытых множеств.
25.Пересечение конечной совокупности открытых множеств. Контрпример.
26.Структура открытых множеств на прямой.
26.Сходящиеся последовательности в метрическом пространстве.
27.Доказательство теоремы о единственности предела сходящейся последовательности.
28. Понятие ограниченного множества. Ограниченность сходящейся последовательности.
29.Замкнутые множества. Дополнение замкнутого множества.
30.Дополнение открытого множества.
31. Пересечение замкнутых множеств. Объединение конечной совокупности
замкнутых множеств. Контрпример.
32.Классификация точек метрического пространства по отношению к данному
множеству (точки прикосновения; предельные, изолированные, внутренние и
граничные точки).
33.Понятие полного пространства. Примеры полных пространств. Пример неполного пространства. Пополнение метрических пространств. [1,§13; 3,гл.2,§3]
34.Пространство C[a,b] .
35.Сжимающие отображения. Принцип сжимающих отображений.
36. Метод последовательных приближений. Теоремы существования. [1,§14;
3,гл.2,§4]
37.Линейные нормированные пространства. Норма и метрика. Примеры. [1,§6]
38.Предгильбертовы пространства. Определение. Примеры. Геометрия предгильбертовых пространств. [1,§7]
39.Компактные метрические пространства. Определение компактности. Свойства компактов.
40. Критерий компактности в пространстве Rn с евклидовой метрикой. Открытые покрытия компактов. [1,§10]
41.Непрерывные отображения метрических пространств. Свойства.
42.Непрерывные отображения компактов. [1,§11]
43.Связные метрические пространства. Компоненты. [1,§12]
ЛИТЕРАТУРА
1. Виленкин Н.Я., Балк М.Б., Петров В.А. Математический анализ. Мощность.
Метрика. Интеграл. – М.: Просвещение, 1980.-144с.
2. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. –М.: Наука, 1974.480с.
3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального
анализа. 6-е изд.- М.: Наука, 1989.