3.3 ОБРАЗЦЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ Раздел 1 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА Вариант 1 Часть А А1 Алгебра A подмножеств множества Х обязательно обладает 1) 1 и 3; следующими свойствами: 2) 5 и 2; 1) Ø, X A ; 2) B1 , B2 X B1 \ B2 A ; 3) B A B A ; 3) 2 и 3; 4) 1 и 4; 4) B1 ,, Bn A B j , B j A ; 5) B1 , B2 X B1 B2 A . 5) 1 и 5. j 1 j 1 А2 Укажите пары равномощных множеств: 1) 3 и 4; 2) 2 и 3; 1) N и 3,4,5, ; 2) R и ( 2 ; ) ; 3) R и ( / 2; / 2) ; 3) 1 и 3; 4) 3,14; 2 и 2; ; 5) 4;7 и 4;7 . 4) 1 и 4; 5) 4 и 5. А3 Какая из следующих систем множеств является полуалгеброй, но не является алгеброй? 1) 1; 1) все ограниченные множества на числовой прямой; 2) 2; 2) все конечные множества на числовой прямой; 3) 3; 3) всевозможные полуинтервалы на прямой (конечные и 4) 4; бесконечные); 5) 5. 4) все выпуклые множества на плоскости; 5) все счётные множества на числовой прямой. А4 Какая из следующих функций множества продолжается до меры, определенной на - алгебре P( X ) всех подмножеств множества X a, b, c ? 1) 1; 1) a, b 0; c 2; a, b, c 2 ; 2) 2; 3) 3; 2) a, b 4; a, c 0; b, c 1; 4) 4; 3) a 1; a, c 1; a, b, c 1; 5) 5. 4) a, b 0; a, c 0; a, b, c 2 ; 5) a 1; a, c 0,1; a, b, c 1. А5 Среди следующих утверждений найти неверное: 1) сумма двух измеримых функций есть измеримая функция; 2) если квадрат функции есть измеримая функция, то и сама функция также измерима; 3) произведение двух измеримых функций есть измеримая функция; 4) любая непрерывная функция на прямой является измеримой относительно меры Лебега; 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5. 5) если функция измерима, то её модуль также есть измеримая функция. Часть В 3 В1 В2 В3 Найти сумму всех значений простой функции ( x) n 2 21/ n;2 ( x) . e D ( x ) Вычислить интеграл Лебега x 3;5 n 1 ( x) dm( x) , где D – функция Дирихле, m – мера Лебега. Вычислить 5n 0;52 n ( x) dm( x) . 0;1 n1 В4 2 0, x e ; Найти ln xdF ( x) , где F ( x) ln x, x e 2 . e 2 ;e 3 В5 При каких значениях параметра мера Лебега-Стилтьеса m F с функцией распределения F будет - аддитивной? t 3 , t 5; F (t ) , t 5; t 125, t 5. В6 Установить соответствие между множествами, имеющими одинаковую меру Лебега. 1) x : x 2 a 2 0 ; A) ; a ; 2) a; b ; B) a; b ; C ) a; b . 3) b; . Раздел 2 МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ В НИХ Вариант 1 Часть А А1 Функция ( x, y ) b x(t ) y (t ) dt в пространстве L a; b 1 a не обладает следующими свойствами: 1) ( x, y) 0 ; 2) ( x, y) 0 x y ; 3) ( x, y) ( y, x) ; 4) ( x, y) ( x, z ) ( z, y) ; 5) ( x, y) ( x, y) . 1) 1 и 3; 2) 5 и 2; 3) 2 и 3; 4) 1 и 4; 5) 1 и 5. А2 Укажите не сходящиеся к нулю последовательности xn в метрическом пространстве l2 : 2 n2 1 n 1 1) xn n ;...; n ;0;... ; 2) xn n ;...; n ;0;... ; 2 2 2 2 n n 1 1 1 1 ;...; ;0;... ; 3) xn 2 ;...; 2 ;0;... ; 4) xn n n n n n n cos n cos n 5) xn 2 ;...; 2 ;0;... . n n n А3 Укажите количество верных утверждений. 6) сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет только одну неподвижную точку; 7) замкнутое подмножество любого метрического пространства полно; 8) полное подмножество метрического пространства замкнуто; 9) подмножество метрического пространства компактно только тогда, когда оно предкомпактное и замкнуто; 10) подмножество метрического пространства компактно только тогда, когда из любой последовательности его точек можно выделить фундаментальную подпоследовательность. А4 Пусть Ax (t ) x(t ) — оператор дифференцирования, действующий из X в Y. Среди пар X ,Y укажите те, при которых оператор дифференцирования не является непрерывным. 1) X C10,2 , Y C0,1 ; 2) X C10,1 , Y C0,1 ; 2 2 1) 3 и 4; 2) 2 и 3; 3) 1 и 3; 4) 1 и 4; 5) 4 и 5. 4 3) X C 20,1 , Y C10,1 ; 4) X C 20,2 , Y C0,2 ; 5) X C10,1 , Y C0,2 . 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5. 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5. А5 Пусть F : C0,1 C0,1 . Какая из функций не задаёт 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5. непрерывное отображение в точке x0 (t ) t ? 1) Fx (t ) sin x 2 (t ) ; 2) Fx (t ) x( t ) ; 3) Fx (t ) (t s) x( s)ds ; 0 4) Fx (t ) x 2 (t )sin t ; 1 x( s ) ds 5) Fx (t ) . 0 t s А6 Какими свойствами: 1) замкнутое; 2) открытое; 3) полное; 4) ограниченное; 5) компактное не обладает подмножество 2 ? M ( x; y) : x y x 2 пространства 1 1) 2 и 5; 2) 2 и 3; 3) 1 и 5; 4) 1 и 4; 5) 4 и 5. Часть В Найти неподвижную точку отображения F : C 0;1 C 0;1 , заданного 1 В1 формулой Fx (t ) 0 tsx(s)ds 1 . В2 Найти 2 A , если A : L2 [0;1] L2 [0;1], ( Ax )(t ) x(8 t ) . Найти норму линейного ограниченного оператора В3 В4 x(1) x(2) x( k ) A : l7 l7 , Ax 0,0, , 2 ,..., k ,... . 3 3 3 При каких значениях параметра необратим оператор A : 3 3 заданный формулой Ax ( x1 x3 ),2 x2 ,( 1) x3 ? В ответе укажите сумму этих значений. Раздел 3 пространствах Операторы в нормированных и гильбертовых 1. Оператор, действующий в гильбертовых пространствах, называется сопряжённым к оператору A , если___________________. 2. Укажите неверное утверждение: а) оператор компактен тогда и только тогда, когда образ единичного шара с центром в нуле является предкомпактным множеством; б) интегральный оператор компактен тогда и только тогда, когда его ядро представляет собой непрерывную функцию; в) произведение ограниченного оператора и компактного оператора есть компактный оператор; г) ноль является точкой спектра компактного оператора; д) компактный оператор в бесконечномерном пространстве имеет ограниченный обратный. 3. Какие из данных функций не задают скалярное произведение в пространстве C[0;1] ? 1 а) x, y et x(t ) y (t )dt 0 1 б) x, y t 0,5 x(t ) y (t )dt 0 1 в) x, y t 1,5 x(t ) y (t )dt 1 г) x, y e t x(t ) y (t )dt 0 0 4. Тождество параллелограмма имеет вид____________________________. 5. Какие из данных векторов в предгильбертовом пространстве ортогональными? а) (1, 1, 1) è (0,1, 0) б) (1, 1, 1) è (1,0, 1) в) (0, 1, 1) è (1,1,1) г) (1, 1, 1) è (1, 1,0) R3 являются 6. Гильбертовым пространством называется_________________________. 1 1 1 7. Спектр оператора A : l2 l2 , Ax x1 , x2 , x3 ,..., n xn ,... представляет 4 2 2 множество: 1 1 1 а) 1, , ,..., n ,... 2 2 4 б) в) 0 собой 1 1 1 г) 0,1, , ,..., n ,... 2 4 2 8. Ортогональное дополнение к множеству M состоит из таких элементов удовлетворяют следующему условию: ___________________________. y , которые 9. Связь нормы и скалярного произведения выражается формулой____________________. 1 10. Решением интегрального уравнения x(t ) (t s ) x( s )ds t является 0 функция____________ Составитель: старший преподаватель кафедры математического анализа Парукевич И.В.