1 Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Курганский промышленный техникум» Сборник контрольных работ по математике для специальностей ТОП – 50 Курган 2021 2 Сборник контрольных работ по математике для специальностей СПО/ авт.-сост.: О.В. Секисова - ГБПОУ «Курганский промышленный техникум». – Курган, 2021 – 24 с. Автор – составитель: Секисова Ольга Викторовна – преподаватель математики ГБПОУ «Курганский промышленный техникум» Рецензенты: Данное учебно-методическое пособие предназначено для проверки знаний студентов специальностей ТОП - 50 по курсу дисциплины «Математика». Сборник содержит контрольные задания с решением нулевого варианта для каждой работы, а также список рекомендуемой литературы. Данное пособие может быть рекомендовано преподавателям учреждений профессионального образования. 3 Введение Сборник контрольных работ по дисциплине « Математика» разработаны для студентов обучающихся по специальностям ТОП – 50 ГБПОУ «Курганский промышленный техникум». Данный сборник контрольных работ предназначен для контроля качества знаний студентов. В сборник включены контрольные работы по темам. В каждой теме предоставлено два варианта, а также решение нулевого варианта. При выполнении заданий контрольной работы студенты должны знать: - основные математические методы решения прикладных задач; - элементы теории множеств и математической логики; - основные свойства корня, степени и логарифма; - основы понятия и аксиомы прямых и плоскостей в пространстве; - основные тригонометрические тожества и формулы . Все вышеперечисленные знания приобретаются студентами на учебных занятиях и в процессе самостоятельной работы. Сборник контрольных работ разработан в соответствии с учебной программой по дисциплине «Математика». 4 Содержание Введение………………………………………………………………..……………… . 3 Контрольная работа 1 «Элементы теории множеств и математической логики» 5 Контрольная работа 2 «Элементы теории чисел» 6 Контрольная работа 3 «Корни и степени» 9 Контрольная работа 4 «Прямые и плоскости в пространстве» 11 Контрольная работа 5 «Логарифмическая функция» Контрольная работа 6 «Многогранники» 13 16 Контрольная работа 7 «Тригонометрические формулы» 18 Контрольная работа 8 «Тригонометрические уравнения» 21 Список использованных источников……………………………………...………….. 24 5 Контрольная работа 1 «Элементы теории множеств и математической логики» 0 вариант 5 1 8 6 №1. Дано множество С ={−4 ; −3; 0; ;8,3; 9;12}. Выделите его подмножество, элементами которого являются целые числа кратные 3. Решение: А={−3; 9; 12} №2. Даны множества А {1, 3,5,7}и В{0,3,5,7,8} . Найти пересечение и объединение множеств А и В. Решение: А ∪ В={0,1,3,5,7,8} –это объединение множеств. А ∩ В= {3,5,7, } - это пересечение множеств. №3. Даны множества А {1, 3,5,7}и В{0,3,5,7,8} . Найти разность множеств А и В, и разность множеств В и А. Решение: А\ В ={1 } В\ А={0; 8} №4. Даны множества А = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑚, 𝑘, 𝑝, ℎ}, В= {𝑑, 𝑚, 𝑘, 𝑝} и С={𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑚} Найдите: (А\ В) ∩ С Решение: Найдем разность А и В, А\ В= {𝑎, 𝑏, 𝑐, ℎ}, Найдем пересечение с С. (А\ В) ∩ С = {𝑎, 𝑏, 𝑐, }. №5*. Из 38 учащихся класса 24 занимаются в хоре и 15 в лыжной секции. Сколько учащихся занимается в хоре и лыжной секции, если в классе нет учащихся, не посещающих занятия в хоре и лыжной секции? Решение: 24+15= 39 (чел.) занимаются в хоре и лыж. секции вместе. 39-38= 1 (чел.) занимается и в хоре, и в лыжной секции. 24-1= 23(чел.) занимаются только в хоре 15-1=14 (чел.) занимаются только в лыжной секции Ответ: В лыжной секции занимаются 14 человек, в хоре- 23 человека, а и в хоре, и в лыжной секции 1 человек. 6 1 вариант 2 3 5 4 №1. Дано множество С ={−2 ; −8; 0; ;8,3; 82;12}. Выделите его подмножество, элементами которого являются целые числа кратные 4. №2. Даны множества А {2,6,7,9,11,15}и В{1,3,6,7,10,11} . Найти пересечение и объединение множеств А и В. №3. Даны множества А {3,9,5,4,8}и В{6,3,7,8,9,10} . Найти разность множеств А и В, и разность множеств В и А. №4. Даны множества А = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑙, 𝑛, 𝑘, 𝑝, ℎ}, В= {𝑑, 𝑙, 𝑘, 𝑛, 𝑝} и С={𝑎, 𝑏, 𝑛, 𝑐, 𝑑, 𝑙} Найдите: (А\ В) ∩ С №5*. Из 40 учащихся класса 27 занимаются в хоре и 18 в лыжной секции. Сколько учащихся занимается в хоре и лыжной секции, если в классе нет учащихся, не посещающих занятия в хоре и лыжной секции? 2 вариант 4 №1. Дано множество С ={−7 ; −7; 0;;6,3; -28;343}. Выделите его подмножество, 7 элементами которого являются целые числа кратные 7. №2. Даны множества А {0,1,2,3,6,8,9}и В{1,4,3,6,7,10} . Найти пересечение и объединение множеств А и В. №3. Даны множества А {1,2,6,7,8,9}и В{3,7,8,9,10,11,13} . Найти разность множеств А и В, и разность множеств В и А. №4. Даны множества А = {𝑎, 𝑥, 𝑐, 𝑑, 𝑙, 𝑛, 𝑘, 𝑧, 𝑠}, В= {𝑑, 𝑙, 𝑘, 𝑛, 𝑧} и С={𝑎, 𝑥, 𝑛, 𝑐, 𝑑, 𝑙} Найдите: (А\ В) ∩ С №5*. Из 37 учащихся класса 22 занимаются в хоре и 14 в лыжной секции. Сколько учащихся занимается в хоре и лыжной секции, если в классе нет учащихся, не посещающих занятия в хоре и лыжной секции? Контрольная работа 2 «Элементы теории чисел» 0 вариант Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной периодической дроби: 1. а) 5 11 б) 28 15 Решение: а) б) 5 11 28 15 = 0,45(45), = 1,86(6) 7 2. Вычислите: 26 16 i + i + i20+3 i4 – i34==-5 Решение: При решении данного выражения используем свойство i2=-1 i26+ i16+ i20+3 i4 – i34=-1+(-1)+(-1)+3(-1)-(-1)=-1-1-1-3+1=-5 3. Постройте комплексные числа в координатной плоскости: z1= - 3 + 5i, z2= 4 -7i Решение: z1= - 3 + 5i z2= 4 -7i 4. Даны числа z1= 2 + i, z2= 1 -3i. Вычислите: а) сумму чисел z1 и z2; б) разность чисел z1 и z2; в) произведение чисел z1 и z2. Решение: а) 𝑧1 + 𝑧2 = (2 + 1) + (𝑖 + (−3𝑖)) = 3 − 2𝑖 б) 𝑧1 − 𝑧2 = (2 − 1) + (𝑖 − (−3𝑖)) = 1 + 4𝑖 в) 𝑧1 ∙ 𝑧2 =(2∙ 1 + 1 ∙ (−3) ∙ 𝑖 2 + (2 ∙ (−3𝑖) + 1 ∙ 𝑖) = −1 − 5𝑖 № 5.* Вычислите значение выражения: 1 (2,7 − 0,8) ∙ 2 3 ) ÷ 2 1 + 0,43 = 0,5 ( 3 2 (5,2 − 1,4) ÷ 70 Решаем данный пример по действиям: 1) 2,7 − 0,8 = 1,9 1 19 7 133 3 10 3 30 2) 1,9 ∙ 2 = ∙ = 3) 5,2 − 1,4 = 3,8 4) 3,8 ÷ 5) 6) 133 30 1 20 ÷ 3 = 70 266 3 38 3 ÷ 10 70 133 3 = ∙ = 38 70 10 = ∙ 3 = 20 + 1000 3 1 30 266 20 1 125 1 + 0,125 = 266 = 20 1 2+5 8 40 + = = 7 40 8 7 7) 40 1 7 2 40 ÷2 = 5 7 2 40 5 ÷ = 2 ∙ = 7 100 = 0,07 8) 0,07 + 0,43 = 0,5 Ответ: 0,5 1 вариант 1. Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной периодической дроби: 13 ; а) 15 35 . б) 111 2. Вычислите: i 8 i 40 i 30 2i 2 i 52 . 3. Постройте комплексные числа в координатной плоскости: z1= - 1 +3i, z2= 4 + 5i. 4. Даны числа z1= - 1 +3 i, z2= 4 + 5i. Вычислите: а) сумму чисел z1 и z2; б) разность чисел z1 и z2; в) произведение чисел z1 и z2. 5.* Вычислите значение выражения: 3 1 3 (6,72: + 1 ∙ 0,8) : 1,21 − 6 5 8 8 1. 2 вариант Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной периодической дроби: 3 ; а) 11 95 . б) 333 2. Вычислите: 2i 6 i 20 i 30 i 36 i 54 . 3. Постройте комплексные числа в координатной плоскости: z1= - 1 - 4i, z2= 3 +5i 4. Даны числа z1= - 3 +5i, z2= 4 -7i. Вычислите: а) сумму чисел z1 и z2; б) разность чисел z1 и z2; в) произведение чисел z1 и z2 5.* Вычислите значение выражения: 3 1 3 (6,72: + 1 ∙ 0,8) : 1,21 − 6 5 8 8 9 Контрольная работа 3 «Корни и степени» 0 вариант №1. Вычислите: 1) √0,81 3 2) √125 3 3) 0,6 √243 6 4) (0,2√5)2 7 5) −3√(−8)7 Решение: При решении используем свойства корня n-ой степени, и свойства степени с одинаковым основанием. 1) √0,81 = 0,9 3 3 1) √125 = √53 = 5 3 3 2) 0,6 √243 = 0,6√73 = 0,6 ∙ 7 = 4,2 3) 6 (0,2√5)2 = 6 0,22 (√5)2 = 6 0,04∙5 = 6 0,2 = 30 7 4) −3√(−8)7 = −3 ∙ (−8) = 24 №2. Вычислите: 7 √220 ∙510 1) 7 √26 ∙53 4 3 81 2) √125 − 2√ 16 Решение: При решении данного задания будем использовать свойства корня nой степени, и свойства степени с одинаковым основанием. 7 √220 ∙ 510 1) 7 √26 ∙ 53 3 4 7 220 ∙ 510 7 = √ 6 3 = √214 ∙ 57 = 22 ∙ 5 = 4 ∙ 5 = 20 2 ∙5 81 3 4 34 3 3 1 2) √125 − 2√ = √53 − 2 √ 4 = 5 − 2 ∙ = 5 − = 3 16 2 4 2 2 −1 №3. Упростите: с−1 с 3 с4 с. Решение: применим свойства степени с одинаковым основанием, получим 1 −1− +4+1 с 3 11 с3 3 = = √с11 №4*. Решим уравнение: . Решение: Перейдем к равносильной системе: 10 Решим первое уравнение системы и проверим, какие корни удовлетворяют неравенству. , Неравенству Ответ: x=1 удовлетворяет только корень 1 вариант №1. Вычислите: 5) √0,49 3 6) √64 4 7) 0,5 √81 8) 6 (3√2)2 3 9) −3√(−6)3 №2. Вычислите: 4 4 1) √37 ∙ 57 ∙ √59 ∙ 3 2) 27 1⁄ 3 + 25 №3. Упростите: 5 7 −1⁄ 2 + 16 2 12 3 3⁄ 4 − 27 4⁄ 3 5 а) a a a ; б) a a a №4*. Решить иррациональное уравнение √10 − х = х + 2 2 вариант №1. Вычислите: 10) 11) 12) 13) √0,25 5 √32 4 0,7 √81 6 (2√3)2 5 14) −3√(−7)5 №2. Вычислите: 6 6 3) √4 ∙ 517 ∙ √47 ∙ 5 11 4) 16 1⁄ 2 + 27 №3. Упростите: −1⁄ 3 + 81 3⁄ 4 −8 5⁄ 3 а) b b b ; б) 2 2 2 2 . №4*. Решить иррациональное уравнение 1 3 3 1 2 1 4 1 8 2х − 13 = √х2 − 9х + 25 Контрольная работа 4 «Прямые и плоскости в пространстве» 0 вариант №1. Выполните чертеж к задаче. Прямые а и b не имеют общих точек и пересекают плоскость 𝛼 в разных точках. Решение: №2. Выполните чертеж к задаче. Плоскость α проходит через середины сторон АВ и АС ΔАВС и не содержит вершины А. Решение: №3. Выполните чертеж куба АВСДА1 В1 С1 Д1 . По чертежу укажите: а) прямые параллельные для прямой АД; б) прямые скрещивающиеся с прямой СС1 ; в) плоскости параллельные прямой АВ. Решение: 12 а) AD||A1D1, AD||BC, AD||B1C1. б) A1D1, AB. в) DD1CC1, A1B1C1D1. №4*. Прямая АМ пересекает плоскость α в точке О, ОМ=MN, расстояние от точки М до плоскости равно 2 см. Найдите расстояние от точки В до плоскости, если точка О середина АВ. Дано: α, АМ∩ 𝛼=О, МN=2см. ОМ=MN Найти: АВ Решение: 1. ∆ОАВ −прямоугольный, т.к. АВ – перпендикуляр, опущенный на плоскость α. 2. 𝑀𝑁 − средняя линия ∆ОАВ, т.к. ОМ=MN 1 3. По свойству средней линии треугольника MN= АВ, следует, 2 АВ = 2 ∗ 𝑀𝑁 = 2 ∗ 2 = 4см Ответ: АВ=4см 1вариант №1. Выполните чертеж к задаче. Прямые а, в, и с имеют общую точку О и лежат в одной плоскости. №2. Выполните чертеж к задаче. Прямая а параллельна каждой из параллельных плоскостей α и β. 13 №3. Выполните чертеж куба АВСДА1 В1 С1 Д1 . По чертежу укажите: а) прямые параллельные для прямой АВ; б) прямые скрещивающиеся с прямой ДД1 ; в) плоскости параллельные прямой АД. № 4*. Прямая АВ пересекает плоскость α в точке О, расстояние от точки А до плоскости равно 4 см. Найдите расстояние от точки В до плоскости, если точка В середина ОА. 2вариант . №1. Выполните чертеж к задаче. Прямые СД и СК пересекают плоскость β в разных точках. №2. Выполните чертеж к задаче. Прямая АВ параллельна плоскости γ, а прямая АC пересекает ее в точке C. №3. Выполните чертеж куба АВСДА1 В1 С1 Д1 . По чертежу укажите: а) прямые параллельные для прямой СД; б) прямые скрещивающиеся с прямой АВ; в) плоскости параллельные прямой ВС. №4*. Прямая АВ пересекает плоскость α в точке О, расстояние от точки А до плоскости равно 4 см. Найдите расстояние от точки В до плоскости, если точка А средина ОВ. Контрольная работа 5 «Логарифмическая функция» 0 вариант №1. Найдите значения логарифма: 1) log 1 25 5 2) log 2 16 3) log 1 49 7 Решение: 1) log 1 25 = −2 5 2) log 2 16 = 4 3) log 1 49 = −2 7 №2. Найдите 𝜒: 1) log 36 х = − 2) log 2 1 32 =х 1 2 14 1 3) log х = −3 8 Решение: 1 1) log 36 х = − , по определению логарифма 2 −1 1 1 х = 36 2 = = √36 6 2) log 2 1 32 = х, по определению логарифма 1 32 х 2 = 2−5 х= -5 2х = 1 3) log х = −3, по определению логарифма 8 1 8 −3 х = 2−3 х=2 № 3. Вычислите значения логарифмического выражения: х−3 = √log16 4 + log16 24 − log16 6 Решение: При решение данного задания, будем использовать свойства логарифмов: √log16 4 + log16 24 − log16 6 = √log16 4 ∙ 24 = √log16 16 = √1 = 1 6 № 4. Найти область определения функции у = log3 (x2 +х - 5) Решение: (x2 +х - 5) > 0, по определению логарифма Решаем квадратное уравнение (x2 +х - 5) = 0, D=25, х1 = - 3, х2 = 2. На координатной прямой отметим точки и определим знак функции на каждом интервале В ответ запишем те промежутки, где функция принимает положительные значения. 15 Ответ: х ∈ (−∞; −3) ∪ (2; +∞) № 5*. Решите неравенство и укажите все его целые решения log3x > log3(5 – x) Решение: х>0 ОДЗ: { 5 − х > 0, х>0 { х<5 х ∈ (0; 5) Решим логарифмическое неравенство х > 5 − х, х + х > 5, 2х > 5, х > 2,5 Отметим на одной координатной прямой ОДЗ и решение неравенства х ∈ (0; 5) И х > 2,5 Ответ: х ∈ (2,5; 5) 1 вариант №1. Найдите значения логарифма: 4) log 2 8 5) log 2 1 2 6) log 1 16 2 № 2. Найдите 𝜒: 4) log 2 х = −3 5) log 625 5 = х 6) log х 25 = 2 № 3. Вычислите значения логарифмического выражения: 1 log 5 150 − log 5 3 + log 5 − log 5 1 2 № 4. Найти область определения функции у = log3 (x2 – 13х + 12) № 5*. Решите неравенство и укажите все его целые решения log2( 5 - 4х) > log2(х – 1) 2 вариант № 1. Найдите значения логарифма: 16 7) log 3 9 8) log 3 1 3 9) log 1 27 3 № 2. Найдите 𝜒: 7) log 3 х = −2 8) log 64 4 = х 9) log х 16 = 2 № 3. Вычислите значения логарифмического выражения: 4 log 3 4 − 4 log 3 2 + log 3 + log 3 1 9 № 4. Найти область определения функции у = lg (-x2 – 5х + 14) № 5*. Решите неравенство и укажите все его целые решения log 1 ( 2 x 3) < log 1 (3x 2) 7 7 Контрольная работа 6 «Многогранники» 0 вариант №1. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань - квадрат. Дано: ABCA1B1C1 - прямая призма; ∠ACB = 90°; АС = 6 см; ВС = 8 см; АВВ1А1 квадрат. Найти: Sбок Решение: 1) ΔABC: АВ = √62 + 82 = 10 (по теореме Пифагора); 2) Наибольшая боковая грань – АВВ1А1, так как АВ - гипотенуза, тогда АА1ВВ1 квадрат АА1 = 10 см. 3) Sбок= (АВ + ВС + АС) ∙ АА1 = (6 + 8 + 10) ∙ 10 = 240см2 17 Ответ: 240 см2 №2. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°. а) Найдите высоту пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Дано: SABCD - правильная четырехугольная пирамида; SA = 4 см, ∠SAD = 45°. Найти: a) SO; б) S6ок. Решение: 1) ΔSАО - прямоугольный; 𝑆𝑂 = 𝐴𝑆 ∙ 𝑠𝑖𝑛450 = 4 √2 2 = 2√2см SO=AO=2√2см 2) ΔAOD – прямоугольный; 𝐴𝐷 = 𝐴𝑂 𝑐𝑜𝑠450 = 2√2∙2 √2 = 4см. 3) ΔSOH - прямоугольный; 𝑆𝐻 = √𝑆𝑂2 + 𝑂𝐻2 = √(2√2)2 +22 =√12 = 2√3 1 1 2 2 4) Sбок =4( 𝐷𝐶 ∙ 𝑆𝐻) = 4 ∙ ∙ 4 ∙ 2√3 = 16√3см Ответ: а) 2√2см, б) 16√3см №3*. Ребро куба ABCDA1B1C1 равно а. Постройте сечение куба, проходящее через прямую В1С и середину ребра AD и найдите площадь этого сечения. Дано: DABC - правильный тетраэдр; АВ = а. Построить: сечение (МКР): К - середина AD; М - середина АВ; (КМР || ВС). Найти: SMKP. 18 Решение: 1) КМ, МР, КР - средние линии ΔABD, ΔАВС, ΔADC соответственно, значит, КМ 1 = МР = КР = а. 2) 𝑆𝑀𝐾𝑃 = Ответ: 2 𝑎 ( )2 ∙√3 2 4 𝑎 2 √3 16 = 𝑎 2 √3 16 см2 см2 1 вариант № 1. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наименьшая боковая грань - квадрат. № 2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна √6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. а) Найдите боковое ребро пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. № 3*. Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра DA параллельно плоскости DBC, и найдите площадь этого сечения. 2 вариант № 1. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань - квадрат. № 2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна √3 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30°. а) Найдите боковое ребро пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. № 3*. Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра DВ параллельно плоскости DАC, и найдите площадь этого сечения. Контрольная работа 7 «Тригонометрические формулы» 0вариант №1. Найдите значения выражения: 1) 2sin 60° − 2cos 30° + tg 30° 19 𝜋 𝜋 𝜋 3 6 3 2) tg − cos − sin Решение: При решении данного задания будем использовать таблицу основных значений тригонометрических функций. √3 2 √3 1) 2sin 60° − 2cos 30° + tg 30°=2 ∙ 𝜋 𝜋 𝜋 2) tg 3 − cos 6 − sin 3 = √3 3 − √3 2 − 2 √3 + √3 2 2√3−3√3−3√3 6 −2∙ = = √3 =− 4 √3 6 =− 2√3 3 №2. Упростите выражение: 1) 3sin2 х + 3 cos 2 х − 3 2) 8 − 8cos 2 х Решение: При решении данного задания будем использовать основные тригонометрические тождества: sin2 х + cos 2 х = 1 1) 3sin2 х + 3 cos 2 х − 3 = sin2 х + 3 (cos 2 х − 1) = sin2 х + 3 𝑠𝑖𝑛2 х = 4sin2 х 2) 8 − 8cos 2 х = 8(1 − cos 2 х) = 8 sin2 х №3. Вычислите, применяя формулы приведения: 1) cos(2𝜋 + 60°) 𝜋 2) sin(− ) 3 𝜋 3) cos( 𝜋 + ) 6 𝜋 4) сtg (𝜋 + ) 4 Решение: 1) 𝑐𝑜𝑠(2𝜋 + 60°)=cos60°= 𝜋 2) 𝑠𝑖𝑛(− ) = 3 1 2 √3 − 2 𝜋 𝜋 6 𝜋 6 𝜋 3) 𝑐𝑜𝑠( 𝜋 + ) = −cos = − 𝜋 √3 2 4) с𝑡𝑔 ( + ) = − 𝑡𝑔 = −1 2 4 4 №4*. Найдите cos t, если sin t = 1 2 , t – угол 2 четверти. Решение: При решении данного задания, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: sin2 х + cos 2 х = 1, Выражаем cos t, получим cos 𝑡 = √1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑡, Подставим значения sin t, получим 20 1 3 2 4 √3 2 cos 𝑡 = √1 − ( )2 =√ = . Так как угол t второй четверти, функция косинус в этой четверти принимает отрицательные значения, следовательно cos t= Ответ: cos t= - √3 . 2 √3 . 2 1 вариант №1. Найдите значение выражения: 1) 2cos 30° + 2 cos 60° − tg 60° 𝜋 𝜋 2) 3 sin + 5 cos 6 3 №2. Упростите выражения: 1) sin2 х + cos 2 х − 1 2) 6cos 2 х − 6 №3. Вычислите, применяя формулы приведения: 𝜋 1) sin( 𝜋 + ) 3 2) cos ( −𝜋) 𝜋 𝜋 3) sin( + ) 4 2 𝜋 4) tg(𝜋 + ) 3 № 4*. Найдите tg t, если ctg t= − √3 , t - угол 4 четверти. 2 вариант №1. Найдите значения выражения: 1) 2cos 60° + 2 sin 30° − tg 45° 𝜋 𝜋 2) sin + 3 cos 4 4 №2. Упростите выражения: 1) cos 2 х + sin2 х + 1 2) 12sin2 х − 12 №3. Вычислите, применяя формулы приведения: 𝜋 1) sin(− + 2𝜋) 4 𝜋 2) cos( + 30°) 2 3𝜋 3) t𝑔(− 2 ) 𝜋 4) сtg (2𝜋 − ) 4 № 4*. Найдите сtg t, если tg t = √3 3 , t - угол 3 четверти. 21 Контрольная работа 8 «Тригонометрические уравнения» 0вариант №1. Решите простейшие тригонометрические уравнения: 1) cos х = 1 2) sin х = − 3) сt𝑔 х = 1 2 √3 3 Решение: 1) cos х = 1 х=±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠1 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 x=±𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 𝜋 Ответ: x=± + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 4 2) sin х = − 1 2 1 𝑘 х=(−1) arcsin(− )+ 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 2 x 7π =(−1)𝑘 + 6 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 Ответ: x =(−1)𝑘 3) сt𝑔 х = 7π 6 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 √3 3 √3 х = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 3 𝜋 𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 3 Ответ: 𝜋 𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 3 №2. Решите тригонометрические уравнения: 3𝜋 1) 𝑐𝑜𝑠 ( 2 + х) = − √2 2 3𝜋 √2 + х) = ±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (− ) + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 2 2 3𝜋 3𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 ( + х) = ± 2 4 ( 22 x=± 3𝜋 4 𝜋 − 3𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 2 x=± + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 2 𝜋 Ответ: x=± + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 2 №3*. Решите уравнение: 5𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 Решение: Уравнения данного вида решаются с помощью введения новой переменной. Пусть 𝑐𝑜𝑠𝑥 = у, тогда получим уравнение 5у2+4у=1, приведем его к стандартному виду квадратного уравнения 5у2+4у- 1=0, решим данное уравнение. 1 Д=36, у1=-1, у2= 5 Подставим данные значения в исходное уравнение 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −1 или 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 5 Решим каждое уравнение или cos х = −1 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 5 1 х=±arccos(−1) + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 х=±arccos +2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 5 x=±𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 1 Ответ: x=±𝜋 + 2𝜋𝑛, х = ±arccos +2𝜋𝑛 , 𝑛 ∈ 𝑍 5 1 вариант №1. Решите простейшее тригонометрические уравнения: 1) cos х = − √2 2 2) sin х = −1 3) t𝑔 х = √3 3 №2. Решите тригонометрическое уравнение: 𝜋 √2 sin ( + х) = − 2 2 №3*.Решить уравнение: а) 3𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0 б) 6𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 в) 4𝑠𝑖𝑛𝑥 + 5𝑐𝑜𝑠𝑥 = 4 2 вариант №1. Решите простейшие тригонометрические уравнения: 23 1) cos х = 2) sin х = 1 2 √3 2 3) сt𝑔 х = √3 №2. Решите тригонометрическое уравнение: 𝜋 0 tg ( − х) = 1 2 №3*. Решить уравнение а) 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0 б) 10𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 в) 5𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 5 24 Список использованных источников Основные 1. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева. – М.:Мнемозина,2018.- 343с. Дополнительные 1. ЕГЭ. Математика: сборник заданий /В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина. – М.:Эксмо,2019. 2. Потапов, М.К. "Алгебра и начала анализа, 11 класс": дидактические материалы / М.К. Потапов, А.В. Шевкин - М.: Просвящение, 2017. 3. Звавич Л.И. Контрольные и проверочные работы по математике. 10-11 класс.: методическое пособие / Л.И. Звавич, - М.: Дрофа, 2018. Интернет – источники 1. Сайт «Учебники XXI века» [Электронный ресурс] /www.OZON.ru/. 2. Сайт Издательский /www.1September/ru/. дом «Первое сентября» [Электронный 3. Сайт «Учительская газета» [Электронный ресурс] /www.ug.ru.ru/. ресурс]