ЗАДАЧИ олимпиады ННГУ по МАТЕМАТИКЕ, 2009 год, 14 марта. Группа Б 1. Представьте плоскость в виде объединения двух непересекающихся равных множеств (множества считаем равными, если первое множество можно совместить со вторым множеством или его отражением). 2. Пусть f :[ 0,1 [0,1 - функция, которая сопоставляет числу х = 0,х1... хп… число f(х), полученное из х заменой всех цифр 3 на цифру 5 и наоборот (всех цифр 5 на цифру 3). В каких точках из [0,1) функция f будет непрерывной? 3. Найдите все функции f, удовлетворяющие условию f(xy) = ( f(x) + f (y) ) / (x+y) при всех xR, не равных 0. 1 4. Найдите все решения дифференциального уравнения y ' '− 2 1− x y ' 5. Проведите через прямую { x + y + z = 3; 2x – y + 3z = 4} плоскость, паллельную линии пересечения плоскостей x - y - 2z = -1 и 3x + 2y - 4z = 9. 6. Вычислите предел функции 2 7. Вычислите интеграл ∫ 0 tg x sinx − sin x x4 1− 2 =0. x tg x при x 0 . cos x dx . ex e 8. Исследуйте сходимость ряда 2 2− 2 2− 2 2 2− 2 2 2 ... . 9. При заданном натуральном n приведите пример таких матриц А и В размера пхп, чтобы только скалярные матрицы Х удовлетворяли паре соотношений АХ=ХА, ВХ=ХВ (скалярными называются матрицы, пропорциональные единичной). 10.Значение многочлена Р с целыми коэффициентами в четырех различных целых точках равно 3. Докажите, что многочлен Р не имеет целых корней. n 3 11.Решите уравнение в натуральных числах: 2 − 1= m . 12.Пусть f - дифференцируемая функция на [;3], и f() = f(3) = 0. Докажите, что существует такая точка c(;3), что f(c) = f '(c)sin сcos c. 2 13.Последовательность {xn} задана рекуррентно: x1 = 1, при n x n = 10x n−1 − x n− 1 . Докажите, что она имеет предел и вычислите его. 97 8 8 14.Найдите все вещественные решения уравнения cos x sin x= 128 .