Загрузил Иван Шейченко

8.1. Понятие производной. Геом и физич смысл.

реклама
ТЕМА 8 ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФЕРЕНЦИАЛ
8.1 Понятие производной. Ее физический и геометрический смысл.
Понятие производной:
Понятие производной неразрывно связано с темой функции и графики, которую мы
ознакомительно затронули в 1м семестре. А также немного перекликается с физикой,
т.к. затрагивает понятие скорости…
Из истории: впервые термин «производная» (с фр. Derive - «позади») ввел в 1797
Лагранж Фозеф. Он же ввел обозначение со штрихом 𝑦′. Также Производными
занимались Ньютон, Эйлер, Гаусс
Первое, что важно понимать: производная - это скорость изменения функции, как
быстро или медленно функция «изгибается» (как быстро меняется значение функции
f(x) с изменением аргумента - x). Разумеется, функция должна быть непрерывна на
рассматриваемом отрезке… Об этом и многом другом – ниже…
Производная функции - это предел отношения приращения функции к приращению
аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначается производная
как 𝑦′ или 𝑓′(𝑥)
𝑦 = lim
∆ →
∆𝑦
∆𝑥
Т.е. рассматривается т.В, которая по графику сокращает расстояние до т.А, за счет того,
что 𝑥 → 𝑥 (стремясь с ней слиться). Или, если так будет понятнее, воображаемый
прямоугольный треугольник, со сторонами:
∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥 и ∆𝑦 = 𝑦 − 𝑦 с достаточно видимого теперь начнет «сдуваться»
пока не станет бесконечно малым у самой точки А.
Геометрический смысл производной:
Только по нашему рисунку есть замечание и знакомый вам момент из темы
графики:
У нас красная секущая, которая стремится стать касательной, убывает, а значит
в ее уравнении (ур.прямой) угловой коэффициент будет отрицательным: 𝒚 = −𝒌𝒙 +
𝒃. А по нашей новой теме, мы уже знаем, что этот самый угловой коэффициент как раз
и есть производная и в нашем конкретном случае имеем c ростом Х – падение Y
(главная функция тоже убывает): ∆𝒚 = 𝒚𝟏 − 𝒚𝟐 , а значит ∆𝒚 < 𝟎. И этот минус
подтянется и в ответ при расчете производной. Вот и отрицательный результат 𝑦 <
0 ⟹ 𝑡𝑔 𝛼 < 0.
Требования к существованию производной:
Производная существует (имеет вполне нормальное значение) не для всех подряд
функций. Существуют четкие требования:
А) Функция должна быть задана и непрерывна на рассматриваемом участке
Б) Тот самый предел lim
∆
∆ → ∆
существует и конечен.
А вот если предела нет, то это, обычно, связано с тем, что в исследуемой точке как
нельзя провести касательную к данной функции или же она будет под 90 градусов к
оси ОХ (а вы помните из темы тригонометрия, что тангенса нет в 90град). В Этом
случае 𝑦 = ∞
Примеры решалок по поиск приращения функции:
Задание 1. Найти приращение ∆𝑦 для функции 𝑦 = 𝑥 , если 𝑥 = 2,5 𝑥 = 2
Решение: здесь все просто: находим значения функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) и 𝑦 = 𝑓(𝑥 ) и потом
остается найти из полученных значений ∆𝒚 = 𝒚 − 𝒚𝟎
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2,5 = 6,25 и 𝑦 = 𝑓(𝑥 ) = 2 = 4
∆𝒚 = 𝑦 − 𝑦 = 6,25 − 4 = 𝟐, 𝟐𝟓
Или можно было записывать решение одной строкой:
∆𝒚 = 𝑦 − 𝑦 = 2,5 − 2 = 6,25 − 4 = 𝟐, 𝟐𝟓
Ответ: ∆𝒚 = 2,25
Задание 2 . Дана функция 𝑦 = . Найти приращение ∆𝑦 , если 𝑥 = 1 и ∆𝑥 = 0,2
Решение: пример очень похож на предыдущий. Для поиска ∆𝑦 необходимо найти
значения функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) и 𝑦 = 𝑓(𝑥 ) и потом ∆𝒚 = 𝒚 − 𝒚𝟎
1)Но сначала найдем 𝑥 = 𝑥 + ∆𝑥: 𝑥 = 1 + 0,2 = 1,2
2) 𝑦 = 𝑓(𝑥 ) = = 1
и
𝑦 = 𝑓(𝑥) =
,
= 0,83
3) ∆𝑦 = 𝑦 − 𝑦 = 0,83 − 1 = −0,17
Ответ: ∆𝒚 = −0,17
Физический смысл производной:
Как мы говорили в начале статьи, производная – это скорость изменения функции.
Вот как раз о скорости, как о физической составляющей производной и поговорим….
Если взглянуть на произвольный график скорости, то мы увидим функциональную
зависимость S от t. (где как раз и видны более и менее скоростные участки графика)
И изучаемая нами производная измеряет
именно мгновенную скорость в конкретный
момент времени.
В нашем случае все рассматривается так:
Есть т.наз. средняя скорость, найденная как
отношение пройдённого отрезка дистанции ∆𝑆
за определенный интервал времени ∆𝑡:
𝑉ср =
∆𝑆
∆𝑡
А мгновенная скорость – это скорость, измеренная за бесконечно малый промежуток
времени ∆𝑡 → 0, как некий предел средней скорости в данной точке 𝑡 А этот
механизм и рассчитывается производной: 𝑉мгн = lim
перемещение показывают вектором)
∆
∆ → ∆
(векторная величина, т.к.
Мгновенную скорость изображают как вектор в данной точке (как раз та самая
касательная к графику)
Решать задачки на мгновенную скорость
мы будем в следующем материале 8.2.
И, как видите, тема очень интересная.
Она затрагивает и функции и физику,
является неотъемлемой частью почти
всех вычислений высшей математики…
Скачать