Николаев С.В. Численные методы и математическое моделирование

Министерство образования и науки Российской Федерации
Сибирский федеральный университет
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Учебно-методическое пособие
для лабораторного практикума и самостоятельной работы
Электронное издание
Красноярск
СФУ
2012
УДК 519.711.3(07)
ББК 22.192я73
Ч-671
Составитель: С.В. Николаев.
Ч-671 Численные методы и математическое моделирование: учебнометодическое пособие для лабораторного практикума и самостоятельной работы [Электронный ресурс] / сост. С.В. Николаев. – Электрон.
дан. – Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2012. – Систем. требования: PC не
ниже класса Pentium I; 128 Mb RAM; Windows 98/XP/7; Adobe Reader
V8.0 и выше. – Загл. с экрана.
Учебно-методическое пособие для лабораторного практикума и самостоятельной работы включает общие сведения по дисциплине «Численные методы и
математическое моделирование», методические рекомендации, задания к лабораторным работам по каждому разделу и индивидуальные задания для самостоятельной работы.
Предназначено для студентов специальности 140301.65 «Физика конденсированного состояния вещества».
УДК 519.711.3(07)
ББК 22.192я73
© Сибирский
федеральный
университет, 2012
Учебное издание
Подготовлено к публикации редакционно-издательским
отделом БИК СФУ
Подписано в свет 06.08.2012 г. Заказ 8564.
Тиражируется на машиночитаемых носителях.
Редакционно-издательский отдел
Библиотечно-издательского комплекса
Сибирского федерального университета
660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79
Тел/факс (391)206-21-49. E-mail rio@sfu-kras.ru
http://rio.sfu-kras.ru
СОДЕРЖАНИЕ
Общие сведения ..............................................................................................................4
Цель преподавания дисциплины ............................................................................ 4
Задачи изучения дисциплины ................................................................................. 4
Межпредметная связь .............................................................................................. 5
Объем дисциплины и виды учебной работы ......................................................... 6
1. Методика проведения лабораторного практикума ...........................................6
Разделы дисциплины и виды занятий в часах ....................................................... 6
Содержание разделов и тем лекционного курса ................................................... 7
Содержание лабораторных работ ........................................................................... 9
Методические рекомендации ................................................................................ 10
Задания к лабораторным работам......................................................................... 11
2. Самостоятельная работа ........................................................................................33
Цели, задачи и трудоёмкость самостоятельной работы..................................... 33
Методика реализации самостоятельной работы ................................................. 33
Контрольно-измерительные материалы .............................................................. 44
Библиографический список ......................................................................................46
3
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Цель преподавания дисциплины
Дисциплина «Численные методы и математическое моделирование» входит
в число дисциплин естественнонаучного цикла и преподается в 6 семестре обучения. Программой дисциплины предусмотрено чтение лекций, проведение лабораторных работ, самостоятельная работа студентов. В конце срока обучения
проводится экзамен.
Целью преподавания данной дисциплины является:
- сформировать у студентов представление и первичные знания по основам вычислительной математики как научной и прикладной дисциплины;
- обучить студентов основным численным методам решения классических задач математики и математической физики;
- сформировать умения и навыки выбора эффективных алгоритмов расчета,
анализа и интерпретации результатов вычислений;
- подготовить студентов к дальнейшему самообразованию и использованию
полученных знаний в научно-исследовательской деятельности при решении задач естествознания с применением математических методов и компьютерных
технологий.
Задачи изучения дисциплины
В результате изучения дисциплины студент должен:
- сформировать представление о теоретических и практических проблемах вычислительной математики, связанных с необходимостью проведения численных расчетов как средства проверки математических моделей;
- овладеть основными понятиями и методами вычислительной математики;
- овладеть численными методами решения классических задач линейной и нелинейной алгебры, аппроксимации функций, численного дифференцирования и
интегрирования, численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений, систем линейных алгебраических уравнений и уравнений в частных
производных, интегральных уравнений;
- сформировать навык и умение оценивать погрешность результата численного
расчета;
- составлять эффективные и оптимизированные алгоритмы решения поставленных задач методами вычислительной математики и реализовывать их на языках
программирования высокого уровня;
- обладать навыками использования специализированных пакетов прикладных
программ для графического отображения результатов вычислений;
4
- использовать полученные знания при проведении научных и прикладных исследований.
В результате изучения данной дисциплины у студента должны сформироваться следующие компетенции:
- умения и навыки работы с компьютером;
- базовые знания в вычислительной математике;
- способность применять полученные знания на практике;
- умение самостоятельно построить алгоритм, написать соответствующую программу и проанализировать полученный результат;
- понимание значимости вычислительной математики при решении научных
задач;
- глубокое понимание точности и важности фундаментального знания.
Межпредметная связь
Дисциплина «Численные методы и математическое моделирование» относится к естественнонаучному циклу дисциплин, обеспечивающих базовую подготовку будущего специалиста. Ее изучение базируется на знаниях, полученных в процессе изучения следующих дисциплин: математический анализ, линейная алгебра и аналитическая геометрия, дифференциальные уравнения, общая физика, теория функций комплексного переменного, методы математической физики, вычислительная физика, программирование. Для изучения данной
дисциплины студенту необходимы знания теории систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, систем уравнений в частных производных, теории матриц, способов задания и исследования функций, вычисления производных и интегралов, операций с комплексными числами, обыкновенных дифференциальных уравнений, линейных и нелинейных операторов.
Основные положения курса могут быть использованы при изучении предметов обязательной и вариативной части профессионального цикла, связанных
с решением задач обработки информации и компьютерного моделирования.
5
Объем дисциплины и виды учебной работы
Вид учебной работы
Общая трудоемкость дисциплины
Аудиторные занятия:
лекции
практические занятия (ПЗ)
семинарские занятия (СЗ)
лабораторные работы (ЛР)
другие виды аудиторных занятий
промежуточный контроль
Самостоятельная работа:
изучение теоретического курса (ТО)
курсовой проект (работа)
расчетно-графические задания (РГЗ)
реферат
задачи
задания
другие виды самостоятельной работы
Вид промежуточного контроля
(зачет, экзамен)
Всего
зачетных
единиц
(часов)
Семестр
3.0 (108)
1.0 (36)
0.5 (18)
0.5 (18)
2.0 (72)
1.0 (36)
1.0 (36)
-
3.0 (108)
1.0 (36)
0.5 (18)
0.5 (18)
2.0 (72)
1.0 (36)
1.0 (36)
-
экзамен
экзамен
6
1. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОГО ПРАКТИКУМА
Разделы дисциплины и виды занятий в часах
№
п/п
Модули
дисциплины
1
Введение. Численные методы линейной и нелинейной алгебры.
Численное интегрирование.
2
ЛР
Лекции
зачетных зачетных
единиц
единиц
(часов)
(часов)
Самостоятельная
работа
зачетных единиц
(часов)
0.33 (12)
0.33 (12)
0.5 (18)
0.11 (4)
0.11 (4)
0.25 (9)
6
Окончание таблицы
3
Аппроксимация
функций.
4
Обыкновенные
дифференциальные 0.22 (8)
уравнения.
Уравнения в частных производных. 0.22 (8)
5
0.11 (4)
0.11 (4)
0.25 (9)
0.22 (8)
0.5 (18)
0.22 (8)
0.5 (18)
Содержание разделов и тем лекционного курса
Модуль 1. Введение. Численные методы линейной и нелинейной алгебры.
1. Введение. Точность вычислительного эксперимента.
1) Вычислительная математика.
2) Понятие близости.
3) Погрешность вычислений.
2. Прямые методы.
1) Системы линейных алгебраических уравнений.
2) Метод Гаусса (метод исключения Гаусса).
3) Метод Жордана-Гаусса.
4) Вычисление определителя и обратной матрицы.
5) Метод прогонки.
3. Итерационные методы.
1) Метод простой итерации.
2) Метод Зейделя.
3) Метод релаксаций.
4. Методы решения нелинейных уравнений.
1) Метод деления отрезка пополам (бисекций, дихотомии).
2) Метод простых итераций.
3) Метод Ньютона (линеаризации, касательных).
4) Метод секущих (хорд).
5) Метод парабол.
5. Методы решения систем нелинейных уравнений.
1) Метод простых итераций.
2) Метод Зейделя.
3) Метод Ньютона.
6. Задачи на собственные значения.
1) Элементы теории.
2) Метод интерполяции.
3) Трёхдиагональные матрицы.
4) Обратные итерации.
5) Итерационный метод вращений Якоби.
7
Модуль 2. Численное интегрирование.
7. Полиномиальная аппроксимация.
1) Определение квадратурной формулы.
2) Метод прямоугольников.
3) Метод трапеций.
4) Метод Симпсона.
5) Метод «3/8».
6) Процедура Рунге оценки погрешности квадратурной формулы.
7) Процесс Эйткина.
8) Формулы Гаусса-Кристоффеля.
8. Нестандартные формулы.
1) Разрывные функции.
2) Нелинейные формулы.
3) Переменный предел интегрирования.
4) Несобственные интегралы.
9. Кратные интегралы.
1) Метод ячеек.
2) Метод последовательного интегрирования.
3) Формулы Люстерника-Диткина.
4) Метод Монте-Карло.
Модуль 3. Аппроксимация функций.
10. Интерполирование.
1) Основные понятия и определения.
2) Многочлен Лагранжа.
3) Многочлен Ньютона.
4) Интерполяция сплайнами.
5) Другие методы интерполяции.
11. Аппроксимация.
1) Линейная аппроксимация.
2) Нелинейная аппроксимация.
12. Сглаживание.
Модуль 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
13. Численное дифференцирование.
14. Задача Коши.
1) Основные понятия.
2) Одношаговые методы.
3) Многошаговые методы.
4) Повышение точности результата.
8
15. Краевая задача.
1) Метод стрельбы (баллистический метод).
2) Метод стрельбы для линейных краевых задач.
3) Метод конечных разностей (сеток).
Модуль 5. Уравнения в частных производных.
16. Элементы теории разностных схем.
17. Уравнения параболического типа.
1) Явные разностные схемы.
2) Неявные разностные схемы.
3) Продольно-поперечная схема (схема переменных направлений).
18. Уравнения эллиптического типа.
1) Итерационные методы.
2) Счет на установление.
3) Попеременно-треугольная схема.
19. Уравнения гиперболического типа.
1) Явная схема «Крест».
2) Неявная схема.
Содержание лабораторных работ
№
п/п
№
модуля
1
2
1
3
4
2
Наименование лабораторных работ
Введение. Основные требования техники безопасности при работе в компьютерном классе.
Требования к студентам, структура курса.
Системы линейных алгебраических уравнений.
Прямые методы: метод Гаусса (метод исключения Гаусса), метод Жордана-Гаусса. Вычисление определителя и обратной матрицы. Итерационные методы: метод простой итерации,
метод Зейделя.
Методы решения систем нелинейных уравнений: метод простых итераций, метод Зейделя,
метод Ньютона.
Численное интегрирование: метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона, метод
«3/8». Процедура Рунге оценки погрешности
квадратурной формулы. Формулы ГауссаКристоффеля.
9
Объем в
часах
1
3
2
2
Окончание таблицы
5
3
6
4
7
8
9
10
5
Аппроксимация функций. Интерполирование:
многочлен Лагранжа, многочлен Ньютона. Линейная аппроксимация (метод наименьших
квадратов).
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Задача Коши: одношаговые методы (методы
Рунге-Кутты), многошаговые методы (метод
прогноза-коррекции). Повышение точности результата.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Краевая задача: метод стрельбы (баллистический метод), метод стрельбы для линейных
краевых задач, метод конечных разностей (сеток).
Уравнения в частных производных. Уравнения
параболического типа: явные разностные схемы, неявные разностные схемы.
Уравнения в частных производных. Уравнения
гиперболического типа: явная схема «Крест»,
неявная схема.
Уравнения в частных производных. Уравнения
эллиптического типа: итерационные методы,
счет на установление, попеременнотреугольная схема.
2
2
2
1
1
2
Методические рекомендации
Лабораторный практикум по дисциплине «Численные методы и математическое моделирование» проходит в компьютерных классах. Каждое лабораторное занятие можно разделить на две части: 1) написание программ на языках
программирования высокого уровня (Си, Паскаль, Фортран) и 2) демонстрация
и защита подготовленной программы. На занятие рекомендуется иметь при себе черновую тетрадь для составления алгоритмов и проведения аналитических
расчетов.
На каждом занятие студентам раздаются задания, по соответствующим темам лекционного курса. Всего предлагается 8 заданий. Чтобы не накапливались
долги, существует правило – больше 2 новых заданий не выдавать. То есть на
руках у студента должно быть не более 2 незащищенных заданий. На первом
занятие каждому студенту дополнительно раздается индивидуальное задание,
которое должно быть выполнено в течение семестра. В данном задании предлагается решить сложную физическую задачу, используя соответствующий чис10
ленный метод. К экзамену допускаются только те студенты, которые сдали индивидуальное и все практические задания.
Перед выполнением лабораторной работы необходимо актуализировать
теоретические знания по данной теме. Для этого можно воспользоваться лекциями, учебной литературой, приведенной в библиографическом списке или
ресурсами сети Интернет [16-18]. При выполнении индивидуального задания
необходимо дополнительно прочитать соответствующие разделы по физике.
В процессе написания программы необходимо придерживаться следующих
рекомендаций: максимально использовать возможности выбранного языка программирования, выделять части основной программы в отдельные функции
и/или подпрограммы, элементы программы сопровождать комментариями, использовать стандартную программную нотацию.
Для успешной защиты программы необходимо удовлетворить следующим
критериям: программа должна быть работоспособной (проверена на тестовом
примере), соответствовать рекомендациям по написанию программ, студент
должен легко ориентироваться в программном коде и уметь сопоставить каждый этап вычисления с соответствующим разделом теории.
Задания к практическим занятиям
Модуль 1. Введение. Численные методы линейной и нелинейной алгебры.
1. Линейная алгебра
Задание 1.1
Решить СЛАУ по схеме Гаусса с выбором главного элемента:
⎧ 4.4 x0
⎪ 5.5 x
⎪
0
⎨
⎪ 7.1x 0
⎪⎩14.2 x0
−
2.5 x1
+ 19.2 x 2
− 10.8 x3
=
4.3,
−
9.3 x1
− 14.2 x 2
+ 13.2 x3
=
6.8,
+
−
−
+
= − 1.8,
= 7.2.
− 11.5 x1
+ 23.4 x1
5.3 x 2
8.8 x 2
6.7 x3
5.3 x3
Ответ записать с точностью до 10 −4 .
Задание 1.2
Решить СЛАУ по схеме Жордана с выбором главного элемента:
⎧8.2 x0
⎪5.6 x
⎪
0
⎨
x
5.7
0
⎪
⎪⎩6.8 x0
− 3.2 x1
− 12.0 x1
+ 14.2 x2
+ 15.0 x2
+ 14.8 x3
− 6.4 x3
= − 8.4,
= 4.5,
+
− 12.4 x2
−
2.3 x3
=
3.3,
−
−
8.7 x3
=
14.3.
3.6 x1
+ 13.2 x1
6.3 x2
Ответ записать с точностью до 10 −4 .
11
Задание 1.3
Решить СЛАУ методом простых итераций:
⎧ 5.7 x0
⎪ 6.6 x
⎪
0
⎨
⎪14.7 x0
⎪⎩ 8.5 x0
−
7.8 x1
−
5.6 x2
−
8.3 x3
=
+ 13.1x1
−
6.3 x2
+
4.3 x3
= − 5.5,
− 2.8 x1
+ 12.7 x1
+ 5.6 x2
− 23.7 x2
− 12.1x3
+ 5.7 x3
2.7,
=
=
8.6,
14.7.
2.8,
Ответ записать с точностью до 10 −4 .
Задание 1.4
Решить СЛАУ методом Зейделя:
⎧ 3.8 x0
⎪ 8.3 x
⎪
0
⎨
⎪ 6.4 x0
⎪⎩17.1x0
+ 14.2 x1
+
6.3 x2
− 15.5 x3
=
−
6.6 x1
+
5.8 x2
+ 12.2 x3
= − 4.7,
−
−
8.5 x1
8.3 x1
− 4.3 x2
+ 14.4 x2
+
−
=
=
8.8 x3
7.2 x3
7.7,
13.5.
Ответ записать с точностью до 10 −4 .
Задание 1.5
Найти методом Жордана-Гаусса матрицу B , обратную данной матрице A .
Проверить выполнение условия AB = BA = E , где E - единичная матрица.
0.47 − 0.11 0.55 ⎞
⎛ 1.00
⎜
⎟
1.00
0.35 0.17 ⎟
⎜ 0.42
A=⎜
− 0.25 0.67
1.00 0.36 ⎟
⎜
⎟
⎜ 0.54 − 0.32 − 0.74 1.00 ⎟
⎝
⎠
Значение элементов матрицы B записать с точностью до 10 −2 .
Задание 1.6
По схеме Гаусса с выбором главного элемента вычислить определитель Δ .
1.00
0.42
Δ=
0.54
0.66
0.42
1.00
0.32
0.44
0.54
0.32
1.00
0.22
0.66
0.44
0.22
1.00
Ответ записать с точностью до 10 −4 .
Задание 1.7
Решить СЛАУ по схеме Гаусса с выбором главного элемента:
12
⎧15.7 x0
⎪ 8.8 x
⎪
0
⎨
⎪ 6.3 x0
⎪⎩14.3 x0
+ 6.6 x1
−
5.7 x2
+ 11.5 x3
= − 2.4,
− 6.7 x1
+
5.5 x2
−
4.5 x3
=
5.6,
− 5.7 x1
+ 8.7 x1
− 23.4 x2
− 15.7 x2
+
−
6.6 x3
5.8 x3
=
=
7.7,
23.4.
Ответ записать с точностью до 10 −4 .
Задание 1.8
Решить СЛАУ по схеме Жордана с выбором главного элемента:
⎧4.3 x0
⎪2.4 x
⎪
0
⎨
⎪5.4 x0
⎪⎩6.3 x0
− 12.1x1
+ 23.2 x2
− 14.1x3
= 15.5,
−
4.4 x1
+
+
=
+
−
8.3 x1
7.6 x1
− 7.4 x2
+ 1.34 x2
3.5 x2
5.5 x3
− 12.7 x3
+ 3.7 x3
2.5,
= 8.6,
= 12.1.
Ответ записать с точностью до 10 −4 .
Задание 1.9
Решить СЛАУ методом простых итераций:
⎧14.4 x0
⎪23.4 x
⎪
0
⎨
⎪ 6.3 x0
⎪⎩ 5.6 x0
− 5.3 x1
− 14.2 x1
+ 14.3 x2
− 5.4 x2
− 12.7 x3
+ 2.1x3
= − 14.4,
=
6.6,
− 13.2 x1
−
6.5 x2
+ 14.3 x3
=
9.4,
+
−
6.7 x2
− 23.8 x3
=
7.3.
8.8 x1
Ответ записать с точностью до 10 .
−4
Задание 1.10
Решить СЛАУ методом Зейделя:
⎧ 1.7 x0
⎪ 3.1x
⎪
0
⎨
⎪ 3.3 x0
⎪⎩10.0 x0
+ 10.0 x1
−
1.3 x2
+ 2.1x3
= 3.1,
+
−
2.1x2
+ 5.4 x3
= 2.1,
+ 4.4 x2
+ 20.4 x2
− 5.1x3
+ 1.7 x3
= 1.9,
= 1.8.
1.7 x1
− 7.7 x1
− 20.1x1
Ответ записать с точностью до 10 −4 .
Задание 1.11
Найти методом Жордана-Гаусса матрицу B , обратную данной матрице A .
Проверить выполнение условия AB = BA = E , где E - единичная матрица.
0.23
⎛ 0.15
⎜
⎜ − 0.52 0.35
A=⎜
0.35
0.42
⎜
⎜ 0.74 − 0.25
⎝
0.12 0.44 ⎞
⎟
0.21 − 0.72 ⎟
0.38 − 0.63 ⎟
⎟
0.37 0.55 ⎟⎠
Значение элементов матрицы B записать с точностью до 10 −2 .
13
Задание 1.12
По схеме Гаусса с выбором главного элемента вычислить определитель Δ .
1.00
0.47
Δ=
− 0.11
0.55
0.17 − 0.25 0.54
1.00 0.67 − 0.32
0.35 1.00 − 0.74
0.43 0.36
1.00
Ответ записать с точностью до 10 −4 .
Задание 1.13
Решить СЛАУ по схеме Гаусса с выбором главного элемента:
⎧1.7 x0
⎪1.1x
⎪
0
⎨
⎪1.2 x0
⎪⎩7.1x0
− 1.8 x1
+ 1.9 x2
− 57.4 x3
= 10.0,
− 4.3 x1
+ 1.5 x2
−
1.7 x3
= 19.0,
+ 1.4 x1
− 1.3 x1
+ 1.6 x2
− 4.1x2
+
+
1.8 x3
5.2 x3
= 20.0,
= 10.0.
Ответ записать с точностью до 10 −4 .
Задание 1.14
Решить СЛАУ по схеме Жордана с выбором главного элемента:
⎧6.1x0
⎪1.1x
⎪
0
⎨
⎪5.1x0
⎪⎩1.8 x0
+ 6.2 x1
− 6.3 x2
+ 6.4 x3
= 6.5,
− 1.5 x1
+ 2.2 x2
− 3.8 x3
= 4.2,
− 5.0 x1
+ 1.9 x1
+ 4.9 x2
+ 2.0 x2
− 4.8 x3
− 2.1x3
= 4.7,
= 2.2.
Ответ записать с точностью до 10 −4 .
Задание 1.15
Решить СЛАУ методом простых итераций:
⎧2.2 x0
⎪1.3 x
⎪
0
⎨
x
6.2
0
⎪
⎪⎩1.2 x0
− 3.1x1
+ 2.2 x1
+ 4.2 x2
− 1.4 x2
− 5.1x3
+ 1.5 x3
= 6.01,
= 10.0,
− 7.4 x1
+ 8.5 x2
− 9.6 x3
=
1.1,
+ 1.3 x1
+ 1.4 x2
+ 4.5 x3
=
1.6.
Ответ записать с точностью до 10 .
−4
Задание 1.16
Решить СЛАУ методом Зейделя:
⎧35.8 x0
⎪27.1x
⎪
0
⎨
⎪11.7 x0
⎪⎩ 6.3 x0
+
2.1x1
− 34.5 x2
− 11.8 x3
=
−
7.5 x1
+ 11.7 x2
− 23.5 x3
= 12.8,
−
+
+
+
= 1.7,
= 20.8.
+ 1.8 x1
+ 10.0 x1
6.5 x2
7.1x2
Ответ записать с точностью до 10 −4 .
14
7.1x3
3.4 x3
0.5,
Задание 1.17
Найти методом Жордана-Гаусса матрицу B , обратную данной матрице A .
Проверить выполнение условия AB = BA = E , где E - единичная матрица.
⎛ 0.75 0.16 0.27 0.83 ⎞
⎟
⎜
⎜ 0.55 0.22 − 0.12 0.32 ⎟
A=⎜
1.00 0.42 0.35 0.18 ⎟
⎟
⎜
⎜ − 0.37 0.23 0.15 0.28 ⎟
⎠
⎝
Значение элементов матрицы B записать с точностью до 10 −2 .
Задание 1.18
По схеме Гаусса с выбором главного элемента вычислить определитель Δ .
8.2
1.4 − 2.3 0.2
− 1.6 5.4 − 7.7 3.1
Δ=
0.7
1.9 − 8.5 4.8
5.3 − 5.9 2.7 − 7.9
Ответ записать с точностью до 10 −4 .
Задание 1.19
Решить СЛАУ по схеме Гаусса с выбором главного элемента:
⎧ 35.1x0
⎪ 45.2 x
⎪
0
⎨
⎪− 21.1x0
⎪⎩ 31.7 x0
+
+ 37.5 x2
− 2.8 x3
=
+ 21.1x1
−
− 1.2 x3
= 11.1,
+ 31.7 x1
+ 18.1x1
+ 1.2 x2
− 31.7 x2
− 1.5 x3
+ 2.2 x3
=
=
1.7 x1
1.1x2
7.5,
2.1,
0.5.
Ответ записать с точностью до 10 −4 .
Задание 1.20
Решить СЛАУ по схеме Жордана с выбором главного элемента:
⎧ 1.1x0
⎪− 3.3 x
⎪
0
⎨
⎪ 7.5 x0
⎪⎩ 1.7 x0
+ 11.2 x1
+ 1.1x1
+ 11.1x2
+ 30.1x2
− 13.1x3
− 20.1x3
=
=
+
1.3 x1
+
1.1x2
+ 10.0 x3
= 20.0,
+
7.5 x1
−
1.8 x2
+
2.1x3
=
1.1.
1.3,
1.1,
Ответ записать с точностью до 10 −4 .
Задание 1.21
Решить СЛАУ методом простых итераций:
⎧ 7.5 x0
⎪− 10.0 x
⎪
0
⎨
x
2.8
0
⎪
⎪⎩ 10.0 x0
+
1.8 x1
−
2.1x2
−
7.7 x3
=
1.1,
+
1.3 x1
− 20.0 x2
−
1.4 x3
=
1.5,
+
−
+ 4.8 x3
− 10.0 x3
− 1.7 x1
+ 31.4 x1
Ответ записать с точностью до 10 −4 .
15
3.9 x2
2.1x2
= 1.2,
= − 1.1.
Задание 1.22
Решить СЛАУ методом Зейделя:
⎧ 30.1x0
⎪− 17.5 x
⎪
0
⎨
⎪ 1.7 x0
⎪⎩ 2.1x0
−
+ 10.0 x2
−
1.5 x3
= 10.0,
+ 11.1x1
+
1.3 x2
−
7.5 x3
=
− 21.1x1
+ 2.1x1
+
+
7.1x2
3.5 x2
− 17.1x3
+ 3.3 x3
1.4 x1
1.3,
= 10.0,
= 1.7.
Ответ записать с точностью до 10 −4 .
Задание 1.23
Найти методом Жордана-Гаусса матрицу B , обратную данной матрице A .
Проверить выполнение условия AB = BA = E , где E - единичная матрица.
2.7 − 1.3 5.2 ⎞
⎛ 1.5
⎟
⎜
⎜ 2.7 − 3.4 1.8 2.2 ⎟
A=⎜
− 1.3 0.16 0.82 1.05 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜ 5.2
2.2
1.05
3.4
⎠
⎝
Значение элементов матрицы B записать с точностью до 10 −2 .
Задание 1.24
По схеме Гаусса с выбором главного элемента вычислить определитель Δ .
0.42
1.00
Δ=
0.66
0.54
1.00
0.42
0.44
0.32
0.32
0.54
0.22
1.00
0.44
0.66
1.00
0.22
Ответ записать с точностью до 10 −4 .
Задание 1.25
Решить СЛАУ по схеме Гаусса с выбором главного элемента:
⎧ 7.3 x0
⎪11.5 x
⎪
0
⎨
⎪ 8.2 x0
⎪⎩ 2.4 x0
−
+
8.1x1
6.2 x1
+ 12.7 x2
− 8.3 x2
−
+
6.7 x3
9.2 x3
=
=
8.8,
21.5,
−
5.4 x1
+
4.3 x2
−
2.5 x3
=
6.2,
+ 11.5 x1
−
3.3 x2
+ 14.2 x3
= − 6.2.
Ответ записать с точностью до 10 −4 .
2. Нелинейная алгебра
Задание 2.1
Используя метод простых итераций, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧sin ( x + 1) − y = 1.2,
⎨
⎩2 x + cos( y ) = 2.
16
Задание 2.2
Используя метод Ньютона, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧tg ( xy + 0.4) = x 2 ,
⎨
2
2
⎩0.6 x + 2 y = 1, x > 0, y > 0.
Задание 2.3
Используя метод Зейделя, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧cos( x − 1) + y = 0.5,
⎨
⎩ x − cos( y ) = 3.
Задание 2.4
Используя метод Ньютона, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧sin ( x + y ) − 1.6 x = 0,
⎨ 2
2
⎩ x + y = 1, x > 0, y > 0.
Задание 2.5
Используя метод простых итераций, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧sin ( x) + 2 y = 2,
⎨
⎩cos( y − 1) + x = 0.7.
Задание 2.6
Используя метод Ньютона, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧tg ( xy + 0.1) = x 2 ,
⎨ 2
2
⎩ x + 2 y = 1.
Задание 2.7
Используя метод Зейделя, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧cos( x) + y = 1.5,
⎨
⎩2 x − sin ( y − 0.5) = 1.
17
Задание 2.8
Используя метод Ньютона, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧sin ( x + y ) − 1.2 x = 0.2,
⎨ 2
2
⎩ x + y = 1.
Задание 2.9
Используя метод простых итераций, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧sin ( x + 0.5) − y = 1,
⎨
⎩cos( y − 2) + x = 0.
Задание 2.10
Используя метод Ньютона, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧tg ( xy + 0.3) = x 2 ,
⎨
2
2
⎩0.9 x + 2 y = 1.
Задание 2.11
Используя метод Зейделя, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧cos( x + 0.5) + y = 0.8,
⎨
⎩sin ( y ) − 2 x = 1.6.
Задание 2.12
Используя метод Ньютона, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧sin ( x + y ) − 1.3 x = 0,
⎨ 2
2
⎩ x + y = 1.
Задание 2.13
Используя метод простых итераций, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧sin ( x − 1) = 1.3 − y,
⎨
⎩ x − sin ( y + 1) = 0.8.
Задание 2.14
Используя метод Ньютона, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧tg ( xy ) = x 2 ,
⎨
2
2
⎩0.8 x + 2 y = 1.
18
Задание 2.15
Используя метод Зейделя, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧2 y − cos( x + 1) = 0,
⎨
⎩ x + sin ( y ) = −0.4.
Задание 2.16
Используя метод Ньютона, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧sin ( x + y ) − 1.5 x = 0.1,
⎨ 2
2
⎩ x + y = 1.
Задание 2.17
Используя метод простых итераций, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧cos( x + 0.5) − y = 2,
⎨
⎩sin ( y ) − 2 x = 1.
Задание 2.18
Используя метод Ньютона, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧tg ( xy ) = x 2 ,
⎨
2
2
⎩0.7 x + 2 y = 1.
Задание 2.19
Используя метод Зейделя, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧sin ( x + 2) − y = 1.5,
⎨
⎩ x + cos( y − 2) = 0.5.
Задание 2.20
Используя метод Ньютона, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧sin ( x + y ) − 1.2 x = 0.1,
⎨ 2
2
⎩ x + y = 1.
Задание 2.21
Используя метод простых итераций, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧sin ( y + 1) − x = 1.2,
⎨
⎩2 y + cos( x) = 2.
19
Задание 2.22
Используя метод Ньютона, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧tg ( xy + 0.2) = x 2 ,
⎨
2
2
⎩0.6 x + 2 y = 1.
Задание 2.23
Используя метод Зейделя, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧cos( y − 1) + x = 0.5,
⎨
⎩ y − cos( x) = 3.
Задание 2.24
Используя метод Ньютона, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧sin ( x + y ) = 1.5 x − 0.1,
⎨ 2
2
⎩ x + y = 1.
Задание 2.25
Используя метод простых итераций, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10 −4 .
⎧sin ( y ) + 2 x = 2,
⎨
⎩cos( x − 1) + y = 0.7.
Модуль 2. Численное интегрирование.
3. Вычисление интегралов
Задание 3.1
Вычислить интеграл методом Гаусса-Кристоффеля с точностью до 10 −8 ,
∞
I ( p, q ) = ∫dx
0
e − px − e − qx
x
( p > 0, q > 0).
Задание 3.2
Вычислить интеграл методом Симпсона с точностью до 10 −8 ,
4
I =∫
0
dx
.
x+x
Задание 3.3
20
Используя метод "трёх восьмых", вычислить двойной интеграл с точностью до 10 −8 ,
1
2
0
0
I = ∫dx ∫dy ( x 2 + 2 y ).
Задание 3.4
Вычислить интеграл методом Симпсона с точностью до 10 −8 ,
∞
I ( p ) = ∫dx
0
arctg ( px)
.
x(1 + x 2 )
Задание 3.5
−8
Вычислить интеграл методом Гаусса-Кристоффеля с точностью до 10 ,
1
I ( p ) = ∫dx
0
ln (1 − p 2 x 2 )
(| p |< 1).
x2 1− x2
Задание 3.6
Используя метод "трёх восьмых", вычислить двойной интеграл с точностью до 10 −8 ,
1
1
x2
I = ∫dx ∫dy
.
1+ y2
0
0
Задание 3.7
Вычислить интеграл методом Гаусса-Кристоффеля с точностью до 10 −8 ,
∞
I ( p, q ) = ∫dxe − px
0
sin (qx)
x
( p ≥ 0).
Задание 3.8
Вычислить интеграл методом Гаусса-Кристоффеля с точностью до 10 −8 ,
1
I = ∫dx
−1
ex
1− x2
.
Задание 3.9
Вычислить двойной интеграл методом Гаусса-Кристоффеля с точностью
до 10 −8 ,
4
2
dy
.
( x + y)2
1
I = ∫dx ∫
3
21
Задание 3.10
Вычислить гамма-функцию Γ( x) методом Гаусса-Кристоффеля с точностью до 10 −8 ,
∞
Γ( x) = ∫dtt x −1e −t .
0
Задание 3.11
Вычислить интеграл методом Гаусса-Кристоффеля с точностью до 10 −8 ,
∞
I ( p, q, n) = ∫dx
0
e − px − e − qx
sin (nx)
x
( p > 0, q > 0).
Задание 3.12
Вычислить интеграл методом Симпсона с точностью до 10 −8 ,
2
dx
I =∫
| x2 −1 |
0
.
Задание 3.13
Используя метод "трёх восьмых", вычислить тройной интеграл с точностью до 10 −8 ,
1
1
1
0
0
0
dz
.
x + y + z +1
I = ∫dx ∫dy ∫
Задание 3.14
Вычислить двойной интеграл методом Симпсона с точностью до 10 −8 ,
10
1
0
−1
I = ∫dx ∫dy ( x 2 + y 2 ).
Задание 3.15
Используя метод "трёх восьмых", вычислить интеграл с точностью до 10 −8 ,
3
I = ∫dx
0
x2
9 − x2
.
Задание 3.16
Вычислить двойной интеграл методом Гаусса-Кристоффеля с точностью
до 10 −8 ,
∞
∞
0
0
I = ∫dx ∫dye −( x + y ) .
22
Задание 3.17
Вычислить двойной интеграл методом Симпсона с точностью до 10 −8 ,
π
π/2
−π/3
0
∫ dx ∫ dy(cos( x) + sin ( y)).
I=
Задание 3.18
Используя метод "трёх восьмых", вычислить интеграл с точностью до 10 −8 ,
∞
I = ∫dx
0
cos( x)
.
x
Задание 3.19
Вычислить двойной интеграл методом Симпсона с точностью до 10 −8 ,
∞
∞
dy
( x + y 2 + a 2 )2
0
I = ∫dx ∫
0
(a > 0).
2
Задание 3.20
Вычислить бета-функцию B( x, y ) методом Гаусса-Кристоффеля с точностью до 10 −8 ,
1
B( x, y ) = ∫dtt x −1 (1 − t ) y −1.
0
Задание 3.21
Используя метод "трёх восьмых", вычислить двойной интеграл с точностью до 10 −8 ,
10
10
0
0
I = ∫dx ∫dy
cos( xy ) − sin ( xy )
.
x
Задание 3.22
Вычислить интеграл методом Гаусса-Кристоффеля с точностью до 10 −8 ,
∞
2
I = ∫ dxx 2 e − x .
−∞
Задание 3.23
Вычислить тройной интеграл методом Симпсона с точностью до 10 −8 ,
∞
∞
∞
dz
.
( x + y + z 2 + 1) 2
0
I = ∫dx ∫dy ∫
0
0
23
2
2
Задание 3.24
Используя метод "трёх восьмых", вычислить двойной интеграл с точностью до 10 −8 ,
10
10
0
0
I = ∫dx ∫dy
cos( xy ) + sin ( xy )
.
x
Задание 3.25
Вычислить интегральный синус методом Симпсона с точностью до 10 −8 ,
x
Si ( x) = ∫dt
0
sin (t )
.
t
Задание 3.26
Используя метод "трёх восьмых", вычислить интегральный косинус с точностью до 10 −8 ,
x
Ci ( x) = ∫dt
∞
cos(t )
.
t
Задание 3.27
Вычислить гамма-функцию Γ( x) методом Симпсона с точностью до 10 −8 ,
∞
Γ( x) = ∫dtt x −1e −t .
0
Модуль 3. Аппроксимация функций.
4. Аппроксимация и интерполяция функций
Задание 4.1
Построить аппроксимирующий полином степени m (или аппроксимирующую функцию) методом наименьших квадратов для таблично заданной функции. На печать вывести таблично заданную функцию, аппроксимирующую
функцию (протабулированную в узлах сетки) и невязки. Сравнить графики
этих функций.
Программа должна быть универсальной, т.е. содержать подпрограмму, допускающую замену базисных функций ϕ i (x) в аппроксимирующей функции.
Табличную функцию задать самостоятельно.
1
2
3
4
5
6
7
i
x
y
24
Задание 4.2
Построить интерполяционный полином для заданной функции f ( x) на интервале [a, b]. Задан вид интерполяции и количество точек m, в которых определена функция. Таблица исходной функции y i = f ( xi ) вычисляется в точках
i ⋅ (b − a)
, i = 0,.., m . Используя полученную таблицу ( xi , y i ) , требуется выm
f ( x j ), Pm ( x j )
и
невязки
в
точках
числить
значения
функций
xi = a +
xj = a +
j ⋅ (b − a)
,
9
j = 0,..,9 . Построить графики исходной функции и интерполя-
ционного полинома.
№
1
Варианты заданий
f ( x)
a b m Интерполяция
x − cos 2 ( x)
5 8 4
Лагранжа
2
e x x 3 − sin 3 ( x)
4 7 4
Ньютона
3
ln( x) − 5 sin 2 ( x)
1 8 5
Лагранжа
4
x 2 − 10 sin 2 ( x)
0 3 5
Ньютона
5
4 x − 7 sin( x)
-2 3 4
Лагранжа
6
ln( x) − 5 cos( x)
3 6 4
Ньютона
7
x 3 + 10 x 2
-8 2 5
Ньютона
8
x 3 − 5x 2
-2 4 6
Лагранжа
9
x − 5 sin 2 ( x)
1 4 6
Ньютона
10
sin 2 ( x) − x 5
0 5 5
Лагранжа
11 0.1x 3 + x 2 − 10 sin( x) -4 2 4
Ньютона
12
sin 2 ( x) − 3 cos( x)
-1 4 5
Лагранжа
13
x 3 − 50 cos( x)
-2 5 4
Ньютона
14
x 2 + 5 cos( x)
1 7 4
Лагранжа
15
x 3 + 6 x 2 − 0.02e x
-5 3 5
Ньютона
16
cos 2 ( x) − x 5
0 5 5
Лагранжа
17
x 3 + x − 5 sin( x)
-4 2 4
Ньютона
25
Задание 4.3
Сгладить n раз многочленом m-ой степени по k точкам таблично заданную
функцию. Вывести на печать в виде таблицы исходную функцию и функцию
после каждого сглаживания. Изобразить на графике исходную функцию и
функцию после последнего сглаживания. Табличную функцию задать самостоятельно.
Модуль 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
5. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения
Задание 5.1
Найти решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального
уравнения методом Рунге-Кутты m-го порядка точности (m = 2, 3, 4). Число
разбиений n = 20.
Варианты заданий
№
Задача Коши для ОДУ
1
u ′′ + 2u ′ + u = x 2 , 0 ≤ x ≤ 2,
u (0) = 1, u ′(0) = 0
u ′′ − 2u ′ + u = 0, 2 ≤ x ≤ 4,
u (2) = 1, u ′(2) = −2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u ′′ − sin( x) ⋅ u ′ + e x ⋅ u = x, 0 ≤ x ≤ 2,
u (0) = 1, u ′(0) = −1
u ′′′ + x ⋅ u = e x , 0 ≤ x ≤ 2,
u (0) = 1, u ′(0) = u ′′(0) = 0
u ( IV ) + u ′′ − u = 0, 0 ≤ x ≤ 2,
u (0) = u ′(0) = u ′′(0) = 0, u ′′′(0) = 1
u ′′ + u = −2 sin( x), 0 ≤ x ≤ 1,
u (0) = −1, u ′(0) = 3
u ′′ = x + u 2 , 0 ≤ x ≤ 1,
u (0) = 1, u ′(0) = 2
3
u ′′′ = x ⋅ (u ′) 2 , 0 ≤ x ≤ 2,
2
u (0) = −3, u ′(0) = 1, u ′′(0) = −1
u ′′′ = x + xu 2 − (u ′) 2 , 0 ≤ x ≤ 2,
u (0) = 1, u ′(0) = u ′′(0) = 0
u ′′ + 2u ′ + u = 2, 0 ≤ x ≤ 2,
u (0) = 0, u ′(0) = 0
26
Порядок
точности,
m
2
4
2
4
3
2
2
3
4
2
Окончание таблицы
11
12
13
14
15
16
17
u ′′ + u = 0, 0 ≤ x ≤ 1,
u (0) = 0, u ′(0) = 1
u ′′ + u = cos( x), 0 ≤ x ≤ 1,
u (0) = u ′(0) = 0
u ′′′ + xu ′′ + ( x 2 − x) ⋅ u = xe x + 1, 0 ≤ x ≤ 1,
u (0) = u ′(0) = 0, u ′′(0) = 0
u ′′ − 5u ′ + 6u = 0, 0 ≤ x ≤ 1,
u (0) = 0, u ′(0) = 1
u ′′ + (1 + x 2 ) ⋅ u = cos( x), 0 ≤ x ≤ 2,
u (0) = 0, u ′(0) = 2
u ′′ − u ′ + xu = 0, 0 ≤ x ≤ 1,
u (0) = 0, u ′(0) = 1
xu ′′ + x 2 u = e x , 0 ≤ x ≤ 2,
u (0) = 2, u ′(0) = 1
4
3
4
2
3
4
3
Задание 5.2
Найти решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального
уравнения методом прогноза-коррекции (метод Милна, Башфорта-Адамса,
Хэмминга).
№
1
2
3
4
5
6
7
8
Варианты заданий
Начальный
Задача Коши для ОДУ
шаг h
u ′′ − 2u ′ + u = 0, 2 ≤ x ≤ 4,
u (2) = 1, u ′(2) = −2
u ′′ − 3u ′ + 2u − 2 x + 3 = 0, 0 ≤ x ≤ 2,
u (0) = 1, u ′(0) = 2
u ′′ + u = 4e x , 0 ≤ x ≤ 1,
u (0) = 4, u ′(0) = −3
xu ′′ + u ′ = 0, 1 ≤ x ≤ 1.5,
u (1) = 5, u ′(1) = −1
u ′′ − 2u ′ = 2e x , 1 ≤ x ≤ 2,
u (1) = −1, u ′(1) = 0
u ′′ + 4u = cos(3x), 0 ≤ x ≤ 1,
u (0) = 0.8, u ′(0) = 2
u ′′ + 2u ′ + 2u = xe x , 0 ≤ x ≤ 1.5,
u (0) = u ′(0) = 0
(1 + x 2 ) ⋅ u ′′ + (u ′) 2 + 1 = 0, 0 ≤ x ≤ 0.5,
u (0) = 1, u ′(0) = 1
27
Метод
0.2
БашфортаАдамса
0.2
Милна
0.1
БашфортаАдамса
0.05
Милна
0.1
БашфортаАдамса
0.1
Милна
0.1
БашфортаАдамса
0.05
Милна
Окончание таблицы
u ′′′ + 4u ′ + 4u = 0, 0 ≤ x ≤ 1,
u (0) = 1, u ′(0) = −1
u ′′ − 3u ′ = e 5 x , 0 ≤ x ≤ 0.2,
u (0) = 2.2, u ′(0) = 0.8
9
10
x 2 u ′′ − 2u = 0, 1 ≤ x ≤ 2,
u (1) = 0.8, u ′(1) = 0.6
u ′′ − 5u ′ + 6u = e x , 0 ≤ x ≤ 0.2,
u (0) = u ′(0) = 0
11
12
u ′′′ + u = e x + 1, 0 ≤ x ≤ 1,
u (0) = 2.5, u ′(0) = 1.5
x 2 u ′′ + 2.5 xu ′ − u = 0, 1 ≤ x ≤ 2,
u (1) = 2, u ′(1) = 3.5
13
14
u ′′ + u = x 2 − x + 2, 0 ≤ x ≤ 1,
u (0) = 1, u ′(0) = 0
u ′′ − u ′ + xu = 0, 0 ≤ x ≤ 1,
u (0) = 0, u ′(0) = 1
xu ′′ + x 2 u = e x , 0 ≤ x ≤ 2,
u (0) = 2, u ′(0) = 1
15
16
17
0.1
БашфортаАдамса
0.02
Милна
0.1
Хэмминга
0.02
БашфортаАдамса
0.1
Милна
0.1
БашфортаАдамса
0.1
Хэмминга
0.05
БашфортаАдамса
0.01
Хэмминга
6. Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения
Задание 6.1
Найти решение U ( x) краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
(K ( x) ⋅ U ′( x) )′ − q( x) ⋅ U ( x) = − f ( x), 0 ≤ x ≤ 1 ,
K (0) ⋅ U ′(o) = b1 ⋅ U (0) − t1 , − K (1) ⋅ U ′(1) = b2 ⋅ U (1) − t 2 .
Точность решения задачи ε = 0.001 . Значение шага h для разностной схемы
выбирать исходя из требований точности решения. Решить методом сеток
и/или баллистическим методом.
Варианты заданий
№
1
2
3
4
5
6
7
K (x)
e
x
x +1
x +1
ex
ex
cos( x) + 1
sin( x) + 1
2
q(x)
f (x)
sin(x)
x
e
x
ex
ex
ex
e
−x
2
1
e−x
e−x
cos( x)
sin(x)
cos(x)
ex
28
b1
t1
b2
t2
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
Окончание таблицы
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
x +1
x2 +1
e sin( x )
x2 +1
ex
ex +1
x +1
ex
x( x + 1)
x
2
e−x
cos(x)
x
x+2
e cos( x )
ex
ex
1
2
e−x
cos(x)
sin( x)
1
cos(x)
1
ex
sin(x)
x
ex
e−x
sin(x)
0.1 100 0.1 100
100 0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
Модуль 5. Уравнения в частных производных.
7. Уравнения параболического и гиперболического типа
Задание 7.1
Методом конечных разностей найти численное решение задачи вида
u t = a 2 ( x, t )u xx + f ( x, t ),
x ∈ (0,1), t ∈ (0, T )
α 1u (0, t ) + β1u x (0, t ) = A(t )
α 2 u (1, t ) + β 2 u x (1, t ) = B(t )
u ( x,0) = ϕ ( x)
по явной (неявной) схеме.
Найти решение с точностью до 0.0001 на отрезке времени T = 1 amax , где
a max = max a( x, t ) . Предварительно определить условие устойчивости схемы. Поx ,t
строить графики функций u ( x 0 , t ), u ( x, jt 0 ) , где x0 = 0.6, t 0 = T 10 , j = 1, 2, 4 . Проверить правильность работы программы на тестовом примере.
Задание 7.2
Методом конечных разностей найти численное решение задачи вида
u tt = a 2 ( x, t )u xx + f ( x, t ),
x ∈ (0,1), t ∈ (0, T )
α 1u (0, t ) + β 1 u x (0, t ) = A(t )
α 2 u (1, t ) + β 2 u x (1, t ) = B (t )
u ( x,0) = ϕ ( x); u t ( x,0) = ψ ( x)
по явной (неявной) схеме.
Найти решение с точностью до 0.0001 на отрезке времени T = 2 / a max , где
a max = max a( x, t ). Предварительно определить условие устойчивости схемы. Поx ,t
строить графики функций u ( x0 , t ), u ( x, jt 0 ) , где x0 = 0.6, t 0 = T 4 , j = 1, 2, 3 . Проверить правильность работы программы на тестовом примере.
29
Варианты заданий к 7.1 и 7.2
Таблица 1. Коэффициенты уравнения и начальные условия
№
1
2
a 2 ( x, t )
3(11
. − 0.5x )
5(01
. + x )(11
. − x)
f ( x, t )
ψ (x )
et − 1
ϕ (x )
0.01(1 − x)
1 − cos(t )
0
0
t cos(t )
0
0.001x(1 − x )
0
0
0
0
0
3
2x + 1
4
5
e1− x
3 cos(πx / 3)
6
2
. x − 1)
(15
01
. t + sin(t )
0
0
7
ex
2t + 1
0
0
2t + 1
0
t (0.01 + t )
x⎞
⎛
0.01x 2 ⎜ 0.5 − ⎟
3⎠
⎝
0
0
0
0
0
0.1 sin (πx )
0
0.1 sin (πx )
0
0
0
0
0
0
0.01 cos(πx )
0.01 cos(πx )
0
0
0
0
0
0
0
0
0.01x(tg (x ) − 1)
0
0
0
0
0
0
0
0
0.01x (1 − x )2
0
0
8
9
e− x + 1
2x3 + 1
4( x + 0.1)
2 + cos(πx )
2 + sin (πx )
2 + tg (πx 4)
10
11
12
13
14
15
16
17
x3 + 1
3x 2 − 2 x + 1
e −2 x + 3 x − 1
3x 4 − 2 x 2 + 2
18
x+2
19
20
21
22
23
24
25
26
3x 3 − x + 1
x4 + x2 + 1
2x 2 + 1
2 − cos(πx )
3 + sin (πx )
3x + 1
3 + cos(πx )
4 − sin (πx )
t (0.01 + t )
t (t + 01
. ))
t (0.01 + t )
−t
0 .1 + e
0 .1 + e − t
0 .1 + e − t
0.1t + sin (t )
1 − sin (t )
1 − sin (t )
1 − sin (t )
− t (2 − cos(t ))
3t + e − t
2t − cos(t )
3t + e − t
2t − cos(t )
3t + e − t
2t − cos(t )
3t + e − t
2t − cos(t )
30
Таблица 2. Граничные условия
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
α1
β1
α2
β2
A(t )
B (t )
1
0
1
0
1
1
0
0
-1
1
1
-1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
− 0.001t
− 0.001t
0.001t
0.001t
0.01t 2
0
0.001sin(t )
0
0
0
0
0
0.01(e −t − 1)
0.001t
0.001t
0
0
0
0
0
0
0.001t
0.01t 2
0.01e t sin(t )
0.01t 3
0
0
0
− 0.01t ⋅ sin(t )
0
0
− 0.01t ⋅ e −t
0
0
0
− 0.01t ⋅ cos(t )
− 0.01t ⋅ cos(t )
0
0
0
0
0.01t 2 ⋅ cos(t )
0
0
0.01t ⋅ cos(t )
0.01t ⋅ cos(t )
8. Уравнения эллиптического типа
Задание 8.1
Методом конечных разностей найти численное решение задачи вида
x ∈ (0, a ),
u xx + u yy = 0,
y ∈ (0, b )
u (0, y ) = ϕ1 ( y ), u ( a, y ) = ϕ 2 ( y ),
u ( x,0) = ϕ 3 ( x ), u ( x, b) = ϕ 4 ( x ),
по схеме: метод Либмана, верхней релаксации, линейной релаксации, схема переменных направлений, попеременно-треугольная схема.
Найти решение с точностью до 0.001 в квадрате ( a = b = 1 ). Предварительно
определить условие устойчивости схемы. Построить графики функций
31
u ( x 0 , y ), u ( x, jy 0 ) , где x0 = 0.6, y 0 = b 4 , j = 1, 2, 3 . Проверить правильность работы
программы на тестовом примере.
Варианты заданий
Граничные условия
№
1
ϕ1 ( y )
30 y
2
20 y
3
4
5
6
7
8
50(1 − y 2 )
20 y
ϕ 2 ( y)
ϕ 3 ( x)
ϕ 4 ( x)
0
0
⎛ πy ⎞
30 cos⎜ ⎟
⎝ 2⎠
20x 2
30(1 − x 2 )
⎛ πx ⎞
30 cos⎜ ⎟
⎝ 2⎠
0
50 sin(πx)
20 y
50 x(1 − x)
2
0
20
50 x(1 − x)
30 x(1 − x)
30(1 − x)
50 x(1 − x)
30 sin(πy )
30(1 − y )
50 y (1 − y 2 )
20 y
20 y
50 sin(πy )
30 y 2
50 sin(πx)
30 x
9
40 y 2
40
10
11
12
50 y 2
0
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
0
20 x
20 x
20 y
⎛ πx ⎞
40 sin⎜ ⎟
⎝ 2⎠
60 x(1 − x 2 )
10 x(1 − x)
20 y (1 − y )
0
40(1 − x)
30 y (1 − y 2 )
20(1 − x 2 )
30 x(1 − x)
0
10 x 2 (1 − x)
50 sin(πx)
20 y
30 y (1 − y )
20(1 − x 2 )
30(1 − y 2 )
⎛ πy ⎞
30 cos⎜ ⎟
⎝ 2⎠
30
0
30
20 y
2
40 y
⎛ πy ⎞
20 cos⎜ ⎟
⎝ 2⎠
2
30 y (1 − y )
0
20 y
⎛ πx ⎞
30 cos⎜ ⎟
⎝ 2⎠
30x 2
50 y (1 − y 2 )
0
50 sin(πx)
20 y
2
40 x(1 − x)
20
20 x (1 − x)
50 x
30 y
30 y
20 sin(πy )
50 y 2
20 sin(πx)
24
40
40 y 2
25
26
27
30 y 2
15 y
20
30 y
40 x(1 − x )
20 x(1 − x)
40(1 − x)
25y
50(1 − x)
30 x
50 y (1 − y )
20 sin(πy )
40(1 − y )
2
40
2
0
25 y
⎞
⎛π
40 sin ⎜ (1 − x) ⎟
⎝2
⎠
2
40 x (1 − x)
20 x(1 − x)
30 y (1 − y )
0
0
32
2
30 x
30 x
40
30(1 − x)
25
15(1 − x)
2. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Цели, задачи и трудоёмкость самостоятельной работы
Для самостоятельного изучения теоретического материала и выполнения
индивидуальных заданий рабочей программой предусмотрено 0.2 з.е. (8 часов).
Из них 0.1 з.е. (4 часа) отводится на освоение теоретического материала и 0.1
з.е. (4 часа) на выполнение индивидуальных заданий.
В силу ограниченности аудиторного времени часть материала рассматривается достаточно кратко. При этом в основную программу дисциплины «Численные методы и математическое моделирование» не входит такой раздел, как
визуализация расчетных данных. В связи с этим, возникает необходимость самостоятельного изучения данных тем для лучшего усвоения материала и грамотного представления результатов численных расчетов. Для закрепления и
проверки усвоенных знаний, каждому студенту выдается индивидуальное задание, которые можно выполнять и сдавать в течение всего семестра.
Самостоятельная работа позволяет студентам лучше разобраться в тонкостях численных алгоритмов решения различных задач. Решая индивидуальные
задания, основанные на конкретных физических задачах, студенты быстрее
осознают практическую сторону рассматриваемых методов, степень их применимости к определенным задачам и роль численных методов в современной научной работе. В целом, это позволит студентам полностью усвоить все компетенции по данной дисциплине и подойти к контрольной точке с максимальной
готовностью.
Методика реализации самостоятельной работы
В течение семестра, по мере изложения материала на лекционных занятиях, на самостоятельное изучение выносятся соответствующие темы с указанием
источника. Тема «Визуализация данных в среде MatLab» изучается при необходимости представления численных результатов в графическом виде для выполнения лабораторных работ.
Темы для самостоятельного изучения:
№
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Тема
Визуализация данных в среде MatLab
Интегральные уравнения
Численное дифференцирование
Частичная проблема собственных значений
Минимум функции одного переменного
Задачи на собственные значения
Статистическая обработка эксперимента
33
Источник, стр.
[6, стр. 277-340]
[1, стр. 515-546]
[1, стр. 80-96]
[1, стр. 215-220]
[1, стр. 221-229]
[1, стр. 319-329]
[1, стр. 548-571]
На первом занятии студентам выдается индивидуальное задание, выполнение которого предполагается в течение всего семестра по мере изучения необходимых разделов теории. Для защиты данного задания студент должен удовлетворить следующим критериям: представить рабочую программу в соответствии с требованиями, выставляемыми к оформлению программ на лабораторном практикуме; показать знания физического процесса или явления, описываемого в индивидуальном задании; уметь интерпретировать численный результат с физической точки зрения.
Для самостоятельного решения предлагаются следующие индивидуальные
задания:
Задание 1
Электрон с энергией E = e (2 a) рассеивается на атоме водорода, электрическое поле которого определяется потенциалом
2
⎛1
⎝r
1⎞
a⎠
ϕ (r ) = e ⎜ + ⎟ ⋅ exp (−2 r / a) ,
где е - заряд протона, a = h 2 / (m ⋅ e 2 ) - боровский радиус, m - масса электрона и
h - постоянная Планка. Определить полную энергию E d дипольного излучения
в процессе рассеяния. При помощи вычислений на ЭВМ построить кривую зависимости излучённой энергии E d от прицельного расстояния l пролетающего
электрона.
Указание. Решение задачи приведено в [14], задача № 419. Точность вычислений положить равной 10-3, корень трансцендентного уравнения искать методом бисекций. Значения параметра l / a взять от 0.5 до 5.0 с шагом 0.5.
Задание 2
Поток частиц с массой m , зарядом е и энергией E 0 движется в сферически-симметричном потенциальном поле U (r ) = U 0 ⋅ exp (−r / a) , где a и U 0 - поло∞
жительные постоянные. Найти эффективное излучение κ = ∫ ΔE (2π l ) dl . Здесь
0
ΔЕ - полная энергия дипольного излучения частицы, пролетающей с прицель-
ным расстоянием l . Вычислить и изобразить графически кривую зависимости
эффективного излучения κ от энергии Е 0 в области 0.1 ⋅ U 0 ≤ E 0 ≤ 10 ⋅ U 0 .
Указание. Решение задачи приведено в [14], задача № 420. В расчётах шаг
по x взять 0.5, где введено обозначение x = E 0 /U 0 . Решение задачи сводится к
вычислению интеграла
34
κ = κ0
∞
1
∫η
xη
⋅ exp (−2η ) ⋅ 1 −
2
min
κ0 =
exp (−η )
dη ,
x
2U 0
⎧− ln x при x < 1.0,
, η min = ⎨
m
⎩ 0 при x ≥ 1.0.
4π e 2 U 0
⋅
3m c3
Вычисления вести в относительных единицах κ 0 .
2
Ed =ε 0
∞
∫
η0
⎛ d ψ (η ) ⎞
⎜⎜
⎟⎟ d η
3
⎛ 1⎞
1 ⎛e2 ⎞ e2
⎝ dη ⎠
,
ε 0 = ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ , ψ (η ) = 2 ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⋅ e − 2η .
3 ⎝ hc ⎠ a
⎝ η⎠
l2
1 − 2 2 + ψ (η )
a η
Величина η 0 является корнем уравнения 1 −
построить график функции ln (E d ε 0 ) = f (l a ) .
l2 1
⋅
+ ψ (η 0 ) = 0 . Вычислить и
a 2 η 02
Задание 3
Частица с зарядом Q движется со скоростью V по прямой мимо первоначально покоившегося заряженного осциллятора, собственная частота которого
ω 0 , заряд е и масса m. Расстояние l от центра осциллятора до прямолинейной
траектории движения частицы настолько велико, что изменением скорости V
можно пренебречь. Пренебрегая также силой радиационного трения построить
кривую интенсивности I излучения осциллятора под действием пролетающей
частицы. При вычислении положить V = ω 0 l и считать амплитуду колебаний
осциллятора малой по сравнению с величиной l.
Указание. Решение задачи приведено в [14], задача № 421. Вычисления
провести для параметра η = ω 0 t от 0 до 12 с шагом Δη = 0.5 в единицах I 0 . При
выполнении указанных условий решение задачи сводится к вычислениям интегралов:
I = I 0 ( f 12 + f 22 ) , где I 0 =
f2 =
1
(1 − η )
2 3/ 2
−
1
2 l 4Q 2
, f1 =
2 3 4
3m c l
(1 − η 2 ) 3 / 2
ω0 l
V
η
∫
⎡ω 0 l
⎤
(η − ξ )⎥
⎣ V
⎦
ξ Sin ⎢
−∞
(1 − ξ )
2 3/ 2
35
⎡ω 0 l
⎤
(
)
η
ξ
Sin
−
⎢
⎥
ω0 l η
V
⎣
⎦ dξ ,
−
2 3/ 2
V −∫∞
1−ξ
dξ , η = ω 0 t =
(
Vt
.
l
)
Вывести на печать функцию
I (η )
и построить её график.
I0
Задание 4
Покоившийся заряженный осциллятор с трением с момента времени t = t 0
подвергся действию внешней силы F = F 0 exp ( − t 2 / τ 2 ), так что его уравнение
движения приняло вид
→
..
→
→
→
.
→
→
r+γ r+ω r =
2
0
F0
m
(
)
exp − t 2 / τ 2 ,
где ω 0 - собственная частота, m - масса осциллятора, а коэффициент γ характеризует энергетические потери, обусловленные трением. Заряд колеблющейся
частицы е. Полагая γ = ω 0 / 2 = 2 / τ и используя численные методы, построить и
сравнить между собой кривые интенсивности I излучения осциллятора под дей→
ствием внешней силы F в двух случаях: t 0 = 0 и t 0 = −∞ .
Указание. Решение задачи приведено в [14], задача № 422. Вычисления
произвести с шагом Δη = 0.25 для значений 0 ≤ η ≤ 3.0 при t 0 = 0 и для
− 2.0 ≤ η ≤ 2.0 при t 0 = −∞ . Решение задачи сводится к вычислению интеграла:
I = I 0 f 2 , где I 0 =
f =e
−η
2
η
⎧
⎛
γ 2τ
⎜
− ∫ ⎨γ τ Cos [ω τ (η − ξ )] + ⎜ ω τ −
4ω
⎝
η 0⎩
⎛ 2 γ2⎞
ω = ⎜⎜ ω 0 − ⎟⎟
4 ⎠
⎝
1/ 2
2 l 2 F 02
3m2 c3
,
⎫
⎞
⎤
⎡γ τ
⎟⎟ Sin [ω τ (η − ξ )]⎬ exp ⎢ (ξ − η ) − ξ 2 ⎥ dξ ,
⎦
⎣ 2
⎠
⎭
t
t0
τ
τ
, η = , η0 =
.
Задание 5
Тяжёлое ядро с зарядом Q движется со скоростью V по прямолинейной
траектории на большом расстоянии l от покоящегося электронейтрального атома, поляризуемость которого β . Последнее означает, что во внешнем электри→
ческом поле с напряжённостью Е у атома появляется электрический диполь→
→
ный момент d = β E . Пренебрегая изменением скорости V движущегося ядра,
найти энергию d ε (ω ) , излучённую поляризованным атомом на частотах от ω
до ω + dω . При помощи численных методов построить кривую (вычислить и
изобразить графически) d ε (ω ) / dω спектрального разложения излучения.
36
Указание. Решение задачи приведено в [14], задача № 423. Вычисления
вести в относительных единицах F0 , приводимых ниже, для значений ω l / V с
шагом 0.5. Решение задачи сводится к вычислению интегралов:
d ε (ω )
8Q 2 β 2 V 2
= F 0 f 12 + f 22 , F 0 =
,
dω
3π c 3 l 6
(
∞
f1 = ∫
0
)
⎛ωl ⎞
⎛ωl ⎞
Cos ⎜ ξ ⎟
ξ⎟
∞ ξ Sin ⎜
⎝ V ⎠dξ , f =
⎝ V ⎠ dξ .
2
∫0 (1 + ξ 2 )3 / 2
(1 + ξ 2 )3 / 2
Задание 6
Два ядра имеют массовые числа А1 и А2 и заряды Z1e и Z2e. В системе центра инерции их суммарная энергия Е0. Масса нуклона m. Рассмотреть два случая движения: а) ядра налетают друг на друга по прямой линии и после остановки вновь разлетаются на бесконечность; б) ядра с некоторого момента времени t=0 разлетаются на бесконечность, являясь осколками большего ядра (в
начальный момент времени t=0 их скорости равнялись нулю). Определить
спектральные плотности излучения
d ε ( a ) (ω )
d ε ( б ) (ω )
и
dω
dω
в случаях а) и б). При помощи численных методов построить (вычислить и нарисовать графически) и сравнить между собой кривые спектрального разложения излучения в обоих указанных случаях.
Указание. Решение задачи приведено в [14], задача № 424. Вычисления
провести для значений ω / ω 0 от 0 до 1.4 с шагом 0.2 в относительных единицах
F0 . Решение задачи сводится к вычислению приводимых ниже интегралов. Са-
мостоятельно выбрать наиболее точный метод вычисления данных интегралов.
dε
(а)
(ω ) = F
dω
⎡ω
Cos ⎢
⋅ (ξ + sh ξ
∞
⎢⎣ ω 0
где F = 2 ⋅ ∫
1 + ch ξ
0
∞
f1 = ∫
0
2
0 F ,
dε
(б )
(ω ) = F
dω
0
(f
2
1
)
+ f 22 ,
⎤
)⎥
⎥⎦
dξ ,
⎡ω
⋅ (ξ + sh ξ
Cos ⎢
⎢⎣ ω 0
1 + ch ξ
⎤
)⎥
∞
⎥⎦
dξ , f2 = ∫
0
37
⎡ω
⋅ (ξ + sh ξ
Sin ⎢
⎢⎣ ω 0
1 + ch ξ
⎤
)⎥
⎥⎦
dξ ,
ω0 =
2E0
Z 1 Z 2 e2
⋅
2
⎛ Z1 Z 2 ⎞
⎟ .
⋅⎜
−
, F0 =
3
3π m c ( A1 + A 2 ) ⎜⎝ A1 A 2 ⎟⎠
2 E 0 ( A1 + A 2 )
4 e 2 E 0 A1 A 2
m A1 A 2
Задание 7
Два ядра имеют массовые числа А1 и А2 и заряды Z1e и Z2e. В системе центра инерции их суммарная энергия Е0. Масса нуклона m. Рассмотреть два случая движения: а) ядра налетают друг на друга по прямой линии и после остановки вновь разлетаются на бесконечность; б) ядра с некоторого момента времени t=0 разлетаются на бесконечность, являясь осколками большего ядра (в
начальный момент времени t=0 их скорости равнялись нулю). Определить
спектральные плотности излучения
d ε ( a ) (ω )
d ε ( б ) (ω )
и
dω
dω
в случаях а) и б). При помощи численных методов построить (вычислить и нарисовать графически) и сравнить между собой кривые спектрального разложения излучения в обоих указанных случаях, считая отношение заряда к массе у
обоих ядер одинаковым
Z1 e
A1 m
=
Z2e
=
A2 m
Ze
.
Am
Указание. Решение задачи приведено в [14], задача № 425. Вычисления
провести для значений ω / ω 0 от 0 до 1.4 с шагом 0.2 в относительных единицах
F0 . Решение задачи сводится к вычислению приводимых ниже интегралов. Са-
мостоятельно выбрать наиболее точный метод вычисления данных интегралов.
dε
(а)
(ω ) = F
dω
∞
где F = 2 ⋅ ∫
0
∞
f1 = ∫
0
2
0 F ,
dε
(б )
(ω ) = F
dω
0
(f
2
1
)
+ f 22 ,
⎡ω
⎤
sh ξ ⋅ Cos ⎢
⋅ (ξ + sh ξ )⎥
⎣⎢ ω 0
⎦⎥ d ξ ,
2
(1 + ch ξ )
⎡ω
⎤
⎡ω
⎤
sh ξ ⋅ Sin ⎢
sh ξ ⋅ Cos ⎢
⋅ (ξ + sh ξ )⎥
⋅ (ξ + sh ξ )⎥
∞
⎣⎢ ω 0
⎣⎢ ω 0
⎦⎥ d ξ , f =
⎦⎥ d ξ ,
2
2
2
∫
(1 + ch ξ )
(1 + ch ξ )
0
ω0 =
2E0
Z 1 Z 2 e2
⋅
2 E 0 ( A1 + A 2 )
m A1 A 2
38
8e2 Z 2
, F0 =
15 π cA 2
2
⎛ E0 ⎞
⎟ .
⋅ ⎜⎜
2 ⎟
⎝ mc ⎠
Задание 8
→
В пространстве в направлении единичного вектора n распространяется
электромагнитная волна, напряжённость электрического поля которой
⎡ ⎛ t ' ⎞4 ⎤
E = E 0 ⋅ exp ⎢− ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⋅ Cos ω 0 t ' ,
⎢⎣ ⎝ τ ⎠ ⎥⎦
→
(
→
)
⎛→ →⎞
⎜ n, r ⎟ →
'
где t = t − ⎝ ⎠ , E 0 - постоянный вектор, а параметры τ и ω 0 удовлетворяют
c
неравенству ω 0 τ >> 1 . Используя численные методы, начертить спектральную
линию ε (ω ) излучения, распространяющегося в виде данного электромагнитного импульса. Определить ширину Δω спектральной линии.
Указание. Решение задачи приведено в [14], задача № 426. Вычисления
вести в относительных единицах F0 для значений величины (ω − ω 0 )τ от -3.0 до
3.0 с шагом 0.25. Решение задачи сводится к вычислению приводимых ниже
интегралов.
2
cτ 2 E 02
⎛∞
⎞
4
ε (ω ) = F 0 ⋅ ⎜⎜ ∫ e −ξ Cos ( ω − ω 0 ) τ ξ d ξ ⎟⎟ , F 0 =
.
(2 π ) 2
⎝0
⎠
[
Δω =
2x
τ
]
, где величина x является корнем уравнения
∫ exp ( − ξ )⋅ (1 −
∞
4
)
2 Cos ( x ξ ) d ξ = 0 .
0
Задание 9
По бесконечно тонкой пластине ( − b ≤ x ≤ b , − l ≤ z ≤ l ) параллельно оси z
бежит волна тока с поверхностной плотностью
⎡ ⎛ z ⎞6 ⎤
⎢ ⎜t − ⎟ ⎥
→
→
c
i = l z ⋅ i 0 ⋅ exp ⎢− ⎝ 6 ⎠ ⎥ ,
⎢
⎥
τ
⎢
⎥
⎣
⎦
где с - скорость света в вакууме, а i 0 и τ - постоянные. Определить напряжён→
→
ности электрического E и магнитного H полей излучения в точках оси x на
большом расстоянии r от пластины. Полагая b = l = c τ , построить кривую зависимости (вычислить и нарисовать графически) напряжённости электрического
поля от времени для некоторой фиксированной точки наблюдения волновой
39
зоны. Начертить спектральную линию ε (ω ) излучения, прошедшего через эту
точку наблюдения.
Указание. Решение задачи приведено в [14], задача № 427. Вычисления
провести в относительных единицах для − 4 ≤ t ' ≤ 4 с шагом Δ t ' = 0.25 при определении напряжённостей и для 0 ≤ ω τ ≤ 3.0 с шагом 0.2 при определении спектральной линии излучения. Решение задачи сводится к вычислению приводимых ниже интегралов.
6
6
⎧⎪
⎡ ⎛
⎡ ⎛
l − bξ ⎞ ⎤
l + b ξ ⎞ ⎤ ⎫⎪
'
'
⎟ ⎥⎬ d ξ ,
⎟ ⎥ − exp ⎢− ⎜⎜ t +
E = l z E 0 ⋅ ∫ ⎨ exp ⎢− ⎜⎜ t −
c τ ⎟⎠ ⎥
c τ ⎟⎠ ⎥ ⎪
⎢
⎢
⎝
⎝
−1 ⎪
⎣
⎦⎭
⎣
⎦
⎩
→
→
1
b i0
→
→
r
1
r
E0 =
, H = n× E , t = ⎛⎜ t − ⎞⎟ , n = ;
cr
τ ⎝ c⎠
r
→
→
→
'
1
⎫⎪
с τ 2 E 02 ⎧⎪∞
6
6
ε (ω ) =
⋅
d
η
d ξ exp − (ξ − 1 + η ) − exp − (ξ + 1 + η ) ⋅ Sin (ω τ η )⎬
⎨∫
2
∫
π
⎪⎩ 0
⎪⎭
−1
{ [
]
[
]}
2
Задание 10
В направлении оси цилиндра высоты 2h и радиуса R бежит волна тока с
объёмной плотностью
⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤
j = j 0 ⋅ exp ⎢− ⎜ ⎟ ⎥ ⋅ Cos (k z − ω t ) ,
⎣⎢ ⎝ R ⎠ ⎦⎥
→
→
→
где ω = k c , а r и z - цилиндрические координаты. Постоянный вектор j 0 параллелен оси z. Начало координат выбрано в центральной точке цилиндра. Определить среднюю за период T = 2 π / ω интенсивность излучения в единицу телесного угла d I / d Ω как функцию полярного угла θ , отсчитываемого от оси цилиндра. Построить диаграмму направленности излучения, откладывая численное значение величины d I / d Ω для каждого угла θ в виде отрезка на луче, составляющем тот же угол с полярной осью, которая совпадает с осью цилиндра.
Для вычисления на ЭВМ положить h = R = 1 / k .
Указания. Решение задачи приведено в [14], задача № 428. Угол θ менять
от 0 до π с шагом 5 градусов. J 0 ( x) - функция Бесселя нулевого порядка. Решение задачи сводится к вычислению интеграла
4 2
d I 2 π R j 0 Sin 2θ ⋅ Sin 2 (k h (1 − Cos θ
=
⋅
dΩ
c
(1 − Cos θ ) 2
40
)) ⋅ ⎛⎜ 1 e − ξ
⎜∫
⎝0
2
2
⎞
⋅ J 0 ( k R ξ Sin θ )ξ d ξ ⎟⎟ .
⎠
Задания 11-16
Вычислить приближенную величину энергии электрона в атоме водорода
(Z=1) в nl -состоянии путем численного решения уравнения Шредингера (УШ).
Указание. Если в УШ для радиальной волновой функции ввести обозначения
γ
2
2m E
Ze2 m
e 2 ⎛ mc 2
⎜−
=
Z
=− 2 , χ =
h c ⎜⎝ 2 E
γ h2
h
⎞
⎟⎟
⎠
1/ 2
и перейти к атомным единицам (m=1, e=1, h=1), то γ = 1 / χ , а УШ принимает
вид
⎡ 1
2 l ( l + 1) ⎤
⋅U 1 = 0 ,
U 1' ' + ⎢− 2 + −
r
r 2 ⎥⎦
⎣ χ
U 1 (0) = 0, U 1 (r ) → 0 при r → ∞ .
Для решения этого уравнения использовать баллистический метод с переменным верхним пределом интегрирования, варьируя параметр χ . Задачу Коши решать методом Нумерова (Фокса-Гудвина). Точность вычислений ε=10-4.
Для устранения особенности в точке r=0 воспользоваться представлением решения в окрестности нуля в виде степенного ряда
U 1 (r ) = r l + 1 ( a 0 + a 1 r + a 2 r 2 + ... ) .
Найденные значения χ и волновые функции U 1 (r ) сравнить с точными решениями, для чего воспользоваться результатами точного решения УШ в квантовой механике ([15], задача № 67).
Варианты:
№
11
12
13
14
15
16
nl
1S
2S
2P
3S
3P
3d
Задание 17
В слабо возмущённом аксиально-симметричном магнитном поле с цилиндрическими компонентами
B r = γ ⋅ I 1 (r ) ⋅ Sin ( z ), B ϕ = 0, B z = [1 + r ⋅ I 0 (r ) ⋅ Cos ( z )] ,
где γ - параметр поля, I 0 (r ) и I 1 (r ) - функции Бесселя мнимого аргумента,
движется заряженная частица. Уравнения движения частицы имеют вид
&r& =
e ⋅ r ⋅ ϕ&
1⎧ e
( z& ⋅ B r − r& ⋅ B z ) − 2 ⋅ r& ⋅ ϕ& ⎫⎬, &z& = − e ⋅ r ⋅ ϕ& B r .
B z + r ⋅ ϕ& 2 , ϕ&& = ⎨
m⋅c
r ⎩m ⋅ c
m⋅c
⎭
Найти изменение магнитного момента частицы
41
⎡ → →⎤
m ⋅ ⎢ V , B⎥
→
⎣
⎦
M =
3
2⋅ B
2
,
если начальные условия в цилиндрических координатах имеют вид
r (0) = 2, ϕ (0) = 0, z (0) = π / 2, V = ( 0, − V 0 ⋅ Cos ( f 1 ), V 0 ⋅ Sin ( f 1 ) ) .
Указание. Интегрирование вести в промежутке 0 < t ≤ 15 , параметры задачи:
γ = 0.2 ; f 1 = 0.68 ; V 0 = 2 . Задачу Коши решать методом Рунге-Кутты 4-го порядка точности. Шаг интегрирования взять τ = 0.2 . На печать вывести координаты частицы, компоненты скорости и поля, компоненты магнитного момента.
В плоскости ( r , ϕ ) изобразить траекторию графически.
Задание 18
Частицы, инжектированные в плоскости Z = 0 , движутся в фокусирующем
магнитном поле в положительном направлении оси Z . Компоненты магнитного
поля вычисляются по формулам
H r = I 1 (r ) Cos ( z ), H ϕ = 0, H z = − I 0 (r ) Sin ( z ), r = ( x 2 + y 2 ) 1 / 2 ,
где I 0 (r ) и I 1 (r ) - функции Бесселя мнимого аргумента. Пренебрегая электрическим взаимодействием между частицами, исследовать траектории двух частиц с начальными значениями координат:
X i (0) = 0.2 ⋅ i ; Y i (0) = 0 ; V x (0) = V 0 Sin ( f i ) ;
V y (0) = 0 ; V z (0) = V 0 Cos ( f i ) ; i = 1, 2 ;
V 0 = 3,
f i = 3o в области 0 < Z ≤ π .
Указание. Уравнения траекторий записать в виде
d X Vx
=
,
d Z Vz
dY Vy
=
,
d Z Vz
dV y
Vx
dZ
=Hx−
Vz
H z,
dVx
dZ
dVz
dZ
=
=
Vx
Vz
Vy
Vz
Hz −Hy,
Hy−
Vy
Vz
Hx.
Задачу Коши решать методом Рунге-Кутты 4-го порядка точности.
На печать вывести координаты и проекции скоростей частиц, а также нарисовать траектории частиц в плоскости xy. Шаг интегрирования взять Δ Z = 0.1 .
Задание 19
В однородном магнитном поле, направленном вдоль оси z, движется частица. Внутри цилиндрической области радиуса R0 , окружающей ось z, на частицу действует тормозящая сила
42
→
→
f t = −V
βV
α ⎧⎪ 2
e − t d t − cV e − γ V
⋅
⋅
3 ⎨
∫
V ⎪⎩ π 0
2
2
⎫⎪
⎬.
⎪⎭
Вне этой области сила трения равна нулю. Проинтегрировать уравнения движения частицы:
→
dr →
=V,
dt
→
→
dV ⎡ → → ⎤ →
= ⎢ V , H ⎥ + f t , H = { 0, 0,1 }
dt ⎣
⎦
в декартовых координатах, считая, что частица движется в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, и начинает движение из начала координат со
скоростью, направленной вдоль оси x и равной V0 = 0.25 .
Указание. Область интегрирования по времени 0 ≤ t ≤ 50 , значения параметров:
α = 1 / 38.2 , R 0 = 0.1, β = γ , c = 2 γ / π , γ = 54.4 .
Задачу Коши решать методом Рунге-Кутты 4-го порядка точности.
Шаг интегрирования взять τ ≤ 0.2 . В xy-плоскости нарисовать траекторию частицы.
Задание 20
Однородное магнитное поле, направленное по оси z, возмущено дополнительным магнитным полем. В цилиндрической системе координат суммарное
поле обладает угловой симметрией с шагом Δ ϕ = 2 π / 3 и винтовой симметрией
по оси z с шагом Δ Z = 2 π / 3 . Компоненты магнитного поля вычисляются по
формулам
B r = − B 0 I 3' ( 3 r ) Sin ( 3 ( ϕ − Z )) ,
Bϕ = −
B0
2r
⋅ I 3 ( 3 r ) Cos ( 3 ( ϕ − Z )) ,
B Z = B 0 ⋅ (1 + I 3 ( 3 r ) Cos ( 3 ( ϕ − Z ))) ,
где I 3 ( x) - функция Бесселя мнимого аргумента, I 3' ( x) - её производная. Проинтегрировать дифференциальные уравнения силовой линии, выходящей из точки
r = 1, ϕ = 0 , Z = 0 , методом Рунге-Кутты 4-го порядка точности на одном периоде
по углу ϕ :
d r Br
=
,
ds
B
d ϕ 1 Bϕ
=
,
ds r B
d Z BZ
=
.
ds
B
Указание. Графики силовой линии построить в координатах (r , z ) . Функцию Бесселя I 3 ( x) можно заменить первым членом ряда x 3 48 .
43
Контрольно-измерительные материалы
Вопросы к экзамену:
1. Точность вычислительного эксперимента. Вычислительная математика.
2. Понятие близости. Погрешность вычислений.
3. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Прямые методы.
4. Метод Гаусса (метод исключения Гаусса) решения СЛАУ.
5. Метод Жордана-Гаусса решения СЛАУ.
6. Вычисление определителя.
7. Вычисление обратной матрицы.
8. Метод прогонки решения СЛАУ.
9. Итерационные методы решения СЛАУ. Метод простой итерации.
10. Метод Зейделя и метод релаксаций решения СЛАУ.
11. Методы решения нелинейных уравнений (НУ). Метод деления отрезка
пополам (бисекций, дихотомии).
12. Метод простых итераций решения НУ.
13. Метод Ньютона (линеаризации, касательных) решения НУ.
14. Метод секущих (хорд) решения НУ.
15. Метод парабол решения НУ.
16. Методы решения систем нелинейных уравнений (СНУ). Метод простых
итераций.
17. Метод Зейделя для СНУ.
18. Метод Ньютона для СНУ.
19. Задачи на собственные значения (СЗ). Элементы теории.
20. Метод интерполяции вычисления СЗ.
21. Вычисление СЗ в случае трёхдиагональных матриц.
22. Метод обратных итераций вычисления собственных векторов.
23. Итерационный метод вращений Якоби вычисления СЗ.
24. Численное интегрирование. Полиномиальная аппроксимация. Определение квадратурной формулы.
25. Метод прямоугольников. Метод трапеций.
26. Метод Симпсона. Метод «3/8».
27. Процедура Рунге оценки погрешности квадратурной формулы.
28. Процесс Эйткина.
29. Формулы Гаусса-Кристоффеля.
30. Интегрирование разрывных функций. Нелинейные формулы.
31. Переменный предел интегрирования. Несобственные интегралы.
32. Кратные интегралы. Метод ячеек.
33. Кратные интегралы. Метод последовательного интегрирования.
34. Формулы Люстерника-Диткина.
35. Метод Монте-Карло.
44
36. Интерполирование. Основные понятия и определения.
37. Интерполирование. Многочлен Лагранжа.
38. Интерполирование. Многочлен Ньютона.
39. Интерполяция сплайнами.
40. Другие методы интерполяции.
41. Аппроксимация. Линейная аппроксимация.
42. Аппроксимация. Нелинейная аппроксимация.
43. Сглаживание.
44. Численное дифференцирование.
45. Задача Коши. Основные понятия.
46. Одношаговые методы (метод Эйлера, методы Рунге-Кутты).
47. Многошаговые методы (метод Адамса, прогноза-коррекции).
48. Повышение точности результата.
49. Краевая задача. Метод стрельбы (баллистический метод).
50. Метод стрельбы для линейных краевых задач.
51. Метод конечных разностей (сеток) для краевых задач.
52. Элементы теории разностных схем.
53. Уравнения параболического типа. Явные разностные схемы.
54. Уравнения параболического типа. Неявные разностные схемы.
55. Продольно-поперечная схема (схема переменных направлений).
56. Уравнения эллиптического типа. Итерационные методы.
57. Счет на установление.
58. Попеременно-треугольная схема.
59. Уравнения гиперболического типа. Явная схема «Крест».
60. Уравнения гиперболического типа. Неявная схема.
45
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Основная литература:
1. Калиткин Н. Н. Численные методы. – СПб.: БХВ-Петербург, 2011.
2. Формалев В.Д., Ревизников Д.Л. Численные методы. Изд.2, испр. и доп.
– М.: Физматлит, 2006.
3. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. – СПб.: Лань, 2009.
4. Самарский А. А. Введение в численные методы. – СПб.: Лань, 2009.
5. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. – М.:
Бином. Лаборатория знаний, 2011.
Дополнительная литература:
6. Дьяконов В.П. MATLAB. Полный самоучитель. – М.: ДМК Пресс, 2010.
7. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. – М.: Физматлит, 2008.
8. Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по вычислительной математике. – М.: Высшая школа, 1990.
9. Кунин С. Вычислительная физика. – М.: Мир, 1992.
10. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1986.
11. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. – М.: Мир, 1975.
12. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения.
- М.: Мир, 2001.
13. Чен К., Джиблин П., Ирвинг А. Matlab в математических исследованиях.
– М.: Мир, 2001.
14. Алексеев А.И. Сборник задач по классической электродинамике. –
СПб.: Лань, 2008.
15. Флюгге З. Задачи по квантовой механике, т.1. – М.: УРСС, 2008.
Интернет-ресурсы:
16. http://eqworld.ipmnet.ru/ - Мир математических уравнений.
17. http://bib.tiera.ru/ - Электронная естественнонаучная библиотека.
18. http://www.poiskknig.ru/ - Поисковая машина электронных книг.
46