Загрузил Kseniia Shubina

Задача Шубина Кс

реклама
Задача:
Коротышка Знайка решил поставить эксперимент и попросил Незнайку
помочь ему. Они пробрались в школьный кабинет физики на ленивом
дрессированном голубе, усадили голубя на горизонтальный стол, Незнайку
подвесили на легкой пружине так, что он выполнял роль пружинного маятника.
голубя и пружинный маятник связали легкой нерастяжимой нитью, которую
перекинули через идеальный блок. Коэффициент трения между сидящим
голубем и поверхностью стола равен 0,2. Отношение массы голубя и Незнайки
равно 8. Незнайка совершает колебания вдоль вертикали, причем
свешивающаяся с блока нить тоже вертикальна. Максимальная возможная
амплитуда этих колебаний, при которой они еще остаются гармоническими,
равна 1,5 см. Чему равен период этих гармонических колебаний?
Решение:
Пусть М – масса ленивого голубя, m – масса
Незнайки,
k-жесткость
пружины,
𝜇коэффициент трения между столом и бруском,
А – амплитуда колебаний пружинного
маятника, Т – период колебаний пружинного
маятника.
Известно, что период гармонических колебаний пружинного маятника
𝑚
вычисляется по формуле 𝑇 = 2𝜋√ . Когда пружинный маятник находится в
𝑘
равновесии, то удлинение пружины равно 𝑥0 =
𝑚𝑔
𝑘
.
Колебания Незнайки будут гармоническими, если одновременно будут
выполнены 2 условия:
1) Верхний конец пружины неподвижен в процессе колебаний.
2) Пружина и нить все время натянуты, поэтому грузик нигде не
испытывает свободного падения.
Из условия (1) следует вывод, что, когда Незнайка находится в крайнем
нижнем положении (удлинение пружины 𝑥ниж = 𝑥0 + 𝐴), величина силы
натяжения нити, которая равна по модулю упругой силе пружины, оказывается
недостаточной для того, чтобы сдвинуть ленивого голубя с места:
𝐹упр = 𝑘(𝑥0 + 𝐴) = 𝑚𝑔 + 𝑘𝐴 ≤ 𝜇𝑀𝑔
Откуда для амплитуды колебаний пружинного маятника:
𝐴≤
Выразив k, как 𝑘 =
4𝜋2 𝑚
𝑇2
𝑔
(𝜇𝑀 − 𝑚)
𝑘
, получим:
𝑀
𝑇2
𝐴 ≤ (𝜇 − 1) 𝑔 2
𝑚
4𝜋
Обратимся к условию (2). Если оно выполнено, то в крайнем верхнем
положении Незнайки (удлинение пружины 𝑥верх = 𝑥0 − 𝐴), пружина либо
растянута, либо не напряжена, но не сжата, тогда
𝑚𝑔
𝑇2
𝐴 ≤ 𝑥0 =
=𝑔 2
𝑘
4𝜋
Перейдем к числам. По условию задачи:
(𝜇
𝑀
− 1) = (0.2 ∙ 8 − 1) = 0.6 < 1
𝑚
Тогда максимальная амплитуда гармонических колебаний пружинного
маятника выражается как:
𝐴макс
𝑀
𝑇2
= ( 𝜇 − 1) 𝑔 2
𝑚
4𝜋
Из выражения для максимальной амплитуды гармонических колебаний
получим искомый период этих колебаний:
𝐴макс
1.5 ∙ 10−2
𝑇 = 2𝜋√
= 2𝜋√
≈ 0.31с
𝑀
(0.2
∙
8
−
1)9.8
( 𝜇 𝑚 − 1) 𝑔
Ответ: Период гармонических колебаний≈ 0.31 с
Скачать