Емельянов, Рыбакина=УМФ. Практ.реш.зад.(2016)

В. М. ЕМЕЛЬЯНОВ, Е. А. РЫБАКИНА
УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Издание второе, стереотипное
Рекомендовано
Учебнометодическим объединением
по университетскому политехническому образованию
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям
подготовки «Техническая физика» и «Прикладная механика»
САНКТПЕТЕРБУРГ•МОСКВА•КРАСНОДАР
2016
УДК 517.9
ББК 22.3
Е 60
Емельянов В. М., Рыбакина Е. А.
Е 60
Уравнения математической физики. Практикум
по решению задач: Учебное пособие. — 2+е изд.,
стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2016. — 216 с.:
ил. — (Учебники для вузов. Специальная литерату+
ра).
ISBN 9785811408634
Сборник задач предназначен для практических занятий по
уравнениям математической физики. В нем рассматриваются ос+
новные виды задач, возникающих при изучении дифференциаль+
ных уравнений в частных производных, и методы их решения.
Каждый раздел содержит теоретическое введение, несколько за+
дач с решениями, которые иллюстрируют применение основных
методов, и большой набор задач для самостоятельной работы сту+
дентов.
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по
направлениям «Прикладная механика» и «Техническая физика»,
а также студентов других инженерно+физических направлений
подготовки.
ББК 22.3
Рецензенты:
зав. каф. механики и процессов управления Санкт+Петербургско+
го государственного политехнического университета , д+р физ.+
мат. наук, заслуженный деятель науки Российской Федерации,
проф. В. А. ПАЛЬМОВ;
зав. каф. физики Санкт+Петербургского государственного политех+
нического университета, д+р физ.+мат. наук, проф. В. К. ИВАНОВ;
зав. каф. прикладной математики и информатики Балтийского
государственного технического университета, д+р физ.+мат. наук,
проф. С. Д. ШАПОРЕВ
Обложка А. Ю. ЛАПШИН
© Издательство «Лань», 2016
© В. М. Емельянов,
Е. А. Рыбакина, 2016
© Издательство «Лань»,
художественное оформление, 2016
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1. Ряды Фурье по ортогональным системам функций . . . . . . . . . . . 7
1.1. Построение рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Задачи на разложение функций
в тригонометрические ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. Задачи на разложение функций
в обобщенные ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2. Постановка начально%краевых задач
для некоторых физических процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Вывод дифференциальных уравнений,
начальных и граничных условий . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Постановка задач для волнового уравнения . . . . . . . . . . .
2.3. Постановка задач для уравнения теплопроводности . . . .
3. Метод Д’Аламбера и метод отражений
для однородного волнового уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Методы решения задач
для однородного уравнения струны . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Задачи для бесконечной струны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Задачи для полубесконечной струны . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Задачи для ограниченной струны . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Решение начально%краевых задач
для волнового уравнения методом Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Метод разделения переменных для уравнения струны . .
4.2. Начально%краевые задачи для свободных колебаний
ограниченной струны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Начально%краевые задачи
для вынужденных колебаний ограниченной струны
и задачи с неоднородными граничными условиями . . . .
4.4. Варианты заданий
для уравнений гиперболического типа . . . . . . . . . . . . . . .
5. Канонические формы дифференциальных уравнений
в частных производных второго порядка
с двумя независимыми переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Классификация дифференциальных уравнений . . . . . . .
5.2. Уравнения с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . .
5.3. Уравнения с переменными коэффициентами . . . . . . . . .
21
21
33
40
43
43
46
50
52
55
55
57
61
66
80
80
82
84
4
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
6. Волновое уравнение в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.1. Вывод волнового уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2. Постановка начально&краевых задач
для волнового уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3. Начально&краевые задачи
для колебаний ограниченной мембраны . . . . . . . . . . . . . . 96
6.4. Начально&краевые задачи
для колебаний осесимметричной мембраны . . . . . . . . . 100
7. Решение начальнокраевых задач
для уравнения теплопроводности методом Фурье . . . . . . . . .
7.1. Метод разделения переменных
для уравнения теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Начально&краевые задачи для
распространения тепла в конечном стержне . . . . . . . . .
7.3. Варианты заданий
для уравнений параболического типа . . . . . . . . . . . . . . .
8. Параболические уравнения в пространстве . . . . . . . . . . . . . . .
8.1. Вывод уравнений теплопроводности и диффузии . . . . .
8.2. Постановка начально&краевых
задач теплопроводности и диффузии . . . . . . . . . . . . . . .
8.3. Начально&краевые задачи о распространении тепла
в ограниченных объемах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4. Задачи о распространении тепла в шаре и цилиндре . . .
9. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа . . . . . .
9.1. Классификация краевых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2. Постановка краевых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3. Краевые задачи для уравнения Лапласа
в прямоугольнике, параллелепипеде . . . . . . . . . . . . . . .
9.4. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона
в круге, цилиндре, шаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5. Варианты заданий
для уравнений эллиптического типа . . . . . . . . . . . . . . .
Ответы
1. Ряды Фурье по ортогональным системам функций . . . . .
2. Постановка начально&краевых задач
для некоторых физических процессов . . . . . . . . . . . . . . .
4. Решение начально&краевых задач
для волнового уравнения методом Фурье . . . . . . . . . . . . .
5. Канонические формы дифференциальных уравнений
в частных производных второго порядка
с двумя независимыми переменными . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Волновое уравнение в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Решение начально&краевых задач
для уравнения теплопроводности методом Фурье . . . . . .
8. Параболические уравнения в пространстве . . . . . . . . . . .
9. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа . . .
106
106
108
114
123
123
127
130
133
140
140
141
143
147
154
158
161
178
180
187
192
197
206
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемый сборник задач создан на основе практиче
ских занятий по уравнениям математической физики для
студентов III курса Балтийского государственного техниче
ского университета, обучающихся по направлениям «При
кладная механика», «Техническая физика» и «Оптотехни
ка». Большое внимание уделено постановке задач, то есть
выводу уравнений, граничных и начальных условий. Рас
смотрены методы решения основных типов уравнений и ис
следованы свойства полученных решений. Рассуждения при
этом не всегда оказываются вполне строгими с точки зре
ния математика, сохраняя «физический уровень строгости».
Каждая из 9 глав сборника задач содержит теоретиче
ское введение, несколько задач с решениями, которые ил
люстрируют применение основных методов, и большой на
бор задач для практических занятий и самостоятельной
работы студентов. Задачи повышенной сложности отмече
ны звездочкой после их номера. Ко многим задачам в кон
це книги приведены ответы, некоторые сопровождаются
дополнительными указаниями. В главах 4, 7 и 9 предлага
ются, кроме того, наборы однотипных заданий, которые
удобно использовать для индивидуальных домашних или
контрольных работ; каждый набор содержит 40вариантов.
Глава 1 носит вспомогательный характер, она посвя
щена разложению функций в обычные и обобщенные ряды
Фурье. Такое подробное напоминание необходимо, так как
ряды Фурье широко используются для решения задач в
последующих главах.
6
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Глава 2 посвящена постановке задач, то есть форму(
лировке дифференциального уравнения, начальных и гра(
ничных условий для различных физических процессов.
Задачи этой главы ограничиваются случаем одной про(
странственной переменной, что при минимальном объеме
математических выкладок позволяет сосредоточиться на
смысловой стороне проблемы.
В главах 3 и 4 рассмотрены различные методы реше(
ния задач, связанных с уравнением струны, то есть с од(
номерным волновым уравнением.
В главе 5 обсуждается классификация линейных диф(
ференциальных уравнений в частных производных вто(
рого порядка и методы приведения дифференциальных
уравнений к каноническим формам.
Глава 6 посвящена постановке начально(краевых за(
дач для многомерного волнового уравнения и их реше(
нию методом Фурье. Для применения этого метода вво(
дятся некоторые виды специальных функций, в частно(
сти, функции Бесселя.
В главах 7 и 8 исследуются начально(краевые задачи
для уравнения теплопроводности в пространствах с одной
и несколькими переменными. По своему построению эти
главы аналогичны главам 4 и 6.
В главе 9 обсуждаются постановка и решение краевых
задач для уравнений эллиптического типа. В ней вводят(
ся другие виды специальных функций: полиномы Лежан(
дра, присоединенные функции Лежандра.
Для сокращения записи в дальнейшем используют(
ся следующие аббревиатуры: ДУ — дифференциальное
уравнение, ОДУ — обыкновенное дифференциальное
уравнение, ЛДУ — линейное дифференциальное уравне(
ние, НКЗ — начально(краевая задача, КЗ — краевая за(
дача, НУ — начальные условия, ГУ — граничные усло(
вия, с/ф — собственные функции, с/з — собственные зна(
чения. Частные производные, как правило, обозначаются
нижними индексами, например: ut = ¶u/¶t, uxx = ¶2u/¶x2,
uxt = ¶2u/¶x¶t. Решения задач отмечены в тексте следую(
щим образом: n — начало решения, o — конец реше(
ния.
1. РЯДЫ ФУРЬЕ
ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ
СИСТЕМАМ ФУНКЦИЙ
1.1. ПОСТРОЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ
Разложение функций в ряды Фурье, вообще говоря, обоб
щенные, служит важным математическим приемом при ре
шении задач математической физики. Мы воспользуемся
им в главах 4, 6, 7, 8, 9 настоящего сборника задач. Напом
ним в связи с этим основные идеи построения таких рядов.
Определим в линейном пространстве вещественных
функций F(M), заданных в nмерной области D, скаляр
ное произведение по формуле
(1)
( F, G ) 1 F ( M)G ( M )2( M)dD,
3
D
здесь r(M) — некоторая положительно определенная функ
ция, называемая весовой. Будем рассматривать только квад
ратично интегрируемые на D функции F(M), для которых
( F, F ) 1 5 F 2 ( M )2( M)dD 3 4,
D
такие функции образуют гильбертово пространство H.
Система функций Vi(M), i = 1, 2, 3... называется орто
гональной, если
(Vi , Vj ) 1 4 Vi ( M )Vj ( M)2( M )dD 1 0 при i 3 j,
D
и ортонормированной, если
20, i 1 j,
(Vi , Vj ) 3 8 Vi ( M)Vj ( M)4( M )dD 3 5ij 3 6
71, i 3 j,
D
(2)
для любой пары функций Vi, Vj; здесь dij — символ Кро
некера.
8
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Для любой функции F(M) из Н можно построить ряд
вида
1
(3)
F ( M) 2 3 Fi Vi ( M ),
i 21
который называется обобщенным рядом Фурье функ0
ции F(M) по системе Vi(M). Для чисел Fi, коэффициентов
ряда Фурье, нетрудно получить явное выражение. Умно0
жим обе части формулы (3) на Vj(M)r(M), возьмем инте0
грал по области D и поменяем справа порядки суммирова0
ния и интегрирования:
( F, Vj ) 2 F ( M )Vj ( M )4( M )dD 2
D
2
1
i 21
i3 j
(4)
5
6
Fi 8 Vi ( M )Vj ( M )4( M )dD 9 7 Fj Vj2 ( M )4( M )dD.
8
9
D
D
Благодаря (2) в правой части все интегралы под знаком
суммы равны нулю, а последний равен 1, поэтому
Fi 1 ( F, Vi ) 1 3 F ( M )Vi ( M )2( M)dD, i 1 1,2,3...
(5)
D
Если система ортогональна, но не нормирована, то коэф0
фициенты ряда Фурье Fi можно определить по формулам:
( F, Vi )
Fi 2
2
(Vi , Vi )
3 F(M)Vi (M)1(M)dD
D
3 Vi2 (M)1(M)dD
, i 2 1,2,3...
(6)
D
Система Vi называется полной, если для любой функ0
ции F(M) из H ее ряд Фурье (3) с коэффициентами (5)
или (6) сходится к F(M), т. е. система Vi выполняет роль
бесконечного базиса в Н. Строго говоря, здесь подразуме0
вается сходимость в среднем, задаваемая скалярным про0
изведением (1), но в рассматриваемых ниже примерах
выполняется обычная поточечная сходимость.
Перечислим несколько важных с практической точки
зрения семейств ортогональных функций.
Тригонометрическая система функций. Введем на про0
межутке [–l, l] последовательность функций 1, cos(px/l),
1. РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ ФУНКЦИЙ
9
sin(px/l), cos(2px/l), sin(2px/l), ... Легко проверить, что
эти функции взаимно ортогональны с весом r º 1 и
l
l
k2x
k2x
4 cos2 l dx 3 4 sin2 l dx 3 l,
1l
1l
следовательно, ряд Фурье (3) принимает вид
1
2
a0 3
(7)
ak cos k5x 6 bk sin k5x ,
6
2 k7
l
l
41
его коэффициенты задаются формулами, следующими
из (6):
l
2
ak 4 1 8 f (x)cos k3x dx, k 4 0,1,2,...;5
l
l
5
1l
(8)
6
l
5
bk 4 1 8 f (x)sin k3x dx, k 4 1,2,3,... 5
l
l
7
1l
f ( x) 4
Система тригонометрических функций является пол@
ной. Согласно теореме Дирихле, если функция f(x) удов@
летворяет условиям Дирихле в промежутке (–l, l), ряд (7)
с коэффициентами (8) сходится на всем этом промежутке
и его сумма равна f(x) во всех точках непрерывности функ@
ции. Условия Дирихле означают, что функция f(x) непре@
рывна на (–l, l) или имеет конечное число разрывов перво@
го рода и, кроме того, f(x) кусочно@монотонна (т. е. (–l, l)
можно разбить на конечное число таких промежутков, в
каждом из которых f(x) монотонна).
Сумма ряда (7) определяет 2l@периодичную функцию
на всей вещественной оси. Если бы функцияf(x) была зада@
на на промежутке (a, a + 2l) при любом действительном a,
ряд для нее имел бы такой же вид.
В частном случае четной функции f(x), f(–x) = f(x),
все коэффициенты bk оказываются равными нулю, так @
как интегралы для них в (8) берутся по симметричному
промежутку от нечетных функций; выражения для коэф@
фициентов ak упрощаются:
l
ak 2 2 3 f (x)cos k1x dx, k 2 0,1,2,...
l
l
0
(9)
10
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Ряд (7) принимает вид
f ( x) 2
a0 1
4 ak cos k3x ,
2 k5
l
21
(10)
четная функция f(x) раскладывается в ряд Фурье по коси*
нусам.
Для нечетных функций f(x), f(–x) = –f(x), обращают*
ся в нуль все коэффициенты ak; коэффициенты bk могут
быть вычислены по формулам
l
bk 2 2 3 f (x)sin k1x dx, k 2 1,2,3,...,
l
l
(11)
0
нечетная функция f(x) раскладывается в ряд Фурье по си*
нусам
1
(12)
f (x) 2 4 bk sin k3x .
l
k 21
Функция f(x), заданная на промежутке (0, l), может
быть продолжена на симметричный промежуток (–l, 0)
как по закону четности, так и по закону нечетности. В ре*
зультате, для нее возникнут два различных ряда Фурье—
ряд по косинусам (10) с коэффициентами (9) и ряд по си*
нусам (12) с коэффициентами (11). Оба эти ряда внутри
промежутка (0, l) будут сходиться к f(x), но вне его их сум*
мы будут задавать различные функции. Как мы увидим в
дальнейшем, выбор разложения определяется условиями
рассматриваемой задачи.
Система функций Бесселя. Дифференциальное урав*
нение Бесселя n*го порядка имеет вид
1 d (xy3(x)) 4 11 5 n2 2 y(x) 6 0
7
8
x dx
x2
9
(13)
2
или y33 4 1 y3 4 171 5 n2 28 y 6 0,
x
x
9
где n — фиксированный числовой параметр. Коэффици*
енты этого уравнения обращаются в нуле в бесконечность,
точка x = 0 является регулярной особой точкой уравне*
ния Бесселя. Уравнения вида (13) возникают при реше*
1. РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ ФУНКЦИЙ
11
нии задач в областях с осевой симметрией (круг, цилиндр
и т. д.), их решения называются цилиндрическими функ6
циями.
Решение уравнения (13) может быть найдено в виде
сходящегося ряда:
12
3
(61)k
x
k
n
k
!
7
(
4
4
1)
2
k 50
Jn (x) 5 8
n 4 2k
,
(14)
где G(x) — гамма6функция Эйлера, для натуральных k
G(k + 1) = k!.
Функции Jn(x) называются функциями Бесселя n6го
порядка, для n ³ 0 они остаются ограниченными приx ® 0,
и в этом их существенное отличие от других цилиндриче6
ских функций.
При нецелых n функции Бесселя Jn(x) и J–n(x) линей6
но независимы и общее решение уравнения(13) имеет вид
y(x) = C1Jn(x) + C2J–n(x).
(15)
Для целых n J–n(x) = (–1)nJn(x), в качестве второго ли6
нейно независимого решения обычно выбирают функцию
Неймана Nn(x) (еще эту функцию называют функцией
Бесселя 2го рода или функцией Вебера), и общее решение
принимает вид:
(16)
y(x) 1 C11 Jn (x) 2 C12 Nn (x).
Графики некоторых функций Бесселя и Неймана приве6
дены, соответственно, на рисунках 1, 2.
Рассмотрим трансцендентное уравнение
Jn(m) = 0, n ³ 0.
(17)
Оно имеет счетный набор положительных корней
m 1(n) , m 2(n), .... Последовательность функций J n(m 1(n)x/l),
Jn(m(n)
x/l), ... образует ортогональную систему функций с
2
весом r(x) = x на промежутке [0, l], при этом
l
4 Jn2 (2k
в частности,
(n)
0
l
2
x / l)xdx 3 l ( Jn1 (2k(n) ))2 ,
2
2
l
(0)
(0)
3 J02 (1k x / l)xdx 2 2 J12 (1k ).
0
(18)
(19)
12
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Рис. 1
Несколько функций Бесселя
Рис. 2
Две функции Неймана
Имеет место теорема разложимости: всякая дважды
непрерывно дифференцируемая функция f(x), ограниченная при x = 0 и обращающаяся в нуль приx = l, может быть
разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд
Фурье:
1
3 5 (n) x 4
(20)
f (x) 2 Ck Jn 6 k 7,
k 21
8 l 9
здесь n ³ 0 — произвольный фиксированный параметр. Коэффициенты Ck определяются по формуле:
l
11
2
2 4 ( n) x 3
Ck 6 xf (x) Jn 7 k 8 dx 27 l [Jn5 (4(kn) )]2 38 .
92
9 l
0
(21)
13
1. РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ ФУНКЦИЙ
Вместо уравнения (17) при решении задач могут воз,
никать и другие уравнения, задающие последовательность
корней; они представляют собой линейные комбинации
функций Бесселя и Неймана и их первых производных,
например:
J¢n(m) = 0, aJn(m) + bNn(m) = 0
или J¢n(m) + amJn(m) = 0.
Этим последовательностям также соответствуют системы
ортогональных функций, изменяется только вид норми,
ровочных интегралов (18) и (19).
Несколько полезных формул для функций Бесселя:
2n J (x) 3 J (x) 2 J (x),
n 11
n 21
x n
d J (x) 3 1 n J (x) 2 J (x),
n 11
dx n
x n
d (xn J (x)) 3 xn J (x), d (x 1n J (x)) 3 1x 1n J (x).
n
n 11
n
n 21
dx
dx
В частном случае J¢0(x) = –J1(x). Для целого n
1 2 J (x).
Jn (x) 4 (31)n J3n (x), x 3n Jn (x) 4 (31)n 1 d
x dx
n
0
Системы полиномов и присоединенных функций Ле
жандра. Дифференциальное уравнение Лежандра и при,
соединенное уравнение Лежандра возникают при реше,
нии краевых задач в областях с центральной симметрией.
Эти уравнения имеют, соответственно, вид (22) и (23):
d ((1 2 x2 )y1(x)) 3 n(n 3 1)y(x) 4 0;
dx
d ((1 4 x2 )y3(x)) 5 1 n(n 5 1) 4 m2 2 y(x) 6 0;
7
8
dx
1 4 x2
9
(22)
(23)
n = 0, 1, 2, ..., m = 0, 1, 2, ..., n.
Оба эти уравнения рассматривают обычно на промежут,
ке (–1, 1), причем точки x = ±1 являются регулярными
особыми точками этих уравнений.
Требование ограниченности решения на всем промежут,
ке [–1, 1] и дополнительное условие y(1) = 1 однозначно
14
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
фиксируют решение уравнения (22); это решение оказы%
вается полиномом степени n, обозначается Pn(x) и назы%
вается полиномом Лежандра порядка n:
n
Pn (x) 1 n1 d n ((x2 2 1)n ).
2 n ! dx
(24)
Выпишем формулы для пер%
вых полиномов Лежандра:
P0(x) = 1,
P1(x) = x,
P2(x) = (3x2 – 1)/2,
P3(x) = (5x3 – 3x)/2,
Рис. 3
Несколько полиномов
Лежандра
P4(x) = (35x4 – 30x2 + 3)/8,
P5(x) = (63x5 – 70x3 + 15x)/8.
Графики нескольких полиномов представлены нарисунке 3.
Последовательность полиномов Лежандра P0(x), P1(x), ...
образует полную ортогональную систему функций с весом
r = 1 на промежутке (–1, 1):
1
( Pn , Pk ) 4
30, k 2 n,
8 Pn (x)Pk (x)dx 4 572/(2n 6 1),
11
k 4 n.
Любая непрерывная на [–1, 1] функцияf(x) может быть раз%
ложена в обобщенный ряд Фурье по полиномам Лежандра:
1
f (x) 2 3 Cn Pn (x).
(25)
n 20
1
Cn 3
(f, Pn ) 2n 2 1
f (x) Pn (x)dx.
3
( Pn , Pn )
2 4
(26)
11
Решения уравнения (23), ограниченные на [–1, 1], на%
зываются присоединенными функциями Лежандра; через
полиномы Лежандра они выражаются формулами
m
Pnm (x) 3 (41)m (1 4 x2 )m /2 d m 1 Pn (x) 2.
dx
(27)
1. РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ ФУНКЦИЙ
15
При фиксированном порядке m последовательность
присоединенных функций Лежандра Pmm (x), Pmm11 (x),... об0
разует полную ортогональную систему с весомr = 1 на про0
межутке (–1, 1):
30, k 2 n,
4
(28)
Pnm (x) Pkm (x)dx 5 7 2
(n 6 m)!
,
.
8
k
5
n
492n 6 1 (n 1 m)!
11
1
( Pnm , Pkm ) 5
Непрерывная на [–1, 1] функция f(x) может быть разло0
жена в ряд по присоединенным функциям Лежандра лю0
бого заданного порядка m:
1
f (x) 3 4 Ck Pmm2 k (x).
(29)
k 30
1
Ck 3
2(k 1 m) 1 1
k!
4
f (x) Pmm1 k (x)dx.
2
(2m 1 k)! 5
(30)
21
1.2. ЗАДАЧИ НА РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
1.1. Выполнить разложение в ряд Фурье функции
f(x) = 2x, заданной на интервале (0, 1): а) по косинусам;
б) по синусам.
n Р е ш е н и е. Разложение функции в ряд Фурье по
косинусам означает ее четное продолжение на промежу0
ток (–1, 0): f(x) = f(–x), x Î (–1, 1), потом периодиче0
ское продолжение с периодом 2l = 2 на всю вещественную
ось. Ряд Фурье имеет вид (10) с коэффициентами (9) (все
коэффициенты bk равны нулю):
1
1
0
0
a0 1 23 f (x)dx, ak 1 23 f (x)cos(k2x)dx, bk 1 0.
Вычислим указанные интегралы:
1
1
2 1
0
1
0
0
a0 1 24 f (x)dx 1 4 4 xdx 1 4 x
2
1
1 2 2 0 1 2.
ak 1 24 f (x)cos(k3x)dx 1 44 x cos(k3x)dx 1
0
0
16
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
1
1
2
4x sin(k1x)
sin(k1x)
3 45
dx 2
k1
k1
0
0
1
1
4x sin(k1x)
4cos(k1x)
2
4
2
k1
k2 12
0
0
4sin(k1)
4cos(k1) 4cos0
304
3 2 2 2
k1
k2 12
k 1
(31)k
(31)k 3 1
1
203044 2 2 34 2 2 2 4 2 2 .
k 1
k 1
k 1
Подстановка полученных коэффициентов в (10) дает
ряд:
1
(31)k 3 1
2x 2 1 4 47
cos(k5x), x 6 (0,1).
2 2
k 21 k 5
2
Нетрудно видеть, что при четных k слагаемые ряда рав2
ны нулю; целесообразно исключить их из суммирования.
Для этого введем новую переменную суммирования m,
k « 2m + 1, тогда ряд преобразуется к окончательному
виду:
1
1
cos((2m 4 1)5x), x 6 (0,1).
m
4
(2
1)2 52
m 20
2x 2 1 3 8 7
Разложение в ряд Фурье по синусам связано с нечет2
ным продолжением функции: f(x) = –f(–x), x Î (–1, 1) и
периодическим продолжением на всю вещественную ось с
периодом 2l = 2. Коэффициенты ряда Фурье ak в этом слу2
чае равны нулю, а коэффициенты bk выражаются по фор2
муле (11), которая с учетом l = 1 примет вид:
1
1
0
0
bk 1 23 f (x)sin(k2x)dx 1 43 x sin(k2x)dx.
Возьмем этот интеграл по частям:
1
bk 1 4 5 x sin(k2x)dx 1
0
1
13
1
4x cos(k2x)
cos(k2x)
4 45
dx 1
k2
k2
0
0
1. РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ ФУНКЦИЙ
17
1
1x cos(k2x) sin(k2x) 4
5 4 37
6
8 5
k2
k2 22
9
0
14cos(k2)
4(11)k 11
5
606010 5
.
k2
k2
Подставив найденные коэффициенты в ряд Фурье для не+
четной функции (12), получим искомое разложение:
1
(21)k 21
2x 3 46
sin(k4x), x 5 (0,1). o
k4
k 31
В задачах 1.2–1.13 выполнить разложение в ряд Фу+
рье функций, заданных на интервале (0, p) указанными
выражениями:
а) по косинусам;
б) по синусам.
Построить графики функций, возникающих при сум+
мировании полученных разложений.
1.2. f(x) = x3.
1.3. f(x) = p/4.
1.4. f(x) = sinx.
1.5. f(x) = xsinx.
1.6. f(x) = ex.
1.7. f(x) = 2x.
1.8. f(x) = chx.
1.9. f(x) = 3–x/2.
1.10. f(x) = shx.
1.11. f(x) = x2.
1.12. f(x) = (2x – 1)2.
1.13. f(x) = x2 + 1.
1.14. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = sinnx,
n — целое, на интервале (0, p), продолжив ее на отрица+
тельные значения четным образом.
1.15. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = cosnx,
n — целое, на интервале (0, p), продолжив ее на отрица+
тельные значения нечетным образом.
1.16. Разложить в тригонометрический ряд Фурье на
интервале (–3, 3) функцию:
2(1/3)x, x 1 0;
f ( x) 3 4
75(2/3)x, x 6 0.
18
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
n Р е ш е н и е . Коэффициенты разложения в ряд Фу&
рье (7) задаются формулами (8); для данной функции име&
ем:
l
3
20
3
a0 4 1 f (x)dx 4 1 6 1 2 xdx 5 1 xdx 7 4
7
3 68
3
3
l
9
0
1l
13
2 0
4 1x
9
3
2
5 x
4 ... 4 3 .
9
2
2
0
13
l
am 4 1 f (x)cos m x dx 4
l
l
1l
3
2 0
3
4 1 6 1 2 x cos m x dx 5 1 x cos m x dx 7 4
7
3 68
3
3
3
3
9
0
13
0
0
2 2x sin(m x /3)
6cos(m x /3)
4 ... 4 1 6 1
1
5
2 m2
3 86
m
13
13
3
3
3cos(m x /3)
x sin(m x /3)
5
5
4 ... 4
2 m2
m
0
0
3
2 m2
((11)m 1 1).
l
bm 4 1 f (x)sin m x dx 4
l
l
1l
3
20
3
4 1 6 1 2 x sin m x dx 5 1 x sin m x dx 7 4
7
3 68
3
3
3
3
9
13
0
0
0
2 2x cos(m x /3)
6sin(m x /3)
4 ... 4 1 6
1
1
2 m2
3 68
m
13
13
3
3
3sin(m x /3)
x cos(m x /3)
1
5
4 ... 4 1 3 (11)m .
2 m2
m
m
0
0
Подставляя в ряд Фурье (7) найденные коэффициенты,
получим искомое разложение:
1
f (x) 2 3 4 6 23 2 ((51)m 5 1)cos m3x 5 3 ( 51)m sin m3x .
4 m 21 3 m
3
m3
3
Введя обозначение m « 2k – 1, k = 1, 2, 3, ... этот ряд мож&
но записать в следующем виде:
1. РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ ФУНКЦИЙ
19
1
(2k 3 1)4x
f ( x) 2 3 3 5 2 6
cos
3
4 k 21 4 (2k 3 1)2
3
1
3 5 3 (31)m sin m4x . o
m4
3
m 21
В задачах 1.17–1.25 выполнить разложение в ряд Фу+
рье функций, заданных на интервале (–p, p) указанными
выражениями. Построить графики функций, возникаю+
щих при суммировании полученных разложений.
1.17. f(x) = x2.
1.18. f(x) = x3.
1.19. f(x) = (p – x)/2.
1.20. f(x) = eax.
1.21. f(x) = xsinx.
1.22. f(x) = cosax, a > 0.
1.23. f(x) = sinax, a > 0.
1.24. f(x) = |sinx|.
1.25. f(x) = |cosx|.
1.26. Разложить в тригонометрический ряд Фурье на
интервале (–p, p) функцию, заданную:
51(2 3 x)/2, 1 2 4 x 4 0;
f ( x) 6 7
8(2 1 x)/2, 0 4 x 4 2.
1.27. Выполнить разложение в тригонометрический
ряд Фурье функции f(x) = |x| на интервале (–1, 1).
1.28. Разложить в тригонометрический ряд Фурье
функцию f(x) = x на интервале (–l, l).
1.29. Выполнить разложение в тригонометрический
ряд Фурье функции f(x) = sgnx на интервале (–l, l).
1.30. Разложить в тригонометрический ряд Фурье на
интервале (–l, l) функцию, заданную
30, 1 l 2 x 2 0;
f (x) 4 5
7sin(6x / l), 0 1 x 2 l.
1.31. Разложить в тригонометрический ряд Фурье на
интервале (–l, l) при 0 < h < l функцию, заданную
31/(2h), 1 h 2 x 2 h;
f ( x) 4 5
60, 1 l 1 x 1 1 h, h 1 x 1 l.
20
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
1.3. ЗАДАЧИ НА РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
В ОБОБЩЕННЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
1.32. Разложить на промежутке (0, l) функцию%кон%
станту f(x) = 1 в обобщенный ряд Фурье по функциям Бес%
селя {J0(mk(0)x/l)}, k = 1, 2, 3, ..., здесь mk(0) — корни урав%
нения J0(m) = 0.
1.33. Разложить на промежутке (0, 1) в обобщенный
ряд Фурье по функциям Бесселя{J0(mk(0)x)}, k = 1, 2, 3, ...,
где mk(0) — корни уравнения J0(m) = 0, функцию
21 при 0 1 x 1 0,5;
f ( x) 3 4
50 при 0,5 1 x 1 1.
1.34. Разложить в обобщенный ряд Фурье по полино%
мам Лежандра на интервале (–1, 1) функцию f(x) = x2 –
– x + 1.
1.35. Разложить в обобщенный ряд Фурье по полино%
мам Лежандра на интервале (–1, 1) функцию f(x) = sgnx.
1.36. Разложить в обобщенный ряд Фурье по присое%
диненным функциями Лежандра второго порядка на ин%
тервале (–1, 1) функцию f(x) = sgnx.
2. ПОСТАНОВКА
НАЧАЛЬНО КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ НЕКОТОРЫХ
ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
(случай одной
пространственной переменной)
2.1. ВЫВОД
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ,
НАЧАЛЬНЫХ И ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
Поперечные колебания струны. Будем считать, что стру
на находится под действием сильного натяжения T0 и в
состоянии равновесия без внешнего воздействия вытя
нута вдоль оси x. Ее движение описывается функцией
y = u(x, t), дающей положение каждой точки струны в ка
ждый момент времени. Обозначим черезF(x, t) линейную
плотность внешней силы, rл(x) — линейную плотность
струны, rл = dm/dx, здесь dm — масса элемента dx. Выде
лим произвольный кусочек струны, который в равновесии
располагался между точкой A с координатой x и точкой B с
координатой x + dx (рис. 4), и выпишем для него второй за
кон Ньютона. Проекция суммы сил на осьy равна: T0sinb –
– T0sina + Fdx. Для малых колебаний жесткостью струны
можно пренебречь и считать натяжение T0 постоянным,
кроме того, sina » tga = ux(x), sinb » tgb = ux(x + dx); в ре
зультате, проекция суммарной силы равна
T0(ux(x + dx) – ux(x)) + Fdx = (T0uxx + F)dx.
Ускорение выделенного кусочка utt, его масса rл(x)dx,
следовательно,
rл(x)utt = T0uxx + F(x, t).
(31)
Если струна однородна, rл = const, то, обозначив T0/rл =
= c2, F(x, t)/rл = f(x, t), получим дифференциальное урав
нение (ДУ) с постоянными коэффициентами
utt = c2uxx + f.
(32)
22
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Рис. 4
К выводу уравнения струны
Именно его обычно называют уравнением вынужденных
колебаний струны. При отсутствии внешнего воздейст,
вия, f(x, t) = 0, приходим к уравнению свободных колеба,
ний струны (однородному ДУ):
utt = c2uxx .
(33)
Иногда приходится иметь дело не с непрерывной силой,
F(x, t), а с сосредоточенной P(t), приложенной в точке C
(рис. 5). Второй закон Ньютона для окрестности точки C
имеет вид
rл(x)uttdx = T0(ux(x + dx) – ux(x)) + P(t),
причем левая часть равенства стремится к нулю при бес,
конечном уменьшении dx. Обозначив пределы ¶u/¶x при
стремлении x к C слева и справа, соответственно, через (ux)–
и (ux)+, приходим к соотношению
Рис. 5
Сосредоточенная сила на струне
2. ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
(ux)– – (ux)+ = –P(t)/T0.
23
(34)
Видно, что непрерывная функция u(x, t) имеет в точке C
угловую точку, т. е. скачок производной.
ДУ с частными производными имеют, вообще говоря,
бесчисленное множество решений; для однозначного опи
сания процесса необходимо к уравнению присоединить
некоторые дополнительные условия — граничные и на
чальные.
Граничные условия (ГУ) характеризуют функцию
u(x, t) на концах струны; обычно эти концы имеют коор
динаты x = 0 и x = l (если струну можно считать полубес
конечной, координата ее конца x = 0). Перечислим основ
ные виды ГУ.
1. Граничные условия первого рода задают перемеще
ния в граничных точках:
u|x = 0 = m1(t), u|x = l = m2(t),
(35)
здесь m1, 2(t) — некоторые детерминированные законы пе
ремещения. Если концы струны неподвижны (закрепле
ны), то возникают однородные граничные условия перво
го рода:
u|x = 0 = u|x = l = 0.
(36)
2. Граничные условия второго рода накладывают тре
бования на первую производную функции u(x, t) по коор
динате. Из вывода уравнения струны видно, что произве
дение uxT0 — проекция силы натяжения на направление
колебаний. Таким образом, ux связывается с силами, дей
ствующими на концы струны:
ux|x = 0 = –n1(t), ux|x = l = n2(t),
(37)
здесь T0n1, 2(t) — силы, действующие на концыx = 0 и x = l.
Если на концы не действуют никакие силы, то они назы
ваются свободными, а условия однородными:
ux|x = 0 = ux|x = l = 0.
(38)
3. Граничные условия третьего рода устанавливают
линейную связь между искомой функцией и ее первой
24
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
производной по координате. Такие условия могут возник&
нуть из ГУ второго рода, если действующая сила опреде&
ляется самим характером колебаний (например, упругая
сила):
(u + hux)|x = 0, l = c1, 2(t), h ¹ 0.
(39)
Они также могут быть однородными при c º 0.
4. Граничными условиями четвертого рода называют&
ся требования ограниченности искомой функции (такие
условия ставятся в особых точках ДУ):
(| u |) x 1 x 2 3, x0 1 0,l.
(40)
0
5. Смешанные граничные условия — сочетание ГУ раз&
ного вида на двух концах промежутка [0, l].
Начальные условия (НУ) задаются в виде значений
функций u(x, t) (перемещений) и ut(x, t) (скоростей) в мо&
мент времени t = 0 как известных функций координаты:
u|t = 0 = j(x), ut|t = 0 = y(x).
(41)
Продольные колебания стержня. Будем рассматривать
прямой упругий стержень, колебания в котором являются
достаточно малыми, т. е. не вызывают заметных внешних
деформаций и подчиняются закону Гука. Любой такой стер&
жень, расположенный вдоль оси X, можно охарактеризо&
вать площадью поперечного сечения S(x), плотностью r(x),
модулем Юнга E(x); функция u(x, t) задает продольное сме&
щение каждого сечения из положения равновесия в момент
времени t. Рассмотрим достаточно малый участок стержня
[x, x + Dx] (рис. 6), для него можно записать второй закон
Ньютона, который в проекции на ось x выглядит так:
1F
2ma 3 Fг (x 4 2x, t) 5 Fг (x, t) 4 F (x, t) 2x 6 г 2x 4 F 2x, (42)
1x
здесь Dm » r(x)S(x)Dx — масса участка, a = utt — ускоре&
ние участка, F(x, t) — линейная плотность внешней силы,
Fг(x, t) — сила растяжения или сжатия, действующая со
стороны соседнего участка. Последняя обусловлена упру&
гостью и связана с деформацией по закону Гука:
Fг(x, t) = E(x)S(x)e(x, t),
(43)
25
2. ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Рис. 6
К выводу уравнения продольных колебаний в стержне
где e(x, t) — относительная деформация в точке x, кото
рая выражается отношением (знаки выбраны так, что
e < 0, если участок сжат, и e > 0, если растянут):
([u(x 3 1x, t) 3 x 3 1x] 4 [u(x, t) 3 x]) 4 1x
6
1x
u(x 3 1x, t) 4 u(x, t)
6
888
2 7u .
1x 20 7x
1x
5(x, t) 6
(44)
Уравнение (42) принимает вид:
1
2
4(x)S(x)utt 5 3 E(x)S(x) 3u 6 F (x, t).
3x
3x
(45)
Если стержень прямой, однородный иr, S, E — величи
ны постоянные, то, введя обозначение f(x, t) = F(x, t)/(rS),
можно привести уравнение (45) к виду
utt = c2uxx + f(x, t).
(46)
Это волновое уравнение для распространения акустиче
ских колебаний в упругом стержне, c 1 E / 2 — скорость
звука в веществе стержня. Если внешняя сила отсутству
ет, в уравнении (46) исчезает второе слагаемое в правой
части, и оно становится однородным.
Граничные и начальные условия для стержня имеют тот
же характер, что и для струны. Проекция силы на направ
ление колебаний, так же как и в случае со струной, выра
жается через производную ux, которая входит в закон Гука.
Продольные акустические колебания в трубке с газом.
Рассмотрим сильно упрощенную, но, тем не менее, доста
точно интересную с практической точки зрения, модель
26
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Рис. 7
К выводу уравнения
акустических колебаний
в трубке с газом
колебаний газа. Пусть газ,
близкий к идеальному, заклю&
чен в длинную трубку посто&
янного сечения; для простоты
будем считать, что внешние
силы на него не действуют.
Рассмотрим дифференциаль&
но малый объем dV (рис. 7),
второй закон Ньютона для не&
го аналогичен (42):
utt dm 2 F (x 3 dx, t) 4 F (x, t) 5 1F dx.
1x
(47)
Так как dm = r0dV0 = r0Sdx, а F = –pS, где r0 — плотность
невозмущенного газа, dV0 — невозмущенный дифферен&
циальный объем, p — давление, уравнение (47) можно пе&
реписать в виде
1p
(48)
20utt 3 4 .
1x
Малые акустические колебания происходят без тепло&
обмена с внешней средой, т.е. являются адиабатическими.
Тогда давление и объем газа связаны между собой уравне&
нием Пуассона pVg = const, g — показатель адиабаты. Если
невозмущенный дифференциальный объем — dV0 = Sdx, то
возмущенный можно представить выражением
dV 1 dV0 2 d(dV );
(49)
d(dV ) 2 S(u(x 3 dx, t) 4 u(x, t)) 2 Sdu 2 S 1u dx,
1x
где d(dV) — возмущение дифференциального объема. Урав&
нение адиабаты для дифференциального объема имеет вид
pdV 1 2 const 2 p0 dV01 3 p 2
p0 dV01
,
dV 1
где p0 — давление невозмущенного газа. Разлагая получен&
ное выражение для давления в ряд Тейлора вблизиdV0 и со&
храняя только два члена, так как колебания малы, имеем
p3
p0 dV01
dV01
4
1p0 dV01
dV0121
d(dV ) 2 ... 5 p0 4 1p0
d(dV )
.
dV0
(50)
27
2. ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Подставляя (50) и (49) в уравнение (48), получим урав
нение для малых продольных колебаний газа в трубке:
Sux dx 2
1
40 utt 5 6 3 8 p0 6 7p0
5 7p0 uxx
3x
Sdx 9
или utt 5
(51)
c2uxx ,
где c 1 2p0 / 30 — скорость распространения акустиче
ских колебаний в газе.
ГУ и НУ имеют тот же смысл, что и в предыдущих слу
чаях. Величина ux на границе определяет давление на тор
цах трубки, а следовательно, и действующую на них силу.
Распространение тепла вдоль стержня. Рассмотрим
нагретый стержень, вытянутый вдоль оси x. Обозначим
через c(x), r(x), k(x), S(x) его удельную теплоемкость,
плотность, коэффициент теплопроводности и площадь
поперечного сечения, соответственно. Для тонкого стерж
ня температуру можно считать одинаковой во всех точ
ках поперечного сечения, т. е. рассматривать ее как функ
цию времени t и координаты x: T = u(x, t).
Вдоль неравномерно нагретого тела распространяется
тепло; количество тепла, протекающее через сечение пло
щади S за время dt, дается экспериментальным законом
Фурье:
dQ 2 3k(x) 1u S(x)dt 2 q(x)S(x)dt,
1x
где q(x) = –k(x)¶u/¶x — плотность теплового потока.
Будем считать боковую поверхность стержня теплоизо
лированной. За время dt его участок между сечениями x
и x + dx получает в результате теплообмена количество
тепла, равное
4
6u
6u
9 7k(x) 6x S(x) 3 k(x 3 dx) 6x
x
x 3 dx
5
S(x 3 dx) dt 8
1
2
8 6 k(x)S(x) 6u dxdt.
6x
6x
Внутри стержня может выделяться или поглощаться теп
ло (в результате прохождения электрического тока, хи
мических реакций и т. д.). Мощность источников на еди
ницу объема стержня обозначим через e(x, t) и назовем
28
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
плотностью тепловых источников. Полное тепло, получен$
ное выделенным участком за время dt, равно
1
2
dQ 4 3 k(x)S(x) 3u dxdt 5 e(x, t)S(x)dxdt.
3x
3x
Это тепло привело к изменению температуры участка, сле$
довательно
dQ 2 cdm 1u dt 2 c3Sdx 1u dt.
1t
1t
Приравнивая два выражения для dQ, приходим к уравне$
нию теплопроводности для произвольного неоднородного
стержня:
c4S 3u 5 3 kS 3u 6 eS.
3t 3x
3x
Если стержень имеет постоянное сечение и изготовлен
из однородного материала, то c, r, k, S = const и уравне$
ние принимает вид
1
2
ut = a2uxx + f(x, t),
(52)
где a2 = k/(cr) — коэффициент температуропроводности,
f(x, t) = e(x, t)/(cr). (52) — одномерное уравнение тепло$
проводности, в отличие от уравнения струны (32) оно со$
держит только первую производную по времени; это об$
стоятельство принципиально меняет свойства его реше$
ний.
Если в стержне нет внутренних источников тепла, то
f = 0 и уравнение теплопроводности (52) становится одно$
родным:
ut = a2uxx.
(53)
Начально$краевая задача (НКЗ) о распространении те$
пла в конечном стержне длины l содержит дифференци$
альное уравнение, граничные и начальные условия.
Граничные условия первого рода (35) возникают, если
концы стержня поддерживаются при заданных темпера$
турах m1(t) и m2(t).
Граничные условия второго рода (37) соответствуют
случаю, когда на концы стержня подаются извне задан$
ные тепловые потоки q1(t) и q2(t), при этом q1, 2 = kSn1, 2(t).
Граничные условия третьего рода часто встречаются в
задачах теплопроводности и соответствуют свободному
2. ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
29
теплообмену на концах стержня с окружающей средой,
температура которой задана функциями q1(t) и q2(t). Та
кой теплообмен подчиняется закону Ньютона, тепловые
потоки снаружи на торцы стержня пропорциональны их
площади и разности температур и равны:
q1(t) = –aS(u|x = 0 – q1(t)), q2(t) = –aS(u|x = l – q2(t)),
здесь a — коэффициент внешней теплопроводности или
теплообмена между материалом стержня и средой. Сум
марные тепловые потоки, приходящие на торцы стерж
ня, должны равняться нулю, следовательно,
q1(t) + kSux|x = 0 = 0, q2(t) – kSux|x = l = 0.
ГУ III рода принимают вид
ux|x = 0 – h(u|x = 0 – q1(t)) = 0,
ux|x = l + h(u|x = l – q2(t)) = 0,
(54)
h = a/k.
Начальное условие для уравнения теплопроводности
одно, так как это уравнение первого порядка по времени;
задается температура стержня в некоторый начальный
момент t0:
(55)
u |t 1t0 1 2(x).
Интерес представляет случай, когда на боковой поверх
ности стержня происходит свободный теплообмен с окру
жающей средой, температура которой задается функцией
q(x, t). В одномерной задаче поверхностное распределение
источников эквивалентно объемному и при теплообмене
1S
e(x, t) 2 e1(x, t) 3 бок (u(x, t) 3 4(x, t)),
S
где e1(x, t) — плотность тепловых источников в стержне,
Sбок — площадь боковой поверхности стержня единичной
длины. Для однородного стержня уравнение теплопровод
ности с боковым теплообменом принимает вид
(56)
ut 1 a2uxx 2 3u 4 f1 (x, t),
где b = aSбок/(сrS),
ная функция.
f1 (x, t) 1 e1 (x, t)/(c2) 3 45(x, t) — задан
30
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Диффузия в трубке, расположенной вдоль оси x, опи!
сывается функцией u(x, t), определяющей концентрацию
молекул диффундирующего вещества в сечении x в мо!
мент t. Трубка может быть полой, или заполненной по!
ристым веществом, или раствором с переменной концен!
трацией растворенного вещества. Согласно закону Фика,
диффузионный поток пропорционален производной кон!
центрации, следовательно, число частиц, проходящих
через сечение площадью S за время dt равно
dN 2 3 D 1u Sdt,
1x
здесь D — коэффициент диффузии.
Если частицы не размножаются и не поглощаются, за!
кон их сохранения на участке ( x, x + dx) приводит к ра!
венству:
3 D 2u Sdt 1 D 2u
Sdt 4 2u dtSdx.
2x x
2x x 1 dx
2t
При постоянных D и S оно стандартным рассуждением
преобразуется к однородному уравнению (53) с коэффи!
циентом a2 = D.
Если в трубке имеются источники диффундирующего
вещества или если процесс диффузии сопровождается рас!
падом или размножением частиц (например, вещество ра!
диоактивно или изучается распространение в веществе
нейтронов, сопровождающееся ядерными реакциями),
уравнение диффузии принимает вид (52) или (56).
ГУ для уравнения диффузии ставятся так же, как и
для уравнения теплопроводности, при этом потоки тепла
заменяются на потоки вещества. НУ по!прежнему имеют
вид (55).
Электрические колебания в длинном проводе. Рас!
смотрим протекание быстропеременного тока по проводу,
длина которого велика по сравнению с длиной волны пе!
редаваемых сигналов. Обозначим через R(x), L(x), C(x) и
G(x) омическое сопротивление, индуктивность, емкость и
проводимость утечки этого провода, рассчитанные на еди!
ницу длины. В каждый момент времени распределение
тока в проводе задается функцией i(x, t), каждая его точ!
ка имеет напряжение u(x, t) относительно земли. Выде!
31
2. ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
лим малый участок провода Dx
(рис. 8) и будем считать, что к
отдельным участкам примени
ма теория квазистационарных
токов (это стандартное прибли
жение электротехники, в том
же приближении введено на
пряжение u(x, t), которое есть
потенциал, соответствующий
мгновенному распределению
заряда в проводе).
По закону Ома для участ
ка цепи имеем:
Рис. 8
К выводу уравнения
электрических колебаний
в длинном проводе
u(x, t) – u(x + Dx, t) = RDxi(x, t) + LDxit(x, t),
здесь левая часть дает напряжение на участке Dx, спра
1i
ва RDx — сопротивление этого участка, 2si 3 4 L 5x —
1t
ЭДС самоиндукции на нем. При Dx ® 0
–ux = Ri + Lit.
(57)
Заряд рассматриваемого участка равен CDxu(x, t); по
закону сохранения заряда его изменение определяется
разностью токов на концах участка и током утечки, рав
ным GDxu(x, t):
1 (C2xu(x, t)) 3 i(x, t) 4 i(x 5 2x, t) 4 G2xu(x, t);
1t
при Dx ® 0
–ix = Cut + Gu.
(58)
Уравнения (57) и (58) образуют систему телеграфных
уравнений. Если их коэффициенты постоянны, из систе
мы можно получить одно уравнение второго порядка, оп
ределяющее функцию i(x, t) или u(x, t). Продифференци
руем уравнение (57) по времени, а (58) — по координате,
получим
41uxt 2 it R 3 Litt ,
5
61ixx 2 Cuxt 3 Gux .
Подставив во второе уравнение uxt из первого и ux из (57),
получим 1е телеграфное уравнение:
32
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
ixx = CLitt + (CR + LG)it + RGi.
(59)
Продифференцировав уравнение (57) по координате
и (58) по времени, можно провести аналогичные рассуждения и получить 2е телеграфное уравнение:
uxx = CLutt + (CR + LG)ut + RGu.
(60)
Заметим, что уравнения для тока и напряжения(59) и (60)
полностью совпадают.
Если сопротивление R и проводимость утечки G пренебрежимо малы, телеграфные уравнения (59) и (60) сводятся к однородному уравнению струны (33), в котором
c 1 1/ LC :
itt 1 c2ixx , utt 1 c2uxx , c 1 1/ LC .
Если можно пренебречь индуктивностью провода L, телеграфные уравнения преобразуются к уравнению теплопроводности (56), в котором a2 = 1/(RC), b = G/C, f1 1 0 :
ut = a2uxx – bu, it = a2ixx – bi.
При малой проводимости утечки происходит дальнейшее
упрощение к уравнению (53):
it = a2ixx, ut = a2uxx, a2 = 1/(RC).
Начальные условия в длинном проводе задаются как
распределение токов и напряжений при t = 0:
i|t = 0 = j(x), u|t = 0 = y(x).
(61)
Для уравнения теплопроводности достаточно одного из
этих условий. Для уравнения струны следует подставить (61) в (57) и (58) и получить начальные распределения для производных:
5it |t10 1 2(1/ L)31(x) 2 (R / L)4(x);
(62)
6
7ut |t10 1 2(G / C)3 (x) 2 (1/ C)41(x),
где j¢(x) и y¢(x) — производные функций j(x) и y(x).
Граничные условия характеризуют ток или напряжение на концах провода. Перечислим основные случаи:
1) конец заземлен — u |x 1 x0 1 0;
2. ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
33
2) конец заизолирован — i |x 1 x0 1 0;
3) на конце находится источник ЭДС — u |x 1 x0 1 2(t);
4) конец заземлен через сосредоточенное активное со
противление R0 —
u |x 1 x0 1 R0i |x 1 x0
(здесь и ниже условия выписываются для правого конца,
на левом конце они отличаются знаком);
5) конец заземлен через сосредоточенную индуктивно
сть L0, вызывающую ЭДС самоиндукции, —
u |x 1 x0 1 L0it |x 1x0 ;
6) конец заземлен через сосредоточенную емкость C0
(ток приводит к изменению заряда на конденсаторе) —
i
x 1 x0
1 C0 ut
x 1 x0 .
С помощью соотношений (57) и (58) любое из этих ус
ловий может быть записано как для тока, так и для на
пряжения.
2.2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ
ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
В следующих задачах описаны некоторые физические
процессы. Следует выбрать функцию, характеризующую
указанный процесс, вывести для нее дифференциальное
уравнение, сформулировать для этой функции начальные
и граничные условия. Все необходимые параметры систе
мы предполагаются известными.
2.1. Сформулировать задачу о продольных колебани
ях однородного упругого стержня постоянного сечения S
длины l при произвольных начальных отклонении и ско
рости для случаев, когда:
а) к концам стержня x = 0 и x = l, начиная с момента
t = 0, приложены силы F1(t) и F2(t), действующие вдоль
стержня;
б) стержень (на единицу массы) испытывает действие
пропорциональной скорости силы сопротивления откло
нению, а концы стержня x = 0 и x = l колеблются по за
данным законам m1(t) и m2(t).
34
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
2.2. Сформулировать задачу о продольных колебани(
ях однородного упругого стержня постоянного сечения S
длины l при произвольных начальных отклонении и ско(
рости для случаев, когда:
а) концы стержня свободны;
б) конец стержня x = 0 испытывает сопротивление,
пропорциональное скорости, а конец x = l закреплен же(
стко;
в) конец стержня x = 0 закреплен, а конец x = l свобо(
ден и к нему прикреплена сосредоточенная масса m.
2.3. Сформулировать задачу о продольных колебани(
ях однородного упругого стержня постоянного сечения S
длины l при произвольных начальных отклонении и ско(
рости для случаев, когда:
а) концы стержня закреплены упруго, т.е. на них дей(
ствует сила, пропорциональная их отклонению;
б) начиная с момента t = 0, стержень испытывает дей(
ствие направленной вдоль оси х силы объемной плотности
F(x, t), а концы стержня закреплены жестко. (Такую силу
можно создать, например, с помощью магнитного поля).
2.4. Сформулировать задачу о продольных колебаниях
однородного упругого стержня переменного сечения S(х)
длины l при произвольных начальных условиях для слу(
чая, когда стержень имеет форму усеченного конуса с ра(
диусами оснований r и R (r < R), которые закреплены
жестко.
2.5. Два полуограниченных упругих однородных стерж(
ня с одинаковыми поперечными сечениями S соединены
торцами и составляют один неограниченный стержень.
Пусть r1 и Е1 — плотность и модуль упругости одного из
них, а r2 и Е2 — другого. Поставить задачу для определе(
ния отклонений сечений стержня от их положения покоя,
если заданы начальное (при t = 0) отклонение j(х) и ско(
рость y(х).
2.6. Решить предыдущую задачу, считая, что между
торцами составляющих стержней закреплена жесткая
прокладка пренебрежимо малой толщины с массой m.
2.7.* Сформулировать задачу о продольных колебани(
ях однородного упругого стержня переменного сечения
2. ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
35
S(x) длины l при произвольных начальных условиях для
случая, когда конец стержня x = 0 закреплен упруго, а к
концу x = l, начиная с момента t = 0, приложена продоль
ная сила F(t) на единицу площади сечения.
2.8. Верхний конец упругого однородного вертикаль
но подвешенного тяжелого стержня жестко прикреплен к
потолку свободно падающего лифта, который, достигнув
скорости v0, мгновенно останавливается. Поставить зада
чу о продольных колебаниях этого стержня.
2.9. Поставить задачу о малых поперечных колебани
ях струны в среде с сопротивлением, пропорциональным
скорости, предполагая, что
а) концы струны закреплены неподвижно;
б) один конец свободен, а на другой действует перемен
ная поперечная сила F(t).
2.10. Поставить задачу о продольных колебаниях одно
родного упругого вертикального стержня, пренебрегая дей
ствием силы тяжести на частицы стержня, если верхний
конец стержня закреплен жестко, а к нижнему прикреп
лен груз массой М. За положение равновесия принимается
ненапряженное состояние стержня (т. е. в начальный мо
мент времени из под груза убирается подставка и груз на
чинает растягивать стержень).
2.11.* Поставить задачу о продольных колебаниях од
нородного упругого горизонтального стержня, если его
левый конец жестко закреплен на вертикальной оси, а к
правому прикреплен груз массой М, за положение равно
весия принимается ненапряженное состояние стержня.
В начальный момент времени стержень начинают раскру
чивать вокруг оси с угловой скоростью w = w(t).
2.12.* Поставить задачу о продольных колебаниях од
нородного упругого горизонтального стержня, если его
левый конец прикреплен к вертикальной оси пружиной
жесткостью k, а правый свободен, за положение равнове
сия принимается ненапряженное состояние стержня. Вна
чальный момент времени стержень начинают раскручи
вать вокруг оси с угловой скоростью w = w(t).
2.13.* Поставить задачу о продольных колебаниях од
нородного упругого горизонтального стержня, если его
36
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
левый конец жестко закреплен на вертикальной оси, пра%
вый свободен, а в середине стержня закреплен груз мас%
сой М, за положение равновесия принимается ненапря%
женное состояние стержня. В начальный момент времени
стержень начинают раскручивать вокруг оси с угловой
скоростью w = w(t).
2.14. Тяжелый стержень подвешен вертикально и за%
щемлен так, что смещение во всех точках равно нулю.
В начальный момент времени он освобождается. Поста%
вить краевую задачу о продольных колебаниях стержня.
2.15. Сформулировать задачу о колебаниях однородной
струны около горизонтального положения в поле силы
тяжести. В точках x1, x2, ..., xn струны укреплены грузи%
ки массами m1, m2, ..., mn. Один конец струны свободен,
другой движется по известному закону m(t).
2.16. Сформулировать задачу о колебаниях неоднород%
ной струны линейной плотностью rл(x) около горизонталь%
ного положения в поле силы тяжести, если один ее конец
свободен, а к другому приложена сила F(t).
2.17. Поставить задачу (при произвольных начальных
условиях) о колебаниях однородной струны в среде с со%
противлением, пропорциональным скорости, если один ее
конец закреплен, а другой колеблется по закону m = m(t).
2.18. Находящаяся в горизонтальной плоскости струна
с постоянной угловой скоростью w вращается вокруг вер%
тикальной оси, причем один конец струны прикреплен к
некоторой точке оси, а другой свободен. В начальный мо%
мент времени точкам этой струны сообщаются малые вер%
тикальные отклонения и скорости. Поставить задачу для
определения отклонений точек струны от плоскости рав%
новесного движения. Действием силы тяжести на струну
пренебречь.
2.19. Пусть в точке x = 0 бесконечной однородной стру%
ны находится шарик массой m0. Начальные скорости и
отклонения точек струны равны нулю. Поставить задачу
для определения отклонений точек струны от их положе%
ния равновесия в следующих случаях:
а) начиная с момента t = 0 на шарик действует гармо%
ническая сила F = F0sinWt;
2. ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
37
б) в начальный момент времени шарик получает им
пульс p0 в поперечном направлении;
в) шарик был отклонен в начальный момент времени
на u0 и к нему присоединена пружина с эффективной же
сткостью k, возвращающая его в равновесное положение.
2.20. Поставить задачу о поперечных колебаниях тя
желой струны, подвешенной вертикально, если верхний
конец ее закреплен, а нижний свободен.
2.21. Сформулировать задачу о колебаниях неоднород
ной струны линейной плотностью rл(x) около горизонталь
ного положения в поле силы тяжести. В точкахx1, x2, ..., xn
струны укреплены грузики массами m1, m2, ..., mn. Концы
закреплены.
2.22.* На середине неоднородной струны, подвешенной
вертикально, находится грузик массой m0. Поставить за
дачу о малых поперечных колебаниях струны относитель
но вертикального положения равновесия при произволь
ных начальных условиях, если концы струны закрепле
ны и она приводится во вращение с угловой скоростью
w = w(t). Действием силы тяжести на струну пренебречь.
2.23.* Пусть неограниченная неоднородная струна со
вершает малые поперечные колебания под действием по
перечной силы, приложенной начиная с t = 0 в некоторой
заданной точке струны. Поставить задачу для определе
ния отклонений точек струны от их равновесия. Рассмот
реть случай, когда точка приложения силы перемещает
ся вдоль струны по заданному закону.
2.24. В некоторой точке неограниченной неоднород
ной струны прикреплен шарик массой M, соединенный
с пружиной жесткости k, которая возвращает его в по
ложение равновесия. Поставить задачу при условии, что
в начальный момент времени покоившемуся шарику со
общают импульс p0.
2.25. Поставить задачу о поперечных колебаниях в
поле силы тяжести однородной горизонтальной струны
длиной l, если ее середина закреплена через пружину же
сткости k, левый конец закреплен, а на правом свободном
конце имеется груз массой M, которому в начальный мо
мент времени сообщается импульс p.
38
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
2.26. По струне 0 £ x £ l с закрепленными неподвиж&
но концами и пренебрежимо малым электрическим сопро&
тивлением идет переменной силы ток I = I(t) при t > 0,
причем струна находится в постоянном магнитном поле
напряженностью Н, перпендикулярном к струне. Поста&
вить задачу о поперечных колебаниях струны, вызывае&
мых магнитными силами, приложенными к струне. Счи&
тать, что в начальный момент струна покоилась.
2.27. Поставить задачу для определения силы и напря&
жения переменного тока, идущего вдоль тонкого провода
длиной l с непрерывно распределенными по длине посто&
янным омическим сопротивлением R, емкостью C, индук&
тивностью L и утечкой G, если один конец провода зазем&
лен, а к другому приложена ЭДС e(t). Начальный ток и
напряжение — i(x, 0) = f(x), u(x, 0) = F(x).
2.28. Решить предыдущую задачу при условии, что
R = G = 0, ЭДС подключена через сосредоточенное сопро&
тивление Rэдс, а второй конец провода заизолирован.
2.29. Поставить задачу об электрических колебаниях
в проводе длиной l с пренебрежимо малыми сопротивле&
нием и утечкой, если его концы заземлены: один через
сосредоточенное сопротивление R0, а другой — через со&
средоточенную емкость C0.
2.30.* Рассмотреть предыдущую задачу, если один ко&
нец заземлен через сосредоточенную индуктивностьL(1)
,а
0
к другому подсоединена ЭДС через сосредоточенную ин&
дуктивность L(2)
.
0
2.31. Поставить задачу об электрических колебаниях
в проводе с распределенными параметрами при произволь&
ных начальных условиях, если оба конца заземлены че&
рез сосредоточенные сопротивления.
2.32. Поставить задачу об электрических колебаниях
в проводе с распределенными параметрами при произволь&
ных начальных условиях, если оба конца заземлены че&
рез последовательно соединенные сосредоточенные сопро&
тивление и емкость.
2.33. Поставить задачу об электрических колебаниях
в проводе с распределенными параметрами при произволь&
ных начальных условиях, если оба конца заземлены че&
2. ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
39
рез последовательно соединенные сосредоточенные сопро
тивление и индуктивность.
2.34. Поставить задачу об электрических колебаниях
в неограниченном проводе, полученном соединением двух
полуограниченных проводов с распределенными парамет
рами через сосредоточенную емкость С0 в случае, когда нет
утечки.
2.35. Решить предыдущую задачу, когда соединение
осуществляется через сопротивление R0.
2.36.* Поставить задачу об электрических колебани
ях в проводе с распределенными параметрами при произ
вольных начальных условиях, если один конец заземлен
через параллельно включенные сосредоточенные сопро
тивление и индуктивность, а другой— через параллельно
включенные сосредоточенные сопротивление и емкость.
2.37. Кабель, один конец которого изолирован, имеет
постоянный потенциал u0 и в момент t = 0 заземляется
через параллельные сосредоточенные емкость и активную
проводимость. Поставить задачу об определении электри
ческого тока в кабеле.
2.38. Труба, заполненная идеальным газом, с одного
конца закрыта поршнем массой m1 с прикрепленной к
нему пружиной жесткостью k, а с другого — свободным
поршнем с массой m2. В момент времени t = 0 во второй
конец влетает кусок пластилина с массойm3 и скоростью v.
Поставить задачу об определении смещения газа внутри
трубы.
2.39. Труба, заполненная идеальным газом и откры
тая с одного конца, движется поступательно в направле
нии своей оси с постоянной скоростью v. В момент вре
мени t = 0 труба мгновенно останавливается. Поставить
задачу об определении смещения газа внутри трубы на
расстоянии x от закрытого конца.
2.40. Заключенный в цилиндрической трубке идеаль
ный газ совершает малые продольные колебания; пло
ские поперечные сечения, состоящие из частиц газа, не
деформируются, и все частицы двигаются параллельно
оси цилиндра. Поставить задачу для определения сме
щения u(x, t) частиц газа в случаях, когда концы трубки:
40
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
а) закрыты непроницаемыми перегородками;
б) открыты;
в) закрыты поршеньками с пренебрежимо малой мас+
сой, насаженными на пружинки с коэффициентами жест+
кости k и скользящими без трения внутри трубки.
2.41.* Конец полуограниченной цилиндрической труб+
ки, заполненной идеальным газом, закрыт поршнем мас+
сы М, скользящим в трубке, причем сопротивление тре+
ния пропорционально скорости поршня с коэффициентом
пропорциональности, равным k*. Пусть поршень насажен
на пружинку с коэффициентом упругости k** и осью, на+
правленной по оси трубки. Поставить задачу о продоль+
ных колебаниях газа в трубке.
2.42.* Пусть в середине бесконечной цилиндрической
трубки с газом находится свободно скользящий поршень
массой М. По одну его сторону находится газ с одними
характеристиками, а по другую — с другими. Поставить
задачу при произвольных начальных условиях для малых
продольных колебаний газов в трубке.
2.3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
2.43. Поставить задачу об определении температуры
стержня, на боковой поверхности которого происходит
конвективный теплообмен по закону Ньютона с окружаю+
щей средой заданной температуры, если
а) его торцы поддерживаются при определенной тем+
пературе;
б) на торцы стержня падает заданный тепловой поток
извне.
Поперечные сечения стержня считать изотермически+
ми поверхностями.
2.44. Поставить задачу об остывании тонкого кольца,
на поверхности которого происходит теплообмен с окру+
жающей средой заданной температуры по закону Ньюто+
на. Неравномерностью распределения температуры по тол+
щине кольца пренебречь.
2. ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
41
2.45. Поставить задачу о нагревании полуограниченно
го стержня, конец которого горит, причем фронт огня рас
пространяется с постоянной скоростью v0 и имеет темпе
ратуру f(t). Начальная температура стержня равна нулю.
2.46. Поставить задачу о нагревании электрическим
током провода, соединяющего две массивные клеммы за
данной теплоемкости и бесконечно большой теплопровод
ности, если на поверхности провода происходит теплооб
мен с окружающей средой по закону Ньютона.
2.47. Поставить задачу об определении температуры
в неограниченном стержне, полученном соединением
двух однородных полуограниченных стержней с различ
ными теплоемкостями, плотностями и теплопроводно
стями, если
а) стержни соединены непосредственно;
б) стержни соединены массивной муфтой с теплоемко
стью c0 и бесконечно большой теплопроводностью.
Боковые поверхности стержней и муфты теплоизоли
рованы.
2.48. Поставить задачу о нагревании тонкого стрежня,
по которому с постоянной скоростьюv0 скользит электри
ческая печь постоянной мощности и пренебрежимо малой
теплоемкости. Теплообменом печи и стержня с окружаю
щей средой пренебречь.
2.49.* Поставить задачу об остывании равномерно на
гретого стержня в форме усеченного конуса. Торцы стерж
ня теплоизолированы, а на боковой поверхности происхо
дит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона.
Температуру среды считать равной нулю. Искривлением
изотермических поверхностей пренебречь.
2.50. Поставить задачу о диффузии частиц, помещен
ных в узкую вертикальную трубку, заполненную ней
тральной средой. Трубка находится в поле силы тяжести;
скорость оседания частиц, вызванную этой силой, следу
ет считать постоянной. Все стенки трубки непроницаемы.
2.51. Поставить задачу о диффузии распадающихся
частиц (например, молекул неустойчивого газа), поме
щенных в узкую горизо нтальную трубку с непроницае
мыми боковыми стенками. Считать, что скорость распада
42
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
пропорциональна концентрации частиц в данной точке.
Рассмотреть случаи:
а) на торцах трубки концентрация частиц поддержи+
вается равной нулю;
б) торцы трубки непроницаемы.
2.52. Решить предыдущую задачу для случая, когда
частицы не распадаются, а размножаются, причем ско+
рость размножения пропорциональна концентрации час+
тиц (этому условию соответствуют, например, нейтроны
при ядерной реакции).
2.53. Поставить задачу для определения напряжения
в проводе конечной длины с пренебрежимо малой индук+
тивностью, если к одному его концу приложена ЭДС e(t),
а другой конец заземлен через сосредоточенное сопротив+
ление R0.
3. МЕТОД Д’АЛАМБЕРА
И МЕТОД ОТРАЖЕНИЙ
ДЛЯ ОДНОРОДНОГО
ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
(случай одной
пространственной переменной)
3.1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ДЛЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ СТРУНЫ
Описанные в этом разделе методы решения однородного
уравнения струны допускают простую графическую ин
терпретацию. Струна оказывается удобной физической
моделью, ее форма в каждый момент времени совпадает с
графиком функции u(x, t) (с точки зрения аналитическо
го решения все модели, разумеется, равноправны).
Метод Д’Аламбера позволяет построить решение зада
чи Коши для свободных колебаний бесконечной струны:
6utt 1 c2uxx , u 1 u(x, t), x 2 (34, 5 4), t 1 0,
7
u |t 1 0 1 8(x), ut |t 1 0 1 9(x).
(63)
Решение Д’Аламбера имеет вид
x 1 ct
3
4
7(8)d8 ,
u(x, t) 5 1 9 6(x 2 ct) 1 6(x 1 ct) 1 1
9
2
c
(64)
x 2 ct
оно выражает u(x, t) через начальную форму струны и на
чальные скорости ее точек. Формулу (64) можно преобра
зовать к виду
u(x, t) 1 0,5(2(x 3 ct) 3 41 (x 3 ct)) 5
5 0,5(2(x 5 ct) 5 41 (x 5 ct)),
где
11 (x) 2 1
c
x
3
1(x)dx.
const
Выражение в первых скобках с аргументом (x – ct) дает
прямую волну, бегущую вдоль положительного направ
ления оси x со скоростью с, выражение во вторых скобках
44
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
соответствует обратной волне, бегущей в противоположном
направлении. Обе волны сохраняют свою форму. Вкачестве постоянного предела интегрирования удобно брать какую-либо среднюю точку струны, например, x = 0. Графическое решение состоит в построении функций 1(x) 2 21 (x),
сдвига этих графиков на ct вдоль оси х и их последующем
сложении.
Метод отражений распространяет идеи предыдущего
метода на решение НКЗ для свободных колебаний полубесконечной или конечной струн при условии, что на их
концах выполняются однородные ГУ I или II рода.
Задача о колебаниях полубесконечной струны имеет
вид:
2utt 1 c2uxx , x 3 [0, 4 5), t 1 0,
6
7ГУ: u |x10 1 0 —I рода (или ux x10 1 0 —II рода), (65)
6
НУ : u |t10 1 8(x), ut |t10 1 9(x).
Эта задача эквивалентна задаче Коши о колебаниях бесконечной струны, для которой начальные данные j(x) и y(x)
продолжены на отрицательную полуось по закону нечетности для ГУ I рода и по закону четности для ГУ II рода.
Иными словами, решение задачи (65) определяется формулой
1 (x 3 ct)) 5
u(x, t) 1 0,5(2(x 3 ct) 3 4
(66)
1 (x 5 ct)),
5 0,5(2(x 5 ct) 5 4
где
x
1 (x) 2 1 1(x)dx,
1
c3
0
функции F(x), Y(x) получены из функций j(x), y(x) нечетным или четным продолжением. Для закрепленного конца (ГУ I рода):
51(x), x 2 [0, 3 4),
6( x) 7 8
91(9x), x 2 (94,0),
и
5 (x), x 2 [0, 3 4),
( x) 7 8
9 (9x), x 2 (94,0).
Для свободного конца (ГУ II рода):
(67)
45
3. МЕТОД Д’АЛАМБЕРА И МЕТОД ОТРАЖЕНИЙ
7(x) 8
61(x), x 2 [0, 3 4),
65(x), x 2 [0, 3 4), (68)
и 9 ( x) 8
1( x), x 2 ( 4,0),
5( x), x 2 ( 4,0).
Задачу о свободных колебаниях конечной струны так#
же можно заменить задачей Коши о колебаниях беско#
нечной струны. Начальные данные j(x), y(x) следует про#
должить по закону нечетности относительно каждого
закрепленного конца и по закону четности относительно
каждого свободного. В результате, для НКЗ I и II рода на#
чальные данные F(x), Y(x) окажутся периодическими
функциями с периодом 2l, а в случае смешанных ГУ —
периодическими функциями с периодом 4l. Решение ис#
ходной задачи по#прежнему дается формулой (66).
Для струны с закрепленными концами (ГУ I рода):
41(x), x 2 [0, l],
43(x), x 2 [0, l],
5
5
6(x) 7 81(8x), x 2 [8l,0),
9 (x) 7 83(8x), x 2 [8l,0),
56(x 8 2lk), x [8l, l],
59 (x 8 2lk), x [8l, l],
k 7 1, 2, 3,...
(69)
Для струны с двумя свободными концами:
41(x), x 2 [0, l],
43(x), x 2 [0, l],
5
5
6(x) 7 1(8x), x 2 [8l,0),
9 (x) 7 3(8x), x 2 [8l,0),
56(x 8 2lk), x [8l, l],
59 (x 8 2lk), x [8l, l],
(70)
k 7 1, 2, 3,...
Для струны с закрепленным левым концом и свобод#
ным правым введем функции
52(x), x 3 [0, l];
54(x), x 3 [0, l];
21 (x) 6 7
4 1 (x ) 6 7
(71)
(2
l
x
),
x
(
l
,2
l
];
2
8
3
9
94(2l 8 x), x 3 (l,2l]
и подставим их в (69) вместо j и y, заменив при этомl на 2l.
Если у струны свободен левый конец и закреплен правый,
введем функции
52(x), x 3 [0, l];
54(x), x 3 [0, l];
21 (x) 6 7
41 (x) 6 7
(2
l
x
),
x
(
l
,2
l
];
82
8
3
9
984(2l 8 x), x 3 (l,2l]
(72)
и аналогичным образом подставим их в (70).
46
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
3.2. ЗАДАЧИ
ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОЙ
СТРУНЫ
3.1. Бесконечная струна возбуждена начальным откло(
нением, изображенным на рис. 9а, и отпущена без началь(
Рис. 9
К задачам 3.1–3.7
ной скорости. Начертить ее форму в моменты времени
ti = il/(4c), где i = 1, 2, 3, 4, 8.
n Р е ш е н и е. Колебания бесконечной струны описы(
ваются задачей Коши (63), по условию y(x) = 0, j(x) изо(
бражена на рис. 9а. Формула Д’Аламбера (64) принимает
вид
u(x, t) = 0,5(j(x – ct) + j(x + ct)).
Прямая волна 0,5j(x – ct) и обратная 0,5j(x + ct) в на(
чальный момент времени имеют значения по 0,5j(x) и,
складываясь, дают исходную форму струны. За время
t (t > 0) график прямой волны без искажений смещается
вправо, а график обратной волны— влево на расстояниеct.
Складывая эти графики, находим форму струны в момент
времени t. На рис. 10 нанесены тонкой линией прямая и
обратная волны в заданные моменты времени, жирной
линией показана их сумма, дающая форму струны o.
3. МЕТОД Д’АЛАМБЕРА И МЕТОД ОТРАЖЕНИЙ
Рис. 10
К задаче 3.1
47
48
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
3.2. Бесконечная струна возбуждена начальным откло(
нением, изображенным на рис. 9б, и отпущена без началь(
ной скорости. Начертить ее форму в моменты времени
ti = il/(4c), где i = 1, 2, 3, 4, 8.
3.3. Бесконечная струна возбуждена начальным откло(
нением, изображенным на рис. 9в, и отпущена без началь(
ной скорости. Начертить ее форму в моменты времени
ti = il/(4c), где i = 1, 2, 3, 4, 8.
3.4. Бесконечная струна возбуждена начальным откло(
нением, изображенным на рис. 9г, и отпущена без началь(
ной скорости. Начертить ее форму в моменты времени
ti = il/(4c), где i = 1, 2, 3, 4, 8.
3.5. Точкам бесконечной невозмущенной струны со(
общены начальные скорости, график которых изображен
на рис. 9д. Начертить форму струны в моменты времени
ti = il/(4c), где i = 1, 2, 3, 4, 8.
n Р е ш е н и е. Колебания бесконечной струны описы(
ваются задачей Коши (63), по условию j(x) = 0, y(x) изо(
бражена на рис. 9д. Формула Д’Аламбера (64) принимает
x
вид:
u(x, t) 1 0,5(21 (x 3 ct) 4 21 (x 4 ct)), 21 1 1 6 2(5)d5.
c
0
Так как
3v , x 1 [2l, l], то 1
3(v / c)x, x 1 [2l, l],
4 (x) 5 6 0
4 ( x) 5 6 0
7
2
0,
x
[
l
,
l
],
8
8(v0 l / c)sgn x, x 7 [2l, l].
Прямая волна 0,511 (x 2 ct) и обратная 0,511 (x 2 ct) в на(
чальный момент времени имеют значения по 0,511 (x) и при
вычитании дают исходное невозмущенное положение стру(
ны. За время t (t > 0) график прямой волны без искажений
смещается вправо, а график обратной волны — влево на
расстояние ct. Вычитая эти графики, находим форму стру(
ны в конкретный момент времени. На рис. 11 нанесены
тонкой линией прямая и обратная волны в заданные мо(
менты времени, жирной линией показана форма струны.o
3.6. Точкам бесконечной невозмущенной струны со(
общены начальные скорости, график которых изображен
на рис. 9е. Начертить форму струны в моменты времени
ti = il/(4c), где i = 1, 2, 3, 4, 8.
3. МЕТОД Д’АЛАМБЕРА И МЕТОД ОТРАЖЕНИЙ
49
Рис. 11
К задаче 3.5
3.7. Точкам бесконечной невозмущенной струны со
общены начальные скорости, график которых изображен
на рис. 9а. Начертить форму струны в моменты времени
ti = il/(4c), где i = 1, 2, 3, 4, 8.
50
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
3.3. ЗАДАЧИ
ДЛЯ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ СТРУНЫ
3.8. Полубесконечная струна изображена в началь&
ный момент времени на рис. 12а, ее начальные скорости
равны нулю. Начертить форму струны в моменты време&
ни ti = il/(4c), где i = 1, 2, 3, 4, 8, если ее конец x = 0 за&
креплен.
Рис. 12
К задачам 3.8–3.27 и 4.1–4.10
3. МЕТОД Д’АЛАМБЕРА И МЕТОД ОТРАЖЕНИЙ
51
n Р е ш е н и е. НКЗ для полубесконечной струны с за%
крепленным концом имеет вид (65). По условию y(x) = 0,
функция j(x) изображена на рис. 12а. Формула Д’Алам%
бера (66) принимает вид:
u(x, t) = 0,5(F(x – ct) + F(x + ct)),
где функция F(x) есть начальная форма бесконечной стру%
ны, совпадающая при x > 0 с j(x). Так как конец струны
закреплен, j(x) продолжается на отрицательную полуось не%
четным образом и F(x) определяется по формуле (67). Пря%
мая волна 0,5F(x – ct) и обратная 0,5 F(x + ct) в начальный
Рис. 13
К задаче 3.8
52
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
момент времени имеют значения по 0,5 F(x) и, складыва&
ясь, дают исходное положение струны. За времяt (t > 0) гра&
фик прямой волны без искажений смещается вправо, а гра&
фик обратной волны — влево на расстояние ct. Складывая
эти графики, находим форму струны в конкретный момент
времени. На рис. 13 нанесены тонкой линией прямая и об&
ратная волны в заданные моменты времени, жирной лини&
ей показана форма полубесконечной струны. o
3.9. Полубесконечная струна изображена в начальный
момент времени на рис. 12б, начальные скорости равны
нулю. Начертить форму струны в моменты времени ti =
= il/(4c), где i = 1, 2, 3, 4, 8, если ее конецx = 0 закреплен.
3.10–3.17. Полубесконечная струна изображена в на&
чальный момент времени на рис. 12в–12к, соответствен&
но. Начальные скорости равны нулю. Начертить форму
струны в моменты времени ti = il/(4c), где i = 1, 2, 3, 4, 8,
если ее конец x = 0:
а) закреплен;
б) свободен.
3.4. ЗАДАЧИ
ДЛЯ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ
3.18. В начальный момент времени струна длины l с за&
крепленными концами была оттянута за точку с координа&
той 7l/8 и отпущена без начальной скорости (см.рис. 12а).
Начертить ее форму в моменты времениti = il/(2c), где i = 1,
2, 3, 4, 6.
n Р е ш е н и е. Колебания ограниченной струны с за&
крепленными концами описываются следующей НКЗ:
4utt 1 c2uxx , x 2 [0, l], t 3 0,
5
6u |x 10 1 u |x 1l 1 0,
5u | 1 7(x), u | 1 8(x).
t t 10
9 t10
По условию y(x) = 0, функция j(x) изображена на рис. 12а.
Решение Д’Аламбера (66) принимает вид
u(x, t) = 0,5(F(x – ct) + F(x + ct)),
3. МЕТОД Д’АЛАМБЕРА И МЕТОД ОТРАЖЕНИЙ
53
Рис. 14
К задаче 3.18
где функция F(x) определяется по формуле (69). Прямая
волна 0,5F(x – ct) и обратная 0,5 F(x + ct) в начальный
момент времени имеют значения по 0,5F(x) и, складыва/
ясь, дают исходную форму струны. За время t (t > 0) гра/
фик прямой волны без искажений смещается вправо, а
график обратной волны — влево на расстояние ct. Склады/
вая эти графики, находим форму струны в конкретный мо/
мент времени. На рис. 14 нанесены тонкой линией прямая
и обратная волны в заданные моменты времени, жир ная
54
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
линия показывает форму струны. Формы в моменты вре%
мени t = l/c и t = 3l/c идентичны, так как функция F(x)
имеет период 2l, следовательно
u|t = 3l/c = 0,5(F(x – 3l) + F(x + 3l)) =
= 0,5(F(x – l) + F(x + l)) = u|t = l/c.
То же можно сказать и про моменты времени t = 0 и t =
= 2l/c. o
3.19. Струна длины l с закрепленными концами в на%
чальный момент времени имеет форму, изображенную на
рис. 12б. Начальные скорости равны нулю. Начертить ее
форму в моменты времени ti = il/(2c), где i = 1, 2, 3, 4, 6.
3.20–3.27. Струна длины l в начальный момент време%
ни имеет форму, изображенную на рис. 12в–12к, соответ%
ственно. Начальные скорости равны нулю. Начертить фор%
му струны в моменты времениti = il/(2c), где i = 1, 2, 3, 4, 6,
если ее концы:
а) закреплены;
б) свободны;
в) x = 0 — закреплен, а x = l — свободен;
г) x = 0 — свободен, а x = l — закреплен.
4. РЕШЕНИЕ
НАЧАЛЬНО КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
МЕТОДОМ ФУРЬЕ
(случай одной
пространственной переменной)
4.1. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СТРУНЫ
Метод Фурье, или метод разделения переменных, явля
ется мощным математическим аппаратом решения НКЗ в
ограниченных областях пространства при однородных ГУ.
Частные решения дифференциального уравнения при за
данных ГУ могут быть найдены в виде произведения двух
функций, из которых одна зависит только от времени, а
другая только от координат. Для случая одной простран
ственной переменной это означает:
u(x, t) = X(x)T(t).
(73)
Продемонстрируем метод на примере НКЗ для свобод
ных колебаний ограниченной струны:
utt = c2uxx, u = u(x, t), x Î [0, l], t ³ 0.
(74)
ГУ I, II и III родов можно объединить, введя параметры
a1, b1, a2, b2:
65(21u 3 41ux ) x 10 1 0, (22u 3 42ux ) x 1l 1 0,
7
2
2
692141 1 0, 2242 2 0, 21,2 3 41,2 8 0.
(75)
НУ предполагаются произвольными:
u|t = 0 = j(x); ut|t = 0 = y(x).
(76)
Подстановка (73) в (74) дает
X 11(x) T 11(t)
2
,
X(x) c2T (t)
(77)
56
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
в этом выражении левая часть есть функция х, правая —
функция t; равенство возможно, только если обе они рав+
ны постоянной, которую обычно обозначают –l. В резуль+
тате, с учетом (75), для функции X(x) получаем краевую
задачу (КЗ):
X²(x) + lX(x) = 0,
a1X(0) + b1X¢(0) = 0,
(78)
a2X(l) + b2X¢(l) = 0.
Значения параметра l, при которых задача (78) имеет
нетривиальные решения, называются ее собственными
значениями (с/з), а сами эти решения — собственными
функциями (с/ф). Задача о нахождении c/з и с/ф крае+
вой задачи (78) есть простейший частный случай задачи
Штурма–Лиувилля. Свойства этой задачи мы обсудим в
главе 6 при применении метода Фурье к решению НКЗ
для многомерного волнового уравнения.
С/з lk и с/ф Xk(x) задачи (78) находятся прямым ис+
следованием общего решения дифференциального урав+
нения. Функции Tk(t) после этого определяются с точно+
стью до постоянных множителей из уравнения:
T²k(t) + lkc2Tk(t) = 0.
(79)
В результате, возникает счетный набор функцийuk(x, t) =
= Xk(x)Tk(t), удовлетворяющих уравнению и ГУ. Ряд
u(x, t) 1 2 Xk (x)Tk (t)
(80)
k
также удовлетворяет уравнению и ГУ. Произвольность в
выборе функций Tk(t) позволяет удовлетворить и НУ:
u(x,0) 1 5 Xk (x)Tk (0) 1 2(x),
k
ut (x,0) 1 5 Xk (x)Tk3(0) 1 4(x).
(81)
k
Видно, что значения Tk(0) и T¢k(0) есть коэффициенты
разложения функций j(x), y(x) в ряды Фурье по систе+
ме с/ф Xk(x).
57
4. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
4.2. НАЧАЛЬНОКРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ
ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ
4.1. Описать свободные колебания ограниченной стру'
ны с концами, закрепленными в точках x = 0 и x = l, если
c = 6, l = p, h = 2 и на рис. 12а указаны:
а) начальные отклонения точек струны, начальные
скорости всех точек равны нулю;
б) начальные скорости точек струны, при этом в на'
чальный момент времени струна находилась в положении
равновесия.
n Р е ш е н и е 4.1а. Колебания струны описываются
следующей НКЗ:
4utt 1 36uxx ; x 3 [0, 2];
5
416x /(72), x 3 [0,72 /8];
6(x) 1 7
7u |x 10 1 u |x 12 1 0;
816x / 2 9 16, x 3 (72 /8, 2).
5u | 1 6(x); u | 1 0;
t 10
t t10
Будем искать решение в видеu(x, t) = X(x)T(t); подста'
новка в уравнение дает:
X²(x)/X(x) = T²(t)/(36T(t)).
Функция от х может равняться функции от t, только если
обе они равны постоянной:
X 11(x) T 11(t)
2
2 34 2 const.
X(x) 36T (t)
(82)
Для функции X(x) с учетом ГУ получаем краевую за'
дачу:
5X 11(x) 2 3X(x) 4 0,
6
7X(0) 4 X(l) 4 0.
Общее решение этого уравнения имеет при различных зна'
чениях l различный вид (здесь и далее A, B = const).
При 2 3 0 : X (x) 4 Ae
12x
5 Be 1
12x ;
подставляя в граничные условия, убеждаемся, что задача
имеет только тривиальное решение:
X(0) 3 A 4 B 3 0 5 A 3 1 B
X(l) 3 Be 1
12l
1 Be
12l
3 Be 1
12l (1 1 e2 12l )
3 0 5 B 3 0.
58
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
При l = 0 также нет нетривиальных решений:
X(x) = Ax + B;
X(0) = B = 0; X(l) = Al = 0 Þ A = 0.
При l > 0 нетривиальные решения имеются:
X(x) 1 A cos 2x 3 B sin 2x;
X(0) 1 A cos0 1 0 4 A 1 0;
X(l) 1 B sin 2l 1 0 4 2l 1 5k, k 1 1,2,3,... при B 6 0.
Таким образом, при l = p собственные значения и функ4
ции имеют вид:
lk = (pk/l)2 = k2, Xk = Bksin(kpx/l) = Bksinkx,
Bk = const, k = 1, 2, 3, ...
При каждом значении lk получаем уравнение для Tk(t)
(см. (82)):
T²k(t) + 36lkT(t) = 0,
откуда Tk(t) = akcos(6kt) + bksin(6kt), ak, bk = const, k = 1,
2, 3, ...
Функции uk(x, t) = Xk(x)Tk(t), k = 1, 2, 3, ... удовле4
творяют уравнению струны и ГУ; ряд, составленный из
этих функций, также удовлетворяет уравнению и ГУ; по4
требуем, чтобы он удовлетворял и НУ:
u(x, t) 1 3 uk (x, t), u(x,0) 1 2(x), ut (x,0) 1 0.
k
Переобозначим константы:
1
u(x, t) 2 5 (ak Bk cos6kt 3 bk Bk sin6kt)sin kx 2
k 21
1
2 5 (a1k cos6kt 3 b1k sin6kt)sin kx,
k 21
где a1k 4 ak Bk , b1k 4 bk Bk .
Подставим начальные условия:
1
1
k 21
k 21
u(x,0) 2 5 (a1k cos0 3 b1k sin0)sin kx 2 5 a1k sin kx 2 4(x).
59
4. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
Видно, что коэффициенты a1k определяются как коэффи%
циенты разложения функции j(x) в ряд Фурье по синусам
на промежутке [0, p]:
3
4 (7/8) 3 16
a1k 5 2 6(x)sin(kx)dx 5 2 8
x sin(kx)dx 7
73
3
38
0
9 0
116 163 x2 sin(kx)dx 5 ...
... 5 32 1 sin kx x cos kx 2
7
k
73
k
7 32 1 3 cos kx 7 x cos kx sin kx 2
k
3 k
k
7
3
(7/8) 3
(7/8) 3
2
2
0
3
2
2
(7/8) 3
5 ...
4 8sin k(7/8)3 143(( 1)k cos k(7/8)3)
... 5 322 8
.
7
k
73 9
k2
ut (x,0) 5 6k( a1k sin0 7 b1k cos0)sin kx 5
k 51
5 6kb1k sin kx 5 (x) 5 0.
k 51
Следовательно, b1k 1 0, k = 1, 2, 3, ...
Окончательный ответ имеет вид:
6 256sin 7k5
9
8
u(x, t) 4 9
2 k2
7
5
k 41 9
3
1
2
64 (81)k 8 cos 7k5 7
8
cos6kt sin kx. o
5k
4.2. Решить начально%краевую задачу о колебаниях
ограниченной струны с концами, закрепленными в точ%
ках x = 0 и x = l, если c = 6, l = p, h = 2, и на рис. 12б ука%
заны:
а) начальные отклонения точек струны, начальные
скорости всех точек равны нулю;
б) начальные скорости точек струны, при этом в на%
чальный момент времени струна находилась в положении
равновесия.
60
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
4.3–4.10. Решить начальнокраевую задачу для колеба
ний ограниченной струны с концами x = 0 и x = l, если c =
= 2, l = p, h = 2 и на рис.12в–12к, соответственно, указаны:
а) начальные отклонения точек струны, причем на
чальные скорости равны нулю, а концы закреплены;
б) начальные скорости точек струны, причем струна при
t = 0 находилась в равновесии, а концы ее закреплены;
в) начальные отклонения точек струны, причем на
чальные скорости равны нулю, а концы свободны;
г) начальные скорости точек струны, причем струна
при t = 0 находилась в равновесии, а концы ее свободны;
д) начальные отклонения точек струны, причем на
чальные скорости равны нулю, конец x = 0 закреплен, а
x = l свободен;
е) начальные отклонения точек струны, причем на
чальные скорости равны нулю, конецx = 0 свободен, а x = l
закреплен.
4.11. Однородная струна с закрепленными концами
имеет в начальный момент форму квадратичной парабо
лы: u|t = 0 = A((x – l/2)2 – (l/2)2). Определить смещение то
чек струны от прямолинейного положения равновесия,
предполагая, что начальные скорости отсутствуют.
4.12. Однородная струна, закрепленная на концах, на
ходится в прямолинейном положении равновесия. В мо
мент времени t = 0 она получает в точкеx0 удар от молоточ
ка, который сообщает этой точке скорость v0. Описать сво
бодные колебания струны. Молоточек считать плоским,
шириной p/h:
5v , | x 2 x0 |3 4 /(2h);
ut |t 10 1 6 0
80, | x 2 x0 |7 4 /(2h).
4.13. Однородная струна, закрепленная на концах, на
ходится в прямолинейном положении равновесия. В мо
мент времени t = 0 она получает в точке x0 удар от моло
точка, который сообщает этой точке скорость v0. Описать
свободные колебания струны. Молоточек считать выпук
лым, шириной p/h:
5v cos h(x 2 x0 ), | x 2 x0 |3 4 /(2h);
ut |t 10 1 6 0
80, | x 2 x0 |7 4 /(2h).
4. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
61
4.3. НАЧАЛЬНОКРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ
И ЗАДАЧИ С НЕОДНОРОДНЫМИ
ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
4.14. На струну длины l, закрепленную на концах, дей%
ствует внешняя возмущающая сила с линейной плотно%
стью rл f (x, t). Найти закон колебаний струны, если на%
чальные отклонения и скорости равны нулю. Рассмотреть
случай гармонического воздействия.
n Р е ш е н и е. Согласно условию, имеем следующую
НКЗ:
4utt 1 c2uxx 2 f (x, t); x 3 [0, l]; t 1 0;
5
6u |x 10 1 u |x 1l 1 0;
5u | 1 u | 1 0.
t t10
7 t 10
Будем искать решение данной задачи в виде ряда
1
u(x, t) 2 3 Xk (x)Tk (t),
k 21
где Xk(x) — набор собственных функций для задачи о сво%
бодных колебаниях струны с закрепленными концами. Он
найден в задаче 4.1а:
Xk = Bksin(kpx/l),
при lk = (pk/l)2, Bk = const, k = 1, 2, 3, ...
Постоянные множители можно отнести к функциям Tk(t)
и тогда считать Bk º 1.
Подставим ряд в неоднородное волновое уравнение:
3
Tk55(t)Xk (x) 6 c2Tk (t)Xk55(x) 4 f (x, t)
k 41
или
3
k 41
7
Tk55(t)
1 2
2
k9c T (t) 8 sin k9x 4 f (x, t).
k
l
l
Разложим функцию f(x, t) в ряд Фурье по синусам:
l
1
k34
f (x, t) 2 5 fk (t)sin k3x , fk (t) 2 2 6 f (4,t)sin
d4,
l
l
l
k 21
0
62
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
получим равенство двух рядов Фурье:
3
k 41
5
1 2
3
6
Tk88(t) 9 k7c Tk (t) sin k7x 4 fk (t)sin k7x .
l
l
l
k 41
2
В силу единственности разложения функции в ряд
Фурье коэффициенты при одинаковых синусах в этом ра,
венстве совпадают. Нулевые НУ будут выполняться толь,
ко тогда, когда все uk(x, 0) и u¢k(x, 0) равны нулю, следова,
тельно, все Tk(0) = T¢k(0) = 0. Для определения Tk(t) полу,
чаем задачи Коши для неоднородных дифференциальных
уравнений:
5Tk11(t) 2 (k3c / l)2 Tk (t) 4 fk (t),
(83)
6
7Tk (0) 4 Tk1(0) 4 0.
Решение каждого из этих уравнений методом вариации
произвольных множителей Лагранжа приводит к следую,
щему ответу:
t
l
k12
(84)
Tk (t) 3 2 6 d46 f (2, 4)sin k1c (t 5 4)sin
d2.
k1c
l
l
0
0
Таким образом, закон колебаний струны имеет вид:
1
u(x, t) 2 4 Tk (t)sin(k3 / l)x,
(85)
k 21
где Tk(t) определяются по формуле (84).
Рассмотрим частный случай, когда возбуждающая сила
гармонична, то есть f(x, t) = f(x)sinwt. Для удобства записи
введем обозначение: wk = kpc/l, wk — собственные частоты
струны. Система уравнений (83) принимает вид
l
5Tk11(t) 2 32kTk (t) 4 fk sin 3t;
где fk 4 2 9 f (x)sin k6x dx.
7
l
l
8Tk (0) 4 Tk1(0) 4 0,
0
Общее решение неоднородного дифференциального уравне,
ния есть сумма общего решения однородного ДУ T1k (t) и ча,
стного решения неоднородного Tk*(t) (Ak, Bk, ak, bk = const):
Tk (t) 2 T1k (t) 3 Tk1 (t), где T1k (t) 2 ak cos 4k t 3 bk sin 4k t;
6 A cos 4t 3 Bk sin 4t, 4 5 4k ;
Tk1 (t) 2 7 k
8t( Ak cos 4t 3 Bk sin 4t), 4 2 4k .
4. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
63
Частное решение определяется методом подбора; его вид
различен для случаев совпадения и несовпадения частоты
возмущающего воздействия с одной из собственных час,
тот струны. Постоянные Ak и Bk находятся подстановкой
частного решения в уравнение для Tk(t):
w ¹ wk: –w2(Akcoswt + Bksinwt) + wk2(Akcoswt +
+ Bksinwt) = fksinwt Þ Ak = 0, Bk = fk/(wk2 – w2).
w = wk: –wk2t(Akcoswkt + Bksinwkt) – 2wk(Aksinwkt –
–Bkcoswkt) + wk2t(Akcoswkt + Bksinwkt) = fksinwkt Þ
Þ Ak = –fk/(2wk), Bk = 0.
Постоянные ak и bk определяются подстановкой общего
решения неоднородного уравнения в начальные условия:
w ¹ wk: T(0) = akcos0 + bksin0 +
+ fksin0/(wk2 – w2) = 0 Þ ak = 0;
T ¢ (0) = bkwkcos0 + wfkcos0/(wk2 – w2) = 0 Þ
Þ bk = –wfk/(wk(wk2 – w2)).
w = wk: T(0) = akcos0 + bksin0 – fk/(2wk)0cos0 = 0 Þ ak = 0;
T ¢ (0) = bkwkcos0 – fk/(2wk)(cos0 – wk0sin0) = 0 Þ
Þ bk = fk/(2wk2).
Следовательно,
fk
1
55 2k (22 3 22 ) (2 sin 2k t 3 2k sin 2t), 2 4 2k ;
k
Tk (t) 6 7
f
k
5
(sin 2k t 3 2k t cos 2k t), 2 6 2k .
58 222k
(86)
Колебания струны описываются рядом (85), в котором
Tk(t) имеют вид (86). К этому же результату можно прий,
ти, преобразуя (84). Нетрудно видеть, что приw = wk и fk ¹ 0
с ростом t функция Tk(t) неограниченно возрастает — име,
ет место резонанс. o
64
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
4.15. Описать продольные колебания цилиндрическо%
го стержня, один конец которого закреплен, а к другому с
момента t = 0 приложена сила F = F0sinwt, направление
действия которой совпадает с осью стержня. (Считать, что
w не совпадает с собственными частотами стержня.)
В задачах 4.16–4.19 функция u(x, t) определена при
x Î [0, l], t ³ 0.
4.16. utt = uxx + 2b, b = const, u|x = 0 = 0, u|x = l = 0,
u|t = 0 = ut|t = 0 = 0.
4.17. utt = uxx + 2b, b = const, ux|x = 0 = 0, u|x = l = 0,
u|t = 0 = ut|t = 0 = 0.
4.18. utt = uxx, u|x = 0 = 0, u|x = l = t, u|t = 0 = ut|t = 0 = 0.
n Р е ш е н и е. Метод Фурье напрямую неприменим к
задаче с неоднородными граничными условиями. В силу
линейности волнового уравнения, можно представить ис%
комую функцию как сумму двух:
u(x, t) = v(x, t) + w(x, t),
(87)
где v(x, t) — произвольная функция, удовлетворяющая
волновому уравнению и граничным условиям. Для наше%
го случая это, например, v(x, t) = xt/l; НКЗ для нее:
3vtt 1 vxx , x 2 [0,l], t 1 0;
4
5v |x 10 1 0; v |x 1l 1 t; v |t10 1 0; vt |t10 1 x / l.
Тогда функция w(x, t) = u(x, t) – v(x, t) должна удовлетво%
рять НКЗ с однородными ГУ:
5wtt 1 wxx 2 (wtt 3 vtt ) 1 (wxx 3 vxx ), x 4 [0, l];
6
8w |x 10 1 u |x 10 7v |x 10 1 0; w |x 1l 1 u |x 1l 7v |x 1l 1 0;
6w | 1 u | 7v | 1 0; w | 1 u | 7v | 1 7x / l.
t10
t10
t t 10
t t 10
t t10
9 t 10
Решение последней задачи известно (см. задачу 4.1а):
3
1
2
w(x, t) 4 7 ak cos k5 t 6 bk sin k5 t sin k5x .
l
l
l
k 41
Коэффициенты ak и bk находятся подстановкой НУ:
1
1
w |t 20 2 6 (ak cos0 4 bk sin0)sin k3x 2 6 ak sin k3x 2 0 5 ak 2 0.
l
l
k 21
k 21
65
4. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
1
1
wt |t20 2 6 k3 (4ak sin0 5 bk cos0)sin k3x 2 6 bk k3 sin k3x 2 4 x .
l
l
l
l
l
k 21
k 21
Необходимо найти коэффициенты разложения функции
y(x) = –x/l в ряд Фурье по синусам:
l
1 2
bk 4 l 2 6 5 x sin k3x 4 ... 4 22l 2 (51)k .
k3 l
l
l
k 3
0
Следовательно,
1
2l(31)k
sin k4t sin k4x .
2 42
l
l
k
k 21
w(x, t) 2 5
Окончательный ответ:
1
2l(31)k
u(x, t) 2 v(x, t) 5 w(x, t) 2 xt 5 6 2 2 sin k4t sin k4x . o
l k 21 k 4
l
l
4.19. utt = uxx, u|x = 0 = 3, ux|x = l = t2 + t, u|t = 0 = ut|t = 0 = 0.
В задачах 4.20–4.24 функция u(x, t) определена при
x Î [0, p], t ³ 0.
4.20. utt = uxx + cost, u|x = 0 = u|x = p = 0, u|t = 0 = ut|t = 0 = 0.
4.21. utt = uxx + cost, u|x = 0 = ux|x = p = 0, u|t = 0 = ut|t = 0 = 0.
4.22. utt – 3ut = uxx + 2ux – 3x – 2t, u|x = 0 = 0, u|x = p = pt,
u|t = 0 = e–xsinx, ut|t = 0 = x.
4.23. utt = uxx + x, u|x = 0 = u|x = p = 0,
u|t = 0 = sin2x, ut|t = 0 = 0.
4.24. utt – 7ut = uxx + 2ux – 2t – 7x – e–xsin3x, u|x = 0 = 0,
u|x = p = pt, u|t = 0 = 0, ut|t = 0 = x.
В задачах 4.25–4.28 функция u(x,t) определена при
x Î [0, p/2], t ³ 0.
4.25. utt + 2ut = uxx + 8u +2x(1 – 4t) + cos3x, ux|x = 0 = t,
u|x = p/2 = pt/2, u|t = 0 = 0, ut|t = 0 = x.
4.26. utt – 2ut = uxx + 4t(sinx – x), u|x = 0 = 3,
ux|x = p/2 = t2 + t, u|t = 0 = 3, ut|t = 0 = x + sinx.
4.27. utt = uxx + 10u +2sin2xcosx, u|x = 0 = 0,
ux|x = p/2 = 0, u|t = 0 = ut|t = 0 = 0.
4.28. utt + 2ut = uxx + 4x +8etcosx, ux|x = 0 = 2t,
u|x = p/2 = pt, u|t = 0 = cosx, ut|t = 0 = 2x.
66
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
4.4. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Задание 4.1. Решить методом Фурье НКЗ для однород
ного уравнения струны с однородными ГУ I рода. Решить
эти же задачи методом отражений.
1. utt = 81uxx; u(x, 0) = sinpx + sin3px;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = u(5, t) = 0.
2. utt = 64uxx; u(x, 0) = 0; ut(x, 0) = 8p(sinpx – 2sin2px);
u(0, t) = u(6, t) = 0.
3. utt = 49uxx; u(x, 0) = 3sin2px + sin4px;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = u(4, t) = 0.
4. utt = 36uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 12psin2px + 3psin7px; u(0, t) = u(5, t) = 0.
5. utt = 25uxx; u(x, 0) = 5sin3px – 2sin4px;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = u(3, t) = 0.
6. utt = 16uxx; u(x, 0) = 0; ut(x, 0) = 12psin3px – psinpx;
u(0, t) = u(4, t) = 0.
7. utt = 9uxx; u(x, 0) = 7sin4px + 2sin7px;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = u(2, t) = 0.
8. utt = 4uxx; u(x, 0) = 0; ut(x, 0) = 8psin4px – 2psin5px;
u(0, t) = u(3, t) = 0.
9. utt = uxx; u(x, 0) = 9sin5px + 3sin9px;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = u(1, t) = 0.
10. utt = uxx; u(x, 0) = 0; ut(x, 0) = 5p(sin5px + sin8px);
u(0, t) = u(3, t) = 0.
11. utt = 4uxx; u(x, 0) = 11sin6px + 12sinpx;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = u(2, t) = 0.
12. utt = 9uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 18psin6px + 12psin3px;
u(0, t) = u(1, t) = 0.
13. utt = 16uxx; u(x, 0) = 13sin5px + 17sin17px;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = u(3, t) = 0.
14. utt = 25uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 25psin5px + 13psin13px;
u(0, t) = u(2, t) = 0.
15. utt = 36uxx; u(x, 0) = 15sin4px + 7sin9px;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = u(4, t) = 0.
16. utt = 49uxx; ut(x, 0) = 28psin4px + 2psin19px;
u(x, 0) = 0; u(0, t) = u(3, t) = 0.
4. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
67
17. utt = 64uxx; u(x, 0) = 17sin3px + 29sin19px;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = u(5, t) = 0.
18. utt = 81uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 27psin3px + 13psin14px;
u(0, t) = u(4, t) = 0.
19. utt = uxx; u(x, 0) = 19sin7px – 18sin9px;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = u(2, t) = 0.
20. utt = 4uxx; u(x, 0) = 0; ut(x, 0) = 14psin7px – psinpx;
u(0, t) = u(1, t) = 0.
21. utt = 9uxx; u(x, 0) = 21sin6px – 11sin11px;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = u(3, t) = 0.
22. utt = 16uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 24psin6px – psin2px; u(0, t) = u(2, t) = 0.
23. utt = 25uxx; u(x, 0) = 23sin5px + 7sin23px;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = u(4, t) = 0.
24. utt = 36uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 30psin5px – psin30px; u(0, t) = u(3, t) = 0.
25. utt = 49uxx; u(x, 0) = 25sin4px – sin25px;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = u(5, t) = 0.
26. utt = 64uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 32psin4px – psin32px; u(0, t) = u(4, t) = 0.
27. utt = 81uxx; u(x, 0) = 27sin3px + 7sin11px;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = u(6, t) = 0.
28. utt = uxx; u(x, 0) = 0; ut(x, 0) = 3psin3px + psin13px;
u(0, t) = u(5, t) = 0.
29. utt = 4uxx; u(x, 0) = 29sin2px – 30sin30px;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = u(7, t) = 0.
30. utt = 9uxx; u(x, 0) = 0; ut(x, 0) = 6psin2px – psinpx;
u(0, t) = u(6, t) = 0.
31. utt = 16uxx; u(x, 0) = 31(sinpx – sin11px);
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = u(8, t) = 0.
32. utt = 25uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 17psin7px – 3psin3px;
u(0, t) = u(3, t) = 0.
33. utt = 36uxx; u(x, 0) = 4sin9px + 2sin21px;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = u(5, t) = 0.
34. utt = 49uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 13psin11px + 14psin8px;
u(0, t) = u(6, t) = 0.
68
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
35. utt = 64uxx; u(x, 0) = 8sin13px – 2sin9px;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = u(4, t) = 0.
36. utt = 81uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 9psin15px – psin16px; u(0, t) = u(8, t) = 0.
37. utt = uxx; u(x, 0) = 12sin8px + 8sin12px;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = u(7, t) = 0.
38. utt = 4uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 5psin10px – 3psin12px;
u(0, t) = u(2, t) = 0.
39. utt = 9uxx; u(x, 0) = 16sin12px – 8sin6px;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = u(1, t) = 0.
40. utt = 16uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = p(sin14px – sin41px); u(0, t) = u(9, t) = 0.
Задание 4.2. Решить методом Фурье НКЗ для однород
ного уравнения струны с однородными ГУ I рода. Решить
эти же задачи методом отражений.
1. utt = uxx; u(x, 0) = sin6px; ut(x, 0) = 5psin5px;
u(0, t) = u(3, t) = 0.
2. utt = 4uxx; u(x, 0) = 2sin5px; ut(x, 0) = 12psin6px;
u(0, t) = u(2, t) = 0.
3. utt = 9uxx; u(x, 0) = 3sin6px; ut(x, 0) = 18psin6px;
u(0, t) = u(1, t) = 0.
4. utt = 16uxx; u(x, 0) = 4sin5px; ut(x, 0) = 20psin5px;
u(0, t) = u(3, t) = 0.
5. utt = 25uxx; u(x, 0) = 5sin7px; ut(x, 0) = 25psin5px;
u(0, t) = u(2, t) = 0.
6. utt = 36uxx; u(x, 0) = 6sin4px; ut(x, 0) = 24psin4px;
u(0, t) = u(4, t) = 0.
7. utt = 49uxx; u(x, 0) = 7sin4px; ut(x, 0) = 28psin4px;
u(0, t) = u(3, t) = 0.
8. utt = 64uxx; u(x, 0) = 8sin3px; ut(x, 0) = 24psin3px;
u(0, t) = u(5, t) = 0.
9. utt = 81uxx; u(x, 0) = 9sin3px; ut(x, 0) = 27psin3px;
u(0, t) = u(4, t) = 0.
10. utt = 81uxx; u(x, 0) = 10sinpx; ut(x, 0) = 18psin2px;
u(0, t) = u(5, t) = 0.
11. utt = 64uxx; u(x, 0) = 11sinpx; ut(x, 0) = 8psinpx;
u(0, t) = u(6, t) = 0.
4. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
69
12. utt = 49uxx; u(x, 0) = 12sin2px; ut(x, 0) = 21psin3px;
u(0, t) = u(4, t) = 0.
13. utt = 36uxx; u(x, 0) = 13sin2px; ut(x, 0) = 12psin2px;
u(0, t) = u(5, t) = 0.
14. utt = 25uxx; u(x, 0) = 14sin5px; ut(x, 0) = 20psin4px;
u(0, t) = u(3, t) = 0.
15. utt = 16uxx; u(x, 0) = 15sin3px; ut(x, 0) = 12psin4px;
u(0, t) = u(4, t) = 0.
16. utt = 9uxx; u(x, 0) = 16sin4px; ut(x, 0) = 15psin5px;
u(0, t) = u(2, t) = 0.
17. utt = 4uxx; u(x, 0) = 17sin4px; ut(x, 0) = 8psin4px;
u(0, t) = u(3, t) = 0.
18. utt = uxx; u(x, 0) = 18sin5px; ut(x, 0) = 6psin6px;
u(0, t) = u(1, t) = 0.
19. utt = uxx; u(x, 0) = 19sin7px; ut(x, 0) = 27psin3px;
u(0, t) = u(2, t) = 0.
20. utt = 4uxx; u(x, 0) = 20sin9px; ut(x, 0) = 14psin7px;
u(0, t) = u(1, t) = 0.
21. utt = 9uxx; u(x, 0) = 21sin6px; ut(x, 0) = 18psin6px;
u(0, t) = u(3, t) = 0.
22. utt = 16uxx; u(x, 0) = 22sin6px; ut(x, 0) = 24psin6px;
u(0, t) = u(2, t) = 0.
23. utt = 25uxx; u(x, 0) = 23sin5px; ut(x, 0) = 25psin5px;
u(0, t) = u(4, t) = 0.
24. utt = 36uxx; u(x, 0) = 24sin5px; ut(x, 0) = 30psin5px;
u(0, t) = u(3, t) = 0.
25. utt = 49uxx; u(x, 0) = 25sin4px; ut(x, 0) = 28psin4px;
u(0, t) = u(5, t) = 0.
26. utt = 64uxx; u(x, 0) = 26sin4px; ut(x, 0) = 32psin4px;
u(0, t) = u(4, t) = 0.
27. utt = 81uxx; u(x, 0) = 27sin3px; ut(x, 0) = 27psin3px;
u(0, t) = u(6, t) = 0.
28. utt = uxx; u(x, 0) = 28sin3px; ut(x, 0) = 3psin3px;
u(0, t) = u(5, t) = 0.
29. utt = 4uxx; u(x, 0) = 29sin2px; ut(x, 0) = 4psin2px;
u(0, t) = u(7, t) = 0.
30. utt = 9uxx; u(x, 0) = 30sin2px;
ut(x, 0) = 6psin2px;
u(0, t) = u(6, t) = 0.
70
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
31. utt = 16uxx; u(x, 0) = 31sinpx; ut(x, 0) = 4psinpx;
u(0, t) = u(8, t) = 0.
32. utt = 25uxx; u(x, 0) = 2sin3px; ut(x, 0) = 17psin7px;
u(0, t) = u(3, t) = 0.
33. utt = 36uxx; u(x, 0) = 4sin9px; ut(x, 0) = 15psin9px;
u(0, t) = u(5, t) = 0.
34. utt = 49uxx; u(x, 0) = 6sin11px;
ut(x, 0) = 13psin11px; u(0, t) = u(6, t) = 0.
35. utt = 64uxx; u(x, 0) = 8sin13px;
ut(x, 0) = 11psin13px; u(0, t) = u(4, t) = 0.
36. utt = 81uxx; u(x, 0) = 10sin15px;
ut(x, 0) = 9psin15px; u(0, t) = u(8, t) = 0.
37. utt = uxx; u(x, 0) = 12sin8px; ut(x, 0) = 7psin8px;
u(0, t) = u(7, t) = 0.
38. utt = 4uxx; u(x, 0) = 14sin10px; ut(x, 0) = 5psin10px;
u(0, t) = u(2, t) = 0.
39. utt = 9uxx; u(x, 0) = 16sin12px; ut(x, 0) = 3psin12px;
u(0, t) = u(1, t) = 0.
40. utt = 16uxx; u(x, 0) = 18sin14px; ut(x, 0) = psin14px;
u(0, t) = u(9, t) = 0.
Задание 4.3. Решить методом Фурье НКЗ для однород
ного уравнения струны с однородными ГУ IIрода. Решить
эти же задачи методом отражений.
1. utt = 81uxx; u(x, 0) = 3 + 2cospx; ut(x, 0) = 0;
ux(0, t) = ux(5, t) = 0.
2. utt = 64uxx; u(x, 0) = 0; ut(x, 0) = 8pcospx + p;
ux(0, t) = ux(6, t) = 0.
3. utt = 49uxx; u(x, 0) = 3cos2px; ut(x, 0) = 3p;
ux(0, t) = ux(4, t) = 0.
4. utt = 36uxx; u(x, 0) = 5; ut(x, 0) = 12pcos2px;
ux(0, t) = ux(5, t) = 0.
5. utt = 25uxx; u(x, 0) =5cos3px + 7; ut(x, 0) = 0;
ux(0, t) = ux(3, t) = 0.
6. utt = 16uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 12pcos3px + 2;
ux(0, t) = ux(4, t) = 0.
7. utt = 9uxx; u(x, 0) = 7cos4px; ut(x, 0) = 8;
ux(0, t) = ux(2, t) = 0.
4. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
8. utt = 4uxx; u(x, 0) = 1; ut(x, 0) = 8pcos4px;
ux(0, t) = ux(3, t) = 0.
9. utt = uxx; u(x, 0) = 9cos5px + 1; ut(x, 0) = 0;
ux(0, t) = ux(1, t) = 0.
10. utt = uxx; u(x, 0) = 0; ut(x, 0) = 5pcos5px + 5;
ux(0, t) = ux(3, t) = 0.
11. utt = 4uxx; u(x, 0) = 11cos6px; ut(x, 0) = 3;
ux(0, t) = ux(2, t) = 0.
12. utt = 9uxx; u(x, 0) = 9; ut(x, 0) = 18pcos6px;
ux(0, t) = ux(1, t) = 0.
13. utt = 16uxx; u(x, 0) = 13cos5px + 7;
ut(x, 0) = 0; ux(0, t) = ux(3, t) = 0.
14. utt = 25uxx; u(x, 0) = 0; ut(x, 0) = 25pcos5px + 8;
ux(0, t) = ux(2, t) = 0.
15. utt = 36uxx; u(x, 0) = 15cos4px; ut(x, 0) = 4;
ux(0, t) = ux(4, t) = 0.
16. utt = 49uxx; u(x, 0) = 6; ut(x, 0) = 28pcos4px;
ux(0, t) = ux(3, t) = 0.
17. utt = 64uxx; u(x, 0) = 17cos3px + 6; ut(x, 0) = 0;
ux(0, t) = ux(5, t) = 0.
18. utt = 81uxx; u(x, 0) = 0; ut(x, 0) = 27pcos3px + 6;
ux(0, t) = ux(4, t) = 0.
19. utt = uxx; u(x, 0) = 19cos7px; ut(x, 0) = 6;
ux(0, t) = ux(2, t) = 0.
20. utt = 4uxx; u(x, 0) = 6; ut(x, 0) = 14pcos7px;
ux(0, t) = ux(1, t) = 0.
21. utt = 9uxx; u(x, 0) = 21cos6px + 4; ut(x, 0) = 0;
ux(0, t) = ux(3, t) = 0.
22. utt = 16uxx; u(x, 0) = 0; ut(x, 0) = 24pcos6px + 4;
ux(0, t) = ux(2, t) = 0.
23. utt = 25uxx; u(x, 0) = 23cos5px; ut(x, 0) = 4;
ux(0, t) = ux(4, t) = 0.
24. utt = 36uxx; u(x, 0) = 4;
ut(x, 0) = 30pcos5px;
ux(0, t) = ux(3, t) = 0.
25. utt = 49uxx; u(x, 0) = 25cos4px + 3; ut(x, 0) = 0;
ux(0, t) = ux(5, t) = 0.
26. utt = 64uxx; u(x, 0) = 0; ut(x, 0) = 32pcos4px + 3;
ux(0, t) = ux(4, t) = 0.
71
72
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
27. utt = 81uxx; u(x, 0) = 27cos3px; ut(x, 0) = 3;
ux(0, t) = ux(6, t) = 0.
28. utt = uxx; u(x, 0) = 3; ut(x, 0) = 3pcos3px;
ux(0, t) = ux(5, t) = 0.
29. utt = 4uxx; u(x, 0) = 29cos2px + 2; ut(x, 0) = 0;
ux(0, t) = ux(7, t) = 0.
30. utt = 9uxx; u(x, 0) = 0; ut(x, 0) = 6pcos2px + 2;
ux(0, t) = ux(6, t) = 0.
31. utt = 16uxx; u(x, 0) = 2; ut(x, 0) = 4pcospx;
ux(0, t) = ux(8, t) = 0.
32. utt = 25uxx; u(x, 0) = 0; ut(x, 0) = 17pcos7px + 2;
ux(0, t) = ux(3, t) = 0.
33. utt = 36uxx; u(x, 0) = 4cos9px + 1; ut(x, 0) = 0;
ux(0, t) = ux(5, t) = 0.
34. utt = 49uxx; u(x, 0) = 0; ut(x, 0) = 13pcos11px + 1;
ux(0, t) = ux(6, t) = 0.
35. utt = 64uxx; u(x, 0) = 8cos13px; ut(x, 0) = 1;
ux(0, t) = ux(4, t) = 0.
36. utt = 81uxx; u(x, 0) = 1; ut(x, 0) = 9pcos15px;
ux(0, t) = ux(8, t) = 0.
37. utt = uxx; u(x, 0) = 12cos8px + 9; ut(x, 0) = 0;
ux(0, t) = ux(7, t) = 0.
38. utt = 4uxx; u(x, 0) = 0; ut(x, 0) = 5pcos10px + 9;
ux(0, t) = ux(2, t) = 0.
39. utt = 9uxx; u(x, 0) = 16cos12px; ut(x, 0) = 9;
ux(0, t) = ux(1, t) = 0.
40. utt = 16uxx; u(x, 0) = 18cos14px; ut(x, 0) = 9;
ux(0, t) = ux(9, t) = 0.
Задание 4.4. Решить НКЗ для однородного уравнения
струны с нулевыми смешанными ГУ методом Фурье. Ре&
шить эти же задачи методом отражений.
1. utt = 4uxx; u(x, 0) = sin9px + sin7px;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = ux(0,5; t) = 0.
2. utt = 4uxx; u(x, 0) = 2cos7px – 3cos9px;
ut(x, 0) = 0; ux(0, t) = u(0,5; t) = 0.
3. utt = 4uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 18psin9px + 14psin7px;
u(0, t) = ux(0,5; t) = 0.
4. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
73
4. utt = 4uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 14pcos7px + 18pcos9px;
ux(0, t) = u(1,5; t) = 0.
5. utt = 9uxx; u(x, 0) = 5sin5px; ut(x, 0) = 14sin7px;
u(0, t) = ux(2,5; t) = 0.
6. utt = 9uxx; u(x, 0) = 6cos3px; ut(x, 0) = 6pcos3px;
ux(0, t) = u(2,5; t) = 0.
7. utt = 9uxx; u(x, 0) = 0; ut(x, 0) = 15psin5px + psinpx;
u(0, t) = ux(3,5; t) = 0.
8. utt = 9uxx; u(x, 0) = 0; ut(x, 0) = 9pcos3px + pcospx;
ux(0, t) = u(3,5; t) = 0.
9. utt = 16uxx; u(x, 0) = 9sin9px – sinpx; ut(x, 0) = 0;
u(0, t) = ux(4,5; t) = 0.
10. utt = 16uxx; u(x, 0) = 10cos7px + cos11px;
ut(x, 0) = 0; ux(0, t) = u(4,5; t) = 0.
11. utt = 16uxx; u(x, 0) = 3sin3px; ut(x, 0) = 36sin9px;
u(0, t) = ux(0,5; t) = 0.
12. utt = 16uxx; u(x, 0) = 3cos3px; ut(x, 0) = 28pcos7px;
ux(0, t) = u(0,5; t) = 0.
13. utt = 25uxx; u(x, 0) = 13sin5px + 30sin9px;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = ux(1,5; t) = 0.
14. utt = 25uxx; u(x, 0) = 14cos3px + 29cos11px;
ut(x, 0) = 0; ux(0, t) = u(1,5; t) = 0.
15. utt = 25uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 25psin5px + 3psin3px;
u(0, t) = ux(2,5; t) = 0.
16. utt = 25uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 15pcos3px – 9pcos9px;
ux(0, t) = u(2,5; t) = 0.
17. utt = 36uxx; u(x, 0) = 17sin9px – 13sin13px;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = ux(3,5; t) = 0.
18. utt = 36uxx; u(x, 0) = 18cos7px; ut(x, 0) = 18cos19px;
ux(0, t) = u(3,5; t) = 0.
19. utt = 36uxx; u(x, 0) = 17sin17px;
ut(x, 0) = 54psin9px; u(0, t) = ux(4,5; t) = 0.
20. utt = 36uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 42pcos7px + pcospx; ux(0, t) = u(4,5; t) = 0.
21. utt = 49uxx; u(x, 0) = 21sin9px + 22sin15px;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = ux(1,5; t) = 0.
74
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
22. utt = 49uxx; u(x, 0) = 22cos7px + 23cos15px;
ut(x, 0) = 0; ux(0, t) = u(1,5; t) = 0.
23. utt = 49uxx; u(x, 0) = 11sin11px;
ut(x, 0) = 63psin9px; u(0, t) = ux(2,5; t) = 0.
24. utt = 49uxx; u(x, 0) = 13cos13px;
ut(x, 0) = 49pcos7px; ux(0, t) = u(2,5; t) = 0.
25. utt = 64uxx; u(x, 0) = 25sin5px + 11sin11px;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = ux(3,5; t) = 0.
26. utt = 64uxx; u(x, 0) = 26cos3px + 9cos9px;
ut(x, 0) = 0; ux(0, t) = u(3,5; t) = 0.
27. utt = 64uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 40psin5px + 9psin9px;
u(0, t) = ux(4,5; t) = 0.
28. utt = 64uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 24pcos3px + 5psin5px;
ux(0, t) = u(4,5; t) = 0.
29. utt = 81uxx; u(x, 0) = 29sin7px;
ut(x, 0) = 30sin5px;
u(0, t) = ux(0,5; t) = 0.
30. utt = 81uxx; u(x, 0) = 30cos5px; ut(x, 0) = 63pcos9px;
ux(0, t) = u(1,5; t) = 0.
31. utt = 81uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 9psinpx + 11psin11px;
u(0, t) = ux(2,5; t) = 0.
32. utt = 81uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 9pcospx + 11pcos11px;
ux(0, t) = u(2,5; t) = 0.
33. utt = uxx; u(x, 0) = 60sinpx + sin17px; ut(x, 0) = 0;
u(0, t) = ux(3,5; t) = 0.
34. utt = uxx; u(x, 0) = 30cospx + cos13px; ut(x, 0) = 0;
ux(0, t) = u(3,5; t) = 0.
35. utt = uxx; u(x, 0) = 11psin11px; ut(x, 0) = 63psin7px;
u(0, t) = ux(4,5; t) = 0.
36. utt = uxx; u(x, 0) = 13cos13px; ut(x, 0) = 18pcos9px;
ux(0, t) = u(4,5; t) = 0.
37. utt = 4uxx; u(x, 0) = 15sin3px + 5sin5px; ut(x, 0) = 0;
u(0, t) = ux(0,5; t) = 0.
38. utt = 4uxx; u(x, 0) = 15cos5px + 3cos3px; ut(x, 0) = 0;
ux(0, t) = u(0,5; t) = 0.
4. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
75
39. utt = 4uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 27psin3px + 5psin5px;
u(0, t) = ux(1,5; t) = 0.
40. utt = 4uxx; u(x, 0) = 0; ut(x, 0) = 45pcos5px + pcospx;
ux(0, t) = u(1,5; t) = 0.
Задание 4.5. Решить НКЗ для однородного уравнения
струны с неоднородными начальными и граничными ус'
ловиями.
1. utt = 81uxx; u(x, 0) = sin6px – 8 + 5x; ut(x, 0) = 0;
u(0, t) = –8; u(4, t) = 12.
2. utt = 81uxx; u(x, 0) = 7 – 5x; ut(x, 0) = 12psin4px;
u(0, t) = 7; u(2, t) = –3.
3. utt = 81uxx; u(x, 0) = 3sin3px – 6 + 3x; ut(x, 0) = 0;
u(0, t) = –6; u(3, t) = 3.
4. utt = 81uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 12psin4px + 5 – 3x;
u(0, t) = 5t; u(3, t) = –4t.
5. utt = 64uxx; u(x, 0) = 5sin2px – 4 + 3x; ut(x, 0) = 0;
u(0, t) = –4; u(2, t) = 2.
6. utt = 64uxx; u(x, 0) = 3 – 2x; ut(x, 0) = 12psin3px;
u(0, t) = 3; u(3, t) = –3.
7. utt = 64uxx; u(x, 0) = 7sin4px – 2 + 2x; ut(x, 0) = 0;
u(0, t) = –2; u(3, t) = 4.
8. utt = 64uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 28psin7px + 2 – 2x;
u(0, t) = 2t; u(2, t) = –2t.
9. utt = 49uxx; u(x, 0) = 9sin3px + 1 – 2x; ut(x, 0) = 0;
u(0, t) = 1; u(1, t) = –1.
10. utt = 49uxx; u(x, 0) = 3 – 3x;
ut(x, 0) = 20psin4px;
u(0, t) = 3; u(2, t) = –3.
11. utt = 49uxx; u(x, 0) = 11sin3px – 5 + 6x; ut(x, 0) = 0;
u(0, t) = –5; u(1, t) = 1.
12. utt = 49uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 10psin2px + 7 – 5x;
u(0, t) = 7t; u(2, t) = –3t.
13. utt = 36uxx; u(x, 0) = 13sin3px – 9 + 4x;
ut(x, 0) = 0; u(0, t) = –9; u(4, t) = 7.
76
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
14. utt = 36uxx; u(x, 0) = 8 – 3x; ut(x, 0) = 18psin3px;
u(0, t) = 8; u(2, t) = 2.
15. utt = 36uxx; u(x, 0) = 15sin6px – 6 + 2x; ut(x, 0) = 0;
u(0, t) = –6; u(3, t) = 0.
16. utt = 36uxx; u(x, 0) = 0; ut(x, 0) = 24psin4px + 4 + x;
u(0, t) = 4t; u(3, t) = 7t.
17. utt = 25uxx; u(x, 0) = 17sin3px – 2 – x; ut(x, 0) = 0;
u(0, t) = –2; u(3, t) = –5.
18. utt = 25uxx; u(x, 0) = 3 – 2x; ut(x, 0) = 35psin5px;
u(0, t) = 3; u(2, t) = –1.
19. utt = 25uxx; u(x, 0) = 19sin7px – 1 – 3x; ut(x, 0) = 0;
u(0, t) = –1; u(1, t) = –4.
20. utt = 25uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 28psin4px + 2 – 4x;
u(0, t) = 2t; u(1, t) = –2t.
21. utt = 16uxx; u(x, 0) = 21sin3px – 4 – 5x; ut(x, 0) = 0;
u(0, t) = –4; u(1, t) = –9.
22. utt = 16uxx; u(x, 0) = 2 – 3x; ut(x, 0) = 24psin3px;
u(0, t) = 2; u(3, t) = –7.
23. utt = 16uxx; u(x, 0) = 23sin2px – 3 + 4x; ut(x, 0) = 0;
u(0, t) = –3; u(2, t) = 5.
24. utt = 16uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 32psin4px + 4 – 5x;
u(0, t) = 4t; u(1, t) = –t.
25. utt = 9uxx; u(x, 0) = 25sin3px – 5 + 2x; ut(x, 0) = 0;
u(0, t) = –5; u(3, t) = 1.
26. utt = 9uxx; u(x, 0) = 6 – 2x; ut(x, 0) = 27psin3px;
u(0, t) = 6; u(4, t) = –2.
27. utt = 9uxx; u(x, 0) = 27sin2px – 7 + 3x; ut(x, 0) = 0;
u(0, t) = –7; u(3, t) = 2.
28. utt = 9uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 27psin3px + 8 – 3x;
u(0, t) = 8t; u(4, t) = –4t.
29. utt = 4uxx; u(x, 0) = 29sin4px – 9 + 5x; ut(x, 0) = 0;
u(0, t) = –9; u(2, t) = 1.
30. utt = 4xx; u(x, 0) = 9– 4х; ut(x, 0) = 10psin5px;
u(0, t) = 9; u(3, t) = –3.
31. utt = 4uxx; u(x, 0) = 31sin2px – 1 + 3x; ut(x, 0) = 0;
u(0, t) = –1; u(2, t) = 5.
4. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
77
32. utt = 4uxx; u(x, 0) = 3 + 5x;
ut(x, 0) = 32psin3px;
u(0, t) = 3; u(1, t) = 8.
33. utt = uxx; u(x, 0) = 33sin4px + 7 – 2x; ut(x, 0) = 0;
u(0, t) = 7; u(2, t) = 3.
34. utt = uxx; u(x, 0) = 4 – 3x;
ut(x, 0) = 34psin5px;
u(0, t) = 4; u(3, t) = –5.
35. utt = uxx; u(x, 0) = 35sin6px – 6 + 2x; ut(x, 0) = 0;
u(0, t) = –6; u(4, t) = 2.
36. utt = uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 36psin2px + 3 + 3x;
u(0, t) = 3t; u(4, t) = 15t.
37. utt = 81uxx; u(x, 0) = 37sinpx – 5 + x; ut(x, 0) = 0;
u(0, t) = –5; u(3, t) = –2.
38. utt = 81uxx; u(x, 0) = 1 + 5x;
ut(x, 0) = 38psin4px;
u(0, t) = 1; u(2, t) = 11.
39. utt = 81uxx; u(x, 0) = 39sin3px + 6 – 2x; ut(x, 0) = 0;
u(0, t) = 6; u(1, t) = 4.
40. utt = 81uxx; u(x, 0) = 0;
ut(x, 0) = 40psin5px – 5 – 2x;
u(0, t) = –5t; u(2, t) = –9t.
Задание 4.6. Решить НКЗ для данного неоднородного
уравнения с нулевыми начальными и граничными усло'
виями.
В пунктах 1–10 рассмотреть ГУ I рода:
u(x, 0) = ut(x, 0) = 0; u(0, t) = u(p, t) = 0.
1. utt = 64uxx + 16cos8tsinx.
2. utt = 81uxx + 16cos18tsin2x.
3. utt 2 1 uxx 3 8e 13t sin3x.
9
4. utt = 4uxx + 25sin20tsin5x.
5. utt = 9uxx + 16cos3tsinx.
6. utt = 16uxx + 16cos12tsin3x.
78
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
7. utt = uxx + 2e–tsinx.
8. utt 1 1 uxx 2 16sin2t sin5x.
25
9. utt = 36uxx + 16cos42tsinx.
10. utt = 49uxx + 16cos49tsinx.
В пунктах 11–20 рассмотреть ГУ II рода:
u(x, 0) = ut(x, 0) = 0; ux(0, t) = ux(p, t) = 0.
11. utt = uxx + 65e–8tcosx.
12. utt 1 1 uxx 2 3sin2t cos2x.
4
13. utt = uxx + 16cos8tcos8x.
14. utt 1 1 uxx 2 8sin3t cos3x.
9
15. utt 2 1 uxx 3 50e 17t cos4x.
16
16. utt 1 1 uxx 2 3cos2t cos5x.
25
17. utt = 4uxx + 28cos14tcos7x.
18. utt 1 1 uxx 2 8cos3t cos6x.
36
19. utt 2 1 uxx 3 37e 16t cos7x.
49
20. utt 1 1 uxx 2 15sin4t cos8x.
64
В пунктах 21–30 рассмотреть смешанные ГУ:
u(x, 0) = ut(x, 0) = 0; u(0, t) = ux(p/2, t) = 0.
21. utt = 9uxx + 36cos18tsin3x.
1 u 2 15cos4t sin9x.
22. utt 1
81 xx
23. utt = uxx + 26e–5tsinx.
24. utt = uxx + 24sin5tsin7x.
25. utt = 16uxx + 40cos20tsin5x.
26. utt 1 1 uxx 2 24cos5t sin3x.
9
27. utt 2 1 uxx 3 17e 14t sin9x.
16
4. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
28. utt 1 1 uxx 2 35sin6t sin5x.
25
29. utt = 25uxx + 40cos20tsinx.
30. utt 1 1 uxx 2 35cos6t sin3x.
36
В пунктах 31–40 рассмотреть смешанные ГУ:
u(x, 0) = ut(x, 0) = 0; ux(0, t) = u(p/2, t) = 0.
31. utt 2 1 uxx 3 10e 13t cos7x.
49
32. utt 1 1 uxx 2 48sin7t cos9x.
64
33. utt = 36uxx + 36cos18tcos3x.
34. utt 1 1 uxx 2 48cos7t cos5x.
81
35. utt = uxx + 5e–2tcosx.
36. utt 1 1 uxx 2 63sin8t cos5x.
4
37. utt = 49uxx + 28cos14tcos7x.
38. utt 1 1 uxx 2 63cos8t cos3x.
9
39. utt 2 1 uxx 3 2e 1t cos x.
16
40. utt 1 1 uxx 2 80sin9t cos9x.
25
79
5. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ
ПЕРЕМЕННЫМИ
5.1. КЛАССИФИКАЦИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Дифференциальные уравнения второго порядка с двумя
независимыми переменными, линейные относительно
старших производных, имеют вид
a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy = F(x, y, u, ux, uy),
(88)
где u = u(x, y), |a| + |b| + |c| ¹ 0. Свойства решений таких урав
нений определяются тем, к какому типу они относятся:
гиперболическому, эллиптическому или параболическому.
Для исследования решений уравнения необходимо приво
дить к наиболее простой форме, называемой канонической.
Уравнению (88) ставится в соответствие следующее харак
теристическое уравнение:
a(x, y)(dy)2 – 2b(x, y)dydx + c(x, y)(dx)2 = 0.
(89)
Оно эквивалентно двум уравнениям:
ady 1 (b 2 b2 3 ac )dx.
(90)
В области, где подкоренное выражение положительно
(b2 – ac > 0), уравнение (88) принадлежит к гиперболиче
скому типу. Интегрированием (90) могут быть получены
два общих интеграла (в зависимости от знака перед кор
нем): j(x, y) = const и y(x, y) = const. Заменой переменных
x = j(x, y), h = y(x, y) уравнение (88) в этой области при
водится к каноническому виду:
uxh = F(x, h, u, ux, uh).
(91)
5. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
81
Это вторая каноническая форма для уравнения гипер*
болического вида. Заменой переменных a = (x + h)/2,
b = (x – h)/2 уравнение (91) можно привести к первой ка*
нонической форме:
uaa – ubb = F(a, b, u, ua, ub).
(92)
В области, где подкоренное выражение отрицательно
(b2 – ac < 0), уравнение (88) принадлежит к эллиптическо*
му типу. После интегрирования (90) возникают два ком*
плексно сопряженных общих интеграла:
j(x, y) ± iy(x, y) = const.
В качестве новых переменных берутся, соответственно,
действительная и мнимая части: x = j(x, y), h = y(x, y).
Тогда уравнение (88) в этой области приводится к канони*
ческому виду:
uxx + uhh = F(x, h, u, ux, uh).
(93)
В области, где подкоренное выражение равно нулю
(b2 – ac = 0), уравнение (88) принадлежит к параболиче*
скому типу. После интегрирования (90) будет получен все*
го один общий интеграл: j(x, y) = const; его берут за одну
новую переменную, например, x = j(x, y). За вторую пе*
ременную h берут любую достаточно гладкую функцию
y(x, y), которая вместе с x дает однозначное определение
новых переменных через старые и наоборот. При такой
замене переменных x = j(x, y), h = y(x, y) уравнение (88)
в этой области приводится к каноническому виду:
uhh = F(x, h, u, ux, uh).
(94)
Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) вто*
рого порядка с постоянными коэффициентами, приведен*
ные к каноническому виду, можно дополнительно упро*
стить. Представив функцию u(x, y) в виде произведения
u(x, y) = elx + myv(x, y), можно найти такие l и m, что для
v(x, y) возникнет ЛДУ второго порядка, лишенное первых
производных vx и vy в случае эллиптичности или гипербо*
личности уравнения и лишенное члена v и одной из пер*
вых производных (vx или vy) в случае его параболичности.
82
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
5.2. УРАВНЕНИЯ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Привести уравнения 5.1–5.20 к каноническому виду и
проделать дальнейшие упрощения.
5.1. uxx – 2uxy + uyy + 2ux + 6uy = 0.
n Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение для дан*
ного ЛДУ:
(dy)2 + 2dxdy + (dx)2 = 0, так как a = 1, b = –1, c = 1;
его решение имеет вид: dy 1 (21 3 1 2 1)dx.
Подкоренное выражение равно нулю для любых пере*
менных x и y, значит, данное уравнение принадлежит к
параболическому типу во всей области своего определе*
ния (при любых вещественных x и y). Проинтегрируем
последнее выражение:
dy 1 2dx 3 5 dy 1 2 5 dx 3 y 1 2x 4 const 3 x 4 y 1 const.
В качестве одной новой переменной возьмем общий ин*
теграл, а вторую, для удобства, возьмем равной одной из
старых:
x = j(x, y) = x + y, h = y.
Подобный выбор позволяет осуществлять взаимноодно*
значный переход от старых переменных к новым и наобо*
рот. Найдем все частные производные, входящие в исход*
ное уравнение, в новых переменных:
xx = xy = hy = 1, hx = hxx = hxy = xxx = xxy = xyy = 0;
ux = uxxx + uhhx = ux, uy = uxxy + uhhy = ux + uh;
uxx 3 u11 12x 4 u1 1xx 4 2u12 1x 2x 4 u2 2xx 4 u22 22x 3 u11 .
uyy 3 u11 12y 4 u1 1yy 4 2u12 1y 2y 4 u2 2yy 4 u22 22y 3 u11 4 2u12 4 u22 .
uxy 3 u11 1x 1y 4 u1 1xy 4 u12 1x 2y 4 u21 2x 1y 4 u2 2xy 4 u22 2x 2y 3
3 u11 4 u12 .
Подставим все найденные выражения для частных произ*
водных в исходное уравнение:
uxx – 2(uxx + uxh) + uxx +2uxh + uhh + 2ux + 6(ux + uh) = 0.
5. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
83
Приведя подобные члены, получим:
uhh = –8ux – 6uh,
что соответствует канонической форме параболического
уравнения.
Для уравнений с постоянными коэффициентами воз2
можны дальнейшие упрощения: введем новую функцию
u(x, h) = elx + mhv(x, h) и подберем параметры l и m так, что
каноническая форма параболического уравнения не будет
содержать функцию v и первую производную vh. Для эл2
липтических и гиперболических уравнений аналогично
удаляются обе первые производные.
Выпишем частные производные:
ux = lelx + mhv + elx + mhvx,
uh = melx + mhv + elx + mhvh,
uhh = m2elx + mhv + 2melx + mhvh + elx + mhvhh,
и выполним подстановку:
m2elx + mhv + 2melx + mhvh + elx + mhvhh +
+ 8(lelx + mhv + elx + mhvx) + 6(melx + mhv + elx + mhvh) = 0.
Сократив экспоненту и приведя подобные члены, полу2
чим
vhh + (2m + 6)vh + 8vx + (m2 + 8l + 6m)v = 0.
Производную vx исключить не удается, однако, можно ис2
ключить члены с vh и v:
421 2 6 3 0;
5 1 3 63, 7 3 1 (612 6 61) 3 9 .
8 2
8
8
1
2
8
7
2
6
1
3
0
9
Таким образом, окончательный ответ:
vhh = –8vx,
u(x, h) = e(9/8)x – 3hv(x, h),
x = x + y, h = y. o
84
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
5.2. uxx + 2uxy – 3uyy + 2ux + 6uy = 0.
5.3. uxx – 4uxy + 5uyy – 3ux + uy + u = 0.
5.4. uxx + 4uxy + 5uyy + ux + 2uy = 0.
5.5. uxx – 2uxy – 3uyy + uy = 0.
5.6. 3uxx + uxy + 3ux + uy – u + y = 0.
5.7. uxx – 6uxy + 10uyy + ux – 3uy = 0.
5.8. uxx – 2uxy + uyy + 2ux + 5uy + u = 0.
5.9. 4uxx + 4uxy + uyy – 2uy = 0.
5.10. 5uxx + 16uxy + 16uyy + 24ux + 32uy + 64u = 0.
5.11. uxx + 4uxy + uyy + 5ux + 7uy + u = 0.
5.12. 2uxx + 2uxy + uyy + 2ux + 2uy + u = 0.
5.13. uxx + 2uxy + uyy + 3ux – 5uy + 4u = 0.
5.14. uxx + 4uxy + uyy + 2ux + 6uy + u = 0.
5.15. uxx + 4uxy + 5uyy – 2ux – 2uy + u = 0.
5.16. 2uxy – 4uyy + ux – 2uy + u + x = 0.
5.17. uxy + uyy – 2ux – uy – 10u + 4x = 0.
5.18. uxx + uxy + 6ux – 7uy + 8u = 0.
5.19. uxx + uxy – uy – 10u + 4x = 0.
5.20. uxx – 6uxy + 9uyy – ux + 2uy = 0.
5.3. УРАВНЕНИЯ
С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Привести уравнения 5.21–5.57 к каноническому виду
в каждой из областей, где тип уравнения сохраняется.
5.21. xuxx – yuyy = 0.
n Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение для дан:
ного ЛДУ:
x(dy)2 – y(dx)2 = 0, так как a = x, b = 0, c = –y.
Его решение имеет вид: xdy 1 2 xydx.
При x, y > 0 подкоренное выражение положительно и
в этой области ЛДУ принадлежит к гиперболическому
типу. Найдем общие интегралы:
dy
dy
1 2 dx 3 5
1 2 5 dx 3 2 y 1 22 x 4 const 3
y
x
y
x
3 2( y 1 x ) 1 const.
5. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
85
Введем новые переменные:
1 2 3(x, y) 2 2( y 4 x ), 5 2 6(x, y) 2 2( y 7 x ).
Найдем все частные производные, входящие в исходное
уравнение, в новых переменных:
1x 3 1 ; 1y 3 2y 3 1 ; 2x 3 4 1 ; 1yy 3 2yy 3 4 13/2 ;
2y
x
y
x
1 ; 1 3 4 1 ; 1 3 2 3 0.
xx
xy
xy
2x3/2
2x3/2
ux 3 u1 1x 5 u2 2x , uy 3 u1 1y 5 u2 2y .
2xx 3
uxx 3 u11 12x 5 u1 1xx 5 2u12 1x 2x 5 u22xx 5 u2222x 3
2u12
u11
u1
u2
u22
4 3/2 4
5 3/2 5
.
x 2x
x
x
2x
3 u11 12y 5 u1 1yy 5 2u12 1y 2y 5 u2 2yy 5 u22 22y 3
3
uyy
3
2u12
u11
u1
u2
u22
.
4
5
4 3/2 5
y 2y3/2
y
y
2y
Подставим в исходное уравнение:
u1
2u12
u2
u22 4
3 u11
x7
5 3/2 5
6 3/2 6
5
x
x 8
2x
9 x 2x
u1
u2
u22 4
2u12
3 u11
5y 7
5 3/2 6
5 3/2 6
0.
y
y
y 8
y
y
2
2
9
После упрощения и приведения подобных членов:
u12 3 u1 (1/(8 x ) 4 1/(8 y )) 4 u2 (1/(8 x ) 3 1/(8 y )) 5 0.
Подставив 4 x 1 2 3 4, 4 y 1 2 5 4, получим каноническую
форму данного уравнения:
u12 5 0,5u1 38 1 6 1 49 6 0,5u2 38 1 5 1 49 7 0,
162 152
162 152
(95)
или
u12 4
2u1 3 1u2
5 0,
12 3 22
где 1 2 2( y 3 x ), 4 2 2( y 5 x ), x, y 6 0.
86
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
При x, y < 0 подкоренное выражение также положи"
тельно и в этой области ЛДУ принадлежит к гиперболиче"
скому типу. Общий интеграл по аналогии с первым случа"
ем имеет вид
dy
1 2 dx 3 2( 4y 2 4x ) 1 const.
4y
4x
Новые переменные:
1 2 3(x, y) 2 2( 4 y 5 4x ),
6 2 7(x, y) 2 2( 4y 4 4x ).
Находим частные производные:
1x 3 4 1 ; 1y 3 2y 3 4 1 ; 2x 3 1 ; 1xy 3 2xy 3 0;
4x
4y
4x
1
1
1
; 2xx 3
; 1xx 3 4
.
1yy 3 2yy 3 4
2(4y)3/2
2(4x)3/2
2(4x)3/2
2u12
u11
u1
u2
u22
.
4
5
5
4
uxx 3 4
3/2
3/2
x 2(4x)
x
x
2(4x)
2u12
u11
u1
u2
u22
.
4
4
4
4
uyy 3 4
y 2(4y)3/2
y
y
2(4y)3/2
Подставим их в исходное уравнение:
u1
2u
u2
u 4
3 u
x 7 5 11 5
6 12 6
5 22 8 6
3/2
3/2
x
x
x
x
x
5
5
2(
)
2(
)
9
u1
u2
u22 4
2u12
3 u11
0.
6 y7
6
6
6
6
3/2
3/2
y
y
y 8
y
y
2(
)
2(
)
5
5
9
После упрощения и приведения подобных членов:
u12 3 u1 (1/(8 3 y ) 3 1/(8 3x )) 3 u2 (1/(8 3x ) 4 1/(8 3y )) 5 0.
Подставив 4 1x 2 3 1 4, 4 1y 2 3 5 4, получим канониче"
скую форму уравнения, совпадающую с(95). Окончатель"
ный ответ:
2u1 3 1u2
5 0,
u12 4 2
1 3 22
1 5 2( 3y 4 3x ), 2 5 2( 3y 3 3x ), x, y 6 0.
87
5. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
При x > 0, y < 0 подкоренное выражение отрицатель'
но и в этой области ЛДУ принадлежит к эллиптическому
типу. Решение характеристического уравнения можно
записать в виде
xdy 1 2i 3xydx.
Тогда общие интегралы:
dy
dy
1 2i dx 3 5
1 2i 5 dx 3 42 4y 1 i2 x 1 const.
4y
x
4y
x
В качестве новых независимых переменных возьмем дей'
ствительную и мнимую части общего интеграла:
1 2 3(x, y) 2 42 4y, 5 2 6(x, y) 2 2 x .
Частные производные, входящие в исходное уравнение, в
новых переменных имеют вид:
1
;
1y 2 1 ; 1yy 2
2(3 y)3/2
3y
4x 2 1 ; 4xx 2 3 13/2 ;
2x
x
xx = xxx = xxy = hy = hyy = hxy = 0.
uxx 3
u11
u1
u22
u2
4
; uyy 3 4
5
.
x 2x3/2
y 2(4y)3/2
Подставим в исходное уравнение:
u1 4
u2
3 u11
3 u22
4
x8
5
5 y8 5
6
7 0.
x 2x3/2 9
y 2(5y)3/2 9
После упрощения и приведения подобных членов:
u1
u2
u22 3 u11 4
3
5 0.
2 x 2 4y
Каноническая форма:
u22 3 u11 4
u1 u2
4
5 0,
1 2
где 1 2 32 3y, 4 2 2 x , x 5 0, y 6 0.
(96)
88
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
При x < 0, y > 0 подкоренное выражение отрицатель$
но и в этой области ЛДУ также принадлежит к эллипти$
ческому типу. Решение характеристического уравнения
по$прежнему имеет вид
xdy 1 2i 3xydx.
Его общий интеграл:
dy
dy
1 2i dx 3 5
1 2i 5 dx 3 2 y 2 i2 4x 1 const.
y
4x
y
4x
Новые независимые переменные:
1 2 3(x, y) 2 2 y ,
4 2 5(x, y) 2 62 6x .
Выпишем частные производные, входящие в исходное
уравнение, в новых переменных:
2y 3 1 ; 2yy 3 4 13/2 ;
2y
y
1
1x 3 1 ; 1xx 3
;
2(4x)3/2
4x
2x 3 2xx 3 2xy 3 1y 3 1yy 3 1xy 3 0.
u11
u1
5
;
x 2(4x)3/2
u22
u2
3
4
.
y 2y3/2
uxx 3 4
uyy
Подставим в исходное уравнение:
u1
u2 4
3 u11
4
3 u22
x8 5
6
5 y8
5
7 0.
x 2(5x)3/2 9
y 2y3/2 9
После упрощения и приведения подобных членов:
u11 3 u22 3 u2 /(2 4x ) 4 u1 /(2 y) 5 0.
5. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
89
Каноническая форма совпадает с (96):
u22 3 u11 4
u1 u2
4
5 0,
1 2
где 1 2 2 y , 3 2 42 4x , x 5 0, y 6 0.
Если x = 0, y ¹ 0, то подкоренное выражение равно
нулю — уравнение относится на оси к параболическому
типу:
–yuyy = 0, при y ¹ 0 Þ uyy = 0.
Аналогично для x ¹ 0, y = 0:
xuxx = 0, при x ¹ 0 Þ uxx = 0.
На координатных осях уравнение параболично и имеет
вырожденные канонические формы. o
5.22. uxx – (2cosx)uxy – (3 + sin2x)uyy – yuy = 0.
5.23. uxx + 2sinxuxy – (cos2x – sin2x)uyy + cosxuy = 0.
5.24. y2uxx + 2xyuxy + 2x2uyy + yuy = 0.
5.25. (tg2x)uxx – (2ytgx)uxy + y2uyy + (tg3x)ux = 0.
5.26. uxx – yuyy +4ux + 3uy = 0.
5.27. yuxx + uyy = 0.
5.28. yuxx – xuyy = 0.
5.29. y2uxx + x2uyy = 0.
5.30. x2uxx – y2uyy = 0.
5.31. x2uxx + 2xyuxy – 3y2uyy – 2xux + 4yuy + 16x4u= 0.
5.32. (1 + x2)uxx + (1 + y2)uyy + xux + yuy = 0.
5.33. (sin2x)uxx + (2ysinx)uxy + y2uyy = 0.
5.34. x2uxx – 2xuxy + uyy = 0.
5.35. y2uxx + 2yuxy + uyy = 0.
5.36. 4y2uxx – e2xuyy – 4y2ux = 0.
5.37. (sgny)uxx + 2uxy + (sgnx)uyy = 0.
5.38. (sgny)uxx + 2uxy + uyy = 0.
5.39. uxx + 2uxy + (1 – sgny)uyy = 0.
5.40. uxx + xyuyy = 0.
5.41. yuxx + (x – y)uxy – xuyy = 0.
5.42. x2uxx + 2xyuxy – 3y2uyy – 2xux = 0.
5.43. xuxx + yuxy + u = 0.
5.44. xuxx + yuyy + 2ux + 2uy = 0.
90
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
5.45. xuxx + 2xuxy + (x – 1)uyy = 0.
5.46. x2uxx + 2xyuxy + y2uyy – 2yux + yey/x= 0.
5.47. xy2uxx – 2x2yuxy + x3uyy – y2ux = 0.
5.48. y2uxx + 2xyuxy + x2uyy = 0.
5.49. uxx 1 xuyy 2 xux 2 xu 3 0.
5.50. (sin2x)uxx – (2ysinx)uxy + y2uyy = 0.
5.51. (1 + x2)2uxx + uyy + 2x(1 + x2)ux = 0.
5.52. uxx – (1 + y2)2uyy – 2y(1 + y2)uy = 0.
5.53. uxx – 2sinxuxy – cos2xuyy – cosxuy = 0.
5.54. e2xuxx + 2ex + yuxy + e2yuyy – xu = 0.
5.55. y2uxx – x2uyy = 0.
5.56. x2uxx + y2uyy = 0.
5.57. uxx – 2xuxy = 0.
6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
В ПРОСТРАНСТВЕ
6.1. ВЫВОД ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
К волновым уравнениям приводят задачи механики сплош
ных сред — акустики, теории упругости, гидро и аэроди
намики и задачи электродинамики. Рассмотрим постанов
ку НКЗ для некоторых из этих процессов и методы их ре
шения.
Поперечные колебания мембраны , тонкой свободно
изгибающейся пленки. В состоянии равновесия мембра
на лежит в плоскости (x, y), ограничена контуром L и на
ходится под действием равномерного натяженияT. Попе
речные колебания означают, что ее точки двигаются вдоль
оси z: z = u(x, y, t). Мы рассматриваем малые колебания
и пренебрегаем изменениями натяжения T и площади по
верхности S.
1
Пусть dl1 — элемент дуги контура на поверхности мем
1
браны (рис. 15), на него действует сила натяжения Tdl1,
Рис. 15
К выводу уравнения колебаний мембраны
92
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
направленная по касательной
к поверхности мембраны
1
перпендикулярно dl1;1 единичный вектор такого направ*
1
1
ления обозначим n : Tdl1 2 T ndl1. Рассмотрим малый эле*
мент поверхности dS, второй закон Ньютона для него:
1
1
(97)
a 1 utt , adm 1 3 Fk , dm 1 2dS,
k
здесь r — поверхностная плотность мембраны. Если коле*
бания мембраны свободны, на элемент действуют только
силы натяжения, распределенные вдоль ограничивающе*
го его контура. Проекция силы натяжения на ось z равна
Tz 2 T 1z 2 T 1u ,
1n
1n
так как производные ¶x/¶n, ¶y/¶n, ¶z/¶n дают косинусы
1
углов между направлением n и координатными осями.
Участок мембраны DS в равновесии ограничен кон*
туром l в плоскости (x, y), в процессе колебаний контур
переходит в l¢. z*составляющая силы натяжения, дейст*
вующей на этот элемент со стороны остальной мембра*
ны, равна
Fz 3 4 T 2u dl1.
2n
1
l
Подынтегральное выражение зависит только от x и y, по*
этому криволинейный интеграл по контуру l¢ можно за*
менить интегралом по
1 колебаний
1 l; благодаря малости
можно считать, что n перпендикулярен dl . Для произ*
водной по направлению на плоскости имеем
1
1
1u / 1n 2 ux cos(n, x) 3 uy cos(n, y).
Преобразуем полученное выражение для Fz с помощью
формулы Грина, связывающей интеграл по замкнутому
контуру на плоскости с интегралом по ограниченной этим
контуром области (эту формулу иногда называют форму*
лой Остроградского для плоскости):
1
1
Fz 2 T 4 (ux cos(n, x) 3 uy cos(n, y))dl 2 T 44 (uxx 3 uyy )dS.
l
1S
Запишем второй закон Ньютона для участка DS:
6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
93
66 utt2dS 3 T 66 (uxx 4 uyy )dS
1S
или
1S
66 (utt 5 c2 (uxx 4 uyy ))dS 3 0,
1S
где c2 = T/r. Если интеграл по произвольной области от
непрерывной функции равен нулю, то сама эта функция
равна нулю, следовательно
utt = c2(uxx + uyy).
(98)
Справа в (98) стоит двумерный оператор Лапласа, D2 =
= ¶2/¶x2 + ¶2/¶y2, поэтому уравнение (98) можно переписать так:
utt = c2D2u.
(99)
Двумерное волновое уравнение (99) описывает свободные колебания мембраны. В полярных координатах (r, j)
оператор Лапласа выглядит следующим образом:
2
42 5 1 3 18 6 3 29 7 12 3 2 ,
6 36 36 6 3
и волновое уравнение принимает вид:
1 u 4 1 3 1 5 3u 2 6 1 3 2u .
tt
5 35 7 35 8 52 392
c2
(100)
(101)
Уравнение колебаний мембраны должно быть дополнено граничными и начальными условиями. Однородные
ГУ возникают, если край мембраны закреплен:
u|L = 0 — ГУ I рода,
(102)
или, если край мембраны может свободно двигаться вдоль
оси z; тогда
(103)
Tz L 2 0 3 1u 2 0 — ГУ II рода.
1n L
Начальные условия задают форму мембраны и скорости
ее точек в начальный момент времени.
Электромагнитные волны в изотропном пространстве.
Одним из наиболее ярких примеров волновых процессов в
природе являются электромагнитные волны. Получим для
94
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
них волновое уравнение. Система уравнений Максвелла в
дифференциальной форме для изотропной среды имеет
вид:
1
1div E 2 3 / 440 ,
5
2
(104)
2
6
7H
5rot E 2 8990 7t ,
1
1div H 2 0,
3
1
(105)
1 1
4
5E ,
2
6
77
rot
H
j
0
38
5t
1
здесь
E(x, y, z, t) — напряженность электрического поля,
1
H(x, y, z, t) — напряженность магнитного поля, e, m — ди7
электрическая и магнитные проницаемости среды,e0, m0 —
электрическая и магнитные постоянные. Предполагаем
1
среду незаряженной: r1 = 0;1вектор плотности тока j под7
чиняется закону Ома: j 1 2E, s — удельная проводимость.
Продифференцируем (105) по времени:
1
1
1
2
1 (rot H
(106)
) 2 3 1E 4 550 1 E
.
1t
1t
1t2
1
Если функция H (x, y, z, t) достаточно гладкая, порядки
дифференцирования по времени и координате можно по7
менять местами; тогда с учетом (104) получим:
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1 4E 2
3E 7 88 3 2 E .
rot 3H 5 6 3E 7 880 3 E
9
rotrot
5
6
0
3t 3t
3t
3t2
3t2
0 (107)
Пользуясь формулой векторного анализа
1
1
1
rotrot E 1 graddiv E 2 3E,
(108)
1
где D — оператор Лапласа, 1E1 — вектор с компонентами
DEx, DEy, DEz, и учитывая div E 1 0, можно привести (107)
1
1
1
к виду
12 E 4 2 1E 5 3E .
(109)
1t2 660 1t 660 770
Аналогичное уравнение нетрудно получить для напряжен7
ности магнитного поля:
95
6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
1
1
1
12 H 4 2 1H 5 3H .
1t2 660 1t 660770
1 1
В непроводящей среде, s = 0, напряженности E и H
удовлетворяют обычным волновым уравнениям:
1
1 1
1
(110)
Ett 1 c2 2E, Htt 1 c2 2H,
где c 1 1/(220 330 ) — скорость распространения электро*
магнитных волн. Оператор Лапласа в декартовых (x, y, z)
и цилиндрических (r, j, z) координатах имеет вид:
2
2
2
2
2
4 5 3 2 6 3 2 6 3 2 и 4 5 1 3 18 7 3 29 6 12 3 2 6 3 2 ;
7 37 37 7 3
3x
3y
3z
3z
(111)
в сферических координатах (r, j, q), j Î [0, 2p), q Î [0, p]:
1
2
1
2
2
3 sin 7 3 .
4 5 12 3 r 2 3 6 2 1 2 3 2 6 2 1
3r r sin 7 38
37
r 3r
r sin 7 37
(112)
6.2. ПОСТАНОВКА
НАЧАЛЬНО КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
6.1. Поставить краевую задачу о малых поперечных
колебаниях мембраны, к которой приложено нормальное
давление p на единицу площади, если в невозмущенном
состоянии мембрана является плоской, а окружающая
среда не оказывает сопротивления колебаниям мембраны.
Рассмотреть случаи:
а) мембрана жестко закреплена на границе L;
б) мембрана свободна на границе L;
в) на части L1 мембрана закреплена жестко, а на ос*
тальной части L2 — свободна.
6.2. Поставить краевую задачу о малых поперечных
колебаниях круглой однородной мембраны, закрепленной
по краю, в среде, сопротивление которой пропорциональ*
но первой степени скорости. В моментt = 0 к поверхности
мембраны приложена внешняя сила плотности f(r, j, t),
перпендикулярная плоскости невозмущенной мембраны.
Начальные отклонения и скорости отсутствуют.
96
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
6.3. Закрепленная по краю однородная прямоугольная
мембрана в момент t = 0 получает удар в окрестности внут(
ренней точки, так что: lim 4 v0 (x, y)dxdy 3 A, A = const,
120
U1
v0(x, y) — начальная скорость, Ue — e(окрестность точки
(x0, y0). Поставить задачу о свободных колебаниях этой
мембраны.
6.3. НАЧАЛЬНОКРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ КОЛЕБАНИЙ
ОГРАНИЧЕННОЙ МЕМБРАНЫ
Свободные колебания мембраны, закрепленной по кон(
туру L, описываются однородным волновым уравнени(
ем (98), ГУ I рода и произвольными НУ:
3utt 1 c2 2u, u 1 u(t, x, y), t10,
4
7u L 1 0, u |t10 1 5(x, y), ut |t10 1 6(x, y),
здесь D = ¶2/¶x2 + ¶2/¶y2 — двумерный оператор Лапласа.
Метод Фурье предлагает искать частные решения это(
го уравнения, удовлетворяющие ГУ, в виде произведения
u(x, y, t) = V(x, y)T(t).
(113)
Подставим (113) в волновое уравнение и разделим левую
и правую части на V(x, y)T(t), тогда:
T²(t)/(c2T(t)) = DV(x, y)/V(x, y),
(114)
слева стоит функция от t, справа — функция пространст(
венных переменных, равенство между ними возможно,
только если обе они равны постоянной, которую мы обо(
значим –l.
С учетом ГУ для V(x, y) получаем краевую задачу:
DV(x, y) + lV(x, y) = 0; V|L = 0.
(115)
Задача Штурма–Лиувилля состоит в определении зна(
чений параметра l, при которых краевая задача (115) име(
ет нетривиальные решения, и построении этих решений.
Значения l называются собственными значениями (с/з)
краевой задачи, соответствующие решения — ее собствен(
ными функциями (с/ф). Решить задачу Штурма–Лиувил(
6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
97
ля аналитически удается только для областей специаль
ного простого вида, например, для прямоугольника, кру
га, кольца.
Перечислим основные свойства задачи Штурма–Лиу
вилля.
1. Существует счетное множество с/з
l1 £ l2 £ ... £ li £ ...;
все они неотрицательны и неограниченно возрастают с
ростом i (li ® ¥ при i ® ¥).
2. C/ф Vi взаимно ортогональны в области, ограничен
ной контуром L.
3. Произвольная функция F(x, y), дважды непрерыв
но дифференцируемая и удовлетворяющая граничным
условиям задачи, разлагается в равномерно и абсолютно
сходящийся ряд Фурье вида (3) по с/ф Vi.
Если набор с/з li и с/ф Vi найден, функции Ti(t) опре
деляются как общие решения уравнений:
Ti²(t) + lic2Ti(t) = 0,
(116)
решения Ti(t) содержат по две произвольные постоянные.
Следующий ряд удовлетворяет уравнению и ГУ:
u(x, y, t) 1 2 Vi (x, y)Ti (t).
(117)
i
Выбором произвольных постоянных в Ti(t) можно добить
ся, чтобы он удовлетворял также НУ.
В задачах 6.4–6.12 рассматривается прямоугольная
мембрана; следует считать, что она занимает область
x Î [0, b1], y Î [0, b2].
6.4. Описать свободные поперечные колебания прямо
угольной мембраны с закрепленным краем при произволь
ных НУ.
n Р е ш е н и е. Колебания мембраны описываются НКЗ:
4utt 1 c2 2u, u 1 u(t, x, y), t 3 0,
5
7u |x 10 1 u |x 1b1 1 0, u |y 10 1 u |y 1b2 1 0, x 6 [0, b1 ], y 6 [0, b2 ], (118)
5u | 1 8(x, y), u | 1 9(x, y).
t 10
t t 10
98
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Будем искать частные решения уравнения в виде (113).
КЗ (115) для V(x, y) в случае прямоугольной мембраны
имеет вид:
2V (x, y) 3 4V (x, y) 1 0; V |x 10 1 V |x 1b1 1 V |y 10 1 V |y 1b2 1 0. (119)
Эту краевую задачу также будем решать методом Фурье,
представляя V(x, y) в виде произведения V(x, y) = X(x)Y(y).
Подставляя произведение в уравнение (119) и деля на
X(x)Y(y), получим
X 11(x) Y 11(y)
2
2 3 4 0;
X(x) Y (y)
стандартное рассуждение говорит, что все слагаемые в
этой сумме должны быть постоянными, обозначим их
через –n(1) и –n(2), тогда n(1) + n(2) = l.
Для X(x) и Y(y) получаем краевые задачи на отрезках:
X²(x) + n(1)X(x) = 0, x Î [0, b1], X(0) = X(b1) = 0;
Y²(y) + n(2)Y(y) = 0, y Î [0, b2], Y(0) = Y(b2) = 0.
С/з и с/ф таких одномерных задач Штурма–Лиувилля
были получены при решении задачи 4.1 о колебаниях струF
ны и выглядят следующим образом:
2
3n(1) 4 1 5n / b1 2 , Xn (x) 4 Bn sin(5nx / b1 ), n 4 1,2,3,...
3k(2) 4 1 5k / b2 2 , Yk (y) 4 B1 k sin(5ky / b2 ), k 4 1,2,3,...
2
Тогда собственные значения и функции задачи (119):
lnk = nn(1) + nk(2) = (pn/b1)2 + (pk/b2)2.
Vnk(x, y) =Xn(x)Yk(y) = Bnksin(pnx/b1)sin(pky/b2).
Подставляя найденные значения l = lnk в (116), нахоF
дим общее решение для T(t):
Tnk (t) 1 ank cos( 2 nk ct) 3 bnk sin( 2nk ct).
(120)
Частные решения задачи (118), удовлетворяющие волноF
вому уравнению и ГУ, имеют вид:
1ky
unk 2 Tnk Vnk 2 (ank cos 3nk ct 4 bnk sin 3nk ct)sin 1nx sin
.
b1
b2
6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
99
Составим ряд:
u2
1
1
n,k 21
n,k 21
6 unk 2 6 (ank cos
3 nk ct 4
(121)
5ky
5
nx
4 bnk sin 3nk ct)sin
sin
,
b1
b2
он удовлетворяет уравнению и ГУ; определим ank, bnk так,
чтобы удовлетворить НУ:
u |t 20 2
1
sin
7 ank sin 3bnx
1
n, k 21
ut |t 20 2
1
7
n, k 21
3ky
2 4(x, y);
b2
3ky
5nk cbnk sin 3nx sin
2 6(x, y).
b1
b2
Видно, что ank и bnk есть коэффициенты разложения функ+
ций j(x, y) и y(x, y) в двойные ряды Фурье по синусам.
Они определяются по формулам:
ank 4 4
b1b2
bnk
b1 b2
8 8 5(2, 3)sin
0 0
4
4
b1b2 c 7 nk
1n2
1k3
sin
d2d3,
b1
b2
b1 b2
(122)
1n2
1k3
8 8 6(2, 3)sin b1 sin b2 d2d3.
0 0
Ряд (121) с коэффициентами (122) дает решение по+
ставленной задачи (118). o
6.5. Найти свободные колебания прямоугольной мем+
браны с закрепленным краем, вызванные начальным от+
клонением u|t = 0 = Axy(b1 – x)(b2 – y). Начальные скорости
равны нулю.
6.6. В прямоугольной мембране часть границы x = b1,
0 £ y £b2 и y = b2, 0 £ x £b1 свободна, остальная часть закре+
плена. Найти свободные колебания мембраны, вызванные
начальным отклонением u|t = 0 =Axy. Начальные скорости
равны нулю.
6.7. Найти свободные колебания прямоугольной мем+
браны, если начальные скорости определяются как
ut|t = 0 = Axy(b1 – x)(b2 – y).
100
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Начальные отклонения равны нулю. Рассмотреть следую&
щие случаи:
а) мембрана по контуру закреплена;
б) края мембраны свободны;
в) две прилежащие стороны свободны, а две закреп&
лены;
г) две противоположные стороны контура свободны, а
две закреплены.
6.8–6.10.* Решить задачи 6.5–6.7, соответственно, при
условии, что мембрана испытывает сопротивление, про&
порциональное первой степени скорости.
6.11. На покоящуюся прямоугольную мембрану с за&
крепленным краем в момент t = 0 начинает действовать
перпендикулярная к ее поверхности сила F. Найти коле&
бания мембраны, если:
а) сила F непрерывно распределена по мембране с по&
верхностной плотностью
F(x, y, t) = F(x, y)sinwt;
б) сила F непрерывно распределена по мембране с по&
верхностной плотностью
F(x, y, t) = xsin(2py/b2)e–t;
в) сила F сосредоточена в точке ( x0, y0), 0 < x0 < b1,
0 < y0 < b2 и равна F(t) = F0sinwt, F0 = const.
6.12. Однородная квадратная мембрана, имеющая в
начальный момент времени t = 0 форму
1y
( A 2 const),
u(x, y,0) 2 A sin 1x sin
l
l
начала колебаться без начальной скорости. Найти закон
свободных колебаний мембраны, если она закреплена вдоль
своего контура.
6.4. НАЧАЛЬНОКРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ КОЛЕБАНИЙ
ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ МЕМБРАНЫ
6.13. Описать свободные поперечные колебания круглой
мембраны радиуса r0 с закрепленным краем при произволь&
ных НУ. Рассмотреть случай радиально симметричных НУ.
101
6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
n Р е ш е н и е. Колебания мембраны описываются НКЗ:
3utt 2 c2 4u, u 2 u(t, x, y), t 1 0,
5
6u |x2 1 y2 2r02 2 0, x2 1 y2 2 r02 ,
(123)
5
2
7
2
8
u
x
y
u
x
y
|
(
,
),
|
(
,
).
9 t20
t t20
Частные решения уравнения, удовлетворяющие ГУ, ищем
в виде (113): u(x, y, t) = V(x, y)T(t); краевая задача для
V(x, y)в случае круглой мембраны принимает вид
3V 1 4V 2 0, x2 1 y2 1 r02 , V |x2 1 y2 2r 2 2 0.
0
(124)
Перейдем в задаче (124) от декартовых к полярным
координатам (r, j), r Î [0, r0], j Î (–¥, +¥):
41 3 (rV ) 5 1 V 5 6V 2 0; V 2 V (r, 1);
r
11
7 r 3r
r2
7
V |r 2r0 2 0 8 ГУ НКЗ, V |r 20 9 8 ограниченность в нуле;
7V (r, 1 5 2 ) 2 V (r, 1) 8 условие периодичности.
(125)
7
Дополнительные ГУ связаны с требованием однозначно<
сти и ограниченности функции в круге при переходе к по<
лярным координатам. КЗ можно решить, применив к ней
метод разделения переменных: V(r, j) = R(r)F(j). Подстав<
ляя это выражение в уравнение, после несложных преоб<
разований получим:
r d (rR 1) 3 211 3 4r 2 5 0.
R dr
2
Сумма первого и третьего слагаемых зависит только от r,
а второе — только от j, следовательно, оба они являются
константами, которые мы обозначим n (и – n). С учетом
дополнительных условий получаем две одномерные зада<
чи Штурма–Лиувилля:
F¢¢(j) + nF(j) = 0, F(j + 2p) = F(j);
r d (rR 1(r )) 2 3r 2 R (r ) 4 5R (r ) 6 0, | R (0) | 7 8, R (r0 ) 6 0.
dr
Первая задача имеет нетривиальные решения приn = n2,
n = 0, 1, 2, ... Эти решения имеют вид
1n (2) 3 Cn cos n2 4 C1n sin n2, Cn , C1n 3 const.
102
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Тогда вторая КЗ может быть приведена к виду
2
R 33(r ) 4 1 R 3(r ) 4 18 5 6 n2 29 R (r ) 7 0,
r
r
| R (0) |
(126)
, R (r0 ) 7 0, n 7 0,1,2,...
Сделаем замену переменной 1 2 3r, тогда
dR 1 2 dR , d2 R 1 2 d2 R
dr
d3 dr 2
d32
и уравнение (126) приводится к уравнению Бесселя n/го
порядка (см. раздел 1, уравнение (13)):
d2 R (1) 1 dR (1) 2 n2 3
4
4 71 5 2 8 R (1) 6 0.
1 d1
1
d12
9
Общее решение этого уравнения дается формулой (16), в
данном случае оно имеет вид:
Rn(x) = AnJn(x) + BnNn(x);
Rn (r ) 1 An Jn ( 2r ) 3 Bn Nn ( 2r ),
An , Bn 1 const, n 1 0,1,2,...,
где Jn — функция Бесселя, а Nn — функция Неймана по/
рядка n. Функции Неймана не ограничены в нуле, поэто/
му из условия |R(0)| < ¥ следует, что все коэффициенты Bn
равны нулю. Из второго ГУ имеем
Rn (r0 ) 1 An Jn ( 2r0 ) 1 0.
Обозначая через mk(n) k/й положительный корень уравне/
ния Jn(m) = 0, получаем набор собственных значений для
КЗ (126) и одновременно для КЗ (125):
lnk = (mk(n)/r0)2, k = 1, 2, 3, ... n = 0, 1, 2, ...;
соответствующие им собственные функции КЗ (126):
Rnk(r) = Jn(mk(n)r/r0).
Каждому значению lnk при n = 1, 2, 3... соответствует
комбинация двух линейно независимых решений зада/
чи (125):
Vnk (r, 1) 2 Jn (3(n) r / r0 )( A1 n cos n1 4 B1 n sin n1), A1 n , B1 n 2 const.
k
6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
103
Значению l0k соответствует одно решение, не зависящее
от j:
V0k (r, 1) 2 A1 0 J0 (3(0) r / r0 ).
k
Функции T(t) определяются уравнением (116) и при
l = lnk имеют вид
Tnk (t) 1 ank cos 2nk ct 3 bnk sin 2 nk ct, ank , bnk 1 const.
Таким образом, получен набор функций, удовлетво+
ряющих волновому уравнению и ГУ:
unk 1 Tnk Vnk 1 (ank cos 2 nk ct 3 bnk sin 2 nk ct) 4
4 Jn (5 (n)r / r0 )( A1 n cos n6 3 B1 n sin n6).
k
Переобозначим постоянные
ank 1 ank A1 n , bnk 1 bnk A1 n , a1nk 1 ank B1 n и b1nk 1 bnk B1 n ,
тогда:
1
c3(n) t
c3(n) t 2 1 3(n) r 2
unk (t, r, 4) 5 7 ank cos k 6 bnk sin k 8 Jn 7 k 8 cos n4 6
r0
r0
9
9 r0
1
c3(n) t
c3(n) t 2 1 3(n) r 2
6 7 a1nk cos k 6 b1nk sin k 8 Jn 7 k 8 sin n4.
r0
r0
9
9 r0
Ряд, составленный из этих функций,
u(t, r, 3) 2
1
4
unk (t, r, 3),
n 20, k 21
также удовлетворяет уравнению и ГУ. Подберем постоян+
ные так, чтобы он удовлетворял начальным условиям.
Постоянные ank, bnk, a1nk , b1nk определяются из НУ:
u |t 20 2
3 5k(n) r 4
1
6
7
6
2 8(r, 6);
a
n
a
n
J
(
cos
sin
)
9
nk
nk
n
r0
n 2 0, k 21
1
(127)
(n)
3
4
5
r
2 (r, 6).
ut |t 20 2 c 5(kn) (bnk cos n6 7 b1nk sin n6)Jn 9 k
r0 n 20, k 21
r0
1
В разделе 1 обсуждалось, что тригонометрические
функции образуют полную ортогональную систему на про+
межутке [0, 2p]; введенное семейство функций Бесселя
104
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
дает полную ортогональную систему с весом r = r на проме$
жутке [0, r0]. Следовательно, Jn(mk(n)r/r0)sinnj, Jn(mk(n)r/r0)´
´cosnj образуют полную ортогональную систему с весом
r = r, и любая достаточно гладкая функция, определен$
ная в круге радиуса r0 и обращающаяся в нуль на его гра$
нице, может быть разложена в обобщенный ряд Фурье по
этой системе. Такие ряды (127) выписаны для функций
c(r, j) и y(r, j).
Чтобы определить коэффициенты, умножим ряды на
rJn(mk(n)r/r0)sinnj и rJn(mk(n)r/r0)cosnj, проинтегрируем по
кругу и учтем условия ортогональности. Получим:
2 1 r0
ank 5 6 0
bnk 5
2 4k(n) r 3
cos n8rdrd8, n, k 5 1,2,3,...
r0
7(r, 8)Jn 9
0
2 1 r0
r0
6
c4k(n) 0
0
2 4 (n) r 3
(r, 8) Jn 9 k
cos n8rdrd8, n, k 5 1,2,3,...
r0
2 1 r0
2 4k(n) r 3
7
8
r
J
(
,
)
sin n8rdrd8, n, k 5 1,2,3,...
n9
r0
a1nk 5 6 0
0
2 1 r0
r
b1nk 5 0(n) 6 c4k
0
0
2 4 ( n) r 3
(r, 8) Jn 9 k
sin n8rdrd8, n, k 5 1,2,3,...
r0
r0
2 4(0) r 3
a0k 5 16 7(r, 8) J0 9 k
rdr,
r0
0
b0k
1r Y
5 0(0)
c4k
r0
0
2 4(0) r 3
rdr,
(r, 8) J0 9 k
r0
здесь U = [0,5pr02(J¢n(mk(n)))2]–1 — значение нормировочного
интеграла для данных ГУ (см. раздел 1). Очевидно, что
a10k 1 b10k 1 0.
В случае если начальные возмущения радиально сим$
метричны, то есть c = c(r), y = y(r), все коэффициенты при
n ³ 1 обратятся в нуль. Ряд станет однократным:
u(t, r ) 2
1
3
4
c5(0)
c5k(0)t 4 3 5(0)
k t
k r
7 a0k cos r 6 b0k sin r 8 J0 7 r 8. o
0
0
0
k21 9
9
6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
105
6.14. Описать свободные поперечные колебания круг"
лой мембраны с закрепленным краем, если в начальный
момент времени всем точкам невозмущенной мембраны
сообщили одинаковую скорость v0.
6.15. Описать поперечные колебания круглой мембра"
ны с закрепленным краем, вызванные равномерно распре"
деленным постоянным давлением на единицу площади
p0 =const. Начальные отклонения и скорости отсутствуют.
6.16. Решить предыдущую задачу при условии, что
p(t) = p0sinwt. Исследовать возможность резонанса.
6.17. Описать свободные поперечные колебания круг"
лой мембраны с контуром, движущимся по законуu(t, r0) =
= Asinwt. Начальные отклонения и скорости отсутствуют.
Исследовать возможность резонанса.
6.18. Описать свободные поперечные колебания круг"
лой мембраны с закрепленным краем при радиально сим"
метричных (зависящих только от r) начальных отклоне"
ниях и скоростях, исходно полагая, что u = u(r, t).
6.19.* Круглая мембрана, закрепленная по контуру,
находилась в невозмущенном состоянии. В момент t = 0 к
мембране приложили непрерывно распределенное давле"
ние p(t, r, q) = f(r)cos(q – wt), f(r0) = 0. Найти колебания
мембраны:
а) сопротивлением среды пренебречь;
б) среда создает сопротивление, пропорциональное пер"
вой степени скорости.
6.20.* Описать свободные поперечные колебания при
произвольных НУ для мембраны в форме:
а) кругового сектора;
б) кольцевого сектора.
Все края закреплены.
6.21. Описать свободные поперечные колебания коль"
цевой мембраны с закрепленными краями при радиально
симметричных НУ.
7. РЕШЕНИЕ
НАЧАЛЬНО КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
МЕТОДОМ ФУРЬЕ
(случай одной
пространственной переменной)
7.1. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Применим метод Фурье к решению НКЗ для уравнения
теплопроводности, заданного на конечном отрезке. В гла
ве 4 этим методом решались задачи для уравнения струны,
его использование в данной главе полностью аналогично.
Рассмотрим сначала однородное уравнение теплопро
водности (53):
ut = a2uxx, u = u(x, t), x Î [0, l], t ³ 0,
с однородными ГУ I, II или III рода (75):
65(21u 3 41ux ) |x10 1 0, (22u 3 42ux ) |x1l 1 0,
7
2
2
692141 1 0, 2242 2 0, 21,2 3 41,2 8 0,
и произвольными НУ (55):
u|t = 0 = j(x).
Будем искать функцию, удовлетворяющую уравнению
и ГУ, в виде (73):u(x, t) = X(x)T(t). Подстановка (73) в (53)
дает:
X 11(x) T 1(t)
(128)
2
2 34,
X(x) a2T (t)
стандартное рассуждение показывает, что l = const. В ре
зультате, для функции X(x) возникает краевая задача (78):
X²(x) + lX(x) = 0, a1X(0) + b1X¢(0) = 0,
a2X(l) + b2X¢(l) = 0,
эта задача имеет счетный набор с/з lk и соответствующих
им c/ф Xk(x).
7. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
107
Для функций Tk(t) имеем дифференциальные уравне$
ния первого порядка:
T¢k(t) + a2lkTk(t) = 0,
(129)
следовательно,
22
Tk (t) 3 Ck e 1 a
kt
,
(130)
постоянные множители Сk пока не определены.
Функции uk(x, t) = Xk(x)Tk(t) удовлетворяют уравне$
нию (53) и однородным ГУ, им удовлетворяет также ряд
u(x, t) 3 4 Ck e 1 a
22
kt
Xk (x).
(131)
k
Потребуем, чтобы для (131) выполнялось НУ:
u |t 10 1 3 Xk (x)Tk (0) 1 3 Ck Xk (x) 1 2(x).
k
k
Последнее разложение позволяет определить Сk как коэф$
фициенты ряда Фурье функции j(x) по системе с/ф Xk(x).
Ряд (131) с такими коэффициентами удовлетворяет всем
условиям поставленной задачи.
Благодаря экспоненциальным множителям члены
ряда (131) быстро убывают с ростом k. В каждой точке,
кроме корней X1(x), можно указать момент времени t,
начиная с которого отношение суммы ряда без первого
слагаемого к этому первому слагаемому будет по модулю
меньше произвольно заданного e > 0. Это означает, что в
рассматриваемой точке наступает регулярный режим с
относительной точностью e.
Решение НКЗ для неоднородного уравнения теплопро$
водности (52)
ut = a2uxx + f(x, t), u = u(x, t), x Î [0, l], t ³ 0,
с однородными ГУ (75) и нулевым начальным условием
u|t = 0 = 0,
следует искать в виде ряда (80)
u(x, t) 1 2 Xk (x)Tk (t),
k
(132)
108
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
здесь Xk(x) — набор собственных функций задачи (78),
найденный при решении однородного уравнения тепло0
проводности с теми же ГУ. Подставка ряда в (52) дает
4Tk1Xk 2 a2 4Tk Xk11 3 f,
k
с учетом (78)
k
5 (Tk1(t) 2 a23kTk (t))Xk (x) 4 f (x, t).
k
Разложим f(x, t) в ряд Фурье по системе Xk(x):
11
2l
3
f (x, t) 4 fk (t) Xk (x), fk (t) 4 f (x, t) Xk (x)dx 5 6 Xk2 (x)dx 7 ,
6
7
k
80
9
0
и приравняем коэффициенты двух разложений:
l
T¢k(t) + a2lkTk(t) = fk(t).
(133)
Из НУ (132) следует, что Tk(0) = 0. Решение уравнения
(133) с такими данными Коши имеет вид
t
Tk (t) 4 5 e 1 a
22
k ( t 13 )
fk (3)d3.
(134)
0
Ряд (80), в котором Tk(t) определены интегралами (134),
удовлетворяет всем условиям поставленной задачи.
Метод решения НКЗ с неоднородными ГУ продемон0
стрирован в задаче 4.18. Искомую функцию следует пред0
ставить в виде суммы (87):
u(x, t) = v(x, t) + w(x, t);
здесь одно слагаемое — произвольная функция, удовле0
творяющая ГУ, а другое оказывается решением НКЗ с ну0
левыми ГУ.
7.2. НАЧАЛЬНОКРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА
В КОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ
В задачах 7.1–7.2, 7.4–7.9 рассматривается тонкий
однородный стержень плотностью r, теплопроводностью
k, удельной теплоемкостью c, постоянным поперечным
7. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
109
сечением S; коэффициент теплообмена с окружающей
средой — a.
7.1. Найти распределение температуры в стержне дли,
ны l c теплоизолированной боковой поверхностью, если
температура его концов поддерживается равной нулю, а
начальная температура задана функцией j(x). Рассмотреть
случаи, когда
а) j(x) = q0 = const;
2x, 0 1 x 1 l /2,
б) 3(x) 4 5
7l 6 x, l /2 1 x 1 l;
в) j(x) = Ax(l – x)/l2.
Установить в этих случаях, с какого момента времени
в точке x = l/2 наступит регулярный режим с относитель,
ной точностью e > 0.
7.2. Найти распределение температуры в тонком од,
нородном стержне длиной l с теплоизолированной боковой
поверхностью и теплоизолированными концами, если на,
чальное распределение температуры задано функциейj(x):
а) j(x) = q0 = const;
41 , 0 2 x 1 l /2, 10 3 const,
б) 5(x) 3 6 0
70, l /2 1 x 2 l;
21 x / l, 0 2 x 1 l /2, 10 3 const,
в) 5(x) 3 46 0
8210 (l 7 x)/ l, l /2 1 x 2 l.
7.3. Растворенное вещество с начальной концентраци,
ей C0 = const диффундирует из раствора, заключенного
между плоскостями x = 0 и x = h, в растворитель, ограни,
ченный плоскостями x = h и x = l. Описать процесс вырав,
нивания концентрации, полагая плоскости x = 0, x = l
непроницаемыми для вещества.
7.4. Найти распределение температуры в стержне дли,
ной l c теплоизолированными концами, если на его боко,
вой поверхности происходит теплообмен с окружающей
средой с нулевой температурой. Начальная температура
стержня задана функцией j(x).
n Р е ш е н и е. Уравнение теплопроводности при на,
личии свободного теплообмена на боковой поверхности
110
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
стержня имеет вид (56), в котором f1 1 0. По условию q = 0, и
распределение температуры определяется следующейНКЗ:
6ut 1 a2uxx 2 3u, a2 1 k /(c4), 3 1 5Sбок /(c4S);
7
(135)
9x 8 [0, l], t 1 0;
7u | 1 u | 1 0; u | 1 (x).
x x 10
x x 1l
t 10
Будем искать решение этой задачи в виде (73):u(x, t) =
= X(x)T(t); подстановка в уравнение и стандартное преоб>
разование дают:
XT 1 4 a2 X 11T 5 3 XT;
T 1(t) 2 3T (t) X 11(x)
4
4 56 4 const.
X (x )
a2T (t)
Для функции X(x) с учетом ГУ получаем краевую задачу:
5X 11(x) 2 3X(x) 4 0,
6 1
(136)
7X (0) 4 X 1(l) 4 0.
Подставляя краевые условия в общее решение уравнения,
находим собственные значения и собственные функции
этой задачи (см. решение 4.1):
lk = (pk/l)2, k = 0, 1, 2, ...;
X0(x) = const = A0,
Xk(x) = Akcos(kpx/l),
k = 1, 2, 3, ...
Отметим, что если в краевой задаче условия на обоих кон>
цах накладываются на производную, число l0 = 0 оказы>
вается с/з, ему соответствует с/ф, равная постоянной.
Функции Tk(t) удовлетворяют уравнениям:
T¢k(t) + (b + a2lk)Tk(t) = 0,
общие решения для них:
(137)
2
Tk (t) 5 Ck e 1(23 a 4k )t ,
(138)
с постоянными коэффициентами Ck.
Функции uk(x, t) = Xk(x)Tk(t), k = 0, 1, 2, ... удовлетво>
ряют уравнению и ГУ, им же удовлетворяет ряд
1
1
k 60
k 61
u(x, t) 6 8 uk (x,t) 6 A0 C0 e 23t 4 8 Ak Ck e 2(34 a
25
k )t
cos k7x .
l
7. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
111
Переобозначим постоянные A0C0 « a0/2, AkCk « ak и под#
ставим значения lk, тогда:
1
2 2 2
a
u(x, t) 4 0 e 23t 8 ak exp 59 2 59 3 8 7 a2 k 6 t 6 cos k7x . (139)
2
l
l
k 41
Потребуем выполнения НУ:
1
a
u |t 20 2 0 4 6 ak cos k3x 2 5(x).
2 k 21
l
Постоянные ak оказываются коэффициентами разложения
функции j(x) в ряд Фурье по косинусам на промежутке
[0, l], они задаются интегралами (9) (с заменой f на j).
Ряд (139) с такими коэффициентами дает решение исход#
ной НКЗ (135) и описывает выравнивание температуры в
стержне. o
7.5. Найти распределение температуры в стержнедли#
ны l, температуры концов которого поддерживаются рав#
ными q1 и q2, соответственно, начальная температура
задана функцией j(x), а на боковой поверхности проис#
ходит свободный теплообмен с окружающей средой тем#
пературы q0.
7.6. Найти распределение температуры в стержне дли#
ны l c теплоизолированной боковой поверхностью, если
а) левый конец стержня теплоизолирован, а правый
поддерживается при постоянной температуре q0, началь#
ная температура равна u|t = 0 = Ax/l;
б) левый конец стержня поддерживается при постоян#
ной температуре q0, а на правый падает постоянный теп#
ловой поток q, начальная температура задается функци#
ей j(x).
7.7. Найти распределение температуры в тонком стерж#
не длины l с теплоизолированной боковой поверхностью,
начальная температура которого задана функцией j(x),
если
а) на его торцах происходит свободный теплообмен со
средой нулевой температуры;
б) конец x = 0 поддерживается при нулевой темпера#
туре, а на конце x = l происходит свободный теплообмен
со средой нулевой температуры.
112
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
n Р е ш е н и е 7.7а. Распределение температуры в стерж#
не описывается третьей НКЗ:
4ut 1 a2uxx , a2 1 k /(c2), x 3 [0, l], t 1 0;
5
ux 6 hu |x 10 1 0, ux 7 hu |x 1l 1 0, h 1 8 / k; u |t10 1 9(x).
(140)
Представляя решение в виде произведения (73), полу#
чаем равенство (128). Для функции X(x) возникает крае#
вая задача:
5X 11(x) 2 3X(x) 4 0;
(141)
6 1
8X (0) 7 hX (0) 4 X 1(l) 2 hX(l) 4 0.
Легко проверить, что при l £ 0 эта задача не имеет нетри#
виальных решений. При l > 0 общее решение уравнения
имеет вид
X (x) 1 A cos 2x 3 B sin 2x.
Подстановка его в краевые условия дает
1 B 2 hA 3 0;
1 ( B cos 1l 2 A sin 1l) 4 h( A cos 1l 4 B sin 1l) 3 0,
следовательно,
A 1 ( 2 / h) B,
2
2 cos 2l 3 sin 2l 4 2 cos 2l 4 h sin 2l 1 0,
h
5
6
ctg 2l 1 1 7 2 3 h 8.
29 h
2
Последнее уравнение относительно l имеет бесконеч#
ное множество положительных корней. Если обозначить
через mk, k = 1, 2, 3, ... положительные корни уравнения
1
(142)
ctg 1 4 1 26 5 lh 37,
2 8 lh 1 9
с/з задачи (141) будут равны lk = (mk/l)2, а с/ф с точностью
до множителя:
Xk(x) = mkcos(mkx/l) + lhsin(mkx/l),
k = 1, 2, 3, ...
(143)
7. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
113
Прямым интегрированием с использованием (142) не$
трудно проверить ортогональность функций Xk(x) на [0, l]:
l
( Xk , Xn ) 1 3 Xk (x) Xn (x)dx 1 0, k 2 n,
0
и вычислить
l
( Xk , Xk ) 1 4 Xk2 (x)dx 1 l (22k 3 l2 h2 3 2lh).
2
(144)
0
Функции Tk(t) определяются из уравнений (129) и име$
ют вид (130). Ряд (131) по системе собственных функций
(143) удовлетворяет уравнению и ГУ поставленной зада$
чи. Чтобы удовлетворить НУ, определим постоянные Ck
как коэффициенты разложения функции j(x) в ряд Фу$
рье по системе Xk(x):
l
Ck
(4, Xk )
( Xk , Xk )
1 x
1 x
2 4(x) 26 1k cos k 5 lh sin k 37 dx
l
l 9
8
0
.
l(12k 5 l2 h2 5 2lh)
(145)
Окончательный ответ:
u(x, t) 2
1
4 a232 5 4
3 x
3 x5
Ck exp 8 6 2 k t 9 8 3k cos k 7 lh sin k 9,
l
l
l
k 21
(146)
где mk — положительные корни уравнения (142), коэффи$
циенты Ck определяются интегралами (145). o
7.8. Пусть имеется тонкий стержень длиной l, левый
конец которого поддерживается при постоянной темпера$
туре q1, а на правом конце и боковой поверхности проис$
ходит свободный теплообмен со средой нулевой темпера$
туры. Найти распределение температуры в стержне, если
начальная его температура равна нулю.
7.9. Найти распределение температуры в стержне с те$
плоизолированной боковой поверхностью, на правом кон$
це которого x = l поддерживается температура, равная
нулю, а на левом температура равнаu|x = 0 = At, A = const.
Начальная температура стержня равна нулю.
7.10. Найти температуру однородного стержня длиной
l с теплоизолированной боковой поверхностью, если по
114
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
стержню непрерывно распределены источники тепла плот$
ностью F(t)sin(px/l). Температура концов стержня поддер$
живается равной нулю, начальная температура задана
функцией j(x).
7.11. Найти температуру однородного стержня длиной
l с теплоизолированной боковой поверхностью, темпера$
тура концов которого поддерживается равной нулю, а на$
чальная температура задана функцией j(x), если
а) внутри стержня распределены источники тепла плот$
ностью f(x, t);
б) в точке x = x0 расположен источник тепла мощно$
стью Q.
7.12. Решить НКЗ:
а) ut = uxx + u +2sin2xsinx, ux|x = 0 = u|x = p/2 = u|t = 0 = 0;
б) ut = uxx + u – x +2sin2xcosx, u|x = 0 = 0, ux|x = p/2 = 1,
u|t = 0 = x;
в) ut = uxx + 4u + x2 – 2t – 4x2t + 2cos2x, ux|x = 0 = 0,
ux|x = p = 2pt, u|t = 0 = 0;
г) ut = uxx – 2ux + u – t + exsinx, u|x = 0 = 1 + t,
u|x = p = 1 + t, u|t = 0 = exsin2x + 1;
д) ut = uxx + u + xt(2 – t) + 2cost, ux|x = 0 = t2, ux|x = p = t2,
u|t = 0 = cos2x;
е) ut = uxx + 9u – 2 – 9x2 + 4sin2tcos3x, ux|x = 0 = 0,
ux|x = p = 2p, u|t = 0 = x2 + 2.
7.3. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Задание 7.1. Решить НКЗ для однородного уравнения
теплопроводности с однородными ГУ методом Фурье.
1. ut = uxx; u(x, 0) = 10sin3px + sin4px;
u(0, t) = u(1, t) = 0.
2. ut = 2uxx; u(x, 0) = 9cos3px + 10cos5px;
ux(0, t) = ux(2, t) = 0.
3. ut = 3uxx; u(x, 0) = 8sinpx + 11sin2px;
u(0, t) = u(3, t) = 0.
4. ut = 4uxx; u(x, 0) = 7 + 12cos4px;
ux(0, t) = ux(4, t) = 0.
7. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
115
5. ut = 5uxx; u(x, 0) = 6sin2px + 13sin5px;
u(0, t) = u(5, t) = 0.
6. ut = 6uxx; u(x, 0) = 5cos3px + 14cos4px;
ux(0, t) = ux(6, t) = 0.
7. ut = 7uxx; u(x, 0) = 4sin3px + 15sin5px;
u(0, t) = u(1, t) = 0.
8. ut = uxx; u(x, 0) = 3 + 16cos2px; ux(0, t) = ux(2, t) = 0.
9. ut = 2uxx; u(x, 0) = 2sinpx + 17sin4px;
u(0, t) = u(3, t) = 0.
10. ut = 3uxx; u(x, 0) = cos2px + 18cos5x;
ux(0, t) = ux(4, t) = 0.
11. ut = 4uxx; u(x, 0) = 2sin3px + 19sin4px;
u(0, t) = u(5, t) = 0.
12. ut = 5uxx; u(x, 0) = 3 + 20cos5px;
ux(0, t) = ux(6, t) = 0.
13. ut = 6uxx; u(x, 0) = 4sinpx + 19sin2px;
u(0, t) = u(1, t) = 0.
14. ut = 7uxx; u(x, 0) = 5cospx + 18cos4px;
ux(0, t) = ux(2, t) = 0.
15. ut = uxx; u(x, 0) = 6sin2px + 17sin5px;
u(0, t) = u(3, t) = 0.
16. ut = 2uxx; u(x, 0) = 7 + 16cos4px;
ux(0, t) = ux(4, t) = 0.
17. ut = 3uxx; u(x, 0) = 8sin3px + 15sin5px;
u(0, t) = u(5, t) = 0.
18. ut = 4uxx; u(x, 0) = 9cospx + 14cos2px;
ux(0, t) = ux(6, t) = 0.
19. ut = 5uxx; u(x, 0) = 10sinpx + 13sin4px;
u(0, t) = u(1, t) = 0.
20. ut = 6uxx; u(x, 0) = 11 + 12cos5px;
ux(0, t) = ux(2, t) = 0.
21. ut = 7uxx; u(x, 0) = 12sin3px + 11sin4px;
u(0, t) = u(3, t) = 0.
22. ut = uxx; u(x, 0) =13cos3px + 10cos5px;
ux(0, t) = ux(4, t) = 0.
23. ut = 2uxx; u(x, 0) = 14sinpx + 9sin2px;
u(0, t) = u(5, t) = 0.
24. ut = 3uxx; u(x, 0) = 15 + 8cos4px;
ux(0, t) = ux(6, t) = 0.
116
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
25. ut = 4uxx; u(x, 0) = 16sin2px + 7sin5px;
u(0, t) = u(1, t) = 0.
26. ut = 5uxx; u(x, 0) = 17cos3px + 6cos4px;
ux(0, t) = ux(2, t) = 0.
27. ut = 6uxx; u(x, 0) = 18sin3px + 5sin5px;
u(0, t) = u(3, t) = 0.
28. ut = 7uxx; u(x, 0) = 19 + 4cos2px;
ux(0, t) = ux(4, t) = 0.
29. ut = uxx; u(x, 0) = 20sinpx + 3sin4px;
u(0, t) = u(5, t) = 0.
30. ut = 2uxx; u(x, 0) = 19cos2px + 2cos5px;
ux(0, t) = ux(6, t) = 0.
31. ut = 3uxx; u(x, 0) = 18sin3px + sin4px;
u(0, t) = u(1, t) = 0.
32. ut = 4uxx; u(x, 0) = 17 + 2cos5px;
ux(0, t) = ux(2, t) = 0.
33. ut = 5uxx; u(x, 0) = 16sinpx + 3sin2px;
u(0, t) = u(3, t) = 0.
34. ut = 6uxx; u(x, 0) = 15cospx + 4cos4px;
ux(0, t) = ux(4, t) = 0.
35. ut = 7uxx; u(x, 0) = 14sin2px + 5sin5px;
u(0, t) = u(5, t) = 0.
36. ut = uxx; u(x, 0) = 13 + 6cos4px;
ux(0, t) = ux(6, t) = 0.
37. ut = 2uxx; u(x, 0) = 12sin3px + 7sin5px;
u(0, t) = u(1, t) = 0.
38. ut = 3uxx; u(x, 0) = 11cospx + 8cos2px;
ux(0, t) = ux(2, t) = 0.
39. ut = 4uxx; u(x, 0) = 10sinpx + 9sin4px;
u(0, t) = u(3, t) = 0.
40. ut = 5uxx; u(x, 0) = 1 + 10cos5px;
ux(0, t) = ux(4, t) = 0.
Задание 7.2. Решить НКЗ для однородного уравнения
теплопроводности с однородными смешанными ГУ мето'
дом Фурье.
1. ut = 2uxx; u(x, 0) = sinpx + sin5px;
u(0, t) = ux(5,5; t) = 0.
2. ut = 3uxx; u(x, 0) = cos3px + cos7px;
7. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ux(0, t) = u(4,5; t) = 0.
3. ut = 4uxx; u(x, 0) = sin3px + sin5px;
u(0, t) = ux(3,5; t) = 0.
4. ut = 5uxx; u(x, 0) = cos7px + cos9px;
ux(0, t) = u(2,5; t) = 0.
5. ut = 2uxx; u(x, 0) = sin9px + sin11px;
u(0, t) = ux(1,5; t) = 0.
6. ut = 3uxx; u(x, 0) = cospx + cos11px;
ux(0, t) = u(0,5; t) = 0.
7. ut = 4uxx; u(x, 0) = sin5px + sin9px;
u(0, t) = ux(5,5; t) = 0.
8. ut = 5uxx; u(x, 0) = cospx + cos5px;
ux(0, t) = u(4,5; t) = 0.
9. ut = 2uxx; u(x, 0) = sin3px + sin7px;
u(0, t) = ux(3,5; t) = 0.
10. ut = 3uxx; u(x, 0) = cos3px + cos5px;
ux(0, t) = u(2,5; t) = 0.
11. ut = 4uxx; u(x, 0) = sin7px + sin9px;
u(0, t) = ux(1,5; t) = 0.
12. ut = 5uxx; u(x, 0) = cos9px + cos11px;
ux(0, t) = u(0,5; t) = 0.
13. ut = 2uxx; u(x, 0) = sinpx + sin11px;
u(0, t) = ux(5,5; t) = 0.
14. ut = 3uxx; u(x, 0) = cos5px + cos9px;
ux(0, t) = u(4,5; t) = 0.
15. ut = 4uxx; u(x, 0) = sinpx + sin5px;
u(0, t) = ux(3,5; t) = 0.
16. ut = 5uxx; u(x, 0) = cos3px + cos7px;
ux(0, t) = u(2,5; t) = 0.
17. ut = 2uxx; u(x, 0) = sin3px + sin5px;
u(0, t) = ux(1,5; t) = 0.
18. ut = 3uxx; u(x, 0) = cos7px + cos9px;
ux(0, t) = u(0,5; t) = 0.
19. ut = 4uxx; u(x, 0) = sin9px + sin11px;
u(0, t) = ux(5,5; t) = 0.
20. ut = 5uxx; u(x, 0) = cospx + cos11px;
ux(0, t) = u(4,5; t) = 0.
21. ut = 2uxx; u(x, 0) = sin5px + sin9px;
u(0, t) = ux(3,5; t) = 0.
117
118
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
22. ut = 3uxx; u(x, 0) = cospx + cos5px;
ux(0, t) = u(2,5; t) = 0.
23. ut = 4uxx; u(x, 0) = sin3px + sin7px;
u(0, t) = ux(1,5; t) = 0.
24. ut = 5uxx; u(x, 0) = cos3px + cos5px;
ux(0, t) = u(0,5; t) = 0.
25. ut = 2uxx; u(x, 0) = sin7px + sin9px;
u(0, t) = ux(5,5; t) = 0.
26. ut = 3uxx; u(x, 0) = cos9px + cos11px;
ux(0, t) = u(4,5; t) = 0.
27. ut = 4uxx; u(x, 0) = sinpx + sin11px;
u(0, t) = ux(3,5; t) = 0.
28. ut = 5uxx; u(x, 0) = cos5px + cos9px;
ux(0, t) = u(2,5; t) = 0.
29. ut = 2uxx; u(x, 0) = sinpx + sin5px;
u(0, t) = ux(1,5; t) = 0.
30. ut = 3uxx; u(x, 0) = cos3px + cos7px;
ux(0, t) = u(0,5; t) = 0.
31. ut = 4uxx; u(x, 0) = sin3px + sin5px;
u(0, t) = ux(5,5; t) = 0.
32. ut = 5uxx; u(x, 0) = cos7px + cos9px;
ux(0, t) = u(4,5; t) = 0.
33. ut = 2uxx; u(x, 0) = sin9px + sin11px;
u(0, t) = ux(3,5; t) = 0.
34. ut = 3uxx; u(x, 0) = cospx + cos11px;
ux(0, t) = u(2,5; t) = 0.
35. ut = 4uxx; u(x, 0) = sin5px + sin9px;
u(0, t) = ux(1,5; t) = 0.
36. ut = 5uxx; u(x, 0) = cospx + cos5px;
ux(0, t) = u(0,5; t) = 0.
37. ut = 2uxx; u(x, 0) = sin3px + sin7px;
u(0, t) = ux(5,5; t) = 0.
38. ut = 3uxx; u(x, 0) = cos3px + cos5px;
ux(0, t) = u(4,5; t) = 0.
39. ut = 4uxx; u(x, 0) = sin7px + sin9px;
u(0, t) = ux(3,5; t) = 0.
40. ut = 5uxx;
u(x, 0) = cos9px + cos11px;
ux(0, t) = u(2,5; t) = 0.
7. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
119
Задание 7.3. Решить НКЗ для однородного уравнения
теплопроводности с ненулевыми начальными и гранич)
ными условиями.
1. ut = 4uxx; u(x, 0) = sin3px – 4 – 5x;
u(0, t) = –4; u(1, t) = –9.
2. ut = 4uxx; u(x, 0) = 2sin4px + 2 – 3x;
u(0, t) = 2; u(3, t) = –7.
3. ut = 4uxx; u(x, 0) = 3sin5px – 3 + 4x;
u(0, t) = –3; u(2, t) = 5.
4. ut = 4uxx; u(x, 0) = 4sin6px + 4 – 5x;
u(0, t) = 4; u(1, t) = –1.
5. ut = 5uxx; u(x, 0) = 5sin7px – 5 + 2x;
u(0, t) = –5; u(3, t) = 1.
6. ut = 5uxx; u(x, 0) = 6sin8px + 6 – 2x;
u(0, t) = 6; u(4, t) = –2.
7. ut = 5uxx; u(x, 0) = 7sin9px – 7 + 3x;
u(0, t) = –7; u(3, t) = 2.
8. ut = 5uxx; u(x, 0) = 8sin3px + 8 – 3x;
u(0, t) = 8; u(4, t) = –4.
9. ut = 6uxx; u(x, 0) = 9sin4px – 9 + 5x;
u(0, t) = –9; u(2, t) = 1.
10. ut = 6uxx; u(x, 0) = 10sin5px + 9 – 4x;
u(0, t) = 9; u(3, t) = –3.
11. ut = 6uxx; u(x, 0) = 11sin6px – 1 + 3x;
u(0, t) = –1; u(2, t) = 5.
12. ut = 6uxx; u(x, 0) = 12sin7px + 3 + 5x;
u(0, t) = 3;
u(1, t) = 8.
13. ut = 7uxx; u(x, 0) = 13sin8px + 7 – 2x;
u(0, t) = 7; u(2, t) = 3.
14. ut = 7uxx; u(x, 0) = 14sin9px + 4 – 3x;
u(0, t) = 4; u(3, t) = –5.
15. ut = 7uxx; u(x, 0) = 15sin3px – 6 + 2x;
u(0, t) = –6; u(4, t) = 2.
16. ut = 7uxx; u(x, 0) = 16sin4px + 3 + 3x;
u(0, t) = 3; u(4, t) = 15.
17. ut = 8uxx; u(x, 0) = 17sin5px – 5 + x;
u(0, t) = –5; u(3, t) = –2.
18. ut = 8uxx; u(x, 0) = 18sin6px + 1 + 5x;
u(0, t) = 1; u(2, t) = 11.
120
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
19. ut = 8uxx; u(x, 0) = 19sin7px + 6 – 2x;
u(0, t) = 6; u(1, t) = 4.
20. ut = 8uxx; u(x, 0) = 20sin8px – 5 – 2x;
u(0, t) = –5; u(2, t) = –9.
21. ut = 9uxx; u(x, 0) = sin9px – 8 + 5x;
u(0, t) = –8; u(4, t) = 12.
22. ut = 9uxx; u(x, 0) = 2sin3px + 7 – 5x;
u(0, t) = 7; u(2, t) = –3.
23. ut = 9uxx; u(x, 0) = 3sin4px – 6 + 3x;
u(0, t) = –6; u(3, t) = 3.
24. ut = 9uxx; u(x, 0) = 4sin5px + 5 – 3x;
u(0, t) = 5; u(3, t) = –4.
25. ut = 10uxx; u(x, 0) = 5sin6px – 4 + 3x;
u(0, t) = –4; u(2, t) = 2.
26. ut = 10uxx; u(x, 0) = 6sin7px + 3 – 2x;
u(0, t) = 3; u(3, t) = –3.
27. ut = 10uxx; u(x, 0) = 7sin8px – 2 + 2x;
u(0, t) = –2; u(3, t) = 4.
28. ut = 10uxx; u(x, 0) = 8sin9px + 2 – 2x;
u(0, t) = 2; u(2, t) = –2.
29. ut = uxx; u(x, 0) = 9sin3px + 1 – 2x;
u(0, t) = 1; u(1, t) = –1.
30. ut = uxx; u(x, 0) = 10sin4px + 3 – 3x;
u(0, t) = 3; u(2, t) = –3.
31. ut = uxx; u(x, 0) = 11sin5px – 5 + 6x;
u(0, t) = –5; u(1, t) = 1.
32. ut = uxx; u(x, 0) = 12sin6px + 7 – 5x;
u(0, t) = 7; u(2, t) = –3.
33. ut = 2uxx; u(x, 0) = 13sin7px – 9 + 4x;
u(0, t) = –9; u(4, t) = 7.
34. ut = 2uxx; u(x, 0) = 14sin8px + 8 – 3x;
u(0, t) = 8; u(2, t) = 2.
35. ut = 2uxx; u(x, 0) = 15sin9px – 6 + 2x;
u(0, t) = –6; u(3, t) = 0.
36. ut = 2uxx; u(x, 0) = 16sin3px + 4 + x;
u(0, t) = 4; u(3, t) = 7.
37. ut = 3uxx;
u(x, 0) = 17sin4px – 2 – x;
u(0, t) = –2; u(3, t) = –5.
7. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
121
38. ut = 3uxx; u(x, 0) = 18sin5px + 3 – 2x;
u(0, t) = 3; u(2, t) = –1.
39. ut = 3uxx; u(x, 0) = 19sin6px – 3 – 3x;
u(0, t) = –3; u(1, t) = –6.
40. ut = 3uxx; u(x, 0) = 20sin7px + 2 – 4x;
u(0, t) = 2; u(1, t) = –2.
Задание 7.4. Решить НКЗ для данного неоднородного
уравнения теплопроводности с нулевыми начальными и
граничными условиями.
В пунктах 1–10 рассмотреть смешанные ГУ:
u(x, 0) = 0; ux(0, t) = u(p/2, t) = 0.
1. ut = 4uxx + sin2tcos5x.
2. ut = 3uxx + 2cos2tcos3x.
3. ut = 2uxx + 3e–2tcosx.
4. ut = 11uxx + 4e–4tcos7x.
5. ut = 10uxx + 5sin3tcos9x.
6. ut = 9uxx + 6cos3tcos11x.
7. ut = 8uxx + 7e–100tcos5x.
8. ut = 7uxx + 8e–42tcos3x.
9. ut = 6uxx + 9sin4tcosx.
10. ut = 5uxx + 10cos4tcos7x.
В пунктах 11–20 рассмотреть смешанные ГУ:
u(x, 0) = 0; u(0, t) = ux(p/2, t) = 0.
11. ut = 4uxx + 11sin5tsin9x.
12. ut = 3uxx + 12cos5tsin5x.
13. ut = 2uxx + 13e–18tsin3x.
14. ut = 11uxx + 14e–12tsinx.
15. ut = 10uxx + 15sin6tsin7x.
16. ut = 9uxx + 16cos6tsin9x.
17. ut = 8uxx + 17e–40tsin11x.
18. ut = 7uxx + 18e–175tsin5x.
19. ut = 6uxx + 19sin7tsin3x.
20. ut = 5uxx + 20cos7tsinx.
В пунктах 21–30 рассмотреть ГУ I рода:
u(x, 0) = 0; u(0, t) = u(p, t) = 0.
21. ut = 4uxx + 23e–4tsinx.
122
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
22. ut = 3uxx + 22cos5tsin2x.
23. ut = 2uxx + 21sin6tsin3x.
24. ut = 11uxx + 24e–44tsin4x.
25. ut = 10uxx + 23e–250tsin5x.
26. ut = 9uxx + 26cos7tsin6x.
27. ut = 8uxx + 30cos8tsin7x.
28. ut = uxx + 28e–64tsin8x.
29. ut = 2uxx + 27e–81tsin9x.
30. ut = 5uxx + 30cos9tsinx.
В пунктах 31–40 рассмотреть ГУ II рода:
u(x, 0) = 0; ux(0, t) = ux(p, t) = 0.
31. ut = 4uxx + 21sin5tcos2x.
32. ut = 3uxx + 24e–27tcos3x.
33. ut = 10uxx + 23e–16tcos4x.
34. ut = 9uxx + 26cos6tcos5x.
35. ut = 8uxx + 30cos7tcos6x.
36. ut = uxx + 28e–49tcos7x.
37. ut = 2uxx + 27e–128tcos8x.
38. ut = 3uxx + 30cos8tcos9x.
39. ut = 4uxx + 22cos9tcosx.
40. ut = 5uxx + 23e–10tcos2x.
8. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ
8.1. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ
Параболические уравнения возникают при изучении про
цессов теплопроводности, диффузии, распространении
электромагнитного поля в проводящей среде.
Распространение тепла в неравномерно нагретом изо
тропном теле описывается законом Фурье: количество те
пла dQ, проходящее через площадку dS за время dt, про
порционально dSdt и производной температуры по направ
1
лению нормали n к площадке:
dQ 2 k 1u dSdt,
1n
здесь u(x, y, z, t) — температурное поле, k(x, y, z) — коэф
фициент внутренней теплопроводности. Введем вектор
grad u, тогда ¶u/¶n = (grad u)n,
dQ = k|(grad u)n|dSdt,
(147)
вектор –kgrad u следует называть вектором плотности те
плового потока.
Выделим в теле произвольный объемV, ограниченный
замкнутой поверхностью S. Полное количество тепла, про
ходящее через S за время dt, равно
dQ 1 2dt 1
33 k(grad u)n dS;
(148)
S
если нормаль в (148) предполагается внешней, то dQ —
тепло, отдаваемое объемом V. Пусть в рассматриваемом
объеме имеются источники тепла с плотностьюe(x, y, z, t),
124
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
тогда полное количество тепла, полученное объемом V,
равно
1dQ 2 dt 333 edV .
V
Это тепло приводит к изменению температуры в объеме
на du за время dt, следовательно
2dQ 3 dt 666 edV 4 666 c5 1u dVdt,
1t
V
(149)
V
здесь с(x, y, z), r(x, y, z) — удельная теплоемкость и плот0
ность вещества.
Преобразуем поверхностный интеграл (148) для dQ в
интеграл по объему V с помощью формулы Остроградского:
dQ 1 2dt 333 div(k grad u)dV .
(150)
V
Подстановка (150) в (149) дает равенство
777 1c4 3t 5 div(k grad u) 5 e 2 dV 6 0
3u
V
для произвольного объема V. Следовательно, температур0
ное поле должно удовлетворять уравнению
сrut = div(kgrad u) + e
или в координатах
1 2
(151)
1 2
c6 5u 7 5 k 5u 8 5 39 k 5u 4 8 5 k 5u 8 e.
5t 5x 5x 5y 5y
5z 5z
Для однородного тела c, r, k = const, в этом случае (151)
становится уравнением с постоянными коэффициентами:
ut = a2Du + f,
(152)
здесь a = k/(cr) — коэффициент температуропроводно0
сти, уже введенный в главе 2 для одномерного случая,
f(x, y, z, t) = e(x, y, z, t)/cr, divgrad = D — оператор Лап0
ласа (см. (111), (112)). Если в теле не происходит выделе0
ние и поглощение тепла, уравнение (152) становится од0
нородным:
ut = a2Du.
(153)
2
8. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
125
(153) и (152) — однородное и неоднородное уравнения те
плопроводности, они содержат только первую производ
ную по времени и принадлежат к параболическому типу.
Постановка ГУ для уравнения теплопроводности обсу
ждалась в главе 2. Если на поверхности тела S поддержи
вается заданная температура, ставятся ГУ I рода:
u|(x, y, z) Î S = m(x, y, z, t).
ГУ II рода возникают, если через внешнюю поверх
ность поступают заданные потоки тепла:
2u
3 4(x, y, z, t),
2n ( x, y, z) 1 S
1
здесь kn — внешний тепловой поток, n — нормаль к по
верхности S. Функции m и n в условиях заданы только на
поверхности S.
ГУ III рода часто встречаются в задачах теплопровод
ности и соответствуют свободному теплообмену между те
лом и окружающей средой с температурой q. Приравни
вая внешний тепловой поток, который подчиняется зако
ну Ньютона, и поток тепла изнутри тела, имеем
3(u 4 5) (x, y, z) 1 S 6 4k 2u
,
2n (x, y, z) 1 S
или
2u 4 h(u 5 6)
7 0, h 7 3 ,
( x, y, z) 1 S
2n
k
здесь a — коэффициент внешнего теплообмена.
НУ для уравнения теплопроводности требуется одно,
достаточно задать распределение температуры в началь
ный момент времени.
Процесс диффузии в некоторой области пространст
ва, заполненной газом с неравномерной концентрацией
или раствором с неравномерным распределением раство
ренного вещества, описывается законом Фика: число час
тиц, проходящих через площадку dS за время dt пропор
ционально dSdt и производной концентрации по направ
лению нормали к площадке:
126
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
(154)
dN 2 D 1u dSdt 2 D | (grad u)n | dSdt,
1n
здесь u(x, y, z, t) — переменная концентрация, D — коэф%
фициент диффузии, –Dgrad u — вектор плотности диффу%
зионного потока.
Закон диффузии Фика и закон теплопроводности Фу%
рье (154) и (147) имеют одинаковую математическую фор%
му. Вычислив двумя способами изменение числа частиц в
произвольном объеме V и повторив рассуждения предыду%
щего пункта, мы получим для концентрации u(x, y, z, t)
уравнения (152) и (153), в которых a2 = D, f(x, y, z, t) —
плотность источников, то есть число частиц, возникаю%
щих в единице объема в единицу времени.
Граничные и начальные условия для задачи диффу%
зии формулируются аналогично задаче теплопроводности.
Распространение электромагнитного поля в простран
стве, заполненном проводящей средой, описывается урав%
нениями 1Максвелла (104), (105), в которых током смеще%
ния 110 2E / 2t можно
пренебречь по сравнению с током
1
проводимости j . В этом случае для однородной незаряжен%
ной среды уравнения Максвелла принимают вид
1
1
1
(155)
div E 2 0; rot E 2 3440 1H ;
1t
1
1 1
1
(156)
div H 1 0; rot H 1 j 1 2E.
Возьмем rot от обеих частей второго уравнения (155) и вос%
пользуемся (108), тогда:
1
1
1
1
1
1j
2 1H 3
1
E
grad div E 4 5E 6 4770 rot 9
6 4770
6 4770 8 .
1t
1t
1t
1
Напряженность электрического поля E удовлетворя%
ет однородному уравнению теплопроводности
1
1
1E 2 1 3E
(157)
,
1t 440 5
в котором a2 = 1/(mm0s). Уравнение (157) можно было сра%
зу получить из (109), так как в проводящей среде
1
1
1E 2 220 3E / 3t
8. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
127
и первым слагаемым в левой части (109) можно пренеб$
речь.
1
Напряженность магнитного поля H также удовлетво$
ряет уравнению (157); это нетрудно получить, взяв rot от
обеих частей второго уравнения (156):
1
1
1H 2 1 3 H
(158)
.
1t 440 5
8.2. ПОСТАНОВКА
НАЧАЛЬНО КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ
8.1. Основания тонкой прямоугольной пластины со сто$
ронами l1 и l2 теплоизолированы, ее начальная температу$
ра есть функция j(x, y), x Î [0, l1], y Î [0, l2]. Поставить
задачу о распределении температуры в пластинке для слу$
чаев, когда
а) две противоположные стороны поддерживаются при
температурах q1 и q2, а на двух других происходит свобод$
ный теплообмен со средой, температура которой q0;
б) две противоположные стороны теплоизолированы,
а на двух других происходит свободный теплообмен со сре$
дой, температура которой q0;
в) две противоположные стороны поддерживаются при
температурах q1 и q2, а через две другие поступают посто$
янные тепловые потоки плотностями q1 и q2.
8.2. Рассмотреть предыдущую задачу, полагая, что на
основаниях пластинки происходит свободный теплообмен
со средой, температура которой q0.
8.3. Поставить задачу об определении температуры
прямоугольного параллелепипеда со сторонами l1, l2, l3,
если его начальная температура j(x, y, z). Рассмотреть
следующие случаи:
а) две противоположные стороны поддерживаются при
температурах q1 и q2, а на остальных происходит свобод$
ный теплообмен со средой, температура которой q0;
б) две противоположные стороны теплоизолированы,
а на остальных происходит свободный теплообмен со сре$
дой, температура которой q0;
128
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
в) две противоположные стороны поддерживаются при
температурах q1 и q2, а на остальные поступают постоян'
ные тепловые потоки плотностями q1, q2, q3, q4.
8.4. Поставить задачу о диффузии вещества в прямо'
угольном параллелепипеде с непроницаемыми стенками
со сторонами l1, l2, l3, если частицы вещества:
а) распадаются (например, являются частицами не'
устойчивого газа), причем скорость распада в каждой точ'
ке пространства пропорциональна концентрации вещест'
ва в ней;
б) размножаются, причем скорость размножения про'
порциональна концентрации частиц в данной точке про'
странства (например, частицами являются нейтроны в
ходе ядерной реакции).
Начальное распределение частиц задано функцией
j(x, y, z).
8.5. Поставить задачу об остывании неограниченной
плоской пластины, если на ее поверхности происходит
теплообмен с окружающей средой температуры q0 по за'
кону Ньютона.
Рассмотреть случай, когда изменение температуры по
толщине пластины пренебрежимо мало.
8.6. Поставить задачу об определении температуры
балки прямоугольного сечения 0£ x £ l1, 0£ y £ l2, состав'
ленной из двух однородных балок с различными физиче'
скими свойствами и с поперечными сечениями 0£ x £ x0,
0 £ y £ l2 и x0 £ x £ l1, 0 £ y £ l2. Торцы балки теплоизоли'
рованы, боковая поверхность поддерживается при темпе'
ратуре q0, а начальная температура равна j(x, y).
8.7. Поставить задачу об определении температуры
прямоугольного параллелепипеда, составленного из двух
однородных прямоугольных параллелепипедов с различ'
ными физическими свойствами: 0 £ x < x0, 0 £ y £ l2,
0 £ z £ l3 и x0 < x £ l1, 0 £ y £ l2, 0 £ z £ l3. Боковая по'
верхность поддерживается при температуре q0, а началь'
ная температура параллелепипеда равна j(x, y, z).
8.8. Поставить задачу об определении температуры бес'
конечного цилиндрического проводника радиусом a, на'
чальная температура которого совпадает с температурой
8. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
129
окружающей среды, принимаемой за нуль, который на'
гревается с момента t = 0 постоянным током, выделяющим
в единице объема проводника теплоe. На внешней поверх'
ности проводника происходит свободный теплообмен по
закону Ньютона.
8.9. Две неограниченные плоские пластинки толщина'
ми l1 и l2, температурами q1 и q2 в момент времени t = 0
вводятся в соприкосновение одна с другой. Поставить за'
дачу об определении температуры в составной пластинке,
считая, что свободные грани теплоизолированы от окру'
жающего пространства.
8.10. Поставить задачу об определении температуры
однородного шара радиуса r0, если
а) его поверхность поддерживается при постоянной
температуре q0;
б) на шар извне падает постоянный тепловой поток
плотностью q;
в) на поверхности шара осуществляется теплообмен
по закону Ньютона с окружающей средой температурой
(q0 + bt), b > 0.
Начальная температура шара задана функцией j(r).
8.11. Поставить задачу об определении температуры
шара радиуса r2, составленного из меньшего шара радиу'
сом r1 и сферической оболочки r1 £ r £ r2 с отличными от
меньшего шара свойствами, если его поверхность поддер'
живается при температуре q0.
8.12. Поставить задачу о диффузии вещества, части'
цы которого размножаются, в сферическом слоеr1 £ r £ r2,
если
а) на границах слоя поддерживается концентрация
частиц, равная нулю;
б) границы слоя непроницаемы.
Начальное распределение частиц задано функциейj(r).
8.13. Поставить задачу о диффузии вещества внутри
цилиндрической трубки a £ r £ b, начальное распределе'
ние которого задано функцией j(r), если
а) стенки трубки непроницаемы;
б) на стенках поддерживается постоянная концентра'
ция вещества q0.
130
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
8.3. НАЧАЛЬНОКРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
О РАСПРОСТРАНЕНИИ ТЕПЛА
В ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЪЕМАХ
Распространение тепла в однородном теле, ограничен"
ном поверхностью S, описывается уравнением теплопро"
водности (152) или (153), граничными условиями на по"
верхности S и начальным распределением температуры в
момент t = 0. Метод Фурье применяется к решению этой
НКЗ так же, как к решению задач для волнового уравне"
ния (см. главу 6). Продемонстрируем его на примере пер"
вой НКЗ.
Температурное поле в однородном теле без источни"
ков тепла, на поверхности которого поддерживается ну"
левая температура, удовлетворяет следующей задаче:
3ut 1 a2 2u, u 1 u(x, y, z, t), t 1 0;
4
6u |S 1 0; u |t10 1 5(x, y, z).
(159)
Частное решение уравнения, удовлетворяющее ГУ, будем
искать в виде:
u(x, y, z, t) = V(x, y, z)T(t).
(160)
Стандартная процедура разделения переменных приводит
к краевой задаче для V(x, y, z):
DV + lV = 0, V|S = 0,
(161)
и уравнению (129) для T(t).
Если удалось решить задачу Штурма–Лиувилля и по"
строить с/з lk и с/ф Vk(x, y, z) задачи (161), частные реше"
ния (160) принимают вид
22
uk (x, y, z, t) 3 Vk (x, y, z)Ck e 1 a
kt
.
Решение НКЗ (159) следует искать в виде ряда
u(x, y, z, t) 3 4 Ck Vk (x, y, z)e 1 a
22
kt
,
(162)
k
его коэффициенты Ck определяются из НУ.
8.14. Найти распределение температуры в прямоуголь"
ном параллелепипеде 0 £ x £ l1, 0 £ y £ l2, 0 £ z £ l3, если
температура его граней поддерживается равной нулю, а
8. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
131
начальное распределение температуры задано функцией
j(x, y, z).
8.15. Найти распределение температуры в кубе с реб+
ром l, если температура его граней поддерживается рав+
ной нулю, а начальная температура равна u0. Установить
момент времени, в который в центре куба наступит регу+
лярный режим с относительной точностью e.
8.16. Найти распределение температуры в прямоуголь+
ном параллелепипеде 0 £ x £ l1, 0£ y £ l2, 0£ z £ l3, на по+
верхности которого происходит конвективный теплооб+
мен со средой нулевой температуры. Начальное распреде+
ление температуры задано функцией j(x, y, z).
n Р е ш е н и е. Температура параллелепипеда опреде+
ляется III НКЗ:
3ut 1 a2 2u, u 1 u(x, y, z, t),
4x 5 [0, l ], y 5 [0, l ], z 5 [0, l ], t 5 [0, 6 7),
1
2
3
4
44(ux 8 hu) |x 10 1 (ux 6 hu) |x 1l1 1 0,
9
4(uy 8 hu) |y 10 1 (uy 6 hu) |y 1l2 1 0,
4(uz 8 hu) |z 10 1 (uz 6 hu) |z 1l 1 0,
3
4
4u |t 10 1 (x, y, z).
(163)
Будем искать решение в виде (160); разделение перемен+
ных дает для V(x, y, z) следующую краевую задачу:
52V 3 4V 1 0,
6(V 7 hV ) | 1 (V 3 hV ) | 1 0,
x 10
x
x 1 l1
6 x
8
(
V
7
hV
)
|
1
(
V
3
hV
)
|
y 10
y
y 1 l2 1 0,
6 y
69(Vz 7 hV ) |z 10 1 (Vz 3 hV ) |z 1l 1 0.
3
(164)
Эту задачу мы также будем решать методом Фурье, пред+
ставляя искомую функцию в виде произведения
V(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z).
Подстановка в уравнение дает
X 11(x) Y 11(y) Z 11(z)
2
2
2 3 4 0,
X(x) Y (y) Z (z)
132
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
каждое слагаемое в этой сумме должно быть постоянным,
обозначим их через –n(1), –n(2) и –n(3) соответственно, тогда
l = n(1) + n(2) + n(3).
Функции X(x), Y(y) и Z(z) должны удовлетворять од6
номерным краевым задачам:
X²(x) + n(1)X(x) = 0, x Î [0, l1],
X¢(0) – hX(0) = X¢(l1) + hX(l1) = 0;
Y²(y) + n(2)Y(y) = 0, y Î [0, l2],
Y¢(0) – hY(0) = Y¢(l2) + hY(l2) = 0;
Z²(z) + n(3)Z(z) = 0, z Î [0, l3],
Z¢(0) – hZ(0) = Z¢(l3) + hZ(l3) = 0.
Краевая задача с ГУ III рода уже встречалась при реше6
нии 7.7, ее с/з:
nk(i) = (mk(i)/li)2, i = 1, 2, 3.
Здесь mk(i) — положительные корни трансцендентного урав6
нения (142) при l = li; с/ф этой задачи задаются формула6
ми (143).
Для задачи (164) получаем набор с/з:
2
4 kmn 5 6(1)
k
7 6(2)
m
7 6 (3)
n
2
2
1 3(1) 2 1 3(2) 2 1 3(3) 2
58 k 9 78 m 9 78 n 9 ,
l1
l2
l3
им соответствуют с/ф:
1
3(1)
3(1) x 2
k x
Vkmn (x, y, z) 4 7 3(1)
5 l1h sin k 8 6
k cos
l1
l1
9
1
3(2)
3(2) y 2
m y
6 7 3(2)
5 l2 h sin m 8 6
m cos
l2
l2
9
(166)
1
6 7 3(3)
5 l3 h sin
.
n cos
l3
l3 8
9
3(3)
n z
3n(3) z 2
При каждом значении lkmn формула (130) определяет функ6
цию Tkmn(t).
133
8. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Решение исходной НКЗ (163) представляется рядом:
u(x, y, z, t) 3
3
4
4 4 6(1) 52 4 6(2) 52 4 6(3) 52 5 5
Ckmn exp 7 9a2 7 7 k 8 1 7 m 8 1 7 n 8 8 t 8
l2
l3
7
7 l1
8 8
k, m, n 31
12
Vkmn (x, y, z).
Коэффициенты Ckmn определяются из НУ:
u |t 30 3
12
5
Ckmn Vkmn 3 4(x, y, z),
k, m, n 31
следовательно (см. (144) и (145)):
l l l
Ckmn 2
1 2 3
(1, Vkmn )
2 6 6 6 1(x, y, z)Vkmn (x, y, z)dxdydz 3
(Vkmn , Vkmn )
000
8
3
3
l1l2l3 ((4k(1) )2 5 l12 h2 5 2l1h)
1
3 (2)
.
((4m )2 5 l22 h2 5 2l2 h)((4n(3) )2 5 l32 h2 5 2l3 h)
8.17. Решить предыдущую задачу для случая, когда
j(x, y, z) = u0 = const.
8.18. Найти распределение температуры в кубе с реб>
ром l, если на его гранях осуществляется конвективный
теплообмен со средой нулевой температуры, а начальная
температура куба равна u0. Установить момент времени, в
который в центре куба наступит регулярный режим с от>
носительной точностью e.
8.4. ЗАДАЧИ О РАСПРОСТРАНЕНИИ ТЕПЛА
В ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ
В задачах 8.19–8.24 изучается распространение тепла
в однородном шаре радиуса r0 с центром в начале коорди>
нат в случае центральной симметрии, когда температура
любой точки шара зависит только от ее расстояния до
134
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
центра: u = u(r,t). При решении этих задач следует вво&
дить новую неизвестную функцию v(r,t) = ru(r,t).
8.19. Определить температуру шара радиусом r0, если
его поверхность поддерживается при нулевой температу&
ре, а начальная температура задана функцией j(r).
8.20. Определить температуру шара радиусом r0, если
его поверхность поддерживается при температуре q1, а
начальная температура равна q0. Определить момент вре&
мени, когда в центре шара наступит регулярный режим с
относительной точностью e.
n Р е ш е н и е. Температура шара определяется следую&
щей НКЗ:
2
54ut 1 a 3u, u 1 u(x, y, z, t), t 1 0,
6u |
58 x2 2 y2 2 z2 1r02 1 71; u |t10 1 70 .
Будем сразу искать центрально&симметричное реше&
ние этой задачи, то есть полагать функцию u зависящей
только от r и t. НКЗ принимает вид (см. (112)):
1
2
5u 3 a2 4 r 2 4u , u 3 u(r, t), r 6 [0, r ], t 1 0,
7 t
0
4r
r 2 4r
8
7u |t 30 3 90 , u |r 3r0 3 91 , | u |r 30 |
.
(167)
Последнее условие появилось при переходе к сферическим
координатам и означает ограниченность функцииu в цен&
тре шара.
Решение задачи с неоднородными ГУ следует искать в
виде суммы двух функций, одна из которых удовлетворя&
ет заданным ГУ; в данном случае ее можно взять постоян&
ной, равной q1. В этом случае u(r, t) = v(r, t) + q1, задача
для функции v(r, t) имеет однородное ГУ:
1
2
5v 3 a2 4 r 2 4v , v 3 v(r, t), r 6 [0, r ], t 1 0,
7 t
0
4r
r 2 4r
8
7v |r 3r0 3 0, | v |r 30 | 9 ; v |t 30 3 0 1.
Введем новую неизвестную функцию w(r, t) = rv(r, t).
Поскольку:
1 1 22 4 r1 33r 1rw 5 w2 4 wr ,
1 3 r2 3 w
3r r
r 2 3r
2
r
rr
8. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
135
задача для функции w(r, t) имеет вид
wt 1 a2wrr ; w |r 10 1 0; w |r 1r0 1 0; w |t 10 1 (20 3 21 )r. (168)
Задача (168) совпадает с задачей об остывании стерж/
ня, на концах которого поддерживается нулевая темпера/
тура (сравнить с задачей 7.1). Она стандартно решается
методом Фурье, решение представляется рядом
w(r, t) 3
12
4 2 2 2 5
Ck exp 8 7 k 62 a t 9 sin k6r ,
r0
r0
k 31
в котором C k — коэффициенты разложения функции
(q0 – q1)r в ряд Фурье по синусам на промежутке [0, r0]:
r
0
2r
Ck 2 2 (30 4 31 ) 5 r sin k1r dr 2 4(30 4 31 ) 0 (41)k .
r0
r0
k1
0
Окончательный ответ:
u(r, t) 3 61 7
4 2 2 2 5
2(60 7 61 )r0 12 (71)k
exp 9 7 k 82 a t sin k8r .
8r
k
r0
r0
k 31
В центре шара при r = 0:
1 sin k1r 2 k1 ,
r
r0
r0
следовательно,
12
4 2 2 2 5
u(0, t) 3 71 8 2(70 8 71 ) (81)k exp 9 8 k 62 a t .
r0
k 31
Полученный знакопеременный ряд удовлетворяет усло/
виям теоремы Лейбница, следовательно,
12
2 2 5
4 2 2 2 5
4
(71)k exp 8 7 k 62a t 9 1 exp 8 7 46 2a t 9,
r0
r0
k32
и отношение этой суммы к первому члену ряда не превы/
шает
2 2
2 2 2
2 2 2
1
1
exp 7 4 43 2a t 5 3 a
t 8 6 exp 7 4 33 2a t 8.
2
r
r
r
9
9
0
0
0
При t ³ t* = –r02lne/(3p2a2) указанное отношение меньше e,
следовательно, в момент времени t* в центре шара насту/
пает регулярный режим с относительной точностью e.o
136
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
8.21. Определить температуру шара радиусом r0, если
на его поверхность падает постоянный тепловой поток
плотностью q, а начальная температура равна u0.
8.22. Определить температуру шара радиусом r0, если
на его поверхности происходит конвективный теплообмен
по закону Ньютона со средой нулевой температуры, а на/
чальная температура задана функцией j(r).
8.23. Определить температуру шара радиусом r0, если
на его поверхности происходит конвективный теплообмен
по закону Ньютона со средой температурыq0, а начальная
температура шара равна u0.
8.24. Определить температуру шара радиусом r0, если
на его поверхности происходит конвективный теплообмен
по закону Ньютона со средой температуры q(t) = (q0 + gt),
g = const. Начальная температура шара равна q0.
В задачах 8.25–8.32 изучается распространение тепла
в однородном бесконечном цилиндре радиусом r0, когда
температура любой точки цилиндра зависит только от ее
полярных координат u = u(r, j, t) и не меняется вдоль оси
цилиндра.
8.25. Определить температуру круглого неограничен/
ного цилиндра радиусом r0, если его поверхность поддер/
живается при нулевой температуре, а начальная темпера/
тура задана функцией q(r, j).
n Р е ш е н и е. Если начальная температура не зависит
от z, в дальнейшем она также от нее не будет зависеть;
поэтому в цилиндрических координатах задача имеет вид
(см. (111)):
1 2
2 6
4
5
ut 3 a2 9 1 7 r 7u 8 12 7 u2 ,
r 7r 7r
r 7 (169)
u 3 u(r, , t), r [0, r0 ], [0,2), t [0, 8 );
u |t 30 3 (r, ); u |r 3r0 3 0, | u |r 30 | , u(r, 8 2) 3 u(r, ).
Представим решение в виде произведения u(r, j, t) =
= V(r, j)T(t) и разделим переменные. Для функцииV(r, j)
возникает краевая задача (125), с которой мы уже стал/
8. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
137
кивались при рассмотрении колебаний круглой мембра$
ны. При решении задачи 6.13 найдены ее собственные
значения:
lnk = (mk(n)/r0)2, k = 1, 2, 3, ... n = 0, 1, 2, ...,
здесь через mk(n) обозначен k$й положительный корень
уравнения Jn(m) = 0 J
( n(m) — функция Бесселя первого
рода порядка n). При n ³ 1 каждому собственному значе$
нию соответствуют две собственные функции:
1 3 (n) r 2
1 3 (n) r 2
V (r, 4) 5 Jn 6 k 7 cos n4 и V1 (r, 4) 5 Jn 6 k 7 sin n4;
8 r0 9
8 r0 9
значению l0k соответствует собственная функция, не за$
висящая от j:
V0k(r, j) = J0(mk(0)r/r0).
Функции Tnk(t) удовлетворяют уравнению (129) и имеют
вид (130). Следовательно, решение (169) представляется
рядом
u(r, 3, t) 2
4 4 a6(n) 52 5
4 6k(n) r 5
k
1
2
(Cnk cos n3 9 Cnk sin n3) Jn 7
8 exp 7 7
8 t 8. (170)
r0
r0
7
8
n 20,
1
k 21
Коэффициенты Сnk и C1nk определяются из разложения
функции q(r, j) в ряд Фурье по системе Vnk , V1nk :
u |t 20 2
1
6 (Cnk Vnk (r,3) 4 C1nk V1nk (r, 3)) 2 5(r, 3).
n 2 0,
k 21
Повторяя рассуждения, приведенные при решении зада$
чи 6.13, получим
Cnk 5 6
C1nk 5 6
2 1 r0
0 0
2 1 r0
0 0
r0
2 4 ( n) r 3
cos n8rdrd8, n, k 5 1,2,3, ...
7(r, 8) Jn 9 k
r0
2 4 ( n) r 3
sin n8rdrd8, n, k 5 1,2,3, ...
7(r, 8) Jn 9 k
r0
2 4(0) r 3
C0k 5 16 7(r, 8) J0 9 k
rdr,
r0
0
138
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
где U = [0,5pr20(Jn¢(mk(n)))2]–1 — значение нормировочного ин
теграла для данных ГУ (см. раздел 1, формулу (18)).
В частном случае, когда начальное распределение тем
пературы радиально симметрично, u|t = 0 = q(r), коэффици
енты Cnk 1 C1nk 1 0 при n ³ 1, ряд (170) становится одно
кратным и в нем исчезает зависимость от j:
3 3 a5(0) 42 4
3 5k(0) r 4
k
u(r, t) 2 Ck J0 6
7 exp 6 8 6
7 t 7, Ck 2 C0k . (171)
6 9 r0
7
k 21
9 r0
9
1
Решение (171) можно получить проще, если сразу ис
кать радиально симметричное распределение температу
ры u(r, t), то есть решать следующую задачу:
1 2
5u 3 a2 4 r 4u , u 3 u(r, t), r 6 [0, r ], t 6 [0, 7 8);
9 t r 4r 4r
0
9u |t 30 3 (r ); u |r 3r0 3 0, | u |r 30 | 8.
(172)
Разделение переменных u(r, t) = R(r)T(t) попрежнему дает
для T(t) уравнение (129), а функция R(r) удовлетворяет
краевой задаче:
1 2
1 d r dR 3 4R 5 0, | R (0) | 6 7, R (r ) 5 0.
0
r dr dr
(173)
Заменой переменной 1 2 3r уравнение для R(r) преобра
зуется в уравнение Бесселя нулевого порядка (см. (13)):
1 d 2 1 dR (1) 3 4 R (1) 5 0,
1 d1 68 d1 79
общее решение которого
R (1) 2 aJ0 (1) 3 bN0 (1), R (r ) 2 aJ0 ( 4r ) 3 bN0 ( 4r ).
Функция Неймана N0(x) не ограничена в нуле, поэтому из
условия |R(0)| < ¥ следует, что b = 0. Условие R(r0) = 0 дает
уравнение на с/з l:
J0 3r0 4 0.
1
2
С/з и с/ф задачи (173) имеют, следовательно, вид
lk = (mk/r0)2, Rk(r) = J0((mkr/r0), k = 1, 2, 3, ...,
8. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
139
здесь mk º m(0)
— kый положительный корень уравнения
k
J0(m) = 0.
Для задачи (172) получен набор частных решений:
2 a212 3
1 r
uk (r, t) 4 Rk (r )Tk (t) 4 Ck J0 26 k 37 exp 6 5 2 k t 7,
8 r0 9
8 r0 9
сумма этих решений дает ряд (171). o
8.26. Определить температуру круглого неограничен
ного цилиндра радиусом r0, если на его поверхности про
исходит конвективный теплообмен со средой нулевой
температуры, а начальная температура задана функци
ей j(r, y).
8.27. Определить температуру круглого неограничен
ного цилиндра радиусом r0, если его поверхность под
держивается при постоянной температуре q0, а началь
ная температура равна нулю. Найти приближенное вы
ражение для средней температуры по сечению цилиндра
при достижении регулярного режима (см. решение за
дачи 8.20).
8.28. Определить температуру круглого неограничен
ного цилиндра радиусом r0, если его поверхность поддер
живается при нулевой температуре, а начальная темпе
ратура задана функцией j(r): j(r) = u0(1 – r2/r02). Найти
приближенное выражение для средней температуры по
сечению цилиндра при достижении регулярного режима.
8.29. Определить температуру круглого неограничен
ного цилиндра радиусом r0, если на его поверхность извне
падает постоянный тепловой поток плотностью q, а на
чальная температура цилиндра равна u0.
8.30. Определить температуру круглого неограничен
ного цилиндра радиусом r0, если на его поверхности про
исходит конвективный теплообмен со средой температу
ры q0, а начальная температура цилиндра равна u0.
8.31. Найти температуру круглого неограниченного
цилиндра радиусом r0, если на его поверхности происхо
дит конвективный теплообмен по закону Ньютона со сре
дой температуры q(t) = (q0 + gt), g = const. Начальная тем
пература цилиндра равна q0.
9. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
9.1. КЛАССИФИКАЦИЯ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Уравнения эллиптического типа связаны с изучением ста
ционарных, т. е. сохраняющихся во времени, процессов.
Они возникают при описании электростатических полей,
электрических и магнитных полей постоянных токов,
формы неподвижной мембраны, стационарного распреде
ления температуры, потенциального течения идеальной
жидкости и т. д. Простейшими и при этом часто встре
чающимися уравнениями эллиптического типа являют
ся уравнения Лапласа и Пуассона:
Du = 0 и Du = f;
здесь u = u(M) — неизвестная функция пространственных
переменных, f = f(M) — известная функция, задающая
стационарное внешнее воздействие, D — оператор Лапла
са; вид оператора Лапласа в различных системах коорди
нат приведен в разделе 6, формулы (111) и (112).
Если решение уравнения Лапласа или Пуассона ищет
ся в некоторой области D, ограниченной замкнутой по
верхностью S, задача должна содержать дополнительные
краевые условия. Для уравнений Лапласа и Пуассона раз
личают три основные задачи:
u M 3 S 4 f1 ( M ) 5 задача Дирихле (I КЗ),
6u
4 f ( M ) 5 задача Неймана (II КЗ),
6n M 3 S 2
1 66nu 7 hu2
M 3S
4 f3 ( M ) 5 III краевая задача.
9. ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
141
Область D может быть ограниченной и лежать внут)
ри S, тогда задача называется внутренней; внешняя зада)
ча ставится в неограниченной областиD вне S, в этом слу)
чае она дополняется предельным условием о поведении
функции на бесконечности. Для области D в трехмерном
пространстве предельное условие состоит в равномерном
стремлении функции к нулю на бесконечности (или в ре)
гулярности функции на бесконечности). Для областиD на
плоскости требуется только ограниченность функции на
бесконечности.
Функция, непрерывная в области D вместе со своими
производными до второго порядка и удовлетворяющая
в D уравнению Лапласа, называется гармонической в D.
9.2. ПОСТАНОВКА
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
9.1. Уравнение электростатики. Показать, исходя
из уравнений Максвелла, что потенциал электростати)
ческого поля удовлетворяет уравнению Пуассона с пра)
вой частью, пропорциональной объемной плотности за)
рядов r(x, y, z). Дать физическую интерпретацию крае)
вых условий первого и второго рода.
9.2. Уравнение магнитостатики. Показать, исходя
из уравнений Максвелла, что в области, где отсутствуют
электрические токи, для напряженности
магнитного поля
1
можно ввести потенциал H 1 2 grad 3, и что потенциал y
удовлетворяет уравнению Лапласа.
9.3. Поле постоянного электрического тока. Убедить)
ся в том, что потенциал электрического поля постоянного
тока удовлетворяет уравнению Лапласа. Сформулировать
граничные условия
а) на заземленной идеально проводящей поверхности;
б) на границе с диэлектриком.
9.4. Потенциальное течение идеальной несжимаемой
жидкости. Для безвихревого течения жидкости можно
1
ввести потенциал скорости v 1 grad 2. Показать, что для
стационарного потока j удовлетворяет уравнению Лапла)
са. Написать краевое условие на поверхности твердого тела
142
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
S, покоящегося или движущегося с некоторой постоян%
ной скоростью в заданном направлении.
9.5. Сформулировать задачу для описания стационар%
ного распределения температуры в стенках длинной цилин%
дрической трубы с внутренним радиусом r1 и внешним ра%
диусом r2. На внутренней поверхности трубы поддержи%
вается постоянная температура T1, равная температуре
протекающей жидкости, а на внешней поверхности трубы
происходит свободный теплообмен с окружающей средой,
температура которой есть известная функция T = T(j).
9.6. В длинном стальном цилиндре круглого сечения с
боковой поверхностью, находящейся в состоянии свобод%
ного теплообмена с окружающей средой температуры T0,
происходит стационарное выделение тепла (например,
вследствие протекания тока). Считая известными радиус
цилиндра r0, напряженность источников тепла e(r, j) и
параметры стали, поставить задачу о стационарном рас%
пределении температуры.
9.7.* Заряженное металлическое тело, ограниченное
поверхностью S, находится в среде, по которой с извест%
ной объемной плотностью r(x, y, z) распределен элек%
трический заряд (такого рода задача возникает при рас%
смотрении заряженного тела, помещенного в слабоио%
низированную плазму). Поставить задачу о вычислении
потенциала электростатического поля. Считать, что на
бесконечности потенциал обращается в нуль.
9.8.* Тело произвольной формы, ограниченное поверх%
ностью S, изготовленное из магнетика с1проницаемостьюm,
внесено в однородное магнитное поле H0 . Описать напря%
женность магнитного поля внутри и вне тела (см. задачу9.2).
9.9. Поставить задачу для определения формы равно%
весия тонкой мембраны поверхностной плотностью r, на%
ходящейся под натяжением T0, если на нее действует по%
стоянное поперечное давление p = p(x, y), и
а) мембрана закреплена по контуру L, лежащему в
плоскости (x, y);
б) край мембраны прикреплен к проволоке, имеющей
форму z = z0(x, y), при этом проекция проволоки на плос%
кость (x, y) есть контур L;
9. ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
143
в) мембрана прикреплена к контуру L, лежащему в
плоскости (x, y), на который действует распределенная
поперечная сила с линейной плотностью f(xL, yL) (здесь
(xL, yL) — точка контура);
г) мембрана упруго закреплена по контуруL, лежаще4
му в плоскости (x, y); коэффициент пропорциональности
между смещением точек мембраны и линейной плотно4
стью силы равен k.
9.3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ,
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ
9.10. Найти потенциал электростатического поля u(x, y)
внутри цилиндрической коробки прямоугольного сечения
0 £ x £ a, –b/2 £ y £ b/2, если заряды внутри коробки от4
сутствуют, а ее боковые грани находятся при следующих
потенциалах (рис. 16):
u|x = 0 = y1(y),
u|x = a = y2(y),
u|y = b/2 = j1(x),
u|y = –b/2 = j2(x).
Рис. 16
К задаче 9.10
n Р е ш е н и е. Теорема Гаусса в дифференциальной
форме с учетом связи напряженности электростатическо4
го поля с его потенциалом приводит к уравнению Пуассо4
на для потенциала:
1
1
div E 1 2 / 330 , E 1 4 grad u,
divgrad u 1 42 /(330 ) 5 6u 1 42 /(330 ),
здесь r — объемная плотность заряда, e — диэлектри4
ческая проницаемость, e0 — электрическая постоянная.
В отсутствии зарядов ( r = 0) потенциал удовлетворяет
уравнению Лапласа и наша задача формулируется так:
144
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
(174)
53u(x, y) 1 0, x 4 [0, a], y 4 [2b /2, b /2];
6
u
|
1
7
(
y
),
u
|
1
7
(
y
),
u
|
1
8
(
x
),
u
|
1
8
1
x1a
2
y 1b /2
1
y 12 b /2
2 (x).
9 x 10
В силу линейности уравнения Лапласа решение зада%
чи (174) можно искать как сумму решений двух задач
u = v + w:
(175)
51v(x, y) 2 0, x 3 [0, a], y 3 [4b /2, b /2];
6
8v(0, y) 2 v(a, y) 2 0, v(x, 4 b /2) 2 72 (x), v(x, b /2) 2 71 (x).
(176)
51w(x, y) 2 0, x 3 [0, a], y 3 [4b /2, b /2];
6
2
7
2
7
4
2
2
w
(0,
y
)
(
y
),
w
(
a
,
y
)
(
y
),
w
(
x
,
b
/2)
w
(
x
,
b
/2)
0.
8
1
2
Применим метод Фурье. Будем искать v(x, y) в виде
v(x, y) = X(x)Y(y); подставляя произведение в уравнение
Лапласа, несложно разделить переменные и получить зна%
комое равенство:
X²(x)/X(x) = –Y²(y)/Y(y) = –l = const.
Для X(x) с учетом ГУ получаем одномерную задачу
Штурма–Лиувилля:
5X 11(x) 2 3X(x) 4 0;
6
7X(0) 4 X(a) 4 0.
Ее собственные значения и функции найдены в задаче4.1а:
lk = (pk/a)2, Xk = Bksin(kpx/a), Bk = const,
k = 1, 2, 3, ...
Функции Yk(y) удовлетворяют уравнению:
Yk²(y) – (kp/a)2Yk(y) = 0,
общее решение которого Yk(y) = akekpy/a + bke–kpy/a.
В дальнейшем переобозначим постоянные: ak « akBk,
b k « b kBk.
Любая функция vk(x, y) = Xk(x)Yk(y) удовлетворяет урав%
нению Лапласа в прямоугольной области и ГУ при x = 0,
x = a; им же удовлетворяет ряд, составленный из этих функ%
ций:
1
1
v(x, y) 4 6 vk (x, y) 4 6 (ak ek2y / a 5 bk e 3k2y / a )sin k2x . (177)
a
k 41
k 41
145
9. ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Потребуем, чтобы этот ряд удовлетворял ГУ приy = ± b/2:
51
k2y / a 6 b e 3 k2y / a )sin k2x
4 71 (x);
k
8 (ak e
a
8k 41
y 4b /2
91
8 (a ek2y / a 6 b e 3k2y / a )sin k2x
4 72 (x).
k
k
8
a
k 41
y 43 b /2
Написанные суммы есть ряды Фурье по синусам для функ0
ций j1(x), j2(x) на промежутке [0, a], выражения в круг0
лых скобках — коэффициенты Фурье:
k1y / a 4 b e 2 k1y / a ) |
k
y 3 b /2 3 51k ;
76(ak e
k 3 1,2,3,...
8
k
1
y
/
a
2
k
1
y
/
a
4 bk e
) |y 32 b /2 3 52k ,
79(ak e
Здесь
a
a
0
0
21k 3 2 4 21 (x)sin k1x dx; 22k 3 2 4 22 (x)sin k1x dx.
a
a
a
a
При каждом k для определения ak, bk получаем систе0
му из двух уравнений; при b ¹ 0 ее определитель отличен
от нуля и ak, bk однозначно определены:
ak 4
31k ek1b /(2a) 2 32k e 2k1b /(2a)
32k ek1b /(2a) 2 31k e 2k1b /(2a)
b
4
,
.
k
ek1b / a 2 e 2k1b / a
ek1b / a 2 e 2k1b / a
Ряд (177) с такими коэффициентами дает решение задачи
(175), его можно преобразовать:
3
v(x, y) 7 k71
5
2k
3
8
sin(k4x / a) 8
6 e 6k4b / a
k4b 6 k4y
a
e 2a
6e
sin(k4x / a)
sh(k4b / a)
k 71
7
1k
ek4b / a
k4y
6 k4b 5
2a a
1
99
1k sh
8
k4b 5 k4y
a
e 2a
6e
k4y
6 k4b 6
2a a
9
5
7
1 2
k4 b 5 y 5
a 2
2k sh
1 22
k4 b 6 y .
a 2
Нетрудно видеть, что заменой переменных x¢ = y + b/2,
y¢ = x – a/2 и перестановкой a и b задача (176) сводится к
задаче (175). Ее решением является ряд
146
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
3
5 k4 x 5 a 8
7 k4 x 5 a
w(x, y) 6 ck e b 1 2 2 9 dk e b 1 2 2 sin 7 k4 y 9 b 8,
b
2
k 61
1 2
с коэффициентами:
ck 4
32k ek1a /(2b) 2 31k e 2k1a /(2b)
3 ek1a /(2b) 2 32k e 2k1a /(2b)
, dk 4 1k k1a / b
,
k
1
a
/
b
2
k
1
a
/
b
e
2e
e
2 e 2k1a / b
где y1k, y2k — коэффициенты Фурье:
71k 8 2
b
7 2k 8 2
b
1 2
b 6
5 k4
7 (y)sin b 1 y 9 2 2 dy.
b /2
3 b /2
71 (y)sin 5 k4 y 9 b 6 dy;
b
2
b /2
2
3 b /2
Ряд для w(x, y) можно упростить:
3
1
2
sin k5(y 6 b /2)/ b
71k sh k5 1 a 8 x 2 6 72k sh k5x .
sh
k
5
a
/
b
b
b
k 41
w(x, y) 4 9
Решение исходной задачи (174) есть сумма двух рядов:
u(x, y) = v(x, y) + w(x, y). o
9.11. Найти электростатическое поле внутри области,
ограниченной проводящими пластинами y = 0, y = b и
x = 0, если пластина x = 0 заряжена до U0 = const, y = 0,
y = b — заземлены, а заряды в рассматриваемой области
отсутствуют.
9.12. Найти потенциал электростатического поля внут?
ри прямоугольного параллелепипеда с проводящими стен?
ками, если зарядов внутри него нет, а на поверхности вы?
полняется условие:
а) боковые грани и верхнее основание параллелепипе?
да заземлены, а его нижнее основание заряжено до потен?
циала U;
б) боковые грани заряжены до потенциала U, а оба ос?
нования заземлены.
9.13. Найти решение уравнения Лапласа в прямоуголь?
нике x Î [0, a], y Î [0, b], удовлетворяющее ГУ:
9. ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
147
а) u|x = 0 = ux|x = a = 0, u|y = 0 = 0, u|y = b = m(x);
б) ux|x = 0 = ux|x = a = 0, u|y = 0 = A, u|y = b = Bx;
в) u|x = 0 = A, u|x = a = 0, uy|y = 0 = Bsinpx/(2a), u|y = b = 0.
9.4. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА
В КРУГЕ, ЦИЛИНДРЕ, ШАРЕ
9.14. Найти решения внутренней и внешней КЗ для
уравнения Лапласа в области, ограниченной окружностью
радиуса r0, если на ней заданы условия
а) u |r 1r 1 A sin3 2 3 B;
0
б) ur |r 1r 1 sin3 2;
0
5 A sin 2; 23 [0, 4);
в) u |r 1r 1 67 A
0
3
68 3 sin 2; 23 [4,24).
n Р е ш е н и е 9.14а. Внутренняя задача Дирихле в по:
лярных координатах имеет вид
422u 1 0, u 1 u(r, 3);
5
(178)
8u |r 1r0 1 A sin3 3 6 B, A, B 1 const 7 ГУ;
5u(r, 3 6 29) 1 u(r, 3), | u(0, 3) |
7 дополнительные ГУ.
Дополнительные ГУ — требования однозначности и огра:
ниченности функции u в нуле — возникли при переходе к
полярным координатам.
Запишем уравнение Лапласа в полярных координатах:
1 2
1 3 r 3u 4 1 32u 5 0,
r 3r 3r
r 2 362
и будем искать его решение методом Фурье в виде u(r, j) =
= R(r)F(j). Стандартное рассуждение приводит к равенст:
ву
r d r dR 5 6 433 5 7 5 const,
R dr dr
4
из него следуют два обыкновенных ДУ:
1 2
1 2
433(5) 6 74(5) 8 0, r d r dR 9 7R 8 0.
dr dr
148
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Второе из этих уравнений есть уравнение Эйлера.
Дополнительные ГУ дают условия F(j + 2p) = F(j),
|R(0)| < ¥. Периодические решения первого уравнения су7
ществуют при ln = n2 и равны:
Fn(j) = ancosnj + bnsinnj, n = 0, 1, 2, ...
Подставим эти значения ln в уравнение для R(r), его об7
щее решение:
Rn(r) = anrn + bnr–n, n = 1, 2, 3, ...;
R0(r) = b0lnr + a0,
(179)
an, bn, an, bn = const.
Из ограниченности функции R в нуле следует, что все
bn равны нулю, так как
r 1n 3324
, ln r 33214
.
r 20
r 20
Переобозначим произвольные постоянные: an « anr0nan,
bn « bnr0nan. Произведения un(r, j) = Rn(r)Fn(j), n = 0, 1,
2, ... удовлетворяют уравнению Лапласа и дополнитель7
ным ГУ, им также удовлетворяет ряд из этих произведе7
ний:
1
n
(180)
u(r, 3) 2 a0 4 5 r n (an cos n3 4 bn sin n3).
n 21 r0
Потребуем, чтобы ряд (180) удовлетворял ГУ на окруж7
ности:
1
u(r0 , 3) 2 a0 4 5 (an cos n3 4 bn sin n3) 2 A sin3 3 4 B.
n 21
Данное выражение есть ряд Фурье на промежутке [0,2p].
Правая часть легко раскладывается в ряд, так как sin3j =
= 0,75sinj – 0,25sin3j. Разложение в ряд Фурье единст7
венно, следовательно, a0 = B, b1 = 0,75A, b3 = –0,25A, ос7
тальные коэффициенты an и bn равны нулю. Решение за7
дачи (178) имеет вид
u(r, j) = B + 0,75A(r/r0)sinj – 0,25A(r/r0)3sin3j.
Для внешней задачи Дирихле условие ограниченно7
сти в нуле | u(0, j)| < ¥ заменяется условием ограничен7
ности на бесконечности, т. е. существует такое С, что
9. ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
149
|u(r, j)| < C. Из этого условия следует, что в (179) для R(r)
an = 0, Rn(r) = bnr–n, n = 1, 2, 3, ..., R0(r) = a0. Переобозна*
чим произвольные постоянные: an « anr0–nbn, bn « bnr0–nbn,
и будем искать решение в виде ряда
1
r0n
(an cos n3 4 bn sin n3).
n
n 21 r
u(r, 3) 2 a0 4 5
Коэффициенты an, bn определяются из разложения в ряд
Фурье ГУ на окружности. Решение внешней задачи Ди*
рихле имеет вид
u(r, j) = B + 0,75A(r0/r)sinj – 0,25A(r0/r)3sin3j. o
9.15. Решить внутреннюю задачу Дирихле для урав*
нения Пуассона в круге:
2u 1 3 Axy, A 1 const, u |r 1r0 1 0.
n Р е ш е н и е. Решение этой задачи следует искать в
виде суммы двух функций u = v + w, где v удовлетворяет
уравнению Пуассона с произвольными ГУ,w удовлетворяет
уравнению Лапласа и граничным условиям, отличающим*
ся знаком от ГУ для v.
Решение v(x, y) будем искать в виде многочлена v =
= Bxy3 + Cyx3. Подстановка в уравнение
1 2v 2 1 2v 3 4 Axy
1x2 1y2
дает B = C = –A/12, следовательно, v(x, y) = –Axy(x2 + y2)/12.
В полярных координатах (r, j): v(r, j) = –(Ar4sin2j)/24.
Задача для v(r, j) принимает вид
52v(r, 3) 1 40,5 Ar 2 sin23;
6
4
7v |r 1r0 1 4( Ar0 sin23)/24.
Для w(r, j) = u(r, j) – v(r, j) задача будет такова:
42w(r, 3) 1 0;
5
4
6w |r 1r0 1 ( Ar0 sin23)/24.
150
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Ее необходимо дополнить требованием ограниченности ис%
комой функции в нуле | w(0, j)| < ¥ и требованием перио%
дичности по азимутальному углу w(r, j) = w(r, j +2p). Та%
кая задача решалась в 9.14, ее решение дается рядом (180):
1
n
w(r, 3) 2 a0 4 5 r n (an cos n3 4 bn sin n3).
n 21 r0
Используя граничное условие, имеем
1
w(r0 , 3) 2 a0 4 5 (an cos n3 4 bn sin n3) 2 ( Ar04 sin23)/24.
n 21
В силу единственности разложения в ряд Фурьеb2 = Ar04/24,
остальные коэффициенты an и bn равны нулю. В результа%
те:
w(r, j) = (Ar02r2sin2j)/24.
Окончательный ответ:
u(r, j) = v(r, j) + w(r, j)= Ar2(r02 – r2)sin2j/24,
в декартовых координатах: u(x, y)= Axy(r02 – x2 – y2)/12. o
9.16. Решить внутреннюю задачу Дирихле для урав%
нения Пуассона в кольце:
2u 1 A, u |r 1 R1 1 u1, u |r 1 R2 1 u2 , A, u1,2 1 const.
9.17. Решить внутреннюю задачу Дирихле для урав%
нения Лапласа в кольце r Î [a, b] при произвольных ГУ.
9.18. Найти функцию, гармоническую в кольцеrÎ [1, 2],
и удовлетворяющую ГУ:
u|r = 1 = m1 = const, u|r = 2 = m2 = const.
9.19. Найти функцию, гармоническую в круговом сек%
торе r Î [0, r0], j Î [0, j0] и удовлетворяющую ГУ:
u |120 2 0, u |1210 2 A10 , u |r 2r0 2 A1.
9.20. Найти функции, гармонические в шаре радиуса
r0 и удовлетворяющие ГУ:
а) u |r 1r 1 cos2 2 3 1/3;
0
б) u |r 1r 1 5cos3 2 3 3cos 2;
0
151
9. ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
1 2
3 sin 125 6 4 2 sin 7 cos 7;
6
3 sin 135 6 4 2 sin 7;
4
в) u |r 3r0 3 cos 25 6 4 sin2 7;
3
г) u |r 3r0
д) u |r 3r0
2
3
е) ur |r 1r0 1 A cos 2;
ж) ur |r 1r0 1 sin 2;
в е) и ж) выяснить, разрешима ли задача Неймана.
n Р е ш е н и е 9.20 а. КЗ в сферических координатах
(r, j, q), r Î [0, +¥), j Î [0, 2p), q Î [0, p] формулируется
следующим образом:
74u(r, 5, 2) 1 0, r 6 [0, r0 ], 56 [0,23), 26 [0, 3];
8u |
2
8 r 1r0 1 cos 2 9 1/3 на сфере;
8 u |r 10 |
8 u |210 |
, u(r, 5 23, 2) 1 u(r, 5, 2),
, u |213 |
(181)
дополнительные ГУ.
Выпишем уравнение Лапласа в сферических координатах:
1
2
5 2u 6 1
5 3 sin 7 5u 4 8 0.
1 5 r 2 5u 6
1
9
2
2
2
5r
57
r 5r
r sin 7 5 2 r 2 sin 7 57
Будем искать решение в виде u(r, j, q) = R(r)V(j, q). ПодA
становка в уравнение позволяет разделить переменные, и
уравнение Лапласа распадается на два:
(182)
8r 2 R 33(r ) 4 2rR 3(r ) 5 6R (r ) 7 0;
9
2V
1
V
1
(183)
4
4 6V 7 0,
sin
2
9 sin
sin2
где l = const. Ограниченные решения уравнения (183),
обладающие непрерывными производными до второго
порядка, называются сферическими функциями.
Применим метод разделения переменных ко второму
уравнению еще раз: будем искать решение в видеV(j, q) =
= F(j)Q(q). Тогда для F(j) с учетом дополнительных ГУ
может быть получена задача Штурма–Лиувилля:
1
2
152
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
7211(3) 4 52(3) 6 0, 5 6 const;
8
2(3 4 29) 6 2(3).
Ее собственные значения и функции известны:
m = m2, Fm(j) = Cmcosmj + Dmsinmj,
m = 0, 1, 2, 3, ...
(184)
Для Q(q) будет иметь место уравнение
1
2
1 d sin 6 d3 7 4 8 9 m2 5 3 0
sin 6 d6
d6
sin2 6 (185)
и условие ограниченности на промежутке [0, p].
Заменим переменную x = cosq, x Î [–1, 1] и введем
функцию y(x) = y(cosq) = Q(q). Прямая подстановка пока<
зывает, что y(x) удовлетворяет уравнению Лежандра при
m = 0 и присоединенному уравнению Лежандра порядка
m при m ³ 1 (см. раздел 1). Ограниченные на [–1, 1] реше<
ния этих уравнений существуют только при l = n(n + 1),
n = 0, 1, 2, 3, ... и даются полиномами Лежандра и присое<
диненными функциями Лежандра, соответственно. Следо<
вательно, частные решения уравнения (185) имеют вид
Qmn(q) = Pn(m)(cosq),
где Pn(m)(x) — присоединенная функция Лежандра степени
n порядка m. Pn(0)(x) = Pn(x) — многочлен Лежандра степе<
ни n. Отметим, что Pn(m)(x) º 0 при m > n.
Для уравнения (183) построен набор частных решений:
Vmn(j,q) = Fm(j)Qmn(q) =
= (amncosmj + bmnsinmj)Pn(m)(cosq).
Уравнение (183) не содержит параметра m и одному значе<
нию l = n(n + 1) отвечает набор с/ф Vmn(j, q). Их линейная
комбинация также является собственной функцией:
Vn (2, 3) 1
(186)
1 a0n Pn (cos 3) 4
n
5 (amn cos m2 4 bmn sin m2)Pn(m) (cos 3).
m 11
153
9. ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Уравнение (182) есть уравнение Эйлера, приl = n(n + 1),
n = 0, 1, 2, 3, ... его общее решение:
Rn(r) = Anrn + Bnr–(1 + n).
Функция r–(1 + n) для любого n ³ 0 не ограничена в нуле, по;
этому все коэффициенты Bn равны нулю. Переобозначив
произвольные постоянные: amn « amnAnr0n, bmn « bmnAnr0n
при m, n = 0, 1, 2, ..., получим набор решений, удовлетво;
ряющих уравнению Лапласа и дополнительным ГУ зада;
чи (181):
un(r, j, q) = Rn(r)Vn(j, q) = r nr0–nVn(j, q).
Ряд, составленный из этих решений, также удовлетворя;
ет уравнению и этим ГУ:
u(r, 5, 6) 2
1
un (r, 5, 6) 2
n 20
1
n
3r 4
7 r 8 Vn (5, 6).
n 20 9 0
(187)
Потребуем, чтобы этот ряд удовлетворял ГУ на сфере:
1
u(r0 , 3, 4) 2 5 Vn (3, 4) 2 f (3, 4).
n 20
Постоянные amn и bmn представляют собой разложение
функции f(j, q) в ряд Фурье по функциям cosmjPn(m)(cosq),
sinmjPn(m)(cosq). Из ортогональности тригонометрической
системы функции и функций Лежандра одного порядка
несложно получить формулы для коэффициентов разло;
жения:
21 1
a0n 3 2n 2 1 7
41
0
amn 3
bmn 3
7 f (4,5) Pn (cos 5)sin 5d5d4,
0
(2n 2 1)(n 6 m)!
21(n 2 m)!
(2n 2 1)(n 6 m)!
21(n 2 m)!
21 1
7 7 f (4,5)Pn
(cos 5)sin 5d5 cos m4d4,
7 7 f (4,5)Pn
(cos 5)sin 5d5 sin m4d4,
0 0
21 1
0
( m)
( m)
0
m 3 1,2,3,..., n; n 3 0,1,2,...
В нашем случае f(j, q) = cos2q – 1/3 — граничное ус;
ловие не зависит от азимутального угла, следовательно,
154
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
amn = bmn = 0 при m 1. Ряд (187) упрощается и становит!
ся рядом по полиномам Лежандра:
u(r, 5) 2
1
n
3 4
a0n 6 r 7 Pn (cos 5).
8 r0 9
n 20
(188)
Разложение на границе имеет вид:
1
u(r0 , 3) 2 5 a0n Pn (cos 3) 2 cos2 3 4 1/3.
n 20
Так как разложение в ряд Фурье по полиномам Лежандра
единственно, а P2(cosq) = 0,5(3cos2q – 1), ряд совпадает с
одним из своих членов, следовательно, a02 = 2/3, осталь!
ные коэффициенты a0n равны нулю.
Окончательное решение задачи (181):
u(r, j, q) = u(r, q) = a02(r/r0)2P2(cosq) =
= (r/r0)2(cos2q – 1/3). o
9.21. Найти функции, гармонические вне шара радиу!
са r0 и удовлетворяющие ГУ:
а) u |r 1r 1 1 2 3cos2 3;
0
б) ur |r 1r 1 A cos 2;
0
в) u |r 1r 1 3 2 2cos2 3;
0
г) ur |r 1r 1 sin2 2.
0
9.22. Найти функции, гармонические в сферическом
слое 1 < r < 2 и удовлетворяющие ГУ:
а) u|r = 1 = sinqsinj, u|r = 2 = 0;
б) u|r = 1 = 7sinqcosj, u|r = 2 = 7cosq;
в) u|r = 1 = sinqsinj(5 + 6cosq), ur|r = 2 = 12sin2qsinj.
9.5. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Задание 9.1. Решить внутреннюю задачу Дирихле для
уравнения Лапласа Du = 0 в круге 0 £ r £ 1, 0 £ j £ 2p
((r, j) — полярные координаты) при следующих ГУ:
1. u(1, j) = 10cosj + 17cos5j.
2. u(1, j) = 8cos2j + 17cos4j.
9. ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
155
3. u(1, j) = 20cos3j + 34cos3j.
4. u(1, j) = 52cos4j + 67cos2j.
5. u(1, j) = 98cos5j + 67cosj.
6. u(1, j) = 20sin6j + 34sinj.
7. u(1, j) = 8sin7j + 17sin2j.
8. u(1, j) = 10sin8j + 17sin3j.
9. u(1, j) = 34sin9j + 34sin4j.
10. u(1, j) = 98sin10j + 67sin5j.
11. u(1, j) = 1 + 38cosj.
12. u(1, j) = 2 + 16cos2j.
13. u(1, j) = 3 + 10cos3j.
14. u(1, j) = 4 + 17cos4j.
15. u(1, j) = 5 + 34cos5j.
16. u(1, j) = 6 + 38sinj.
17. u(1, j) = 7 + 28sin2j.
18. u(1, j) = 8 + 20sin3j.
19. u(1, j) = 9 + 17sin4j.
20. u(1, j) = 10 + 32sin5j.
21. u(1, j) = 36cosj + 66sin5j.
22. u(1, j) = 24cos2j + 66sin4j.
23. u(1, j) = 12cos3j + 33sin3j.
24. u(1, j) = 49cos4j + 19sin2j.
25. u(1, j) = 128cos5j + 19sinj.
26. u(1, j) = 18cos6j + 33sinj.
27. u(1, j) = 24cos7j + 66sin2j.
28. u(1, j) = 24cos8j + 66sin3j.
29. u(1, j) = 18cos9j + 33sin4j.
30. u(1, j) = 128cos10j + 19sin5j.
31. u(1, j) = 21 + 14cos6j. 32. u(1, j) = 22 + 12cos7j.
33. u(1, j) = 23 + 24cos8j. 34. u(1, j) = 24 + 36cos9j.
35. u(1, j) = 25 + 33cos10j. 36. u(1, j) = 26 + 14sin6j.
37. u(1, j) = 27 + 12sin7j. 38. u(1, j) = 28 + 12sin8j.
39. u(1, j) = 29 + 36sin9j. 40. u(1, j) = 30 + 66sin10j.
Задание 9.2. Решить внутреннюю задачу Дирихле для
уравнения Лапласа Du = 0 в кольце 1 £ r £ 2, 0 £ j £ 2p
((r, j) — полярные координаты) при следующих ГУ:
1. u(1, j) = 10cosj; u(2, j) = 17cosj.
2. u(1, j) = 8cos2j; u(2, j) = 17cos2j.
3. u(1, j) = 20cos3j; u(2, j) = 34cos3j.
4. u(1, j) = 52cos4j; u(2, j) = 67cos4j.
5. u(1, j) = 98cos5j; u(2, j) = 67cos5j.
6. u(1, j) = 20sinj; u(2, j) = 34sinj.
7. u(1, j) = 8sin2j; u(2, j) = 17sin2j.
156
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
8. u(1, j) = 10sin3j; u(2, j) = 17sin3j.
9. u(1, j) = 34sin4j; u(2, j) = 34sin4j.
10. u(1, j) = 98sin5j; u(2, j) = 67sin5j.
11. u(1, j) = 1 + 38cosj; u(2, j) = 67cosj.
12. u(1, j) = 2 + 16cos2j; u(2, j) = 34cos2j.
13. u(1, j) = 3 + 10cos3j; u(2, j) = 17cos3j.
14. u(1, j) = 4 + 17cos4j; u(2, j) = 17cos4j.
15. u(1, j) = 5 + 34cos5j; u(2, j) = 34cos5j.
16. u(1, j) = 6 + 38sinj; u(2, j) = 67sinj.
17. u(1, j) = 7 + 28sin2j; u(2, j) = 67sin2j.
18. u(1, j) = 8 + 20sin3j; u(2, j) = 34sin3j.
19. u(1, j) = 9 + 17sin4j; u(2, j) = 17sin4j.
20. u(1, j) = 10 + 32,5sin5j; u(2, j) = 17sin5j.
21. u(1, j) = 36cosj; u(2, j) = 1 + 66cosj.
22. u(1, j) = 24cos2j; u(2, j) = 2 + 66cos2j.
23. u(1, j) = 12cos3j; u(2, j) = 3 + 33cos3j.
24. u(1, j) = 49cos4j; u(2, j) = 4 + 19cos4j.
25. u(1, j) = 128,5cos5j; u(2, j) = 5 + 19cos5j.
26. u(1, j) = 18sinj; u(2, j) = 6 + 33sinj.
27. u(1, j) = 24sin2j; u(2, j) = 7 + 66sin2j.
28. u(1, j) = 24sin3j; u(2, j) = 8 + 66sin3j.
29. u(1, j) = 18sin4j; u(2, j) = 9 + 33sin4j.
30. u(1, j) = 128,5sin5j; u(2, j) = 10 + 19sin5j.
31. u(1, j) = 21 + 14cosj; u(2, j) = 21 + 19cosj.
32. u(1, j) = 22 + 12cos2j; u(2, j) = 22 + 33cos2j.
33. u(1, j) = 23 + 24cos3j; u(2, j) = 23 + 66cos3j.
34. u(1, j) = 24 + 36cos4j; u(2, j) = 24 + 66cos4j.
35. u(1, j) = 25 + 33cos5j; u(2, j) = 25 + 33cos5j.
36. u(1, j) = 26 + 14sinj; u(2, j) = 26 + 19sinj.
37. u(1, j) = 27 + 12sin2j; u(2, j) = 27 + 19sin2j.
38. u(1, j) = 28 + 12sin3j; u(2, j) = 28 + 33sin3j.
39. u(1, j) = 29 + 36sin4j; u(2, j) = 29 + 66sin4j.
40. u(1, j) = 30 + 66sin5j; u(2, j) = 30 + 66sin5j.
Задание 9.3. Решить внутреннюю задачу Дирихле для
уравнения Лапласа Du = 0 в круговом секторе 0 < r < 1,
0 < j < a ((r, j) — полярные координаты, a < 2p) при сле?
дующих ГУ:
1. u(1, j) = sin12j; u(r, 0) = u(r, p/6) = 0.
9. ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
2. u(1, j) = 2sin16j; u(r, 0) = u(r, p/4) = 0.
3. u(1, j) = 3sin9j; u(r, 0) = u(r, p/3) = 0.
4. u(1, j) = 4sin4j; u(r, 0) = u(r, p/2) = 0.
5. u(1, j) = 5sin3j; u(r, 0) = u(r, 2p/3) = 0.
6. u(1, j) = 6sin8j; u(r, 0) = u(r, 3p/4) = 0.
7. u(1, j) = 7sin18j; u(r, 0) = u(r, 5p/6) = 0.
8. u(1, j) = 8sinj; u(r, 0) = u(r, p) = 0.
9. u(1, j) = 9sin16j; u(r, 0) = u(r, 7p/4) = 0.
10. u(1, j) = 10sin2j; u(r, 0) = u(r, 3p/2) = 0.
11. u(1, j) = 11cos24j; uj(r, 0) = uj(r, p/6) = 0.
12. u(1, j) = 12cos12j; uj(r, 0) = uj(r, p/4) = 0.
13. u(1, j) = 13cos18j; uj(r, 0) = uj(r, p/3) = 0.
14. u(1, j) = 14cos2j; uj(r, 0) = uj(r, p/2) = 0.
15. u(1, j) = 15cos9j; uj(r, 0) = uj(r, 2p/3) = 0.
16. u(1, j) = 16cos16j; uj(r, 0) = uj(r, 3p/4) = 0.
17. u(1, j) = 17cos6j; uj(r, 0) = uj(r, 5p/6) = 0.
18. u(1, j) = 18cos3j; uj(r, 0) = uj(r, p) = 0.
19. u(1, j) = 19cos8j; uj(r, 0) = uj(r, 7p/4) = 0.
20. u(1, j) = 20cos4j; uj(r, 0) = uj(r, 3p/2) = 0.
21. u(1, j) = sin10j; u(r, 0) = uj(r, p/4) = 0.
22. u(1, j) = 2sinj; u(r, 0) = uj(r, p/2) = 0.
23. u(1, j) = 3sin22j; u(r, 0) = uj(r, 3p/4) = 0.
24. u(1, j) = 4sin2j; u(r, 0) = uj(r, 7p/4) = 0.
25. u(1, j) = 5sin7j; u(r, 0) = uj(r, 3p/2) = 0.
26. u(1, j) = 6sin14j; u(r, 0) = uj(r, p/4) = 0.
27. u(1, j) = 7sin3j; u(r, 0) = uj(r, p/2) = 0.
28. u(1, j) = 8sin18j; u(r, 0) = uj(r, 3p/4) = 0.
29. u(1, j) = 9sin10j; u(r, 0) = uj(r, 7p/4) = 0.
30. u(1, j) = 10sin5j; u(r, 0) = uj(r, 3p/2) = 0.
31. u(1, j) = 11cos18j; uj(r, 0) = u(r, p/4) = 0.
32. u(1, j) = 12cos5j; uj(r, 0) = u(r, p/2) = 0.
33. u(1, j) = 13cos10j; uj(r, 0) = u(r, 3p/4) = 0.
34. u(1, j) = 14cos14j; uj(r, 0) = u(r, 7p/4) = 0.
35. u(1, j) = 15cos3j; uj(r, 0) = u(r, 3p/2) = 0.
36. u(1, j) = 16cos22j; uj(r, 0) = u(r, p/4) = 0.
37. u(1, j) = 17cos7j; uj(r, 0) = u(r, p/2) = 0.
38. u(1, j) = 18cos14j; uj(r, 0) = u(r, 3p/4) = 0.
39. u(1, j) = 19cos6j; uj(r, 0) = u(r, 7p/4) = 0.
40. u(1, j) = 20cosj; uj(r, 0) = u(r, 3p/2) = 0.
157
ОТВЕТЫ
1. РЯДЫ ФУРЬЕ
ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ ФУНКЦИЙ
1
3
4
24
1.2. а) f (x) 2 5 6 38
7 65
cos(2k 7 1)x 6
4 k 21 5(2k 7 1)4 (2k 7 1)2 9
6
б) f (x) 2
1
35 cos2kx;
2
k 21 2k
1
2
(61)k 47 12
6 23 58 sin kx.
3
k
9k
k 21
1
1
1.3. а) f (x) 2 3 0 4 cos x 3 0 4 cos2x...; б) f (x) 2 4
4
k 21
1
4
1.4. а) f (x) 2 2 3 5
cos2kx;
4 k 21 (4k2 3 1)4
б) f(x) = 1 × sinx + 0 × sin2x + ...
1
(41)k 21
1.5. a) f (x) 3 1 4 cos x 2 5 2
coskx;
2
k 32 k 4 1
1
б) f (x) 2 3 sin x 4 16 5 2k sin2kx.
2
3 k 21 k 4 1
1
2
( 41)k e 2 4 1
cos kx;
1.6. a) f (x) 3 e 4 1 5 2 6
2
2 k 31 k2 5 1
1
б) f (x) 3 2 6
2 k 31
1 4 ( 41)k e 2
k sin kx.
k2 5 1
1
k 2
2
1.7. a) f (x) 3 2 4 1 5 2ln2 6 (421) 2 24 1 cos kx;
2 ln2
2 k 31 k 5 ln 2
1
k 21 3
б) f (x) 4 2 6 1 2 2(51) 2 2 k sin kx.
3 k 41 k 2 ln 2
sin(2k 3 1)x
.
2k 3 1
159
ОТВЕТЫ
1
3
4
1.8. a) f (x) 2 sh5 81 6 2 ( 71)k cos kx
;
2 9
5
6
1
k
k 21
1
2
б) f (x) 2 6
4 k21
1.9. a) f (x) 4
1 3 (31)k ch4
k sin kx.
1 5 k2
2(1 2 323 /2 ) 4ln3 1 1 2 (21)k 323 /2
5
cos kx;
2
2
3 ln3
3 k6
41 4k 5 (ln3)
1
1 2 ( 21)k 323 /2
б) f (x) 4 8 6
k sin kx.
3 k 41 4k2 5 ln2 3
1
ch4 3 1 5 2
1.10. a) f (x) 2
4
4 k6
21
1
б) f (x) 3 2 6
5 k 31
( 41)k 21 sh 5
k sin kx.
1 2 k2
1
1.11. a) f (x) 3 5 2 4 6
3
k 31
2
1
б) f (x) 2 2 5
3 k 21
(31)k ch4 3 1
coskx;
1 5 k2
( 41)k 21 cos kx
;
n2
1
32 4 4(2k 4 1)2
sin((2k 4 1)x) 4 23 5 sin2kx .
3
2k
(2k 4 1)
k 21
1
k
2
2
1.12. a) f (x) 2 44 3 64 5 3 5 8 6 ( 31) (24 3 1) 5 1 coskx;
2
3
4 k 21
k
1
2
k
2
б) f (x) 2 2 6 k 3 8 4 (31) (8 3 (1 3 2k) ) sin kx.
3
5 k 21
k
1
k
2
1.13. a) f (x) 2 4 5 3 5 4 6 ( 31) cos kx;
2
3
k
k 21
1
2
2 2
k
б) f (x) 2 2 6 (k 3 2) 4 (2 3 k) (5 4 1)( 31) sin kx.
5 k 21
k3
3 4n 1 cos(2k 4 1)x
, n 2 2,4,6,...;
56
n2 4 (2k 4 1)2
1.14. f (x) 2 57 k 21
1
cos2kx , n 2 1,3,5,...
5 2 8 4n
59 n6 6 k 21 n2 4 (2k)2
3 4 1
(2k 4 1)
54 6 9 n2 4 (2k 4 1)2 sin(2k 4 1)x, n 2 2,4,6,...;
5
1.15. f (x) 2 7 k 21
1
k cos2kx , n 2 1,3,5,...
54 8
2
2
58 6 k9
21 n 4 (2k)
160
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
1
k
2
1.17. f (x) 2 4 5 4 6 ( 31) cos kx .
3
k2
k 21
1.18. f (x) 2
1
2
(61)k 47 12
6 23 58 sin kx.
3
k
k
9
k 21
1
1.19. f (x) 2 4 5 6 ( 31) sin kx.
2 k 21 k
k
1
1.20. f (x) 2 sh(34) 6 2sh(34) 7 (51)k 3 cos kx 5 k sin kx .
34
4
32 6 k2
k 21
1
k 21
1.21. f (x) 3 1 4 cos x 2 5 ( 41) coskx.
2
2
k 32 k 4 1
1
k 21
1.22. f (x) 3 sin 5a 2 2a sin 5a 6 ( 41) cos kx,
2
2
5a
5
k 31 k 4 a
если a — нецелое число.
1
k 21
1.23. f (x) 3 2sin 5a 6 ( 41) k sin kx,
5 k 31 k2 4 a2
если a — нецелое число.
1
1.24. f (x) 2 2 3 4 5 cos2kx .
4 4 k 21 4k2 3 1
1
k 21
1.25. f (x) 3 2 2 4 6 ( 41) cos2kx.
5 5 k 31 4k2 4 1
1
1.26. f (x) 2 3 sin kx .
k
k 21
1
4
1.27. f (x) 2 1 3 5
cos(2k 3 1)4x.
2 k 21 (2k 3 1)2 42
1
1.28. f (x) 3 2l 6 ( 41)
5 k 31 k
k 21
sin k5x .
l
1
1.29. f (x) 2 4 5 1 sin (2k 3 1)4x .
4 k 21 2k 3 1
l
1
1.30. f (x) 2 1 4 1 sin 3x 5 2 6 1 cos 2k3x .
3 2
l 3 k 21 4k2 5 1
l
1
1.31. f (x) 2 1 4 5 sin k3h / l cos k3x .
2l k 21 k3h
l
161
ОТВЕТЫ
1.32. f (x) 2
1
2
(0)
(0)
k 21 5k J1 (5k )
3 5(0)x 4
J0 6 k 7,
8 l 9
где mk(0) — k й корень уравнения J0(x) = 0.
(0)
1
1.33. f (x) 2 4 J1 (3k /2) J0 (3(0)
k x),
(0)
(0) 2
k 21 3k [ J1 (3k )]
где mk(0) — k й корень уравнения J0(x) = 0.
1.34. f (x) 1 4 P0 (x) 2 1 3 P1 (x) 4 2 P2 (x),
3
3
остальные коэффициенты равны нулю.
1.35. f (x) 1 3 P1 (x) 2 7 P3 (x) 3 9 P5 (x) 2 ...
2
8
16
1.36. f (x) 1 7 P32 (x) 2 11 P52 (x) 2 ...
32
48
2. ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
(случай одной пространственной переменной)
2.1. Для определения смещения u(x, t) поперечного сечения
стержня из положения равновесия имеем следующие НКЗ:
а) utt = c2uxx, c 1 E /2, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
ux|x = 0 = –F1(t)/(ES),
ux|x = l = F2(t)/(ES),
u|t = 0 = j(x), ut|t = 0 = y(x);
б) utt = c2uxx – kut, c 1 E /2, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|x = 0 = m1(t), u|x = l = m2(t),
u|t = 0 = j(x), ut|t = 0 = y(x),
где r — плотность материала стержня, S — площадь его попе
речного сечения, E — модуль Юнга, k — коэффициент про
порциональности в выражении для силы сопротивления откло
нению –kut, действующей на единицу массы.
2.2. Для определения продольных отклонений u(x, t) точек
стержня от их положений равновесия получаем НКЗ:
162
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
а) utt = c2uxx, c 1 E /2, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
ux|x = 0 = ux|x = l = 0,
u|t = 0 = j(x), ut|t = 0 = y(x);
б) utt = c2uxx, c 1 E /2, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
(ESux – kut)|x = 0 = 0, u|x = l = 0,
u|t = 0 = j(x), ut|t = 0 = y(x);
в) utt = c2uxx, c 1 E /2, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|x = 0 = 0, (ESux + mutt)|x = l = 0,
u|t = 0 = j(x), ut|t = 0 = y(x),
где r — плотность материала стержня, S — площадь его попе&
речного сечения, E — модуль Юнга, k — коэффициент вязкого
трения для левого конца.
2.3. Смещения u(x, t) поперечных сечений стержня из поло&
жений равновесия определяются следующими НКЗ:
а) utt = c2uxx, c 1 E /2, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
(ESux – k1u)|x = 0 = 0, (ESux + k2u)|x = l = 0,
u|t = 0 = j(x), ut|t = 0 = y(x);
б) utt = c2uxx + F(x, t)/r, c 1 E /2, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|x = 0 = u|x = l = 0,
u|t = 0 = j(x), ut|t = 0 = y(x),
где r — плотность материала стержня, S — площадь его попе&
речного сечения, E — модуль Юнга, k1, 2 — коэффициенты же&
сткости упругого закрепления концов.
2.4. НКЗ о продольных колебаниях конического стержня
выглядит следующим образом:
utt 4 c2 27 uxx 5 2R 1 2r ux 38, c 4 E / 6,
Rx 1 r (x 1 l)
9
x Î [0, l], t Î [0, +¥), u|x = 0 = u|x = l = 0,
u|t = 0 = j(x), ut|t = 0 = y(x),
где r — плотность материала стержня, E — модуль Юнга, r —
радиус левого основания, R — радиус правого.
163
ОТВЕТЫ
2.5. Продольные смещения u(x, t) в обоих полубесконечных
стержнях описываются уравнением свободных колебаний. На
торце выполняются ГУ (условия сшивания):
utt 1 c2uxx , x 2 (34, 5 4), x 6 0, t 2 [0, 5 4),
c1
7 E1 /81 , x 9 0,
E2 / 82 , x 0,
u|x = 0 – 0 = u|x = 0 + 0, E1ux|x = 0 – 0 = E2ux|x = 0 + 0,
u|t = 0 = j(x), ut|t = 0 = y(x),
где r1, 2 — плотности материала для двух частей стержня,E1, 2 —
модули Юнга для них.
2.6. Продольные смещения u(x, t) в обоих полубесконечных
стержнях описываются уравнением свободных колебаний. Ус*
ловия сшивания (ГУ на торце) следуют из непрерывности стерж*
ня и второго закона Ньютона для массы m:
utt = c2uxx, x Î (–¥, +¥), x ¹ 0, t Î [0, +¥),
41 E1 /21 , x 3 0,
c56
48 E2 / 22 , x 7 0,
u|x = 0 – 0 = u|x = 0 + 0, E1Sux|x = 0 – 0 – E2Sux|x = 0 + 0 + mutt|x = 0 = 0,
u|t = 0 = j(x), ut|t = 0 = y(x),
где r1, 2 — плотности материала для двух частей стержня,E1, 2 —
модули Юнга для них.
2.7. Начально*краевая задача о колебаниях стержня пере*
менного сечения имеет вид
2S(x)utt 3 1 (S(x) Eux ), x Î [0, l], t Î [0, +¥),
1x
(S(0)Eux – ku)|x = 0 = 0, ux|x = l = F(t)/E,
u|t = 0 = j(x), ut|t = 0 = y(x),
где r — плотность материала стержня, E — модуль Юнга, k —
коэффициент жесткости закрепления конца x = 0.
2.8. Колебания стержня описываются неоднородным урав*
нением с однородными ГУ:
utt = c2uxx + g, c 1 E /2, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|x = 0 = ux|x = l = 0, u|t = 0 = 0, ut|t = 0 = v0,
164
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
где r — плотность материала стержня, g — ускорение свободно'
го падения, E — модуль Юнга. За нуль взята координата точки
подвеса стержня.
2.9. Для определения поперечных отклонений u(x, t) точек
струны от их положений равновесия имеем НКЗ:
utt = c2uxx – kut, c 1 T0 / 2л , x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|t = 0 = j(x), ut|t = 0 = y(x);
а) u|x = 0 = u|x = l = 0;
б) ux|x = 0 = 0, ux|x = l = F(t)/T0,
где rл — линейная плотность струны, T0 — сила ее натяжения,
kr л — коэффициент вязкого трения, он определяет силу со'
противления, действующую на единицу длины струны.
2.10. Движение стержня описывается уравнением свобод'
ных колебаний, неоднородное ГУ на нижнем конце следует из
второго закона Ньютона для груза M:
utt = c2uxx, c 1 E /2, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|x = 0 = 0, (ESux + Mutt)|x = l = Mg,
u|t = 0 = ut|t = 0 = 0,
где r — плотность материала стержня, g — ускорение свободно'
го падения, E — модуль Юнга. За нуль взята координата точки
подвеса стержня, ось X направлена вдоль стержня вниз.
2.11. Во вращающейся неинерциальной системе отсчета на
стержень действуют центробежные силы инерции, его движе'
ние описывается уравнением вынужденных колебаний. ГУ при
x = l выводится из второго закона Ньютона для груза M:
utt = c2uxx + (x + u)w 2(t), c 1 E /2, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|x = 0 = 0, (ESux + Mutt – Mw 2(l + u))|x = l = 0,
u|t = 0 = ut|t = 0 = 0,
где r — плотность материала стержня, S — площадь его попе'
речного сечения, E — модуль Юнга. Ось X направлена вдоль
стержня, ее начало находится на оси вращения и совпадает с
началом стержня.
2.12. Движение стержня рассматривается во вращающейся
системе отсчета аналогично задаче 2.11:
utt = c2uxx + (x + u)w 2(t), c 1 E /2, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
(SEux – ku)|x = 0 = 0, ux|x = l = 0, u|t = 0 = ut|t = 0 = 0,
165
ОТВЕТЫ
где r — плотность материала стержня, S — площадь его попе
речного сечения, E — модуль Юнга, k — коэффициент же
сткости закрепления левого конца. За нуль координаты x взята
точка крепления пружины к оси.
2.13. Движение стержня рассматривается во вращающейся
системе отсчета аналогично задаче 2.11. Колебания каждой по
ловины стержня описываются неоднородным уравнением. ГУ
(условия сшивания) следуют из непрерывности стержня и вто
рого закона Ньютона для груза M:
utt = c2uxx + (x + u)w 2(t), c 1 E /2, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|x = 0 = ux|x = l = 0,
u|x = l/2 – 0 = u|x = l/2 + 0,
l42 (t) 6
5
ux x 1l/22 0 3 ux x 1 l/2 30 1 M 7 utt x 1 l/2 3
,
ES 9
2 8
u|t = 0 = ut|t = 0 = 0,
где r — плотность материала стержня, S — площадь его попе
речного сечения, E — модуль Юнга. За нуль координаты x взя
та точка крепления стержня к оси.
2.14. Колебания стержня описываются неоднородным урав
нением с однородными граничными и начальными условиями:
utt = c2uxx + g, c 1 E /2, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|x = 0 = ux|x = l = 0, u|t = 0 = ut|t = 0 = 0,
где r — плотность материала стержня, g — ускорение свободно
го падения, E — модуль Юнга. За нуль взята координата точки
подвеса стержня.
2.15. Между грузиками поперечные смещения точек стру
ны u(x, t) удовлетворяют неоднородному уравнению. В точках
xi выполняются условия сшивания:
utt = c2uxx + g, c 1 T0 / 2л , x Î [0, l], x ¹ xi, t Î [0, +¥),
ux|x = 0 = 0, u|x = l = m(t),
u|x 1 xi 20 1 u|x 1 xi 3 0 , ux |x 1 xi 2 0 2ux |x 1 xi 3 0 1 mi ( g 2 utt |x 1 xi )/T0 ,
u|t = 0 = j(x), ut|t = 0 = y(x),
где rл — линейная плотность струны, T0 — сила ее натяжения,
g — ускорение свободного падения, вертикальная ось направ
лена вниз.
166
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
2.16. Поперечные смещения u(x, t) точек неоднородной стру%
ны описываются дифференциальным уравнением с переменны%
ми коэффициентами:
rл(x)utt = T0uxx + rл(x)g, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
ux|x = 0 = 0, ux|x = l = F(t)/T0,
u|t = 0 = j(x), ut|t = 0 = y(x),
где rл(x) — линейная плотность нити, T0 — сила натяжения
нити, вертикальная ось направлена вниз.
2.17. Наличие вязкого трения приводит к появлению в урав%
нении члена %kut:
utt = c2uxx – kut, c 1 T0 / 2л , x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|x = 0 = 0, u|x = l = m(t),
u|t = 0 = j(x), ut|t = 0 = y(x),
где rл — линейная плотность нити, T0 — сила натяжения нити,
krл — коэффициент вязкого трения, он определяет силу соп%
ротивления, действующую на единицу длины струны.
2.18. Колебания струны рассматриваются в неинерциальной
системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью w. Ось X
направлена вдоль равновесного положения струны, точка x = 0
соответствует ее свободному концу. В результате действия сил
инерции сила натяжения струны оказывается переменной:
2
utt 3 1 2 (x2ux ), x Î [0, l], t Î [0, +¥),
2 2x
|u(0, t)| < ¥, u(l, t) = 0,
u(x, 0) = j(x), ut(x, 0) = y(x).
2.19. Вне точки x = 0 поперечные смещения струны описы%
ваются свободным уравнением. Условия сшивания следуют из
непрерывности струны и второго закона Ньютона для шарика:
а) utt = c2uxx, c 1 T0 / 2л , x Î (–¥, +¥), x ¹ 0, t Î [0, +¥),
u|x = 0 – 0 = u|x = 0 + 0,
T0(ux|x = 0 – 0 – ux|x = 0 + 0) = F0sinWt – m0utt|x = 0,
u|t = 0 = ut|t = 0 = 0;
б) utt = c2uxx, c 1 T0 / 2л , x Î (–¥, +¥), x ¹ 0, t Î [0, +¥),
u|x = 0 – 0 = u|x = 0 + 0,
167
ОТВЕТЫ
T0(ux|x = 0 + 0 – ux|x = 0 – 0) = m0utt|x = 0,
u|t = 0 = 0, ut|t = 0 = p0d(x)/m0;
в) utt = c2uxx, c 1 T0 / 2л , x Î (–¥, +¥), x ¹ 0, t Î [0, +¥),
u|x = 0 – 0 = u|x = 0 + 0,
T0(ux|x = 0 + 0 – ux|x = 0 – 0) = (ku + m0utt)|x = 0,
u|t = 0 = u0d(x), ut|t = 0 = 0,
где rл — линейная плотность струны, T0 — сила натяжения стру
ны, d(x) — дельтафункция Дирака.
2.20. Ось X направлена вдоль равновесного положения стру
ны, точка x = 0 соответствует ее свободному концу. Действие
силы тяжести приводит к переменной силе натяжения струны:
utt 2 g 1 (xux ), x Î [0, l], t Î [0, +¥),
1x
|u(0, t)| < ¥, u(l, t) = 0,
u(x, 0) = j(x), ut(x, 0) = y(x).
2.21. Между грузиками поперечные смещения точек стру
ны u(x, t) удовлетворяют неоднородному уравнению с перемен
ными коэффициентами. В точках xi выполняются условия сши
вания:
rл(x)utt = T0uxx + rл(x)g, x Î [0, l], x ¹ xi, t Î [0, +¥),
u|x = 0 = u|x = l = 0,
1
2
u x 3 x 40 3 u x 3 x 5 0 , ux x 3 x 4 0 4 ux x 3 x 5 0 3 mi g 4 utt x 3 x /T0 ,
i
i
i
i
i
u|t = 0 = j(x), ut|t = 0 = y(x),
где r л(x) — линейная плотность нити, T0 — сила натяжения
нити, g — ускорение свободного падения, вертикальная ось на
правлена вниз.
2.22. Колебания струны рассматриваются в неинерциальной
системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью w. Ось X
направлена вдоль равновесного положения струны, за точку
x = 0 принята точка подвеса. В точкеx = l/2 выполняются усло
вия сшивания:
rл(x)utt = Tuxx + rл(x)uw 2(t), x Î [0, l], t Î [0, +¥),
4T 1 m0 g 2 T1, x 3 l /2,
T56 0
8T0 , x 7 l /2,
168
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
u|x = l/2 – 0 = u|x = l/2 + 0,
T1ux|x = l/2 – 0 – T0ux|x = l/2 + 0 = m0(w 2(t)u – utt)|x = l/2,
u|x = 0 = u|x = l = 0,
u|t = 0 = j(x), ut|t = 0 = y(x),
где rл — линейная плотность нити, T0 — сила ее натяжения, g —
ускорение свободного падения, l — длина нити.
2.23. Колебания бесконечной струны определяются задачей
Коши для неоднородного уравнения
rл(x)utt = T0uxx + F(t)d(x – x0), x Î (–¥, +¥), t Î [0, +¥),
u|t = 0 = j(x), ut|t = 0 = y(x),
где rл(x) — линейная плотность нити, T0 — сила ее натяжения,
x0 — точка приложения силы, d(x) — дельта5функция Дирака.
Если точка приложения силы меняется по закону x0 = g(t),
то дифференциальное уравнение преобразуется к виду:
rл(x)utt = T0uxx + F(t)d(x – g(t)), x Î (–¥, +¥), t Î [0, +¥).
2.24. Колебания струны вне точки закрепления шарика опи5
сываются свободным уравнением. В точке закрепления выпол5
няются условия сшивания:
rл(x)utt = T0uxx, x Î (–¥, +¥), x ¹ 0, t Î [0, +¥),
u|x = 0 – 0 = u|x = 0 + 0, T0(ux|x = 0 – 0 – ux|x = 0 + 0) = –(ku + Mutt)|x = 0;
u|t = 0 = 0, ut|t = 0 = p0d(x)/M,
где rл(x) — линейная плотность нити, T0 — сила ее натяжения,
x0 = 0 — точка крепления шарика, d(x) — дельта5функция Ди5
рака.
2.25. Колебания струны вне точки закрепления пружины
описываются неоднородным уравнением. В точкеx = l/2 выпол5
няются условия сшивания. Граничное условие на правом конце
следует из второго закона Ньютона для груза M:
utt 1 c2uxx 2 g, c 1 T0 / 3л , x Î [0, l], x ¹ l/2, t Î [0, +¥),
u|x = 0 = 0, T0ux|x = l = –Mutt|x = l,
u|x = l/2 – 0 = u|x = l/2 + 0,
ux|x = l/2 – 0 – ux|x = l/2 + 0 = –(k/T0)u|x = l/2,
u|t = 0 = 0, ut|t = 0 = pd(x – l)/M,
169
ОТВЕТЫ
где rл — линейная плотность нити, T0 — сила натяжения нити,
вертикальная ось направлена вниз.
2.26. Струна совершает вынужденные колебания под дейст
вием силы Ампера, линейная плотность которой равна m0HI(t),
следовательно,
utt 1 c2uxx 2 30 HI (t)/ 4л , c 1 T0 / 4л , x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|x = 0 = u|x = l = 0,
u|t = 0 = ut|t = 0 = 0,
где rл — линейная плотность струны, T0 — сила ее натяжения,
m0 — магнитная постоянная.
2.27. Колебания тока и напряжения в проводе описываются
телеграфными уравнениями (59) и (60). НКЗ для распределе
ния напряжений:
uxx = CLutt + (CR + LG)ut + RGu, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|x = 0 = 0, u|x = l = e(t),
u|t = 0 = F(x), ut|t = 0 = –f ¢(x)/C – GF(x)/C.
Граничные и начальные условия для тока можно получить, ис
пользуя (57) и (58), НКЗ имеет вид:
ixx = CLitt + (CR + LG)it + RGi, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
ix|x = 0 = 0, ix|x = l = –Ce¢(t) – Ge(t),
i|t = 0 = f(x), it|t = 0 = –F¢(x)/L – Rf(x)/L.
2.28. Если сопротивлением провода и проводимостью утеч
ки можно пренебречь, для колебаний тока и напряжения вы
полняется свободное уравнение струны. НКЗ для колебаний на
пряжения в проводе имеет вид:
utt 1 c2uxx , c 1 1/ LC , x Î [0, l], t Î [0, +¥),
(Lut – RЭДСux)|x = 0 = Le¢(t), ux|x = l = 0,
u|t = 0 = F(x), ut|t = 0 = –f ¢(x)/C.
НКЗ для колебаний тока в проводе:
itt 1 c2ixx , c 1 1/ LC , x Î [0, l], t Î [0, +¥),
(ix – RЭДСCit)|x = 0 = –Ce¢(t), i|x = l = 0,
i|t = 0 = f(x), it|t = 0 = –F¢(x)/L.
170
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
2.29. Колебания тока и напряжения описываются свобод%
ным уравнением струны. НКЗ для определения напряжения:
utt 1 c2uxx , c 1 1/ LC , x Î [0, l], t Î [0, +¥),
(Lut – R0ux)|x = 0 = 0,
LC
( 0utt + ux)|x = l = 0,
u|t = 0 = F(x), ut|t = 0 = –f ¢(x)/C.
НКЗ для определения колебаний тока:
itt = c2ixx, c 1 1/ LC , x Î [0, l], t Î [0, +¥),
(ix – R0Cit)|x = 0 = 0, (C0ix + Ci)|x = l = 0,
i|t = 0 = f(x), it|t = 0 = –F¢(x)/L.
За нуль координаты x взят конец провода, заземленный через
сосредоточенное сопротивление.
2.30. Эта задача отличается от двух предыдущих постанов%
кой граничных условий. НКЗ для колебаний напряжения в про%
воде:
utt = c2uxx, c 1 1/ LC , x Î [0, l], t Î [0, +¥),
(L0(1)ux – Lu)|x = 0 = 0, (L0(2)ux + Lu)|x = l = Le(t),
u|t = 0 = F(x), ut|t = 0 = –f ¢(x)/C.
НКЗ для колебаний тока:
itt = c2ixx, c 1 1/ LC , x Î [0, l], t Î [0, +¥),
(ix – CL0(1)itt)|x = 0 = 0, (ix + CL0(2)itt)|x = l = –Ce¢(t),
i|t = 0 = f(x), it|t = 0 = –F¢(x)/L.
Здесь e(t) — ЭДС на правом конце.
2.31. Колебания тока и напряжения в проводе описываются
телеграфными уравнениями (59) и (60). НКЗ для определения
напряжения:
uxx = CLutt + (CR + LG)ut + RGu, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
(R1ux – (Lut + Ru))|x = 0 = 0, (R2ux + (Lut + Ru))|x = l = 0,
u|t = 0 = F(x), ut|t = 0 = –f ¢(x)/C – GF(x)/C.
НКЗ для определения тока в проводе:
ixx = CLitt + (CR + LG)it + RGi, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
(ix – R1(Cit + Gi))|x = 0 = 0, (ix + R2(Cit + Gi))|x = l = 0,
i|t = 0 = f(x), it|t = 0 = –F¢(x)/L – Rf(x)/L,
171
ОТВЕТЫ
здесь C, L, R, G — емкость, индуктивность, сопротивление и
проводимость утечки, рассчитанные на единицу длины прово
да, R1, 2 — сосредоточенные сопротивления на концах x = 0 и
x = l, f(x) и F(x) — начальные значения тока и напряжения.
2.32. Задача отличается от 2.31. граничными условиями,
которые выводятся из закона Ома для сосредоточенных сопро
тивлений на концах провода:
(q/C1 – u)|x = 0 = R1i|x = 0, i|x = 0 = – qt|x = 0,
(u – q/C2)|x = l = R2i|x = l, i|x = l = qt|x = l,
здесь R1, 2, C1, 2 — сосредоточенные сопротивления и емкости на
концах x = 0 и x = l, q — заряды конденсаторов. Дифференци
руя эти равенства по времени и используя (57) и (58), гранич
ные условия можно переписать для токов или напряжений.
НКЗ для колебаний напряжения в проводе имеет вид:
uxx = CLutt + (CR + LG)ut + RGu, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
(С1R1uxt + ux – C1Lutt – C1Rut)|x = 0 = 0,
(С2R2uxt + ux + C2Lutt + C2Rut)|x = l = 0,
u|t = 0 = F(x), ut|t = 0 = –f ¢(x)/C – GF(x)/C.
НКЗ для колебаний тока:
ixx = CLitt + (CR + LG)it + RGi, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
(С1R1Citt – C1ixt + (C + С1R1G)it + Gi)|x = 0 = 0,
(С2R2Citt + C2ixt + (C + С2R2G)it + Gi)|x = l = 0,
i|t = 0 = f(x), it|t = 0 = –F¢(x)/L – Rf(x)/L.
При С1, С2 = ¥ граничные условия этой задачи переходят в ус
ловия задачи 2.31.
2.33. Задача отличается от двух предыдущих постановкой
граничных условий. Из закона Ома для сосредоточенных сопро
тивлений на концах провода следует:
R1i|x = 0 = –u|x = 0 – L1it|x = 0,
R2i|x = l = u|x = l – L2it|x = l,;
здесь R1, 2, L 1, 2 — сосредоточенные сопротивления и индук
тивности на концах x = 0 и x = l. Дифференцируя эти равенства
по времени и исключая одну из двух неизвестных функций с
помощью (57) или (58), можно получить граничные условия для
токов и напряжений.
172
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
НКЗ для определения напряжения:
uxx = CLutt + (CR + LG)ut + RGu, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
(L1uxt – Lut + R1ux – Ru)|x = 0 = 0,
(L2uxt + Lut + R2ux + Ru)|x = l = 0,
u|t = 0 = F(x), ut|t = 0 = –f ¢(x)/C – GF(x)/C.
НКЗ для определения тока:
ixx = CLitt + (CR + LG)it + RGi, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
(СL1itt – ix + (СR1 + GL1)it + GR1i)|x = 0 = 0,
(СL2itt + ix + (СR2 + GL2)it + GR2i)|x = l = 0,
i|t = 0 = f(x), it|t = 0 = –F¢(x)/L – Rf(x)/L.
При L1 = L2 = 0 граничные условия этой задачи переходят в ус4
ловия задачи 2.31.
2.34. Колебания тока и напряжения в проводе вне сосредо4
точенной емкости C0 описываются телеграфными уравнениями
(59) и (60), в которых G = 0. Направим ось X вдоль провода и
выберем точку x = 0 в месте соединения полуограниченных про4
водов. ГУ (условия сшивания) в точке x = 0 следуют из непре4
рывности тока и связи между зарядом и напряжением на кон4
денсаторе:
i|x = 0 – 0 = i|x= 0 + 0, ut|x = 0 + 0 – ut|x = 0 – 0 = (1/C0)i|x = 0 ± 0.
НКЗ для напряжения в проводе имеет вид:
uxx = CLutt + CRut, x Î (–¥, +¥), x ¹ 0, t Î [0, +¥),
u x| x = 0 – 0 = u x| x = 0 + 0 ;
(Lutt + Rut)|x = 0 + 0 – (Lutt + Rut)|x = 0 – 0 = –(1/C0)ux|x = 0 ± 0.
u|t = 0 = F(x), ut|t = 0 = –f ¢(x)/C ,
здесь C, L, R, — емкость, индуктивность и сопротивление, рас4
считанные на единицу длины провода. НКЗ для колебаний тока:
ixx = CLitt + CRit, x Î (–¥, +¥), x ¹ 0, t Î [0, +¥),
i|x = 0 – 0 = i|x= 0 + 0,
(ix|x = 0 – 0 – ix|x = 0 + 0)/C = (1/C0)i|x = 0 ± 0,
i|t = 0 = f(x), it|t = 0 = –F¢(x)/L – Rf(x)/L.
173
ОТВЕТЫ
2.35. Задача отличается от 2.34 видом условий сшивания,
которые следуют из непрерывности тока и закона Ома для со
средоточенного сопротивления R0:
i|x = 0 – 0 = i|x= 0 + 0, u|x = 0 + 0 – u|x = 0 – 0 = –R0i|x = 0 ± 0.
НКЗ для определения напряжения:
uxx = CLutt + CRut, x Î (–¥, +¥), x ¹ 0, t Î [0, +¥),
ux| x = 0 – 0 = u x| x = 0 + 0 ;
(Lut + Ru)|x = 0 + 0 – (Lut + Ru)|x = 0 – 0 = R0ux|x = 0 ± 0.
u|t = 0 = F(x), ut|t = 0 = –f ¢(x)/C.
НКЗ для определения тока:
ixx = CLitt + CRit, x Î (–¥, +¥), x ¹ 0, t Î [0, +¥),
i|x = 0 – 0 = i|x= 0 + 0, ix|x = 0 – 0 – ix|x = 0 + 0 = –CR0it|x = 0 ± 0,
i|t = 0 = f(x), it|t = 0 = –F¢(x)/L – Rf(x)/L.
2.36. Колебания тока и напряжения в проводе описываются
телеграфными уравнениями (59) и (60). ГУ следуют из связи
тока и напряжения на сосредоточенных элементах:
u
4u|x 10 1 R1i1, 4 u|x 10 5 L0i2t 1 0, i1 5 i2 1 i |x 1 0 6 27 t 5 u 38
1 4it |x 10 ,
9 R1 L0 x 10
u|x 1l 1 R2i1, C0ut 1 i2, i1 5 i2 1 i |x 1 l 6 27 u 5 C0ut 38 1 i |x 1l .
9 R2
x 1l
НКЗ для определения напряжения:
uxx = CLutt + (CR + LG)ut + RGu, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
(LL0utt – R1L0uxt + (RL0 + R1L)ut + RR1u)|x = 0 = 0,
(R2LC0utt + R2ux + (RR2C0 + L)ut + Ru)|x = l = 0,
u|t = 0 = F(x), ut|t = 0 = –f ¢(x)/C – GF(x)/C,
здесь C, L, R, G — емкость, индуктивность, сопротивление и
проводимость утечки, рассчитанные на единицу длины прово
да, L0 — сосредоточенная индуктивность на конце x = 0, C0 —
сосредоточенная емкость на конце x = l, а R1, 2, — сосредото
ченные сопротивления на концах x = 0 и x = l.
НКЗ для определения тока:
ixx = CLitt + (CR + LG)it + RGi, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
(СL0R1itt – L0ixt – R1ix + R1L0Git)|x = 0 = 0,
174
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
(C0ixt + ix/R2 + Cit + Gi)|x = l = 0,
i|t = 0 = f(x), it|t = 0 = –F¢(x)/L – Rf(x)/L.
2.37. НКЗ для определения колебаний тока в проводе:
ixx = CLitt + (CR + LG)it + RGi, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
i|x = 0 = 0, (C0ixt + ix/R0 + Cit + Gi)|x = l = 0,
l
i |t 10 1 0, 3 it |t 10 d2 1 u0 / L,
0
здесь C, L, R, G — емкость, индуктивность, сопротивление и
проводимость утечки, рассчитанные на единицу длины прово1
да, R0 и C0 — сосредоточенные сопротивление и емкость на кон1
це x = l.
2.38. Продольные отклонения u(x, t) частиц газа описыва1
ются свободным уравнением струны. ГУ выводятся из второго
закона Ньютона для поршней.
utt = c2uxx, c 1 2p0 /30 , x Î [0, l], t Î [0, +¥),
(–gp0Sux + ku + m1utt)|x = 0 = 0, (gp0Sux + m2utt)|x = l = 0,
u|t = 0 = 0, ut|t = 0 = m3vd(x – l)/m2,
где g — показатель адиабаты, p0 — давление невозмущенного
газа, r0 — его плотность, S — площадь сечения трубки.
2.39. Продольные отклонения u(x,t) частиц газа описывают1
ся свободным уравнением струны с однородными граничными
условиями.
utt = c2uxx, c 1 2p0 /30 , x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|x = 0 = ux|x = l = 0, u|t = 0 = 0, ut|t = 0 = v,
где g — показатель адиабаты, p0 — давление невозмущенного
газа, r0 — его плотность.
2.40. Смещения u(x, t) частиц газа описываются свободным
уравнением струны с произвольными НУ и однородными гра1
ничными условиями I, II или III рода соответственно
utt = c2uxx, c 1 2p0 /30 , x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|t = 0 = j(x), ut|t = 0 = y(x).
ГУ:
а) u|x = 0 = u|x = l = 0;
б) ux|x = 0 = ux|x = l = 0;
в) (ux – hu)|x = 0 = 0, (ux + hu)|x = l = 0, h = k/(Sgp0),
175
ОТВЕТЫ
где g — показатель адиабаты, p0 — давление невозмущенного
газа, r0 — его плотность, S — площадь сечения трубки.
2.41. Для колебаний частиц газа справедливо однородное
уравнение струны. ГУ при x = 0 следует из второго закона Нью%
тона для поршня M.
utt = c2uxx, c 1 2p0 / 30 , x Î [0, +¥), t Î [0, +¥),
(k*ut + k**u + Mutt – gp0Sux)|x = 0 = 0,
u|t = 0 = j(x), ut|t = 0 = y(x),
где g — показатель адиабаты, p0 — давление невозмущенного
газа, r0 — его плотность, S — площадь сечения трубки.
2.42. Совместим точку x = 0 с равновесным положением
поршня. Для колебаний частиц обоих газов выполняется одно%
родное уравнение струны, условия сшивания выводятся из вто%
рого закона Ньютона для поршня M.
utt = c2uxx, x Î (–¥, +¥), x ¹ 0, t Î [0, +¥),
15 2 (1) p0 /3(1) , x 4 0,
0
c67
(2)
59 2 p0 / 30(2) , x 8 0,
u|x = 0 – 0 = u|x = 0 + 0,
g(2)p0Sux|x = 0 + 0 – g(1)p0Sux|x = 0 – 0 = Mutt|x = 0,
u|t = 0 = j(x), ut|t = 0 = y(x),
где g(1), g(2) и r0(1), r0(2) — показатели адиабаты и плотности газов
слева и справа от поршня, соответственно, p0 — давление не%
возмущенного газа, S — площадь сечения трубки.
2.43. Начально%краевая задача об определении температу%
ры стержня, на боковой поверхности которого происходит сво%
бодный теплообмен по закону Ньютона с окружающей средой
заданной температуры, состоит из уравнения теплопроводно%
сти (56), произвольного НУ и граничных условийI или II рода.
1S
ut 2 k uxx 3 бок (u 3 u0 ),
c4
c4S
x Î [0, l], t Î [0, +¥); u|t = 0 = j(x);
а) u|x = 0 = m1(t), u|x = l = m2(t);
б) ux|x = 0 = –q1(t)/(kS), ux|x = l = q2(t)/(kS),
здесь k — коэффициент теплопроводности, с, S, r — удельная
теплоемкость, площадь поперечного сечения и плотность стер%
жня, Sбок — площадь боковой поверхности стержня единичной
176
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
длины, a — коэффициент внешнего теплообмена, u0 — тем&
пература окружающей среды, m1, 2(t) — температуры концов
стержня, q1, 2(t) — тепловые потоки, падающие на соответс т&
вующие концы стержня.
2.44. Задача об остывании кольца состоит из неоднородного
уравнения теплопроводности (56), произвольного НУ и условий
сшивания. В полярных координатах она имеет вид
2S
ut 3 k 2 u11 4 бок (u 4 u0 ), q Î [0, 2p], t Î [0, +¥);
c5S
c5R
u|t = 0 = j(q); u|q = 0 = u|q = 2p, uq|q = 0 = uq|q = 2p.
Здесь R — радиус кольца, q — полярная координата точки коль&
ца, k — коэффициент теплопроводности, с, S, r — удельная те&
плоемкость, площадь поперечного сечения и плотность кольца,
Sбок — площадь боковой поверхности единичной длины кольца,
a — коэффициент внешнего теплообмена, u0 — температура ок&
ружающей среды.
2.45. Температура стержня характеризуется однородным
уравнением теплопроводности (53), заданным на переменной
области определения:
ut = a2uxx, a 1 k /(c2), x Î [v0t, +¥), t Î [0, +¥),
u(x, 0) = 0; u(v0t, t) = f(t),
где k — коэффициент теплопроводности, с, r — удельная тепло&
емкость и плотность стержня, соответственно.
2.46. Температура провода задается неоднородным уравне&
нием (56), последнее слагаемое справа выводится из закона
Джоуля–Ленца. ГУ следуют из уравнения теплового баланса для
клемм.
2
1S
ut 2 k uxx 3 бок (u 3 u0 ) 4 I R , x Î [0, l], t Î [0, +¥);
c5
c5S
c5S
u|t = 0 = j(x); (c1ut – kSux)|x = 0 = 0, (c2ut + kSux)|x = l = 0,
где k — коэффициент теплопроводности, с, S, r — удельная те&
плоемкость, площадь поперечного сечения и плотность прово&
да, Sбок — площадь боковой поверхности провода единичной дли&
ны, a — коэффициент внешнего теплообмена, u0 — температу&
ра окружающей среды, с1, 2 — теплоемкости клемм, I — ток в
проводе, R — сопротивление единицы его длины.
2.47. Для обоих полубесконечных стержней выполняется од&
нородное уравнение теплопроводности (53) с различными коэф&
фициентами. Поместим начало координат в место соединения
177
ОТВЕТЫ
стержней; условия сшивания при x = 0 следуют из непрерывно
сти температуры и уравнения теплового баланса для стыка.
u1t 2 a12u1xx , a1 2 k1 /(c131 ), x 4 (56,0), 17
9 t 4 [0, 8 6);
u2t 2 a22u2xx , a2 2 k2 /(c232 ), x 4 (0, 8 6),7
а) u1|x = 0 = u2|x = 0, k1u1x|x = 0 = k2u2x|x = 0;
б) u1|x = 0 = u2|x = 0,
(k2u2x – k1u1x)|x = 0 = c0u1t|x = 0 = c0u2t|x = 0;
u1|t = 0 = j1(x), u2|t = 0 = j2(x),
где k1, 2, с1, 2, r1, 2 — коэффициенты теплопроводности, удельные
теплоемкости и плотности двух частей стержня, с0 — теплоем
кость муфты.
2.48. Температура стержня определяется неоднородным
уравнением теплопроводности (52) с точечной неоднородностью:
ut 1 k uxx 2 Q 3(x 4 v0t), x Î (–¥, +¥), t Î [0, +¥); u|t = 0 = j(x),
c5
c5
где k — коэффициент теплопроводности, c, r — удельная тепло
емкость и плотность стержня, Q — полезная мощность печи (ко
личество тепла, выделяемого в единицу времени), d(x) — дель
тафункция Дирака.
2.49.* Процесс остывания усеченного конуса описывается
уравнением теплопроводности с переменными коэффициентами:
11 7 Lx 2 55ut 8 ck 55x 3911 7 Lx 2 55xu 4 7 c r26cosu 11 7 Lx 2,
2
2
0
x Î [0, l], t Î [0, +¥);
u|t = 0 = u0; ux|x = 0 = ux|x = l = 0,
здесь k — коэффициент теплопроводности, с, r — удельная теп
лоемкость и плотность конуса, r0 — радиус большего основания,
a — коэффициент теплообмена, L — высота полного конуса, по
лученного продолжением данного, g — половина угла его рас
твора, u0 — начальная температура.
2.50. Задача о диффузии взвешенных частиц формулирует
ся в виде:
ut = Duxx – vux, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|t = 0 = j(x); (Dux – vu)|x = 0 = (Dux – vu)|x = l = 0,
где D — коэффициент диффузии, v — скорость оседания час
тиц. Ось X направлена вниз.
178
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
2.51. Число частиц газа, распадающихся в единице объема
в единицу времени, равно bu, где u — концентрация частиц, b —
коэффициент распада. Задача о диффузии неустойчивого газа
формулируется в виде:
ut = Duxx – bu, b > 0, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|t = 0 = j(x);
а) u|x = 0 = u|x = l = 0;
б) ux|x = 0 = ux|x = l = 0,
где D — коэффициент диффузии.
2.52. Число частиц газа, возникающих в единице объема в
единицу времени, равно bu, где u — концентрация частиц, b —
коэффициент размножения. НКЗ о диффузии размножающих6
ся частиц имеет вид:
ut = Duxx + bu, b > 0, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|t = 0 = j(x);
а) u|x = 0 = u|x = l = 0;
б) ux|x = 0 = ux|x = l = 0,
где D — коэффициент диффузии.
2.53. Напряжение в проводе описывается телеграфным урав6
нением (60), в котором L = 0, следовательно,
ut = a2uxx – (G/C)u, a 1 1/(RC), x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|t = 0 = 0, u|x = 0 = e(t),
(ux + (R/R0)u)|x = l = 0,
здесь C, R, G — емкость, сопротивление и проводимость утечки
провода единичной длины.
4. РЕШЕНИЕ
НАЧАЛЬНО КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
МЕТОДОМ ФУРЬЕ
(случай одной пространственной переменной)
2 1
4.11. u(x, t) 2 5 8 Al
43
1
cos((2n 3 1) 4ct / l)sin((2n 3 1) 4x / l)
.
(2n 3 1)3
n20
6
2
4.12. u(x, t) 2 4v0l 4 1 sin n3x0 sin n3 sin n3ct sin n3x .
2c
2
l
2hl
l
l
3 n 21 n
179
ОТВЕТЫ
4.13. u(x, t) 2
4v0h 1 sin(n3x0 /l)cos(n32 /2hl)
sin n3ct sin n3x .
2 4 n2 32 l2
3c n5
l
l
n
h
(
/
)
21
4.15. Решение начальнокраевой задачи при
w ¹ 0,5(2n + 1)pc/l, n = 0, 1, 2, ...
записывается в виде
1
u(x, t) 2 U (x, t) 3 5 bn sin
n 20
где
U(x, t) 1
(2n 3 1)4x
(2n 3 1) 4ct
sin
,
2l
2l
F0c sin 2 x / c
3
sin 2 t,
ES2 cos 2 l / c
l
bn 1 7
(2n 4 1)5z
4
6U
sin
dz,
(2n 4 1)5c 8 6t x 1 z
2l
0
t10
E — модуль Юнга, S — площадь поперечного сечения стержня.
1
4l2b (31)k sin(k4x / l)cos(k4t / l) .
4.16. u(x, t) 2 bx(l 3 x) 5 2 6
4 k 21
k2
У к а з а н и е: Решение задачи искать в виде u = v + w, где
функция v = bx(l – x) удовлетворяет неоднородному уравнению
и нулевым граничным условиям, а функция w удовлетворяет
однородному уравнению, нулевым граничным и следующим на
чальным условиям: v|t = 0 = bx(x – l), vt|t = 0 = 0.
1
4.20. u(x, t) 2 2t sin t sin x 4 6 4(cos t 3 coskt) sin kx.
5
k5(1 3 k2 )
k 22
4.22. u(x, t) = xt + (2et – e2t)e–xsinx.
1
k
4.23. u(x, t) 2 sin2x cos2t 4 25 (31) (1 3 cos kt) sin kx.
k3
k 21
4.24. u(x, t) = xt + (0,1 – e2t/6 + e5t/15)e–xsin3x.
4.25. u(x, t) = xt + (1 – et – tet)cos3x.
4.26. u(x, t) = 3 + x(t + t2) + (8 + 4t – 8et + 5tet)sinx.
4.27. u(x, t) = (1/9)(ch3t – 1)sinx + (cht – 1)sin3x.
4.28. u(x, t) = 2xt + (2et – e–t – 3te–t)cosx.
180
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
5. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
5.2. uxh + 0,5ux = 0; x = x + y, h = 3x – y.
5.3. vxx + vhh – 7,5v = 0; x = 2x + y, h = x, u = e2,5x + 1,5hv.
5.4. uxx + uhh + uh = 0; x = 2x – y, h = x.
5.5. uxh – (ux – uh)/16 = 0; x = x – y, h = 3x + y.
5.6. vxh – v + xeh = 0; x = y, h = x – 3y, u = e–hv.
5.7. uxx + uhh + ux = 0; x = x, h = 3x + y.
5.8. uhh + 7ux + 5uh + u = 0; x = x + y, h = y.
5.9. uhh + ux = 0; x = x – 2y, h = x.
5.10. vxx + vhh + 2v = 0; x = y, h = 4x – 2y, u = e–x – hv.
5.11. v12 4 0,375v 5 0; 1 5 y 4 ( 3 3 2)x,
2 5 y 3 ( 3 4 2)x, u 5 e 3 (345
3) 1 /12 3 (3 35 3) 2/12v.
5.12. vxx + vhh = 0; x = y – x/2, h = x/2, u = e–(x + h)v.
5.13. vhh – 2vx = 0; x = y – x, h = y + x,
u = e(15x + 8h)/32v.
5.14. v12 3 v /36 5 0; 1 5 y 4 ( 3 3 2)x,
2 5 y 3 ( 3 4 2)x, u 5 e (13
3) 1 /6 4 (14 3) 2/6v.
5.15. vxx + vhh – v = 0; x = 2x – y, h = x, u = ex + hv.
5.16. vxh + 0,5v + (h/2)ex/2 = 0; x = 2x + y,
h = x, u = e–x/2v.
5.17. vxh + 5v – 4xex + 2h = 0; x = x,
h = x – y, u = e–x – 2hv.
5.18. vxh + 99v = 0; x = x – y, h = y, u = e7x – 13hv.
5.19. vxh + 9v + 4(x – h)ex + h = 0; x = y – x,
h = y, u = e–x – hv.
5.20. vhh – vx = 0; x = 3x + y, h = x, u = e(–x + 2h)/4v.
181
ОТВЕТЫ
УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
5.22. Уравнение всюду гиперболично и приводится к виду
uxh + (h – x)(ux – uh)/32 = 0,
где x = 2x + sinx + y, h = 2x – sinx – y.
5.23. Уравнение гиперболично всюду, кроме прямых x =
= (2k+1)p/2, k — целое число, и приводится к виду
uxh + (h – x)(ux – uh)/(2(h – x)2 – 8) = 0,
где x = y + cosx + sinx, h = y + cosx – sinx.
На прямых x = (2k+1)p/2, k — целое число, уравнение вы
рождается в параболическое.
5.24. Уравнение всюду эллиптично и приводится к виду
uxx + uhh + ux/(x – h) + uh/(2h) = 0,
где x = x – y , h = x2.
5.25. Уравнение всюду параболично и приводится к виду
2
2
uhh – 2xux/h2 = 0,
где x = ysinx, h = y.
5.26. Уравнение принадлежит к гиперболическому типу при
y > 0 и приводится к виду
uxh + ux(1 – 7/(2h – 2x)) + uh(1 + 7/(2h – 2x)) = 0,
где 1 2 x 3 2 y , 4 2 x 5 2 y .
При y < 0 уравнение принадлежит к эллиптическому типу
и приводится к виду
uxx + uhh – 7ux/x + 4uh = 0,
где 1 2 2 3 y , 4 2 x.
При y = 0 уравнение вырождается в параболическое.
5.27. Уравнение эллиптично при y > 0 и приводится к виду
uxx + uhh + uh/(3h) = 0,
где x = x, h = (2/3)y3/2.
При y < 0 уравнение принадлежит к гиперболическому типу
и приводится к виду
uxh + (ux – uh)/(6(h – x)) = 0,
где x = x – (2/3)(–y)3/2, h = x + (2/3)(–y)3/2.
При y = 0 уравнение вырождается в параболическое.
5.28. Уравнение принадлежит к гиперболическому типу при
x > 0, y > 0 и при x < 0, y < 0 и приводится к виду
182
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
uxx – uhh + ux/(3x) – uh/(3h) = 0,
где x = |x|3/2, h = |y|3/2.
При x > 0, y < 0 и при x < 0, y > 0 уравнение принадлежит к
эллиптическому типу и приводится к виду
uxx + uhh + ux/(3x) + uh/(3h) = 0,
где x = |x|3/2, h = |y|3/2.
На осях координат уравнение вырождается в параболиче4
ское.
5.29. Уравнение принадлежит к эллиптическому типу во
всей области определения, кроме координатных осей, и приво4
дится к виду
uxx + uhh + ux/(2x) + uh/(2h) = 0,
где x = y , h = x .
На осях координат уравнение вырождается в параболиче4
ское.
5.30. Уравнение принадлежит к гиперболическому типу во
всей области определения, кроме осей координат. Решение ха4
рактеристического уравнения дает общие интегралы:
2
2
ln|y| ± ln|x| = const.
Замена переменных x = ln|y| + ln|x|, h = ln|y| – ln|x| приводит урав4
нение к каноническому виду. Однако выкладки будут короче и
каноническая форма проще, если записать общие интегралы в
виде xy = const, y/x = const. Тогда
uxh – uh/(2x) = 0,
где x = xy, h = y/x.
На осях координат уравнение вырождается в параболиче4
ское.
5.31. Уравнение принадлежит к гиперболическому типу во
всей области определения, кроме координатных осей, и приво4
дится к виду (см. комментарий к решению 5.30):
uxh + ux/(4h) – uh/x + u = 0,
где x = xy, h = x3/y.
На осях координат уравнение вырождается в параболическое.
5.32. Уравнение всюду эллиптично и приводится к виду:
uxx + uhh = 0,
где 1 2 ln(x 3 1 3 x2 ), 4 2 ln( y 3 1 3 y2 ).
183
ОТВЕТЫ
5.33. Уравнение параболично всюду и приводится к виду (см.
комментарий к решению 5.30)
223
u11 3
u2 4 0,
(21)2 3 1
где x = (1/y)tg(x/2), h = y.
5.34. Уравнение параболично всюду и приводится к виду (см.
комментарий к решению 5.30)
uhh – xux = 0,
где x = xe , h = y.
5.35. Уравнение параболично всюду и приводится к виду
y
uhh – 2ux = 0,
где x = 2x – y2, h = y.
5.36. Уравнение принадлежит к гиперболическому типу во
всей области определения, кроме оси y = 0, и приводится к виду
uxh + (ux + uh)/(8(h + x)2) = 0,
где x = ex + y2, h = –ex + y2.
На оси y = 0 уравнение вырождается в параболическое.
5.37. Уравнение принадлежит к параболическому типу при
x > 0, y > 0 и при x < 0, y < 0 и приводится к виду
uhh = 0,
где x = x – y, h = x + y при x > 0, y > 0 и x = x + y, h = x – y при
x < 0, y < 0.
При x < 0, y > 0 или x > 0, y < 0 уравнение принадлежит к
гиперболическому типу и приводится к виду
uxh = 0,
где
1 2 3(1 4 2)x 4 y, 5 2 3(1 3 2)x 4 y
при x < 0, y > 0 и
1 2 (1 3 2)x 3 y, 4 2 (1 5 2)x 3 y
при x > 0, y < 0.
5.38. Уравнение параболично при y > 0 и приводится к виду
uhh = 0,
где x = x – y, h = x + y.
При y < 0 уравнение гиперболично и приводится к виду
uxh = 0,
где 1 2 (1 3 2)x 3 y, 4 2 (1 5 2)x 3 y.
184
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
5.39. Уравнение гиперболично при y > 0 и приводится к виду
uxh = 0,
где x = y – 2x, h = y.
При y < 0 уравнение принадлежит к эллиптическому типу
и приводится к виду
uxx + uhh = 0,
где x = x – y, h = x.
5.40. Уравнение эллиптично при x > 0, y > 0 и при x < 0, y < 0
и приводится к виду
uxx + uhh + ux/(3x) – uh/h = 0,
где x = (2/3)x , h = 2y1/2 при x > 0, y > 0 и
3/2
x = (2/3)(–x)3/2, h = 2(–y)1/2,
когда x < 0, y < 0.
При x < 0, y > 0 и при x > 0, y < 0 уравнение гиперболично и
приводится к виду
uxx – uhh + ux/(3x) + uh/h = 0,
где x = (2/3)(–x) , h = 2y1/2 при x < 0, y > 0 и x = (2/3)x3/2,
h = 2(–y)1/2 при x > 0, y < 0.
На осях координат уравнение вырождается в параболиче5
ское.
5.41. Уравнение всюду гиперболично и приводится к виду
3/2
uxh + ux/h = 0,
где x = y2 – x2, h = x + y.
5.42. Уравнение всюду гиперболично и приводится к виду
(см. комментарий к решению 5.30)
uxh – 3uh/(4x) = 0,
где x = xy, h = x /y.
5.43. Уравнение гиперболично всюду, кроме осиy = 0, и при5
водится к виду (см. комментарий к решению 5.30)
3
uxh – ux/h + u = 0,
где x = x/y, h = y.
На оси y = 0 уравнение вырождается в параболическое.
5.44. Уравнение эллиптично при x > 0, y > 0 и при x < 0, y < 0
и приводится к виду
uxx + uhh + 3ux/x + 3uh/h = 0,
185
ОТВЕТЫ
где x = y1/2, h = x1/2 при x > 0, y > 0 и x = (–y)1/2, h = (–x)1/2, ко
гда x < 0, y < 0.
При x < 0, y > 0 и при x > 0, y < 0 уравнение гиперболично и
приводится к виду
uxh + 3(hux – xuh)/(h2 – x2) = 0,
где x = y1/2 + (–x)1/2, h = y1/2 – (–x)1/2 при x < 0, y > 0 и x = (–y)1/2 +
+ x1/2, h = (–y)1/2 – x1/2 при x > 0, y < 0.
На осях координат уравнение вырождается в параболиче
ское.
5.45. Уравнение гиперболично при x > 0 и приводится к
виду
uxh – (ux – uh)/(2(h – x)) = 0,
где 1 2 y 3 x 4 2 x , 5 2 y 3 x 3 2 x .
При x < 0 уравнение принадлежит к эллиптическому типу
и приводится к виду
uxx + uhh – uh/h = 0,
где 1 2 y 3 x, 4 2 2 3x .
В точках оси x = 0 уравнение вырождается в параболиче
ское.
5.46. Уравнение всюду параболично и приводится к виду
(см. комментарий к решению 5.30)
uhh + 2(x/h)2ux + ex/h = 0,
где x = y/x, h = y.
5.47. Уравнение всюду принадлежит к параболическому
типу и приводится к виду
uhh + 2h2ux/(x – h2) – uh/h = 0,
где x = x2 + y2, h = x.
5.48. Уравнение всюду принадлежит к параболическому
типу и приводится к виду
uhh – xux/(2xh + 2h2) + uh/(2h) = 0,
где x = y2 – x2, h = x2.
5.49. Уравнение принадлежит к гиперболическому типу при
x > 0 и приводится к виду
uxx – uhh + ux(1 + 1/(3x)) + u = 0,
где x = (2/3)x3/2, h = y.
На оси x = 0 уравнение вырождается в параболическое.
186
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
5.50. Уравнение всюду параболично. Решение характеристи&
ческого уравнения дает общий интеграл:
ln|tg(x/2)| + ln|y| = const.
Замена переменных x = ln|ytg(x/2)|, h = y приводит уравнение
к каноническому виду. Однако выкладки будут короче и кано&
ническая форма проще, если записать общий интеграл в виде
ytg(x/2) = const. Тогда
uhh – 2xux/(x2 + h2) = 0,
где x = ytg(x/2), h = y.
5.51. Уравнение всюду эллиптично и приводится к виду
uxx + uhh = 0,
где x = y, h = arctgx.
5.52. Уравнение всюду принадлежит к гиперболическому
типу и приводится к виду
uxh = 0,
где x = x + arctgy, h = x – arctgy.
5.53. Уравнение всюду принадлежит к гиперболическому
типу и приводится к виду
uxh = 0,
где x = x – cosx + y, h = –x – cosx + y.
5.54. Уравнение всюду принадлежит к параболическому
типу и приводится к виду
uhh – xux/(1 + xeh) – he–2hu = 0,
где x = e – e , h = x.
5.55. Уравнение принадлежит к гиперболическому типу
всюду, кроме осей координат, и приводится к виду
–y
–x
uxh + hux/(2(h2 – x2)) – xuh/(2(h2 – x2)) = 0,
где x = y – x2, h = y2 + x2.
На координатных осях уравнение вырождается в параболи&
ческое.
5.56. Уравнение принадлежит к эллиптическому типу всю&
ду, кроме осей координат, и приводится к виду
2
uxx + uhh – ux – uh = 0,
где x = ln|x|, h = ln|y|.
На осях координат уравнение вырождается в параболиче&
ское.
187
ОТВЕТЫ
5.57. Уравнение принадлежит к гиперболическому типу
всюду, кроме оси x = 0, и приводится к виду
uxh + ux/(2(h – x)) = 0,
где x = x2 + y, h = y.
В точках оси x = 0 уравнение вырождается в параболиче
ское.
6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНОКРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
6.1. Колебания мембраны описываются неоднородным вол
новым уравнением с произвольными начальными и однородны
ми граничными условиями.
r(x, y)utt = T0Du + p, t Î [0, +¥), u = u(x, y, t),
точки (x, y) принадлежат области, ограниченной контуром L;
u|t = 0 = c(x, y), ut|t = 0 = y(x, y),
а) u|L = 0;
б) 1u 2 0;
1n L
в) u |( x, y)1L 3 0, 2u
3 0,
1
2n ( x, y)1L2
где r(x, y) — поверхностная плотность мембраны, T0 — сила ее
натяжения, а c(x, y) и y(x, y) — функции, задающие начальную
форму мембраны и скорости ее точек.
6.2. Колебания мембраны описываются неоднородным вол
новым уравнением с нулевыми начальными и граничными ус
ловиями. В полярных координатах НКЗ имеет вид
utt = c2Du – kut + f(r, j, t)/r, u = u(r, j, t), c 1 T / 2, k = a/r,
r Î [0, r0], j Î [0, 2p), t Î [0, +¥),
|u(0, j, t)| < ¥, u(r0, j, t) = 0, u(r, 0, t) = u(r, 2p, t),
u(r, j, 0) = ut(r, j, 0) = 0,
где r — поверхностная плотность мембраны, T — сила ее натя
жения, а — коэффициент сопротивления среды.
188
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
6.3. Задача для свободных колебаний мембраны с закреп'
ленным краем имеет вид
utt = c2Du, u = u(x, y, t), c 1 T / 2,
x Î [0, b1], y Î [0, b2], t Î [0, +¥),
u(0, y, t) = u(b1, y, t) = u(x, 0, t) = u(x, b2, t) = 0,
u(x, y, 0) = 0, ut(x, y, 0) = Ad(x – x0)d(y – y0),
где r — поверхностная плотность мембраны, T — сила ее
натяжения, d(x) — дельта'функция Дирака.
НАЧАЛЬНОКРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ КОЛЕБАНИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ МЕМБРАНЫ
6.5. Решение НКЗ
utt = c2Du, u = u(x, y, t), x Î [0, b1], y Î [0, b2], t Î [0, +¥),
u(0, y, t) = u(b1, y, t) = u(x, 0, t) = u(x, b2, t) = 0,
u(x, y, 0) = Axy(b1 – x)(b2 – y), ut(x, y, 0) = 0,
выглядит следующим образом:
64 Ab12b22 12
u(x, y, t) 3
46
m,n 3 0
sin
(2m 1 1)4x
(2n 1 1) 4y
sin
b1
b2
5
(2m 1 1)3 (2n 1 1)3
6
(2m 1 1)2 (2n 1 1)2 7
5 cos 84ct
1
9.
b12
b22
6.7. а) Решение НКЗ
utt = c2Du, u = u(x, y, t), x Î [0, b1], y Î [0, b2], t Î [0, +¥),
u(0, y, t) = u(b1, y, t) = u(x, 0, t) = u(x, b2, t) = 0,
u(x, y, 0) = 0, ut(x, y, 0) = Axy(b1 – x)(b2 – y),
выглядит следующим образом:
16 Ab12b22 12
u(x, y, t) 3
57 c m
,n 3 0
sin
(2m 1 1) 5x
(2n 1 1) 5y
sin
b1
b2
6
(2m 1 1)3 (2n 1 1)3
7
(2m 1 1)2 (2n 1 1)2 8 7 (2m 1 1)2 (2n 1 1)2 8
6 sin 5ct
1
9
1
b12
b22
b12
b22
41/2
.
189
ОТВЕТЫ
6.11. а) Если частота вынуждающей силы не совпадает ни с
одной из собственных частот мембраны ( w ¹ w mn, m, n = 1, 2,
3, ...), то решение имеет вид
1
3ny
,
u(x, y, t) 2
Amn 48 sin 6 t 7 6 sin 6mnt 59 sin 3mx sin
6mn
b1
b2
m, n 21
где
b1
b2
F (x, y)
1ny
4
Amn 2
dx
sin 1mx sin
dy, (189)
b1
b2
b1b2 (42mn 5 42 ) 6 6 3
0
0
1mn 2 c 3 mn 2 4c (m/b1 )2 5 (n/ b2 )2 .
В случае резонанса (1 2 1m0n0 ), решение строится тем же ме!
тодом, что в аналогичной задаче о колебаниях струны (см. ре!
шение задачи 4.14), и записывается в виде
u(x, y, t) 2
1
4ny
Amn 5 sin 7 t 8 7 sin 7mnt 6 sin 4mx sin
9
b
b2
7
mn
1
m, n 21,
m 3 m0 ,
n 3 n0
9 Am0n0 (sin 7 t 8 7 t cos 7 t)sin
где
Am0n0 2
b1
b2
0
0
4m0x
4n y
sin 0 ,
b1
b2
F (x, y)
1m0x
1n y
2
dx
sin
sin 0 dy,
b1b23 5 5 4
b1
b2
остальные Amn определяются выражением (189).
Замечание: если резонансная частота является кратной, то
вместо одного резонансного члена появится их линейная ком!
бинация.
в) При w ¹ w mn, m, n = 1, 2, 3, ... решение НКЗ имеет вид
1
4 F0
3 sin 5 t 6 5 sin 5 t 4 7
u(x, y, t) 2 mn 9
2
2 8
5mn
b
b
(
)
5
6
5
1 2
mn
m, n 21
7sin
mx0
ny0
ny
sin
sin mx sin
.
b1
b2
b1
b2
При резонансе (1 2 1m0n0 ) оно видоизменяется следующим об!
разом:
1
4 F0
4 sin 6 t 7 6 sin 6 t 5 8
u(x, y, t) 2 mn
2 7 62 ) 9
6mn
b
b
(
6
1
2
mn
m, n 21,
m 3 m0 ,
n 3 n0
8sin
2F0
mx0
ny0
ny
sin
sin mx sin
(sin 6 t 7 6 t cos 6 t) 8
b1
b2
b1
b2
b1b26
190
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
2sin
m0 1x0
n 1y
1m0x
1n y
sin 0 0 sin
sin 0 .
b1
b1
b1
b2
Справедливо замечание пункта а).
6.12. Свободное колебание квадратной мембраны имеет вид
1y
u(x, y, t) 2 A cos 1c 2t sin 1x sin .
l
l
l
НАЧАЛЬНОКРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ КОЛЕБАНИЙ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ МЕМБРАНЫ
6.15. Вынужденные колебания круглой мембраны описыва+
ются неоднородным уравнением с нулевыми начальными и гра+
ничными условиями:
1 2u 4 c2 2 1 2u 5 1 1u 3 5 p0 , u 4 u(r, t), r 6 [0, r ], t 6 [0, 5 7),
8 2 r 1r 9
0
1t2
1r
|u(0, t)| < ¥, u(r0, t) = 0, u(r, 0) = ut(r, 0) = 0.
Решение радиально симметрично и выглядит следующим об+
разом:
12
J0 (7(0)
c7(0)t 5
p 4r2 6 r2
k r / r0 )
u(r, t) 3 02 8 0
6 2r02
cos k 9,
(0)
(0)
2
r0
4
c
k 31 (7k ) J1 (7k )
где mk(0) — k+й положительный корень уравнения J0(m) = 0, r —
поверхностная плотность мембраны.
6.16. Вынужденные колебания круглой мембраны описыва+
ются неоднородным уравнением с нулевыми начальными и гра+
ничными условиями:
1 2u 4 c2 2 1 2u 5 1 1u 3 5 p0 sin 6 t, u 4 u(r, t), r 7 [0, r ], t 7 [0, 5 8),
9 2 r 1r
0
1t2
1r
|u(0, t)| < ¥, u(r0, t) = 0, u(r, 0) = ut(r, 0) = 0.
При отсутствии резонанса (при w ¹ сmk(0)/r0, k = 1, 2, 3, ...) реше+
ние выглядит следующим образом:
u(r, t) 5
8
34
k 51 (
1
2
2 p 6r3
p0 J0 (6 r / c)
7 1 sin 6 t 3 0 0 8
c9
962 J0 (6 r0 / c)
(0)
J0 ( (0)
k r / r0 )sin(c k t / r0 )
,
(0) 2
(0) 2
(0)
2
2
2
k ) [6 r0 7 c ( k ) ] J1 ( k )
где mk(0) — k+й положительный корень уравнения J0(m) = 0, r —
поверхностная плотность мембраны.
191
ОТВЕТЫ
При резонансе ( w = сmk(0)/r0) решение строится аналогично
одномерному случаю (см. задачу 4.14).
6.17. Решение однородного уравнения (99) с ненулевыми ГУ
и нулевыми НУ выглядит следующим образом:
u(r, t) 5 A
34
J0 (6 r / c)
sin 6 t 7 Ak J0 (8k(0)r / r0 )sin(c8k(0)t /r0 ),
J0 (6 r0 / c)
k 51
r0
Ak 5
1 2
98 r
2 A6
rJ0 6 r J0 k
dr,
c
r0 6
r
9
0
( J1 (8k(0) ))2 0
c8k(0)r0 J0
c (0)
где mk(0) — k"й положительный корень уравнения J0(m) = 0. Здесь
предполагается, что резонанс отсутствует, т.е. w ¹ сmk(0)/r0, k = 1,
2, 3, ...
6.18. Свободные радиально симметричные колебания круг"
лой мембраны имеют вид
1
3
c5(0)t
c5(0)t 4 3 5(0)r 4
u(r, t) 2 7 ak cos k 6 bk sin k 8J0 7 k 8.
r0
r0
9 r0
k 21 9
r
r
0
0
3 5(0)r 4
3 5(0)r 4
2 (r, ) J0 7 k 8 rdr
2 (r, ) J0 7 k 8 rdr
9 r0
9 r0
ak 2 0
, bk 2 0 (0)
,
(0) 2
2
r0 ( J1 (5k ))
c5k r0 ( J1 (5k(0) ))2
где mk(0) — k"й положительный корень уравнения J0(m) = 0.
6.19. Решение НКЗ имеет вид:
t
1
3 5(1)r 4
c5(1) (t 6 7)
k
а) u(r, 8, t) 2 r0 A(1)
J1 k
cos(8 6 97)sin k
d7,
c k 21 5k
r0 r0
0
r0
2 4(1)
k r
3
(1) 2 11
2
Ak 6 2 f (r ) J1 7
8 rdr [r0 ( J15 (4k )) ] .
r
0
9
0
б) Установившиеся колебания мембраны имеют вид:
u(r, 9, t) 2
92ar02
83
1
2
Ak (c2 (7(1)
k )
8
k 21
83
1
r02
5 (1)
2 )J 7 k r
1
r0
684
cos(9
8
4
5 7(1)
k r 68
sin( 9 t),
r
0 8
Ak J1 8
k 21
r
0
5 7(1)r 6
2 f (r ) J1 k rdr
r0 0
Ak 2
2 [(r 2 2 9 c2 (7(1) )2 )2 4r 4 a2
( J1 (7(1)
))
k
k
0
0
2]
,
t)
192
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
где mk(1) — kй положительный корень уравнения J1(m) = 0, a —
коэффициент сопротивления среды, r — поверхностная плот
ность мембраны.
7. РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
МЕТОДОМ ФУРЬЕ
(случай одной пространственной переменной)
7.1. а) Решение НКЗ
ut = a2uxx, a2 = k/(cr), x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|x = 0 = u|x = l = 0, u|t = 0 = q0;
имеет вид
u(x, t) 3
440 12 1
(2n 1 1)5x
6 (2n 1 1)2 52a2 7
t sin
exp 9 8
.
l
5 n 3 0 2n 1 1
l2
Регулярный режим в точке x = l/2 с относительной точностью e
имеет место, когда отношение суммы членов ряда, начиная со
второго, к первому члену ряда не превышает e. Он наступает
при
2
t 1 1 l2 2 ln32.
83 a
б) Решение НКЗ
ut = a2uxx, a2 = k/(cr), x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|x = 0 = u|x = l = 0,
3x, 0 2 x 1 l /2,
u |t 10 1 4
6l 5 x, l /2 1 x 2 l;
имеет вид
12
( 41)n
(2n 1 1)5x
6 (2n 1 1)2 52a2 7
u(x, t) 3 42l
exp 8 4
t 9 sin
.
l
l2
5 n 30 (2n 1 1)2
Регулярный режим в точке x = l/2 с относительной точностью e
наступает при
2
t 1 1 l2 2 ln92.
83 a
в) Решение НКЗ
ut = a2uxx, a2 = k/(cr), x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|x = 0 = u|x = l = 0, u|t = 0 = Ax(l – x)/l2;
193
ОТВЕТЫ
имеет вид
12
(2n 1 1)4x
5 (2n 1 1)2 42a2 6
1
u(x, t) 3 8 A
exp 8 7
t 9 sin
.
3
3
l
l2
4 n 30 (2n 1 1)
Регулярный режим в точке x = l/2 с относительной точностью e
2
наступает при
t 11 l2 2 ln272.
83 a
7.2. а) Решение НКЗ
ut = a2uxx, a2 = k/(cr), x Î [0, l], t Î [0, +¥),
ux|x = 0 = ux|x = l = 0, u|t = 0 = q0;
имеет вид
u(x, t) = q0;
б) Решение НКЗ
ut = a2uxx, a2 = k/(cr), x Î [0, l], t Î [0, +¥),
ux|x = 0 = ux|x = l =0,
42 , 0 3 x 1 l /2,
u |t10 1 5 0
60, l /2 2 x 3 l;
имеет вид
u(x, t) 3
50 250 12 ( 61)n
(2n 1 1) 7x
8 (2n 1 1)2 72a2 9
t cos
1
exp 6
,
l
2
7 n 30 2n 1 1
l2
lim u(x, t) 3 50 /2.
t 42
в) Решение НКЗ
ut = a2uxx, a2 = k/(cr), x Î [0, l], t Î [0, +¥),
ux|x = 0 = ux|x = l = 0,
422 x / l, 0 3 x 1 l /2, 20 1 const,
u |t 10 1 5 0
7220 (l 6 x)/l, l /2 1 x 3 l.
имеет вид
5 45 12
2(2n 1 1) 6x
7 4(2n 1 1)2 62a2 8
1
u(x, t) 3 0 9 20 t cos
exp 9
,
2
l
2
l2
6 n 30 (2n 1 1)
lim u(x, t) 3 50 /2.
t 42
194
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
7.3. Решение НКЗ
ut = Duxx, x Î [0, l], t Î [0, +¥),
ux|x = 0 = ux|x = l = 0,
3C , 0 2 x 1 h,
u |t10 1 4 0
50, h 2 x 2 l;
имеет вид
12
2 2
4
5
sin(n6h / l)
u(x, t) 3 C0 8 h 1 2
exp 48 7 n 62 D t 59 cos n6x 9.
l 6 n 31
n
l
l
7.5. Решение НКЗ
ut = a2uxx – b(u – q0), a2 = k/(cr), b = aSбок/(сrS),
u = u(x, t), x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|x = 0 = q1, u|x = l = q2, u|t = 0 = j(x),
где Sбок — площадь боковой поверхности стержня единичной
длины, а S — площадь его сечения, имеет вид
u(x, t) 3 40 1
(41 5 40 )sh( 6 (l 5 x)/ a) 1 (42 5 40 )sh( 6x / a)
1
sh( 6l / a)
12
8 n272a2 1 6l2 9
1 An exp 5
t sin n7x ,
l
l2
n 31
где
An
1
3 (l 4 5)
35 2
l
(6 4 6 )sh
7 (62 4 60 )
9
n 5
2 8 ( 5) 4 6 4 1 0
a
a
d5.
8
9 sin
0
l 8
l
3
sh(
l
/
a
)
99
08
7.6. а) Решение НКЗ
ut = a2uxx, a2 = k/(cr), x Î [0, l], t Î [0, +¥),
ux|x = 0 = 0, u|x = l = q0, u|t = 0 = Ax/l;
имеет вид
12
(2n 1 1)4x
5 (2n 1 1)2 42a2 6
1
u(x, t) 3 70 8 8 A
exp 9 8
t cos
1
2
2
2l
4 n 30 (2n 1 1)
4l2
1
4( A 8 70 ) 12 (81)n
(2n 1 1)4x
5 (2n 1 1)2 42a2 6
exp 9 8
t cos
.
2
4
2
n
1
1
2l
4
l
n 30
195
ОТВЕТЫ
б) Решение НКЗ
ut = a2uxx, a2 = k/(cr), x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|x = 0 = q0, ux|x = l = q/k, u|t = 0 = j(x);
имеет вид
u(x, t) 3
12
(2n 1 1) 450 1 lq / k 7
qx
6
1 50 1 An 8 42
9
k
(2n 1 1)2
4
n 30
l
(2n 1 1) 4x
(2n 1 1)4
(2n 1 1)2 42a2 9exp 8
t sin
, An 3 2 ()sin
d.
2l
l
2l
4l2
0
7.7. б) Решение НКЗ
ut = a2uxx, a2 = k/(cr), x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|x = 0 = 0, (ux + hu)|x = l = 0, h = a/k, u|t = 0 = j(x);
имеет вид
12
(hl)2 1 42n
4 x
5 42 a2 6
u(x, t) 3 2 An
exp 8 7 n2 t 9 sin n ,
2
l n 31 hl(hl 1 1) 1 4n
l
l
l
An 3 ( )sin
0
4n
d ,
l
где mn (n = 1, 2, 3, ...) — положительные корни уравнения
tgm = –m/(hl).
7.8. Решение НКЗ
ut = a2uxx – bu, a2 = k/(cr), b = aSбок/(сrS),
u = u(x, t), x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|x = 0 = q1, (ux + hu)|x = l = 0, u|t = 0 = 0;
где Sбок — площадь боковой поверхности стержня единичной
длины, а S — площадь его сечения, имеет вид
u(x, t) 3 61
4 ch( 4 (l 5 x)/ a) 1 ha sh(h(l 5 x)/ a)
5
4 ch( 4l / a) 1 ha sh(hl / a)
12
7n (h2l2 1 72n )
7 x
exp(5(a272n / l2 1 4)t)sin n ,
2 1 a272 )(72 1 h2l2 1 hl)
l
(
4
l
n
n
n 31
5261a2 8
где mn (n = 1, 2, 3, ...) — положительные корни уравнения
tgm = –m/(hl).
196
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
7.9. Решение НКЗ
ut = a2uxx, a2 = k/(cr), x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|x = 0 = At, u|x = l = 0, u|t = 0 = 0;
имеет вид
12
2
1 41 6 exp 4 6 n272a2 t 5 5 sin n7x .
u(x, t) 3 At l 6 x 6 2 3Al2
8
99
l
l
l2
7 a n 31 n3 8
7.10. Решение НКЗ
ut = a2uxx + F(t)sin(px/l), a2 = k/(cr), x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|x = 0 = u|x = l = 0, u|t = 0 = j(x);
может быть представлено в виде
u(x, t) 3
4t
0
5
9 62a2 (t 7 8)
6x
(8)exp 7
d8 sin l 1
l2
4l
2 2 2
n6 5
1 2 ()sin
d exp 9 7 n 62 a t sin n6x .
l n 31
l
l
l
0
7.11. а) Решение НКЗ
12
ut = a2uxx + f(x, t)/(cr), a2 = k/(cr), x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|x = 0 = u|x = l = 0, u|t = 0 = j(x);
имеет вид
l
12 4 t
n262a2 (t 7 8)
n69 5
n6x
u(x, t) 3 2 d8 f (9,8)exp 7
sin l d9 sin l 1
2
lc n 31
l
0 0
12 4 l
2 2 2
n69 5
1 2 (9)sin
d9 exp 7 n 62 a t sin n6x .
l n 31
l
l
l
0
б) Решение НКЗ
ut = a2uxx + Qd(x – x0)/(cr), a2 = k/(cr), x Î [0, l], t Î [0, +¥),
u|x = 0 = u|x = l = 0, u|t = 0 = j(x),
где d(x) — дельта&функция Дирака, имеет вид
12
1 51 7 exp 5 7 n242a2 t 6 6 sin n4x sin n4x0 1
u(x, t) 3 2Ql
8
99
28
l
l
c 42a2 n
n
l2
31
12 l
2 2 2
n4 d exp 58 7 n 42 a t 69 sin n4x .
1 2 ()sin
l n 31 l
l
l
0
197
ОТВЕТЫ
7.12. а) u(x, t) = tcosx + 0,125(e–8t – 1)cos3x;
б) u(x, t) = x + tsinx + 0,125(1 – e–8t)sin3x;
в) u(x, t) = tx2 + tcos2x + 0,25(e4t – 1);
г) u(x, t) = 1 + t + (1 – e–t)exsinx + ex – 4tsin2x;
д) u(x, t) = xt2 + et + sint – cost + e–3tcos2x;
е) u(x, t) = x2 + 2e9t + (2 – sin2t)cos3x.
8. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ
8.1. Начальнокраевая задача для прямоугольной пластины
формулируется в виде
ut = a2(uxx + uyy), u = u(x, y, t), a 1 k /(c2),
x Î [0, l1], y Î [0, l2], t Î [0, +¥); u|t = 0 = j(x, y);
а) u|x 10 1 21, u|x 1 l1 1 22, kuy 3 4(u 3 20 )|y 10 1 kuy 5 4(u 3 20 ) |y 1 l2 1 0;
б) ux |x 10 1 ux |x 1 l1 1 0, kuy 2 3(u 2 40 )|y 1 0 1 kuy 5 3(u 2 40 ) |y 1l2 1 0;
в) u|x 10 1 21, u|x 1l1 1 22, uy |y 1 0 1 3q1 / k, uy |y 1 l2 1 q2 / k,
где k — коэффициент теплопроводности, c — удельная тепло
емкость пластины, r — ее плотность, a — коэффициент тепло
обмена.
8.2. Начальнокраевая задача для прямоугольной пластины
в случае теплообмена на основаниях записывается в виде
ut = a2(uxx + uyy) – 2a(u – q0)/(сr), u = u(x, y, t),
a 1 k /(c2), x Î [0, l1], y Î [0, l2], t Î [0, +¥); u|t = 0 = j(x, y);
а) u|x 10 1 21, u|x 1 l1 1 22, kuy 3 4(u 3 20 )|y 10 1 kuy 5 4(u 3 20 )|y 1 l2 1 0;
б) ux |x 10 1 ux |x 1l1 1 0, kuy 2 3(u 2 40 )|y 1 0 1 kuy 5 3(u 2 40 )|y 1l2 1 0;
в) u|x 10 1 21, u|x 1l1 1 22, uy |y 1 0 1 3q1 / k, uy |y 1 l2 1 q2 / k,
где k — коэффициент теплопроводности, c — удельная тепло
емкость пластины, r — ее плотность, a — коэффициент тепло
обмена.
8.3. Температура параллелепипеда описывается однородным
уравнением (153), неоднородными ГУ и произвольным НУ:
198
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
ut = a2(uxx + uyy + uzz), u = u(x, y, z, t),
a 1 k /(c2), x Î [0, l1], y Î [0, l2], z Î [0, l3], t Î [0, +¥);
u|t = 0 = j(x, y, z);
а) u|x 10 1 21, u|x 1 l1 1 22, kuy 3 4(u 3 20 )|y 10 1 kuy 5 4(u 3 20 )|y 1 l2 1 0,
kuz 2 3(u 2 40 )|z 1 0 1 kuz 5 3(u 2 40 )|z 1 l3 1 0;
б) ux |x 10 1 ux |x 1l 1 0, kuy 2 3(u 2 40 )|y 1 0 1 kuy 5 3(u 2 40 )|y 1l 1 0,
1
2
kuz 2 3(u 2 40 )|z 1 0 1 kuz 5 3(u 2 40 )|z 1 l3 1 0;
в)
u|x 10 1 21, u|x 1l1 1 22, uy |y 1 0 1 3q1 /k,
uy |y 1l2 1 q2 /k, uz |z 10 1 3q3 /k, uz |z 1l3 1 q4 /k,
где k — коэффициент теплопроводности, c — удельная тепло*
емкость пластины, r — ее плотность, a — коэффициент тепло*
обмена.
8.4. Начально*краевая задача о диффузии вещества в пря*
моугольном параллелепипеде имеет вид:
а) ut = D(uxx + uyy + uzz) – bu, u = u(x, y, z, t),
x Î [0, l1], y Î [0, l2], z Î [0, l3], t Î [0, +¥);
ux |x 10 1 ux |x 1l1 1 uy |y 10 1 uy |y 1 l2 1 uz |z 1 0 1 uz |z 1l3 1 0;
u|t = 0 = j(x, y, z),
где D — коэффициент диффузии, b — коэффициент распада
(см. решение 2.51).
б) ut = D(uxx + uyy + uzz) + bu, u = u(x, y, z, t), x Î [0, l1],
y Î [0, l2], z Î [0, l3], t Î [0, +¥);
ux |x 10 1 ux |x 1l1 1 uy |y 10 1 uy |y 1 l2 1 uz |z 1 0 1 uz |z 1l3 1 0;
u|t = 0 = j(x, y, z),
где D — коэффициент диффузии, b — коэффициент размноже*
ния (см. решение 2.52).
8.5. Начально*краевая задача состоит из однородного урав*
нения (153) с ГУ III рода на поверхности пластины:
ut = a2(uxx + uyy+ uzz), u = u(x, y, z, t),
a 1 k /(c2), x Î (–¥, +¥), y Î (–¥, +¥), z Î [0, l], t Î [0, +¥);
kuz – a(u – q0)|z = 0 = kuz + a(u – q0)|z = l = 0; u|t = 0 = j(x, y, z),
199
ОТВЕТЫ
где k — коэффициент теплопроводности, c — удельная тепло
емкость пластины, r — ее плотность, a — коэффициент тепло
обмена, l — толщина пластины.
Если температура меняется по толщине пренебрежимо мало,
то возможна и следующая формулировка:
ut = a2(uxx + uyy) – 2a(u – q0)/(сr), u = u(x, y, t),
a 1 k /(c2), x Î (–¥, +¥), y Î (–¥, +¥), t Î [0, +¥);
u|t = 0 = j(x, y),
где k — коэффициент теплопроводности, c — удельная тепло
емкость пластины, r — ее плотность, a — коэффициент тепло
обмена.
8.6. Температура каждой части балки описывается однород
ным уравнением (153), на границе частей выполняются усло
вия сшивания:
ut = a2(uxx + uyy), u = u(x, y, t),
a 1 k1 /(c121 ), x Î [0, x0), y Î [0, l2], t Î [0, +¥);
ut = b2(uxx + uyy), u = u(x, y, t),
b 1 k2 /(c222 ), x Î (x0, l1], y Î [0, l2], t Î [0, +¥);
u|x 1 x0 2 0 1 u|x 1 x0 3 0 , k1ux |x 1 x0 2 0 1 k2ux |x 1 x0 3 0 ,
u|x 10 1 u|x 1 l1 1 u|y 10 1 u|y 1 l2 1 40 ;
u|t = 0 = j(x, y),
где k1, 2 — коэффициенты теплопроводности двух частей балки,
c1, 2, r1, 2 — их удельные теплоемкости и плотности.
8.7. Температура каждой части параллелепипеда описыва
ется однородным уравнением (153), на границе частей выпол
няются условия сшивания:
ut = a2(uxx + uyy+ uzz), u = u(x, y, z, t),
a 1 k1 /(c121 ), x Î [0, x0), y Î [0, l2], z Î [0, l3], t Î [0, +¥);
ut = b2(uxx + uyy + uzz), u = u(x, y, z, t),
b 1 k2 /(c222 ), x Î (x0, l1], y Î [0, l2], z Î [0, l3], t Î [0, +¥);
u|x 1 x0 2 0 1 u|x 1 x0 3 0 , k1ux |x 1 x0 2 0 1 k2ux |x 1 x0 3 0 ,
u|x 10 1 u|x 1 l1 1 u|y 10 1 u|y 1 l2 1 u|z 10 1 u|z 1l3 1 40 ;
u|t = 0 = j(x, y, z),
200
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
где k1, 2 — коэффициенты теплопроводности двух частей парал)
лелепипеда, c1, 2, r1, 2 — их удельные теплоемкости и плотности.
8.8. Распределение температуры осесимметрично и опреде)
ляется неоднородным уравнением (151) и однородными ГУ III
рода:
c4 3u 5 k 1 3 r 3u 6 e, u 5 u(r, t), r 7 [0, a], t 7 [0, 6 8),
3t
r 3r 3r
1 2
|u|r = 0| < ¥, kur + au|r = a = 0; u|t = 0 = 0,
где k — коэффициент теплопроводности проводника, c — удель)
ная теплоемкость, r — его плотность, a — коэффициент внеш)
него теплообмена.
8.9. Температура каждой пластины описывается однород)
ным уравнением (53), на поверхности их соприкосновения вы)
полняются условия сшивания:
ut = a2uxx, u = u(x, t), a 1 k1 /(c121 ), x Î [0, l1), t Î [0, +¥);
ut = b2uxx, u = u(x, t), b 1 k2 /(c222 ),
x Î (l1, l1 + l2], t Î [0, +¥);
u|x 1l1 20 1 u|x 1l1 3 0 , k1ux |x 1l1 2 0 1 k2ux |x 1 l1 3 0 ,
ux |x 10 1 ux |x 1l1 3 l2 1 0;
u|t = 0 = q1, x < l1; u|t = 0 = q2, x > l1,
где k1, 2 — коэффициенты теплопроводности двух пластинок,c1, 2,
r1, 2 — их удельные теплоемкости и плотности.
8.10. Распределение температуры в шаре радиально симмет)
рично и задается однородным уравнением (153) с неоднородны)
ми ГУ:
c4 3u 5 k 12 3 r 2 3u , u 5 u(r, t), r 6 [0, r0 ], t 6 [0, 7 8),
3t
3r
r 3r
1
2
а) | u |r 1 0 | 2 3, u |r 1r0 1 40 ;
б) | u |r 1 0 | 2 3, ur |r 1 r0 1 q / k;
в) | u |r 1 0 | 2 3, kur 4 5(u 6 70 6 8t)|r 1 r0 1 0;
u|t = 0 = j(r),
где k — коэффициент теплопроводности шара, c — его удельная
теплоемкость, r — его плотность, a — коэффициент внешнего
теплообмена.
201
ОТВЕТЫ
8.11. Распределение температуры радиально симметрично
и вне границы удовлетворяет однородному уравнению (153). На
сферической границе выполняются условия сшивания:
1 2
1 2
c171 6u 3 k1 12 6 r 2 6u , u 3 u(r, t), r 8 [0, r1 ), t 8 [0, 5 9),
6t
6r
r 6r
1
6
u
6
2
c272
3 k2 2
r 6u , u 3 u(r, t), r 8 (r1, r2 ], t 8 [0, 5 9),
6t
6r
r 6r
u|r 3 r1 4 0 3 u|r 3 r1 5 0 , k1ur |r 3r1 40 3 k2ur |r 3r1 5 0 ,
| u|r 3 0 | 9, u|r 3r2 3
0;
u|t 30 3 (r ),
где k1, 2 — коэффициенты теплопроводности двух частей шара,
c1, 2, r1, 2 — их удельные теплоемкости и плотности.
8.12. Начально$краевая задача о диффузии вещества, час$
тицы которого размножаются, в сферическом слое имеет вид
3u 4 D 1 3 r 2 3u 5 6u, u 4 u(r, t), r 7 [r , r ], t 7 [0, 5 8),
1 2
3t
3r
r 2 3r
1
2
а) u|r 1 r 1 u|r 1 r 1 0;
1
2
б) ur |r 1r 1 ur |r 1r 1 0;
1
2
u|t = 0 = j(r),
где D — коэффициент диффузии, b — коэффициент размноже$
ния.
8.13. Начально$краевая задача о диффузии вещества в длин$
ной цилиндрической трубке имеет вид:
1 2
3u 4 D 1 3 r 3u , u 4 u(r, t), r 5 [a, b], t 5 [0, 6 7),
3t
r 3r 3 r
а) ur|r = a = ur|r = b = 0;
б) u|r = a = u|r = b = q0;
u|t = 0 = j(r),
где D — коэффициент диффузии.
8.14. Решение НКЗ
ut = a2(uxx + uyy + uzz), u = u(x, y, z, t), a2 = k/(cr),
x Î [0, l1], y Î [0, l2], z Î [0, l3], t Î [0, +¥);
u|x 10 1 u|x 1 l1 1 u|y 10 1 u|y 1 l2 1 u|z 10 1 u|z 1l3 1 0;
u|t = 0 = j(x, y, z),
где k — коэффициент теплопроводности, c — удельная тепло$
емкость параллелепипеда, r — его плотность, выглядит следую$
щим образом:
202
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
u(x, y, z, t) 5
12
2
3
3 2
q2 4 4
Cmnq exp 9 6a272 9 m2 1 n2 1 2 t 8
l
l
l3
1
2
m,n,q
n7y
q7z
sin
,
8sin m7x sin
l1
l2
l3
где
l1
l2
l3
0
0
0
m12
n13
q14
sin
sin
Cmnq 5 8 7 d2 7 d3 7 6(2, 3, 4)sin
d4.
l1l2l3
l1
l2
l3
8.15. Решение НКЗ
ut = a2Du, u = u(x, y, z, t), a2 = k/(cr),
x, y, z Î [0, l], t Î [0, +¥);
u|x = 0 = u|x = l = u|y = 0 = u|y = l = u|z = 0 = u|z = l = 0; u|t = 0 = u0,
где k — коэффициент теплопроводности, c — удельная теплоемкость куба, r — его плотность, выглядит следующим образом:
u(x, y, z, t) 5
12
5 u0 4
7
8sin
3 34
exp(6a272 ((2m 3 1)2 3 (2n 3 1)2 3 (2q 3 1)2 )t / l2 )
8
(2m 3 1)(2n 3 1)(2q 3 1)
m,n,q
9
(2m 3 1)7x
(2n 3 1)7y
(2q 3 1)7z
sin
sin
.
l
l
l
Регулярный режим в центре куба наступает при
2
t 1 1 l2 2 ln21, 21 3 min[1, 2/9].
84 a
8.17. Распределение температуры в прямоугольном параллелепипеде определяется выражением:
u(x, y, z, t) 8
3
3 3 5(1) 42 3 5(2) 42 3 5(3) 42 4 4
exp 6 9a2 6 6 2k 11 7 1 6 2m11 7 1 6 2n 11 7 7t 7
l2
l3
6 l1
7 7
6
k, m, n
12
V2k 11,2m 11,2n 11 (x, y, z)
l1l2l3 ((52(1)k 11 )2
1 l12h2
64h3u0
,
1 l22h2 1 2l2h)((52(3)n 11 )2 1 l32h2 1 2l3h)
1 2l1h)((52(2)m11 )2
где V2k + 1, 2m + 1, 2n + 1 определяется по формуле (166), mj(i) — j-й положительный корень уравнения (142) при l = li.
203
ОТВЕТЫ
8.18. Pаспределение температуры в кубе имеет вид:
u(x, y, z, t) 5 64h3u0
12
exp 39 6 a2 (722k 11 1 722m 11 1 722n 11 )t 4 8
l
k,m,n
2
x
72k 11x
7
1 lh sin 2k 11 4 8
l
l
y
z
z
72m 11y
7
7
7
37
1 lh sin 2m 11 439 72n 11 cos 2n 11 1 lh sin 2n 11 4
9 2m 11 cos l
l
l
l
8 3
,
l ((72k 11 )2 1 l2h2 1 2lh)((72m 11 )2 1 l2h2 1 2lh)((72n 11 )2 1 l2h2 1 2lh)
839 72k 11 cos
где mj — jй положительный корень уравнения (142).
Регулярный режим в центре куба наступает при:
t15
1 (hl)2 3 hl 3 (l41 )2 1 3 (h / 4 0 )2 2
1
ln 7 61
8,
a2 (412 5 420 ) 9 (hl)2 3 hl 3 (l40 )2 1 3 (h / 41 )2
где 1 2 min[1, 1 /9], li — iй положительный корень уравнения:
tgll = h/l.
8.19. Решение НКЗ
2u 1 a2 3 2 2u 5 2 2u 4, u 1 u(r, t), a2 1 k /(c6), r 1 [0, r ], t 7 [0, 5 8);
9 2 r 2r
0
2t
2r
u|r 1 r0 1 0, | u |r 10 | 8; u|t = 0 = (r ),
где k — коэффициент теплопроводности, c — удельная тепло
емкость шара, r — его плотность, имеет вид
r0
12
4 2 2 2 5 sin(n6r / r0 )
n67
u(r, t) 3 2 exp 8 n 62 a t
79(7)sin r0 d7.
r0 n 31
r
r0
0
8.21. Решение НКЗ
2u 1 a2 3 2 2u 5 2 2u 4, u 1 u(r, t), a2 1 k /(c6), r 1 [0, r ], t 7 [0, 5 8);
9 2 r 2r
0
2t
2r
ur |r 1 r0 1 q / k, | u |r 1 0 | 8; ; u|t = 0 = u0 ,
где k — коэффициент теплопроводности, c — удельная тепло
емкость шара, r — его плотность, имеет вид
u(r, t) 3 u0 1
12
4 a272 t 5 r sin(7nr / r0 ) 5
qr0 4 3a2t 3r02 6 5r 2
6
6
2
exp 8 6 2n 9 0
,
8
k
r 72n cos7n 9
r02
10r02
r0
n 31
где mn — положительные корни уравнения
tgm = m.
204
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
8.22. Решением НКЗ
2u 1 a2 3 2 2u 5 2 2u 4, u 1 u(r, t), a2 1 k /(c6), r 1 [0, r ], t 7 [0, 5 8);
9 2 r 2r
0
2t
2r
ur 5 hu|r 1r0 1 0, | u |r 10 | 8; u t 1 0 1 (r );
является ряд
12
sin(4nr )
u(r, t) 3 2 6 Cn exp(5a242nt)
,
r0 n 31
r
где
r
Cn 4
r0212n 2 (r0h 3 1)2 0
56(5)sin(1n5)d5,
r0212n 2 (r0h 3 1)r0h 70
а mn — n!й положительный корень уравнения
tgmr0 = mr0/(1 – r0h).
8.23. Температура шара определяется формулой
u(r, t) 3 40 1 2(40 5 u0 )hr02 6
12
6 ( 51)n 11
n 31
72n 1 (hr0 5 1)2
8 a272 9
7 r
exp 5 2 n t sin n ,
2
2
2
r0
r0
7nr (7n 1 h r0 5 hr0 )
где h = a/k, k — коэффициент теплопроводности, a — внешне!
го теплообмена, mn — положительные корни уравнения
tgm = m/(1 – r0h).
8.24. Решением НКЗ
2u 1 a2 3 2 2u 5 2 2u 4, u 1 u(r, t), a2 1 k /(c6), r 1 [0, r ], t 7 [0, 5 8);
9 2 r 2r
0
2t
2r
ur 5 h(u 0 t)|r 1r0 1 0, | u |r 10 | 8; u |t10 1 0 ;
является ряд
u(r, t) 3 40 1 5(t 1 (r 2h 6 r02h 6 2r0 )/(6ha2 )) 1
1
2hr04 5 12
72 1 (hr0 6 1)2
8 a272 9
7 r
(61)n 11 3 n2
exp 6 2 n t sin n ,
2r 2 hr
r0
a2r n
h
r
7
(
7
1
6
)
0
n
n
0
0
31
где mn — n!й положительный корень уравнения:
tgm = m/(r0h – 1).
8.26. Решение НКЗ записывается в виде:
u(r, , t) 3
5 5 a7(m) 62 6
5 7n(m)r 6
8 8 n 9 t 9,
[
cos
sin
]exp
J
A
m
B
m
1
mn
m 8 r0 9 mn
r0
8
9
m, n 3 0
12
205
ОТВЕТЫ
где h = a/k, k — коэффициент теплопроводности, a — внешне
го теплообмена, mn(m) — положительные корни уравнения
mJ¢m(m) + r0hJm(m) = 0.
8.27. Решение НКЗ записывается в виде
12
4
6 a282n 75
68 r 7
1
u(r, t) 3 90 1 2 J0 n exp
t ,
2
J
r
(
)
8
8
n
n
1
0
r0 n 31
где mn — положительные корни уравнения
J0(m) = 0.
При достижении регулярного режима средняя температура по
сечению цилиндра будет равна
1
3 42a2 52
u(t) 6 70 1 8 42 exp 9 8 1 2 t .
r0 41
8.28. Решение НКЗ записывается в виде
u(r, t) 3 8u0
12
1
3
n 31 6n J1 (6n )
4 a262 5
46 r 5
J0 8 n 9 exp 8 7 2 n t 9,
r0
r0
где mn — положительные корни уравнения
J0(m) = 0.
При достижении регулярного режима средняя температура по
сечению цилиндра будет равна
u(t) 4
1 22a2 3
16u0
exp 6 5 1 2 t 7.
4
21
8 r0 9
8.29. Температура цилиндра будет определяться выраже
нием
12
27
6
6 a282 75
qr 4 2
2J (8 r /r )
u(r, t) 3 u0 1 0 2a2 t 9 1 1 9 2 r 2 9 02 n 0 exp 9 2 n t ,
k r0
4
r0 n 31 8n J0 (8n )
r0 где k — коэффициент теплопроводности, mn — положительные
корни уравнения
J¢0(m) = 0.
8.30. Решение НКЗ
2u 1 a2 3 2 2u 5 1 2u 4, u 1 u(r, t), a2 1 k /(c6), r 1 [0, r ], t 7 [0, 5 8);
9 2 r 2r
0
2t
2r
ur 5 h(u 0 )|r 1r0 1 0, | u |r 10 | 8; u|t 10 1 u0 ;
записывается в виде:
206
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
u(r, t) 3 70 1 2(70 8 u0 )hr0
12
4 a262 5
J0 (6nr / r0 )
exp 9 8 2 n t ,
2
2
2
r0
n 31 J0 (6n )(6 n 1 h r0 )
где h = a/k, k — коэффициент теплопроводности, a — внешне$
го теплообмена, mn — положительные корни уравнения
mJ¢0(m) + r0hJ0(m) = 0.
8.31. Температура цилиндра определяется выражением
u(r, t) 3 40 1 5(t 1 (r 2h 6 r02h 6 2r0 )/(4ha2 )) 1
1
2hr03 5 12
7 a292 8
J0 (9nr / r0 )
exp 6 2 n t ,
2 J (9 )(92 1 h2r 2 )
a2 n
9
r0
n
n
0
31 n 0
где h = a/k, k — коэффициент теплопроводности, a — внешне$
го теплообмена, mn — положительные корни уравнения
mJ¢0(m) + r0hJ0(m) = 0.
9. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
9.1. Поле неподвижных зарядов описывается уравнениями
Максвелла, в которых частные производные по времени прини$
маются равными нулю. Для электростатического поля в изо$
тропной непроводящей среде имеем
1
(190)
rot E 1 0,
1
1
1
div D 1 2, D 1 330 E,
(191)
где e — диэлектрическая проницаемость среды, e0 — электри$
ческая постоянная, r = r(M) — объемная плотность заряда в точ$
ке M.
Равенство (190) позволяет ввести потенциал u, такой, что
1
E 1 2 grad u.
Тогда (191) дает
div(ee0gradu) = –r,
и в однородной среде при e = const приходим к уравнению Пуас$
сона:
Du = –r/(ee0).
207
ОТВЕТЫ
ГУ I рода выполняются на проводящих поверхностях, на
которых тангенциальная составляющая электрической напря!
женности должна быть равна нулю:
E1 |S 3 4 2u 3 0,
21 S
1
где 1 — вектор касательной к граничной поверхности S. Отсю!
да следует:
u|S = const.
В частном случае, если поверхность заземлена, u|S = 0.
ГУ II рода возникают, если на проводящей поверхности за!
дана поверхностная плотность зарядов s = Dn, Dn — нормаль!
ная составляющая вектора электрического смещения. Она оп!
ределяется формулой
Dn 2 3440 1u ,
1n
1
где n — вектор нормали к границе S. Следовательно, ГУ имеют
вид
1u 3 f, f 3 4 2 .
1n S
550
Отметим, что ГУ II рода неестественны для электростатики.
9.2. Стационарное магнитное поле описывается уравнения!
ми Максвелла, в которых частные производные по времени при!
нимаются равными нулю. Если токи в рассматриваемой облас!
ти отсутствуют, магнитное поле определяется выражениями
1
(192)
rot H 1 0,
1
1
1
div B 1 0, B 1 220 H,
(193)
где m — магнитная проницаемость среды, m0 — 1магнитная по!
стоянная. Из (192) следует, что векторное поле1H безвихревое,
значит, можно ввести потенциал y такой, что H 1 2 grad 3. Под!
становка в (193) позволяет получить следующую формулу:
div(–mm0grady) = 0,
которая в однородной среде при m = const сводится к уравнению
Лапласа:
Dy = 0.
9.3. Система уравнений Максвелла (104, 105) для поля по!
стоянного тока в однородной изотропной проводящей среде име!
ет вид
208
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
1 1
1rot H 2 j ,
1
3
3rot E 2 0,
1
4
3div E1 2 5 / 660 ,
3div H 2 0
7
(194)
(все частные производные по времени равны нулю).
Из второго уравнения системы (194) следует, что напряжен*
ность электрического поля может быть задана потенциалом u:
1
(195)
E 1 2 grad u.
Подставим (195) в закон Ома в дифференциальной форме:
1 1
1
j 1 2E, j 1 32 grad u,
где s — удельная проводимость среды.
Применяя к обеим частям последнего равенства оператор
дивергенции и используя для плотности тока первое уравнение
системы (194), получаем:
1
div(rot
H) 1 2 div(3 grad u).
1
Поскольку div(rot H ) 1 0,
div(sgradu) = 0.
В однородной среде s = const, и потенциал u удовлетворяет урав*
нению Лапласа:
Du = 0.
Граничные условия:
1) На заземленной поверхности S потенциал равен нулю, что
приводит к однородным ГУ I рода
u|S = 0.
2) На границе проводника с диэлектриком равна нулю нор*
мальная составляющая вектора плотности тока
jn S 2 34 1u 2 0 5 1u 2 0,
1n S
1n S
1
где n — вектор нормали к границе S.
9.4. Уравнение непрерывности, выражающее закон сохра*
нения массы жидкости,
1
12
3 div(2v ) 4 0,
1t
для несжимаемой жидкости (r = const), преобразуется к виду
1
div v 1 0,
здесь r — плотность жидкости, v — скорость ее течения.
209
ОТВЕТЫ
1
По условию, течение жидкости потенциально (v 1 grad 2),
следовательно,
div(gradj) = 0,
что приводит к уравнению Лапласа для потенциала скоростей:
Dj = 0.
Жидкость не проникает сквозь поверхность твердого тела,
поэтому нормальная составляющая скорости жидкой частицы
должна совпадать со скоростью твердой поверхности:
12
3 v0n ,
1n S
1
где n — вектор нормали к поверхности тела S, v0n — проекция
скорости тела на нормаль к его поверхности в данной точке.
В частном случае, когда скорость тела равна нулю (v0 = 0):
12
3 0.
1n S
9.5. В стационарном случае уравнение теплового баланса для
объема V с поверхностью S, взятого внутри тела, имеет вид:
16 1 4k 3n 2dS 5 6 FdV ,
3u
S
(196)
V
где u — температура точек тела, F — напряженность источни*
ков тепла (т. е. количество тепла, выделяющееся в единицу вре*
мени в единичном объеме), k — коэффициент теплопроводно*
1
сти, n — вектор нормали к S. Слева в (196) стоит суммарный
тепловой поток через поверхность S в единицу времени, спра*
ва — количество тепла, выделяющееся в единицу времени в объ*
еме V. Применение к (196) формулы Остроградского дает
1 3 div(k grad u)dV 2 3 FdV ,
V
V
что в силу произвольности объема V и постоянства k приводит к
уравнению Пуассона:
Du = –F(x, y, z)/k.
ГУ I рода возникают, если на поверхности тела задана тем*
пература:
u|S = T0.
210
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Если на поверхности тела задан тепловой поток, ставятся
ГУ II рода:
1(x, y, z)
3k 2u 4 1(x, y, z) или 2u 4 3
.
2n S
2n S
k
З а м е ч а н и е : данное ГУ имеет смысл для задачи стацио)
нарного распределения температуры только при условии, что
все выделяющееся в теле тепло уходит за его пределы:
13 1dS 2 3 FdV .
S
V
Если на границе тела происходит свободный теплообмен со
средой температуры T0(x, y, z), возникают ГУ III рода:
hT
4k 3u 5 h(u 4 T0 ) S или 3u 6 h u 5 0 ,
3n S
3n k S
k
1
2
где h — коэффициент теплообмена.
Таким образом, краевая задача о температуре в трубе имеет
вид:
Du = 0, u = u(r, j), r Î [r1, r2], j Î [0, 2p),
1
u|r 3 r1 3 T1, 5u 6 h u
5n k
2
r 3 r2
3
hT (4)
,
k
u(r, j + 2p) = u(r, j).
9.6. Краевая задача о температуре в длинном цилиндре фор)
мулируется следующим образом:
Du = –e(r, j)/k, u = u(r, j), r Î [0, r0], j Î [0, 2p),
1 44nu 5 hk u2
r 3 r0
3
hT0
,
k
u(r, j + 2p) = u(r, j),
где k — коэффициент теплопроводности, h — коэффициент теп)
лообмена.
У к а з а н и е: см. решение задачи 9.5.
9.9. Задача о поперечных колебаниях мембраны обсужда)
лась в главе 6. Задача о ее стационарном прогибе получится, если
в волновом уравнении считать внешнюю нагрузку не завися)
щей от времени и положить производную по времени utt равной
нулю (см. решение задачи 6.1). В результате, получим:
Du + p(x, y)/T0 = 0, u = u(x, y).
Граничные условия:
а) u|L = 0, б) (u – z0(x, y))|L = 0,
211
ОТВЕТЫ
1
2
в) 1u 2 f (xL , yL ) , г) T0 3u 4 ku 5 0,
T0
1n L
3n
L
1
где n — внешняя нормаль к контуру закрепления.
9.11. Потенциал электростатического поля определяется
выражением
4U0 1 3 2mb214x sin[(2m 2 1)4y /b]
6
u(x, y) 5
e
.
4 m7
2m 2 1
50
9.12. а) Решение краевой задачи
Du = 0, u = u(x, y, z), x Î [0, a], y Î [0, b], z Î [0, c],
u|x = 0 = u|x = a = u|y = 0 = u|y = b = u|z = c = 0, u|z = 0 = U,
имеет вид
1
1
u(x, y, z) 2 162U
4 m 20 n 20
5
sin((2m 3 1)4x / a)sin((2n 3 1)4y /b)
5
(2m 3 1)(2n 3 1)
sh 694(c 8 z) (2m 3 1)2 / a2 3 (2n 3 1)2 /b2 7
sh 694c (2m 3 1)2 / a2 3 (2n 3 1)2 / b2 7
.
б) Решение краевой задачи
Du = 0, u = u(x, y, z), x Î [0, a], y Î [0, b], z Î [0, c],
u|x = 0 = u|x = a = u|y = 0 = u|y = b = U, u|z = 0 = u|z = c = 0,
может быть записано в следующем виде:
1
1
u(x, y, z) 2 162U 9 9
4 m 20 n 20
sin((2m 3 1)4y /b)sin((2n 3 1)4z / c)
5
(2m 3 1)(2n 3 1)
5
ch(6 mn (0,5a 7 x)) 16U 1 1 ch(8mn (0,5b 7 y))
3 2 99
5
ch(0,5a6 mn )
4 m 2 0 n 20 ch(0,5b8mn )
5
sin((2m 3 1)4x / a)sin((2n 3 1)4z/ c)
,
(2m 3 1)(2n 3 1)
где
1 mn 2 3 (2m 4 1)2 / b2 4 (2n 4 1)2 / c2 ,
5mn 2 3 (2m 4 1)2 / a2 4 (2n 4 1)2 / c2 .
У к а з а н и е: решение искать в виде u(x, y, z) = v(x,y, z)+
+ w(x, y, z), где v(x, y, z) — удовлетворяет уравнению Лап*
ласа и ГУ
v|x = 0 = v|x = a = v|z = 0 = v|z = c = 0, v|y = 0 = v|y = b = U,
212
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
а w(x, y, z) — удовлетворяет уравнению Лапласа и ГУ
w|y = 0 = w|y = b = w|z = 0 = w|z = c = 0, w|x = 0 = w|x = a = U.
9.14. в) Решение внутренней задачи Дирихле имеет вид
2k
1
cos2k3
u(r, 3) 2 A r sin 3 6 8 A 47 r 58
.
r0
9 k 21 r0
4k2 6 9
Решение внешней краевой задачи определяется аналогичным
выражением
2k
1
r
r
cos2k3
.
u(r, 3) 2 A 0 sin 3 6 8 A 47 0 58
9 k 21 r
r
4k2 6 9
9.16. Решение внутренней задачи Дирихле для уравнения
Пуассона имеет вид
u 1 u 2 A (R22 1 R12 )/4 R2
u(r ) 3 u2 2 A (r 2 1 R22 ) 2 1 2
ln .
4
(ln R2 1 ln R1 )
r
9.18. Функция, гармоническая в кольце и удовлетворяющая
ГУ задачи, может быть записана в виде
u(r) = m1 + (m2 – m1)lnr/ln2.
9.19. Функция, гармоническая в круговом секторе и удов>
летворяющая ГУ задачи, может быть записана в виде
u(r, j) = Aj.
Записав уравнение Лапласа в полярных координатах (r, j):
1 2
2
42u 5 1 3 r 3u 6 12 3 u2 5 0,
r 3r 3r r 37
несложно видеть, что функция, линейная относительно j и не
зависящая от r, является гармонической.
9.20. Функции, гармонические в шаре радиуса r0 и удовле>
творяющие ГУ задачи, могут быть записаны в виде
в) u(r, j, q) = (r/r0)2cos(2j + p/3)sin2q;
г) u(r, j, q) = (r/r0)3sin(2j + p/6)sin2qcosq;
д) u(r, j, q) = (r/r0)3sin(3j + p/4)sin3q.
9.22. Функции, гармонические в сферическом слое и удов>
летворяющие ГУ задачи, могут быть записаны в виде
а) u(r, j, q) = (8/r2 – r)sinjsinq/7;
б) u(r, j, q) = 4(r – 1/r2)cosq + (8/r2 – r)cosjsinq;
в) u(r, j, q) = (4/r2 + r)sinjsinq + 3r2sinjsin2q.
ЛИТЕРАТУРА
1. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по
математической физике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
2. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической
физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
3. Владимиров В. С. и др. Сборник задач по уравнениям математи
ческой физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
4. Гюнтер Н. М., Кузьмин Р. О. Сборник задач по высшей матема
тике. СПб.; М.: Лань, 2003.
5. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике. СПб.:
Лань, 2005.
6. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 2. М.: Наука, 1974.
7. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической фи
зики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
Виктор Михайлович ЕМЕЛЬЯНОВ
Елена Альбертовна РЫБАКИНА
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Издание второе, стереотипное
Зав. редакцией
физикоматематической литературы Н. Р. Крамор
ЛР № 065466 от 21.10.97
Гигиенический сертификат 78.01.07.953.П.007216.04.10
от 21.04.2010 г., выдан ЦГСЭН в СПб
Издательство «ЛАНЬ»
lan@lanbook.ru; www.lanbook.com
196105, СанктПетербург, пр. Юрия Гагарина, д. 1, лит. А.
Тел./факс: (812) 3362509, 4129272.
Бесплатный звонок по России: 88007004071
Подписано в печать 10.11.05.
Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Формат 84 ×108 1/32.
Печать офсетная. Усл. п. л. 11,76. Тираж 100 экз.
Заказ №
.
Отпечатано в полном соответствии
с качеством предоставленного оригиналмакета
в ПАО «Т8 Издательские Технологии».
109316, г. Москва, Волгоградский пр., д. 42, к. 5.