УМФ_Инф_3к_3с_Гималтдинова А.А

«Утверждено»
на заседании кафедры
математического анализа
«___»___________2012
Зав.каф._____________ Калиев И.А.
Вопросы и задачи
к экзамену по УМФ для студентов 3 курса
(спец. Информатика, гр И31, 2012-13 уч.год)
Сост. Гималтдинова А.А.
Вопросы
1. Дифференциальные уравнения в частных производных (ДУ в ЧП). Основные
понятия и определения. Основные уравнения математической физики.
2. Линейные однородные ДУ в ЧП первого порядка.
3. Задача Коши для линейного однородного ДУ в ЧП первого порядка.
4. Квазилинейные ДУ в ЧП первого порядка.
5. Вывод уравнения колебаний струны.
6. Постановка основных начально-граничных задач для уравнения колебаний струны.
7. Уравнение теплопроводности. Постановка основных начально-граничных задач.
8. Постановка основных граничных задач для уравнений Пуассона и Лапласа.
9. Понятие о корректно поставленной задаче для ДУ. Примеры некорректных
краевых задач.
10. Типы линейных ДУ в ЧП второго порядка. Примеры.
11. Приведение к каноническому виду ДУ второго порядка (дифференциальное
уравнение характеристик, понятие характеристики).
12. Канонический вид ДУ второго порядка (случаи D>0, D<0, D=0).
13. Первая начально-граничная задача для уравнения колебаний струны. Постановка
задачи, единственность решения.
14. Существование решения первой начально-граничной задачи для уравнения
колебаний струны (метод Фурье).
15. Построение решения задачи Коши для уравнения колебания струны. Формула
Даламбера.
16. Задачи Гурса и Дарбу для уравнения струны. Решение.
17. Гармонические функции. Примеры.
18. Внутренний принцип экстремума гармонических функций. Единственность и
устойчивость решения задачи Дирихле.
19. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге методом разделения
переменных.
20. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в кольце.
21. Свойства гармонических функций.
22. Первая начально-граничная задача для уравнения теплопроводности.
23. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Постановка задачи,
единственность решения.
24. Гамма - функция и ее свойства.
25. Бета – функция, свойства, вычисление интегралов при помощи бета – функции.
26. Уравнение Бесселя. Функции Бесселя.
Задачи
y
 ln x 2  y 2 ), где f - непрерывно
x
дифференцируемая функция, является решением уравнения
( x  y )u x  ( x  y )u y  u.
1. Доказать, что функция u ( x, y )  x 2  y 2  f (arctg
2. Найти общее решение д.у. в ч.п. первого порядка и сделать проверку:
а) xux  y 2u y  2 xy.
б) x2ux  y 2u y  2 x.
1 u 1 u
1
1
u
г) ux  u y  2 .

 3.
x x y y
x
y
y
3. Найти решение задачи Коши для д.у. в ч.п. первого порядка:
а) ( x  2e y )ux  u y  0, u( x, y) | y 0  x.
в)
б) u x  2u y  u z  0, u ( x, y, z ) |z 1  2 xy.
4. Определить тип уравнения и привести к каноническому виду:
а) u xx  4u xy  5u yy  u x  3u y  0.
б) u xx  6u xy  13u yy  2u x  4u y  0.
в) x2uxx  2 yxuxy  3 y 2u yy  0.
г) uxx  2sin xuxy  cos2 xu yy  cos xu y  0 .
д) uxx  (1  y 2 )2 u yy  2 y(1  y 2 )u y  0 .
е) u xx  4u xy  4u yy  2u x  7u y  0.
5. Найти методом характеристик общее решение д.у. в ч.п. второго порядка и сделать
проверку:
а) 3u xx  2u xy  u yy  0.
б) u xx  6u xy  5u yy  0.
1
г) u xx  yu yy  u y  0.
2
6. Найти решение задачи для уравнения:
u xx  6u xy  8u yy  0 с условиями:
в) u xx  8u xy  12u yy  0.
а) u
y 2 x
б) u
y 0
в) u y
 3x 2 , u
y 4 x
 sin x ,
 2 x  1, u
y 4 x
 ex ,
 sin x, u
y 4 x
 x 1.
y 0
7. Найти решение задачи для уравнения:
u xx  4u xy  21u yy  0 с условиями:
а) u
y 7 x
б) u
y 0
 sin x, u
 3x 2 , u
y 3 x
y 7 x
 1  cos x ,
 1  ex ,
1
, u y 4 x  x 2  1 .
1  x2
8. Найти форму струны, определяемой уравнением utt  uxx в момент t   ,
в) u y
y 0

если u |t 0  sin x, ut |t 0  cos x.
9. Решить задачу Коши для волнового уравнения utt  uxx с начальными условиями:
1
, ut ( x, 0)  x.
а) u ( x, 0) 
1  x2
1
.
б) u ( x, 0)  2 x, ut ( x, 0) 
1  x2
10. Решить первую смешанную задачу для уравнения теплопроводности ut  u xx ,
x  (0, 2), t  (0, ) с условиями u( x,0)  8sin 3 4 x  2sin 6 x, u (0, t )  u (2, t )  0.