МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ОЦЕНКА ПРЕПОДАВАТЕЛЬ профессор, д-р техн. наук должность, уч. степень, звание подпись, дата Л.П. Вершинина инициалы, фамилия ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА В НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ по дисциплине: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ РАБОТУ ВЫПОЛНИЛ СТУДЕНТ ГР. № 3110М подпись, дата Санкт-Петербург 2021 A.А. Михайлова инициалы, фамилия 1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ Используя выборку, выдвинуть статистическую гипотезу о виде закона распределения элементов генеральной совокупности. Проверить выдвинутую статистическую гипотезу о виде распределения на уровне значимости α (α задать самостоятельно). 2 ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ 3 ХОД РАБОТЫ Таблица 1 – Элементы выборки в порядке возрастания 59,41 60,97 61,08 61,42 61,44 61,48 61,65 61,74 62,01 62,11 62,33 62,66 63,12 63,21 63,24 63,31 63,47 63,61 63,67 64,33 64,36 64,38 64,43 64,67 64,67 64,70 64,81 65,01 65,03 65,06 65,15 65,25 65,25 65,27 65,42 65,53 65,72 65,77 65,79 66,19 66,60 66,70 66,91 67,00 67,21 67,38 67,90 68,02 68,25 69,10 Объем выборки n = 50. Вычисление выборочного размаха R (см. таблицу 1): 𝑅 = 𝑅𝑚𝑎𝑥 − 𝑅𝑚𝑖𝑛 = 69.10 − 59.41 = 9.69 Определение количества интервалов с помощью формулы Стерджесса: 𝑘 = 1 + 3,322 ∙ lg(50) = 6,64 ≈ 7 Определение шага интервала выборки: 𝑅 9.69 9.69 = = = 1.384 1 + 3,322 ∙ lg𝑛 1 + 3,322 ∙ lg50 7 Относительные частоты вычисляем по формуле: 𝑛𝑖 𝑛𝑖 𝑤𝑖 = = n 50 ℎ= Плотности относительных частот вычисляем по формуле: 𝑤𝑖 𝑤𝑖 𝑝𝑖 = = h 1.384 Таблица 2 – Интервальный вариационный ряд Номер интервала 1 2 3 4 5 6 Интервал 59,41-60,794 60,794-62,178 62,178-63,562 63,562-64,946 64,946-66,33 66,33-67,714 Середина интервала 60,10 61,49 62,87 64,25 65,64 67,02 ni 1,00 9,00 7,00 10,00 13,00 6,00 wi 0,02 0,18 0,14 0,20 0,26 0,12 pi 0,01 0,13 0,10 0,14 0,19 0,09 7 67,714-69,10 68,41 4,00 0,08 0,06 Вычисление выборочного среднего 𝑥̅ и выборочного среднего отклонения σв методом произведений. Условные варианты рассчитываются по формуле: 𝑢𝑖 = (𝑥𝑖 − 𝐶) (𝑥𝑖 − 65,64) = ℎ 1.384 Таблица 3 – Условные варианты ui -4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 ni 1,00 9,00 7,00 10,00 13,00 6,00 4,00 ni * ui2 16,01 81,08 28,04 10,03 0,00 5,98 15,99 ni * ui -4,00 -27,01 -14,01 -10,01 -0,02 5,99 8,00 ni (ui + 1)2 9,01 36,05 7,02 0,00 12,96 23,97 35,98 Для контроля воспользуемся тождеством: n u 1 n u 2 n u n. 2 i i i i i i Контроль: ∑ 𝑛𝑖 (𝑢𝑖 + 1)2 = 124.99 ∑ 𝑛𝑖 𝑢𝑖2 + 2 ∑ 𝑛𝑖 𝑢𝑖 + 𝑛 = 124.99 Вычисления выполнены верно, т.к. контрольные суммы тождественно равны. Определение условных моментов первого и второго порядков: 𝑀1∗ = ∑ 𝑛𝑖 𝑢𝑖 −41.07 = = −0.821 𝑛 50 𝑀2∗ = ∑ 𝑛𝑖 𝑢𝑖2 157.13 = = 3.143 𝑛 50 Нахождение выборочного среднего значения и дисперсии: 𝑥̅ = 𝑀1∗ ℎ + 𝐶 = −0.821 ∗ 1.384 + 65.64 = 64.50 𝐷в = [𝑀2∗ − (𝑀1∗ )2 ]ℎ2 = [3.143 − 0.8212 ] ∙ 1.384 = 3.42 Определение выборочного среднеквадратического отклонения: σ = √𝐷2 = √3.42 ≈ 1.85 Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладываем интервалы варианта, на оси ординат – соответствующие плотности относительных частот pi. Гистограмма 14,00 12,00 10,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0,00 1 2 3 4 5 6 7 Рисунок 1 – Гистограмма относительных частот Выдвигаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с параметрами a = 64.50 и = 1.85. H0 – распределение нормальное; H1 – распределение не является нормальным. Для проверки гипотезы используем критерий согласия Пирсона. Уровень значимости α = 0.1. При расчетах объединяем 1 и 2, 6 и 7 интервалы, т.к. они имеют частоту меньше 5. Таблица 4 – Расчеты для критерия Пирсона. Таблица 5 – Расчеты для критерия Пирсона. Наблюдаемое значение критерия Пирсона вычисляем по формуле: 4 2 набл (𝑛𝑖 − 𝑛′𝑖 )2 =∑ = 7.166 𝑛′𝑖 𝑖=1 Из таблицы критических значений 2 кр при уровне значимости 0.02 и числе степеней свободы k 5-3 = 2 находим 2 кр = 7.824. Поскольку 2 набл = 7.166 < 2 кр = 7.824, то при данном уровне значимости гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В данной работе выдвинута и проверена статистическая гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности. Проверка была осуществлена с помощью критерия согласия Пирсона на уровне значимости 0,02.
