int NSU

Âàðèàíò 1.
1. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë
Z4
1
√ sin π2 x
√
√ dx.
x · cos3 π2 x
2. Íàéòè ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ëèíèåé, çàäàííîé â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ:
ρ = sin 4ϕ.
3. Íàéòè äëèíó äóãè êðèâîé, çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêè:
(
x = t2
√
y = arcsin t + t 1 − t2
, 0 6 t 6 1.
4. Âû÷èñëèòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë:
Z+∞
ln(1 + x2 )
dx.
x2
1
5. Èññëåäîâàòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë íà ñõîäèìîñòü:
Z1
sin 2x
√ dx.
ln(1 + x x)
0
6. Èññëåäîâàòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë íà àáñîëþòíóþ è óñëîâíóþ ñõîäèìîñòü:
Z+∞
√
sin 3 x
dx.
x
0
7. Íàéòè ãëàâíîå çíà÷åíèå íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà
Z+∞
v.p.
3
dx
.
x2 − 7x + 10
Âàðèàíò 2.
1. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë
Z1
x2 · sin
1 + cos
0
π 3
x
2
π 3 2
x
2
dx.
2. Íàéòè ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ëèíèåé, çàäàííîé â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ:
ρ = 1 + sin ϕ.
3. Íàéòè äëèíó äóãè êðèâîé, çàäàííîé â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ:
1
π
, 06ϕ6 .
cos ϕ
4
ρ=
4. Âû÷èñëèòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë:
Z1
arcsin x
√
dx.
1−x
0
5. Èññëåäîâàòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë íà ñõîäèìîñòü:
Zπ/4 √
x · sin 3x
dx.
1 − cos 2x
0
6. Èññëåäîâàòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë íà àáñîëþòíóþ è óñëîâíóþ ñõîäèìîñòü:
Z+∞
x2 cos(x4 ) dx.
0
7. Íàéòè ãëàâíîå çíà÷åíèå íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà
Z+∞
v.p.
3
dx
.
x2 − 6x + 8
Âàðèàíò 3.
1. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë
Ze
sin
1
q
x · 1 + 3 cos
π
2
ln x
π
2
ln x
dx.
2. Íàéòè ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ëèíèåé, çàäàííîé â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ:
ρ = 1 + cos 2ϕ.
3. Íàéòè äëèíó äóãè êðèâîé, çàäàííîé â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ:
4
ρ = cos
ϕ
4
, 0 6 ϕ 6 2π.
4. Âû÷èñëèòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë:
√
arcsin x
√
dx.
1−x
Z1
0
5. Èññëåäîâàòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë íà ñõîäèìîñòü:
Z2
ln(1 + x2 )
√
dx.
x x · sin x
0
6. Èññëåäîâàòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë íà àáñîëþòíóþ è óñëîâíóþ ñõîäèìîñòü:
Z+∞
x3 sin(x5 ) dx.
0
7. Íàéòè ãëàâíîå çíà÷åíèå íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà
Z+∞
v.p.
x2
4
dx
.
− 8x + 15
Âàðèàíò 4.
1. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë
Z2
1
cos πx
x2 · sin πx + 1
4 dx.
2. Íàéòè ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ëèíèåé, çàäàííîé â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ:
ρ = cos 3ϕ.
3. Íàéòè äëèíó äóãè êðèâîé, çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêè:
(
√
√
x = ln( t + 1 + t)
√
y = t+1
, 0 6 t 6 1.
4. Âû÷èñëèòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë:
Z+∞
xe−x
dx.
(x − 1)2
2
5. Èññëåäîâàòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë íà ñõîäèìîñòü:
Z+∞
sin x1
√ dx.
x+2 x
1
6. Èññëåäîâàòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë íà àáñîëþòíóþ è óñëîâíóþ ñõîäèìîñòü:
Z+∞
1
cos(ln x)
√
dx.
x ln x
7. Íàéòè ãëàâíîå çíà÷åíèå íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà
Z+∞
v.p.
x2
2
dx
.
− 5x + 4