Задачи по квантовой механике

Ïðèìåðíûé ñïèñîê çõàäà÷
ê ïðàêòè÷åñêèì çàíÿòèÿì ïî ïî êóðñó Êâàíòîâàÿ
ìåõàíèêà
À.Ê.Ãîðáàöåâè÷
2023 ã.
Ãëàâà 1
Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî
1.1
Áðà- è êåò-âåêòîðû
1.1. Âû÷èñëèòü íîðìû (||ϕ|| è
a)
ãäå
|ϕi =
||χ||)
è ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (h ϕ |
| v1 i + i | v2 i
√
,
2
|χi =
âåêòîðîâ
| v1 i − i | v2 i
√
,
2
h vn | vm i = δmn (m, n = 1, 2);
Z
b)
b
ik
|ϕi =
b
Z
| v(k) i e dk ,
| v(k) i e2ik dk ,
|χi =
a
ãäå
χ i)
a
h vk | vk0 i = δ(k − k 0 ).
1.2. Äîêàçàòü íåðàâåíñòâî Øâàðöà (ÊîøèÁóíÿêîâñêîãî):
∀|ϕi,|χi ∈ H :
||ϕ|| · ||χ|| = |h ϕ | χ i| .
1.3. Äîêàçàòü íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà:
∀|ϕi,|χi ∈ H :
1.4. Ðÿä Ôóðüå : Ïóñòü
ϕ(x)
ñèòåëüíî äèñêðåòíîãî
||ϕ + χ|| 5 ||ϕ|| + ||χ|| .
ϕn êîìïîíåíòû îäíîãî è òîãî æå
(| vn i è íåïðåðûâíîãî (| u(x) i) áàçèñîâ
è
Z2π
|ϕi =
+∞
X
| u(x) i ϕ(x)dx =
âåêòîðà
|ϕi
ñîîòâåòñòâåííî:
| vn i ϕn .
n=−∞
0
Íàéòè ñâÿçü ìåæäó ýòèìè êîìïîíåíòàìè, åñëè
1
vn (x) ≡ h u(x) | vn i = √ einx ,
2π
2
îòíî-
x ∈ [ 0 , 2π ] , n = 0, ±1, ±2 , . . . .
1.2
3
Ëèíåéíûå îïåðàòîðû
1.5. Èíòåãðàë Ôóðüå : Ïóñòü
|ϕi
ϕ(k)
è
ϕ̃(x)
êîìïîíåíòû îäíîãî è òîãî æå âåêòîðà
îòíîñèòåëüíî íåïðåðûâíûõ áàçèñîâ
| v(k) i
Z∞
|ϕi =
è
| u(x) i
ñîîòâåòñòâåííî:
Z∞
| u(x) i ϕ̃(x)dx =
−∞
| v(k) i ϕ(k)dk .
−∞
Íàéòè ñâÿçü ìåæäó ýòèìè êîìïîíåíòàìè, åñëè
1
v(x, k) ≡ h u(x) | v(k) i = √ eikx ,
2π
1.2
x, k ∈ ( −∞ , ∞ ) .
Ëèíåéíûå îïåðàòîðû
1.2.1
Ýðìèòîâî ñîïðÿæåíèå
1.6. Äîêàçàòü òîæäåñòâà:
+
v.
= Â ;
+ −1
Â−1
= Â+
;
+
a  = a∗ Â+ ;
+
 + B̂
= Â+ + B̂ + ;
+
 B̂
= B̂ + Â+ ;
vi.
( | ϕ ih χ | )+ = | χ ih ϕ | .
i.
ii.
iii.
iv.
Â
+
1.7. Óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ñëåäóþùèõ î÷åâèäíûõ ñîîòíîøåíèé (Û ,V̂ ïðîèçâîëüíûå óíèòàðíûå îïåðàòîðû;
i.
a Û
ii.
Û n
ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð):
óíèòàðíûé îïåðàòîð, åñëè
a∗ a = 1;
óíèòàðíûé (n öåëîå ïîëîæèòåëüíîå èëè îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî);
Û − Iˆ
Û + Iˆ
iii.
i
iv.
Û Ĥ Û +
Iˆ − iĤ
v.
Ĥ
Iˆ + iĤ
ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð;
ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð;
óíèòàðíûé îïåðàòîð.
1.8. Ðåøèòü ñëåäóþùåå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî
Zb
ϕ(x) + u(x)
v ∗ (x0 )ϕ(x0 )dx0 = χ(x) .
a
Óêàçàíèå: Íàéòè îïåðàòîð
Iˆ + | u ih v |
−1
.
ϕ(x):
4
1:
Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî
1.9. Íàéòè îïåðàòîð, ýðìèòîâî ñîïðÿæåííûé îïåðàòîðó
ïðîñòðàíñòâå
1.2.2
p̂ =
L2 (R).
~ d
,
i dx
îïðåäåëåííîìó â
Êîììóòàòîðû è èõ ñâîéñòâà
1.10. Äîêàçàòü òîæäåñòâà:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
h
i
h
i
L̂ , M̂ = − M̂ , L̂ ;
h
i
L̂ , L̂ = 0
h
i
h
i
L̂ , a M̂ = a L̂ , M̂ ;
h
i
L̂ , a Iˆ = 0, ãäå Iˆ åäèíè÷íûé
îïåðàòîð;
h
i h
i h
i
L̂1 + L̂2 , M̂ = L̂1 , M̂ + L̂2 , M̂ ;
h
i h
i
h
i
L̂1 L̂2 , M̂ = L̂1 , M̂ L̂2 + L̂1 L̂2 , M̂ ;
h
i h
i
h
i
M̂ , L̂1 L̂2 = M̂ , L̂1 L̂2 + L̂1 M̂ , L̂2 ;
viii. Òîæäåñòâî ßêîáè:
h
h
ii h
h
ii h
h
ii
L̂1 , L̂2 , L̂3
+ L̂2 , L̂3 , L̂1
+ L̂3 , L̂1 , L̂2
= 0.
1.11. Äîêàçàòü ñîîòíîøåíèå
L̂
e M̂ e
−L̂
=
n=∞
X
n=0
i
1 h
L̂ , M̂
,
n!
(n)
ãäå
h
L̂ , M̂
i
= M̂ ,
h
L̂ , M̂
(0)
i
h
= L̂ , M̂
i
h
, . . . , L̂ , M̂
(1)
i
= L̂ , L̂ , M̂
(n)
1.12. Âîñïîëüçîâàâøèñü ðåçóëüòàòîì çàäà÷è 1.11, ïîêàçàòü, ÷òî
1
eL̂+M̂ = eL̂ eM̂ e− 2 [ L̂ , M̂ ] ,
åñëè ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ
h
h
h
ii h
h
ii
L̂ , L̂ , M̂
= M̂ , L̂ , M̂
= 0.
i
.
(n−1)
1.2
5
Ëèíåéíûå îïåðàòîðû
1.13. Ïóñòü ôóíêöèÿ
f (x)
ðàçëîæèìà â ðÿä Òåéëîðà. Äîêàçàòü, ÷òî
åñëè îïåðàòîðû
â
è
â+
df (â+ )
â , f (â+ ) =
,
dâ+
óäîâëåòâîðÿþò ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì
1.14. Äâà îïåðàòîðà
Â
è
B̂
â , â+ = Iˆ .
1
(F)
îäíîâðåìåííî óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì
 = B̂ + B̂ + 3 Iˆ ,
a)
Äîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîð
Â
a)
b)
 = B̂ B̂ + + Iˆ .
ñàìîñîïðÿæåííûé, à òàêæå âû÷èñëèòü êîììóòàòîðû
h
B̂ + , B̂
i
è
b)
h
 , B̂
i
.
1.15. Ïóñòü
â+ â+ + ââ
â+ â + ââ+
â+ â+ − ââ
Â1 =
, Â2 =
, Â3 = i
.
4
4
4
h
i
Íàéòè êîììóòàòîðû
Âi , Âj , åñëè îïåðàòîðû â è â+ óäîâëåòâîðÿþò
íîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì (F).
ïåðåñòà-
1.16. Ïóñòü
b̂ + b̂+
b̂+ − b̂
b̂+ b̂ − b̂b̂+
, B̂2 =
, B̂3 =
.
2
2
2
h
i
B̂i , B̂j , åñëè îïåðàòîðû b̂ è b̂+ óäîâëåòâîðÿþò
B̂1 =
Íàéòè êîììóòàòîðû
ñîîòíîøå-
íèÿì
n
b̂ , b̂+
o
≡ b̂b̂+ + b̂+ b̂ = Iˆ ,
b̂b̂ = 0 .
1.17. Äîêàçàòü, ÷òî óñëîâèå
b̂b̂+ + b̂+ b̂ = −Iˆ
ïðîòèâîðå÷èâî.
1 Îïåðàòîðû, îïðåäåëåííûå ñîîòíîøåíèåì (F), èãðàþò â êâàíòîâîé ìåõàíèêå èñêëþ÷èòåëüíî âàæíóþ ðîëü. Ïîýòîìó, ââåäåííûå äëÿ íèõ îáîçíà÷åíèÿ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ïîñòîÿííî.
6
1:
1.2.3
Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî
Îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ. Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðîâ
1.18. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñëåäà îïåðàòîðà, îïðåäåëåííîãî êàê ñóììà (èíòåãðàë) åãî
äèàãîíàëüíûõ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ,
Sp L̂ = Tr L̂ =
XD
vn L̂vn
E
(
| vn i
îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ),
n
âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:
i. Ñëåä îïåðàòîðà íå çàâèñèò îò âûáîðà îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà, â êîòîðîì îí âû÷èñëÿåòñÿ.
ii.
Sp L̂M̂ = Sp M̂ N̂ ,
Sp(L̂1 L̂2 L̂3 · · · ) = Sp(L̂2 L̂3 · · · L̂1 ) .
iii.
Sp(L̂1 + L̂2 + · · · ) = Sp L̂1 + Sp L̂2 + · · · .
iv.
Sp(aL̂) = a Sp L̂,
1.2.4
ãäå
a ∈ C.
Ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ëèíåéíûõ
îïåðàòîðîâ
1.19. Êàê âûãëÿäÿò ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà
p̂,
îïðå-
äåëåííîãî â çàäà÷å 1.9?
1.20. Ïîêàçàòü, ÷òî ó îïåðàòîðà
ðû, êàê è ó îïåðàòîðà
L̂−1 (åñëè îí ñóùåñòâóåò) òàêèå æå ñîáñòâåííûå âåêòî-
L̂, à èõ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âçàèìíî
îáðàòíûå ÷èñëà.
1.21. Ïóñòü îïåðàòîð
â
îïðåäåëåí â ïðîñòðàíñòâå
L2 (R)
ïîñðåäñòâîì âûðàæåíèÿ:
d 1 .
â = √ x +
dx
2
i. Íàéòè îïåðàòîð
â+ ,
ýðìèòîâî ñîïðÿæåííûé îïåðàòîðó
ii. Âû÷èñëèòü êîììóòàòîð îïåðàòîðîâ
â
è
â.
â+ .
iii. Íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû (åñëè îíè ñóùåñòâóþò)
ýòèõ îïåðàòîðîâ. Íàéäåííûå ñîáñòâåííûå âåêòîðû íîðìèðîâàòü íà
1.22. Ïóñòü ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð
L̂,
1.
íåïðåðûâíûì îáðàçîì çàâèñÿùèé îò äåé-
ñòâèòåëüíîãî ïàðàìåòðà t, îáëàäàåò íåâûðîæäåííûì äèñêðåòíûì ñïåêòðîì
L̂ | un i = Ln | un i ,
ãäå
| un i
åãî ñîáñòâåííûå âåêòîðû, íîðìèðîâàííûå íà åäèíèöó:
h un | um i = δnm .
{Ln }:
1.2
7
Ëèíåéíûå îïåðàòîðû
Äîêàçàòü, ÷òî
D
dLn
=
dt
a)
ãäå
α
D
˙
un L̂ un ,
E
b)
X
d | um i
=
| un i
dt
n6=m
˙
un L̂um
Lm − Ln
ïðîèçâîëüíîå ÷èñòî ìíèìîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî (< α
| Ua i çíà÷åíèþ a,
1.23. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè
ñîáñòâåííîìó
E
ñîáñòâåííûé âåêòîð îïåðàòîðà
+ α | um i ,
d
˙
= 0); L̂ =
L̂.
dt
Â,
ñîîòâåòñòâóþùèé
 | Ua i = a | Ua i ,
òî
| Ua i
òàêæå ÿâëÿåòñÿ è ñîáñòâåííûì âåêòîðîì îïåðàòîðà
ê ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ
f (Â),
îòíîñÿùåìóñÿ
f (a):
f (Â) | Ua i = f (a) | Ua i .
| ψ i ñîáñòâåííûé âåêòîð ëèíåéíîãî îïåðàòîðà Â, îòíîñÿùèéñÿ ê ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ a. Ïîêàçàòü, ÷òî, åñëè, êðîìå òîãî, ñóùåñòâóåò îïåðàòîð B̂ òàêîé,
1.24. Ïóñòü
÷òî
h
òî âåêòîð
B̂ | ψ i ≡ B̂ψ
E
i
 , B̂ = B̂ + 2B̂ Â2 ,
òàêæå áóäåò ñîáñòâåííûì âåêòîðîì îïåðàòîðà
Â.
Ê
êàêîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ îí îòíîñèòñÿ?
2 × 2-ìàòðèöû σi (i = 1, 2, 3)
1.25. Íàéòè óíèòàðíûå ýðìèòîâû
[ σi , σj ] = 2εijk σk
â ïðåäñòàâëåíèè, â êîòîðîì
σ3
(Ïî
k
òàêèå, ÷òî
ñóììèðîâàòü îò 1 äî 3!),
äèàãîíàëüíà. Çäåñü
εijk
ïñåâäîòåíçîð Ëåâè-
×èâèòà.
Ŝx , Ŝy
1.26. Â íåêîòîðîì ïðåäñòàâëåíèè îïåðàòîðû
E3 1
è
Ŝz , äåéñòâóþùèå â ïðîñòðàíñòâå
èìåþò ñëåäóþùèé âèä:


0 1 0
~
Ŝx = √ 1 0 1 ,
2 0 1 0


0 −i 0
~
Ŝy = √  i 0 −i ,
2 0 i
0


1 0 0
Ŝz = ~ 0 0 0 .
0 0 1
i. Íàéòè ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðîâ
Ŝi (i =
1, 2, 3).
ii. Çàïèñàòü îïåðàòîðû
Ŝi
â ïðåäñòàâëåíèè, â êîòîðîì îïåðàòîð
Ŝx
èìååò äèà-
ãîíàëüíûé âèä.
iii. Âû÷èñëèòü êîììóòàòîðû
1 Ïîñðåäñòâîì
En
h
Ŝi , Ŝj
i
.
çäåñü è â äàëüíåéøåì áóäåì îáîçíà÷àòü
n-ìåðíîé ëèíåéíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàí-
ñòâî íàä ïîëåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, â êîòîðîì íîðìà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
îáû÷íûì îáðàçîì.
8
1:
1.2.5
Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî
Óíèòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ
1.27. Äîêàçàòü, ÷òî óíèòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ âèäà
a)
b)
|αi ,|β i ,...
 , B̂ , . . .
→
→
| α0 i ≡ Û | α i , | β 0 i ≡ Û | β i . . .
0
0
+
 ≡ Û ÂÛ , B̂ ≡ Û B̂ Û
+
...
, (Û Û + = Û + Û = Iˆ)
ñîõðàíÿþò:
i.
Íîðìó è ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ: ||ϕ|| = ||ϕ0 ||, h ϕ | χ i =
h ϕ0 | χ0 i;
ii.
iii.
Ýðìèòîâîñòü îïåðàòîðîâ: Åñëè Â+ = Â, òî è (Â0 )+ = Â0 ;
Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðîâ: Åñëè | u i ñîáñòâåííûé âåêòîð îïå-
0
îòíîñÿùèéñÿ ê ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ, òî âåêòîð | u i áóäåò
0
ñîáñòâåííûì âåêòîðîì îïåðàòîðà Â , òàêæå îòíîñÿùåìóñÿ ê ñîáñòâåííîìó
ðàòîðà
Â,
çíà÷åíèþ
iv.
λ;
h
Êîììóòàòîðû: Åñëè Ĝ = i  , B̂
i
, òî è
i
h
Ĝ0 = i Â0 , B̂ 0
Ãëàâà 2
Îäíîìåðíûå ñèñòåìû
2.1
Ñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿ äèñêðåòíîãî ñïåêòðà
2.1. Íàéòè ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè è íîðìèðîâàííûå âîëíîâûå ôóíêöèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ÷àñòèöû â áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå øèðèíû
ò. å.
(
0, 0 < x < a,
U (x) =
∞ , x < 0 , x > a.
a,
(2.1)
Âûÿñíèòü ñâîéñòâà ñèììåòðèè ïîëó÷åííûõ ôóíêöèé ïðè èíâåðñèè êîîðäèíàò
0
îòíîñèòåëüíî öåíòðà ÿìû (ïðåîáðàçîâàíèå âèäà: x → x = −x + a)
2.2.  ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèÿõ ÷àñòèöû èç çàäà÷è 2.1 íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïî êîîðäèíàòàì (ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè) è
èìïóëüñàì (ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè) ÷àñòèöû, ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ýòèõ âåëè÷èí
∆p
n
h x in
è
h p in ,
à òàêæå èõ íåîïðåäåëåííîñòè
∆x
n
è
.
2.3. Äëÿ ÷àñòèöû â áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå øèðèíû
a
(ñì. çàäà÷ó
2.1) íàéòè îïåðàòîðû ïîëîæåíèÿ è èìïóëüñà â ýíåðãåòè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè.
2.4. Íàéòè èçìåíåíèå ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé è âîëíîâûõ ôóíêöèé ñòàöèîíàðíûõ
ñîñòîÿíèé çàðÿæåííîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà ïðè íàëîæåíèè íà íåãî îäíîðîäíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, íàïðàâëåííîãî âäîëü îñè îñöèëëÿòîðà.
2.5. Íàéòè ñâÿçàííûå ñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû â δ -îáðàçíîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå:
U (x) = −αδ(x) ,
α > 0.
(2.2)
Íàéòè íåîïðåäåëåííîñòè êîîðäèíàòû è èìïóëüñà, à òàêæå ñðåäíèå çíà÷åíèÿ êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèé â ýòèõ ñîñòîÿíèÿõ.
9
10
2:
2.6. Íàéòè ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè ÷àñòèöû â ïîëå
(
α δ(x) ,
∞,
U (x) =
α > 0,
Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ
Îäíîìåðíûå ñèñòåìû
|x| < a ,
|x| > a .
mαa
1 èññëåäîâàòü
~2
ñòðóêòóðó
óðîâíåé íèæíåé ÷àñòè ñïåêòðà. Ïîêàçàòü, ÷òî ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïàð áëèçêî ðàñïîëîæåííûõ óðîâíåé, è íàéòè ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè (ñì.
Ðèñ. 2.1:
ðèñ. 2.1).
2.7. Äîêàçàòü, ÷òî ñîñòîÿíèÿ äèñêðåòíîãî ñïåêòðà â îäíîìåðíîì ñëó÷àå íå âûðîæäåíû.
2.2
Ñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿ íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà
2.8. Íàéòè
ñòèöû
êîýôôèöèåíòû
÷åðåç
U (x) = αδ(x)
ïðîõîæäåíèÿ
δ -îáðàçíûé
(ñì.
ðèñ.
è
îòðàæåíèÿ
ïîòåíöèàëüíûé
2.2).
Îáñóäèòü
ֈ-
áàðüåð:
ñëåäóþùèå
ñëó-
÷àè:
1)
2)
E → ∞;
E → 0.
Ðèñ. 2.2:
2.9. Íàéòè êîýôôèöèåíòû ïðîõîæäåíèÿ è îòðàæåíèÿ ÷àñòèöû äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî
ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà (ñì. (
ðèñ. 2.3)
U (x) =
0,
U0 ,
x < 0 è x > a,
0 < x < a (U0 > 0) .
Îáñóäèòü ñëåäóþùèå ñëó÷àè:
1)
2)
3)
Ðèñ. 2.3:
E→∞
E U0 );
ma2 U02
E → 0 (ôàêòè÷åñêè E ~2
2
2
ma U0
ma E
1è
1.
2
~
~2
(ôàêòè÷åñêè
è
E U0 );
 ïîñëåäíåì ñëó÷àå ñðàâíèòü ðåçóëüòàò ñ ðåçóëüòàòîì çà-
äà÷è 2.8.
2.10. Íàéòè êîýôôèöèåíòû ïðîõîæäåíèÿ è îòðàæåíèÿ ÷àñòèöû ÷åðåç
äâîéíîé δ -îáðàçíûé ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð:
δ(x − a)
U (x) = α δ(x) +
(ñì. ðèñ. 2.4).
Íàéòè çíà÷åíèÿ ýíåðãèé, ïðè êîòîðûõ ÷àñòèöû íå îòðàæàþòñÿ
îò ýòîãî ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà, ò. å.
R(En ) = 0,
à
D(En ) = 1.
Ðèñ. 2.4:
2.11. Íàéòè ïëîòíîñòü òîêà âåðîÿòíîñòè è ñðåäíåå çíà÷åíèå èìïóëüñà ÷àñòèöû â ñî2
ñòîÿíèè Ψ (x) = A exp{−αx + iβx}; (α > 0, β ∈ R).
2.3
2.3
11
Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ
Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ
t=0
2.12.  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè
ïîòåíöèàëüíîé ÿìå øèðèíû
a
ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû â áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé
(ñì. çàäà÷ó 2.1) îïèñûâàåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé
âèäà:
Ψ (x, 0) = Ax(x − a) .
(2.3)
Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ýíåðãèè ïðè
âîëíîâóþ ôóíêöèþ
Ψ (x, t)
ïðè
t = 0
è
t > 0.
2.13. Íàéòè ñðåäíåå çíà÷åíèå êîîðäèíàòû è èìïóëüñà êàê ôóíêöèè âðåìåíè äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà â ïðîèçâîëüíîì ñîñòîÿíèè.
2.14. Íàéòè ñðåäíåå çíà÷åíèå êîîðäèíàòû è èìïóëüñà êàê ôóíêöèè âðåìåíè äëÿ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû âî âíåøíåì îäíîðîäíîì ïîñòîÿííîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå.
2.15. Íàéòè óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå
Û sh , ñâÿçûâàþùåå îïåðàòîðû è âåêòîðû â êàð-
òèíàõ Øðåäèíãåðà è Ãåéçåíáåðãà:
| Ψ is = Û sh | Ψ ih ,
2.16. Íàéòè âîëíîâóþ ôóíêöèþ
Ψ (x),
L̂s = Û sh L̂h Û sh
+
.
(2.4)
îïèñûâàþùóþ ñîñòîÿíèå, â êîòîðîì
~
.
2
∆x · ∆p =
(2.5)
2.17.  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè (t
= 0) ãàðìîíè÷åñêèõ îñöèëëÿòîð íàõîäèëñÿ â
| u0 i. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü ê ìîìåíòó âðåìåíè t (t > 0) îáíàðóæèòü åãî â âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè | un i, åñëè åãî ïîìåñòèëè â îäíîðîäíîå
ñèëîâîå ïîëå V (t) = −F (t)x. Îòäåëüíî ðàññìîòðåòü ñëåäóþùèå ñëó÷àè:
îñíîâíîì ñîñòîÿíèè
i.
ii.
iii.
F (t) = Aδ(t − t0 );
F (t) = sin ωt,
ãäå
ω
ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà îñöèëëÿòîðà;
F (t) = αt.
2.18.  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè (t
ñîñòîÿíèè Ãëàóáåðà
= 0) ãàðìîíè÷åñêèõ
| Ψ (t = 0) i = | Uα i, ãäå
â | Uα i = α | Uα i ,
−|α|2 /2
| Uα i = e
n=∞
X
n=0
îñöèëëÿòîð íàõîäèëñÿ â
αn
√ | un i .
n!
(2.6)
Âû÷èñëèòü ñðåäíèå çíà÷åíèÿ êîîðäèíàòû è èìïóëüñà îñöèëëÿòîðà, à òàêæå èõ
íåîïðåäåëåííîñòè ê ìîìåíòó âðåìåíè
t (t > 0).
Ãëàâà 3
Ìîìåíò èìïóëüñà
3.1
Îðáèòàëüíûé ìîìåíò èìïóëüñà
3.1. Íàéòè ñëåäóþùèå êîììóòàòîðû:
h
a)
b)
c)
ãäå
r̂ , p̂ , L̂
i
h
i
h
i
L̂α , p̂ 2 ,
L̂α , r̂ · p̂ ,
L̂α , (r̂r̂ · p̂p̂)2 ;
h
i
h
i
h
i
L̂α , (p̂p̂ · r̂r̂)p̂p̂ ,
L̂α , (p̂p̂ · r̂r̂)r̂r̂ ,
L̂α , (ap̂p̂ + br̂r̂r̂) ;
h
i
h
i
h
i
L̂α , x̂β x̂γ ,
L̂α , x̂β p̂γ ,
L̂α , p̂β p̂γ ,
L̂α , r̂ 2
i
h
,
îïåðàòîðû ðàäèóñ-âåêòîðà, èìïóëüñà è îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà èì-
ïóëüñà ÷àñòèöû,
a
è
b
ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà.
3.2. Íàéòè ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðîâ êâàäðàòà îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà èìïóëüñà è åãî ïðîåêöèè íà îñü
z
â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè.
| um
` i ñ îïðåäåëåííûìè çíà÷åíèÿìè êâàäðàòà îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà
2
2
åãî ïðîåêöèè íà îñü z íàéòè ñðåäíèå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðîâ L̂x è L̂y .
3.3. Â ñîñòîÿíèè
èìïóëüñà è
3.2
Ñïèí
3.4.  ñëó÷àå ñïèíà 1/2 íàéòè îïåðàòîðû
3.5. Íàéòè îïåðàòîð ïîâîðîòà
îïåðàòîð
è
Ŝz
â
Sx -ïðåäñòàâëåíèè.
R̂n (ϕ) â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé ñïèíà 1/2. ×åìó ðàâåí
R̂n (ϕ = 2π)?
3.6. Íàéòè îïåðàòîð ïîâîðîòà
îïåðàòîð
Ŝx , Ŝy
R̂n (ϕ)
â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé ñïèíà 1. ×åìó ðàâåí
R̂n (ϕ = 2π)?
12
3.2
13
Ñïèí
3.7.  ñëó÷àå ñïèíà 1 íàéòè îïåðàòîðû
Ŝx , Ŝy
è
Ŝz
â
Sz -ïðåäñòàâëåíèè.
3.8. Ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà ïîâîðîòà â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé ñïèíà 1/2 íàéòè ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðà
Ŝx
â
Sz -ïðåäñòàâëåíèè.
√1
| u+ i + 2 | u− i áûëà èçìåðåíà ïðîåêöèÿ ñïèíà íà îñü z .
5
Êàêèå çíà÷åíèÿ è ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ïðè ýòîì ìîãëè áûòü ïîëó÷åíû? Êàêîâà
±
íåîïðåäåëåííîñòü íàáëþäàåìîé Ŝz â ýòîì ñîñòîÿíèè? Çäåñü | u i ñîáñòâåííûå
3.9. Â ñîñòîÿíèè
|ψi =
âåêòîðû îïåðàòîðà
Ŝz :
Ŝz u± = ±
~ ±
u
2
.
3.10. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü P (t) ïåðåõîäà ñïèíà èç ñîñòîÿíèÿ | ψ(t = 0) i
−
ñòîÿíèå | u i, åñëè åãî ïîìåñòèëè â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå
= | u+ i
â ñî-
B = ex B1 cos ωt − ey sin ωt + ez B0 ?
Îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà ïðèíÿòü ðàâíûì
Ĥ = −γB · Ŝ .
3.11. Äëÿ ýëåêòðîíà íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðà
êâàäðàòà ïîëíîãî ìîìåíòà èìïóëüñà è åãî ïðîåêöèè íà îñü
z,
åñëè êâàäðàò åãî
2
îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà èìïóëüñà â äàííîì ñîñòîÿíèè èìååò çíà÷åíèå 2~ ?
Ãëàâà 4
Ïðèáëèæåííûå ìåòîäû
4.1
Âàðèàöèîííûé ìåòîä
4.1. Íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ýíåðãèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà âàðèàöèîííûì ìåòîäîì, èñïîëüçóÿ ïðîáíûå ôóíêöèè âèäà:
A
,
1 + x2 /a2
n αx2 o
Ψ(x) = A exp −
2
n α|x| o
Ψ(x) = A exp −
,
2
Ψ(x) =
a)
b)
c)
ãäå
α
âàðèàöèîííûé ïàðàìåòð. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñðàâíèòü ñ òî÷íûì
ðåøåíèåì.
4.2. Íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ýíåðãèè ïåðâîãî âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà âàðèàöèîííûì ìåòîäîì, èñïîëüçóÿ ïðîáíûå ôóíêöèè
âèäà:
a)
ãäå
α
n αx2 o
Ψ(x) = Ax exp −
,
2
b)
n α|x| o
Ψ(x) = Ax exp −
,
2
âàðèàöèîííûé ïàðàìåòð. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñðàâíèòü ñ òî÷íûì
ðåøåíèåì.
4.3. Äëÿ ÷àñòèöû, íàõîäÿùåéñÿ â ïîëå
(
U (x) =
U (x)
âèäà
kx ,
∞,
x > 0 (k > 0) ,
x<0
íàéòè ýíåðãèþ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ âàðèàöèîííûì ìåòîäîì, èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ
âèäà (x
> 0):
Ψ(x) = Ax exp −κx .
14
4.2
4.2
15
Ñòàöèîíàðíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé
Ñòàöèîíàðíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé
4.4.  öåíòðå áåñêîíå÷íî-ãëóáîêîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìû øèðèíû
a ïîìåñòèëè δ -îáðàçíûé
ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð
Ŵ = αδ(x − a/2) ,
a = const.
Íàéòè ïîïðàâêè ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ ê óðîâíÿì ýíåðãèè.
4.5. Çàðÿæåííûé îäíîìåðíûé ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð ïîìåùåí â îäíîðîäíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå
E.
Íàéòè ïîïðàâêè ê óðîâíÿì ýíåðãèè 1-ãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ.
Ñðàâíèòü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñ òî÷íûì ðåøåíèå.
4.6.  3-ìåðíóþ ïîòåíöèàëüíóþ áåñêîíå÷íî ãëóáîêóþ ÿìó,
(
V (x, y, z) =
0, 0 < x < a, 0 < y < a, 0 < z < a;
∞ , âî âñåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ,
ïîìåùåí ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð âèäà
(
W =
V0 ,
0,
0 < x < a/2 ,
âî âñåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ.
Íàéòè óðîâíè ýíåðãèè â íåâîçìóùåííîé ÿìå, à òàêæå ïîïðàâêè 1-ãî ïîðÿäêà
ê îñíîâíîìó è ïåðâîìó âîçáóæäåííîìó óðîâíÿì.
4.7. Ðàññìîòðèòå êâàíòîâîìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó, èìåþùóþ ðîâíî òðè íåçàâèñèìûõ
êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèÿ:


(1 − ε) 0 0
0
1 ε ,
Ĥ = V0 
0
ε 2
ε 1 , V0 = const .
i. Íàéäèòå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà äëÿ íåâîçìóùåííîé ñèñòåìû (ε
= 0);
ii. Íàéäèòå òî÷íûå âûðàæåíèÿ äëÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðà
Ĥ ;
iii. Èñïîëüçóÿ òåîðèþ âîçìóùåíèé íàéäèòå ïîïðàâêè 1-ãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ
ê óðîâíÿì ýíåðãèè. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñðàâíèòå ñ òî÷íûì ðåøåíèåì.
4.8. Íàéäèòå ðàñùåïëåíèå ïåðâîãî âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ íåðåëÿòèâèñòñêîãî àòîìà âîäîðîäà ïîä äåéñòâèåì îäíîðîäíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
E.
4.9. Íàéäèòå ðàñùåïëåíèå ïåðâîãî è âòîðîãî âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé àòîìà âîäîðîäà ïîä äåéñòâèåì îäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ
B
â äâóõ ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ:
i. Ðàñùåïëåíèå, îáóñëîâëåííîå ìàãíèòíûì ïîëåì, ìíîãî áîëüøå ðàñùåïëåíèÿ
òîíêîé ñòðóêòóðû;
ii. Ðàñùåïëåíèå, îáóñëîâëåííîå ìàãíèòíûì ïîëåì, ìíîãî ìåíüøå ðàñùåïëåíèÿ
òîíêîé ñòðóêòóðû.
16
4.3
4:
Ïðèáëèæåííûå ìåòîäû
Íåñòàöèîíàðíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé
4.10. Âî âòîðîì ïîðÿäêå íåñòàöèîíàðíîé òåîðèè âîçìóùåíèé ðåøèòü çàäà÷ó 3.10. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ñðàâíèòü ñ òî÷íûì ðåøåíèåì.
4.11. Â ìîìåíò âðåìåíè
t = 0,
êîãäà áûëî âêëþ÷åíî îäíîðîäíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå
(
E0 = const , 0 < t 6 t0 ,
E (t) =
0,
t > t0 ,
îäíîìåðíûé çàðÿæåííûé ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð íàõîäèëñÿ â ñòàöèîíàðíîì
1
ñîñòîÿíèè ñ ýíåðãèåé En = ~ω(n + ). Â ìîìåíò âðåìåíè t > t0 áûëà èçìåðåíà
2
ýíåðãèÿ îñöèëëÿòîðà.  ïåðâîì è âòîðîì ïîðÿäêàõ íåñòàöèîíàðíîé òåîðèè âîçìóùåíèé âû÷èñëèòü, êàêèå çíà÷åíèÿ ýíåðãèè è ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ìîãëè áûòü
ïðè ýòîì ïîëó÷åíû.  ñëó÷àå
n=0
ðåçóëüòàò ñðàâíèòü ñ òî÷íûì ðåøåíèåì.
Ãëàâà 5
Ýëåìåíòû êâàçèðåëÿòèâèñòñêîé
êâàíòîâîé ìåõàíèêè
5.1
Óðàâíåíèå Äèðàêà
5.1. Äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû ñî ñïèíîì 1/2 ïðèâåäèòå ïðèìåð ïîëíîãî íàáîðà
ñîâìåñòíûõ íàáëþäàåìûõ. Îòâåò îáîñíóéòå.
5.2. Ïîëó÷èòå íåðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåë óðàâíåíèÿ Äèðàêà â ñëó÷àå äâèæåíèÿ âî
âíåøíåì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå.
5.3. Íàéäèòå òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïàóëè äëÿ ÷àñòèöû â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå.
Óêàçàíèå: Ââåäèòå îïåðàòîðû, àíàëîãè÷íûå îïåðàòîðàì ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ.
17
Ãëàâà 6
Êâàíòîâàÿ çàïóòàííîñòü
6.1
Ñèñòåìà äâóõ ñïèíîâ
6.1. Ïóñòü ñèñòåìà ñïèíîâ Àëèñû è Áîáà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè
1 Áàçèñ | ua ub i:
| Ψ i = √ | ud i + | du i
2
| uu i , | ud i , | du i , | dd i .
Âû÷èñëèòü ìàòðèöó ïëîòíîñòè Áîáà. ßâëÿåòñÿ ëè äàííîå ñîñòîÿíèå ñåïàðàáåëüíûì?
6.2. Ïóñòü ñèñòåìà ñïèíîâ Àëèñû è Áîáà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè
1
|Ψi =
| ud i + | du i + | uu i + | dd i
Áàçèñ | ua ub i:
2
| uu i , | ud i , | du i , | dd i .
Âû÷èñëèòü ìàòðèöó ïëîòíîñòè Áîáà. ßâëÿåòñÿ ëè äàííîå ñîñòîÿíèå ñåïàðàáåëüíûì?
6.3. Ïóñòü ñèñòåìà ñïèíîâ Àëèñû è Áîáà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè
1
| ud i + | du i + | uu i + | dd i
|Ψi =
Áàçèñ | ua ub i:
2
| uu i , | ud i , | du i , | dd i .
Âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ìåæäó èõ ñïèíàìè. ßâëÿåòñÿ ëè äàííîå
ñîñòîÿíèå ñåïàðàáåëüíûì?
6.4. Ïóñòü ñèñòåìà ñïèíîâ Àëèñû è Áîáà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè
1 Áàçèñ | ua ub i:
| Ψ i = √ | ud i + | du i
2
| uu i , | ud i , | du i , | dd i .
Âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ìåæäó èõ ñïèíàìè. ßâëÿåòñÿ ëè äàííîå
ñîñòîÿíèå ñåïàðàáåëüíûì?
18