Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò
Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, îñåíü 2013
Ëåêöèÿ 1: ìíîæåñòâà è îïåðàöèè íàä íèìè
Êðàòêîå ñîäåðæàíèå
Ïîíÿòèå ìíîæåñòâà. Çàäàíèå ìíîæåñòâà ïåðå÷èñëåíèåì è îïðåäåëÿþùèì ñâîéñòâîì. Îòíîøåíèå ïîäìíîæåñòâà è åãî ñâîéñòâà: ðåôëåêñèâíîñòü, àíòèñèììåòðè÷íîñòü, òðàíçèòèâíîñòü. Ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ. Ïóñòîå ìíîæåñòâî è åãî åäèíñòâåííîñòü. Ïàðàäîêñ Ðàññåëà. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè: îáúåäèíåíèå, ïåðåñå÷åíèå,
ðàçíîñòü, ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü, äîïîëíåíèå. Äèàãðàììû Ýéëåðà. Òîæäåñòâà:
êîììóòàòèâíîñòü, àññîöèàòèâíîñòü, äèñòðèáóòèâíîñòü, çàêîíû äå Ìîðãàíà. Äîêàçàòåëüñòâà ïðè ïîìîùè äèàãðàìì Ýéëåðà è íåïîñðåäñòâåííûå. Óïîðÿäî÷åííûå ïàðû è êîðòåæè. Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå è äåêàðòîâà ñòåïåíü. Èõ ñâîéñòâà.
1
Ïîíÿòèå ìíîæåñòâà. Ñïîñîáû çàäàíèÿ ìíîæåñòâ
Îïðåäåëåíèå 1.
Ìíîæåñòâîì íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíûé íàáîð (ñîâîêóïíîñòü, êëàññ,
ñåìåéñòâî) êàêèõ-ëèáî îáúåêòîâ. Îáúåêòû, âõîäÿùèå âî ìíîæåñòâî, íàçûâàþòñÿ åãî
ýëåìåíòàìè. Åñëè îáúåêò
íàäëåæèò
A,
è ïèøóò
x ÿâëÿåòñÿ
x ∈ A.
ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà
A,
òî ãîâîðÿò, ÷òî
x
ïðè-
Íà ñàìîì äåëå ýòî îïðåäåëåíèå ôîðìàëüíî íè÷åãî íå îïðåäåëÿåò, òàê êàê ññûëàåòñÿ
íà åù¼ íå îïðåäåë¼ííîå ñëîâî
íàáîð.
Ïîëíîñòüþ âûéòè èç ýòîé ñèòóàöèè íåëüçÿ, âåäü
öåïî÷êó îïðåäåëåíèé íàäî ñ ÷åãî-òî íà÷èíàòü. Îáû÷íî ñàìè ïîíÿòèÿ ìíîæåñòâà è ïðèíàäëåæíîñòè ñ÷èòàþò áàçîâûìè, à íàïèñàííîå âûøå îïðåäåëåíèå ëèøü ïîÿñíåíèåì.
 íàèâíîé òåîðèè ìíîæåñòâ íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé íà ñîñòàâ ýëåìåíòîâ íåò. Èç-çà
ýòîãî âîçíèêàþò ïàðàäîêñû, î êîòîðûõ ìû ïîãîâîðèì ÷óòü ïîçæå.
Åñòü äâà ñòàíäàðòíûõ ñïîñîáà çàïèñè ìíîæåñòâ. Ïåðâûé ïðîñòîå ïåðå÷èñëåíèå
ýëåìåíòîâ, íàïðèìåð
A = {1, 8, 14, 345}
èëè
N = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }1 .
Ïðè ýòîì êàæäûé
ýëåìåíò äîëæåí âñòðå÷àòüñÿ â ïåðå÷èñëåíèè ðîâíî îäèí ðàç: çàïèñü
ïðèçíàòü ëèáî íå èìåþùåé ñìûñëà, ëèáî ýêâèâàëåíòíîé
{1, 1, 2, 3}
íóæíî
{1, 2, 3}. Èíîãäà ðàññìàòðèâàþò
ìóëüòèìíîæåñòâà, â êîòîðûå êàæäûé ýëåìåíò ìîæåò âõîäèòü íåñêîëüêî ðàç, íî â
íàøåì êóðñå òàêîãî íå áóäåò. Ïðè çàïèñè ìíîæåñòâ íå âàæåí ïîðÿäîê, â êîòîðîì èäóò
ýëåìåíòû: íàïðèìåð, çàïèñè
{1, 2, 3}, {2, 3, 1} è {3, 1, 2} çàäàþò îäíî è òî æå ìíîæåñòâî.
Ïðè çàïèñè áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ èñïîëüçóþò ìíîãîòî÷èå (. . . ), êîãäà ñ÷èòàþò, ÷òî
2
ïðèíöèï ïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâà ïîíÿòåí èç ïåðâûõ íåñêîëüêèõ ýëåìåíòîâ .
1 Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà÷èíàþòñÿ ñ íóëÿ, ò.å. îòâå÷àþò íà âîïðîñ
ñêîëü-
êî? ×àñòî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà÷èíàþòñÿ ñ åäèíèöû, ò.å. îòâå÷àþò íà âîïðîñ
êàêîé
ïî ñ÷¼òó? Âûáîð òîãî èëè èíîãî ïîäõîäà ÿâëÿåòñÿ äåëîì âêóñà è òðàäèöèé, îáúåêòèâíîé
èñòèíû òóò íåò.
2 Îäíàêî, òóò íàäî áûòü îñòîðîæíûì: âîîáùå ãîâîðÿ, ëþáóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîæíî ïðîäîëæèòü êàê óãîäíî. Íàïðèìåð, èçâåñòíà øóòêà Äóãëàñà Õîôøòàäòåðà: ïðîäîëæèòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
(0, 1, 2, . . . ).
Îòâåòîì áóäåò
720!
(ôàêòîðèàë ñåìèñîò äâàäöàòè). Çàêîíîìåðíîñòü ïîïðîáóéòå óãàäàòü
ñàìîñòîÿòåëüíî.
1
Âòîðîé ñïîñîá çàäàíèÿ ìíîæåñòâ ôîðìóëèðîâêà îïðåäåëÿþùåãî ñâîéñòâà (ïîàíãëèéñêè ýòîò ñïîñîá íàçûâàåòñÿ set builder notation).  ýòîì ñëó÷àå ðàññìàòðèâàþòñÿ âñå ýëåìåíòû, óäîâëåòâîðÿþùèå íåêîòîðîìó ñâîéñòâó. Íàïðèìåð,
ìíîæåñòâî âñåõ ïîëîæèòåëüíûõ
x.
{x | x > 0}
×àñòî ÿâíî óêàçûâàþò, êàêîìó îáúåìëþùåìó ìíî-
æåñòâó äîëæíû ïðèíàäëåæàòü âñå ýëåìåíòû. Íàïðèìåð,
ñòâî âñåõ ïîëîæèòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Èíîãäà
{x ∈ R | x > 0} ìíîæåâìåñòî ÷åðòû (|) èñïîëüçóþò
äâîåòî÷èå ( : ), îñîáåííî êîãäà ÷åðòà óæå âñòðå÷àåòñÿ â ôîðìóëå. Íàïðèìåð, çàïèñü
{x ∈ R : |x| < 1}
âûãëÿäèò ëó÷øå, ÷åì
áîëåå ñëîæíûå âûðàæåíèÿ. Íàïðèìåð,
{x ∈ R | |x| < 1}. Ñëåâà îò ÷åðòû ìîãóò ñòîÿòü
{(a, b, c) | a2 + b2 = c2 , a, b, c ∈ N, a, b, c > 0} îáî-
çíà÷àåò ìíîæåñòâî âñåõ ïèôàãîðîâûõ òðîåê, à
.
{a2 | a ∈ N, a..2}
îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî
âñåõ òî÷íûõ ÷¼òíûõ êâàäðàòîâ.
2
Ïîäìíîæåñòâî. Ïóñòîå ìíîæåñòâî
A
ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà
B , åñëè ëþáîé
ýëåìåíò ìíîæåñòâà A òàêæå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó B . Îáîçíà÷åíèå: A ⊂ B . Ìíîæåñòâà A è B ðàâíû, åñëè îäíîâðåìåííî A ⊂ B è B ⊂ A. Îáîçíà÷åíèå: A = B .
Îïðåäåëåíèå 2. Ìíîæåñòâî
ÿâëÿåòñÿ
Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ìîæíî âûâåñòè íåçàâèñèìîñòü ìíîæåñòâà îò ïîðÿäêà çàïèñè
ýëåìåíòîâ è ìíîãîêðàòíîãî ïîâòîðåíèÿ ýëåìåíòîâ, âåäü ïî ýòîìó îïðåäåëåíèþ ìíîæåñòâà
{1, 2, 3}, {1, 1, 1, 2, 2, 3}
Óòâåðæäåíèå 3.
c)
d)
e)
f)
{2, 1, 3}
ðàâíû.
Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
a) Ðåôëåêñèâíîñòü
b)
è
⊂:
äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà
A âûïîëíåíî A ⊂ A;
Àíòèñèììåòðè÷íîñòü ⊂: åñëè A ⊂ B è B ⊂ A, òî A = B ;
Òðàíçèòèâíîñòü ⊂: åñëè A ⊂ B è B ⊂ C , òî A ⊂ C ;
Ðåôëåêñèâíîñòü =: äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A âûïîëíåíî A = A;
Ñèììåòðè÷íîñòü =: åñëè A = B , òî B = A;
Òðàíçèòèâíîñòü =: åñëè A = B è B = C , òî A = C .
Äîêàçàòåëüñòâî îñòà¼òñÿ ÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 4.
Ïóñòûì ìíîæåñòâîì
∅
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå íè
îäíîãî ýëåìåíòà.
Íà ïåðâûé âçãëÿä ìíîæåñòâà, íå ñîäåðæàùèå íè îäíîãî ýëåìåíòà, ìîãóò áûòü ðàçëè÷íûìè. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî øåñòèíîãèõ ìëåêîïèòàþùèõ è ìíîæåñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë, äåëÿùèõñÿ íà 4, êàæóòñÿ ðàçíûìè. Îäíàêî, ýòè ìíîæåñòâà ðàâíû ïî íàøåìó îïðåäåëåíèþ. Äåéñòâèòåëüíî, íåâîçìîæíî ïðåäúÿâèòü øåñòèíîãîå ìëåêîïèòàþùåå, íå ÿâëÿþùååñÿ ïðîñòûì ÷èñëîì, äåëÿùèìñÿ íà 4. Çíà÷èò, ëþáîå øåñòèíîãîå ìëåêîïèòàþùåå
òàêèì ÷èñëîì ÿâëÿåòñÿ. Àíàëîãè÷íî, âåðíî è îáðàòíîå. Çíà÷èò, ýòè ìíîæåñòâà ðàâíû.
Òàêèå ðàññóæäåíèÿ ìîãóò áûòü íåïðèâû÷íû, íî ñ èõ ñïðàâåäëèâîñòüþ ïðèõîäèòñÿ ñîãëàøàòüñÿ. ×àñòî ãîâîðÿò, ÷òî
ýëåìåíòû ïóñòîãî ìíîæåñòâà îáëàäàþò ëþáûìè ñâîé-
ñòâàìè. Ýòî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
2
Óòâåðæäåíèå 5.
Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà
Çà÷àñòóþ çíàêè
A
âûïîëíåíî
∅ ⊂ A.
∈ (ïðèíàäëåæíîñòü) è ⊂ (ïîäìíîæåñòâî) ïóòàþò. Ýòî ãðóáàÿ îøèá-
êà: ïåðâûé çíàê îòíîñèòñÿ ê îáúåêòó è ìíîæåñòâó, âòîðîé ê äâóì ìíîæåñòâàì. Îñîáåííî âíèìàòåëüíûì íóæíî áûòü, åñëè îáúåêòû ñàìè ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâàìè. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî
{3}.
3
A = {1, 2, {3}} ñîñòîèò èç ÷èñëà 1, ÷èñëà 2 è îäíîýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà
{3} ∈ A, íî {3} 6⊂ A. È íàîáîðîò, {1} ⊂ A, íî {1} 6∈ A.
Äëÿ íåãî áóäåò âûïîëíåíî
Ïàðàäîêñ Ðàññåëà
Ñ îòíîøåíèåì ïðèíàäëåæíîñòè ñâÿçàí îòêðûòûé â 1901 ãîäó ïàðàäîêñ Ðàññåëà. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî âñåõ ìíîæåñòâ, íå ÿâëÿþùèõñÿ ñîáñòâåííûìè ýëåìåíòàìè:
M =
{X | X 6∈ X}. ßâëÿåòñÿ ëè ýòî ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûì ýëåìåíòîì? Ïóñòü íå ÿâëÿåòñÿ.
Òîãäà M 6∈ M . Íî òîãäà X 6∈ X âûïîëíåíî ïðè X = M . Òî åñòü X ∈ M äëÿ X = M .
Òî åñòü M ∈ M , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ. Íî è ñëó÷àé M ∈ M ïðîòèâîðå÷èâ.
Äåéñòâèòåëüíî, òîãäà X 6∈ X íå âûïîëíåíî ïðè X = M . À òîãäà X 6∈ M äëÿ X = M , òî
åñòü M 6∈ M . Çíà÷èò, ëþáîé îòâåò íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èþ,
ò.å. îòâåòèòü íà âîïðîñ íåëüçÿ. Ðàññóæäåíèÿ íàä ýòèì è äðóãèìè ïàðàäîêñàìè ïðèâåëè ê ïîñòðîåíèþ àêñèîìàòè÷åñêîé òåîðèè ìíîæåñòâ (â ïðîòèâîâåñ íàèâíîé òåîðèè), â
êîòîðîé ìíîæåñòâà ìîæíî ñòðîèòü íå êàê óãîäíî, à ëèøü ïî îïðåäåë¼ííûì ïðàâèëàì.
 ÷àñòíîñòè, ñîîòíîøåíèå
X∈X
íå ìîæåò áûòü âûïîëíåíî íèêîãäà, à ìíîæåñòâà âñåõ
ìíîæåñòâ íå ñóùåñòâóåò. Èçó÷åíèå ýòîé òåîðèè âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñà.
4
Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè
Åñëè íåñêîëüêî ìíîæåñòâ óæå çàäàíû, òî ñ íèìè ìîæíî ïðîèçâîäèòü ðàçëè÷íûå îïåðàöèè. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îïðåäåëåíî íåêîòîðîå ìíîæåñòâî
U
(óíèâåðñóì ), êîòîðîìó
çàâåäîìî ïðèíàäëåæàò âñå ýëåìåíòû âñåõ ìíîæåñòâ.
Îïðåäåëåíèå 6. Ïóñòü çàäàíû ìíîæåñòâà
U.
A
è
B,
ëåæàùèå â íåêîòîðîì óíèâåðñóìå
Òîãäà:
•
•
•
•
Îáúåäèíåíèåì
A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A ∪ B = {x | x ∈ A èëè x ∈ B}.
Ïåðåñå÷åíèåì A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A ∩ B = {x | x ∈ A è x ∈ B}.
Ðàçíîñòüþ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A \ B = {x | x ∈ A è x 6∈ B}.
Ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòüþ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A4B = {x |
x ∈ A è x 6∈ B, èëè x ∈ B è x 6∈ A}.
• Äîïîëíåíèåì ìíîæåñòâà A íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A = {x | x 6∈ A} = U \ A.
Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè èëëþñòðèðóþò íà äèàãðàììàõ, êîòîðûå ïðèíÿòî íàçûâàòü
êðóãàìè Ýéëåðà èëè äèàãðàììàìè Âåííà. Êàæäîìó ìíîæåñòâó ñîîòâåòñòâóåò êðóã
(èëè äðóãàÿ ãëàäêàÿ ôèãóðà), òàêàÿ ÷òî âñå òî÷êè, ëåæàùèå âíóòðè ôèãóðû, ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó, à îñòàëüíûå íå ïðèíàäëåæàò. Íà ðèñóíêå 1 ïîêàçàíà äèàãðàììà Ýéëåðà
äëÿ ìíîæåñòâ áóêâ ëàòèíñêîãî, ãðå÷åñêîãî è ðóññêîãî àëôàâèòîâ. Êîãäà ðå÷ü èä¼ò îá
îïåðàöèÿõ íàä ìíîæåñòâàìè, íóæíûå ìíîæåñòâà ïîêàçûâàþòñÿ øòðèõîâêîé. Íà ðèñóíêå 2 ìû ïðèâîäèì äèàãðàììû Ýéëåðà äëÿ âñåõ îñíîâíûõ îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè.
3
Ðèñ. 1: Ïðèìåð äèàãðàììû Ýéëåðà, ïîêàçûâàþùåé áóêâû ëàòèíñêîãî, ãðå÷åñêîãî è ðóññêîãî àëôàâèòîâ
Ðèñ. 2: Äèàãðàììû Ýéëåðà äëÿ îñíîâíûõ îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè
A∩B
U
A\B
A∪B
A
B
U
A
B
A4B
U
A
U
A
U
B
A
4
A
B
Óòâåðæäåíèå 7.
Äëÿ îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå òîæäå-
ñòâà:
a) Êîììóòàòèâíîñòü:
A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A, A4B = B4A;
b) Àññîöèàòèâíîñòü:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C),
(A4B)4C = A4(B4C);
c) Äèñòðèáóòèâíîñòü:
A∪(B ∩C) = (A∪B)∩(A∪C), A∩(B ∪C) = (A∩B)∪(A∩C);
d) Èäåìïîòåíòíîñòü:
A ∪ A = A, A ∩ A = A;
e) Çàêîíû äå Ìîðãàíà:
(A ∪ B) = A ∩ B , (A ∩ B) = A ∪ B .
Äîêàçàòåëüñòâî. Êàæäîå èç òîæäåñòâ ìîæíî äîêàçûâàòü ïðè ïîìîùè êðóãîâ Ýéëåðà
èëè íåïîñðåäñòâåííî. Ìû ïðîäåìîíñòðèðóåì îáà ìåòîäà äëÿ òîæäåñòâà
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
A ∪ (B ∩ C) =
îñòàâèâ îñòàëüíûå â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî ïðè ïîìîùè êðóãîâ Ýéëåðà. Ïîñìîòðèì âíà÷àëå íà ëåâóþ ÷àñòü
C
ðàâåíñòâà. Ìíîæåñòâî
B ∩C
A
B
. Ïîñëå îáú-
èçîáðàæàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
C
åäèíåíèÿ ñ
A ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùàÿ êàðòèíà:
A
B
. Òåïåðü ïîñìîòðèì íà ïðàâóþ
C
÷àñòü. Ìíîæåñòâà
A∪B
è
A∪C
A
C
B
èçîáðàæàþòñÿ êàê
A
è
B
ñîîòâåò-
C
A
ñòâåííî.  ïåðåñå÷åíèè ïîëó÷àåòñÿ äèàãðàììà
B
, èäåíòè÷íàÿ ïîëó÷åííîé äëÿ
ëåâîé ÷àñòè. Èäåíòè÷íîñòü äèàãðàìì è äîêàçûâàåò òîæäåñòâî.
Íåïîñðåäñòâåííîå äîêàçàòåëüñòâî. ×òîáû äîêàçàòü ðàâåíñòâî äâóõ ìíîæåñòâ, íóæíî äîêàçàòü, ÷òî ëþáîé ýëåìåíò êàæäîãî èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì äðóãîãî. Ïóñòü
x ∈ A ∪ (B ∩ C). Ïî îïðåäåëåíèþ îáúåäèíåíèÿ, ýòî çíà÷èò, ÷òî x ∈ A èëè x ∈ B ∩ C . Â
ïåðâîì ñëó÷àå x ∈ A ∪ B è x ∈ A ∪ C , îòêóäà x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Âî âòîðîì ñëó÷àå
ïî îïðåäåëåíèþ ïåðåñå÷åíèÿ x ∈ B è x ∈ C . Çíà÷èò, x ∈ A ∪ B è x ∈ A ∪ C , à çíà÷èò
x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Ïîëó÷èëè, ÷òî â ëþáîì ñëó÷àå x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Îáðàòíî, ïóñòü x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Òîãäà x ∈ A ∪ B è x ∈ A ∪ C . Åñëè x ∈ A,
òî x ∈ A ∪ (B ∩ C). Åñëè æå x 6∈ A, òî ïîñêîëüêó x ∈ A ∪ B , âåðíî x ∈ B . Àíàëîãè÷íî
x ∈ C . Çíà÷èò, x ∈ B ∩ C , îòêóäà x ∈ A ∪ (B ∩ C).  ëþáîì ñëó÷àå x ∈ A ∪ (B ∩ C).
 èòîãå ëþáîé ýëåìåíò ëåâîé ÷àñòè ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ïðàâîé, è íàîáîðîò. Çíà÷èò,
äâà ìíîæåñòâà ðàâíû, ÷òî è òðåáîâàëîñü.
5
5
Ïàðû è êîðòåæè. Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå
Êàê ìû óæå ãîâîðèëè, äëÿ ìíîæåñòâà íå âàæåí ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ ýëåìåíòîâ. Ñòðóêòóðû, äëÿ êîòîðûõ ïîðÿäîê âàæåí, íàçûâàþòñÿ
êîðòåæàìè. Íåôîðìàëüíî ãîâîðÿ, êîð-
òåæ ýòî êîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ. Ôîðìàëüíî èñïîëüçóþò ñëåäóþùåå
îïðåäåëåíèå, îïèðàþùååñÿ ëèøü íà ïîíÿòèå ìíîæåñòâà:
Îïðåäåëåíèå 8.
êîðòåæ äëèíû
íàçûâàåòñÿ
Êîðòåæåì äëèíû 0 íàçûâàåòñÿ ïóñòîå ìíîæåñòâî. Åñëè T
n,
òî
(a, a1 , . . . , an ) = {a, {a, T }}
n + 1.
åñòü êîðòåæ
= (a1 , . . . , an ) Êîðòåæ äëèíû 2
óïîðÿäî÷åííîé ïàðîé.
Òàêèì îáðàçîì, óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà
(a, b) ýòî ìíîæåñòâî {a, {a, {b, {b, ∅}}}}. Ìîæ-
íî îïðåäåëÿòü óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó è äðóãèìè ñïîñîáàìè. Íàïðèìåð:
•
Îïðåäåëåíèå Âèíåðà:
•
Îïðåäåëåíèå Õàóñäîðôà:
îò
a, b
(a, b) = {{{a}, ∅}, {{b}}};
(a, b) = {{a, 1}, {b, 2}}, ãäå 1 è 2 ñóòü îáúåêòû, îòëè÷íûå
è äðóã îò äðóãà;
•
Îïðåäåëåíèå Êóðàòîâñêîãî:
(a, b) = {{a}, {a, b}};
•
Óïðîù¼ííîå îïðåäåëåíèå Êóðàòîâñêîãî:
(a, b) = {a, {a, b}}.
Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî îïðåäåëåíèå êîðòåæà ñîãëàñîâàíî ñ ïîñëåäíèì îïðåäåëåíèåì ïà-
n + 1 åñòü óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà èç ñâîåãî ïåðâîãî
n èç îñòàâøèõñÿ ýëåìåíòîâ. Äðóãèì äîñòîèíñòâîì ïîñëåäíå-
ðû â òîì ñìûñëå, ÷òî êîðòåæ äëèíû
ýëåìåíòà è êîðòåæà äëèíû
ãî îïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ èíòóèòèâíûé ñìûñë: ÷òîáû îïðåäåëèòü óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó,
íóæíî çàäàòü äâà ýëåìåíòà è ñêàçàòü, êàêîé èç íèõ ïåðâûé. Íåäîñòàòîê çàêëþ÷àåòñÿ â
òîì, ÷òî ïðè
a=b
Îïðåäåëåíèå 9.
îíî âûðîæäàåòñÿ â
Äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì ìíîæåñòâ
óïîðÿäî÷åííûõ ïàð
A
{a, {a}}.
A
è
B
A×B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}. Äåêàðòîâîé
n ýëåìåíòîâ A.
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
ñòåïåíüþ An ìíîæåñòâà
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî êîðòåæåé äëèíû
Ïîíÿòèå äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ îáîáùàåò èäåþ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò: äåêàðòîâà
ïëîñêîñòü ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì äâóõ îñåé. À, íàïðèìåð, ïðÿìîóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ
ïðîèçâåäåíèåì äâóõ îòðåçêîâ.
×òîáû áûëî óäîáíåå îáðàùàòüñÿ ñ ïîíÿòèåì äåêàðòîâîé ñòåïåíè, íóæíî ââåñòè íåêî1
òîðûå îòîæäåñòâëåíèÿ. Âî-ïåðâûõ, ÷òîáû áûëî âûïîëíåíî òîæäåñòâî A = A, íóæíî
(a) è ýëåìåíò a.3 Âî-âòîðûõ, åñëè n1 6 n2 6 · · · 6 nk íàòóðàëüíûå ÷èñëà, à T1 = (a1 , . . . , an1 ), T2 = (an1 +1 , . . . , an2 ), . . . , Tk = (ank−1 +1 , . . . , ank ) êîðòåæè, òî îòîæäåñòâèì êîðòåæ êîðòåæåé (T1 , . . . , Tk ) è êîðòåæ (a1 , . . . , ank ). Ïðè
îòîæäåñòâèòü êîðòåæ
òàêîì îòîæäåñòâëåíèè âûïîëíåíî ñëåäóþùåå
Óòâåðæäåíèå 10.
a)
Ïðè âñåõ
A, B , C , n, m
âûïîëíåíû ðàâåíñòâà:
A × (B × C) = (A × B) × C ;
3 Ìîæíî áûëî áû íà÷àòü îïðåäåëåíèå êîðòåæà íå ñ äëèíû 0, à ñ äëèíû 1, è ñêàçàòü. ÷òî êîðòåæ èç
îäíîãî ýëåìåíòà ýòî ñàì ýëåìåíò.
6
b)
c)
d)
An = A × A × · · · × A (n
An × Am = An+m ;
(An )m = Anm .
ðàç);
x ∈ An × Am . Òîãäà
x = (y, z) äëÿ íåêîòîðûõ y ∈ A è z ∈ A . Òîãäà y = (a1 , . . . , an ) è z = (b1 , . . . , bm ), ãäå
âñå ai è bj ëåæàò â A. Ñîãëàñíî íàøåìó îòîæäåñòâëåíèþ x = (a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm ), òî
n+m
åñòü x åñòü êîðòåæ n + m ýëåìåíòîâ èç A. Çíà÷èò, x ∈ A
.
n+m
Îáðàòíî, ïóñòü x ∈ A
. Òîãäà x = (c1 , c2 , . . . , cn+m ), ãäå âñå ci ∈ A. Ñîãëàñíî
n
íàøåìó îòîæäåñòâëåíèþ x = ((c1 , . . . , cn ), (cn+1 , . . . , cn+m )), à ïîñêîëüêó (c1 , . . . , cn ) ∈ A
m
n
m
è (cn+1 , . . . , cn+m ) ∈ A , ïîëó÷àåì, ÷òî x ∈ A × A .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ïðèìåðà äîêàæåì òðåòüå ðàâåíñòâî. Ïóñòü
n
m
Çíà÷èò, êàæäîå ìíîæåñòâî âêëþ÷åíî â äðóãîå, è ïîòîìó îíè ðàâíû.
Çàìå÷àíèå 11. Ôîðìàëüíî íàøå îòîæäåñòâëåíèå êîðòåæåé çàäà¼ò
îòíîøåíèå ýêâè-
âàëåíòíîñòè, à ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ íàäî ïîíèìàòü òàê, ÷òî äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà
îäíîãî ìíîæåñòâà íàéä¼òñÿ ðîâíî îäèí ýëåìåíò äðóãîãî ìíîæåñòâà, ýêâèâàëåíòíûé
x
x.
Áîëåå ïîäðîáíî îá îòíîøåíèÿõ ýêâèâàëåíòíîñòè ìû ïîãîâîðèì íà ÷åòâ¼ðòîé ëåêöèè.
7
