Ñåìèíàð 7. Îáùàÿ âåðîÿòíîñòíàÿ ìîäåëü. Ñåãîäíÿ ìû ïåðåõîäèì ê îáùåìó ñëó÷àþ âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè. Ïóñòü åñòü íåêîòîðîå ìíîæåñòâî Ω (ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ), óæå íå îáÿçàòåëüíî ñ÷åòíîå. Ìû Ω ìåðó P, çíà÷åíèÿ èç [0, 1], òàêóþ P∞ êîòîðîé Páóäóò ∞ ÷òîáû îíà áûëà ñ÷åòíî-àääèòèâíà (σ -àääèòèâíà) P( i=1 Ai ) = i=1 P(Ai ), ê òîìó æå âûïîëíÿëèñü åñòåñòâåííûå òðåáîâàíèÿ P(0) = 0, P(Ω) = 1. Ïðèìåð 1. Ïóñòü P ñ÷åòíî-àääèòèâíàÿ ôóíêöèÿ íà âñåõ ïîäìíîæåñòâàõ [0, 1), òàêàÿ ÷òî P([a, b)) = b−a, P(A) = P((A+c) mod 1) (èíà÷å ãîâîðÿ, îòðåçîê ìû ïðåäñòàâëÿåì â õîòèì îïðåäåëèòü íà ïîäìíîæåñòâàõ âèäå îêðóæíîñòè è òðåáóåì èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî ñäâèãîâ, ÷òî êàæåòñÿ äîñòà- A - êàêîé-òî êëàññ R/Q, òî åñòü {∀x, y ∈ A : x − y ∈ 6 Q, ∀z ∈ R ∃x ∈ A : x − z ∈ Q}. Ïîëîæèì Ai = {(x + qi ) mod 1, x ∈ A}, ãäå qi i-îå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî ïðîìåæóòêà [0,1)(â ñèëó ñ÷åòíîñòè èõ ìîæíî êàê-òî ïðîíóìåðîâàòü). Èíà÷å ãîâîðÿ Ai ñäâèã ìíîæåñòâà A íà iîå ðàöèîíàëüíîå ðàññòîÿíèå. Òîãäà Ai íå ïåðåñåêàþòñÿ, èìåþò îäèíàêîâóþ âåðîÿòíîñòü P P è â îáúåäèíåíèè äàþò âåñü [0, 1), òî åñòü ∞ i=1 P(Ai ) = 1. Ýòè óñëîâèÿ íå ìîãóò áûòü âûïîëíåíû, âåäü åñëè P(A1 ) > 0, òî ðÿä ðàñõîäèòñÿ, à åñëè P(A1 ) = 0, òî ñóììà ðÿäà ðàâíà 1. Çíà÷èò òàêîé ìåðû P íå ñóùåñòâóåò. Îòñþäà ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî îïðåäåëÿòü P íà âñåõ ïîäìíîæåñòâàõ Ω íàêëàäíî, ïðîùå âûäåëèòü íåêèé èíòåðåñóþùèé íàñ êëàññ F è äåéñòâîâàòü íà íåì. Ïðè ýòîì êëàññ äîëæåí îáðàçîâûâàòü ñèãìà-àëãåáðó (σ -àëãåáðó), òî åñòü áûòü çàìêíóòûì îòíîñèòåëüíî äîïîëíåíèÿ è ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ, à òàêæå ñîäåðæàòü ∅ è Ω. Òðîéêà (Ω, F, P), ãäå F íåêîòîðàÿ ñèãìà-àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ Ω, à P : F → [0, 1], òî÷íî åñòåñòâåííûì äëÿ ðàâíîìåðíîé ìåðû). Òîãäà ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî íîñèò íàçâàíèå âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà. Íà âåðîÿòíîñòü íàêëàäûâàþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1) 2) 3) P(Ω) = 1, P(A + B) = P(A) + P(B), ∞ ∞ P P P( Ai ) = P(Ai ). i=1 i=1 Òðåòüå óñëîâèå âëå÷åò çà ñîáîé 2), îäíàêî, åãî óäîáíî âûäåëèòü îòäåëüíî. Çàìåòèì, ÷òî ìîæíî áûëî áû çàìåíèòü 3) íà îäíî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé: F ) A1 ⊆ A2 ⊆ ... ⊆ An ⊆ ..., A = Ai ↑ A) âûïîëíåíî P(A) = limi→∞ P(Ai ). ∞ 3b) Íåïðåðûâíîñòü ñíèçó. Äëÿ ëþáûõ èçìåðèìûõ A1 ⊇ A2 ⊇ ... ⊇ An ⊇ ..., A = ∩i=1 Ai (çàïèñûâàåòñÿ Ai ↓ A) âûïîëíåíî P(A) = limi→∞ P(Ai ). 3c) Íåïðåðûâíîñòü â íóëå. Äëÿ ëþáûõ èçìåðèìûõ Ai ↓ ∅ âûïîëíåíî limi→∞ P(Ai ) = 0. Âîçíèêàåò íåêîòîðîå íåóäîáñòâî â ñâÿçè ñ íåîáõîäèìîñòüþ îïðåäåëÿòü P íà âñåõ ìíîæåñòâàõ èç F , ïîýòîìó èñïîëüçóþò ñëåäóþùèé ïîäõîä. Íàçîâåì ñèñòåìó ìíîæåñòâ A 3à) Íåïðåðûâíîñòü ñâåðõó. Äëÿ ëþáûõ èçìåðèìûõ (òî åñòü ëåæàùèõ â ∪∞ i=1 Ai (çàïèñûâàåòñÿ ïîëóêîëüöîì, åñëè 1) 2) 3) ∅∈A ∀A, B ∈ A : A ∩ B ∈ A, P ∀A, B ∈ A, A ⊂ B , B \ A = ni=1 Ai , ãäå Ai ∈ A. Çàìåòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíàÿ ñèãìà-àëãåáðà σ(A), ñîäåðæàùàÿ âñå ìíîæåñòâà èç A, ò.å. ñèãìà-àëãåáðà, âñå ýëåìåíòû êîòîðîé ñîäåðæàòñÿ â ëþáîé òàêîé ñèãìà-àëãåáðå. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ëþáîå ïåðåñå÷åíèå ñèãìà-àëãåáð òàêæå ñèãìà-àëãåáðà (÷òî ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ ïî ïóíêòàì). Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà Êàðàòåîäîðè: Òåîðåìà. Ïóñòü ìåðà P îïðåäåëåíà íà ïîëóêîëüöå A, ïðè÷åì îíà îáëàäàåò ñâîéñòâàìè 2,3 âåðîÿòíîñòè òàì, ãäå âñå óïîìÿíóòûå ìíîæåñòâà ñóùåñòâóþò. Òîãäà åå ìîæíî ïðîäîëæèòü íà σ(A) òàê, ÷òî íîâàÿ ìåðà Çàìå÷àíèå. Çäåñü äëÿ ìíîæåñòâ P̃ áóäåò ñîâïàäàòü ñ A1 , ..., An , ... èç A n P Ai P íà ìíîæåñòâàõ èç A. ìîæåò óæå è íå ëåæàòü â A, i=1 íî åñëè ëåæèò, òî ñâîéñòâî 3 äîëæíî áûòü âûïîëíåíî. Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî A ïîëóèíòåðâàëîâ ïðÿìîé, îòêðûòûõ ñïðàâà è çàìêíóòûõ ñëåâà (âêëþ÷àÿ ïóñòîå ìíîæåñòâî). A îáðàçóåò ïîëóêîëüöî, ïîñêîëüêó ïå- ðåñå÷åíèå ïîëóèíòåðâàëîâ âñåãäà ïîëóèíòåðâàë, à ðàçíîñòü äâóõ ïîëóèíòåðâàëîâ ïîëóèíòåðâàë, ïóñòîå ìíîæåñòâî èëè äâà ïîëóèíòåðâàëà. Îïðåäåëÿÿ ìåðó íà ýòîì ïîëóêîëüöå ñîîòíîøåíèåì P([a, b)) = b − a. Òîãäà íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî îíà áóäåò ñèãìà-àääèòèâíà íà ýòîì ïîëóêîëüöå. Ïðîäîëæàÿ åå íà ìèíèìàëüíóþ ñèãìà-àëãåáðó, ïîëó÷àåì òàê íàçûâàåìóþ ìåðó Ëåáåãà, òî åñòü îáû÷íóþ äëèíó. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ââåñòè ïëîùàäü íà ìèíèìàëüíîé ñèãìà-àëãåáðå, ñîäåðæàùóþ âñå ïðÿìîóãîëüíèêè. Ìèíèìàëüíàÿ ñèãìà-àëãåáðà, ñîäåðæàùàÿ âñå îòêðûòûå ïîäìíîæåñòâà êàêîãî-ëèáî A íàçûâàåòñÿ áîðåëåâñêîé ñèãìà-àëãåáðîé íà A. Áîðåëåâñêàÿ ñèãìà-àëãåáðà íà ïðÿìîé ñîâïàäàåò ñ ñèãìà-àëãåáðîé, ðàññìîòðåííîé â ïðèìåðå 2. (a, b). Åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ îòðåçêîâ [a + 1/n, b − 1/n] èëè ïîëóèíòåðâàëîâ (a + 1/n, b − 1/n], à, çíà÷èò, îí Ïðèìåð 3. Ðàññìîòðèì èíòåðâàë ëåæèò â ëþáîé ñèãìà-àëãåáðå, ñîäåðæàùåé âñå îòðåçêè èëè ïîëóèíòåðâàëû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ëþáîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî ïðÿìîé åñòü îáúåäèíåíèå íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîãî ÷èñëà èíòåðâàëîâ, à ëþáîå çàìêíóòîå åñòü äîïîëíåíèå äî íåêîòîðîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà. Íà ñàìîì äåëå, áîðåëåâñêàÿ ñèãìà-àëãåáðà íà ïðÿìîé ñîäåðæèò êóäà áîëüøå, ÷åì òîëüêî îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà. Ñ÷åòíûå ïåðåñå÷åíèÿ îòêðûòûõ ìíîæåñòâ óæå íåîáÿçàòåëüíî áóäóò îòêðûòûìè. Èõ ñ÷åòíûå ïåðåñå÷åíèÿ äàäóò íîâûå ìíîæåñòâà, ñ÷åòíûå îáúåäèíåíèÿ òåõ ìíîæåñòâ äàäóò åùå íîâûå è òàê äàëåå. Êàæäîå íîâîå îáðàçîâàííîå òàêèì îáðàçîì ìíîæåñòâî áóäåò ñîäåðæàòü ýëåìåíòû, íå âîøåäøèå â ïðåäûäóùèå. Êðîìå òîãî, â áîðåëåâñêóþ ñèãìà-àëãåáðó âõîäÿò ìíîæåñòâà, íå ïîïàâøèå íè â îäíî èç îïèñàííûõ ìíîæåñòâ. σ -àëãåáðû óñòðîåíû äîâîëüíî õèòðûì îáðàçîì. Ïðè ýòîì åñëè B àëãåáðà, ñîäåðæàùàÿ A (òî åñòü ìíîæåñòâî ïîäìíîæåñòâ Ω, çàìêíóòîå îòíîñèòåëüíî êîíå÷íûõ îáúåäèíåíèé è ïåðåñå÷åíèÿ, à òàêæå ñîäåðæàùåå ∅ è Ω), òî ∀B ∈ σ(A) íàéäåòñÿ C ∈ B , ò.÷. P(B∆C) = P(B \ C) + P(C \ B) ≤ ε. Îòñþäà ìû âèäèì, ÷òî Êàê æå ýòî äîêàçàòü, âåäü ñòðóêòóðà ñèãìà-àëãåáðû äîâîëüíî ñëîæíà? Äîêàæåì ýòî ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ïîäõîäÿùèõ ìíîæåñòâ. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî èç σ(A), ÷òî äëÿ ëþáîãî ε ∃B = B(ε) ∈ B : P(C∆B) ≤ ε. C òàêèõ ýëåìåíòîâ Åñëè äîêàçàòü, ÷òî C ñèãìà-àëãåáðà, òî èç òîãî, ÷òî îíî ñîäåðæèò B, îíî áóäåò ñîäåðæàòü è σ(B). Äàâàéòå B àëãåáðà, ∅ è Ω ëåæàò â íåé, à çíà÷èò ëåæàò è â C . Åñëè B ∈ C , òî P(B∆C) = P(B∆C), îòêóäà åñëè B òîæå ëåæèò â C . Îñòàåòñÿ n ïðîâåðèòü ñ÷åòíóþ àääèòèâíîñòü. Ïóñòü ε ôèêñèðîâàíî, Bi ∈ C , Dn = ∪i=1 Bi , òîãäà Dn ↑ D = ∪∞ i=1 Bi . Èç íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòè, ∃n : P(D) − P(Dn ) ≤ ε/2. Òàêèì ïðîâåðèì ñâîéñòâà.  ñèëó òîãî, ÷òî îáðàçîì ñ÷åòíàÿ àääèòèâíîñòü ñâåäåíà ê êîíå÷íîé, à çíà÷èò äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî B1 , B2 èç C , èõ îáúåäèíåíèå òîæå îòòóäà. Ðàññìàòðèâàÿ C1 , C2 : P(B1 ∆C1 ) ≤ ε/2, P(B2 ∆C2 ) ≤ ε/2 ïðèáëèæàþùèå B1 , B2 , èìååì èç ñîîòíîøåíèé (B1 ∪ B2 ) \ C = (B1 \ C) ∪ (B2 \ C), B1 \ (C1 ∪ C2 ) ⊂ B1 \ C1 íåðàâåíñòâî äëÿ ëþáûõ P((C1 ∪ C2 )∆(B1 ∪ B2 )) ≤ P(C1 \ B1 ) + P(C2 \ B2 ) + P(B1 \ C1 ) + P(B2 \ C2 ) ≤ ε, ÷òî è òðåáîâàëîñü. Òàêîå ïðèáëèæåíèå ýëåìåíòîâ ñèãìà-àëãåáðû îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî ïîëåçíûì. Ïðèìåð 4. Äîêàæåì, ÷òî äëÿ äâóõ íåçàâèñèìûõ àëãåáð A1 , A2 , ïîðîæäåííûå èìè A1 , A2 èç íàøèõ ñèãìà-àëãåáð. Òîãäà äëÿ êàæàëãåáð, òàêèå, ÷òî P(Ai ∆Bi ) ≤ ε), i = 1, 2. Îòñþäà ñèãìà-àëãåáðû òàêæå íåçàâèñèìû. Ïóñòü äîãî ε íàéäóòñÿ B1 , B2 èç íàøèõ P(A1 A2 ) − P(A1 )P(A2 ) ≤ P(B1 A2 + (A1 A2 ) \ (B1 A2 )) − (P(A1 ) − ε)(P(A2 ) − ε) ≤ P(B1 A2 ) + P(A2 (A1 \ B1 )) − P(A1 A2 ) + 2ε ≤ P((B1 \ A1 )A2 ) + P(A1 A2 ) − P(A1 )P(A2 ) + 3ε ≤ 4ε. ε  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè P(A1 A2 ) ≤ P(A1 )P(A2 ). Àíàëîãè÷íî ñëåäóåò íåçàâèñèìîñòü A1 è A2 . èìååì îáðàòíîå íåðàâåíñòâî, îòêóäà è Íàçîâåì ìîíîòîííûì êëàññîì ñèñòåìó Ai ↓ A, A Íàçîâåì íèé, à òîæå ëåæèò â π -ñèñòåìîé λ-ñèñòåìîé A, òàêóþ, ÷òî äëÿ ëþáûõ Ai ∈ A : Ai ↑ A èëè A. ìíîæåñòâî, êîòîðîå çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî êîíå÷íûõ ïåðåñå÷å- A, ñîäåðæàùåå Ω, B \ A äëÿ Ai ∈ A : Ai ↑ A, A òîæå ëåæèò â A. - ìíîæåñòâî òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáûõ äîêàçûâàåòñÿ ëþáûõ A, B ∈ A : A ⊂ B è Óòâåðæäåíèÿ 1) Ìèíèìàëüíûé ìîíîòîííûé êëàññ, ñîäåðæàùèé äàííóþ àëãåáðó, åñòü ìèíèìàëüíàÿ ñîäåðæàùàÿ åå ñèãìà-àëãåáðà. 2) Ìèíèìàëüíàÿ λ-ñèñòåìà, ñîäåðæàùàÿ äàííóþ π -ñèñòåìó, åñòü ìèíèìàëüíàÿ ñîäåð- æàùàÿ åå ñèãìà-àëãåáðó. 7.1.1. Ïóñòü 7.2.1. Bi B1 , B2 σ -àëãåáðû, áóäóò ëè σ -àëãåáðàìè B1 ∪ BS2 , B1 ∩ B2 , B1 \ B2 , B1 4B2 ? σ -àëãåáðû, ïðè÷åì Bi ⊂ Bj , i ≤ j . Áóäåò ëè ∞ i=1 Bi à) àëãåáðîé, á) σ - àëãåáðîé? 7.3.1. Îïèñàòü ìèíèìàëüíóþ ñèãìà-àëãåáðó, ñîäåðæàùóþ à) âñå ñîáûòèÿ âåðîÿòíîñòè 1 á) âñå îäíîòî÷å÷íûå ìíîæåñòâà ïðÿìîé. â) âñå áåñêîíå÷íûå ïîäìíîæåñòâà ïðÿìîé 7.1.2. FA (Ω, F, P) I òèïà, åñëè äëÿ ëþáîãî A∈F îáðàçóåò àëãåáðó; II òèïà, åñëè äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâî íåçàâèñèìûõ ñ íèì ñîáûòèé Ai ∈ F èõ ïîïàðíàÿ íåçàâèñèìîñòü âëå- ÷åò èõ íåçàâèñèìîñòü. ßâëÿåòñÿ ëè ïðîñòðàíñòâî I ïðîñòðàíñòâîì II? Íàîáîðîò? σ -àëãåáð F1 , F2 d(F1 , F2 ) = 4 supA1 ∈F1 ,A2 ∈F2 |P(A1 A2 ) − P(A1 )P(A2 )|. Äîêàçàòü, ÷òî 0 ≤ d ≤ 1. Êîãäà d = 0? d = 1? 7.3.2. Íàçîâåì σ -àëãåáðó C ñåïàðàáåëüíîé, åñëè ó íåå ñóùåñòâóåò ñ÷åòíàÿ ñèñòåìà ïîäìíîæåñòâ A, ò.÷. C = σ(A). Áóäåò ëè B(R) ñåïàðàáåëüíîé? Ïîêàçàòü, ÷òî ñèãìà- 7.2.2. Äëÿ ïîäàëãåáðà ñåïàðàáåëüíîé ñèãìà-àëãåáðû íå îáÿçàòåëüíî ñåïàðàáåëüíà. A M(A) = σ(A). 7.2.3. Äîêàçàòü, ÷òî ìèíèìàëüíàÿ λ-ñèñòåìà, ñîäåðæàùàÿ äàííóþ π -ñèñòåìó, åñòü ìèíèìàëüíàÿ ñîäåðæàùàÿ åå σ -àëãåáðà. n 7.3.3. Äîêàçàòü, ÷òî B(R ) = σ(I1 × I2 ... × In ) = σ(B1 × ... × Bn ), ãäå Ij èíòåðâàëû, à Bj áîðåëåâñêèå ìíîæåñòâà ïðÿìîé. 7.1.3. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ àëãåáðû