Загрузил Светлана Бурак

Комплексные числа

реклама
ТЕМА: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
1. Понятие комплексного числа
Мнимая единица: 𝑖 = −1
(𝑖 2 = −1)
Комплексное число: 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
𝑎 = 𝑅𝑒 𝑧 – действительная часть
𝑏 = 𝐼𝑚 𝑧 – мнимая часть
Любое действительное число является
комплексным числом с нулевой мнимой частью:
𝑎 =𝑎+0∙𝑖
𝑧 = 𝑏𝑖 – чисто мнимое число (𝑎 = 0)
Числа 𝑧1 = 𝑎1 + 𝑏1 𝑖 и 𝑧2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑖
называются равными ⇔ 𝑎1 = 𝑎2 , 𝑏1 = 𝑏2 .
Между комплексными числами не существует
соотношений вида «больше» и «меньше».
Комплексное число 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖 называется
сопряженным для числа 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, и наоборот.
Числа 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 и 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖 называются
взаимно сопряженными.
Множество комплексных чисел обозначается ℂ.
Соотношение между числовыми множествами:
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.
Уникальные свойства комплексных чисел и
функций нашли широкое применение для решения
многих практических задач в различных областях
математики, физики и техники: в обработке
сигналов, теории управления, электромагнетизме,
теории колебаний, теории упругости и многих
других.
Преобразования комплексной плоскости
оказались полезными в картографии и
гидродинамике.
2. Действия с комплексными числами
Пусть заданы 2 комплексных числа: 𝑧1 = 𝑎1 +
𝑏1 𝑖 и 𝑧2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑖 .
Сумма, разность, произведение и частное
комплексных чисел также являются комплексными
числами.
1) сложение и вычитание:
𝑧1 ± 𝑧2 = 𝑎1 + 𝑏1 𝑖 ± 𝑎2 + 𝑏2 𝑖 =
= 𝑎1 ± 𝑎2 + 𝑏1 ± 𝑏2 𝑖
2) умножение:
𝑧1 ∙ 𝑧2 = (𝑎1 + 𝑏1 𝑖) 𝑎2 + 𝑏2 𝑖 =
= 𝑎1 𝑎2 + 𝑎1 𝑏2 𝑖 + 𝑎2 𝑏1 𝑖 + 𝑏1 𝑏2 𝑖 2 =
= 𝑎1 𝑎2 − 𝑏1 𝑏2 + 𝑎1 𝑏2 + 𝑎2 𝑏1 𝑖
3) деление:
𝑧1 𝑎1 + 𝑏1 𝑖 (𝑎1 + 𝑏1 𝑖)(𝑎2 − 𝑏2 𝑖)
=
=
=
𝑧2 𝑎2 + 𝑏2 𝑖 (𝑎2 + 𝑏2 𝑖)(𝑎2 − 𝑏2 𝑖)
𝑎1 𝑎2 − 𝑎1 𝑏2 𝑖 + 𝑎2 𝑏1 𝑖 − 𝑏1 𝑏2 𝑖 2
=
=
2
2 2
𝑎2 − 𝑎2 𝑏2 𝑖 + 𝑎2 𝑏2 𝑖 − 𝑏2 𝑖
𝑎1 𝑎2 + 𝑏1 𝑏2 + 𝑎2 𝑏1 − 𝑎1 𝑏2 𝑖
=
=
2
2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎1 𝑎2 + 𝑏1 𝑏2 𝑎2 𝑏1 − 𝑎1 𝑏2
=
+
𝑖
2
2
2
2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
Пример. Для чисел 𝑧1 = 2 + 3𝑖, 𝑧2 = 4 − 7𝑖
найти сумму, разность, произведение и частное.
Решение
1) сумма:
𝑧1 + 𝑧2 = 2 + 3𝑖 + 4 − 7𝑖 = 6 − 4𝑖
2) разность:
𝑧1 − 𝑧2 = 2 + 3𝑖 − 4 − 7𝑖 = −2 + 10𝑖
3) произведение:
𝑧1 ∙ 𝑧2 = (2 + 3𝑖) 4 − 7𝑖 =
= 8 − 14𝑖 + 12𝑖 − 21𝑖 2 = 8 + 21 − 2𝑖 = 29 − 2𝑖
4) частное:
𝑧1 2 + 3𝑖
=
=
𝑧2 4 − 7𝑖
(2 + 3𝑖)(4 + 7𝑖) 8 + 14𝑖 + 12𝑖 + 21𝑖 2
=
=
=
2
2
(4 − 7𝑖)(4 + 7𝑖)
4 − (7𝑖)
8 − 21 + 26𝑖 −13 + 26𝑖
=
=
=
2
16 − 49𝑖
65
13 26
1 2
=− + 𝑖=− + 𝑖
65 65
5 5
Ответ: 𝑧1 + 𝑧2 = 6 − 4𝑖; 𝑧1 − 𝑧2 = −2 + 10𝑖; 𝑧1 ∙
𝑧1
1
2
𝑧2 = 29 − 2𝑖;
= − + 𝑖.
𝑧2
5
5
3. Свойства сопряженных комплексных чисел
Пусть 𝑧1 = 𝑎1 + 𝑏1 𝑖 и 𝑧2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑖 .
1) 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧1 + 𝑧2
Доказательство.
𝑧1 + 𝑧2 = 𝑎1 + 𝑏1 𝑖 + 𝑎2 + 𝑏2 𝑖 =
= 𝑎1 + 𝑎2 + (𝑏1 + 𝑏2 )𝑖 = 𝑎1 + 𝑎2 − 𝑏1 + 𝑏2 𝑖 =
= 𝑎1 − 𝑏1 𝑖 + 𝑎2 − 𝑏2 𝑖 = 𝑧1 + 𝑧2
Свойство доказано.
2) 𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑧1 ∙ 𝑧2
Доказательство.
Рассмотрим отдельно обе части равенства и
покажем, что левая часть равна правой.
𝑧1 ∙ 𝑧2 = (𝑎1 + 𝑏1 𝑖) 𝑎2 + 𝑏2 𝑖 =
= 𝑎1 𝑎2 − 𝑏1 𝑏2 + 𝑎1 𝑏2 + 𝑎2 𝑏1 𝑖 =
= 𝑎1 𝑎2 − 𝑏1 𝑏2 − 𝑎1 𝑏2 + 𝑎2 𝑏1 𝑖
𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑎1 − 𝑏1 𝑖 𝑎2 − 𝑏2 𝑖 =
= 𝑎1 𝑎2 − 𝑏1 𝑏2 − 𝑎1 𝑏2 + 𝑎2 𝑏1 𝑖
Таким образом, 𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑧1 ∙ 𝑧2 . Свойство
доказано.
3)
𝑧1
𝑧2
=
𝑧1
𝑧2
Доказательство аналогично доказательству 2го свойства.
4) Произведение комплексного числа и
сопряженного ему числа есть действительное
число: ∀𝑧 ∈ ℂ 𝑧 ∙ 𝑧 ∈ ℝ.
Доказательство. Пусть 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖.
𝑧 ∙ 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎 − 𝑏𝑖 =
= 𝑎2 − 𝑎𝑏𝑖 + 𝑎𝑏𝑖 − 𝑏 2 𝑖 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 ∈ ℝ
Свойство доказано.
5) ∀𝑧 ∈ ℂ 𝑧 = 𝑧 .
4. Тригонометрическая форма записи
комплексного числа. Модуль и аргумент
комплексного числа
Комплексное число 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 можно
изобразить точкой 𝑀(𝑎; 𝑏) на комплексной
плоскости (ось Ох при этом называется
действительной осью, ось Оу – мнимой осью).
Вектор 𝑂𝑀, соединяющий начало координат О
с точкой М, называется радиус-вектором.
Длина этого вектора 𝑟 = 𝑎2 + 𝑏 2 называется
модулем комплексного числа 𝑧 и обозначается 𝑧 :
𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2 ,
а угол 𝜑 между вектором 𝑂𝑀 и осью Ох
называется аргументом комплексного числа 𝑧 и
обозначается arg 𝑧 .
Свойства модуля:
1) 𝑧 ∙ 𝑧 = 𝑧 2 ;
2) 𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑧1 ∙ 𝑧2 ;
3)
𝑧1
𝑧2
=
𝑧1
𝑧2
;
4) 𝑧 = 𝑧 ;
5) 𝑧 𝑛 = 𝑧 𝑛 .
Любое комплексное число можно представить
в виде:
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑟
𝑎
𝑟
+
𝑏
𝑖
𝑟
= 𝑟 cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑 .
Такая форма записи комплексного числа
называется тригонометрической.
При этом 𝑟 = 𝑎2 + 𝑏 2 ,
cos 𝜑 =
𝑎
𝑟
=
𝑎
𝑎2 +𝑏 2
, sin 𝜑 =
𝑏
𝑟
=
𝑏
𝑎2 +𝑏 2
.
Пример. Записать в тригонометрической
форме комплексные числа:
а) −1 + 𝑖 3; б) −3 − 4𝑖.
Решение.
а) Т.к. 𝑎 = −1, 𝑏 = 3, то
𝑟 = 𝑎2 + 𝑏2 =
cos 𝜑 =
𝑎
𝑟
Отсюда 𝜑
1
=− ,
2
2𝜋
= .
3
(−1)2 +( 3)2 = 4 = 2,
sin 𝜑 =
Ответ: −1 + 𝑖 3 = 2
𝑏
𝑟
=
2𝜋
cos
3
+
3
,
2
2𝜋
𝑖 sin
3
.
б) т.к. 𝑎 = −3, 𝑏 = −4, то
𝑟 = 𝑎2 + 𝑏2 =
cos 𝜑 =
𝑎
𝑟
(−3)2 +(−4)2 = 25 = 5,
=
3
− ,
5
sin 𝜑 =
𝑏
𝑟
=
Ответ: −3 − 4𝑖 = 5(cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑),
где cos 𝜑 =
3
− ,
5
sin 𝜑 =
4
− .
5
4
− .
5
5. Действия с комплексными числами в
тригонометрической форме
Пусть заданы 2 числа: 𝑧1 = 𝑟1 cos 𝜑1 + 𝑖 sin 𝜑1 ,
𝑧2 = 𝑟2 cos 𝜑2 + 𝑖 sin 𝜑2 .
1) умножение:
𝑧1 𝑧2 = 𝑟1 cos 𝜑1 + 𝑖 sin 𝜑1 ∙ 𝑟2 cos 𝜑2 + 𝑖 sin 𝜑2 =
= 𝑟1 𝑟2 (cos 𝜑1 cos 𝜑2 + 𝑖 cos 𝜑1 sin 𝜑2 +
+𝑖 sin 𝜑1 cos 𝜑2 − sin 𝜑1 sin 𝜑2 ) =
= 𝑟1 𝑟2 (cos 𝜑1 + 𝜑2 + 𝑖 sin 𝜑1 + 𝜑2 )
2) деление:
𝑧1 𝑟1 cos 𝜑1 + 𝑖 sin 𝜑1
=
=
𝑧2 𝑟2 cos 𝜑2 + 𝑖 sin 𝜑2
𝑟1
= (cos 𝜑1 − 𝜑2 + 𝑖 sin 𝜑1 − 𝜑2 )
𝑟2
3) возведение в степень выполняется по
формуле Муавра: если 𝑛 ∈ ℤ, то
𝑛
𝑛
𝑧 = 𝑟 cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑
=
= 𝑟 𝑛 (cos 𝑛𝜑 + 𝑖 sin 𝑛𝜑)
Пример. Вычислить
𝜋
𝑖 sin ).
𝑧10 ,
если 𝑧 =
𝜋
2(cos
5
5
Решение.
𝑧
10
=
10
=2
𝜋
2(cos
5
10𝜋
cos
5
+
𝜋 10
𝑖 sin )
5
+
10𝜋
𝑖 sin
5
=
=
= 210 cos 2𝜋 + 𝑖 sin 2𝜋 = 210 .
Ответ: 210 .
+
4) извлечение корня: если 𝑛 ∈ ℤ, то
𝑛
𝑛
𝑧 = 𝑟 cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑 =
=
𝑛
𝜑 + 2𝜋𝑘
𝜑 + 2𝜋𝑘
𝑟 cos
+ 𝑖 sin
,
𝑛
𝑛
где 𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1.
Пример. Найти все значения корней:
3
а) −1, б) 𝑖.
Решение. Представим заданные числа в
тригонометрической форме.
а) т.к. −1 = cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋 , то
−1 = cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋 =
𝜋+2𝜋𝑘
cos
2
𝜋+2𝜋𝑘
+ 𝑖 sin
,
2
где 𝑘 = 0; 1.
При 𝑘 = 0
при 𝑘 = 1
𝜋
𝜋
𝑧0 = cos + 𝑖 sin = 𝑖;
2
2
3𝜋
3𝜋
𝑧0 = cos + 𝑖 sin = −𝑖.
2
2
Ответ: −1 = 𝑖; −𝑖.
б) т.к. 𝑖 =
3
𝑖=
3
𝜋
cos
2
𝜋
cos
2
+
+
𝜋
𝑖 sin ,
2
𝜋
𝑖 sin
2
то
= cos
𝜋
+2𝜋𝑘
2
+ 𝑖 sin
3
𝜋
+2𝜋𝑘
2
3
где 𝑘 = 0; 1; 2.
При 𝑘 = 0
𝑧0 =
при 𝑘 = 1 𝑧1 =
при 𝑘 = 2 𝑧2 =
3
Ответ: 𝑖 =
3
2
+
𝜋
cos
6
+
𝜋
𝑖 sin
6
=
5𝜋
5𝜋
cos + 𝑖 sin
6
6
3𝜋
3𝜋
cos + 𝑖 sin
2
2
1
3
𝑖; −
2
2
+
1
𝑖;
2
3
2
+
=−
3
2
= −𝑖.
−𝑖.
1
𝑖,
2
+
1
𝑖,
2
,
6. Экспоненциальная форма записи
комплексного числа
Формула Эйлера: 𝑒 𝑖𝜑 = cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑 .
Экспоненциальная форма записи:
𝑧 = 𝑟 cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑 = 𝑟𝑒 𝑖𝜑
Действия с комплексными числами в
экспоненциальной форме
Пусть даны 2 числа: 𝑧1 = 𝑟1 𝑒 𝑖𝜑1 , 𝑧2 = 𝑟2 𝑒 𝑖𝜑2 .
1) умножение: 𝑧1 𝑧2 = 𝑟1 𝑟2 𝑒 𝑖(𝜑1+𝜑2) ;
2) деление:
𝑧1
𝑧2
=
𝑟1 𝑖(𝜑 −𝜑 )
𝑒 1 2;
𝑟2
для комплексного числа z = 𝑟𝑒 𝑖𝜑 :
3) возведение в степень: 𝑧 𝑛 = 𝑟 𝑛 𝑒 𝑖𝑛𝜑 ;
4) извлечение корней:
𝑛
𝑧=
𝑛
𝑟𝑒
𝑖
𝜑+2𝜋𝑘
𝑛 ,
𝑘 = 0, 𝑛 − 1.
7. Корни из единицы
Представим число 1 в тригонометрической
форме:
1 = cos 0 + 𝑖 sin 0 .
Тогда по формуле Муавра получим выражение
для k-го корня из 1:
𝑢𝑘 =
2𝜋𝑘
cos
𝑛
+
2𝜋𝑘
𝑖 sin
,
𝑛
𝑘 = 0,1, … , 𝑛 − 1.
Корни из 1 можно также представить в
экспоненциальной форме:
𝑢𝑘 =
2𝜋𝑘𝑖
𝑒 𝑛 ,
𝑘 = 0,1, … , 𝑛 − 1.
Точки 𝑢𝑘 являются вершинами правильного nугольника, вписанного в окружность единичного
радиуса с центром в начале координат.
Пример. Корни 5-й и 8-й степеней из 1:
Одной из вершин такого многоугольника всегда
является 1.
Вещественных корней может быть 2 (1 и -1,
если n четно) или 1 (если n нечетно).
В любом случае невещественных корней
четное количество, они располагаются
симметрично относительно горизонтальной оси
(т.е. если 𝑢𝑘 - корень из 1, то 𝑢𝑘 - тоже корень из 1).
Корни 3-й степени из 1:
1
1; −
2
+
3
1
𝑖; −
2
2
Корни 4-й степени из 1: 1; −1; 𝑖; −𝑖
−
3
𝑖
2
8. Решение квадратных и биквадратных
уравнений
Рассмотрим квадратное уравнение
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
с действительными коэффициентами. Если
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0,
то уравнение имеет два комплексных корня:
−𝑏 ± 𝑖 4𝑎𝑐 − 𝑏 2
𝑥1,2 =
.
2𝑎
Пример. Решить уравнение 3𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = 0.
Решение.
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 22 − 4 ∙ 3 ∙ 1 = −8 < 0
−2 + 𝑖 8 −2 + 2𝑖 2
𝑥1 =
=
= −1 + 𝑖 2;
2
2
−2 − 𝑖 8 −2 − 2𝑖 2
𝑥2 =
=
= −1 − 𝑖 2.
2
2
Ответ: −1 + 𝑖 2; −1 − 𝑖 2.
Скачать