Затухающие колебания ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ - колебания с постоянно убывающей со временем амплитудой. Свободные колебания реальных систем всегда затухают. Затухание обусловлено в основном трением (механические системы) и сопротивлением ( в электромагнитных колебательных контурах). Колебательная система называется линейной, если её свойства не меняются при колебаниях, то есть такие параметры, как сила тяжести, упругость пружины, сопротивление, емкость, индуктивность не зависят ни от смещения, ни от скорости, ни от ускорения колеблющейся величины. В дальнейшем мы будем рассматривать только линейные системы. Уравнения затухающих колебаний Получим дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний на примере реального пружинного маятника, совершающего колебания в среде с сопротивлением (простейший случай - трение о воздух). Пусть масса маятника m, коэффициент упругости пружины k, сила сопротивления, действующая на маятник, F = - bv, v - скорость маятника, b коэффициент сопротивления среды, в которой находится маятник. Так как мы рассматриваем только линейные системы, b = const, k = const. x - смещение маятника от положения равновесия. Второй закон Ньютона в нашем случае запишется так: Это уравнение и есть дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний пружинного маятника. Его, однако, принято записывать в следующем, так называемом каноническом виде: - коэффициент затухания, - собственная частота свободных (незатухающих) колебаний пружинного маятника, то, что раньше мы обозначали просто . Уравнение затухающих колебаний в таком (каноническом) виде описывает затухающие колебания всех линейных систем; конкретная колебательная система отличается только выражениями для и . .17. Затухающие гармонические колебания На любое реальное тело, совершающее гармонические колебания, действуют не только квазиупругая сила, но и силы трения или сопротивления, препятствующие движению. На преодоление трения в опорах и сопротивления окружающей среды, на создание упругих деформаций, возбуждение волн и т.д. требуется энергия. Поэтому полная механическая энергия колеблющейся частицы непрерывно уменьшается, переходя в другие виды энергии в виде тепла, или рассеивается в окружающей среде. Это сразу же скажется на величине пока не амплитуды. Она будет уменьшаться, т.е. колебания постепенно будут затухать, прекратятся совсем. Колебания называют затухающими, если убыль энергии физической системы не восполняется в процессе ее колебательного движения. Для получения дифференциального уравнения затухающих колебаний необходимо учесть все силы, действующие на реальную частицу, совершающую колебания. Кроме квазиупругой силы, вызывающей колебания, на частицу действуют силы сопротивления (трения) со стороны окружающей среды. В качестве примера рассмотрим колебания шарика на пружине в вертикальной плоскости вдоль оси У в вязкой среде, которая оказывает сопротивление движению по закону Стокса . При малых колебаниях и соответственно малых скоростях движения (ламинарное течение жидкости) сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости частицы и направлена в сторону, противоположную движению Fc=bv= b (dx/dt). (6.59) Следовательно, полная сила, действующая на частицу равна геометрической сумме квазиупругой силы и силы сопротивления: F = kx bv, где (6.60) (6.61) . После подстановки равенств (6.59) и (6.61) в (6.60), получим однородное дифференциальное уравнение второго порядка затухающих гармонических колебаний: . (6.62) Его решением является функция (6.63) , где A0е - t- амплитуда затухания; , и о некоторые постоянные. На рис. 6.26,а приведен график свободных затухающих колебаний, где пунктирной линией показано изменение амплитуды этих колебаний с течением времени, а на рис.6.26,б - компьютерная модель математического маятника. Модель демонстрирует свободные колебания математического маятника. Можно изменять длину нити l, угол φ0 начального отклонения маятника, коэффициент вязкого трения b. Для получения затухающих колебаний установите значение b≠0. б) Модель а) "Математический маятник" Рис.6.26 В справедливости выбранного решения (6.63) можно убедиться, найдя первую и вторую производные данного решения и затем подставив в дифференциальное уравнение (6.62). После подстановки найдем значение для постоянной и установим ее физический смысл, а также круговую частоту и период Т затухающих свободных колебаний. Найдем первую производную смещения х, т.е. скорость Вторая производная, т.е. ускорение Полученные значения смещения х, скорости v и ускорения а подставим в дифференциальное уравнение (6.62) и придем к следующему тождеству: A0е - tcos(ωt+φo)[m(σ2 - ω2)-bσ+k]+A0е - tsin(ωt+φo)[ω(2mσ-b)]=0. Поскольку в данном тождестве А0=const, а A0е - t≠0 при любом t, то правую и левую части тождества разделим на A0exp(-σt). Получим выражение из двух слагаемых, сумма которых равна нулю: cos(ωt+φo)[m(σ2 - ω2)-bσ+k]+sin(ωt+φo)[ω(2mσ-b)]=0. В полученном выражении одновременно sin() и cos() не равны нулю. Выражение будет равно нулю, когда нулю будет равно каждое слагаемое одновременно, т.е. m(2 2) b + k = 0, (6.64) ( 2m b) = 0. Получили два уравнения относительно переменных и . Из второго уравнения (6.64) имеем, что 2m b = 0. т.к. 0, откуда найдем , который получил название коэффициента затухания: . Коэффициент затухания колебаний физической системы прямо пропорционален коэффициенту сопротивления окружающей среды и обратно пропорционален массе системы. Характеризует быстроту затухания свободных колебаний. Величину коэффициента затухания подставим в первое уравнение (6.64) . После незначительных преобразований найдем значение частоты затухающих колебаний и период Т: (6.65) В виду того, что = o2, где k - коэффициент квазиупругости, m - масса частицы, о- собственная круговая частота физической системы, период затухающих колебаний (6.66) . Замечание: если b2 > 4mk, то круговая частота будет мнимой и происходит не колебание, а апериодическое движение (закритическое затухание, кривая А, рис. 6.27). Рис. 6.27 Кривая В (рис. 6.27) соответствует докритическому затуханию при b 2 << 4mk, а кривая Б (рис. 6.27) характеризует критическое затухание (демпфирование) при b2 = 4mk. Физическая система при этом приходит в равновесие за максимально короткое время. На практике используется для плавного закрытия дверей, в амортизаторах автомобилей, машин, для успокоения колебания стрелочных приборов и т.д Гармоническое колебание Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса. График гармонического колебания График устанавливает зависимость смещения тела со временем. Установим к пружинному маятнику карандаш, за маятником бумажную ленту, которая равномерно перемещается. Или математический маятник заставим оставлять след. На бумаге отобразится график движения. Графиком гармонического колебания является синусоида (или косинусоида). По графику колебаний можно определить все характеристики колебательного движения. Уравнение гармонического колебания Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой . Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила, скорость и ускорение, тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия - достигает максимального значения. Если колебание описывать по закону косинуса Если колебание описывать по закону синуса Максимальные значения скорости и ускорения Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле Как получить зависимости v(t) и a(t) Формулы зависимостей скорости от времени и ускорения от времени можно получить математически, зная зависимость координаты от времени. Аналогично равноускоренному движению, зависимость v(t) - это первая производная x(t). А зависимость a(t) - это вторая производная x(t). При нахождении производной предполагаем, что переменной (то есть x в математике) является t, остальные физические величины воспринимаем как постоянные. Находим производную сложной функции. Колебательный контур — цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С предназначенная возбуждения электромагнитных колебаний, при которых электрические величины (заряды, напряжения, токи, электрические и магнитные поля) изменяются периодически по гармоническому закону. Электрические колебания в колебательном контуре можно сопоставить с механическими колебаниями маятника (рис. внизу), сопровождающимися взаимными превращениями потенциальной и кинетической энергий маятника. Если бы потерь энергии не было, то в контуре совершались бы периодические незатухающие колебания (собственные колебания) с периодом Tо, т. е. периодически изменялись (колебались) бы заряд q на обкладках конденсатора, напряжение UC на конденсаторе и сила тока I, текущего через катушку индуктивности. Причем в течение первой половины периода ток идет в одном направлении, в течение второй половины—в противоположном. Колебания сопровождаются превращениями энергий электрического и магнитного полей. Циклическая частота свободных незатухающих (собственных) колебаний равна Пеориод свободных незатухающих (собственных) колебаний равен Из-за того что в контуре присутствует также сопротивление R, на котором энергия тока превращается в тепловую, колебания становятся затухающими. Незатухающие колебания в контуре можно организовать, используя вынужденные колебания, т.е. колебания под действием внешнего периодического источника ЭДС. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний A (тока, заряда, напряжения) при совпадении частоты внешнего периодического источника w с частотой собственных колебаний wо называется резонансом. Чем больше коэффициент затухания, тем ниже амплитуда при резонансе.
