Гайштут А.Г., Литвиненко Г.Н. – Планиметрия. Задачник. 8-9 кл. - 1998

Александр Гайштут, Григорий Литвиненко
ПЛАНИМЕТРИЯ
ЗАДАЧНИК
К ШКОЛЬНОМУ
КУРСУ
«Магистр-S»
Москва
1998
«АСТ-ПРЕСС»
УДК 51
ББК 22
Г 12
Г12
Гяйштуг А.Г., Лигвииенко Г.Н.
Планиметрия: Задачник к школьному курсу. — М : ACT-ПРЕСС: Maгистр-S, 1998. — 112 с.
ISBN 5-7805-0215-3
ISBN 966-557-030-7
Задачник х школьному курсу «Планиметрия» соответствует учебкой программе по геометрии и адресован
учащимся 8—9-х классов, учителям, абитуриентам и студентам педагогических вузов.
г
16010S000O-008
Ш9(03)-98
ISBN 5-7805-0215-3
УДК5!
22
ББК
О А.Г. Гайштут, Г.Н. Литвиненко, 1998
© «АСТ-ПРЕСС», 1998
О «Магистр-S», 1998
ПРЕДИСЛОВИЕ
Задачник содержит свыше 1000 задач, различных
по тематике и уровню сложности. Система располо­
жения материала, форма оформления и наличие спра­
вочного материала выгодно отличает его от имеющихся
задачников.
Цель книги — помочь пользователю систематизи­
ровать свои знания по решению задач за курс средней
школы, а также ознакомиться с методами решения
задач. Наличие в книге основных теорем, знание
которых необходимо для решения задач данного раздела,
позволяет использовать пособие, не прибегая к учеб­
никам. Большая часть задач составлена автором с
таким расчетом, чтобы задачник удовлетворял широкому
кругу пользователей.
Решение одной части оригинальных, несложных
заданий даст возможность приобрести хорошие навыки
в решении задач по различным разделам геометрии.
Решение другой части заданий развивает мышление,
но не требует громоздких преобразований.
Задачи, родственные по идее решения, сгруппи­
рованы вместе. Для первых задач каждой группы
даются более подробные решения, чем для последующих.
Второстепенные моменты рассуждений и вычислений
опускаются, чтобы не стеснить самодеятельности поль­
зователей. Напротив, вопросам, существенным для ре­
шения задач, уделяется много внимания.
Отдельным разделом выделены задачи для круж­
ковой и факультативной работы. Их решение хоть и
требует большего напряжения, но доступно пользова-
телю. На задачи этого раздела, как и на некоторые
другие, в конце книги даны решения.
Сверяя свое решение с имеющимся в задачнике,
следует обращать внимание на недостатки или ошибки,
допущенные в решении, чтобы не повторять их впредь.
Задачи этого раздела, многие из которых повышенной
трудности, совсем не обязательно решать все. Но для
тех, кто любит математику и желает в ней совер­
шенствоваться, конечно, следует самостоятельно решить
задачи этого раздела.
Особое внимание уделено методике и методам
решения задач на построение.
Составление задач самим пользователем, пусть
даже несложных, — ступенька к творчеству. В пара­
графах 7 и 12 автор раскрывает приемы составления
задач с использованием одной идеи. Одна правильно
составленная задача стоит двух десятков решенных
задач.
Автор надеется, что данный сборник станет вашей
настольной книгой, изучение которой — шаг к усво­
ению сложной конкурсной литературы.
ПЛАНИМЕТРИЯ. Справочный материал
Прямоугольный треугольник
•*.
(
а2 = с • Сг
1. Катет — среднее про­
порциональное между
гипотенузой и проек­
h
2
\a
(h = сх • с2 J
цией этого катета на
гипотенузу.
1
....с
2
2
Л
Га + * = с^ | А
D С2 в 2. Высота, опущенная из
Cl
вершины прямого угла
Y
на гипотенузу — сред­
С
нее пропорциональное
/*
Ч
между отрезками, на
[Если а = 30°)
а +6 - с г
которую она делит ги­
1 то с = 2а 1 г
=
\
c
h
S
2
потенузу.
3.
Сумма
квадратов кате­
S
А
S =
г = —
тов равна квадрату ги­
1
/
потенузы.
J_ ) <
4. Против угла в 30е лежит катет, рав­ 7. Площадь определяется формулами
ный половине гипотенузы.
S = т с А и S = Tfl'i.
5. Радиус описанной окружности определяется формулой R = ^.
6. Радиус вписанной окружности опре­
деляется формулами
а+Ь-с
S
2
р
v
J
а
=
f* !1
1
Образец решения задачи
Решение.
р =
Дано: О — центр окружности, вписанной
в ААВС. L\ + L2 + LCAB = 285°.
Найти: АС: АВ.
L\ =90VlO и ВО —1
Z3 + Z4 = 45е, значит,
биссектрисы
j
Z 2 = 180° - (Z3 + Z4) = 135°.
По условию Zl + Z2 + ZCAS = 285% откуда
ZCAB = 285е - (Z.1 + LT) = 285е - 225е = 60е,
LB = 30е и АС: АВ = 1 : 2 (теорема 4).
Ответ: 1:2.
а + Ь + ;с г, Л — радиусы вписанной и описанной окружностей.
5
Косоугольный треугольник
в
А
bc
D
Ь,
8. Квадрат стороны, лежащей против
острого угла, равен сумме квадратов
двух других сторон минус удвоенное
произведение основания на проек­
цию второй боковой стороны на ос­
нование.
9. Площадь определяется формулами:
1
С
т
Ь
V = а* + V- - 26 • Ьа Л
s = \ъ-к
^ = с 2 + й2 - 26 • Ьс J
Г
1
Л
(S = Vp(p-a)(p-*)(p-c))
г
S
^
г = —, где S — площадь,
Р
р — полупериметр^
« а * Ь-с
~
1
R = — ^ — , где S — площадь
S = Vp(p-a)(p-6)(p-c).
10. Центр вписанной окружности лежит
в точке пересечения биссектрис, а
радиус вписанной окружности опрес
деляется формулой г = —.
11, Центр описанной окружности лежит
в точке пересечения перпендикуля­
ров к серединам сторон, а радиус
описанной окружности определяется
формулой R = —тс—•
12. Биссектриса внутреннего угла тре­
угольника делит основание на части,
пропорциональные
прилежащим
сторонам.
CD — биссектриса
ос = ^см
м
13. Медианы треугольника пересекают­
ся в одной точке и делятся ею в
отношении 2:1, начиная от вершины.
в
ANf СМ — медианы
Р -
6
а+Ь+с
г, R — радиусы вписанной и описанной окружностей.
Ромб
14. Диагонали ромба вза­
имно перпендикуляр­
ны и делят углы по­
полам.
AC1BD
LOAD = LOAB
15. Площадь определяет­
ся формулами:
S=
S = ^AC
±ACBD
A
S = a-h
a
D
BD
S = a- h.
Параллелограмм
2
(A<? + BD = 2d?+M?)
с
а + гО
!
мк =
V
2
J
-J--A
V
£•»• = с + </
f 16. Сумма квадратов ди­
агоналей равна сум­
ме квадратов всех его
сторон.
17. Площадь определяет­
ся формулой
S = а • Л.
18. Средняя линия равна
полусумме
основа­
ний:
а + z>
А/А: =
19. Площадь определяет­
ся формулой
-J
20. Если в трапецию впи­
сан круг, то сумма
оснований трапеции
равна сумме боковых
сторон.
Окружность и круг
с
Если из одной точки, лежащей
вне окружности, провести к
ней две касательные, то
а) длины отрезков от данной
точки до точек касания равны;
б) углы между каждой каса­
тельной и секущей, проходя­
щей через центр круга, равны.
АВ = АС
c? = AD- n
22. Если из одной точки, лежащей
вне окружности, провести к
ней касательную и секущую,
то квадрат касательной равен
произведению секущей на ее
внешнюю часть.
23. Если две хорды пересекаются
в одной точке, то произведе­
ние отрезков одной хорды
равно произведению отрезков
другой.
а •b = с -d
24. Длина окружности С = 2лЯ.
25. Длина дуги Сд = у ^ .
26. Площадь круга S = лЯ2.
27. Площадь сектора
_ яя2пе
*с ~
360 •
а = ^ {уАВ + ^CD)
а = ^ АВ
а = ^(^АВSc — площадь сектора, S — площадь круга, С — длина окружности, Сд — длина дуги,
к^АВ — угловая величина дуги.
8
^CD)
Вертикальные и смежные углы
2/
\з/
нХк
1. Z. 1 = 43е.
Найти L 2.
2. Z.2 = 4 Z 1.
Найти L 1.
3. L 2 - L 1 = 20°.
Найти L 1.
4. Z. 2 : Z. 1 = 7 : 3.
Найти L 2 - L 1.
4
5. Z. 1 = | Z. 2.
Найти Z. 1.
6. Z. 1 = 20% 2. 2.
Найти L 2.
7. ( Z . 2 - Z l ) : Z . l = 2 : 1 .
Найти L 2.
8. Z. 2 = 5 Z. 1.
Доказать, что L 2 - Z. 1 = 120°
11. Z. 1 = L 2, Z. 3 = Z. 4, / . 1 = 17°.
Найти L 3.
12. Z. 1 = Z. 2, Z. 3 = Z. 4, Z. 1= 19е.
Найти Z. 4 - Z. 2.
13. Z. 1 = Z. 2, Z. 3 = Z 4 .
Доказать^ что Z.3 + Z.2 = 90е.
14. Z.1 = Z.2, Z.3 = Z.4, Z.4 - Z.2 = 50
Найти L 2.
15. Z. 1 = Z. 2, Z. 3= ^ 4 ,
Z.4 - 2Z.2 = 45°.
Найти L 3.
16. Z. 1 = Z. 2, Z. 3 = Z.4,
Z.4 + Z.3 + Z.2 = 170°
Найти L 4.
9. Z. 1 = Z. 2, Z. 3 + Z. 1 = 160е.
Найти L 3.
10. Z, 1 = Z. 2, Z. 3 - Z. 1 = 135е.
Найти L 1.
Справочный отдел
1
L 1 = 180°
развернутый
L 3 = 90°
прямой
iL
Z. 1 + Z. 2 = 180°
Z. 1 и Z. 2 — смежные
9
Параллельные прямые
: * *
8
17. L 3 = 75°.
Найти L\,
L2, L 4.
е
18. Z. 3 - L 2 = 20 .
Найти L 1,
19. Z.l + Z 2 +
Найти L 1,
20. Z. 1 + Z 2 =
Найти L 3.
Z 2, Z 3, Z 4.
Z 3 = 250*.
Z. 2, Z. 3, Z. 4.
80е.
I
!*£.
21. Параллельны ли прямые АВ и CD,
если:
а) Z б = 8 Z. 1, Z. 7 = 20%
б) Z 1 = L 8 - 144% L 2 = 162%
б) £ 2 - Z. 5 = 154% L 3 = 14'.
22. Z.l + Z . 2 + Z 3 = 258%
Z. 5 + Z 7 = 156°.
Доказать, что AS || CD.
Соотношения между сторонами и углами в треугольнике
23. Определить вид треугольника, если:
а) Рп = 28, Ь = 10, с = 8,
0) Р„ = 42, а - ^ Л , , с + Ь = 28.
24. ЛВ = ЯС, Рп = 48, ЛС = 18.
Найти АВ.
25. АВ = ВС, Рп = 18, АВ - АС = 3.
Найти АВ.
26. АВ = ВС, />„ - АС = 36,
АВ-АС = 6.
Найти АС.
27. АВ = ЯС, Р„ = 48, АВ = | А С .
Найти АС.
10
А
С
34. Z.C - 90% Z. 1 = 3 LA.
Найти LA.
A
D
C
28. LABC, АВ = ВС, BD ± AC,
'лес
=
^0, PABD =
16.
Найти BD.
29. AABC, АВ = ВС, BD 1 ЛС,
A5 = 2AD.
Найти 2 L 2 - L 1.
А
А
С
35. AC || BD,
Z.1 + Z.3 + Z.4 + Z.5- 220*.
Найти L 2.
36. ЛС || Б Д Z.1 + Z.5» 112*.
Найти L 2.
37. ЛС || BD, L 2 = 90*.
Найти LI + L5.
С
30. Z, 1 = Z. 2, Z. 3 + Z. 1 = 153".
Найти L 2.
31. Z. 2 = Z. 1 + 20*. Z. 3 - 100°.
Найти L 1.
32. Z. 3 = 2 (Z. 1 - Z. 2).
Во сколько раз L 1 больше L 2?
33. L 2 - 3 Z. 3, L 1 - 80*.
Найти L 2.
38. AS - ЯС, AC || ЯД L 2 » 2Z. 4.
Найти L 1.
39. АВ = ВС, AC || ВД L 1 = 4Z. 2.
Найти L 4.
40. AB - ВС, AC || ЯД Zl + Z.3 = 80*
Найти LS.
Справочный отдел
Z.1 + Z . 2 + Z . 3 » 180'.
Z.4 = Z.l + Z.2.
Сумма внутренних углов 180*.
Внешний угол равен сумме двух
внутренних, с ним не смежных.
4
11
А
С
41. LB = 150% LA на 10' больше LI.
Найти L 2.
А
С
42. АВ = ВС, L 1 = L 3 + 20%
Найти L 3.
43. АВ = ВС, L 1 = 1L 3.
Найти L 4.
С
С
В
48. /.ЛСВ = 90% СЕ±АВ, L1 = 2L2,
АС + СЕ= 3.
Найти СЕ.
49. Z ЛСВ «90% СЕ LAB, LA = 30%
ЛВ + ВС = 9.
Найти BE.
50. Z-ЛСВ - 90% С£ 1 АВ,
Z.£CB = 30% В Е = 1.
Найти АЕ.
А
44. Z 3 = 90% Z. 1 - L 4,
Z. CAB ш L 2 + 70%
Найти L 1.
А
С
В
О
45. AC\\BD, L 4 + Z 5 - 146%
Z. 1 + £ 2 = 84%
Найти L 5.
46. ЛС || BD, LT = 136% Z 4 - 102%
Найти L 2.
47. ЛС || Б Д L 1 = 50% Z. 4 - 70%
Найти L 5.
12
С
51. Л£ = ВС, L\ = L 2,
Z. 1 + L 3 = 45%
Найти L В.
52. АВ = ВС, Z. 1 = Z 2, Z. В = 80*
Найти LI + L3.
А
С
53. /.ЛСВ = 90% AD - DB,
L 1 = 50% L АСВ.
Найти L CDB.
С
А
A
54. LACB = 90% L 1 = L 2, Z.3 = 105°
Найти АС: АВ.
А
С
D
С
56. АВ = ВС, АС 1BD, L 1 = L 3,
LAOD- Z 2 = 21%
Найти L В.
I
А
М
С
55. Z. ЛСД = 90% Z. 1 = L 2, АВ = 2ВС. 57. Z 1 = L 2, L 6 = 10% Z. 3 = 100%
Найти L 3.
I
Найти L 5.
58. Z. 1 = L 2, L 3 = 100% Z. 4 = 135%
Найти LABC.
1. Учись составлять геометрические задачи
1.
2.
3.
4.
Определи тему, по которой хочешь составить задачу.
Найди идею, которую будешь использовать при составлении задачи.
Полезно составлять задачи, обратные составленным.
Составляя одну задачу, ищи, как, используя эту идею, составить следующую.
Назовем этот прием нанизыванием на одну идею серии задач.
Примеры составления серии задач по одной идее
59. L 1 = L 2, L 3 - L 4, L 5 = 116%
Найти L 6.
Решение.
(L2 + L3 + L5=
^ 5 = 116-
180Л ^ , . _ , . , _ , . . .
| => (^ 2 Н- /1 3 = 64 )
Z . A + Z S + Z.C= 180'
Z.A+Z.B = 2(Z.2 + A3) = 128" *(LC
= 52').
13
Составление задач от обратного по этапам
А
1 этап.
А
3 этап.
Дан ААВС. BE и AD — биссектрисы.
Введем произвольные обозначения:
L 3 = 36% L 2 = 24е. Отметим их
значения на рисунке (задача 59).
2 этап.
Находим остальные элементы треуголь­
ника и обозначаем их на рисунке.
L 5 = 180е - (36е + 24е) = 120е.
L 6 = 180е - 2 (36° + 24е) = 60е.
Z 7 = 180 е -60 е = 120е.
Составление задач с использованием
найденных соотношений.
59а. Z. 2 : Z 3 = 2 : 3, Z 7 = 120е.
Найти L 5.
596. Ll = L5.
Найти L 6.
59в. L 2 + L 6 = 84е, L 3 + L 6 = 96е.
Найти L 5.
Примеры составления серии задач по данной идее
2H = Z 2, Z. 3 = £ 4,
60. L 1 = L 2, Z. 3 = £ 4, Z 6 = 48е.
/1 6 : Z. 3 = 2 :3, Z 1 = <1 4 - 15е.
Найти L 5.
Доказать, что ДАЯС — прямо­
61. 21 1 = L 2, Z. 3 = L 4, 21 7 = 134е.
угольный.
Найти L 5.
62. L 1 = 21 2, Z 3 = Z. 4, /1Л0Я = 52". 66. Z 1 = L 2, L 3 - Z 4,
21 1 : L 7 = 1:7, Z 7 - 214 = 81".
Найти L 7.
Доказать, что ДАВС — прямо63. Z. 1 = L 2, Z 3 = L 4,
угольный.
Z. 1 : L 3 : Z1 6 = 1: 2 : 3.
67.
Z 1 = L 2, 21 е3 = 21 4,
Найти АЛОЕ.
/
1 5 - / 1 6 = 72 .
64. L 1 = Z. 2, Z 3 = Z. 4,
е
Найти
L 7.
Z. 1 : /.ЛЯС = 1 : 5 , L 7 = 140 .
68.
211
=
Z.2,
/13 = Z.4,
Найти LAOE.
LS + Z6 = 144°.
Найти L 5.
14
Примеры составления серии задач по данной идее
А
Е
69. LACB = 90 е , AD ш BE — биссект­
рисы.
Доказать, что LAKB = 135*.
70. LACB - 90 е , AD и BE — биссект­
рисы. LEKD + LABC = 195'.
Найти LADC.
71. LACB = 90 е , AD и BE — биссект­
рисы. Z.2 + Z.3 = 161е.
Найти LBAC.
72. LACB = 90 е , AD n BE — биссект­
рисы. Z.1: L2 = 1 : 9, АВ = 14.
Найти ВС.
73. Z-ЛСЯ = 90 е , AD я BE — биссект­
рисы. Z.&4C = LBKD.
Доказать, что ДАВС — равнобед­
ренный.
74. АВ = ВС, L\ ш L2,
L5 • 3 Z.6.
Доказать, что Z.1 •
75. АВ = ЯС, Z1 = Z.2,
Z1:Z6 = 2:1.
Найти LS.
76. АВ = ЯС, Z.1 « L2,
Z5 = 120е, DC = 7.
Найти ВС.
77. АВ - ЯС, Z1 - Z2,
Z4 + Z.5 = 155*.
Найти Z.6.
78. АВ = ДС, L\ - L2,
Z5 - Z6 - 46 е .
Найти LS.
Lb = LA,
Z.6.
Z.3 -
L4,
Z3 = Z.4,
Z3 = Z.4,
LI - Z.4,
Составление зависимостей между элементами треугольника
в
2ZA05 + 2(Z1 + Z2) =• 360%
*
ч
'
LA + LB
2ZAOB =-- 360* - (LA +
А
Е
79. AD и BE — биссектрисы.
Найти зависимость между
и LC.
Решение*
LAOB + L\ + Z2 = 180е,
180"- LC
LAOB
2LAOB = 360 е - 180е + LC,
2LAOB - 180е + LC.
Ответ: 2LAOB = 180е + LC.
15
Полученная формула
2LAOB = 180' + LC
(*)
облегчает составление задач по данной
идее.
А
Е
С
80. AD и BE — биссектрисы.
Доказать, что LAOB> 90°.
Решение.
Из формулы (*)
LC = 2LAOB - 180°
(LC > 0) *• (2LAOB - 180° > 0),
откуда следует LAOB > 90'.
81. AD и BE — биссектрисы,
LC: LAOB = 1:2.
Найти. LC.
Решение.
82. AD vi BE — биссектрисы,
LC: LAOB = 1:3.
Найти L4 - L3.
Решение.
Обозначим LC = х, тогда
LAOB = Зх.
Используя формулу (*), получим
6х = 180° + х, откуда
х = 36, LC = 36°, LAOB = 108°,
LA - L3 = (180'- LC) - (180°- ЛЛОЯ) = 72*.
Ответ: 72°.
83. AD и BE — биссектрисы,
LAOB - LC = 58°.
Найти LAOB + LC.
Решение.
2LAOB = 180° + LC,
(*)
LAOB + (LAOB - LC) = 180°,
>
у
Si'
1
откуда LAOB = 122°.
LC = 122° - 58° = 64°,
LAOB + LC= 122° + 64° = 186°.
Ответ: 186°.
Обозначим Z.C = х, тогда
LAOB = 2*.
Используя формулу (*), получим
4х = 180° + х, откуда х = 60'.
Ответ: 60°.
Средняя линия треугольника
86. AM = MB, BK = КС, ВМ = 17,
Я * =20, ^ 0 = 1 1 6 .
Найти МК.
87. АЛ/ = MB, BK = КС,
MB:BK:MK=6:1:S,
P^c = 168.
Найти АС.
84. AM = MB, BK =KC, AB + BC = 8. 88. AM = Л/Я, BK = КС,
LI: L2 = 5 : 2, ^.3 = 30°, МЯ = 4.
KM = 2 .
Найти AC + AB.
Найти Pjtfc85. ЛМ = MB, BK =KC, BK = AM+ 2. 89. AK — медиана, Л/ЛГ || AC,
AB + AC = 40, P ^ J C = 43.
Найти ВС - AB.
Найти АК.
16
А
A
D
C
90. AB - ВС, AD = DC, BE = EC,
DE + AB + BC + EC=6.
Найти DE.
91. AB = 5C, AE = EC, АР = BP,
BZ> 1 ЛС, DP + DE= 2, AC = 0,6.
Найти PABQ-
А
Т
Т
С
94. АЛ/ = MB, ВК - AC, AT АВ,
Л/Я = AT, Л/Г = 16,
^Л/АГ = 60'.
Яаыти PJUQ.
95. АЛ/ = Л/В, ВК = АС, АГ АВ,
Л/А=А7\ /.2 = 60*.
Найти L 1.
96. АЛ/ = Л/В, ВА = КС, КТ АВ,
ВС = 18,
МК:МТ:КТ = 5 : 6 : 7 .
Найти АВ.
С
92. АЛ/ = Л/5, BA = КС, КТ || АВ,
ВС = 12, i V , = 40.
Найти Ршкг.
А
Т
С
93. AM = Л/В, ВА = КС, КТ || ЛЯ,
97. ABCD — четырехугольник.
АЕ = В£, СМ = ВМ, АР = DP,
СК - DA, BZ> J. AC.
Доказать, что РЕМК — прямо­
угольник.
Найти Р МКТ'
Справочный отдел
1. Средняя линия треугольника — отрезок прямой,
соединяющий середины двух сторон.
2. мк = ^ а, Л/А: || АС.
17
99. ДАВС, LACB = 90°, AM = MB,
С
Е
В
АЕ = СЕ, СО = ОМ, СО + АВ = 5.
98. ДАВС, LACB = 90% AC = ВС,
Яайти CAf + £ 0 .
СЕ = BE, AT = ТЕ, АК = КС,
ТМ=Ь.
Найти АС.
Параллелограмм
105. AD + АВ = 11, AD - 2АВ = 2.
Найти AD — АВ.
A
D
100. L 2 - Z. 1 = 24'.
Найти L 1.
101. Z.l + £ 2 + ^ 3 = 250'.
Найти L 2 - Z. 1.
102. Z 1 + Z. 3 = L 2.
Найти L 1.
103. AD = АВ + 3, Рддсо - 34.
Найти AD.
104. AD = ЗАВ,
106. Z. 1 + L 3 = 80°,
Z. 4 + L 2 = 140".
Найти L 1.
107. L ABC - L 1 = 60%
Z 2 = 2Z 5.
Найти L 1 - Z. 5.
PMCD = 72.
Найти AD.
Справочный отдел
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Классификация выпуклых четырехугольников
Z=7
£7
параллелограмм
прямоугольник
выпуклые
ч
.
вогнутые
О
равнобедренная
квадрат
18
ромб
трапеция
С\
прямоугольная
A
D
108. L 2 - L 3 = 70% L 2 - L 1 = 80°
Найти L 1.
109. BD LAB, L\ = 20*.
Найти L 5.
110. BD1AB, Z 3 = 29°.
Найти Z.1 + Z 5 .
111. fiDlAS, AB = BD.
Найти L 1 + L 2 + L ADC.
112. LABC + LA + L 2 = 270*.
Найти LA + LS.
A
116. AC + BD = 20,
AD + BC =
D
16.
Найти PAOD'
И7. ^ ^ = 38, АО =12.
Найти P/JX;118. ЯЯ1АС, АВ = 2Я0.
Яайти ZA4C + LADC.
119. Zl + ZABC= 180е,
2AB + AD= 12.
Найти Рыв*
120. / ^ д = ^лояНайти LAOD.
A
E
D
113. AE J. AD, ZABC = 150%
P
ABCD - 24, ЯЕ - 2.
Найти ВС.
В
С
114. Рдвсй "" * ACD "" 8» ^ ^ "" 2.
121. Z 1 = 29е, L 2 >
Найти L 4.
122. 2Z. 3 = Z. 1 + Z. 2.
Найти L 3.
123. Z. 4 : Z. 2 : Z. 1 = 5:18 :13.
Доказать, что £i) I A5.
124. Р^сп = 70, Рмп = 60.
Найти BD.
125. PABCD "" РABD ~ 1"» ^**
Найти АВ - ЯС.
=
1°«
Доказать, что AABD — равнобед­
ренный.
Справочный отдел
параллелограмм
Противоположные стороны попарно параллельны.
Диагонали при пересечении делятся пополам.
Сумма углов, еприлежащих к одной стороне,
равны 180 .
19
2. Учись составлять геометрические задачи
Продолжаем использовать прием нанизывания на одну идею серии задач.
Параллелограмм
129. L 1 = L 2, L 3 = L 4, AD = 20,
BE =10, DC + BC = 34.
Найти ED.
А
Е
D
126. Z. 1 = Z. 2, Z. 3 = Z. 4.
Доказать, что Z. 5 = 90*.
Решение.
Z. В + Z. С = 180%
2 (Z. 4 + L 1) = 180%
откуда Z. 4 + Z. 1 = 90%
Z. 5 = 180* - (Z. 4 + £ 1) =
= 180° - 90* = 90\
127. Z. 1 = Z. 2, Z. 3 = Z. 4,
Z. 5 + L 3 = 150°, ВС = 12.
Найти BE.
Решение.
Если Z.1 = Z . 2 H Z . 3 = Z . 4 , то
Z.5 = 90' (задача 126).
L 5 + L 3 = 150"\
_
ч _
Z. 5 = 90'
J => (Z. 3 - Z. 4 - 60
Z.1 - 90' - Z.4; Z.1 = 30\
128. Z. 1 = Z. 2, Z. 3 = Z. 4,
Z. 3 - Z. 2 = 20°.
Найти LA.
Решение.
Если Z.1 = Z . 2 H Z . 3 = Z . 4 , то
Z. 5 = 90°.
fZ4-Z.l=20\L 4 + Z. 1 = 90% ^ 4 1 1 U >'
LA= 1 8 0 ' - 110° = 70'.
20
Решение.
£>С + ЯС = 34, ВС = AD = 20
по условию.
DC = АВ = 14. Z. 4 = L 3 = Z.££A.
6АВЕ — равнобедренный.
АЕ = АВ = 14.
Тогда Е£> = ЛГ> - АЕ = 20 - 14 = 6.
Ответ; 6.
130. Z. 1 = Z. 2, Z. 3 = Z. 4, i4S = 6,
Z.,4:Z.5 = 2:3.
Решение.
Если Z. 1 = L 2 и L 3 = Z. 4, то
Z. 5 = 90° (задача 126). По условию
L А: Z. 5 = 2 : 3 . Обозначим
£ Л = 2х, L 5 = Зл. 90е = Зх,
откуда х = 30°, L А = 60е.
Z. 3 = /1 4 = L ВЕА = 60*.
[АВ = BE = 6,
] Z. 1 = 30*,
* (ЯС = 2ВЕ = 12),
Z. 5 = 90'
"ABCD ~
36.
Ответ: 36.
131. Z. 1 = Z. 2, Z. 3 = Z. 4.
Доказать, что Z.4 = 2LCED.
132. Z. 1 = Z. 2, Z. 3 = Z. 4,
Z. 2: Z. 3 = 1: 2, AD = 14.
Найти PJME.
133. Z. 1 = Z. 2, Z 3 = Z. 4, AB = 5,
Z.AEA - L 1 = Z. 2.
Найти ED.
A
D
134. Z. 1 = L 2, BP = 7, PC = 3.
Найти РABCD'
135. Z. 1 = Z. 2, Ai» = 15, DC = 9.
Найти РДВР-
136. Z. 1 = Z 2, J ^ = 52,
PC = AZ> - 8.
Найти AD.
137. Z 1 = Z. 2, Р^сд = 20, AZ> = ЗРС.
Найти AD.
138. Z. 1 = Z. 2, AD = AB + 2,
AB = PC- 1.
Найти PABCD.
139. Z.1 = Z.2, AP = AS + 3,
AD = Ai>, P„BCD = 26.
Найти PAPCD'
Прямоугольник
A
140. Рддд — P^oi» = *•
Найти АВ.
141. Р л о д + P B 0 C - 64, AD + 5C = 24.
Найти AC.
A
D
142. Z. 1 = 57°.
Найти Z.2.
143. Доказать, что Z. 1 + Z. 3 = 90'.
zJ
/
прямоугольник
\
Z7
144. Z. 2 + Z. 3 = 63е.
Найти L 1.
145. Z. 4 = 4Z. 2.
Найти L 1.
146. Z. 3 : Z 4 = 1 : 4.
Доказать, что ДАОВ — равносто­
ронний.
147. Z. 4 - Z. 3 = 90°, AC = 10.
Найти PCOD148. Z. 1 + Z. 2 = 120°, PA0B = 12.
Найти АВ.
149. Z. 4 = 3Z. 3.
Найти L 1.
Справочный отдел
Прямоугольник — параллелограмм, у которого есть
прямой угол.
Диагонали прямоугольника равны.
21
A
D
150. L 1 : L 3 = 7 : 2.
Найти L 4.
151. ЛС: CD = 2 : 1 .
Доказать, что Z 1 = Z 2.
в
м
с
A
D
152. AS « ЯМ.
Найти L 1.
153. A0 = BM, L\+ LD= 225',
AD = 1 0 .
Найти AB + MC.
154. Z. 3 = L 2, BM = 3, MC - 7.
Найти PABCD-
A
D
155. Рлод = 18, AC + BD = 22.
Найти ВС.
156. Р л с д = 49, Р ^ с д - 62.
Найти АО.
СП
/
\
ромб
22
A
D
157. P COiJ « 30, AC + BD = 40.
Найти LAOD.
A
D
158. АЛ/ = MB, L 1 + Z. 2 = 198е
Найти L 3.
A
M
D
159. ОМ 1 AD, ОМ =7, AD = 17.
Найти PABCD'
160. ОМ ± AD, />0A/Z, - 18, PMCD = 48.
Найти АС.
161. ОМ J. AD, OK ± АВ, ? ^ с / ) = 100.
Найти ОМ + ОК.
162. ОМ J. AD, ОК1АВ,
ОЯ:ОМ = | : | ч AD - 24.
Найти
PABCD-
Справочный отдел
Ромб — параллелограмм, у которого все стороны
равны.
Диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы
пополам.
Ромб
A
A
D
163. PJUCD = <>> BD + AC = 28.
Найти РА0В.
!64- Рлов = 36. BD + AC = 42.
Найти AD.
165. PAOD = 14, Р ^ с о = 20.
Найти BD.
166. Z.ADC = 7L 1.
Найти LBAD.
167. Р ^ с л - BD = ЗАО.
Найти LBAD.
168. Рдяс ~ Р^о/) ~ 6.
Найти АВ + АО- DO.
4
A
О
BK±DC,
PABCD = 4 (BE +
BK).
Найти LKBE.
A
D
169. Z.5AD - 28е.
Найти L 3.
170. Доказать, что Z. 1 + L 3 » Z. 4.
В
E
173. BE LAD,
С
E
D
174. BE 1 AD, L 1 • 57*.
Найти LABC.
175. AE ± АО, <LADC - 2L 1.
Доказать, что AABD — равносто­
ронний.
176. AE J. AD, Z. 3 = 3Z. 1.
Доказать, что AAOD — равнобед­
ренный.
177. BE IAD, AB = BD.
Найти L 1.
178. B£ 1 AD, £2 = 60°.
Найти L 1.
179. .B£1AD, £ 3 = 123*.
Найти LADC.
В
А
Е
D
171. BE 1 AD, AC = 2ВЕ, DE = 2.
Найти PABCD172. Б £ 1 AD, Z.BKO + Z.ABC = 180°.
Найти LBKA.
A
M
180. BM1AD,
PABCD ~CEm
f_
С
D
CE:BE=\:3,
*$> BD =
4£C.
Найти MD.
23
Е
A
M
D
181. ВМ 1 AD, СЕ :ВЕ=\
ВМ = 3,5 СЕ.
Найти LABD.
: 6,
LABC = i LAEM.
4
Найти LABC.
Квадрат
A
D
183. L 1 = 72е.
Найти L 2.
184. Доказать, что L 1 - L 2 = 45е
185. AM = 25M.
Найти L 2.
186. г! 2 : /! 1 = 1 : 4, ЛЛ/ = 3.
Найти ВМ.
187. Z. 1: Z.2 — 11:2.
Найти L 3.
A
D
188. ЯМ = 2МГ, /.МЛ* = 62е.
Найти L 4.
189. М и К — точки, принадлежащие
сторонам ВС и CD. L 1 = 75е,
Z 2 = 63°.
tfaumw ZMAK.
190. L 3 = 4Z 5, Z 7 = 7Z 6.
Найти L 2.
191. М ж К — точки, принадлежащие
сторонам 5С и CD.
Z.1:Z.5 = 2 : 1 , Z 3 = 21 е .
Найти L 2.
Справочный отдел
Трапеция — четырехугольник, у которого две
противоположные стороны параллельны, а две
другие не параллельны.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне,
равна 180°.
равнобедренная
24
прямоугольная
Трапеция
A
D
A
D
198. ЛВ - СД L 1 « Z. 2, AD = 18,
192. ВМ = MA, СК = АД
i4B= 14.
МК = 5, ВС = 2.
Найти длину средней линии трапе­
Найти AD.
ции.
193. ВМ = МА, CK = KD, AD = ЛВС,
199. АВ - ВС = CD, L 1 + LD = 90е.
МК = 10.
Найти LB.
Найти ВС.
194. ВМ = MA, CK = KD,
BC:AD = 1 : 3 , МАГ - 16.
Найти AD.
195. BAf = MA, CK = KD,
2MK-AD= 1.
Найти ВС.
М
196. ДА/ = MA, CK = АД
МА:АД = 5 : 8 , AD - ВС = 12.
200. ЛВ = СД В £ 1 АД ВЛ/ - МА,
Найти МК.
CK-KD.
Доказать, что ZM: = МК.
В
С
201. АВ - СД BE LAD, ВМ = МА,
CK = A», D£ = 6AE.
Найти МК-.ВС.
A M
D
197. АВ = CD, ВМ 1 AD, L 1 = 45%
AD + ВС = 24, ВМ = 5.
Найти ВС.
Справочный отдел
L
трапеция
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне,
равна 180е.
Средняя линия равна полусумме оснований.
В равнобедренной трапеции углы при основании
равны.
Если углы при основании равны, то трапеция
равнобедренная.
25
A
D
202. АВ = CD, L\= 60% AD = 19,
ВС - 13.
Найти PABCD203. АВ = CD, L 1 = 60% AD = 10,
PABCD =
27.
Найти ВС.
204. АВ = CD, LB = 120% AD = a,
ВС = Ъ.
Доказать, что P^SCD =
3a-6.
205. AB = CD, AS - ВС = 4,
LC = 2Z. 1, P ^ c o = 47.
Найти CD.
206. AB = CD, Z.D: LB = 1: 2,
PABCD ~ 13, AB = 3.
Найти ВС.
207. ZA: LB : Z C : LD = 2 : 4 : 5 : 1 ,
AB - 3, AD = 16.
Найти ВС.
208. AB = CD, BE
Найти L 5.
209. AS = CD, AD-BC
LBCD = 2LBAD.
Найти АВ.
= 24,
A
E
210. AB = CD, AC J. BD, BE = 2,
BE J. AD.
Найти AD + ВС.
211. АВ = СД &E1AD,
£C = 2BE - AD.
Найти LAOD.
212. AB = CD, BE 1 AD,
ZABO + LBAO = 90%
AD = 8 - ВС.
Найти BE + DE.
3. Учись составлять геометрические задачи
Используем прием нанизывания на одну идею серии задач.
Трапеция
215. АВ « CD, BE I AD, СЕ || АВ,
АВ ш 16, LA = 60*.
Найти. МК.
Решение.
LABE - 30°. Из ААВЕ имеем
А Е
D
213. АВ = CD, BE X AD, СЕ || АВ,
ВС = 13.
Найти МК — среднюю линию тра­
пеции.
АЕ = Щ- = 8. ЛЯ = ЗЛЕ = 24,
5С = Л£:=8 (см. задачу 213).
AD + BC
МК
16.
Ответ. 16.
216. АВ = CD, B£ I ЛД ЛЕ = ВС,
«AS = 9, Рдвсв = 38.
Найти AD.
В 13 С
Решение.
Решение.
АЕ= 13 (АВСЕ — параллелограмм).
EN= 13 {EBCN — прямоугольник).
Л7?= 13 (NBCD — параллелограмм).
Л/? = Л£ + Е # + #£> = 39.
AD + BC
39+13
21.
МК =
2
2
214. ЛЯ = CD, BE J. ЛД СЕ \\ АВ,
МК ш 20.
Найти ВС.
РешеНИС
Обозначим ЯС = дс. Тогда AD = Зх (см.
задачу 213).
Так как МК = AD + BC
то
20 = 2JC, X - 10.
Отвел 10.
АЕ = ДС. Обозначим ВС = х. Тогда
Л/> = Зх (см. задачу 213).
По условию AD + ВС + 2ЛВ = 38,
3* + х + 18 = 38,
откуда х = 5, Л!) « Зх = 15.
Ответ: 15.
217. АВ = СД 5 £ 1 Л Д АЕ = ВС = 5,
ЛВ = А О - 7 .
tfawmw P^CZ).
Решение.
АЕ = ВС = 5, AD = ЗЛЕ = 15
(см. задачу 213).
А£ = 15 - 7 = 8.
PABCD = AD + BC + 2AB =
= 15 + 5 + 1 6 = 36.
Отвел 36.
218. АВ = СД BE I AD, СЕ \\ АВ,
АЕ = 6, АВ + Л/) = 25.
Найти PABCDti
в с
в с
А Е
D
219. AB = CD, BE JL AD, CE \\ AB,
AD = 54. AB : AE = 7 : 6.
Найти Рддсо220. AB = CD, BE 1 AD, CE \\ AB,
ВС =14, AD = AB + 26.
Найти AB.
221. AB = СД 5 £ 1 AD, C£ || AB,
A E
D
222. AB = CD, BE 1 AD, CE || AB,
PABCD ~ PAECD = 1 1 .
Найти AD.
223. AB = CD, BE JL AD, CE || AB,
BE = 3, LC- LA = 90'.
Найти AD + ВС.
ВС — 1, P^ECD — 32.
Найти РABCD-
Площади фигур
Прямоугольник
224. S^cD = 48, CD = 3.
Найти AD.
225. Рдвсо = 40, AD = 3CD.
Найти SJUCD.
226. S ^ B = 32, AD = 2AB.
Найти PABCD-
A
D
227. Доказать, что 5Л0£> = S^oc228. AD = 20, SDQC = 60.
Найти CD.
229. AD = 8, Scoz> = 18.
Найти CD.
230. SHCi? = 28, AB = AD + 1.
Справочный отдел
Площадь прямоугольника равна
S = a- h.
Площадь квадрата равна S = а2 или S = -^d*
(d — диагональ).
28
в
t
м
с
^ 1
231. Z 1 = Z 2, BM = 5, Л/С = 4.
Яайты S^c^
236. Z 1 == Z. 2, AD: MC = 5 : 2,
232. Z 1 = Z 2, AB = Л/С, Р ^ д = 48.
Яяи/ли 5 ^ ^
237. Z 1 = Z 2, S ^ = 162,
PABCD
80.
™ABCD = 8®'
233. Z 1 = Z 2, ЛВ: Л/С = 1:2,
Л«а> = 40.
Яаити Sua,.
234. Z 1: Z 3 = 1: 3, A/C - AB + 7,
ЛВСО
=
Найти AD.
|3
M
С
= 44.
Найти SABCD.
235. Z 1 = Z 2, A/C = AB + 7,
AMCD
PABM ~ 24.
Найти AD.
A
D
238. Z 3 : Z 1 = 1: 3, MC = AB + BM,
$лвм — 32.
Найти SABCDКвадрат
239. Рлясл-40.
Найти SABCD24Q
-
SABCD -
64.
Найти РABCD'
241. BE = EC.
Найти S^CD : S^ £ .
242. BE = EC.
Найти SABE:SAECD.
29
Параллелограмм
С
243. LA - 30% АВ : ВС = 3 : 7,
*ABCD
=
120.
Найти SABCD-
Ромб
A
M
D
244. ВМ 1 АД 5 М С = 10, ВМ = 8.
Найти РABCD*
245. 5доС = 96, ВМ LAD, AD «20.
Найти ВМ.
A
D
246. АС = 20, BD - 10.
Яайти Я^сд.
247. LBAD = 30', P ^ C i , = 24.
Найти SABCD"
248. Доказать, что 5 Л 0 Д = <SOOC.
24". "DQC ~ 32.
Треугольник
A
252. &D 1 АС, АС = 27,
BD: AD: DC = 3 : 2 : 7.
Найти SABC253. В£> 1 ЛС, В1> = 2, АС = 4DC,
AD = 3.
Найти S^BQ.
254. В£> 1 AC, В£> = 9, DC = AD + 4,
£ Л : Z C : Z.ABC = 9 :10 :17.
Найти SjlBC.
D
250. BD I AC, SMC = 20, BD = 4.
Найти АС.
251. В£> J. AC, SMC - 16,
AC :BD = 2 : 1 .
Найти BD.
Справочный отдел
S = a-A
^
S = а • А или S = -fydx * d2
(dx и d2 — диагонали ромба).
S = ^ Ъ • А или 5 = Vp(p - а)(р - Ь)(р - с), р =
30
а + й+ с
A
A
D
255. BD X AC, CM XAB.
Доказать, что AC:AB- MC: BD.
256. BD X AC, CM X AB,
BD:MC = 5 :8, AB = 40.
Найти AC.
A
A
E
С
258. АЕ = ЯС, LABC = 90°, 3 £ = 8.
Найти AC.
D E
С
259. AE = £C, LABC = 90% BD X AC,
LBEA = 30% ЛС = 16.
Найти SABQ.
260. AE = £C, Z-ЛЯС = 90% BD X ЛС,
S^c - 72, ДЕ = 12.
Найти LDBE.
E
257. AE = EC.
Найти SMC : $ВЕС
Трапеция
A
D
261. AD || ВС, ВА IAD, ВС = 2,
AD = 8, Z.D=45%
Найти SJ^QQ.
262. AD || ЯС, ЯА X AD,
AD:£C = 5 : 1 , ZD = 45%
A
D
263. AD || ЯС, AB = CD, AD = 17,
Z.D = 45% ВС = 9.
Найти S^CD-
$ABCD ~ 48.
Найти AD.
Справочный отдел
трапеция
EX
равнобедренная
s = 4±-h
прямоугольная
31
Повторение.
264. Углы АОС и СОВ смежные,
OD — биссектриса угла АОС,
ОЕ — биссектриса угла СОВ.
Найти угол DOC, если
LAPP + LDOE + LCOA 3^
LDOC + LCOE + LEOB
2'
дачи разные
пересечения медианы BD и биссек­
трисы АЕ.
Найти угол ЛВС, если
LAKD - Z5CM = 75°.
268. BD — высота треугольника ABC,
АВ = ВС, AB-AD = 2,
АС= 1,2АВ.
Найти периметр треугольника
ABC.
LAMT + LMTD - ^ГЛ/Я = 30е.
272. BD — медиана равнобедренного
треугольника ЛВС, в котором
АВ = JBC. # — точка пересечения
265. О — точка пересечения прямых
биссектрис BD и АЕ. AT JL ЯС,
АВ и CD.
М — точка пересечения прямых
Найти угол AOD, если
BD и AT.
LDOB - АСОВ = 80°.
Найти угол AMD, если
266. BD — высота равнобедренного тре­
21Л/0? = 50е.
угольника ABC, АВ = ВС. О — точка
пересечения высот BD и АК,
273. BD — медиана равнобедренного
LAOD = 60°.
треугольника ABC, в котором
Доказать, что ЬАВС — равносто­
АВ = ВС. DM и DE — биссектрисы
ронний.
углов ADB и CDB.
Найти угол BMD, если
267. Вершины В и D двух прямоуголь­
ных треугольников ABC и ADC ле­
Z4£C + £££>М = 120е.
жат по разные стороны от их общей
гипотенузы АС.
274. М и Г — точки пересечения двух
е
параллельных прямых АВ и CD
ABAC + LACD = 90 , ВС = 20.
третьей прямой МТ.
Найти CD.
Найти LAMT, если
269. АЕ — биссектриса треугольника
ABC. АВ = ВС, LCAE = 10°.
Найти LABC.
270. К — точка пересечения биссектрис
АЕ и CD треугольника ABC,
LABC = 30е.
Найти угол АКС.
271. BD — медиана треугольника
ABC, в котором AS = ВС. К— точка
32
275. Через вершину В треугольника
ABC проведена прямая МТ || АС.
Найти угол ABC, если
LMBA + Z£CM = 100°.
276. Через вершину В равнобедренно­
го треугольника ABC, АВ = ВС, про­
ведена прямая МТ || АС.
Найти угол ВАС, если
ZA/A4 + ZCB71 = 80е.
277. Через вершину С прямоугольного
треугольника ABC, LACB = 90е,
проведена прямая МТ || АВ.
Яайти ZMCA + LCBA.
278. BD — биссектриса треугольника
ABC.
Найти LBAC, если
LBCD = 10е, LBDA = 80е.
279. В треугольнике ABC
LA= LB + LC.
Определить угол А.
280. Точка Е расположена на продол­
жении стороны АС треугольника
ABC.
Во сколько раз угол ВАС больше
угла ABC, если
LBCE = 2 (ABAC - LABC)?
281. Точка Е расположена на продол­
жении стороны АС равнобедренного
треугольника ABC, AB = ВС.
Найти LABC, если
LBCE = 2 LBAE.
282. Точка -Б расположена на продол­
жении гипотенузы АВ прямоуголь­
ного треугольника ABC.
LACB = 90°.
Найти LCAE, если
LCBE = 3LCAE.
283. АйГ — биссектриса прямоугольного
треугольника ABC, LACB = 90°.
Найти LKAB, если
LCAB = ZC£A + 70°.
284. СК — биссектриса прямоугольного
треугольника ABC, LACB = 90е.
Найти СВ : АВ, если LAKC = 105е.
285. CD — высота равнобедренного тре­
угольника ABC, АС = СВ,
LACB = 90е, DE JL СВ, DE = 6.
Найти АС.
286. CD — высота прямоугольного тре­
угольника ABC, LACB = 90е,
LBAC = 30е.
Найти BD, если АВ + ВС = 9.
287. М — точка пересечения биссектрис
AD и BE острых углов прямоуголь­
ного треугольника ABC,
LACB = 90е.
Найти LABC, если
LEMD + LABC = 195э.
288. CD — высота прямоугольного тре­
угольника ABC, LACB = 90°.
Найти AD, если
LDCB = 30е, DB = 1.
289. О — точка пересечения диагоналей
АС и BD параллелограмма ABCD
(AOBD).
Найти PABCD* е с л и ^2) = 3 и
Z 0 4 D : ZZ)£C: LAOB = 2 : 7 : 9 .
290. -8Z) — меньшая диагональ парал­
лелограмма ABCD.
Найти PABQ, зная, что
LADB + LABC =180° и
2АВ + Л£>= 12.
291. О — точка пересечения диагоналей
АС и BD параллелограмма ABCD
(AOBD).
Найти АС - BD, если
Р — Р =12.
х
ЛВС
** ЛВ1)
Х
*•
292. АЕ — биссектриса, проведенная
из вершины острого угла паралле­
лограмма ABCD.
Найти PABCD, зная, что
В£ = 4, ЕС= 1.
293. На стороне AD параллелограмма
ABCD построен равный ему парал­
лелограмм AMED.
Найти LBAD, если
LCDE = LABC.
294. АЕ — биссектриса, проведенная
из вершины острого угла паралле­
лограмма ABCD.
Докажите, что
/> = ABE + 2EC.
33
295. Биссектрисы углов ABC и BCD
параллелограмма ABCD пересекают­
ся в точке Е, принадлежащей осно­
ванию параллелограмма AD.
Найти LBAE, если
LABE: LECD = 5 : 4 .
296. Из вершины тупого угла В ром­
ба ABCD проведены BE ± AD и
BK1DC.
Докажите, что ААВЕ = АВКС.
297. AD — общая сторона ромба
ABCD и равнобедренного прямо­
угольного треугольника ADE, лежа­
щих по разные стороны от AD.
AD = DE, LADE = 90е. Точки В и
Е соединены.
Найти LBAE, если
LDBE = ABED.
298. Л/) — общая сторона двух равных
ромбов ABCD и ADEM, лежащих
по разные стороны от AD.
Найти АСАМ, если
LBAM + Z.A2JC *= 240е.
299. AD — общая сторона двух равных
ромбов ABCD и ADEM, лежащих
по разные стороны от AD. О и
Ох — точки пересечения их диаго­
налей.
Найти ACDE, если AODOx = 100е.
300. AD — общая сторона двух разных
ромбов ABCD и ADEM, лежащих
по разные стороны от AD. О и
Ох — точки пересечения их диаго­
налей.
Найти AEDC, если АОАОх - 110е.
301. AD — общая сторона ромба
ABCD и прямоугольного треуголь­
ника АДЕ, лежащих по разные сто­
роны от AD. LDAE = 90е.
Найти LAED + ABAD, зная, что
ED || АВ.
34
302. £2) — диагональ прямоугольника
ABCD.
Найти CD, если
LBDA = 30е, АВ + BD = 18.
303. О — точка пересечения диагоналей
АС и BD прямоугольника ABCD.
Найти AD, если
р
вос = !6, АС + #Z> = 20.
304. ABCD — прямоугольник. АЕ —
биссектриса угла BAD.
BE = 3, ЕС = 4.
305. Е — точка, расположенная на сто­
роне ВС прямоугольника ABCD так,
что АВ = 4СЕ и
LAEC + ZADC = 225е.
Найти PABCD
:АВ.
306. Выразить площадь квадрата через
его периметр.
307. Е — точка, расположенная на сто­
роне ВС квадрата ABCD так, что
DE = 2ЕС.
Найти LEDB.
308. AD — общая сторона квадрата
ABCD и равностороннего треуголь­
ника ADA/, лежащих по разные сто­
роны от AD. О — точка пересечения
диагоналей квадрата. Е — точка пе­
ресечения отрезков ОМ и AD.
Найти ОЕ, если P^ CI) + PADM= 14.
309. AD — общая сторона квадрата
ABCD и ромба ADET, лежащих по
разные стороны от AD. О — точка
пересечения диагоналей квадрата,
ОМ LAD.
Найти ADAE, если DT = ЮМ.
310. DE — средняя линия треугольника
ABC (DE || АО.
Найти ВС, если
ABED = ABAC, AD = 8.
Найти отношение площади треу­
гольника ABE к площади трапеции
ABCD, если известно, что
AD » 4BC.
319. Выразить площадь равнобедренно­
го прямоугольного треугольника че­
рез высоту, проведенную на гипо­
тенузу.
320. Выразить площадь равнобедренно­
го прямоугольного треугольника че­
рез его гипотенузу.
321. Выразить площадь равнобедренно­
го прямоугольного треугольника че­
рез его катет.
314. МТ — средняя линия трапеции 322. Точки М, Т и К являются сере­
динами сторон прямоугольного тре­
ABCD, AD И ВС, ВС: AD= 1:3,
угольника ABC.
МГ=16.
Найти AD и ВС.
LACB « 90% АС = 14, ВС = 18.
315. BE — высота равнобедренной тра­
Найти площадь треугольника
пеции ABCD, AB = CD, AD \\ ВС.
МТК.
Найти BE, если
323. Точки М, Т VL К являются сере­
е
динами соответствующих сторон
AD = 8, ВС = 2, LABC = 135 .
АВ, ВС и АС треугольника ABC.
316. ABCD — трапеция, в которой
BD ± АС, АС - 24, BD = 16.
АВ = CD, AD || ВС, АС делит угол
BAD пополам.
Найти площадь треугольника
Найти среднюю линию трапеции,
МТК.
если AD = 10, AS = 4.
324. Диагонали АС и BD равнобедрен­
ной трапеции ABCD взаимно пер­
317. A0GD — трапеция, АВ = СД
пендикулярны. Точки М, Т, К и
AD || ВС, AD делит угол ABC по­
Р
являются серединами соответст­
полам. А/Г — средняя линия тра­
вующих
сторон АВ, ВС, CD и AD.
пеции.
АС
»
10.
Доказать, что МТ = (ВС + АВ): 2.
Найти площадь четырехугольника
318. В равнобедренной трапеции
МТКР.
ABCD, в которой AD || ВС, прове­
дена высота BE.
311. BD — высота треугольника ABC
(АВ = ВС), DE || АВ, DP \\ ВС.
Найти РАВС* е с л и
DP + DE = 2, AC = 0,6.
312. ABCD — четырехугольник.
AE = ЕВ, ВМ = MC, СК = KD,
DP = PA.
Докажите, что четырехугольник
ЕМКР — параллелограмм.
313. ABCD — четырехугольник, в ко­
тором диагонали равны и взаимно
перпендикулярны. AE = BE,
ВМ = МС, СТ = TD, DP = PA.
Найти LMPT.
35
Вопросы для повторения
1. Наука геометрия:
планиметрия,
стереометрия.
2. Построение геометрии:
неопределяемые понятия,
определения,
аксиомы,
теоремы.
3. Прямая, луч, отрезок, ломаная.
4. Угол:
развернутый,
прямой,
острый,
тупой.
5. Углы:
смежные,
соответственные,
накрест лежащие,
односторонние,
с соответственно параллельными
сторонами,
со взаимно перпендикулярными
сторонами.
6. Перпендикуляр и наклонная.
7. Параллельные прямые:
определение,
аксиома параллельности,
признаки параллельности.
8. Виды треугольников.
9. Основные линии в треугольнике: вы­
сота, медиана, биссектриса.
10. Свойства равнобедренного треуголь­
ника.
11. Средняя линия треугольника.
36
12. Зависимость между сторонами и уг­
лами треугольника.
13. Признаки равенства треугольников.
14. Сумма углов в треугольнике.
15. Внешний угол треугольника.
16. Осевая симметрия фигур.
17. Центральная симметрия фигур.
18. Четырехугольник.
19. Параллелограмм.
20. Свойства параллелограмма.
21. Признаки параллелограмма.
22. Прямоугольник.
23. Свойства прямоугольника.
24. Ромб.
25. Свойства ромба.
26. Квадрат.
27. Свойства квадрата.
28. Трапеция.
29. Средняя линии трапеции.
30. Равновеликие фигуры.
31. Площадь прямоугольника.
32. Площадь параллелограмма.
33. Площадь треугольника.
34. Площадь ромба.
35. Площадь квадрата.
36. Площадь трапеции.
Раздел 2
Биссектриса
A
D
В
325. BD — биссектриса. АВ = 2,
ЯС = 8, А£> = 1.
Найти АС.
326. Я£> — биссектриса. АВ = 4,
5 С = 12, АС = 20.
Найти AD, £Ю.
327. AD — биссектриса.
АВ + ЯС = 12, AD = 2, £>С = 8.
Найти АВ.
328. ЯЯ — биссектриса. £С - AS = 3,
DC = 8, Л/) = 6.
Найти ВС.
А
С
331. АБ — биссектриса. АВ = ЯС,
ЛЯ = 5, АС = 6.
Найти BE, СЕ.
332. АБ — биссектриса. АВ = ЯС,
АЯ • ЕС = 4.
Найти АС • ЯБ.
329. 2Ш — биссектриса.
Доказать, что - « ^
>ЯСЯ
ЛЯ
ВС
A
330. 2Ф — биссектриса. AD = 7,
Найти АВ.
D
С
333. АВ = ЯС, Я£> JL АС, АБ — биссек­
триса. BE:ED= 17 : 15, АС = 60.
Найти Рдвс334. АЯ = ЯС, ЯД 1 АС, АБ — биссек­
триса. BE:ED = 1 3 : 1 2 , P ^ c = 250.
Найти АВ.
Справочный отдел
CD — биссектриса.
С
А//, СМ — медианы.
ом = |см,
ос = |см.
37
Медиана
A
D
A
С
335. СЕ ж BE, AD = DC, AE = 9,
BD - 12.
Найти АО + DO.
336. СЕ = BE,AD = DC, OE + OD = 2.
Найти AE + BD.
337. СЕ = BE, AD = DC, AE=6,
BD = 9, AC = 12.
Найти PAOD338. С£ = Я£, AD = Z>C, AE = 8,
5Z> = 10, AB = 9.
Найти P^oED339. СЕ = ДЕ, AD = i)C, Р д 0 £ О = 31.
Найти Рдлод.
340. CE = BE, AD = DC, LABC = 90°,
02>-l.
Яаыти 5 0 + AC.
341. О — точка пересечения медиан.
Доказать, что SA0B = ^ S^c342. О — точка пересечения медиан.
Доказать, что 5 А 0 В = ^ S ^ .
343. О — точка пересечения медиан.
Доказать, что SA0C = SBOC.
344. О — точка пересечения медиан.
Найти SA0D: S^Q.
345. С? — точка пересечения медиан.
Найти SA0D: 5 ^ , .
D
С
346. О — точка пересечения медиан.
Найти SABO : S^.
347. О — точка пересечения медиан.
Найти SDOEC : S^.
A
D
В
348. LACB = 90% AD = DB, CD = 2.
Найти АВ.
A
D
В
349. ZAC5 = 90% АС = СВ, О — точка
2
пересечения медиан, СО - -х.
Найти SJMQ.
350. LACB = 90°, AC = СВ, О — точка
пересечения медиан, OD = 2.
Найти SA0D.
Справочный отдел
В
?i
С
А,
ДА5С v) AA^Ci
38
Два треугольника называются по­
добными, если углы одного треуголь­
ника соответственно равны углам дру­
гого.
Подобные треугольники
с
А
351. МК || АС, МК = 3,
АС = 15, КС = 4.
Найти ВС.
352. МК || AC, AM = 8,
Л/* = 5, ЛС = 15.
Найти АВ.
353. М # || АС, ВК = 2, КС = 6,
ЛС = 12.
Найти МК.
354. М/С || АС, Ж = ЗС/С.
Найти МК-.АС.
355. М * || АС, Я/С = 1, Ршк = 2,
Лию =12Найти ВС.
356. М/С || АС, 5 МВК = 2, 5-4BC = 32.
Найти ЯК
ВС
357. М/С || AC, SMBK = 6, S^BC = 54,
мл: = 4.
Найти АС.
358. М/С || AC, 5MBJC = 1,
ВС + ВК = 5.
Найти КС.
<S^JI/XC
=
8»
359. М/С || AC, SMBK = 5,
вк= 1, ск=г.
Найти Sf^Q.
360. МК || AC, AM = MB.
Найти &мвк'-$тксВ«
361. LA = LAX, ^.Я = LBX, PABCx = 45,
АВ:ЯС:АС = 4 : 5 : 6 .
Найти АХСХ.
362. ZA = ZA t , Z.£ = Z 5 p
AS: ВС = 3 : 5 , Р ^ г с = 36,
AiQ = 12.
Найти А1В1.
363. Z.A = LAX, LB = LBX, Р^с = 48,
АВ : ВС: AC = 7: 8 :9,
Найти
РАВС-
Справочный отдел
t j ^ C w ^ ^ C j , если:
В,
i) два угла одного равны двум углам другого;
2) две стороны одного пропорциональны двум
сторонам другого и углы, заключенные между
этими сторонами, равны;
3) три стороны одного пропорциональны трем
сторонам другого.
39
Подобные треугольники
А
С
В
С М
В
364. LACB = 90°, МК1 АВ.
Доказать, что МК • АВ = СВ • AM. 368. 2-АСВ = 90°, СЯ = 4, CD£M —
квадрат, АС = 3.
365. LACB = 90°, МК ± АВ,
Найти
СМ.
СВ = МК + 10, А#: АС = 1 : 3.
369.
ZAC5
= 90°, AD = /Ш + 4,
Найти СВ.
СОЯМ — квадрат, СМ: AD = 3 : 7.
Найти АС.
A
D
С
366. МК || AC, 5Z) 1 АС, БГ = 3,
Г2> = 4, * W = 1 8 .
Найти SJMQ.
367. МК || AC, BD 1 АС,
МК: АС = 2 : 5 .
Найти SAMKC: S^gc.
370. АМКТ —параллелограмм,
ТК:МК=6:5,
АВ = 20, АС = 25.
Найти AT.
Справочный отдел
ДАЯС со ДАДС,
Теоремы
1. В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны сходст­
венным высотам,
2. Периметры подобных треугольников относятся как сходственные стороны.
3. Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных
сторон.
40
A
M D
Е
С
371. МКТЕ — квадрат, BD 1 АС,
АС = 6, BD = 2.
Найти ME.
372. МКТЕ — квадрат, BD 1 ЛС,
BF =2, АС = МЕ+ 12,5.
Найти Р МКТЕ'
373. МКТЕ — прямоугольник,
В£> 1 АС, МК:МЕ = 5: 9,
ЛС = 48, BD = 16.
Найти КМ и М£.
A
D
374. ABCD — параллелограмм.
Е принадлежит стороне ВС,
DM = 2, BE: EC = 1 : 4 .
Найти BD.
Метрические соотношения между элементами треугольника
С
В
е
375. LACB = 90 , АС - 12, АВ = 13.
Найти РАВС376. ^.ЛС5 = 90е, ВС = 7, LA = 30°.
Найти Sj&c377. ^ЛСД = 90е, ВС = 12, 5 ^ c = 54.
Найти РЛВС378. /.ЛСВ = 90% Р ^ с = 90,
АВ : ВС = 13 : 5 .
Найти SABC379. Z^CB = 90% SMC = 180,
АВ: ВС = Vl06": 9.
Найти AC.
380. Z.i4CB = 90", LB = 60е, ЛС = 3VT.
Найти АВ.
С
В
е
381. ZACB • 90 , СВ = АС + 3,
АВ • СВ + 3.
Найти СВ.
382. LACB = 90е, АС = АВ - 2,
СВ - ЛЯ - 1.
Найти P/&Q.
383. LACB = 90е, SMC = 24,
АВ : СВ = 5 : 3.
Найти АС.
384. Определить вид треугольника от­
носительно его углов, если:
а) СВ = V45, АВ = VToT,
АС = 8.
41
б) СВ ш V3T, АС - V7T,
АВ = 12.
в) СВ = 14, АВ = V33T,
ЛС = 19.
г) СВ = Ш, АВ = 7, АС = 5.
д) СВ = 19, АВ = 28, АС * 23.
A
385. АВ = ВС, АВ = 17, ЛС = 16.
Найти SABC386. АВ = ВС, АВ = 10, ZA = 30*.
Найти SJMQ.
387. АВ-ВС, АВНайти Sjuc.
25, Рддс = 80.
D
С
390. АВ = ВС, BD 1 АС, АВ = 4,
ZA = 45е.
Найти BD.
391. АВ = ВС, BD -L ЛС, BD = 35,
ЛС: АВ = 48 : 25.
Яайта P^Q.
392. АВ = ВС, BD LAC, BD = AB- 2,
ЛС = 4 V6".
Найти АВ.
393. АВ = ВС, BD I AC, AC = BD + 4,
AB = V6T.
Найти АС.
394. АВ = ВС, BD 1 АС,
ВС:АС = 3: 4, 5 ^ с = 2VT.
Найти PASQ.
С
388. АВ = ВС, АС = АВ - 1, Р^с = 50.
Найти SJUC
389. АВ = ВС, ЛЯ :АС = 3 : 4,
A
D
В
395. LACB = 90', CD 1 АВ, CD = 8,
Z?B = 16.
Найти AD.
Яаити Р^с-
Справочный отдел
у
прямоугольный о2 +
ZIP*
= с2
—— остроугольный а* + t?><?
тупоугольный
а2 + !?<<?
(с — наибольшая из сторон)
42
/». = а + А + с
(периметр)
A D
396. LACB = 90%
AD = 2.
Найти BD.
397. ZACB = 90е,
C5 = 20.
Найти CD.
398. Z.ACB = 90%
DB = 9.
Найти SJMC.
399. Z.ACB = 90%
DB = 3,6.
Найти SJ^Q.
400. Z.ACB = 90°,
C£ = 2,4.
Найти РддС.
401. Z.ACB = 90%
$ACD
=
В
CD L AB, AC = 8,
CD 1 AS, AC = 15,
CD L AB, AD = 4,
CD 1 AB, СБ = 6,
AB = 3,
CDIAB,
A
D
408. /.ЛС5 = 90', CD L AB,
Z.CBA = 30% DB = 7 V3~.
Найти AB.
409. Z.ACB = 90', CD J. AB,
ZACD = 30', SMC • 32V3".
Найти AC.
410. Z.ACB - 90% CD 1 AB,
^ д : « л я с - 16: 25, AD = 2 8 .
Найти AC.
411. LACB" 90% CD LAB,
SACD '• S*o> = 9 :16, CB = 20.
Найти CD.
AD = 9,
27.
Найти AB.
402. Z.ACB = 90% CDJ.A8,
AC: C£ = 7 : 3 , C£> = 42.
Найти AD.
403. Z.ACB = 90% CD L AB.
AC2
AD
Доказать, что -^ = j ^ .
404. ZACB = 90% CD L AB,
AC: CB = 3 : 4, DB = AD + 2.
Найти AB.
405. Z.ACB = 90% CD J. AB, AB = 10,
CD = 3.
Нййти SAQD • SBCD*
406. Z.ACB = 90% CD ± AB,
CB = AC + 2, AB = СЯ + 2.
Найти CD.
407. ZACB = 90% CZ? J. AB,
AD = CD - 1,2, BD = CD + 1,6.
Найти AB.
A
D
M
В
412. ZACB = 90% CD L AB, CM — ме­
диана, AD = 4, DB = 16.
Найти PCDM413. LACB m 90% CD J. AB, CM — ме­
диана, AC-CM + 2, CB = AC + 4.
Найти AC.
414. ZACB - 90% CD ± AB, CAf — ме­
диана, AC = 6, CM = 5.
Найти СВ.
415. ZACB - 90% CD L AB, CM — ме­
диана, CM :AC = S: 6, P^Q = 48.
Найти SJUQ.
43
A
D
C
416. АВ = ВС, АЕ ± ВС, BD 1 АС,
BE = 3, ЕС = 2.
Найти АС.
417. АВ = ВС, AEL ВС, BD 1 АС,
АЕ = 4, DC = 2,5.
Найти SABC418. АВ = ВС, АЕ ± ВС, BD 1 АС,
S^c = 48, АС = 12.
Найти ЕС.
A
D
С
419. ЛЯ = ВС, BD1AC,
АВ - 39, АС = 30.
Найти ED.
420. АВ = ВС, BD1AC,
**АВС
=
^®»
лС*
=
Z.1 = Z.2,
L\ = L2,
А
В
423. АС = ВС, LACB = 90% Z.1 = L2,
АС-2.
Найти АЕ.
424. АС = ВС, ZACB = 90% L\ = L2,
CE = VT- l.
Найти АВ.
A
D
С
425. АЕ, 5D и СМ — медианы.
АЕ = 12, BD = 9, АВ = 10.
Доказать, что B.D 1 АЕ.
426. АЕ, BD и СМ — медианы.
АЕ ш 9, BD = 6, АВ = V5T.
Найти СМ.
\.4f
Найти ED.
421. АВ = ВС, BD1AC, L\ = Z.2,
ЯК: КС = 13 :10, S^c = 540.
Найти PJIBC
С
А
В
422. АВ = ВС, LACB = 90% LI = L2.
Найти СЕ:BE.
427. АВ = .ВС, AS = V14,
АЕ — медиана. АС = 5.
Найти АЕ.
А
428. АВ = ВС, АС = 4V3", АЕ — меди­
ана. АЕ = 7.
Найти АВ.
429. AS = ЯС, АВ = ЛС + 3, АЕ — ме­
диана. АЕ = 4,5.
Найти АВ.
430. АВ = ЯС, АБ — медиана.
АВ = АЕ+ 2,5, АС = АЕ - 0,5.
Найти АС.
431. АЯ = ЯС, AS = vTT, A£ — меди­
ана. АЕ: АС = 4 : 5.
Найти АС.
432. АВ = J5C, А£ — медиана.
АВ:АЕ = VX:1.
Доказать, что А£ = АС.
А
A
D
С
433. АВ = БС, АЕ и BD — медианы.
АВ = 15, АС = 18.
Найти OD.
434. АВ = ВС, АЕ и BD — медианы.
АВ = 10, АС = 16.
Найти АО.
A
D
С
435. АВ = ВС, АЕ и BD — медианы.
АВ = 10, AD = OD + —.
Найти OD.
436. AJ3 = ВС, АЕ и BD — медианы.
ОЕ = 2,5, АС = 8.
Найти BD.
437. АВ = ВС, АЕ и BD — медианы.
АЕ=7,5, AD = OD+ 1.
Найти «SA5C.
438. АВ = ВС, АЕ и BD — медианы.
OD = OE+ 1, AD = АО - 2 .
Найти АС.
A
D
В
439. АЕ и BZ) — медианы.
LACB = 90е, CZ> = VTTT, AC = 12.
Найти АО.
440. АЕ и BD — медианы.
LACB = 90% СВ = 24, АС = 18.
Найти СО.
441. АЕ и BZ) — медианы.
LACB = 90% СВ = 8, АС = 6.
Найти SA0B.
45
Соотношения в трапеции
в
442. ВС || AD, АВ = CD, BE ± AD,
МК — средняя линия.
Доказать, что
МК = ED.
443. ВС || AD, АВ = CD.
Доказать, что
BD2 = АВ2 + AD - ВС.
D
А
В
с
Г\
444. ВС || AD, АВ LAD.
Доказать, что
BD2 - АС2 = AD2 - ВС2.
^
Соотношения между сторонами и углами
в прямоугольном треугольнике
С
445. LACB = 90% АС = 6, LB = 0.
Найти SMQ.
446. £ЛСЯ = 90% АС = 6, Z.A = а.
Найти SMC
46
447. Z.AOB = 90*, AS = с, LA = a.
Найти SJUC448. LACB = 90', CD ± АВ, АВ = с,
LA = a.
Найти CD.
449. LACB = 90е, CM = mc, CM — ме­
диана, LB = p.
Найти AC,
450. LACB = 90°, CM = mc, CM — ме­
диана, LA = a.
Найти SMC
451. LACB = 90°, CD LAB, CM — ме­
диана, CM = mc, LDCM = a.
Найти SABC
452. ZAC5 = 90°, CD ± AB, CM — ме­
диана, CD = A, LDCM = a.
Найти SABQ.
453. 5JD _L ЛС, Z.A = a, ZC = y,
5D = Ac.
Найти AC.
454. AD ± ЛС, LA = a, LC = y,
AB = c.
Найти AC.
Справочный отдел
sin a = —,
cos a = - ,
b
ctga = -
Площадь
треугольника
равна половине произве­
дения сторон на синус уг­
ла между ними.
S
ABC
= 2ab'
siny
'
47
Окружность и круг. Вписанные и некоторые другие углы.
455. Точки А, В, С принадлежат ок­ 463. ААВС вписан в окружность.
^АВ : ^ВС : ^СА = 2 : 3 : 4 .
ружности с центром в точке О.
Найти LB - LA.
LAOB = 80°.
Найти LACB.
464. ABCD — четырехугольник, впи­
456. Точки А, В, С принадлежат ок­
санный в окружность с центром в
ружности с центром в точке О.
точке О. АВ = 3, AD = vT,
LAOB + LACB = 180е.
^АВ : ^ВС : ^CD: ^AD = 2 : 3 : 3 : 4 .
Найти LACB.
Найти ОС.
457. Точки Л, В, С принадлежат ок­
465. АВ — хорда, ВМ — касательная
ружности с центром в точке О.
к окружности центра О.
LAOB - LACB = 30е.
LAOB + 3LMBA = 100°.
Найти LAOB.
Найти
LMBA.
458. Точки А, В, С принадлежат ок­
ружности с центром в точке О.
466. АВ — хорда, ВМ — касательная
к окружности центра О.
LAOC = 150°, LBOC = 120°.
Найти LABC, LBCA, LCAB.
LAOB - LMBA = 50°.
459. ААВС — остроугольный. О —
Найти LAOB + LMBA.
центр описанной окружности.
467. Точки Л, В, С, Dy E последова­
LBAC + LACB = 100е.
тельно расположены на окружности.
Найти LAOC.
^AED = 60°.
460. ААВС — остроугольный. О —
Найти 2LABD + 3LACD.
центр описанной окружности.
LAOC = 160°, LA: LB = 3:4.
468. Е — точка пересечения хорд АВ
Найти LC.
и CD. vDB = 200°, ^АС = 80°.
461. ААВС — остроугольный. О —
Найти LAED.
центр описанной окружности.
469. £ — точка пересечения хорд АВ
LAOC = 100% LAOB = 120°.
и CD. ^BC = 20% ^AD = 70%
Найти LBAC.
Найти LAEC.
462. ААВС вписан в окружность.
470.
£ — точка пересечения хорд АВ
LA: LB: LC = 4 : 5 : 6, ВЫ — ка­
и
CD. Z.AED = 80% ^ВС = 20%
сательная.
Найти ^AD.
Найти LMBA и LMBC.
Справочный отдел
Центральный угол измеряется дугой,
на которую опирается.
Вписанный угол измеряется половиной
дуги, на которую он опирается.
48
471. ААВС вписан в окружность с цен­
тром О. MB — касательная, В —
точка касания, К — точка пересе­
чения прямой ВО с окружностью.
LMBA + LACB = 140е.
Найти LABK.
472. А, Ку М, В — точки, принадле­
жащие окружности. С — точка пе­
ресечения секущих AM и ВК.
S^MK = ^AB, LACK = 24°.
Найти ^МК.
473. ААВС вписан в окружность с цен­
тром О, AD — касательная.
LDAB + ZAOB + LACB = 240е.
Яабти LACB.
474. АС — диаметр окружности с цен­
тром О. Точки В ъ D лежат на
окружности по одну сторону от
диаметра.
Найти LBAC + LBCA + LDAC + LDCA.
475. Точки А, В и С лежат на окруж­
ности с центром О.
LAOC = | LOAC,
LBCA = ZABC "+ 10е.
Найти LBAC, LACB, LCBA.
476. Точки А, В, С принадлежат ок­
ружности с центром в точке О.
LAOC = LABC + 60% LBAO = 25е.
Найти LBAC, LACB, LCBA.
Справочный отдел
а = ~(^АВ+ ^CD)
^a-^AB-^CD)
Угол, вершина которого лежит внутри
круга, измеряется полусуммой двух
дуг, одна из которых заключена
между его сторонами, а другая —
между продолжениями сторон.
Угол, вершина которого лежит вне кру­
га, измеряется полуразностью двух
дуг, заключенных между его сторо­
нами.
Угол, составленный касательной и хор­
дой, измеряется половиной дуги, за­
ключенной внутри его.
а = j ^ЛС
49
Вписанные и описанные окружности
477. Дано: ААВС, ВС = АС = АВ = а.
Лик = 18, ВЛ = 3.
Найти г.
Найти г.
486.
Дано: ААВС, АВ = ВС, BD1 АС,
478. Дано: ААВС, ВС = АС = АВ,
М
— точка касания вписанной ок­
О — центр описанной окружности.
ружности
со стороной АВ,
Найти R: АС.
AC:MB = 3 : 1 , BZ>= 20.
479. Дано: ААВС, ВС = ЛС = AS,
Найти г.
5 = 9VT.
487. Дано: ААВС, АВ = ВС, BD 1 АС,
Найти г.
О — центр вписанной окружности,
OD: ОВ = 3 :5, АВ = 10.
480. Дано: ААВС, £С = АС = АВ,
Найти г.
г =2.
488.
Дано: ААВС, АВ = ВС, BD ± АС,
Найти S.
О — центр вписанной окружности,
481. Дано: ААВС, £С = АС = АВ,
М — точка касания окружности со
г = 5.
стороной ВС, ВМ = AD, АО = 4
Найти R.
Найти АВ.
489. Дано: ААВС, АВ = ВС, BD ± АС,
482. Дано: ААВС, ВС = АС = АВ,
О — центр вписанной окружности,
АС = а.
ОВ : OD = 13 :5, 5 ^ с = 60.
Найти R.
Найти г.
483. Дано: ААВС, ВС = АС = АВ, О —
490. Дано: ААВС, ZC = 90е, АВ = 15,
центр описанной окружности,
г = 3.
ов = д.
Найти РдвсНайти АС.
484. Дано: ААВС, АВ = ВС, BZ> ± АС, 491. Дано: ААВС, Z.C = 90е,
О — центр вписанной окружности,
ляс = 37, г = 3,5.
OD = 6, ОВ = 10.
Найти АВ.
Найти периметр треугольника.
е
485. Дано: ААВС, АВ = ВС, BD 1 АС, 492. Дано: ААВС, ZC = 90 ,
ВС + АС= 14, АВ = 10.
О — центр вписанной окружности,
Найти г.
Справочный отдел
Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис, а радиус
S
а+Ь+с
у
вписанной окружности определяется формулой г = —, где р =
~
.
Р
*•
Центр описанной окружности лежит в точке пересечения перпендикуляров к
серединам
Л
= 4S сторон, а радиус описанной окружности определяется формулой
а •b •с
50
493. Дано: ДАВС, LC = 90% 5 = 96,
АС + СВ = 28.
Найти г.
494. Дано: ДАВС, LC = 90е, 5 = 6,
АД = 5.
Найти г.
495. Дано: ДАВС, LC = 90е, М — точка
касания вписанной окружности с ги­
потенузой АВ. ВМ = 6, AM = 4.
Найти г.
496. Дано: ДАВС, LC = 90е, М — точка
касания вписанной окружности с ги­
потенузой АВ. АВ = 5, /• = 1.
Найти SABC497. Дано: ДАВС, М, Т, К — точки
касания вписанной окружности со
сторонами АВ, БС и АС.
АС:МВ= 1 2 : 1 , / ^ = 78.
Найти АС.
498. Даяо: ДАВС, АВ = ВС, АС = 24,
Л =13.
Найти S^c
499. Дано: ДАВС, АВ = ВС, BD ± АС,
АС = 24, BD = 24.
Найти R.
500. Дано: ДАВС, АВ = ВС, О — центр
описанной окружности.
ОВ:АС^5:%, BD ± АС,
&АВС
=
128.
Найти R.
501. Дано: ДАВС, АВ = ВС, О — центр
описанной окружности. BD 1 АС,
ОМLBC, OC:BC = VJ":4,
**овм = 5 + 3V5.
Найти АС.
502. Дано: ДАВС, АВ = 14, АС = 13,
ВС = 15.
Найти R.
503. Дано: ААВС, ВС = 12, АС = 20,
АВ= 16.
Найти г.
504. Дано: ДАВС,
ВС: АС: АВ = 9 : 10 :17, S = 144.
Найти R, г.
505. Дано: ДАВС,
ВС:АС:АВ = 2 9 : 2 5 : 6 ,
*АВС
=
б0 #
Найти /?, г.
506. Выразить сторону ап правильного
л-угольника через радиус описанной
вокруг него окружности.
507. Выразить сторону ап правильного
л-угольника через радиус вписанной
в него окружности.
508. ABCD — прямоугольник, О —
центр описанной окружности,
АВ : ВС = 5 : 12, ВС + АВ = 51.
Найти R.
509. ABCD — прямоугольник, О —
центр описанной окружности,
AD - DC = 7, R = 6,5.
Найти PABCD*
510. ABCD — прямоугольник, О —
центр описанной окружности, С —
точка касания окружности с прямой
МК. LBCM + LBAC = 90е.
Найти LBAC + LAOD.
Справочный отдел
Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника, имеющего п вершин, равна
180е • (л - 2).
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой
вершине, равна 360°.
Периметры правильных л-угольников относятся как радиусы описанных около
них окружностей.
51
511. ABCD — прямоугольник, О —
центр описанной окружности. Точка
М принадлежит дуге ВС.
AB:BC=1:VT.
Найти LAMB.
512. ABCD — прямоугольник, О —
центр описанной окружности. М
принадлежит дуге ВС. S^QD = vT.
Л-1.
Найти LAMB.
513. ABCD — трапеция, вписанная в
окружность с центром О, AD || ВС,
LAOB = 90% BD = 4V2".
Найти S^CD514. ABCD — трапеция. О — центр
описанной окружности.
LOAB = LOAD, LAOB = 120е,
AD = 7, ВС = 5.
Яаити / ^ с д .
515. Найти площадь треугольника
ASC, вписанного в окружность, ра­
диус которой равен 2, а
v^AB : vBC: ^CA = 3 : 4 : 5 .
516. О — центр описанной вокруг тре­
угольника ABC окружности,
LAOB = 120% АВ = ВС = 5.
Найти Л.
517. О — центр описанной вокруг тре­
угольника ABC окружности, радиус
которой равен 2, LA = 15%
LB = 60е.
Найти площадь треугольника ABC.
518. О — центр описанной окружности
вокруг трапеции ABCD.
LBAC = LCAD, LABO = 60%
АВ + ВС = 4.
Найти ВО.
519. В равнобедренный треугольник
вписана окружность с центром О.
D — точка касания, принадлежа­
щая стороне АВ. AD: DB = 5 : 8 ,
Рлвс = 180.
Найти г.
520.
Равнобедренный
треугольник
ABC вписан в окружность с цент­
ром О. АВ = ВС, BD 1 АС,
Л0 = 9, OD= | я О .
Найти АВ.
521. £14 и DJ5 — касательные к ок­
ружности с центром О.
LADB = 120% £>0 = 16.
Найти AD.
Справочный отдел
Центр окружности, описанной около треугольника,
лежит в точке пересечения перпендикуляров,
проведенных к серединам его сторон.
Центр окружности, вписанной в треугольник, яв­
ляется точкой пересечения его биссектрис.
52
522. DA и DB — касательные к ок­ 527. О — центр вписанной в треуголь­
ник ABC окружности.
ружности с центром О.
Найти ее радиус, если
LADB = 60е, DA + DB = 8.
LAOC = 120е, АВ = ВС, Р ^ с = 3.
Найти OD.
523. DA и. DB — касательные х ок­ 528. С? — центр окружности, вписанной
ружности с центром О.
в квадрат ABCD. Е и Т — точки
пересечения окружности с диаго­
LAOB = 120е.
налью квадрата АС.
Найти радиус окружности, если
площадь четырехугольника OADB
Найти АЕ, если PJ^QD = 4.
равна 9vT.
529. Е, М, Р, К — точки касания впи­
524. А — точка касания окружности с
санной в ромб ABCD окружности.
прямой ВС.
Найти углы ромба, если
Найти радиус окружности е цент­
АЕ = 3, DA> 1.
ром О, если АВ = АС,
530. ABCD — ромб, описанный около
LBOC = 120°, ВО = 6.
окружности, радиус которой ра­
вен 3. LABC = 150°.
525. Точки А, В и С лежат на окруж­
ности с центром О. LABC = 30°,
Найти РABCD^АОС = 15.
Найти АО.
526. Точки AYL В лежат на окружности
с центром О.
Найти
периметр треугольника
АОВ, если LAOB =* 60% АВ = 4.
Пропорциональные отрезки в круге
С
С
531. О — центр окружности. Е — точка
пересечения хорды CD и диаметра
АВ. CD ±AB, ОА= 10, СЕ = 8.
Найти АЕ.
532. Е — точка пересечения хорды
CD и диаметра АВ. CD 1 AS,
СЕ + АЕ = 5, BE = 16.
Найти CD.
533. J? — точка пересечения хорды
CD и диаметра AS. CD I AB,
АВ + CD = 9, BE = 4АЕ.
Найти CD.
534. Е — точка пересечения хорды
CD и диаметра AS. CD JL AS,
СЕ = 2AE, ВЕ = АЕ + 6.
Найти СВ.
535. Е — точка пересечения хорды
CD и диаметра АВ. CD 1 АВ,
АЕ = ЕС + 2, АС = АЕ + 2.
Найти BE.
536. £ — точка пересечения хорды
CD и диаметра AS. CD 1 АВ,
АЕ + £С = 7, С£ + Д£ = 17,5.
Найти BE.
53
537. Е — точка пересечения хорд CD
и АВ. АЕ = 4, АВ = 10,
СЕ: ED = 1: 6.
Найти CD.
538. £ — точка пересечения хорд CD
ш АВ. АВ = 17, С£> = 18,
ED = 2CJS.
Найти АЕ и 2ДО.
539. £ — точка пересечения хорд CD
и АВ. АВ = 10, СЛ=11,
£ £ = СЕ + 1.
Найти СЕ.
540. £ — точка пересечения хорд CD
я АВ. ED = 2AE, CE = DE- 1,
BE = 10.
Найти CD.
541. £ — точка пересечения хорд CD
и АВ. BE = СЕ+4,
АЕ-СЕ-2,
AB-CD=1.
Найти АЕ: DE.
542. Е — точка пересечения хорд CD
и АВ. С£ = 2АЕ, ED = AE + A,
A3 = 17.
Найти CD.
543. JS — точка пересечения хорд CD
и АВ. CM LAB, DK1AB,
АВ = 21, СМ = 4VT, /Ж = SVT,
LAEC = 60*.
Найти AM и А».
544. Е — точка пересечения хорд CD
nAB.DKl
АВ, DK = ICE,
LDEK = 30% АЕ = СЕ + 1,
А5 = 13.
Найти КВ.
а
545. О — центр окружности, описанной
около ААВС, LACB - 90%
CD J. A3, АО: DC = 3 :4,
ОС ш 12,5.
Найти CD.
546. О — центр окружности, описанной
около ДА5С, ^ЛСЯ - 90%
CD 1 А 5 , CD - 12,
AD: ЯЯ - 9 :16.
Найти R.
547. О — центр окружности, описанной
около ЛАвС, ZAC£ = 90%
CD ± АВ, S^c = 150,
АВ: АС - 5:4.
Найти CD.
Справочный отдел
£ = AD-n
54
а • Ь- с d
548. О — центр окружности, еописанной
около ДАВС, LACB = 90 ,
CD ±AB, CD + CB = 32,
АС : АВ = 3 :5.
Найти CD.
549. О — центр окружности, описанной
около ДАВС, LACB = 90%
CD J. АВ, СЯ = 24, АС: СО = 6 :5.
Найти CD.
550. О — центр окружности, еописанной
около ДАВС, ZAC5 = 90 ,
CD LAB, OA = 20, CD = ЗАО.
Найти DB.
551. О — центр окружности, описанной
около ДАВС, ZACJ3 = 90°,
CD JL ЛЯ, АВ = 10,
AD: СВ = 1: 2V5".
Найти AD.
552. Найти периметр треугольника
ABC (АВ = ВО, если Е, М, D —
точки касания вписанной окружно­
сти со сторонами АВ, ВС, АС.
4 А £ + 2 В £ = 17.
553. Найти периметр прямоугольного
треугольника, если радиус вписан­
ной окружности равен 1, а радиус
описанной — 2,5.
554. Диаметр разделен на отрезки
АС = 18 и СВ = 8. Из точки С про­
веден к диаметру перпендикуляр
CD данной длины. Какое положение
занимает точка D относительно кру­
га, если CD равно: а) 12, б) 10,
в) 14?
555. Из одной точки проведены к ок­
ружности касательная и секущая.
Касательная равна б, секущая —
18. Определить внутренний отрезок
секущей.
556. Из одной точки проведены к ок­
ружности касательная и секущая.
Найти секущую, если известно, что
она меньше внутреннего отрезка
секущей на 4 и больше внешнего
отрезка на 4.
557. Из одной точки проведены к ок­
ружности касательная и секущая.
Найти секущую, если известно, что
внутренний ее отрезок относится к
внешнему, как 3:1, а длина каса­
тельной 12.
558. Из одной точки проведены к ок­
ружности касательная и секущая.
Найти внешний отрезок секущей,
если известно, что внутренний ее
отрезок равен 12, а длина касатель­
ной 8.
559. Касательная и секущая, исходящие
из одной точки, соответственно рав­
ны 12 и 24. Определить радиус ок­
ружности, если секущая удалена от
центра на 12.
560. Из одной точки проведены к ок­
ружности касательная и секущая.
Найти длину касательной, если ее
сумма с внутренним отрезком секу­
щей равна 10, а внешний отрезок
секущей на 4 меньше внутреннего.
561. К окружности радиуса 5 из одной
точки проведены касательная и се­
кущая.
Найти длину касательной, если из­
вестно, что она больше внешнего
отрезка секущей на 2, а секущая
удалена от центра на 3.
562. Из одной точки проведены к ок­
ружности две секущие, внутренние
отрезки которых соответственно
равны 8 и 16. Внешний отрезок вто­
рой секущей на 1 меньше внешнего
отрезка первой.
Найти длину каждой секущей.
563. Из одной точки проведены к ок­
ружности две секущие. Внешний от­
резок первой секущей относится к
своему внутреннему, как 1:3. Внеш­
ний отрезок второй секущей на 1
меньше внешнего отрезка первой и
относится к своему внутреннему от­
резку, как 1:8.
Найти длину каждой секущей.
55
Четырехугольник, описанный вокруг окружности
Ключевые задачи ?
Трапеция
разносторонняя
В
Z.3 = LA = 90е
Z.3 = LA = 90°
ED = AB
Доказательство.
Г
*
лея = £Т\
КА = DT)
v
4
'
Z04B + /.05Л = 90°
4 е
Z3 = 90 ,
В
А
Е
D
564. ABCD — трапеция, описанная вок­
руг окружности. АВ = CD,
BE IAD.
Доказать, что ED>BE.
565. ABCD — трапеция, описанная вок­
руг окружности. АВ = CD,
BE 1 AD, AD = ЗВС.
Найти LBAE.
56
1
ВК = ВМ = ЕТ\
KA = LD = DT)
(LABC + Z.5AD = 180%
[ВО и АО — биссектрисы
V
С
А
Е
С
D
566. ABCD — трапеция, описанная вок­
руг окружности. АВ - CD,
BE LAD.
Доказать, что S^co = АВ • BE.
567. ABCD — трапеция, описанная вок­
руг окружности. АВ - CD,
SABCD = 2, LABC = 150'.
Найти РABCD'
А
К Е
D
568. ABCD — трапеция, описанная вок­
руг окружности. АВ = CD, Т, М,
Р, Е — точки касания вписанной
окружности, ВТ = 2, АЕ = 8.
Найти S^CD569. ABCD — трапеция, описанная вок­
руг окружности. АВ = CD, Т, М,
Л £ — точки касания вписанной
окружности, AT = 8, SABCD = 80.
Найти ВТ.
570. ABCD — трапеция, описанная вок­
руг окружности. AD + ВС = 8.
В
К
С
А
Е D
571. ABCD — ромб. М, К, Р, Е —
точки касания вписанной окружно­
сти с центром О. AM • DP = 2.
Найти S*
А
Е
D
572. ABCD — трапеция, описанная вок­
руг окружности. АВ = СД
BE LAD.
Доказать, что 5^ С2> = 2 5 ^ .
А
Е
D
573. ABCD — трапеция, описанная вок­
руг окружности. АВ = CD,
PABCD= 16, BD = 5.
Найти S^CD574. ABCD — трапеция, описанная вок­
руг окружности. АВ = CD, BD = 5,
SABCD =12.
Найти PABCD575. ABCD — трапеция, описанная вок­
руг окружности. АВ = CD,
ABCD = 16, $ABCD - 12.
Найти BD.
576. ABCD — трапеция, описанная вок­
руг окружности. АВ = CD.
Доказать, что
sin Z.А4£> = tg LADB.
В
С
A
D
577. ABCD — трапеция, описанная вок­
руг окружности с центром О.
ВА 1 AD, LBCD = 2LCDA.
Найти L\.
578. ABCD — трапеция, описанная вок­
руг окружности с центром О.
BALAD, L\ = 105е.
Доказать, что LBCD = 2LCDA.
579. ABCD — трапеция, описанная вок­
руг окружности с центром О.
LBCD = 2LCDA, L\ = 105е.
Доказать, что ВА ± AD.
57
в
В
с
A
D
580. ABCD — трапеция, описанная вок­
руг окружности с центром О.
BALAD.
Найти L\ + Z2 + Z3 + LA.
В М С
А
К
D
581. ABCD — трапеция, описанная вок­
руг окружности с центром О.
BALAD.
Доказать, что S^CD = -AD • ВС.
582. ABCD — трапеция. Е — точка
касания описанной окружности с
центром О. ОС = 6, OD = 8.
Найти SABCD583. ABCD — трапеция, описанная вок­
руг окружности с центром О и пло­
щадью S. Е — точка пересечения
прямых СО и AD, ВА 1 AD.
25
Доказать, что £^ С2? = — + г • D£.
В
Р
С
£ЕЛ
А
1К
0
584. ABCD — трапеция. М, Р, К —
точки касания вписанной окружно­
сти центра О. АВ = С/?,
£ 0 = 3, АО = 4.
Найти РК.
585. ABCD — трапеция. М9 Р9 К —
точки касания вписанной окружно-
Р
А
С
К
D
ста центра О. АВ = CD,
АО = 4, РК= 4,8.
Найти ВО.
586. ABCD — трапеция. Му Р> К —
точки касания вписанной окружно­
сти центра О. АВ = CD,
РК=А, ВМ= 1.
Найти BD.
587. АЯС£> — трапеция. М, Р9 К —
точки касания вписанной окружно­
сти центра О. АВ = CD, АЕ 1 AD.
Найти ^ £ £ .
588. ABCD — трапеция. М, Р, К —
точки касания вписанной окружно­
сти центра О. АВ = CD.
Найти ****-.
bpCDK
589. ABCD — трапеция, описанная вок­
руг окружности центра О.
LAOB = ZLBAD.
Найти -Гд.
ж
А
К
М
D
590. ABCD — трапеция, описанная вок­
руг окружности радиуса г.
LBAD = 30% LADC = 45% г = 1.
Найти Ржа.
591. ABCD — трапеция, описанная вок­
руг окружности центра О.
Найти
LAOB + LDOC + Z5AD + Z.A5C.
Векторы
593. Найти:
а) AB-AD;
б) CB-CD;
в) АС + CD -AM;
г) АВ_- CD_- AC_+ BE;
д) АК_+ DE_- BC + KD_- AB±
ё) МТ-КЕ-МК
+ АТ-АЕ;
ж) JC + CD -KM +DM -АК;
з) DK-EA-AB
+ KB-DB.
592. Найти сумму векторов:
а) AB + BC + CD;,
б) BA + AD + DC;
в) DA + CD + AB;
г) AC + BD + СВ;
д) BC + BD + CD;
е) AB + DB + BD;
ж) AB + CA + BD + DC.
594; О — точка пересечения медиан.
ВА = а, ВР = 7п.
Выразить ОС через данные век­
торы.
Решение.
AD = АВ + BD =
= -В\А + В~5= -"с + Тп.
DC = AD=-c
+ m. OD = jrBD = ^m.
OC = 'OD + 'DC = jm-'c
+ 7n= jm
-с.
Справочный отдел
ВЕКТОРЫ
АВ — вектор.
\АВ\
сонаправленные
— модуль вектора.
&
~
противоположно
направленные
'
коллинеарные
Равенство, сложение и вычитание векторов
д = Ь, если
АВ + ВС = АС
правило
треугольника
АВ-АС
= СВ
59
Выразить через данные векторы:
а) СМ; б) AM - Я£.
598. О — _трчка пересечения медиан
ААВС. ABj= Cj_AC ^Ъ.
Найти ОА + ОВ + ОС.
599. О — точка пересечения диагоналей
АС и_ВР параллелограмма ABCD.
АВ = а, AD = b.
Выразить через данные векторы:
а) ОВ\ б) ОА + OD; в) АВ - ОВ.
600. О — точка пересечения диагоналей
АС и 2Ш параллелограмма ABCD.
Точки М, N, К, L — середины сто­
рон АВ, BCj CD, AD соответственно.
АВ = a, AD = b.
Выразить через данные векторы:
a) MW +JVK; 0) ОЯ + ЯК;
в) KN + KM.
601. Точки Л/, N, К, L — середины
сторон АВ, ВС, CD, AD прямо­
угольника ABCD.
АВ = а, AD = b.
Выразить через данные векторы:
а) AM + AN;
б) AM-AN.
А
" ь Е
С
595. О — точка пересечения медиан.
AD — медиана, АВ = с, АС = Ь.
Выразить через данные векторы:
а) ВС; б) ОА\ в) OD\ г) АВ - ОС.
А
С
596. МК — средняя линия треугольника
ABC. АВ = с, МК = п.
Выразить через данные векторы:
а) ВС; б) АК.
597. МК — средняя линия треугольника
ABC. АВ = с, МК = л.
Справочный отдел
Проекция вектора на координатные оси
sasina
в
в
а
i
i
i
0 ^=0
ьк=о
х о
Ь
•л
i
i
ах=а х
0
ь х= - ь х
602. ABCD — трапеция, AD \\ ВС,
AD = ABC. AB = a. AD = Ъ.
Выразить через данные векторы:
a) CD; б) АС; в) BD; г) АС - BD.
603. ABCD — трапеция, AD || ВС.
Точки М, N, К — середины соот­
ветствующих сторон АВ, CD, AD.
ВА = с, ВС = Ь.
Выразить через данные векторы:
KM + KN.
604. ABCD — трапеция, AD \\ ВС,
АС = 7п, DB = n.
Выразить через данные векторы:
AD + BC.
605. ABCD — трапеция, AD || ВС,
ВА = Ь, CD = с.
Выразить через данные векторы:
AD-BC.
Справочный отдел
Определение расстояния между
двумя точками
Нахождение угла, под которым
отрезок наклонен к оси ОХ
Определить расстояние между точ­
ками А (х;; у1) и Б (х2; у2) значит, вы­
разить расстояние АВ через координаты
точек А а В.
АВ = )/АСг + СВг.
Тангенс угла, под которым отрезок
АВ наклонен к оси ОХ.
АС=
\АХВХ\
ВС=
= I дсг — jct 1,
\у2-ух\,
AB = y/(x2-Xif
+
d = y/(x2-xlY
+
tga =
Уг~У\
*2~*1
Координаты середины отрезка.
X
=
х + х7
У =
У\ +Уг
(y2-yir.
(y2-y1Y
d — расстояние между
данными точками
Каждая координата середины
отрезка равна полусумме
его концов
61
606. Построить точку, симметричную
точке А (3; -5), относительно:
а) оси ОХ; б) оси OY\
в) начала координат.
607. Построить точку, симметричную
точке А (х; у), относительно:
а) оси ОХ; б) оси ОУ;
в) начала координат.
608. Найдите расстояние между точ­
ками А и В, если:
а) А (-5; 2), Я (-2; 3).
б) АО\ 6), £ ( 1 ; -1).
в) А (0; -3), 5 (-5; 1).
609. Определить, какая из данных то­
чек Л (3; -4), £ ( - VT; 3) и
С (-V3"; -1) отстоит дальше от на­
чала координат.
610. Показать, что треугольник с
вершинами А (5; 2), В (3; -4) и
С(-3; -2) равнобедренный.
Найти основание треугольника.
611. Доказать, что треугольник с
координатами вершин А (5; 1),
В (1; -3) и С (-1; -1) — прямо­
угольный.
612. На оси абсцисс найти точку М,
равноудаленную от двух данных то­
чек А (8; 7) и В (-1; 2).
613. Точки А (-7; 4) и В (х; у) лежат
на прямой, параллельной оси ОХ.
Найти координаты точки В, если
АВ = 5.
614. Точки А (-3; -1) и Б (*; у) лежат
на прямой, параллельной оси OY.
Найти координаты точки В, если
АВ = 7.
615. Точки А (-3; -1) и 5 (х; у) лежат
на биссектрисе первого координат­
ного угла.
Найти координаты точки В, если
АВ = 2VT.
616. Определить вид треугольника от­
носительно его сторон, вершины ко­
торого
62
а) А (6; 0), В (2; 3), С (7; -4),
б) А (-3; -3), В (-3; 2), С (-3; -1),
б) Л (-5; 1), В (-2; 7), С (2; -5),
г) Л (-2; 0), В(3; 2), С (2; -3).
617. Найти координаты точки С —
середины отрезка, соединяющего
точки: а) А (-6; 2), В (-4; 8);
б) Л(3; 5), Я<1; -1);
в) А(0; -3), В (-8; 1).
618. Найти координаты конца В от­
резка, если другой конец отрезка —
точка А (-5; -7), а середина отрез­
к а — С (-9; -12).
619. Найти координаты конца В от­
резка, если другой конец отрезка —
точка А (-4; 2), а середина отрез­
к а — С (-6; 5).
620. Даны вершины треугольника.
Найти координаты середин его сто­
рон: а) А (-7; 4), В (-5; 2), С (6; -3);
б) А (-4; 6), В (-8; 9), С (5; -6).
621. Точки Л (2; 4), В (-3; 7) и С (-6; 6)
— три вершины параллелограмма,
причем А я С — противоположные
вершины. Найти координаты чет­
вертой вершины.
622. Три вершины параллелограмма
имеют координаты А (-6; -4),
В (-4; 8), С (-1; 5), причем А и
С — противоположные вершины.
Найти координаты четвертой вер­
шины параллелограмма.
623. Дано: ААВС, AM — медиана,
А (2; -6), В (5; 3), С (1; 1).
Найти AM.
624. Дано: ААВС. А (-7; -3), В (4; 5),
С (-2; 1). О — точка пересечения
медиан.
Найти AM.
625. Дано: ААВС, АВ = ВС, А (-9; -2),
В (-3; 6), AD ± ВС, BE I AC,
AD = 9,6.
Найти BE.
626. Дано: ААВС, BE — биссектриса,
Л (-5; -3), С (10; -3), АВ = 8,
ВС = 12.
Найти BE.
627. Дано: ААВС, BD — биссектриса,
А (-5; -3), D (-1; -3), С (5; -3),
АВ + ЯС = 15.
Найти АВ.
628. Даяо: ААВС, AD — биссектриса,
Л(-1; -10), £> (-1; 0), С (-1; 12),
ВС - ЛЯ = 4.
Найти АВ.
629. Дано: ДЛЯС, Л£ — биссектриса,
Л (-4; -4), С (-4; 12), В (12; 8).
Найти СЕ.
630. Дано: ДЛЯС, ЛЯ = ВС, АЕ — бис­
сектриса, А (1; -10), Я (25; 8),
cos Z.CAB = 0,8.
Найти ЕС - АБ.
631. Дано: ААВС, LACB = 90е, СЕ —
биссектриса, А (2; -6), Е (8; -6),
Я (16; -6).
Найти Рмс
632. Дано: ААВС, LACB = 90е, ВМ —
биссектриса, С (-5; -3), М (-5; 0),
з
sin LBAC = | .
Найти SJUQ.
633. Дака* ДЛВС, ЛЯ = ВС, Е — точка
пересечения высоты BD с биссект­
рисой АЕ. sin LABD = -ту»
Л (-15; -2), С (35; -2).
Найти радиус вписанной окружно­
сти.
634. ДЛДС, LACB = 90% С£ = BE,
Е (0; 12), О (6; 8) — точка пере­
сечения медиан, АС = 9.
Найти АВ.
635. ABCD — трапеция. ВС || AD,
BA1AD, А (-2; 2), С (4; 26),
D (14; 2), sinZ.Z>= -Ц.
В
Скалярное произведение векторов
ля
ло-Лс
« ЛС • AD -
636. Да«о: ААВС, АВ = ВС, AD = DC,
AC = 1,0 — точка пересечения ме­
диан. Найти АО • АС.
Решение.
Пусть LOAC = a.
АО • АС = АО • АС • cos a.
ЛО
Из AOAD имеем: cos a = -т^. Тогда
A
D
С
637. Дано: ААВС, АВ = ВС, AD = DC,
АС - 8, ЛЯ « 10. АК — точка пересечения биссектрис.
Найти СА • ЯК.
Справочный отдел
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение
их длин на косинус угла между ними.
63
Решение.
Пусть ДОАС = а.
СА-В~К=СА- ВК- cos а,
LBCD= 180° - а .
Из ABCD имеем: cos (180° - а) =
DC
откуда cos а = - -дтт.
DC
-^,
DC
ел • ДА: = - СА • вк • ^ =
642. Дано: ААВС, АВ - ВС, AD = DC,
BD=ll^_
Найти ВА - BD.
643. Дано: ААВС, АВ = ВС, AD = DC,
AD = 9,0 — точка пересечения ме­
диан.
Найти АО • CD.
644. Дано: ААВС, АВ = ВС, AD = DC,
ВМ = МС, АС = 2. в
Найти ВМ • AD.
= -SBK
10 5 **"
*
Но вк АВ 5 ,
-гя = д- (по теореме о бис­
КС внутреннего угла треугольни­
сектрисе
ка). ВК = 5х, КС = 4х (х — коэффи­
циент пропорциональности). Так как
ВК + КС = ВС, имеем 5х + Ах = 10,
откуда х — -Q-. £ЛГ = 5х = -д-. Итак,
сл.вк —
A
%вкш-2*.п-™.
D
С
638. Дано: ДАЯС, A3 = ВС,
АС = 8.
Найти АВ • AD.
639. Дано: ААВС, АВ = ВС,
АС = 5.
Найти AD • 5С.
640. Дано: ААВС, АВ = ВС,
АС = 3.
Найти АВ • CD.
641. Дано: ААВС, АВ = ВС,
АВ = 5.
Найти ВА • ВС.
64
645. Дано: ААВС, АВ = ВС, AD- DC,
АВ = 10, АС = 16, АК — биссект­
риса, О — точка пересечения бис­
сектрис.
Найти OD • КС.
646. Дано: ААВС, АВ = ВС, AD - DC,
АВ = 5, АС = 6, А/С — биссектриса,
О — точка пересечения биссектрис.
Найти OD • КВ.
AD - DC,
647. Дано: ААВС, S^c ~ 10» tg a = 4.
В
Яай/ии АВ • АС.
AD = DC,
AD = DC,
АС = 4,
64S._gaHO_ ААВС, АВ - ВС,
АВ • АС = 2.
Найти АС.
649. Дано: ААВС UACB^ 90е).
Доказать, что АВ • АС = АС2.
650._Дана_ААВС UACB = 90°),
АВ • АС = 144, S^c = 30.
Найти АВ.
654. Даио: ABCD — трапеция, описан­
ная около окружности, ВС = 2,
А1> = 8.
Найти АВ • AD.
655 (обратная). Дано: ABCD — трапе­
ция, описанная около окружности,
AD = 8, АВ • AD = 24.
Найти ВС.
656. Найти значение
_
(а - 6)(3 3 j - 2 6), зная, что а 1 Ь,
151 = 1, 161 = 2 .
651. Даж?; ДАВС U^CB = 90°),
АО = ОБ.
Доказать, что СА • СО = ^ ЛС2.
652. Дано: ДАЯС иЛСД = 90°),
АО = ОВ, САСО = 8,
СО • СВ = 4,5.
Найти СО.
657. Векторы 5 и 6 образуют угол 60°.
Найти значение
(5 + 6)(5-2*),
зная, что 151 = 2, 161 = 3.
658. Векторы а и 6 образуют угол 120°.
Найти значение (3 5 + б)2, зная, что
151 = 1, 161 = 5 .
659. Найти значение
(а + 6 - с)(а - 6),
зная, что векторы 5, 4 и с образуют
между собой углы 120°, 151=6,
161 = 2 .
653. Дя«о: ДАВС, Z.J3AC = а,
Доказать, что АВ • АС = 25 ctg a.
65
Применение векторов к решению задач
660. Доказать с использованием векто­
ров теорему «средняя линия треу­
гольника параллельна основанию и
равна ее половине».
Дано: ААВС, АК = KB, AM - МС.
Доказать, что
1
КМ II ВС,
А
км =^вс.
[КМ = КВ + ВС +СМ,
к/
KM = KA + AD + DM,
^цМ
в
о
о
откуда имеем 'KM = ^{BC + AD). Так
Доказательство.
Из условия АК = KB следует
АК = ^АВ.
Из условия AM = AfС следует
как векторы АР и ВС сонаправлены,
то векторы КМ и AD также сонаправ­
лены, а длина вектора (ВС + AD) рав­
на ВС + AD. Отсюда следует, что
АМ = ^АС.
KM \\AD и KM = ^(AD + BC).
Но Ш = Ш-АК
= ^АС-^АВ
=
= ±(АС-АВ) = ±;ВС.
Полученное равенство утверждает,
что КМ || ВС и AM = 7}ВС, что и тре­
бовалось доказать.
661. Доказать с использованием векто­
ров теорему «средняя линия трапе­
ции параллельна основаниям и равна
их полусумме».
Дано: ABCD — трапеция,
ВС || АД ВК = КА, СМ = MD.
Доказать, что КМ || ВС || AD,
1
KM = ^(AD + BC).
66
D
Доказательство
662. Найти косинус угла, лежащего про­
тив основания равнобедренного тре­
угольника, если медианы, проведен­
ные к боковым
сторонам, взаимно
перпендикулярны.
Решение.
Пусть ABC — равнобедренный тре­
угольник с основанием АВ. ААХ и
ВВ{ — медианы, проведенные к боковым сторонам. Обозначим СА1 = я,
СВг = Ь% САХ = СВХ = а. Тогда
А4Х = САХ - СА = а - 2 Ь,
Щ = СВ1 -СВ = Ь - 2а.
AAi • Щ = (а - 2Ь)(В - 25) -
= 5 а • Ъ - 2 а • а - 2 2i • Ъ =
- 5а2 cos С - 4а2.
По условию~АА\12?2?i, значит,
AAj • 5i?j = 0. 5а2 cos С - 4а2 - 0,
откуда cos С = 0,8.
663. Если точка С — середина отрезка
АВ, л О — произвольная точка пло­
скости, то ОС = j C ^ + OB)- До­
казать.
2 ОС = ОА + ОВ + (АС + ВС),
откуда ОС = i (C4 + ОД)
(АС + ВС = 0, так как точка С
середина отрезка ЛВ).
Решение треугольников
Любой треугольник определяется
тремя основными элементами, причем
хотя бы один из них должен быть ли­
нейным. Пусть в треугольнике ABC
АВ = с, АС = b, ВС- а.
664. Дано: а, £, LC.
Найти су LA, LB.
Решение.
По теореме косинусов находим
с* = <? + $ -1abco%LC,
откуда с = Vo2 + б2 - 2а* cos LC.
Величину угла В также находим по
теореме косинусов:
й2 = d + ^ - 2яс cos Z£,
c o s LB
=
2ac
'
Значение угла В находим, восполь­
зовавшись таолицей значений функции
cos а, либо микрокалькулятором.
Находим величину угла А:
LA = 180° - (LB + LC).
A
b
665. Дано: Ъ, LA, LC.
Найти: а, с, LB.
Решение.
Находим LB = 180е - (LA + LC),
Ъ =
а
sin LB
sin LA'
b sin LA
^ ^
a =
7E7F-
Аналогично
sin ZJ3
sin ZC
£ sin ZC
откуда с = sinZ.fi
67
A
b
666. Дано: а, Ъ, с.
Найти: LA> LB> LC.
Решение.
По теореме косинусов находим:
<? = d* + i 2 - 2a6cos ZC,
откуда cos LC —
2аЬ
Аналогично
а* = & + <? -2bc cos LA,
откуда cos LA =
26c
По таблицам значений функции
cos а найдем величины углов А и С:
LB = 180° - (LA + LC).
667. Дано: a, b, LA.
Найти: с, ZB, LC.
Решение.
A
b
С
668. Дано: ААВС, ВС = 10, АС = 8,
SABC = 20.
Найти: LC.
669. Дано: ААВС, LA = 45е, LB = 60е,
АС = 6 УГЬ.
Найти: ВС.
670. Дано: ААВС, LA = 1,5ZC,
LB = LA + 60°, АВ = 9 VT.
Найти: ВС.
4
671. Дано: ААВС, cos LB = ^,
sin ZC = « | , ЛС = 15.
Найти: АВ.
672. Дано; ААВС, AS = 12, ЛС = 10,
sin ZA = ^.
Найти: ВС.
673. Дано; ААВС, tg LC = ^ ,
По теореме синусов находим:
£С = 13, АС = 12.
Ъ =
а
Найти: S^csin LB
sin LA9
674. Дано; ААВС, АС = 13, 5 = 60,
. ,_
6 sin ZA
sin ZC = j j .
откуда sin ZB =
.
Найти: АВ.
По таблицам найдем LB. (Если
а > b9 то угол 5 — острый его величина 675. Дано: ААВС, LA = 120% ВС = 26,
определяется однозначно. При а<Ъ
АВ : АС = 7 : 8.
угол В может быть острым или ту­
Найти: РЛВСпым, поэтому из найденного значения
е
sin LB можно найти два значения уг­ 676. Дана- ААВС, Z2? = 60 , АС = 7,
АВ + ВС = 13.
ла В).
Найти: S^c-
68
Раздел 3.
Решение задач на построение
Греки времен Евклида считали прямую линию и окружность основными
линиями в геометрии и потому требовали, чтобы всякое геометрическое построение
выполнялось при помощи лишь тех инструментов, которые вычерчивают эти
линии.
В дальнейшем все построения будут выполняться лишь при помощи циркуля
и линейки.
Простейшие геометрические построения
677. Построить отрезок, равный дан­
ному.
а
h
-*
678. Построить отрезок, равный сумме
двух данных отрезков а и Ь.
i
i
i
.
а
Решение.
i
Ь
На произвольной прямой АВ отло­
жим от точки А отрезок AM = а, затем
отложим отрезок MN = b в ту же сто­
рону от М, тоща AN = а + Ь.
Ь
а
М
N В
680. Данный отрезок разделить пополам.
В
Из концов А и В, как из центров,
радиусом, большим половины АВ, опи­
шем две окружности, которые пересе­
кутся в точках М и N; соединив М и
N, в пересечении АВ и MN найдем
искомую точку О.
Решение.
А
а+Ь
679. Построить отрезок, равный разно­
сти двух данных отрезков а и Ь.
а
Решение.
Ь
На произвольной прямой АВ отло­
жим от точки А отрезок AM « д, за­
тем отложим отрезок MN = Ъ в про­
тивоположную сторону от Л/, тогда
AN=a-b.
ь
а Ьг
N
иг
J
а
в
Фигура AMBN есть ромб, и поэтому
АО = ОВ.
681. Разделить данный отрезок на 4, 8,
16, ... 2п равных частей.
Решение.
Разделив отрезок АВ пополам, каж­
дую половину делим пополам, каждую
четверть опять пополам и т.д.
682. К прямой KF восставить перпен­
дикуляр в данной его точке С.
Решение.
с
Отложим от точки С на прямой
KF отрезок СА = СВ так, чтобы точка
С приходилась между точками А и В.
69
м
Решение.
А
В
N
Из концов А и В, как из центров,
радиусом, большим половины АВ9 опи­
шем две окружности, которые пересе­
кутся в точках М и N; соединим М и
N. Фигура AMBN есть ромб, и поэтому
CM LAB.
683. Из данной точки О, лежащей вне
прямой АВ, опустить на эту прямую
перпендикуляр.
О
Произвольным радиусом из верши­
ны угла а очертим дугу, пересекающук
его стороны в точках М и N; тем ж*
радиусом очертим из центра С дугу
пересекающую АВ в точке Р. Из центр*
Р радиусом, равным MN, очертим дугу
пересекающую прежнюю дугу в точке
Q. Соединим точки Q и С. Треугольник!
LNM и CQP имеют по три равные сто­
роны и поэтому равны. Следовательно
LQCP = LNIM = а.
685. Построить угол, разный сумме двуз
данных углов.
vM
В
Решение.
м
в
к
А
Построим LCAB = а. На стороне
АС угла CAB построим LMAC = (1 так
чтобы сторона МА лежала вне LCAB
тогда LMAB = La + 48.
М
Решение.
Из центра О опишем произвольным
радиусом дугу, пересекающую АВ в
точках М и N; из центров М и N
описываем дуги тем же радиусом.
ОК — искомый перпендикуляр, по­
тому что фигура OMKN есть ромб.
684. При точке С прямой АВ построить
угол, равный данному а.
В
А
686. Построить угол, равный разноси
двух данных углов.
В
М
Решение.
В
70
Р
Построим LBAC = a (a>p). H;
стороне АС угла CAB построй*
LMAC = /? так, чтобы сторона МА ле
жала внутри LCAB\ тогда
LMAB = La-
Соединяя точки С и Д получим
искомую прямую, так как CABD есть
ромб.
689. Построить треугольник, равный
данному треугольнику ABC.
L$.
В
А С
А
687. Разделить данный угол пополам.
А
Решение.
А
Решение.
Произвольным радиусом из верши­
ны А данного угла ВАС опишем дугу,
пересекающую его стороны в точках
М и N; из центров М и N опишем дуги
равными радиусами, большими поло­
вины MN; АО делит LBAC пополам
(ДЛ0Л/ = ДЛ0ЛО.
688. Через данную точку С провести
прямую, параллельную данной пря­
мой MN.
М
А
Решение.
В
На произвольной прямой MN от
произвольной точки откладываем отре­
зок AXBXJ равный АВ. Из точки Ах как
из центра описываем дугу радиусом,
равным АС, а из точки Вх описываем
дугу радиусом, равным ВС. Точку их
пересечения Сх соединяем с концами
отрезка АХВХ.
Треугольник АХВХСХ — искомый.
690. Построить треугольник по двум
сторонам а и b и углу между ни­
ми С.
N
Из данной точки С произволь­
ным радиусом проводим дугу, пересе­
кающую данную прямую. Пусть А и
В — точки пересечения. Из точек С и
В тем же радиусом проводим дуги до
их пересечения в точке D.
А
Решение.
Ь
С
Строим угол, равный данному, и
откладываем на его сторонах от вер­
шины отрезки, равные данным. Соеди­
няя их концы, получаем искомый тре­
угольник.
71
691. Построить треугольник по стороне
с и двум прилежащим к ней углам
А и В.
А
Решение.
Отложив на произвольной прямой
отрезок АВ = с, строим на его концах
А и В данные углы и продолжаем их
стороны (не совпадающие с АВ) до их
пересечения в точке С. Треугольник
ABC — искомый.
692. Построить треугольник по трем
данным его сторонам: а, Ь> с.
В данный отрезок АВ = с. Из точки
А как из центра описываем дугу ради­
усом, равным й, до пересечения с про­
должением второй стороны данного угла
в точке С. Задача имеет одно решение,
если дуга касается ВС, два решения,
если она пересекает ВС в двух точках,
или не имеет решения, если дуга не
имеет с ВС ни одной общей точки.
Общая схема решения задач
на построение
Решение более сложных задач на
построение состоит из этапов:
1. Анализ
Предположив, что задача решена,
делают от руки чертеж искомой фигу­
ры, стремясь свести задачу к простей­
шим, решение которых известно.
2. Построение
Используя составленный при анали­
зе план решения, следует построение
искомой фигуры.
3. Синтез
Доказательство, что полученная фи­
гура удовлетворяет всем требованиям
задачи на основании известных теорем.
С
Решение.
4. Исследование
Отложив на произвольной прямой
одну из заданных сторон, например,
а, проводим из ее концов радиусами,
равными отрезкам бис, две дуги. Точку
их пересечения соединяем с концами.
693. Построить треугольник по двум
сторонам с и Ъ и углу против одной
из них В.
А
с
в
Решение.
Строим угол Вл равный данному, и
откладываем на его стороне от вершины
72
Определение числа решений и тех
условий, при которых задача становится
возможной и невозможной.
Рассмотрим пример более сложной
задачи на построение.
694. Построить треугольник, если даны
два угла А и В и сумма двух его
сторон с и Ь.
D
А
Анализ.
с
в
Чтобы отыскать способ решения за­
дачи или, как говорят, выполнить ана-
лиз задачи, предположим, что задача
решена и что ААВС — искомый. Найдем
связь между искомыми элементами тре­
угольника и данными задачи.
Отложим на продолжении стороны
АВ за точку А отрезок AD = АС и со­
единим точки С и D; AACD — равно­
бедренный.
LCAB = LCDA + LDCA = 2LCDA.
Следовательно, LCDA = TZ ^САВ.
Треугольник BCD можно построить
по стороне BD = Ь + с и двум приле­
жащим углам D и В. Таким образом,
найдены две вершины В и С искомого
треугольника. Третья А служит верши­
ной равнобедренного треугольника
ACD, в котором известны основание
CD и углы при основании.
Исследование.
Задача имеет единственное решение
при условии, что е сумма двух данных
углов меньше 180 .
Примечание. В дальнейшем при ре­
шении задач на построение мы будем
01раничиваться анализом.
695, Построить треугольник, зная 6,
с, та.
А
Ь/
V ^ ^ v C
С
D
В
Предположим, что задача решена,
т.е. что найден такой ДАВС, у которого
АС = by АВ = с и AD = та. Рассмотрим
Построение.
рисунок и попробуем разбить задачу
На произвольной прямой отклады­ на несколько известных элементарных
ваем отрезок DB, равный данному от­ задач. Но ни один из треугольников
резку Ъ + с. На стороне BD при вершине ABDf ADC, ABC по предложенным дан­
ным строить нельзя.
D строим угол BDC, равный ^-. При
вершине В строим угол DBC, равный
/?. Получили треугольник BCD. Перпен­
дикуляр к середине отрезка DC пере­
секает BD в точке А
Доказательство.
Угол В построенного треугольника
равен данному LB по построению. Угол
CAB построенного треугольника как
внешний угол треугольника ACD равен
LACD + LADC = ^LA + ^LA = LA.
Далее, треугольник ACD — равнобед­
ренный, так как по построению
LDCA = LCDA = ^ LAy
и, следовательно, АС = AD. Поэтому
АС + АВ = DA + АВ = DB.
Треугольник ABC удовлетворяет
всем условиям задачи.
Продолжим медиану AD на такой
же отрезок и полученную точку М со­
единим с точками В и С.
AABD = ACDM по первому призна­
ку равенства треугольников;
BD = DC по условию;
AD = DM по построению;
LADB = LCDM как вертикальные.
Треугольник АМС можно построить
по трем сторонам: AM = 2та, АС = Ь,
СМ = с. D — середина отрезка AM.
На продолжении отрезка CD отло­
жим DB = CD. AAfiC — искомый.
73
696. Построить равнобедренный треу­
гольник по высоте и боковой сто­
роне.
697. Построить равнобедренный треу­
гольник по высоте и углу при ос­
новании.
698. Построить равнобедренный треу­
гольник по основанию и перпенди­
куляру, опущенному из конца ос­
нования на боковую сторону.
699. Построить равнобедренный треу­
гольник по основанию и высоте,
проведенной на основание.
700. Построить прямоугольный треу­
гольник по катету и медиане, про­
веденной на другой катет.
701. Построить прямоугольный треу­
гольник по острому углу и его бис­
сектрисе.
702. Построить прямоугольный треу­
гольник по катету и высоте, опу­
щенной на гипотенузу.
703. Построить
с, hb.
704. Построить
LA, hb.
705. Построить
LA% la.
706. Построить
LC, hb.
707. Построить
треугольник, зная 6,
треугольник, зная 6,
треугольник, зная 6,
треугольник, зная me,
713. Построить треугольник, зная я,
'с> h b .
Метод спрямления
714. Построить прямоугольный треу­
гольник по гипотенузе и сумме ка­
тетов.
715. Построить прямоугольный треу­
гольник по гипотенузе и разности
катетов.
716. Построить прямоугольный треу­
гольник по сумме катетов и острому
углу.
717. Построить прямоугольный треу­
гольник по разности катетов и ос­
трому углу.
718. Построить прямоугольный треу­
гольник по катету и разности гипо­
тенузы и другого катета.
719. Построить прямоугольный треу­
гольник по сумме гипотенузы и ка­
тета Ъ + с и острому углу А.
720. Построить прямоугольный треу­
гольник по периметру и острому
углу.
721. Построить треугольник по стороне,
прилежащему к ней углу и сумме
двух других сторон.
треугольник, зная Ъл
722. Построить треугольник по сумме
сторон а и Ъ, стороне с и углу А.
708. Построить треугольник, зная Ь,
LA, ть.
709. Построить треугольник, зная Z.C,
LA, lb.
710. Построить треугольник, зная Ь,
ащ ть.
711. Построить треугольник, зная Z.C,
LB, К
712. Построить треугольник, зная £,
а, Л,.
723. Построить треугольник по разности
сторон а и Ь> стороне с и углу В.
Щ* hb.
74
724. Построить треугольник, если даны
два его угла А и В и сумма двух
его сторон а и Ь.
725. Построить треугольник, если даны
два его утла А и В и разность двух
его сторон а и Ь.
726. Построить треугольник, если даны
его периметр и два угла А и В.
Алгебраический метод
727. Построить треугольник, зная я,
Ъ + с, Ъ - с.
728. Построить треугольник, зная
а + 6, а + с, а + 6 + с.
729. Построить треугольник, зная
а + Ь, Ь + с, а + с.
730. Построить треугольник, зная
а + 6 + с, а - 6, а - с.
731. Построить треугольник, зная с, 6,
Z-Л + LB.
1Ъ1. Построить треугольник, зная а,
LA + £ £ , LB - Z.C.
733. Построить треугольник, зная а,
Zi4, Z5 - LC.
734. К трем данным отрезкам а% 6, с
найти четвертый пропорциональ­
ный, т.е. найти такой отрезок х,
который удовлетворял бы пропор­
ции а:Ь = с:х (найти отрезок, выЬс
раженный формулой х = — ) .
а
Решение.
Имеем т? =» а • &. х находится спо­
собом построения средней пропорцио­
нальной.
На произвольной прямой отклады­
ваем отрезки АВ = а и ВС = 6; на от­
резке ЛС как на диаметре описываем
полуокружность. Из В восставляем до
пересечения с окружностью перпенди­
куляр BD. Этот перпендикуляр и есть
искомая средняя пропорциональная
между а я о.
736. Построить отрезок, выраженный
формулой х = Va* + 6й.
Решение.
Находим гипотенузу прямоугольно­
го треугольника, у которого а и 6 —
катеты.
737. Построить отрезок,
угрезок, ввыраже:
формулой х Va*-u*.
Решение.
Решение.
Находим катет прямоугольного тре­
угольника, у которого гипотенуза a, a
другой катет ft.
— = —. На сторонах произвольно­
го угла ABC откладываем отрезки
BD = a, BF = 6, ДЕ = с. Точки J3 и Е
соединим. Построим FG || /?£. Отрезок
В(7 будет искомым.
735. Построить отрезок, выраженный
формулой х = Va • b.
75
Метод геометрических мест
Геометрическое место точек (ГМТ) — это совокупность всех точек, каждая
из которых удовлетворяет одному определенному заданному условию.
На понятии о геометрическом месте точек основан прием решения задач на
построение. Он заключается в следующем.
Задача на построение обычно сводится к определению положения на плоскости
одной или нескольких точек, которые должны удовлетворять двум условиям.
Если мы отбросим одно из условий, то оставшемуся условию будут удовлетворять
бесчисленное множество точек, образующих некоторое геометрическое место.
Восстановим отброшенное условие и отбросим другое. Оставшемуся условию
опять будет удовлетворять бесчисленное множество точек, образующих новое
геометрическое место. Искомая точка должна удовлетворять обоим условиям
задачи и, значит, должна принадлежать обоим геометрическим местам. Если
построить каждое из найденных геометрических мест, то точка их пересечения
и будет искомой. Задача будет иметь столько решений, сколько общих точек
имеют найденные геометрические места.
Основные задачи на метод геометрических мест
738. Найти точку, находящуюся от дан­
ной точки А на заданном расстоя­
нии а.
ч
/
i
1
\
v
М
i
х
а
Геометрическое место точек,
отстоящих на расстоянии, равном
q, от данной точки М9 есть окруж­
ность, описанная из центра М ра­
диусом а.
739. Найти точку, находящуюся от дан­
ной прямой на заданном расстоянии.
В
D
С•В
АN
МГеометрическое место точек,
отстоящих на заданном расстоя­
нии а от прямой АВ, составляют
две параллельные прямые CD и
MN, отстоящие от АВ на рассто­
янии а
76
740. Найти точку, находящуюся на оди­
наковом расстоянии от сторон угла.
Геометрическое место точек,
находящихся на равном расстоянии
от сторон угла, есть биссектриса
этого угла.
741. Найти точку, находящуюся на оди­
наковом расстоянии от концов отрезка.
М
В
N
Геометрическое место точек,
находящихся на одинаковом рассто­
янии от концов отрезка, есть пер­
пендикуляр к отрезку, восставлен­
ный из его середины.
Задачи
742. Найти точку, находящуюся на рас­
стоянии а от прямой АД и на рас­
стоянии Ъ от прямой CD.
743. Найти точку, отстоящую от данной
точки А на расстоянии, равном а,
и от данной точки В на расстоянии,
равном Ь.
744. Найти точку, находящуюся на рав­
ных расстояних от двух данных то­
чек М и N, и на равном расстоянии
от сторон данного угла ВАС.
745. Найти точку, находящуюся на дан­
ном расстоянии а от точки С и на
равном расстоянии от точек А
и В.
746. На данной прямой АВ найти точку,
равноотстоящую от двух пересека­
ющихся прямых MN и PQ.
747. На стороне треугольника найти
точку, равноотстоящую от двух дру­
гих сторон треугольника.
748. Найти точку, равноотстоящую от
трех вершин данного треугольника.
749. Найти точку, равноотстоящую от
трех сторон данного треугольника.
750. Построить окружность данного ра­
диуса, проходящую через две дан­
ные точки.
751. Разделить пополам угол между
двумя прямыми, не пересекающи­
мися в пределах чертежа.
Метод параллельного перемещения
Сущность параллельного перемещения заключается в следующем: после пе­
ремещения какого-либо отрезка параллельно своему первоначальному положению,
его новое положение вместе с первоначальным будет составлять пару противо­
положных сторон параллелограмма, чем удобно пользоваться при решении не­
которых задач.
752. Построить трапецию по четырем 753. Построить равнобедренную трапе­
цию по двум основаниям и диаго­
сторонам а, Ьу с, d.
нали.
а
А
Анализ.
Пусть ABCD — искомая трапеция.
Перенесем CD параллельно самой себе
в BE.
В полученном после перемещения
треугольнике ABE
АЕ= a- b, ВЕ = d, АВ = с.
Следовательно, этот треугольник мо­
жет быть построен по трем сторонам.
Построив его, легко найти оставшиеся
точки С и D.
D
b
E
Анализ.
Пусть ABCD — искомая трапеция.
Перенесем BD параллельно самой себе
в СЕ.
В полученном после перемещения
треугольнике АСЕ
АЕ = а + Ь% CE = BD = d, AC = d.
Следовательно, этот треугольник мо­
жет быть построен по трем сторонам.
Построив его, легко найти оставшиеся
точки D и В.
77
Задачи
754. Построить треугольник по основа­
нию с и медианам р и q его боковых
сторон.
755. Построить параллелограмм по двум
смежным сторонам и одной диаго­
нали.
756. Построить параллелограмм по двум
диагоналям и стороне.
757. Построить параллелограмм по двум
смежным сторонам и одному из уг­
лов.
758. Построить параллелограмм по двум
диагоналям и высоте.
759. Построить параллелограмм по ди­
агонали, стороне и высоте, опущен­
ной на эту сторону.
760. Построить параллелограмм по ди­
агонали, стороне и высоте, опущен­
ной на другую сторону.
761. Построить прямоугольник по смеж­
ным сторонам.
762. Построить прямоугольник по сто­
роне и диагонали.
763. Построить прямоугольник по ди­
агонали и углу между диагоналями.
764. Построить ромб по стороне и од­
ному из углов.
765. Построить ромб по диагонали и
одному из углов.
766. Построить ромб по двум диагона­
лям.
767. Построить ромб по диагонали и
высоте.
768. Построить ромб по высоте и од­
ному из углов.
769. Построить квадрат по его диаго­
нали.
78
770. Построить трапецию, если даны ее
диагонали, угол между ними и бо­
ковая сторона.
771. Построить трапецию по двум па­
раллельным сторонам и двум диа­
гоналям.
772. Построить трапецию по одному ее
углу, двум диагоналям и средней
линии.
Принятые обозначения
в трапеции ABCD:
основания
о AD = a
* вс = ъ
АВ = с
CD = d
боковые стороны
диагонали:
АС = е
BD=f
углы LA, LB, LC, LD
угол между диагоналями — LM
высота трапеции — А,
средняя линия — т .
Построить трапецию, если даны:
773.
774.
775.
776.
777.
778.
a,
а,
а,
а,
я,
а,
by с, е.
с, d, е.
с, </, А.
£, /, Л.
£, с, Л.
6, е, Л.
779. а, с, d9 LA.
780. я, Ь> с, LB.
781.
782.
783.
784.
а, с, е,
а, A, LA,
а, Ь, LA,
а, с, m,
LM.
AD.
LD.
LA.
Задачи на окружность
785. Определить центр данной окруж­ I середины отрезка АВ. LACB% как цен­
тральный, должен быть в два раза боль­
ности.
ше данного вписанного угла, a LACD
должен быть равен данному. Отсюда
В
следует построение.
Построение.
Из середины D отрезка АВ восстав­
ляем к нему перпендикуляр и при ка­
кой-нибудь его точке К строим угол,
О
равный данному, одной стороной кото­
рого служит KD. Из точки А проводим
прямую, параллельную второй стороне
построенного угла. Она пересечет пря­
Анализ.
мую KD в точке С.
Возьмем на окружности три произ­
Из точки С как из центра радиусом
вольные точки А, В и С. Будем искать СА описываем дугу.
центр окружности, проходашщй через
эти точки. Геометрическое место точек, 787. Через данную точку, лежащую на
окружности, провести к данной ок­
равноотстоящих от двух данных точек
ружности касательную.
А и 2?, есть перпендикуляр, проходящий
А
С
В
через середину отрезка АВ.
Аналогично, центр окружности ле­
жит на перпендикуляре, проходящем
через середину отрезка ВС.
Итак, искомый центр лежит на пе­
ресечении перпендикуляров, проведен­
ных к серединам хорд АВ и ВС.
786. На отрезке АВ как на хорде по­
строить дугу окружности так, чтобы
вписанный угол, опирающийся на
эту дугу, был равен данному.
У
i
Анализ.
Х ^
с
D^I
0
Анализ.
Предположим, С — точка касания
прямой АВ с окружностью. Радиус ок­
ружности, проведенный в точку каса­
ния, перпендикулярен касательной. От­
куда следует построение.
Построение.
Проведем радиус окружности ОС и
через конец его С строим перпендику­
ляр АВ к этому радиусу.
788. Через данную точку А9 лежащую
вне окружности центра О, провести
к окружности касательную.
Предположим, что задача решена и
Анализ.
С есть центр искомой дуги. Так как
отрезок АВ служит хордой искомой ду­
Допустим, задача решена. В — точ­
ги, то точка С лежит на перпендикуляре ка касания искомой касательной АВ.
CD к прямой АВ, восставленном из I ЬАВО — прямоугольный.
79
если опишем с центром в точке О ра­
диусом ОС окружность, то она будет
касаться прямой ОхС в точке С.
Радиус этой вспомогательной ок­
ружности равен разности радиусов дан­
ных окружностей.
Построение.
Соединим точки О и А. Разделим
АО пополам. Из полученной точки М
радиусом МО описываем окружность.
Через точки В и JBlf в которых эта
окружность пересекается с данной, про­
водим прямые АВ и АВХ. Эти прямые
и будут касательными, так как углы
АВО и АВХ О9 как опирающиеся на ди­
аметр, — прямые.
Описываем окружность с центром i
точке О и радиусом, равным разноси
данных радиусов. Из Ох проводим *
этой окружности касательную ОхС; че­
рез точку касания С проводим радиус
ОС и продолжаем его до встречи <
данной окружностью в точке А. Зател?
из точки А проводим АВ параллель­
но СОх.
790. К двум окружностям О YLOX про­
вести общую внутреннюю касатель­
Следствие. Две касательные, проведен­
ную.
ные к окружности из точки вне ее,
равны и образуют равные углы с
Анализ.
прямой, соединяющей эту точку с
Предположим, задача решена. Пусп
центром.
АВ будет общая касательная, А и 5 точки касания. Проведем радиусы О/
789. К двум окружностям О и Ох про­
вести общую внешнюю касатель­
ную.
Анализ.
Предположим, задача решена. Пусть
АВ будет общая касательная, А и В —
точки касания. Проведем радиусы ОА
и ОхВ. Эти радиусы, будучи перпенди­
кулярными к общей касательной, па­
раллельны между собой; поэтому, если
из Ох проведем ОхС || ВА, то треуголь­
ник ОСОх будет прямоугольный с пря­
мым углом при вершине С. Значит,
80
и ОхВ. Эти радиусы, будучи перпенди­
кулярными к общей касательной, па­
раллельны между собой. Поэтому, ест
из Ох проведем ОхС || ВА и продол­
жим ОА до пересечения с ОхС в точк<
С, то ОС ±ОхС\ вследствие этого ок­
ружность, описанная радиусом ОС <
центром в точке О, будет касаться пря­
мой ОхС в точке С. Радиус этой вспо­
могательной окружности известен: о*
равен ОА + АС = ОА + ОхВ% т.е. раве!
сумме радиусов данных окружностей.
Построение.
конец, через точку Л, в которой ОС
Описываем окружность с центром в пересекается с данной окружностью,
точке О и радиусом, равным сумме проводим АВ параллельно СОх.
данных радиусов. Из Ох проводим к
Подобным образом можно построэтой окружности касательную ОхС. тъ и ДРЗ^У10 общую внутреннюю каТочку касания С соединяем с О. На- | с а т е л ь н У ю -
Метод подобия
Во многих задачах на построение условие задачи удается разделить на две
такие части, что одна часть условий вполне определяет форму искомой фигуры,
а другая определяет ее размер.
Применение метода подобия состоит в том, что сначала по тем элементам,
которые определяют форму фигуры, строят фигуру, подобную искомой, а затем
при помощи подобного преобразования придают ей тот размер, который соот­
ветствует второй части задачи.
791. Построить треугольник по двум
углам А и В и медиане тс.
С
отрезка аг и ^, отношение которых
равно а: 6, и построим треугольник
АВ'С по двум сторонам щ и 1\ и углу
между ними С. Этот треугольник будет
подобен искомому.
С
Af
Решение.
По двум углам Л и В можно по­
строить треугольник АХВХС подобный
данному. Если за центр подобия взять
вершину С, то подобное преобразование
можно выполнить так: на медиане
CDX построенного треугольника откла­
дываем отрезок CD, равный заданной
длине т0 и через точку D проведем
прямую, параллельную АХВХ, пересека­
ющую прямые САХ и СВХ в точках А
и В. Треугольник АСВ — искомый.
792. Построить треугольник, если даны
а: *, LC и Ас.
Решение.
Первые два данных условия а: Ь и
LC вполне определяют форму искомого
треугольника. Возьмем какие-либо два
За центр подобия удобно взять вер­
шину С. На высоте CD1 треугольника
А'В'С или на ее продолжении откла­
дываем отрезок CD = А и через точку
D проводим прямую, параллельную
А'В' до пересечения со сторонами
СА9 и СВ' (или их продолжениями) в
некоторых точках А и В. Треугольник
ABC — искомый.
793. В данный треугольник вписать
квадрат так, чтобы две его вершины
лежали на основании треугольника,
а две другие — на его боковых
сторонах.
81
Решение.
В данном треугольнике ABC проводим
отрезок MN (| АС ъ на отрезке MN
строим квадрат MNPQ. Приняв за центр
подобия вершину В, проводим прямые
ВР и BQ и продолжаем их до пересече­
ния в точках Р' и Q со стороной АС.
Квадрат M'N'Q'P' — искомый.
Задачи
794. Построить треугольник,
LA, LB, 1а.
795. Построить треугольник,
LA, LB, Лс.
796. Построить треугольник,
LA, LB, г.
797. Построить греугольник,
а: 6, LC, ma.
798. Построить треугольник,
а : b, LC, /в.
если даны
если даны
если даны
если даны
если даны
799. Построить треугольник, если даны
hc: /с, LA, т с .
800. Построить параллелограмм, если
даны: отношение двух его сторон,
угол и одна из диагоналей.
801. Построить параллелограмм, если
даны: высота, отношение диагоналей
и угол между ними.
802. В данный ромб вписать квадрат,
вершины которого лежат на сторо­
нах ромба.
Метод симметрии
Иногда, производя анализ задачи, бывает удобно для всей фигуры или ее
части построить фигуру, ей симметричную относительно какой-либо оси. После
такого построения иногда обнаруживается такая зависимость между элементами
фигур, которую раньше трудно было заметить.
804. Дана прямая / и две точки А и Этому условию, очевидно, удовлетво­
В по одну сторону от нее. Найти ряет X — точка пересечения данной
на прямой такую точку X. чтобы прямой / и прямой АВ'.
сумма расстояний АХ + ВХ оыла
на­ 805. На бесконечной прямой АВ найти
в
именьшей.
такую точку С, чтобы прямые СМ
и
CN, проведенные из точки С к
Решение.
данным точкам М и N, расположен­
ным по одну сторону от АВ, состав­
ляли с прямыми СА и СВ равные
углы.
806. Даны две окружности с центрами в
точках О и Oj и не пересекающая
их прямая АВ. Найти на прямой
АВ точку X такую, чтобы касательные
Построим точку 2?', симметричную
из нее к данным окружностям были
точке В относительно прямой /.
наклонены к АВ под равными углами.
Пусть X — искомая точка, тогда 807. Дан угол ABC и точка М внутри
ВХ = В'Хж АХ + ХВ = АХ + ХВ'; сле­
него. Найти на одной стороне угла
довательно, задача сводится к нахож­
точку X и на другой — точку У
дению точки X такой, что сумма
тах, чтобы периметр треугольника
АХ + ХВ' имеет наименьшую величину.
MXY был наименьшим.
82
Задачи
808. В треугольнике проекции боковых
сторон на основание равны 5 м и
9 м, а большая боковая сторона
равна 15 м.
На какие части делится эта боковая
сторона перпендикуляром к основа­
нию, проходящим через его сере­
дину?
809. Основание равнобедренного треу­
гольника равно 3 м, а каждая из
боковых сторон равна б м. Прямая,
параллельная основанию, отсекает
от треугольника трапецию, верхнее
основание которой равно сумме бо­
ковых сторон.
Определить стороны трапеции.
810. В треугольник вписан параллелог­
рамм, угол которого совпадает с уг­
лом треугольника. Стороны треу­
гольника, заключающие этот угол,
равны 20 см и 25 см, а параллельные
им стороны параллелограмма отно­
сятся как 6:5.
Определить стороны параллело­
грамма.
811. В треугольник, основание которого
равно 48 м, а высота 16 м, вписан
прямоугольник с отношением сторон
5:9, причем большая сторона лежит
на основании треугольника.
Определить стороны прямоуголь­
ника.
812. Основание равнобедренного треу­
гольника равно 6 м, а высота 9 м.
Найти стороны вписанного в тре­
угольник прямоугольниха, если его
диагонали параллельны боковым
сторонам треугольника.
813. Сумма гипотенузы и одного из
катетов прямоугольного треугольни­
ка равна 49 см, а другой катет равен
разные
35 см.
Найти гипотенузу и первый катет.
814. Катеты прямоугольного треуголь­
ника 12 см и 35 см.
Определить медиану гипотенузы.
815. Биссектриса острого угла прямо­
угольного треугольника делит про­
тивоположный катет на части в 4
см и 5 см.
Найти гипотенузу.
816. Высота, опущенная на гипотенузу
данного прямоугольного треуголь­
ника, делит его на два прямоуголь­
ных треугольника. Медианы этих
треугольников, проведенные к их
гипотенузам, равны 3 м и 4 м.
Определить медиану данного треу­
гольника, проведенную к гипоте­
нузе.
817. Высота треугольника, опущенная
на основание, равна 12 см, а углы
при основании 45* и 60е.
Найти стороны треугольника.
818. Диагонали ромба 24 см и 70 см.
Определить высоту ромба.
819. В равнобедренном треугольнике
высота, опущенная на боковую сто­
рону, делит ее на отрезки 7 см и
2 см, считая от вершины.
Определить основание треуголь­
ника.
820. В равнобедренном треугольнике
высота, опущенная на основание,
равна 20 см; высота, опущенная на
боковую сторону, равна 24 см.
Определить стороны треугольника.
821. Гипотенуза прямоугольного треу­
гольника больше одного из катетов
на 25 см и больше другого на 2 см.
Найти стороны треугольника.
83
822. Биссектриса прямого угла прямо­
угольного треугольника делит гипо­
тенузу на части в отношении 2:5.
В каком отношении делится гипо­
тенуза высотой, проходящей через
вершину прямого угла?
823. Высота, опущенная на боковую
сторону равнобедренного треуголь­
ника, делит ее на отрезки 3 см и
2 см, считая от вершины.
Найти длину этой высоты и пери­
метр данного треугольника.
824. Из точки, лежащей на стороне
равностороннего треугольника и де­
лящей ее на отрезки 1 см и 3 см,
опущены перпендикуляры на две
другие стороны.
Найти длины этих перпендикуля­
ров.
825. Меньшее основание равнобедрен­
ной трапеции равно 10 м, а периметр
ее равен 56 м. Диагональ трапеции
делит тупой угол ее пополам.
Найти высоту трапеции.
82б.Основание равнобедренного треу­
гольника равно 18 см, а боковая
сторона равна 27 см.
Определить стороны треугольника,
вершинами которого служат осно­
вания высот данного.
827. Прямоугольный треугольник вы­
сотой, проведенной через вершину
прямого угла, делится на два треу­
гольника. Медианы прямых углов
этих двух треугольников равны
1,2 м и 2 м.
Определить биссектрису прямого
угла данного треугольника.
828. Определить в треугольнике третью
сторону, если две другие образуют
угол 60° и соответственно равны 5 см
и 8 см.
829. Определить в треугольнике третью
сторону, если две другие образуют
84
угол 120е и соответственно равны
3 см и 5 см.
830. Определить в треугольнике третью
сторону, если две другие образуют
угол 45° и соответственно равны 2 см
и 3 см.
831. Стороны треугольника относятся
между собой как 13:14:15, а высота,
опущенная на среднюю по величине
сторону, равна 36 см.
Найти стороны треугольника.
832. Две стороны треугольника соот­
ветственно равны 8 см и 13 см, а
угол против большей из них ра­
вен 60°.
Определить третью сторону.
833. Одна из сторон треугольника равна
13 см, а угол, лежащий против этой
стороны, равен 120е; сумма двух
других сторон треугольника рав­
на 15 м.
Определить стороны треугольника.
834. Основание треугольника равно
22 см, а боковые стороны равны
15 см и 23 см.
Определить медиану основания.
835. В треугольнике ABC: АВ = 13 см,
ВС = 14 см, АС = 15 см.
Определить высоту, опущенную на
сторону ВС.
836. Основание треугольника равно 2 м,
а прилежащие к нему углы равны
30° и 45°.
Определить боковые стороны тре­
угольника.
837. Стороны данного параллелограмма
соответственно равны 12 см и 14 см,
а диагонали относятся как 7:11.
Определить длины диагоналей.
838. Основания трапеции равны 9 см
и 4 см, а боковые стороны 3 см
и 4 см.
Определить высоту трапеции.
839. Из точки, данной на окружности,
проведены две хорды, каждая из ко­
торых равна радиусу.
Найти угол между ними.
840. В круге даны две взаимно перпен­
дикулярные хорды, каждая из ко­
торых делится другой на два отрезка
в 3 см и 7 см.
Найти расстояние каждой хорды от
центра.
841. Хорда пересекает диаметр под уг­
лом 30° и делит его на два отрезка
в 3 см и 7 см.
Найти расстояние хорды от центра.
842. Из одной точки окружности про­
ведены взаимно перпендикулярные
хорды, которые удалены от центра
на 6 см и на 10 см.
Определить их длину.
843. Даны две концентрические окруж­
ности. В большей окружности даны
две взаимно перпендикулярные хор­
ды, касательные к меньшей, каждая
из хорд делится другой на части в
3 см и 7 см.
Найти радиус меньшей окружности.
844. Из точки М, лежащей вне окруж­
ности, проведены к ней две секущие,
образующие угол в 45°. Меньшая
дуга окружности, заключенная меж­
ду сторонами угла, равна 30е.
Сколько градусов в большей дуге?
845. АВ — диаметр, ВС — касательная.
Секущая АС делится большей ок­
ружностью (в точке D) пополам.
Определить угол CBD.
846. В окружности, радиус которой ра­
вен 14 см, определить расстояние
от центра до хорды, стягивающей
дугу в 120е.
847. Боковая сторона равнобедренного
треугольника равна 2 см, угол при
вершине равен 120°.
Определить диаметр описанной ок­
ружности.
848. Меньшая сторона прямоугольника
равна 1 м, острый угол между
диагоналями равен 60°.
Найти радиус описанной окружно­
сти.
849. В прямоугольном треугольнике ка­
теты равны 12 см и 5 см.
Определить радиус вписанной ок­
ружности.
850. Радиус окружности равен 25 см,
а две параллельные хорды этой
окружности соответственно равны
14 см и 40 см.
Определить расстояние между хор­
дами.
851. В окружность радиуса 5 см вписан
прямоугольный треугольник так, что
один из катетов вдвое ближе к цен­
тру, чем другой.
Определить катеты.
852. Радиусы двух пересекающихся ок­
ружностей равны 15 см и 20 см.
Определить расстояние между цен­
трами окружностей, если длина из
общей хорды равна 24 см.
853. Радиусы двух окружностей, имею­
щих внешнее касание, соответст­
венно равны 4 м и 9 м.
Определить длину отрезка их общей
внешней касательной между точка­
ми прикосновения.
854. В равнобедренной трапеции осно­
вания равны 8 м и 6 м, а высота
равна 7 м.
Определить радиус описанной око­
ло этой трапеции окружности.
855. Катеты прямоугольного треуголь­
ника равны 3 м и 4 м.
Определить радиус вписанной ок­
ружности.
856. Катеты прямоугольного треуголь­
ника равны 3 см и 6 см.
Определить радиус окружности, ка­
сающийся катетов этого треуголь­
ника и имеющий центр на гипоте­
нузе.
85
857. Стороны прямоугольника 2 см и
24 см.
Найти стороны равновеликого ему
прямоугольника, если их отношение
равно 3:4.
858. Сторона прямоугольника относится
к его диагонали, как 3:5, в другая
сторона равна 8 см.
Найти площадь прямоугольника.
859. Периметр прямоугольника
равен
14 м, а площадь 12 м2.
Найти диагональ этого прямоуголь­
ника.
860. Стороны прямоугольника 3 м и
1 м.
Найти площадь четырехугольника,
образованного биссектрисами всех
углов прямоугольника, проведен­
ными до взаимного пересечения.
861. Высоты параллелограмма относят­
ся, как 2:3, периметр еего равен
40 см, а острый угол 30 .
Определить площадь параллелог­
рамма.
862. Площадь
параллелограмма равна
36 см2, а расстояние от точки пе­
ресечения диагоналей до сторон со­
ответственно равны 2 см и 3 см.
Найти периметр параллелограмма.
863. Высота ромба равна 24 см, а одна
из его диагоналей равна 30 см.
Найти площадь ромба.
864. Доказать, что сумма расстояний
от точки, взятой внутри равносто­
роннего треугольника, до его сторон
равна высоте треугольника.
865. Перпендикуляры, опущенные из
точки, лежащей внутри равносто­
роннего треугольника со стороной,
равной 12 см, на стороны треуголь­
ника, относятся между собой как
1:2:3.
Найти длины этих перпендикуля­
ров.
ЯА
866. Сумма двух сторон треугольника
равна 15 см, а высоты, опущенные
на эти стороны, равны 4 см и 6 см.
Определить площадь треугольника.
867. Две стороны треугольника равны
10 см и 14 см, а угол против первой
из них равен 45е.
Найти площадь треугольника.
868. Определить площадь равнобедрен­
ного треугольника, если основание
равно 30 см, а высота, опущенная
на боковую сторону, равна 24 см.
869. Стороны треугольника равны
26 см, 28 см и 30 см.
Определить площади треугольни­
ков, на которые разбивается данный
треугольник высотой и медианой,
проведенными к средней по вели­
чине стороне.
870. Определить площадь треуголь­
ника, если две стороны его равны
27 см и 29 см, а медиана третьей
стороны равна 26 см.
871. Найти площадь равнобедренного
треугольника, если высота, опущен­
ная на основание, равна 20 см, а
высота, опущенная на боковую сто­
рону, равна 24 см.
872. Катеты прямоугольного треуголь­
ника равны 6 см и 8 см, в треу­
гольнике дана точка на расстоянии
2 см от каждого катета.
Найти расстояние данной точки от
гипотенузы.
873. Медианы равнобедренного треу­
гольника равны 18 см, 15 см и 15 см.
Найти площадь этого треугольника.
874. Стороны треугольника относятся
между собой, как 4:13:15, а площадь
равна 96 см2.
Найти стороны треугольника.
875. Стороны треугольника равны 4 см,
13 см и 15 см. Внутри треугольника
дана точка на расстоянии 5 см от
первой стороны и на расстоянии 1 см
от второй.
Найти расстояние данной точки от
третьей стороны.
876. Основание треугольника равно 10
см, медианы боковых сторон равны
9 см и 12 см.
Найти площадь треугольника.
877. Площадь треугольника равна
84 см2, а две его стороны равны 15
см и 14 см.
Найти третью сторону.
878. Основания равнобедренной трапе­
ции равны 7 см и 13 см, а ее площадь
равна 40 см2.
Определить периметр трапеции.
879. Основания трапеции б см и 20 см,
а боковые стороны 13 см и 15 см.
Определить площадь трапеции.
880. Основания трапеции Зсм и 12 см,
а одна из боковых сторон 17 см.
Определить другую боковую сто­
рону, если площадь трапеции равна
60 см2.
881. Высота трапеции равна 12 см, а
диагонали ее равны 20 см и 15 см.
Найти площадь трапеции.
Задачи на р жазательство
882. Доказать, что угол, дополняющий 888. Доказать, что если в треугольнике
меньший из двух смежных углов до
две высоты равны между собой, то
прямого, равен полуразности смеж­
такой треугольник равнобедренный.
ных углов.
889. Доказать, что если две стороны
и медиана одного треугольника со­
883. Доказать, что биссектрисы двух
смежных углов взаимно перпенди­
ответственно равны двум сторонам
кулярны.
и медиане другого треугольника, то
такие треугольники равны.
884. На каждой стороне равносторон­
Рассмотреть два случая:
него треугольника ABC отложены
1) медиана проведена к одной из
равные отрезки АВХ = ВСХ = САХ.
данных сторон;
Точки Ах, Вг и С] соединены от­
2) медиана проведена между дан­
резками прямых.
ными сторонами).
Доказать, что треугольник AiB{Ci
890. Из вершины треугольника ABC
тоже равносторонний.
проведена прямая, параллельная
885. Доказать, что в треугольнике сто­
биссектрисе угла В, до пересечения
рона меньше половины периметра.
в точке D с продолжением сторо­
ны
АВ.
886. Доказать, что сумма расстояний
Доказать,
что BD = ВС.
от какой-нибудь точки внутри тре­
угольника до его вершин
891. Доказать, что во всяком треу­
1) меньше периметра и
гольнике биссектриса лежит между
высотой и. медианой, исходящими
2) более половины периметра.
из той же вершины.
887. Доказать, что прямая, перпенди­
кулярная к биссектрисе угла, отсе­ 892. Из вершины прямого угла прямо­
кает от его сторон равные отрезки.
угольного треугольника проведены:
87
биссектриса прямого угла, медиана
гипотенузы и высота, опущенная на
гипотенузу.
Доказать, что биссектриса делит
пополам угол между высотой и ме­
дианой.
893. Доказать, что если медиана равна
половине стороны, к которой она
проведена, то треугольник прямо­
угольный.
894. Доказать, что в прямоугольном
треугольнике медиана, проведенная
к гипотенузе, равна ее половине.
895. Доказать, что медиана треуголь­
ника меньше полусуммы сторон, ис­
ходящих из той же вершины.
896. Доказать, что сумма медиан тре­
угольника меньше периметра, но
больше полупериметра треуголь­
ника.
897. Доказать, что в прямоугольном
треугольнике медиана и высота, про­
веденные к гипотенузе, образуют
угол, равный разности углов треу­
гольника.
898» Доказать, что в равнобедренном
треугольнике сумма расстояний
каждой точки основания от боковых
сторон есть величина постоянная,
равная высоте, опущенной на боко­
вую сторону.
899. Доказать, что если один из углов
треугольника равен сумме двух дру­
гих, то треугольник прямоугольный.
900. Доказать, что биссектриса внеш­
него угла при вершине равнобед­
ренного треугольника параллельна
основанию.
901. Доказать, что сумма расстояний
от любой точки, лежащей внутри
параллелограмма, до всех его сторон
есть величина постоянная.
88
902. Доказать, что середины сторон
любого выпуклого четырехугольни­
ка служат вершинами параллелог­
рамма.
903. Доказать, что если каждую из
середин двух противоположных сто­
рон всякого четырехугольника сое­
динить с серединами диагоналей, то
образуется параллелограмм.
904. Доказать, что биссектрисы углов
прямоугольника своим пересечени­
ем образуют квадрат.
905. Доказать, что основания перпен­
дикуляров, опущенных из точек пе­
ресечения диагоналей ромба на его
стороны, образуют вершины пря­
моугольника.
906. Доказать, что отрезки, соединя­
ющие середины смежных сторон
равнобедренной трапеции, образуют
ромб.
907. Доказать, что если в трапеции
сумма противоположных углов рав­
на 180% то такая трапеция равно­
бедренная.
908. Доказать, что если углы при ос­
новании трапеции различны, то раз­
ность проекций боковых сторон тра­
пеции на ее основание равна раз­
ности оснований трапеции.
909. Доказать, что отрезок, соединя­
ющий середины диагоналей трапе­
ции, параллелен ее основаниям и
равен их полуразности.
910. Доказать, что биссектрисы углов,
прилежащих к одной из непарал­
лельных сторон трапеции, пересека­
ются под прямым углом в точке,
лежащей на средней линии трапе­
ции.
911. Доказать, что угол, образуемый
двумя касательными, вдвое больше
угла, образуемого хордой, соединя­
ющей точки касания, с радиусом,
проведенным в одну из этих точек.
912. Доказать, что радиус окружности,
вписанной в равносторонний треу­
гольник, в два раза меньше радиуса
описанной окружности, а сумма обо­
их радиусов равна высоте треуголь­
ника.
913. Доказать, что сумма диаметров
окружностей, вписанной в прямо­
угольный треугольник и описанной
около него, равна сумме его катетов.
914. Диаметр АВ и хорда АС образуют
угол 30е. Через точку С проведена
касательная, пересекающая продол­
жение АВ в точке D.
Доказать, что треугольник ACD —
равнобедренный.
915. Доказать, что если два круга ка­
саются внешним образом, то часть
внешней общей касательной, огра­
ниченная точками касания, есть
средняя пропорциональная между
диаметрами кругов.
916. Если в прямоугольный треугольник
ABC вписать квадрат DEFK так,
чтобы сторона FK лежала на гипо­
тенузе АВ, то эта сторона есть сред­
няя пропорциональная меду отрез­
ками гипотенузы BF и КА (точки
на гипотенузе следуют в таком по­
рядке: В, F, К, А).
Доказать, что FK = VBF • КА.
Задачи на построение
917. Построить треугольник, если даны I 927. Построить прямоугольник по сто­
роне и разности диагонали с другой
середины его сторон.
стороной.
918. Построить треугольник по двум
928. Построить ромб по стороне и
медианам и углу между ними.
диагонали.
919. Построить треугольник по высоте,
опущенной на основание, и медиа­ 929. Построить ромб по углу и диаго­
нам боковых сторон.
нали, проходящей через вершину
920. Построить треугольник по основа­
этого угла.
нию и медианам боковых сторон.
930. Построить ромб по сумме диаго­
налей и углу, образованному диа­
921. Построить параллелограмм, если
гональю со стороной.
даны периметр, одна диагональ и
угол между диагональю и стороной. 931. Построить ромб, если даны сумма
стороны и диагонали и один из уг­
922. Построить параллелограмм, если
лов.
даны две высоты, проведенные из
932. Построить ромб, если даны раз­
одной вершины, и угол.
ность стороны и диагонали и один
923. Построить прямоугольник по сто­
из углов.
роне и сумме диагоналей.
933.
Построить ромб, если даны сторона
924. Построить прямоугольник по
и сумма диагоналей.
диагонали и сумме двух неравных
сторон.
934. Построить ромб, если даны сторона
и разность диагоналей.
925. Построить прямоугольник по диа­
гонали и разности двух неравных 935. Построить ромб, если даны сумма
диагоналей и угол между стороной
сторон.
и диагональю.
926. Построить прямоугольник по сто­
роне и сумме диагонали с другой 936. Построить равносторонний треу­
гольник по радиусу описанной ок­
стороной.
ружности.
89
937. Построить равносторонний треу­
гольник по радиусу вписанной ок­
ружности.
938. Построить равнобедренный треу­
гольник по боковой стороне и ра­
диусу описанной окружности.
939. Построить равнобедренный треу­
гольник по основанию и радиусу
описанной окружности.
940. Построить равнобедренный треу­
гольник по высоте, проведенной на
основание, и радиусу описанной ок­
ружности.
941. Построить равнобедренный треу­
гольник по высоте, проведенной на
основание, и радиусу вписанной ок­
ружности.
942. Построить равнобедренный треу­
гольник по основанию и радиусу
вписанной окружности.
943. Построить равнобедренный треу­
гольник по углу при вершине и ра­
диусу вписанной окружности.
944. Построить прямоугольный треу­
гольник по катету и радиусу впи­
санной окружности.
945. Построить прямоугольный треу­
гольник по гипотенузе и радиусу
вписанной окружности.
946. Построить прямоугольный треу­
гольник, если даны радиусы вписан­
ной и описанной окружностей.
90
947. Построить прямоугольный треу­
гольник по острому углу и радиусу
описанной окружности.
948. Построить треугольник по основа­
нию, высоте, проведенной к осно­
ванию, и радиусу описанной окруж­
ности.
949. Построить треугольник по стороне,
углу, прилежащему к этой стороне,
и радиусу описанной окружности.
950. Построить треугольник по стороне,
медиане, проведенной к этой сторо­
не, и радиусу описанной окружно­
сти.
951. Построить треугольник, если даны
высота, проведенная к основанию,
угол при основании и радиус опи­
санной окружности.
952. Построить треугольник, если даны
боковая сторона, высота, проведен­
ная к основанию, и радиус описан­
ной окружности.
953. Построить треугольник по высоте
и биссектрисе, проведенных из вер­
шины одного из углов, и радиусу
описанной окружности.
954. Построить треугольник по стороне,
углу, прилежащему к этой стороне,
и радиусу вписанной окружности.
955. Построить треугольник по боковой
стороне, высоте, проведенной к ос­
нованию, и радиусу вписанной ок­
ружности.
Раздел 4.
Задача
Задачи для кружковой и факультативной работы
в
954.
Дано: ААВС, АК1 ВС, BD ± АС.
Доказать, что ACKD v> ААВС.
*ADBP
= ^
= c o s ^ - I
(задача 956), откуда
Решение.
ААКС v> ABDC UC — общий,
LAKC = LBDC = 90*), поэтому
КС
АС
(*)
DC* ВС4
AKDC<*AABC {LC — общий, а стороны, его заключающие, пропорцио­
нальны). Из соотношения (*) имеем:
^
= ^
cos*U>*
АС
ВС С0 U K
{к — коэффициент подобия).
Вывод: прямая, соединяющая осно­
вания высот остроугольного треуголь­
ника, отсекает от этого треугольника
подобный ему треугольник.
1
АС = 3DP т б VT, cos LB
тогда sin LB
Из
АС
sin5l
3*
2VT
3 '
= 2R находим
*
Ответ. 4,5.
Задача 958.
Дано: ААВС, AM 1 ВС, CD IAB,
AK1KF, CFLKF.
Доказать, что KD - MF.
Задача 957.
Дано: ААВС, АР 1 ВС, CD I AB9
SABC=1&>
SDBP = 2> PD =
2VT.
Найти: R (радиус окружности, описан­
ной вокруг ААВС).
Решение.
ADBP ел ААВС,
a, L2=0.
Тогда
91
Z3 = 9 0 e - a , Z.4 = 90e-jff,
AABCv>ADBM (задача 956),
Л — радиус окружности, описанной
вокруг ДАЕяС,
АВ _ ВМ_ 2R sin (90° - а) _
ВС
BD
2R sin (90е - £)
_ cosa
cos£'
но АВ • CD = ВС • AMу откуда
АВ
AM
Имеем:
ВС
CD
cosa
AM
-тт^г *
*> AM • cos В = CD cos a,
CD
cosj3' \
7 \—^_J/
у
AD + DM = DM + MF, KD = MF.
Задача 959.
Дано: ААВС, О — центр описанной
окружности, АЕ 1 ВС, CD 1 АВ.
Доказать, что DJS ± ВО.
LABC — р,
Найдите: АС.
SNQMB
— о.
Решение.
ZATB = 90° (задача 958), тогда
MN- ВО
(*)
* ~
2
•
Д#ВМ ел ААВС.
Коэффициент подобия cos/? (задача
956), -^£- = cos/З, откуда
MN = AC cos )3,
(1)
^4С_ = 2 • ВО (теорема синусов),
sin/3
АС = 2 -ВО sin £.
(2)
Подставляя (1) и (2) в формулу
(*), получим
AC cos p АС
АС*
Решение.
Пусть Z.CMB = LABO = а, тогда
LAOB = 180е - 2a, ZACB = LBHE (уг­
лы со взаимно перпендикулярными сто­
ронами), но LBHE я ZBDE = 90е - а
(задача 957),
LBDE + LDBO = 90е - a + а = 90%
значит, ZBA/D = 90e.
Задача 960.
Ддно: ААВС, О — центр описанной
окружности, AM 1 ВС, С / / 1 АВ,
92
* "
4sin£
4tg£'
откуда АС = 2 VS • tg/3.
Ответ: 2V5 • tg0.
Задача 961.
Дано: ААВС, АЕ 1 ВС, BD J. АС,
CM LAB.
Доказать, что Z.1 = Z.2, Z.3 = Z.4,
Z5 = Z.6.
Решение.
Вокруг четырехугольников МВЕН,
DHEC, AMHD можно описать окруж­
ности (почему?).
А
Решение.
Пусть Zl = Ll = а
(вписанные,
опирающиеся на одну и ту яге дугу).
Тогда LBAC = 90 е - a , Lb = а,
Z.8 = Z.2 = ее
(вписанные, опирающиеся на одну и
ту же дугу).
Значит, L\ = Z.2. Аналогично дока­
зать, что Z3 = Z.4, Z5 = Lb.
Задача 962.
Дано: ААВС, О — центр описанной
окружности, BE LAC, АР L ВС.
Доказать, что AM = М 5 и DM = МК.
<
Пусть Z. 1 = а, тогда
ZA4P = 90° - a, Z.2 = а.
Значит, Z.1 = Z.2 и ^ВХА = ^АС\.
Аналогично доказать справедливость
остальных равенств.
Задача 964.
Дано: ДАВС, вписанный в окружность,
ВМ 1 AC, CD JL AB, AF ± ВС.
Доказать, что НМ = МК, HD = DP,
HF = FN. Z*
^В
к
Задача 965.
Дано: tsABC, CN±AB, AE 1 ВС,
BD1 АС.
Доказать, что AN • NB = CN • # # .
Решение.
ZC4Z> = LDBC = 90°,
значит, DA \\ ВК, BD \\ AK. ADBK —
параллелограмм.
Ci^
J»
Задача 963.
Дано: ААВС, О — центр описанной
окружности, АЕ 1 ВС, ВР 1 АС,
CD LAB.
Доказать, что ^ВХА = ^АСХ,
KJCXB = ^ВАХ,
^АХС
=
^СВ 1в
93
Решение.
Выполним дополнительные постро­
ения: AN- BN = CN- NCX, но
NCX =ЯЛГ (задача 964).
Поэтому AN- BN=CN- HN.
Задача 966.
Дано: ДАВС, О — центр описанной
окружности, BD L АС, АКL ВС,
СЕ LAB.
Доказать, что
ВН- HD = AH-HK=CHНЕ.
Решение.
АН НР = ВН- НМ = СН - HN, или
АН • 2 • НК = ВН • 2 • Я/) =
= СЯ • 2 • НЕ,
АН- НК=ВН -HD = CH- HE.
Задача 967.
Дано: ААВС, О — центр описанной
окружности, CM LAB, BKL АС,
OD L АС.
Доказать, что
^
J
ВН = 2 • 0D.
94
Решение.
ОЕ L AB, ED — средняя линия тре­
угольника ВСА. AOED оо АВНС
(ED || ВС, ОЕ || СМ, 02) || В К).
Из подобия имеем:
£С " £ Я - 2'
£ Я
"
2
О Л
Задача 968.
Дано: ДАВС, О — центр описанной
окружности радиуса R, AD L ВС,
BE L АС.
Доказать, что ВС? + ЛЯ2 = 4А2.
Решение.
OK L ВС, СК2 + ОК2 = ОС2,
4СК2 + 40Я2 = 40С2, АН = 20К,
4 - [ ^ ] 2 + А//2 = 4Л2,
ЯС2 + АН2 = 4Л2.
Задача 969.
Дако: ДЛЯС, SZ) 1 АС, АЕ L ВС,
CM L АВ, Л и Л | — радиусы ок­
ружностей,
в
описанных
вокруг тре­
угольников
ABC и
АНС.
М
Доказать,
что
Подставляем в формулу (*)
Решение.
Пусть £ l = Z.4 = a, Z.2 = Z.3 =/3.
Тогда LABC = 180° - (а + £ ) . Имеем:
АС
_ гуп
откуда находим /? = 60%
АС = 2 sin 60 е - V5".
Ответ: V3".
sin LAHC
'
откуда AC = 2R{ sin (a + /5),
Задача 971.
Дано: ААВС, АВ * ВС% О — центр впи­
санной окружности, АЕ1ВС,
CM LAB, BD1 АС, Н — принад­
лежит окружности.
Найдите: cos LBCA.
2Л sin (a + /3) = 2R{ sin (a + £),
Таким образом,
Дано:
ААВС,
я
^я#с
=
*
= 1RABO c o s ^ = sin£ f
^ д
sin LABC " Z A '
откуда AC = 2R sin (a + /?),
•^ляс = RAHB
Задача 970.
а
ШАНС ' cos ^
-^ЛВС-
BKlAC,
AE1BC,
R = 1 (радиус описанной окружно­
сти с центром в т. О]). Известно,
что О — центр окружности, прохо­
дящей через точки А, С и Я.
Найдите: АС. ^ - . »^ g
ТГ
С
Решение.
Пусть LBCA = a, a OD = r. Тоща
LOAD ш Jаf LEAC - 90 е - а,
AD = г • ctg ^ и
AD = 2 • г • ctg (90 е - а).
Решение.
Имеем: г • ctg ^ • 2 • г • tg a,
R
AHC = RABC
(задача 967).
Пусть LABC=p, тогда
Z.AOC - 180е - 0,
i
4tg£
a*
sin? " ^ « '
(*)
OD 1 AC, AD ж АО c o s | =c o s | ;
ЛС • 2Я'iWC'
Л„„ cos
2'
откуда tg2 -~ = ^, a cos a = ^.
Ответ:
3'
95
Задача 972.
KAT>SI BD
7
BE
Дано: ЬАВС, ж ^ У ЁА
Найдите: АР: AD.
КС = 4у -
I
4 - 1,5
- 1.
4'
Ответ: 1.
Задача 974.
Дано: ААВС, AD = DC, AM = 4ME.
Найдите: S^E : S^c.
В»
Решение.
тт
пжж II пс
BD
ВМ
_7
Проведем DM || РЕ. -^ = - ^ = j .
Пусть ВМ = 7х, ME = 5х,
ЕА ш 4ВЕ - 48х, ЬАЕР v> AAMD,
АР _ АЕ
48
AD
ЛМ
53*
Отвел 48:53.
Задача 973.
Дано: ААВС, AD - JDC, P — точка пе­
ресечения медиан ADBC, ВК - 1,5.
Найдите: КС.
Решение.
Проведем EN || BD. Пусть MJS = х,
тогда AM = 4х, ДАШР <л AAEN,
ЛР_ AM
4 ADm4
DN=y
У
У
AN
АЕ
5'
'
'
JVC = Зу, DN':NC = BE:EC = 1:3,
5ДДЕ
BE
__ 1
Ответ: 1:3.
Задача 975.
Дано: ДАВС, Z4i3D = Z£>BC,
DE = £С, ЯМ = МС,
АВ: ВС = 1 : 6 .
Найдите: BF.FC.
Решение.
Проведем ЕМ
ВК=2х,КМ
= х,§
лигрЕМ.-Шлк,
- км
= %%
КМ=Ъу, МС = у, 2х=1,5,
но х = Ъу, Ьу= 1,5,
96
3
Г
2
Г
Решение.
Проведем ЕАГ || AF, - ^ = - ^ = ^
Пусть AD = a, тогда ZJC = 6а,
FK _ A
' EC
КС
3*
BF = 8b, КС = 3b, FK = 4b,
BF:FC = %:1.
Ответ: 8:7.
DE = EC
3a
Задача 976.
Дано: ЬАВС, ЯМ = MC,
AD = DE = EM, PK = 3.
Найдите. АС.
Решение.
В К 1 АС, £М 1 АС.
Пусть ED = х, тогда А£ = 5х,
AD = 2R = 6x,
АО :ОЕ ш АК: КМ = 3 : 2,
ДС£М <" ДСЯК,
С£: ВС = СЛ/: С* = 1:3.
Ответ: 1:3.
Задача 978.
Дано: ААВС, АЕ = ЕС, L\ = Z.2,
ВС - ЗВГ, AM - ME.
Найдите: DM:AC.
AM — медиана, АЕ = ^ АЛ/, значит,
ВАГ — медиана, откуда АК = КС я
ЕК = ^ВК. Проведем ЕТ || ВР,
АЕКТ v> ЬВКР, | j | = Щ = j ,
Г * - 1, РГ = АР = 2, АС = 2АК = 10.
Ответ: 10.
Задача 977.
Дано: ДАВС, АВ = ВС, О — центр опи­
санной окружности, АЕ = 5.EZ).
Найдите: СЕ:ВС.
Решение.
Пусть ВТ = Ь, тогда ТС = 26,
АС'ТС'Т»0^-2^'
АВ - 1, АВ = А£, Z.1 = Z.2,
А£
значит, Z.AZJE = 90е и
DM - ME - AM (докажите).
Пусть DM = AM = ME = а, тогда
£C = 2a, Ш:^1С= 1 :4.
Ответ: 1:4.
Задача 979.
Дано: ААВС, L\ - Z.2, С£ = £А,
CD J. АЕ, В£ = 4, С£> = 5.
Найдите: S^Q.
Решение.
Пусть Z.1 = L2 = а, тогда
4 . Планиметрия
97
— = 2vT
Ответ: 2vT.
Задача 981.
Даио: ABCD — трапеция, AD =12,
5C = 8, на прямой ВС выбрана точ­
ка М так, что SMCK ~ SAKD-
Е
"*
О, « L* = 90* - а, СВ » СЕ,
ВМ~МЕ~ 2.
Проведем ЕК || CD,
Найдите: СМ.
В,
I
СЕ
EK = ^CD = ^, СМ - CD - MD = Ц-,
SABC
ш 2
* SCBE = 2 • \ • BE • CM = 15.
Ответ: 15.
Задача 980.
Решение.
Через точку К проведем ЕР 1AD,
Дано: ААВС, АВ = ВС, BD1 AC,
AM 1 ВС, LBAK = LKAC,
DP 1 ВС, BO » 10D.
Найдите: BP:PD.
A
AD + BC
2 — •ЕР* * ЮРЕ,
5Р£ = 6РК,
/>Е
б
6 РК+КЕ
откуда
РК
РК ~ 5'
~5'
6
ЯЕ
1
1+
.Р/С 5' РК
5'
5
лясов
Решение.
Пусть OD = x, тогда ВО = 7x. Про­
ведем DP || iW, Ц
= f§
= £
£ 3 / - ly, MP m y, ADPC и ААМС,
MP-PC = y, DP2 = BP- PC,
откуда DP = 2 VTy.
98
Ответ: 2,4.
Задача 982.
Дано: ААВС, М — произвольная точка,
через которую проходят прямые
DE || АС, ТР || АВ, KF \\ ВС,
Найдите: S^Q.
Задача 984.
Дано: ААВС, О — центр описанной
окружности, DB — касательная.
Найдите: LDBC + LA.
Решение.
AMKD </> ААВС, АМРЕ v> ААВС,
ATMF v> ААВС,
У5Г я DM V ^ _ ш МЕ_
77ABC
AC
*~ЛДС
™*
VIST + V1S7 + VST
VSABC
'ABC
DM + ME+ TF _ AC _
AC
~ AC ~ l f
откуда S^c
e
( A " + V^" + V37) 2 .
Ответ: (V5^ + V3J + V3>7 )2-
Задача 983.
Дано: DC, CB, BA — хорды,
DK ш КС, CN = NB, BM - MA.
Доказать, что Z.1 = Z.2.
Решение.
Соединить точки D и В, а также
С и A Z.3 = Z4 (как опирающиеся на
одну и ту же дугу, вписанные), но
Z3 - L\, a Z.4 = Z.2.
Решение.
LC = LX (доказать),
/ Л + ZC + Z.A5C - 180*,
LA + (Z.1 + LABC) = 180*.
Z.A + Z.DBC = 180*.
Ответ: 180'.
Задача 985.
Дано: ААВС, О — центр описанной
окружности, DB — касательная к
ней, L\ + L2 + Z3 = 180*.
Найдите: LBAC + LABC.
Решение.
Пусть L\ = Lb = а, тогда
L2 = 'Уа, 2а + а + а = 180',
а - 45'.
Ответ: 45*.
99
Решение.
Задача 986.
Дано: ААВС, Ох и О — центры впи­
санной и описанной окружностей,
L\ = Z.2.
Найдите: LB.
Пусть МК = дс, тогда ВМ = Зх,
AM = МС = у, 5М • МК = АЛ/ • СМ,
З^У2,
ДМ
АС
3*
2у
!
ту: = 7Т'
3 _V[
271 " 2 #
Ответ: -=-.
Задача 988.
Дано: ААВС, окружность проходит че­
рез точку С, касается стороны АВ
в точке Е. ВМ = 1, МС = 3,
DC = 6, ЛЯ = 2.
^в
Найдите: P^Q.
Решение.
Пусть LB = а, тогда
LBAC + Z.JBCM = 180е - a, a
Z^AC + LOxCA ш 90е - | ,
L\ = Z2 = 180е - [%• - | ] = 90е + | ,
А
~г
Решение.
но 2^.Д = Z.2, т.е. 2а = 90* + ^, откуда
находим а.
Д£ 2 = ДС • ДМ, А£2 = АС • AD.
Имеем ДЕ = 2, АЕ = 4.
Ответ: 60 е .
Ответ. 18.
Дано: ААВС, AM = AfC, вокруг треу­
гольника описана окружность,
ВМ = ЪМК.
Найдите: ВМ:АС.
Даио: АДС/) — ромб, О — центр впи­
санной окружности радиуса г.
Докажите, что
Задача 987.
100
Задача 989.
г=^КС
• МС DT • DP.
Решение.
ОЕ Л DC, 0Е = г.
Пусть LOCE = а, тогда
LODE = 90Q - а, ЕС = г • ctg а,
ЛЕ = г • tg а,
ГЯЯ2 = DT • 2)Р,
[Cf2 = КС • МС,
[г 2 -\g*a = DT - DP,
\r2 - ctg2а = *C-MC,
BE JL ЛС, LABK = ZA3C, ОГ = 4,
ВЕ= 1,5, ВК:КМ= 1 :6.
Найдите: S^c-
r4 = DT- DP КС- МС.
Г=У1КС
МС - DT-
Решение.
DP.
Задача 990.
Дано: ABCD — четырехугольник, впи­
санный в окружность,
$АВЕ = 4$ВЕО BE = 1, DE = 16.
Найдите: АС.
Соединим точку А/ с точкой О. Точки
М, О, Т лежат на одной прямой (до­
ВЕ
ВК
кажите). ЬВЕК^ШКТ,
МТ
КМУ
j^j
= ^, откуда ГМ = 9.
ОМ=ОС = ТМ-ОТ = 5,
ГС = 3, ЛС = 2ГС = 6,
•Здлвс = *2 ^^ # ^^'
Ответ: 4,5.
Задача 992.
Дано: ABCD — трапеция, вписанная в
окружность, BE I AD, AD = а,
BC = b.
Доказать, что я2 - & = 4 • BE - ЕМ.
Решение.
Из равенства SABE = 4S M C следует,
что АЕ = 4GE. Пусть С# = х, тогда
ЛЯ = 4х, АЕ • ЕС = BE - ED,
4Х2 = 16.
Отвел 10.
Задача 991.
Дано: ДАВС, LABC >90% О — центр
описанной окружности, ОТ 1 АС,
101
Решение.
АЕ • ED^BE-
EM,
АЕ = —2— (докажите),
ED = —2— (докажите),
а-Ь
Ц±
<? -$
= BE • ЕМ,
= 4 • BE- ЕМ.
Задача 993.
Дано: ABCD — трапеция, вписанная в
окружность. В данную окружность
вписана другая окружность.
BE 1 АД P^CD = 20, А£ = 3.
Найдите: ЕМ.
/л + DM'
откуда /J + /д • DM = 6 • с. Но по тео­
реме о хордах, пересекаюпщхся внутри
круга, 1а • DM = т • п. Тогда
/£ + т/г = £с или / д = £с - т п .
Задача 995.
Дано: ABCD — четырехугольник, впи­
санный в окружность,
LBCA = LACD = 45°, СМ = а,
МА = £.
Найдите: SBCD.
Решение.
ААВ = 20, АВ - 5, BE = 4,
BE • ЕМ = А£ • ЯД
_,,
АЕ- ED
15
откуда JEM = — ^ — = -j-.
Задача 994.
Дано: ААВС, АВ = с, АС = Ъ,
L\ = Z.2, AD = /e, BD = m, DC = п.
Доказать, что
/ в = 6 • с - m • л.
Решение.
Выполним дополнительные по­
строения (см. рис.). ААВМ<* AADCj
(z.3 = z.4, L \ в z.2, тогда z.5 = ^.лвм),
102
Решение.
d* = BC-CD-BM
но ЯМ • MZ) = а • Ь,
a* = BC-CD-a-
• МД
b,
2 = 2
я
' Здся - а • 6,
откуда находим SJCjD.
Ответ: ^ (о2 + ab).
Задача 996.
Решение.
Дано: ABCD — четырехугольник, впи­
санный в окружность,
L\ + LABC = 180е, ВС- AD = 6.
Найдите: BE - АС.
ДЯМС </> ЛВС!)
(Z.2 = Z.4, докажите, Z.5 — общий).
гт
п.^
BD
JDC
Пусть ВМ = JC, имеем j ^ « - т ^ ,
х+9
12
.
=
"о"» откуда находим х = 7.
12
Ответ: 7.
Задача 998.
Дано: ABCD — четырехугольник,
вписанный в окружность, АВ •= а,
АС = 6, 5 Б Л С = y s i n Z . 1 ,
Z.4 = 100е, углы 1 и 3 — острые.
Найдите: LADC.
Решение.
Так как LABC + LADC = 180е, а по
условию LABC + L\ = 180% то
LADC = Z.1, Z.2 = LA.
ABEC e/> AACD
U2=LA,Ll
= LAW.%
=
%
AC- BE = ВС- AD.
Ответ: 6.
Задача 997.
Дано: ABCD — четырехугольник, впи­
санный в окружность, Z.1 = Z.2,
DC = 12, MD « 9.
Найдите: ВМ.
Решение.
SBAC ~
аЪ
sin Z.3.
По условию SBAC = - у • sin Z.1, от­
куда Z.3 = Z.1, ЛВЕСслДВЛС (Z.2 —
общий, Z.1 = Z.3).
Следовательно, Z.A5C = Z.4 = 100*.
Тогда Z.ADC = 80е.
Ответ: 80*.
Задача 999.
Дано: ABCD — трапеция, О — центр
описанной окружности, S^BO" SBOC,
Z.1 и Z.4 — острые углы,
Z.1 - Z.2 = 30е.
Найдите: Z.3.
103
АВ _ BD
АК ~ CD'
BD-AK = AB- CD.
Решение.
Пусть А0 = ВО = ОС = R.
По условию SMO = SBOC>
^ / ^ s i n Z l = | Л2 sin Z.4,
откуда следует, что Z.1 = Z.4,
Z.1 - Z.2 = 30е, Z.4 - Z.2 = 30е,
2Z.2 - Z2 = 30% Z.4 = 60°, Z.1 = 60°,
LAOC = 120°, Z.3 = 60'.
(*)
АСВК v> &ABD
UKBC = LABD, Lb = Z.4),
ВС
BD
КС
AD'
BD- KC = BC- AD.
(**)
Складывая соотношения (*) и (•*),
получим
BD (АК + КС)=АВ -CD + BC • AD,
BD- AC = AB -CD + BC- AD.
Задача 1001.
Дано: ABCD — прямоугольник.
Доказать теорему Пифагора с исполь­
зованием теоремы Птолемея.
Вк
^С
Ответ: 60*.
Задача 1000.
Дано: ABCD — четырехугольник, впи­
санный в окружность.
Доказать, что
АС - BD = АВ • CD + ВС • AD
(теорема Птолемея).
Решение.
АС - BD = АВ • CD + AD • ВС,
AC2 = CD* + AD2.
Почему при доказательстве можно
использовать теорему Птолемея?
Задача 1002.
Дано: ABCD — трапеция, АВ = CD.
Доказать, что
АС • BD = АВ2 + AD - ВС.
Доказательство.
Построим LABK - LS,
ААВК v) ABCD
UABK= L5, Z.1 = Z.2),
104
Доказательство.
По теореме Птолемея имеем:
АС - BD = АВ • CD + AD • ВС,
AC BD = АВ2 + AD - ВС.
Почему при доказательстве можно
использовать теорему Птолемея?
Доказательство.
Z1 = £2 = 45°, тогда L4 = 90е (по­
Дано: ААВС, АВ = ВС = АС, О — центр чему?). По теореме Птолемея
описанной окружности, D — про­
АС2 = АВ2 + AD - ВС, АВ2 = 2R2,
извольная точка, принадлежащая
AD = AO -V2, ВС = ВО -VI,
ВС, Е — точка пересечения прямой
AD с окружностью.
АО = 2R2 + 2ЛО • ВО,
Доказать, что АЕ = BE + EC.
АС2 = 2R2 + 45 ЛОВ ,
откуда находим SA0B.
Задача 1003.
Задача 1005.
Дяно: ABCD — четырехугольник, впи­
санный в окружность, Z.1 = L2,
AC- BD = ЗАВ.
Найдите: CD + AD.
Доказательство.
По теореме Птолемея
АЕ • ВС = BE • АС + АВ - ЕС,
АЕ- ВС = ВЕ- ВС + ВС- ЕС,
откуда АЕ = BE + EC.
Задача 1004.
Дано: ABCD — трапеция, R — радиус
описанной окружности с центром
Ох, AC LBD.
„
АС? - 2R2
Доказать, что сSA0B =
•?
.
Решение.
По теореме Птолемея АС • BD =
= AB-CD + BC-AD,AB = BC.
Имеем ЗАВ = АВ • CD + АВ • AD,
ЗАВ = АВ (CD + AD), откуда находим
Ответ: 3.
105
Ответы и решения
е
1. 137*. 2. 36'. 3. 80 . 4. 72'. 5. 40е. 6.
150е. 7. 135е. 9. 140*. 10. 15е. 11. 73е.
12. 52е. 14. 20е. 15. 75е. 16. 80е. 17.
105е, 105е, 75е. 18. 80е, 80е, 100е, 100е.
19. 70е, 70е, 110е, 110е. 20. 140е. 21.
а) да, б) да, в) нет. 23. а) равнобед­
ренный, б) равносторонний. 24. 15. 25.
7. 26. 12. 27. 12. 28. 6. 29. 90е. 30.
51'. 31. 40е. 32. в 3 раза. 33. 60е. 34.
45е. 35. 70е. 36. 68е. 37. 90". 38. 45е.
39. 80°. 40. 40е. 41. 20°. 42. 80°. 43.
60е. 44. 40е. 45. 50е. 46. 34е. 47. 60е.
48. 1. 49. 1,5. 50. 3. 51. 120е. 52. 75е.
53. 90е. 54. 1:2. 55. 75е. 56. 88е. 57.
30е. 58. 70е. 59. а) 120е, б) 60е, в)
120е. 60. 114е. 61. 113е. 62. 104е. 64.
70е. 67. 144е. 68. 108е. 70. 75е. 71. 38е.
72. 7. 75. 100е. 76. 14. 77. 80е. 78.
134е. 84. 12. 85. 4. 86. 21. 87. 64. 88.
24. 89. 23. 90. 1. 91. 4,6. 92. 28. 93.
21. 94. 96. 95. 60е. 96. 21. 98. 24. 99.
3. 100. 78е. 101. 40е. 102. 60е. 103. 10.
104. 27. 105. 5. 106. 40е. 107. 20е. 108.
30е. 109. 70е. 110. 90е. 111. 270е. 112.
90е. 113. 8. 114. 24. 115. 6. 116. 18.
117. 43. 118. 150е. 119. 12. 120. 90е.
121. 58е. 122. 60°. 124. 25. 132. 21.
133. 5. 134. 34. 135. 33. 136. 18. 137.
6. 138. 8. 139. 24. 140. 4. 141. 20. 142.
66е. 144. 69е. 145. 72е. 147. 15. 148. 4.
149. 54е. 150. 140е. 152. 135е. 153. 10.
154. 26. 155. 7. 156. 9. 157. 120е. 158.
24е. 159. 62. 160. 12. 161. 25. 162. 84.
163. 24. 164. 15. 165. 8. 166. 22,5°.
167. 60е. 168. 6. 169. 76. 171. 16. 172.
120е. 173. 30е. 174. 114е. 177. 60е. 178.
60е. 179. 114е. 180. 6. 181. 75е. 182.
140е. 183. 27е. 185. 15е. 186. 1,5. 187.
35е. 188. 104е. 189. 48е. 190. 55\ 191.
78е. 192. 8. 193. 4. 194. 24. 195. 1. 196.
10. 197. 7. 198. 16. 199. 120е. 201. 6:5.
106
202. 44. 203. 3. 205. 11. 206. 2. 207.
10. 208. 60е. 209. 24. 210. 4. 211. 90е.
212. 8. 218. 38. 219. 114. 220. 16. 221.
46. 222. 16,5. 223. 12. 224. 16. 225.
75. 226. 24. 228. 12. 229. 9. 230. 30.
231. 45. 232. 128. 233. 75. 234. 85.
235. 17. 236. 375. 237. 22. 238. 192.
239. 100. 240. 32. 241. 4:1. 242. 1:3.
243. 378. 244. 20. 245. 19,2. 246. 100.
247. 18. 249. 128. 250. 10. 251. 4. 252.
121,5. 253. 4. 254. 99. 256. 64. 257. 2.
258. 16. 259. 32. 260. 60е. 261. 30. 262.
10. 263. 52. 264. 40е. 265. 50е. 267. 20.
268. 16. 269. 140*. 270. 105е. 271. 160°.
272. 80е. 273. 120е. 274. 70е. 275. 80е.
276. 40е. 277. 90е. 278. 30е. 279. 90е.
280. В 3 раза. 281. 60е. 282. 45е. 283.
40е. 284. 1:2. 285. 12. 286. 1,5. 287.
10е. 288. 3. 289. 12. 290. 12. 291. 12.
292. 18. 293. 120е. 295. 80е. 297. 80е.
298. 90е. 299. 160е. 300. 220е. 301. 90е.
302. 6. 303. 6. 304. 20. 305. 9:2. 306.
5 =
Тб" 3 0 7 , 15°* 3 0 8 , L 3 0 9 , 3 0 °' 3 1 0 ,
16. 311. 4,5. 313. 45е. 314. 8:24. 315.
•>
2
с2
3. 316. 7. 318. 3:10. 319. Л . 320. ^-.
321. у . 322. 31,5. 323. 48. 324. 25.
325. 5. 326. 5:15. 327. 2,4. 328. 12.
330. 14. 331. jy; | y . 332. 4. 333. 128.
334. 65. 335. 10. 336. 6. 337. 13. 338.
10,5. 339. 62. 340. 8. 344. 1:2. 345. 1:3.
346. 2:3. 347. 1:3. 348. 4. 349. 1. 350.
6. 351. 5. 352. 12. 353. 3. 354. 3:4. 355.
6. 356. 1:4. 357. 12. 358. 2,5. 359. 45.
360. 1:3. 361. 18. 362. 9. 363.
160
3 '
12
365. 15. 366. 98. 367. 21:25. 368. Ц
369. 10. 370. 10. 371. 1,5. 372. 20. 373.
49 vT
10; 18. 374. 2,4. 375. 30. 376. -^y^-.
BD2 ^АВ2 +AD2
2
444. АС? = АВ + ВС?,
377. 36. 378. 270. 379. 10 VI". 380. 6.
381. 12. 382. 12. 383. 8. 384. а) ост­
роугольный, б) тупоугольный, в) пря­
моугольный, г) прямоугольный, д) ос­
троугольный. 385. 120. 386. 25 V3".
387. 300. 388. 120. 389. 20. 390. 2 vT.
391. 490. 392. 7. 393. 10. 394. 10. 395.
4. 396. 30. 397. 12. 398. 39. 399. 24.
В&-АС?=А&ЯС2,
что и требовалось доказать.
445. \$<*%В. 446. ^tftgcr.
447. J с2 sin a cos а. 448. с sin а cos а.
449. 2mesin/9. 450. 2m2 sin a cos а. 451.
Л2
mс2 cosa. 452. ——-. 453. Actga + Actgy.
cos a
400. 7,2. 401. 13. 402. 98. 404. у . 405.
454. с cos a + с sin a ctg у. 455. 40*. 456.
2R л/Т 60*. 457. 60*. 458. 45% 75', 60'. 459.
20,25. 406. 4,8. 407. 10. 408.
^j^160*. 460. 40*. 461. 70*. 462. 108'; 48*.
409. 8. 410. 35. 411. 12. 412. 24. 413. 463. 20'. 464. 2. 465. 20°. 466. 150*.
12. 414. 8. 415. 96. 416. 2 VS~. 417. 467. 600*. 468. 40*. 469. 135*. 470.
у . 418. 7,2. 419. 10. 420. 3. 421. 108. 140*. 471. 20* или 0 . 472. 52*. 473. 60*
или 30*. 474. 180*. 475. 70°; 60*; 50*.
422. 1: vT. 423. \ VW. 424. VJ. 426.
е
476. 55'; 65 ; 60°. 477. ^—.
10,5. 427. 4. 428. 10. 429. 7. 430. 4.
431. 5. 433. 4. 434. 2 VTT. 435. | . 436.
9. 437. 36. 438. 16. 439. 10. 440. 10.
441. 8. 442. Проведем KF1 AD.
ED = EF+FD=TK + FD,
но FD = MT (ДЛ/ЯГ = AFKD).
ED = TK + MT = MK,
что и требовалось доказать.
443. Проведем BE I AD и СК1 AD.
BD2 = BE2 + ED2 = АВ2 - АЕ2 + ED2 =
- АВ2 + (ED2 - АЕ2) =
= АВ2 + (££> + АЕ) • (ED - АЕ) -VAD
478.
l : v T . 479. vT. 480. 12 vT. 481. 10.
482. ^Y~. 483. a=>Ry/T. 484. 64. 485.
| . 486. 7,5. 487. 3. 488. 4 VT. 489.
Щ. 490. 36. 491. 15. 492. 2. 493. 4.
494. 1. 495. 2. 496. 6. 497. 36. 498.
216. 499. 15. 500. 10. 501. 8. 502.
8,125. 503. 4. 504. 21,25;180*
4. 505.
18,125; 2. 506. e„=2/?sin
507.
n
180*
an = 2 r t g - ^ - . 508. 19,5. 509. 34. 510.
135*. 511. 30*. 512. 30* или 60*. 513.
16. 514. 16. 515. 3 + V3". 516. ^ p .
517. V3~. 518. 2. 519. y . 520. V2l6~.
вс
= AS2 + AD • ДС.
521. 8. 522. |V3". 523. 3. 524. 3. 525.
5. 526. 12. 527.
VT
107
528. ^(VJ-
531. 16 или 4. 532. 8. 533. 4. 534.
4V5". 535. 4,5. 536. 12,5. 537. 14. 538.
9; 8. 539. 3. 540. 11. 541. 8:9. 542. 13.
543. 1:11. 544. 9-6V3". 545. 12. 546.
12,5. 547. 12. 548. 12. 549. 14,4. 550.
36. 551. 2. 552. 17. 553. 12. 554. а) на
окружности, б) внутри круга, в)
вне круга. 555. 16. 556. 8. 557. 24.
558. 4. 559. 15. 560. 4. 561. 3. 562.
10,5; 17,5. 563. 12; 18. 564. АВ>ВЕ,
но АВ - ED. % Тогда имеем ED > BE.
565. Пусть ВС = а, тогда AD = За.
AD-BC
= а. Но ED = АВ = 2а.
АЕ =
? LABE = 30% Zl = 60°.
566.
AD + BC
1). 529. 60°; 120'. 530. 48.
SMCD —
s
AB + CD
BE —
ВЕ = АВ- BE.
567. LBAE - 30'. Пусть АВ = х, тогда
AD + BC
BE — j х. SABCD
BE =
AB + CD
1
BE = AB BE. ^x* = 2,
откуда x = 2. PASCD = 4AB = 8.
568. Проведем BKXAD.
AE = AT = DE = DP = 8,
TB = BM = MC = CP = 2,
AK = AE - AS • 6,
AB = AT + TB = 10,
ЯК = VAB2 - AK2 « 8,
8 0 - - ^
2
"^^ ~
569. Проведем ЯК J. AD.
TB = BM=KE = xt AT = AE=S.
AK = 8 - x, AB = S + x,
BK= V(8 + xf - (8 - x)2 = 4 V2x.
108
АУПХ,
20
откуда fi-т— = V2jc". Подбором убежO "Г X
даемся, что х = 2 является корнем
уравнения. Других решений не имеет,
так как функция, стоящая в левой
части, убывает, а в правой — возра­
стает, и, следвоательно, графики этих
функций не могут иметь более одного
пересечения.
Ответ: 2.
AD
570. P^CD " (
+ ЯС) + (AS + CI>) =
= 2 (AD + ВС) = 16.
571. AW = AE, UP = £Z), тогда
AE • £Z> = 2. LAOD = 90'. f
0 £ 2 = r 2 = A E - £ D = 2.
S
Kpyia
=
J l r 2
= 4 JT.
___ c
AD + ВС „„_
572. одвср —
«
x».c —
AB + CD
BE = AB-BE. AB = DE. X
$ABCD
— DE ' BE — 2
я
2SBED.
573. Проведем BE 1 AD. PMCD ~ 4AB,
откуда AS = 4, но так как АВ - DE,
% то DE = 4. BE - У1ВЕ? - DE2 = 3,
AD + BC
'лясо
SABCD ~
BK.
AB + CD
BE =
BE = AB- BE- 12.
574. AB-ED. t Проведем B £ 1 A D .
Пусть АВ = ED = x.
BE = VAD2 -DE2 = V25-X 2 .
AD + BC
= M + CDBE
=
AB.BE^xy/2S_j
579. Пусть LCDA = x. Имеем
x + 2x = 180°,
откуда x = 60'. Z2 = 30*,
Z3 = 180* - (Zl + Z2) = 45°.
Решая уравнение xV25 - x* = 12, на­
ходим *! = 4 , x2 = 3, т.е. AB = 4 LBAD = 90°, т.е. AS 1 AD.
580. Z3 = Z4 - 90*. t
(ЛВ = 3 не удовлетворяет).
Zl + Z2 + Z3 + Z4 =
Ли»сл = 4AB = 16.
= 45* + 45* + 90' + 90* - 270*.
575.
P
581. Пусть ОК = ОМ = ОЕ = r.
ABCD = AB + CD + AD + BC=> 4AB,
AD- BC = (r + KD)-(r + MC) = r2 + r (KD + MC) + KD- MC =
= r2 + r(DE + EC) + DE- CE.
4AB = 16,
откуда АВ = 4.
AD + 5C
AB + CD
BE =
LCOD = 90°. t
2
BE = AB BE = ABE,
ABE = 12,
откуда AE = 3. ED - AB. f
£2) = 3, BD = VBErTE~Dr= 5.
576. Проведем £ E 1 АО.
sin ZAAD = Ц , tg LADB = J§,
но ED = AS, t значит,
tg ZADA = ^ | . sin LBAD = tg ZADS.
577. Пусть LADC - x, тогда
LBCD = 2x. x + 2x = 180°,
x = 60% Z2 = 30% Z3 = 45*.
Zl = 180* - (Z2 + Z3) = 105*.
578. Z2 + Z3 = 180' - Zl = 75*.
2Z2 + 2Z3 = 150%
откуда 2Z2 = 150* - 90* - 60*.
LADC = 60% LBCD = 120*.
Значит, LBCD = 2 LCDA.
Тогда OE =DE- CE, r2 = DE • CE.
Имеем AD • ВС = r2 + r • CD + r2 =
= 2r2
r-CD=2rVr;CD^
+
_ ABjAB+CD) _ AB(AD+BC) _
л ABCD"
2
2
582. LCOD = 90е. |
CD m yloO- + OD* = 10.
CO-OD = CD- OE,
откуда OE = r - 4,8.
AD + ВС
>ABCD —
AB + CD
2
AB =
AB = 94,08.
583. Z l = Z3 = Z2. CD = DE. Пусть
AD + BC
AB = 2r. SABCD
AB =
AB + CD An 2r + DE _
2
AB = — у — - 2 г =
= 2r2 + r- DE = — + r- DE,
л
что и требовалось доказать.
109
584. PK L AD, LBOA = 90*. \
AB = ЧАС? + BO* - 5,
ЛО-ВО _ AB ОМ
2
"
2
'
откуда ОМ = г = 2,4. РК=2г = 4,8.
585. РХ: LAD, МО L АВ, ОМ = 2,4,
Z.50A • 90*. t Пусть ОВ = х,
AB = Vx* + 16,
ЛМ = VAO2 - ОМ* = 3,2,
ЛСЯ-ЛМ -ЛЯ, 16 = 3,2 VJ?TT6",
5 = Vx* + 16.
Отсюда имеем JC = 3.
586. РК=2г = 4, ОМ - г = 2,
Z£Oi4 = 90*. ? ОА/ = АЛ/ • ВМ,
откуда AM = ЛК = KD = 4. Проведем
BE L AD, BE = PK=4, ED = AB = 5.
X BD- ЧВЁ1 + ED* = V4T.
587. 4. 588. 1:2. 589. 1:4.
590. 4(2 + V2"). 591. 360.