7 класс Задание 1 1) Найти наибольшее число, которое при делении на 31 в частном дает 30. Решение. Число будет наибольшим, если при делении его на 31 получится наибольший из возможных остатков. Таким остатком будет 30. Значит, искомое число равно 30 31 30 32 30 960. Ответ: 960. 2) Доказать, что если ab cd делится на a c , то ad bc тоже делится на a c (здесь a, b, c, d - целые числа, причем a c ). Решение. По условию ab cd a cm, ab cd am cm b m, d m. Имеем ad bc a m mc ma c , что и требовалось доказать. 3) Собрав 770 орехов, три девочки разделили их пропорционально своему возрасту. Всякий раз, как Юля брала 4 ореха, Катя брада 3, а на каждые 6 орехов, полученные Юлей, Лене досталось 7. Сколько орехов получила каждая девочка? Решение. Возраст девочек находится в отношении 9:12:14 (он определяется не однозначно). Имеем 9 + 12 + 14 = 35, 770:35 = 22. Умножая 22 на 9, 12 и 14 соответственно, найдем, что младшая девочка получила 198 орехов, средняя 264, старшая 308. Ответ: 198, 264, 308. 4) Цена входного билета на стадион была 180 рублей. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 50 %, а выручка выросла на 25 %. Сколько стал стоить билет после снижения? Решение. Входная плата с каждых двух зрителей до снижения была 360 руб. После снижения вместо каждых двух зрителей стадион посещали 3 человека, платившие 360 р. + 90 р. = 450 р. Стоимость билета 450 р.: 3 = 150 р. Ответ: 150 руб. 5) На складе хранилось 100 кг ягод, содержание воды в которых составляло 99 %. От долгого хранения содержимое воды в ягодах сократилось до 98 %. Сколько теперь весят ягоды? Решение. В начале хранения в ягодах был 1% (т.е. 1 кг) сухого вещества. В конце хранения этот же 1 кг составлял 2% (т.е. 100% - 98%) от всех ягод. Значит, если 2% - 1 кг, то 100% 50 кг. Следовательно, к концу хранения на складе лежало 50 кг ягод. Ответ: 50 кг.