Выбранные задачи

Задача 1
Заполните свободные клетки "шестиугольника" (см. рисунок) целыми числами от 1 до 19,
чтобы во всех вертикальных и диагональных рядах сумма чисел, стоящих в одном ряду,
была бы одна и та же.
Подсказка:
Попробуйте определить сумму чисел в ряду, тогда вы сможете расставить по местам
несколько чисел. Затем попробуйте определить, какое число стоит в центральной клетке.
Решение:
Поскольку один из рядов таблицы заполнен, то можно определить сумму ряда — она
равна 38. Теперь можно расставить числа во многих клетках. Осталось 7 пустых клеток,
в которых должны быть расположены числа 4, 5, 6, 8, 13, 14, 15. Рассмотрим диагональ,
на которой расположены числа 10, 1, 18.
Две пустые клетки на ней должны занимать два числа с суммой 9. Это могут быть
только 4 и 5. Теперь рассмотрим ту диагональ, на которой расположены числа 16, 2, 9. Две
пустые клетки на ней должны занимать два числа с суммой 11. Это могут быть только 5
и 6. Значит, в центре стоит 5, а вторые числа на диагоналях — соответственно 4 и 6.
Теперь уже можно однозначно заполнить всю таблицу.
Ответ:
См. рисунок справа.
Задача 2
Во время бала каждый юноша танцевал вальс с девушкой либо более красивой, чем на
предыдущем танце, либо более умной, а хотя бы один — с девушкой одновременно более
красивой и более умной. Могло ли такое быть? (Юношей и девушек на балу было
поровну.)
Решение:
Пусть на балу присутствовали три девушки — Анна, Вера и Светлана. Пусть также по
красоте девушки расположены в порядке: Светлана–Анна–Вера (Вера — самая красивая),
а по уму — в порядке Вера–Светлана–Анна (Анна — самая умная). Предположим, что
каждый юноша, танцевавший с Анной, приглашает на следующий танец с Веру (более
красивую девушку), танцевавший с Верой — Светлану, (более умную), танцевавший со
Светланой — Анну (одновременно более красивую и более умную). Как видим, описанная
в задаче ситуация могла быть.
Ответ:
Да, могло.
Задача 3
Сборная России по футболу выиграла у сборной Туниса со счетом 9:5. Докажите, что по
ходу матча был момент, когда сборной России оставалось забить столько голов, сколько
уже забила сборная Туниса.
Решение:
Рассмотрим тот момент матча, когда всего было забито 9 голов. Пусть сборная России к
этому моменту забила n мячей; тогда Тунис забил (9-n) мячей. Но России осталось забить
как раз (9-n) мячей, что и требовалось доказать.
Задача 4
На складе хранилось 100 кг ягод, содержание воды в которых составляло 99%. От долгого
хранения содержание воды в ягодах сократилось до 98%. Сколько теперь весят ягоды?
Подсказка:
Заметьте, вначале в ягодах содержался 1 кг "сухого вещества".
Решение:
В начале хранения в ягодах был 1% (т.е. 1 кг) сухого вещества. В конце хранения этот же
1 кг составлял уже 2% (т.е. 100%-98%) от всех ягод. Значит, если 2% — 1 кг, то 100% —
50 кг. Следовательно, к концу хранения на складе лежало 50 кг ягод.
Ответ:
50 кг.
Задача 5
Найти хотя бы одно целочисленное решение уравнения a2b2+a2+b2+1=2005.
Решение:
Найдём все целочисленные решения этого уравнения. Разложим левую часть уравнения на
множители: a2b2 + a2 + b2 + 1 =
= (a2 + 1)(b2 + 1). Тогда уравнение примет вид (a2 + 1)(b2 + 1) = 2005. Теперь разложим
число 2005 на множители: 2005 = 5 · 401 =
= 1 · 2005. Отсюда, поскольку число 2004 не является полным квадратом, либо a2 + 1 = 5 и
b2 + 1 = 401, либо a2 + 1 = 401 и b2 + 1 = 5. Решая эти уравнения, получаем, что все
решения имеют вид a = ±2, b = ±20 или вид a = ±20, b = ±2.
Ответ:
Например, a = 2, b = 20.
Задача 6
Докажите, что при любом целом положительном n число n2 + 8n + 15 не делится на n + 4.
Решение:
Достаточно заметить, что n2 + 8n + 15 = (n + 4)2 - 1.
Задача 7
Найдите хотя бы две пары натуральных чисел, для которых верно равенство 2x3 = y4.
Подсказка:
Заметив, что x = 2, y = 2 — решение, попробуйте найти ещё одно в виде x = 2k, y = 2n.
Решение:
Заметим, что x = 2, y = 2 — решение. Попробуем найти ещё одно в виде x = 2k, y = 2n,
подобрав подходящие k и n.
Имеем
2 . (2k)3 = (2n)4,
или
23k + 1 = 24n.
Осталось подобрать k и n так, чтобы было выполнено равенство 3k + 1 = 4n. Ну, а это уже
совсем просто. Например, k = 5, n = 4 и, соответственно, x = 32, y = 16.
Ответ:
x = 2, y = 2; x = 32, y = 16.