Тема урока: «Правила и формулы дифференцирования» Цели и

реклама
Тема урока:
«Правила и формулы
дифференцирования»
Цели и задачи:
научиться находить
производные элементарных
функций, используя правила и
формулы дифференцирования
•
В поисках истины!
Статистика-вещь серьезная.
С ней - не поспоришь!
Мы решили проанализировать
важность изучения производной
в рамках
школьной программы !
Математики о производной.
Слова «производная» и «произошло» имеют
похожие части слова, да и смысл похож:
производная происходит от исходной функции
(переложив на отношения человека:
исходная функция - «мама»,
её производная - «дочь»).
Производная - часть математической
науки, одно из её звеньев. Нет этого звена –
прерваны связи между многими
понятиями.
Физики о производной.
С производной в курсе физики
мы встречаемся в
10-11 классах.
В теме «Кинематика»: скорость - есть
первая производная от перемещения.
В теме «Механические и электромагнитные
колебания» применяется
производная
от
функции у = sinx и у = cosx.
Наш совет
Лучше изучайте математику, чтобы
легче изучать другие науки.
Нам стало интересно…
Как часто в школьной программе используется
производная при решении различных
математических задач?
Перелистайте и перечитайте школьные
учебники, экзаменационные сборники, тесты
ЕГЭ.
И что же получится?
Производная используется при
решении следующих заданий:
Вычислить производную
Вычислить производную в заданной точке
Все задания на построение касательной к графику
функции
Нахождение промежутков возрастания и убывания
функции
Нахождение точек экстремума
Нахождение скорости тела в момент времени
Нахождение наименьшего или наибольшего значения
функции
Построение графиков с помощью производной
Исследование функции
Решение задач методом математического
моделирования
Вывод.
В школьной программе тема
«Производная и её применение»
является одной из важных, так как
позволяет решать многие
математические задачи более
рациональным способом (например:
исследование функции, нахождение
точек максимума и минимума, решение
задач на нахождение наибольшего или
наименьшего значение величины).
История великих открытий.
Честь открытия основных
законов математического
анализа принадлежит
английскому физику и
математику Исааку Ньютону
и немецкому математику,
физику, философу Готфриду
Лейбницу.
О великом Ньютоне!
Был этот мир глубокой тьмой окутан.
Да будет свет! И вот явился Ньютон.
А.Поуг.
Исаак Ньютон (1643-1727) один из
создателей
дифференциального
исчисления.
Главный его труд- «Математические
начала натуральной философии».оказал колоссальное влияние на
развитие естествознания, стал
поворотным пунктом в истории
естествознания.
Ньютон ввёл понятие производной,
изучая законы механики, тем самым
раскрыл её механический смысл.
О Лейбнице.
«Предупреждаю, чтобы остерегались
отбрасывать dx,-ошибка, которую
часто допускают и которая
препятствует продвижению вперёд».
Г.В.Лейбниц. (1646-1716)
Создатель Берлинской академии наук.
Основоположник дифференциального
исчисления, ввёл большую часть
современной символики математического анализа.
Лейбниц пришёл к понятию
производной решая задачу проведения
касательной к произвольной линии,
объяснив этим ее геометрический смысл
.
Последователи учений Ньютона и
Лейбница.
В дальнейшем развили идеи анализа (а они
очень быстро завоевали популярность и нашли
многих последователей), в первую очередь
ученики Лейбница – братья Бернулли, а
Лопиталь (1661-1704) который учился у
Бернулли, уже в 1696 году издал первый
печатный курс дифференциального исчисления.
Ряд крупных результатов получил Лагранж,
его работы сыграли важную роль в
осмыслении основ анализа.
Вывод:
Ньютон и Лейбниц, решая
практические задачи в механике и
геометрии, пришли к одному
понятию- производная, показав
тем самым, что
дифференциальное исчислениеэто есть окружающая
действительность, переложенная
на математический язык.
Повторить:
1. Приращение функции и приращение
аргумента.
2. Определение производной.
3. Алгоритм нахождения производной.
Приращение функции
и аргумента
х = х – хо – приращение
аргумента
f(х) = f(х) – f(хо)
f(х) = f (хо + х ) – f(хо)
–
приращение
функции
Определение производной
Δf
 f (x o ) ,
Δx
f ′(xо) –
число
Алгоритм:
1) ∆х, хо;
2) ∆f = f (хо + х ) – f(хо);
3) ∆f при ∆х → 0.
∆x
у = kх + в
у(хо) = kхо + в,
у(хо + ∆х) = k ∙ (хо + ∆х) + в = k хо +
k∆х + в,
∆у = у(хо + ∆х) – у(хо) = k хо + k∆х
+ + в – kхо – в = k∆х,
∆y k∆х
= ∆x = k.
∆x
Ответ: (kх + в)′ = k
у=
2
х
у(хо) = хо2,
у(хо + ∆х) = (хо + ∆х)2= хо2 + 2 хо ∆х + (∆х)2,
∆у = у(хо + ∆х) – у(хо) = хо2 + 2 хо ∆х +
+ (∆х)2 – хо2 = 2 хо ∆х + (∆х)2 = ∆х(2хо + ∆х),
∆у
∆х
=
∆х (2хо + ∆х)
∆х
= 2хо + ∆х → 2хо
Ответ: (х2)′ = 2х
при ∆х → 0
у=
3
х
у(хо) = хо3
у(хо + ∆х) =
= хо3 + зхо2 ∆х + зхо(∆х)2 + (∆х)3
∆у = у(хо + ∆х) – у(хо) =
= ∆х (зх 2 + зх ∆х + (∆х)2)
о
∆у
∆х
→ зхо2
о
3
′
(х )
=
2
3х
Проблемный вопрос
Можно ли находить производные,
не используя определение?
Существуют ли более удобные
способы?
Вывод
(х2)′ = 2х
(х3)′ = 3х2
n
′
(x )
=
n
–
1
nx
Правила дифференцирования
Формулы дифференцирования
Скачать