F - СОШ №14

Гордова Е.А. МБОУ СОШ с УИОП №14 г. Химки
1.Секущая плоскость тетраэдра(параллепипеда)-это
любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки
данного тетраэдра (параллепипеда).
2.Многоугольник, сторонами которого являются отрезки,
пересекающие грани тетраэдра (параллепипеда)
называется сечением тетраэдра (параллепипеда).
Геометрические утверждения
 Если две точки одной прямой лежат в плоскости, то и
вся прямая лежит в этой плоскости.
Геометрические утверждения
 Если две параллельные плоскости пересечены
третьей, то
линии их пересечения
параллельны.
Методы построения сечений
Метод следов.
В общем случае плоскость сечения имеет общую прямую с
плоскостью каждой грани многогранника. Прямую, по которой
секущая плоскость пересекает какую-либо грань называют
следом секущей плоскости.
Метод внутреннего проектирования (метод вспомогательных
сечений).
Этот метод удобен при построении сечений в тех случаях, когда
почему-либо неудобно находить след секущей плоскости,
например, след получается очень далеко от заданной фигуры.
Используется метод параллельного проецирования.
Комбинированный метод.
При построении этим методом на каких-то этапах применяются
приемы, изложенные в методе следов или методе внутреннего
проектирования, а на других этапах применяются теоремы,
изученные в разделе «Параллельность прямых и плоскостей».
Метод следов
 Следом называют прямую пересечения плоскости
сечения и плоскости какой-либо грани
многогранника. Чтобы построить след, достаточно
знать две его точки.
Построение следа прямой на
плоскости грани многогранника
а) плоскость основания
б) плоскость любой
грани
Оформление таблицы
Рис.2
грань
след
ABC
T
ABM
P
ACM
R
BCM
S
ПИРАМИДА
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
Оформление таблицы
грань
след
ABCD
T
AA1B1B
Q
BB1C1C
M
CC1D1D
N
AA1D1D
S
A1B1C1D1
R
Алгоритм построения
сечения методом следов
1.
2.
3.
4.
5.
Выяснить имеются ли в одной грани две точки сечения
(если да, то через них можно провести сторону
сечения).
Построить след сечения на плоскости основания
многогранника.
Найти дополнительную точку сечения на ребре
многогранника (продолжить сторону основания той
грани, в которой есть точка сечения, до пересечения
со следом).
Через полученную дополнительную точку на следе и
точку сечения в выбранной грани провести прямую,
отметить точки пересечения её с рёбрами грани.
Выполнить п.1.
Построение сечения методом
внутреннего проектирования.
Этот метод является в достаточной мере
универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или
следы) секущей плоскости оказывается за пределами
чертежа, этот метод имеет даже определенные
преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что
построения, выполняемые при использовании этого
метода, зачастую получаются «скученными». Тем не
менее в некоторых случаях метод внутреннего
проектирования оказывается наиболее рациональным.
Построение вспомогательных сечений.
ПРИЗМА
Параллельное проектирование.
ПИРАМИДА
Центральное проектирование.
Построение следа сечения на ребре
ПРИЗМА
ПИРАМИДА
Алгоритм построения сечения методом
внутреннего проектирования.
1.
2.
3.
Построить вспомогательные сечения и найти линию их
пересечения.
Построить след сечения на ребре многогранника.
Если точек сечения не хватает для построения самого
сечения повторить пп.1-2.
Построение сечения призмы.
Построить сечение плоскостью α, проходящей через точки P,Q,R;
PєAA1, QєBB1, RєC1D1.
1. Построим проекции точек
P,Q,R на плоскость ABC.
2. Найдем след плоскости PQR
на ребре CC1:
- AA1C1C∩BB1RR1=MM1,
RQ∩MM1=X, PX∩CC1=L.
3. Найдем след плоскости PQR
на ребре EE1:
- AA1RR1∩BB1E1E=NN1,
PR∩NN1=Y, QY∩EE1=T.
4. Найдем след плоскости PQR
на грани AA1E1E:
- PT∩A1E1=S, PS-искомый след.
5. Соединяем P,Q,L,R и S.
Построение сечения пирамиды.
Построить сечение плоскостью α, проходящей через точки P,Q,R;
PєSAD, QєSC, RєSA.
1. Построим проекции точек P,Q,R
на плоскость ABC.
2. Найдем след плоскости PQR
на ребре SB:
- SAC∩SBP1=SM, RQ∩SM=X,
PX∩SB=L.
3. RєSAD, PєSAD, PR∩SD=N.
4. Соединяем R, L, Q, N и R.
Комбинированный метод.
Суть метода состоит в применении теорем о параллельности прямых и
плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.
Применяется для построения сечения многогранника с условием
параллельности.
1. Построение сечения многогранника плоскостью α,
проходящей через заданную прямую p параллельно
другой заданной прямой q.
 Через вторую прямую q и какую-нибудь точку W первой прямой р
провести плоскость β.
 В плоскости β через точку W провести прямую q‘ параллельную q.
 Пересекающимися прямыми p и q‘ определяется плоскость α.
 Непосредственное построение сечения многогранника плоскостью α
ПИРАМИДА.
Построить сечение
пирамиды плоскостью α,
проходящей через прямую
PQ параллельно AR; PєBC,
QєMA, RєMAC.
1. Проведем плоскость через
прямую AR и точку Q.
2. В плоскости MAR через точку
Q проведем прямую q'
параллельную AR. q'∩MC=L.
3. q'∩AC=S. SєABC, PєABC,
SP∩AB=K.
4. QKPL-искомое сечение.
Сечения тетраэдра и параллелепипеда
Задача 1. Построить сечение плоскостью, проходящей
через данные точки D, Е, K.
Построение:
S
1. DE
2. ЕК
3. ЕК ∩ АС = F
4. FD
5. FD ∩ BС = M
6. KM
DЕKМ – искомое сечение
E
K
А
С
M
D
В
F
Задача 2. Построить сечение плоскостью,
проходящей через данные точки Е, F, K.
Построение:
В1
F
А1
К
C1
D1
E
С
А
L
EFKNM – искомое сечение
N
В
1. KF
2. FE
3. FE ∩ АB = L
4. LN ║ FK
5. LN ∩ AD = M
6. EM
7. KN
М
Пояснения к построению:
4.
Проводим
LN параллельно FK (если
Пояснения
кпрямую
построению:
Пояснения
к построению:
Пояснения
Пояснения
кккпостроению:
построению:
секущая
плоскость
3.DПрямые
FE
и АВ,пересекает
лежащие
в принадлежащие
одной
плоскости
Пояснения
построению:
1. Соединяем
2.
точки
K и E,
F
F,
принадлежащие
7.
6.
Соединяем
точки
точкиграни,
КЕииN,
М,ребро
принадлежащие
принадлежащие
противоположные
она
пересекает
их
АА1В1одной
В,LN
пересекаются
вАА
L .в точке M.
5.Соединяем
Прямая
пересекает
AD
плоскости то
А1точке
В1В
1С
1В.
1D1.
одной
одной
плоскости
плоскости ВСС
АА
по параллельным
отрезкам).
1D
1В
1D.
1.
Задача 3. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки К, L, М.
Построение:
T
К
В1
C1
F
E
А1
L
А
D1
В
P
С
G
D
М
N
1. ML
2. ML ∩ D1А1 = E
3. EK
4. EK ∩ А1B1 = F
5. LF
6. LM ∩ D1D = N
7. ЕK ∩ D1C1 = T
8. NT
9. NT ∩ DC = G
NT ∩ CC1 = P
10. MG
11. PK
МLFKPG – искомое сечение
Задача 4. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ.
Построение:
В1
C1
А1
1. НМ
1. МТ
1. НT
D1
Н
Т
М
А
В
С
D
Выберите верный вариант:
Задача 4. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ.
Построение:
В1
C1
А1
D1
Н
Т
М
А
В
1. НМ
Комментарии:
Данные точки
принадлежат разным
граням!
С
D
Назад
Задача 4. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ.
Построение:
В1
C1
А1
D1
Н
Т
М
А
В
1. МT
Комментарии:
Данные точки
принадлежат разным
граням!
С
D
Назад
Задача 4. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
C1
1. НТ
Выберите верный вариант:
2. НТ ∩ BС = Е
А1
D1
2. НТ ∩ DС = Е
Н
Т
М
А
В
С
D
Задача 4. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
C1
А1
D1
Н
Т
М
А
В
С
D
1. НТ
2. НТ ∩ ВС = Е
Комментарии:
Данные прямые скрещивающиеся!
Пересекаться не
могут!
Назад
Задача 4. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
2. НТ ∩ DС = Е
C1
Выберите верный вариант:
А1
D1
3. ME ∩ AA1 = F
3. ME ∩ CC1 = F
3. ME ∩ BС = F
Н
Т
М
А
В
С
D
Е
Задача 4. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ AA1 = F
C1
А1
D1
Н
Т
М
А
В
С
D
E
Комментарии:
Данные прямые скрещивающиеся!
Пересекаться не
могут!
Назад
Задача 4. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ CC1 = F
C1
А1
D1
Н
Т
М
А
В
С
D
E
Комментарии:
Данные прямые скрещивающиеся!
Пересекаться не
могут!
Назад
Задача 4. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
C1
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
А1
Выберите верный вариант:
D1
4. НF
Н
4. МТ
Т
М
А
В
F
С
D
4. ТF
E
Задача 4. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
C1
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
А1
4. НF
D1
Н
Т
М
А
В
F
С
D
E
Комментарии:
Данные точки
принадлежат
разным граням!
Назад
Задача 4. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
C1
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
А1
D1
4. MT
Н
Т
М
А
В
F
С
D
E
Комментарии:
Данные точки
принадлежат
разным граням!
Назад
Задача 4. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
C1
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
А1
4. ТF
D1
Выберите верный вариант:
Н
5. ТF ∩ А1 А = K
Т
М
А
В
F
С
D
5. ТF ∩ В1В = K
E
Задача 4. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
C1
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
А1
4. ТF
D1
5. ТF ∩ А1 А = K
Н
Т
М
А
В
F
С
D
E
Комментарии:
Данные прямые скрещивающиеся!
Пересекаться не
могут!
Назад
Задача 4. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
C1
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
А1
4. ТF
D1
5. ТF ∩ В1В = K
Н
Выберите верный вариант:
Т
6. НK ∩ АD = L
6. ТK ∩ АD = L
М
F
В
А
С
D
K
E
6. МK ∩ АА1= L
Задача 4. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
В1
Построение:
1. НТКомментарии:
Данные
2. НТ
∩ DС = Eпрямые скрещивающиеся!
3. ME
∩ ВС = F
Пересекаться не
4. ТF
5. ТF ∩ В1Вмогут!
=K
C1
А1
D1
Н
6. НK ∩ АD = L
Т
М
F
В
А
С
D
K
E
Назад
Задача 4. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
В1
Построение:
1. НТКомментарии:
Данные
2. НТ
∩ DС = Eпрямые скрещивающиеся!
3. ME
∩ ВС = F
Пересекаться не
4. ТF
5. ТF ∩ В1Вмогут!
=K
C1
А1
D1
Н
6. TK ∩ АD = L
Т
М
F
В
А
С
D
K
E
Назад
Задача 4. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
C1
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
А1
4. ТF
D1
5. ТF ∩ В1В = K
Н
6. МK ∩ АА1= L
Т
Выберите верный вариант:
7. LF
М
L
F
В
А
С
D
K
E
7. LT
7. LH
Задача 4. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
C1
2. НТ ∩ DС = E
А1
Комментарии:
3. ME ∩ ВС = F
Данные точки
4. ТF
5. ТFпринадлежат
∩ В1 В = K
6. разным
МK ∩ АА1= Lграням!
D1
Н
Т
F
В
L
С
7. LТ
E
М
А
D
K
Назад
Задача 4. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
C1
2. НТ ∩ DС = E
А1
Комментарии:
3. ME ∩ ВС = F
Данные точки
4. ТF
5. ТFпринадлежат
∩ В1 В = K
6. разным
МK ∩ АА1= Lграням!
D1
Н
Т
F
В
L
С
7. LF
E
М
А
D
K
Назад
Задача 4. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
C1
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
А1
4. ТF
D1
5. ТF ∩ В1В = K
Н
6. МK ∩ АА1= L
Т
F
В
L
С
М
А
D
K
7. LН
E
НТFМL – искомое сечение
Задача 5. Построить сечение плоскостью, проходящей
через данные точки К, М, Р, Р∈АВС
Построение:
S
К
М
А
С
Р
В
Задача 5. Построить сечение плоскостью, проходящей
через данные точки К, М, Р, Р∈АВС
Построение:
1. КМ
2. КМ ∩ СА = Е
3. EР
4. ЕР ∩ АВ = F
ЕР ∩ ВC = N
5. МF
6. NК
КМFN – искомое сечение
S
К
М
Е
А
F
С
Р
N
В