Максимально гладкая «подгонка» кривых доходностей и кривых

Максимально гладкая «подгонка»
кривых доходностей и кривых
форвардных ставок
КENNETH J. ADAМS AND DONALD R.
VAN DEVENTER
Введение
• Существует множество теорий, посвященных
срочной структуре кривых доходностей, а именно
«подгонке» рыночных данных к некой
теоретической функции. Это и работы МакКалоха,
который для этих целей, использовал
полиномиальные сплайны, и работы Вашичеха и
Фонга, посвященные, использованию
экспоненциальных сплайнов. Данная статья
предлагает новый подход к «подгонке» кривых
доходностей, который может сформировать
устойчивую базу для применения вышеназванных
методик.
• В статье сравнивается описанный метод
«максимального разглаживания» кривых
доходностей и методы с использованием
кубических сплайнов для подгонки кривых
цен и доходностей облигаций, линейный и
экспоненциальный методы.
Обзор предыдущих работ
• В 1975 МакКалох опубликовал работу,
посвященную исследованию кривых
доходностей ценных бумаг Казначейства
США. Он использовал полиномиальную
функцию для подгонки кривой
доходностей, и данный метод был неплох в
теоретической проекции, но не подходил
для реальных данных.
• Вашичек и Фонг в своей работе 1982 года,
предложили метод, который достаточно
неплохо подгонял кривые спот ставок, и
полученные функции были довольно
гладкими. Также они отмечали
экспоненциальную природу функции
дисконтирования, и использовали
экспоненциальную форму для подгонки
кривой цен облигаций, и применяли для этих
целей кубическую функцию с непрерывными
производными.
• Шеа в своей работе использовал
полиномиальные сплайны, отмечая, что
форвардные ставки довольно нестабильны, и
часто смещаются к очень большим или даже
отрицательным значениям.
• Таким образом, несмотря на все свои
преимущества, метод подгонки кривой с
использованием сплайнов имеет свои
недостатки.
Предпосылки новой модели
• Существует непрерывная зависимость между
ценами бескупонных облигаций и
форвардными процентными ставками.
• Предполагается, что текущий период времени
t=0.
• Цена (котировка) бескупонной облигации со
сроком погашения в момент времени t
обозначается P(t), где P(0)=1.
• Доходность к погашению этой облигации
обозначается y(t), а мгновенная форвардная
ставка f(t).
Мы имеем следующие
соотношения:
Замечание
• В работах МакКалоха, Вашичека и Фонга для того,
чтобы «выровнять» функции они разбивали кривую
цены облигации на маленькие сегменты и
подгоняли для каждого сегмента полиномиальную
или экспоненциальную функцию таим образом, что
на «крайних» точках каждого сегмента
существовали непрерывные первые и вторые
производные.
• Данная методика приводила к тому, что они были
вынуждены не рассматривать точки, очень сильно
отличающиеся (варьирующиеся) от других, хотя
форвардные ставки, полученных из гладких кривых
доходностей, могут быть сильно волатильными.
Новый подход
• Мы можем взглянуть на эту проблему с
другой стороны: лучше подогнать
наблюдаемые значения кривой доходности
таким образом к некой теоретической
функции от времени, чтобы получить
максимально гладкую кривую форвардных
ставок.
• На основе ряда математических свойств,
определим наиболее гладкую кривую
форвардных ставок на интервале (0,Т), как
функцию, которая минимизирует
следующий функционал:
Z 

T
0
2
''


f
(
s
)
ds


• Также мы должны учитывать ряд
ограничений для того, чтобы наша
теоретическая функция соответствовала
реальным данным. То есть для m
облигаций с ценами Pi , i  1,2,..m со сроками
погашения ti
Выполняется:
Таким образом, задача сводится к
нахождению условного экстремума и
построению Лагранжиана:
Решение нашей задачи сведется к
следующему виду:
• Таким образом, мы имеем n (n параметров
функции форвардной ставки) уравнений с
n+m неизвестными.
Теорема Олдрича Вашичека
• Срочная структура кривой f(t), где 0<t<T,
удовлетворяющая критерию максимальной
гладкости:
T
2
''
min  
f
( s) 

 ds
0
• и которая «подгоняет» наблюдаемые цены
облигации Pi
• является сплайном четвертого порядка с
отсутствующей кубической степенью вида:
Коэффициенты
ai , bi , ci
• удовлетворяю уравнениям
• Хотя получается, что теорема определяет
3m+1 уравнений для 3m+3 неизвестных
параметров, решение все равно
единственно.
• Это следует, из того, что Z имеет вид:
• Данная функция является квадратичной
(параметр второй степени).
• Решение этой задачи, можно свести к
следующему виду:
• Из этих соотношений и получаем
недостающие уравнения.
• Если предположить, что
• то нам не нужны будут эти дополнительные
уравнения.
Практические результаты
• Было проведено сравнение
рассмотренного подхода с
альтернативными на примере японского
рынка свопов , представленных Фуджи
Банком, и американского рынка свопов,
представленных банком Митсубиси.
Процентные ставки свопов были
проанализированы, как если бы своп
представлял собой котировку купонной
облигации.
Долларовая кривая доходностей
Кривая доходностей в йенах
Сравниваемые альтернативные
подходы:
• 1) Кубический сплайн для «выравнивания» кривых
цен облигаций (метод МакКалоха);
• 2) Кубический сплайн для «подгонки» кривой
доходностей облигаций;
• 3) Экспонециальное «разгалживание» для кривых
цен облигаций;
• 4) Линейная интерполяция для кривой доходностей
облигаций;
• Отметим, что краткосрочные процентные ставки
должны стремиться к однодневным процентным
ставкам, если их срок погашения стремится к нулю.
В статье во избежание вычислительных
проблем был рассмотрен дискретный
случай процентных ставок:
• Чтобы найти коэффициенты
«разглаживания» в дискретной форме
были взяты суммы квадратов вторых
разностей полугодовых форвардных ставок,
рассчитанных для каждой сравниваемой
техники.
Результаты:
• Метод с использованием экспоненциального сплайна
показал наименее «гладкие» кривые форвардных
доходностей для рынка японских свопов.
• Также была выявлена очень большая чувствительность
результатов к выбранному временного периоду.
• Метод «максимального разглаживания» и метод с
использованием кубического сплайна для подгонки
кривой цен облигации показал более «гладкие
результаты», чем метод с использованием кубического
сплайна для выравнивания кривых доходностей
облигаций.
• Ну а линейная интерполяция показала наихудшие
результаты.
Прогнозная сила метода:
• Были опущены некоторые данные и
рассчитаны их прогнозные значения.
Сравнивались результаты.
• В итоге на японском рынке свопов все
техники оказались более эффективными
предсказателями, чем на американском, и
метод максимального разглаживания,
показал довольно неплохие результаты.
Выводы:
• Успех в выравнивании кривой доходностей зависит от
«гладкости» кривой форвардной доходности. Также
«выровненные» кривые форвардной доходности
показывают лучшие прогнозные результаты, чем
волатильные.
• Для того, чтобы найти наиболее «гладкую» функция
минимизировался интеграл квадрата второй
производной.
• Наиболее «гладкая» кривая является полиномом
четвертой степени.
• Таким образом, рассмотренный метод показал
наилучшие результаты, исходя из критерия «гладкости»
и точности.