ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ §1 Определенный интеграл: определение, геометрический смысл, свойства. Пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) определена на отрезке 𝑎; 𝑏 . Выполним следующие действия: 1. Разобьем отрезок 𝑎; 𝑏 с помощью точек 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 на 𝑛 частичных отрезков 𝑥𝑖−1 ; 𝑥𝑖 , где 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏. Обозначим ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 и пусть ∆= 𝑚𝑎𝑥 ∆𝑥𝑖 . 2. На каждом отрезке 𝑥𝑖−1 ; 𝑥𝑖 выберем точку 𝑐𝑖 ∈ 𝑥𝑖−1 ; 𝑥𝑖 и составим сумму 𝑛 𝑆𝑛 = 𝑓 𝑐1 ∙ ∆𝑥1 + ⋯ + 𝑓 𝑐𝑛 ∙ ∆𝑥𝑛 = 𝑓 𝑐𝑖 ∙ ∆𝑥𝑖 , 𝑖=1 которая называется интегральной суммой функции 𝑦 = 𝑓 𝑥 ; она зависит от способа разбиения и выбора точек 𝑐𝑖 . Если существует предел интегральной суммы при условии, что число частичных отрезков стремится к бесконечности, а длина наибольшего из них – к нулю, то есть 𝑛 lim 𝑛→∞ ∆→0 𝑖=1 𝑓 𝑐𝑖 ∙ ∆𝑥𝑖 = 𝐼, не зависящий от способа разбиения отрезка 𝑎; 𝑏 и выбора промежуточных точек 𝑐𝑖 , то говорят, что функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) интегрируема по Риману на отрезке 𝑎; 𝑏 , а сам предел называют определенным интегралом функции 𝑓(𝑥) в пределах от 𝑥 = 𝑎 до 𝑥 = 𝑏 и обозначают 𝑏 𝐼= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 . 𝑎 При этом числа 𝑎 и 𝑏 называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. Теорема (существования определенного интеграла). Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна на отрезке 𝑎; 𝑏 , то определенный интеграл 𝑏 𝑓 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 существует. Геометрический смысл определенного интеграла. Фигура, ограниченная графиком функции 𝑦 = 𝑓 𝑥 , прямыми 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 и осью 𝑂𝑥, называется криволинейной трапецией. Пусть при 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 𝑓(𝑥) ≥ 0. Тогда произведение 𝑓 𝑐𝑖 ∙ ∆𝑥𝑖 равно площади прямоугольника с основанием ∆𝑥𝑖 и высотой 𝑓 𝑐𝑖 , а сумма 𝑛 𝑓 𝑐𝑖 ∙ ∆𝑥𝑖 𝑖=1 представляет собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры и приближенно равна площади криволинейной трапеции: 𝑛 𝑆 ≈ 𝑆𝑛 = 𝑓 𝑐𝑖 ∙ ∆𝑥𝑖 . 𝑖=1 Если ∆𝑥𝑖 уменьшать, то точность последнего приближенного равенства будет увеличиваться. Таким образом, в предельном случае 𝑛 𝑆 = lim 𝑆𝑛 = 𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 𝑓 𝑐𝑖 ∙ ∆𝑥𝑖 = 𝐼, (∆→0) 𝑖=1 то есть 𝒃 𝑺= 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 . 𝒂 Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции (геометрический смысл определенного интеграла). Свойства определенного интеграла. 1. 𝑏 𝑓 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑏 𝑓 𝑎 𝑡 𝑑𝑡, т.е. определенный интеграл не зависит от обозначения переменной. 2. 𝑎 𝑓 𝑎 3. 𝑏 𝑓 𝑎 4. 𝑏 𝑓 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = 0. 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑓 𝑏 𝑐 𝑓 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 . 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑏 𝑓 𝑐 𝑥 𝑑𝑥 . 5. 𝑏 𝐶 𝑎 6. 𝑏 𝑎 ∙ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐶 ∙ 𝑏 𝑓 𝑎 𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑥 . 𝑏 𝑓 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑏 𝑔 𝑎 𝑥 𝑑𝑥. 7. Если 𝑓 𝑥 ≥ 0 𝑓(𝑥) ≤ 0 при ∀𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 и 𝑎 < 𝑏, то 𝑏 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 0 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 0 . 𝑎 8. 𝑎 𝑓 −𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = 2 𝑎 𝑓 0 𝑥 𝑑𝑥 , если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) четна на −𝑎; 𝑎 . 9. 𝑎 𝑓 −𝑎 −𝑎; 𝑎 . 𝑥 𝑑𝑥 = 0, если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) нечетна на §2 Методы вычисления определенного интеграла. 1.Формула Ньютона-Лейбница. Если 𝐹 𝑥 − первообразная функции 𝑓 𝑥 , то 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 |𝒃𝒂 = 𝑭 𝒃 − 𝑭 𝒂 . 𝒂 Пример. 1 1 3𝑥 2 − 5 𝑑𝑥 = 3 0 1 𝑥 2 𝑑𝑥 − 5 0 𝑑𝑥 = 0 𝑥3 1 = 3 ∙ |0 − 5𝑥|10 = 13 − 03 − 5 1 − 0 = −4, 3 2. Метод поднесения под знак дифференциала и замены переменной. 𝑡=𝜑 𝑥 𝑏 𝑓 𝜑(𝑥) ∙ 𝜑 ′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 = 𝑎 𝑎 𝑑 𝜑(𝑥) 𝛽 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡. 𝛼 𝑥=𝑏 𝑡=𝜑 𝑎 =𝛼 = 𝑡=𝜑 𝑏 =𝛽 Пример. 𝜋 2 0 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝜋 2 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 ∙ 𝑑(𝑠𝑖𝑛𝑥) = 0 𝑡 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑥 = 0 𝑡 = 𝑠𝑖𝑛0 = 0 = 𝑥 = 𝜋2 𝑡 = 𝑠𝑖𝑛𝜋2 = 1 𝑡4 1 1 1 = |0 = − 0 = . 4 4 4 1 𝑡 3 𝑑𝑡 = 0 3. Метод замены переменной. 𝑥 = 𝜑 𝑡 𝑑𝑥 = 𝜑 ′ 𝑡 𝑑𝑡 𝑏 𝑡 = 𝜑 −1 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = = −1 𝑥 =𝑎𝑡 =𝜑 𝑎 =𝛼 𝑎 𝑥 = 𝛽 𝑡 = 𝜑 −1 𝑏 = 𝛽 𝛽 𝑓 𝜑(𝑡) ∙ 𝜑 ′ 𝑡 𝑑𝑡. = 𝛼 Пример. 𝑥 = 𝑡 2 𝑑𝑥 = 2𝑡𝑑𝑡 4 𝑑𝑥 𝑡= 𝑥 = = 𝑥 =0𝑡 =0 0 1+ 𝑥 𝑥 =4𝑡 =2 2 =2 0 2 0 2𝑡𝑑𝑡 = 1+𝑡 1 2 2 ∙ 𝑡 − ln 1 + 𝑡 | 1− 𝑑𝑡 = 0 = 1+𝑡 = 2 ∙ 2 − 𝑙𝑛3 − 0 − 𝑙𝑛1 = 2 2 − 𝑙𝑛3 . Замечание. Важно: при замене переменной в определенном интеграле соответствующим образом меняются пределы интегрирования. 4. Интегрирование по частям. Пусть функции 𝑢 = 𝑢 𝑥 , 𝑣 = 𝑣(𝑥) имеют непрерывные производные на отрезке 𝑎; 𝑏 . Тогда справедлива формула 𝑏 𝑏 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣|𝑏𝑎 − 𝑎 𝑣𝑑𝑢. 𝑎 Пример. 𝜋 2 0 𝑢 = 4𝑥 + 1 𝑑𝑢 = 4𝑑𝑥 1 4𝑥 + 1 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 = = 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 𝑣 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 2 = 4𝑥 + 1 ∙ 𝜋 1 𝑠𝑖𝑛2𝑥|02 2 =0 = −2 𝜋 2 0 = − 𝜋 21 0 2 𝑠𝑖𝑛2𝑥 ∙ 4𝑑𝑥 = 𝜋 1 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = −2 ∙ − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 |02 = 2 𝜋 𝑐𝑜𝑠2𝑥|02 = 𝑐𝑜𝑠𝜋 − 𝑐𝑜𝑠0 = −1 − 1 = −2. §3. Применение определенного интеграла к задачам геометрии. 1.Вычисление площадей плоских фигур. Рассмотрим следующие случаи. 1) Фигура ограничена непрерывной линией 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 ≥ 0 для 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 , прямыми 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 и отрезком оси абсцисс. 𝑏 𝑆= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 2) Фигура ограничена непрерывной линией 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 ≤ 0 для 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 , прямыми 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 и отрезком оси абсцисс. 𝑏 𝑆=− 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 3) Фигура ограничена двумя непрерывными линиями 𝑦 = 𝑓1 𝑥 , 𝑦 = 𝑓2 𝑥 𝑓1 𝑥 ≤ 𝑓2 𝑥 для 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 и прямыми 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏. 𝑏 𝑆= 𝑓2 𝑥 − 𝑓1 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑎 4) Фигура ограничена непрерывной линией 𝑥 = 𝑔 𝑦 𝑔 𝑦 ≥ 0 для 𝑥 ∈ 𝑐; 𝑑 , прямыми 𝑦 = 𝑐, 𝑦 = 𝑑 и отрезком оси ординат. 𝑑 𝑆= 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 𝑐 5) Фигура ограничена непрерывной линией 𝑥 = 𝑔 𝑦 𝑔 𝑦 ≤ 0 для 𝑥 ∈ 𝑐; 𝑑 , прямыми 𝑦 = 𝑐, 𝑦 = 𝑑 и отрезком оси ординат. 𝑑 𝑆=− 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 𝑐 6) Фигура ограничена двумя непрерывными линиями 𝑥 = 𝑔1 𝑦 , 𝑥 = 𝑔2 𝑦 𝑔1 𝑦 ≤ 𝑔2 𝑦 для 𝑦 ∈ 𝑐; 𝑑 и прямыми 𝑦 = 𝑐, 𝑦 = 𝑑. 𝑑 𝑆= 𝑔2 𝑦 − 𝑔1 (𝑦) 𝑑𝑦 𝑐 7) Если кривая задана параметрическими уравнениями 𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦 𝑡 , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, осью абсцисс и кривой, находят по формуле 𝛽 𝑦 𝑡 𝑥 ′ 𝑡 𝑑𝑡, 𝑆= 𝛼 где 𝛼 и 𝛽 определяются из равенств 𝑥 𝛼 = 𝑎, 𝑥 𝛽 = 𝑏 𝑦 𝑡 ≥ 0 для 𝑡 ∈ 𝛼; 𝛽 . Примеры. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. 1) 𝑦 = 1 − Решение. 𝑥 2, 𝑦= 1 𝑥 , 𝑥= 1 ,𝑥 2 =1 Воспользуемся формулой из п.3: 𝑏 𝑆= 𝑓2 𝑥 − 𝑓1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 1 = 1 2 1 − 1 − 𝑥2 𝑥 1 𝑑𝑥 = 1 2 1 − 1 + 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑥3 1 = 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥 + |1 = 3 2 1 = 𝑙𝑛1 −1 + − 3 =0 1 1 1 𝑙𝑛 − + = 2 2 24 =−𝑙𝑛2 2 11 5 = − + 𝑙𝑛2 + = 𝑙𝑛2 − ≈ 0,48 кв. ед. 3 24 24 2)𝑦 2 = 2𝑥 + 1, 𝑥 − 𝑦 = 1 Решение. Найдем точки пересечения кривых. 𝑥 =𝑦+1 𝑦 2 = 2𝑥 + 1 2 𝑥−𝑦 =1 𝑦 =2 𝑦+1 +1 𝑥 =𝑦+1 𝑥 =𝑦+1 2 𝑦1 = −1 𝑦 − 2𝑦 − 3 = 0 𝑦2 = 3 𝑥1 = 0 𝑦1 = −1 𝑥2 = 4 𝑦2 = 3 Графиком функции 𝑦 2 = 2𝑥 + 1 или 𝑥= 1 2 𝑦 2 − 1 2 является парабола, ветви которой вытянуты вдоль оси 𝑂𝑥, вершина находится в точке 1 − ;0 2 . График функции 𝑥 − 𝑦 = 1 − прямая, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Например, 0; −1 , (4; 3). Воспользуемся формулой из п.6. 𝑥−𝑦 =1 𝑥 =𝑦+1 𝑔2 𝑦 𝑑 𝑆= 𝑔2 𝑦 − 𝑔1 𝑦 𝑐 𝑑𝑦 = 𝑦2 1 2 1 = = 2𝑥 + 1 𝑥 = 𝑦 − 2 2 𝑔1 𝑦 3 1 2 1 𝑦+1− 𝑦 − 2 2 = −1 3 = −1 1 2 3 𝑦− 𝑦 + 𝑑𝑦 = 2 2 𝑑𝑦 = 𝑦2 𝑦3 3 = − + 𝑦 |3−1 = 2 6 2 9 9 9 1 1 3 16 = − + − + − = кв. ед. 2 2 2 2 6 2 3 2.Вычисление объемов тел вращения. 1)Криволинейная трапеция, ограниченная кривой 𝑦 = 𝑓(𝑥) и прямыми 𝑦 = 0, 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, вращается вокруг оси 𝑂𝑥. 𝑏 𝑓 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑉=𝜋 𝑎 2)Криволинейная трапеция, ограниченная прямыми 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 и кривыми 𝑦 = 𝑓1 𝑥 , 𝑦 = 𝑓2 𝑥 (𝑓1 𝑥 ≤ 𝑏 𝑉=𝜋 𝑎 𝑓22 𝑥 − 𝑓12 𝑥 𝑑𝑥 3) Криволинейная трапеция, ограниченная кривой 𝑥 = 𝑔(𝑦) и прямыми 𝑥 = 0, 𝑦 = 𝑐, 𝑥 = 𝑑, вращается вокруг оси 𝑂𝑦. 𝑑 𝑔2 𝑦 𝑑𝑦 𝑉=𝜋 𝑐 4)Криволинейная трапеция, ограниченная прямыми 𝑦 = 𝑐, 𝑦 = 𝑑 и кривыми 𝑥 = 𝑔1 𝑦 , 𝑥 = 𝑔2 𝑦 (𝑔1 𝑦 ≤ 𝑏 𝑉=𝜋 𝑎 𝑔22 𝑦 − 𝑔12 𝑦 𝑑𝑦 Замечание. При вычислении объемов тел вращения нет необходимости изображать сами тела; достаточно построить только фигуры, которые будут вращаться. Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 𝑂𝑥 фигуры, ограниченной линиями 𝑦 = 1 2 𝑥 2 и 2𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0. Решение. Найдем точки пересечения кривых, для чего решим систему уравнений 1 2 𝑦= 𝑥 2 2𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0 1 2 𝑦= 𝑥 2 1 2 2𝑥 + 2 ∙ 𝑥 − 3 = 0 2 𝑦= 1 2 𝑥 2 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 0 Изобразим линии. 1 2 𝑦= 𝑥 2 𝑥1 = −3 𝑥2 = 1 𝑥1 = −3 𝑦1 = 4,5 𝑥2 = 1 𝑦2 = 0,5 𝑦= 1 2 𝑥 2 − уравнение параболы, вершина которой находится в точке 𝑂 0; 0 , ветви направлены вверх вдоль оси 𝑂𝑦. 2𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0 − уравнение прямой, которая проходит через точки −3; 4,5 и 1; 0,5 . Воспользуемся формулой: 𝑏 𝑉=𝜋 𝑎 1 𝑉=𝜋 −3 1 =𝜋 −3 𝑓22 𝑥 − 𝑓12 𝑥 3 −𝑥 2 2 1 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥. 2 𝑑𝑥 = 9 1 4 2 − 3𝑥 + 𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥 = 4 4 9 3 2 1 3 1 5 1 = 𝜋 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 |−3 = 4 2 3 20 9 3 1 1 27 27 243 =𝜋 − + − + + +9− = 4 2 3 20 4 2 20 2 = 18 𝜋 куб. ед. 15 3.Вычисление длины дуги плоской кривой. 1)Длина дуги 𝐴𝐵 кривой, заданной уравнением 𝑦 = 𝑓(𝑥), содержащаяся между точками с абсциссами 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, причем функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) имеет непрерывную производную в указанном промежутке, определяется по формуле: 𝑏 𝑙= 1 + 𝑓′(𝑥) 𝑎 2 𝑑𝑥. 2) Длина дуги 𝐴𝐵 кривой, заданной уравнением 𝑥 = 𝑔(𝑦), содержащаяся между точками с ординатами 𝑦 = 𝑐, 𝑦 = 𝑑, причем функция 𝑥 = 𝑔(𝑦) имеет непрерывную производную в указанном промежутке, определяется по формуле: 𝑑 𝑙= 1 + 𝑔′(𝑦) 𝑐 2 𝑑𝑦. 3) Длина дуги 𝐴𝐵 кривой, заданной параметрическими уравнениями 𝑥=𝑥 𝑡 , 𝑡 ∈ 𝛼; 𝛽 , 𝑦 = 𝑦(𝑡) где 𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦 𝑡 − непрерывно дифференцируемые функции, вычисляется по формуле: 𝛽 𝑙= 𝑥′(𝑡) 𝛼 2 + 𝑦′(𝑡) 2 𝑑𝑡 Пример. Найти длину дуги кривой 𝑦 = 𝑙𝑛 1 − 𝑥 2 от 𝑥 = 0 до 𝑥 = 0,5. Решение. Воспользуемся формулой 𝑏 𝑙= 1 + 𝑓′(𝑥) 𝑎 2 𝑑𝑥. 𝑓′ 𝑥 = 𝑙𝑛 1 − 0,5 𝑙= 0 𝑥2 2𝑥 1+ − 1 − 𝑥2 0,5 = 0 ′ 1 2𝑥 = ∙ −2𝑥 = − 2 1−𝑥 1 − 𝑥2 2 0,5 𝑑𝑥 = 0 4𝑥 2 1+ 1 − 𝑥2 1 − 𝑥 2 2 + 4𝑥 2 𝑑𝑥 = 2 2 1−𝑥 2 𝑑𝑥 = 0,5 = 0 0,5 = 0 0,5 = 0 1 − 2𝑥 2 + 𝑥 4 + 4𝑥 2 𝑑𝑥 = 2 2 1−𝑥 𝑥 4 + 2𝑥 2 + 1 𝑑𝑥 = 2 2 1−𝑥 𝑥2 + 1 𝑑𝑥 = − 2 1−𝑥 0,5 0 0,5 0 𝑥2 + 1 1 − 𝑥2 𝑥2 + 1 𝑑𝑥 = 2 𝑥 −1 2 2 𝑑𝑥 = 0,5 =− 0 2 1+ 2 𝑑𝑥 = 𝑥 −1 0,5 =− 0,5 𝑑𝑥 − 0 2 𝑥 2 −1 = 2 (𝑥−1)(𝑥+1) 0 = 2 𝑑𝑥 = 𝐼 2 𝑥 −1 𝐴 𝐵 + 𝑥−1 𝑥+1 = 2 = 𝐴 𝑥 + 1 + 𝐵(𝑥 − 1) 𝑥 = −1: 2 = −2𝐵 𝐵 = −1 𝑥 = 1: 2 = 2𝐴 𝐴=1 𝐴 𝑥+1 +𝐵(𝑥−1) (𝑥−1)(𝑥+1) Таким образом, 2 1 1 = − . 2 𝑥 −1 𝑥−1 𝑥+1 𝐼= −𝑥|0,5 0 0,5 − 0 1 1 − 𝑑𝑥 = 𝑥−1 𝑥+1 = −0,5 − 𝑙𝑛 𝑥 − 1 − 𝑙𝑛 𝑥 + 1 |0,5 0 = = −0,5 + 𝑙𝑛3 = 𝑙𝑛3 − 0,5. §4 Несобственные интегралы. Несобственными интегралами называются интегралы с бесконечными пределами и интегралы от неограниченных функций. I. Интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы 1-го рода). Пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна при 𝑥 ∈ 𝑎; +∞). Тогда несобственный интеграл 1-го рода от функции 𝑓(𝑥) в пределах от 𝑎 до +∞ определяется равенством: +∞ 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑎 𝑏→+∞ 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 . (𝟒. 𝟏) Если предел в правой части равенства (4.1) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если же этот предел не существует или бесконечен, то интеграл называется расходящимся. Геометрический смысл. Если непрерывная функция 𝑓(𝑥) ≥ 0 на промежутке 𝑎; +∞) и интеграл +∞ 𝑓 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 сходится, то он равен площади бесконечно длинной криволинейной трапеции. Аналогично определяется несобственный интеграл 1-го рода на промежутке (−∞; 𝑏]: 𝑏 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim −∞ 𝑎→−∞ 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 . (𝟒. 𝟐) Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой: +∞ 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −∞ +∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + −∞ 𝑐 = lim 𝑎→−∞ 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + lim 𝑏→+∞ 𝑐 где 𝑐 − произвольное число. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 , (𝟒. 𝟑) Замечание. Несобственный интеграл +∞ 𝑓 −∞ 𝑥 𝑑𝑥 сходится, если сходятся оба интеграла в правой части равенства (4.3), и расходится, если хотя бы один расходится. Пример 1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость. +∞ 𝟏) 𝑒 𝑑𝑥 = lim 4 𝑥 ∙ 𝑙𝑛 𝑥 𝑏→+∞ −3 = lim 𝑏→+∞ 1 = − lim 3 𝑏→+∞ 𝑙𝑛𝑥 −3 1 𝑙𝑛𝑏 𝑏 𝑒 𝑏 𝑒 1 𝑙𝑛𝑥 1 ∙ 𝑑𝑥 = 4 𝑥 𝑑 𝑙𝑛𝑥 1 = − lim 3 𝑏→+∞ 1 − 3 𝑙𝑛𝑒 3 1 𝑙𝑛𝑥 𝑏 = 3 𝑒 = ln +∞ = +∞ = =1 1 1 1 1 =− −1 =− 0−1 = . 3 ∞ 3 3 0 𝟐) 0 𝑥 ∙ 𝑥 2 + 9𝑑𝑥 = lim 𝑎→−∞ 𝑎 −∞ 1 = ∙ lim 2 𝑎→−∞ = 1 = ∙ lim 3 𝑎→−∞ 𝑥2 + 9 3 2 0+9 3 2 𝑥2 + 9 1 2 ∙ 𝑥𝑑𝑥 = 1 2 +9 𝑑 𝑥 2 0 1 2 = ∙ lim 2 3 𝑎→−∞ 𝑥2 + 9 3 0 𝑎 𝑎 3 − 𝑎2 +9 = −∞ интеграл расходится. 3 1 = ∙ 27 − ∞ = 3 +∞ 𝟑) −∞ 𝑥 2 𝑑𝑥 = 3 𝑥 +1 = 1 = lim 3 𝑎→−∞ 0 𝑎 0 𝑥 2 𝑑𝑥 + 3 −∞ 𝑥 + 1 𝑥 2 𝑑𝑥 +∞ 0 1 = 𝑑 𝑥3 + 1 3 𝑑 𝑥3 + 1 1 + lim 3 𝑥 +1 3 𝑏→+∞ 1 = lim ln 𝑥 3 + 1 3 𝑎→−∞ 0 𝑎 𝑥 2 𝑑𝑥 = 3 𝑥 +1 = 𝑏 0 𝑑 𝑥3 + 1 = 3 𝑥 +1 1 + lim ln 𝑥 3 + 1 3 𝑏→+∞ 𝑏 0 = 1 1 3 = lim 0 − ln 𝑎 + 1 + lim ln 𝑏 3 + 1 − 0 = 3 𝑎→−∞ 3 𝑏→+∞ =−∞ =+∞ = −∞ + ∞. Исходный интеграл расходится, так как расходится каждый из интегралов в правой части последнего равенства, а достаточно расходимости только одного. Признаки сходимости и расходимости интегралов с бесконечными пределами. 1.Признак сравнения. Пусть для 𝑥 ∈ 𝑎; +∞) непрерывные функции 𝑓 𝑥 и 𝑔(𝑥) удовлетворяют условию 0≤𝑓 𝑥 ≤𝑔 𝑥 . Тогда из сходимости интеграла сходимость интеграла интеграла +∞ 𝑔 𝑎 +∞ 𝑓 𝑎 +∞ 𝑓 𝑎 +∞ 𝑔 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 следует 𝑥 𝑑𝑥 ; а из расходимости 𝑥 𝑑𝑥 следует расходимость интеграла 𝑥 𝑑𝑥 , причем +∞ 𝑓 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 ≤ +∞ 𝑔 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 . Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл +∞ 1 1 𝑑𝑥. 3 𝑥 𝑥 (2 + 5 ) Решение. Применим признак сравнения. При 𝑥 ∈ 1; +∞) 1 𝑥 3 (2+5𝑥 ) < 1 . 𝑥3 Исследуем на сходимость интеграл +∞ 1 𝑑𝑥. 3 1 𝑥 +∞ 1 1 𝑑𝑥 = lim 3 𝑏→+∞ 𝑥 1 1 = − lim 2 𝑏→+∞ 𝑥 2 = 1 − 2 𝑏 1 𝑏 1 𝑥 −2 1 𝑑𝑥 = lim 3 𝑏→+∞ −2 𝑥 𝑏 = 1 1 1 = − lim −1 = 2 2 𝑏→+∞ 𝑏 1 2 ∙ 0−1 = интеграл +∞ 1 𝑑𝑥 1 𝑥3 сходится, а, значит, сходится и исходный интеграл, причем +∞ 1 1 1 𝑑𝑥 < . 3 𝑥 𝑥 (2 + 5 ) 2 2. Предельный признак сравнения. Пусть для 𝑥 ∈ 𝑎; +∞) непрерывные функции 𝑓 𝑥 и 𝑔(𝑥) удовлетворяют условию 𝑓 𝑥 > 0, 𝑔 𝑥 >0 и существует конечный предел 𝑓(𝑥) lim = 𝑘, 𝑥→+∞ 𝑔(𝑥) 0 < 𝑘 < +∞ то интегралы +∞ +∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 и 𝑎 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 сходятся или расходятся одновременно. Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл +∞ 1 1 𝑑𝑥. 3 2 9𝑥 + 5𝑥 + 𝑥 + 7 Решение. Применим предельный признак сравнения. При 𝑥 ∈ 1; +∞) 1 1 𝑓 𝑥 = 3 > 0 и 𝑔 𝑥 = 3 > 0, 2 9𝑥 + 5𝑥 + 𝑥 + 7 𝑥 причем +∞ 1 𝑑𝑥 3 1 𝑥 сходится (см. пример 2). 𝑓(𝑥) 𝑥3 ∞ lim = lim = = 3 2 𝑥→+∞ 𝑔(𝑥) 𝑥→+∞ 9𝑥 + 5𝑥 + 𝑥 + 7 ∞ = lim 1 5 1 7 𝑥→+∞ 9+ + 2 + 3 𝑥 𝑥 𝑥 = 1 9 исходный интеграл тоже сходится. 3. Если интеграл +∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 сходится, то сходится и интеграл +∞ 𝑓 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 (последний в этом случае называют абсолютно сходящимся). II. Интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы 2-го рода). Пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна для 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏) и в точке 𝑥 = 𝑏 имеет бесконечный разрыв. Тогда несобственный интеграл 2-го рода от функции 𝑓(𝑥) определяется равенством 𝑏 𝑏−𝜀 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑎 𝜀→+0 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 . (𝟒. 𝟒) Если предел в правой части равенства (4.4) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если же этот предел не существует или бесконечен, то интеграл называется расходящимся. Геометрический смысл. Если непрерывная функция 𝑓 𝑥 > 0 на промежутке 𝑎; 𝑏) и интеграл 𝑏 𝑓 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 сходится, то он равен площади бесконечно высокой криволинейной трапеции. 𝑏−𝜀 Аналогично, если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна для 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏] и в точке 𝑥 = 𝑎 терпит бесконечный разрыв, то несобственный интеграл 2-го рода от функции 𝑓(𝑥) определяется равенством 𝑏 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑎 𝜀→+0 𝑎+𝜀 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 . (𝟒. 𝟓) Если функция 𝑓(𝑥) имеет бесконечный разрыв во внутренней точке 𝑐 отрезка 𝑎; 𝑏 и непрерывна при 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑐) ∪ 𝑐; 𝑏 , то несобственный интеграл определяется формулой 𝑏 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑎 𝑐 𝑐−𝜀1 = lim 𝜀1 →+0 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = (𝟒. 𝟔) 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + lim 𝜀2 →+0 𝑐+𝜀 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 . Замечание. Несобственный интеграл 𝑏 𝑓 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 сходится, если сходятся оба интеграла в правой части равенства (4.6), и расходится, если хотя бы один из них расходится. Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов от неограниченных функций аналогичны признакам сходимости интегралов с бесконечными пределами. Пример 4. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость 𝟏) 3 2 1 𝑑𝑥 −𝑥 2 + 3𝑥 − 2 . Подынтегральная функция 1 −𝑥 2 +3𝑥−2 непрерывна для 𝑥 ∈ (1; 1,5] и в точке 𝑥 = 1 терпит бесконечный разрыв. Поэтому воспользуемся равенством (4.5). 3 2 1 = −𝑥 2 = lim 𝑑𝑥 −𝑥 2 + 3𝑥 − 2 3 2 = lim 𝜀→+0 1+𝜀 1 3 + 3𝑥 − 2 = − 𝑥 − 4 2 3 2 𝜀→+0 1+𝜀 𝑑 𝑥− 1 2 2 𝑑𝑥 3 2 3 − 𝑥− 2 2 2 = lim 𝜀→+0 −𝑥 2 1 = 2 + 3𝑥 − 2 2 = 3 − 𝑥− 2 3 𝑥− 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 1 2 2 = 3 2 = 1+𝜀 = lim 𝜀→+0 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 2𝑥 − 3 3 2 1+𝜀 = = lim 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛0 − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 2 1 + 𝜀 − 3 𝜀→+0 𝜋 𝜋 = 0 − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖 𝑛 −1 = − − = . 2 2 = 1 𝟐) 0 𝑑𝑥 3 2 − 4𝑥 Подынтегральная функция 1 3 2−4𝑥 непрерывна для 𝑥 ∈ 0; 0,5) ∪ (0,5; 1] и в точке 𝑥 = 0,5 терпит бесконечный разрыв. Поэтому воспользуемся равенством (4.6). 1 0 𝑑𝑥 3 2 − 4𝑥 0,5 = 0 𝑑𝑥 3 2 − 4𝑥 1 + 0,5 𝑑𝑥 3 2 − 4𝑥 = 1 = − lim 4 𝜀1→+0 1 − lim 4 𝜀2→+0 1 = − lim 4 𝜀1 →+0 0,5−𝜀1 2 − 4𝑥 1 −3 𝑑(2 − 4𝑥) − 0 1 2 − 4𝑥 1 −3 𝑑(2 − 4𝑥) = 0,5+𝜀2 2 − 4𝑥 2 3 2 3 0,5−𝜀1 1 − lim 4 𝜀2 →+0 0 2 − 4𝑥 2 3 2 3 1 = 0,5+𝜀2 1 3 = − ∙ lim 4 2 𝜀1→+0 1 3 = ∙ lim 4 2 𝜀2→+0 3 = − lim 8 𝜀1→+0 3 − lim 8 𝜀2→+0 3 3 3 4− 3 2 − 4𝑥 2 − 4𝑥 2 2 0,5−𝜀1 0 1 3 = 0,5+𝜀2 2 − 4 0,5 − 𝜀1 2 2 − 4 0,5 + 𝜀2 3 3 3 =− ∙ 0− 4 − ∙ 8 8 3 − 3 − 4 − 2 4 − 0 = 0. = 𝟑) 1 2 0 𝑑𝑥 2𝑥 − 1 2 Подынтегральная функция 𝑥∈ 1 0; 2 и в точке 𝑥 = 1 2 1 2𝑥−1 2 непрерывна для терпит бесконечный разрыв. Поэтому воспользуемся равенством (4.4). 1 2 0 𝑑𝑥 2𝑥 − 1 2 1 = lim 2 𝜀→+0 1 −𝜀 2 0 1 1 = − lim 2 𝜀→+0 2𝑥 − 1 1 = − lim 2 𝜀→+0 2 = 1 1 − 2 −0 1 2𝑥 − 1 = 0 −𝜀 −1 +1 = 1 − 2 интеграл расходится. 𝑑 2𝑥 − 1 = 1 2−𝜀 1 1 2 2 +1 = ∙ −∞ = +∞