Вопрос 10

Вопрос 10
Поверхностные интегралы 2-го рода. Определение. Теорема существования. Связь между
поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода
Пусть имеется некоторая поверхность C, в каждой точке которой определена некоторая функция
F(x,y,z). Выберем какую-нибудь сторону поверхности и разобьем поверхность сетью кривых на
ячейки c1,c2..cn c диаметрами d1,d2..dn и спроецируем на OXY, получим ячейки D1,D2..Dn с
площадями ∆S1,∆S2..∆Sn. Максимальный диаметр обозначим через λ и назовем рангом
дробления. В каждой ячейке выберем среднюю точку Mк и вычислим в ней значение функции.
Умножим это значение на площадь проекции ∆Sк и составим интегральную сумму Римана:
σ𝑛 = ∑𝑛𝑘=1 𝐹(ξ𝑘 , η𝑘 ζ𝑘 ) ± ∆𝑆𝑘 , где «+» для верхней стороны поверхности, «-» - для нижней
Перейдем к пределу, устремляя ранг дробления к нулю:
lim σ𝑛 = lim ∑𝑛𝑘=1 𝐹(ξ𝑘 , η𝑘 , ζ𝑘 ) ∆𝑆𝑘
n→∞
n→∞
Если он существует, то он называется поверхностный интеграл по поверхности C
∬с 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦 = lim ∑𝑛𝑘=1 𝐹(ξ𝑘 , η𝑘 , ζ𝑘 ) ∆𝑆𝑘 = ∬с 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑧
n→∞
Теорема существования:
Пусть поверхность с задана уравнением z=f(x,y), причем в области D функция f(x,y) и ее две
𝑑𝑧
𝑑𝑧
частные производные в области D p(x,y)=𝑑𝑥 и q(x,y)= 𝑑𝑦 непрерывны. В каждой точке поверхности с
функция F(x,y,z) непрерывна.
Тогда поверхностный интеграл 2-го рода по верхней и нижней стороне поверхности существует и
выражается в виде двойного:
∬с 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ± ∬𝐷 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦))𝑑𝑥𝑑𝑦,
где «+» для верхней стороны, «-» - для нижней
Связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода:
⃗ и OZ
∬с 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬с 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑐𝑜𝑠𝜈 𝑑𝑆, где 𝜈- угол между 𝑁