Зимний «Головастик» - 2016 8 класс, воспоминания о знаниях по теории чисел. 1. Натуральные числа m и n таковы, что число m+n+1 — простое и делит 2(m2+n2)–1. Докажите, что m = n. 2. Какова максимальная длина конечной арифметической прогрессии с разностью 6 и состоящей из простых чисел? 3. При каких целых n число an =n2+ 3n+ 1 делится на 55? 4. Существует ли натуральное число, среди натуральных делителей которого точных квадратов ровно в 2015 раз больше, чем точных кубов? 5. Трехзначное число 625 обладает своеобразным свойством самовоспроизводимости, как то 6252= 390625. Сколько четырехзначных чисел удовлетворяют уравнению x2 x(mod 10000)? 6. Докажите, что при любом k существует ровно 4 набора из k цифр — 00...00, 00...01 и еще два, оканчивающиеся пятеркой и шестеркой,— обладающие таким свойством: если натуральное число оканчивается одним из этих наборов цифр, то его квадрат оканчивается тем же набором цифр. 7. Найдите все натуральные n, для которых число n4+4 – простое. 8. Докажите, что при нечетных n число 2n!-1 делится на n. 8а. Найдите такие целые числа a, что a10+1 делится на 10. 9. Найдите сумму всех правильных несократимых дробей со знаменателем n. 𝟏 𝟏 𝟏 10 .Докажите, что число 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + ⋯ + 𝒏 не может быть целым при n>1. Зимний «Головастик» - 2016 8 класс, продолженеи всякого тч 11. Костя задумал натуральное число и нашел его остатки от деления на 3, на 6 и на 9. Сумма остатков оказалась равна 15. Найдите остаток от деления задуманного числа на 18. 12. Можно ли расставить на доске 17101 натуральные числа так, чтобы сумма чисел в любом прямоугольнике 1×2 делилась либо на 17, либо на 101? 13. Докажите, что число m(m+1) не является степенью целого числа ни при каком натуральном m. 14. Натуральные a,b,c,d удовлетворяют условию ab=cd. Может ли число a+b+c+d быть простым? 15. Назовем натуральное число хорошим, если сумма обратных величин всех его натуральных делителей – целая. Докажите, что если m – хорошее число, а p > m – простое, то число pm не является хорошим. 16. Назовем натуральное число вредным, если оно не равно произведению цифр никакого другого числа. Докажите, что найдется 100 последовательных вредных чисел. 17. Обозначим ( x ) количество простых чисел, не превосходящих x. Конечно или бесконечно множество натуральных n, для которых n делится на ( x) ? 18. Имеется бесконечное количество карточек, на каждой из которых написано какое-то натуральное число. Известно, что для любого натурального числа n существуют ровно n карточек, на которых написаны делители этого числа. Докажите, что число карточек, на которых написано произвольное натуральное число n равно (n) . 19. Доказать а) 1 2 n n 1 n 2 n n, n - число делителей натурального числа n; б) 1 2 n n 1 2n 2 nn n , натурального числа n. 20. Докажите неравенство 𝜏𝑛 ≤ 2√𝑛. 𝜎𝑛 - сумма делителей