III Ижевский командный турнир математиков

Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»
Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска
III Ижевский командный турнир математиков
1 тур, 25 февраля 2011 г., 6 класс, лига А
1. Натуральное число называется палиндромом, если оно одинаково читается как спереди, так и
сзади (например, числа 31013 и 4554 – палиндромы). Докажите, что если числа a и 4a –
палиндромы, то и число 2а – тоже палиндром.
2. Разрежьте фигуру на три части, из которых можно сложить квадрат.
3. Назовем четырехзначное натуральное число «счастливым», если у него сумма
первых двух цифр равна сумме последних двух цифр. Найдите 55-е «счастливое»
число.
4. Путешественник посетил остров, каждый из жителей острова либо всегда говорит
правду(назовем его рыцарем), либо всегда лжет (назовем его лжецом). Все жители острова
выстроились в линейку, и каждый сказал: «И количество рыцарей, стоящих до меня, и
количество лжецов, стоящих до меня, делится на 6». Сколько рыцарей может быть
на острове?
5. Дети в садике съедают за один день яблок столько же,
сколько и груш. При этом каждая девочка съедает 1 яблоко и
3 груши, а каждый мальчик – 3 яблока и 2 груши. Найдите, кого больше –
девочек или мальчиков, и во сколько раз?
6. По пути из дома на рынок Вася остановился около ларька, купил газету и
стал ее читать. На рынке он прервал чтение, купил картошку и пошел
домой. Проходя мимо ларька, он вспомнил про газету и снова стал ее читать. Каково расстояние
от дома до рынка, если путь занял 1 час, скорость Васи налегке составляет 6 км/ч, скорость Васи
с картошкой составляет 3 км/ч, а чтение газеты снижает скорость до 3
290
км/ч и 2 км/ч соответственно?
7. Число, написанное в квадратике, равно сумме чисел в тех
квадратиках, на которых оно стоит. Заполните данную пирамиду.
Найдите все решения и докажите, что других нет.
71
75
12
20
8. Дима загадал натуральное число, большее 50 и меньше 150 и
сказал: 1) Мое число делится на 6. 2) Мое число не делится на 27. 3)
Мое число нечетное. 4) Мое число не полный квадрат. 5) У моего числа есть три разных
делителя, больших 1. Потом Дима признал, что только два раза из пяти сказал правду. Какое
число загадал Дима?
9. За один ход разрешается умножить число на 2 или прибавить к нему 3. За какое количество
ходов можно из 3 получить число 2010? Найдите все ответы и докажите, что других нет.
10. В стране между любыми двумя городами построена дорога, но она работает только в одном
направлении. Всего 2000 городов. Докажите, король может в качестве столицы выбрать город А,
из которого можно сразу добраться (проехав одну дорогу) минимум до 1000 городов.
Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»
Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска
III Ижевский командный турнир математиков
1 тур, 25 февраля 2011 г., 6 класс, лига Б
1. Петя нарисовал окружность и отметил на ней 25 точек. Витя провел какие-то 6
отрезков с концами в отмеченных точках. Докажите, что в любом случае Петя сможет
провести еще один отрезок с концами в отмеченных точках так, чтобы он не имел
общих точек ни с одним Витиным отрезком.
2. Разрежьте фигуру на четыре части, из которых можно сложить
квадрат.
3. Назовем четырехзначное натуральное число «счастливым»,
если у него сумма первых двух цифр равна сумме последних двух
цифр. Найдите десятое с конца (первое с конца – наибольшее, и
так далее в порядке убывания) «счастливое» число.
4. Путешественник посетил остров, каждый из жителей острова
либо всегда говорит правду (назовем его рыцарем), либо всегда лжет (назовем его
лжецом). Все жители острова выстроились в линейку,
и каждый сказал: «
Произведение номеров каких-то двух лжецов, стоящих раньше меня – простое
число». Сколько лжецов может быть на острове?
5. Дети в садике съедают за один день яблок столько
же, сколько и груш. При этом каждая девочка съедает
1 яблоко и 3 груши, а каждый мальчик – 3 яблока и 2
груши. Найдите, кого больше – девочек или
мальчиков, и во сколько раз?
6. Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и
велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 3 часа
раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились
они через 48 минут после выезда. Сколько часов
затратил на путь из B в A велосипедист?
7. Число, написанное в квадратике, равно сумме
чисел в тех квадратиках, на которых оно стоит. Заполните
данную пирамиду. Найдите все решения и докажите, что
других нет
8. Дима загадал натуральное число, большее 50 и меньше
150 и сказал: 1) Мое число делится на 6. 2) Мое число не
делится на 27. 3) Мое число нечетное. 4) Мое число не
полный квадрат. 5) У моего числа есть три разных делителя,
больших 1. Потом Дима признал, что только два раза из пяти
сказал правду. Какое число загадал Дима?
310
150
42
35
20
12
4
Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»
Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска
III Ижевский командный турнир математиков
1 тур, 25 февраля 2011 г., 7 класс, лига А
1. Натуральное число называется палиндромом, если оно одинаково читается как спереди, так и
сзади (например, числа 31013 и 4554 – палиндромы). Верно ли, что если числа a и 4a –
палиндромы, то и число 2а – тоже палиндром?
2. Разрежьте фигуру на три части, из которых можно сложить квадрат.
3. В выпуклом четырехугольнике ABCD углы A, B, C больше 90. Докажите, что
BD > AC.
4. Путешественник посетил остров, на котором 1000 жителей,
каждый из которых либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Все жители
острова встали в круг лицом к центру, и каждый сказал путешественнику,
является ли лжецом его правый сосед. На основании этих сообщений
путешественник смог однозначно определить, сколько именно лжецов на
острове. Определите это и вы.
5. Назовем четырехзначное натуральное число «счастливым», если у него сумма первых двух
цифр равна сумме последних двух цифр. Найдите, сколько всего существует «счастливых» чисел.
6. По пути из дома на рынок Вася остановился около ларька, купил газету и стал ее читать. На
рынке он прервал чтение, купил картошку и пошел домой. Проходя мимо ларька, он вспомнил
про газету и снова стал ее читать. Каково расстояние от дома до рынка, если путь занял ровно 1
час, скорость Васи налегке составляет 6 км/ч, скорость Васи с картошкой составляет 3 км/ч, а
чтение газеты снижает скорость до 3 км/ч и 2 км/ч соответственно?
7. Число, написанное в квадратике, равно сумме чисел в тех
квадратиках, на которых оно стоит. Вася произвольным образов
вписал в закрашенные квадратики некоторые натуральные числа.
Всегда ли после этого можно будет заполнить пирамидку числами
хотя бы одним способом?
8. В прямоугольной коробке лежал кусковой сахар.
Сначала шестиклассники съели весь верхний слой – 630 кусочков, затем
семиклассники весь передний слой – 1050 кусочков и, наконец,
восьмиклассники – весь правый слой в 700 кусочков. Сколько кусочков сахара
могло остаться в коробке?
9. За один ход разрешается умножить число на 2 или прибавить к нему 3. За какое количество
ходов можно из 3 получить число 2010? Найдите все варианты ответов и докажите, что других
нет.
10. В стране между любыми двумя городами построена дорога, но она работает только в одном
направлении. Докажите, король может в качестве столицы выбрать город А, из которого до
любого другого города страны можно добраться, проехав не более двух дорог.
Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»
Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска
III Ижевский командный турнир математиков
1 тур, 25 февраля 2011 г., 7 класс, лига Б
1. Натуральное число называется палиндромом, если оно одинаково читается как
спереди, так и сзади (например, числа 31013 и 4554 – палиндромы). Верно ли, что если
числа a и 2a – палиндромы, то и число 4а – тоже палиндром?
2. Разрежьте фигуру на четыре части, из которых можно сложить
квадрат.
M
B
C
3. В квадрате ABCD AB =1, M и N – середины
N
соответствующих сторон. Найдите площадь
закрашенной части.
A
4. Путешественник посетил остров, каждый из жителей острова
либо всегда говорит правду(назовем его рыцарем), либо всегда лжет (назовем его
лжецом). Все жители острова выстроились в линейку, и каждый сказал: « Произведение
номеров каких-то двух лжецов, стоящих раньше меня – простое число». Сколько лжецов
может быть на острове?
5. Назовем четырехзначное натуральное число «счастливым», если у него сумма первых
двух цифр равна сумме последних двух цифр. Найдите 55-е «счастливое» число.
6. По пути из дома на рынок Вася остановился около ларька,
купил газету и стал ее читать. На рынке он прервал чтение,
купил картошку и пошел домой. Проходя мимо ларька, он
вспомнил про газету и снова стал ее читать. Каково расстояние
от дома до рынка, если путь занял
290
ровно 1 час, скорость Васи налегке
составляет 6 км/ч, скорость Васи с
71
75
картошкой составляет 3 км/ч, а чтение газеты снижает скорость
до 3 км/ч и 2 км/ч соответственно?
12
20
7. Число, написанное в квадратике, равно сумме чисел в тех
квадратиках, на которых оно стоит. Заполните данную пирамиду.
Найдите все решения и докажите, что других нет
8. В прямоугольной коробке лежал кусковой сахар. Сначала
шестиклассники съели весь верхний слой – 630 кусочков, затем
семиклассники весь передний слой – 1050 кусочков и, наконец,
восьмиклассники – весь правый слой в 700 кусочков. Сколько
кусочков сахара могло остаться в коробке?